МУ по математике заочное отделение СПО 2 курс 3 семестр

1315
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Пензенский государственный технологический университет»
ЗАРЕЧЕНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ-ФИЛИАЛ
ФГБОУ ВО «Пензенский государственный технологический университет»










МАТЕМАТИКА:
алгебра и начала математического анализа; геометрия

Методические указания
по выполнению контрольной работы
для студентов 2 курса заочного отделения
(3 семестр)






















Заречный 2016




Голянова О.Н.
Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия. Методические указания по выполнению контрольной работы для студентов 2 курса заочного отделения. 2016. – стр.28


Методические указания содержат варианты заданий для контрольной работы по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия», необходимые теоретические сведения, примеры решения типовых задач. Методические указания предназначены для студентов 2 курса заочной формы обучения по специальности 38.02.04 «Коммерция по отраслям» и составлена в соответствии с рабочей программой дисциплины.


Методические указания рассмотрены на заседании цикловой методической комиссии общеобразовательных, естественнонаучных и ОГСЭ дисциплин Зареченского технологического института – филиала Пензенского государственного технологического университета.
Протокол №1 от 31.08.2016 г.


Методические указания одобрены и рекомендованы методическим советом Зареченского технологического института – филиала Пензенского государственного технологического университета для использования в учебном процессе.
Протокол №1 от 31.08.2016 г.




















Содержание

13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc463502294" 14Раздел 3. Геометрия 13 PAGEREF _Toc463502294 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc463502295" 14Тема 3.1. Прямые и плоскости в пространстве 13 PAGEREF _Toc463502295 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc463502296" 14Тема 3.2. Многогранники 13 PAGEREF _Toc463502296 \h 14101515
13 LINK \l "_Toc463502297" 14Тема 3.3. Тела и поверхности вращения 13 PAGEREF _Toc463502297 \h 14141515
13 LINK \l "_Toc463502298" 14Тема 3.4. Координаты и векторы в пространстве 13 PAGEREF _Toc463502298 \h 14161515
13 LINK \l "_Toc463502299" 14Задания для контрольной работы 13 PAGEREF _Toc463502299 \h 14181515

15






















Раздел 3. Геометрия
Тема 3.1. Прямые и плоскости в пространстве
Плоскость в пространстве однозначно задаётся:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]                         [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
тремя точками, не лежащими                       прямой и точкой, не лежащей
на одной прямой                                         на этой прямой
                       [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]                      [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
              двумя пересекающимися прямыми               двумя параллельными прямыми
Прямые в пространстве

       [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Две прямые в пространстве пересекаются, если они имеют лишь одну общую точку:
a
·b = C.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются: a||b.
Две прямые в пространстве называются скрещивающимися, если не существует плоскости, которой эти прямые принадлежат: a·b. 

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 Признак параллельности прямых:
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:
a||c, b||c  a||b.



Прямая и плоскость в пространстве

 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Если каждая точка прямой принадлежит плоскости, то говорят, что и прямая принадлежит плоскости:
а 
·
·. 
Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости:
А
· 
·,  В
· 
·    а 
· 
·.
Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют одну единственную общую точку:
a
· 
· = А.
Точку А называют точкой пересечения прямой и плоскости или следом прямой а на плоскости
·.
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек:
а || 
·.
Плоскость и не лежащая на ней прямая либо пересекаются (в одной точке), либо не пересекаются (параллельны).

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Признак параллельности прямой и плоскости:
Прямая, не лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости тогда и только тогда, когда она параллельна некоторой прямой в этой плоскости:
а 
· 
·,  
·b 
· 
·, а || b  а || 
·.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Признак параллельности прямых:
Если прямая b параллельна плоскости 
·, а плоскость 
· проходит через b и пересекает плоскость 
· по прямой а, то прямые а и b параллельны:
b || 
·, 
· 
· 
· = a  а || b.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 
Признак параллельности прямых:
Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна и линии пересечения этих плоскостей:
a || 
·, a || 
·, 
· 
· 
· = b   а || b.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения этой прямой и плоскости.
Через любую точку пространства можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости, и притом только одну.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости:
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости:

· 
·,  c 
· 
·,  a 
· b,  a 
· c    a 
· 
·.


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой:

· 
·,  а || b    b 
· 
·.
Прямые, перпендикулярные одной плоскости, – параллельны:

· 
·,  b 
· 
·    а || b.


Перпендикуляром, проведённым из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, которые соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и лежит на прямой, которая перпендикулярна плоскости. Длину перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной плоскости, считают расстоянием между этими точкой и плоскостью.
Наклонной, проведённой из данной точки к плоскости, называется любой отрезок, который соединяет эту точку с точкой плоскости (основанием перпендикуляра) и не является перпендикуляром, проведённым к этой плоскости.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведённых к плоскости из одной точки, называется проекцией (ортогональной проекцией) этой наклонной на плоскость.
АВ – перпендикуляр, проведённый из точки А к плоскости 
·;
АС – наклонная, проведённая из точки А к плоскости
·;
В – основание перпендикуляра АВ;
С – основание наклонной АС;
ВС – проекция наклонной АС на плоскость 
·.
 Свойства перпендикуляра и наклонной:
перпендикуляр, проведённый из точки к плоскости, короче любой наклонной, проведённой из той же точки к той же плоскости;
равные наклонные, проведённые из данной точки к плоскости, имеют равные проекции; и наоборот: равным проекциям соответствуют равные наклонные;
из двух наклонных, проведённых из данной точки к одной плоскости, больше та, проекция которой больше.




[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Углом между наклонной и плоскость называется величина угла между наклонной и её ортогональной проекцией на эту плоскость:

·АСВ – угол между наклонной АС и плоскостью 
·.
Угол между наклонной и её ортогональной проекцией на плоскость меньше угла между этой наклонной и любой другой прямой, проходящей в этой плоскости через основание наклонной:

·АСВ < 
·АСD.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Теорема про три перпендикуляра:
Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. И наоборот: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции этой наклонной:
АВ 
· 
·, а 
· 
· :
а 
· ВС  а 
· АС.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Расстоянием от прямой до параллельной ей плоскости называется расстояние от любой точки этой прямой до плоскости:
АВ – расстояние от прямой а до плоскости 
·.
Отрезок АВ – общий перпендикуляр прямой а и плоскости 
·.


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых (a и b) называется отрезок (АВ) с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой из них.
Две скрещивающиеся прямые всегда имеют общий перпендикуляр, и притом только один.
Длина общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых считается расстоянием между ними:
АВ – расстояние между скрещивающимися a и b.

Плоскости в пространстве

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Говорят, что две плоскости пересекаются, если в одной из них существуют точки как принадлежащие другой плоскости, так и не принадлежащие ей.
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку:

· 
· 
· = с.
 
  
 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Говорят, что две плоскости совпадают, если каждая точка одной плоскости является точкой другой, и наоборот:

· 
· 
· = 
·
или

· 
· 
· = 
·.
 
 
    [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек:

· || 
·  
· 
· 
· = 
·.
Через точку вне плоскости можно провести плоскость параллельную данной и притом только одну.

 
Признак параллельности плоскостей:
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны:

· 
·, b 
· 
·, a1 
· 
·, b1 
· 
·, a 
· b
 

· || 
·.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.
Длина некоторого отрезка выражает расстояние между двумя параллельными плоскостями, если этот отрезок является общим перпендикуляром этих плоскостей:
А 
· 
·,  В 
· 
·,  АВ 
· 
·,  АВ 
· 
· 

АВ – расстояние от 
· до 
·.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 
 
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой.
Полуплоскости, о которых шла речь, называются гранями двугранного угла, а прямая – ребром двугранного угла:

· и 
· – грани, KL – ребро двугранного угла.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Плоскость 
·, перпендикулярная ребру двугранного угла KL, пересекает его грани
· и 
· по двум полупрямым: СА и СВ. Угол АВС, образованный этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.
Все линейные углы данного двугранного угла совмещаются параллельным переносом и равны.
Мера линейного угла служит мерой и двугранного угла, которому этот линейный угол соответствует.
Линейные углы, соответствующие равным двугранным углам, равны. И наоборот: равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьшая из мер двухгранных углов, образованных этими плоскостями.
Две плоскости называются перпендикулярными (
·
·
·), если угол между ними равен 90°.
Угол между параллельными плоскостями считается равным 0°.
Если 
· – величина угла между некоторыми двумя плоскостями, то

· 
· 
· 90є.
Признак перпендикулярности плоскостей:
Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны:

· 
·,  b 
· 
·    
· 
· 
· .
Прямая, проведённая в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно линии их пересечения, перпендикулярна другой плоскости:

· 
·, 
· 
· 
· b 
· с, с = 
· 
· 
·  b 
· 
· .

Некоторые свойства прямых и плоскостей

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 
 
Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны:

· || 
·  и  a || b || c  A1A2 = B1B2 = C1C2 .

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 
 
Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость; более того, эта прямая образует с параллельными плоскостями равные углы:

· || 
·    
·CBE =
·CAD.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Прямые, полученные при пересечении двух параллельных плоскостей третьей плоскостью, параллельны между собой:

· || 
·,  
· 
· 
· = а,  
· 
· 
· = b    a || b.
Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости:

· 
·,  
· || 
·    c 
· 
· .
Две плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны:

· 
· c,  
· 
· c    
· || 
· .
Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости:

· 
· 
·,  
· || 
·    
· 
· 
· .


Тема 3.2. Многогранники
Основные понятия
Некоторые пространственные фигуры, изучаемые в стереометрии, называют телами или геометрическими телами. Наглядно тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью.
Многогранником называется геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. 
Выпуклым называется многогранник, если он расположен по одну сторону плоскости, проведённой через любой многоугольник, образующий поверхность данного многогранника.
Многоугольники, составляющие поверхность многогранника, называются его гранями; стороны многоугольников – рёбрами; вершины – вершинами многогранника:
ABC, DEF, ABED, BCFE, ACFD – грани;
AB, BC, AC, DE, EF, DF, AD, BE, CF – рёбра;
A, B, C, D, E, F – вершины многогранника ABCDEF.
Теорема Эйлера для многогранников:
Если V  число вершин выпуклого многогранника, R  число его ребер и G  число граней, то верно равенство:
V – R + G = 2.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Призма
Призмой называется многогранник, состоящий из двух плоских многоугольников, которые лежат в разных плоскостях и совмещаются параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. Многоугольники, о которых шла речь, называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие их соответствующие вершины – боковыми рёбрами призмы.
Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях.
Боковые рёбра призмы равны и параллельны.
Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности.
Боковая поверхность любой призмы состоит из параллелограммов, у каждого из которых две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие – соседними боковыми рёбрами.
Высотой призмы называется любой из перпендикуляров, проведённых из точки одного основания к плоскости другого основания призмы.
Призма называется п-угольной, если её основание – п-угольник.

АВСA1В1С1 – треугольная призма;

·АВС и
·A1В1С1 – основания;
АA1, ВВ1, СС1 – боковые рёбра;
АA1В1В, АA1С1С, ВВ1С1С – боковые грани;
A1О – высота призмы;

· – угол наклона бокового ребра к основанию призмы.   
Призма называется прямой, если её рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае призма называется наклонной.
Боковые грани прямой призмы – прямоугольники.
Боковое ребро прямой призмы является её высотой.
Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы:
Sб = Pосн·АА1.
Прямая призма называется правильной, если её основания являются правильными многоугольниками.
Параллелепипед
Призма, в основании которой лежит параллелограмм, называется параллелепипедом.
У параллелепипеда все грани – параллелограммы.
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими.
У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны.
Диагональю параллелепипеда, как и многогранника вообще, называется отрезок, соединяющий вершины параллелепипеда, не лежащие в одной его грани.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.
Прямоугольным параллелепипедом называется такой прямой параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник.
Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.
Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются его измерениями или линейными размерами.
У прямоугольного параллелепипеда три измерения.
В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений:
dІ = aІ + bІ + cІ.
В прямоугольном параллелепипеде верно:
для площади полной поверхности:
Sп = 2·(ab+bc+ac);
для объёма:
V = abc.

Куб
Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.
Диагональ куба в квадратный корень из трёх раз больше его стороны:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
В кубе верно:
для площади полной поверхности:
Sп = 6·aІ,   Sп = 2·dІ,
для объёма:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Четыре сечения куба являются правильными шестиугольниками (одно из них показано на рисунке) – эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырём его диагоналям.
У куба девять плоскостей симметрии:
три из них, проходя через середины четырёх параллельных ребер куба, дают в сечениях квадраты;
остальные шесть – это все плоскости диагональных сечений куба.


Пирамида
Пирамидой (например, SABCDE) называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника (пятиугольник ABCDE) – основания пирамиды, точки (S), не лежащей в плоскости основания,– вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.
Отрезки (SA, SB, SC, SD, SE), соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Поверхность пирамиды состоит из основания (пятиугольник ABCDE) и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды:

·SAB,
·SBC, 
·SCD, 
·SDE, 
·SEA – боковые грани.
Боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. 
Высотой пирамиды (SО) называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.
Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.

· – угол наклона бокового ребра SA пирамиды к плоскости её основания;

· – угол наклона боковой  грани (SED) пирамиды к плоскости её основания.
Основание высоты пирамиды является центром окружности, описанной около основания пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:
все боковые ребра равны;
боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы;
боковые ребра образуют равные углы с высотой пирамиды.
Основание высоты пирамиды является центром окружности, вписанной в основание пирамиды, тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:
боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом;
высоты боковых граней равны;
боковые грани образуют равные углы с высотой пирамиды.
Объём пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды:
V = 1/3·Sоснh.
Площадь полной поверхности любой пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:
Sп = Sб + Sосн. 
Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники. В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды.
Пирамида (например, SABCD) называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник (ABCD – квадрат), а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника (О – центр описанной и вписанной окружностей основания).
Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.
Боковые ребра правильной пирамиды равны.
Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.
Высота боковой грани правильной пирамиды (SL), проведенная из ее вершины к стороне основания, называется апофемой.
Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему:
Sб = ЅPосн·SL.
Правильные многогранники
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси. Вектора i, j, k называются координатными векторами. Любой вектор можно разложить по координатным векторам: Коэффициенты разложения определяются единственным образом и называются координатами вектора в данной системе координат. Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается i. Единичный вектор, направленный вдоль оси y, обозначается j. Единичный вектор, направленный вдоль оси z, обозначается k.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Направленный отрезок с началом в точке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и концом в точке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]называется вектором. Обозначается [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]или строчной буквой латинского алфавита:[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Тогда координаты вектора [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Длина отрезка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]называется длиной или модулем вектора и обозначается: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Вычисляется по формуле: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Скалярным произведением векторов [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 Скалярное произведение в координатах. Пусть векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Тогда скалярно произведение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]косинус угла между векторами [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]можно вычислить по формуле:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].

Задания для контрольной работы
Номер варианта контрольной работы определяется по таблице в зависимости от первой буквы фамилии.
Первая буква фамилии
Номер варианта контрольной работы

Первая буква фамилии
Номер варианта контрольной работы

А, Л, Х
1

Е, Р, Э
6

Б, М, Ц
2

Ж, С, Ю
7

В, Н, Ч
3

З, Т, Я
8

Г, О, Ш
4

И, У
9

Д, П, Щ
5

К, Ф
10


Задание 1. Ответьте на вопрос. Обоснуйте свой ответ.
Вариант 1
Три точки лежат в каждой из двух различных плоскостей. Можно ли утверждать, что эти точки лежат на одной прямой?

Вариант 2
Могут ли прямая и плоскость иметь только одну общую точку?

Вариант 3
Могут ли прямая и плоскость иметь только две общие точки?

Вариант 4
Можно ли через любые три точки провести единственную плоскость?

Вариант 5
Верно ли утверждение: «Если прямая пересекает две смежные стороны квадрата, то она лежит в плоскости этого квадрата»?

Вариант 6
Верно ли утверждение: «Если две точки окружности лежат в одной плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости»?

Вариант 7
Верно ли утверждение: «Если две противоположные вершины параллелограмма лежат в одной плоскости, то и весь параллелограмм лежит в этой плоскости»?

Вариант 8
Верно ли утверждение: «Если две прямые пересекаются в точке А, то все прямые, не проходящие через точку А и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости»?

Вариант 9
Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?

Вариант 10
Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?


Задание 2.

Вариант 1
Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями АВС и DD1C1.


Вариант 2
Постройте сечение, проходящее через точки B, M и D


Вариант 3
Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями АВС и А1В1C1.


Вариант 4
Постройте сечение, проходящее через точки Р, M и D


Вариант 5
Постройте сечение, проходящее через точки А, В1 и М


Вариант 6
Постройте точки пересечения прямой MN с плоскостями АВС и А1В1C1.


Вариант 7
Постройте сечение, проходящее через точки Р, М и N


Вариант 8
Постройте сечение, проходящее через точки А, М и С


Вариант 9
Постройте сечение, проходящее через точки М, N и Р


Вариант 10
Постройте сечение, проходящее через точки Р, М и N





Задание 3.

Вариант 1
Диагональ осевого сечения цилиндра равна 13 EMBED Equation.3 1415 см, а радиус основания 3 см. Найдите высоту цилиндра.

Вариант 2
Площадь осевого сечения цилиндра равна 14 см2, а высота цилиндра - 2 см. Найдите радиус основания.

Вариант 3
Боковая поверхность цилиндра равна 13 EMBED Equation.3 1415 см2, радиус основания- 6 см. Найдите площадь осевого сечения.

Вариант 4
Найдите боковую поверхность цилиндра с высотой, равной 5 см, если осевое сечение цилиндра плоскостью - квадрат

Вариант 5
Боковая поверхность цилиндра равна 13 EMBED Equation.3 1415 см2, радиус основания- 7 см. Найдите площадь осевого сечения.

Вариант 7
Найдите боковую поверхность цилиндра с высотой, равной 3 см, если осевое сечение цилиндра плоскостью - квадрат

Вариант 8
Боковая поверхность цилиндра равна 13 EMBED Equation.3 1415 см2, радиус основания- 8 см. Найдите площадь осевого сечения.

Вариант 9
Боковая поверхность цилиндра равна 13 EMBED Equation.3 1415 см2, радиус основания- 6 см. Найдите площадь осевого сечения.

Вариант 10
Площадь осевого сечения цилиндра равна 12 см2, а высота цилиндра - 2 см. Найдите радиус основания.

Задание 4.

Вариант 1
Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60( и равна 4 см. Найдите площадь осевого сечения конуса

Вариант 2
Радиус основания конуса равен 7 см, а высота- 8 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 5 см от его вершины.

Вариант 3
Найдите боковую поверхность конуса, в осевом сечении которого равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 EMBED Equation.3 1415 см.

Вариант 4
Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30( и равна 8 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.

Вариант 5
Радиус основания конуса равен 10 см, а высота- 15 см. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и находящейся на расстоянии 2 см от его вершины.

Вариант 6
Радиусы оснований усеченного конуса равны 12 см и 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 45(. Найдите высоту конуса.

Вариант 7
Найдите боковую поверхность конуса, в осевом сечении которого равносторонний треугольник со стороной 6 см

Вариант 8
Радиусы оснований усеченного конуса равны 13 EMBED Equation.3 1415 см и 13 EMBED Equation.3 1415 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 60(. Найдите высоту конуса.

Вариант 9
Найдите боковую поверхность конуса, в осевом сечении которого равносторонний треугольник со стороной 5 см

Вариант 10
Радиусы оснований усеченного конуса равны 11 см и 5 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30(. Найдите высоту конуса


Задание 5.
Заданы координаты точек А, В и С. Определить вид 13 QUOTE 1415 (равносторонний, равнобедренный, прямоугольный, разносторонний).
Вариант
А
В
С

1
(5, -2, 3)
(1, 2, -1)
(3, 0, 1)

2
(0, 7, 3)
(0, 7, 5)
(1, 8, 5)

3
(4, 2, 1)
(5, 4, 6)
(6, -1, 4)

4
(-5, 2, 0)
(-4, 3, 0)
(-5, 2, -2)

5
(3, 5, 1)
(2, -1 4)
(-1, 3, 2)

6
(-1, 0, -1)
(6, 0, -8)
(-1, 7, -8)

7
(10, 4, 3)
(4, 0, 5)
(7, 2, 4)

8
(2, 3, 4)
(1, 2, -1)
(3, -2, 1)

9
(4, 7, 2)
(1, 2, -1)
(3, -2, 1)

0
(2, 4, 7)
(5, 11, 4)
(6, 7, 1)

Алгоритм решения:
Если А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), то расстояние между точками А и В вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
Вычислим длины всех сторон треугольника, делаем вывод:
если все три стороны равны между собой, то заданный треугольник равносторонний;
если две стороны равны, то треугольник равнобедренный;
если выполняется равенство АВ2 + ВС2 = АС2 , то треугольник прямоугольный;
иначе треугольник разносторонний.
Образец решения:
А(4, 1, 0), В(4, 4, 3), С(-2, 1, 6).
Найдем длину каждой стороны треугольника по формуле расстояния между двумя точками:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
В данном случае выполняется равенство АВ2 + ВС2 = АС2 (18 + 54 = 72). Значит,
·АВС – прямоугольный.
Ответ:
·АВС – прямоугольный

Задание 6.
Даны две точки А и В. Найти координаты точки М – середины отрезка АВ.
Вариант
А
В

1
(5, -2, 3)
(1, 2, -1)

2
(2, 3, 4)
(4, 7, 2)

3
(-2, 4, 6)
(4, 2, 8)

4
(-3, 1, 7)
(5, 7, 3)

5
(8, 2, 5)
(-4, 6, 3)

6
(7, 3, -1)
(5, 9, 7)

7
(-5, 8, 12)
(9, -4, -2)

8
(6, -3, 8)
(4, 7, 2)

9
(9, 1, 7)
(-5, 7, 5)

10
(10, 6, 4)
(2, -2, 6)

Алгоритм решения:
Координаты середины отрезка АВ находим по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Образец решения:
Даны две точки А(4, 1, 5), В(-2, 3, 7). Найти координаты точки М – середины отрезка АВ.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: М(1, 2, 6)

Задание 7.
Даны точки А, В, С и D. Найти координаты и длины векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант
А
В
С
D

1
(6, 5, 2)
(5, 4, 6)
(2, 1, 3)
(6, 3, 5)

2
(5, 1, 3)
(-4, 2, 2)
(4, 2, 0)
(-1, 2, 4)

3
(6, 1, -3)
(4, 2, -2)
(4, 1, 0)
(1, 2, -4)

4
(5, -1, 2)
(3, 2, 2)
(4, 3, 1)
(1, 2, 4)

5
(5, 5, 4)
(1, 1, -4)
(-3, 4, 1)
(2, 8, -1)

6
(1, 5, 4)
(-2, 1, 3)
(4, -2, 1)
(1, 2, -1)

7
(3, 5, 1)
(-2, 4, 0)
(1, 7, 5)
(4, 3, -2)

8
(2, 4, 3)
(-1, -1, 5)
(4, 8, 3)
(-3, 6, 7)

9
(-2, 4, -3)
(-5, 7, 1)
(1, -2, -2)
(1, 1, 2)

10
(2, 4, -1)
(-2, -1, 3)
(1, -1, -3)
(3, 2, 4)


Алгоритм решения:
Если заданы координаты точек А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), то координаты вектора находим по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
Длина вектора равна 13 EMBED Equation.3 1415
Образец решения:
А(2, 3, 4) В(1, 2, -1) С(3, -2, 1)
13 EMBED Equation.3 1415(1 – 2; 2 – 3; -1 – 4) = (-1; -1; -5) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415(3 – 2; -2 – 3; 1 – 4) = (1; -5; -3) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415(3 – 1; -2 – 2; 1 – (-1)) = (2; -4; 2) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415(-1; -1; -5), 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415(1; -5; -3) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415(2; -4; 2) 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 8.
Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти длину вектора 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1
(3, -2, 5)
(1, 0, 7)
13 EMBED Equation.3 1415

2
(1, 5, 4)
(-2, 1, 5)
13 EMBED Equation.3 1415

3
(-1, 0, 7)
(3, 4, -2)
13 EMBED Equation.3 1415

4
(7, 1, 2)
(2, -1, 3)
13 EMBED Equation.3 1415

5
(3, -2, 1)
(1, 2, -3)
13 EMBED Equation.3 1415

6
(0, 2, 7)
(-2, 1, 4)
13 EMBED Equation.3 1415

7
(3, 4, -2)
(-2, 5, 7)
13 EMBED Equation.3 1415

8
(-3, 4, 1)
(0, 5, -2)
13 EMBED Equation.3 1415

9
(-5, 4, -1)
(0, 1, 2)
13 EMBED Equation.3 1415

10
(3, 0, 5)
(-2, 1, 7)
13 EMBED Equation.3 1415

Алгоритм решения:
Если заданы координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415находим по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Получаем 13 EMBED Equation.3 1415
Образец решения:
Заданы вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найдем координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415(24; 10; -6)
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415(24; 10; -6)

Задание 9.
Даны векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти скалярное произведение: а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415,
в) 13 EMBED Equation.3 1415
Вариант
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1
(-2, 1, 3)
(2, -2, 4)
(1, 3, -2)

2
(-1, 1, 3)
(2, 0, 1)
(2, 3, 4)

3
(2, 3, -1)
(1, 2, -2)
(-3, 1, 2)

4
(2, 3, 1)
(-1, 2, 1)
(0, 1, 3)

5
(2, 4, 3)
(3, 0, -1)
(-2, 1, 2)

6
(-2, 1, -1)
(1, 2, -2)
(1, 0, 1)

7
(3, -1, 2)
(2, 2, 1)
(1, 0, 2)

8
(-1, -2, 3)
(1, 0, 2)
(3, 4, 1)

9
(-1, 2, 3)
(3, -1, 1)
(-1, -2, 1)

10
(-3, 1, 2)
(3, 1, 2)
(1, 2, -1)

Алгоритм решения:
Если заданы координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то скалярное произведение векторов вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
Образец решения:
Заданы вектора 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415

Задание 10.
Даны точки А, В и С. Найти угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и13 EMBED Equation.3 1415
Вариант
А
В
С

1
(1, 0, 2)
(-2, 1, 1)
(4, 0, 2)

2
(-4, 1, 2)
(1, 4, -1)
(2, 2, 1)

3
(-1, 2, 0)
(2, 1, 3)
(0, 2, -2)

4
(1, 2, -3)
(-2, 1, 2)
(4, 2, 1)

5
(4, 2, 3)
(-2, 3, 1)
(4, -1, 0)

6
(3, 0, -1)
(1, 3, 3)
(2, 1, 2)

7
(1, 3, -1)
(3, 1, -1)
(4, 0, 2)

8
(4, 1, 2)
(3, 1, -2)
(3, 2, 4)

9
(-2, 1, 2)
(1, 3, -1)
(2, 4, -1)

10
(2, 1, 2)
(-1, 0, 3)
(3, 1, -3)

Алгоритм решения:
Угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и13 EMBED Equation.3 1415 находится по формуле
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - скалярное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и13 EMBED Equation.3 1415 ,
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - длины векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и13 EMBED Equation.3 1415
Образец решения:
А(-1, 2, 1), В(0, 1, 2), С(3, 0, 1)
1. Находим координаты векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 = (-1 – 0, 2 – 1, 1 – 2) = (-1, 1, -1)
13 EMBED Equation.3 1415 = (3 – 0, 0 – 1, 1 – 2) = (3, -1, -1)
2. Находим скалярное произведение векторов
13 EMBED Equation.3 1415
3. Находим длины векторов
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3. Находим угол между векторами
13 EMBED Equation.3 1415 Значит, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
































































































13PAGE 15


13PAGE 142815




















Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 227775
    Размер файла: 964 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий