Теория вероятностей и Математическая статистика МУ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА
(ЮРГУЭС)








МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к самостоятельной работе по математике


ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА


для студентов 1 - 3 курсов всех специальностей
заочной и дистанционной форм обучения
















Шахты – 2003

СОСТАВИТЕЛИ:


доцент кафедры
математики ЮРГУЭС, к. ф. – м. н. Шрайфель И. С.

старший преподаватель кафедры
математики ЮРГУЭС Мицик М. Ф.

ассистент кафедры
математики ЮРГУЭС Алейникова О. А.


РЕЦЕНЗЕНТЫ:


доцент, к. ф. – м. н. Мещеряков А. С.

доцент кафедры
математики ЮРГУЭС, к. э. н. Охрименко О. И.














Настоящее руководство рекомендуется в помощь студентам при подготовке к практическим занятиям, контрольным работам. Приводится большое количество задач по теории вероятностей и математической статистике с подробными решениями. Предлагаются задачи для самостоятельного решения.







СОДЕРЖАНИЕ Стр.

Теория вероятностей 4
Математическая статистика...17
Задачи для самостоятельного решения.24
Ответы к задачам п. 3..27
5. Библиографический список....29
















Руководство обсуждено и рекомендовано к изданию на заседании кафедры математики ЮРГУЭС



Протокол № 2 от 27.09.2003 года.









Редактор Суева Н. В.






ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

При решении задач по теории вероятностей часто используются такие понятия комбинаторики как перестановки, сочетания, размещения. Дадим необходимые определения. Соединениями называются различные группы, составленные из каких-либо объектов. Элементами называются объекты, из которых составлены соединения.
Различают три вида соединений: перестановки, размещения и сочетания.
Перестановками из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов называются соединения, содержащие все 13 EMBED Equation.3 1415 элементов и отличающиеся между собой лишь порядком элементов. Число перестановок из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов обозначается 13 EMBED Equation.3 1415 и находится по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
Размещениями из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов по 13 EMBED Equation.3 1415 в каждом 13 EMBED Equation.3 1415 называются такие соединения, в каждое из которых входит 13 EMBED Equation.3 1415 элементов, взятых из данных 13 EMBED Equation.3 1415 элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения. Число размещений 13 EMBED Equation.3 1415 из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов по 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Сколькими способами можно выбрать 4 человека на 4 различные должности из 9 кандидатов?
13 EMBED Equation.3 1415
Сочетаниями из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов по 13 EMBED Equation.3 1415в каждом 13 EMBED Equation.3 1415 называются такие соединения, в каждое из которых входят 13 EMBED Equation.3 1415 элементов, взятых из данных 13 EMBED Equation.3 1415 элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом. Число сочетаний 13 EMBED Equation.3 1415 из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов по 13 EMBED Equation.3 1415 может быть найдено по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример. В классе 35 учащихся. Из них нужно избрать 4 делегата на конференцию. Сколько имеется возможностей?
13 EMBED Equation.3 1415.
Напомним некоторые важные понятия теории вероятностей.
Наблюдаемые события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий.
Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий.
Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности условий может либо произойти, либо нет.
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в том же испытании. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания наверняка происходит хотя бы одно их них. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.
Классическое определение вероятности:
Вероятностью события 13 EMBED Equation.3 1415 называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 - вероятность события 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 - число элементарных исходов испытания, благоприятствующих событию 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 - общее число элементарных исходов испытания.

Задача 1.1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра (событие 13 EMBED Equation.3 1415).
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415=10 – общее число возможных цифр.
13 EMBED Equation.3 1415=1 – единственная правильная цифра.
13 EMBED Equation.3 1415

Задача 1.2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры (событие 13 EMBED Equation.3 1415).
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Задача 1.3. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

Решение.
На выпавшей грани первой игральной кости может появиться одно очко, два очка,, шесть очков. Аналогично шесть исходов возможны при бросании второй кости. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым из исходов бросания второй. Таким образом, число возможных элементарных исходов испытания равно 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415. Благоприятствующими интересующему нас событию (сумма очков равна семи) являются следующие шесть исходов:



Первая кость

Вторая кость

Сумма очков


1
6
1+6=7

2
5
2+5=7

3
4
3+4=7

4
3
4+3=7

5
2
5+2=7

6
1
6+1=7


то есть 13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность равна отношению 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 1.4. В ящике имеются 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наугад извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

Решение.
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно:
13 EMBED Equation.3 1415.
Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию:
13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность: 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 1.5. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 4 мужчины и 3 женщины.

Решение.
Общее число элементарных исходов испытания: 13 EMBED Equation.3 1415, так как общее число работающих равно 6+4=10 человек. Имеем 13 EMBED Equation.3 1415. Подсчитаем 13 EMBED Equation.3 1415. Трех женщин можно выбрать из четырех работающих женщин 13 EMBED Equation.3 1415 способами. Отобрать же четырех мужчин из шести можно 13 EMBED Equation.3 1415 способами. Следовательно, число благоприятных исходов равно:
13 EMBED Equation.3 1415.

Искомая вероятность:
13 EMBED Equation.3 1415.

Теперь решим две задачи на геометрическую вероятность.

Задача 1.6. На отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 длины 20 см помещен меньший отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 длины 10 см. Найти вероятность того, что точка, наудачу поставленная на больший отрезок, попадёт также и на меньший отрезок. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Решение.
Вероятность попадания точки на отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 определяется равенством:
13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 1.7. В круг радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 помещен меньший круг радиуса 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в большой круг радиуса 13 EMBED Equation.3 1415, попадает также и в малый. Предполагается, что вероятность попадания точки в круг пропорциональна площади круга и не зависит от его расположения.

Решение.
Площадь круга радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, площадь круга радиуса 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Вероятность попадания точки в круг площадью 13 EMBED Equation.3 1415 определяется равенством:
13 EMBED Equation.3 1415.

Суммой 13 EMBED Equation.3 1415 двух событий 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется событие, состоящее в появлении или события 13 EMBED Equation.3 1415, или события 13 EMBED Equation.3 1415, или обоих вместе. Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий:
Если события 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 несовместны, то 13 EMBED Equation.3 1415. Эта теорема обобщается на любое конечное число событий:
Если события 13 EMBED Equation.3 1415 попарно несовместны, то
13 EMBED Equation.3 1415.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415, состоящее в ненаступлении события 13 EMBED Equation.3 1415, называется противоположным событию 13 EMBED Equation.3 1415. Вероятности событий 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 связаны соотношением:
13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 1.8. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 10 учебников, причем четыре из них новых. Ученик берет наудачу 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется новым (событие 13 EMBED Equation.3 1415).


Решение.
Способ 1.
Требование – хотя бы один из взятых учебников окажется новым – будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех попарно несовместных событий: 13 EMBED Equation.3 1415 - один учебник новый; 13 EMBED Equation.3 1415 - два учебника новых; 13 EMBED Equation.3 1415 - три учебника новых. Интересующее нас событие 13 EMBED Equation.3 1415 можно представить в виде суммы этих событий: 13 EMBED Equation.3 1415.
По теореме сложения:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Способ 2.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415 (хотя бы один учебник из взятых новый) и 13 EMBED Equation.3 1415 (ни один из взятых учебников не является новым) – противоположные, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Искомая вероятность:
13 EMBED Equation.3 1415

Произведением 13 EMBED Equation.3 1415 двух событий 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется событие, состоящее в совместном появлении этих событий.
Теорема умножения вероятностей: 13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415 - условная вероятность события 13 EMBED Equation.3 1415, вычисленная в предположении, что событие 13 EMBED Equation.3 1415 уже наступило.
Для независимых событий 13 EMBED Equation.3 1415
Теорема сложения вероятностей для произвольных событий:
13 EMBED Equation.3 1415

Задача 1.9. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания в мишень для первого и второго стрелка соответственно равны 0,7 и 0,5. Найти вероятность того, что:
оба стрелка попадут в мишень;
хотя бы один из стрелков попадет в мишень.
Решение.
Введем события:
13 EMBED Equation.3 1415- первый стрелок попал в мишень;
13 EMBED Equation.3 1415- второй стрелок попал в мишень.
По условию 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415- оба стрелка попали в мишень;
13 EMBED Equation.3 1415- хотя бы один стрелок попал в мишень.
События 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, очевидно, независимы. Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
По теореме сложения вероятностей:
13 EMBED Equation.3 1415

Задача 1.10. Известно, что в некоторой местности в июле 2003г. наблюдалось шесть пасмурных дней. Найти вероятность того, что первого и второго июля была ясная погода.

Решение.
Введем обозначения событий:
13 EMBED Equation.3 1415- первого июля был ясный день;
13 EMBED Equation.3 1415- второго июля был ясный день.
В июле 31 день. Число ясных дней в июле 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вероятность того, что второго июля был ясный день, при условии, что первого был ясный день, т. е. условная вероятность события 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Искомая вероятность того, что оба дня были ясными, по теореме умножения вероятностей равна:
13 EMBED Equation.3 1415

Задача 1.11. В каждой из двух урн находится 10 белых и 6 черных шаров. Из первой урны наудачу извлекается один шар и перекладывается во вторую урну. Затем из второй урны наудачу вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар – белый.

Решение.
Событие 13 EMBED Equation.3 1415 - из второй урны извлечен белый шар – может произойти или не произойти лишь при наступлении одного из двух несовместных событий:
13 EMBED Equation.3 1415- из первой урны извлечен белый шар,
13 EMBED Equation.3 1415- из первой урны извлечен черный шар.
Другими словами, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 образуют полную группу несовместных событий. Вероятность события 13 EMBED Equation.3 1415 найдем по формуле полной вероятности:
13 EMBED Equation.3 1415
Первоначально в первой урне находилось 16 шаров, из них 10 белых и 6 черных, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415.
После перекладывания из первой урны во вторую одного шара во второй урне оказалось 17 шаров. Из них 11 белых, если произошло событие 13 EMBED Equation.3 1415, или 10 белых, если произошло событие 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом,
13 EMBED Equation.3 1415
Итак, 13 EMBED Equation.3 1415

Задача 1.12. Имеются два ящика с деталями. В первом ящике 30% стандартных деталей, во втором – 50%. Из наугад выбранного ящика наудачу извлекается одна деталь. Она оказалась стандартной. Найти вероятность того, что деталь извлечена из первого ящика.

Решение.
Рассмотрим события:
13 EMBED Equation.3 1415- извлечена стандартная деталь;
13 EMBED Equation.3 1415- деталь извлечена из первого ящика;
13 EMBED Equation.3 1415- деталь извлечена из второго ящика.
События 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 несовместны и образуют полную группу. Требуется найти условную вероятность 13 EMBED Equation.3 1415, применив формулу Байеса:
13 EMBED Equation.3 1415
Так как деталь извлекается из наугад выбранного ящика, то
13 EMBED Equation.3 1415
По условию задачи
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом,
13 EMBED Equation.3 1415

Задача 1.13. Игральная кость брошена 4 раза. Какова вероятность того, что три очка выпадет не более двух раз?

Решение.
Заметим, что количество очков, выпавших в каждом последующем испытании, не зависит от исхода предыдущих испытаний, то есть речь идет о независимых испытаниях. Вероятность благоприятного исхода (выпадения трёх очков) в каждом испытании – одна и та же. Это означает, что в задаче можно применить формулу Бернулли:
13 EMBED Equation.3 1415
где
13 EMBED Equation.3 1415- вероятность появления благоприятного исхода в каждом из 13 EMBED Equation.3 1415 независимых испытаний;
13 EMBED Equation.3 1415- вероятность появления неблагоприятного исхода в каждом испытании;
13 EMBED Equation.3 1415- вероятность появления благоприятного исхода ровно 13 EMBED Equation.3 1415 раз в 13 EMBED Equation.3 1415 испытаниях.
Вероятность 13 EMBED Equation.3 1415 найдём по классическому определению вероятности (всего 6 равновозможных исходов, из них один благоприятный):
13 EMBED Equation.3 1415
Обозначим через 13 EMBED Equation.3 1415 событие, вероятность которого надо найти по условию, то есть событие 13 EMBED Equation.3 1415 - при четырех бросаниях кости три очка выпало не более двух раз.
Кроме того, введём три вспомогательных события:13 EMBED Equation.3 1415- при четырёх бросаниях кости три очка выпало ровно 13 EMBED Equation.3 1415 раз, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 - сумма попарно несовместных событий, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415. Теперь применим формулу Бернулли
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Задача 1.14. Устройство состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность выхода из строя одного элемента за время Т равна 0,01. Найти вероятность того, что за время Т : а) из строя выйдут ровно 2 элемента; б) откажет устройство, если для этого достаточно, чтобы вышел из строя хотя бы один элемент.

Решение.
а) Поскольку количество независимых испытаний достаточно велико (n=100), а вероятность выхода из строя каждого элемента достаточно мала (p=0,01), причём 13 EMBED Equation.3 1415, то в данной задаче можно применить формулу Пуассона, которая получается из формулы Бернулли предельным переходом при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415const:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415- вероятность появления благоприятного исхода в каждом из 13 EMBED Equation.3 1415 независимых испытаний; 13 EMBED Equation.3 1415- вероятность появления ровно 13 EMBED Equation.3 1415 благоприятных исходов в 13 EMBED Equation.3 1415 независимых испытаниях.
Определим событие 13 EMBED Equation.3 1415 - из 100 независимо работающих элементов за время Т из строя выйдут ровно 2.
13 EMBED Equation.3 1415
б) определим событие 13 EMBED Equation.3 1415- за время Т устройство откажет. Событие - за время Т не откажет ни один элемент – противоположно событию 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 По формуле Пуассона
13 EMBED Equation.3 1415

Задача 1.15. Вероятность того, что изделие не прошло проверку ОТК, равна 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных изделий окажется непроверенных
а) ровно 70 изделий;
б) от 70 до 100 изделий.

Решение.
а) В данной задаче мы имеем 400 независимых испытаний (достаточно много), вероятность появления благоприятного исхода в каждом из 400 испытаний 13 EMBED Equation.3 1415- не близка к нулю. В этих условиях можно применить локальную формулу Лапласа, которая получается из формулы Бернулли предельным переходом по 13 EMBED Equation.3 1415 и при 13 EMBED Equation.3 1415=const, 0 < p <1:
13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415- вероятность появления благоприятного исхода в каждом из n независимых испытаний; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415- вероятность появления ровно k благоприятных исходов в n испытаниях; 13 EMBED Equation.3 1415
Найдём вероятность события А – из 400 изделий ровно 70 не проверено.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
По таблице значений функции 13 EMBED Equation.3 1415, находим:
13 EMBED Equation.3 1415
б) Рассмотрим событие В – среди 400 случайно отобранных изделий непроверенных ОТК оказалось от 70 до 100.
В этих условиях можем применить интегральную формулу Лапласа:
13 EMBED Equation.3 1415
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415- вероятность того, что в n независимых испытаниях событие произойдёт от k1 до k2 раз, 13 EMBED Equation.3 1415- интегральная функция Лапласа. Имеем 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415
Используя соотношение 13 EMBED Equation.3 1415, по таблице значений функции 13 EMBED Equation.3 1415 находим:
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 1.16. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2, причём x1 < x2. Вероятность того, что X примет значение x1, равна 0,2. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание 13 EMBED Equation.3 1415 и среднее квадратическое отклонение 13 EMBED Equation.3 1415

Решение.
Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины равна единице, поэтому вероятность того, что X примет значение x2, равна 1- 0,2=0,8.
Напишем закон распределения дискретной случайной величины X :
X
x1
x2

p
0,2
0,8


13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Эта таблица означает, что случайная величина X принимает значение x1 с вероятностью 0,2 и значение x2 с вероятностью 0,8.
Для отыскания x1 и x2 надо составить два уравнения, связывающие эти неизвестные. С этой целью выразим заданные математическое ожидание 13 EMBED Equation.3 1415 и среднее квадратическое отклонение 13 EMBED Equation.3 1415 через x1 и x2.
По определению математического ожидания дискретной случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 по определению равно 13 EMBED Equation.3 1415, здесь 13 EMBED Equation.3 1415- дисперсия X.
Напишем закон распределения случайной величины X 2 :
X 2
x12
x22

p
0,2
0,8




Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными x1 и x2:
13 EMBED Equation.3 1415
Решим эту систему:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415- постороннее решение, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, искомый закон распределения X имеет вид:
X
1
3

p
0,2
0,8





Задача 1.17. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить неизвестный параметр 13 EMBED Equation.3 1415, математическое ожидание 13 EMBED Equation.3 1415 и дисперсию 13 EMBED Equation.3 1415 данной случайной величины X.
Решение.
Для функции плотности 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывной случайной величины X выполняется равенство
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
Для непрерывной случайной величины X
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 1.18. Дана функция распределения непрерывной случайной величины X
13 EMBED Equation.3 1415
Найти вероятность попадания X в интервал 13 EMBED Equation.3 1415, и функцию плотности 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Воспользуемся формулой: 13 EMBED Equation.3 1415.
В нашем случае:
13 EMBED Equation.3 1415.
Если известна функция распределения 13 EMBED Equation.3 1415, то функция плотности 13 EMBED Equation.3 1415 находится по формуле 13 EMBED Equation.3 1415 в тех точках, где существует производная 13 EMBED Equation.3 1415. В нашем случае:
13 EMBED Equation.3 1415

Задача 1.19. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X
13 EMBED Equation.3 1415.
Найти: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Плотность распределения 13 EMBED Equation.3 1415 случайной величины X запишем в виде
13 EMBED Equation.3 1415
и сравним эту функцию с функцией плотности нормального распределения 13 EMBED Equation.3 1415. Нетрудно видеть, что они совпадают при 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, отсюда находим 13 EMBED Equation.3 1415. Воспользуемся вероятностным смыслом параметров нормального распределения (13 EMBED Equation.3 1415-математическое ожидание, 13 EMBED Equation.3 1415-среднее квадратическое отклонение): 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 1.20. Случайная величина X нормально распределена с параметрами 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Если непрерывная случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то вероятность попадания X в интервал 13 EMBED Equation.3 1415 равна 13 EMBED Equation.3 1415,
здесь 13 EMBED Equation.3 1415- интегральная функция Лапласа.
В нашем случае имеем
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 1.21. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415. Найти функцию распределения величины X и вычислить 13 EMBED Equation.3 1415- вероятность попадания X в интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Если случайная величина распределена равномерно на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, то функция плотности имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
В нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Если функция плотности 13 EMBED Equation.3 1415 известна, то функцию распределения случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415можно найти по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415. Вычислим13 EMBED Equation.3 1415 на трёх интервалах отдельно.
Если 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.
Задача 2.1. Построить гистограмму по распределению выборки, представленному в виде таблицы частот

Номер интервала
Границы интервала
Число элементов выборки, попавших в интервал

i
xi; xi+1
mi

1
-2; 0
3

2
0; 2
0

3
2; 4
12

4
4; 6
17

5
6; 8
8

6
8; 10
10


Решение. Гистограмма- это фигура, составленная из прямоугольников с основаниями 13 EMBED Equation.3 1415 и высотами 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- длина одного интервала; 13 EMBED Equation.3 1415- объём выборки.
В нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдём высоты прямоугольников:

i
1
2
3
4
5
6

13 EMBED Equation.3 1415


0,03

0

0,12

0,17

0,08

0,1


Построим гистограмму, выбрав удобные масштабы по осям координат:



Задача 2.2. Найти эмпирическую функцию распределения по данному распределению выборки
xi
1
2
5

mi
3
6
1


Решение. Эмпирическая функция распределения определяется формулой 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- объём выборки; 13 EMBED Equation.3 1415- число элементов выборки, меньших 13 EMBED Equation.3 1415.
Объём выборки 13 EMBED Equation.3 1415равен 3+6+1=10. Точки 13 EMBED Equation.3 1415разбивают числовую прямую на промежутки 13 EMBED Equation.3 1415, в каждом из которых функция 13 EMBED Equation.3 1415 сохраняет постоянное значение. Найдём эти значения. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то среди выборочных значений нет ни одного, меньшего 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415. При 13 EMBED Equation.3 1415 трижды наблюдались значения, меньшие 13 EMBED Equation.3 1415(все эти значения равны 1). Следовательно, в этом случае 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, т.к. значения, меньшие 13 EMBED Equation.3 1415 (а именно, значения 1 и 2), наблюдались 3+6=9 раз; 13 EMBED Equation.3 1415. Наконец, при 13 EMBED Equation.3 1415 все наблюдаемые значения меньше 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом,
13 EMBED Equation.3 1415
Построим график эмпирической функции распределения.



Задача 2.3. Найти выборочное среднее, выборочную дисперсию и её не смещённую оценку по данному распределению выборки:
xi
-2
0
5
8

mi
3
1
4
2



Решение. Выборочное среднее найдём по формуле 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- объём выборки. В нашем случае
13 EMBED Equation.3 1415.
Выборочная дисперсия определяется формулой
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Несмещённая оценка дисперсии 13 EMBED Equation.3 1415связана с выборочной дисперсией соотношением 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 2.4. Непрерывная случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 имеет функцию распределения
13 EMBED Equation.3 1415, здесь 13 EMBED Equation.3 1415- неизвестный положительный параметр.
В результате 10 независимых испытаний случайная величина приняла значения 0,6; 0,81; 0,92; 0,76; 0,69; 0,74; 0,98; 0,72; 0,45; 0,68. Методом моментов найти точечную оценку параметра 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение.
Найдём искомую оценку параметра 13 EMBED Equation.3 1415, приравняв математическое ожидание 13 EMBED Equation.3 1415 к выборочному среднему:
13 EMBED Equation.3 1415. (*)
Объём данной выборки равен 10;
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдём математическое ожидание 13 EMBED Equation.3 1415 по формуле 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- плотность распределения случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415. Так как
13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдём точечную оценку 13 EMBED Equation.3 1415 параметра 13 EMBED Equation.3 1415 из уравнения (*):
13 EMBED Equation.3 1415 откуда 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 2.5. Случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415 имеет геометрическое распределение: 13 EMBED Equation.3 1415 параметр 13 EMBED Equation.3 1415 неизвестен, 13 EMBED Equation.3 1415. В результате 8 независимых испытаний случайная величина 13 EMBED Equation.3 1415приняла значения 2, 1, 2, 3, 5, 1, 1, 2. Используя метод наибольшего правдоподобия, найти точечную оценку параметра 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение.
Среди наблюдаемых значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415значения 1 и 2 встречаются по 3 раза, а значения 3 и 5 – по разу. Составим функцию правдоподобия:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдём оценку наибольшего правдоподобия параметра13 EMBED Equation.3 1415, т.е. такое значение 13 EMBED Equation.3 1415, при котором функция правдоподобия принимает наибольшее значение на интервале 13 EMBED Equation.3 1415. Приравняем к нулю производную функции 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415. При 13 EMBED Equation.3 1415, а при 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, в точке 13 EMBED Equation.3 1415 функция 13 EMBED Equation.3 1415 принимает наибольшее значение на 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415- искомая оценка параметра 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 2.6. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания 13 EMBED Equation.3 1415 нормального распределения с доверительной вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415, если известны объём выборки 13 EMBED Equation.3 1415, среднее квадратическое отклонение 13 EMBED Equation.3 1415, выборочное среднее 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение. Доверительный интервал найдём по формуле
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- значение аргумента функции Лапласа, для которого 13 EMBED Equation.3 1415. По таблице значений функции Лапласа найдём 13 EMBED Equation.3 1415. Искомый доверительный интервал таков:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 2.7. Произведено пять независимых измерений длины стержня (без систематической ошибки). Получены такие результаты: 96,29; 96,31; 96,33; 96,3; 96,27. Оценить истинное значение длины стержня доверительным интервалом с доверительной вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Решение. Истинное значение измеряемой длины стержня равно математическому ожиданию измерения. Воспользуемся формулой доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии:
13 EMBED Equation.3 1415. Здесь 13 EMBED Equation.3 1415- объём выборки; 13 EMBED Equation.3 1415- выборочное среднее; 13 EMBED Equation.3 1415- выборочное среднее квадратическое отклонение; значение 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяет условию 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415- плотность распределения Стьюдента с 13 EMBED Equation.3 1415 степенями свободы. В нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415. Из таблиц найдём 13 EMBED Equation.3 1415. Далее, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 есть искомый доверительный интервал.

Задача 2.8. Проведено пять независимых испытаний, в результате которых случайные величины 13 EMBED Equation.3 1415приняли следующие значения:
13 EMBED Equation.3 1415
1
2
4
5
8

13 EMBED Equation.3 1415
-1
0
4
8
4

Найти выборочный коэффициент корреляции величин 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Выборочный коэффициент корреляции 13 EMBED Equation.3 1415 определяется формулой: 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - выборочная ковариация случайных величин 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Произведём вычисления по этим формулам. В нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.

Задача 2.9. В результате четырёх независимых испытаний случайные величины 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415приняли такие значения:
13 EMBED Equation.3 1415
4
2
1
4

13 EMBED Equation.3 1415
-7
-3
0
-6

Считая, что величины 13 EMBED Equation.3 1415и13 EMBED Equation.3 1415 связаны линейной зависимостью 13 EMBED Equation.3 1415, найти коэффициенты 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 методом наименьших квадратов.
Решение.
Согласно методу наименьших квадратов, коэффициенты 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 находятся из условия минимизации функции 13 EMBED Equation.3 1415. Приравняв к нулю 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, получим систему уравнений для отыскания 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Запишем эту систему в виде:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Подставим данные:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Получаем систему:
13 EMBED Equation.3 1415.
Из первого уравнения, умноженного на 4, вычтем второе, умноженное на11: 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415. Теперь из второго уравнения найдём 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая зависимость имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.


Задача 2.10. При 1000 подбрасываниях игральной кости получены следующие результаты:



С помощью
·2 - критерия проверить, согласуются ли эти данные с гипотезой 13 EMBED Equation.3 1415 о том, что кость была правильная, то есть вероятность выпадения любого числа очков равна 13 EMBED Equation.3 1415? Уровень значимости 13 EMBED Equation.3 1415 принять равным 0,05.
Решение.
Х
1
2
3
4
5
6

p
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6

Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- число очков, выпадающее при однократном подбрасывании кости. Выдвинута гипотеза 13 EMBED Equation.3 1415 о законе распределения случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415:



Для проверки этой гипотезы применим
·2 – критерий. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - число выпадений 13 EMBED Equation.3 1415 очков в данной серии из 13 EMBED Equation.3 1415 подбрасываний. Разобьём всю числовую ось на 6 попарно непересекающихся промежутков 13 EMBED Equation.3 1415 так, чтобы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим величину

·2 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
По таблице распределения
·2 с 13 EMBED Equation.3 1415 степенями свободы при уровне значимости 13 EMBED Equation.3 1415 находим
·20,05; 5 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как
·2 <
·20,05; 5, то с вероятностью 0, 95 принимаем гипотезу 13 EMBED Equation.3 1415.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
Задача 3.1. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? (Повторяющихся цифр в числе быть не должно.)
Задача 3.2. Сколькими способами можно выбрать: а) по три карты; б) по 32 карты из колоды, содержащей 36 игральных карт?
Задача 3.3. В коробке лежит 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Найти вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет 3 белых и 2 чёрных шара.
Задача 3.4. В урне находится 4 белых, 5 красных и 4 синих шара. Наудачу извлекают по одному шару, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что в первый раз появится белый шар, во второй раз – красный, а в третий – синий.
Задача 3.5. На соревновании по стрельбе спортсмен стреляет дважды: первый раз по большой мишени и, в случае попадания, второй раз – по малой мишени. Если большая мишень не поражена первым выстрелом, то и второй выстрел производится по ней. Вероятность попадания в большую мишень при одном выстреле равна 0,9; а в малую – 0,5. Найти вероятность того, что двумя выстрелами стрелок поразит одну (и только одну) мишень.
Задача 3.6. На перевозку груза направлены четыре автомобиля. Вероятность нахождения каждой машины в исправном состоянии равна 0,8. Найти вероятность того, что в работе участвует хотя бы один из выделенных для этого автомобилей.
Задача 3.7. В двух ящиках находятся детали: в первом 10 штук, и из них 3 нестандартные, а во втором 20 штук, и из них 8 нестандартных. Из каждого ящика наудачу вынуто по одной детали, а потом из этих двух деталей наудачу взята одна. Найти вероятность того, что эта деталь окажется стандартной.
Задача 3.8. Производится наблюдение за некоторым объектом с помощью двух наблюдательных станций. Объект может находиться в двух различных состояниях 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, случайно переходя из одного в другое. Долговременной практикой установлено, что примерно 30% времени объект находится в состоянии 13 EMBED Equation.3 1415, а 70% - в состоянии 13 EMBED Equation.3 1415. Наблюдательная станция №1 передаёт ошибочные сведения примерно в 2% всех случаев, а наблюдательная станция №2 – в 8%. В какой-то момент времени наблюдательная станция №1 сообщила: объект находится в состоянии 13 EMBED Equation.3 1415, а наблюдательная станция №2 сообщила: объект находится в состоянии 13 EMBED Equation.3 1415. Какому из сообщений следует верить?
Задача 3.9. На плоскость нанесена сетка квадратов со стороной 10см. Найти вероятность того, что брошенный на плоскость круг радиуса 1см не пересечёт стороны ни одного из квадратов.
Задача 3.10. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,3. Найти вероятность того, что среди 100 выпущенных изделий будет: а) ровно 60 изделий без брака; б) не менее 75 изделий без брака.
Задача 3.11. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Какова вероятность, что в течение часа позвонят ровно 5 абонентов?
Задача 3.12. Из пяти карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 наудачу отбираются три карточки. Найти закон распределения числа карточек с чётными цифрами среди отобранных.
Задача 3.13. Найти математическое ожидание и дисперсию: а) числа очков, выпадающих при бросании одной игральной кости; б) суммы очков, выпадающих при бросании двух игральных костей.
Задача 3.14. Законы распределения независимых случайных величин X и Y приведены в таблицах:
X
-1
3

p
0,2
0,8

Y
0
4
5
10

p
0,1
0,5
0,1
0,3

Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 3.15. Случайная величина X задана функцией распределения
13 EMBED Equation.3 1415.
Найти плотность распределения X и вероятность того, что X примет значение из интервала 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 3.16. Дана плотность распределения непрерывной случайной величины X :
13 EMBED Equation.3 1415. Найти функцию распределения X и вероятность того, что X примет значение из интервала 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 3.17. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Найти вероятность того, что X примет значение из интервала 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 3.18. Найти математическое ожидание и дисперсию непрерывной случайной величины X, заданной функцией распределения
13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 3.19. Магазин производит продажу мужских костюмов. По данным статистики, распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 48 и 2. Определить процент спроса на 50-й размер при условии разброса значений этой величины в интервале 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача 3.20. Студенты некоторой группы, состоящей из 25 человек, написали контрольную работу. Каждый студент получил определённое число баллов. Вот эти баллы (в порядке алфавитного списка группы): 75, 145, 150, 180, 125, 150, 150, 165, 95, 135, 130, 70, 130, 105, 135, 135, 90, 150, 60, 85, 110, 60, 145, 150, 135. Построить гистограмму, разбив отрезок от наименьшего до наибольшего балла в данной выборке на шесть равных частей.
Задача 3.21. Найти эмпирическую функцию распределения по данному распределению выборки
13 EMBED Equation.3 1415
2
4
7

13 EMBED Equation.3 1415
10
15
25

Задача 3.22. На телефонной станции проводились наблюдения за числом неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение 20 минут дали следующие результаты: 3, 5, 2, 0, 1, 0, 3, 4, 3, 2, 2, 0, 5, 1, 2, 2, 1, 4, 5, 0. Найти среднее и дисперсию распределения.
Задача 3.23. Станок-автомат штампует валики. По выборке объёма n=100 вычислено выборочное среднее диаметров изготовленных валиков. Найти с доверительной вероятностью 0,95 точность, с которой выборочное среднее оценивает математическое ожидание диаметров изготовляемых валиков, зная, что диаметры распределены нормально со средним квадратическим отклонением 13 EMBED Equation.3 1415мм.
Задача 3.24. Произведено пять независимых равноточных измерений для определения заряда электрона. Получены следующие результаты (в кулонах): 1,594·10-19; 1,597·10-19; 1,598·10-19; 1,593·10-19; 1,590·10-19. Определить доверительный интервал для оценки величины заряда электрона при доверительной вероятности 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.
Задача 3.25. Проводится исследование спроса на некоторый вид товара. Пробные продажи показали следующие данные о зависимости дневного спроса Yот цены X:
Цена (руб.)
10
12
14
16
18

Спрос (ед. товара)
91
76
68
59
53

Требуется: а) определить выборочный коэффициент корреляции величин X и Y ; б) найти уравнение прямой регрессии Y на X; в) исходя из данных пункта б), определить спрос при цене 15 руб. за ед. товара.
Задача 3.26. Трое рабочих работают на трёх одинаковых станках. За смену первый рабочий изготовил 60 деталей, второй – 80, третий – 100 деталей. С помощью
·2-критерия проверить гипотезу о том, что производительности труда первых двух рабочих равны между собой и в два раза меньше производительности третьего рабочего. Уровень значимости 13 EMBED Equation.3 1415 принять равным 0,01.

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ п. №3.
1. 210. 2. а) 7140 способами; б) 58905способами. 3.13 EMBED Equation.3 1415. 4. 13 EMBED Equation.3 1415. 5. 0,54. 6. 0,9984. 7. 0,65. 8. Сообщению станции №1 (оно верно с вероятностью 13 EMBED Equation.3 1415).
9. 0,64. 10. а) 0,008; б) 0,24. 11. 0,0916.

X
0
1
2

P
0,1
0,6
0,3

12.


13. а) 3,5; 13 EMBED Equation.3 1415; б) 7; 13 EMBED Equation.3 1415. 14. 13 EMBED Equation.3 1415. 15. 13 EMBED Equation.3 1415 ; 0,5.
16. 13 EMBED Equation.3 1415; 0,16. 17. 13 EMBED Equation.3 1415. 18. 1,5; 0,75. 19. 12,1%.
20.

21. 13 EMBED Equation.3 1415. 22. 2,25; 2,4875. 23. 0,392мм.
24. 13 EMBED Equation.3 1415 . 25. а) -0,986; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 65.
26. Гипотеза принимается.




БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.

1. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1998.
2. В.Е. Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1998.
3. А.И. Герасимович. Математическая статистика.- Минск: Вышэйшая школа, 1983.
4. Г.И. Агапов. Задачник по теории вероятностей.- М.: Высшая школа, 1986.
5. Е.С. Вентцель. Теория вероятностей.- М: Высшая школа, 1999.
6. В.К. Захаров, Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков. Теория вероятностей.- М.: Наука, 1983.
7. Б.А. Севастьянов, В.П. Чистяков, А.М. Зубков. Сборник задач по теории вероятностей.- М.: Наука, 1980.
8. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Основы математики и её приложения в экономическом образовании.- М.: Дело, 2001.
9. Е.В. Шикин, А.Г. Чхартишвили. Математические методы и модели в управлении.- М.: Дело, 2000.








13PAGE 15


13PAGE 142715












Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native2Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativedEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 3618517
    Размер файла: 1 007 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий