вопросы по математическому анализу 1 курс 1семе..

Экзаменационные вопросы по курсу "Математический анализ"
(68 часов)

1-й курс, 1-й семестр 2009-2010 учебного года.
Лектор:, доц.Анисимов Владимир Яковлевич.


Краткое описание курса.
Основные операции над множествами. Числовые множества.
Декартовы произведения. Отношения их классификация.
Сравнение действительных чисел. Границы и грани числовых множеств. Теорема о гранях.
Отображение множеств. Счетные и несчетные множества.
Комплексные числа . Алгебраическая , тригонометрическая и показательная формы записи чисел.
Действия над комплексными числами
Числовые последовательности и их сходимость. Основные свойства сходящихся последовательностей.
Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной и ограниченной последовательности.
Натуральное основание Число "e".
Теорема о существовании предела монотонной подпоследовательности. Принцип выбора.
Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
Сходимость функции и её геометрический смысл.
Критерий Гейне сходимости функции.
Односторонние пределы. Критерий существования предела функции через односторонние пределы.
Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Замечательный тригонометрический предел.
Замечательный показательно-степенной предел.
Непрерывность функции и её геометрический смысл.
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
Основные свойства непрерывных функций. Классификация точек разрыва.
Монотонные функции. Критерий непрерывности монотонной функции.
Обратная функция. Теорема об обратной функции.
Непрерывность основных элементарных функций.
Сложная функция. Теорема о непрерывности композиции.
Теорема о пределе композиции.
Замечательные логарифмический, показательный и степенной пределы.
Локальные свойства непрерывных функций.
Глобальные свойства непрерывных функций. Теорема Вейерштрасса.
Равномерная непрерывность функций. Теорема Кантора.
Колебания функции. Теорема о представлении колебания функции.

Производная и дифференциал. Их геометрический и механический смысл.
Основные свойства дифференцирования.
Производные основных элементарных функций.
Уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке.
Дифференциал. Геометрический смысл.
Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Односторонние и бесконечные производные.
Производная обратной функции.
Производная сложной функции.
Дифференциал сложной функциию
Дифференцирование неявно-заданных и параметрических заданных функций.
Инвариантность формы первого дифференциала.
Производные и дифференциалы произвольного порядка (в том числе и от основных элементарных функций).
Формула Лейбница.
Стационарные точки. Теорема Ферма.
Теорема Ролля.
Теорема Коши. Формула конечных приращений (Теорема Лагранжа).
Критерий постоянства дифференцируемой функции.
Критерий монотонности дифференцируемой функции.
Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей вида [0/0] и [Ґ/Ґ].
Многочлен Тейлора и остаточный член формулы Тейлора для n раз дифференцируемых функций.
Теорема о представлении остаточного члена формулы Тейлора.
Формулы Тейлора-Лагранжа, Тейлора-Коши и Тейлора-Пеано.
Ряд Тейлора и его сходимость.
Разложение по Тейлору основных элементарных функций и функций, обратных к ним.
Формулы Эйлера.
Достаточное условие локального экстремума (3 правила).
Глобальный экстремум.
Выпуклые функции. Признаки выпуклости функции.
Точки распрямления и перегиба. Достаточное условие перегиба.
Схема построения эскиза графика функции.

Первообразная функции и дифференциального выражения. Теорема об общем виде первообразной.
Неопределённый интеграл и его свойства.
Вычисление неопределённого интеграла почленным интегрированием и интегрированием по частям.
Замена переменной в неопределённом интеграле.
Теорема об интегрировании простейших рациональных функций.
Разложение рациональной функции на простейшие и её интегрирование.
Метод Остроградского
Интегрирование иррациональности от дробно-линейной функции.
Интегрирование биномиального дифференциала.
Подстановки Эйлера.
Интегрирование рационально-тригонометрических выражений.
Разбиения. Интегральные суммы и определённый интеграл.
Условия интегрируемости по Риману.
Основные свойства определённого интеграла.
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
Непрерывность интеграла по верхнему пределу
Функции ограниченной вариации
Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу..
Теорема об интегрируемости функций, непрерывных на отрезке.
Первая теорема о среднем для определённого интеграла.
Вторая теорема о среднем для определённого интеграла.
Теорема Барроу и следствия из неё (формула Ньютона-Лейбница).
Теорема об интегрировании по частям в определённом интеграле.
Теорема о замене переменной в определённом интеграле.
Определение меры (площади) открытых множеств
Свойства меры открытых множеств.
Вычисление длины дуги кривой с помощью определённого интеграла.
Вычисление площади варьируемых фигур.
Вычисление объемов кубируемых тел.
Площадь поверхности вращения
Вычисление статических моментов и координат центра масс.
Работа силы
Критерий Дарбу интегрируемости по Риману.
Приближённое вычисление определённого интеграла.
Определение интегралов, зависящих от параметра
О допустимости предельного перехода по параметру под знаком интеграла
О непрерывности интеграла как функции параметра
О дифференцировании по параметру под знаком интеграла
Об интегрировании по параметру под знаком интеграла
Случаи, когда и пределы интеграла зависят от параметра
Определение равномерной сходимости несобственных интегралов
О непрерывности интеграла как функции параметра
Об интегрировании по параметру под знаком интеграла
О дифференцировании по параметру под знаком интеграла
Признак равномерной сходимости несобственных интегралов
Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция)
Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция)


Литература.
Ю. С. Богданов. "Лекции по Математическому Анализу", часть 1-ая и 2-ая, Минск, БГУ, 1977.
В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Л. Сендов. "Математический Анализ", части 1-ая и 2-ая. Москва, МГУ.
Л. Д. Кудрявцев. "Математический Анализ", 1-ый и 2-ой том. Москва, МФТИ.
В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. "Основы Математического Анализа", части 1-ая и 2-ая.
Г. М. Фихтенгольц. "Курс Дифференциального и Интегрального Исчисления", 2-ой том.
Б. П. Демидович. "Сборник Задач и Упражнений по Математическому Анализу". Москва, Наука, 1977.
Ю. С. Богданов, О. А. Кастрица "Начала Анализа в Задачах и Упражнениях".
15

Приложенные файлы

  • doc 10002563
    Размер файла: 39 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий