Математические формулы. Цыпкин


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
22.1
51
формулы
Наука
формулы
дифференциальную
формулы
круга
учащейся
наук
Наука
литературы
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
формулы
следующих
аналитическую
дифференциальную
функций
формулы
функций
используемых
формул
указанных
формулами
учащиеся
техникумов
студенты
втузов
научно
круга
удобства
формулировки
формулам
функций
формулами
условия
случаях
формул
формулировки
результатом
формула
случаев
формулировки
следуют
мулы
условия
условия
могут
соответствующие
формулы
литературе
получение
формулам
указанных
интересующими
формулами
литературе
цитируемой
литературы
дующий
относительную
соответствуют
учебников
Следуя
случаях
недоразумения
будут
выскажут
структуры
круга
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ
ЧИСЛА
АЛГЕБРА
s
k
k
p
p
n
1
1
натуральные
нуль
нули
образуют
нули
образуют
сумма
сумма
нуль
нули
образуют
сумма
сум
Формула
двух
натуральных


n =
(
m, n
)

{
m
,
n
}
.

1.3.

(
)

:
если
,0,
,0.
a
b



,

a
|
|
a
|
|
b
|
).
np
mq
q
p
n
m
np
mq
q
p
n
m
n
p
m
q
p
n
m
n
q
m
q
p
n
m
Формула
рациональную
Формула
рациональную
1
10
(
10
1
2
1
2
1
k
k
p
k
k
k
k
n
n
n
n
n
n
n
n

(
n


.
ЛОГАРИФМЫ
. 5
следуют
d
c
b
b
a
c
d
c
b
a
b
a
pc
nd
mc
qb
pa
nb
ma
логарифмы
= 1 (
x
y
x
a
a
a
a
x
x
a
b
a
x
x
a
b
a
� 0,
a
1
):
log
a
a
= 1
log
M
M
M
1
2
1
log
log
M
M
M
a
a
c
b
c
a
log
c
c
b
a
log
log
c
a
1
log

формулы
1232211
()()()
nnnnnnnnkk
xcxcxxcxcxccxcxc
−−−−−−−
−=−=−
1232211
()()()(1)
nnnnnnnknkk
xcxcxxcxcxccxcxc
−−−−−−−
−=−−−=−
1232211
()()()(1)
nnnnnnnknkk
xcxcxxcxcxccxcxc
−−−−−−−
=−−−=−
формулы
Формулы
Формулы
= –p, c
Формулы
кубичного
Формула
уравнения
1,2
bbac
−±−
УРАВНЕНИЯ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
. 7
уравнение
уравнение
урав
b
ac
i
a
b
x
2
4
2
1
Формула
уравнения
Формула
уравнения
коэффициентами
кубичного
уравнения
ABAB
=−±
=−
=−−
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
кубичных
удовлетворяющие
кубичного
уравнения
могут
следующим
формулам
2cos
2cos
333
=−−±
функций
cos
α=−
23ct
=−α
3ct
23cosec2
ypi
α±α
функций
t
p
q

Q
0


p
0
,

23cosec2
=−−α
2,3
3cosec23ct
ypi
−α±α
функций
β=−
случаях
кубичного
кубичного
уравнения
cx
bx
ax


-

кубичного
уравнения
уравнению
формулам
1123
zzz
=
2123
zzz
=−−
3123
zzz
=−−
4123
zzz
=−−
кубичного
уравнения
формулах
условие
|; |
� 0);
ab
ab
(
a

0,
b

0)
.


:
nn
ii
ii
aaaa
111
nnn
iiii
iii
abab
===
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
¦¦¦
11
ii
ii
nn
111
nnn
iii
abab
===
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
¦¦¦
1
2.7.



.



n

:
P
n
!
.



n



m

:
n
A
nm
КОМБИНАТОРИКА
БИНОМ
. 9
!
mnm
Формулы
(,,,)
!!!
Ckkk
kkk
Рекуррентная
формула
Формула
1212
()(,,,)
rnrr
kkkn
aaaCkkkaaa
=
=
>>>
суммирование
Формула
(,,,)
kkkn
Ckkkr
=


треугольника
111
222
abc
Sahbh
===
()()()
Sppapbpc
−−−
2
1
S
abc
S
S
(
)
(
)
(
c
p
r
b
p
r
a
p
r
S
b
a
abc
Srrrr
222
αβJ
g()
g()
222
Sppappbppc
αβJ
=−=−=−
треугольника
опущенные
полупериметр
радиус
окружности
треуголь
радиус
окружности
треугольник
углы
радиусы
окружностей
косинусов
синусов
sinsinsin
abc
===
αβJ
tgctg
tgtg
βJ
−βα−β
tgctg
tgtg
Jβ
−Jα−J
tgctg
tgtg
Jα
−Jβ−J
Формулы
coscos
sincos
α−βα−β
Jαβ
sinsin
cossin
−βα−β
Jαβ
треугольнике
.
222
mbca
=−
опущенная
()()()
ppapbpc
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
. 11
2cos2cos
abac
abac
треугольник
Радиус
окружности
Радиус
окружности
Прямоугольный
треугольник
гипотенузой
Радиус
окружности
прямоугольного
треугольника
гипотенузу
Прямоугольник
прямоугольника
sin
Saahdd
=J==
угол
Радиус
окружности
rha
.
:
sinsin
Sabahbhdd
α===β
угол
опущенные
угол
2222
ddab
=
Выпуклый
четырехугольник
Sdd
угол
2222222
abcdddm
=
четырехугольников
четырехугольник
окружность
суммы
четырехугольника
окружность
суммы
углов
четырехугольника
формулы
()()()()
Spapbpcpd
=−−−−
Сумма
внутренних
углов
угольника
выпуклого
угольника
угольника
180180
2sin2tg
aRr
радиус
окружности
радиус
окружности
угольника
222
13601801180
sintgctg
SRnrnan
nnn
°°°
===
окружности
круга
формулах
радиус
дуги
дугу
угол
градусах
дуги
2sin
дуги
360
R
l

:
R
S

:
2180
=−α
перпендикулярного
перпендикулярного
прямоугольного
КОНУС
. 13
SPh
осн
VSH
усеченной
SPph
усеченной
1122
VHSSSS
=
усеченной
формулах
радиус
радиус
Куб
Куб
2
a
R
треугольники
2
;
;
;
;
треугольники
пятиугольники
1575
a
V
525
a
R
25115
треугольники
a
V
R
Формула
радиусом
конуса
радиусом
R
конуса
образующая
конуса
усеченного
конуса
(
3
1
2
2
1
2
1
R
R
R
H
радиусы
усеченного
конуса
образующая
конуса
Сфера
радиуса
радиуса
4
R
1.12.

.


:
3
(
3
1
R
H
радиус
R
,
радиус
SRHRHH
=π−
322
VHRRH
=ππ
радиусы
,
радиус
дуги
уравнение
угловым
:
угол
ab
уравнение

угол
перпендикуляром
опущенным
уравнения
уравнения
cos
p
нормирующий
уравнения
2
1
1
2
1
x
x
x
y
y
y
y



x


AxB
d
AB
условие
22
33
10
xy
xy


x




x
y
x
y



1
0
x
x
двух
22
0
11
22
BC
x
AB
AB
условие
условие
перпендикулярности






=
k
+
b
=
k
+
b
1
1
2
0
k
b
b
x
1
2
1
2
1
0
k
k
b
b
k
y
условие
условие
перпендикулярности
1221
2222
1122
ABAB
ABAB
1212
2222
1122
cos
AABB
ABAB
1221
1212
ABAB
AABB
пучка
= 0 (
) = 0 (
= 0 (
111
222
333
ABC
ABC
ABC
уравнение
1112
1222
11121
12222
120
aaa
aaa
aaa
уравнения
уравнение
1112
1222
уравнения
Полуинвариант
уравнения
(1) (
222111
2010
aaaa
aaaa
уравнение
дующих
действительный
эллипс
мнимый
эллипс
пара
мнимых
сопряженных
пересекающихся
прямых
⋅∆<
ПЛОСКИЕ
ВТОРОГО
ПОРЯДКА
ГИПЕРБОЛА
ПАРАБОЛА
. 17
гипербола
пара
действительных
пересекающихся
прямых
парабола
пара
мнимых
параллельных
прямых
пара
действительных
параллельных
прямых
пара
действительных
совпадающих
прямых
∆=<
уравнение
случае
уравнений
уравнение
1,,,
==−=−
δOδ
уравнения
1cos

b
p
-

,
полуось
Окружность
окружности
радиуса
уравнение
1,,,
−==−=
δOδ
уравнения
1cos
b
p

,
2
a
b
a
e
.






:
x
= –
a
/
e
,
x
=
a
/
e
.
уравнение
p
SS

.




:
1cos
уравнение
= 0,
xyz
abc
abc
=≠
уравнение
перпендикулярного
уравнений
222
cos,cos,cos,,
ABCpD
ABC
α=Oβ=OJ=O=−OO=
уравнение
(
(
2331
2331
aaaa
ABC
bbbb
===
:
111
222
333
xyz
xyz
xyz
xyz
заданную
перпендикулярной
условие
условие
перпендикулярности
000
222
AxB
CzD
ABC
ПРЯМЫЕ
. 19
двумя
222
ABC




A
+
B
+
C
+
D

(
i
= 1, 2)
:
121212
222222
111222
cos
AABBCC
ABCABC

двух
A
уравнение
,
уравнение
000
xyz
rrr
−−−
двумя
уравнениями
000
xyz
rrr
000
xyz
rrr
222222
cos
()()
xxyyzz
xyzxyz
rrrrrr
rrrrrr

перпендикулярности
двух
уравнениями
двух
уравнениями
xz
x
rr
rrr
перпендикулярности
уравнением
перпендикулярной
B, z
уравнением
0101
01010101
222
yzxy
xyz
rrrr
zzxx
yyzzxxyy
−−−−
уравнение
1112131
111213
1222232
122223
1323333
132333
1230
aaaa
aaa
aaaa
aaa
aaaa
aaa
aaaa
∆=δ=
22233313
1112
23331311
1222
aaaa
aaaa
=
уравнения
уравнение
111213
122223
132333
aaa
aaa
aaa
уравнения
;
;
ПОВЕРХНОСТИ
ВТОРОГО
. 21
нарушены
0
:

двуполостный
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
� 0

:
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x

:
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
конус
конус
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
I I.
0:

:
b
y
a
x
2
2
2
� 0:

:
:
;
;




.

(


)

,




r
=
r
(
t
)
(
x
(
t
);
y
(
t
))
,

t



,


(
);
(
(
)
(
)
(
y
t
x
dt
t
d
t
v




|
натуральным
модуль
ускорения
1
2
1
2
)
(
|
t
t
t
y
x
dt
t
l
v






00
0
()(())
txxt
−=−
00
0
()(())
txxt
−=−−
натуральным
(()
())
()()
xlyl
""""
""""
двумя
1212
2222
1122
cos
xxyy
xyxy
""""
""""
2232
""""""
круга
(),()(),()(220000ttccyxyxyxtxtyytytxx=−=OO=O−=""""""""""где. Формулы
n
n
w
v
dl
d
k
dl
d
,
ПОДВИЖНЫЙ
ТРЕХГРАННИК
ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
. 23
(
);
(
);
(
(
)
(
)
(
t
z
t
y
t
x
dt
t
d
t
v




()()
()()
dtdt
txt
tzt
===
""""""
|
натуральным
модуль
уско
1
2
1
2
2
)
(
|
t
t
t
z
y
x
dt
t
l
v



:
натуральный
Кручение
натуральный
d


r
=
r
(
t
)
(
t


):
Кручение
Формулы
натуральный
b
v
b
n
n
v
dl
d
k
dl
d
k
dl
d
,
,
3.3.




.
,


n


v
(
l
)
, —

;
,


n


b
, —

;
,


v
(
l
)

b
, —

.






(
x
(
l
y
(
l
z
(
l
.

:
()()()
()()()
xxl
lzzl
xlylzl
000
−−−
"""
()()()
()()()
xxl
lzzl
xlylzl
000
""""""
000
000000
000000
()()()
()()()()()()
()()()()()()
xxlyylzzl
lzlzlxlxl
lzlzlxlxl
−−−
""""""
""""""""""""


:
000
000
000
()()()
()()()
()()()
xxlyylzzl
xlylzl
xlylzl
−−−
"""
""""""
000000
()[()]()[()]()[()]
xlxxlylyylzlzzl
−−=
"""
000
000
()()()
()()()
llllll
xxlyylzzl
xlylzl
yzzxxy
yzzxxy
===
−−−
"""
""""""
""""""""""""
функцией
уравнения
гауссовы
функции
uuu
x
vvv
2.




,



,



(
u
v
:
000000
000000
000000
(,)(,)(,)
(,)(,)(,)
(,)(,)(,)
xxuvyyuvzzuv
xuvyuvzuv
uuu
xuvyuvzuv
vvv
−−−
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
Уравнение
000000
000000000000
000000000000
(,)(,)(,)
xxuvyyuvzzuv
uvzuvzuvxuvxuv
uuuuuu
uvzuvzuvxuvxuv
vvvvvv
−−−
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
ПОВЕРХНОСТИ
. 25
радиус
ddudv
радиус
Длина
дуги
uuvv
lEFGdt
tttt
∂∂∂∂
⎛⎞⎛⎞
=
⎜⎟⎜⎟
∂∂∂∂
⎝⎠⎝⎠
du
v
u
dv
du
F
EG
S
r
r





u
,
v
.

,




z
=
f
(
x
,
y
)
:
dx
y
f
x
f
S
2
2






x
,
y
.




,




r
=
r
(
u
,
v
)
:
,
(
F
EG
v
u
v
u
r
r
m

E, F, G




.




r
=
r
(
u
,
v
)
:
– (
d
r


d
m
) =
L
(
u
,
v
)
du
M
(
u
,
v
)
du

dv
+
N
(
u
,
v
)
dv

L
,
M
,

N

:
(,)
Luv
EGF
=⋅=
rrr
2
2
2
2
2
2
2
,,
uvuv
Muv
EGF
Nuv
EGF
∂∂∂
∂∂∂∂
=⋅=
∂∂∂
=⋅=
rrr
rrr
2
2
2
(
2
)
(
)
(
2
)
(
v
d
G
v
d
u
d
F
u
d
E
v
d
N
v
d
u
d
M
u
d
L
k

.




,






cos
существуют
уравнения
LkEMkF
MkFNkG
Формула
угол
(,)
ENFMGL
Huv
EGF
Гауссова
(,)
LNM
Kuvkk
EGF
нормальных
:
, (
условие
1323
1323
aaaa
bbbb
===
условие
123
123
123
aaa
bbb
ccc
двух
ненулевых

косинус
угла
||||cos,
=⋅MM=
ababab
Другие
: (
), (
(
Буняковского
двух
112233
222222
123123
(,)
cos
ababab
aaabbb
M==

двух
a, b]: 1) модуль
a, b] перпендикулярен
упорядоченная
a,b]), отложенных от одной точки, образует
Другие
: [
двух
2331
2331
[,];;
aaaa
bbbb
: [
b, a], [(
a, b] (α — число), [(a + b), c] = [a, c] + [b, c], [
b, c]] = b (a, c) – c (a, b), [[
ненулевых

упорядоченная
образует
123
123
123
aaa
bbb
ccc
abc
a, b], c) = ([b, c], a) = (c, [a, b]) = – (b, [a, c]). 4.2. Некоторые формулы
функции
grad;;
fff



r
,
,
:
grad;;
fff
rrr
∂θθ∂M
grad;;
fff
ρρ∂M∂
функции
div
=
:
111
div()(sin)
sinsin
rFF
rrr
=θ⋅
∂θ∂θθ∂M
div()
=ρ
∂ρρ∂M∂
функции
rot
x
FFF
F

rot;;
zxzx
FFFF
zzxx
∂∂∂∂
=−−−
∂∂∂∂∂∂
случае
образует
случае
НЕКОТОРЫЕ
ФОРМУЛЫ
ВЕКТОРНОГО
АНАЛИЗА
. 29
rot
sin
sin
=θ−
∂θ∂M
F
111
sin
rrrr
θ∂M∂∂∂θ
****
rot;;
FFFF
MρMρ
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
∂∂∂ρ∂
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=−−−
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
ρ∂M∂∂∂ρρ∂ρ∂M
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
формулы
= 0, grad (
= 0, div
, div (
= 0, rot
функции
222
222
fff
∂∂∂
∆=



,
:
f
f
f
f
f
f
ctg
1
1
sin
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2



222
fff
∂∂∂
∆=ρ
ρ∂ρ∂ρ
∂M∂
ji
j
i
k
k
i
w
w






w
w
ki
j
i
k
k
i
w
w

:


;



:



:



:

Формулы
jk
j
ks
k
js
is
i
jk
g
g
g
2
1



(

,
,
0
;
2
1
;
2
1
;
2
1
k
i
k
j
j
i
g
g
g
g
g
g
jk
i
ii
ii
i
ii
i
jj
ii
i
jj
j
ii
ii
i
ij
Формулы
ctg
;
1
;
1
;
cos
sin
;
sin
;
r
r
r
r
r
r
1
;
нулю
функции
функции
функции
разуют
круговую
g
чиɫло
пɪи
пɪи
lim()lim(
lim()limlim;
lim()limlim;
limlim0;
limlim.
nnnn
nnn
nnnn
nnn
nnnn
cxcxc
xyxy
xyxy
xyxy
→∞→∞
→∞→∞→∞
→∞→∞→∞
→∞→∞
→∞→∞
±=±
⋅=⋅
нɚɬɭɪɚльноɟ
0
log
lim
;
0
lim
;
0
!
lim
;
!
lim
;
1
1
lim
n
b
n
n
a
e
n
n
e
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
ln
2
1
2
1
1
1
lim
;
1
2
)
1
2
(
3
1
lim
;
1
1
2
1
lim
;
1
1
1
tg
lim
;
1
1
1
sin
lim
;
ln
)
1
(
lim
;
1
lim
;
1
lim
1
n
n
p
n
n
p
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
a
p
p
p
p
p
n
p
p
p
p
n
n
n
n
n
n
n
n
n


33
ɮɭнкции
x
f
x
x
f
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
Пɪоизɜоɞнɭю
ɮɭнкции
ɮɭнкции
ɫɭщɟɫɬɜоɜɚния
ɮɭнкции
ɫɭщɟɫɬɜоɜɚлɚ
ɮɭнкции
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɮɭнкция
нɭю
пɪоизɜоɞнɭю
= 1, ,
ɮɭнкция
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмой
ɮɭнкции
),
(1)
ɞиɮɮɟɪɟнциɚлоɜ
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмыɟ
ɮɭнкции
;

;
;
2
u
d
v
v
d
u
v
u
d
v
v
u
v
u
v
u
v
d
u
u
d
v
uv
d
v
u
v
u
uv
ɮɭнкции
ɮɭнкция
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɮɭнкция
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмɚ
ɮɭнкции
.
ɮɭнкции
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмы
=
ɮɭнкция
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмɚ
()()
((()))()()
dfdt
ftfxt
ddt
ϕ=ϕ=
ɮɭнкции
.
ɮɭнкции
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмы
(
)
(
0
t
t
t
x
y
t
x
t
y
y
ɞиɮɮɟɪɟнциɚлоɜ
ɮɭнкции
;
()()()
(),()
nkknknkknk
uvCuvduvCdudv
ɮɭнкции
.
ɮɭнкция
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмɚ
ɮɭнкция
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмɚ
000
()()
fxfx
′′′′
ɮɭнкции
.
ɮɭнкции
=
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмы
=
ɮɭнкция
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмɚ
0000
((()))()()()()
ftfxtfxt
′′′′′′′′
ϕ=ϕ+ϕ
ɮɭнкции
.
ɮɭнкции
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмы
tttttt
y
x
′′′′′
.
.
a, b],
2.5.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
.
()()
fbfa
.
a, b],
)
),
()()()
()()()
fbfafc
ɮɭнкций
()(
const
()(
ln1
xxxxx
αα−
=α⋅α==+
cos;
cos
sin;
cossin
arcsin
arccos
11
arct
arcct
(log);
()ln;
(ch)sh;
(sh)ch;
(cth)
(th);
xxxx
aaa
==−
==−
==−
==−
ɞиɮɮɟɪɟнциɚлы
ɮɭнкции
.
ɮɭнкция
=
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмɚ
000
xxx
ɮɭнкции
=
= 1,
;
= 1,
ɮɭнкция
ɮоɪмɭлɟ
n
i
txt
.
ɮɭнкция
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмɚ
ɮɭнкции
=
= 1,
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмы
ɮɭнкция
ɪɟнциɪɭɟмɚ
(())()
yxtyx
dtdxt
ɮɭнкции
ɮɭнкция
ɭɪɚɜнɟниɟм
=
),
ɫɭщɟɫɬɜɭюɬ

0,
ɫɭщɟɫɬɜɭюɬ
ɮɭнкций
ɭɪɚɜнɟний
.
Пɭɫɬь
ɮɭнкции
ɭɪɚɜнɟний
) = 0
x
1,2,,
iji
xyx
+==
∂∂∂
ɮɭнкции
ɞɜɭɯ
.
ɮɭнкции
ɞɜɭɯ
(,)
(,)
nknkk
nkk
fxy
dfx
Cdxd
n



37
Фɭнкция
ɮɭнкции
пɪомɟжɭɬкɟ
ɮɭнк
ɜнɭɬɪɟнниɯ
ɮɭнкции
пɪомɟжɭɬкɟ
fxdx
fxdx
ɮɭнкция
пɟɪɜооɛɪɚзнɭю
пɪомɟжɭɬкɟ
ɜнɭɬɪɟнниɯ
пɪомɟжɭɬкɚ
()()
fxdxfx
ɮɭнкция
пɪомɟжɭɬкɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмɚ
ɜнɭɬɪɟнниɯ
()()
dfxfxC
ɮɭнкция
пɟɪɜооɛɪɚзнɭю
пɪомɟжɭɬкɟ

ɮɭнк
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
()()
kfxdxkfxdx
ɮɭнкции
пɟɪɜооɛɪɚзнɭю
пɪомɟжɭɬкɟ
ɮɭнкция
пɟɪɜооɛɪɚзнɭю
[()()]()()
xdxfxdx
xdx
+=+
∫∫∫
.
ɮɭнкции
пɪомɟжɭɬкɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмы
ɜнɭɬɪɟнниɯ
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
()()
xdfx
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
()()
fxd

()()()()()()
fxd
xfx
xdfx
).
ɮɭнкция
пɟɪɜооɛɪɚзнɭю
пɪомɟжɭɬкɟ
ɮɭнкция
пɪомɟжɭɬкɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмɚ
ɜнɭɬɪɟнниɯ
ɮɭнкция
пɟɪɜооɛɪɚзнɭю
(())()()
xdxfzdz
ɮɭнкций
xdxC
=+α≠−
;
поɫɬояннɭю
опɭɫкɚɟм
adx
ln||
sincos;
xdxx
cossin;
xdxx
lncos;
xdxx
lnsin;
xdxx
shch;
xdxx
chsh;
xdxx

sin
cos
cth;
th;
arct
dxx
dxxa
axa
arcsin
dxx
xxaa
=+±≠
lnt
sin2
dxx
lnt
cos24
dxx
thlnch;
xdxx
cthlnsh;
xdxx
lnth;
sh2
dxx
2arct
x

39
ɮɭнкций
(1)
XdxXn
=≠−
ln;
ln;
xdxxb
222
ln;
xdxb
XaXa
221
1,2
(2)(1)
nnn
xdxb
XanXnX
=+≠
2ln
xdxX
bXbX
=−+
2ln
xdxb
XbX
=−−
332
xdxbb
XaX
=+−
3321
112
1,2,3
(3)(2)(1)
nnnn
xdxbb
XanXnXnX
−−−
=+−≠
−−−
dxX
xXbx
dxXax
xXb
=−+
1()
nni
dxXax
xXbiX
=−−
dxaX
bxx
xXb
=−+
22223
112
dxX
xXbXabxb
=−+−
211
1()
(1)
nni
dxaxXX
Cnan
xXbiX
=−+−
1
2
(1)
mii
mnmnmi
dxXa
xXbmix
+−−−
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющий
ɫɭммы
()ln
ɞля
arctg(0),
axb
axb
axb
+−−∆
−∆
−∆++−∆
2(23)2
(1)
(1)
nnn
dxaxbnadx
XnXX
xdxbdx
XaaX
2(23)
(1)
(1)
nnn
xdxbxcbndx
XnXX
=−−
xdxxbbacdx
XaX
=−+
(2)
(23)(23)
(23)
nnnn
xdxxcdxnbxdx
nana
XnaXXX
=+−
∫∫∫
(1)
(21)
(21)
(21)
mmm
nnn
xdxxmcxdx
nma
XnmaXX
nmbxdx
nma
=−+−
21232322
nnnn
nnnn
xdxxdxcxdxbxdx
XXXX
−−−−
=−−
∫∫∫∫
dxxbdx
xXcXcX
2(1)
nnnn
dxbdxdx
xXcnXXxX
=−+
∫∫∫
2222
dxbXbadx
cxcX
xXcxc
=−+−
112
1(23)
(1)
(1)
(2)
(1)
mnmnmn
dxnmadx
xXmcxXxX
nmbdx
−−−
=−−−
4.1.
ИНТЕГРАЛЫ
ФɍНКЦИЙ
arct
a
arthln
xax
aax
минɭɫ
|
|
,
arthln
xax
axa
минɭɫ
|
| �
.
ɫлɭчɚɟ
ɮоɪмɭлɟ
122
nnn
dxxndx
XnaXnaX
xdx
xdx
XnX
xdx
xaY
1
nnn
xdxxdx
XnXX
=±≠
322
xdxxa
=±−
xdxa
2(1)2
nnn
xdxa
XnXnX
=−+>
.
ɫлɭчɚɟ
ɮоɪмɭлɟ
1()12
lnarctg
dxaxxa
aaxx
=±+
233
dxxdx
XaXa
112
lnarctg
aaxx
xdxxa
222
xdxxxdx
XaXa
xdx
xdx
xdxdx
xdxxdx
44322322
1212
lnarctg
42222
dxxaxaax
axaxaxaaax
+−+−
4422
arctg
xdxx
axaa
222
442222
1212
lnarctg
4222
xdxxaxaax
axxaxaax
=−+
+−+−
44
xdx
4433
lnarct
dxaxx
axa
axaa
44322
xdxax
axaax
lnarct
xdxaxx
aaxaa
xdx
=−−
ɮɭнкций
xdx
abx
arctg
xdxxabx
abxba
xdxxaabx
abxb
bbabx
=−+
2(1)
()(1)()()
mmm
xdxxxmxdx
abxmaabxabx
±−±±
4.2.
ИНТЕГРАЛЫ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫɏ
622
arctg
xxdxaxbxxabx
abxa
bbab
=−+
xxdxaxbxxaaabx
abx
abx
bbb
=−+
2(1)
()(1)()()
mmm
xxdxxxxdx
abxmabxabx
±−±±
(1)
(221)()()
nkknkn
xxdxaxadx
abx
xabx
nkbb
−+±
arctg
dxbx
xabxab
dxabx
xabxababx
arctg
dxxbx
aabxa
aab
xabx
dxxabx
aabx
aababx
xabx
2(23)
()()()
mmm
dxxmbxdx
xabxaabxabx
±±±
xdx
abx
abx
abx
()()
xdxabxa
abxbabx
222
2()2()
642
()()
xdxabxaabxa
mmm
abxbabx
=−+−
−−−
33223
2()3()3()
8642
()()
xdxabxaabxaabxa
mmmm
abxbabx
+++
=−+−+
−−−
(1)()
222
()()
kknkk
mnm
Cabxa
xdx
nkm
abxbabx
−−+
arct
abxa
aabxa
xabx
abx
()(2)()()
mmm
dxdx
xabxmaabxxabx
+−++
(23)
2(1)
(1)
nnn
dxabxnbdx
xabxnaxxabx
=−−
+−+
112
2(1)
()(1)()()
nmnmnm
dxmbdx
xabxnxabxxabx
−−+
=−−
+−++
212
(2)
(2)()()
nmnm
ndx
mbxabxxabx
−+−
−++
xabxdx
2()
(2)
abx
abxdx
()()
abxaabx
xabxdx
+=−
6422
()2()()
642
mmm
abxaabxaabx
xabxdx
mmm
+++
+++
+=−+
+++
2()
(1)()
222
kknkk
abx
Cabxa
xabxdx
nkm
−++
2ln
2arct
abxa
abxaa
abxa
abx
aabx
abxa
++>
++
/2/21
2()()
abx
abxabx
dxadx
xmx
()()()
mmm
abxabxabx
dxdx
xax
+++
=−+
(52)
2(1)
(1)
nnn
abx
abxnbabx
dxdxn
xnaxx
+−+
=−+
4.2.
ИНТЕГРАЛЫ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫɏ
()()()
(24)
2(1)
(1)
mmm
nnn
abxabxabx
bmn
dxdxn
xnaxx
+++
=−+
()()
nnm
xabxcfxdx
±±±
0,
= 1, 3, 5, ;
arcsin
2
()(
()()
2()
arct
0,0
bfxafbc
bfabxbcfxbf
abxcfxbf
fabx
bcfx
−++
=+++>
(2)
()()
(3)
()()
dxabx
cfx
abxcfx
bmdx
abxcfx
=−+
()()
arcsin
()()
()(
abxcfx
bfxafbc
fbf
abx
cfx
abxcfx
bfabxbcfxbf
fbf
∆++
−+++>
2()()
()()
(1)(1)
abxcfx
abxnabx
dxdx
cfxnfnfcfx
+∆+
++++
2
(2)(2)
()()
()()
abxabxbdx
dxm
fmfm
cfxcfx
abxcfx
=−+
2()()
()()
(3)(3)
abxcfx
abx
abxcfxdxdx
bnbncfx
++=+
+++
222
xdx
abx
222
222
bxabx
abx
=++
221
(3)2
(3)2
22222221
(1)
()(21)()
kkkk
Cbx
abxkabx
+++
222
222
xdx
abx
abx
22222222
()(2)()
xdx
abxmbabx
+−+
22222
222
222
xdxxabxa
bxabx
abx
=−++
222
22232222
xdxx
bxabx
abxbabx
=−+++
222
xabx
222
222
dxaabx
abx
xabx
(1)2
22222222
222
()(2)()
mkmk
xabxmkaabx
aabx
+−+
222
2222
dxabx
xabx
221
(1)2
(1)2
222222221
(1)
()(21)()
kkkk
Cbx
xabxkabx
+−+
2222222
223
3222
dxabxbaabx
axa
xabx
+++
=−+
3222242222
52222
()(2)()
(2)
xabxmbxabx
xabx
=−−
+−+
222
xabxdx
2222
222222
xabxa
abxdxbxabx
+=+++
4.2.
ИНТЕГРАЛЫ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫɏ
2222222222
()()()
mmm
xma
abxdxabxabxdx
+=+++
2222
222
(2)
abx
xabxdx
2222
2222222
()()
(3)(3)
xabx
xabxdxabxdx
mbmb
+=−+
12222
2222222
(1)
()()
(1)(1)
nmnm
xabx
xabxdxxabxdx
mnbbmn
+=−+
++++
222222
222
abxaabx
dxabxa
xbx
+++
=+−
2222222222
()()()
mmm
abxabxabx
dxadx
xmx
+++
222222
222
abxabx
dxbbxabx
=−+++
222222
22222
()()
abxabx
dxmbabxdx
=−++
222
xabxdx
2222
222
arcsin
xabxabx
abxdx
−=+
2222222222
()()()(
mmm
xma
abxdxabxabxdxm
−=−+−
2223
222
abx
xabxdx
−=−
2223
222
(2)
abx
xabxdx
−=−
2324
2222222
arcsin
bxaxabx
xabxdxabx
−=−+
2222
2222222
()()
(3)(3)
xabx
xabxdxabxdx
mbmb
−=−+−
222222
222
abxaabx
dxabxa
xbx
−+−
=−−
2222222
2222
()()
()(
abxabx
dxabxadxm
xmx
=−+
222222
arcsin
abxabxbx
dxb
=−−
2222222
222222
()()
abxabx
dxadxbabxdx
=−−
∫∫∫
222
xdx
abx
222
arcsin
dxbx
abx
221
(3)2
(3)2
22222221
()(21)()
kkk
Cbx
abxkabx
−+−
222
222
xdxabx
abx
22222222
()(2)()
xdx
abxmbabx
−−−
22222
222
arcsin
xdxxabxabx
abx
=−+
22232222
arcsin
xdxxbx
abxbabx
223
(5)2
(5)2
22222223
()(23)()
Cbx
xdx
abxkabx
−+−
1222
2222
222
xdxxabxn
xabxdx
abx
=−+−
222222
()()
xdxtdt
abxabt
22222222
2222
()(2)()
(2)
xdxx
abxbmabx
nxdx
abx
−−−
4.2.
ИНТЕГРАЛЫ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫɏ
222
xabx
222
222
dxaabx
abx
xabx
(1)2
22222222
222
()(2)()
mkmk
xabxmkaabx
aabx
−−−
222
2222
dxabx
xabx
(1)2
221
(1)2
222222221
()(21)()
kkk
Cbx
xabxkabx
−−−
222
xbxadx
222
222
bxbxa
bxa
=+−
(3)2
221
(1)2
(3)2
22222221
(1)
(1)
()(21)()
kkkk
Cbx
bxakbxa
−+−
22222222
()(2)()
xdx
bxambbxa
−−−
22222
222
222
xdxxbxaa
bxbxa
bxa
=++−
222
22232222
xdxx
bxbxa
bxabbxa
=−++−
(5)2
223
2(3)2
(5)2
22222223
(1)
(1)
()(23)()
kkkk
Cbx
xdx
bxakbxa
−+−
1222
2222
222
xdxxbxan
xbxadx
bxa
=−−
222222222222
(2)
()(2)()()
nnn
mmm
xdxxnxdx
bxabmbxabxa
=−+
−−−−
222
arccos
dxa
xbxa
222
2222
dxbxa
xbxa
222212222
22222
()(2)()
(2)
nmnm
xbxambxbxa
ndx
xbxa
=−−
−−−
2222
222222
xbxaa
bxadxbxbxa
−=−+−
2222222222
()()()
mmm
xma
bxadxbxabxadx
−=−−−
12222
2222222
(1)
()()
(1)(1)
nmnm
xbxa
xbxadxxbxadx
mnbmnb
−=+−
++++
222
222
arccos
bxaa
dxbxaa
xbx
=−−
22222222222
()()()
mmm
nnn
bxabxabxa
dxadxbdx
xxx
−−−
=−+
∫∫∫
ɮɭнкций
ɫинɭɫ
sincos1
sinsin
axaxn
axdxaxdxn
nan
=−+>
sincoscos
xaxdxaxxaxdxn
=−+>
35721
sin()()()(1)()
33!55!77!
axaxaxaxax
dxax
xkk
=−+−+=
⋅⋅⋅+⋅+
sin1sincos
nnn
axaxaax
dxdx
xxx
=−+
1cos2
(1)1
sinsinsin
nnn
dxaxndx
ann
axaxax
=−+
4.3.
ИНТЕГРАЛЫ
чиɫлɚ
Бɟɪнɭлли
3579
1()7()31()127()
sin33!355!377!359!
2(21)
()()
(21)!
xdxaxaxaxax
BaxB
=++++++
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
++−
ctglnsin
xdxx
axax
axa
=−+
122
cos1
sin(1)sin(1)(2)sin
nnn
xdxxax
axnaaxnnaax
nxdx
=−−+
−−−
1sin42
dxax
axa
tglncos
1sin4242
xdxxaxax
axa
§·§·
=−−+−
¨¸¨¸
©¹©¹
ctglnsin
1sin4242
xdxxaxax
axa
§·§·
=−+−
¨¸¨¸
©¹©¹
sin1
1sin42
axdxax
axa
=±+
tglntg
1sin
422
dxaxax
axaxaa
tgtg
242642
(1sin)
dxaxax
§·§·
=−−−−
¨¸¨¸
©¹©¹
ctgctg
242642
(1sin)
dxaxax
§·§·
=−+−
¨¸¨¸
©¹©¹
sin11
tgtg
242642
(1sin)
axdxaxax
§·§·
=−−+−
¨¸¨¸
©¹©¹
sin11
ctgctg
242642
(1sin)
axdxaxax
§·§·
=−−+−
¨¸¨¸
©¹©¹
13sin11
arcsinarct
222
1sinsin1
dxax
axax
1sincos
dxdx
axax
sin()sin()
sinsin
2()2()
abxabx
axbxdxab
abab
=−≠
2222
arct
g()
2
abcbc
bcax
bccb
acb
bccb
+−−
++−
sinsin
axdxxbdx
bcaxccbcax
lntg
sin(sin)2sin
dxaxcdx
axbcaxabbbcax
22222
cos
(sin)()(sin)
dxcaxbdx
bcax
bcaxabcbcaxbc
+−+−
22222
sincos
(sin)()(sin)
axdxbaxcdx
bcax
bcaxacbbcaxcb
+−+−
222
1tg
arct
dxbcax
bcax
abbc
222
2222
1tg
arct
1tg
2tg
dxbcax
bcb
bcax
abbc
cbaxb
bcb
abcbcbaxb
=>>
=>
−−−
коɫинɭɫ
cossin1
coscos
axaxn
axdxaxdx
nan
cossin
xaxn
xaxdxxaxdx
2462
cos
()()()(
)()
ln()ln()
22!44!66!2
axaxaxaxax
dxaxax
xkk
=−+−+=+
⋅⋅⋅⋅
coscossin
(1)
nnn
axaxaax
dxdxn
xnxx
=−−≠
seclnlnsectg
cos42
dxax
axdxaxax
axaa
==+=+
1sin2
(1)1
coscoscos
nnn
dxaxndx
ann
axaxax
=+>
4.3.
ИНТЕГРАЛЫ
чиɫлɚ
Эйлɟɪɚ
246810
1()()5()61()1385()
cos242!64!86!108!
(22)(2)!
xdxaxaxaxaxax
Eax
=+++++
⋅⋅⋅⋅
+++−
tglncos
cos
xdxx
axax
axa
122
sin1
cos(1)cos(1)(2)cos
cos
nnn
xdxxax
axnaaxnnaax
nxdx
=−+
−−−
1cos2
dxax
axa
1cos2
dxax
axa
tglncos
1cos22
xdxxaxax
axa
ctglnsin
1cos22
xdxxaxax
axa
=−+
cos1
1cos2
axdxax
axa
cos1
1cos2
axdxax
axa
=−−
lntgtg
cos
1cos
422
dxaxax
axaxaa
=+−
lntgctg
cos
1cos
422
dxaxax
axaxaa
=+−
tgtg
2262
(1cos)
dxaxax
ctgctg
2262
(1cos)
dxaxax
=−−
cos11
tgtg
2262
(1cos)
axdxaxax
cos11
ctgctg
2262
(1cos)
axdxaxax
113cos
arcsin
1cos1cos
dxax
axax
1cossin
dxdx
axax
==−
sin()sin()
coscos
2()2()
abxabx
axbxdxab
abab
=+≠
2222
()tg
arct
g()
cos
()tg
()tg
bcax
bcbc
cbcb
cbcb
−+−
−−−
cos
coscos
axdxxbdx
bcaxccbcax
lntg
cos
cos
42cos
dxaxcdx
axbcaxabbbcax
=+−
22222
cos
(cos)()(cos)
dxcaxbdx
bcax
bcaxacbbcaxcb
+−+−
22222
cossin
cos
(cos)()(cos)
axdxbaxcdx
bcax
bcaxabcbcaxbc
+−+−
222
2222
1tg
arct
cos
dxbax
bcax
abbcbc
222
2222
2222
1tg
arct
cos
1tg
dxbax
bcb
bcax
abbcbc
baxcb
bcb
abcbbaxcb
=>>
=>
−+−
ɫинɭɫ
коɫинɭɫ
lncos
cos
xdx
abx
abxb
=−+
( (
cos1cos
xdx
abxnbabx
+−+
sin1cos
cos1coscos
xdxx
xxx
sin11
lntg
cos1sin21sin242
xdxx
xxx
=±+
( (
sin1cos
ln0
coscoscos
xdxabx
adbc
abxcdxadbccdx
=−≠
++−+
lncos
coscos
cdxddx
dxabxc
abxbabx
=−++
cos1
lnsin
sin
xdx
abx
abxb
4.3.
ИНТЕГРАЛЫ
cos1
(sin)(1)(sin)
xdx
abxnbabx
+−+
cossin
1sin
1sin
xdxx
xxx
cos11
lnt
1cos
1cos
xdxx
xxx
=−±
cos1sin
(sin)(sin)sin
xdxcdx
adbc
abxcdxadbcabx
=−≠
++−+
cos
lnsin
sinsin
cdxddx
dxabxc
abxbabx
=++
lnt
1cos
1cos
dxx
xxx
=±+
lntg
cos
1sin
1cos
242
dxx
xxx
=++
lntg
sincos228
dxx
arccos
cossin
axbx
cos,sin
(cossin)
cos
dxdx
axbx
==ρϕ=ρϕ
ρ−ϕ
ln1t
1cossin2
dxx
=±±
arctg
cossin
dxdtb
abxcxc
abct
==+
cos,sin
(cossin)
cos
dxdx
abxcx
==ρϕ=ρϕ
+ρ−ϕ
sin1
lnsincos
sincos22
xdxx
cos1
lnsincos
sincos22
xdxx
=±+±
2222
arct
0,0
cossin
dxb
xab
aba
axbx
=>>
2222
1tg
2tg
cossin
dxbxa
abbxa
axbx
sincos1
lncossin
cossin
xxdx
axbxab
axbx
=+≠
lncos
xdxx
2
xdxxdxn
lnsin
xdxx
2
xdxxdxn
=−−
lnsincos
tg122
dxx
=±+±
lntglncos
babxbxax
abx
=+++
tg1
lnsincos
tg122
xdxx
tg1
lncossin
xdx
bxaaxbx
abx
=−+
sin2
1tg
dxx
22222
arctgtg
dxbb
xxab
abxab
=−≠
22222
1tg
2tg
dxbabx
aabx
abxab
2
cos
1tg
xdxx
lncossin
1tg
xax
xdx
lnsincos
ctg122
dxx
=±±
ctg1
lnsincos
ctg122
xdxx
=±+±
ctg
ctgtg
xdxdx
abxaxb
sin2
1ctg
dxx
22222
arctgctg
ctg
dxbb
xxab
abxab
=−−≠
22222
1ctg
2ctg
dxbabx
aabx
abxab
4.4.
ИНТЕГРАЛЫ
ɋОДЕРЖАЩИЕ
2
1ctg
xdxx
222
ctg1tg
1ctg
1tg
xdxxdx
axa
1sincos
1ctg22
cos
xdxxxx
tg1
arccoscos
xdxba
bab
abx
чиɫлɚ
Бɟɪнɭлли
222121
3355779
221
217
3151052835(21)!
nnnn
Bax
axaxaxax
xaxdx
=+++++
чиɫлɚ
Бɟɪнɭлли
357
221
217
9752205(21)(2)!
Bax
axaxax
axdx
xnn
=+++++
Бɟɪнɭлли
22121
335
9225(21)!
nnn
Bax
xaxax
xaxdxB
=−−−−−
чиɫлɚ
Бɟɪнɭлли
3521
ctg1
31354725
axaxBax
axdxax
xaxnn
=−−−−−−
ɮɭнкцию
axax
edxe
naxnaxnax
xedxxexedx
lnln
11!22!33!!
axaxax
eax
dxxx
xkk
=++++=+
⋅⋅⋅⋅
axaxax
nnn
eee
dxadxn
xxx
=−+≠
axax
dxe
dxx
bce
bab
bce
=−+
edx
bce
bce
ln1
axax
exe
exdxdx
aax
sinsincos
ebxdxabxbbx
coscossin
ebxdxabxbbx
2222
sinsincossin
axn
axnaxn
exdxaxnxexdx
anan
=−+
2222
cos
coscossincos
axn
axnaxn
exdxaxnxexdx
anan
=++
222
sinsincos
sin2cos;
xebxdxabxbbx
abbxabbx
=−−
−−−
222
coscossin
cos2sin.
xebxdxabxbbx
abbxabbx
=−−
−−−
лоɝɚɪиɮмичɟɫкɭю
ɮɭнкцию
( ( ( (
lnlnln1
nnn
xdxxxnxdxn
=−≠−
lnlnln
lnlnlnlnln
ln22!33!!
xxx
xxx
xkk
=++++=+
⋅⋅⋅
( (
ln1lnln
nnn
dxxdx
xnxx
=−+≠
ln1
ln1
xxdxxm
=−≠−
( (
lnln1,1
xxdxxxdxmn
=−≠≠−
lnln
lnln1
dxm
xmx
=−−≠
lnlnln
nnn
mmm
xxx
dxdxm
xmxx
=−+≠
4.6.
ИНТЕГРАЛЫ
ɋОДЕРЖАЩИЕ
ОБРАТНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕɋКИЕ
( (
ln1lnln
mmm
nnn
xdxxmxdx
xnxx
=−+≠
lnln
( (
( (
( (
2233
1ln1ln
lnln1ln
22!33!
11ln
lnln;
nxnx
xnx
=−−+−+=
( (
ln1ln
xxnx
=−≠
( (
ln1lnln
nnn
mmm
dxmdx
xxxnxxx
=−−≠
sinlnsinlncosln
xdxxx
coslnsinlncosln
xdxxx
lnln
axax
exdxexdx
aax
ɮɭнкции
arcsinarcsin
dxxax
=+−
arcsinarcsin
xxaxx
xdxax
aaa
=−+−
22222
arcsinarcsin2
xxx
xdxxaax
aaa
=++−
arcsinarcsin
xxxxdx
xdx
anan
357
357
1113135
arcsin
233245524677
xxxxx
xaa
aaa
⋅⋅⋅
++++=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
111
arcsinarcsinln
xxaax
axaax
=−−
122
111
arcsinarcsin2
xxdx
dxn
aan
xnx
xax
=−+
arccosarccos
dxxax
=−−
arccosarccos
xxaxx
xdxax
aaa
=−−−
22222
arccosarccos2
xxx
xdxxaax
=−+−
arccosarccos
xxxxdx
xdx
anan
1113
arccosln
22332455
135
ln;
246772
xxxx
dxx
xaa
=−−−−
⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅π
−−=−−
⋅⋅⋅⋅
111
arccosarccosln
xxaax
axaax
=−+
122
111
arccosarccos
xxdx
aan
xnx
xax
=−−
arctgarctgln
xxa
dxxax
=−+
arctgarctg
xxax
xdxxa
=+−
333
222
arctgarctgln
366
xxxaxa
xdxxa
=−++
arct
arct
xxxaxdx
xdxn
anan
=−≠−
357
3572
335577
xxxxx
dxxa
xaa
aaa
=−+−+=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
111
arctgarctgln
xxxa
axaa
=−−
122
arct
arct
xxadx
dxn
aan
xnx
xxa
=−+≠
arcctgarcctgln
xxa
dxxxa
=++
arcctgarcctg
xxax
xdxxa
=++
323
222
arcctgarcctgln
366
xxxaxa
xdxxa
=+−+
4.7.
ИНТЕГРАЛЫ
ɋОДЕРЖАЩИЕ
ГИПЕРБОЛИЧЕɋКИЕ
arcct
xxxaxdx
xdxn
anan
+≠−
357
357
arcctgln
335577
xxxxx
dxx
xaa
aaa
xxa
=−+−++=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=+
111
arcctgarcctgln
xxxa
axaa
=−+
122
arcct
xxadx
dxn
aan
xnx
xxa
=−≠
ɮɭнкции
shch
axdxax
chsh
axdxax
chshch
axdxaxax
shshchsh
shchsh
0,1
nnn
axdxaxaxaxdxn
ann
axaxaxdxnn
ann
=−>
=−≠−
chshchch
shchch
0,1
nnn
axdxaxaxaxdxn
ann
axaxaxdxnn
ann
=+>
=+≠−
lnth
sh2
dxax
axa
arctg
axa
shchsh
xaxdxxaxax
chshch
xaxdxxaxax
thlnch
axdxax
cthlnsh
axdxax
axdxx
cth
axdxx
shshshchchsh
axbxdxabxaxbbxaxab
=−≠
chchshchshch
axbxdxaaxbxbbxaxab
=−≠
chshshshchch
axbxdxaaxbxbbxaxab
=−≠
shsinchsinshcos
axaxdxaxaxaxax
chsinshsinchcos
axaxdxaxaxaxax
shcoschcosshsin
axaxdxaxaxaxax
chcosshcoschsin
axaxdxaxaxaxax
63
ɮɭнкция
a, b] и a =


=
ɮɭнкции
a, b] нɚзыɜɚɟɬɫя пɪɟɞɟл 1max0
lim()
iiiiii
xxxxx
ξ∈∆=−
.
Фɭнкции
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
a, b]. Опɪɟɞɟлɟнный инɬɟɝɪɚл оɛознɚчɚɟɬɫя ( bafxdx
dxba
ɮɭнкция
инɬɟɝɪиɪɭɟмɚ
a, b],
ɮɭнкция
инɬɟɝɪиɪɭɟмɚ
a, c], [c, b] (a - c - b) и ( ( (
bcb
aac
fxdxfxdxfxdx
∫∫∫
ɮɭнкция
инɬɟɝɪиɪɭɟмɚ
()()
fxdxfxdx
ɮɭнкция
инɬɟɝɪиɪɭɟмɚ
a, b],
ɮɭнкция
|
инɬɟɝɪиɪɭɟмɚ
()()
fxdxfxdx
ɮɭнкция
инɬɟɝɪиɪɭɟмɚ
a, b],
ɮɭнкция
= const)
ɪɭɟмɚ
()()
kfxdxkfxdx
ɮɭнкции
инɬɟɝɪиɪɭɟмы
a, b],
ɮɭнкции
инɬɟɝɪиɪɭɟмы
()()()()
bbb
aaa
xdxfxdx
xdx
+=+
∫∫∫
ɮɭнкции
инɬɟɝɪиɪɭɟмы
()()
fxdx
xdx
a, b],
a, b],
()()()
xdx
xdx

(
x
)

(
x
)


,
()()()()()()
xdx
afxdx
bfxdx
∫∫∫
Фоɪмɭлɚ
.
()()()()
fxdxFbFaFx
=−{
Фоɪмɭлɚ
.
ɮɭнкция
a, b],
ɮɭнкция
=
нɟпɪɟɪыɜнɭю
пɪоизɜоɞнɭю
()(())()
fzdzf
xdx
.
ɮɭнкции
()()()()()()
a
xdxfx
xfxdx
.
ɮɭнк
инɬɟɝɪиɪɭɟмы
111
()()()()
ppp
bbb
ppp
aaa
fxgxdxfxdxgxdx
ªºªºªº
«»«»«»
«»«»«»
¬¼¬¼¬¼
∫∫∫
.
ɮɭнкции
инɬɟɝɪиɪɭɟмы
()()()()
bbb
aaa
fxgxdxfxdxgxdx
ºªº
»«»
»«»
¼¬¼
∫∫∫
.
ɮɭнкция
a, b], ɬо ɮɭнкция
()()
Fxftdt
a, b]. Еɫли ɮɭнкция
инɬɟɝɪиɪɭɟмɚ
a, b] и нɟпɪɟɪыɜнɚ ɜ ɬочкɟ []0,xab
ɮɭнк
()()
Fxftdt
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмɚ
.
ɮɭнкциɟй
5.3.
ПРИЛОЖЕНИЯ
ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
0
lfdx
0
()()
lttdt
=ϕ+ψ
0
ρ+ρϕ
ɮɭнкция
a, b],
ɮɭнк
ɮоɪмɭлɟ
Sfxdx
ɪɚɞиɭɫɚми
0
2
полɭчɟнноɝо
ɪɟзɭльɬɚɬɟ
ɜокɪɭɝ
ɮɭнкции
Vfxdx
полɭчɟнной
ɜокɪɭɝ
a, b] нɟпɪɟɪыɜно ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмой
ɮɭнкциɟй
Sfxfxdx
=π+
0
()()()
Stttdt
=πψϕ+ψ
,
ɮɭнкци
()()
xxxfxdx
xfxfxdx
=δ+=δ+
Mxfxdx
=δ+
= 1,
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмой
ɮɭнкции
xxfxdx
fxdx
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмой
ɮɭнкциɟй
Ixxfxdx
=δ+
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмой
ɮɭнкции
Ixfxdx
edxa
222
(4)
cos
axba
ebxdxea
xdx
xdx
exdx
=−γ
ln2ln2
exdx
=−γ+
ln2ln2
exdx
=γ++
x
5.4.
НЕКОТОРЫЕ
sin
( (
sincos
xdxxdx
+∞+∞
lnln
xdx
=−γ
2
0

68
Пɭɫɬь
ɮɭнкция
a, b),


+
инɬɟɝɪиɪɭɟмɚ
a, β],

ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
fxdx
fxdx
ɮɭнкция
a, b). Еɫли ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
fxdx
fxdx
ɫлɭчɚɟ
fxdx
fxdx
ɮɭнкция
зɚмкнɭɬой





()
()(
y





()(
� 0
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ

(,)
fxydx
6.3.
ИНТЕГРАЛЫ
.
fxdx
� 0
),
fxdx
.
→+∞

()()
xdx
.
Fxdx
fxdx
fxdx
xdx
fxdx
� 1,
.
ɮɭнкция
α, β], ɬо ɮɭнкция
()(
y
α, β] и 0000lim()
()lim()
yyyy
dxfx
Диɮɮɟɪɟнциɪɭɟмоɫɬь
ɮоɪмɭлɚ
).
ɮɭнкции
),
α, β],
α, β] пɪо-изɜоɞнɭю
()(
)()()
(),(),
dxfyyfyy
Φ∂ϕψ
=−ϕ+ψ

()(
dyfxy
dyy
.
ɮɭнкции
ɮоɪмɭлɚ
()(,)(,)
dxd
dxd
ααϕ
Φ==
∫∫∫∫∫
.
()(
� 0
(,)
fxydx
.
()(

(
x
)


(



,
(
x

(
x
)
Y

a
xdx
.
ɮɭнкция
a, b) (


a, b),
a, b) ɮɭнкция
a, η] ɫɬɪɟмиɬɫя к ɮɭнкции
)()
bbb
yyyy
aaa
dxfx
xdx
∫∫∫
.
ɮɭнкция
):
} (


c, η],

6.4.
НЕɋОБɋТВЕННЫЕ
a, ξ],


ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɞɜɭɯ
(,),(,)
dbbd
caac
dxdxfx
∫∫∫∫
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɞɪɭɝой
dbbd
caac
dxdxfx
∫∫∫∫
.
):


,
fxy
()(
a
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмɚ
(,)
dfxy
dxdx
dyy
72
()(
)
ɮɭнкции
a, b],
ɮɭнкцию
инɬɟɝɪиɪɭɟмɭю
a, b],
dxfx
(,)
ɮɭнкции
кɜɚɞɪиɪɭɟмой
зɚмкнɭɬой

max0
max0
(,)lim(,)
y
dxd
iii
xxx
∆=−
,(;)
jjjij
yyy
∆=−∈
ɮɭнкции
кɭɛиɪɭɟмой
зɚмкнɭɬой

max0
max0
max0
(,,)lim(,,)
ijk
zdxd
dzfx
=∆∆∆
111
,,,(;;)
iiijjjkkkijk
xxx
yyy
zzzx
+++
∆=−∆=−∆=−∈
.
= {
):
),
)
ɮɭнкции
ɮоɪмɭлɚ
1
ayx
dxd
dxfx
∫∫∫∫
.
Пɭɫɬь

кɜɚɞɪиɪɭɟмыɟ
зɚмкнɭɬыɟ
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмо
нɭля
ɮɭнкция
ɮоɪмɭлɚ
(,)
(,)(,),(,)
(,)
xyuv
dxd
fxuv
uvdudv
∫∫∫∫
Фɭнкция
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɮɭнкция
III.7.
73
.
= {
):
a, b],
),
):
ɮɭнкция
()(,)
()(,)
yxzxy
ayxzxy
zdxd
dzdxd
zdz
∫∫∫∫∫∫
.
Пɭɫɬь
uvw

кɭɛиɪɭɟмыɟ
=
=
=

uvw
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмо
(,,)
(,,)
xyz
uvw
uvw
ɮɭнкция
ɮоɪмɭлɚ
(,,)
(,,)(,,),(,,),(,,)
(,,)
xyzuvw
xyz
zdxd
dzfxuvw
uvwzuvwdudvdw
uvw
∫∫∫∫∫∫
74
Пɭɫɬь
()()
xxt
rrt
zzt
Пɭɫɬь

ɮɭнкция
zds
ɮɭнкции
ɮоɪмɭлой
ɞɭɝи
222
)()()
()()()()
zdsfrdsfxt
tztxt
tztdt
==++
∫∫∫
"""
I
ABBA
zdsfx
zdsfx
zds
∫∫∫
Пɭɫɬь
ɮɭнкции

ɮɭнкции
),
II
PdxQd
ɮоɪмɭлой
( ( (
()()
()()()
()()()
()()
PdxQdyRdzdrdt
Pxt
tztxtQxt
tzt
tRxt
tztztdt
++===
=++
∫∫∫
FrFr
"""
II
75
Пɭɫɬь

ɞɜɭɫɬоɪонняя
),
), (
),
)
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмыɟ
ɮɭнкции
222222
xyzxyz
uuuvvv
xxyyzz
uvuvuv
∂∂∂∂∂∂
§·§·§·§·§·§·
=++=++
¨¸¨¸¨¸¨¸¨¸¨¸
∂∂∂∂∂∂
©¹©¹©¹©¹©¹©¹
∂∂∂∂∂∂
=++
∂∂∂∂∂∂
I
.

ɮɭнкция
I
(,,)((,),(,),(,))
zdfxuv
uvzuvEGFdudv
σ=−
∫∫∫∫
II
.
Пɭɫɬь

};

ɮɭнкции
dzQdzdxRdxd
coscoscos
dzQdzdxRdxd
PQRd
+=α+β+γσ
∫∫∫∫
222222222
cos;cos;cos,
ABC
ABCABCABC
α=β=γ=
±++±++±++
zzxx
ABC
uvuvuv
∂∂∂
===
∂∂∂
ɞɪɭɝой
II
Фоɪмɭлɚ
.
Пɭɫɬь

зɚмкнɭɬой
ɭɫлоɜии
ɮɭнкций
ɮоɪмɭлɚ
dxd
PdxQd
−=+
∫∫∫
. (
конɬɭɪɭ
зɚмкнɭɬомɭ
конɬɭɪɭ
Фоɪмɭлɚ
.
Пɭɫɬь

кɭɫочно
нɚɬянɭɬɚя
зɚмкнɭɬый
кɭɫочно
конɬɭɪ
ɮɭнкции
ɮоɪмɭлɚ
coscoscos
PdxQd
Rdzd
xyz
PQR
αβγ
∂∂∂
++=σ
∂∂∂
∫∫∫
cos

коɫинɭɫы
конɬɭɪɭ
ɮɭнкции
rot
⋅=⋅σ
∫∫∫
FrFn
Фоɪмɭлɚ

Гɚɭɫɫɚ
.
Пɭɫɬь

кɭɫочно

ɮɭнк
ɮоɪмɭлɚ
(coscoscos)
PQRddxd
xyz
α+β+γσ=++
∂∂∂
∫∫∫∫∫
коɫинɭɫы
ɮɭнкции
ɮɭнкции
ɮоɪмɭлɚ
Гɚɭɫɫɚ
div
ddxd
⋅σ=
∫∫∫∫∫
FnF
77
IV.
Ряды
произведения
aaaa
=
существует
сумм
случае
n
.


n
,


n
,


n

-

.
1.2.


.


n
(

),


n
caca
111
nnnn
nnn
abab
∞∞∞
===
=
¦¦¦
1121
nnmnm
nnnm
abab
∞∞∞−
====
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
¦¦¦¦
условие
lim0



.



n
n


,



� 0



N
=
N
(
),


n

N


p
� 0
npni
SSa
=<ε



n
n


n

N


a

b




n
n

-


n
n

.

a
� 0


n
n
q
a


q
1


n
n
,

q
� 1

.

.

a
0


n
n


q
1


n
-
,

q
� 1

.

.

a
� 0


lim1
Гаусса
1
nn
n
an
n
=O







fxdx
НЕКОТОРЫЕ
. 79
(1)
lim0



R
(–1)
+1
+1
+2



R

= (–1)
+1

1).

.

n
,

)


n
;
)


b



.

.

n
Сумма
nn
p
+ (
p
+ 1) + (
p
+ 2) + … + (
p
+
n
)=
npn
1 + 3 + 5 + … + (2
n
– 1)
=
n
2 + 4 + 6 + … + 2
n
=
n
(
n
+ 1)
;
1 + 8 + 16 + … + 8 (
n
– 1)
= (2
n
– 1)
1
n
nnn
1
n
nn
1
n
– 1)
nn
1
n
– 1)
n
n
;
1
n
331
nnnnn
−


sinsin
sinsin2sin
sin
nnx
xxnx
=
cossin
coscos2cos
nnx
xxnx
=
sinsinsin
222
cos2cos2cos
2sin
nxnx
xxnnx
=
1111
2ct
2244
2222
nnnn
xxxx
=−
shshsh
222
ch2ch2ch
2sh
xnx
nnx
xxnnx
=
221222
(2)!111
2234
nnnnn
=
21212121
2(2)!111
357
nnnn

=−−
1111
!1!2!3!
==
11111
(1)1
!1!2!3!
=−−=
1111
1ln2
−=−−=
1111
248
==
11112
(1)1
2483
=−−=
11111
(1)1
2135794
−=−−−=
1111
(1)122334
==
⋅⋅⋅
11111
1335572
=
−⋅⋅⋅
11113
1324354
==
−⋅⋅⋅
НЕКОТОРЫЕ
ЧИСЛОВЫЕ
РЯДЫ
. 81
11111
3579111328
==−
−⋅⋅⋅
1111
1232344
nnn
==
⋅⋅⋅⋅
2222
1111
234
==
2222
1111
(1)1
−=−−=
222
111
(21)35
==
2222
1111
(1)1
(21)357
−=−−=
444
111
==
444
1117
(1)1
−=−=
444
111
(21)35
==
221
2222
11112
(2)!
234
kkkk
==
221
2222
1111
(1)1
(2)!
kkkk
−=−−=
2222
1111
2(2)!
(21)357
kkkk
==
2121212122
1111
(1)1
3572
kkkkk

−=−−=
1ch1
(2)!
sh1
(21)!
(1)
1cos1
(2)!
(1)
sin1
(21)!

функции
функциональный
n
Функции
Функция
Функциональный
сумм
Функциональный
axx
функция
0
0
0
функции
функциональными
функциональных
n





X
,


,



� 0



N
=
N
(
),



n

N
,


p



x
X

()()()
npni
SxSxfx
=<ε
. 83
n



-



X
,







-


n
n
|
a
x
) |

r

.

()()
n




X
,


n



X
;
{
g
x
)}





x
X
.

.

()()
n



X
,




n
функциональных
Сумма
функций
функция
промежутке
существуют
xx
x
X
,


())
xx
n


xxxx
fxfx
⎨⎬⎨⎬
n
дифференцируемы
n
fx
dx


[

()()
fxfx
dxdx
n


[




-

[

()()
fxdxfxdx


2.4.





R



0
axx
Формула
существует
n
n
a

=
n
n
a
Внутри
axx
bxx
000
000
()()()()
nnn
nnnn
nnn
axxbxxabxx
∞∞∞
===
−−=−
¦¦¦
000
000
()()()
nnn
nnn
nnn
axxbxxcxx
∞∞∞
===
−−=−
¦¦¦
nini
cab
010
()(
)()
axxnaxx
−=−
00
00
()()(
const
axxdxxxcc
−=−=
()()
mnn
mmmn
xxm
−−
±=±>
()()
112
1!2!3!
mmxmmmx
−−−
±=±±
()()
()()
11(1)
112
0;1
1!2!3!
mmmn
mmxmmmx
−
±==

=><
∓∓>
2135
)()
(21)!3!5!
xxx
xxx
=−=−−<∞
2246
cos
(2)!2!4!6!
xxxx
=−=−−<∞
НЕКОТОРЫЕ
СТЕПЕННЫЕ
РЯДЫ
. 85
3579
221
121762
!31531528352
xxxxxxx
==<
357
112
(2)!3459454725
xxxx
xxx
xnx
=−=−<<π
2468
561277
sec11
!22472080642
xxxx
xxx
==<
357
221
cosec
(2)!
1731127
636015120604800
xBx
xxxx
==
=<<π
234
!1!2!3!4!
xxxxx
==
1224
(1)
112
2(2)!22!4!6!
BxBxBx
xxx
=−=−−−<π
24567
sin
38356
2!4!5!6!7!
xxxxx
exx
=−−−<∞
246
431
2!4!6!
xxx
eex
=−−<∞
2345
3937
2!3!4!5!2
xxxx
exx
=<
234
arcsin
2!3!4!
exx
=<
2345
arctg
2!3!4!5!
xxxx
exx
=−−<
()()
2135
1(1)(1)
ln220
2113151
xxx
nxxx
−−−
==>

234
(1)1
(1)(1)(1)
xxx
xxx
−−−
==−−−<
(1)1(1)(1)
ln12
xxxx
nxxx
−−−−
==>
1234
(1)
ln111
xxxx
xxx
==−−−<


2345
ln111
2345
xxxxx
xxx
−=−=−−<
21357
ln221
121357
xxxxx
==<
21357
111111
ln221
(21)357
nxxxx
==>
()()
333
13521
arcsin
246221
13135
232452467
xxx
⋅⋅⋅⋅−
==
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=<
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
357
135(21)
arccos
2246(2)(21)
13135
2232452467
xxx
π⋅⋅⋅⋅−
=−−=
⋅⋅⋅⋅
π⋅⋅⋅
=−<
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
21357
(1)
arct
21357
xxxx
xxx
==−−<
21357
(1)1111
arct
(21)357
nxxxx
π−π
=±=±−−−>
121357
(1)
arcct
2212357
xxxx
xxx
π−π
==−−−<
21357
(1)1111
arcct
(21)357
nxxxx
==−−>
21357
(1)1111
arcct
(21)357
nxxxx
=π=π−−<−
21357
(21)!3!5!7!
xxxx
xxx
==<∞
2246
ch1
(2)!2!4!6!
xxxx
==<∞
1223579
(1)2(21)21762
!31531528352
nnn
xxxx
xBxxx
−−π
==−−−<
12357
1(1)212
cth0
(2)!3459454725
xxxx
xBxx
xnx
==−−<<π
НЕКОТОРЫЕ
СТЕПЕННЫЕ
РЯДЫ
. 87
357
135(21)
arsh(1)
246(2)(21)
13135
232452467
xxx
⋅⋅⋅⋅−
=−=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=−−<
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
246
135(21)
archln2
246(2)(2)
113135
ln21;
222442466
nnx
xxx
⋅⋅⋅⋅−
=±−=
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
=±−−−−>
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
21357
arth1
21357
xxxx
xxx
==<
21357
11111
arcth1
(21)357
nxxxx
==>

случае
lim0
lim1


n
n


,



n

n
n
n





n








,






,


n
n
.
3.3.


.
2
1
2
41
n

);
2
1
2
(21)
НЕКОТОРЫЕ
БЕСКОНЕЧНЫЕ
. 89
1
1
n
n



);
1(1)sin
2112
−=
113
1ch
113
1ch
1112
21221
aaaa
nnna
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−−=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
π
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
1
1cth
aea
=
(1)(1)
122
nne
⎛⎞⎛⎞
==
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
=−∞
(21)
cos
212
=−∞
1
11
n
n
n

)
(

(
0
=<
1sin
1cos
(21)
1sh
;
1ch
(21)
sin
cos1
4sin
1sin
zrx
222
n

нɭля
Фɭнкция
()()
fzfz
Фɭнкция
Фɭнкция
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
Фɭнкция
fzazz
=−∞

).
Фɭнкция
= 0.
ɮɭнкции
=


ɮɭнкции
ɮɭнкции
ɫɭщɟɫɬɜɭɟɬ
ɮɭнкция
ɮɭнкции

= 0
ɮɭнкции

0,
0, ,
= 0 (
= 1, 2, )),
= 1,
ɮɭнкции
конɬɭɪɭ
конɬɭɪом
ɫлɭчɚɟ
=
ɭɝлы
I
ɚɛɫолюɬнɭю
ɭɝлɚ
II
ɭɝлɚ
Диɮɮɟɪɟнциɪоɜɚниɟ
ɮɭнкций

.
ɮɭнкция
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмыми
ɮɭнкциями
ɮɭнкции
ɞɜɭɯ
ɭɞоɜлɟɬɜоɪяли
ɭɫлоɜиям
uvuv
∂∂∂∂
==−
∂∂∂∂
:
uvuv
∂∂∂
=−=
ϕ∂∂∂ϕ
,
Фɭнкция
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмɚя
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмоɫɬи
ɮɭнкции
ɫлɟɞɭɟɬ
ɮɭнкций
ɮɭнкций
ɮɭнкций
ɮɭнкции
ɮоɪмɭлой
()()()
CCC
fzdzudxvd
ivdxud
=−++
∫∫∫

кɭɫочно
=
).
Фоɪмɭлɚ
ɮɭнкции
=
ɞиɮɮɟɪɟнциɪɭɟмыɟ
ɮɭнкции
{}{}
Ctt
fzdzuxv
dtivxu
=−++
∫∫∫
""""
ɮɭнкции
ɫлɟɞɭюɬ
ɮɭнкции
ɮоɪмɭлой
()()
const
FzfdCC
=ζζ+=
,

ɮɭнкция

кɭɫочно
пɭɬи
Фоɪмɭлɚ
()()
CCC
fzdzfzdzfzdz
→∞→∞
∫∫∫
)
ɮɭнкций
ɮɭнкции
2.4.
.
fzdz

ɮоɪмɭлɚ
.
1()
fzd
πζ−
,

зɚмкнɭɬый
кɭɫочно
конɬɭɪ
ɮɭнкция
1()
πζ−

кɭɫочно
)
ɮɭнкция
ɚнɚлиɬичɟɫкɭю
ɮɭнкцию
Фоɪмɭлɚ
!()
Лиɭɜилля
.

.

fzdz
Фоɪмɭлы
1()1
()()
zdz
ϕ=ζ+ϕ
πζ−
,
1()1
()()
zdz
ϕ=ζ−ϕ
πζ−
ɮɭнкция
зɚмкнɭɬой

ɜнɭɬɪи
конɬɭɪɚ
конɬɭɪɚ
= 1, 2, )
n

()()
fzfz


()()
()()
()()
fzfz
dzdz
n





G



:
0
0
fzzz
,

ɮɭнкция
кɪɭɝɟ
Фоɪмɭлɚ
0
0
()()
fzzzRz
=−+
( (
Rzd
ζ−ζ−
:
000
()()()
nnn
nnn
nnn
fzczzczzczz
∞∞∞
=−∞==
=−=−+−
∑∑∑

ɮɭнкция
|
|
1()
окɪɭжноɫɬь
ɫооɬɜɟɬɫɬɜɭющими
ɮɭнкции
ɮоɪмɭлой
res()
fzfzdzc

ɮɭнкция

зɚмкнɭɬый
конɬɭɪ
оɫоɛɭю
ɮɭнкции
ɞɪɭɝиɯ

ɮɭнкции
.
( (
2res
fzdzifz

= 1, 2, ,
);
(1)
000
(1)
reslim()
(1)!
fzzzfz
ɮɭнкции
ɭɞɚлɟнной
fzfzdzc
==−

конɬɭɪ
ɭɞɚлɟннɚя
2.6.
КОНФОРМНЫЕ
ОТОБРАЖЕНИЯ
ɚɪɝɭмɟнɬɚ
:
arg
dzfzNP
ifz
∆=−
нɭлɟй
ɮɭнкции
ɜнɭɬɪи
зɚмкнɭɬой
arg
ɜокɪɭɝ
ɪɚɞиɭɫ
ɮɭнкцию
конɬɭɪɚ
нɭль
ɭчɟɬом
).
ɮɭнкции
конɬɭɪɚ
Рɭшɟ
.
121
dzdz
iffif
π+π

Конɮоɪмныɟ
I
ɮɭнкция
оɫɭщɟɫɬɜляɟɬɫя
ɮɭнкции
ɮɭнкциɟй
оɫɭщɟɫɬɜляɟмоɟ
ɮɭнк
ɮɭнкциɟй
Фоɪмɭлɚ
кɭɫочно
lfzdz
Фоɪмɭлɚ
Sfzdxd

Тɪɚнɫцɟнɞɟнɬныɟ
ɮɭнкции
ɮɭнкций
Фɭнкция
Аɪɝɭмɟнɬ
(0)


1025
1025

2
2
3

1025
1025

2
2

1025
1025

2
2
3

5
1025
1025


0

ɮɭнкциями
ɮоɪмɭлɚɯ
минɭɫ
ɭɝол
ɮɭнкции

1cos
=±−α
1tg
1ctg
sec1
cosec

1sin
=±−α
1tg
1ctg
cosec1
cosec

1sin
1cos
cos
±−α
sec1
±α−
cosec1

1sin
cos
1cos
±−α
t
sec1
cosec1
±α−

1sin
cos
1tg
±+α
1ctg
cosec
cosec1

1cos
±−α
1tg
1ctg
±+α
sec1
VI.1.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕɋКИЕ
97
VI.1.
Аɪɝɭмɟнɬ
Фɭнкция
β=±α
=π±α
2
=±α
β=π−α
= cos
sin
sin
sin
sin
cos
ctg
tg
ctg
tg
ctg
tg
ɮɭнкции
ɫɭммы
ɞɜɭɯ
ɭɝлоɜ
; cos (
t
;ct
1tgtgctgctg
α±βαβ
α±β=α±β=
αββ±α
ɮɭнкции
ɚɪɝɭмɟнɬоɜ
2
tg2;ctg2
2ctg
1tg
αα−
α=α=
; cos 3
3ct
tg3;ctg3
13t
3ct
α−αα−α
α=α=
−αα−
1cos1cos
sin;cos;
2222
1cossin1cos
21cos1cossin
1cossin1cos
21cos1cossin
−αα+α
=±=±
α−αα−α
=±==
+α+αα
α+αα+α
=±==
−α−αα
ɮоɪмɭлɚɯ
ɭɝлɚ
ɛɟɪɭɬɫя
ɮɭнкции
ɫɭммы
ɮɭнкций
sinsin2sincos;sinsin2cossin;
2222
coscos2coscos;
coscos2sinsin2sinsin;
2222
α+βα−βα+βα−β
α+β=α−β=
α+βα−β
α+β=
α+βα−βα+ββ−α
α−β=−=
cossin2cos45;cossin2sin45;
α+α=°−αα−α=°−α
sinsin
;ct
coscossinsin
α±ββ±α
α±β=α±β=
αβαβ
1.3.
ПРИВЕДЕНИЯ
coscos
cossincossin
2cosec2;t
2ct
1cos2cos;1cos2sin;
1sin2cos45;1sin2sin45;
α+β=α−β=
αβαβ
α+α=αα−α=−α
+α=−α=
§·§·
+α=°−−α=°−
¨¸¨¸
©¹©¹
( (
( (
2222
2sin45
1tg;
cos
coscos
1tgtg;ctgctg1;
coscossinsin
cos2cos2
1tg;1ctg;
cossin
sinsin
tgtg;
coscos
sinsin
ctgctg;
sinsin
tgsintgsin;ctg
°±α
±α=
αβαβ
±αβ=αβ±=
αβαβ
−α=−α=−
α+βα−β
α−β=
α+ββ−α
α−β=
α−α=αα
2222
cosct
cos.
−α=αα
ɮɭнкций
ɫɭммɭ
( (
( (
( (
sinsincoscos;
coscoscoscos;
sincossinsin;
αβ=α−β−α+β
αβ=α−β+α+β
αβ=α−β+α+β
( ( ( (
( ( ( (
( ( ( (
( (
sinsinsinsinsinsinsin;
sinsincoscoscoscoscos;
sincoscossinsinsinsin;
coscoscoscoscosc
αβγ=α+β−γ+β+γ−α+γ+α−β−α+β+γ
αβγ=−α+β−γ+β+γ−α+γ+α−β−α+β+γ
αβγ=α+β−γ−β+γ−α+γ+α−β+α+β+γ
αβγ=α+β−γ+β+γ−α+
( (
oscos.
γ+α−β+α+β+γ
ɮɭнкциями
arcsinarcsinarccosarct
arccosarccosarcsinarcct
arctgarctgarcctgarcsin(1);
arcct
arcct
arct
arccos
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
=−−=−=−
=π−−=−=−
=−−=−=+
=π−−=−=+

100
sh;ch;
shch
th;cth;
chsh
sech;cosech.
chsh
xxxx
eeee
2222
chsh1;thcth1;
th11cth
sh;ch;
1thcth11thcth1
shch11shch
th;cth.
chsh
1shch1
xxxx
xxxx
xxxx
−=⋅=
====
−−−−
====
Фоɪмɭлы
shshchchsh;chchchshsh;
ththcthcth1
th;cth;
1ththcthcth
sh22shch;ch2chsh;
2thcth1
th2;cth2;
2cth
1th
ch12sh;ch12ch;
shch1
2ch1sh
xyxy
xyxy
xyyx
xxxxxx
xxx
±=±±=±
±=±=
==+
−=+=
shch1
;cth;
2ch1sh
xxx
( ( ( (
( (
shsh2shch;
chch2chch;chch2shsh;
2222
shsh
thth;cthcth;
chchshsh
2chchchch;2shshchch;
2shchshsh.
xyxy
xyxyxyxy
xyxy
xyxy
xyxy
xyxy
xyxyxy
+−+−
+=−=
±=±=
=++−=+−−
=++−
ɮɭнкциями
2222
2222
arsharsharsh11arch11;
archarcharch11arsh11;
arthartharth.
xyxyxyyxxy
±=+±+=++±
±=±−−=−±−
VI.2.
ГИПЕРБОЛИЧЕɋКИЕ
ФɍНКЦИИ
101
ɮɭнкциями
cosch;chcos;
sinsh;shsin;
th;tht
cth;cthct
xixxix
xiixxiix
xiixxiix
xiixxiix
=−=−
=−=−
ɮɭнкциями
arccosarch;archarccos;
arcsinarsh;arsharcsin;
arct
arth;artharct
arcct
arcth;arctharcct
xixxix
xiixxiix
xiixxiix
xiixxiix
=−=−
=−=−
Фоɪмɭлɚ
( (
lim0,1,2,
zzzn
Γ=≠−−
Re0
ztedtz
Γ=>
( (
ln11
)()
zzznz
Γ+=−++−γ+−
zzn
zee
0,5772156649
limln
Фоɪмɭлɚ
ɭмножɟния
Гɚɭɫɫɚ
(1)212
()(2)
nnz
nznz
Γ=πΓ+
Рɟкɭɪɪɟнɬнɚя
ɮоɪмɭлɚ
121
nznznzzzz
Γ+=−+−++Γ
Фоɪмɭлы
()()
ΓΓ−=−
0
()(
0Re1
zzdtz
Γ−=
Фоɪмɭлɚ
11139
()21arg
28851840
zezz
Γ≈++−−π
Фоɪмɭлɚ
(12)111
(1)8
≈−+−→∞
+ 1) =
2
()()
BzwBzwBwz
(,)1
Bzwttdtdt
=−=
ɮɭнкции
()ln()
dzz
ψ=Γ=
VI.3.
103
000
1(1)
tztz
eedtt
zdtedt
ttt
znzn
ψ=−γ−+
2
)()
znzz
+=−γ+−
Фоɪмɭлɚ
ɭмножɟния
0
nzzn
ψ=ψ++
Рɟкɭɪɪɟнɬнɚя
ɮоɪмɭлɚ
111
()()
nzz
nznzz
ψ+=++++ψ
−+−+
Фоɪмɭлɚ
()(
zzz
ψ−ψ−=−ππ
1
2,ln2
ψ=−γ+ψ=−γ−
Re0,const
azetdtaa
γ=>=
,
(,)()(,)
azaazetdt
Γ{Γ−γ=
Рɟкɭɪɪɟнɬнɚя
ɮоɪмɭлɚ
(1,)(,)
azaazze
γ+=γ−
Фоɪмɭлɚ
anan
zazzanz
−−−
Γ=−Γ+
,erf,,erfc
zzzz
§·§·
γ=πΓ=π
¨¸¨¸
©¹©¹
ɭɪɚɜнɟниɟ
222
dwdw
zzzw
++−ν=
(1)(2)
HzHz
ɮɭнкциями
:
cos
JzJz
ν−ν
(1)(2)
()()()()()()
()(
)()()(
)()
nnnn
HzJziYzHzJziYz
JzJzYzYz
νννννν
=+=−
=−=−
(1)2(1)2
!
kkn
kkn
JzJz
kkkkn
Γ+ν+−
1(1)!2
()ln()
2!42
2!!
znkzz
YzJz
knk
knk
§·§·
=−+−
¨¸¨¸
©¹©¹
−ψ++ψ++
(2)
()coscossin
(12)
2(2)
1cosRe12;
(12)
Jzzd
tztdt
=θθθ=
πΓν+
=−ν>−
πΓν+
sh()
sinsincosar
1sin
()cossinarg;
()cossin.
ttzt
ztt
Yzzdeeedtz
Jzzdedtz
Jzznd
ν−ν
=θ−νθθ−+νπ
νππ
=θ−νθθ−
=θ−θθ
ɮɭнкций
()();
()(
)()
zfzzfz
zdz
zfzzfz
zdz
−ν−ν
VI.4.
105
ɮɭнкций
(1)2(21)
()()
JzJz
kkkk
+µ+
−Γν+µ++
µ++Γν++Γν+µ++
Рɟкɭɪɪɟнɬноɟ
ɮɭнкций
()()()
fzfzfz
ννν
ɮɭнкциями
полɭцɟлоɝо
12121212
()(
)()
()(
)()
nnnn
JzYzYzJz
−−+−−+
=−=−
ɮɭнкциями
21sin
()(
21cos
()(
2sin
()()()()
()()()().
Jzz
zzdzz
Yzz
zzdzz
JzJzJzJz
JzYzYzJz
−+−+
νννν
νννν
§·ªº
©¹¬¼
§·ªº
©¹¬¼
ɭɪɚɜнɟниɟ
222
dwdw
zzzw
+−+ν=
ɮɭнкциями
ɮɭнкциями
22
2
()()();
2sin
eJzez
eJzez
KzIzIz
πνπ
πνπ
ννν
−π
°©¹

()()
()()
()(
)()
nnnnnn
IzIzKzKzIzIz
==−=−
:
(2)
k
+ν+
()(1)ln()
22!42
(1)
22!!
zzz
KzIz
knk
knk
§·§·
=−+−+
¨¸¨¸
©¹©¹
+ψ++ψ++
cos
1sin
cosar
2
2
1
1Re,ar
()cos.
ztt
Izededtz
Kzetdtzz
Izend
−−ν
=νθθ−
=−>−
Γ+ν
=θθ
Рɟкɭɪɪɟнɬныɟ
1111
()()()
()()()
IzIzIzKzKzKz
−+−+
νννννν
−=−=−
ɮɭнкций
()()
()()
zfzzfzzfzzfz
zdzzdz
−−−−
νννν
νννν
§·§·
ªºªº
¨¸¨¸
¬¼¬¼
©¹©¹
VI.5.
107
ɮɭнкций
ɮɭнкциями
()sh;
2sin
()()()()
()()()().
Izz
IzIzIzIz
KzIzKzIz
−+−−
νννν
νννν
−=−
Кɭммɟɪɚ
2
dwdw
zczaw
+−=
Фɭнкция
Кɭммɟɪɚ
0
1
0
1
(,;)11
1!12!
zai
azz
acz
ccc
nci
Φ=+++=+
Фɭнкция
1,2;
(,;)
sin(1)()()(2)
aczaccz
aczz
caccac
πΦΦ+−−
Ψ=−
πΓ+−ΓΓΓ−
1
1
0
1
1
1
()()
zta
ztca
aczettdt
caa
aczettdt
−−−
Φ=−
Γ−Γ
Ψ=−
()()
()()
danc
ancnz
cna
dan
ancnz
ΦΓ+Γ
=Φ++
Γ+Γ
ΨΓ+
=−Ψ++
Рɟкɭɪɪɟнɬныɟ
ɮоɪмɭлы
Фоɪмɭлɚ
Кɭммɟɪɚ
aczecacz
=Φ−−
( ( (
,1;
,1;
(,;)(1,;)(,1;)0;
)()(
1,;
,1;
1,;
,1;
1(,;)(1,;
ccaczcczaczcazacz
caczcaczzacz
azaczcaaczcacz
czaczcazaczcacz
acaczaacz
−Φ−−−+Φ+−Φ+=
Φ−Φ−−Φ+=
−+Φ+−Φ−−−Φ−=
+Φ−−Φ+++Φ−=
−+Φ−Φ+
( (
)1(,1;)0;
(1,;)(2)(,;)(1,;)0;
,1;
,1;
(,;)(1,;)(,1;)0;
(,;)(,1;)(1,;)0;
cacz
caaczaczaczaacz
caaczczaczzacz
aczaaczacz
caaczzaczacz
+−Φ−=
−Φ−+−+Φ−Φ+=
−−Ψ−−−+Ψ+Ψ+=
Ψ−Ψ+−Ψ−=
−Ψ−Ψ++Ψ−=
( (
( (
1,;
,1;
1,;
,1;
1,;
1,;
azaczaczacacz
azaczacaaczzacz
aczaczaczaacacz
−+Ψ−Ψ−+−+Ψ−=
+Ψ+−−Ψ+−Ψ+=
Ψ−−−+Ψ+−+Ψ+=
VI.6.
ВЫРОЖДЕННЫЕ
109
ɫлɭчɚи
(,;);(1,2;2)sh;
(1,2;2)sin;,;erf;
222
,1;
;,21;2
)()
1,1;
;,21;22
aazezz
izzzz
aazazazzeIz
aazeazzzKz
Φ=Φ=
Φ−=Φ−=
§·§·
Φ+−=γΦν+ν+=Γ+ν
¨¸¨¸
©¹©¹
Ψ−−=ΓΨν+ν+=
;erfc.
zez
dzz
−++=
ɮɭнкции
ɮɭнкциями
,,,
(2)(2)
WzMzMz
µµ−µ
Γ−µΓµ
§·§·
Γ−µ−Γ+µ−
¨¸¨¸
©¹©¹
iii
ɮɭнкциями
,
,21;;
,21;.
Mzezz
Wzezz
−+µ
−+µ
=Φµ−+µ+
=Ψµ−+µ+

110
erf
;erf
zedtzz
=−=−
2121
2(1)22
erf()
!211321
nnnn
nnn
⋅⋅⋅+
erf()
( (
( (
1cos2(1)
412!
1sin2(1)
4321!
tzz
Czdt
tzz
Szdt
π++
4444
()()
()()
iiii
CziSzeezCziSzeez
ππππ
+=−=
ɮɭнкция
()(
Re1
n

1Re1
zpz
=−>
1
0
1
0
Re0;
()Re1.
zdtz
zdtz
−ζ=>
ζ=>
Рɟкɭɪɪɟнɬныɟ
2(2)(1)
cos
()()
;14
2()(1)
(2)
zzz
zzzzz
−=Γ
+=−π
ζζ−−
чиɫлɚ
Бɟɪнɭлли
121
2468
2(2)!
(12)(
6909459450
nnB
ζ=−ζ−=ζ=−
ζ−=−−
ππππ
ζ=ζ=ζ=ζ=
VI.7.
ФɍНКЦИИ
111
ɮɭнкция
Ei()(0,)
zzedt
=−Γ=−

Ei()ln;Ei()ln(1)
zizxx
nnnn
=γ−π++−=γ++−
li()
ɮɭнкциɟй
;Ei
zzze
ɫинɭɫ
коɫинɭɫ
sin1
cos1
zdtiziz
zdtiziz
==−−
==+−
Дɪɭɝиɟ
;Ci
zzdtxz
=+==
( (
2
1
()(
22121!
22!
=−+−
=γ++−
ЛИТЕРАТɍРЫ
Нɚɭкɚ
инɬɟɝɪɚлоɜ
пɪоизɜɟɞɟний
Нɚɭкɚ
инɬɟɝɪɚлоɜ
ɞɪɭɝиɟ
ɮоɪмɭлы
Нɚɭкɚ
ɋпɪɚɜочник
ɪɚɛоɬникоɜ
инжɟнɟɪоɜ
Нɚɭкɚ
Пɪɭɞникоɜ
Бɪычкоɜ
Инɬɟɝɪɚлы
Нɚɭкɚ
Нɚɭкɚ
Кɭɪɫ
ɝɟомɟɬɪии
линɟйной
Нɚɭкɚ
Дɭɛɪоɜин
ɝɟомɟɬɪия
Нɚɭкɚ
Еɮимоɜ
ɝɟомɟɬɪия
Нɚɭкɚ
ɝɟомɟɬɪия
Нɚɭкɚ
Нɚɭкɚ
Вɟкɬоɪноɟ
ɬɟнзоɪноɝо
Кɭɞɪяɜцɟɜ
Лɚɜɪɟнɬьɟɜ
Шɚɛɚɬ
Мɟɬоɞы
ɬɟоɪии
пɟɪɟмɟнноɝо
Нɚɭкɚ
Мɚɪкɭшɟɜич
Кɪɚɬкий
ɬɟоɪии
Нɚɭкɚ
Никольɫкий
Кɭɪɫ
Нɚɭкɚ
ɬɟоɪию
пɟɪɟмɟнноɝо
Нɚɭкɚ
ɝɟомɟɬɪия
Нɚɭкɚ
Диɮɮɟɪɟнциɚльнɚя
ɝɟомɟɬɪия
Нɚɭкɚ
ɝɟомɟɬɪия
Нɚɭкɚ
Тиɯоноɜ
Тɟоɪия
пɟɪɟмɟнной
Нɚɭкɚ
ɍиɬɬɟкɟɪ
Вɚɬɫон
Кɭɪɫ

Приложенные файлы

  • pdf 5748140
    Размер файла: 994 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий