Пособие по высшей математике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМ. Н.Е.ЖУКОВСКОГО
ХАРЬКОВСКИЙ
АВИАЦИОННЫЙ
ИНСТИТУТ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Харьков "ХАИ" 2001

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Национальный аэрокосмический университет
им. Н. Е. Жуковского
"Харьковский авиационный институт"
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Учебное пособие для студентов факультета заочного обучения
Харьков "ХАИ" 2001
УДК 517
Высшая математика. Методика решения задач /И.В.Брысина, А.В.Головченко, Г.И. Кошевой, П.Т. Кощавец, Ю.А. Крашаница, А.Г. Николаев, B.C. Процен-ко, В.А. Рвачев, Е.П. Томилова, Е.Г. Ушакова, В.В. Хоменко. - Учеб. пособие. - Харьков: Нац. аэрокосмический ун-т "Харьк. авиац. ин-т", 2001. -187 с.
Дан необходимый минимум сведений для освоения курса высшей математики. Представлена программа курса, кратко изложена теоретическая часть каждого изучаемого раздела и приведены примеры, указаны рекомендуемые к решению задачи, а также рассмотрены варианты контрольных работ.
Для студентов факультета заочного обучения.
Ил. 42. Библиогр.: 40 назв.
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. А. В. Макаричев, канд. физ.-мат. наук, доц. В. А. Афанасьев
Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского "Харьковский авиационный институт", 2001 г.
Оглавление


Раздел 1
Тема 1.1
Тема 1.2 Тема 1.3 Тема 1.4
Тема 1.5 Тема 1.6 Дополнение 1.1
Раздел 2
Тема 2.1 Тема 2.2 Тема 2.3 Тема 2.4 Дополнение 2.1
Раздел 3 Тема 3.1 Тема 3.2 Тема 3.3
Введение 5
Программа курса по высшей математике 6
Матрицы и определители. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры
12
Матрицы и определители. Системы линейных алгебраи ческих уравнений (СЛАУ) 12
Векторная алгебра 25
Прямая и плоскость 34
Преобразование координат на плоскости. Элементарная
теория линий второго порядка 43
Некоторые сведения о линейных векторных пространст вах. Собственные числа и собственные векторы 47
Квадратичные формы. Приведение к каноническому ви ду уравнений линии и поверхности второго порядка ..53 Образец выполнения и оформления контрольной работы № 1 "Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Матрицы. Элементы линейной алгебры" 58
Дифференциальное исчисление функции одной пе ременной 65
Введение в анализ 65
Производная и дифференциалы 70
Приложения производной 73
Комплексные числа 78
Образец выполнения и оформления контрольной работы № 2 "Дифференциальное исчисление функции одной пе ременной" 80
Функции нескольких переменных 84
Частные производные 84
Экстремум функции 86
Геометрические приложения функций нескольких пере менных 89

Раздел 4 Тема 4.1
Интегральное исчисление функций одной перемен ной 91
Неопределенный интеграл 91 Тема 4.2 Определенный интеграл 101
Тема 4.3 Несобственный интеграл 109
Раздел 5 Дифференциальные уравнения 114
Тема 5.1 Уравнения первого порядка 114
Тема 5.2 Уравнения высших порядков 115
Тема 5.3 Системы дифференциальных уравнений 117
Дополнение 5.1 Образец выполнения и оформления контрольной работы
№ 3 "Функции нескольких переменных. Интегрирование функций одной переменной. Обыкновенные дифферен циальные уравнения" 119
Раздел 6 Кратные интегралы. Элементы теории векторного
поля 125
Тема 6.1 Некоторые вспомогательные определения 125
Тема 6.2 Двойной интеграл 125
Тема 6.3 Тройной интеграл 141
Тема 6.4 Криволинейные интегралы 147
Тема 6.5 Элементы векторного анализа 152
Раздел 7 Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье.
Интеграл Фурье 159
Тема 7.1 Числовые ряды. Ряды с положительными членами. Ряды
с членами любого знака. Знакочередующиеся ряды ..159
Тема 7.2 Функциональные ряды. Приложения рядов к прибли женным вычислениям. Приближенное решение диффе ренциальных уравнений 162
Тема 7.3 Ряды Фурье 167
Тема 7.4 Интеграл Фурье. Преобразование Фурье 170
Дополнение 7.1 Образец выполнения и оформления контрольной работы
№ 4 "Кратные интегралы. Ряды Фурье" 174
Список использованной и рекомендуемой литературы 185

ВВЕДЕНИЕ
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная систематическая работа над учебным материалом. Организуемые для студентов лекции, практические занятия и консультации призваны помочь им в самостоятельной работе. Количество часов, отведенных на аудиторную работу, составляет 25 процентов от общего числа часов, необходимых для изучения курса.
Общий курс математики является фундаментом математического образования инженера. Преподавание математики имеет целью выработки у студентов умения проводить анализ прикладных задач и овладение основными математическими методами исследования и решения таких задач.
В настоящем пособии приведена программа курса по высшей математике с указанием количества часов, отводимых на изучение темы, указано, в какой последовательности надо изучать рекомендуемую литературу, какие задачи необходимо решить. Каждый раздел содержит ссылку на литературу, позволяющую изучить основной теоретический материал, вопросы для самопроверки, номера задач, которые рекомендуются к решению, краткие методические указания. После изучения темы необходимо выполнить контрольную работу. Приведены образцы оформления и выполнения контрольных заданий.
В пособии используется тройная нумерация формул, примеров и рисунков. Первая цифра указывает номер раздела, вторая - номер темы, третья - порядковый номер объекта, на который производится ссылка.
Для изучения курса высшей математики студенту рекомендуется следующая литература, применительно к которой и составлено настоящее пособие.
ПРОГРАММА КУРСА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
(70 ЧАСОВ)
Квадратные матрицы и определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители n - го порядка. Вычисление определителей. Системы линейных алгебраических уравнений 2 - го, 3 - го и n - го порядков. Правило Крамера.
Матрицы, действия над ними. Обратная матрица. Матричный метод решения линейных уравнений. Ранг матрицы и его вычисление. Теорема о базисном миноре. Исследование системы линейных уравнений общего вида. Теорема Кронекера - Капелли. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.
Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейная зависимость векторов. Базис. Разложение по базису. Декартова система координат на плоскости и в пространстве. Деление отрезка в данном отношении.
Скалярное произведение, его свойства. Длина вектора. Угол между двумя векторами. Условия коллинеарности и перпендикулярности двух векторов.
Ориентация тройки векторов. Векторное произведение, его свойства. Векторное произведение в декартовой системе координат.
Смешанное произведение, его свойства. Вычисление смешанного произведения в декартовой системе координат. Геометрический смысл определителя третьего порядка. Компланарность трех векторов.
Прямая. Различные способы задания прямой на плоскости (векторная и координатная формы). Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Векторная и координатная формы задания плоскости и прямой в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости.
Линии второго порядка, их канонические уравнения и свойства. Переход от одной декартовой системы координат к другой на плоскости.
10.Линейные пространства. Примеры. Линейная зависимость элементов. Евклидово пространство. Примеры. Неравенства Коши - Буняковского и треугольника. Угол между векторами. Ортогональность.
11.Понятие о линейном операторе и его матрице в данном базисе. Примеры линейных операторов. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
12.Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности вращения. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.
13.Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (274 часа) 1. Введение в анализ (20 часов)
Числовые множества. Точные верхние и нижние грани числовых множеств. Определение предела числовой последовательности и некоторые ее свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции с последовательностями. Существование предела монотонной последовательности. Число е.
Теорема БольцаноВейерштрасса и критерий Коши (формулировка). Функции. График функции. Свойства пределов функций.
Замечательные пределы. Следствия из них. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции, их использование при определении пределов. Непрерывность функций в точке. Классификация точек разрыва.
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
(30 часов)
Локальные и глобальные свойства функции. Свойства функций, непрерывных на отрезке (первая и вторая теоремы Вейерштрасса и теорема Коши). Определение и свойства производной функции. Геометрический и механический смысл производной.
Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Функции, заданные параметрически. Их дифференцирование. Таблицы производных простейших элементарных функций. Дифференциал и его свойства.
Производные и дифференциалы высших порядков. Вторая производная от функции, заданной параметрически. Производная вектор–функции и ее геометрический смысл. Возрастание (убывание) функции в точке. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. Следствия из теоремы Лагранжа. Отыскание локальных и глобальных экстремумов функций. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя.
3. Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения графиков (26 часов)
3.1. Формула и ряд Тейлора. Бином Ньютона. Формулы Тейлора для элементарных функций. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимптоты функции. Построение графиков функций.

Векторные функции скалярного аргумента и их дифференцирование. Механический и геометрический смысл производной. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости.
Кривизна и радиус кривизны плоской кривой.
4. Элементы высшей алгебры (8 часов)
Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Геометрический смысл. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Формула Эйлера.
Многочлены. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение рациональных дробей на простейшие.
5. Дифференциальное исчисление функций нескольких
переменных (20 часов)
Область определения. Предел функции, непрерывность. Дифференцируемость функции нескольких переменных, частные производные и полный дифференциал, связь с частными производными. Производные от сложных функций. Инвариантность формы полного дифференциала. Производные неявной функции.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.
Частные производные высших порядков. Теорема о независимости результата дифференцирования от порядка дифференцирования. Дифференциалы высших порядков.
Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе.
Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функций в замкнутой области. Метод множителей Лагранжа. Примеры применений при поиске оптимальных решений.
6. Интегральное исчисление функций одной переменной
(40 часов)
6.1. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Интегрирование по частям и методом замены переменной.

Интегрирование рациональных дробей, простейших тригонометрических выражений, линейных и дробно-линейных иррациональностей. Квадратичные иррациональности.
Определенный интеграл, его свойства и методы вычислений. Несобственные интегралы. Приложения определенных интегралов в геометрии и механике.
7. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы
(44 часа)
Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным, линейные уравнения, уравнения в полных дифференциалах.
Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие особого решения дифференциального уравнения. Огибающая семейства кривых.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Понятие общего и частного решений.
Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейно-зависимые и линейно- независимые системы функций. Определитель Вронского, его свойства.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, линейная независимость их решений, фундаментальная система решений.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
Системы дифференциальных уравнений. Нормальные системы. Решение нормальной системы методом исключения. Задача Коши для нормальных систем.
7.9. Элементы теории устойчивости.
8. Криволинейные интегралы (6 часов)
8.1. Криволинейные интегралы первого рода, вычисление.

8.2. Криволинейные интегралы второго рода, вычисление, приложения. Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования, криволинейный интеграл от полного дифференциала, восстановление функции по полному дифференциалу.
9. Кратные интегралы (38 часов)
Двойной интеграл, условия существования и свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовой и полярной системах координат.
Тройной интеграл, его свойства. Вычисление тройного интеграла в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Приложение кратных интегралов к решению геометрических, механических и физических задач.
Поверхностные интегралы первого и второго рода, вычисление. Формулы Гаусса - Остроградского, Стокса.
Скалярное поле и его характеристики. Векторное поле. Векторные линии и трубки, их дифференциальные уравнения. Поток векторного поля через открытую и замкнутую поверхность, его свойства, вычисление.
Дивергенция векторного поля, физический смысл, свойства, вычисление. Теорема Остроградского.
Ротор векторного поля. Физический смысл, свойства, вычисление. Линейный интеграл, циркуляция вектора поля по контуру, вычисление. Теорема Стокса.
Векторные дифференциальные операции первого и второго порядков. Оператор "набла", свойства, действия с оператором. Основные типы векторных полей: соленоидальное, потенциальное, гармоническое, их характеристики. Потенциал векторного поля, его вычисление. Основная теорема векторного анализа.
10. Ряды. Преобразование Фурье (42 часа)
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Геометрическая прогрессия. Необходимое условие сходимости ряда. Простейшие действия над рядами. Ряды с положительными членами.
Теоремы сравнения. Признаки сходимости Даламбера, Коши. Интегральный признак сходимости ряда.
Оценка остатка ряда с помощью интегрального признака. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница, оценка остатка ряда. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Ряды с комплексными членами.
Функциональные ряды, область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости, интервал и радиус сходимости для рядов с действительными членами. Теорема о равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
Ряд Тейлора. Теорема о единственности разложения функции в ряд Тейлора. Применение степенных рядов к решению дифференциальных уравнений. Приближенные вычисления.
Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Приближение в среднем. Свойства минимальности коэффициентов Фурье. Теорема о сходимости в среднем и поточечной сходимости тригонометрических рядов Фурье.
Понятие ортонормированной системы функций, заданных на интервале ((, (). Разложение в тригонометрический ряд Фурье функций, заданных на интервале (a, b). Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла и ряда Фурье. Преобразование Фурье. Синус- и косинус- преобразования Фурье. Свойства преобразования Фурье.

Раздел 1. Матрицы и определители. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Элементы линейной алгебры
Тема 1.1. Матрицы и определители. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Учебники: [1, гл. 5, §§ 1 - 6], [10, дополнение к гл. 1], [16, гл. 6, 11, § 1 ]. Аудиторная работа: [ 2, №№ 14.4 (6), 14.7 (2), 14.21 (9), 15.2 (3), 15.5 (1-
9), 15.45 (1,2), 15.65 (1), 16.18 (1, 4, 12, 20), 17.2 (1, 3), 19.1 (3, 9)], [ 7, гл. 2, §§ 1-3, №№ 1, 2 (1, 3), 3 (1, 3), 5, 19 (1, 2, 4), 20 (1, 2), 22 (13), 24 (3, 7), 25 (1, 4), 29 (1)], [ 18, №№ 5, 11, 23, 55, 75, 82, 257, 260, 608, 609, 689, 700, 725], [20,
1, гл. 3, § 1-4, №№ 3.1, 3.8, 3.12, 3.55, 3.78, 3.80, 3.91, 3.106, 3.114, 3.121, 3.150, 3.187, 3.192, 3.198, 3.207, 3.210], [28, занятия 1 (1.2.1, 1.2.3, 1.2.9, 1.2.15), 2(2.2.2.-2.2.4), 10(10.2.1., 10.2.4(6 - д), 10.2.5, 10.2.7), 11 (11.2.1 (а, б, в), 11.2.2 (а, б), 11.2.3 (а, б), 11.2.4), 12 (12.2.1 (а, б, в, г), 12.2.2, 12.2.4, 12.2.5 (в), 12.2.7 (в))].
Самостоятельная работа: [ 2, №№ 14.7 (3, 4), 14.21 (11, 12), 15.5 (7,9,13), 15.45 (4, 7), 15.65 (2, 4), 16.18 (6, 12, 20, 21), 17.2 (2, 4, 5), 19.1 (2, 3,
5, 8, 10)], [ 7, гл. 2, §§ 1-3, №№ 2 (2, 4), 3 (2, 4), 19 (3, 5, 6, 8), 20 (3, 4), 22 (3, 4), 24 (4, 5, 7, 8), 25 (3, 5), 29 (2)], [18, №№ 6, 11, 17, 25, 43, 44, 83, 84, 116, 118, 258 - 260, 270, 554, 690, 691, 698, 726, 727, 729], [20, ч. 1, гл. 3, §§ 1-4, №№ 3.2, 3.13, 3.56, 3.57, 3.79, 3.91, 3.85, 3.92, 3.110, 3.119, 3.124, 3.151, 3.152, 3.208, 3.211, 3.215], [ 28, задания 1, 2 (2.3.1-2.3.5), 10, 11, 12].

Прямоугольной матрицей называется совокупность m n чисел, расположенных в таблице из m строк и n столбцов.
13 EMBED Equation.3 1415.
Числа 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 входящие в данную таблицу, называются матричными элементами, а индексы i и j элемента 13 EMBED Equation.3 1415 указывают (соответственно) номера строки и столбца, в которых расположен элемент.
Если m = n, то матрица называется квадратной. Квадратная матрица из n строк и n столбцов называется матрицей n-го порядка. Каждой матрице порядка n ставится в соответствие число, которое называется определителем, или детерминантом этой матрицы и обозначается одним из следующих символов:

13 EMBED Equation.3 1415. (1.1.1)
Числа 13 EMBED Equation.3 1415 называются элементами определителя.
Если определитель матрицы равен 0, то матрица называется особенной (вырожденной), а если определитель отличен от 0 - неособенной (невырожденной).
Квадратная матрица называется симметрической, если 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. равны элементы, симметричные относительно главной диагонали (главная диагональ образована элементами 13 EMBED Equation.3 1415.
Диагональной называется матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны 0.
Единичная матрица - это диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1. Обозначается единичная матрица буквами Е или I.
Пример 1.1.1.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 – симметрическая матрица третьего порядка;
б) 13 EMBED Equation.3 1415 – диагональная матрица третьего порядка;
в) 13 EMBED Equation.3 1415 – единичная матрица третьего порядка;
Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размерности и равные соответствующие элементы.
Матрица Ат, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно А. Если матрица А имеет размеры m n, то матрица Ат имеет размеры n  m.

Пример 1.1.2.
а) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
б) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Линейными операциями над матрицами называются операции сложения (вычитания) и умножения на число. Сложение и вычитание определяют- ся только для матриц одинаковых размеров.
Суммой (разностью) двух матриц 13 EMBED Equation.3 1415, и 13 EMBED Equation.3 1415 называется матрица 13 EMBED Equation.3 1415, для которой 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Произведением матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 на число
· называется матрица 13 EMBED Equation.3 1415, для которой 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1.1.3.
Даны матрицы
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
и число
· = 4. Вычислить матрицы: С = А + В, D = A – B, M =
·А
Решение.
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Умножение матриц А и В, т. е. получение произведения этих матриц С = АВ, возможно лишь в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Такие матрицы называются согласованными.


Рис. 1.1.1
Произведением двух согласованных матриц 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется такая третья матрица 13 EMBED Equation.3 1415, для которой каждый элемент 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,п вычисляется по формуле (рис. 1.1.1)
13 EMBED Equation.3 1415 (1.1.2)
Пример 1.1.4. Вычислить произведение матриц
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Можно ли получить произведение ВА?
Решение. Число столбцов матрицы А(3) равно числу строк матрицы В(3). Поэтому произведение АВ = С определено. Матрица С имеет размерность 2x4, а ее элементы вычисляются по формуле (1.1.2)
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 и т.д.
Произведение ВА не определено, т. к. число столбцов матрицы В(4) не равно числу строк матрицы А(2).
Определителем (1.1.1) матрицы второго порядка называется число
13 EMBED Equation.3 1415

Определителем матрицы третьего порядка называется число
13 EMBED Equation.3 1415.
Студенту следует обратить внимание на правила треугольника и Сильвестра вычисления определителей третьего порядка.
Пример 1.1.5. Вычислить определитель
13 EMBED Equation.3 1415.
Минором 13 EMBED Equation.3 1415 элемента aij определителя называется определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится элемент aij.
Алгебраическим дополнением 13 EMBED Equation.3 1415 элемента aij определителя называется его минор, взятый со знаком (-l)i+j, т. е.
13 EMBED Equation.3 1415. (1.1.3)
Пример 1.1.6. Записать миноры и алгебраические дополнения элементов определителя примера 1.1.5.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;


13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
Замечание. Определители матриц n-го порядка (n = 1, 2...) короче называют определителями n-го порядка.
Свойства определителей:
определитель не изменится, если транспонировать матрицу определителя;
при перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак;
определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0;
общий множитель для элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя;
определитель равен 0, если все элементы строки (столбца) равны 0;
определитель не изменится, если к элементам строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель;
определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, например:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.1.4)
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1.1.7. Вычислить определитель примера 1.1.5, используя свойство семи определителей (разложение произвести по элементам первого столбца).
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
По аналогии с формулой (1.1.4) вводятся определители n-го порядка

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. (1.1.5)
Пример 1.1.8. Используя свойства 1-7 определителей, вычислить определитель четвертого порядка
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Матрицей, обратной к матрице А, называется квадратная матрица А-1, такая, что А-1А = Е.
Если матрица А невырожденная (det А
· 0), то обратная матрица А-1 находится по формуле
13 EMBED Equation.3 1415, (1.1.6)
где 13 EMBED Equation.3 1415  алгебраические дополнения элементов аij (1.1.3).
Пример 1.1.9. Найти матрицу, обратную к данной матрице
13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим определитель матрицы А:
13 EMBED Equation.3 1415.
По формуле (1.1.6) находим (вычисление алгебраических дополнений элементов матрицы А рассмотрено в примере 1.1.6):
13 EMBED Equation.3 1415.
Проверка:
13 EMBED Equation.3 1415.
Студентам рекомендуется провести вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований.
Рангом матрицы А размерности m Ч n называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка большего, чем r, равен 0. Ранг матрицы обозначается r(А).
Свойства ранга матрицы А размерности m x п:
0 r = 0 тогда и только тогда, когда матрица нулевая;
для квадратной матрицы n-го порядка r = n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная;
ранг транспонированной матрицы равен рангу исходной матрицы;
ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть (дописать) нулевую строку (столбец);
ранг матрицы не изменится, если к элементам строки матрицы прибавить элементы другой строки матрицы, предварительно умноженные на некоторое число;


7) ранг матрицы не изменится, если переставить любые строки (столбцы) матрицы.
Пример 1.1.10. Найти ранг матрицы А.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
rgA = 2, т. к. имеется отличный от нуля определитель второго порядка, например 13 EMBED Equation.3 1415.
Студент должен уметь решать системы линейных алгебраических уравнений (в дальнейшем СЛАУ):
по формулам Крамера и матричным методом (в случае, когда матрица А системы невырожденная);
произвольные СЛАУ с использованием теоремы Кронекера - Капелли методом Гаусса.
Рассмотрим примеры на применение этих двух методов. 1) Предположим, что СЛАУ имеет невырожденную матрицу порядка n.

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, det A
· 0, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415.
Правило Крамера. Если главный определитель СЛАУ отличен от нуля (
·
· 0), то СЛАУ имеет единственное решение, которое находится по формуле
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (1.1.7)
Матричный метод. Если матрица СЛАУ невырожденная, то решение СЛАУ может быть найдено по формуле
Х = А-1В, (1.1.8)
где матрица А-1 вычисляется по формуле (1.1.6) либо методом элементарных преобразований.
Пример 1.1.11. Решить СЛАУ
13 EMBED Equation.3 1415
а) по формулам Крамера;
б) методом обратной матрицы.
Решение. Запишем матрицу системы А, матрицу-столбец неизвестных x и матрицу-столбец свободных членов В:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
а) 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
б) воспользуемся формулой X = А-1В, где матрица А-1 вычислена в примере 1.1.9:
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415.
Предположим, что матрица СЛАУ имеет размерность m x п. В этом случае СЛАУ имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
Запишем расширенную матрицу системы 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.

Теорема Кронекера - Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы.
Для решения произвольных СЛАУ применяется метод Гаусса. Сущность метода состоит в том, что расширенная матрица СЛАУ приводится к ступенчатому виду.
Пример 1.1.12. Решить систему

13 EMBED Equation.3 1415
В этой системе m = 3 - количество уравнений; n = 4 - количество неизвестных.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы А и преобразуем ее к ступенчатому виду:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. реме Кронекера - Капелли СЛАУ совместна. Укороченная СЛАУ имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
В качестве базисных неизвестных выберем неизвестные x1 и х2, а неизвестные х3, х4 примем за свободные, полагая х3 = С1, х4 = С1. Тогда СЛАУ может быть записана в виде
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда находим 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
и окончательно получим
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 .

Пример 1.1.13. Решить систему
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Система линейных алгебраических уравнений несовместна.
Замечание. Однородные СЛАУ всегда совместны, т. к. ранги расширенной матрицы системы и матрицы системы совпадают.
Вопросы для самопроверки
Какие матрицы называют равными?
В каких случаях возможно перемножение двух матриц?
В каких случаях существуют произведения как АВ, так и ВА?
Что называется минором и алгебраическим дополнением элементов матрицы? В чем отличие между ними?
Сформулируйте правило Крамера.
Как осуществляется транспонирование матрицы?
В чем суть метода элементарных преобразований получения обратной матрицы?
Что такое ранг матрицы?
Что такое основная и расширенная матрицы системы?
10. Сформулируйте и поясните на примерах теорему Кронекера - Капелли.

Тема 1.2. Векторная алгебра
Учебники: [1, гл. 1, §§ 1-3], [10, гл. 2], [16, гл. 7].
Аудиторная работа: [2, №№ 1.4, 1.10 (1), 2.1 (1), 2.2 (1), 2.3 (1) - 2.8 (1), 2.28, 3.1 (1), 3.8, 3.19 (1), 3.20 (1), 3.23], [7, гл. 3, №№ 1 (1), 2, 3, 8 (1), 10, 11 (1), 12 (1), 14 (1)], [20, ч. 1, гл. 2, №№ 2.9, 2.35, 2.43, 2.78, 2.79, 2.100 (а), 2.102, 2.106 (а), 2.107, 2.118, 2.127 (а), 2.132, 2.137], [28, занятия 2 (2.2.9, 2.2.10), 3 (3.2.1, 3.2.3, 3.2.5 - 3.2.7), 4 (4.2.4 - 4.2.6), 5 (5.2.2, 5.2.5 - 5.2.7) )].
Самостоятельная работа: [2, №№ 1.5, 1.7, 1.10 (2, 3), 2.1 (2 - 5), 2.2 (2), 2.3 (2, 3) - 2.8 (2, 3), 2.29, 2.30, 3.1 (2, 3), 3.19 (2, 3), 3.20 (2) )], [7, гл. 3, №№ 1 (2), 4, 6, 7, 8 (2), 9, 11 (2), 12 (2), 14 (2) )], [20, ч. 1, гл. 2, №№ 2.11, 2.32, 2.44 –2.46, 2.82 - 2.84, 2.86, 2.100 (б, в), 2.106 (б, в), 2.108, 2.119, 2.127 (б), 2.133, 2.134)], [28, задания 2 (2.3.6, 2.3.7), 3,4,5)].
Для отвлеченного изображения конкретных векторных величин используются векторы. Вектором (геометрическим) называется направленный отрезок прямой. Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Положение начальной точки таких векторов не играет никакой роли. Поэтому геометрические векторы называются свободными.
При изучении темы "Векторная алгебра" студенту следует обратить внимание на ниже рассмотренные вопросы.
1. Линейные операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число).
Векторы необходимо уметь складывать как по правилу треугольника, так и по правилу параллелограмма.
2. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость векторов. Базисные векторы. Декартов базис.
Пример 1.2.1. Указать при каких значениях ос и Р возможно 13 EMBED Equation.3 1415 равенство, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - единичные векторы (13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415).
Решение. Для решения приведенной задачи необходимо рассмотреть возможное расположение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
а) векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 сонаправлены (рис. 1.2.1), тогда 13 EMBED Equation.3 1415;
б) векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеют противоположное направление (рис. 1.2.2). В этом случае 13 EMBED Equation.3 1415;
в) векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 образуют между собой угол 13 EMBED Equation.3 1415. При этом угол 13 EMBED Equation.3 1415 отличен от 0 и 13 EMBED Equation.3 1415 радиан (рис. 1.2.3). Приведенное в условии равенство возможно лишь при 13 EMBED Equation.3 1415.

Рис. 1.2.1 Рис. 1.2.2 Рис. 1.2.3
Рассмотренный пример дает представление о линейной зависимости и независимости векторов (важнейшее положение темы "Векторная алгебра").
Линейной комбинацией п векторов 13 EMBED Equation.3 1415 называется сумма произведений этих векторов на действительные числа 13 EMBED Equation.3 1415, а именно:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.2.1)
(в рассмотренном примере записана линейная комбинация двух единичных векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415).
Векторы 13 EMBED Equation.3 1415 называются линейно-зависимыми, если их линейная комбинация (формула (1.2.1)) равна нулю, а среди коэффициентов 13 EMBED Equation.3 1415 имеется хотя бы один, отличный от нуля. На рис. 1.2.1 – 1.2.2 изображены два линейно зависимых вектора. Они могут быть расположены на одной прямой либо на параллельных прямых.
Два вектора, расположенные на одной либо на двух параллельных прямых, называются коллинеарными.
Условие коллинеарности векторов 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Если три вектора расположены в одной либо в параллельных плоскостях, то они называются компланарными.
Компланарные векторы линейно зависимы. Необходимое и достаточное условие компланарности векторов
13 EMBED Equation.3 1415.
Векторы 13 EMBED Equation.3 1415 называются линейно-независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1.2.1) возможно лишь в том случае, когда коэффициенты 13 EMBED Equation.3 1415 одновременно равны 0.
Случай двух линейно-независимых векторов представлен на рис. 1.2.3 (линейная комбинация 13 EMBED Equation.3 1415 равна нулю лишь при одновременном обращении в нуль ( и (.
Пример 1.2.2. Векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 некомпланарны (линейно-независимы). Доказать, что векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 компланарны и найти их линейную зависимость.
Решение. Приравняем к нулю линейную комбинацию векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и подставим в равенство разложения векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 по векторам 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Равенство нулю линейной комбинации векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 возможно лишь в том случае, когда коэффициенты линейной комбинации равны нулю. Из этого условия получаем систему линейных алгебраических уравнений, которую решим методом Гаусса (пример 1.1.11)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Коэффициенты равной нулю линейной комбинации векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 могут быть отличны от нуля, следовательно, векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 линейно зависимы (компланарны). Подставляя 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 в равенство 13 EMBED Equation.3 1415 и сокращая на С, получим 13 EMBED Equation.3 1415.
С понятием линейной независимости векторов тесно связано такое фундаментальное понятие как базис.
Базисом на плоскости Q называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов, параллельных плоскости Q. Любой вектор 13 EMBED Equation.3 1415, параллельный плоскости Q, можно представить в виде 13 EMBED Equation.3 1415.
Базисом в трехмерном пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных (линейно-независимых) векторов. Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415  базис в пространстве, то любой вектор 13 EMBED Equation.3 1415 пространства можно единственным образом разложить по этому базису по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
Декартовым базисом на плоскости (рис. 1.2.4) называются два единичных взаимно–перпендикулярных вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, совпадающих с положительным направлением осей ОХ и ОУ соответственно.

Рис. 1.2.4 Рис. 1.2.5
Любой вектор плоскости а может быть единственным образом представлен в виде 13 EMBED Equation.3 1415, где числа ах и аy называются координатами вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Декартовым базисом в пространстве (рис. 1.2.5) называются три единичных взаимно перпендикулярных вектора 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, совпадающих с положительным направлением осей ОХ, ОУ и OZ соответственно. Любой вектор а может быть единственным образом представлен в виде 13 EMBED Equation.3 1415, где числа ах, аy, ах, аz, называются координатами вектора 13 EMBED Equation.3 1415. Если вектор 13 EMBED Equation.3 1415 задается координатами начальной А(хa, уa, za) и конечной А(хb, уb, zb) точек, то его координаты имеют вид
13 EMBED Equation.3 1415.
Два вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 равны в том и только в том случае, когда координаты их равны, т. е. a х = bх, a у= bу, a z = bz.
3. Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.
13 EMBED Equation.3 1415 (1.2.2)
Из формулы (1.2.2) для ненулевых векторов можно вычислить косинус угла между векторами
13 EMBED Equation.3 1415. (1.2.2)
Длина вектора 13 EMBED Equation.3 1415 определяется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415. (1.2.4)
Из свойств скалярного произведения следует обратить внимание на коммутативный (перестановочный) закон 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1.2.3. Вычислить угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Угол между векторами вычисляется по формуле (1.2.3).
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Предположим, что в пространстве задан декартов базис 13 EMBED Equation.3 1415 и два вектора 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
В декартовом базисе скалярное произведение векторов и длина вектора вычисляются по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415; (1.2.5)
13 EMBED Equation.3 1415; (1.2.6)
Условие перпендикулярности векторов 13 EMBED Equation.3 1415, или
13 EMBED Equation.3 1415; (1.2.7)
Условие коллинеарности векторов
13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415. (1.2.8)
Пример 1.2.4. При каком значении 13 EMBED Equation.3 1415 векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярны?
Решение. Используя формулу (1.2.4), имеем 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1.2.5. При каких значениях 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 коллинеарны?
Решение. Используя условие коллинеарности векторов (1.2.8), имеем: 13 EMBED Equation.3 1415. Откуда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1.2.6. Найти вектор 13 EMBED Equation.3 1415, коллинеарный вектору 13 EMBED Equation.3 1415, образующий с ортом 13 EMBED Equation.3 1415 острый угол и имеющий длину 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Пусть вектор 13 EMBED Equation.3 1415 имеет координаты 13 EMBED Equation.3 1415. Из условия коллинеарности (1.2.8) имеем 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
По формуле (1.2.6) вычисляем
13 EMBED Equation.3 1415. Откуда 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415. Получаем два вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как угол между вектором 13 EMBED Equation.3 1415 и ортом 13 EMBED Equation.3 1415 острый, 13 EMBED Equation.3 1415 и координата 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому в качестве вектора 13 EMBED Equation.3 1415 выбираем вектор 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Векторное произведение векторов. Необходимо обратить внимание студентов на определение правой и левой троек векторов (рис. 1.2.6 и 1.2.7).

Рис. 1.2.6 Рис. 1.2.7
Тройка некомпланарных векторов 13 EMBED Equation.3 1415 называется правой (рис. 1.2.6) или левой (рис. 1.2.7), если эти векторы, будучи приведенными к общему началу, располагаются так, как могут быть расположены, соответственно, большой, указательный и средний пальцы правой (левой) руки.
Векторным произведением векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется вектор 13 EMBED Equation.3 1415, который обозначается символом 13 EMBED Equation.3 1415 и удовлетворяет следующим трем условиям:
1) вектор с перпендикулярен плоскости векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415;
2) образует с векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 правую тройку;
3) длина вектора 13 EMBED Equation.3 1415 численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, т. е.
13 EMBED Equation.3 1415; (1.2.9)
Из свойств векторного произведения следует обратить внимание на антикоммутативность, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1.2.7. Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Вычислим векторное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, воспользовавшись формулой (1.2.9)
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
В декартовом базисе 13 EMBED Equation.3 1415 векторное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415. (1.2.10)
Пример 1.2.8. Найти координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415, если он перпендикулярен векторам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 и удовлетворяет условию 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Вектор 13 EMBED Equation.3 1415перпендикулярен векторам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому его можно искать в виде
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Удовлетворим условию 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, вектор имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1.2.9. Вычислить площадь треугольника, вершины которого расположены в точках А(1,2,3), В(2,1,-1), С(3,-1,1).
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415. Вычислим координаты векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 и векторное произведение 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
5. Смешанное произведение трех векторов. Смешанным произведением трех векторов 13 EMBED Equation.3 1415 называется число, которое обозначается символом 13 EMBED Equation.3 1415 (смешанное произведение иногда называют векторно-скалярным).
Если векторы 13 EMBED Equation.3 1415 некомпланарны, то смешанное произведение 13 EMBED Equation.3 1415 равно объему параллелепипеда, построенного на векторах 13 EMBED Equation.3 1415, взятому со знаком "+", если упорядоченная тройка векторов 13 EMBED Equation.3 1415 – правая, и со знаком "-", если эта тройка - левая.
Из свойств смешанного произведения трех векторов следует отметить следующие:
1) при круговой перестановке векторов смешанное произведение не меняется, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415;
2) если в смешанном произведении поменять местами два соседних сомножителя, то произведение изменит знак, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415;
3) смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны, т. е. условием компланарности векторов является равенство нулю смешанного произведения этих векторов.
Смешанное произведение векторов в декартовом базисе 13 EMBED Equation.3 1415. Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415. (1.2.11)
Условие компланарности векторов13 EMBED Equation.3 1415. (1.2.12)
Наиболее распространенные задачи, решаемые с помощью смешанного произведения:
1) найти объем параллелепипеда, построенного на векторах 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415;
2) найти объем тетраэдра, построенного на векторах 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415;
3) проверить, компланарны ли векторы 13 EMBED Equation.3 1415: если 13 EMBED Equation.3 1415, то векторы компланарны, если 13 EMBED Equation.3 1415, то векторы некомпланарны;
4) проверить, правую или левую тройку образуют векторы 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Замечание. Смешанное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 как правило, записывают в виде 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1.2.10. Вычислить длину высоты тетраэдра ABCD, проведенную из вершины D к основанию ABC, если вершины тетраэдра имеют координаты: А (1,2,0), В (2,1,1), С (0,-3,-1), D (3,3,4).
Решение. Найдем координаты векторов, выходящих из вершины А:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте правила треугольника и параллелограмма сложения векторов.
2. Укажите принципиальное различие в формулах для вычисления длины вектора в произвольном и декартовом базисах.
3. Чему равно скалярное произведение базисных векторов в декартовом базисе?
4. Чему равно векторное произведение базисных векторов в декартовом базисе?
5. Запишите условие компланарности векторов. Приведите пример.
6. Можно ли построить треугольник на векторах 13 EMBED Equation.3 1415?
7. Приведите пример условия, при выполнении которого из трех векторов 13 EMBED Equation.3 1415 можно образовать треугольник.
8. Докажите, что объем тетраэдра вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
9. Вычислите угол между векторами, совпадающими со скрещивающимися ребрами тетраэдра.
10. Как Вы считаете, произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 (двойное векторное) является векторной величиной или скалярной?
Тема 1.3. Прямая и плоскость
Учебники: [1, гл. 2, §§ 1 - 3; 10, гл. 4, гл. 5, §§ 2 - 5; 16, гл. 2, §§ 1, 2, гл. 10,§§1,2(п.5),§3(п.7)].
Аудиторная работа: [2, Ms 6.17 (1 - 4), 6.18, 6.19 (1), 6.20 (1), 6.21 (1), 6.23 (1), 6.25 (1), 6.29, 6.34, 6.44 (1) - 6.47 (1), 6.50 (1), 6.51 (1), 6.60 (1) -6.62 (1), 6.70 (1), 6.72], [7, гл. 3, № 15, 18 (1 - 3), 19 (1 - 4), 23 (1), 24 (1), 26, 28 (1), 30 (1), 38, 41 (1), 47 (1)], [20, ч. 1, гл. 2, №№ 2.180 (а) - 2.184 (а), 2.185, 2.186, 2.189, 2.197 (а), 2.198, 2.199 (а), 2.203 (а)], [28, занятия 6 (6.2.1 - 6.2.2), 7 (7.2.1 - 7.2.9), 8 (8.2.1 - 8.2.12), ].
Самостоятельная работа: [2, №№ 6.19 (2, 3), 6.20 (2 - 5), 6.21 (2, 3), 6.23 (2, 3), 6.24, 6.25 (2 - 5), 6.26, 6.30, 6.44 (2) - 6.47 (2), 6.50 (2 - 4),6.51 (2, 3), 6.60 (2, 3) - 6.62 (2, 3), 6.70 (2, 3), 6.73], [7, гл. 3, №№ 16, 18 (4 - 13), 19 (5 -11), 20, 21, 23 (2, 3), 24 (2, 3), 30 (2), 41 (2), 47 (2, 4), 48], [20, ч. 1, гл. 2, №№ 2.180 (б) - 2.184 (б), 2.187 - 2.188, 2.197 (б), 2.200, 2.201, 2.203 (б), 2.124], [28, занятия 6 (6.2.1 - 6.2.4), 7, 8].
При изучении аналитической геометрии в пространстве возникают затруднения, связанные с недостаточностью пространственных представлений. В таких случаях полезно пользоваться пространственными моделями (тетрадь - плоскость; карандаш, ручка - прямая, отрезок прямой) и использовать их при разборе теоретического материала наравне с рисунками, приведенными в задачниках.
Различные виды уравнения плоскости
1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярно вектору 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.1)
Пример 1.3.1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку 13 EMBED Equation.3 1415перпендикулярно вектору 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Используя уравнение (1.3.1), получим
13 EMBED Equation.3 1415, или 2х – у + 4z – 12 = 0.
Пример 1.3.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 13 EMBED Equation.3 1415 параллельно векторам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Плоскость параллельна векторам 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому вектор нормали к плоскости 13 EMBED Equation.3 1415 равен векторному произведению векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 на-ходится по формуле (1.2.10): 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение искомой плоскости (1.3.1) принимает вид
-2(x-l)-6(y-2)+5(z-3) = 0, или -2х- 6у + 5z- 1 = 0.
2. Общее уравнение плоскости
Ax+By+Cz+D = 0. (1.3.2)
В этом уравнении коэффициенты А, В, С – координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415, перпендикулярного плоскости.
3. Уравнение плоскости в отрезках
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.3)
Числа а, b, с равны величинам направленных отрезков, отсекаемых на осях координат.
4. Уравнение плоскости, проходящей через три точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, не лежащие на одной прямой
13 EMBED Equation.3 1415 (1.3.4)
Пример 1.3.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. В соответствии с уравнением (1.3.4) получаем
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415=2(x-1)-2(y-2)-(z-3)=2x-2y-z+5=0
и есть уравнение искомой плоскости.
Различные виды уравнений прямой в пространстве
Общее уравнение прямой
13 EMBED Equation.3 1415 (1.3.5)
Прямая задана пересечением двух плоскостей с нормалями 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Канонические (стандартные) уравнения прямой, проходящей через точку М0(х0, у0,, z0), И имеющей направляющий вектор 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.6)
Пример 1.3.4. Перейти от общих уравнений прямой
13 EMBED Equation.3 1415 к каноническим уравнениям.
Решение. Прежде всего выберем какую–нибудь точку М0, например М0(0,0,2), удовлетворяющую общим уравнениям прямой. Если сразу не удается подобрать координаты точки М0, то ее можно найти из решения системы линейных уравнений (см. пример 1.1.11), которой задаются общие уравнения прямой.
Направляющий вектор прямой а может быть выбран в виде 13 EMBED Equation.3 1415 (см. формулу 1.3.5), где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - нормальные векторы к плоскостям, пересечением которых и задается прямая
13 EMBED Equation.3 1415.
Канонические уравнения прямой имеют вид 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Параметрические уравнения прямой:
х = х0 + mt, у = у0 + pt, z = z0 + ut, 13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.7)
Пример 1.3.5. В примере 1.3.4 от канонических уравнений прямой перейти к параметрическим уравнениям.
Решение. Ряд равных отношений в канонических уравнениях прямой примера 1.3.4 приравняем к t: 13 EMBED Equation.3 1415. Откуда получим параметрические уравнения: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки M1(x1, y1, z1), M1(x1, y1, z1) имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.8)
Замечание. В уравнениях прямой (1.3.6) и (1.3.8) допускается равенство нулю одной или двух координат вектора 13 EMBED Equation.3 1415. В этом случае нуль в знаменателе воспринимается только лишь как информация о координатах вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Задачи, относящиеся к плоскостям
Пусть заданы две плоскости А1х+В1у+C1z+D1=0 и А2х+В2у+C2z+D2=0.
1. Взаимное расположение двух плоскостей:
а) условие перпендикулярности плоскостей
A1A2+B1B2+C1C2=0; (1.3.9)
б) условие параллельности плоскостей
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.10)
2. Угол между плоскостями
13 EMBED Equation.3 1415; (1.3.11)
3. Расстояние от точки М0(х0,у0,z0) до плоскости Ах+By+Cz+D=0
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.12)
Пример 1.3.6. Найти расстояние между параллельными плоскостями
2х + Зу - z + 1 = 0 и 2х + Зу - z + 4 = 0.
Решение. Это расстояние равно расстоянию от любой точки одной плоскости до другой. Выберем на первой плоскости произвольную точку, например М0(0,0,1). По формуле (1.3.12) находим
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1.3.7. Найти угол между плоскостями x-3y+z-l=0 и у+z+2=0. По формуле (1.3.11) находим
13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. Как правило, вычисляется острый угол между плоскостями.
Задачи, относящиеся к прямым в пространстве
Пусть заданы две прямые в пространстве
1. Взаимное расположение двух прямых:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.13)
а) условие перпендикулярности прямых
13 EMBED Equation.3 1415; (1.3.14)
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.15)
б) условие параллельности прямых
2. Угол между прямыми
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.16)
3. Расстояние от точки М(х1,y1,z1) до прямой 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415, (1.3.17)
где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, а векторное произведение вычисляется по формуле (1.2.10).
4. Условие пересечения прямых. Прямые задаются уравнениями (1.3.13). Рассмотрим смешанное произведение 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, (1.3.18)
то прямые пересекаются, если
13 EMBED Equation.3 1415, (1.3.19)
то прямые скрещиваются.
Смешанное произведение векторов вычисляется по формуле (1.2.11).
5. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Прямые заданы уравнениями (1.3.13). Если 13 EMBED Equation.3 1415, то расстояние d между прямыми вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.20)
Пример 1.3.8. Исследовать взаимное расположение прямых
Первая прямая проходит через точку M1(1,-1,-2), а вторая  через точку М2(2,1,1). Направляющие векторы прямых  13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Вычислим смешанное произведение 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как выполняется условие (1.3.19), то прямые скрещиваются.
Пример 1.3.9. Вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми примера 1.3.8.
Решение. Используем формулу (1.3.20).
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть плоскость задана уравнением (1.3.2), а прямая - уравнениями (1.3.6) либо (1.3.7), тогда 13 EMBED Equation.3 1415  нормаль к плоскости, 13 EMBED Equation.3 1415  направляющий вектор прямой.

Рис. 1.3.1 Рис. 1.3.2
1. Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.21)
2. Условие параллельности прямой и плоскости
13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.22)
3. Угол между прямой и плоскостью (рис. 1.3.1):
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.23)
4. Координаты точки пересечения прямой и плоскости находятся из системы уравнений (1.3.2) и (1.3.7), а именно:
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.24)
5. Проекция точки M1(x1,y1,z1) на прямую (рис. 1.3.2). Координаты точки Р определяются из системы
13 EMBED Equation.3 1415 (1.3.25)
где плоскость 13 EMBED Equation.3 1415 проведена через точку M1 перпендикулярно прямой L.
Прямая линия на плоскости
Уравнение прямой линии на плоскости может быть получено из канонических уравнений прямой в пространстве (1.3.6), если положить z0=0 и р=0, то
13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415 (1.3.26)
В зависимости от условий задачи уравнение прямой на плоскости может быть записано в виде:
а) у=кх+b (1.3.27)
– уравнение прямой с угловым коэффициентом;
б) aх+by+c=0 (1.3.28)
– общее уравнение прямой;
в) у=у0+к(х-х0) (1.3.29)
- уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0,у0) и имеющей заданный угловой коэффициент k;
г) 13 EMBED Equation.3 1415 (1.3.30)
- уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Угол между двумя прямыми у=k1x+b1 и у=k2х+b2 определяется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.31)
Условия параллельности и перпендикулярности прямых, соответственно, имеют вид
k1=k2 (1.3.32)
13 EMBED Equation.3 1415. (1.3.33)
Пример 1.3.10. Треугольник задан координатами вершин A1(1,2), А2(4,0), А3(6,3). Написать уравнения:
1) стороны А1А3;
2) медианы, проведенной из вершины А2;
3) высоты, проведенной из вершины А2.
Решение. 1) Воспользуемся уравнением (1.3.30):
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415  уравнение стороны А1А3.
2) пусть точка К  точка пересечения медианы треугольника, проведенной из вершины А2, со стороной А1А3. Точка K- середина отрезка А1А3. Поэтому ее координаты равны полусумме координат концов отрезка, а именно: 13 EMBED Equation.3 1415. Воспользуемся уравнением (1.3.30):
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение медианы A2К.
3) Высота, проведенная из вершины А2, перпендикулярна стороне А1А3, поэтому угловой коэффициент k: определяется из условия (1.3.33):
13 EMBED Equation.3 1415.
Воспользуемся уравнением (1.3.29): у=у2+к(х-х2); у=0-5(х-4); у=-5х+20, т. е. высота треугольника А1А2А3 , проведенная из вершины А2, совпадает с медианой, проведенной из этой же вершины.
Вопросы для самопроверки
1. Запишите условия перпендикулярности и параллельности:
а) прямых;
б) плоскостей;
в) прямой и плоскости.
2. Получите координаты точки К, делящей данный отрезок АВ в отношении
13 EMBED Equation.3 1415.
3. Какие особенности имеет уравнение плоскости, если она:
а) параллельна осям координат OX, OY, OZ;
б) перпендикулярна осям координат OX, OY, OZ;
в) параллельна плоскостям OXY, OXZ, OYZ?
4. Как найти точку, симметричную точке M0(x0,y0,z0) относительно плоскости Ax+By+Cz+D=0?
5. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) параллельно двум прямым с направляющими векторами а1 и а2, причем 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Выведите нормальное уравнение плоскости.
7. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки М1 и М2 параллельно вектору 13 EMBED Equation.3 1415.
8. Выведите формулы для нахождения расстояния от точки до прямой, между двумя скрещивающимися прямыми.
9. Выведите уравнение биссектрисы угла треугольника.
10. Выведите формулу для нахождения угла между прямыми, лежащими в плоскости XOY.
Тема 1.4. Преобразование координат на плоскости. Элементарная теория линий второго порядка. (тема выносится на самостоятельное изучение)
Учебники: [1, гл. 2, § 4, гл. 3, §§ 1 - 3], [10, гл. 6, §§ 1 - 5], [16, гл. 2, § 3, п. 10-13].
Самостоятельная работа: [2, №№ 7.25, 7.38, 7.54, 8.1 (1, 3, 6), 9.1 (1, 2), 9.3 (1, 4), 9.4 (1 - 3) J, [7, гл. 3, №№ 49, 50, 51, 54, 62 (1, 2), 63 (1, 2) ], [20, ч. 1, гл. 2, № 2. 247, 2.249 (1, 2), 2.256 (а), 2.257, 2.258, 2.267, 2.269 (а), 2.278, 2.279, 2.286, 2.288 (в), 4. 226, 4. 227 (в двух последних заданиях преобразование координат проводить по формулам 1.4.1 - 1.4.3) ], [28, занятие 16 (16.2.6 -16.2.7)].
Простейшими преобразованиями координат на плоскости есть преобразование поворота и параллельного переноса. Одна и та же точка имеет различные координаты в разных системах декартовых координат. Существует связь между координатами точки в различных системах координат.

Рис. 1.4.1 Рис. 1.4.2
Параллельный перенос. Заданы две системы координат: старая OXY и новая O1X1Y1 (рис. 1.4.1). Начало новой системы координат находится в точке O1(a,b).
Старые координаты х, у точки М через новые координаты x1, y1 выражаются формулами
х=х1+а, у=у1+b, (1.4.1)
откуда
x1=x-a, y1=y-b. (1.4.2)
Поворот координатных осей. Новая система координат OX1Y1 получена поворотом старой на угол 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг точки 0 (рис. 1.4.2). Старые координаты (х,у) точки М через новые координаты (x1,y1) выражаются формулами
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. (1.4.3)
В общем случае, когда заданы преобразования параллельного переноса и поворота осей координат, связь между старыми и новыми координатами имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415 (1.4.4)
Студент должен уметь общее уравнение кривой второго порядка
13 EMBED Equation.3 1415 (1.4.5)
приводить к простейшему (каноническому) уравнению путем преобразования системы координат (параллельный перенос, поворот). В новой системе координат уравнением кривой (1.4.5) будет одно из следующих канонических уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415  эллипс; 13 EMBED Equation.3 1415  гипербола;
13 EMBED Equation.3 1415  точка; 13 EMBED Equation.3 1415  сопряженная гипербола; (1,4,6)
13 EMBED Equation.3 1415  мнимый эллипс; 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415  параболы;
13 EMBED Equation.3 1415  пара прямых; 13 EMBED Equation.3 1415  мнимая пара прямых.
Общее уравнение второй степени (1.4.5) при повороте осей координат на угол 13 EMBED Equation.3 1415 преобразуется в уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 (1.4.7)
Формулы преобразования координат имеют вид (1.4.3), угол 13 EMBED Equation.3 1415 определяется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415, (1.4.8)
причем
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. (1.4.9)
Уравнение (1.4.7) приводится к каноническим уравнениям (1.4.6) выделением полных квадратов и применением формул параллельного переноса (1.4.1).
Пример 1.4.1. Кривая второго порядка задана уравнением 13 EMBED Equation.3 1415. Записать каноническое уравнение этой линии.
Решение. В данном случае а11=3, 2а12=4, а22=0. По формуле (1.4.8) находим 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 либо
13 EMBED Equation.3 1415. Откуда 13 EMBED Equation.3 1415 либо 13 EMBED Equation.3 1415. В дальнейшем считаем, что 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. По формулам (1.4.9) вычисляем
13 EMBED Equation.3 1415,
Замечание. Если предположить, что 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и по формулам (1-4.9) имеем: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычисленные значения sin а и cos а подставляем в формулы (1.4.3):
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение и преобразуем его:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
В последнем уравнении выделим полные квадраты
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Используя формулы (1.4.1), положим
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
В новых координатах последнее уравнение имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415.
Это уравнение определяет сопряженную гиперболу (действительная

Рис. 1.4.3
ось OY с полуосями а=1, b=2.
Построим гиперболу в новой системе координат O1X2Y2. Вначале вычислим старые координаты точки О1, в которой находится центр гиперболы. Для этой точки х2=0, у2=0. По формулам (1.4.1) находим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. С помощью формул (1.4.3) вычисляем 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, точка О1, имеет координаты О1(2,–2). Через точку О1 проводим ось ОХ2, для которой 13 EMBED Equation.3 1415, и ось OY2 перпендикулярно оси ОХ2. Строим гиперболу 13 EMBED Equation.3 1415 в системе координат O1X2Y2 (рис. 1.4.3).
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение эллипса, гиперболы, параболы.
2. Дайте определение директриссы и эксцентриситета кривых второго по рядка.
3. Какие линии определяют уравнения 13 EMBED Equation.3 1415? Вычислите параметры кривых.
4. Получите уравнения асимптот гиперболы.
5. Чему равен эксцентриситет для окружности?
6. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки гиперболы 13 EMBED Equation.3 1415 до ее асимптот есть величина постоянная.
Тема 1.5. Некоторые сведения о линейных векторных пространствах. Собственные числа и собственные векторы
Учебники: [16, гл. 16, § 1.2].
Аудиторная работа: [7, гл. 2, § 4, №№ 34 (1.2), 37 (2), 39 (1), 40 (1, 2), 41 (1, 2) ], [20, ч. 1, гл. 4, №№ 4.83, 4.86, 4.90, 4.106 (а), 4.183], [28, занятия 14 (14.2.1, 14.2.4), 15 (15.2.1, 15.2.4, 15.2.7)].
Самостоятельная работа: [7, гл. 2, § 4, №№ 35, 37 (1, 3, 4), 39 (2), 40 (3), 41 (3, 4)], [20, ч. 1, гл. 4, №№ 4.84, 4.87, 4.91, 4.92, 4.106 (б), 4.184], [28, занятия 14(14.3.3), 15(15.3.1, 15.3.5, 15.3.8, 15.3.9)].
В теории линейных векторных пространств обобщается понятие вектора, введенного в курсе векторной алгебры.
Упорядоченная совокупность n чисел 13 EMBED Equation.3 1415 называется nмерным вектором, а числа 13 EMBED Equation.3 1415, составляющие эту совокупность, называются координатами вектора х; n–мерный вектор можно рассматривать как матрицу-строку или матрицу-столбец, состоящую из n элементов.
Линейным векторным пространством называется множество векторов (любой природы), для которых определено два действия  сложение и умножение на произвольное число. Линейные n–мерные векторные пространства будем обозначать Ln.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то:
1. x=y, если 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415.
Приведенные определения позволяют рассматривать векторы общего вида не обязательно геометрической природы. Примеры линейных пространств:
а) множество геометрических векторов R3;
б) множество всех многочленов Рn{х}, степени, не превосходящей n;
в) множество матриц Amn размерности mn;
г) пусть 13 EMBED Equation.3 1415  количество i–го сырьевого продукта, измеренного в подходящих единицах, тогда векторы вида 13 EMBED Equation.3 1415 могут задавать
суточную потребность предприятия в сырье, запасы сырья, хранящегося на складе, и т. д.
Любая совокупность п линейно независимых векторов в и-мерном пространстве образует базис в этом пространстве (определение линейной зависимости и независимости векторов см. в теме 1.2).
Пример 1.5.1. Показать, что система векторов
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
образует базис в пространстве квадратных матриц 13 EMBED Equation.3 1415 Представить матрицу А22 в виде линейной комбинации векторов 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Составим линейную комбинацию 13 EMBED Equation.3 1415, и приравняем ее, к нулю:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415.
Мы получили, что линейная комбинация векторов St, i = 1,4 равна нулю лишь в том случае, когда все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю. Согласно определению (см. тему 1.2) векторы 13 EMBED Equation.3 1415 линейно независимы и могут быть использованы в качестве базисных векторов.
Разложение матрицы А22 по базису 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.
Линейное пространство называется евклидовым, если в нем каждой паре векторов х, у сопоставлено число, которое называется скалярным произведением этих векторов, обозначается (х, у) и удовлетворяет аксиомам:
(х, у)= (y, x);
(x1+x2,y)=(x1,y)+ (x2,y);
13 EMBED Equation.3 1415
(х, у)>0, если 13 EMBED Equation.3 1415 и (x,x)=0, если ч=0.
Число 13 EMBED Equation.3 1415 называется нормой вектора в евклидовом пространстве. Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 называется неравенством КошиБуняков-ского.
Два вектора евклидового пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е. (х,у)=0.
Линейные преобразования. Если указано правило f, по которому каждому вектору x линейного пространства Ln ставится в соответствие единственный вектор у этого пространства, то говорят, что в нем задано преобразование (отображение, оператор).
Преобразование f линейного пространства L называется линейным (линейным оператором), если для любых векторов этого пространства 13 EMBED Equation.3 1415 и любого 13 EMBED Equation.3 1415 выполняются условия
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. (1.5.1)
Если линейное пространство L – n–мерное пространство, а f–линейное преобразование (оператор), осуществляющее отображение у=f(х), 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, то можно построить матрицу этого преобразования
13 EMBED Equation.3 1415 (1-5.2)
такую, что у = Ах, или 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. Если вектор геометрический, то над ним ставится стрелка.
Пример 1.5.2. Показать, что преобразование 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415  постоянный вектор, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 есть линейное в линейном пространстве L3 и построить его матрицу А.
Решение. Чтобы доказать линейность преобразования 13 EMBED Equation.3 1415, достаточно проверить свойства (1.5.1).
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
т. е. свойства линейности (1.5.1) выполнены и преобразование 13 EMBED Equation.3 1415 линейно.
Построим матрицу преобразования
13 EMBED Equation.3 1415,
откуда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Предположим, что в линейном пространстве Ln заданы базисы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, а также матрица А линейного преобразования f в базисе 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда матрица линейного преобразования в базисе 13 EMBED Equation.3 1415 будет иметь вид
13 EMBED Equation.3 1415, (1.5.3)
где Т – матрица перехода от старого базиса к новому.
Пример 1.5.3. В базисе 13 EMBED Equation.3 1415 преобразование f имеет матрицу 13 EMBED Equation.3 1415. Найти матрицу преобразования f в базисе 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Матрица 13 EMBED Equation.3 1415 (координаты векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 записываются в столбцы, соответственно, в первый и второй (см. формулу 1.1.6)).
По формуле (1.5.3) находим
13 EMBED Equation.3 1415.
Собственные числа и собственные векторы матрицы линейного преобразования (оператора)
Всякий ненулевой вектор 13 EMBED Equation.3 1415 называется собственным вектором линейного преобразования, если
13 EMBED Equation.3 1415, (1.5.4)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – некоторое число, называемое собственным значением (числом) линейного преобразования.
Если матрица А имеет вид (1.5.2), то равенство (1.5.4) записывается в виде системы линейных алгебраических уравнений
13 EMBED Equation.3 1415, (1.5.5)
Система (1.5.5), однородная СЛАУ, имеет отличные от нуля (нетривиальные) решения тогда и только тогда, когда определитель равен нулю. Отсюда следует, что
13 EMBED Equation.3 1415. (1.5.6)
Уравнение (1.5.6) называется характеристическим уравнением матрицы данного линейного преобразования. Каждый действительный корень 13 EMBED Equation.3 1415 уравнения (1.5.6) является собственным числом. Соответствующие собственному числу координаты собственного вектора находятся из системы (1.5.5) методом, изложенным в теме 1.1 (см. пример 1.1.11).
Пример 1.5.4. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы линейного преобразования
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Система однородных линейных алгебраических уравнений (1.5.5) для нахождения собственных векторов имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415 (1.5.7)
Вычислим определитель (1.5.6) и решим соответствующее характеристическое уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Характеристическое уравнение имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415, а его решение 13 EMBED Equation.3 1415. Найденные значения 13 EMBED Equation.3 1415 подставим в систему (1.5.7):
13 EMBED Equation.3 1415
Решение этой системы 13 EMBED Equation.3 1415, а соответствующий единичный вектор 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Решения систем линейных уравнений рассмотрены в теме 1.1 (см. пример 1.1.11).
Необходимо отметить следующие свойства собственных значений и собственных векторов симметрической матрицы:
1. Корни характеристического уравнения вещественной симметрической матрицы вещественны;
2. Собственные векторы вещественной симметрической матрицы, отвечающие различным собственным значениям, - ортогональны (проверьте на собственных векторах матрицы примера 1.5.4).
Вопросы для самопроверки
1. Приведите примеры n–мерных векторов.
2. Что такое линейное векторное пространство? Какое пространство называется евклидовым?
3. Что такое базис в n–мерном пространстве?
4. Как определяется линейное преобразование?
5. Докажите неравенство КошиБуняковского.
6. Докажите неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
7. При каком условии матрица линейного преобразования имеет диагональный вид?
8. Сформулируйте алгоритм нахождения собственных векторов.
Тема 1.6. Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду уравнений линии и поверхности второго порядка
Учебники: [1, гл. 3, § 4], [10, гл. 7, § 2], [16, гл. 11, § 3].
Аудиторная работа: [2, №№> 9.4 (1, 3), 11.22 (2)], [7, гл. 3, §§ 5, 6, № 63 (1, 2)], [20, ч. 1, гл. 4, § 3, №№ 4.226, 4.227, 4.233], [28, занятия 16 (16.2.6 (а, б)), 17(17.2.1, 17.2.2)].
Самостоятельная работа: [2, №№ 9.4 (4 - 6), 11.22 (2)], [7, гл. 3, §§ 5, 6, № 63 (3 - 5)], [20, ч. 1, гл. 4, § 3, №№ 4.228, 4.289, 4.234], [28, задания 16 (16.3.3 (а, б, в)), 17 (17.3.2, 17.3.3, 17.3.4 (а, б, в))].
Квадратичной формой от трех переменных дг, у, z называется однородный многочлен второй степени относительно этих переменных.
13 EMBED Equation.3 1415. (1.6.1)
Если учесть, что а12=а21, а13=a31, a23 =а32, то F(x,y,z) записывается в виде
13 EMBED Equation.3 1415.
Матрица
13 EMBED Equation.3 1415. (1.6.2)
называется матрицей квадратичной формы. Квадратичная форма имеет канонический вид, если она содержит члены только с квадратами переменных, т. е 13 EMBED Equation.3 1415. Матрица (1.6.2) квадратичной формы (1.6.1) будет иметь диагональный вид, если в трехмерном пространстве перейти к новому базису, состоящему из собственных векторов (см. тему 1.5) матрицы А, при этом на главной диагонали будут стоять собственные числа матрицы А.
Квадратичная форма в новом базисе будет иметь вид
13 EMBED Equation.3 1415, (1.6.3)
а ее матрица
13 EMBED Equation.3 1415.
В случае двух переменных х, у квадратичная форма F(x,y) имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415, (1.6.4)
а ее матрица
13 EMBED Equation.3 1415, (1-6-5)
причем а12 = а21.
Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду применяются при решении задач на приведение к каноническому виду уравнений кривых второго порядка
13 EMBED Equation.3 1415
и уравнений поверхностей второго порядка
13 EMBED Equation.3 1415.
Канонические уравнения основных кривых второго порядка были рассмотрены в теме 1.4 в формуле (1.4.6).
Поверхности второго порядка делятся на центральные и нецентральные. Канонические уравнения некоторых поверхностей второго порядка приведены ниже.
Уравнения центральных поверхностей второго порядка
1. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (1.6.6)
если 13 EMBED Equation.3 1415 – точка; 13 EMBED Equation.3 1415 – эллипс; 13 EMBED Equation.3 1415 – мнимый эллипс.
2. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (1.6.7)
если 13 EMBED Equation.3 1415 – однополостной гиперболоид; 13 EMBED Equation.3 1415 – двуполостной гиперболоид; 13 EMBED Equation.3 1415 – эллиптический конус.
Уравнения нецентральных поверхностей второго порядка
1. 13 EMBED Equation.3 1415, (1.6.8)
если 13 EMBED Equation.3 1415 – эллиптический параболоид; 13 EMBED Equation.3 1415 – гиперболический параболоид.
2. Цилиндрические поверхности:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, (1.6.9)
если 13 EMBED Equation.3 1415 – эллиптический цилиндр; 13 EMBED Equation.3 1415 – гиперболический цилиндр.
б) 13 EMBED Equation.3 1415, (1.6.10)
– мнимый эллиптический цилиндр (уравнению не удовлетворяет ни одна точка);
в) 13 EMBED Equation.3 1415, (1.6.11)
– пара плоскостей;
г) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (1.6.12)
и т. д. - параболические цилиндры.
Уравнение плоскостей
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415 – пара параллельных плоскостей; 13 EMBED Equation.3 1415  мнимые плоскости (уравнению не удовлетворяет ни одна точка пространства); 13 EMBED Equation.3 1415 – пара совпадающих плоскостей.
Пример 1.6.1. Записать каноническое уравнение кривой второго порядка 3х2+4ху–4х–8у=0 (сравните с решением примера 1.4.1 темы 1.4).
Квадратичная форма, содержащаяся среди слагаемых левой части уравнения, имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415, а ее матрица 13 EMBED Equation.3 1415, а11=3, а22=0, а12=а21=2.
Вычислим собственные числа и собственные векторы матрицы A (см. тему 1.5).
Пусть собственные векторы 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 координаты. Система (1.5.5) для нахождения собственных векторов имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415 (1.6.14)
Найдем собственные числа Л, решив характеристическое уравнение (1.5.6).
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Подставим первое собственное число 13 EMBED Equation.3 1415 в систему (1.6.14):
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Откуда 13 EMBED Equation.3 1415 и соответствующий единичный вектор 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
Подставим второе собственное число 13 EMBED Equation.3 1415 в систему (1.6.14):
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Перейдем в двумерное пространство R2 к новому базису, составленному из собственных векторов матрицы A 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. При этом матрица квадратичной формы В в новом базисе будет иметь вид (см. формулу 1.5.3)
13 EMBED Equation.3 1415
где матрица Т составлена из координат собственных векторов, записанных в столбцы. Связь между старыми координатами х,у (в базисе 13 EMBED Equation.3 1415) и новыми координатами x1,y1 (в новом базисе) реализуется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, а квадратичная форма в новом базисе имеет вид (аналогично формуле (1.6.3)) (случай двух переменных) 13 EMBED Equation.3 1415.
Запишем уравнение кривой второго порядка в новых координатах, приведем подобные:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение совпало с уравнением, полученным в примере 1.4.1 темы 1.4, и поэтому дальнейшие преобразования идентичны.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 – сопряженная гипербола с полуосями а=1, b=2.
Пример 1.6.2. Записать каноническое уравнение поверхности второго порядка 11х2 + 4ху + 2у2 – 16xz + 20yz + 5z2 + 6x + 12y – 6 = 0.
Решение. Запишем квадратичную форму, входящую в состав левой части уравнения F(x,y,z) = 11х2 + 4ху + 2у2 – 16xz + 20yz + 5z2.
Матрица этой квадратичной формы 13 EMBED Equation.3 1415.
Собственные числа этой матрицы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, и единичные собственные векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, найдены в примере 1.5.4 (см. тему 1.5). Связь между координатами x, y, z в старом базисе 13 EMBED Equation.3 1415 и координатами x1, y1, z1 в новом базисе 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415,
Вышезаписанная матрица, как в примере 1.6.1, образована из координат собственных векторов, записанных в столбцы. Матрица квадратичной формы В в новом базисе диагональная 13 EMBED Equation.3 1415, а сама квадратичная форма имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Запишем уравнение поверхности второго порядка в новых координатах, приведем подобные члены и выделим полные квадраты:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Перейдем к новым координатам (параллельный перенос): 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Полученное уравнение является каноническим уравнением однополостного гиперболоида (1.6.7) с параметрами 13 EMBED Equation.3 1415.
После изучения материала, содержащегося в разделе 1, студент должен выполнить контрольную работу № 1.
Вопросы для самопроверки
1. Изобразите схематично основные поверхности второго порядка.
2. Может ли алгебраическая поверхность второго порядка представлять собою:
а) плоскость;
б) пустое множество?
Привести примеры.
3. Назовите типы и выпишите канонические уравнения цилиндрических поверхностей второго порядка.
4. Докажите, что всякое уравнение F(x,y,z) = 0, где F – однородный многочлен второй степени, определяет конус с вершиной в начале координат.
После изучения тем 1.1 - 1.6 раздела 1 студенту необходимо выполнить контрольную работу № 1.
Дополнение 1.1. Образец выполнения и оформления контрольной работы № 1 "Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Матрицы. Элементы линейной алгебры"
Задача № 1. Вычислить:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. а) Согласно определению модуля
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
б) угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формулам
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим отдельно числитель и знаменатель:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 (см. п. а);
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача № 2. Заданы координаты четырех вершин пирамиды ABCD: А(–2,0,0), B(l,l,–l), С(–1,3,0), D(–1,0,2).
Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; площадь 13 EMBED Equation.3 1415; объем пирамиды; длину высоты DH пирамиды, проведенной к плоскости грани ABC. Записать уравнения: прямой АВ; плоскости ABC; высоты пирамиды DH; медианы AM треугольника ABC, высоты АК треугольника ABC, биссектрисы AL треугольника ABC.
Решение.
1. Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 имеет координаты: 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому его длина равна 13 EMBED Equation.3 1415 (ед.)
2. Угол 13 EMBED Equation.3 1415 между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 определяется по формуле (1.2.3). Вычислим длину вектора 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (ед.).
13 EMBED Equation.3 1415.
Скалярное произведение вычислялось по формуле (1.2:5):
13 EMBED Equation.3 1415.
3. Площадь треугольника ABC вычислена в примере 1.2.9.
4. Объем пирамиды ABCD вычислен в примере 1.2.10.
5. Длина высоты DH пирамиды, проведенной из вершины D к грани ABC, также вычислена в примере 1.2.10.
6. Уравнение прямой АВ будем искать в виде (1.3.8), т. к. заданы две точки этой прямой А и В.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Подставляя в последнее уравнение координаты точек А и В, получим
13 EMBED Equation.3 1415.
7. Уравнение плоскости ABC можно записать в виде (1.3.4), т. к. заданы координаты трех точек А, В, С
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение плоскости ABC:3x – y – 8z + 6 = 0.
8. Уравнение высоты пирамиды DH ищем в виде (1.3.6)
13 EMBED Equation.3 1415.
Координаты точки D известны, а направляющий вектор прямой коллинеарен вектору нормали к плоскости ABC. Вектор нормали к плоскости ABC 13 EMBED Equation.3 1415 имеет координаты 13 EMBED Equation.3 1415 (см. п. 7 данной задачи). Поэтому уравнение прямой DH имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.
9. Уравнение медианы AM ищем в виде (1.3.8):
13 EMBED Equation.3 1415
Точка М середина отрезка ВС и имеет координаты:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, уравнение медианы AM имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.
10. Уравнение высоты АК ищем в виде (1.3.6):
13 EMBED Equation.3 1415.
Направляющий вектор прямой 13 EMBED Equation.3 1415 вектор 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярен вектору 13 EMBED Equation.3 1415 нормали к плоскости ABC и вектору 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. Д.1.1). Поэтому вектор а может быть вычислен по формуле (1.2.10)
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение высоты АК имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415.

Рис. Д. 1.1
11. Точка L -точка пересечения биссектрисы AL со стороной ВС – делит отрезок ВС на части, длины которых пропорциональны длинам прилежащих сторон, т. е.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
По формулам деления отрезка в данном отношении находим координаты точки L:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение биссектрисы AL ищем в виде (1.3.8)
13 EMBED Equation.3 1415.
Подставляя в последнее уравнение координаты точек А и L, получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Задача № 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(3,-1,2) и прямую L: 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. Д. 1.2).
Уравнение искомой плоскости ищем в виде (1.3.1):
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0,
где (x0, y0, z0) координаты точки M0(1, -4, 1), расположенной на прямой L и принадлежащей плоскости Р.
Вектор нормали 13 EMBED Equation.3 1415 к плоскости Р определим из условия
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.

Рис. Д. 1.2
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415 и уравнение плоскости имеет вид
7(x – l) – 2(y + 4) – 8(z – l) = 0,
7x – 2y – 8z – 7 = 0.
Задача № 4. Найти расстояние между прямыми
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Прямая L1 проходит через точку M1(2, –2, l) и имеет направляющий вектор 13 EMBED Equation.3 1415. Уравнение прямой L2 запишем в виде выражения (1.3.8),
предварительно определив какие-либо две точки, например: К1(1,-6,0) и К2(1,0,9), тогда
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Направляющий вектор прямой L2 13 EMBED Equation.3 1415. Прямые L1 и L2 не параллельны, т. к. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Проверим, пересекаются ли прямые L1 и L2, использовав условие (1.3.18)
13 EMBED Equation.3 1415.
Смешанное произведение векторов отлично от нуля, поэтому прямые L1 и L2 не пересекаются, а являются скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми находим по формуле (1.3.20), предварительно вычислив 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415по формулам (1.2.10) и (1.2.6):
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом,
13 EMBED Equation.3 1415.
Задача № 5. Вычислить значение многочлена f(А) от матрицы А, если
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Задача № 6. Матричным методом решить систему линейных алгебраических уравнений
13 EMBED Equation.3 1415
Решение системы находим по формуле (1.1.8): X = А–1 В, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 а обратная матрица вычисляется по фор-
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, x1 = 1, х2 = 2, х3 = 3.
Задача № 7. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка 3х2 + 4ху – 4х – 8у = 0.
Определить тип кривой.
Решение задачи приведено в примерах 1.4.1 и 1.6.1. Метод решения студент выбирает сам.
Раздел 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Тема 2.1. Введение в анализ
Учебники: [16, гл. 1, §§ 1, 3,4], [4, гл. 1, 2, 3], [17, гл. 1, 2].
Аудиторная работа: [20, гл. 1, § 1 -4, М« 1.20, 1.24, 1.36, 1.39, 1.186, 1.192, 1.203, 1.233, 1.241, 1.289, 1.299, 1.307, 1.324, 1.352], [15, гл. 5, §§ 2 - 8, №№ 673 (3), 682 (2), 700 (2), 703, 736, 739, 742, 750, 752, 756, 760, 767, 774, 784, 812 (2), 825 (1), 838, 842], [33, №№ 1.2, 1.5, 2.8, 2.11, 3.2, 3.11, 4.2, 4.3, 4.8, 5.4, 6.4, 7.5, 8.5, 9.5, 9.8, 10.8, 11.4, 11.6].
Самостоятельная работа: [20, гл. 1, §§ 1 - 4, №№ 1.19 - 1.27,1.28 - 1.42, 1.134 - 1.153, 1.182 - 1.190, 1.231 - 1.240, 1.272, 1.283, 1.288 - 1.312, 1.320 -1.332, 1.349 - 1.356, 1.365 - 1.370, 1.387 - 1.394], [15, гл. 5, §§ 1 - 8, №№ 673, 676 - 686, 734 - 800, 812, 825, 836 - 846], [33, №№ 1.1 - 11.13].
Указания
Перед тем как приступить к изучению этого раздела, студент должен вспомнить разделы элементарной математики, связанные с понятиями действительного числа, переменной величины и функции.
В качестве литературы могут быть использованы учебники для общеобразовательной школы.
Студент должен уметь:
а) выполнять действия над числами;
б) производить тождественные преобразования многочленов и дробей, выражений со степенными, показательными, логарифмическими и тригонометрическими функциями;
в) строить графики линейной, квадратичной, простейших дробнолинейных, степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций;
г) решать уравнения и неравенства первой и второй степени, системылинейных уравнений, простейшие показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения.
В математическом анализе важную роль играет понятие абсолютной величины (модуля) числа 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 2.1.1. Найти область изменения х, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, -1 < х < 5,т. е. х меняется в интервале (-1,5).
Пример 2.1.2. Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 если 13 EMBED Equation.3 1415
Строим график.
у = (–2) = 3
у(1) = 0, у(2) = 1, у(2) = –1

Множество одно из наиважнейших понятий математики, которое вводится аксиоматически. Описательное пояснение: совокупность некоторых объектов, называемых элементами множества. Множества могут состоять из произвольных элементов, но каждое конкретное множество есть объединение (совокупность) элементов, имеющих общий для всех определенный признак (свойство). Например, множество целых чисел состоит из всех возможных целых чисел (быть целым числом - свойство для всех элементов множества).
Запись 13 EMBED Equation.3 1415 означает, что объект a есть элемент множества А (принадлежит А), в противном случае пишут: 13 EMBED Equation.3 1415. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом 13 EMBED Equation.3 1415.
Запись 13 EMBED Equation.3 1415 (А содержится в В) означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В. В этом случае множество А есть подмножеством множества В.
Множества А и В называют равными (А = В), если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Существуют два основных способа задания множеств:
1. Множество А определяется непосредственным перечислением всех своих элементов a1,a2,,an, т. е. записывается в виде 13 EMBED Equation.3 1415;
2. Множество А определяется как совокупность элементов из некоторого основного множества Т, которое обладает общим свойством а. В этом
случае используется обозначение 13 EMBED Equation.3 1415, где запись 13 EMBED Equation.3 1415 означает, что элемент х обладает свойством 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2.1.3. Описать перечислением элементов множество
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. А есть множество всех целых корней уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, А = {-1,1,2}.
Объединением множеств А и В называется множество
13 EMBED Equation.3 1415
Пересечением множеств А и В называется множество
13 EMBED Equation.3 1415
Разностью множеств А и В называется множество
13 EMBED Equation.3 1415
Понятие функции. Пусть D произвольное множество действительных чисел. Если каждому числу 13 EMBED Equation.3 1415 поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное число у, то говорят, что на множестве D определена числовая функция у = f(х). Множество D называется областью определения, а множество 13 EMBED Equation.3 1415 множеством значений числовой функции.
Наиболее распространенным является аналитический способ задания функции. Кроме него существуют еще табличный и графический.
Элементарные функции и их графики. Следующие функции называются основными элементарными:
1. Степенная функция: 13 EMBED Equation.3 1415;
2. Показательная функция: 13 EMBED Equation.3 1415;
3. Логарифмическая функция: 13 EMBED Equation.3 1415;
4. Тригонометрические функции:
y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x;
5. Обратные тригонометрические функции:
у = arcsin х, у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg x.
Элементарной называется функция, которая может быть получена из конечного числа основных элементарных функций с помощью арифметических операций и операции композиции.
Графиком функции у = f(x) называется множество
13 EMBED Equation.3 1415,
где R2 множество всех точек плоскости.
Понятие последовательности. Последовательностью действительных чисел называется числовая функция, определенная на множестве всех натуральных чисел у = f(n). Число f(n) называется n–м членом последовательности и обозначается символом xn.
Пример 2.1.4. Написать первые пять членов последовательности
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Предел последовательности. Число а называется пределом последовательности 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415, если для любого 13 EMBED Equation.3 1415 существует номер 13 EMBED Equation.3 1415 такой, что при 13 EMBED Equation.3 1415 выполняется неравенство 13 EMBED Equation.3 1415. При этом сама последовательность называется сходящейся, например, 13 EMBED Equation.3 1415. Чтобы это доказать, достаточно указать способ построения для любого 13 EMBED Equation.3 1415 числа 13 EMBED Equation.3 1415. Зададим 13 EMBED Equation.3 1415 и составим неравенство 13 EMBED Equation.3 1415, которое эквивалентно неравенству 13 EMBED Equation.3 1415. Если в качестве 13 EMBED Equation.3 1415 взять целую часть 13 EMBED Equation.3 1415, то для всех 13 EMBED Equation.3 1415 будет выполняться требуемое неравенство.
Вычисление пределов обычно проводится с использованием свойств сходящихся последовательностей.
Пример 2.1.5.
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415.
Бесконечно малые величины. Переменная величина называется бесконечно малой величиной, если она в процессе своего изменения становится и остается по абсолютной величине меньше сколь угодно малого наперед заданного положительного числа. Примером может быть любая последовательность, сходящаяся к нулю.
Величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой величиной.
Предел переменной величины. Переменная величина х в некотором процессе стремится к конечному пределу а, если х в этом процессе безгранично приближается к 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. (х – а) есть величина бесконечно малая.
Для вычисления пределов важными являются их свойства.
Предел функции. Число А называется пределом функции f(x) в точке а и записывается 13 EMBED Equation.3 1415, если для любого 13 EMBED Equation.3 1415 существует число 13 EMBED Equation.3 1415 такое, что из условия 13 EMBED Equation.3 1415 следует неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
В дальнейшем используются следующие замечательные пределы:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 где е = 2.71828... - основание натуральных логарифмов.
Непрерывность функции. Функция у = f(x) непрерывна в точке х0, если выполнены следующие условия:
а) функция определена в точке х0 (существует f(x0));
б) существует 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Если нарушено хотя бы одно из этих условий, то х0 называют точкой разрыва.
Пример 2.1.6. 13 EMBED Equation.3 1415 не определена при х = 0, но 13 EMBED Equation.3 1415  это точка устранимого разрыва.
Пример 2.1.7. 13 EMBED Equation.3 1415 точка разрыва первого рода.
Пример 2.1.8. 13 EMBED Equation.3 1415 точка разрыва второго рода.
Для непрерывной функции знак функции и знак предела можно менять местами: 13 EMBED Equation.3 1415.
Это свойство позволяет очень просто находить пределы непрерывных (в частности, элементарных) функций: отыскание предела функции сводится к вычислению значения функции в предельной точке.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение функции. Что называется областью определения функции?
2. Перечислите основные способы задания функции. Приведите примеры.
3. Перечислите основные элементарные функции и постройте их графики.
4. Что такое бесконечно малая величина и каковы ее свойства?
5. Сформулируйте определения пределов последовательности, переменной величины и функции.
6. Дайте определение непрерывности функции в точке и на отрезке.
7. Покажите, что бесконечно малые sinx, arcsinx, tgx, arctgx (при 13 EMBED Equation.3 1415) эквивалентны друг другу.

Тема 2.2. Производная и дифференциалы
Учебники: [16, гл. 4, §§ 1 - 3], [4, гл. 4, §§ 4.1 - 4.11], [17, гл. 3].
Аудиторная работа: [20, гл. 5, § 1.2, №№ 5.11, 5.24, 5.40, 5.50, 5.60, 5.86, 5.148, 5.171, 5.187, 5.206, 5.225, 5.233, 5.244, 5.287, 5.295, 5.298, 5.309], [15, гл. 6, §§ 1 - 12, №№ 860, 909, 918, 940, 957, 977, 998, 1001, 1025 (2), 1051, 1068 (3), 1085 (2), 1088], [33, гл. 2, №№ 1.9, 1.12, 7.3, 8.7, 9.7, 9.9, 10.10, 11.6, 12.7, 12.10, 13.3, 14.0, 14.7, 15.3].
Самостоятельная работа: [20, гл. 5, § 1.2, №№ 5.4 - 5.12, 5.21 - 5.90, 5.144 - 5.159, 5.168 - 5.183, 5.184 - 5.193, 5.205, 5.215, 5.222 - 5.226, 5.229 -5.232, 5.235 - 5.246, 5.285 - 5.289, 5.290 - 5.297, 5.298, 5.303 - 5.308], [15 гл. 6, §§ 1 - 12, №№ 848 - 904, 905 - 919, 937 - 947, 963 - 975, 991 - 997, 1000, 1021 - 1025, 1044 - 1048, 1064 - 1069, 1083, 1085], [33, гл. 2, №№ 1.1 - 14.12].
Указания
Перед изучением этого раздела студент должен свободно владеть понятиями функции, предела и бесконечно малой величины, уметь раскрывать неопределенности в пределах вида 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, исследовать функцию на непрерывность.
Определение производной. Производной функции у = f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: 13 EMBED Equation.3 1415.
Обозначения: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Геометрический смысл производной состоит в том, что производная 13 EMBED Equation.3 1415 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке х0. Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение касательной, а 13 EMBED Equation.3 1415 - уравнение нормали.
Основные свойства производной, а также производные основных элементарных функций следует выписать и выучить наизусть, так как они будут применяться систематически. С их помощью можно вывести производную любой элементарной функции.
Пример 2.2.1.
13 EMBED Equation.3 1415,
но 13 EMBED Equation.3 1415,
а по формуле для производной сложной функции
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда, после вынесения общего множителя за скобки, получим
13 EMBED Equation.3 1415.
В некоторых случаях перед вычислением производной полезно предварительное дифференцирование. Пусть, например:
Пример 2.2.2. 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Дифференцируем 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда окончательно получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Дифференциал и его связь с приращением. Дифференциалом функции называется произведение производной на приращение аргумента. Обозначение dy, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415. Дифференциал независимого переменного равен его приращению.
Приращение функции 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. дифференциал есть главная линейная часть приращения функции.
Дифференциал применяется в приближенных вычислениях. Заменяя приращение f(a + h) – f(a) дифференциалом f'(a)h, будем иметь приближенные формулы. Примеры:
Пример 2.2.3. 13 EMBED Equation.3 1415,
Пример 2.2.4. 13 EMBED Equation.3 1415,
Пример 2.2.5. 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть известно, что ln2 = 0,693, тогда 13 EMBED Equation.3 1415; по таблицам 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. ошибка меньше 0,2%.
Иногда перед применением формул требуется предварительное преобразование величины, которую нужно вычислить.
Пример 2.2.6.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
По таблицам 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. ошибка <0,01%.
Производные высших порядков. Производной второго порядка от функции y = f(x) называется производная от ее первой производной, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415
Вообще, производной n–го порядка (или n–й производной) называется производная от производной (n-1) порядка, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2.2.7. 13 EMBED Equation.3 1415. Имеем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
Дифференциалы высших порядков. Дифференциал второго порядка  это дифференциал от дифференциала, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично, 13 EMBED Equation.3 1415 и т. д.
Пример 2.2.8.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Вопросы для самопроверки
1. Каков геометрический и механический смысл производной?
2. Найдите производную функции у = х3, пользуясь только определением.
3. Для каких функций дифференциал равен приращению?
4. Как находится производная функции, заданной параметрически и неявно?
5. Как находится вторая производная функции, заданной неявно и параметрически?
6. Сформулировать теорему Лагранжа. Каков ее геометрический смысл?
Тема 2.3. Приложения производной
Учебники: [16, гл. 4, §§ 4 - 7], [4, гл. 4], [17, гл. 4, §§ 4.12 - 4.22].
Аудиторная работа: [20, гл. 5, § 4, №№ 5.330, 5.346, 5.349, 5.353, 5.359, 5.365, 5.375, 5.384, 5.394, 5.397 (в), 5.405, 5.419, 5.446, 5.457, 5.480, 5.500, 5.530], [15, гл. 7, №№ П28, 1140, 1153, 1176, 1257 (1), 1258 (2)], [33, §§2.6-12.12, №№ 15.3, 15.9, 16.3, 16.8, 17.6, 18.6, 18.11, 19.3, 19.7].
Самостоятельная работа: [20, гл. 5, § 4, №№ 5.334 - 5.348, 5.350 - 5.378, 5.382, 5.385, 5.390, 5.399, 5.395, 5.397, 5.404 - 5.410, 5.413 - 5.418, 5.440 -5.445, 5.452 - 5.454, 5.472, 5.476, 5.499, 5.529], [15, гл. 7, Ms 1122 - 1141, 1144- 1152, 1157, 1158- 1171, 1187, 1246- 1253], [33, гл.2.6 - 12.12, №№ 15.1-19.12].
Указания
Данный раздел предполагает, что студент полностью овладел понятиями производной и дифференциала. Он должен уметь:
а) находить производную и дифференциал от достаточно сложных элементарных функций;
б) находить производные и дифференциалы высших порядков от простейших элементарных функций.
Правило Лопиталя - Бернулли. Это правило является эффективным средством нахождения предела функции, когда возникают неопределенности. Так, если при 13 EMBED Equation.3 1415 функции 13 EMBED Equation.3 1415 и f(x) бесконечно малые или бесконечно большие, тогда их отношение не определено в точке х = а, и в этом случае говорят, что оно представляет собой неопределенность типа 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Однако, если существует предел отношения их производных, то к этому пределу будет стремиться и отношение самих функций.
Примеры:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
К неопределенностям других видов правило Лопиталя Бернулли применяется после преобразования их к виду 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Это можно сделать по схеме 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и т. д.
К степенным неопределенностям можно применять это правило после их логарифмирования.
Формула Тейлора. Замена приращения функции дифференциалом дает возможность получить многие формулы приближенного вычисления функции. Эти формулы можно значительно уточнить, если применить дифференциалы высшего порядка: об этом и говорит формула Тейлора.
13 EMBED Equation.3 1415.
Формула Тейлора позволяет вычислять значения функции с заранее заданной точностью. Например, используя формулу
13 EMBED Equation.3 1415 посчитаем число е, ограничиваясь n = 7, получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Допускаемая при этом погрешность связана с отброшенным слагаемым R7(1), так называемым остаточным членом формулы Тейлора.
В общей формуле Тейлора для остаточного члена имеется несколько форм записи:
13 EMBED Equation.3 1415 формаПеано;
13 EMBED Equation.3 1415 форма Л агранжа.
Так, в примере имеем 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, погрешность 13 EMBED Equation.3 1415.
Знание производной дает возможность изучать различные свойства функций. Наиболее простым вопросом является вопрос о возрастании и убывании функции, а также вопрос о локальных экстремумах. К ним примыкает и задача о нахождении наибольшего и наименьшего значений функции на замкнутом промежутке.
Построение графиков. Дифференциальное исчисление дает общий метод выявления индивидуальных особенностей заданной функции y = f(x), что позволяет строить график этой заданной функции быстрее и точнее, чем "по точкам". Так, нахождение интервалов монотонности функции и точек ее экстремума существенно при этом построении. Кроме того, полезными оказываются еще участки выпуклости и асимптоты. Обратим на них особое внимание, рассмотрев примеры.
Пример 2.3.1. Найти интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба кривой Гаусса 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Находим первую и вторую производные:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Приравняв нулю вторую производную, получим критические точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Они разбивают числовую ось на три интервала: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как в первом и третьем интервалах у">0, то график вогнут при 13 EMBED Equation.3 1415 и при 13 EMBED Equation.3 1415. Во втором интервале у"<0 (у"(0) = –2<0), то график выпуклый.
Точки с абсциссами 13 EMBED Equation.3 1415 являются точками перегиба (рис. 2.3.1)

Рис. 2.3.1
Пример 2.3.2. Найти точку перегиба графика функции f(x) = х3.
Решение. f”(x) = 6x, f"(0) = 0, f”(–1) = –6 < 0, f"(l) = 6 > 0, следовательно, вторая производная меняет знак в точке (0,0), которая является точкой перегиба.
Пример 2.3.3. Найти точку перегиба графика функции 13 EMBED Equation.3 1415. Решение. Находим производные:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Вторая производная в нуль нигде не обращается. Она не существует при х0 = 1. Так как у" > 0 при х < 1 и у" < 0 при х > 1, точка (1,0) есть точка
перегиба. Касательная в этой точке параллельна оси ординат, т. к. первая производная при х = 1 обращается в бесконечность (рис 2.3.2)

Рис. 2.3.2
Пример 2.3.4. Найти асимптоты кривой 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то прямая y = kx + b = x будет наклонной асимптотой.
Общая схема исследования функции и построения ее графика включает в себя поиск:
1) области определения функции, точек разрыва и нулей, после чего выясняются интервалы положительности и отрицательности функции, поведение функции при приближении к точкам ее разрыва и к концам интервалов, на которых функция определена, не будет ли функция четной, нечетной, периодической, находятся асимптоты графика и т.п.;
2) точек разрыва и нулей производной, после чего выясняются интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремальные значения;
3) точек разрыва и нулей второй производной, после чего выясняются участки выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба, в которых полезно найти направление касательной.
Все найденные точки наносятся на координатную плоскость, после чего строится сам график, в поведении которого должны быть переданы все найденные индивидуальные особенности. Если из них поведение графика недостаточно ясно, то надо построить еще несколько точек графика, вычислив значения у’ для отдельных значений х; желательно также, вычислив значения у , найти в этих точках направление касательной.
Пример 2.3.5. Приведем в качестве примера исследование графика функции 13 EMBED Equation.3 1415.
1) Область определения 13 EMBED Equation.3 1415. Функция имеет два нуля x1 = 0, х2 = 0, т. е. получается три интервала знакопостоянства; точек разрыва нет. Есть наклонная асимптота 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Вычислив производную 13 EMBED Equation.3 1415, видим, что она имеет разрывы (обращается в 13 EMBED Equation.3 1415) при x1 = 0 и х2 = 2 и равна нулю при 13 EMBED Equation.3 1415. Получается четыре интервала монотонности: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и подстановка в y’ произвольных значений из этих интервалов показывает, что интервалом убывания будет только второй, а остальные интервалы возрастания.
Таким образом, смена характера монотонности происходит при х = 0 (максимум с максимальным значением у = 0) и при 13 EMBED Equation.3 1415 (минимум с минимальным значением 13 EMBED Equation.3 1415).
3) Вычислив вторую производную, получим после преобразований 13 EMBED Equation.3 1415. Она имеет разрывы там же, где и первая производная и не имеет нулей. Вторая производная меняет знак только в точке (2,0), которая является точкой перегиба. График вогнутый в интервале 13 EMBED Equation.3 1415 и выпуклый при х > 2. Вычислим также значения функции: при 13 EMBED Equation.3 1415; при х = 1, у = –1; при 13 EMBED Equation.3 1415. Строим график (рис. 2.3.3).

Рис, 2.3.3.
Вопросы для самопроверки
1. Перечислите различные типы неопределенностей, для раскрытия которых может быть использовано правило Лопиталя Бернулли. Приведите примеры.
2. Напишите формулы Маклорена для функций ех, sin x, cos x, (l + х)а, ln(1 + x).
3. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции, дифференцируемой на замкнутом промежутке?
4. Как находятся интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба? Приведите примеры.
Тема 2.4. Комплексные числа
Учебники: [16, гл. 8, §§ 1, 3], [4, гл. 5, §§ 5.3 - 5.5], [17, гл. 7].
Аудиторная работа. Решить примеры: [20, гл. 1, § 5, №№ 1.419, 1.422, 1.426, 1.468, 1.486, 1.499, 1.511, 1.515, 1.519, 1.527], [15, гл. 4, § 3, №№ 630 (4), 637, 634 (3), 645 (2), 655 (2)].
Самостоятельная работа: [20, гл. 1, § 5, №№ 1.418, 1.420, 1.421, 1.423 -1.429, 1.463 - 1.471, 1.496 - 1.498, 1.508 - 1.510, 1.512 - 1.515, 1.516 - 1.518, 1.520, 1.523 - 1.526], [15, гл. 4, § 3, №№ 630, 631 - 634, 636, 643, 644, 645, 657, 658].
Указания
Комплексные числа вводятся в рассмотрение либо как упорядоченная пара двух действительных чисел (х, у), либо как выражение вида x + iy, где 13 EMBED Equation.3 1415, а i–символ, который называется мнимой единицей, удовлетворяющий равенству i2 = –1. При этом х называют вещественной частью, а yмнимой, что записывается так: х = Re(x + iy), у = Im(x + iy).
Очень важна геометрическая интерпретация комплексных чисел. С ее помощью, в частности, получают различные формы записи: алгебраическую (x + iy), тригонометрическую 13 EMBED Equation.3 1415 и показательную 13 EMBED Equation.3 1415, а также связь между ними.
Алгебраические действия над комплексными числами:
1. Сложение: (х1 + iy1) + (х2 + iy2) = x1 + х2 + i(y1 + у2);
2. Умножение: (х1 + iy1) + (х2 +iy2) = х1х2 – y1y2 + i(x1y2 + x2y1);
3. Деление: 13 EMBED Equation.3 1415;
4. Возведение в целую степень: 13 EMBED Equation.3 1415 n раз;
5. Извлечение корня: число а + ib называется корнем n -й степени из числа x + iy, если 13 EMBED Equation.3 1415 и обозначается символом 13 EMBED Equation.3 1415. Для всякого комплексного числа 13 EMBED Equation.3 1415 корень имеет n различных значений.
Например, 13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415.
Основная теорема алгебры комплексных чисел: всякий многочлен 13 EMBED Equation.3 1415 с любыми коэффициентами 13 EMBED Equation.3 1415 степени 13 EMBED Equation.3 1415 имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
Из основной теоремы вытекает возможность разложения многочлена на линейные множители:
13 EMBED Equation.3 1415,
где z1,z2,...,zk - все различные корни, 13 EMBED Equation.3 1415 их кратности.
Для многочлена с вещественными коэффициентами имеет место разложение на вещественные линейные и квадратичные множители:
13 EMBED Equation.3 1415.
Например, 13 EMBED Equation.3 1415.
Вопросы для самопроверки
1. Показать, что 13 EMBED Equation.3 1415 есть расстояние между точками z1 и z2.
2. Доказать, что операция умножения обладает свойством коммутативности: z1z2=z2z1.
3. Доказать тождество 13 EMBED Equation.3 1415 и выяснить его геометрический смысл.
4. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 2-й, 3-й и 4-й степеней из единицы.
5. Разложить многочлен х4 + 6х3 + 9х2 +100 на простейшие множители, если один из его корней 1 + 2i.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
После изучения раздела 2 выполнить контрольную работу № 2.
Дополнение 2.1. Образец выполнения и оформления контрольной работы № 2 "Дифференциальное исчисление функции одной переменной"
1. Найти пределы:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415, обозначим 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
5) найдем предел этого выражения
13 EMBED Equation.3 1415, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найти производную данной функции 13 EMBED Equation.3 1415 и ее значение при х = а.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Найти производную y = (2 + cos x)2. Так как ln y = x ln(2 + cos x), то дифференцируя, получим:
13 EMBED Equation.3 1415,
или 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Найти уравнение касательной к кривой 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 в точке M(l,2). Уравнение касательной у – у0 = к(х – х0), где к = у’(х0).
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем значение t, соответствующее точке М: при х = 1, имеем 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Значит 13 EMBED Equation.3 1415, таким образом, у – 2 = 3(x – l).
Ответ: y = 3x – 1.
5. Найти 13 EMBED Equation.3 1415,если 13 EMBED Equation.3 1415, y = tg t – 1.
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Найти пределы по правилу Лопиталя:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415, имеем неопределенность 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415, значит,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 1.
3) 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 1.
7. Разложить по формуле Тейлора f(x) = ln(2 + х – х2) в окрестности точки х0 = 1.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Докажем по методу математической индукции:
13 EMBED Equation.3 1415.
Подставим в формулу
13 EMBED Equation.3 1415 значения производных, получим:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415
Остальные задания контрольной работы № 2 связаны с построением графиков функций. Эти вопросы полностью освещены в теме 2.3, в пункте "Построение графиков".
Раздел 3; Функции нескольких переменных
Тема 3.1. Частные производные
Учебники: [16], [17].
Аудиторная работа: [3, №№3043 - 3083 нечет., 3124 - 3134 чет., 3145, 3147, 3149, 3181 - 3201 нечет.].
Самостоятельная работа: [3, №№3044 - 3084 чет., 3125 - 3135 нечет, 3146, 3148, 3150, 3152, 3182 - 3200 четные].
Назовем приращение функции по одной из переменных 13 EMBED Equation.3 1415 частным приращением функции по переменной x.
Предел отношения частного приращения к приращению аргумента называется частной производной и обозначается
13 EMBED Equation.3 1415.
Вычисляется частная производная по тем же правилам, что и производная от функции одной переменной, при этом остальные переменные считаются неизменными.
Если функция u = f(x,y,z), зависящая от трех переменных, которые, в свою очередь, зависят еще от переменных t и 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Полный дифференциал первого порядка для функции многих переменных имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.
Производные высших порядков вводятся индуктивно, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 и т.п.
Производные 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д. называются смешанными произвонымн.
Полный дифференциал n–го порядка вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
Если взять некоторое направление 13 EMBED Equation.3 1415, то производная от функции в этом направлении вычисляется следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3.1.1. Вычислить производную функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке М0(1,1) в направлении вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. По определению 13 EMBED Equation.3 1415 найдем 13 EMBED Equation.3 1415 в точке M0(1,l). Для этого вычислим частные производные.
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Из вектора 13 EMBED Equation.3 1415 сделаем единичный вектор
13 EMBED Equation.3 1415
и окончательно получим:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3.1.2. Найти второй дифференциал функции z, которая задана неявно: х3у + yz + z3 = 3.
Решение. По определению
13 EMBED Equation.3 1415.
От обеих частей функции, заданной в неявном виде, возьмем производную по х: 13 EMBED Equation.3 1415, а затем еще раз производную по x: 13 EMBED Equation.3 1415. Из этого равенства найдем 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем смешанную производную 13 EMBED Equation.3 1415,. Равенство 13 EMBED Equation.3 1415 дифференцируем по у:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
От функции 13 EMBED Equation.3 1415 возьмем производную по у: 13 EMBED Equation.3 1415. затем еще раз по у.
13 EMBED Equation.3 1415
Из равенств 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 получим
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
и окончательно запишем выражение для второго дифференциала
13 EMBED Equation.3 1415.
Тема 3.2. Экстремум функции
Учебники: [16], [17].
Аудиторная работа: [3, №№ 3259, 3292].
Самостоятельная работа: [3, №№ 3260, 3293].
Точка М0 называется точкой локального максимума (минимума), если значение функции в этой точке будет наибольшим (наименьшим) из окрестности точки М0. Необходимое условие существования локального экстремума: 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415.
Сформулируем достаточное условие для функции двух переменных. Введем обозначения: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Если D = AC – В2 > 0, то в точке М0 – локальный экстремум, причем, если А > 0 – локальный минимум, а если А < 0 – локальный максимум.
Для функций многих переменных, т. е. 3,4,,n, достаточным условием будет условие знакопостоянства второго дифференциала.
Второй дифференциал представляет собой квадратичную форму, а условие знакопостоянства квадратичной формы дает критерий Сильвестра.
Если d2f > 0, то в точке М0 – локальный минимум, если d2f < 0  локальный максимум.
Функция u = f(р) имеет условный максимум (минимум) в точке Р0, если существует такая окрестность точки Р0, для всех точек Р которой 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющих уравнениям связи
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
выполняется неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа.
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3.2.1. Найти точки экстремума функции
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Из необходимого условия экстремума найдем точки, подозрительные на экстремум:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Проверим для точки 13 EMBED Equation.3 1415, достаточное условие. Для этого найдем вторые производные:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Экстремум есть и т. к. А > 0, то это локальный минимум.
Ответ. В точке 13 EMBED Equation.3 1415 локальный минимум 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 3.2.2. Найти экстремум функции 13 EMBED Equation.3 1415 при условии
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Для нахождения условного экстремума составим функцию Лагранжа:
13 EMBED Equation.3 1415.
Удовлетворим необходимому условию существования экстремума.
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
Разрешая эту систему, получаем 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415,
то 13 EMBED Equation.3 1415
1. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 локальный минимум;
2. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 локальный максимум.
Следовательно, в точках 13 EM
·BED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 min, а в точках 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 локальный максимум.
Тема 3.3. Геометрические приложения функций нескольких переменных
Учебники: [16], [17].
Аудиторная работа: [3, №№ 3412, 3416].
Самостоятельная работа: [3, №№ 3414, 3417].
Уравнение касательной плоскости, в случае явного задания поверхности, т. е. z = z(x,y) в точке М0(х0,у0) записывается
13 EMBED Equation.3 1415.
Если поверхность задана в неявном виде F(x,y,z), то нормаль к касательной плоскости имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
Прямая называется нормальной к поверхности в точке, если она проходит через эту точку и перпендикулярна к касательной плоскости, проходящей через эту же точку.
В случае явного задания поверхности нормальная прямая имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
В случае неявного задания поверхности
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3.3.1. Написать уравнение касательной плоскости и нормальной прямой к поверхности х4у + 2х2у3 + xyz2 +ez =3 в точке M0(l,l,0).
Решение. Уравнение поверхности задано в неявном виде F(x,y,z) = х4у + 2х2у3 + xyz2 + ez – 3 = 0. Найдем нормаль к касательной плоскости: 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем частные производные от функции F в точке М0:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и уравнение плоскости в точке М0 запишется
8(х – l) + 7(y – 1) + z = 0, или 8х + 7у + z = 15.
Уравнение нормальной прямой к поверхности в точке М0
13 EMBED Equation.3 1415.
Вопросы для самопроверки
1. Частные производные и полный дифференциал.
2. Производные от сложных функций.
3. Производные неявно заданных функций.
4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
5. Геометрический смысл полного дифференциала.
6. Частные производные высших порядков.
7. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
8. Экстремум функции нескольких переменных.
9. Условный экстремум.
Раздел 4. Интегральное исчисление функций одной переменной
Тема 4.1. Неопределенный интеграл
Учебники: [7, гл. 8], [9, гл. 6, 7], [16, гл. 13], [33, ч. 2, гл. 4, §§ 4.1-4.6].
Аудиторная работа: [3, №№ 1685, 1688, 1693, 1694, 1696, 1698, 1699, 1712, 1715, 1716, 1719, 1723, 1724, 1742, 1744, 1757, 1833, 1836, 1837, 1842, 1851, 1855, 1874, 1877, 1884, 2013, 2017, 2023, 2025, 2037, 2039, 2048, 2051, 2071, 2073, 2090, 2093, 2105, 2111, 2152, 2155], [7, гл. 8, №№ 5, 6, 7, 10, 12, 15, 16, 23, 27, 29, 33, 36, 40, 43, 51, 52, 56, 67, 71, 77, 78, 80, 90, 91, 92, 95, 102, 106, ПО, 113, 114, 118, 123, 124, 125, 147, 148, 153, 158, 162], [20, ч. 1, №№ 6.19, 6.23, 6.25, 6.27, 6.29, 6.43, 6.48, 6.65, 6.70, 6.79, 6.115, 6.117, 6.123, 6.125, 6.131, 6.133, 6.143, 6.153, 6.163, 6.172, 6.174, 6.191, 6.193, 6.195, 6.203, 6.219, 6.239, 6.245, 6.248, 6.253, 6.263], [33, №№ 34.1, 34.3, 34.5, 34.7, 34.9, 34.11, 35.1, 35.3, 35.5, 35.7, 35.9, 35.11, 36.1, 36.3, 36.5, 36.7, 36.9, 36.11, 37.1, 37.3, 37.5, 37.7, 37.9, 37.11, 38.1, 38.3, 38.5, 38.7, 38.9, 38.11, 39.1, 39.3, 39.5, 39.7, 39.9,39.11], [38, №№ 1.2.1 - 1.2.16,2.2.1 -2.2.16,3.2.1 -3.2.8,4.2.1 -4.2.12, 5.2.1-5.2.10].
Самостоятельная работа: [3, №№ 1686, 1689, 1690, 1695, 1697, 1700, 1713, 1717, 1720, 1725, 1726, 1737, 1745, 1768, 1834, 1838, 1841, 1853, 1860, 1876, 1881, 1885, 2012, 2016, 2027, 2028, 2038, 2041, 2050, 2069, 2074, 2091, 2095, 2110, 2112, 2153, 2154], [7, гл. 8, №№ 8, 11, 13, 14, 18, 20, 21, 25, 28, 30, 31, 34, 35, 41, 44, 45, 47, 53, 57, 61, 68, 69, 79, 81, 84, 87, 93, 94, 97, 99, 109, 112, 116, 119, 120, 121, 127, 146, 149, 150, 154, 159], [20, ч. 1, №№ 6.21, 6.26, 6.28, 6.40, 6.41, 6.56, 6.58, 6.64, 6.66, 6.72, 6.80, 6.116, 6.122, 6.124, 6.126, 6.130, 6.134, 6.136, 6.158, 6.168, 6.171, 6.175, 6.194, 6.196, 6.198, 6.202, 6.218, 6.240, 6.242, 6.246, 6.250, 6.256], [33, №№ 34.2, 34.4, 34.6, 34.8, 34.10, 34.12, 35.2, 35.4, 35.6, 35.8, 35.10, 35.12, 36.2, 36.4, 36.6, 36.8, 36.10, 36.12, 37.2, 37.4, 37.6, 37.8, 37.10, 37.12, 38.2, 38.4, 38.6, 38.8, 38.10, 38.12, 39.2, 39.4, 39.6, 39.8, 39.10, 39.12], [38, №№ 1.3.1 - 1.3.16, 2.3.1 - 2.3.16, 3.3.1 - 3.3.8, 4.3.1 - 4.3.12, 5.3.1-5.3.10].
Методические указания
Операция нахождения первообразной функции является обратной по отношению к операции дифференцирования функции. Поэтому перед изучением этой темы рекомендуется повторить таблицу производных элементарных функции и основные правила дифференцирования.
Определение. Пусть функция f(x) определена на интервале (a, b). Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (а, b), если F(x) определена и дифференцируема на интервале (а, b) и в каждой точке этого интервала F’(x) = f (x).
Таким образом, первообразная для f(x) это такая функция, продифференцировав которую, получаем f(х).
Пример 4.1.1. Первообразной для функции f(x) = sinx на интервале 13 EMBED Equation.3 1415 является функция F(x) = – cos x, т.к. F'(x) = (–cos x)' = sin x = f(x).
Пример 4.1.2. Первообразной для функции 13 EMBED Equation.3 1415 на интервале 13 EMBED Equation.3 1415 является функция 13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415.
При работе с первообразной интервал (a, b) обычно опускается.
Из определения первообразной следует, что если F(x) является первообразной для функции f(х), то F(x) + С при любой постоянной С также является первообразной для f(x). Важно отметить, что множество всех первообразных для функции f(x) исчерпывается множеством F(x) + С, где С  произвольная постоянная.
Определение. Множество всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом
13 EMBED Equation.3 1415.
Если F(x) некоторая первообразная для функции f(x), то 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
где С произвольная постоянная.
Пример 4.1.3. 13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. tg x является первообразной для функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4.1.4. 13 EMBED Equation.3 1415, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 является первообразной для функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Для освоения техники интегрирования необходимо четкое знание таблицы неопределенных интегралов и их основных свойств. Заметим, что таблица неопределенных интегралов представляет собой расширенную таблицу производных основных элементарных функций, в которой функции и их производные поменялись местами.
Приведем основные свойства неопределенного интеграла:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Простейший прием интегрирования основан на свойствах 3,4 линейности неопределенного интеграла. Чтобы им воспользоваться, нужно представить подынтегральную функцию в виде линейной комбинации функций, имеющих табличные первообразные.
Пример 4.1.5. 13 EMBED Equation.3 1415.
Раскрыв скобки в подынтегральной функции, ее можно представить в виде линейной комбинации степенных функций, интегралы от которых являются табличными. Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Линейная комбинация табличных интегралов часто получается путем почленного деления числителя подынтегральной функции на знаменатель и использования свойств линейности неопределенного интеграла.
Пример 4.1.6. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4.1.7. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Остановимся на основных методах интегрирования неопределенного интеграла.
1. Метод внесения под знак дифференциала
Пусть в подынтегральное выражение входит множителем некоторая функция 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и, если оставшийся множитель тоже за-
висит от f(x), то исходный интеграл можно упростить, выполнив замену переменной интегрирования по формуле f(х) = t:
13 EMBED Equation.3 1415
Такое преобразование называется внесением под знак дифференциала. Заметим, что для реализации этого приема необходимо, чтобы один из множителей подынтегральной функции имел табличную первообразную, которая и записывается под знак дифференциала. В то же время оставшаяся функция должна быть сложной функцией от этой первообразной.
Пример 4.1.8. 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то интеграл равен
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4.1.9. 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то интеграл можно записать в виде
13 EMBED Equation.3 1415
2. Общий метод замены переменной
В некоторых интегралах 13 EMBED Equation.3 1415 подынтегральную функцию удается упростить, если ввести новую переменную интегрирования согласно формуле x = g(t):
13 EMBED Equation.3 1415
Особенностью такого подхода, по сравнению с методом внесения под знак дифференциала, является то, что правильный выбор функции g(t) зависит здесь от искусства вычисляющего, либо предписан теорией.
Пример 4.1.10. 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Замена переменной интегрирования выбирается, исходя из необходимости избавления от выражения 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4.1.11. 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. От иррациональности под знаком интеграла можно избавиться путем замены х = sin t. Это следует из основного тригонометрического тождества 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
3. Метод интегрирования по частям
Формула интегрирования по частям имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.
Она применяется в следующих случаях:
1. Подынтегральная функция представляет собой произведение двух множителей, из которых один имеет табличную первообразную 13 EMBED Equation.3 1415, а второй упрощается в результате дифференцирования 13 EMBED Equation.3 1415. В частности, этим методом вычисляются интегралы вида
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д.
Пример 4.1.12.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2. Подынтегральная функция упрощается в результате дифференцирования.
Пример 4.1.13.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415;
3. При вычислении интегралов вида 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и т. д.
Пример 4.1.14.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Полученное равенство можно интерпретировать как уравнение относительно 13 EMBED Equation.3 1415. Решив его, получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Заметим, что в случае, когда после применения формулы интегрирования по частям, интеграл, стоящий справа, имеет более простой вид, чем исходный, но не является табличным. Метод интегрирования по частям можно применять повторно.
Остановимся на методах интегрирования некоторых классов элементарных функций.
1. Дробно-рациональные функции
Интегралы вида 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 многочлены степени n и m, соответственно, интегрируются в следующем порядке.
Если n > m, то делением числителя на знаменатель "уголком" необходимо выделить целую часть. Оставшаяся часть будет правильной дробью. Интеграл от целой части выражается через табличные интегралы от степенной функции. Для интегрирования правильной дроби 13 EMBED Equation.3 1415 необходимо знаменатель разложить на множители, т. е. представить в виде
13 EMBED Equation.3 1415,
причем 13 EMBED Equation.3 1415. После этого правильную дробь нужно разложить на сумму простейших дробей:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Коэффициенты 13 EMBED Equation.3 1415 определяются после приведения правой части разложения к общему знаменателю и приравнивания коэффициентов при соответствующих степенях у многочлена, полученного в числителе, и многочлена Тк(х).
Таким образом, интегрирование правильной дроби сводится к интегрированию простейших дробей.
Пример 4.1.15. 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Подынтегральная функция является неправильной дробью, т. к. степень числителя равна степени знаменателя. Выделим целую часть неправильной дроби:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Разложим правильную дробь 13 EMBED Equation.3 1415 на простейшие
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях у многочленов в числителях дробей слева и справа, получаем систему для определения неизвестных постоянных:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, получено разложение
13 EMBED Equation.3 1415
Теперь интеграл представляется в виде суммы интегралов
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
2. Тригонометрические функции
Интегралы вида 13 EMBED Equation.3 1415, где R(u,v) (через и обозначен sinx, a через v – cosx ) рациональная функция своих переменных, интегрируются следующим образом:
1. Если R(u,v) нечетная относительно u, т. е. R(–u,v)= –R(u,v), то замена cosx=t сводит исходный интеграл к интегралу от рациональной функции относительно t.
Пример 4.1.16.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
2. Если R(u,v) нечетная относительно v, т. е. R(u,–v) = –R(u,v), то замена sinx = t сводит исходный интеграл к интегралу от рациональной функции относительно t.
Пример 4.1.17.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
3. Если R(u,v) четная относительно u и v, т. е., R–(u,v) = R(u,v), R(u,–v) = R(u,v), то замена tgx = t сводит исходный интеграл к интегралу от рациональной функции относительно t.
Пример 4.1.18.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Заметим, что некоторые интегралы этого типа вычисляются с помощью
, 2 J + cos2x . 2 J-cos2x
формул понижения степени cos х = , sm х = .
Пример 4.1.19.
13 EMBED Equation.3 1415
4. Универсальная замена tg(x/2)=t сводит любой интеграл рассматриваемого класса к интегралу от рациональной функции относительно t.
Пример 4.1.20.
13 EMBED Equation.3 1415

3. Иррациональные функции
Интегралы вида 13 EMBED Equation.3 1415, где R(x, u1,,uk) - рациональная функция своих переменных заменой 13 EMBED Equation.3 1415, m - наименьшее общее кратное чисел n,,nk, сводятся к интегралам от рациональных функций относительно t.

Пример 4.1.21.
13 EMBED Equation.3 1415
Следующие интегралы перечисленными заменами сводятся к интегралам от рациональных функций относительно t:
1. 13 EMBED Equation.3 1415, где R(x,u)-рациональная функция своих аргументов, вычисляется одной из замен х = asint, х = acost или x=atgt.
2 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется одной из замен 13 EMBED Equation.3 1415 или x = acht.
3. 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется одной из замен x = atgt или x = asht.

Пример 4.1.22.
13 EMBED Equation.3 1415

Вопросы для самопроверки

Дайте определение первообразной функции. Докажите, что любые две первообразные для одной и той же функции отличаются на постоянное слагаемое.
Дайте определение неопределенного интеграла.
Докажите свойства неопределенного интеграла.
Какой формуле в дифференциальном исчислении соответствует формула замены переменной в неопределенном интеграле?
Выведите формулу интегрирования по частям. В каких случаях используется эта формула?
Перечислите замены, которые используются при вычислении интегралов от тригонометрических и иррациональных функций.
Переведите примеры интегралов, которые не выражаются через элементарные функции.
Проведите сравнительный анализ операций дифференцирования и интегрирования функций.

Тема 4.2. Определенный интеграл

Учебники: [7, гл. 9], [9, гл. 10, 11J, [16, гл. 14J, [33, ч. 2,§ § 4.7 - 4.12J.
Аудиторная работа: [3, №№ 2237, 2239, 2241, 2249, 2259, 2267, 2275, 2279, 2281, 2307, 2312, 2455, 2459, 2461, 2465, 2467, 2473, 2491, 2497, 2501, 2505, 2521, 2525, 2534, 2547, 2595], [7, гл. 9, №»№ 31, 35, 37, 39, 43, 47, 49, 51, 57, 63, 65, 67, 69, 71 ,109, 113, 115, 117, 119, 121, 131, 133, 135, 137, 143, 147, 149, 151, 157, 161, 163], [20, ч. 1, №№ 6.339, 6.341, 6.343, 6.345, 6.387, 6.391, 6.401, 6.403, 6.405, 6.453, 6.455, 6.457, 6.459, 6.479, 6.481, 6.483, 6.485, 6.499, 6.503, 6.509, 6.511, 6.521, 6.529, 6.535, 6.541, 6.543J, [33, №№ 53.1, 53.3, 53.5, 53.7, 53.9, 53.11, 54.1, 54.3, 54.5, 54.7, 54.9, 54.11, 55.1, 55.3, 55.5, 55.7, 55.9, 55.11, 56.1, 56.3, 56.5, 56.7, 56.9, 56.11, 57.1, 57.3, 57.5, 57.7, 57.9, 57.11], [38, №№ 6.2.1 - 6.2.16, 7.2.1 - 7.2.12].
Самостоятельная работа: [3, №№ 2234, 2236, 2240, 2242, 2244, 2250, 2256, 2260, 2264, 2268, 2276, 2284, 2286, 2288, 2458, 2460, 2462, 2466, 2474,
2490, 2492, 2494, 2496, 2498, 2500, 2522, 2524, 2534, 2546, 2560, 2562, 2596, 2598, 2602], [7, гл. 9, Ms 32, 34, 36, 40, 44, 48, 50, 52, 54, 64, 66, 72 ,108, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 128, 134, 138, 144, 146, 148, 154, 156], [20, №№ 6.338, 6.344, 6.346, 6.348, 6.350, 6.386, 6.388, 6.392, 6.402, 6.406, 6.408, 6.454, 6.456, 6.462, 6.478, 6.480, 6.482, 6.484, 6.490, 6.494, 6.496, 6.502, 6.504, 6.508, 6.512, 6.520, 6.528, 6.530, 6.536], [33, №№ 53.2, 53.4, 53.6, 53.8, 53.10, 53.12, 54.2, 54.4, 54.6, 54.8, 54.10, 54.12, 55.2, 55.4, 55.6, 55.8, 55.10, 55.12, 56.2, 56.4, 56.6, 56.8, 56.10, 56.12, 57.2, 57.4, 57.6, 57.8, 57.10, 57.12], [38, №№ 6.3.1 - 6.3.16, 7.3.1-7.3.12].

Методические указания

Вычисление определенного интеграла от непрерывных и кусочно-непрерывных функций основано на формуле Ньютона – Лейбница
13 EMBED Equation.3 1415.
где F(x)-некоторая первообразная для функции f(x) на интервале [a,b]. Эта формула устанавливает связь определенного и неопределенного интегралов. Она показывает, что при вычислении определенного интеграла в полной мере используется техника вычисления неопределенного интеграла.

Пример 4.2.1.
13 EMBED Equation.3 1415.
Приведем формулу замены переменной интегрирования в определенном интеграле.
Пусть f(x) непрерывна на [a,b], x = g(t) непрерывно дифференцируема на [
·,
·] и g(
·)=a, g(
·) = b. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
Подчеркнем, что при замене переменной интегрирования в определенном интеграле меняются пределы интегрирования.

Пример 4.2.2.
13 EMBED Equation.3 1415
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4.2.3.
13 EMBED Equation.3 1415
Остановимся на геометрических приложениях определенного интегра-

1. Площадь плоской фигуры

Площадь плоской фигуры, ограниченной на интервале [a,b] графиками непрерывных функций у = f1(х) и у = f2(х) (f2(x)>f1(x)), вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
При вычислении площади плоской фигуры важно правильно записать площадь при помощи определенного интеграла. Для этого необходимо нарисовать рисунок к задаче, определить из него уравнения верхней у = f2(х) и нижней у = f1(x) границ фигуры. Если какая-либо из границ не задается одной функцией, а описывается несколькими разными функциями, нужно разбить фигуру вертикальными линиями на части так, чтобы в пределах каждой части верхняя и нижняя границы задавались каждая одной функцией. После этого для каждой части можно использовать формулу площади.
Пример 4.2.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 = 2x+1, x – y – 1 = 0 (рис.4.2.1)


Из рисунка 4.2.1 видно, что нижняя граница фигуры (линия СВА) задается разными функциями:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому фигуру СВА необходимо разбить на две СВ1В и ВВ1А, площади которых обозначим через S1 и S2. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Если фигура ограничена кривой, заданной параметрически y=y(t), x=x(t) а также прямыми х=а и x=b и осью ОХ, то площадь фигуры вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415,
где х(
·) = а, x(
·) = b, у
·0 при хє[a,b].
Пример 4.2.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды у = 1- cost, x = t-sint и осью ОХ (рис. 4.2.2).
















Одной арке циклоиды соответствует изменение параметра t от 0 до 2
·. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415
Площадь криволинейного сектора, ограниченного линией, уравнение которой задано в полярной системе координат функцией
· =
·(
·) и двумя лучами
· =
·,
· =
·, вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4.2.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 4.2.3).
Решение. Так как фигура симметрична относительно начала координат, то ее площадь можно записать интегралом
13 EMBED Equation.3 1415.


















2. Длина дуги кривой

Если гладкая кривая задана уравнением у = f(x), то длина ее дуги, для которой хє[a,b], равна
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4.2.7. Вычислить длину дуги кривой 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
Если кривая задана параметрически y = y(t), x = x(t), tє[
·,
·], то ее длина вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4.2.8. Вычислить длину астроиды у = sin3t, х = cos3t.
Решение. Астроида - замкнутая линия, при обходе которой параметр t меняется от 0 до 2
·. Так как кривая симметрична относительно осей координат, достаточно вычислить длину ее дуги, лежащей в первом квадранте. Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
Если кривая задана в полярной системе координат уравнением
· =
·(
·),
·є[
·,
·], тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4.2.9. Вычислить длину дуги кардиоиды
· = 1 + cos
·.
В силу симметрии кардиоиды относительно оси ОХ достаточно вычислить длину дуги ее верхней половины, для которой
·є[0,
·]. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415

3. Площадь поверхности вращения

Площадь поверхности, образованной вращением кривой у = f(х), хє[a,b] вокруг оси ОХ, вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4.2.10. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением первой арки синусоиды у = sin х, хє[0,
·] вокруг оси ОХ.
Решение. Согласно приведенной выше формуле
13 EMBED Equation.3 1415
В результате интегрирования по частям получено уравнение относительно интеграла 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
откуда 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.

4. Объем тела вращения

Объем тела, образованного вращением непрерывной кривой у = f(x), хє[a,b] вокруг оси ОХ, вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4.2.11. Вычислить объем тела, образованного вращением линии у=chx, xє[0,l] вокруг оси ОХ.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415.

Вопросы для самопроверки

Дайте определение определенного интеграла.
Приведите свойства определенного интеграла.
Укажите классы функций, интегрируемых по Риману.
Чему равна производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом?
Приведите геометрический смысл определенного интеграла.
Объясните формулу площади криволинейного сектора, граница которого задана в полярной системе координат.
Дайте определение квадрируемой фигуры и ее площади.
Приведите геометрический смысл теоремы о среднем для определенного интеграла.

Тема 4.3. Несобственные интегралы

Учебники: [7, гл. 9, § 3], [16, гл. 14, § 4J, [33, ч. 2, гл. 4, §§ 4.13, 4.14].
Аудиторная работа: [3, №№ 2367, 2369, 2371, 2373, 2375, 2377, 2379, 2381, 2383, 2387, 2389, 2391, 2393, 2395, 2397, 2399, 2401, 2405, 2407, 2411, 2413, 2415, 2417], [7, гл. 9, №№ 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99, 101, 103, 107], [20, ч. 1, №№ 6.411, 6.413, 6.415, 6.417, 6.419, 6.423, 6.425, 6.427, 6.429, 6.431, 6.433,6.435, 6.437, 6.439, 6.441, 6.443, 6.445, 6.447, 6.451], [38, №№ 9.2.1 - 9.2.12, 10.2.1 - 10.2.8].
Самостоятельная работа: [3, №№ 2368, 2370, 2372, 2374, 2376, 2378, 2380, 2382, 2384, 2386, 2388, 2390, 2392, 2394, 2396, 2398, 2400, 2404, 2406, 2410, 2412, 2414, 2416], [7, гл. 9, №№ 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100, 102, 104, 106], [20, ч. 1, №№ 6.412, 6.414, 6.416, 6.418, 6.420, 6.422, 6.426, 6.428, 6.430, 6.432, 6.434, 6.436, 6.438, 6.442, 6.444, 6.446, 6.450], [38, №№9.3.1-9.3.8, 10.3.1 - 10.3.8].

Методические указания
1. Несобственные интегралы первого рода

Определение. Пусть функция f(x) определена на интервале [а,
·) и для любого А>а интегрируема по Риману на сегменте [а,А]. Несобственным интервалом первого рода 13 EMBED Equation.3 1415 от функции f(x) по промежутку [а,
·) называется предел 13 EMBED Equation.3 1415. Если этот предел существует, то интеграл 13 EMBED Equation.3 1415называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.
Аналогично определяются следующие интегралы:
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4.3.1.
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 сходится и равен
·/2.
В тех случаях, когда интеграл
·f(x)dx не выражается в элементарных функциях, воспользоваться определением несобственного интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 не представляется возможным. Тогда сходимость несобственного интеграла выясняется косвенно при помощи достаточных признаков сходимости.
Заметим, что условие 13 EMBED Equation.3 1415 является необходимым, но не достаточным признаком сходимости интеграла 13 EMBED Equation.3 1415. Это означает, что, если 13 EMBED Equation.3 1415 сходится, то 13 EMBED Equation.3 1415. Обратное утверждение неверно. Это видно из следующего примера.
Пример 4.3.2.
13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 расходится, хотя и 13 EMBED Equation.3 1415.
При оценке сходимости несобственного интеграла первого рода используют следующие признаки сравнения.
Теорема. Пусть f(x), g(x) определены на интервале [а,
·) и для любого А>а интегрируемы на сегменте [a,A]. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда из сходимости 13 EMBED Equation.3 1415 следует сходимость 13 EMBED Equation.3 1415, а из расходимости 13 EMBED Equation.3 1415 - расходимость 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема. Пусть f(x), g(x) определены на интервале [а,
·) и для любого f(x) А>а интегрируемы на сегменте [а, А]. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то интегралы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Пример 4.3.3. Исследовать сходимость 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. На интервале [1,
·) 13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 для всех xє[1,
·). Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 сходится, и, следовательно, по первому признаку сравнению сходится интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
Заметим, что в качестве модельного интеграла, с которым производится сравнение, обычно используется интеграл
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

2. Несобственные интегралы второго рода

Определение. Пусть функция f(x) определена на интервале [a,b) и для любого 0<
··] и 13 EMBED Equation.3 1415. Несобственным интегралом второго рода 13 EMBED Equation.3 1415 по промежутку [a,b] от неограниченной функции f(x) называется 13 EMBED Equation.3 1415. Если этот предел существует, то интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.
Аналогично определяются следующие интегралы:
1. f(x) определена на интервале (a,b], 13 EMBED Equation.3 1415, интегрируема на сегменте [a +
·,b] и 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415;
2. f(x) определена на интервале 13 EMBED Equation.3 1415. интегрируема на 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 4.3.4.
13 EMBED Equation.3 1415
следовательно, интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 сходится и равен 8/3.
При оценке сходимости несобственных интегралов второго рода используют следующие признаки сравнения.
Теорема. Пусть f(x), g(x) определены на интервале [а,b), для любого 0<
··] и 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 0
·f(x)
·g(x), 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда из сходимости 13 EMBED Equation.3 1415 следует сходимость 13 EMBED Equation.3 1415, а из расходимости 13 EMBED Equation.3 1415 - расходимость 13 EMBED Equation.3 1415.

Теорема. Пусть f(x), g(x) определены на интервале [a,b) для любого 0<
··] и 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то интегралы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Пример 4.3.5. Исследовать сходимость 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Особой точкой функции 13 EMBED Equation.3 1415 является точка х = 0. При x0+0 функция 13 EMBED Equation.3 1415 эквивалентна13 EMBED Equation.3 1415, т. к. 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому исходный интеграл в смысле сходимости ведет себя так же, как интеграл,
13 EMBED Equation.3 1415,
который сходится. Следовательно, и исходный интеграл сходится.
Заметим, что в качестве модельного интеграла, с которым производиться сравнение заданного интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 (а-особая точка), обычно используется интеграл 13 EMBED Equation.3 1415. Он сходится при
·<1 и расходится при
·
·1.

Вопросы для самопроверки

Дайте определение несобственного интеграла первого рода. Укажите его геометрический смысл.
Сформулируйте необходимый признак сходимости несобственного интеграла первого рода. Чем он отличается от достаточных признаков сходимости?
Приведите признаки сравнения сходимости несобственных интегралов первого рода.
Дайте определение несобственного интеграла второго рода в случаях, когда особая точка функции расположена:
а) на левом конце интервала интегрирования;
б) на правом конце интервала интегрирования;
в) внутри интервала интегрирования.
Сформулируйте признаки сравнения сходимости несобственных интегралов второго рода.
Приведите модельные интегралы, которые используются в признаках сравнения несобственных интегралов первого и второго рода. При каких значениях параметра а они сходятся и при каких расходятся?

Раздел 5. Дифференциальные уравнения
Тема 5.1. Уравнения первого порядка

Учебники: [16, гл. 15, §§ 1 - 2], [22, гл. 1, §§ 1 - 7], [17, гл. 13, §§3-9, 13, 14].
Аудиторная работа: [20, гл. 9, § 1; №№ 9, 26, 28, 45, 55, 65, 77, 84, 87, 98, 129], [15, гл. 12, §§ 2, 3, 6, №№ 2062, 2067, 2084, 2095, 2097, 2104, 2156 (2)], [30, задание 1, п. 1.1: №№ 2, 6; п. 1.2: № 8; п. 1.3: № 3; п. 1.4: №№ 5, 10; п. 1.5: №2].
Самостоятельная работа: [20, гл. 9, § 1, №№ 9, 22 - 25, 43, 44, 46 - 54, 64, 66, 67 - 73, 83, 85, 86, 88, 96, 102, 122, 124], [15, гл. 12, §§ 2, 3, 6, №№ 2061, 2063 - 2066, 2093 - 2103, 2105, 2155, 2156], [30, задание 1, п. 1.1: №№ 1 - 10; п. 1.2: №№ 1 - 7; п. 1.3: №№ 1 - 5; п. 1.4: №№ 1 - 12; п. 1.5: №№ 3 - 6].

Указания

Перед изучением этого раздела рекомендуется основательно вспомнить дифференцирование и интегрирование функции одной вещественной переменной. Студент должен уметь:
а) находить производные от достаточно сложных элементарных функций;
б) интегрировать дробно-линейные, тригонометрические, простейшие иррациональные функции;
в) пользоваться формулами интегрирования по частям и замены переменной в неопределенном интеграле.
Дифференциальным уравнением первого порядка называется функциональное уравнение F(x,y,y') = 0 или у' = f(x,у), связывающее между собой независимую переменную х , искомую функцию у = у(х) и ее производную 13 EMBED Equation.3 1415.
Решением данного уравнения называется любая функция у =
·(х), которая, будучи подставлена в это уравнение вместе со своей производной у' = (
·(x))’, обращает его в тождество. Например, функция 13 EMBED Equation.3 1415 есть решение дифференциального уравнения ху' + у = cosx, т. к.
13 EMBED Equation.3 1415.
Дифференциальное уравнение имеет бесконечное количество решений; например, из простейшего уравнения у’ = х2 сразу найдем с помощью интегрирования 13 EMBED Equation.3 1415.
Общее решение уравнения является записью всего многообразия его решений; оно включает произвольную постоянную. Придавая ей конкретные численные значения, получаем частные решения.
Задача о нахождении частного решения уравнения при заданном начальном условии называется задачей Коши.
Пример 5.1.1. Найти решение уравнения у' = х2, удовлетворяющее условию y(l) = 2. Из общего решения при подстановке вместо х единицы, получим 1/3 + С = 2, следовательно, С = 5/3. Искомое частное решение: y=(x3+5)/3.
Уравнение считается проинтегрированным в квадратурах, если общее решение получено в явной или в неявной форме, которая может содержать еще не взятые интегралы от известных функций.
Имеется несколько классов уравнений, интегрируемых в квадратурах. Это так называемые уравнения с разделяющимися переменными, однородные, в полных дифференциалах, линейные относительно у и у’, Бернулли,
Лагранжа, Клеро и некоторые другие [16, гл. 15, § 4].

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
Приведите пример однородного дифференциального уравнения первого порядка и его решение.
В чем состоит метод вариации произвольной постоянной при решении линейного уравнения первого порядка? Приведите пример.
Как и в каких случаях интегрируются в квадратурах уравнения, не разрешенные относительно производной?

Тема 5.2. Уравнения высших порядков

Учебники: [16, гл. 15, §§ 3 - 5], [22, гл. 11, §§ 1 - 3, 5, 6], [17, гл. 13, §§21-25].
Аудиторная работа. Решить примеры: [20, гл. 9, § 2, №№ 9.212, 9.216, 9.247, 9.249, 9.331, 9.338, 9.360, 9.374], [15, гл. 12, §§ 7 - 10, №№ 2164, 2167, 2186, 2194, 2221, 2246], [30, задание 2, 2.1: №№ 1, 14].
Самостоятельная работа: [20, гл. 9, § 2, №№ 9.211, 9.219, 9.221, 9.248, 9.249, 9.323 - 9.330, 9.337, 9.339, 9.354 - 9.357, 9.370, 9.373], [15, гл. 12, §§ 7 -10, №№ 2163, 2165 - 2170, 2185 - 2192, 2213 - 2219, 2247], [30, задание 2, 2.1: №№2, 5, 12].

Указания

Студент должен владеть методами решения дифференциальных уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах: с разделяющимися переменными, однородных и линейных. К ним обычно будут сводиться уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
Дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Задачей Коши для такого уравнения называется задача отыскания решения у(х), удовлетворяющего заданным начальным условиям:
13 EMBED Equation.3 1415
Общим решением называется такая функция у =
·(х, С1,..., Сn), которая при любых допустимых значениях параметров С1,..., Сn является решением дифференциального уравнения, и для любой задачи Коши найдутся постоянные С1,..., Сn, определяемые из системы

·(х0, С1,..., Сn) = y0,

·’(х0, С1,..., Сn) = y’0,
13 EMBED Equation.3 1415

Уравнение Ф(х,у,С1,...,Сn) = 0, определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
В качестве примеров рассмотрим уравнение четвертого порядка 13 EMBED Equation.3 1415, которое допускает понижение порядка заменой р=у3, получаем 13 EMBED Equation.3 1415(переменные разделились), р = С1х.
Возвращаемся к исходной функции у: у" = С1х, интегрированием найдем общее решение 13 EMBED Equation.3 1415.
Линейным неоднородным уравнением n-го порядка называется уравнение вида у(n) +а1(х)у(n-1) + ... + аn(х)у = f(x), в котором f(х)
·0. Общее решение этого уравнения определяется формулой y(x) = y00(x)+yZH(x), где yоо(x) - общее решение соответствующего однородного уравнения, а yZH(x) - некоторое частное решение неоднородного [16, гл. 15, § 4].
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами составляют важнейший класс уравнений, интегрирование которых сравнительно легко доводится до конца.
Пример 5.2.1. у"-5у’ +6у = х + 1.
Решение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение у"-5у'+6у = 0. Подстановка Эйлера у = е
·x приводит к характеристическому уравнению
·2 - 5
· + 6 = 0, его корни
·1 = 2,
·2 = 3, а общее решение yоо= c1e2x + c2e3x. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде Ах + В, где коэффициенты А и В определяются подстановкой в исходное уравнение, получаем -5А + 6(А + В) = х +1, откуда 6А = 1, 6В - 5А = 1, т. е. A = 1/6, B = 11/36. Таким образом, общее решение исходного неоднородного уравнения yоо= C1e2x + C2e3x + x/6 + 11/36.
Подобрать частное решение неоднородного уравнения можно в том случае, когда правая часть есть функция специального вида [16, гл. 15, § 5J. Поэтому большое значение имеет метод вариации постоянных, дающий возможность проинтегрировать неоднородное линейное уравнение, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения [16, гл. 15, § 4].

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте теорему существования и единственности дифференциального уравнения n -го порядка.
Какие уравнения высших порядков допускают понижение?
В чем состоит метод вариации постоянных для линейного уравнения второго порядка? Привести пример.
Как ищут частные решения неоднородного уравнения, если его правая
часть имеет следующий вид: а) е2х; б) sin л/Ух; в) х2?

Тема 5.3. Системы дифференциальных уравнений

Учебники: [16, гл. 15, § 6], [22, гл. 3, §§ 1 - 5], [17, гл. 13, §§ 29, 30].
Аудиторная работа: [20, гл. 9, § 3, №№ 9.432, 9.437, 9.442], [15, гл. 12, § 12; Ms 2276, 2279], [30, задание 5, п. 5.1: № 11; п. 5.2: № 6].
Самостоятельная работа: [20, гл. 9, § 3, №№ 9.431, 9.433, 9.438, 9.441, 9.443], [15, гл. 12, § 12, Ms 2275, 2277, 2228], [30, задание 5, п. 5.1: №№ 1 -4,12; п. 5.2: №№1-3, 7].

Указания

Система дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид
у'1(x) = f(х, y1,..., yn)
у'2(x) = f2(х, y1,..., yn)
..
у'n(x) = fn(х, y1,..., yn)

Решением системы на интервале а<х·i(x)(i=l,...,n), непрерывно дифференцируемых на (a,b) и обращающих уравнения системы в тождества относительно xє(a,b).
Дифференциальное уравнение n-го порядка у(n) = f(x, y, y',...,y(n-1)) можно свести к системе уравнений первого порядка. И, наоборот, систему в большинстве случаев можно свести к уравнению n-го порядка, решая которое можно найти и решение системы.
Пример 5.3.1. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Возьмем из первого уравнения z = y - y', Отсюда z' = y' - y". Подставив эти выражения во второе, получим у' - у'' = -4у + у- у', или у" -2у' -3у = 0, общим решением этого уравнения будет у(х)= С1е-х + С2е3x.
Отсюда, используя Z = у - у' = C1e-x + С2е3х + С1е-x - 3С2е3х, получим Z = 2C1e-x - 2С2е3х.
Ответ: y = C1e-x + С2е3х.
Z = 2(C1e-x - С2е3х).

Такой прием иногда называют методом исключения. Другим, встречающимся в приложениях, методом решения системы является нахождение интегрируемых комбинаций [22, гл. 3, § 3].

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.
Приведите примеры из классов уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах.
Какие уравнения высших порядков допускают понижение?
В чем состоит метод вариации постоянных для линейного уравнения второго порядка? Приведите пример.
Приведите пример решения дифференциальных уравнений нахождения интегрируемых комбинаций.
Сформулируйте теорему существования и единственности решения системы уравнений первого порядка.
В каком виде ищут частные решения неоднородного уравнения, если его
правая часть имеет следующий вид: а) е2х, б) sin
·3x, в) 2х-1, г) x2+cosx.
После изучения 3, 4, 5 разделов студент должен выполнить контрольную работу № 3.

Дополнение 5.1. Образец выполнения и оформления
контрольной работы № 3
"Функции нескольких переменных. Интегрирование функций одной
переменной. Обыкновенные дифференциальные уравнения"

Первые пять заданий контрольной работы № 3, которые относятся к теме "Функции нескольких переменных", подробно рассмотрены в разделе 3, примеры 3.1.1, 3.1.2, 3.2.1, 3.2.2 и 3.3.1.

Примеры решения задач к разделам 4,5
Вычислить интегралы:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Поделим почленно числитель подынтегральной функции на знаменатель
13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Заметим, что подынтегральная функция является неправильной дробью, т. к. степень числителя выше степени знаменателя. Поделим числитель на знаменатель. В результате получим 13 EMBED Equation.3 1415. Разложим правильную дробь 13 EMBED Equation.3 1415 на простейшие:
13 EMBED Equation.3 1415
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему 13 EMBED Equation.3 1415. Решение системы: А = -1;В = 2. Получим разложение 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415.
Универсальной тригонометрической подстановкой вычисление интеграла от тригонометрической функции свелось к вычислению интеграла от дробно-рациональной функции. Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом,
13 EMBED Equation.3 1415;
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией 13 EMBED Equation.3 1415. Построим кривую 13 EMBED Equation.3 1415 (рис.Д.5.1). Область определения 13 EMBED Equation.3 1415ж
















13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
7. Исследовать сходимость
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. На интервале [l,
·) 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то интеграл 13 EMBED Equation.3 1415сходится, следовательно, по первому признаку сравнения сходится 13 EMBED Equation.3 1415.
8. Решить дифференциальные уравнения первого порядка.
1) (2х3 +3xy2)dx + y3dy = 0.
Решение. Это однородное уравнение. Введем подстановку у=хu(х),
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, разделим переменные
13 EMBED Equation.3 1415 и проинтегрируем
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
2) Найти решение уравнения у’ + ycosx = sinxcosx, удовлетворяющее условию у(0) = 1.
Решение. Это линейное уравнение первого порядка. Сначала рассмотрим соответствующее однородное уравнение у' + ycosx = 0. Разделим переменные dy/y = -cosxdx и проинтегрируем ln|y| = -sinx + lnС, у = Се-sinx. Далее методом вариации произвольной постоянной решение исходного уравнения ищем в виде y =
·(x) е-sinx :
·’е-sinx -
·е-sinx cosx +
·е-sinx cosx = cosxsinx, d
·/dx = sinxcosxеsinx,
·(x) =
·sinxеsinx dsinx =
·ueudu =
·udeu = ueu -
·eudu = eu(u-1) + C = esinx(sinx - 1) +C. Таким образом, общее решение имеет вид y = sinx - l + Ce-sinx. Удовлетворим условию у(0)= -1 + С = 1, С = 2.
Ответ: y = sinx - l + 2e-sinx.
9. Решить уравнения второго порядка.
1) yy” = y’2.
Решение. Уравнение не содержит явно х, поэтому его порядок понижается подстановкой у '=z(y), причем
13 EMBED Equation.3 1415.
Приравниваем к нулю каждый из сомножителей левой части:
a) z = 0, y’ = 0, y = C;
б) 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: y = C2eC/x.
2) Найти решение уравнения у"+y = ctgx, удовлетворяющее условиям 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение у"+у = 0, его характеристическое уравнение х2 + 1 = 0, откуда x1,2 = ±i и общее решение однородного уравнения будет у = С1sinx + С2cosч. Далее по методу Лагранжа решение неоднородного уравнения в виде у =
·1(x)sinx +
·2(x)cosx, причем функции
·1(x) и
·2(x) определяются из системы
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, общее решение неоднородного уравнения имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.
Удовлетворим начальным условиям:
13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
10. Решить систему 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Методом исключения получаем х - 4х - 5х = -4е-t + 2e2t, при этом 2у = 13 EMBED Equation.3 1415 – х – е-t. Соответствующее однородное 13 EMBED Equation.3 1415 - 413 EMBED Equation.3 1415 - 5х = 0 имеет решение
13 EMBED Equation.3 1415.
Частное решение неоднородного следует искать в виде xz = Atе-t + Bе2t (-1 - корень характеристического уравнения). Дифференцируя 13 EMBED Equation.3 1415z = -Atе-t + Aе-t + 2Bе2t, 13 EMBED Equation.3 1415z = Atе-t - 2Aе-t + 4Bе2t, и подставляя в уравнение, получим
-6Aе-t – 9Bе2t = -4е-t + 2е2t,

следовательно, A = 2/3, B = -2/9, xz = 2/3tе-t – 2/9е2t.
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Раздел 6. Кратные интегралы. Элементы теории векторного поля
Тема 6.1. Некоторые вспомогательные определения

Рассмотрим множество D точек плоскости (или пространства).
Если присоединим к области D все её граничные точки, то получим замкнутую область D*. Область D* называется ограниченной, если ее можно поместить внутрь некоторого круга (сферы) конечного радиуса R.
Пусть имеем в плоскости OXY замкнутую область D*. Проведём через произвольную внутреннюю точку М(х, у) є D прямую, параллельную оси OY (или ОХ). Если эта линия пересечёт границу области Г только в двух точках, то область называется правильной в направлении оси OY (ОХ). Область D*, правильная вдоль оси ОХ и OY, будет просто правильной областью. Диаметр области D*: diam(D*) - это наибольшее расстояние между двумя точками её границы (рис. 6.1.1). Выражение [z = f(x,y) є C(D*)] обозначает, что в области D* непрерывны как функция z =f(x,y), так и её производные до порядка n включительно.
















Тема 6.2. Двойной интеграл
6.2.1. Определение двойного интеграла, его геометрический
и физический смысл

Литература: [3; №№ 3460 - 3476, 3477 - 3484; 5; гл. 2, §§ 2.1 - 2.2; 6; гл. 1, §§1-2].
Рассмотрим в плоскости OXYзамкнутую конечную область D* = D13 EMBED Equation.3 1415Г площади S, где Г - её граница. Пусть функция Z=f(x,y) определена и непрерывна в D*. Разобьем область D* сетью линий на конечное число областей, площади которых
·Si (i=l,..., n). В каждой области выберем точку Мi (хi, уі) є Di (рис.6.2.1). Найдём значения функции f(Mi) и составим сумму
13 EMBED Equation.3 1415 (6.2.1)
называемую интегральной суммой для функции z=f(x,y) в области D.
Если f(x,y) > 0 для 13 EMBED Equation.3 1415(х,у)єD то каждое слагаемое [f(Mk)
·Sk] представляет собой объём
·Vi малого цилиндра с площадью основания
·Si и высотой hi =f(Mi) (см. рис. 6.2.1). Сумма объёмов
·Vi (6.2.1) при этом определяет объём ступенчатого тела, сложенного из малых цилиндров.

















Очевидно, что область D можно по-разному разбить сетью линий на площадки
·Si. Тогда интегральные суммы в выражении (6.2.1) при каждом разбиении будут отличаться друг от друга, а в совокупности они образуют последовательность интегральных сумм
Vn1, Vn2, Vn3, , Vnk.
Чем больше число разбиений щ, тем меньше объём ступенчатой фигуры отличается от объёма цилиндрического тела, ограниченного поверхностью z = f(x,y), плоскостью OXZ, цилиндром с образующей, параллельной оси OZ, и направляющей - границей Г области D (см. рис. 6.2.1).
Увеличим число разбиений n
·, причём max(diamD*)0.
Справедлива следующая теорема.
Если функция f(x,у)єC*(D), to lim Vnk (к = 1,2...) (предел последовательности интегральных сумм) при max(diamD*)0. Этот предел не зависит ни от способа разбиения области Д ни от выбора точки Мiє
·Si. Он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D и обозначается
13 EMBED Equation.3 1415, (6.2.2)
max(diamD*)0, где f(x,y) - подынтегральная функция; dS – дифференциал элемента площади области интегрирования D.
Геометрический смысл двойного интеграла состоит в том, что он численно равен объёму цилиндрического тела (см. рис. 6.2.1).
Физический смысл двойного интеграла - интеграл от функции z=f(x.y) > 0 по области D представляет собой массу пластинки D, если f(х,у) -плотность её в точке М.

6.2.2. Свойства двойного интеграла

Литература: [5, гл. 2, §2.3; 6: гл. 1, § 2].
Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определённого интеграла. Приведем их без доказательства.
1. Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме двойных интегралов от слагаемых функций:
13 EMBED Equation.3 1415. (6.2.3)
2. 13 EMBED Equation.3 1415. (6.2.4)
3. Если область интегрирования D разбить на n частей Dk, то
13 EMBED Equation.3 1415 (6.2.5)
4. Если 13 EMBED Equation.3 1415(x,y)єD, f(x,y)
· g(x,y), то
13 EMBED Equation.3 1415 . (6.2.6)
5. Теоремы об оценке двойного интеграла.
Если 13 EMBED Equation.3 1415(х,у)єD, m
·f(x,y)
·M (m - наименьшее, М- наибольшее значения функции в области), то
13 EMBED Equation.3 1415. (6.2.7)
где S - площадь области D.
6. В области D существует такая точка N(х0,у0), что
13 EMBED Equation.3 1415. (6.2.8)
Значение функции z - f(x,y) называется средним значением функции в области D.
7. 13 EMBED Equation.3 1415 (6.2.9)

6.2.3. Вычисление двойного интеграла. Изменение порядка интегрирования

Литература: [3; №№ 3485 - 3504, 3506 - 3516; 5; гл. 2, §§ 2.4 - 2.5; 6; гл.1, §5].
Для вычисления двойного интеграла в декартовой системе координат найдём дифференциал элемента площади dS. Так как двойной интеграл не зависит от способа разбиения области D*, то разобьем ее линиями xi = const и yi = const на прямоугольные ячейки D*i со сторонами
·xi и
·yi. Тогда
·Si =
·хi
·yi в пределе при max(diamDi) > 0 получим ds = dxdy.
Таким образом,
13 EMBED Equation.3 1415. (6.2.10)
Пусть интеграл (6.2.10) выражает объём V цилиндрического тела с основанием D ограниченного поверхностью z = f(x,y). Проведём линии х=а, х=b, проходящие через крайние точки границы Г правильной области D (см. рис. 6.1.1).
Точками А и В граница Г делится на два участка AЕВ и АСВ. Пусть уравнения этих линий АСВ: у =
·1(х), АЕВ: у =
·2(х). Проведём линию х = р = const через внутреннюю точку М области D. Первая линия у =
·1(х), которую пересекает прямая х-р в направлении Оу, называется "входящей" линией области D, вторая - у =
·2(х) - "выходящей".
Аналогично предыдущему проведём линии у - с, у = d, касающиеся границе области Г в точках Си Е, которые разбивают границу на линии САЕ и СВЕ (см. рис. 6.1.1). Обозначим их уравнениях x =
·1(y) и х =
·2(у) соответственно.
Известно, что объём тела можно вычислить с помощью определённого интеграла методом параллельных сечений:
13 EMBED Equation.3 1415, (6.2.11)
где S (х) - площадь поперечного сечения в плоскости х - р = const (рис. 6.2.2). В свою очередь, площадь S(x) найдем также посредством определенного интеграла:
13 EMBED Equation.3 1415. (6.2.12)
Тогда, подставляя выражение (6.2.12) в (6.2.11), получаем
13 EMBED Equation.3 1415. (6.2.13)




















Если провести сечение y=h=const, то для вычисления двойного интеграла будем иметь другую формулу:
13 EMBED Equation.3 1415. (6.2.14)
Выражения (6.2.13) и (6.2.14) представляют собой повторные (или двукратные) интегралы. Интегралы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называются внутренними, а интегралы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - внешними.
Итак, двойные интегралы вычисляются путём сведения их к двукратным. Нижний и верхний пределы интегрирования внутренних интегралов в (6.2.13), (6.2.14) - это уравнения "входящих" и "выходящих" линий, ограничивающих область D. В каждом конкретном случае, в зависимости от вида области D или подынтегральной функции, выбираем одну из формул:
13 EMBED Equation.3 1415. (6.2.15)
13 EMBED Equation.3 1415. (6.2.15)
а переход от (6.2.15) к (6.2.16) или наоборот называется заменой порядка интегрирования.
Замечание 1. Если область D не является правильной, то двойной интеграл нельзя представить в виде двукратного. Тогда разбивают область D на ряд правильных областей и пользуются свойством 3 (см. п. 6.2.2).
Замечание 2. При вычислении внутреннего интеграла в выражении (6.2.13) величина у - переменная, а х считается постоянной, у внутреннего интеграла (6.2.14) - наоборот: х - переменная, у = const.
Замечание 3. Формулы вычисления двойного интеграла (6.2.15), (6.2.16) упрощаются, если область D слева и справа (или сверху и снизу для выражения (6.2.16)) ограничена отрезками прямых линий так, что линии х = а, х - b (или у = с, у = d для выражения (6.2.16)) совпадают с этими участками границы (например, рис. 6.2.3 - 6.2.5).
Замечание 4. Если уравнения "входящей" и "выходящей" линий у =
·1(х), у =
·2(х) заданы на интервале [а,b] различными аналитическими выражениями, то область интегрирования D надо разбить на несколько областей Dk так, чтобы для каждой области уравнения "входящей" и "выходящей" линий задавались одним аналитическим выражением.

















Пример 6.2.1. Расставить пределы интегрирования по области D и вы-числить двойной интеграл: D: {х
·0, у = х, у = 2-х2}, f(x,y) = х + у.
Решение. Область является правильной (см. рис. 6.2.3). Внешний интеграл вычислим по х. Находя точки пересечения линий у = х и у = 2 - х2 (х1=0; х2=:1), проведём линии через крайние точки области. Внутренний интеграл вычислим по y. "Входящая" линия -yj= х, "выходящая" - у2 = 2- х2:
13 EMBED Equation.3 1415
Изменим порядок интегрирования. Внешний интеграл вычислим по у (проводим линии у1 = 0; у2 = 2 (рис. 6.2.4)).
Заметим, что уравнение "входящей" линии (вдоль OY) - это линия x1 = 0, а "выходящая" - состоит из двух линий: у-х и у = 2-х2. Разобьем область (D) линией у = 1 на области D1 и D2 так, чтобы в каждой из них выходящая линия выражалась одним уравнением: (см. рис. 6.2.4). По свойству интеграла (6.2.3) получим:





















13 EMBED Equation.3 1415
= (сделаем замену переменных в последнем интеграле) =
13 EMBED Equation.3 1415.
Очевидно, что при изменении порядка интегрирования второй вариант сложнее первого, так как приводит к вычислению двух интегралов.
Пример 6.2.2. Расставить пределы интегрирования по области D и изменить порядок интегрирования. D: {х2 + у2 = 2ах; у2 - 2ах; х = 2а; у
· 0}.
Решение. Заметим, что область является правильной лишь в направлении оси OY (рис. 6.2.5). Пусть сначала внешний интеграл будет вычисляться по х, а внутренний - по у. Проведём линии x1 = 0, х2 = 2а через крайние точки области. "Входящая" линия – 13 EMBED Equation.3 1415, 'выходящая" - 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как части круга и параболы, ограничивающие данную область, расположены в области у
· 0, то из уравнений у2 = 2ах, х2 + у2 = 2ах => 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Эти функции являются пределами интегрирования. Так как область D в направлении оси ОХ не является правильной, разобьем её линией у = а на три правильные области: D1, D2, D3 (см. рис. 6.2.5):
13 EMBED Equation.3 1415


















Здесь уравнения "входящих" линий для областей D1, D2, D3: х(1)1 = х(2)1 = у2/2а, а х(3)1 найдём из уравнения окружности 13 EMBED Equation.3 1415. Уравнения "выходящих" линий: 13 EMBED Equation.3 1415 (из уравнения окружности), 13 EMBED Equation.3 1415.

Замена переменных в двойных интегралах.
Двойные интегралы в полярных координатах

Литература: [3, №№ 3525 - 3531, 3559 - 3588; 5, гл. 2, §§ 2.6 - 2.8; 6, гл. 1, § 6].
Рассмотрим функции
{u=
·(x,y), v=
·(x,y)}єС’(
·) (6.2.17)
где через
· обозначено множество точек плоскости OXY. Допустим, что уравнения (6.2.17) решены относительно х и у:
{x=
·1(u,v), y=
·1(u,v)}єС’(
·1) (6.2.17)
где
·1 - множество точек плоскости Ouv. Каждой точке (u, v) соответствует точка (х, у). Пусть u = const, v = var. Тогда функции х =
·1(v), у =
·1(v) задают параметрически некоторые линии на плоскости Оху. Аналогично при v = const, и = var имеем линии х =
·2(u), у =
·2(u), которые называются криволинейными координатами, а величины (u,v) являются криволинейными координатами. Рассмотрим полярную систему координат (р,
·). Здесь u = р, v =
·: х = pcos
·; у = psin
·. Пусть р = const. Тогда координатные линии - окружности:
x2 + y2 =
·2 (cos2
· + sin2
·) = R2.




















при
· = const координатными линиями являются полярные лучи (рис.6.2.6).
Можно показать, что функции (6.2.17), (6.2.18) взаимно-однозначно отображают области Dxy и Duv и
13 EMBED Equation.3 1415, (6.2.19)
где I(u, v) - функциональный определитель, который называется якобианом преобразования (по имени математика Якоби):
13 EMBED Equation.3 1415. (6.2.20)
Для полярной системы координат
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415, (6.2.20)
- двойной интеграл в полярных координатах. Так как двойной интеграл не зависит от способа разбиения области D на элементы Di, разобьем область D координатными линиями р = const,
· = const (см. рис.6.2.6). Площадь элемента
13 EMBED Equation.3 1415
Составляя интегральную сумму и переходя к пределу при n
·, max diam(
·Si) 0 , получаем
·
·id
·,
·pidp: l/2(pi+1 + pi) p; dS
·d
·d
· - дифференциал элемента площади в полярных координатах. Тогда двойной интеграл принимает вид (6.2.20). Область D в полярной системе координат называется правильной в направлении луча
·=const, если этот луч, проведенный через любую внутреннюю точку области, пересечет её границу только в двух точках (например, см. рис. 6.2.6). Двойной интеграл в полярной системе координат вычисляется путем сведения его к повторному. Если область D ограничена лучами
·1 =
·,
·2 =
·, разбивающими границу области на линии
· =
·1(
·) и
· =
·2(
·) (см. рис. 6.2.6), то
13 EMBED Equation.3 1415 , (6.2.21)
где
·1(
·) -"входящая" линия,
·2(
·) -"выходящая" линия в направлении луча
· = const, который проходит через внутреннюю часть области D.
Порядок интегрирования в полярной системе координат меняют так: огра ничим область интегрирования D дугами окружностей
·1 = const и
·2 - const, разбивающими границу области D на линии:
· =
·1(
·) и
· =
·2(
·) (рис. 6.2.7). Тогда
13 EMBED Equation.3 1415. (6.2.22)
Замечание 1. Если область D неправильная по
· = const, то разбиваем её на ряд правильных областей и пользуемся свойством 3.
Замечание 2. Если линии
·1(
·) и
·2(
·) состоят из различных линий, то промежуток
·
·
·
·
· также разбиваем линиями
· = const на ряд областей Dк и вновь используем свойство 3.















Пример 6.2.3. Записать двойной интеграл по области D в полярной системе координат и вычислить его:
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Запишем уравнения окружностей в полярной системе координат:
х2 + у2 = р2 = а2 =>
·1 = а; (х - а)2 + у2 =а2 => х2 + у2 = 2ах =>
·2 = 2acos
·.
Найдем пределы интегрирования (рис. 6.2.8). Решая систему уравнений
·1=a,
·2 = 2аcos
·, находим а=2аcos
· =>
·1,2 = ±
·/3, то есть
· = -
·/3,
· =
·/3. Очевидно, что уравнение "входящей" линии
· =
·1(
·) - а, "выходящей" -
· =
·2(
·) = 2acos
·.












Тогда
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415


6.2.5. Вычисление объёмов тел с помощью двойного интеграла

Литература: [3, №№ 3580 - 3596; 5, гл. 2, § 2.12; 6, гл. 1, § 4].
Установлено (подразд. 6.2.1), что объём цилиндрического тела, ограниченного поверхностями z= 0, z =f(х,у) >0 и боковой поверхностью цилиндра, равен
13 EMBED Equation.3 1415.
Если в области D существуют подобласти Dk (k=l,...,n), где f(x,y)
·0, то объём тела
13 EMBED Equation.3 1415. (6.2.23)
Если вычислить интеграл, не учитывая знаки модуля, то он будет равен разнице объёмов тел, расположенных выше и ниже плоскости координат 0XY. Если же тело ограничено сверху и снизу поверхностями z1 =f1(x,y) и z2 = f2(х,у) так, что f2(x,y)
·f1(x,y) : 13 EMBED Equation.3 1415(x,y)є(D), где D - проекция поверхностей z1 и z2 на координатную плоскость (например ОXY), то объём замкнутого тела
13 EMBED Equation.3 1415, (6.2.24)
где V1 и V2 - объёмы цилиндрических тел, ограниченных поверхностями V1: {z = 0; z1 =f1(x,y)}; V2: {z = 0; z2=f2(x,y)}. Формула (6.2.24) справедлива, если в области D функции z1 и z2 принимают и отрицательные значения, но так, чтобы z2
· z1.
Иногда необходимо вычислить объём цилиндрического тела, образующие которого перпендикулярны координатной плоскости 0YZ (или 0XZ. Тогда цилиндр ограничивают поверхностями x =
·(y,z), x = 0 я объём вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415. (6.2.25)
Пример 6.2.4. Найти объём тела, ограниченного поверхностями V: {z = 9 - х2; х=0; у=0; z=0; Зх + 4у = 12; у
·0}. Поверхность z = 9 - у2 - цилиндр; х = 0; у = 0; z = 0 - координатные плоскости; 3х + 4у = 12 - плоскость, параллельная оси Oz, оставляющая на плоскости 0XY след с тем же уравнением.
Решение. Рассмотрим один из вариантов решения этой задачи. Пусть область V проектируется цилиндром z = 9 – у2 и плоскостями у = 0, z = 0 на координатную плоскость 0YZ в область Dyz: {0
·у
·3; 0
·z
·9-у2}. Подынтегральная функция в выражении (6.2.25)
·(у, z): х- 4 - 4у/3. Тогда

6.2.6. Вычисление площадей поверхностей с помощью
двойного интеграла

Литература: [3, №№ 3597 - 3608, 3626 - 3642; 5, гл. 2, § 2.11; 6, гл. 1, §1].
Пусть необходимо вычислить часть площади поверхности S, заданной уравнением z =f(х,у)єC'(D) и ограниченной линией Г (рис. 6.2.9), где D -область на координатной плоскости, например 0XY, на которую однозначно проектируется данный участок поверхности.
Разобьем поверхность сетью линий на п малых элементов площади
·
·i, имеющих проекции
·Si на плоскость 0XY. Составим интегральную сумму
·
·i и перейдём к пределу
13 EMBED Equation.3 1415.
Из рис. 6.2.9 видно, что при малых величинах
·
·i участки поверхности близки к плоским. Поэтому
·Si =
·
·icos
·i, где
·i - угол между нормалью ni, к элементу поверхности
·
·i и осью 0z.
















Единичную нормаль к поверхности, а значит, и направляющий косинус cos
·i найдём с помощью градиента функции, описывающей поверхность S,
13 EMBED Equation.3 1415.
Откуда
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415(6.2.25)
Если поверхность S однозначно проектируется на плоскость 0XZ (или 0YZ) и уравнения поверхностей заданы в явном виде x =
·(y,z) (или y =
·(x,z)), то для площади поверхности в этих случаях имеем:
13 EMBED Equation.3 1415 (6.2.26)
Если поверхность неоднозначно проектируется на какую - либо координатную плоскость, то разбиваем ее на однозначно проектирующиеся участки.

Пример 6.2.5. Найти площадь поверхности конуса х2 + у2 - z2 =0, за-ключенной внутри цилиндра х2 + у2 - 2ах = 0, (z
· 0).
Решение. Площадь этой части поверхности проектируется однозначно на координатную плоскость 0XY в круг х2 + у2
· 2ах. Для рассматриваемой части поверхности конуса
13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда, с учетом площади круга радиуса а, найдём
13 EMBED Equation.3 1415

Тема 6.3. Тройной интеграл

6.3.1. Определение тройного интеграла

Литература: [3, №№3547 – 3558; 5, гл. 2, §§ 2.1 – 2.3; 6, гл.2, §§ 1 - 2].
Рассмотрим трехмерную область V, ограниченную замкнутой поверхностью S. Область V называется правильной в направлении оси OZ, если любая прямая, проведенная параллельно оси OZ через внутреннюю точку V, проектируется на плоскость OXY в правильную область Dxy. Аналогичны определения правильных областей в направлениях осей ОХ и ОY.
Пусть плотность распределения вещества в объеме V:
· = f (x, y, z) є C0 (D) – непрерывная функция. Разобьем тело произвольно на n частей с объемом
·Vi (i=1,,n), выберем точки Pi(xi, yi, zi) є
·Vi. Тогда масса тела приближенно будет равна
13 EMBED Equation.3 1415
Эта сумма называется n-й интегральной суммой функции f(x, y, z). Конечный предел интегральных сумм при n
·, max diam(Vi)0 называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) - плотности вещества по области V и выражает массу тела
13 EMBED Equation.3 1415 (6.3.1)
В этом состоит физический смысл тройного интеграла.
Свойства тройных интегралов совпадают по форме с аналогичными свойствами двойных интегралов (3 - 8), если в последних символ площади заменить символом объема V.
Геометрический смысл тройного интеграла заключается в том, что если f(x,y,z)=1, то интегральная сумма содержит только объемы
·Vi (i=1,,n).
Но тогда в пределе получаем объем тела V:
13 EMBED Equation.3 1415

6.3.2. Вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат

Литература: [3, №№3547 – 3551; 5, гл. 2, §§ 2.4; 6, гл.2, §3].
Если разбить область V плоскостями, параллельными координатным плоскостям, то
·Vi =
·xi
·yi
·zi, что после предельного перехода дает элемент объема в декартовой системе координат dV=dxdydz. Спроектируем тело цилиндрической поверхностью на плоскость. Цилиндр касается тела вдоль некоторой линии L, которая разделяет ограничивающую поверхность z=f(x,y) на нижнюю zl=fl(x,y) («входящая» поверхность) и верхнюю z2=f2(x,y) («выходящая» поверхность) части (рис. 6.3.1). Вычислим интеграл от функции f(x,y,z) вдоль оси OZ от точки А до точки В. Тогда координаты z точки меняются от zl=fl(x,y) до z2=f2(x,y):
13 EMBED Equation.3 1415
Очевидно, здесь х и у считаются постоянными. Итак, тройной интеграл может быть представлен в виде
13 EMBED Equation.3 1415
















Если внешний двойной интеграл по области Dxy привести к повторному в соответствии с разд. 6.2, то получим
13 EMBED Equation.3 1415 (6.3.2)
где y1(x), y2(x) - уравнения «входящих» и «выходящих» линий области Dxy.
Если область V правильная в направлении оси ОХ, то, проектируя тело на плоскость OYZ в область Dyz и записывая уравнения «входящей» и «выходящей» поверхностей в виде xl=xl(y,z); x2=x2(y,z), получим
13 EMBED Equation.3 1415 (6.3.3)
Аналогично для правильной области V в направлении оси OY
13 EMBED Equation.3 1415 (6.3.4)
Если поверхность, ограничивающая тело, состоит из разных поверхностей, то область V разбивают так, чтобы в пределах каждой области поверхности задавались одним аналитическим выражением.

Пример 6.3.1. Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле различными способами: V: {z2
·x2+y2; 2-z
·x2+y2}.
Решение. Данная область является правильной в направлении всех осей (рис. 6.3.2).
1. Пусть тело проектируется на плоскость OXY в виде фигуры Dxy, тогда «входящая» поверхность – конус z2 = x2 + y2, а «выходящая» - параболоид z = 2 - x2 - y2. Область Dxy - круг. Исключая из уравнений поверхностей x2 + y2 получаем z2 +z – 2 = 0 z1,2 = = (1, -2).
Линия пересечения поверхностей данной задачи лежит в плоскости z1 = 1и представляет собой окружность x2 + y2 = 1.
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
2. Пусть область проектируется на плоскость OYZ в фигуру Dyz (см. рис. 6.3.2). «Входящая» и «выходящая» поверхности на промежутке 0
·z
·2 состоят из поверхностей конуса и параболоида.
















Разобьем область V плоскостью z = 1 на V1 и V2, которые проектируются на плоскость OYZ в виде фигуры D(1)yz и D(2)yz соответственно. Тогда I = Iv1 + Iv2. Для области V1 «входящая» поверхность - 13 EMBED Equation.3 1415 (конус), «выходящая» - 13 EMBED Equation.3 1415 (конус). Тогда
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Для области V2 «входящая» поверхность - 13 EMBED Equation.3 1415 (параболоид), «выходящая» - 13 EMBED Equation.3 1415 (параболоид)
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 6.3.2. Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 по области V, ограниченной поверхностями 13 EMBED Equation.3 1415 (конус) и y=h (плоскость) (рис. 6.3.3).















Решение. Область проектируется на плоскость OXZ в круг 13 EMBED Equation.3 1415, так как в сечении y=h:
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда «входящая» поверхность в направлении оси OY - конус 13 EMBED Equation.3 1415, а «выходящая» - плоскость y=h. Получаем последовательно:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

6.3.3. Замена переменных в тройных интегралах

Литература: [3, №№3552 – 3558, 3609 - 3625; 5, гл. 2, §§ 2.6 – 2.10; 6, гл.2, §4].
Проводя рассуждения о замене переменных, аналогичные случаю с двойным интегралом (см. подразд. 6.2.4), и рассматривая однозначное отображение ограниченной области V пространства OXYZ на область V* пространства 0uvw с помощью непрерывно дифференцируемых функций x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w), можно доказать, что такому отображению соответствует функциональный определитель (якобиан преобразования)
13 EMBED Equation.3 1415.
Справедлива формула
13 EMBED Equation.3 1415
Цилиндрическая система координат. Положение точки в пространстве однозначно определяется заданием трех величин
·,
·, z (рис. 6.3.4).













Очевидна связь декартовой и цилиндрической системы координат:
13 EMBED Equation.3 1415(6.3.5).
Две первые формулы дают на плоскости OXZ связь декартовых и полярных координат.
Якобиан преобразования в тройном интеграле при замене по формуле (6.3.5) равен
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415 (6.3.6)
С другой стороны, так как тройной интеграл не зависит от способа разбиения области V на элементы
·Vi, то разобьем ее на элементы координатными поверхностями цилиндрических координат:

· = const - цилиндры радиуса
·;

· = const - плоскости, проходящие через ось 0z;
z = const - горизонтальные плоскости.
Эти поверхности разбивают область V на элементы
·Vi. Объем элемента объема равен произведению площади основания dS на высоту dz:
·V=dSdz=
·d
·d
·dz.
Пределы интегрирования в цилиндрических координатах расставляются аналогично декартовым, но не плоскости OXY вводятся полярные координаты:
13 EMBED Equation.3 1415
Здесь f*(
·,
·,z) = f(
·cos
·,
·sin
·,z).
Сферические координаты. Положение точки М(x,y,z) в пространстве однозначно определяется заданием трех величин r,
·,
·. Направление отсчета переменных r,
·,
· указано на рис. 6.3.5: 0
·r<
·; 0
·
·
·2
·; 0
·
·
·
·. Очевидна связь декартовой и сферической систем координат: x = rsin
·cos
·; y = rsin
·sin
·; z = rcos
·. (6.3.7)















Координатные поверхности сферических координат: r = const - сферы,
· = const - конусы,
· = const - плоскости. Якобиан преобразования

13 EMBED Equation.3 1415

Тогда
13 EMBED Equation.3 1415 (6.3.8)
Таким образом, чтобы вычислить тройной интеграл в сферических координатах, необходимо выполнить замену переменных по формулам (6.3.7) и перейти к повторному интегрированию по переменным r,
·,
·. Переход к сферическим координатам особенно удобен при интегрировании по объемам, ограниченным сферически-коническими поверхностями.
Для вычисления объемов тел в цилиндрической и сферической системе координат используются формулы (6.3.6-6.3.8) с f(x,y,z)
· 1.

Пример 6.3.3. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415, где область интегрирования ограничена поверхностью 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Представим в сферических координатах уравнение границы объема: так как x2 +y2 +z2 = r, то S: (r2)2 = a2r2sin2
·cos
·sin
·. Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
Для подынтегральной функции
13 EMBED Equation.3 1415
Объем расположен симметрично координатной плоскости OXY в I, V и III, VII октантах, причем в каждой из симметричных частей объема 0
·
·
·
·/2; 0
·
·
·
·/2:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Тема 6.4. Криволинейные интегралы

6.4.1. Криволинейные интегралы первого рода

Литература: [3, №№3770 – 3783, 3784 – 3789, 3792 - 3797; 5, гл. 3, §§ 3.1 – 3.2; 6, гл.4, §1; 20, гл. 2, § 5].
Пусть спрямляемая кривая Г задана уравнением
r = r(s), 0
· s
· S, (6.4.1)
где s - переменная длина дуги этой кривой. Тогда, если на кривой Г определена функция F, то число 13 EMBED Equation.3 1415 называют криволинейным интегралом первого рода (по дуге) от функции по кривой Г и обозначают
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.2)
Интеграл (6.4.2) существует, если функция F непрерывна на кривой Г.

Свойства криволинейного интеграла первого рода

Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривой:
Если кривая Г есть объединение конечного числа кривых Г1,,Гn, а функция F непрерывна на Г, то
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.3)
Если гладкая кривая Г задана уравнением
r = r(t),
·
· t
·
·, (6.4.4)
а функция F непрерывна на Г, то
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.5)
Если гладкая плоская кривая Г задана уравнением
y = f(x), a
· t
· b, (6.4.6)

то
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.7)

Аналогично, если гладкая плоская кривая Г задана уравнением x =
·(y), c
· y
· d то
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.8)

Пример 6.4.1. Вычислить криволинейный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415, где Г – граница треугольника (рис. 6.4.1) с вершинами О(0;0), А(1;0), В(1;1).














Решение. Пусть I1, I2, I3 - криволинейные интегралы от функции по отрезкам АВ, ВО, ОА соответственно. Так как отрезок АВ задается уравнением x = 1, 0
· y
· 1, то по формуле (6.4.8) получаем
13 EMBED Equation.3 1415
Отрезки ОВ и ОА задаются, соответственно, уравнениями
y = x, 0
· y
· 1, y = 0, 0
· x
· 1.
По формуле (6.4.7) находим
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, I = I1 + I2 +I3 = 2 +
·2.

6.4.2. Криволинейные интегралы второго рода

Литература: [3, №№3806 – 3821, 3861 – 3868; 5, гл. 3, § 3.3; 6, гл.4, §2; 20, гл. 2, § 5].
Пусть гладкая ориентированная кривая Г задана уравнением (6.4.1). Тогда
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.9)
- единичный вектор касательной к этой кривой. Здесь
·,
·,
· - углы, образованные касательной с координатными осями OX, OY, OZ соответственно.
Если на кривой Г определена вектор-функция F = (P; Q; R), такая, что для скалярной функции F
· = (F,
·) = Pcos
· + Qcos
· + Rcos
· существует
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.10)
то данный интеграл называют криволинейным интегралом второго рода (по координатам) от функции F по кривой Г и обозначают 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, по определению
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.11)

Свойства криволинейных интегралов второго рода

При изменении ориентации кривой на противоположную криволинейный интеграл второго рода изменяет знак.
Если гладкая кривая Г задана уравнением (6.4.4.), а вектор-функция F=(P;Q;R) непрерывна на Г, то
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415(6.4.12)
В случае, когда Г – плоская гладкая кривая, заданная уравнением (6.4.6), из формулы (6.4.11) следует:
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.13)
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.14)

Пример 6.4.2. Вычислить криволинейный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 по кривой Г с начала в т.О(0;0) и концом в т.А(1;1), если (рис. 6.4.2): 1) Г – отрезок ОА; 2) Г – дуга параболы y = x2; 3) Г – дуга окружности радиусом 1 и с центром в точке (1;0).











Так как отрезок ОА задается уравнением y = x, 0
· y
· 1, то, пользуясь формулами (6.4.13) и (6.4.14), находим:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. Если Г – дуга параболы, то 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Так как уравнение дуги окружности записывается в виде x = 1 + cost, y = sint, где t є [
·;
·/2], то по формуле (6.4.12) получаем
13 EMBED Equation.3 1415

6.4.3. Формула Грина

Литература: [3, №№3822 – 3830; 5, гл. 3, §§ 3.6 – 3.7; 6, гл.4, §3].
Пусть граница Г плоской ограниченной области G состоит из конечного набора кусочно-гладких кривых. Тогда, если функции P, Q, P’x, Q’y непрерывны на G*, справедлива формула Грина
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.15)
где контур Г ориентирован, так что при его обходе область G остается слева.

Пример 6.4.3. Вычислить с помощью формулы Грина криволинейный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415, где Г – окружность x2 + y2 = R2, пробегаемая против хода часовой стрелки.
Решение. При вычислении воспользуемся формулой (6.4.15), где
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415

6.4.4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Литература: [3, №№3831 – 3860; 6, гл. 4, §4].
Если функции P(x;y) и Q(x;y) непрерывны в плоской области G, то криволинейный интеграл
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.16)
не зависит от пути интегрирования Г тогда и только тогда, когда выражение P(x;y)dx + Q(x;y)dy является полным дифференциалом некоторой функции u=u(x;y), то есть в области G выполняется условие
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.17)
При этом
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.18)
Здесь
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.19)
где ГМоМ – некоторая кривая с началом в фиксированной точке М0(х0;у0) и концом в точке М(х;у), лежащей в области G.
Пусть функции P; Q; 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывны в плоской области G. Тогда для того, чтобы криволинейный интеграл (6.4.16) не зависел от пути интегрирования, необходимо, а в случае односвязности G и достаточно, чтобы в области выполнялось условие
13 EMBED Equation.3 1415 (6.4.20)

Пример 6.4.4. Показать, что криволинейный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415, где А(1;-2), В(2;3) не зависит от пути интегрирования, и вычислить этот интеграл.
Решение. Так как функции 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывны в R2 и выполняется условие (6.4.20), то интеграл не зависит от пути интегрирования и выражается формулой (6.4.18). Функцию u(x;y) можно найти по формуле (6.4.19), но в связи с тем, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом: (3x2 + y)dx + (x3 + x)dy = (3x2ydx + x3dy) + (ydy + xdy) = d(x3y) + d(xy) = d(x3y + xy) = dU, то интеграл вычисляется по формуле (6.4.18): I = u(B) – u(A) = 30 – (-4) = 34.

Тема 6.5. Элементы векторного анализа

6.5.1. Скалярные и векторные поля

Литература: [3, №№4401 – 4404; 6, гл. 6, §§ 1 – 2; 20, гл.2, §§ 1 - 6].
Пусть
· - область в трехмерном пространстве. Скалярным полем на
· называют числовую функцию u(M), заданную на точках Mє
·. Векторным полем на
· называют векторную функцию а(М), заданную на точках Mє
·.
Если в пространстве введена декартова система координат, то скалярное поле или векторное поле а(М) на
· становится функциями координат точек: u(x;y;z), a(x;y;z) = (ax(x;y;z); ay(x;y;z); az(x;y;z)).
При выборе другой декартовой системы координат меняются координаты точек М(x;y;z) на М(x;y;z).
Множество точек поля М, заданное уравнением u(x;y;z)=const, называется поверхностью уровня скалярного поля u.
Векторной, или силовой линией векторного поля а называют гладкую кривую, которая в каждой своей точке М касается вектора поля а(М). Если r=(x;y;z) - радиус-вектор переменной векторной линии поля a=(ax;ay;az), то
13 EMBED Equation.3 1415 (6.5.1)
- дифференциальное уравнение силовых (векторных) линий.
Пусть
· – плоская кусочно-глакая простая замкнутая кривая, нигде не касающаяся векторных линий поля а. Поверхность, образованную векторными линиями, пересекающими
·, называют векторной трубкой поля а.

6.5.2. Дифференциальные операции над векторными полями.
Оператор 13 EMBED Equation.3 1415

Литература: [3, №№3439 – 3448, 4405-4429; 5, §3.4; 6, гл.6, §§ 5 – 6; 20, гл.2, §§ 12, 13].
Векторный дифференциальный символ 13 EMBED Equation.3 1415 называют «набла» по обозначающей его букве, а также оператором Гамильтона. В декартовой системе координат
13 EMBED Equation.3 1415 (6.5.2)
Градиентом дифференцируемого на
· скалярного поля u в точке Mє
· называют вектор, обозначаемый grad u или 13 EMBED Equation.3 1415u и задаваемый в декартовой системе координат формулой
13 EMBED Equation.3 1415 (6.5.3)
где производные поля вычислены в точке М(x;y;z).
Для производной поля и в точке М(х; у; z) по направлению произвольного единичного вектора l существует формула
13 EMBED Equation.3 1415 (6.5.4)
Градиент поля в точке М направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через М, в сторону возрастания поля, и его модуль |gradu|
· |13 EMBED Equation.3 1415u| равен наибольшей производной по направлению в этой точке.
Дивергенцией, или расходимостью дифференцируемого на
· поля а в точке Mє
· называют число, обозначаемое div а или (13 EMBED Equation.3 1415,a) и задаваемое в декартовой системе координат формулой
13 EMBED Equation.3 1415 (6.5.3)
где а = (ах; ау; az) и производные вычислены в точке М(х; у; z).
Значение числовой функции div а в точках
· не зависит от выбора декартовой системы координат, то есть div a - скалярное поле на
·.
Ротором (вихрем, или ротацией) дифференцируемого на
·. векторного поля а в точке Mє
· называют вектор, обозначаемый rot а, или [13 EMBED Equation.3 1415,a] (иногда 13 EMBED Equation.3 1415 х а) и задаваемый формулой
13 EMBED Equation.3 1415 (6.5.6)

где а = (ах; ау; az) и производные вычисляются в точке М(х; у; z).
Значение векторной числовой функции rot а в точках
· не зависит от выбора декартовой системы координат одинаковой ориентации, но rot а меняет знак при смене ориентации системы координат.
Для записи rot а в декартовой системе координат используют такой же символический определитель, как и для векторного произведения векторов:
13 EMBED Equation.3 1415 (6.5.7)
Формулы (6.5.3), (6.5.5) и (6.5.6) определяют над скалярными и векторными полями три основные дифференциальные операции первого порядка - действие 13 EMBED Equation.3 1415 на скаляр и вектор. Для этих операций используются такие же обозначения, как и для произведения вектора на скаляр или вектор, и обладают эти операции такими же свойствами, как и эти произведения. Но последнее - с учетом, во-первых, невозможности перестановки символа 13 EMBED Equation.3 1415 с этим скаляром или вектором, на который он действует, и, во-вторых, дифференциального характера символа13 EMBED Equation.3 1415.
Операции (6.5.3), (6.5.5) и (6.5.6) - линейны.
Пусть скалярное поле и, а также векторные поля а и b дифференцируемы на
·, с - постоянный вектор, тогда:
div(ua) = (gradu,a) + udiva. (6.5.8)
div[a, b] = (b, rota) - (a, rotb). (6.5.9)
3. rot[c,a] = с diva - (c, grad)a. (6.5.10)
Символ 13 EMBED Equation.3 1415 может встречаться в выражениях не раз, создавая дифференциальные символы второго и более высоких порядков:
4. 13 EMBED Equation.3 1415 (6.5.11)
- оператор Лапласа.
Символ [13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415], как нетрудно проверить, нулевой, что естественно с точки зрения векторной алгебры. Поэтому:
rot gradu = [13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415Vu] = [13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415]u = 0. (6.5.12)
div rota = (13 EMBED Equation.3 1415,[13 EMBED Equation.3 1415,a]) = ([13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415]a) = 0. (6.5.13)

6.5.3. Циркуляция и поток векторного поля

Литература: [3, №№ 4405 - 4408, 4450 - 4453, 4458 - 4465; 5, §§ 3.12 -3.15; 6, гл 6, §§3-4; 20, гл. 2, §§7-11].
Пусть а - непрерывное векторное поле в области
·, Г - кусочно-гладкая ориентированная кривая в
·. Линейным интегралом от а по Г (работой силового поля) называется интеграл
13 EMBED Equation.3 1415 (6.5.14)
Если Г - замкнутая кривая, то этот интеграл называется циркуляцией поля а по Г.
Пусть S - кусочно-гладкая ориентированная поверхность
·, n - единичный вектор нормали к поверхности, задающий ее ориентацию, n = (cos
·; cos
·; cos
·). Потоком векторного поля а через поверхность S в направлении вектора нормали к поверхности n называется интеграл
13 EMBED Equation.3 1415 (6.5.15)

6.5.4. Интегральные теоремы

Литература: [3, №№ 4457 - 4465; 5, §§ 3.12 - 3.15; 6, гл 6, §§ 3 - 4; 20, гл.2,§§8-11].
Пусть u - непрерывное дифференцируемое скалярное поле в
·, Г- кусочно-гладкая ориентированная кривая в
·, с началом А и концом В. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415 (6.5.16)
Если кривая Г лежит на поверхности уровня поля u, то работа поля grad u вдоль Г равна нулю.
Пусть а - непрерывно дифференцируемое векторное поле в области
·, S - кусочно-гладкая ориентированная единичным вектором нормали n поверхность в
· с краем dS, ориентированным согласованно с ориентацией поверхности. Тогда имеет место теорема Стокса
13 EMBED Equation.3 1415 (6.5.17)
Таким образом, циркуляция поля а по краю поверхности S равна потоку ротора поля а через эту поверхность.
Пусть G - ограниченная область с кусочно-гладкой границей dG, ориентированной единичным вектором внешней нормали n. Тогда имеет место теорема Остроградского - Гаусса
13 EMBED Equation.3 1415 (6.5.18)

Пример 6.5.1. Найти поток поля а = іу + jz + кх через поверхность 13 EMBED Equation.3 1415, нормаль к которой направлена от начала координат.
Решение. Очевидно, div а = 0. Воспользуемся теоремой Остроградского - Гаусса.
Рассмотрим область G - криволинейный тетраэдр ОАВС (рис.6.5.1). Часть его границы, лежащей в плоскости Оху, обозначим S1, в плоскости Oyz -S2 и в плоскости Oxz - S3. Потоки поля через S, S1, S2, S3 (нормаль внешняя к G) обозначим соответственно П, П1, П2, П3.












По теореме Остроградского - Гаусса 13 EMBED Equation.3 1415, то есть П + П1 + П2 + П3 = 0, а П = -(П1 + П2 + П3).
Вычислим, например, П3. Здесь n =(0; -1; 0), a =j z + к х. За параметры на S3 - криволинейном треугольнике АОС - возьмем х и z. Дуга АС задается уравнением 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415. Находим
13 EMBED Equation.3 1415
Таковыми же являются П1 и П2. Следовательно, П = 3 r3/30 = r3/10.

Пример 6.5.2. Пусть
· - часть линии пересечения эллипсоида 13 EMBED Equation.3 1415 с цилиндром х2 + у2 =1, лежащая в замкнутой области х
· 0, у
· 0 и ориентированная по возрастанию ординат точек. Найти работу поля а = уi + + хj + zk:
вдоль
·;
вдоль
· і - части
·, лежащей в первом октанте.

Решение. Легко найти, что 13 EMBED Equation.3 1415 Воспользуемся формулой Стокса (6.5.17). Замкнем
· дугой
· * = АС, являющейся пересечением эллипсоида с плоскостью OYZ. Контур Г= АВСА - это граница части поверхности эллипсоида, вырезанной цилиндром. По формуле Стокса
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда
13 EMBED Equation.3 1415
Дугу
·* замкнем отрезком АС, направленным от А к С. Получившийся контур служит границей части плоскости Oyz. Ввиду того, что rot a = 0, как и выше, получим
13 EMBED Equation.3 1415
На отрезке АС а =уi + (
·3/2)к, dr = {0; dy; 0}, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда следует, что и
13 EMBED Equation.3 1415
1-й способ. Вычислим работу по
·* непосредственно, используя параметризацию
· *. Полагая х = cos
·, у = sin
·, 0
·
·
·
·/2, из уравнения эллипсоида имеем z = (
·3/2)sin
·. Тогда на
· *
a = sin
·i + cos
·j + (
·3/2)sin
·k,
dr = (-sin
·i + cos
·j + (
·3/2)cos
·k)d
·,

поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
2-й способ. Контур
·* взаимно-однозначно проектируется на ось OY. Опустим перпендикуляры из точек контура на эту ось. Они образуют гладкую поверхность, граница которой состоит, кроме
·*, еще из ломаной CDOB. Используя формулу Стокса (6.5.17) и тот факт, что rot а = 0, получаем
13 EMBED Equation.3 1415
На ОВ a = xj, dr = idx и (a, dr) = 0 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогично 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
На DC a = і + zk, dr = kdz, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, как и ранее, 13 EMBED Equation.3 1415

6.5.5. Потенциальные и соленоидальные поля

Все поля в этом пункте считаются непрерывно дифференцируемыми.
Поле а в
· называют безвихревым, если
rot а = 0 в
·.
Поле а в
· называют потенциальным, если существует на
· скалярное поле и такое, что
a = grad u. (6.5.19)
Функцию и называют потенциалом поля а.
Для потенциальности поля а в
· необходимо и достаточно, чтобы его циркуляция по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру равнялась нулю:
13 EMBED Equation.3 1415
Если это условие выполнено, то потенциал поля определяется интегрированием полного дифференциала по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (6.5.20)
где M0 - фиксированная точка
·, а интеграл вычисляется по любой кусочно-гладкой кривой, соединяющей М0 и М. Условие
rot a = 0 (6.5.21)
необходимо для потенциальности поля, но, вообще говоря, не достаточно.
Если область
· односвязная, то условие (6.5.21) достаточно для потенциальности поля. Говорят, что область
· односвязная, если любой принадлежащий ей кусочно-замкнутый контур можно стянуть в точку этой области так, чтобы во всех промежуточных положениях при стягивании контур будет оставаться в
· (в этом случае говорят, что любой замкнутый контур гомотопен точке). Например, всякая выпуклая область односвязная.
В односвязной области безвихревое поле - потенциальное.
Поле а в
· называют соленоидальным, если для любой области G13 EMBED Equation.3 1415
· с кусочно-гладкой границей 13 EMBED Equation.3 1415
· поток поля а через эту границу равен нулю, то есть
13 EMBED Equation.3 1415 (6.5.22)
где n - внешняя нормаль к 13 EMBED Equation.3 1415
·.
Для соленоидальности поля необходимо и достаточно, чтобы
div a = 0 в
· (6.5.23)
Векторное поле А называют векторным потенциалом поля а, если а = rot A.
Условие (6.5.23) необходимо, но, вообще говоря, не достаточно для существования векторного потенциала.
Любое гладкое поле а в
· является суммой потенциального и соленои-дального полей (теорема Гельмгольца).
Потенциальное соленоидальное поле называется гармоническим (теорема Лапласа). В односвязной области
· поле а, у которого
rot a = 0, div a = 0,
гармонично.

Раздел 7. Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье.
Интеграл Фурье

Тема 7.1. Числовые ряды. Ряды с положительными членами. Ряды с членами любого знака. Знакочередующиеся ряды

Учебники: [16, гл. 3, § 2, п. 6, гл. 17, § 1, пп. 1,2].
Аудиторная работа: [3, №№ 2737, 2739, 2749, 2755, 2756, 2762, 2764, 2766, 2768, 2769, 2792, 2794, 2997], [7, кн. 2, §§ 1 - 3, Ms 38, 40, 41, 42, 44, 45, 51, 54, 55, 59, 61, 65, 70, 74, 77, 81, 84, 87, 89, 91], [20, ч. 2, гл. 12, § 1, №№ 12.19, 12.21, 12.23, 12.26, 12.31, 12.32, 12.36, 12.40, 12.43, 12.49, 12.51, 12.25, 12.90, 12.91, 12.95, 12.104], [34, гл. 3.1, №№ 2.1, 2.4, 3.10 - 3.14, 4.1 -4.4, 5.1 - 5.4, 7.4, 7.5, 7.7, 7.22].
Самостоятельная работа: [3, №№ 2738, 2741, 2745, 2750, 2753, 2758, 2761, 2763, 2765, 2767, 2770, 2790, 2791, 2793, 2795, 2798], [7, кн. 2, §§ 1 - 3, №№ 39, 46 - 48, 50, 53, 57, 63, 64, 68, 71, 73, 75, 78, 82, 88, 92], [20, ч. 2, гл. 12, § 1, №№ 12.22, 12.24, 12.27, 12.34, 12.35, 12.41, 12.42, 12.50, 12.55, 12.60, 12.92, 12.93, 12.99, 12.102], [34, гл. 3.1, №№ 1.2, 1.11,2.5-2.6,3.15-3.20,4.5 -4.8, 5.5-5.8, 6.11, 6.13, 6.17, 7.1, 7.3, 7.8, 7.15, 7.18, 7.20].

Числовым рядом называется выражение
13 EMBED Equation.3 1415 (7.1.1)
где числа аn, n = 1,2,... - члены ряда.
Выражение Sn = a1 + а2 +... + аn называется частичной суммой ряда (7.1.1), а сам ряд называется сходящимся, если существует 13 EMBED Equation.3 1415. Число S называется суммой ряда.
Среди достаточных признаков сходимости рядов с положительными членами наиболее распространенные признаки сравнения (общий и предельный), признак Даламбера, признаки Копій (радикальный и интегральный).
Следует отметить, что сравнение рядов, которые исследуются на сходимость, как правило, производится при помощи рядов:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 (геометрическая прогрессия, которая сходится при |q|<1 и расходится при |q|
· 1);
б) 13 EMBED Equation.3 1415 (расходящийся гармонический ряд);
в) 13 EMBED Equation.3 1415 (обобщенный гармонический ряд, который сходится при р > 1 и расходится при р
· 1).
При применении признаков Даламбера и радикального Коши вычисляются пределы: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Если хотя бы один из пределов равен единице, то и второй будет равен единице. Таким образом, если признак Даламбера (радикальный признак Коши) не дает ответа на вопрос о сходимости ряда, то и радикальный признак Коши (признак Даламбера) применять не имеет смысла.
Среди признаков сравнения, Даламбера, радикального и интегрального Коши наиболее эффективным является интегральный признак Коши. Поэтому, если другие признаки не позволяют решить вопрос о сходимости или расходимости числового ряда с положительными членами, то следует применить интегральный признак Коши.

Пример 7.1.1. Исследовать на сходимость ряд 13 EMBED Equation.3 1415, используя:
признак Даламбера;
интегральный признак Коши.
1) По условию 13 EMBED Equation.3 1415, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 и признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
2) Члены аn ряда, заданного по условию, положительны и убывают. Поэтому вместо ряда можно исследовать на сходимость несобственный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Несобственный интеграл расходится, следовательно, и предложенный ряд расходится.
Если ряд (7.1.1) имеет произвольные члены аn>0 или аn<0, n = 1,2,..., то для исследования вопроса о сходимости применяют утверждение: если 13 EMBED Equation.3 1415, то ряд с членами произвольного знака сходится. В этом случае ряд называется абсолютно сходящимся. Для знакочередующихся рядов
13 EMBED Equation.3 1415 (7.1.2)
при выяснении вопроса о сходимости применяется достаточный признак сходимости Лейбница, а именно: если для ряда (7.1.2) 13 EMBED Equation.3 1415 и an > an+1, n
· 1, торяд сходится.
Этот признак не гарантирует абсолютную сходимость. Если абсолютной сходимости нет, а признак Лейбница выполняется, то ряд (7.1.2) называется условно сходящимся.

Пример 7.1.2. Исследовать на сходимость числовой ряд
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Приведенный ряд - это знакочередующийся числовой ряд (7.1.2), для которого 13 EMBED Equation.3 1415. Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость по признаку Даламбера
13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому ряд сходится абсолютно и, следовательно, условно.

Пример 7.1.3. Исследовать на сходимость числовой ряд
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Ряд вида (7.1.2), 13 EMBED Equation.3 1415. Абсолютная сходимость отсутствует, т. к. ряд с общим членом 13 EMBED Equation.3 1415 является обобщенным гармоническим рядом с параметром р = 2/3 < 1, т. е. расходящимся рядом.
Проверим условную сходимость по признаку Лейбница:
13 EMBED Equation.3 1415.
По признаку Лейбница ряд сходится.
Замечание. Если не выполняется необходимое условие сходимости ряда 13 EMBED Equation.3 1415, то дальнейшие исследования проводить не нужно, т. к. ряд расходится.

Пример 7.1.4. Исследовать на сходимость ряд 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Проверим необходимое условие сходимости:
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Необходимое условие сходимости ряда не выполняется, поэтому ряд расходится.

Вопросы для самопроверки

Объясните различие между необходимым и достаточным признаками сходимости ряда.
Сформулируйте и докажите достаточные признаки сходимости числовых рядов.
Как произвести оценку остатка ряда:
а) с положительными членами;
б) с чередующимися по знаку членами?
Приведите пример условно сходящегося ряда.
Докажите признак Лейбница.

Тема 7.2. Функциональные ряды. Приложения рядов к приближенным вычислениям. Приближенное решение дифференциальных уравнений.

Учебники: [16, гл. 17, §§ 2.7 - 2.9, 3.10 - 3.13].
Аудиторная работа: [3, №№ 2802, 2805, 2810, 2817, 2820, 2825, 2855, 2860, 2863, 2878, 2882, 2886, 2898, 2827, 2829, 2903, 2931, 2937], [7, кн. 2, гл. 4, §§ 5 - 7, №№ 106, 11, 115, 118, 122, 123, 128, 130, 138, 141, 142, 151, 155, 158, 171, 175, 192, 195, 205, 208, 211, 214], [20, ч. 2, гл. 12, §§2-4, №№ 12.145, 12.146, 12.169, 12.172, 12.190, 12.214, 12.264, 12.295, 12.297, 12.327, 12.329], [34, гл. 3.2, №№ 1.2, 1.15, 2.1, 2.14, 3.14, 3.16, 4.2, 4.14, 5.11, 5.14, 6.10, 8.1, 8.12, 9.1, 11.12, 12.3, 12.11, 13.2,13.12].
Самостоятельная работа: [3, №№ 2803, 2806, 2812, 2814, 2818, 2819, 2828, 2834, 2856, 2857, 2859, 2864, 2879, 2880, 2883, 2889, 2900, 2901, 2921, 2933, 2935], [7, кн. 2, гл. 4, §§5-7, №№ Ю8, 111, 114, 116, 121, 124, 129, 131, 133, 137, 140, 141, 147, 150, 154, 159, 172, 175, 194, 196, 201, 206, 207, 210, 212, 216], [20, ч. 2, гл. 12, § 2 - 4, №№ 12.147, 12.149 (z заменить на S), 12.168, 12.174, 12.176, 12.183, 12.191, 12.198, 12.215, 12.225, 12.233, 12.265, 12.266, 12.296, 12.300, 12.326, 12.328], [34, гл. 2, 3.2, № №1.1, 1.3, 1.7, 1.20, 2.2, 2.7, 2.11, 2.23, 3.1, 3.6, 3.21, 4.1, 4.4, 4.8, 4.15, 4.21, 5.20, 5.22, 5.24, 6.4, 6.22, 8.2, 8.4, 8.18, 9.2, 9.6, 11.9, 11.18, 12.4, 12.11, 13.4, 13.20, 13.21].
Функциональным рядом 13 EMBED Equation.3 1415 называется ряд, каждый член которого un(х) есть функция от х. При фиксированном значении х = х0 функциональный ряд становится числовым рядом. Множество всех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости. Область сходимости функционального ряда, как правило, находят по известным признакам сходимости (Даламбера, радикальный Коши), считая значение х фиксированным.

Пример 7.2.1. Найти область сходимости функционального ряда
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Выпишем общий член ряда 13 EMBED Equation.3 1415 и применим радикальный признак Коши
13 EMBED Equation.3 1415.
Ряд сходится, если 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 3х<1. Из последнего неравенства вытекает условие х < 0. Таким образом, исходный ряд сходится при х<0, расходится (|q(x)|>1) при х>0. При х=0 необходимо провести дополнительное исследование на сходимость соответствующего числового ряда, т. к. радикальный признак Копій не дает ответа на вопрос, сходится ряд или расходится 13 EMBED Equation.3 1415.
Подставим в исходный ряд 13 EMBED Equation.3 1415- расходящийся ряд, т. к. 13 EMBED Equation.3 1415 (не выполняется необходимый признак сходимости). Итак, ряд сходится при х < 0.





Решение. Разложение функции sinх в ряд в окрестности 0 имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Исходя из этого разложения, находим
13 EMBED Equation.3 1415
Полученный знакочередующийся ряд является рядом, рассматриваемым в признаке Лейбница (7.1.2), а остаток этого ряда не превосходит по абсолютной величине первого отброшенного члена 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 7.2.4. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 10-3.
Решение. Воспользуемся разложением 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Подставляя полученное выражение в интеграл, вычисляем
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом,
13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 7.2.5. Найти сумму ряда 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Прежде всего выясним, при каких значениях х ряд, сходится к функции S(x). По формуле (7.2.1) находим 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, |х-2|<1, -1<х-2<1, 1<х<3. Проведем исследование на сходимость на границе области сходимости (|х-2| = 1, х1 = -1, х2 = 3).
13 EMBED Equation.3 1415 (ряд типа (7.1.2) сходится);

13 EMBED Equation.3 1415 (гармонический ряд расходится).
Областью сходимости исходного ряда является множество значений хє[1,3).
Продифференцируем исходный ряд, используя теорему о почленном дифференцировании равномерно сходящихся рядов
13 EMBED Equation.3 1415
Откуда находим 13 EMBED Equation.3 1415.
Константу интегрирования С определим из условия S(2) = 0, а именно: 0=-lnl+С, откуда получаем С = 0.
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 7.2.6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = у(х) дифференциального уравнения у' = sinx + у2, удовлетворяющего начальному условию у(0) = 1 (задача Коши).
Решение. Будем искать решение в виде
13 EMBED Equation.3 1415
Используя условие у(0)=1, почленным дифференцированием исходного уравнения, находим
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415.

Вопросы для самопроверки

Дайте определение равномерной сходимости ряда.
Сформулируйте и докажите признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
Выведите формулу для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.
Сформулируйте теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов.
Выведите формулу Эйлера.
Изложите методы, применяемые для приближенного вычисления определенных интегралов, решения дифференциальных уравнений.

Тема 7.3. Ряды Фурье

Учебники: [16, гл. 17, § 4.20 - 4.27], [19, гл. 1, § 1 - 2, 4 - 6], [28, гл. 1, §1.1-1.14].
Аудиторная работа: [3, №№4367,4372,4373,4376,4391], [7, кн. 2, гл. 4, § 9.1 - 9.3, № 264, 266 (а), 267 (а), 268 (а), 269], [20, ч.2, гл. 12, § 7.1, № 12.480, 12.482, 12.487, 12.495, 12.497, 12.502], [31, № 1, 2, 4, 25, 55, 75, 87, 96, 121,133, 140, 147, 161, 162, 189].
Самостоятельная работа: [3, №№4368, 4370, 4379, 4375, 4377, 4382, 4392], [7, кн. 2, гл. 4, § 9.1 - 9.3, № 265, 266 (б), 268 (б), 270, 271], [20, ч.2, гл. 12, § 7.1, № 12.481, 12.484, 12.488, 12.493, 12.498], [31, № 7, 21, 29, 33, 42, 56, 57, 80, 90, 98, 124, 134, 142, 154, 162, 168, 185, 190].
Значение тригонометрических рядов проявляется в приложениях при решении задач математической физики (колебание струны, распространение тепла), в электротехнике, метрологии и в других науках. Чаще всего тригонометрические ряды используются при изучении периодических процессов, поэтому важно освоить технику разложения функций периода 2л, 21.
Рядом Фурье функции f(x), хє(-
·,
·) называется ряд вида
13 EMBED Equation.3 1415, (7.3.1)
где коэффициенты аn, bn, вычисляются по формулам
13 EMBED Equation.3 1415. (7.3.2)
Если функция f(x) задана на промежутке (-l,l), то ряд Фурье этой функции записывается в виде
13 EMBED Equation.3 1415, (7.3.3)

а коэффициенты аn и bn вычисляются по формулам
13 EMBED Equation.3 1415 (7.3.4)

Пример 7.3.1. В промежутке хє(-2,2) разложить в ряд Фурье функцию f(x)=1/2 x + 3. Построить график суммы ряда.
Решение. Разложение (7.3.3) имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415 , т. к. 2l = 4, l = 2, а коэффициенты аn и bn вычисляем по формулам 7.3.4( 1 = 2):
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415, а график суммы ряда изображен на рис. 7.3.1.











Пример 7.3.2. Функцию f(x) = e-х, хє(0,l) разложить в ряд Фурье по синусам. Построить график суммы ряда.
Решение. В промежутке (-1,0) функцию f(x) продолжим нечетным образом (ряд Фурье по синусам).
Ряд Фурье будет иметь вид 13 EMBED Equation.3 1415, т. к. l = 1, аn = 0,
13 EMBED Equation.3 1415
т.к. f(x) на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 - нечетная функция.
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415 откуда 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Подставляя значение bn в ряд, получим
13 EMBED Equation.3 1415.
.
График суммы ряда изображен на рис. 7.3.2.

Вопросы для самопроверки

Сформулируйте условия Дирихле и теорему Дирихле.
В чем состоит особенность разложения в ряд Фурье четных и нечетных функций?
Выведите формулу для коэффициентов Фурье.
Приведите пример ортогональной системы функций на промежутке (-к,к).
Запишите ряд Фурье в комплексной форме.
6 Запишите равенство Парсеваля для функций, заданных на промежутке
(-7EJC).

Тема 7.4. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

Учебники: [16, гл. 17, §§ 5.32 - 5.34], [19, гл. 1, §§ 9 - 11], [28, гл. 2].
Аудиторная работа: [7, гл. 4, § 9.4, №№ 272, 276, 280, 282 (а)], [20, ч. 2, гл. 12, §§ 7.3 - 7.4, №№ 12. 513, 12.520], [31, №№ 191, 198, 213, 216, 221, 232, 244].
Самостоятельная работа: [7, гл. 4, § 9.4, №№ 273 - 275, 277, 282 (б)], [20, ч. 2, гл. 12, §§ 7.3 - 7.4, №№ 12. 514, 12.515], [31, №№ 195, 196, 214, 218, 224, 225, 228, 235, 242].
Функция f(x), абсолютно интегрируемая на всей вещественной оси 13 EMBED Equation.3 1415 и кусочно-непрерывная на каждом конечном отрезке этой оси, может быть представлена в виде интеграла Фурье
13 EMBED Equation.3 1415, (7.4.1)
где
13 EMBED Equation.3 1415. (7.4.2)
В случае четной функции (f(-х) = f(х))
13 EMBED Equation.3 1415, (7.4.3)
а в случае нечетной функции (f(-х) = -f(x))
13 EMBED Equation.3 1415 , (7.4.4)

Пример 7.4.1. Представить функцию 13 EMBED Equation.3 1415интегралом Фурье, продолжив ее на отрицательную полуось четным образом.
Решение. График функции изображен на рис. 7.4.1.













Продолжение на отрицательную полуось функции f(x) проведено четным образом, поэтому, воспользуясь формулой (7.4.3) (B(z) = 0), получим
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415.
Если задана функция f(x), то функцию
13 EMBED Equation.3 1415 (7.4.5)
называют преобразованием Фурье функции f(x), а обратное преобразование Фурье имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415 (7.4.6)
Для четных функций имеет место косинус-преобразование Фурье
13 EMBED Equation.3 1415 (7.4.7)
и обратное косинус-преобразование Фурье
13 EMBED Equation.3 1415. (7.4.8)
Для нечетных функций записывается синус-преобразование Фурье
13 EMBED Equation.3 1415 (7.4.9)
и обратное синус-преобразование Фурье
13 EMBED Equation.3 1415. (7.4.10)
Пример 7.4.2. Найти преобразование Фурье функции
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. По формуле (7.4.5) находим
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 7.4.3. Решить интегральное уравнение
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
Решением интегрального уравнения будет синус-преобразование Фурье (7.4.9) функции 13 EMBED Equation.3 1415, а именно:
13 EMBED Equation.3 1415
Замечание. В ряде учебников [16, 19] преобразование Фурье (7.4.5) записывают в виде 13 EMBED Equation.3 1415, тогда обратное преобразование Фурье (7.4.6) имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415.

Вопросы для самопроверки

Приведите различные формы записи преобразования Фурье.
В чем состоит различие между представлениями функций в виде ряда и в виде интеграла Фурье?
Сформулируйте основные свойства преобразования Фурье.
После изучения тем раздела 7 студент должен выполнить задания № 3 контрольной работы № 4.

Дополнение 7.1. Образец выполнения и оформления
контрольной работы №4
«Кратные интегралы. Ряды Фурье»

Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования:
13 EMBED Equation.3 1415

















Решение. Изобразим на чертеже (рис. Д.7.1) линии x = y2 -1 и x = 5 - y (или y2 = x + 1, x + y = 5). Первая – представляет собой параболу с вершиной (-1,0), ветви направлены вправо вдоль оси ОХ. Решая систему
13 EMBED Equation.3 1415
находим координаты точек пересечения: А(3,2), (8,-3).
Для изменения порядка интегрирования область D следует «разрезать» на две части D1 и D2 (D1 соответствует x є [-1,3]), поскольку в D1 и D2 при фиксированном x = const линия входа будет одна и та же 13 EMBED Equation.3 1415, а линии выхода – разные: 13 EMBED Equation.3 1415 при x<3 и y = 5 - x при x>3. Имеем
13 EMBED Equation.3 1415
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: z = x2 + y2 и z = 4x. Тело (G) ограничено параболоидом вращения и наклонной плоскостью, проходящей через его вершину,
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Исключая z из системы 13 EMBED Equation.3 1415 получим x2+y2=4x.
На плоскости XOY это уравнение задает окружность, центр которой смещен на две единицы вправо по оси ОХ. Ограниченный этой окружностью круг представляет собой проекцию (G) на XOY. Вычисление удобнее проводить в цилиндрических координатах
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение линии x2+y2=4x преобразуем к виду
·2 = 4
·cos
·, или
· = 4cos
·. Из условия
·
· 0 видно, что
·
· 0, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Для того, чтобы лучше представить себе пределы интегрирования по z, целесообразно сделать рисунок.
13 EMBED Equation.3 1415
Здесь пределы по
· взяты из 13 EMBED Equation.3 1415, по
· - от входа
·=0 до
· из уравнения окружности,
13 EMBED Equation.3 1415

Имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: V = 8
· (ед3).

3. Найти площадь части сферы x2 + y2 + z2 = 9, вырезанной цилиндром x2 + y2 = 3y.
Решение. Прежде всего, обратим внимание на то, что поверхность состоит из двух частей, симметричных относительно плоскости z = 0. Достаточно найти площадь части 13 EMBED Equation.3 1415, а ответ умножить на 2.
13 EMBED Equation.3 1415
где D - проекция части сферы на плоскость XOY. В нашем случае D представляет собой круг, ограниченный линией x2 + y2 = 3y. Поскольку из уравнения верхней части сферы 13 EMBED Equation.3 1415 имеем
13 EMBED Equation.3 1415
площадь будет равна
13 EMBED Equation.3 1415
Этот интеграл проще вычисляется в полярных координатах. Запишем уравнение кривой x2 + y2 = 3y: x =
·cos
·, y =
·sin
·,
·2 = 3
·sin
·, или
· = 3sin
·.
Заметим, что
·
· 0, поэтому sin
·
· 0,
·є[0;
·].
Для упрощения вычислений обратим внимание на симметрию линии
· = 3sin
· относительно вертикальной оси.
13 EMBED Equation.3 1415

Осталось домножить ответ на 2.
S = 2S1 = 18(
·-2) (ед2).
Ответ: 18(
·-2)ед2.

4. Найти производную скалярного поля 13 EMBED Equation.3 1415 в точке М0(2;1;1) по направлению прямой 13 EMBED Equation.3 1415 в сторону возрастания поля.
Решение. Найдем 13 EMBED Equation.3 1415 по формуле 13 EMBED Equation.3 1415, где градиент скалярного поля
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - единичный вектор направления (1;0;2), т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

5. Найти векторную линию поля 13 EMBED Equation.3 1415, которая проходит через точку (3;0;0).
Векторная линия поля 13 EMBED Equation.3 1415 – это линия, в каждой точке которой касательная имеет направление поля 13 EMBED Equation.3 1415. Векторные линии определяются из системы дифференциальных уравнений.
13 EMBED Equation.3 1415
В нашем случае 13 EMBED Equation.3 1415 Разделив переменные, имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
x2 = -y2 + c12, x2 + y2 = c12.
Для того, чтобы решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, удобнее уравнение x2 + y2 = c12 преобразовать к виду x = c1cost, y =c1sint.
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение векторных линий13 EMBED Equation.3 1415.

Точка (3;0;0) соответствует значению t = 0, тогда c1 = 3, c2 =0.
Ответ. x = 3cost, y =3sint, z = 2t.

6. Найти поток векторного поля 13 EMBED Equation.3 1415 через часть боковой поверхности конуса z2 = x2 + y2, ограниченную плоскостями .
Решение. Первый способ. Поток можно найти непосредственно из определения в виде интеграла по площади поверхности: 13 EMBED Equation.3 1415
1) Находим единичный вектор нормали 13 EMBED Equation.3 1415 к поверхности z2 = x2 + y2 или x2 + y2 - z2 = 0(f(x,y,z) = 0).
13 EMBED Equation.3 1415
2) Находим 13 EMBED Equation.3 1415.

3) Выразим z из уравнения конуса (для z
·0) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 находим d
·:
13 EMBED Equation.3 1415
4) Обозначим через D проекцию S на OXY. Поскольку z=1 ограничивает поверхность z2 = x2 + y2, то D будет ограничена окружностью x2 + y2 = 1.
13 EMBED Equation.3 1415
Здесь следует выразить z из уравнения поверхности 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Переходим к полярным координатам:
13 EMBED Equation.3 1415
Второй способ. Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса
13 EMBED Equation.3 1415
Искомый поток 13 EMBED Equation.3 1415найдем как разность потоков 13 EMBED Equation.3 1415 через замкнутую поверхность 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 потока через «крышку», т.е. через часть плоскости z=1.
13 EMBED Equation.3 1415
Находим 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415. Удобно перейти к цилиндрическим координатам x =
·cos
·, y =
·sin
·, z = z. Пределы интегрирования
·є[0;2
·],
·є[0;1] (см. проекцию конуса на XOY), 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. zє[
·;1].
13 EMBED Equation.3 1415
2) Найдем поток через «крышку» z=1, у которой вектором нормали является 13 EMBED Equation.3 1415, а d
· = dxdy. Найдем 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3) Находим 13 EMBED Equation.3 1415.
Как видно, ответы совпадают при двух способах вычисления.
Ответ: -
·/3.

7. Убедимся в том, что поле потенциально и найти его потенциал.
Решение. Находим
13 EMBED Equation.3 1415
при всех x, y, z . Следовательно, поле 13 EMBED Equation.3 1415 - безвихревое.
Задача нахождения потенциала u поля 13 EMBED Equation.3 1415 (т.е. 13 EMBED Equation.3 1415) равносильна задаче восстановления функции u(x, y, z) по ее полному дифференциалу 13 EMBED Equation.3 1415. В силу того, что 13 EMBED Equation.3 1415 - безвихревое, интеграл не зависит от пути интегрирования, поэтому в качестве пути удобно взять ломаную
13 EMBED Equation.3 1415
где L1 - отрезок, соединяющий (0;0;0) и (х;0;0) (здесь dy=0, dz=0, y=0, z=0),
L2 - соединяет (х;0;0) и (х;у;0) (здесь dx=0, dz=0, z=0) и, наконец, L3 соединяет (х;0;0) и (х;у;z) (здесь dx=0, dy=0). Имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
Потенциал поля определен с точностью до константы:
u(x,y,z)=-x+x3y2z+C.
8. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

Решение.
а) Общий член ряда имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415 (см. формулу (7.1.1)).
Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415 , а ряд 13 EMBED Equation.3 1415 сходится, то по признаку сравнения исходный ряд также сходится.
б) Предложенный ряд – это знакочередующийся ряд (7.1.2), для которого
13 EMBED Equation.3 1415
Исследуем ряд на абсолютную сходимость, используя предельный признак сравнения.
13 EMBED Equation.3 1415; ряд 13 EMBED Equation.3 1415 – расходится (гармоничный ряд), 13 EMBED Equation.3 1415. Ряды 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415ведут себя одинаково. Следовательно, ряд 13 EMBED Equation.3 1415 расходится и абсолютной сходимости нет.
Условную сходимость проверим по признаку Лейбница:
13 EMBED Equation.3 1415
т.е. члены ряда образуют убывающую последовательность. Поэтому по признаку Лейбница ряд 13 EMBED Equation.3 1415 условно сходится.

9. Определить область сходимости функционального ряда 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Данный ряд – степенной ряд. Радиус сходимости находим по формуле (7.2.1):
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, ряд сходится, если |x-4| < 2 или -2 Проверим сходимость в граничных точках интервала сходимости:
13 EMBED Equation.3 1415
- ряд абсолютно сходится;
13 EMBED Equation.3 1415
- ряд абсолютно сходится.
Ответ: функциональный ряд сходится при всех значениях xє[2;6].

10. Найти сумму ряда 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение. Обозначим сумму исходного ряда S(x). Прежде всего необходимо найти область сходимости исходного ряда. Предложенный ряд – это степенной ряд, радиус сходимости R=1 (см. решение примера 9). Поэтому |x|<1 (при х =±1 ряд расходится). Таким образом, сумма исходного ряда может быть найдена лишь при значениях хє(-1;1).
Преобразуем исходный ряд к виду
13 EMBED Equation.3 1415
Последний ряд просуммирован сразу, т.к. является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом b1 = 1 и знаменателем прогрессии q(x)=x, |q(x)|<1.
Вычислим S2(x), предварительно проинтегрировав соответствующий ряд 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим S1(x), предварительно дважды проинтегрировав ряд
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Откуда
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415

11. Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до
·=10-3.
Решение. Задача, аналогичная данной, рассмотрена в примере 7.2.4 (см.тему 7.2). Оценку остатка ряда (остаточный член) следует производить по формуле 13 EMBED Equation.3 1415, т.к. в данном случае будет получен числовой ряд с положительными членами.

12. Функцию 13 EMBED Equation.3 1415 разложить в ряд Фурье по косинусам. Построить график суммы ряда.
Решение. В промежутке [-2,0) продолжим функцию f(x) четным образом. Ряд Фурье будет иметь вид
13 EMBED Equation.3 1415
т.к. l = 2 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415.
График суммы ряда имеет вид (рис. Д.7.1).

13. Найти косинус-преобразование Фурье функции 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Функцию f(x) продолжим на отрицательную полуось четным образом и косинус-преобразование Фурье будем искать для функции
13 EMBED Equation.3 1415
По формуле (7.4.7) находим
13 EMBED Equation.3 1415

14. Найти первые три отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение дифференциального уравнения ищем в идее
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом,

13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415


Список использованной и рекомендуемой литературы

Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М.: Наука, 1985.
Беклемишева Л. А., Петрович Ю. А., Чубаров И. А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. - М.: Наука, 1987.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1972.
Бугров Я. С, Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1980.
Бугров Я. С, Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1981.
Будак В. М., Фомин С. В. Кратные интегралы и ряды. М., 1967.
Вища математика. Основні означення, приклади і задачі: Навч. посібник / Кулініч Г. Л., Максименко В. В. та ін. В 2 кн. - К.: Либідь, 1994.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч. М., 1980.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2 ч. - М.: Наука, 1982.
Ю.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1982.
Н.Каплан И. А. Практические занятия по высшей математике. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1965.
12.Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. - М.: . Наука, 1978.
13.Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнением. - М.: Высш. шк., 1978.
14.Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. - М.: Наука, 1965.
15.Минорский В. Д. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука, 1987.
Іб.Мьішкис А. Д. Лекции по высшей математике. - М.: Наука, 1973.
П.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. В 2 т. -М.: Наука, 1968.
18.Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1984.
19.Романовский П. И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа. - М.: Наука, 1980.
20.Сборник задач по математике: В 4 ч. /Под ред. А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича-М.: Наука, 1981. Ч. 1 -2.
21.Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. -М.: Наука, 1966.
22.Эльсгольц Л. Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1961.
Учебно - методические пособия кафедры высшей математики
I. Аналитическая геометрия и линейная алгебра

23.Головченко О.В., Кошовий Г.І., Найда Л.С. Векторна алгебра та її застосування: Навч. посібник. - Харків: Держ. аерокосмічний ун-т " Харк. авіац. ін-т", 1999.
24.Головченко О.В., Кошовий Г.І., Найда Л.С. Аналітична геометрія: Навч. посібник. - Харків: Нац. аерокосмічний ун-т " Харк. авіац. ін-т", 2000.
25.Найда Л. С, Рвачев В. А , Колодяжный В. М. Элементы линейной алгебры и теории матриц: Учеб. пособие. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1981.
26.Найда Л. С, Рвачев В. А , Колодяжный В. М. Линейные операторы и квадратичные формы: Учеб. пособие. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1982.
27.Ніколаєв О.Г. Аналітична геометрія та лінійна алгебра: Навч. посібник. -Харків: Основа, 2000.
28.Робочий зошит з лінійної алгебри та аналітичної геометрії. - Харків: Харк. авіац. ін-т, 1997.

П. Математический анализ

29.Желдакова Л. В., Ушакова Е. Г. Приложение дифференциального исчисления к некоторым задачам физики и механики: Учеб. пособие. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1987.
30.Желдакова Л. В., Ушакова Е. Г. Дифференциальные уравнения. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1991.
ЗІ.Забара С. И., Крашаница Ю. А. Элементы гармонического анализа: Учеб. пособие - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1981.
32.Искусство вычисления интегралов: Метод. указания/Сост. С.Ф.Мещеряков - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1989.
33.Кошевой Г. И., Николаев А. Г. Дифференциальное и интегральное исчисление. Примеры и задачи: Учеб. пособие. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1991.
34.Кошевой Г. И., Старец Г. А. Числовые и функциональные ряды. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1988.
35.Краснов В. П., Крашаниця Ю. О., Щербакова Ю. А. Задачі та вправи з курсу вищої математики. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1994.
36.Лекции по высшей математике для студентов-заочников ХАИ: В 3 ч. -Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1998.
37.Мещеряков С. Ф. Исследование функций и построение графиков в полярной системе координат и заданных параметрически. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1991.
38.Робочий зошит з математичного аналізу. (Інтегрування функцій однієї змінної. Звичайні диференціальні рівняння. Кратні інтеграли): - Харків: Харк. авіац. ін-т, 1998.
З9.Скибин А. А. Интегральное исчисление и его приложения к задачам геометрии, механики и физики. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1987.
40.Скибин А. А. Кратные интегралы и их приложения к задачам геометрии, механики и физики. - Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1988.
41.Цымбалюк В. В. Применение криволинейных интегралов в задачах теории поля. -Харьков: Харьк. авиац. ин-т, 1987.

Ирина Викторовна Брысина
Александр Васильевич Головченко
Георгий Иванович Кошевой
Петр Тихонович Кощавец
Юрий Александрович Крашаница
Алексей Георгиевич Николаев
Владимир Сидорович Проценко
Владимир Алексеевич Рвачев
Евгения Павловна Томилова
Елена Григорьевна Ушакова
Владимир Васильевич Хоменко





Редактор А. Н. Емленинова

Корректор Е. Ф. Сережкина

Компьютерный оригинал-макет Н. А. Яресько





Св. план, 2001
Подписано в печать 20.10.2001
Формат 60 х 84%. Бум. офс. № 2. Офс. печ.
Усл. печ. л. 10,3. Уч.-изд. л. 11,69. Т. 600 экз. Заказ 426
Цена свободная
Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского
"Харьковский авиационный институт"
61070, Харьков-70, ул. Чкалова, 17
Издательский центр "ХАИ" 61070, Харьков-70, ул. Чкалова, 17
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
УКРАИНЫ


НАЦИОНАЛЬНЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМ. Н.Е.ЖУКОВСКОГО

ХАРЬКОВСКИЙ
АВИАЦИОННЫЙ
ИНСТИТУТ




МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА





УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ


















Харьков "ХАИ" 2001








13PAGE 15


- 13PAGE 1417915 -



МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

используя свойство 2, переставим местами первую и вторую строки

используя свойство 2, переставим местами первую и вторую строки



Root Entry"Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native5Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeaEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native2Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native3Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 9570592
    Размер файла: 5 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий