опорные задачи по геометрии


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

Опорные задачи по геометрии 11 класс, 2012 год Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции Проведем высоту CD в ΔАВС Проведем C1D C1D – высота ΔАВС1 Угол CDC1 = φ - угол между плоскостью ΔАВС и α Тогда C1D = CD cosφ SABC = Ѕ AB∙CD, SABC1 = Ѕ AB∙C1DSABC1 = SABC cosφ Дано: ΔАВС, α-плоскость, ΔАВС1 -проекция ΔАВС на плоскостьДоказать: Ѕ=Ѕ0/cosφ Доказательство: 1) Дополнительное построение2)3) Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной4) Угол между двумя плоскостями – это угол между перпендикулярами, проведенными в каждой из этих плоскостей к одной прямой 5) cosφ = ПРИК/Г6) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов 7) Следует из п. 6 Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. Высота, опущенная из вершины прямого угла есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. А)Б) В) А С В Д = : = = = = : = = = = Доказательство: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.  А А1 В В1 О С Дано: АВСАА1 ,ВВ1, СС1 – медианыДоказать: ВО : ОВ1 = 2 : 1 Доказательство:Проведем среднюю линию В1А1 этого треугольника.2)  А1В1 АВАОВ и А1ОВ1 подобны по двум углам, и, значит их стороны пропорциональны4) АО = 2А1О, ВО = 2В1О т.к АВ = 2А1В5) Точка О пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в отношении 2 : 1 , считая от вершины. Доп. Построение2)Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, паралельна третьей стороне и равна её половине. 3)Следует из подобия треугольников4)Сл. из п.35) Сл. из п.4 С1 Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны. 1.Рассмотрим СВО и САО. а) СО-общая б) ВО=ОА=R СВО= САО2 . СВО= САО СА=CВ 1. а)гипотенуза. б)катетами является радиус.Два треугольника равны по двум катетам и гипотенузе. 2. Следует из п. 1. А В О С Решение А В С О Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Диаметр делит окружность на две дуги по 180˚. / АВС = 90.˚ 1.Окружность состоит из 360˚. 2.Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Дано:окружность с центром в точке О;/  АВС – вписанный. Доказать: угол АВС = 90˚ Доказательство: А В С D О Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180˚. Доказать: А +С =180˚. Доказательство: 1)АВСD - выпуклый 1)Вершины А и С лежат по разные стороны прямой ВD 2)/ BAD = 0,5 / BOD 2)По свойству вписанных углов, где / BOD – соответствующий центральный угол 3) / BСD = 0,5/ BOD 3) Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается 4) / BAD + / BСD = 0,5 * 360˚ 4)Следует из п.2,3; сумма дополнительных центральных углов равна 360˚ 5) Следовательно /А+ /С = 180˚ 5) --- 6)Аналогично рассматриваются /В и /D 6) Сумма всех углов четырехугольника равна 360˚ Дано: АВСD – четырехугольник, вписанный в окружность с центром О. M A N O B C Угол между касательной и секущей, проходящих через одну точку окружности, равен половине отсекаемой дуги. Дано:MN – касательнаяАВ - хорда Доказать: / NAB = 0,5АВ Доказательство: 1)Проведем диаметр АС 1) Дополнительное построение 2)/ СAN = 90˚ 2) Касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точке касания 3) / BAC = 0,5BC = 0,5/ BOC 3) Вписанный угол равен половине центрального угла дуги, на которую он опирается 4) / NAB = 90˚ - / ВАС = 90˚ - 0,5/ BOC = 0,5(180˚ - / ВОС) = 0,5 / AOB => 0,5AB 4) Следует из п.1,3; Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине суммы катетов без гипотенузы ВС, АС, АВ – касательные к окружности ВК = ВР, АN = APKC = KN = rBK = a – r, AN = в – rAB = a – r + в – r = c 2 r = a + в – c, r = Ѕ (а + в - с ) 1)Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равныРадиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательнойПо условию, следует из пункта 3 5) По условию, следует из пункта 4 а с в Дано: ΔАВС со сторонами а,в,с , r – радиус вписанной окружностиДоказать: r = Ѕ (а + в - с ) А С В Доказательство: r К Р N Диаметр, перпендикулярный хорде, делит его пополам Дано:AB-хорда окружности; С – точка пересечения отрезка АВ и перпендикулярного диаметраДоказать:АС=ВС Доказательство: 1) АОВ-равнобедренный *АО=ВО=R 2) ОС-его высота 3) ОС-биссектриса и медиана 4)АС=ВС В А С О АВС= Ѕ АС, АВС=1/2 АОС ВПИСАННЫЙ УГОЛ РАВЕН ПОЛОВИНЕ ДУГИ, НА КОТОРУЮ ОН ОПИРАЕТСЯ Произведение отрезков секущей окружности равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки. 1) Соединим точку касания Д с точками А и В.2) Рассмотрим и : а) - общий б) = 3) 4) = = С А В Д Доказательство: Угол между секущими равен полуразности отсекаемых дуг.α = 2 : (AB - CD) 1.Угол К = угол АDB–угол А2. Угол АDB = половине дуги АВ3. угол А равен половине дуги СD.4. α = 2 : (AB - CD) А B D С K α Угол К является внутренним углом треуголника АKD. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. См. п. 2. Следует из п.2 и 3. Доказательство а d₁ d₂ в Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. ϕ S=2(Ѕ∙Ѕd₂∙Ѕd₁∙sinϕ+Ѕ∙Ѕ��₁∙Ѕ��₂∙sin180­-ϕ)=2јd₁∙d₂∙sinϕ=Ѕd₁∙d₂∙sinϕ 2(aІ+вІ)=d₁І+d₂І Дано:1)Параллелограмм2)Диагонали d₁ и d₂ SΔ=Ѕ∙а∙в∙sinγ Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны. М А В С D K N E Дано: окружность;MN- диаметр;АВ и СD – хорды. Доказать: ᴗAC=ᴗВD Доказательство:1)Пусть хорда АВǁ ВD.2)Проведём диаметр MN_│_ АВ.3)Так как СD ǁ АВ, то MN_│_ CD.4) Перенесём чертёж по диаметру MN так , чтобы правая часть совпала с левой. Тогда точка В совпадёт с точкой А, так как они симметричны относительно оси MN.5)Аналогично, точка D совпадёт с точкой С. Отсюда ᴗАВ=ᴗВD Угол между пересекающимися хордами равен полусумме отсекаемых дуг. ϕ А D В С ϕ=Ѕ(АВ+СD) Доказать: 1)Проведем хорду АD,где D – точка пересечения прямой ВC с окружностью2)ʟϕ внешний угол Δ АВD 3)ʟА и ʟD вписаны в окружность4)ʟА равен половине центрального угла, дугой которого является DС5)ʟD равен половине центрального угла , дугой которого является АВ6)Отсюда следует, что ϕ=Ѕ(АВ+СD) Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные сторонам треугольника: Дано: АВС ВD - биссектриса Доказать: Доказательство: К 1) 1) 2) 2) АС – общая высота, то 3) 3) Следует из п.1,2 Площадь кругового сегмента Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами,соединяющими концы дуги с центром круга Площадь всего круга - πr2 Площадь кругового сектора, ограниченногоДугой в 1° - π r2/360° Площадь кругового сектора в α градусов выражается формулой В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны Дано:1) АВСД описан около окружности;2)АВ,ВС,СД и ДА – касательные и окружностиДоказать: АВ + СД = АД + ВСДоказательство Обозначим точки касания буквами M,N,K,P2) На основании свойств касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем : АР = АК;ВР = ВМ;ДN = ДК;СN = СМ 3)Сложим почленно эти равенства Получим:АР + ВР + ДN + СN = АК + ВМ + ДК + СМ, т.е. АВ + СД = АД + ВС К Д А Р В М С N О

Приложенные файлы

  • ppt 9774214
    Размер файла: 573 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий