Шахматов В.М. и др. Сборник олимпиадных задач по высшей математике. Часть 2


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
ТВАСУ,

областной тур,
2006

год, 1 курс,

предмет




1
. Доказать, что для любой точки Н внутри эллипса существуют три
точки А, Б, С на эллипсе, для которых выполняется равенство:


= 0


2.

Ззвестно, что определитель
n
-
го порядка


D
n

=

равен 5461. Майти порядок определителя.


3.

Бычислить



4.

Нтрезок постоянной длины 2
а

движется так, что концы его все
время остаются на координатных осях. Майти уравнение
геометрического места оснований перп
ендикуляров, опущенных из
начала координат на этот отрезок. Построить геометрическое место
таких точек.


5.

Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой
касательной к эллипсу есть величина постоянная, равная квадрату
малой полуоси.


6.

Пасстоя
ние между графиками функций у = х
2

+
q

и у =



2


равно
. Майти
q


7.

Майти параметрические уравнения функций неявно заданных
равенством х
у

= у
х
. Зсследовать функцию и построить ее график.





ТВАСУ,

областно
й тур,
2006

год,

старшие

курс
ы
,

предмет




1.

Майти среднее значение квадрата расстояния точки круга

от начала координат.



2.

Майти положительную дифференцируемую на

функцию
, если известно, что при замене независимой переменной
она переходит в функцию
.


3.

Пусть интеграл
сходится и равен
. Доказать, что
интеграл

также сходится и равен
.


4.
Бычислить

, где
D



прямоугольник:



-
2005


х


2005,
-
2006


у


2006.



3



5.
Пяды

и
имеют од
инаковые ненулевые
радиусы сходимости. Сходится ли ряд



6.

Змеется бесконечно много выключателей, каждый из которых
срабатывает с вероятностью

т.е., если вы его включили, то с
вероятностью
р
он действительн
о включен, а с вероятностью 1


р

выключен, и наоборот. Доказать, что из них можно составить сколь
угодно хороший выключатель т.е. выключатель, который срабатывает
в обе стороны с вероятностью, сколь угодно близкой к 1.


7.

Пешить уравнение

.


III

тур Бсероссийской математической олимпиады студентов

ЗрВТУ, г. Зркутск, 2006 г
од
, 1 курс


1. Даны матрицы

Майти
. 3 балла

2. До
казать, что площадь выпуклого плоского многоугольника с
вершинами

равна
.


4 балла

3. Майт
и
, если
. 3 балла


4


4. Бычислить
. 4 балла

5. Бычислить
, если известно
, что


. 5 баллов

6. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение,
если известна его фундаментальная система решений
.


4 балла

7. Функцию

на отрезке
аппроксимировать линейной
функцией

так, чтобы абсолютное отклонение

было минимальным. 7 баллов




III

тур Бсероссийской математической олимпиады студентов

ЗрВТУ, г. Зркутск, 2006 г
од
, 2 курс


1.

Ма комплексной плоскости

найти область сходимости ряда:


. 3 балла

2. Майти общее решение уравнения:
. 4 балла

3. Майти наибольш
ее значение функции

в
замкнутой области, ограниченной плоскостями:
,
,
,
,
.

5 баллов


5


4. Майти предел
, где сумма
составлена по всем целым

и

таким, что

. 6 баллов

5. Пазложить в ряд по степеням

функцию
, определить область
сходи
мости полученного ряда. 3 балла

6. Треугольный биллиардный стол имеет три лузы


по одной в
каждом углу. Б одной лузе умещается лишь один шар, в двух других


по два шара. Ма столе находятся три шар
а, в каждом из которых
спрятано по монете. Стол наклоняют так, что все шары скатываются в
один угол, но в какой именно


неизвестно. Латематическое ожидание
«начинки» шаров или шара, попавших в лузу, составляет

рубля.
Лонеты

какого достоинства спрятаны в шарах 5 баллов

7. Майти решение уравнения

при малых

с
точностью до величин

включительно.

4 балла



III

международная олимпиада по математике для студентов
нематематических специальностей БУЗов, г. Ярославль, 2006 год,
личный конкурс


1. Латрица

является решением матричного уравнения



, где


.

Доказать, что
. 4 балла


6


2. Майти длину вектора
, если
,

,
,
. 4 балла


3. Два игрока по очереди присваивают коэффициентам уравнения

какие
-
ни
будь действительные
значения, при этом уже присвоенные значения менять нельзя. Ложет
ли второй игрок добиться того, чтобы у полученного в результате игры
многочлена был выбранный им заранее действительный корень
?

4 балла


4. Доказать, что множество точек в
, задаваемое уравнением



находится в шаре радиуса 1 с

центром в начале координат.


6 баллов

5. Бычислить
, где
.


8 баллов

6. Пусть
дважды дифференцируемая функция,
. Доказать, что существует такое число
, что

образуют
арифметическую прогрессию.

8 баллов


7. Пусть
дважды дифференцируемая на

функция,
. Доказать, что если

выпукла в
низ на
, то и

выпукла вниз на
.


8 баллов


7


8. Бычислить инте
грал
, где



.


6 баллов




III

международная олимпиада по математике для студентов
нематематических специальностей БУЗов, г. Ярославль, 2006 год,
командный конкурс


1. Доказать, что уравнение
имеет на множестве
квадратных матриц 2006
-
го порядка по крайней мере

решений.


Здесь

единичная матрица.

4 балла

2. 1. Доказать, что функция
, удовлетворяющая
условиям


является периодической. 4 балла


2. П
ривести пример такой функции. 4 балла


3. Доказать, что для любых действительных чисел

справедливо неравенство
. 8 баллов

4. Знач
ение многочлена с целыми коэффициентами в четырёх целых
точках равно 3. Доказать, что многочлен не имеет целых нулей.


6 баллов

5. Майти
.


4 балла

6. Сколько решений имеет уравнение
.


6 баллов

7. Бычислить
. 6 баллов


8


8. Майти все ограниченные на промежутке

решения

дифференциального уравнения
.



8 баллов

9. Доказать, что решение
, дифференциального
уравнения
, удовлетворяющее начальным условиям
, обращается в нуль хотя бы в одной точке.


6 баллов

10. Зсследовать на сходимость ряд:





6 баллов






Нлимпиады
2007

года


ТПУ
,

2007

год,

I

курс


1. Майдите
, есл
и дано, что

и

являются целыми.

2. Дано уравнение окружности
. Составьте уравнение


окружности, проходящей через начало координат, точку


и
касающейся данной окружности.


3. Нт сосны к берёзе, повернуть направо, пройти столько же,


сделать отметку. Нт сосны к дубу, повернуть налево, пройти


столько же, сделать отметку. Йопать посередине.


С этими указаниями известного флибустьера Подже
ра вы


прибыли на остров. Берёза цела, дуб есть, сосна пропала.


Майдите клад!


9


4. Докажите существование предела

и найдите его, если



(

радикалов.


5. М
айдите,

если
.


6. Бычислите определитель
, если

различные корни уравнения
.


7. Нпределите порядок матрицы
, если



и
.


8. Дано:
,
. Докажите существование и
найдите


предел
.


ТПУ
,

2007

г
од,

старшие
курс
ы


1.
Пешите уравнение




2. Составьте дифференциальное уравнение прямых, отстоящих на
единицу от начала координат.


10



3. Майдите наименьшее значение интеграла



.



4. Запишите уравнение геометрического места точек, равноудалённых
от прямых



и


5. Пусть



корни не
которого многочлена седьмой
степени с комплексными коэффициентами. Докажите, что если
соответствующие им точки на комплексной плоскости лежат строго
внутри некоторого угла в
с вершиной в начале координат то есть
не лежат на стор
онах и в вершине этого угла, то все коэффициенты
многочлена отличны от нуля.


6. Зсследуйте на сходимость ряд
, где
сумма ряда
, а
его ч
астичные суммы.


7. Десять рабочих должны изготовить 50 изделий. Йаждое изделие
должно быть первоначально окрашено, а затем смонтировано. Бремя
окраски


10 минут, время монтажа


20 минут. После окраски изделие
должно 5 минут сохнуть. Йак разбить рабочих
на маляров и
монтажников, чтобы выполнить работу в кратчайшее время
Бычислите это время.


Т
УСУП
,

областной тур,
200
7
год,

1

курс,

предмет



1. Доказать, что для любой пары различных точек

и
, взятых на
граф
ике функции
, существует единственная кривая
, являющаяся касательной к графику этой
функции в точках

и
.


11



2. Майти наименьшее натуральное число, для которого оста
ток от
деления на любое целое число от 2 до 7 будет на единицу меньше
делителя, а на 11 искомое число делится без остатка.

3. Сколько действительных корней имеет уравнение

на полуоси
?

4. Доказать, что если

и

взаимно простые числа и

-

рациональный корень многочлена

с
целыми коэффициентами, то

делится на
,

делится на
.


5. Б столовой продаются пирожки с мясом по 10 руб., пирожки с
рыбой по 5 руб. и пирожки с капустой по 50 коп. Требуется купить 100
пирожков на 100 рублей. Сколько пирожков каждого вид
а будет
куплено

6. Майти предел
.

7. Даны координаты вершин треугольника
,
,
. Запишите уравнения прямых, на которых расположены
биссектрисы внутреннего и внешнег
о углов при вершине
А

треугольника
АБС
.



Т
УСУП
,

областной тур,
200
7
год,

старшие

курс
ы
,

предмет




1. Бычислить интеграл
.


12


2. Майти предел
.

3. Пусть
,
, 
.
Пусть

-

точная верхняя граница области определения функции
. Доказать сходимость ряда
.

4. Б баке, объём которого 100 л, находится раствор, содержащий 10 кг
сол
и. Б этот бак втекает вода со скоростью 3л/мин, а смесь с такой же
скоростью перекачивается во второй бак ёмкостью 100 л,
первоначально наполненный чистой водой, из которого избыток
жидкости вылив
а
ется. Йонцентрация соли в каждом баке
поддерживается равно
мерной с помощью перемешивания. Йакое
максимальное количество соли будет во втором баке и через какое
время оно достигается


5. Пассмотрим множество всех квадратных матриц 2 порядка,
элементами которых могут быть целые числа 0, 1, 2 или 3. Пусть
матрица,

случайным образом взятая из этого множества, вырождена.
Майти вероятность того, что при этом она не содержит н
у
лей.


6. Майти сумму всех корней степени

из числа
.


7. Задана функция комплексной переменной


формулой
. Существует ли
 Дсли
существует, то найдите его.



ТПУ, областная, 2007 год,
1

курс, специальность





13


1. Майти все значения параметра

при кото
ром в области
определения функции

есть
двузначные целые числа, но нет трехзначного целого числа.


2. Майти наименьшее расстояние от точки

до точки
графика функции
.

3. Майти предел последовательности
.

4. Маселение страны ежегодно возрастает на 2% . Бо сколько раз оно
увеличится за 200 лет


5. Доказать неравенство
.

6. Доказать равенст
во
.

7. Ззвестно, что
. Что больше



или

?


8. Доказать равенство
.

9. Ззвестно, чт
о
. Йакое наибольшее значение может
иметь модуль

комплексного числа
?



ТПУ, областная, 2007 год, старшие курсы, специальность


14


1. Бычислить интеграл

.

2. Майти решение уравнения



3. Майти наибольшее значение
,

если

4. Доказать, что если бесконечный ряд

с
положительными слагаемыми сходится, то ряд


расходится 
сумма членов первого ряда,
начиная с
-

го, то есть
).

5. Бершины параллелог
рамма в декартовом базисе

имеют целочисленные координаты, его площадь равна 3.
Ззвестно, что внутри параллелограмма стороны
исключаются есть две точки с целочисленными
координатами. Доказать, что эти точки лежат на одной из
д
иагоналей и делят её на три равные части.

6. Сумма ряда

равна 1. Лаксимизировать сумму
ряда
.

7. Ма прямолинейном участке дороги длиной

находятся
три человека. Йако
ва вероятность

того, что расстояние
между любыми двумя «соседями» не меньше
.



СВЛУ, областная, 2007 год, 1 курс,

естественнонаучные специальности



15


1
. Построить на плоскости множество точек
,
удовлетворяющих уравнению
.


2
. Майти область определения функции
.

3.

Ззвестно, что один из корней уравнения
двукратный. Укажите связь между

и
.

4. Частоты

и

генов

и

соответственно преобразуются в
результате одного тура отбора

в новые частоты


,


генов

и

следующего поколения где коэффициент
приспособленности
. Нпред
елить частоты предыдущего тура,
если известно, что в
-
ом поколении на каждые 40 генов

приходится 33 гена
.

5.

Доказать, что числа 49, 4489, 444889,
, получаемые вставкой 48 в
середину предыдущего числа, являются квадратами целых чисел.

6
. Майти площадь фигуры, ограниченной графиками функций

и
.

7
. Доказать эквивалентность
.



Нлимпиады
2008

года


ТПУ, 2008

год,

1 курс, предмет


1. Майдите максимальное значение определителя 3
-
го порядка,
составленного из чисел

и
.


2. Ме раскры
вая скобки, доказать тождество


16



3. Построить и описать кривую, заданную параметрически:


4. Майти количество решений системы уравнений


в зависимости от параметров

и
.


5. Майти все функции, для которых
.


6. Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы
до двух её асимптот е
сть величина постоянная, и найти её.


7. Зсследовать на непрерывность и дифференцируемость функцию





ТПУ, 2008

год,

старшие

курс
ы
, предмет


1. Майдите центр масс однородного тела, зад
анного в декартовых
координатах системой неравенств:


.



2. Майдите минимум функции


.


17



3. Майдите предел последовательности



.


4.

Бнутри области, ограниченной непрерывной выпуклой замкнутой
кривой, взята точка и через неё проведены хорды. Докажите, что если
хорда отсекает сегмент наименьшей наибольшей площади
, то
данная точка является серединой

хорды.


5. Бычислите несобственный интеграл



6. Поверхности, у которых средняя кривизна равна нулю, называются
минимальными. Йоординаты их точек удовлетворяют

уравнению


.


Майдите минимальные поверхности вращения.


7. Зсследуйте на сходимость ряд
.


8. Элементами квадратной матрицы

размерности

являются

случайные числа
. Эти величины независимы в совокупности и
математическое ожидание каждой из них равно 0, дисперсия каждой из
них равна
. Тогда определитель

матрицы

тоже буде
т
случайной величиной. Майдите его дисперсию



а в случае
;


б в общем случае.



Т
ПУ
,

областной тур,
200
8
год,

1

курс,

предмет




18


1
. Майдите единичный вектор
, со
ставляющий равные углы с
заданными единичными некомпланарными векторами

2. Пусть
матрица размета

такая, что
.


Йакие значения может прин
имать определитель матрицы
?

3. Докажите неравенство



для

4. Мапишите уравнения общих касательных к двум окружностям



и
.

5. Бычислите



6. Пусть

многочлен степени

и пусть




Докажите, что действительные корни уравнения

не
превосходят 2008.

7. Пешите систему уравнений



8. Элементы последовательности

при любом

удовлетворяют соотношению
.

Майдите
, если


Т
ПУ
,

областной тур,
200
8
год,
старшие
курс
ы
,

предмет



1.
Майдите чис
ло, которое увеличивается в 2000 раз, если в его
десятичной записи поменять местами цифры, стоящие на первом и
пятом после запятой местах.

2.
Пешите уравнение

.


19


3.
Майдите производную 2008 порядка от функции

при
.

4.
Докажите, что решение задачи Йоши


удовлетворяет для

неравенству
.

5.
Бычисли
те двойной интеграл
, где
круг, ограниченный окружностью
.


6.

Бычислите предел числовой последовательности
, где




.

7.
Ма бесконечной плоскости случайным образом выбраны три точки.
Майдите вероятность того, что они являются вершинами
тупоугольного треугольника. Ложно предположить, что
вероятность лежать на одной прямой равна нулю.


СВЛУ
, областная, 200
8

год, 1 курс,

естественнонаучные специальности




1. Бычислить предел:


.

2. Доказать, что
.


20


3. Бычислить интеграл:
.

4. Йапи
тан Сильвер зарыл на необитаемом острове клад. Ма этом
острове растут всего две пальмы: маленькая и большая на расстоянии
400 м друг от друга. Сильвер сообщил пиратам, что расстояние от
клада до маленькой пальмы в три раза больше, чем до большой. Йакой
фо
рмы и какой длины должны вырыть траншею пираты, чтобы точно
найти клад Нтвет обосновать.

5. Бычислить определитель
.

6. Ззвестно, что квадратный трёхчлен

удовлетворяет неравенству

при
. Йаково при этом
наибольшее значение
?

7. Построить на плоскости множество точек
, удовлетворяющих
неравенству


.


СВЛУ, областная, 200
8

год,
старшие

курс
ы
,

естественнонаучные специальности


1.

Бычислить предел
.


2
. Майти частное решение дифференциального уравнения


, если

.


21


3.

Бычислить

.


4.

Майти сумму ряда
.

5.
Ма берегу озера стоят два дома. Нни соединены дорогой, имеющей
форму полуокружности. Б каждом из них можно поселить до 20
чел
овек. Йак следует расселить 30 человек и где выбрать на дороге
место для остановки автобуса, чтобы все они вместе тратили на путь
до неё как можно меньше времени

6
. Дана функция
. Бычислить двойной интеграл



,


где
треугольник:
.

7
. 1 апреля 2008 года из Йосмоса на Землю прибыл монстр. Б
зависимости от условий в течение некоторого периода он может либо
пог
ибнуть с вероятностью
, либо выжить с вероятностью
, либо разделиться на два таких же монстра с вероятностью
. Пусть в течение второго цикла с каждым монстром могут
произ
ойти те же события и с теми же вероятностями, что и с
прибывшим монстром в первом цикле. Майти вероятность того, что в
начале третьего цикла после его прибытия на Землю будут
существовать два монстра


III

тур Бсероссийской математической олимпиады студент
ов

ЗрВТУ, г. Зркутск, 2008 г
од
, 1 курс



1. Пусть

скалярные произведения линейно зависимых
векторов
. Бычислить определитель


22



.

2 балла

2. Доказать, что для любых трёх точек параболы с вертикальной осью
симметрии выполняется
, где
угловой
коэффициент касательной к параболе в произвольной точке с
абсциссой
,

угловой коэффициент хорды, проходящей через
точки на параболе с абсциссами

и
. 4 балла

3. Й дуге окружности проведены
касательные в её концах и середине.
Получается два треугольника: один образован хордой дуги и двумя
касательными к её концам, другой образован тремя касательными.
Майти предел отношения площади большего треугольника к площади
меньшего, если длина дуги стре
мится к нулю. 4 балла

4. Бычислить предел
. 5 баллов

5. Точка двигается по прямой

с постоянной скоростью
. Бне
этой прямой точка движется со скоростью
. Точка

не лежит на
прямой
. Под каким углом к прямой

надо свернуть, чтобы
попасть в точку
, двигаясь по двум отрезкам прямых, за наименьшее
время 5 баллов

6. Майти объём тела, в основании которого лежит равнобедренный
треуго
льник с высотой

и с основанием
. Поперечное сечение
тела


сегмент параболы с хордой, равной высоте сегмента.


7 баллов

7. Б большом бочонке 8 ведер вина. Требуется разлить это вино
пополам в две
ёмкости, если имеется ещё два пустых бочонка: в один
входит 5 ведер, в другой


3 ведра. Йак разлить вино не больше чем за
7 переливаний.


3 балла



III

тур Бсероссийской матем
атической олимпиады студентов

ЗрВТУ, г. Зркутск, 2008 год, 2 курс



23


1. Бычислить и сравнить интегралы

и
.



3 балла

2. Доказать, что если
первый интеграл уравнения


, то общий интеграл уравнения примет вид
, где

постоянные.

4 балла

3. Бычислить
где
замкнутая кривая, окружающая начало координат и не
пересекающая себя. 5 баллов


4. Майти все неп
рерывные
, если
, и



и
. 6 баллов

5. Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нем
у
последовательно и независимо одна от другой

торпед. Йаждая
торпеда попадает в корабль с вероятностью

одинаковой
вероятностью в каждый из

отсеков подводной части
корабля.
Йорабль идёт ко дну, если поражено не менее двух отсеков. Майти
вероятность того, что корабль будет пущен ко дну.


4 балла


6. Майти сумму ряда
, если
.


24




2 балла

7. Нднажды, в старые времена, двое пастухов продали стадо волов,
получив при этом за каждого вола столько рублей, сколько в стаде
было волов. Ма вырученные деньги куп
или стадо овец по 10 рублей за
овцу и одного ягнёнка. При дележе поровну одному досталась лишняя
овца, другой же взял ягнёнка и получил с товарища доплату. Йак
велика доплата она выражается целым числом рублей  6 баллов



III

тур Бсероссийск
ой математической олимпиады студентов
,
ЗрВТУ, г. Зркутск, 2008 год, 3


5 курсы


1. Змеются две урны. Б одной из них находится шар, о котором
известно, что он либо белый, либо чёрный. Б другой урне находятся 1
белый шар и 2 чёрных шара. Б первую урну клад
ут белый шар, после
чего её хорошо встряхивают и извлекают из неё один шар, который
оказывается белым. Йак следует действовать, чтобы вероятность
извлечь белый шар после проделанных операций была наибольшей:
вытаскивать шар, не зная из какой урны мы его из
влекаем, или сначала
пересыпать содержимое одной урны в другую, и лишь затем тащить
шар


5 баллов


2. По известному общему решению линейного дифференциального
уравнения
,

где
произвольные постоянные, а

параметр,
восстановить само уравнение.


4 балла

3. Бычислить
, если
. 6 баллов


4. Майти геометрический образ области сходимости ряда на
комплексной плоскости
. 3 балла



25


5. Майти
,

если
, а интеграл

принимает наименьшее значение.

3 балла


6. Бычислить
. 3 балла


7. Бычислить
.

6 баллов





Нлимпиады
2009

года


ТПУ
,

200
9

год,

I

курс


1.

Ложно ли поместить в квадрат

некоторое число не имеющих
общих точек кругов, сумма радиусов которых больше
2009?


2.

Бычислите определитель
если
различные корни уравнения
.

3. Майдите предел последовательности


.

4. Постройте гр
афик функции, заданной пределом


.

5. Зсследуйте функцию и постройте её график


26



.

6. Майдите многочлены наименьшей степени

такие,


чтобы функция
была:

1)

непрерывна на всей числовой прямой;

2)

дифференцируема на всей числовой прямой.


7. Числовая последовательность задана рекуррентной формулой


,



где
,

Майдите
.





Т
ПУ
,

200
9
год, старшие

курс
ы


1.

Доказать равенство


.

2. Пешить задачу
Йоши



3. Майти минимум функции



.

4. Майти максимальный и минимальный элементы


последовательности
.


27



5. Майти наибольшее натуральное число, из которого вычёркиванием
цифр нельзя получить число, делящееся на 11.


6. Доказать равенство


.


7. Бычислить


.


ТВУ,

2
009

год,
I

курс,
предмет

1.

Б
-
мерном пространстве 
 выбрано

точек с
координатами
, где каждое

может ра
в
няться 0 или
1. Будем говорить, что три
такие разли
ч
ные точки образуют
малый
треугольник
, если у этих точек совпадают координаты, стоящие на
всех местах, кроме, быть может, двух пример: 1,1,1,0,1, 0,1,0,0,1 и
0,1,1,0,1 образуют такой треугольник, поскольку у этих точек
совпадают вторые,

четвёртые и пятые координ
а
ты. Докажите, что
количество различных малых тр
е
угольников равно
.

2.
Последовательность

задана следующим образом:
. Доказать, что

3.
Вра
фик линейной функции касается графика квадр
а
тичной функции
, а график квадрата этой л
и
нейной функции получается из
графика функции

сдвигом вниз на величину
. Майти
.

4.

Сколько положительных решений имеет уравнение
 Н
т
вет
обосновать.


5.
Дан острый угол и точка
П

внутри него. С помощью циркуля и
линейки без шкалы длин впишите в этот угол окружность,
проходящую через данную точку.


28



6.
Под каким
углом к берегу нужно направить лодку, чтобы за время
переправы через реку её как можно меньше снесло течением, если
скорость течения


6 км/ч, а скорость лодки в стоячей воде


3 км /ч













7.
Ма астроиде

взята произвольная то
чка
M
, лежащая
в первой четверти. Через эту точку проведена касательная к астроиде,
пересекающая оси в точках
A

и
B
. Докажите, что длина отрезка
AB

не
зависит от выбора точки
M
.


ТВУ
,


2
009

год, старшие

курс
ы
,
предмет


1.

Ма плоскости

дан квадрат с противоположными вершинами

и
; контур этого квадрата обозн
а
чим через
. Постройте
элементарную функцию

такую, что

тогда и только т
о
гда, когд
а
.

2.

Доказать, что существует и найти
, где
-

пл
о
щадь фигуры,
ограниченная кривой
,
,
.

3.

Дано множе
ство неотрицательных чисел
, где индексы

и

пробегают все пары натуральных чисел. Ззвестно, что при любом

29


натуральном

выполнено
. Бозможно ли, что при любо
м
натуральном

выполнено
?

4.
С помощью циркуля и линейки линейка без делений провести
касательную к гиперболе в точке, лежащей на данной гиперболе.


5
. Доказать биссекториальное свойство касательной к эллипсу:
касательная к эллипсу в произвольной точке
Л

есть биссектриса угла,
смежного с углом между фокальными радиусами точки касания.












6.
Стержень ломается случайным образом на две части. Йаков
о среднее
отношение длины короткого куска к длине длинного куска


7.

Дан отрезок 
a
,

b
]



R
. Пассмотрим произвольное ра
з
биение этого
отрезка

T

=

{
a

=
x
0



x
1



x
n

=

b
. Под мелкостью разбиения понимаем, как
обычно,

|

T

|

=

max {

x
i

=

x
i



x
i

1
,
i

=

1,

2,,

n
}.
Майдите
.


ТПУ
, областная,

200
9

год,


1

курс
,



для естественнонаучных специальностей


1
. Последовательность чисел строится следующим образом. Первое
число в ней равно 2. Йаждое последующее ч
исло равно сумме кубов

30


цифр предыдущего числа. Доказать, что среди чисел этой
последовательности есть одинаковые.

2. Пароход из города

в город

идёт по течению реки 5 суток, а
из города

в город

против течения реки 7 суток. Сколько дней
будет плыть по течению реки из города

в город
плот.



3. Латрицы

и

размерности соответственно

и



таковы, что
. Майти
.

4. Дана система векторов
, координаты которых
удовлетворяют соотношениям

Доказать, что
все векторы, начиная со второго, имеют длину, большую чем
.

5. Пусть
. Доказать
, что


найдётся такое число
, что
.

6. Пусть

и
вещественные числа из отрезка
. Докажите
неравенство
.


7. Йонсультант по организации труда установил, что грузчик, взяв

кирпичей, поднимет их на

этажей и вернётся вниз без кирпичей
за время, равное

секунд.


31



Йак организовать работу грузчика, чтобы он поднял 1000 кирпичей с
нулевого этажа на десятый за минимальное время

Чему равно это время рабочее



ТПУ
, областная,

200
9

год,


старшие

курс
ы,



для естественнонаучных специальностей


1
. Функц
ия

определена на всей числовой прямой и её
максимальное значение равно числу
. Майдите максимальное
значение функции
, где
произвольные
фиксирова
нные действительные числа.


2. Зсследовать на сходимость ряд


.

3. Пешить задачу Йоши


.

4. Пусть

непрерывная на отрезке

функция и для любых



выполняется неравенство
.

Доказать, что
.

5. Латрицы

и

размерности соответственно

и


таковы, что
. Майти
.


6. Ма прямолинейном участке дороги длиной 10 км находят
ся три
человека. Йакова вероятность того, что расстояние между любыми
двумя «соседями» не меньше 2 км.


32


7. Йонсультант по организации труда установил, что грузчик, взяв

кирпичей, поднимет их на

эта
жей и вернётся вниз без кирпичей
за время, равное

секунд.


Йак организовать работу грузчика, чтобы он поднял 1000 кирпичей с
нулевого этажа на десятый за минимальное время

Чему равно это время рабочее

















З
адачи с решениями


Бекторная и линейная алгебра


1.

Латрицей Врама системы векторов

называется
квадратная матрица


, где

-

скалярные произведения соответствую
щих векторов. Доказать, что
векторы

линейно зависимы тогда и только тогда, когда
определитель матрицы

равен нулю.


33


Пешение
.
Меобходимость.

Пусть векторы
линейно
зависимы, т.е.
, причем, по крайней
мере, одно из

. Умножим скалярно обе части
* сначала на
, затем на
, и так далее. Получим

Павенства 1


(
 будем рассматривать как систему уравнений
относительно
. Чтобы нашлось нетривиальное
решение системы, надо, чтобы ее определитель был равен 0:
.


Достаточн
ость
доказывается аналогично.


2.

Пусть

-

четыре луча, исходящие из одной точки,

-

угол между лучами
. Показать, что


.

Пешение
.

Поставим в соответствие лучам

единичные векторы
,
(
. Нни линейно зависимы, поэтому можно воспользоваться
результатом задачи 1.


3.

Доказать, что каковы бы ни были элементы определ
ителя третьего
порядка, все его члены разложения не могут иметь одинаковые знаки.

Пешение
.

Нбозначив элементы определителя через
(
 и
раскрыв его, предположим, что все шесть слагаемых имеют
одинаковые знаки,
например, положительны. Тогда, 1
,
(2)
, (3)
, (4)
, (5)
,
(6)
. Перемножив почленно неравенства 1
-

4, получим
. Последнее неравенство

34


противоречит 5
-

6. Аналогичное противоречие получаем,
предположив, что все шесть слагаемых в разложении определителя
отрицательны.




4.

Пусть даны


-

разрядных чисел, каждое из которых делится на
данное число

нацело. Пассмотрим определитель
-

ого порядка,
составленный следующим образом: каждая строка его
-


цифр по
порядку соответств
ующего числа. Доказать, что определитель тоже
делится на

нацело.

Пешение
. Пусть данные числа имеют вид:
, где
-

цифра, стоящая
в
-

ом разряде
-

го числа. Змеем определитель

=




=

, который делится на
, так
как каждый элемент последнего столбца делится на
.


5.

Дан треугольник
. Ма его сторонах или продолжениях
сторон берутся произвольные точки
,
,
.
Ззвестно, что
,
,
. Доказать, что
необходимым и достаточным условием того, что точки

лежат
на одной прямой, является
.

Пешение
. Нбозначим
, где
,
,
,
. Змеем
,
,

35


,
,
,
. Чтобы
точки

лежали на одной прямой, необходимо и достаточно,
чтобы
, то есть
=
. Последнее равенство
выполняется тогда и только тогда, когда
.


6.

Нпределить геометрическ
ое место вершин парабол
, где
.

Пешение
. Представим уравнение параболы в виде
, откуда параметрические уравнения
вершин:
,
. Чтобы исключ
ить параметр
,
выразим из первого уравнения

через
, возведем результат в
квадрат и сложим с
. Получим
.
Нтсюда ответ: геометрическое ме
сто точек, являющихся вершинами
данных парабол, есть парабола
.


Предел, п
роизводная, исследование функций


7.



При каких условиях уравнение

имеет:

а один действительный корень,

б два действительных корня

Пешение.

Пассмотрим функцию
,
. Тогда

а если
, то функция монотонно возрастает и, следовательно,
исследуемое уравнение имеет единственный корень.


36


б Пусть
. Тогд
а экстремум функции достигается в двух точках

и
. Ясно, что уравнение будет иметь три
действительных корня только в случае, если значения функции в
точках экстремума будут противоположны по знаку, то есть
. Нтсюда получим искомое условие
.


8
. Построить график функции

Пешение.

Пассмотрим поведение функции
y

(

x

 на различных

промежутках:

а





б
x

= 1;


в


г


д
.



е

предела не существует.


ж
.

9
.

Доказать, что фу
нкция

2
arctg

равна 0 при

и равна 4
arctg

при
.

Пешение.

Бычислим производную от функции
:

=


37



Мо тогда
.
Постоянные
и

определим, вычислив значения

и
. Так
как
, то и
. Так как функция

2
arctg

непрерывна в точке
, то 4
arctg
1

и
.


10
.

Дока
зать, что существуют единственные

и
,
такие, что

и
,
.

Пешение.

Пассмотрим функцию
, где
.
Змеем:


.

в
. Поэтому существует, при
том единственная, точка
, в которой

,
откуда
.

Аналогично решается вторая часть задачи.


1
1
.

Ззвестно, что существуют оба экстремума функции
, а прямая, проходящая через экстремальные
точки, проходит и через начало координат. Нпределить зависимость
между коэффициентами


Пешение.

Змеем
. Нба корня уравнения

существуют, обозначим их

и
. Условия принадлежности точек
,
,
одной прямой запишем в виде:


38


. После очевидных тождественных
преобразований получим:
. Так
как
, имеем
. Боспользовавшись
теоремой Б
иета, получим


или
.


12
. Майти многочлен наименьшей степени, принимающий
максимальное значение 6 при
x

= 1 и минимальное значение 2

при
x

= 3.

Пешение.

Так как
, то

многочлен степени не
меньше, чем 2 и
р
(
x
)


многочлен степени не меньше, чем 3. Положив
,

из условий
р
 1 0 и
p
 3 0
получим

A

 0. Далее получим


откуда

и
p
(3)
.

Следовательно,
Б
= 2 и
А =
3. Нкончательно,


13.

Дано
S

Доказать, что

последовательность

имеет предел, и найти этот предел.

Пешение.

Пусть

Тогда

очевидно, тоже меньше 2. Так
как

при 0 
x


2, то
. Поэтому

ограничена
сверху и монотонно возрастает. Нбозначив её предел
S
, получим

или

откуда либо

либо
S

=
2. Первый
случай невозможен, так что
S

= 2.


14.


Пусть

последовательность такая, что


Доказать, что она имеет предел
, и найти этот
предел.

Пешение.

Пусть

При
x

=
0
y

(

x

 = 0; при
x



0



39



так что при
x


0
y
(
x
)
x
.


Поэтому


последовательность

монотонно убывает; для каждого
n

� 0,
так что существует

Переходя к пределу в соотношении

 что возможно в силу непрерывности функции

y

(

x

)
на
, имеем
а
= а
rctg

a
, откуда
а

= 0.


15.

Сущест
вует ли функция, значение которой конечно в каждой точке

отрезка

но не ограниченная в любой окрестности любой точки
этого отрезка


Пешение.

Такой функцией
f

(

x

 является, например, функция,
равная 0


для любого иррациональног
о
x
, а для рационального
x
,
представленного


в виде несократимой дроби

равная
q
.

16.

Нпределить

и

таким образом, чтобы имело место

равенство


Пешение.

Зме
ем

откуда

 в
данном случае

 в данном случае


17.

Пусть
f

(
x
)


нечётная дифференцируемая на

промежутке


функция. Доказать, что

а
f

‱
x
)


четная функция. б Берно ли

обратное утверждение

Пешение.

Дифференцируя почленно равенство
f

(
-

x
) =
-

f

(
x
, получаем

f

‱
-

x
) =
f

‱
x
. Б обратную сторону утверждение неверно. Б этом легко

убедиться, взяв, например, функцию


f
(
x
) =
x
+1.


18.

Фу
нкция
f

(
x
 имеет на полуоси

непрерывную
производную,

f

(0) = 1,

при всех
. Доказать, что
существует такая точка
, что
.


40


Пешение.

Пассмотрим фу
нкцию
. Змеем
при

и

при
. Поэтому
существует точка
, в которой функция

достигает наименьшего
знач
ения; в точке

производная функция
, то есть

= 0 и
.



19.

Пусть
f
(
x
 бесконечно дифференцируема на интервале 
-

а
,
а
, и
пусть последовательность

сходится равномерно на интервале
(
-

а
,
а
. Пусть
. Майти
.


Пешение.

Пусть
. Почленно интегрируя,


получим
.

Нтсюда видно,
что
g
(
x
 удовлетворяет дифференциальн
ому


уравнению
g
‱
x
)
=
g
(
x
 и
начальному условию
g
(
0
 = 1, то есть
g
(
x
) =
.


Знтегральное исчисление


20.

Нпределить объём тора тела, полученного вращением круга
радиуса

R

вокруг не пересекающей его оси. Пасстояние от центр
а

круга до оси равно
d
.

Пешение.

Пусть тор получается вращением окружности


относительно оси
Нх
;
тогда его объём равен




=
.


41


21.

Доказать, чт
о интеграл
не зависит от

величины

.

Пешение.


Змеем


.
Сделаем в первом интеграле замену
x

= 1/
y
; тогда
;
,
что не зависит

от величины
.


22
.

Доказать, что если уравнение

имеет
коэффициенты

такие, что
, то оно имеет по крайне мере один
действительный корень, заключенный между нулем и единицей.

П
ешение.

Нбозначим левую часть уравнения
.

Проинтегрируем
обе части равенства
,
получим:
. Кевую часть
этого уравнения обозначим
. Змеем
. Функция

удовлетворяет всем условиям теоремы Полля на отрезке 0;1
дифференцируема, непрерывна, и
,
).
Тогда найдется точка
0;1, в которой
.


23
.


Подобрать форму сосуда поверхность вращения так, чтобы сосуд


можно было использовать в качестве водяных часов понижение
уровня воды в сосуде

должно быть строго пропор
ционально
времени
).

Пешение.

Пусть
площадь поперечного сечения сосуда. За

время

должно вытечь

воды. С другой стороны, за это же


42


время вытекает

воды. Змеем:
.
Мо,

по условию,

и
. Нткуда уравнение поверхности
сосуда:

. Зли
.


24
.

Ззвестно, что

не
прерывна на

и
существует
. Доказать, что
.

Пешение.


+
=

=
+
+

+
+
==
+

+
. Последние два интеграла

сходятся

(

-

интегрируема, а
 и равны. Поэтому
.


43



25
.

Пусть функция

дважды дифференцируема на 0;1 и
вогнута. Йроме того,

на эт
ом отрезке. Показать, что
.

Пешение.
Боспользуемся формулой Тейлора

. Так как

дважды
дифференцируема на 0;1 и вогнута, ее вторая производная
неотрицательна,
,

и третье слагаемое в разложении
неотрицательно. Тогда
. По условию
, поэтому
. Нтсюда
=
.


26
.

Бнутри непрерывной
выпуклой замкнутой кривой взята точка и
через нее проведены хорды. Доказать, что если хорда отсекает сегмент
наименьшей наибольшей площади, то данная точка является
серединой хорды. Справедливо ли обратное утверждение Йакие
результаты вытекают из данног
о утверждения для окружности.


Пешение.
Бведем полярную систему координат, поместив полюс в


данную точку
. Пусть уравнение кривой
. Следует



показать, что
, где
-

угол, при котором хорда


отсекает наименьшую или наибольшую площадь. Зсследуем на
экстремум функцию
.
. Нтсюда следует
, что означ
ает, что точка

лежит на середине
хорды.


44



27
.


Майти объем тела, ограниченного поверхностью, которая
получается при вращении линии

вокруг оси
,
.

Пешение.

28
.

Пусть функция периодическая с периодом

и интегрируемая на
каждом конечном отрезке действительной оси. Доказать, что
необходимым и дост
аточным условием периодичности функции

с тем же самым периодом является
.


Пешение.
Змеем
.




Тогда

=

в силу


периодичности функции
, откуда доказательство очевидно.


29
.

Майти все функции
, определенные на 0;1 и такие, ч
то
,
,
, где

-

данное
действительное число.


45


Пешение.

Змеем


. Сложим 1 и 3

и вычтем 2, получим

или
. Мо
такое равенство возможно только в случае
.




Числовые и функциональные ряды.



30.


Сходится ли ряд
?


Пешение.

Пя
д сходится, если сходится ряд
.


Мо
, и исходный ряд сходится.


31.

Майти сумму ряда
.


Пешение.

Пассмотрим

при
x


0
.
Метрудно проверить, что д
анный ряд можно дважды почленно
продифференцировать на промежутке
, так что



и
.


46


32
.


Ззвестно, что
. Бычислить
.

Пешение.

Преобразуем подынтегральную функцию и возьмем
интеграл

по частям. Змеем:
. Так как
,
, разложим дробь

по степеням
:

. Мо тогда

=
=

=
.




33
.


Зсходя
из выражения

, вычислить сумму

+
+
+

Пешение.

Прологарифмируем данное выражение:

+
+
+
+

=
-

, а
результат продифференцируем:

47


+
+
+

=

+
.
Умножив обе части последнего равенства на

, получим:

+

+

+
+

=

. Нчевидно,
.


34
.

Хепь под влиянием собственного веса принимает форму кривой
. Показать, что при малых

можно заме
нить цепную
линию параболой
.

Пешение.

Пазложив функцию

по степеням
,

получим:
.

35
.

Доказать, что
.

Пешение
.

Данное неравенство эквивалентно неравенству:
.
Мо, разложив

по степеням
это возможно, так как область
сходимости ряда для

(
, убежд
аемся, что правая часть
неравенства
-

только одно из слагаемых в разложении
.


36
.

Майти сумму ряда
,
.

Пешение.

Змеем:


48


.

,
откуда при



=
.


37
.

Нпределить порядок убывания общего члена и исследовать на
сходимость ряд
.

Пешение.


~
~
~

~
.
Поэтому при

ряд сходится.


38
.

Нбозначим
,
,
. Доказать теорему:
ряд

сходится, если для некоторых




,

и расходится, если



,
.

Указание.

Пас
смотреть ряд
, где

. Ложно показать, что члены
этого ряда, начиная с некоторого номера
, положительны и

49


монотонно

убывают. Поэтому сходимость ряда

можно

выяснить,

воспользовавшись интегральной теоремой Йоши:



=

=

=

Далее воспользоваться признаком сравнения.


39
.

Показать, что

=
, считаем

при
).

Пешение.

Змеем
, поэтому

=

=
. Пассмотрим интеграл


=

=
, для
. Нткуда

=

=
.

Маконец,
=

=
.



50


40
.

Бдоль прямого шоссе на расстоянии 500 метров друг от друга
стоят два дома. Б каждом из них можно поселить до 20 человек. Йак

следует расселить 30 человек и где выбрать на шоссе место для
ост
ановки автобуса, чтобы все они вместе тратили на путь до нее как
можно меньше времени

Пешение.

Быбрав систему координат
так, что ось
направлена вдоль шоссе и расположение первого дома
соответствует
, обозначим через

координату остановки, а
через
-

количество жильцов в первом доме. Согласно условиям
задачи, надо минимизировать функцию
,
заданную в области
,
. Действуя по стандартной
методике, получим
. Это наименьшее значение функция
достигает в точках 0,20 и 500,10. Нткуда следует вывод: остановку
надо делать возле одного из домов, в котором и следуе
т поселить 20
человек.


41
.

Пусть функция
, определенная в круге

и
имеющая непрерывные частные производные, удовлетворяет
неравенству
. Доказать, что найдется такая точка в круге, в
кот
орой
.

Пешение.

Допустим, что для всех точек

круга
.

Построим теперь кривую

наискорейшего подъема или спуска, проходящую через точку
.
Так как

в круге, то

внутри круга не имеет
экстремумов и поэтому кривая

выходит на границу круга, причем ее
длина не меньше 1. Для элементарного участка

кривой

совпадает по направлению с
, поэтому

и
, где

-

точка кривой
, лежащая на

5
1


границе круга. Мо так как, по п
редположению,
, то
. Нткуда


. Мо, по условию,


, поэтому
. С др
угой стороны, по


условию, и на границе
. Полученное противоречие и


доказывает, что в круге имеется точка
, в которой


.


42
.

По поверхности, заданной уравнение
м
, движется
точка в направлении наискорейшего спуска. Мачальное положение
точки имеет координаты
. Майти путь, пройденный точкой до
окончания спуска.


Пешение.
Пусть масса точки
.
Тогда по закону сохранения


энергии
=
, откуда



и

. Маискорейший спуск

происходит, когда интеграл в правой части последнего равен
ства

минимален. Эта задача является классической задачей вариационного

исчисления. Змеем:
, где
,
-


множитель Кагранжа,
. Уравнения Эйлера


52


принимают

вид:
, откуда уравнения линии
наискорейшего спуска:

и сам путь
.


43
.

Йакой интеграл больше:

или

?

Пешение.

Змеем:

=

=

=

=

=

-


-
. Тогда
-


=

-


-


=

-


= 0, так как

= 0,
и
.



53


44
.

Майти наибольшее значение функции в замкнутой области,
ограниченной плоскостями
,
,
,
,
.

Пешение.

Би
дно, что данная область есть отрезок
прямой
, заключенный между плоскостями

и
. Так как функция



л
и
нейно зависит от своих аргументов, то наибольшее значение




должно

достигаться на одном из концов отрезка. Змеем



в точке

.


45
.

Пусть
функция двух переменных, каждая из которых
может принимать только два значения: 0 и 1. Показать
, что

можно представить в виде

=

=
, где
постоянные
.

Пешение.

Змеем:
,
,
,

. Пассматривая полученные равенства как
систему уравнений относительно
, видим, что она совместна, так
как ее определитель отличен от нуля.


Дифференциальные уравнения


46.
Ззвестно, что
. Майти
f

(
x
)


при 0


x


1.

Пешение.

Нбозначим
. Тогда

,
,


при 0 
x

1.


47.

Доказать, что при
а


b

 1 выполняется неравенство
.


54


Пешение.

После двойного логарифмирования неравенство приводится
к виду

или, если обозначить

y

=
ln

b

 0, к виду
. Пусть
, тогда

,
так что
. Дсли
, то
. Тогда

и
, то есть снова
.


48
.

Пешить уравнение

=
.

Пешение.

Змеем:

=

=
. Тогда
исходное уравнение равносильно уравнению

=
.
Дифференцируя обе части последнего равенства по
, получим
, откуда
.


49
.

Пешить уравнение
.

Пешение.

Нбозначим
. Тогда исходное уравнение примет
вид
:
.

Нткуда
, откуда
.


50
.

Доказать, что уравнение
, где
постоянная, а

периодическая с периодом
функция, имеет одно
пери
одическое решение с тем же периодом.

Пешение.

Нчевидно, общее решение уравнения имеет вид
. Чтобы решение было периодическим,
необходимо, чтобы для любого

выполнялось:

55


=
, или
=
. * Так как


периодическая функция, то
=


+
=
=

=

+

=

+

и
равенство * примет вид

=
. Нткуда

=
. При таком значен
ии постоянной

решение

дифференциального уравнения будет единственным и периодическим
с периодом
.


51
.

Поверхность
, у которой средняя кривизна равна нулю,
называетс
я минимальной. Ззвестно, что координаты точек таких
поверхностей удовлетворяют уравнению:
, где
,
,
,
,
. Майти миним
альные поверхности вращения.


Пешение.

Ззвестно, что поверхность вращения имеет уравнение



вида:
. Нбозначив
, имеем



56



и
,
,
,


,
.
Подставляя




в исходное уравнение, получим:

+

+
. (*)

Мо так как
,
, то * принимает вид:
.
Пешая это уравнение, получим функции, задающие искомые
поверхности:
.


52
.

Ззвестно, что
. Майти
f

(
x
)


при 0


x


1.


Пешение.

Нбозначим
. Тогда
,
,

при 0 
x

1.


53
.
Доказать, что краевая задача

не имеет
другого

решения, кроме
.

Пешение.
Дсли

,
то либо при некотором


и тогда

*, либо при некотором

57



, и тогда
**. Мо в силу
исследуемого уравнения должно быть
,


, что противоречит неравенствам * и **.






Китература

1.

Садовничий Б. А.,

Подколзин А.С. Задачи студенческих
математических олимпиад.


Л.: Маука, 1978.

2.

Вюнтер М. Л., Йузьмин П. Н. Сборник задач по высшей
мате
матике: Т.1, 2, 3.


Л.: НВЗЗ, 1947.

3.

Йемени Дж.,

Снелл Дж., Томпсон Дж. Бведение в конечную
математику.


Л.: ЗК, 1963.

4.

Тоноян В. А., Сергеев Б. М. Студенческие математические
олимпиады.


Древан: ДВУ,1985.

5.

Сергеев Б. М. Сборник олимпиадных задач по высше
й
математике.


Нмск: НПЗ, 1975.

6.

Чубин Л. А. Задачи студенческих математических олимпиад.


Л.: ЛВУ,1975.

7.

Садовничий Б. А., Вригорьян А. А., Йонягин С. Б. Задачи
студенческих математических олимпиад.


Л.: ЛВУ,1987.

8. Ззбранные задачи по математике
из журнала «
American


Mathematical

Monthly
» : Сборник. Пер.с англ.
/

Под ред. и с
предисл. Б. Л. Алексеева. Ззд. 2
-
е, стереотипное.



Л.:
Ддиториал УПСС, 2004.









58


Учебное издание


ЧАХЛАТНБ Балерий Лихайлович

КЗСНЙ Александр Кеонидович


ТАПБН
ЙНБА Татьяна Басильевна


ТБПСНИК ПЛИМПИБДНЫХ ЗБДБЧ

ПП ВЫТШЕЙ МБУЕМБУИКЕ

Учебное пособие


Маучный редактор


доктор наук, профессор Й. П. Арефьев


Педактор М. Я. Ворбунова



Бёрстка Б. Л. Чахматова


Подписано к печати 00. 00. 2009

Формат 60
84/16. Бумага «Снегурочка»

Печать
XEROX

Усл. печ. л. 0.0. Уч.
-
изд. л. 0,00.

Заказ 000. Тираж 300 экз.











59


Для заметок





Приложенные файлы

  • pdf 8656755
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий