ТР.Теор.Вер.

MГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 1

Задача 1. Наладчик обслуживает одновременно 5 независимо работающих станков. Вероятности того, что в течение часа станки будут работать без остановки, равны соответственно: 0,95; 0,84; 0,8; 0,91; 0,92. Найти вероятность того, что хотя бы один станок в течение часа остановится.

Задача 2. 32 карты из 36 розданы четырем игрокам. 4 карты лежат в прикупе. Найти вероятность, что все они пики.

Задача 3. Брошены две кости. Случайная величина Х - сумма выпавших очков. Найти закон распределения случайной величины X, ее математическое ожидание - М[Х] и дисперсию D[X].

Задача 4. При изготовлении некоторой детали вероятность брака равна 0,3. Составить ряд распределения для числа бракованных деталей из взятых наугад пяти деталей, найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этого распределения.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -2 1) Определить вероятность попадания значения
f (х)= -Х/4 при -2 < Х
· 0 случайной величины Х в интервал [-1, 1]
Х/4 при 0 < Х
· 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
0 при Х > 2 случайной величины X.

Задача 6. Вероятность наступления события при одном испытании равна 0,4. С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что при 120 испытаниях событие наступит: а) 40 раз; б) не менее 40 раз.

Задача 7. Измерялось усилие резания при черновой обточке литой заготовки из серого чугуна, при этом были получены следующие результаты (в кто):

266
269
273
254
260
258
267
271
27
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.











МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 2.

Задача 1: В круг радиуса R вписан квадрат. Какова вероятность того, что из 5 независимо и случайно поставленных внутри круга точек, две точки окажутся внутри квадрата?

Задача 2: В урне 5 черных и 5 белых шара. Из урны извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них будет 3 белых.

Задача 3: Найти вероятность отказа цепи, если вероятности отказа элементов соответственно равны q1=0,03; q2=0,07; q3=0,1; q4=0,02.

Задача 4: Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
-3
-1
1

У
-2
0
3

Р
0,4
0,3
0,3

q
0,3
0,2
0,5

Составить ряд распределения суммы случайных величин Х+У;
Найти математическое ожидание М(Х+У) и дисперсию Д(Х+У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5: Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 1) Определить вероятность попадания зна-
f(x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 чения случайной величины Х в
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 интервал 13 EMBED Equation.3 1415;
2)Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Задача 6: Вероятность того, что произвольная деталь из данной партии подойдет к собираемому узлу, равна 0,85. Найти вероятность того, что при сборке узла, состоящего из 200 деталей не подойдут к собираемому узлу: а) 40 деталей, б) от 35 до 45 деталей.

Задача 7: Лаборатория электролампового завода провела испытания 100 ламп на продолжительность горения и получила следующие результаты (в часах):
812
817
828
833
841
820
822
825
826
824
826
829

817
826
834
818
842
813
837
827
821
835
819
829

815
8
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний (по схеме, данной ниже).

МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 3.

Задача 1. На двух автоматических станках изготовляется одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в два раза больше производительности второго и что вероятность изготовления детали со знаком качества на первом станке равна 0,99, а на втором – 0,95. Изготовленные за смену на обоих станках не рассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется со знаком качества.

Задача 2. В первой урне 3 черных и 5 белых шара, во второй 2 белых и 3 черных шара. Из первой урны 2 шара кладут во вторую. Из второй берут 1 шар. Найти вероятность, что он белый.

Задача 3. В первой урне 4 черных, 2 белых шара, во второй 1 черный, 2 белых. Из первой урны берут 2 шара, из второй 1 шар. Случайная величина Х - число белых шаров среди взятых. Найти закон распределения случайной величины X, ее математическое ожидание - М[Х] и дисперсию D[X].

Задача 4. Случайная величина Х может принимать значения –4, -2 и 0. Найти вероятности появления этих значений, если М[Х] = -2,6 и Д[X] = 2,44.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
·
· 1) Определить вероятность попадания значения
f(x)= -cos x при
· < X
· 13 EMBED Equation.3 1415 случайной величины Х в интервал 13 EMBED Equation.3 1415
0 при Х > 13 EMBED Equation.3 1415 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. При некотором испытании вероятность положительного исхода равна 0,42. С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что при 180 испытаниях число положительных исходов будет: а) равно 80, б) не менее 80.

Задача 7. При измерении продолжительности вспышек света импульсной лампы типа ИФП 800 были получены следующие значения (в мк сек):
581
592
599
555
576
611
600
580
564
623
559
591

574
589
635
572
601
582
607
613
588
601
563
590

556
607
584
624
596
600
571
622
558
5
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Длина интервала h=9.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 4.

Задача 1. В ящике имеется 45 деталей. Из них на первом станке изготовлено 12 деталей, на втором - 15 и на третьем 18 деталей. Для сборки узла детали вынимаются из ящика последовательно одна за другой. Какова вероятность того, что во второй раз будет извлечена деталь, изготовленная на третьем станке.

Задача 2. В колоде 36 карт. Берется 5 карт. Найти вероятность того, что они пики.

Задача 3. Найти вероятность отказа цепи, если вероятности отказа элементов соответственно равны q1=0,02; q2==0,02; q3=0,02, q4=0,02.
Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
-3
1
4

У
2
0
3

Р
0,4
0,1
0,5

q
0,2
0,5
0,3


1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
·
· 1) Определить вероятность попадания значения
f(x)= -cos x при
· < X
· 13 EMBED Equation.3 1415 случайной величины Х в интервал 13 EMBED Equation.3 1415
0 при Х > 13 EMBED Equation.3 1415 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. Вероятность наступления события при одном испытании равна 0,25. С помощью формул Лапласа найти вероятности того, что при 300 испытаниях событие наступит: а) 78 раз, б) не более 78 раз.

Задача 7. Измерялось давление газа в рабочей камере, при котором срабатывает предохранительный клапан редуктора для аргона, при этом были получены следующие результаты ( в кгс/ см2):

19,2
20,0
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Длина интервала h=0,4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 5.

Задача 1. В полукруг вписан равнобедренный треугольник, опирающийся на диаметр. Какова вероятность того, что из 10 точек, произвольно поставленных внутри полукруга, в треугольник попадут 2 точки.

Задача 2. На клавишах пишущей машинки 33 буквы русского алфавита. Ребенок в случайном порядке 5 раз нажал на клавиши. Найти вероятность того, что все напечатанные буквы будут гласными.

Задача 3. В урне 4 черных и 6 белых шаров. Из урны извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них будит 2 белых.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:
Х
1
3
5

У
1
3
5

Р
ј
1/3
5/12

q
Ѕ
1/3
1/6

1) Составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) Найти математическое ожидание М (X + У) и дисперсию Д( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя свойства математического ожидания и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· 3 1) Определить вероятность попадания значения
f (х)= ј (Х – 3) при 3 < Х
· 5 случайной величины Х в интервал [4, 5]
ј (7 – Х) при 5 < Х
· 7 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
0 при Х > 7 случайной величины X.

Задача 6. При некотором испытании вероятность положительного исхода равна 0,28. С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что при 150 испытаниях число положительных исходов будет: а) равно 42, б) от 50 до 60.

Задача 7. Был измерен рост 100 произвольно взятых студентов, при этом были получены следующие данные (в см):
166
169
172
161
165
171
152
173
169
162
154
158

174
155
176
170
178
152
159
164
168
182
153
156

164
162
173
168
1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 6.

Задача 1. Два станка производят одинаковые детали. Первый станок дает в среднем 0,5% брака, а второй - 0,9%. Продукция обоих станков поступает на сборку. Первый станок поставляет 2/5 продукции, а второй 1/3 продукции. Для сборки узла сборщик берет детали по одной. Какова вероятность того, что из пяти взятых наугад деталей не больше одной бракованной ?

Задача 2. В урне 6 черных, 4 белых шара. Из урны берут по одному шару до появления черного. Случайная величина Х число белых шаров, оставшихся в урне. Найти закон распределения случайной величины X, ее математическое ожидание - М[Х] и дисперсию D[X].

Задача 3. Найти вероятность отказа цепи, если вероятности отказа элементов соответственно равны q1=0,01; q2=0,03; q3=0,06; q6=0,l.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:
Х
1
3
5

У
1
3
5

Р
ј
1/3
5/12

q
Ѕ
1/3
1/6

1) Составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) Найти математическое ожидание М (X + У) и дисперсию Д( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя свойства математического ожидания и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения:
0 при Х
·-1 1) Определить вероятность попадания значения случайной
f(x)= ѕ(1-Х) при –1<Х
·1 величины Х в интервал [-Ѕ , Ѕ]
0 при Х>1 2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Задача 6. Вероятность появления некоторого события в испытании равна 0,2. С помощью формул Лапласа найти: вероятность появления этого события в 200 испытаниях; а) 45 раз и б) в пределах от 35 до 50 раз.

Задача 7. При испытании образцов алюминиевого сплава АМг5 В на растяжение были получены следующие значения относительного удлинения (в %):

17,2
15,7
15,0
20,4
19,7
18,1
17,5
16,8
14,8
19,3
14,4
15,3

16,4
18,0
15,6
19,2
20,1
17,8
16,0
15,2
14,7
14,5
15,5
16,1

16,8
18,8
14,6
18,7
17,1
15,9
17,4
18,3
20,8
19,5
17,7
15,8

18,2
19,1
14,7
20,0
1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Длина интервала h=0,8
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 7.

Задача 1. При механической обработке станок обычно работает в двух режимах: 1) рентабельном и 2) нерентабельном. Рентабельный режим наблюдается в 80% случаев, нерентабельный в 20%. Вероятность выхода станка из строя за время t работы в рентабельном режиме равна 0,08, а в нерентабельном 0,6. Найти вероятность выхода станка из строя за время t.

Задача 2. В урне 2 черных и 6 белых шаров. Из урны взяли 3 шара и положили во вторую урну. Из второй урны взяли 1 шар. Найти вероятность, что он белый.

Задача 3. Кость брошена 3 раза. X - число выпавших шестерок. Найти закон распределения Х, М[Х] и Д[Х].

Задача 4. Вероятность появления некоторого события равна 0,4. Составить ряд распределения числа появлений этого события при 5 независимых испытаниях, найти его математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· 1 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при Х > 1 случайной величины Х в интервал [1,5; 2,5 ]
2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9. С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что из 250 деталей стандартными окажутся:а)220 деталей, б)от 200 до 225.

Задача 7. Проводилась проверка 100 шт. сосудов Дьюара для хранения жидкого азота. При проверке измерялось количество азота, испаряющееся из сосуда за час (в г/час):
86,1
93,5
87,6
78,1
82,0
84,3
79,6
72,0
90,0
94,1
72,8
102

96,0
74,0
82,5
86,4
90,1
103
82,7
84,7
81,5
88,5
91,6
98,0

101
98,2
96,3
94,5
93,6
89,0
87,9
91,8
78,7
98,9
74,6
84,9

91,9
73
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.

МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 8.

Задача 1. Имеются две партии деталей. В первой партии - 100 шт., во второй - 150 штук. Известно, что в первой партии одна бракованная деталь, а во второй - две. Изделие, взятое наугад из первой партии, переложено во вторую. Определись вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

Задача 2. В урне 5 черных и 3 белых шара. Шары достают по одному, до появления черного. Случайная величина Х - число белых шаров, оставшихся в урне. Найти закон распределения случайной величины X, ее математическое ожидание - М[Х] и дисперсию D[X].

Задача 3. В колоде 36 карт. Берется 2 карты. Найти вероятность того, что они пики.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
-3
2
4

У
1
5

Р
7/12
1/12
1/3

q
2/5
3/5


1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М (Х + У) и дисперсию Д (Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -2 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при –2·2 случайной величины Х в интервал [-1, 1]
0 при Х > 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. При массовом производстве шестерен вероятность брака при штамповке равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад .взятых шестерен будут бракованными: ровно 50 шестерен; от 25 до 60.

Задача 7. При определении пропускной способности редуктора типа АР-150 для аргона, были получены следующие результаты (в л/мин):

1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 9.

Задача 1. На сборку поступают шестерни с трех автоматов. Первый автомат дает 25%, второй – 30% и третий – 45% шестерен, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,1% брака шестерен, второй - 0,2%, третий - 0,3%. Найти вероятность поступления на сборку бракованной шестерни.

Задача 2. В коробке 20 синих и 20 красных шаров. Вынуты 4 шара. Найти вероятность того, что синих оказалось больше.

Задача 3. Найти вероятность отказа цепи, если вероятности отказа элементов соответственно равны q1=0,02; q2=0,03; q3=0,02; q4=0,03.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
2
5

У
-3
0
4

Р
0,8
0,2

q
0,2
0,3
0,5

1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения:
13 EMBED Equation.3 1415, где -
·· 1) Определить вероятность попадания значения случайной величины Х в интервал [0, ln 2]
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Задача 6. Вероятность наступления события при одном испытании равна 0,17. С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что при 240 испытаниях событие наступит : a) 38 раз, б) не свыше 38 раз.

Задача 7. ОТК завода-изготовителя проверял партию из 100 шт. паромасляных насосов с воздушным охлаждением типа НВО-40М, при этом определялась скорость откачки этими насосами ( л/сек).
75
76
101
88
92
91
87
83
84
87
99
95

102
86
70
79
85
90
94
99
86
101
70
79

71
90
81
78
74
98
90
86
83
78
71
89

81
85
89
101
92
84
73
81
81
84
89
98

81
78
74
77
89
84
93
97
82
77
71
93

73
84
92
76
89
81
77
84
92
77
98
100

92
85
76
80
89
80
84
97
80
96
84
82

88
91
100
80
84
100
80
84
91
85
88
82

92
85
80
72


Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 10.

Задача 1. В ящике имеется 12 деталей со станка №1 и 8 деталей со станка №2. Для сборки узла сборщик случайным образом берет детали. Какова вероятность того, что третья взятая деталь окажется со станка №1.

Задача 2. В первой урне 5 черных, 3 белых шара. Во второй 3 черных, 2 белых шара. Из первой урны во вторую кладут 3 шара. Из второй берут 2 шара. Найти вероятность, что они разного цвета.

Задача 3. В урне 6 черных и 4 белых шаров. Из урны извлекают 3 шаров. Найти вероятность того, что среди них будет 1 белый.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
0
2
4

У
0
2

Р
0,25
0,5
0,25

q
1/3
2/3

1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -2 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при –2 < X
· 2 случайной величины Х в интервал [-1, 1]
0 при Х > 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. Вероятность наступления события при одном испытании равна 0,45. С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что при 140 испытаниях событие наступит: а) 60 раз б) не менее 60 раз.

Задача 7. Производилось измерение размеров зерен основной фракции шлифпорошка карбида кремния зернистости 10, при этом были получены следующие значения (в мкм):
105
115

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.






МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 11.

Задача 1. В ящике имеется 5 деталей со станка № 1, 9 деталей со станка № 2 и 6 деталей со станка № 3. Для сборки узла сборщик берет случайным образом детали. Какова вероятность того, что вторая взятая им деталь будет со станка № 2.

Задача 2. В урне 6 черных и 4 белых шара. Шары вынимают по одному, до появления черного. Случайная величина Х - число вынутых шаров. Найти закон распределения случайной величины X, ее математическое ожидание - М[Х] и дисперсию D[X].

Задача 3. Имеется 7 человек. Х - число родившихся в понедельник. Найти закон распространения X, М[Х] и D[X].

Задача 4. Случайная величина Х принимает два значения Х1 и Х2 с вероятностями 0,75 и 0,25 соответственно. Найти эти значения, если М(Х) = 3,5, а D(Х) = 0,75.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения:
ex для Х
·0 1) Определить вероятность попадания значения случайной
f (x)= 0 для Х>0 величины Х в интервал [-2, 0].
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Задача 6. Вероятность нормального расхода электроэнергии за день на данном предприятии равна 0,7. Найти с помощью формул Лапласа вероятности нормального расхода электроэнергии: а) в 60 днях из 90, б) не менее чем в 60 днях из 90.

Задача 7. Производилось измерение размеров зерен основной фракции шлифзерна наждака зернистости 50, при этом были получены следующие значения (в мкм):

526
551
512
520
538
594
592
519
536
555
610
617

538
509
582
569
568
555
534
511
518
507
508
590

619
588
510
518
534
616
606
516
532
515
514
530

564
556
554
550
540
567
566
582
571
588
604
566

554
550
528
563
556
553
544
539
563
580
586
604

546
559
578
562
602
561
546
556
561
578
657
547

557
548
585
559
576
600
553
598
558
614
559
571

585
572
596
560
614
579
551
560
552
580
574
579

574
576
562
552



Длина интервала h=14.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.











MГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 12

Задача 1. Наладчик обслуживает одновременно 5 независимо работающих станков. Вероятности того, что в течение часа станки будут работать без остановки, равны соответственно: 0,95; 0,84; 0,8; 0,91; 0,92. Найти вероятность того, что хотя бы один станок в течение часа остановится.

Задача 2. 32 карты из 36 розданы четырем игрокам. 4 карты лежат в прикупе. Найти вероятность, что все они пики.

Задача 3. Брошены две кости. Случайная величина Х - сумма выпавших очков. Найти закон распределения случайной величины X, ее математическое ожидание - М[Х] и дисперсию D[X].

Задача 4. При изготовлении некоторой детали вероятность брака равна 0,3. Составить ряд распределения для числа бракованных деталей из взятых наугад пяти деталей, найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этого распределения.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -2 1) Определить вероятность попадания значения
f (х)= -Х/4 при -2 < Х
· 0 случайной величины Х в интервал [-1, 1]
Х/4 при 0 < Х
· 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
0 при Х > 2 случайной величины X.

Задача 6. Вероятность наступления события при одном испытании равна 0,4. С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что при 120 испытаниях событие наступит: а) 40 раз; б) не менее 40 раз.

Задача 7. Измерялось усилие резания при черновой обточке литой заготовки из серого чугуна, при этом были получены следующие результаты (в кто):

266
269
273
254
260
258
267
271
274
282
260
257

265
271
269
252
263
268
277
267
253
281
276
253

258
262
265
260
257
269
267
271
268
263
255
262

264
278
270
282
265
253
270
264
283
266
271
261

277
255
266
274
259
278
274
253
279
262
263
266

284
261
272
259
267
270
272
268
270
264
274
256

272
264
275
252
270
266
270
263
267
268
261
275

267
273
256
279
268
265
259
280
269
265
276
284

279
268
269
280



Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.











МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 13

Задача 1. Два станка изготовляют одинаковые детали. Мощность первого станка в три раза превышает мощность второго. На первом станке брак в среднем достигает 0,8%, а на втором 0,5%. Какова вероятность того, что из произвольно взятых 5 изготовленных деталей 4 детали будут стандартными ?

Задача 2. В первой урне 5 черных, 3 белых шара. Во второй 3 черных, 2 белых шара. Из первой урны во вторую кладут 3 шара. Из второй берут 2 шара. Найти вероятность, что они белые.

Задача 3. Найти вероятность отказа цепи, если вероятности отказа элементов соответственно равны q1=0,01; q2=0,01; q3=0.0l; q4=0,01.

Задача 4. Случайная величина Х может принимать значения –3,1 и 5. Найти вероятности получения этих значений, если М(Х) = 1 и D( Х ) = 9,6.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
1) Определить вероятность попадания значения случайной величины в интервал [ 0, 2]
2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х

Задача 6. Вероятность того, что произвольная деталь из данной партии подойдет к собираемому узлу, равна 0,95. Найти вероятность того, что при сборке узла, состоящего из 200 деталей не подойдут а) 4 детали, б) от 5 до 7 деталей.

Задача 7. Для определения величины зерна стали в изготавливаемой партии деталей, на каждой детали подсчитывалось' количество зерен, видимых в поле зрения микроскопа при увеличении в сто раз (в шт.):

111
115
121
99
144
99
127
125
134
131
105
142

121
123
110
118
117
111
140
127
114
98
120
122

144
104
127
120
122
117
119
98
103
110
145
125

118
98
102
110
114
129
126
118
122
98
109
97

114
111
117
109
114
127
133
138
102
113
126
122

101
108
113
122
117
100
133
126
108
126
107
113

107
121
123
132
133
116
121
129
112
131
138
112

131
111
116
121
136
115
135
143
135
136
131
119

128
119
105
123



Длина интервала h=6.
·=0,05
·=0,95.
Провести статистическую обработку результатов испытаний
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 14.

Задача 1. На сборку поступают шестерни с трех автоматов. Первый автомат дает I5%, второй – 45%, третий – 40% шестерен, поступающих на сборку. Первый автомат допускает 0,2% брака шестерен, второй - 0,3%,третий – 0,4%.ю, Найти вероятность поступления на сборку бракованной шестерни.

Задача 2. В урне 6 черных и 4 белых шаров. Из урны извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что среди них будет 2 белых.

Задача 3. Имеется 6 человек. X - число родившихся в понедельник. Найти закон распространения X, М[Х] и D[X].

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
2
5
8

У
1
4
7

Р
0,25
0,15
0,6

q
0,1
0,4
0,5

1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -2 1) Определить вероятность попадания значения
f (X)= 13 EMBED Equation.3 1415 при -2 < X
· 2 случайной величины Х в интервал [-1, 1]
0 при Х > 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора равна 0,18. Определить вероятность того, что за время Т из 160 конденсаторов выйдут из строя а) 30, б) от 20 до 35.

Задача 7. Определялось временное сопротивление
·в у 100 шт. образцов бронзы марки БрОЦ4-3 (в кгс/мм 2):
31,9
32,5
30,5
32,9
30,0
31,2
30,9
30,0
30,7
33,2
31,7
31,5

30,1
30,1
30,1
31,5
31,9
32,5
31,3
32,8
32,1
30,5
30,6
30,2

31,7
32,1
32,4
32,7
32,5
33,0
3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Длина интервала h=0,4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.






МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 15.

Задача 1. В ящике имеется 45 деталей. Из них на первом станке изготовлено 12 деталей, на втором - 15 и на третьем 18 деталей. Для сборки узла детали вынимаются из ящика последовательно одна за другой. Какова вероятность того, что во второй раз будет извлечена деталь, изготовленная на третьем станке.

Задача 2. В колоде 36 карт. Берется 5 карт. Найти вероятность того, что они пики.

Задача 3. Найти вероятность отказа цепи, если вероятности отказа элементов соответственно равны q1=0,02; q2==0,02; q3=0,02, q4=0,02.
Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
-3
1
4

У
2
0
3

Р
0,4
0,1
0,5

q
0,2
0,5
0,3


1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
·
· 1) Определить вероятность попадания значения
f(x)= -cos x при
· < X
· 13 EMBED Equation.3 1415 случайной величины Х в интервал 13 EMBED Equation.3 1415
0 при Х > 13 EMBED Equation.3 1415 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. Вероятность наступления события при одном испытании равна 0,25. С помощью формул Лапласа найти вероятности того, что при 300 испытаниях событие наступит: а) 78 раз, б) не более 78 раз.

Задача 7. Измерялось давление газа в рабочей камере, при котором срабатывает предохранительный клапан редуктора для аргона, при этом были получены следующие результаты ( в кгс/ см2):

1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Длина интервала h=0,4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 16.

Задача 1. Два завода изготовляют одинаковые детали, первый завод производит 55% деталей 1-го класса точности, 40% - 2-го класса точности, 5% - 3-го класса точности. Второй завод производит соответственно: 28% деталей 1-го класса точности, 25% - второго класса точности и 47% - 3-го класса точности.
Вероятность того, что взятая наугад деталь окажется 2-го класса точности равна 0,31. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется 1-го класса точности.

Задача 2. 32 карты из 36 розданы четырем игрокам. 4 карты лежат в прикупе. Найти вероятность, что все они тузы.

Задача 3. В урне 7 черных и 3 белых шаров. Из урны извлекают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них будет 1 белый.

Задача 4. Некоторая случайная величина Х может принимать два значения Х1 и Х2 с вероятностями 0,4 и 0,6. Найти эти значения, если известно, что М(Х)=5,4 и D(Х)=19,44 и что Х1 + X2 < 10.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 случайной величины Х в интервал 13 EMBED Equation.3 1415
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. Вероятность рождения мальчика равна 0,51,а девочки 0,49. С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что среди 300 новорожденных окажется: а) 150 мальчиков; б) не менее 150 мальчиков.

Задача 7. При испытаниях образцов хромо-никелевой стали, были подучены следующие значения ударной вязкости (кгм/cм2):

4,2
4,9
4,7
4,3
4,0
5,2
5,8
5,0
4,6
4,6
3,9
4,4
4,1

4,3
5,1
4,8
4,2
4,5
5,
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Длина интервала h=0,4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 17.

Задача 1. У сборщика 12 деталей. Из них 11 со знаком качества. Для сборки узла сборщик берет случайным образом 2 детали. Какова вероятность того, что обе они будут со знаком качества.

Задача 2. 32 карты из 36 розданы четырем игрокам. 4 карты лежат в прикупе. Найти вероятность, что все они тузы.

Задача 3. В урне 7 черных и 3 белых шаров. Из урны извлекают 4 шаров. Найти вероятность того, что среди них будет 1 белый.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
2
5

У
-3
0
4

Р
0,8
0,2

q
0,2
0,3
0,5

1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· 3 1) Определить вероятность попадания значения
f (х)= ј (Х – 3) при 3 < Х
· 5 случайной величины Х в интервал [5, 6]
ј (7 – Х) при 5 < Х
· 7 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
0 при Х > 7 случайной величины X.

Задача 6. Вероятность разладки станка после определенного времени работы равна 0,6. С помощью формул Лапласа найти вероятность разладки к указанному времени из 90 станков: а) 55 станков; б) не более 50.

Задача 7. При испытании на изгиб образцов из сплава АМг6Т, сваренных аргонодуговой сваркой были получены следующие значения угла загиба (до появления трещины) (в градусах):
152
148
158
129
155
165
129
137
152
158
155
164

171
157
152
145
143
155
151
147
142
136
130
139

154
147
157
164
161
154
145
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Длина интервала h=6.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.

МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 18.

Задача 1. Имеются две партии деталей. В первой партии - 100 шт., во второй - 150 штук. Известно, что в первой партии одна бракованная деталь, а во второй - две. Изделие, взятое наугад из первой партии, переложено во вторую. Определись вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

Задача 2. В урне 5 черных и 3 белых шара. Шары достают по одному, до появления черного. Случайная величина Х - число белых шаров, оставшихся в урне. Найти закон распределения случайной величины X, ее математическое ожидание - М[Х] и дисперсию D[X].

Задача 3. В колоде 36 карт. Берется 2 карты. Найти вероятность того, что они пики.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
-3
2
4

У
1
5

Р
7/12
1/12
1/3

q
2/5
3/5


1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М (Х + У) и дисперсию Д (Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -2 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при –2·2 случайной величины Х в интервал [-1, 1]
0 при Х > 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. При массовом производстве шестерен вероятность брака при штамповке равна 0,1. Какова вероятность того, что из 400 наугад .взятых шестерен будут бракованными: ровно 50 шестерен; от 25 до 60.

Задача 7. При определении пропускной способности редуктора типа АР-150 для аргона, были получены следующие результаты (в л/мин):


·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 19.

Задача 1. 4 станка выпускают одинаковые детали. Первый станок выпускает 40% всех деталей, второй – 25%, третий – 15% и четвертый – 20%. Брак соответственно составляет 0,08; 0,1; 0,06; 0,1. Какова вероятность того, что среди выбранных наугад 5 деталей окажется не свыше одной бракованной.

Задача 2. 36 карт розданы четырем игрокам. Найти вероятность того, что у первого игрока окажутся карты одного цвета.

Задача 3. Имеются 2 стрелка. У каждого по 2 патрона. Стрелки стреляют по очереди до первого поражения мишени. Для первого стрелка вероятность попадания равна 0,6, для второго – 0,5. Случайная величина Х - число истраченных патронов. Найти закон распределения случайной величины X, ее математическое ожидание - М[Х] и дисперсию D[X].

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
-1
0
1

У
1
2
3

Р
0,2
0,3
0,5

q
0,1
0,6
0,3


1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -2 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при -2 < X
· 2 случайной величины Х в интервал [0 , 1]
0 при Х > 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. При некотором испытании вероятность положительного исхода равна 1/3. С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что при 135 испытаниях будут получены: а) 45 положительных исходов; б) от 45 до 55 положительных исходов.

Задача 7. Измерялась энергия светового излучения при вспышке импульсной лампы ИФП-800, при этом были получены следующие результаты (в Дж):
795
800
787
779
799
810
784
790
795
778
801
783

797
800
788
784
800
783
798
804
779
780
789
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 20.

Задача 1. Два завода производят подшипники. Завод №1 выпускает 70% подшипников, соответствующих I группе ГОСТа, а завод №2 выпускает 80% таких подшипников. На сборку поступило 3000 подшипников с завода №1 и 2000 - с завода №2. Какова вероятность того, что первый взятый сборщиком подшипник будет соответствовать I группе ГОСТа?

Задача 2. В урне 6 черных и 4 белых шаров. Из урны извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них будет 2 белых.

Задача 3. Имеется 3 человека. X - число родившихся в понедельник. Найти закон распространения Х, М[Х] и Д[Х].

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
-3
1
4

У
2
0
3

Р
0,4
0,1
0,5

q
0,2
0,5
0,3


1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -1 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 1 – |X| при -1
· X
· 1 случайной величины Х в интервал [13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415]
0 при Х > 1 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,05. С помощью теорем Лапласа найти вероятности того, что в партии из 180 деталей число бракованных деталей окажется: а) равно 10 и б) не менее 15.

Задача 7. При определении удельного расхода корундового шлифовального круга при шлифовке стальных деталей (отношение изношенного объема круга в мм3 к объему сошлифованного металла в мм3) были получены следующие результаты:
0,716
0,720
0,714
0,708
0,722
0,724
0,717
0,719
0,704
0,716
0,718
0,712

0,728
0,711
0,707
0,714
0,715
0,702
0,723
0,709
0,724
0,718
0,717
0,714

0,727
0,703

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 21.

Задача 1. Вытачивается деталь прибора в виде прямоугольного параллелепипеда. Деталь считается годной, если отклонение размера каждого из ребер от заданного чертежом не превышает 0,01. Вероятность отклонений превышающих 0,01 составляет по длине Р1 = 0,06, по ширине Р2 = 0,1, по высоте Р3 = 0,11. Найти вероятность непригодности детали.

Задача 2. Три завода выпускают однотипную продукцию. Мощность первого завода вдвое меньше мощности второго, мощность второго вдвое меньше мощности третьего. Продукция поступает на общий склад. Процент брака для первого завода 15%, второго - 10%, третьего 5%. Найти вероятность того, что случайно взятое со склада изделие будет бракованным.

Задача 3. В колоде 36 карт. Берется 3 карт. Найти вероятность того, что они пики.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
2
5

У
-3
0
4

Р
0,8
0,2

q
0,2
0,3
0,5


1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· 0 1) Определить вероятность попадания значения
f (х)= Х при 0 < Х
· 1 случайной величины Х в интервал [0,5; 1,5]
2 – Х при 1 д Х
· 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
0 при Х ь 2 случайной величины X.


Задача 6. Вероятность появления события при одном испытании равна 1/6. Каковы вероятности появления события: а) 25 раз, б) не менее 20 и не свыше 25 раз, если дисперсия числа появления события равна 20.

Задача 7. Измерение высоты неровностей на поверхности вала после его обточки на токарном станке дало следующие результаты (в мкм):
284
290
281
287
288
292
278
293
296
272
300
266

278
285
286
292
263
306
300
295
283
281
288
277

285
271
295
299
310
264
267
281
296
302
290
284

287
273
289
268
292
265
290
288
286
305
283
286

289
277
291
283
280
277
291
289
280
304
282
288

289
265
309
275
287
308
269
280
289
290
294
293

270
287
265
284
279
291
276
294
271
297
301
285

298
276
297
309
303
282
301
279
302
274
308
295

288
289
281
285



Длина интервала h=6.
Провести статистическую обработку результатов испытаний
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 22.

Задача 1. Круглый диск двумя диаметрами разбит на 4 сектора. Два противоположных сектора окрашены в зеленый цвет и дуги каждого из них равны радиусу. Остальные два сектора окрашены в синий цвет. Диск приводится в быстрое вращение. Какова вероятность того, что при пяти попаданиях в диск три раза будут поражены секторы зеленого цвета?

Задача 2. В урне 7 черных и 3 белых шаров. Из урны извлекают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них будет 2 белых.

Задача 3. Имеется 4 человека. Х - число родившихся в понедельник. Найти закон распространения X, М[Х] и D[Х].

Задача 4. Вероятность опоздания ежедневного поезда на некоторой станции равна 0,2. Составить ряд распределения для числа опозданий этого поезда в течение недели, найти математическое ожидание числа опозданий, а также его среднее квадратическое отклонение.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· 0 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 3x2 при 0 < Х
· 1 случайной величины Х в интервал [1/4, 1/2]
0 при Х > 1 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. В данном водохранилище вероятность убыли воды за день выше нормы равна 0,25. С помощью теорем Лапласа найти вероятность того, что в течение не меньше чем 70 дней из 90 убыль воды будет в пределах нормы; вероятность того, что в течение ровно 68 дней убыль воды будет в пределах нормы.

Задача 7. Измерение высоты неровностей на поверхности детали, обработанной на фрезерном станке, дало следующие результаты (в мкм):

47
49
45
51
42
53
35
57
29
60
26
47

64
58
49
51
54
45
36
42
29
71
66
30

63
57
50
48
70
45
40
48
57
28
55
47

58
49
60
52
46
44
37
69
37
43
42
46

50
58
33
62
63
68
50
58
43
47
27
61

31
60
49
64
54
52
66
45
67
39
74
40

71
44
28
37
71
68
55
48
72
27
73
54

61
58
32
46
48
56
69
47
58
50
49
52

43
37
38
62



Длина интервала h=6.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.

МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 23.

Задача 1. Для контроля продукции из трех партий деталей взята одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной детали, если вероятность бракованной детали в одной партии - 0,03, а в двух других партиях все детали доброкачественные.

Задача 2. В тираже спортлото 5 из 36 участвуют 1.000.000 человек. Найти вероятность того, что в пять цифр угадали - 0 человек.

Задача 3. У стрелка 5 патронов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,5. Стрельба ведется до первого попадания. Случайная величина Х - число истраченных патронов. Найти закон распределения случайной величины X, ее математическое ожидание - М[Х] и дисперсию D[X].

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
-3
-1
1

У
-2
0
3

Р
0,4
0,3
0,3

q
0,3
0,2
0,5


1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -1 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при –1·1 случайной величины Х в интервал [-1/2 , 0]
0 при Х > 1 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. Вероятность изготовления нестандартной детали при штамповкеравна 0,5, С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что из 200 деталей: а) будет 50 нестандартных деталей, б) не менее 60 нестандартных деталей.

Задача 7. При определении удельного расхода электроэнергии при электроконтактной резке стальных листов были получены следующие результаты (в квт.ч. на кг металла, удаленного из полости реза, квт.г/кг)
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Длина интервала h=6.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.


МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 24.

Задача 1. Наладчик обслуживает одновременно 3 автоматических станков. Вероятность того, что в течение часа станки будут работать без остановки, равна соответственно 0,95, 0,90 и 0,92. Найти вероятность того, что в течение часа остановятся два станка.

Задача 2. 36 карт розданы четырем игрокам. Найти вероятность того, что все шестерки окажутся у первого игрока.

Задача 3. Найти вероятность отказа цепи, если вероятности отказа элементов соответственно равны q1=0,05; q2=0,05; q3=0,05; q4=0,05.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
1
0
2

У
-2
0
1

Р
0,3
0,4
0,3

q
0,5
0,4
0,1

1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 случайной величины Х в интервал 13 EMBED Equation.3 1415
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. Вероятность появления некоторого события при одном испытании равна 0,18. С помощью формул Лапласа найти при 200 испытаниях вероятности события: а) 40 раз, б) не свыше 30 раз.

Задача 7. Определение временного сопротивления
·в при испытании стали Ст5пс на растяжение дало следующие результаты (в кгс/мм2):
51,1
52,3
53,5
50,0
59,0
83,0
53,5
53,8

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Длина интервала h=1,2.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 25.

Задача 1. Два станка выпускают одинаковые детали. Первый - 400 штук, второй - 600 штук за смену. Вероятность получения брака на первом станке равна 0,08, на втором – 0,05. Детали с обоих станков в случайной порядке поступают на сборку. Какова вероятность того, что произвольно взятая деталь окажется бракованной?

Задача 2. Найти вероятность отказа цепи, если вероятности отказа элементов соответственно равны q1=0,02; q2=0,01; q3=0,02; q4=0,01.

Задача 3. 36 карт розданы четырем игрокам. Найти вероятность того, что у первого игрока окажутся карты одной масти.

Задача 4. Случайная величина Х может принимать два положительных значения х1 и х2 с вероятностями 0,8 и 0,2. Найти эти значения, если известно, что М(Х) = 4,6 и D(Х) = 27,04.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
Ѕ l x при х
· 0 1) Определить вероятность попадания значения
f(x)= Ѕ l –х при х > 0 случайной величины Х в интервал [0, Ѕ ]
2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. Вероятность получения стандартной детали при штамповке равна 0,9. С помощью теорем Лапласа найти вероятности получения из 1600 деталей: а) 150 нестандартных деталей, б) от 150 до 165 нестандартных деталей.

Задача 7. При испытании на сдвиг двух склеенных между собой винипластовых деталей, были получены следующие значения удельного сопротивления (кгс/мм2):
67,9
66,0
68,1
63,7
62,0
72,1
60,0
62,2
70,0
71,7
73,5
69,8

61
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Длина интервала h=2.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.

МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 26.

Задача 1. У сборщика 130 деталей, причем размеры двух из них не удовлетворяют нормам ГОСТа. Для сборки узла сборщик берет случайным образом две детали. Какова вероятность того, что они будут удовлетворять нормам ГОСТа.

Задача 2. Имеются карточки с цифрами от 1 до 9 синего цвета. Имеются карточки с цифрами от 1 до 5 зеленого цвета. Из каждого цвета берут по одной карточке и кладут в произвольном порядке. Найти вероятность того, что полученное число будет черным.

Задача 3. Найти вероятность отказа цепи, если вероятности отказа элементов соответственно равны q1=0,01; q2=0,02; q3=0,01; q4=0,01.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
-3
0
2

У
1
5

Р
0,3
0,4
0,3

q
0,8
0,2

1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М (Х + У) и дисперсию Д (Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
е X–2 при Х
· 2 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 0 при Х > 2 случайной величины Х в интервал [0, 2 ]
2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. Вероятность получения брака на некотором станке равна 0,08. С помощью формул Лапласа найти вероятности получения из 600 изготовленных деталей: а) 50 бракованных деталей, б) от 42 до 54 бракованных деталей.

Задача 7. Через равные промежутки времени записывалось напряжение сети с номинальным напряжением 220 В в сельской местности, при этом были получены следующие значения напряжения (в вольтах):

210
214
202
222
198
212
210
218
226
223
214
217

215
221
213
225
212
209
228
205
211
208
206
199

222
216
214
210
212
208
223
202
207
209
201
215

197
220
216
213
209
205
208
219
220
215
214
219

211
210
209
226
208
203
197
215
213
196
200
203

227
208
213
224
211
217
206
204
227
218
216
196

209
212
210
218
201
210
199
214
211
219
197
204

201
207
209
205
212
207
213
208
215
206
216
211

207
212
221
217



Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.

МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 27.

Задача 1. Электронная цепь между точками М и N составлена из элементов 1,2,5 по схеме:

Выход из строя различных элементов цепи за время Т - независимые события, имеющие следующие вероятности: Р1 = 0,6; Р2 = 0,4; Р3 = 0,7. Определить вероятности разрыва цепи за указанный промежуток времени.

Задача 2. Имеется 5 человек. Случайная величина Х - число родившихся в понедельник. Найти закон распределения случайной величины X, ее математическое ожидание - М[Х] и дисперсию D[X].

Задача 3. В колоде 36 карт. Берется 4 карт. Найти вероятность того, что они пики.

Задача 4. Случайная величина Х может принимать значения -5; 1 и 6. Найти вероятности этих значений, если М (X) = 1,3 и D(Х) =14,61.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· 1 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при Х > 1 случайной величины Х в интервал [1,5; 2,5 ]
2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. Вероятность наступления события равна 0,72. С помощью формул Лапласа найти вероятности того, что событие наступит: а) в 85 случаях из 125, б) от 88 до 95 случаев из 125.

Задача 7. При измерении диаметра лунки, образующейся на поверхности стальной детали под действием единичного импульса при электроэрозионной обработке, были получены следующие результаты (в мм):
1,48
1,49
1,52
1,41
1,42
1,47
1,44
1,45
1,50
1,51
1,43
1,47

1,55
1,53

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Длина интервала h=0,02.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 28.

Задача 1. На шести карточках написаны буквы Е, Л, К, Я, Ц, И. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово "ЛЕКЦИЯ".

Задача 2. В первой урне 7 белых и 5 черных шаров, во второй 3 белых и 2 черных. Из первой урны во вторую перекладывают один шар. Из второй урны после этого вынимают шар. Найти вероятность того, что он будет белым.

Задача 3. В урне 6 белых и 2 черных шара. Из урны вынимают последовательно шары до появления белого. Найти закон распределения случайной величины X, где
· ".¬
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·гХ - число вынутых шаров. Найти М[Х] и D[X].

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:
Х
-1
0
1

У
0
1
2
3

Р
0,2
0,3
0,5

q
0,1
0,2
0,3
0,4

1) Составить ряд распределения суммы случайных величин Х и У;
2) Найти математическое ожидание М(Х + У) и дисперсию Д( Х + У) суммы этих величин двумя способами: а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· 12 1) Определить вероятность попадания значения
f(X)= 13 EMBED Equation.3 1415 при 12 < X
· 38 случайной величины Х в интервал [16, 30]
0 при Х > 38 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. Вероятность получения детали, не требующей дальнейшей обработки 0,4. Произвели 80 деталей. Какова вероятность того, что из них не потребуют дальнейшей обработки: а) 30 штук, б) не менее 30 штук?

Задача 7. Измерение величины износа 100 шт. чугунных тормозных колодок за месяц, дало следующие результаты: (в мм)
12,2
12,5
11,8
12,7
12,3
12,0
11,8
11,1
11,5
12,5
12,9
13,1

12,8
12,7
12,4
12,2
12,7
12,8
13,1
13,4
14,1
13,8
12,8
12,6

12,5
12,3
12,0
11,6
13,8
14,0
12,6
12,0
11,1
12,1
11,8
11,1

12,8
13,4
14,0
13,7
12,5
13,1
13,4
13,0
12,2
111,5
13,3
12,2

11,5
11,8
12,3
12,5
13,0
13,3
11,1
11,5
11,7
12,3
11,0
11,4

12,1
11,7
11,0
12,4
12,8
13,7
14,2
13,6
13,0
12,5
11,3
11,7

11,2
12,3
12,4
13,2
12,5
11,6
12,4
12,8
13,2
12,4
11,9
12,9

12,2
13,5
11,2
11,9
12,2
12,5
12,9
13,2
14,0
13,5
12,5
13,2

13,6
13,9
13,6
12,8



Длина интервала h=0,4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.





МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 29.

Задача 1. Два завода производят подшипники. Завод №1 выпускает 70% подшипников, соответствующих I группе ГОСТа, а завод №2 выпускает 80% таких подшипников. На сборку поступило 3000 подшипников с завода №1 и 2000 - с завода №2. Какова вероятность того, что первый взятый сборщиком подшипник будет соответствовать I группе ГОСТа?

Задача 2. В урне 6 черных и 4 белых шаров. Из урны извлекают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них будет 2 белых.

Задача 3. Имеется 3 человека. X - число родившихся в понедельник. Найти закон распространения Х, М[Х] и Д[Х].

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
-3
1
4

У
2
0
3

Р
0,4
0,1
0,5

q
0,2
0,5
0,3


1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -1 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 1 – |X| при -1
· X
· 1 случайной величины Х в интервал [13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415]
0 при Х > 1 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,05. С помощью теорем Лапласа найти вероятности того, что в партии из 180 деталей число бракованных деталей окажется: а) равно 10 и б) не менее 15.

Задача 7. При определении удельного расхода корундового шлифовального круга при шлифовке стальных деталей (отношение изношенного объема круга в мм3 к объему сошлифованного металла в мм3) были получены следующие результаты:
0,716
0,720
0,714
0,708
0,722
0,724
0,717
0,719
0,704
0,716
0,718
0,712

0,728
0,711
0,707
0,714
0,715
0,702
0,723
0,709
0,724
0,718
0,717
0,714

0,727
0,703
0,726
0,719
0,717
0,703
0,720
0,717
0,721
0,714
0,728
0,702

0,712
0,715
0,718
0,710
0,718
0,732
0,723
0,704
0,713
0,717
0,714
0,731

0,725
0,722
0,719
0,734
0,717
0,724
0,711
0,732
0,715
0,719
0,718
0,729

0,728
0,729
0,726
0,730
0,715
0,717
0,724
0,717
0,720
0,719
0,733
0,722

0,713
0,703
0,718
0,705
0,723
0,721
0,733
0,720
0,718
0,713
0,716
0,710

0,714
0,706
0,715
0,709
0,716
0,711
0,719
0,703
0,721
0,723
0,713
0,725

0,718
0,729
0,705
0,722









МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 30.

Задача 1. Для контроля продукции из трех партий деталей взята одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной детали, если вероятность бракованной детали в одной партии - 0,03, а в двух других партиях все детали доброкачественные.

Задача 2. В тираже спортлото 5 из 36 участвуют 1.000.000 человек. Найти вероятность того, что в пять цифр угадали - 0 человек.

Задача 3. У стрелка 5 патронов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,5. Стрельба ведется до первого попадания. Случайная величина Х - число истраченных патронов. Найти закон распределения случайной величины X, ее математическое ожидание - М[Х] и дисперсию D[X].

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
-3
-1
1

У
-2
0
3

Р
0,4
0,3
0,3

q
0,3
0,2
0,5


1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -1 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при –1·1 случайной величины Х в интервал [-1/2 , 0]
0 при Х > 1 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. Вероятность изготовления нестандартной детали при штамповкеравна 0,5, С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что из 200 деталей: а) будет 50 нестандартных деталей, б) не менее 60 нестандартных деталей.

Задача 7. При определении удельного расхода электроэнергии при электроконтактной резке стальных листов были получены следующие результаты (в квт.ч. на кг металла, удаленного из полости реза, квт.г/кг):

284
290
279
292
295
280
287
295
292
272
394
297

294
270
277
284
290
278
295
283
276
305
307
309

306
273
286
283
287
271
290
272
313
317
271
275

272
282
286
274
295
291
294
301
296
290
285
282

295
281
289
292
290
300
285
300
296
291
286
296

289
291
294
296
292
287
297
291
289
297
294
289

299
294
298
293
302
304
293
299
293
304
292
297

303
294
303
308
302
398
310
305
298
311
316
312

314
302
315
314



Длина интервала h=6.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.


МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 31.

Задача 1. Наладчик обслуживает одновременно 3 автоматических станков. Вероятность того, что в течение часа станки будут работать без остановки, равна соответственно 0,95, 0,90 и 0,92. Найти вероятность того, что в течение часа остановятся два станка.

Задача 2. 36 карт розданы четырем игрокам. Найти вероятность того, что все шестерки окажутся у первого игрока.

Задача 3. Найти вероятность отказа цепи, если вероятности отказа элементов соответственно равны q1=0,05; q2=0,05; q3=0,05; q4=0,05.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
1
0
2

У
-2
0
1

Р
0,3
0,4
0,3

q
0,5
0,4
0,1

1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 случайной величины Х в интервал 13 EMBED Equation.3 1415
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. Вероятность появления некоторого события при одном испытании равна 0,18. С помощью формул Лапласа найти при 200 испытаниях вероятности события: а) 40 раз, б) не свыше 30 раз.

Задача 7. Определение временного сопротивления
·в при испытании стали Ст5пс на растяжение дало следующие результаты (в кгс/мм2):
51,1
52,3
53,5
50,0
59,0
83,0
53,5
53,8
54,6
53,5
52,3
51,1

50,0
51,1
53,5
53,7
55,7
56,9
56,0
52,2
50,1
53,7
54,4
56,8

55,1
50,1
51,1
54,3
53,4
52,2
51,1
50,2
53,2
55,8
50,4
57,5

56,5
55,0
54,2
51,0
50,8
51,6
53,0
51,8
53,7
55,0
50,6
54,0

56,3
53,3
57,4
56,4
50,6
53,1
55,5
56,2
54,9
53,6
51,4
52,8

54,8
56,1
57,4
52,9
52,3
57,4
56,0
57,3
58,8
57,2
55,4
53,9

56,0
55,3
52,4
51,2
53,6
52,3
52,6
51,2
53,6
58,7
52,4
54,9

52,3
52,5
54,8
56,0
53,6
58,6
53,8
58,5
57,2
54,8
58,4
55,2

58,4
57,3
53,9
54,1


Длина интервала h=1,2.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 32.

Задача 1. Электрическая цепь между точками М и N составлена из элементов 1, 2, 3 по схеме
Выход из строя за время Т различных элементов цепи - независимые события, имеющие следующие вероятности.
элемент
1
2
3

вероятность
0,4
0,3
0,5

Определить вероятность того, что за указанный промежуток времени произойдет обрыв цепи.

Задача 2. Стрелок имеет 4 патрона и ведет стрельбу до первого поражения мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,5. Найти закон распределения случайной величины X, где Х - число истраченных патронов. Найти M[X] и D[X].

Задача 3. Найти вероятность того, что из ста человек менее 24 родились летом.

Задача 4. Возможные значения случайной величины равны 0,3 и 7. Математическое ожидание случайной величины равно 3,6, а дисперсия 6,24. Найти вероятности, соответствующие этим возможным значениям.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 случайной величины Х в интервал 13 EMBED Equation.3 1415
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. Вероятность 240 появлений события при n испытаниях равна 0,03324. Какова вероятность появления события при одном испытании, если дисперсия числа появлений события равна 144; каково число испытаний ?

Задача 7. Взвешивание 100 деталей, отлитых в земляные формы, дало следующие результаты (в граммах):
653 655 654 659 661 665 661 657 659 649 664 669

664 645 649 661 657 669 655 641 657 658 645 641

653 655 659 656 649 652 659 671 665 658 656 649

641 648 663 661 655 641 652 656 668 654 645 659

647 649 644 652 658 651 643 655 661 662 666 660

654 642 647 641 651 655 658 663 667 670 653 642

646 649 653 657 649 650 653 654 658 660 667 670

660 650 662 670 665 662 655 653 640 654 672 670

666 662 657 660

Длина интервала h= 4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 33.

Задача 1. Наладчик обслуживает одновременно 5 независимо работающих станков. Вероятности того, что в течение часа станки будут работать без остановки, равны соответственно: 0,95; 0,84; 0,8; 0,9I; 0,92. Найти вероятность того, что хотя бы один станок в течение часа остановится.

Задача 2. В первой урне 4 черных и 2 белых шара, во второй 2 белых и 2 черных. В первый раз из случайно выбранной урны берут 1 шар. Во второй раз из случайно выбранной урны берут 1 шар. Найти вероятность, что оба вынутых шара белые.

Задача 3. Два человека договорились встретиться в течении часа. При этом пришедший ждет своего товарища 20 минут и уходит. Найти вероятность встречи.

Задача 4. При изготовлении некоторой детали вероятность брака равна 0,3. Составить ряд распределения для числа бракованных деталей из взятых наугад пяти деталей, найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этого распределения.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -2 1) Определить вероятность попадания значения
f (х)= -Х/4 при -2 < Х
· 0 случайной величины Х в интервал [-1, 1]
Х/4 при 0 < Х
· 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
0 при Х > 2 случайной величины X.

Задача 6. Вероятность наступления события при одном испытании равна 0,4. С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что при 120 испытаниях событие наступит: а) 40 раз; б) не менее 40 раз.

Задача 7. Измерение длины заготовок из прутка диаметром 20 мм дало следующие результаты (в мм):

808
812
815
804
816
807
814
820
800
822
810
815
813

817
809
807
821
830
803
812
817
819
807
802
813
809

799
800
808
814
818
816
820
822
810
806
798
809
811

818
824
827
815
808
805
813
804
811
814
816
813
817

828
823
816
820
812
802
809
814
815
816
819
815
801

826
825
814
823
811
801
818
828
813
816
802
815
816

812
829
817
826
813
808
820
817
804
811
803
829
821

819
828
827
807
809
805
806
815
824



Длина интервала h=4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.

МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 34.

Задача 1. В механизм входят две одинаковые детали. Работа механизма нарушается, если при его сборке детали будут иметь нестандартные размеры. У сборщика 112 деталей, из которых четыре нестандартные. Найти вероятность правильной работы первого собранного из этих деталей механизма, если сборщик берет детали наудачу.

Задача 2. В урне 4 черных и 5 белых шаров. Из урны извлекают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них будет 2 белых.

Задача 3. Имеется 6 человек. Х - число родившихся летом. Найти закон распространения X, М[Х] и D[X].

Задача 4. В лотерее из 1000 билетов разыгрываются три вещи, стоимости которых 210, 60 и 50 руб. Составить закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего один билет. Найти математическое ожидание и дисперсию суммы выигрыша.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· 2 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при 2 < X
· 6 случайной величины Х в интервал [3 , 5]
0 при Х > 6 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. Вероятность того, что размер подшипника, поступившего на сборку, удовлетворяет 3-й группе ГОСТа, равна 0,55. С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что 150 подшипников поступивших на сборку, имеют размер, удовлетворяющий 3-й группе ГОСТа: а) 50 подшипников, б) не свыше 55 подшипников.

Задача 7. Определение содержания марганца по плавочному анализу ковшовой пробы в 100 плавках стали БСт5кп дало следующие результаты (в %):

0,54
0,56
0,58
0,52
0,50
0,46
0,60
0,62
0,65
0,42
0,40
0,57

0,66
0,70
0,62
0,65
0,62
0,60
0,58
0,46
0,50
0,40
0,42
0,53

0,60
0,58
0,66
0,70
0,42
0,46
0,52
0,53
0,65
0,59
0,72
0,69

0,59
0,61
0,57
0,55
0,49
0,64
0,57
0,55
0,72
0,52
0,49
0,60

0,41
0,64
0,45
0,53
0,57
0,68
0,62
0,59
0,51
0,50
0,43
0,47

0,53
0,54
0,66
0,55
0,53
0,70
0,41
0,56
0,55
0,41
0,71
0,67

0,54
0,48
0,45
0,56
0,63
0,56
0,53
0,57
0,63
0,59
0,67
0,61

0,47
0,59
0,41
0,61
0,59
0,53
0,55
0,51
0,56
0,53
0,55
0,48

0,52
0,44
0,56
0,57



Длина интервала h=0,04.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.

МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 35.

Задача 1. В круг радиуса вписан квадрат. Какова вероятность того, что из 5 независимо и случайной поставленных внутри круга точек, две точки окажутся внутри квадрата?

Задача 2. В колоде 36 карт. Берется 2 карты. Найти вероятность того, что они черного цвета.

Задача 3. В тираже спортлото 5 из 36 участвуют 1.000.000 человек. Найти вероятность того, что все пять цифр угадали 4 человека.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
-3
-1
1

У
-2
0
3

Р
0,4
0,3
0,3

q
0,3
0,2
0,5

1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 случайной величины Х в интервал 13 EMBED Equation.3 1415
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. Вероятность того, что произвольная деталь из данной партии подойдет к собираемому узлу, равна 0,85. Найти вероятность того, что при сборке узла, состоящего из 200 деталей, не подойдут к собираемому узлу: а) 40 деталей, б) от 35 до 45 деталей.

Задача 7. Определение временного сопротивления
·в при испытании на растяжение образцов из сплава АМг 5П дало следующие результаты (в кгс/мм2):

27,8
28,5
29,5
30,4
31,5
32,8
30,3
27,8
28,5
26,8
27,8
29,2

29,2
28,4
30,3
30,0
31,4
31,0
30,2
30,9
29,5
28,2
27,6
29,2

29,5
28,9
27,5
26,6
30,2
30,8
31,3
32,8
31,2
30,7
28,2
27,4

26,4
28,8
29,2
30,1
31,0
32,6
31,1
29,4
28,0
27,2
28,2
29,4

32,4
31,2
30,6
29,8
28,1
26,2
27,2
28,1
29,1
30,5
31,9
32,4

29,1
28,7
27,0
26,2
28,6
29,0
30,1
29,3
31,1
33,3
30,1
25,7

28,7
25,8
29,3
25,9
31,8
32,2
33,4
30,5
29,2
28,6
25,6
26,0

28,9
32,2
33,0
32,0
30,4
29,0
27,0
25,5
29,7
29,0
29,6
29,8

33,5
33,2
33,5
29,2



Длина интервала h=1,0.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.

МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 36.

Задача 1. Электрическая цепь между точками M и N составлена из элементов I, 2 и 3 по схеме
Выход из строя различных элементов цепи за время Т - независимые события имеющие следующие вероятности: Р1 = 0,7; Р2 =0,4; P3 = 0,8. Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

Задача 2. Имеется 20 денежных купюр. Из них 2 фальшивые. Двум клиентам выдали по 10 купюр. Какова вероятность, что фальшивые купюры оказались у одного клиента.

Задача 3. Имеется 6 человек. X - число родившихся в мае. Найти закон распространения X, М[Х] и D[X].

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
-1
0
1

У
1
2
3

Р
0,2
0,3
0,5

q
0,1
0,6
0,3

1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. . Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
1) Определить вероятность попадания значения случайной величины в интервал [ 0, 2]
2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х

Задача 6. Вероятность изготовления годной детали равна 0,8. Произведено 500 деталей. Какое число годных деталей вероятнее получит. а) менее 390, б) или от 390 до 410 ?

Задача 7. Определение содержания марганца по плавочному анализу ковшовой пробы в 100 плавках стали Б Ст 5сп дало следующие результаты (в % ):

0,64
0,62
0,68
0,72
0,59
0,52
0,76
0,66
0,60
0,56
0,70
0,68

0,66
0,50
0,62
0,60
0,72
0,70
0,64
0,61
0,63
0,66
0,58
0,79

0,75
0,69
0,67
0,82
0,58
0,55
0,65
0,67
0,51
0,69
0,75
0,82

0,54
0,57
0,69
0,53
0,71
0,58
0,74
0,79
0,70
0,73
0,56
0,59

0,66
0,64
0,68
0,63
0,76
0,61
0,57
0,65
0,67
0,78
0,73
0,50

0,74
0,61
0,77
0,65
0,66
0,71
0,68
0,52
0,68
0,63
0,57
0,63

0,66
0,74
0,64
0,77
0,80
0,73
0,81
0,63
0,53
0,80
0,68
0,81

0,71
0,80
0,67
0,65
0,50
0,67
0,56
0,60
0,67
0,62
0,77
0,51

0,61
0,62
0,62
0,59



Длина интервала h=0,04.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.

МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 37.

Задача 1. Брак в продукции литейного цеха с механическими повреждениями составляет 6%, причем среди продукции с механическими повреждениями в 4% случаев встречаются трещины, а в продукции без механических повреждений трещины встречаются в 1% случаев. Найти вероятность обнаружить трещины в наугад взятой отливке.

Задача 2. В урне 4 черных и 6 белых шаров. Из урны извлекают 4 шаров. Найти вероятность того, что среди них будит 2 белых.

Задача 3. Найти вероятность того, что из 1461 человека 29 февраля родилось 2 человека.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
0
2
4

У
0
2

Р
1/4
1/2
ј

q
1/3
2/3


1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М (Х + У) и дисперсию Д (Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -2 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при –2·2 случайной величины Х в интервал [1 , 13 EMBED Equation.3 1415]
0 при Х > 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. Вероятность изготовления годной детали равна 0,8. Произведено 500 деталей. Какое число годных деталей вероятнее получить: а) менее 390, б) от 390 до 410 ?

Задача 7. Определение содержания марганца по плавочному анализу, ковшовой пробы в 100 плавках стали Б Ст Зкп дало следующие результаты (в %):

0,44
0,47
0,42
0,36
0,48
0,52
0,32
0,39
0,30
0,45
0,50
0,56

0,60
0,48
0,44
0,40
0,31
0,35
0,39
0,55
0,59
0,41
0,62
0,39

0,34
0,38
0,51
0,49
0,45
0,55
0,41
0,38
0,46
0,51
0,54
0,45

0,43
0,46
0,44
0,51
0,41
0,38
0,40
0,36
0,42
0,45
0,47
0,50

0,52
0,60
0,56
0,50
0,44
0,42
0,31
0,37
0,41
0,43
0,45
0,47

0,37
0,40
0,44
0,48
0,53
0,49
0,46
0,45
0,33
0,41
0,43
0,46

0,47
0,45
0,49
0,51
0,51
0,53
0,40
0,33
0,46
0,45
0,48
0,50

0,49
0,51
0,57
0,53
0,57
0,60
0,58
0,61
0.54
0,52
0,45
0,30

0,32
0,43
0,30
0,32



Длина интервала h=0,04.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.


МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 38.

Задача 1. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями Р1, Р2 и Р3 , где Р1 = Р3 = 0,25, Р2 = 0,5. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2 и 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.

Задача 2. В первой урне 6 белых, 4 черных шара. Во второй 3 черных, 2 белых шара. Из случайно выбранной урны взяли 2 шара и положили в третью урну. Найти вероятность, что он белый.

Задача 3. Найти вероятность отказа цепи, если вероятности отказа элементов соответственно равны q1=0,02; q2=0,04; q3=0,1; q4=0,01.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
2
5

У
-3
0
4

Р
0,8
0,2

q
0,2
0,3
0,5

1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М ( Х + У) и дисперсию Д ( Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· 0 1) Определить вероятность попадания значения
f (х)= Х при 0 < Х
· 1 случайной величины Х в интервал [0, 13 EMBED Equation.3 1415]
2 – Х при 1 < Х
· 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
0 при Х > 2 случайной величины X.

Задача 6. Вероятность появления события при одном испытании равна 0,2. Каковы вероятности появления события: а) 20 раз. б) не менее 20 раз, если математическое ожидание появлений события равно 16.

Задача 7. Определение содержания марганца по ллавочному анализу ковшовой пробы в 100 плавках стали БСт 5 Гсп дало следующие результаты (в %):

0,94
0,95
0,99
0,92
0,89
0,96
1,05
0,98
0,94
0,90
0,92
0,89

1,02
0,96
0,93
0,88
0,99
1,00
0,86
0,90
0,95
1,02
0,97
1,11

0,88
0,85
0,92
0,96
1,06
0,98
0,94
0,92
0,86
0,80
1,00
0,98

0,95
0,92
1,10
1,02
0,94
0,95
0,96
0,99
1,05
1,09
0,97
0,95

1,03
0,91
0,90
0,85
0,80
0,81
0,82
0,82
1,00
0,99
1,03
1,08

1,10
1,07
0,99
0,95
0,93
0,91
0,87
0,86
0,80
0,82
0,93
0,95

1,01
0,95
0,88
0,94
1,04
0,98
1,07
0,96
0,93
1,12
0,87
1,08

0,82
1,10
0,80
1,06
0,83
0,91
0,84
0,95
0,81
0,96
0,85
0,92

0,97
1,01
1,04
0,93



Длина интервала h=0,04.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 39.

Задача 1. Из 5 деталей, трем из которых присвоен знак качества, выбирается наугад одна деталь, а затем из оставшихся четырех - вторая деталь. Найти вероятность того, что будет взята деталь со знаком качества: а) в первый раз, б) во второй раз, в) в оба раза.

Задача 2. У стрелка 5 патронов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4. Стрельба ведется до первого попадания. Случайная величина Х - число патронов оставшихся после стрельбы. Найти закон распределения случайной величины X, ее математическое ожидание - М[Х] и дисперсию D[X].

Задача 3. В урне 6 белых, 4 черных шаров. Берется 5 шаров. Найти вероятность того, что они белые.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
-3
2
4

У
1
5

Р
7/12
1/12
1/3

q
2/5
3/5


1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М (Х + У) и дисперсию Д (Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· 0 1) Определить вероятность попадания значения
f (х)= -Х/4 при 0 < Х
· 1 случайной величины Х в интервал [0, 13 EMBED Equation.3 1415]
Х/4 при 1 < Х
· 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
0 при Х > 2 случайной величины X.

Задача 6. Вероятность поступления на сборку подшипников, размеры которых соответствуют 1-й группе ГОСТа, равна 1/7. Каковы вероятности того, что партия из 98 подшипников, содержит таких подшипников: а) 14 штук; б) не менее 14 штук.

Задача 7. Определение стойкости проходных резцов из стали Р9 при обточке стальных заготовок дало следующие результаты (в минутах):

49
51
50
47
49
54
56
52
50
47
46
44

53
57
51
49
48
53
46
43
55
42
57
51

52
49
47
48
46
45
49
45
43
55
53
54

51
49
50
47
48
46
44
42
44
48
47
50

49
51
52
53
52
50
49
47
45
49
42
49

43
54
55
51
56
52
49
50
47
51
48
46

42
45
49
52
51
42
44
45
42
46
47
48

49
50
49
51
53
56
47
58
56
54
57
49

58
55
54
48



Длина интервала h=2.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 40.

Задача 1. В партии деталей имеется 1% нестандартных деталей. Каков должен быть объем случайной выборки, чтобы вероятность встретить в ней хотя бы одну нестандартную деталь была не меньше 0,95?

Задача 2. К экзамену нужно выучить 30 вопросов студент выучил 20. Преподаватель спросил ? вопроса. Какова вероятность, что студент знает большинство вопросов.

Задача 3. Имеется 4 человека. Х - число родившихся в мае. Найти закон распространения X, М[X] и D[X].

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:

Х
-4
0
4

У
2
4

Р
0,25
0,5
0,25

q
0,5
0,5


1) составить ряд распределения суммы случайных величин Х + У;
2) найти математическое ожидание М (Х + У) и дисперсию Д (Х + У) суммы этих величин двумя способами:
а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -2 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при –2·2 случайной величины Х в интервал [0 ,1]
0 при Х > 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. Вероятность появления события при одном испытании равна 0,25 Каковы вероятности появления события: а) 35 раз, б) не менее 35 и не свыше 45 раз, если дисперсия числа появления события равна 30.

Задача 7. При испытании на сдвиг винипластовой пленки, приклеенной к металлу, были получены следующие значения (в кгс/мм2):

41,5
43,5
39,5
44,5
47
47,5
39
43,5
44,5
49
51,5
47,5

41,5
39
44,5
43,5
41,5
39,5
51,5
53,5
55
49
47
45,5

39,5
41,5
43
44,5
46,5
54,5
49,5
47,5
45,5
43
39,5
45,5

46,5
47,5
43,5
39,5
46,5
48,5
49,5
45
40
41
44,5
40,5

43,5
41
46,5
47,5
48,5
46
47,5
48,5
51
53
51
49,5

47,5
45
43,5
50,5
52,5
50,5
49,5
42,5
43
45
54,5
52,5

50
47,5
45
46
50
48
44
47
52
48
47
54

45
46
50
55
52
53
48
47
44
49
44
44

42
43
47
43,5



Длина интервала h=2.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.

МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 41.

Задача 1. На сборку поступают шестерни с трех автоматов. Первый автомат дает 25%, второй - 30% и третий - 45% шестерен, поступивших на сборку. Первый автомат допускает 0,1% брака шестерен, второй - 0,2%, третий - 0,3%. Найти вероятность поступления на сборку бракованной шестерни.
Задача 2. К экзамену нужно выучить 25 вопросов. Студент выучил 15. Преподаватель спрашивает 5 вопросов. Найти вероятность, что студент ответит на 4 вопроса.
Задача 3. В круг радиуса R бросают 6 точек. Найти вероятность того, что 3 из них попадут в квадрат, вписанный в круг.
Задача 4. Случайная величина Х принимает два возможных значения: X1 и Х2 с вероятностями Р1 и Р2 . Найти эти значения, если известно, что Р1 = 0,4, М(Х) = 4,2, Д(Х) = 0,96, а х1 < х2

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -2 1) Определить вероятность попадания значения
f(X)= 13 EMBED Equation.3 1415 при -2 < X
· 2 случайной величины Х в интервал [0, 1]
0 при Х > 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. Вероятность 40 появлений события при n испытаниях равна 0,057854 Какова вероятность появления события при одном испытании, еcли дисперсия числа появлений события равна 25,2? Каково число испытаний?

Задача 7. При испытании образцов из сплава Амг6Т на растяжение были получены следующие значения относительного удлинения (в %):
16,3 15,4 11,5 12,9 13,6 14,6 15,7 16,9 19,5 18,9 19,4 17,8

15,9 15,0 11,6 12,8 11,9 13,4 14,5 12,6 14,5 15,4 15,7 16,3

16,8 17,8 18,6 14,9 13,2 17,8 17,5 15,7 11,7 13,9 11,8 18,6

12,4 14,4 15,4 16,2 15,3 12,2 15,9 16,1 15,0 14,7 15,6 15,1

14,3 12,0 14,3 16,2 17,6 18,4 16,7 15,6 15,2 14,7 13,8 14,2

15,6 16,6 15,9 13,2 15,6 13,0 15,5 13,1 14,2 16,1 13,7 15,5

16,1 17,3 16,5 18,2 14,0 17,3 19,2 17,2 16,0 14,6 15,8 16,0

14,6 15,8 18,0 16,4 15,2 14,8 19,1 17,0 16,4 17,1 18,0 19,0

16,8 16,7 14,9 14,9


Длина интервала h =1,0.
Провести статистическую обработку результатов испытаний (по схеме, данной ниже).
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 42.

Задача1. Электрическая цепь между точками М и N составлена по схеме
разрыв цепи может произойти вследствие выхода из строя элементов. Выход из строя за время Т различных элементов цепи - независимые события, имеющие следующие вероятности
элемент
1
2
3
4

вероятность
0,3
0,4
0,7
0,6

Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

Задача 2. В колоде 36 карт. Последовательно берутся 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется по крайней мере один туз.

Задача 3. В первой урне 2 белых и б черных шаров, во второй 4 белых и 5 черных. Из случайно выбранной урны берут шар. Найти вероятность того, что он будет белым.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:
Х
0
2
4

У
3
6

Р
0,25
0,5
0,25

q
1/3
2/3

1) Составить ряд распределения суммы случайных величин Х и У;
2) Найти математическое ожидание М(Х + У) и дисперсию Д( Х + У) суммы этих величин двумя способами: а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.
Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 случайной величины Х в интервал 13 EMBED Equation.3 1415
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. Вероятность изготовления годной детали равна 0,8. Изготовлено 400 деталей. Какова вероятность того, что а) годных будет 336 деталей, б) не менее 336 деталей.

Задача 7. Определение содержания кремния по плавочному анализу ковшовой пробы в 100 плавках стали ЗОХГСА дало следующие результаты (в %)
0,97 1,00 1,03 1,07 0,89 0,93 0,97 1,00 0,88 0,93 0,97 1,00

1,02 1,2 1,11 1,06 0,91 0,96 1,00 1,04 0,92 0,96 0,99 1,17

1,2 1,03 0,89 0,95 1,03 0,88 0,97 0,89 1,06 1,01 1,02 0,89

1,11 1,19 0,99 1,01 0,95 1,02 1,04 1,05 1,08 1,04 0,94 1,15

1,20 1,15 0,98 0,97 1,10 1,13 1,18 0,99 1,12 0,90 1,10 1,01

0,94 0,98 1,04 1,00 0,97 1,14 1,06 1,04 0,91 1,12 1,03 1,06

1,12 1,07 1,10 1,05 1,00 1,08 1,15 1,06 1,10 1,18 1,14 1,05

1,11 1,07 1,20 1,14 0,93 1,01 1,05 1,05 1,07 1,05 1,08 1,05

1,07 1,08 1,07 1,16

Длина интервала h = 0,04.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 43.

Задача I. В партии, состоящей из 12 подшипников, имеется 3 подшипника 2-й группы ГОСТа. Наудачу выбираются 8 подшипников. Какова вероятность того, что среди них окажется 2 подшипника 2-й группы ГОСТа.

Задача 2. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают последовательно шары до появления белого Найти закон распределения случайной величины X, где Х – число вынутых шаров. Найти М[Х] и D[X].

Задача 3. Найти вероятность того, что из 360 человек, более 28 родились в декабре.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:
Х
0
1
2
3

У
0
1
2

Р
0,1
0,6
0,2
0,1

q
0,5
0,3
0,2

1) Составить ряд распределения суммы случайных величин Х и У;
2) Найти математическое ожидание М(Х + У) и дисперсию Д( Х + У) суммы этих величин двумя способами: а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.
Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· 0 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при Х > 0 случайной величины Х в интервал [0; 1/2 ]
2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. Вероятность появления события при одном испытании равна 1/8. Каковы вероятности того, что при 320 испытаниях событие появится:
а) 40 раз, б) не меньше 40 и не свыше 44 раз?
Задача 7. При испытании на изгиб образцов из сплава АМг5П, сваренных аргонодуговой сваркой, были получены следующие значения угла загиба (до появления трещины) в градусах:
91 95 88 80 97 94 91 85 97 99 103 109

112 101 85 91 95 99 103 108 112 80 85 93

97 99 103 81 101 103 101 97 93 89 81 84

87 91 95 94 102 108 102 101 93 81 87 91

95 99 106 111 90 95 97 105 107 110 97 93

83 87 82 90 94 97 99 101 110 82 92 86

111 102 106 98 100 89 90 96 107 110 96 89

92 97 98 105 94 90 92 97 100 104 98 100

98 96 102 86

Длина интервала h = 4.
Провести статистическую обработку результатов











МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 44.

Задача 1. В механизм входят три одинаковые детали. Работа механизма нарушается, если при его сборке будут поставлены все три детали нестандартного размера. У сборщика осталось 150 деталей, из которых 5 нестандартных. Найти вероятность нормальной работы первого собранного из этих деталей механизма, если сборщик берет детали наудачу.

Задача 2. В урне 30 шаров, из которых 20 черных и 10 белых. Из урны берут 5 шаров. Найти вероятность, что среди них будет 3 белых и 2 черных.

Задача 3. В круг радиуса R бросают 5 точек. Найти вероятность того, что 3 из них попадут в правильный треугольник, вписанный в круг.

Задача 4. Вероятность выиграть по одному билету лотереи равна 0,2. Некто имеет 4 лотерейных билета. Написать ряд распределения числа выигравших билетов. Найти математическое ожидание и дисперсию числа выигравших билетов. Найти вероятность выиграть хотя бы по одному билету.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· 6 1) Определить вероятность попадания значения
f(X)= 13 EMBED Equation.3 1415 при 6 < X
· 20 случайной величины Х в интервал [8, 14]
0 при Х > 20 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. Вероятность наступления события при одном испытании равна 0,25. С помощью формул Лапласа найти вероятность того, что при 500 испытаниях событие наступит: а) 78 раз, б) не более 78 раз.

Задача 7. При испытании 100 образцов из сплава АМг5В на растяжение были получены следующие значения относительного удлинения (в%):
17,5 17,8 16,5 18,3 17,5 17,0 17,6 18,2 18,8 19,9 19,0 21,0

20,0 13,5 14,8 15,8 13,9 15,3 16,5 17,8 18,2 18,8 17,1 16,4

13,8 15,4 17,4 17,8 18,2 17,3 13,6 13,7 14,8 14,0 17,3 18,1

17,8 16,9 13,7 18,8 19,6 20,8 19,0 16,3 20,8 17,7 21,5 19,6

14,6 16,8 18,1 17,9 18,7 16,3 14,4 15,6 19,4 20,6 21,4 20,1

18,5 14,2 15,4 16,2 17,2 14,2 19,4 20,4 19,2 18,0 17,6 16,2

15,2 16,0 19,2 18,0 14,1 15,1 21,4 16,8 15,1 17,2 21,2 18,0

17,9 15,0 16,8 18,4 17,9 16,1 19,1 15,6 21,0 20,2 18,6 16,6

17,6 17,9 18,3 17,6

Длина интервала h=I,0.
Провести статистическую обработку результатов МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 45.

Задача 1. Детали проходят три операции обработки. Вероятность получения брака на первой операции равна 0,02, на второй - 0,03, на третьей - 0,02. Найти вероятность получения детали без брака после трех операций, предполагая, что появления брака на отдельных операциях являются независимыми событиями.

Задача 2. В урне 5 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают последовательно 3 шара. Найти вероятность, что третий шар будет белым.

Задача 3. В первой урне 5 белых и 7 черных шара, во второй 3 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают один шар. Из второй урны после этого вынимают шар. Найти вероятность того, что он будет белым.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:
Х
-3
0
2

У
1
5

Р
0,3
0,4
0,3

q
0,8
0,2

1) Составить ряд распределения суммы случайных величин Х и У;
2) Найти математическое ожидание М(Х + У) и дисперсию Д( Х + У) суммы этих величин двумя способами: а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин.
Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 случайной величины Х в интервал 13 EMBED Equation.3 1415
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. Вероятность наступления события при некотором испытании равна 2/9. Проведено 81 испытание. Какова вероятность того, что: а) событие А наступит 12 раз; б) число поступлений события А будет заключено между 12 и 16.

Задача 7. При определении размеров зерен основной фракции шлифзерна корунда зернистости 25 были получены следующие значения (в мкм):
266 272 260 281 276 279 274 273 253 296 279 275

255 262 300 281 279 273 276 264 301 254 259 265

271 276 281 285 268 279 273 254 264 289 286 258

274 278 296 271 254 275 271 299 296 288 284 255

270 257 281 263 287 270 281 287 298 287 283 273

257 263 273 275 257 280 274 269 256 262 268 278

298 295 283 277 267 273 280 286 294 286 276 272

292 280 293 279 282 292 291 282 279 286 290 280

278 265 256 255

Длина интервала h = 6.
Провести статистическую обработку результатов испытаний МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 46.

Задача 1. Прибор состоит из 2-х узлов. Работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t ) для каждого узла равна 0,98. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность выхода из строя прибора за время t.

Задача 2. Стрелок имеет 3 патрона и ведет стрельбу до первого поражения мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,4. Найти закон распределения случайной величины X, где Х - число истраченных патронов. Найти М[Х] и D[X].

Задача 3. Найти вероятность того, что из ста человек ровно 24 родились летом.

Задача 4. В лотерее на каждые 100 билетов приходится 15 выигрышных;
Количество и размер выигрышей следующие:
размер выигрыша
20
5
1

кол-во выигрышей
1
4
10

Требуется: I) составить закон распределения случайной величины (размера выигрыша в лотерее),
2) определить математическое ожидание и дисперсию размера выигрыша в лотерее.
Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 случайной величины Х в интервал 13 EMBED Equation.3 1415
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. Вероятность наступления события А при некотором испытании равна 0,5. Произведено 90 испытаний. Какова вероятность того, что: а) событие А наступит 25 раз, б) не менее 25 раз.

Задача 7. При определении размеров зерен основной фракции шлифпорошка корунда зернистости 12 были получены следующие результаты (в мкм):

139 140 138 133 142 145 147 136 139 141 145 136

144 139 136 138 133 139 137 139 153 137 139 141

142 147 135 142 138 147 135 153 139 144 155 142

139 137 143 129 145 149 132 143 146 138 132 139

141 149 137 139 141 152 142 140 130 126 125 135

125 131 124 143 151 139 127 135 145 148 129 125

155 146 138 136 128 131 124 139 143 154 156 142

138 130 144 127 146 148 134 126 134 140 151 133

150 154 136 137

Длина интервала h = 4.
Провести статистическую обработку результатов испытании.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 47.

Задача 1. Вероятность хотя бы одного появления события при четырех независимых опытах равна 0,59, Какова вероятность появления события А при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова?

Задача 2. В урне 25 шаров, из которых 15 черных и 10 белых. Из урны берут 5 шаров. Найти вероятность, что среди них будет 3 белых и 2 черных.

Задача 3. В круг радиуса R бросают 7 точек. Найти вероятность того, что 4 из них попадут в правильный треугольник, вписанный в круг.

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:
Х
1
3
5

У
1
3
5

Р
1/4
1/3
5/12

q
Ѕ
1/3
1/6

1) Составить ряд распределения суммы случайных величин Х и У;
2) Найти математическое ожидание М(Х + У) и дисперсию Д( Х + У) суммы этих величин двумя способами: а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин
Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· -6 1) Определить вероятность попадания значения
f (х)= 13 EMBED Equation.3 1415(Х+6) при -6 < Х
· -2 случайной величины Х в интервал [0, 2]
13 EMBED Equation.3 1415(2-Х) при -2 < Х
· 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
0 при Х > 2 случайной величины X.

Задача 6. Вероятность появления события при одном испытании равна 0,3. Каковы вероятности появления события: а) 40 раз, б) не свыше 40 раз, если математическое ожидание числа появлений события равна 36.

Задача 7. Хронометрирование процесса изготовления 100 деталей по одному и тому же чертежу показало следующие фактические затраты времени
(в часах):
723 715 729 707 735 732 704 728 721 736 705 713

720 734 736 743 768 753 719 728 734 739 743 752

767 762 763 747 727 705 712 731 736 760 751 761

736 706 718 727 734 743 733 731 706 739 726 708

725 738 709 718 742 750 759 736 730 710 730 711

717 738 732 740 735 747 758 766 755 717 765 717

733 724 716 735 741 733 742 735 724 729 741 764

749 757 740 756 735 745 748 749 744 737 756 745

748 746 754 750

Длина интервала h= 8.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 48.

Задача 1. Два завода производят подшипники. Завод №1 выпускает 60% подшипников, соответствующих I группе ГОСТа, а завод №2 выпускает 70% таких подшипников. На сборку поступило 2000 подшипников с завода №1 и 4000 - с завода №2. Какова вероятность того, что первый взятый сборщиком подшипник будет соответствовать I группе ГОСТа?

Задача 2. В урне 4 белых и б черных шаров. Из урны вынимают последовательно 3 шара. Найти вероятность, что третий шар будет белым.

Задача 3. В первой урне 3 белых и 4 черных шара, во второй 5 белых и 7 черных. Из первой урны во вторую перекладывают один шар. Из второй урны после этого вынимают шар. Найти вероятность того, что он будет белым.

Задача 4. Случайная величина может принимать значения -4; -2 и 0 Найти вероятности появления этих значений, если М(Х) = -2,6 и Д(Х) = 2,44.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х < -2 1) Определить вероятность попадания значения
f(X)= 13 EMBED Equation.3 1415 при -2 < X
· 2 случайной величины Х в интервал [0, 1]
0 при Х > 2 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. Вероятность появления события при одном испытании равна 1/8. Какова вероятность появления события: а) 10 раз, б) не менее 10 раз, если дисперсия числа появления события равна 7.
Задача 7. Производилась проверка 100 шт. сосудов Дьюара для хранения жидкого азота. При проверке измерялось количество азота, испаряющееся из сосуда за час (в г/час):
48 53 56 48 44 57 61 36 37 41 44 48

53 51 68 65 61 57 56 51 60 53 36 41

37 44 47 49 51 40 60 64 57 56 53 51

49 45 47 55 59 64 37 43 40 51 53 57

59 63 67 55 52 49 47 39 43 54 59 57

63 67 56 54 53 39 43 46 42 38 45 46

50 58 42 50 45 49 54 62 50 49 52 56

58 66 62 52 49 56 66 58 53 46 50 66

52 56 49 45


Длина интервала h = 4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 49.

Задача 1. Электрическая цепь между точками М и N составлена из элементов 1, 2, 3 по схеме
Выход из строя за время Т различных элементов цепи - независимые события, имеющие следующие вероятности.
элемент
1
2
3

вероятность
0,4
0,3
0,5

Определить вероятность того, что за указанный промежуток времени произойдет обрыв цепи.

Задача 2. Стрелок имеет 4 патрона и ведет стрельбу до первого поражения мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,5. Найти закон распределения случайной величины X, где Х - число истраченных патронов. Найти M[X] и D[X].

Задача 3. Найти вероятность того, что из ста человек менее 24 родились летом.

Задача 4. Возможные значения случайной величины равны 0,3 и 7. Математическое ожидание случайной величины равно 3,6, а дисперсия 6,24. Найти вероятности, соответствующие этим возможным значениям.

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 1) Определить вероятность попадания значения
f (x)= 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 случайной величины Х в интервал 13 EMBED Equation.3 1415
0 при 13 EMBED Equation.3 1415 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.
Задача 6. Вероятность 240 появлений события при n испытаниях равна 0,03324. Какова вероятность появления события при одном испытании, если дисперсия числа появлений события равна 144; каково число испытаний ?

Задача 7. Взвешивание 100 деталей, отлитых в земляные формы, дало следующие результаты (в граммах):
653 655 654 659 661 665 661 657 659 649 664 669

664 645 649 661 657 669 655 641 657 658 645 641

653 655 659 656 649 652 659 671 665 658 656 649

641 648 663 661 655 641 652 656 668 654 645 659

647 649 644 652 658 651 643 655 661 662 666 660

654 642 647 641 651 655 658 663 667 670 653 642

646 649 653 657 649 650 653 654 658 660 667 670

660 650 662 670 665 662 655 653 640 654 672 670

666 662 657 660

Длина интервала h= 4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.
МГАПИ
Кафедра высшей математики.
Типовой расчет по высшей математике
Раздел: "Теория вероятностей"
Вариант 50.

Задача 1. На шести карточках написаны буквы Е, Л, К, Я, Ц, И. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово "ЛЕКЦИЯ".

Задача 2. В первой урне 7 белых и 5 черных шаров, во второй 3 белых и 2 черных. Из первой урны во вторую перекладывают один шар. Из второй урны после этого вынимают шар. Найти вероятность того, что он будет белым.

Задача 3. В урне 6 белых и 2 черных шара. Из урны вынимают последовательно шары до появления белого. Найти закон распределения случайной величины X, где Х - число вынутых шаров. Найти М[Х] и D[X].

Задача 4. Две независимые случайные величины Х и У заданы рядами распределения:
Х
-1
0
1

У
0
1
2
3

Р
0,2
0,3
0,5

q
0,1
0,2
0,3
0,4

1) Составить ряд распределения суммы случайных величин Х и У;
2) Найти математическое ожидание М(Х + У) и дисперсию Д( Х + У) суммы этих величин двумя способами: а) исходя из определения математического ожидания и дисперсии;
б) используя теоремы о математическом ожидании и дисперсии суммы этих величин

Задача 5. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией распределения
0 при Х
· 12 1) Определить вероятность попадания значения
f(X)= 13 EMBED Equation.3 1415 при 12 < X
· 38 случайной величины Х в интервал [16, 30]
0 при Х > 38 2) Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X.

Задача 6. Вероятность получения детали, не требующей дальнейшей обработки 0,4. Произвели 80 деталей. Какова вероятность того, что из них не потребуют дальнейшей обработки: а) 30 штук, б) не менее 30 штук?

Задача 7. Измерение величины износа 100 шт. чугунных тормозных колодок за месяц, дало следующие результаты: (в мм)
12,2
12,5
11,8
12,7
12,3
12,0
11,8
11,1
11,5
12,5
12,9
13,1

12,8
12,7
12,4
12,2
12,7
12,8
13,1
13,4
14,1
13,8
12,8
12,6

12,5
12,3
12,0
11,6
13,8
14,0
12,6
12,0
11,1
12,1
11,8
11,1

12,8
13,4
14,0
13,7
12,5
13,1
13,4
13,0
12,2
111,5
13,3
12,2

11,5
11,8
12,3
12,5
13,0
13,3
11,1
11,5
11,7
12,3
11,0
11,4

12,1
11,7
11,0
12,4
12,8
13,7
14,2
13,6
13,0
12,5
11,3
11,7

11,2
12,3
12,4
13,2
12,5
11,6
12,4
12,8
13,2
12,4
11,9
12,9

12,2
13,5
11,2
11,9
12,2
12,5
12,9
13,2
14,0
13,5
12,5
13,2

13,6
13,9
13,6
12,8



Длина интервала h=0,4.
Провести статистическую обработку результатов испытаний.





Составить интервальный ряд распределения.
Построить гистограмму.
Вычислить оценки математического ожидания (М.О) и средне квадратичного ожидания (С.К.О.)
Построить доверительный интервал для М.О. и С.К.О. с надежностью (доверительной вероятностью)
·=0,95.
Используя критерий согласия (Пирсона) выяснить не противоречит ли принятая гипотеза о виде закона распределения опытным данным.
Построить кривую нормального закона, совместив её с графиком гистограммы распределения, приведя в соответствие масштабы.


Составить интервальный ряд распределения.
Построить гистограмму.
Вычислить оценки математического ожидания (М.О) и средне квадратичного ожидания (С.К.О.)
Построить доверительный интервал для М.О. и С.К.О. с надежностью (доверительной вероятностью)
·=0,95.
Используя критерий согласия (Пирсона) выяснить не противоречит ли принятая гипотеза о виде закона распределения опытным данным.
Построить кривую нормального закона, совместив её с графиком гистограммы распределения, приведя в соответствие масштабы.


Составить интервальный ряд распределения.
Построить гистограмму.
Вычислить оценки математического ожидания (М.О) и средне квадратичного ожидания (С.К.О.)
Построить доверительный интервал для М.О. и С.К.О. с надежностью (доверительной вероятностью)
·=0,95.
Используя критерий согласия (Пирсона) выяснить не противоречит ли принятая гипотеза о виде закона распределения опытным данным.
Построить кривую нормального закона, совместив её с графиком гистограммы распределения, приведя в соответствие масштабы.


Составить интервальный ряд распределения.
Построить гистограмму.
Вычислить оценки математического ожидания (М.О) и средне квадратичного ожидания (С.К.О.)
Построить доверительный интервал для М.О. и С.К.О. с надежностью (доверительной вероятностью)
·=0,95.
Используя критерий согласия (Пирсона) выяснить не противоречит ли принятая гипотеза о виде закона распределения опытным данным.
Построить кривую нормального закона, совместив её с графиком гистограммы распределения, приведя в соответствие масштабы.




4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

N

М

3

2

1

N

3

2

1

M

4

3

2

1

N

M

3

2

1

13 EMBED Equation.3 1415

4

3

2

1

4

3

2

1

M

N

М

3

2

1

N

1

2

3

4

13 EMBED Equation.3 1415

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativesEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 9272543
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий