ТВиМС — ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Теория вероятностей:

Задача 1. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять.
Решение. Определим испытание и его результат, т. е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом одно из сочетаний очков 1, ..., 6 на верхних гранях трех костей.
Исследуемое событие сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события вычислим с помощью формулы: .
Общее количество элементарных событий можно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем
.
Количество элементарных событий , входящих в состав события или благоприятствующих событию , найдем, выписав все возможные результаты испытаний и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросаний первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости. Имеем:
11З

212

311

366

465

564

663


122

221

316

415

514

613




131

226

325

424

523

622




136

235

334

433

532

631




145

244

343

442

541

636




154

253

352

451

546

645




163

262

361

456

555

654




В результате получаем, что , значит,
.
Ответ: .

Задача 2. Слово МАТЕМАТИКА составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая, когда буквы вынимаются в порядке заданного слова.
Решение. Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие состоит в получении нужного слова МАТЕМАТИКА. По классической формуле вероятности:
,
где – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события ;
– общее число возможных элементарных исходов испытания.
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу перестановок из 10 букв:




Некоторые буквы в слове МАТЕМАТИКА повторяются (М 2 раза, А 3 раза, Т 2 раза), поэтому возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно:

Таким образом,
.
Ответ: .

Задача 3. Фамилия и имя студента записаны с помощью карточек. Карточки с буквами фамилии и имени смешивают в отдельные пачки и отдельно вынимают по одной карточке без возврата. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке следования в фамилии и имени.
Эта задача решается аналогично предыдущей.

Задача 4. В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:
а) 2 белых шара;
б) меньше чем 2 белых шара;
в) хотя бы один белый шар.
Решение.


13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

.


а) среди вынутых шаров 2 белых. Значит, среди вынутых шаров 2 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем
,
б) среди вынутых шаров меньше чем 2 белых. Это событие состоит из двух несовместных событий:
среди вынутых шаров только один белый и 3 черных шара,
среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 4 шара черные:
.
Так как события и несовместны, по теореме сложения для несовместных событий:
;
,
, ;
.
в) среди вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров:
1 белый и 3 черных (), 2 белых и 2 черных (), 3 белых и 1 черный (), 4 белых (). Имеем
.
Здесь событие определяется словами «хотя бы один» и прямое решение приводит обычно к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события и затем по формуле вычислить вероятность искомого события.
среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае
, ;
.
Ответ. , ,.

Задача 5. Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени безотказно соответственно с вероятностями 0,851, 0,751 и 0,701. Найти вероятность того, что за время выйдет из строя:
а) только один элемент;
б) хотя бы один элемент.
Решение. Испытание, т. е. работу за время , нужно рассмотреть на двух уровнях: на уровне устройства и на уровне элементов. Элементарные события определять не надо, так как их вероятности заданы.
а) за время выходит из строя только один элемент:
первый элемент выходит из строя;
второй элемент выходит из строя;
третий элемент выходит из строя;
первый элемент не выходит из строя;
второй элемент не выходит из строя;
- третий элемент не выходит из строя.
.
Учитывая независимость элементов устройств, несовместность событий и , и формулы и , получаем:


По условию,
, , ,
учитывая, что , получаем:
, ,

Таким образом,
.
б) за время выходит из строя хотя бы один элемент.
Событие определяется словами «хотя бы один», значит, используем противоположное событие.
за время все элементы работают безотказно:
;
;
.
Ответ: , .

Задача 6. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли случайно 3 шара, а из второй 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:
а) все шары одного цвета;
б) только три белых шара;
в) хотя бы один белый шар.

Решение.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

а) все вынутые шары одного цвета, т. е. они или все белые, или все черные.
Определим для каждой урны все возможные события:
из первой урны вынуты 3 белых шара;
из первой урны вынуты 2 белых и 1 черный шар;
из первой урны вынуты 1 белый и 2 черных шара;
из первой урны вынуты 3 черных шара;
из второй урны вынуты 2 белых шара;
из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;
из второй урны вынуты 2 черных шара.
Значит, откуда, учитывая независимость и несовместность событий, получаем
.
Найдем количество элементарных событий и для первой и второй урн соответственно:
, .
Найдем количество каждого из элементарных событий, определяющих следующие события:
, ,
,
, ,
.
Следовательно,
.
б) среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае
;
;
.

в) среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.
среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара. Тогда
;
;
.

Ответ: , , .

Задача 7. В урне 4 черных и белых шара. К ним прибавляют 2 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все предположения о первоначальном содержании урны равновозможны.
Решение.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

.
Событие случайно вынимают 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, каким был первоначальный состав шаров в урне.
Рассмотрим события:
в урне было 4 белых шара;
в урне было 3 белых и 1 черный шар;
в урне было 2 белых и 2 черных шара;
в урне был 1 белый и 3 черных шара;
в урне было 4 черных шара.
Формулу полной вероятности используем в следующем виде:


События , , , , образуют полную группу событий, значит, их сумма равна достоверному событию
.
Сумма вероятностей достоверных событий равна 1:

По условию все эти вероятности равны. Следовательно,
.
Общее число элементарных исходов
.
Найдем условные вероятности события при различных условиях.

При :
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415



При :
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415



При :
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415



При :
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415



При :
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415




.

Ответ: .

Задача 8. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой 4 белых и 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.
Решение.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Рассмотрим события:
шары, взятые из второй урны;
из первой урны взяли 3 белых шара;
из первой урны взяли 2 белых и 1 черный шар;
из первой урны взяли 1 белый и 2 черных шара;
из первой урны взяли 3 черных шара.
Используя формулу полной вероятности, находим

.
Количество элементарных событий на первом этапе равно
,
а на втором этапе
.

При :,
,
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
,
.

При :,
,
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
,
.

При :,
,
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415



При :,
,
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

.


.
Ответ: .

Задача 9. В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, с вероятностью 0,46. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
Решение. В этой задаче первым испытанием является случайный выбор винтовки, вторым стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события:
стрелок поразит мишень;
стрелок возьмет винтовку с оптическим прицелом;
стрелок возьмет винтовку без оптического прицела.
Используем формулу полной вероятности:

Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем и, соответственно, (для ) и (для ). Таким образом, , . Условные вероятности заданы в условии задачи:
и .
Следовательно,

Ответ: .

Задача 10. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 19, 6 и 11 шт., которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85, 0,76 и 0,71. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим заводом-изготовителем.
Решение. Первым испытанием является выбор электродвигателя, вторым работа электродвигателя во время гарантийного срока. Рассмотрим следующие события:
электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока;
монтер возьмет двигатель из продукции 1-го завода;
монтер возьмет двигатель из продукции 2-го завода;
монтер возьмет двигатель из продукции 3-го завода.
Вероятность события вычисляем по формуле полной вероятности:


Условные вероятности заданы в условии задачи:
, , .
Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:
, ,
;
.
По формуле Бейеса вычисляем условные вероятности событий (гипотез) : ;
;
.
Ответ: , .

Задача 11. В каждом из 11 независимых испытаний событие происходит с постоянной вероятностью . Вычислить все вероятности , где – частота события .
Решение.
Дано: , , .
Найти: и .
Используем формулу Бернулли: .
Вычисляем значение :
.
При больших значениях и вычисления по формуле Бернулли достаточно громоздки и, кроме того, на практике обычно не требуется такая высокая точность. Поэтому вычисляют по формуле Бернулли, которая при принимает вид , а все остальные по формуле:
, .
Результаты вычислений записываем в таблице. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство: .







0
1
2
3
4
5


11/1
10/2
9/3
8/4
7/5
0,0197732
0,0932168
0,1997503
0,2568218
0,2201330
0,1320798
6
7
8
9
10
11
6/6
5/7
4/8
3/9
2/10
1/11
0,0566056
0,0173282
0,0037131
0,0005304
0,0000454
0,0000017






0,9999994


Задача 12. В каждом из 700 независимых испытаний событие происходит с постоянной вероятностью . Найти вероятность того, что событие происходит:
а) точно 270 раз;
б) меньше, чем 270 и больше, чем 230 раз;
в) больше, чем 270 раз.
Решение. Учитывая, что количество испытаний довольно велико, можно использовать формулы Муавра-Лапласа.
а) Дано: , , .
Найти: .
Используем локальную теорему Муавра-Лапласа:
, где , .
Функция – четная ( т.е. ).
Находим:
;
.
Значение функции находим по таблице:
, .
б) Дано: , , , .
Найти: .
Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа:
, где
, , .
Функция – нечетная ( т.е. ).
Находим:
;
, .
Значение функции находим по таблице:
.
в) Дано: , , , .
Найти: .
Имеем: , , ,

.

Задача 13. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью . Найти вероятность того, что среди 200 соединений произойдет:
а) точно 1 неправильное соединение;
б) меньше, чем 3 неправильных соединения;
в) больше, чем 2 неправильных соединения.
Решение. Вероятность события мала, поэтому используем формулу Пуассона:
, где .
а) Дано: , , .
Найти: .
Получаем: ..





б) Дано: , , .
Найти: .
Имеем: ,

.
в) Дано: , , .
Найти: .
Эту задачу можно решить проще, найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Учитывая решение б), имеем:
.

Задача 14. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти плотность распределения , построить графики функций и . Вычислить для ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), моду и медиану .

Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
.
Математическое ожидание .
Т.к. непрерывная случайная величина определена только на интервале (0;2), то
.
Дисперсия:
.
Т.к. непрерывная случайная величина определена только на интервале (0;2), то
.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (для которого вероятность или плотность вероятности достигает максимума).
По графику плотности распределения видно, что достигает максимума в точке , следовательно, мода .
Медианой непрерывной случайной величины называется такое ее значение, для которого
.
Геометрически вертикальная прямая , проходящая через точку с абсциссой, равной , делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части. Очевидно, что в точке функция распределения равна , т.е. .
Для нахождения медианы нужно решить уравнение . Отсюда . Случайная величина определена только на интервале (0, 2), значит
.
Задача 15. Задана случайная величина . Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значение:
а) в интервале ;
б) меньшее – 1;
в) большее 2;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше, чем на 1.
Решение. По условию случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением = 2. Вероятность того, что случайная величина принимает значения в интервале , равна:
(), где
– функция Лапласа,
, .
а) Дано: , , , .
Найти: ().
Имеем: ()
.

б) Дано: , , , .
Найти: ().
Получаем:
() =() =



в) Дано: , , , .
Найти: ().
Имеем:
() =() =



г) Вероятность того, что случайная величина отличается от своего среднего значения по абсолютной величине не больше, чем на , вычисляется по формуле:
).
Дано: , ,= 1.
Найти: ).
Получаем:
).

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА:

Тема: Вариационные ряды и их характеристики.

Задача 1. Для заданной выборки:
построить дискретный ряд распределения, составить таблицу частот;
построить полигон частот, кумуляту;
вычислить среднее значение , дисперсию и среднеквадратическое отклонение .
Элементы выборки:
2
4
4
1
5
1
8
1
3
9
4
2
1
7

7
3
7
8
7
3
2
3
5
3
8
2
6
6

3
5
2
8
3
7
9
5
8
8
1
5
1


Решение.
1). Для построения дискретного ряда распределения располагаем различные значения признака Х в порядке их возрастания и для каждого из этих значений определяем его частоту, а также относительную частоту (частость ). Результаты группировки сводим в таблицу. Кроме перечисленных характеристик вычисляем накопленные частоты:


п/п
Варианта

Частота

Частость

Накопленная
частота
Накопленная частость

1
1
6
0,146
6
0,146

2
2
5
0,122
11
0,268

3
3
7
0,171
18
0,439

4
4
3
0,073
21
0,512

5
5
5
0,122
26
0,634

6
6
2
0,049
28
0,683

7
7
5
0,122
33
0,805

8
8
6
0,146
39
0,951

9
9
2
0,049
41
1

Итого

41
1



2). Построим полигон частот. Для этого по оси абсцисс откладываем варианты (), а по оси ординат – соответствующие им частоты (). Полученные на пересечении абсцисс и ординат точки соединяем прямыми линиями, в результате получаем ломаную линию, которая называется полигоном частот:

Если по оси ординат отложить относительные частоты, то получим полигон относительных частот.



33

28
26












3). Определим статистические показатели ряда распределения.
Среднее арифметическое признака определяется по формуле:
, где - объем вариационного ряда.

Выборочная дисперсия:


Среднеквадратическое отклонение:
.

Тема: Проверка статистических гипотез.
Задача 2. По заданной выборке проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины по критерию согласия Пирсона. Произвести интервальную оценку выборочного среднего значения с доверительной вероятностью 0,98. Выборка: =182

58
60
63
64
65
67
68
69
70
70
72
73
73
74

79
8
82
82
83
84
85
85
86
88
89
90
93
95

68
68
70
70
72
72
73
73
74
74
75
77
77
78

84
85
86
86
88
90
91
94
95
57
58
60
64
64

73
73
74
75
75
77
77
78
78
79
80
80
82
82

93
94
96
57
62
65
65
68
69
70
72
73
74
75

85
85
88
88
90
98
103
55
59
62
62
63
64
65

72
72
73
73
74
74
75
75
77
77
78
78
78
79

84
84
85
86
86
88
89
90
90
91
94
99
101
75

62
63
65
80
82
82
69
70
72
86
88
77
78
75

69
70
72
67
69
80
84
75
83
74
89
83
79
65

82
59
85
80
70
83
77
57
77
100
83
82
80
68

80
68
89
83
82
78
67
79
67
79
79
79
78
69


Решение. Для построения интервального ряда распределения определим число групп в ряду распределения по формуле Г.А. Стерджесса:
.
Принимаем число интервалов .
Максимальное значение ряда 103, минимальное значение ряда 55.
Длина интервала: .
Полученный ряд распределения: (52-58); (58-64); (64-70); (70-76); (76-82); (82-88); (88-94); (94-100); (100-106).
Принимаем гипотезу , утверждающую, что случайная величина имеет нормальный закон распределения. В качестве критерия для проверки этой гипотезы используем случайную величину – критерий согласия Пирсона, который имеет приближенное распределение с числом степеней свободы . Здесь – число интервалов, на которые разделена область изменения ; – количество неизвестных параметров теоретического распределения, оценки которых вычисляются по выборке; – объем выборки; - эмпирические частоты; - теоретические частоты, где - вероятность попадания значения признака в -й интервал. Чтобы утверждение о распределении случайной величины по закону было достаточно точным, требуется выполнение условия . В случае невыполнения условия для некоторых интервалов, их объединяют с соседними интервалами.
Теоретические частоты вычислим по формулам: , где , - значения функции Лапласа ( – находится по таблице).
Левый конец первого интервала принимаем равным – (, а правый конец последнего интервала + (.
Определим эмпирические частоты и характеристики выборки:

№ n/n
Интервалы
Частоты
Середины интервалов



1
52-58
4
55
-21,53
2045,82

2
58-64
13
61
-15,53
3588,92

3
64-70
26
67
-9,53
2929,85

4
70-76
42
73
-3,53
894,67

5
76-82
34
79
2,47
65,18

6
82-88
33
85
8,47
1799,57

7
88-94
19
91
14,47
3403,81

8
94-100
8
97
20,47
3006,11

9
100-106
3
103
26,47
1933,14



182


19667,08


Характеристики выборки рассчитываются по следующим формулам:
Выборочное среднее

Выборочная дисперсия
.
Среднеквадратическое отклонение:
.
Определим доверительный интервал для . Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенного количественного признака по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал:
< a <, где S – «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение
, находят по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному числу степеней свободы и уровню значимости . Для = 0,98 ( и =182: .

< <, отсюда
75,82 < < 79,42.
Таким образом, интервалом, покрывающим с вероятностью 0,98, служит интервал (75,82; 79,42).

Для вычисления теоретических характеристик учитывая, что , , , составим расчетную таблицу:


Границы интервала















1

58

-1,887
-0,5
-0,4706
5,3508
4

2
58
64
-1,887
-1,310
-0,4706
-0,4049
11,957
13

3
64
70
-1,310
-0,733
-0,4049
-0,2673
25,043
26

4
70
76
-0,733
0,155
-0,2673
-0,0636
37,073
42

5
76
82
0,155
0,422
-0,0636
0,1628
41,205
34

6
82
88
0,422
0,999
0,1628
0,3413
32,487
33

7
88
94
0,999
1,576
0,3413
0,4429
18,491
19

8
94
100
1,576
2,153
0,4429
0,4846
7,5894
8

9
100

2,153

0,4846
0,5
2,8028
3


·






182,00
182


Поскольку для последнего интервала теоретическая частота меньше, чем 5, объединим два последних интервала в один и на основании полученных величин найдем расчетное значение критерия Пирсона.


Границы интервала











1

58
5,3508
4
0,341007

2
58
64
11,9574
13
0,090907

3
64
70
25,0432
26
0,036555

4
70
76
37,0734
42
0,654685

5
76
82
41,2048
34
1,259784

6
82
88
32,487
33
0,008101

7
88
94
18,4912
19
0,014000

8
94

10,3922
11
0,035548


·


182,00
182
2,440587

=2,44.
Для определения критического значения критерия Пирсона найдем число степеней свободы:
.
Здесь – число групп ряда распределения в последней таблице; – число параметров нормального закона распределения, оценки которых вычислялись по выборке.
По таблице критических точек распределения для уровня значимости 0,02 и числа степеней свободы 5 находим
.
Поскольку <, то значение не принадлежит критической области и, следовательно, гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.

Тема : Корреляционный и регрессионный анализ.

Задача 3. По заданной выборке (, ) найти:
коэффициент корреляции;
уравнения линейной регрессии на и на ;
построить корреляционное поле и графики прямых регрессии.












23
-115
18
-90
10
-48
19
-91
18
-84

9
-44
12
-55
24
-115
6
-26
22
-107

18
-84
18
-83
11
-54
15
-71
13
-64

11
-51
14
-64
22
-109
8
-38
14
-64

22
-106
9
-43
16
-74
17
-85
15
-71

13
-60
8
-37
24
-118
18
-87
6
-28

7
-31
22
-109
13
-64
8
-35
8
-35

12
-56
12
-54
14
-67
14
-68
21
-102

10
-46
16
-79
17
-80
18
-87
22
-105

Решение.
Линейное уравнение регрессии является наиболее простой моделью корреляционной связи. Уравнения линий регрессии можно найти по формулам:
на : ; (1)
на : . (2)
Следует иметь в виду, что это две различные прямые. Первая прямая получается в результате решения задачи о минимизации суммы квадратов отклонений по вертикали, а вторая – при решении задачи о минимизации суммы квадратов отклонений по горизонтали.
В уравнении (1) коэффициент , который называется коэффициентом регрессии на на , показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная при увеличении переменной на одну единицу.
В уравнении (2) коэффициент , который называется коэффициентом регрессии на , показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная при увеличении переменной на одну единицу.

При прямолинейной форме связи показатель тесноты связи определяется по формуле коэффициента линейной корреляции:
.
Качественная оценка значения коэффициента линейной корреляции осуществляется на основе шкалы Чеддока:
Значения
показателя
тесноты связи
0,1-0,3
0,3-0,5
0,5-0,7
0,7-0,9
0,9-0,99

Характеристика
силы связи
Слабая
Умеренная
Заметная
Высокая
Весьма высокая

Чем ближе к единице, тем сильнее связь между признаками.
Для вычисления коэффициента линейной корреляции для факторного () и результативного () признаков, а также коэффициентов уравнения регрессии, составим расчетную таблицу:








1
23
-115
529
13225
-2645

2
9
-44
81
1936
-396

3
18
-84
324
7056
-1512

4
11
-51
121
2601
-561

5
22
-106
484
11236
-2332

6
13
-60
169
3600
-780

7
7
-31
49
961
-217

8
12
-56
144
3136
-672

9
10
-46
100
2116
-460

10
18
-90
324
8100
-1620

11
12
-55
144
3025
-660

12
18
-83
324
6889
-1494

13
14
-64
196
4096
-896

14
9
-43
81
1849
-387

15
8
-37
64
1369
-296

16
22
-109
484
11881
-2398

17
12
-54
144
2916
-648

18
16
-79
256
6241
-1264

19
10
-48
100
2304
-480

20
24
-115
576
13225
-2760

21
11
-54
121
2916
-594

22
22
-109
484
11881
-2398

23
16
-74
256
5476
-1184

24
24
-118
576
13924
-2832

25
13
-64
169
4096
-832

26
14
-67
196
4489
-938

27
17
-80
289
6400
-1360

28
19
-91
361
8281
-1729

29
6
-26
36
676
-156

30
15
-71
225
5041
-1065

31
8
-38
64
1444
-304

32
17
-85
289
7225
-1445

33
18
-87
324
7569
-1566

34
8
-35
64
1225
-280

35
14
-68
196
4624
-952

36
18
-87
324
7569
-1566

37
18
-84
324
7056
-1512

38
22
-107
484
11449
-2354

39
13
-64
169
4096
-832

40
14
-64
196
4096
-896

41
15
-71
225
5041
-1065

42
6
-28
36
784
-168

43
8
-35
64
1225
-280

44
21
-102
441
10404
-2142

45
22
-105
484
11025
-2310


·
667
-3184
11091
255774
-53238

Вычислим средние значения:
;
;
;
;
.

Выборочная дисперсия и среднеквадратическое отклонение переменной :
; ;

Выборочная дисперсия и среднеквадратическое отклонение переменной :
; .

Вычислим коэффициент корреляции:
=

Коэффициент корреляции –0,998. Абсолютное значение коэффициента корреляции близко к единице. Это дает возможность на основании шкалы Чеддока сделать вывод о том, что связь между факторным и результативным признаками весьма высокая. Отрицательное значение коэффициента свидетельствует о том, что связь обратная.

Найдем уравнение линии регрессии на :

-70,76; 14,82; –0,998; 5,174; 26,03.
Подставляем полученные значения в уравнение:
. Отсюда
(это означает, что при увеличении переменной на одну единицу переменная в среднем увеличивается на –5,0209 единиц, т.е. уменьшается на 5,0209 единиц).
Уравнение линии регрессии на :

. Отсюда
= –0,1984+0,7831 (это означает, что при увеличении переменной на одну единицу переменная в среднем уменьшается на 0,1984 единиц).

Строим корреляционное поле. Для этого на координатной плоскости отмечаем все заданные пары чисел (,) (всего 45 точек). На этом же графике строим полученные линии регрессии.



Прямые регрессии на и на пересекаются в точке с координатами , в нашем примере (14,82; -70,76).












Испытанием будет случайное вынимание четырех шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания по 4 из 11 шаров. Их число равно:



4

5 ч
6 б

Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями
Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями являются извлечение трех шаров из первой урны и двух шаров из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания по 3 или 2 из 10 или 12 шаров соответственно.

I урна II урна

3

6 б
4 ч

2

5 б
7 ч

Здесь имеют место два вида испытаний: сначала задается первоначальное содержимое урны и затем случайным образом вынимается 3 шара, причем результат второго испытания зависит от результата первого. Поэтому используем формулу полной вероятности:

3

4 ш
2 б

3


6 б

3

5 б
1 ч

3

4 б
2 ч

3

3 б
3 ч

3

2 б
4 ч

В этой задаче испытания также происходят в два этапа: вначале случайным образом вынимают шары из первой урны и опускают во вторую, а затем случайно вынимают шары из второй урны.

I урна II урна

3

5 б
6 ч

4

4 б
8 ч

4

7 б
8 ч

4

6 б
9 ч

4

5 б
10 ч

4

4 б
11 ч

График функции распределения .





1/2

2 х



0

2 х

0

1

График функции плотности распределения .


1

41
39

При помощи кумуляты (кривой сумм) изображается ряд накопленных частот. Для построения кумуляты по оси абсцисс откладываем варианты, а по оси ординат – накопленные частоты (или частости). Полученные точки соединяем и получаем ломаную линию – кумуляту.

21
18


11

6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Кумулята

у

х




0

= – 0,1984+0,7831









Приложенные файлы

  • doc 260347
    Размер файла: 777 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий