Методические указания по теме Комплексные числа…

Министерство образования Российской Федерации
Байкальский государственный университет экономики и права
Читинский институт











Кафедра математики


Методические указания к
расчетно-графической работе
по теме
«Комплексные числа»

для студентов 1-го курса














Чита 2010г.





Введение

Методические указания предназначены для студентов 1 курса финансово-информационного и экономического факультетов. Расчетно-графическая работа по теме «Комплексные числа» содержит 28 однотипных вариантов, каждый из которых состоит из 3 задач.
Первая задача предназначена для закрепления материала относительно алгебраической и тригонометрической формы комплексного числа, сопряженных комплексных чисел, корня третьей степени из комплексного числа и их графическому представлению.
Вторая задача углубляет понимание модуля комплексного числа, демонстрирует способ алгебраического и графического решения неравенств с комплексными числами.
Третья задача посвящена основным операциям с комплексными числами. Особое внимание уделено сопоставлению результатов, полученных в алгебраической и тригонометрической формах.
Для каждой задачи подробно рассмотрен пример решения, содержащий как необходимый теоретический материал, так и комментарии, акцентирующие внимание на основных элементах решения, где чаще всего студенты делают ошибки.


















Демонстрационный вариант

Задача №1. Даны в алгебраической форме два числа 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
а) Найти алгебраическую форму числа ;
б) Найти тригонометрическую форму числа ;
в) Решить уравнение ;
г) Изобразить числа 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и полученные корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 точками на комплексной плоскости.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

Решение.
а) Комплексные числа 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 заданы в алгебраической форме, где 13 EMBED Equation.3 1415 – мнимая единица.
Если комплексное число задано в алгебраической форме 13 EMBED Equation.3 1415, то число 13 EMBED Equation.3 1415 называется действительной частью комплексного числа, 13 EMBED Equation.3 1415 – мнимой частью, число 13 EMBED Equation.3 1415– коэффициентом при мнимой части.
Определение. Два комплексных числа в алгебраической форме называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
Например, для числа 13 EMBED Equation.3 1415 сопряженным является число 13 EMBED Equation.3 1415. При делении комплексных чисел в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби необходимо умножить на сопряженное число знаменателя. В результате в знаменателе исчезнет мнимая единица, при этом надо иметь в виду, что 13 EMBED Equation.3 1415. В полученном выражении приводим подобные и получаем искомое комплексное число .
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Замечание. Если в Вашем варианте попались числа, например, вида 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, то их можно представить в виде 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 и дальше выполнять действия по предложенному выше шаблону.
б) Комплексное число в тригонометрической форме имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – модуль комплексного числа 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – аргумент комплексного числа.
Если комплексное число задано в алгебраической форме 13 EMBED Equation.3 1415, то модуль комплексного числа находят по формуле 13 EMBED Equation.3 1415, а аргумент комплексного числа из выражений 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
В нашем примере 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, модуль 13 EMBED Equation.3 1415.
Выражения 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 выполняются для 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415 в тригонометрической форме имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то принято тригонометрическую форму комплексного числа записывать без 13 EMBED Equation.3 1415, при этом угол 13 EMBED Equation.3 1415 называют главной частью аргумента комплексного числа. Итак, искомая тригонометрическая форма комплексного числа 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
в) Решим уравнение , где 13 EMBED Equation.3 1415 – комплексное число. Из уравнения имеем 13 EMBED Equation.3 1415. Для возведения комплексного числа 13 EMBED Equation.3 1415 в 13 EMBED Equation.3 1415ую степень используется формула Муавра: 13 EMBED Equation.3 1415.
Из пункта а) имеем 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415. Представим число 13 EMBED Equation.3 1415 в тригонометрической форме аналогично пункту б):
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда, 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. Обратите внимание, что если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Числа 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеют одинаковый модуль, но разные аргументы, которые отличаются друг от друга на величину угла 13 EMBED Equation.3 1415, что соответствует изменению направления радиус-вектора комплексного числа на противоположное, т.е. на 180о градусов. Следуя этому правилу можно сразу записать тригонометрическую форму числа 13 EMBED Equation.3 1415, зная тригонометрическую форму числа 13 EMBED Equation.3 1415.
По формуле Муавра при 13 EMBED Equation.3 1415 имеем:
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда, 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение третьей степени имеет ровно три корня, которые можно найти, взяв . Итак, искомые корни заданного уравнения имеют вид:

при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
г) Если комплексное число задано в алгебраической форме 13 EMBED Equation.3 1415, то в комплексной плоскости ему соответствует точка с координатами 13 EMBED Equation.3 1415. Если комплексное число задано в тригонометрической форме 13 EMBED Equation.3 1415, то ему соответствует точка конца вектора, который начинается в начале координат, имеет длину равную 13 EMBED Equation.3 1415 и образует угол 13 EMBED Equation.3 1415 с положительным направлением оси 13 EMBED Equation.3 1415.
Имеем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equat
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
2. Указать на комплексной плоскости все точки 13 EMBED Equation.3 1415, для которых выполняется неравенство. Сделать чертеж.
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – комплексное число.

Решение.
Представим комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415 в алгебраической форме 13 EMBED Equation.3 1415, тогда заданное неравенство примет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Введем в рассмотрение новое комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, тогда заданное неравенство можно записать в виде 13 EMBED Equation.3 1415. Модуль комплексного числа 13 EMBED Equation.3 1415 равен 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, заданное неравенство принимает вид:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим первое неравенство 13 EMBED Equation.3 1415. Так как равенство 13 EMBED Equation.3 1415 является уравнением окружности с центром в точке 13 EMBED Equation.3 1415 и радиусом 13 EMBED Equation.3 1415, то рассматриваемому неравенству удовлетворяют все точки комплексной плоскости, лежащие от точки 13 EMBED Equation.3 1415 на расстоянии большем, чем 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. все точки, лежащие с внешней стороны окружности 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим второе неравенство 13 EMBED Equation.3 1415. Так как равенство 13 EMBED Equation.3 1415 является уравнением окружности с центром в точке 13 EMBED Equation.3 1415 и радиусом 13 EMBED Equation.3 1415, то рассматриваемому неравенству удовлетворяют все точки комплексной плоскости, лежащие от точки 13 EMBED Equation.3 1415 на расстоянии меньшем или равном 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. все точки, лежащие с внутренней стороны окружности и на окружности 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют одновременно двум неравенствам, является кольцо, ограниченное сверху окружностью 13 EMBED Equation.3 1415, а снизу – окружностью 13 EMBED Equation.3 1415. При этом точки верхней окружности также являются решением заданного двойного неравенства, а точки нижней окружности – не являются.




Сделаем чертеж.
























Задача №3. Найти сумму, разность, произведение и частное чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 в алгебраической форме. Найти тригонометрическую форму этих чисел. Найти их произведение и частное в тригонометрической форме.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

Решение.
Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.
Найдем сумму чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем разность чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415

Найдем произведение чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем частное чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (см. задание 1 пункт а)):

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
Найдем тригонометрическую форму числа 13 EMBED Equation.3 1415 (см. задание 1 пункт б)):
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, модуль числа 13 EMBED Equation.3 1415 равен 13 EMBED Equation.3 1415, главная часть аргумента числа 13 EMBED Equation.3 1415 равна 13 EMBED Equation.3 1415, тригонометрическая форма числа 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем тригонометрическую форму числа 13 EMBED Equation.3 1415 (см. задание 1 пункт б)):
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, модуль числа 13 EMBED Equation.3 1415 равен 13 EMBED Equation.3 1415, главная часть аргумента числа 13 EMBED Equation.3 1415 равна 13 EMBED Equation.3 1415, тригонометрическая форма числа 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем произведение чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 в тригонометрической форме. При умножении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Проверка.
13 EMBED Equation.3 1415, что совпадает с результатом, найденным в алгебраической форме.
Найдем частное чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 в тригонометрической форме. При делении двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули делятся, а аргументы вычитаются. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Проверка.
13 EMBED Equation.3 1415, что совпадает с результатом, найденным в алгебраической форме.





Задачи для расчетно-графической работы
по теме «Комплексные числа»

Задача №1. Даны в алгебраической форме два числа a и b:
а) Найти алгебраическую форму числа 13 EMBED Equation.3 1415= a/b;
б) Найти тригонометрическую форму числа 13 EMBED Equation.3 1415;
в) Решить уравнение z3+13 EMBED Equation.3 1415=0
г) Изобразить числа 13 EMBED Equation.3 1415, -13 EMBED Equation.3 1415 и полученные корни уравнения z3+13 EMBED Equation.3 1415=0 точками на комплексной плоскости.

1
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415
2
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415

3
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415
4
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415

5
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415
6
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415

7
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415
8
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415

9
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415
10
a = 13 EMBED Equation.3 1415
b = 13 EMBED Equation.3 1415

11
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415
12
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415

13
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415
14
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415

15
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415
16
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415

17
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415
18
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415

19
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415
20
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415

21
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415
22
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415

23
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415
24
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415

25
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415
26
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415

27
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415
28
a = 13 EMBED Equation.3 1415b = 13 EMBED Equation.3 1415








Задача №2. Указать на комплексной плоскости все точки z, для которых выполняется неравенство. Сделать чертёж.

1
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415
4
13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415

7
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415
10
13 EMBED Equation.3 1415

11
13 EMBED Equation.3 1415
12
13 EMBED Equation.3 1415

13
13 EMBED Equation.3 1415
14
13 EMBED Equation.3 1415

15
13 EMBED Equation.3 1415
16
13 EMBED Equation.3 1415

17
13 EMBED Equation.3 1415
18
13 EMBED Equation.3 1415

19
13 EMBED Equation.3 1415
20
13 EMBED Equation.3 1415

21
13 EMBED Equation.3 1415
22
13 EMBED Equation.3 1415

23
13 EMBED Equation.3 1415
24
13 EMBED Equation.3 1415

25
13 EMBED Equation.3 1415
26
13 EMBED Equation.3 1415

27
13 EMBED Equation.3 1415
28
13 EMBED Equation.3 1415











Задача №3. Найти сумму, разность, произведение и частное чисел a и b в алгебраической форме. Найти тригонометрическую форму этих чисел. Найти их произведение и частное в тригонометрической форме.

1
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415
4
13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415
6
13 EMBED Equation.3 1415

7
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415
10
13 EMBED Equation.3 1415

11
13 EMBED Equation.3 1415
12
13 EMBED Equation.3 1415

13
13 EMBED Equation.3 1415
14
13 EMBED Equation.3 1415

15
13 EMBED Equation.3 1415
16
13 EMBED Equation.3 1415

17
13 EMBED Equation.3 1415
18
13 EMBED Equation.3 1415

19
13 EMBED Equation.3 1415
20
13 EMBED Equation.3 1415

21
13 EMBED Equation.3 1415
22
13 EMBED Equation.3 1415

23
13 EMBED Equation.3 1415
24
13 EMBED Equation.3 1415

25
13 EMBED Equation.3 1415
26
13 EMBED Equation.3 1415

27
13 EMBED Equation.3 1415
28
13 EMBED Equation.3 1415













Рекомендуемая литература:

Виленкин Н.Я. Алгебра. Учеб. пособие для IX и X классов средних школ с математической специализацией / Н.Я.Виленкин, Р.С.Гутер, С.И.Шварцбурд, Б.В.Овчинский, В.Г.Ашкинузе. – М.: Издательство «Просвещение», 1972. – 302с.
Лисичкин В.Т. Математика: Учеб. пособие для техникумов / В.Т.Лисичкин, И.Л.Соловейчик. – М.: Высшая школа, 1991. – 480с.: ил.
Понарин Я.П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов. – М.: МЦНМО, 2004. – 160с.: ил.
Алфутова Н.Б. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ / Н.Б.Алфутова, А.В.Устинов.– М.: МЦНМО, 2002. – 264с.
Эпова Е.В. Алгебра: Комплексные числа: Учебно-методическое пособие. – Чита: Издательство ЗабГПУ, 2004. – 63с.









13PAGE 15


13PAGE 141415



X

Y

2

-2

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Z1

Z2

Z3

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

X

Y

13 EMBED Equation.3 1415

3

4

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

0



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native2Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 9360771
    Размер файла: 637 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий