база фипи математика


Начало формы
В таблице указаны доходы и расходы фирмы за 5 месяцев.
 
Месяц Доход, тыс. руб. Расход, тыс. руб.
Июль 115 110
Август 125 130
Сентябрь 140 120
Октябрь 120 110
Ноябрь 130 90
 
Пользуясь таблицей, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику доходов и расходов.
 
   ПЕРИОДЫ ВРЕМЕНИ   ХАРАКТЕРИСТИКИ
А)  август
Б)  сентябрь
В)  октябрь
Г)  ноябрь
    1)  расход в этом месяце больше, чем расход в предыдущем
2)  доход в этом месяце меньше, чем доход в предыдущем
3)  наибольший доход в период с августа по ноябрь
4)  наибольшая разница между доходом и расходом
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.
Конец формы
   781A42

Начало формы
На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.
 
Конец формы
   BFED46

Начало формы
В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Конец формы
   574444

Начало формы
В ящике находятся чёрные и белые шары, причём чёрных в 4 раза больше, чем белых. Из ящика случайным образом достали один шар. Найдите вероятность того, что он будет белым.
 
Конец формы
   55FB4A

Начало формы
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру в 1994 году. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 
Конец формы
   30294C

Начало формы
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линиями. Определите по рисунку, какого числа за данный период впервые выпало ровно 1,5 миллиметра осадков.

 
Конец формы
   872A42

Начало формы
Фабрика выпускает сумки. В среднем из 125 сумок 5 сумок имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется без дефектов.
 
Конец формы
   8C034D

Начало формы
На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Свердловске) за каждый месяц 1973 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали —температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную температуру во второй половине 1973 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

 
Конец формы
   7ADFF4

Начало формы
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с 7 по 22 ноября 1995 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшее суточное количество осадков за данный период. Ответ дайте в миллиметрах.
 

 
Конец формы
   B4CBF2

Начало формы
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 5 прыгунов из России и 7 прыгунов из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что вторым будет выступать прыгун из Китая.
Конец формы
Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.
 
 
 
 
Конец формы
   22DBDC

Начало формы

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.
 
 
 
 
Конец формы
   9C2BD6

Начало формы

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 24, её большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.
 
 
 
Конец формы
   07965E

Начало формы

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 37. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
 
 
 
Конец формы
   AB1F5D

Начало формы
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD=75° и BC=1.
Конец формы
   DDB7A7

Начало формы

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 43. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
 
 
 
Конец формы
   A643C9

Начало формы

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите её объём.
 
 
 
 
Конец формы
   F26E93

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите синус этого угла.
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   576866

Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P:PB1=1:2, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
Конец формы
   474248

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите косинус этого угла.
 
 
 
 
 
 
Конец формы
  
Начало формы
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 15 и 22. Найдите среднюю линию трапеции.
 
 
 
Конец формы
   F6F40C

Начало формы

Площадь полной поверхности конуса равна 35. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 3:2, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.
 
 
Конец формы
   0C55B6

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите косинус этого угла.
 
 
 
 
Конец формы
   36B1B0

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите косинус этого угла.
 
 
 
 
Конец формы
   582E12

Начало формы

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 9 и 12. Найдите среднюю линию трапеции.
 
 
 
Конец формы
   1F11DD

Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 7. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=4. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P:PB1=1:3, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
Конец формы
   AC96DF

Начало формы

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 2 и 7, боковое ребро призмы равно 6. Найдите объём призмы.
 
 
 
 
 
Конец формы
   C2CADE

Начало формы
К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:2?
Конец формы
   6B7451

Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 6. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=5. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P:PB1=4:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.
Конец формы
   639055

Начало формы

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 7, объём призмы равен 56. Найдите боковое ребро призмы.
 
 
 
 
Конец формы
Начало формы
Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 12 и 15. Найдите среднюю линию трапеции.
 
 
 
Конец формы
   1E11A7

Начало формы
К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:3?
Конец формы
   C131C9

Начало формы

Площадь полной поверхности конуса равна 32,5. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 4:1, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.
 
 
 
Конец формы
   4F5B93

Начало формы

Площадь полной поверхности конуса равна 15. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 2:3, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.
 
 
Конец формы
   46716E

Начало формы
К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.
а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.
б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P. В каком отношении делит сторону BC прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AM:MB=1:4?
Конец формы
   EE3463

Начало формы

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, боковое ребро призмы равно 4. Найдите объём призмы.
 
 
 
 
 
Конец формы
   474C30

Начало формы
Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD.
а) Докажите, что AB:BC=AP:PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где O — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, AB=5, а BC=52√.
Конец формы
   D81F46

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
 
 
 
Конец формы
   C1774A

Начало формы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9. Боковые рёбра призмы равны 2π. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.
 
 
Конец формы
   E7964C

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
 
 
 
Конец формы
Начало формы

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол AOD равен 114°. Найдите вписанный уголACB. Ответ дайте в градусах.
 
 
 
Конец формы
   29D9FB

Начало формы

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.
 
 
 
 
Конец формы
   DF37FC

Начало формы

В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 6,5, а сторона основания равна 2,5. Найдите высоту пирамиды.
 
 
 
 
Конец формы
   5912F6

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён параллелограмм. Найдите его площадь.
 
 
 
Конец формы
   C02FFF

Начало формы

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, D, F, A1, C1, D1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 11.
 
 
 
Конец формы
   BCD10D

Начало формы

Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 11. Найдите площадь этого треугольника.
 
 
 
 
Конец формы
   21470A

Начало формы

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна 43. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
 
 
 
Конец формы
   C93F05

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   6D78B4

Начало формы
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Объём параллелепипеда равен 36. Найдите высоту цилиндра.

Конец формы
   A57713

Начало формы
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки A до прямой E1D1.
Конец формы
Начало формы
Окружность вписана в равнобедренную трапецию, основания которой равны 18 и 50. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.
Конец формы
   5405B4

Начало формы
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 104°, угол CAD равен 5°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   1A845D

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   989D3D

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 48 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в см.
Конец формы
   0BE824

Начало формы
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 3, а боковые рёбра равны 13, найдите расстояние от точки C до прямой A1F1.
Конец формы
   5E054E

Начало формы
Периметр равнобедренной трапеции равен 136. Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, причём боковая сторона делится точкой касания в отношении 9 : 25. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.
Конец формы
   815E72

Начало формы
В треугольнике ABC CD — медиана, угол C равен 90°, угол B равен 35°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   5B17F7

Начало формы
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   85ECE4

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, D, A1, B, C, B1 прямоугольного параллелепипедаABCDA1B1C1D1, у которого AB=3, AD=4, AA1=5.

Конец формы
   C352F6

Начало формы
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все рёбра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AA1 и BC1.
Конец формы
  
Начало формы
Точки M, K и N лежат на сторонах соответственно AB, BC и AC треугольника ABC, причём AMKN — параллелограмм, площадь которого составляет 49 площади треугольника ABC. Найдите диагональ MN параллелограмма, если известно, что AB = 21, AC = 12 и ∠BAC = 120°.
Конец формы
   5036B5

Начало формы
   
Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Конец формы
   556969

Начало формы
   
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 15 окружности. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   343A64

Начало формы
  
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O – центр основания, SO=35,SD=37. Найдите длину отрезка BD.
Конец формы
   C026C8

Начало формы
   
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).
Конец формы
   79A288

Начало формы
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA​1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки B до плоскости FB​1C1.
Конец формы
   BCE544

Начало формы
Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.
Конец формы
   52F0CC

Начало формы
   
Площадь круга, изображённого на клетчатой бумаге, равна 16. Найдите площадь заштрихованного кругового сектора.
Конец формы
   4EF275

Начало формы
   
На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга окружности AC, не содержащая точку B, составляет 200°.Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 80°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   65729E

Начало формы
   
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 12 π, а диаметр основания равен 6. Найдите высоту цилиндра.
Конец формы
   B29C5A
Начало формы
  
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы – прямые).
Конец формы
   0CD226

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA​1B1C1D1 AB=2, AD=AA​1=1. Найдите угол между прямой A​1B1 и плоскостью AB​1D1.
Конец формы
   8A6575

Начало формы
На прямой, содержащей биссектрису AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удалённая от вершины A на расстояние, равное 26−−√. Найдите площадь треугольника BCE, если BC=5, AC=12.
Конец формы
   E41156

Начало формы
   
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
 
Конец формы
   1FAA8E

Начало формы
  
В треугольнике ABC угол C равен 58°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите уголAOB. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   540F92

Начало формы
 
Диаметр основания конуса равен 40, а длина образующей – 25. Найдите высоту конуса.
Конец формы
   50FCF3

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 98 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 7 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   32A4DF

Начало формы
В правильной треугольной призме ABCA​1B1C1 стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D – середина ребраCC​1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB​1.
Конец формы
   28FCD9

Начало формы
Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Конец формы
   875E8C

Начало формы
 
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Конец формы
   B67064
Начало формы
  
В треугольнике ABC угол A равен 56°, углы B и C – острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O.Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   A4D931

Начало формы
 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=16, A1B1=2,A1D1=8. Найдите длину диагонали AC1.
Конец формы
   D6AA89

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 64 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   6CD9EC

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA​1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 4. На ребре AA​1 отмечена точка E так, что AE:EA​1=3:1. Найдите угол между плоскостями ABC и BED​1.
Конец формы
   BCC69B

Начало формы
В треугольнике ABC известны стороны: AB=7, BC=9, AC=10. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.
Конец формы
   7C44EF

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   910D73

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, AB=20, высота AH равна 8.

Найдите синус угла BAC.
Конец формы
   B26F8E

Начало формы
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса.

Радиус сферы равен 102√. Найдите образующую конуса.
Конец формы
   F4AA43

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D, A1, B1, C1, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмыABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 2.

 
Конец формы
   362938

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку C и середину ребра MA параллельно прямой BD.
Конец формы
   824C9A
Начало формы
Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1=30°.
Конец формы
   C513A9

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   41A82D

Начало формы
В треугольнике ABC AB=BC, AC=14, высота CH равна 7.

Найдите синус угла ACB.
Конец формы
   387739

Начало формы
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса.

Радиус сферы равен 512√. Найдите образующую конуса.
Конец формы
   280F78

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6.

 
Конец формы
   113FBD

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 4, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.
Конец формы
   91D67D

Начало формы
Окружности радиусов 5 и 8 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1=15°.
Конец формы
   8A316A

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   E90A55

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, AB=15, AH — высота, BH=6.

Найдите косинус угла BAC.
Конец формы
   C18485

Начало формы
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса.

Образующая конуса равна 502√. Найдите радиус сферы.
Конец формы
Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки D, E, F, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 9.

 
Конец формы
   02836B

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 18, а боковые рёбра равны 15. ТочкаR принадлежит ребру MB, причём MR:RB=2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки C и R параллельно прямой BD.
Конец формы
   580A5F

Начало формы
Окружности радиусов 4 и 13 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке L. Прямая, проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке K, а большую — в точке M. Найдите площадь треугольника KMO1, если ∠LMO2=22,5°.
Конец формы
   3207C1

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   78A58C

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, AB=14, AH — высота, BH=7.

Найдите косинус угла BAC.
Конец формы
   7BCA6B

Начало формы
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса.

Образующая конуса равна 802√. Найдите радиус сферы.
Конец формы
   A4F344

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки B, C, D, B1, C1, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 12.

 
Конец формы
   B70519

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 12, а боковые рёбра равны 24. ТочкаG принадлежит ребру MA, причём MG:GA=2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и G параллельно прямой AC.
Конец формы
   B04B20

Начало формы
Окружности радиусов 9 и 15 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке L. Прямая, проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке K, а большую — в точке M. Найдите площадь треугольника KMO1, если ∠LMO2=15°.
Конец формы
   F9CE82

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
   0EC516
Начало формы
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 104°, угол CAD равен 6°.

Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   8A79D6

Начало формы
Высота конуса равна 21, а длина образующей равна 29.

Найдите диаметр основания конуса.
Конец формы
   0ABBF1

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки C, A1, B1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 9.

Конец формы
   C6FDB6

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 22, а боковое ребро AA1=7. Точка K принадлежит ребру B1C1 и делит его в отношении 6:5, считая от вершины B1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и K.
Конец формы
   443017

Начало формы
Окружности радиусов 13 и 20 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C, AO1 и BO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠AO1O2=60°. Найдите AB.
Конец формы
   549C41

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
   D4DA9A

Начало формы
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 103°, угол CAD равен 7°.

Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   C04782

Начало формы
Высота конуса равна 9, а длина образующей равна 41.

Найдите диаметр основания конуса.
Конец формы
   4637FE

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1,площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 6.

 
Конец формы
   90C5FB

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 10, а боковое ребро AA1=2. Точка O принадлежит ребру A1B1 и делит его в отношении 4:1, считая от вершины A1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A, C и O.
Конец формы
  
Начало формы
Окружности радиусов 13 и 35 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C, AO1 и BO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠AO1O2=60°. Найдите AB.
Конец формы
   34BE41

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
   60B72B

Начало формы
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 62°, угол CAD равен 32°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   AF2E4F

Начало формы
Диаметр основания конуса равен 18, а длина образующей равна 41.

Найдите высоту конуса.
Конец формы
   7236F1

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, A1, B1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 9.

 
Конец формы
   010A16

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=4, AD=3, AA1=7. Точка O принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 3:4, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1.
Конец формы
   6E4F5C

Начало формы
Окружности радиусов 13 и 20 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внутренним образом в точке K, MO1 и NO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠MO1O2=120°. Найдите MN.
Конец формы
   D8C8F4

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
   7C6C7B

Начало формы
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 62°, угол CAD равен 31°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   50EE9E

Начало формы
Диаметр основания конуса равен 32, а длина образующей равна 65.

Найдите высоту конуса.
Конец формы
  
Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1,площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.

 
Конец формы
   BC715C

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=5, AD=3, AA1=8. Точка R принадлежит ребру AA1 и делит его в отношении 3:5, считая от вершины A. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки B, R и D1.
Конец формы
   EE8732

Начало формы
Окружности радиусов 1 и 15 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внутренним образом в точке K, MO1 и NO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠MO1O2=120°. Найдите MN.
Конец формы
   886909

Начало формы
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB.

Конец формы
   27c006

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB.
 
 
 
 
 
Конец формы
   3B0e8B

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A и B. Найдите длину отрезка AB.
 
 
 
Конец формы
   eD86cB

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите его градусную величину.
 
 
Конец формы
   e881D0

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
 
 
Конец формы
   34F604

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
 
 
Конец формы
   c177cB

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
 
 
Конец формы
Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
 
Конец формы
   48c488

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AB.
 
Конец формы
   347c22

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.
 
Конец формы
   4B38Be

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.
 
 
 
Конец формы
   e2e556

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.
 
Конец формы
   4ec57F

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его биссектрисы, выходящей из вершины прямого угла.
 
 
 
Конец формы
   04ceee

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его биссектрисы, выходящей из вершины прямого угла.
 
Конец формы
   c02c14

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его медианы, проведённой к гипотенузе.
 
 
Конец формы
   04ccA9

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его медианы, проведённой к гипотенузе.
 
 
 
 
Конец формы
   20670F

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдите длину его медианы, проведённой к гипотенузе.
 
Конец формы
  
Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.
 
 
Конец формы
   3654ec

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
 
 
Конец формы
   005624

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
 
 
Конец формы
   01439A

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
 
 
 
 
 
Конец формы
   0371cD

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
 
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   e886DB

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
 
 
 
Конец формы
   59c911

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   06D7A9

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
 
 
 
 
 
Конец формы
   e77491

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямой BC.
 
 
 
 
Конец формы
   4DAeeA

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до прямойBC.
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   5A7Be7
Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   c07082

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   4D6076

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   352e86

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   c63e5F

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   20DBBA

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь.
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   0A79ec

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь.
 
 
 
 
Конец формы
   495BD0

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
 
 
 
 
 
Конец формы
   B1732B

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
 
 
 
 
Конец формы
   5D95e4

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
 
 
 
 
 
Конец формы
   264A33
Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   5DFD1D

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
 
 
 
 
Конец формы
   0c0c98

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
 
 
 
 
Конец формы
   2e592D

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
 
 
 
 
Конец формы
   4c3F52

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   c97eAA

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
 
 
 
Конец формы
   BB5e05

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
 
 
 
Конец формы
   e96eFA

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
 
 
 
 
 
Конец формы
   c6e51c

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
 
 
 
 
 
Конец формы
   30Bc53

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AB.
 
 
 
Конец формы
   4BFD6D
Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AB.
 
 
 
Конец формы
   cA4670

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AB.
 
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   3B7c6e

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону AB.
 
 
 
Конец формы
   c95F28

Начало формы
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 103°, угол CAD равен 4°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   F66398

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   71821D

Начало формы
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объём параллелепипеда.

Конец формы
   7BEA25

Начало формы
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 2, найдите расстояние от точки B до прямой A1F1.
Конец формы
   8661F8

Начало формы
Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 10, а отношение катетов треугольника равно 512.
 
Конец формы
   0CB8B8

Начало формы
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 105°, угол CAD равен 7°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   C08947

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
Начало формы
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 4, а боковые рёбра равны 3, найдите расстояние от точки B до прямой C1D1.
Конец формы
   128025

Начало формы
Прямая, перпендикулярная боковой стороне равнобедренного треугольника, отсекает от него четырёхугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 24, а синус угла при основании равен 45.
Конец формы
   627502

Начало формы
В треугольнике ABC AD — биссектриса, угол C равен 102°, угол CAD равен 2°. Найдите угол B. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   17C2E0

Начало формы
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Конец формы
   64597E

Начало формы

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, A1, B1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1. Площадь основания призмы равна 7, а боковое ребро равно 9.
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   805979

Начало формы
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN=4 и AM:MC=1:3.
Конец формы
   76AFB6

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите синус этого угла.
 
 
 
 
Конец формы
   1D79B1

Начало формы
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=6. Длины боковых рёбер пирамиды SA=3, SB=5, SD=35√.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.
Конец формы
   DCA9B6

Начало формы

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1=2AD. Найдите угол между диагоналями DB1 и CA1. Ответ дайте в градусах.
 
 
 
 
Конец формы
   A629B5

Начало формы
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=8 и BC=6. Длины боковых рёбер пирамиды SA=21−−√, SB=85−−√, SD=57−−√.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Конец формы
Начало формы

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 7, а сторона основания равна 10,5. Найдите высоту пирамиды.
 
 
 
 
Конец формы
   9726B0

Начало формы
В цилиндрический сосуд налили 500 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,2 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
Конец формы
   EBB312

Начало формы

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 82°, угол ABD равен 47°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
 
 
 
 
Конец формы
   F62324

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   01C32A

Начало формы
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 60, а боковое ребро SA равно 37. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости α.
Конец формы
   257425

Начало формы

В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 7,5, а сторона основания равна 10. Найдите высоту пирамиды.
 
 
Конец формы
   59DC27

Начало формы

Угол ACO равен 27°, где O — центр окружности. Его сторона CA касается окружности. Сторона CO пересекает окружность в точке B (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги AB окружности. Ответ дайте в градусах.
 
Конец формы
   A6532B

Начало формы
Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно.
а) Докажите, что прямые KM и BC параллельны.
б) Пусть L — точка пересечения отрезков KM и AP. Найдите AL, если радиус большей окружности равен 10, а BC=16.
Конец формы
   C4A623

Начало формы
Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D.
а) Докажите, что прямые AD и MC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника DBC, если AK=3 и MK=12.
Конец формы
   1549DC

Начало формы
Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны.
а) Докажите, что биссектрисы углов при вершинах B и C четырёхугольника ABCD пересекаются на стороне AD.
б) Пусть N — точка пересечения этих биссектрис. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что BM:MC=1:3, а площадь четырёхугольника, стороны которого лежат на прямых AM, DM, BN и CN, равна 18.
Конец формы
   2CAEDB

Начало формы

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A1, B1, F1, A правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12, а боковое ребро равно 15.
 
 
 
Конец формы
   285ADD

Начало формы

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 112√. Найдите радиус сферы.
 
 
Конец формы
   2C6DDC

Начало формы

Угол ACB равен 54°. Градусная мера дуги AB окружности, не содержащей точек D и E, равна 138°. Найдите угол DAE. Ответ дайте в градусах.
 
 
 
Конец формы
   6328DF

Начало формы

Через концы A и B дуги окружности с центром O проведены касательные AC и BC. Меньшая дуга AB равна 58°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
 
 
 
Конец формы
   0EB251

Начало формы

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины C, D, E, C1, D1, E1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 14.
 
 
 
Конец формы
   077452

Начало формы
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.
Конец формы
   29565E

Начало формы
Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что CN:CM=LB:LA.
б) Найдите MN, если LB:LA=2:3, а радиус малой окружности равен 23−−√.
Конец формы
   AB1F55

Начало формы

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 56° и 77°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
 
 
Конец формы
   C3174D

Начало формы

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   70BEF2

Начало формы

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 59° и 83°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
 
 
Конец формы
  
Начало формы

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   CAC0BA

Начало формы

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 78° и 113°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
 
 
Конец формы
   51281C

Начало формы

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 78°, BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
 
 
 
 
 
Конец формы
   5B0518

Начало формы

Один угол параллелограмма больше другого на 40°. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
 
Конец формы
   2E0A28

Начало формы

Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен 19°. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   6948D5

Начало формы

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 63° и 76°. Найдите меньший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
 
 
Конец формы
   EB4D59

Начало формы

Один угол параллелограмма больше другого на 52°. Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.
 
Конец формы
   3C09A9

Начало формы

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 72°, BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
 
 
 
 
 
Конец формы
   C053C7

Начало формы

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 69°, BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
 
 
 
 
 
Конец формы
   0DE16C

Начало формы

В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 87°, BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.
 
 
 
 
 
Конец формы
  
Начало формы
Радиусы двух шаров равны 9 и 12. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей двух данных шаров.
Конец формы
   320DAF

Начало формы
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB=4 и BC=3. Длины боковых рёбер пирамиды SA=11−−√, SB=33√, SD=25√.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Конец формы
   CB3CC8

Начало формы
В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P. Докажите, что APPD=sinD.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 43 и 13.
Конец формы
   999FC4

Начало формы

Высота конуса равна 24, а диаметр основания равен 90. Найдите образующую конуса.
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   E29891

Начало формы
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD=75° и BC=1.
Конец формы
   F6716D

Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB=3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P:PB1=2:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
Конец формы
   039761

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь.
 
 
Конец формы
   6EFA64

Начало формы

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 32, её большая боковая сторона равна 9. Найдите радиус окружности.
 
 
 
Конец формы
   ECF938

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите его площадь.
 
 
 
 
 
Конец формы
   1DD689

Начало формы

Угол ACO равен 28°. Его сторона CA касается окружности с центром в точке O. Сторона CO пересекает окружность в точках B и D (см. рис.). Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
 
Конец формы
Начало формы

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, C, A1, B1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1. Площадь основания призмы равна 9, а боковое ребро равно 4.
 
 
 
 
 
 
Конец формы
   D4DB81

Начало формы

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите её площадь.
 
 
 
 
 
Конец формы
   A4788C

Начало формы
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Конец формы
   32528E

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   43074B

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   F43B41

Начало формы
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 
Конец формы
   F57E43

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SO=48, SC=73. Найдите длину отрезка AC.

 
Конец формы
   703F42

Начало формы
В правильной треугольной призме ABCA​1B1C1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 1, точка D — середина ребра CC​1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB​1.
Конец формы
   7CE94E

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=8, CD=8, AD=14. Найдите длину диагоналиBD1.

Конец формы
   BB1641

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=6, AB=10. Найдите sinB.

Конец формы
   27BB40
Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SD=26, AC=20. Найдите длину отрезка SO.

Конец формы
   20294D

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA​1B1C1D1 AD=1, AB=AA​1=2. Найдите угол между прямой A​1D1 и плоскостью AB​1D1.
Конец формы
   DB3648

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=4, AB=2, AD=4. Найдите длину диагоналиDB1.

Конец формы
   88471E

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   46A627

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SO=21, AC=40. Найдите длину отрезка SB.

Конец формы
   455F22

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SO=27, SC=45. Найдите длину отрезка AC.

 
Конец формы
   49E52A

Начало формы
На ребре CC​1 куба ABCDA​1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC​1=3:1. Найдите угол между прямыми BE и AC​1.
Конец формы
   448426

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 68°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   FBB82D

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   241E29

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 256 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   D03E2C
Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SO=35, BD=24. Найдите длину отрезка SD.

Конец формы
   CDD528

Начало формы
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24 π, а диаметр основания равен 8. Найдите высоту цилиндра.
  
 
Конец формы
   9A8020

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что CC1=11, AB=2, A1D1=10. Найдите длину диагонали BD1.

 
Конец формы
   9B3521

Начало формы
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 6 и 8 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 5, средняя линия трапеции равна 25. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BMC.
Конец формы
   925C29

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 44°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   9B7123

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 96 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   E2332F

Начало формы
В правильной треугольной призме ABCA​1B1C1 стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D — середина ребра CC​1. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB​1.
Конец формы
   6E7427

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   3CD127

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 20 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   429FD8

Начало формы
Высота конуса равна 24, а длина образующей равна 25. Найдите диаметр основания конуса.

Конец формы
   FA10DF
Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=123√, AB=24. Найдите sinB.

Конец формы
   F227D1

Начало формы
Дан треугольник со сторонами 115, 115 и 184. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Конец формы
   7EE5DE

Начало формы
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
  
Конец формы
   BFCCDB

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=15, BC=9. Найдите cosA.

Конец формы
   BA38D8

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SB=29, AC=40. Найдите длину отрезка SO.

Конец формы
   1429DE

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 25 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   DA19DC

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA​1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре AA​1 отмечена точка E так, что AE:EA​1=1:2. Найдите угол между плоскостями ABC и BED​1.
Конец формы
   D13ED8

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AA1=10, AB=5, A1D1=10. Найдите длину диагонали DB1.

 
Конец формы
   C296D4

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   9971DB

Начало формы
В правильной треугольной призме ABCA​1B1C1 стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2, точка D — середина ребра CC​1. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB​1.
Конец формы
  
Начало формы
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 718 окружности. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   EB2CDC

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   6DC4D1

Начало формы
На ребре CC​1 куба ABCDA​1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC​1=1:2. Найдите угол между прямыми BE и AC​1.
Конец формы
   6B07DE

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=25, BC=24. Найдите cosA.

Конец формы
   6C25D6

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 46°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   4E8056

Начало формы
На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга окружности AC, не содержащая точку B, составляет 120°. Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 82°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   03E351

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 405 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 9 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   08BD53

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 58°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   75A457

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 2 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5 раз меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   BDAC50

Начало формы
В правильной треугольной призме ABCA​1B1C1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 1, точка D — середина ребра CC​1. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB​1.
Конец формы
Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1=2, C1D1=6, B1C1=3. Найдите длину диагонали AC1.

 
Конец формы
   BD3D53

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 50°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   119550

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SD=37, BD=24. Найдите длину отрезка SO.

 
Конец формы
   12725D

Начало формы
Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A.Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC=6, AF=3, угол BAC равен 45°.
Конец формы
   1EF358

Начало формы
Точка E — середина ребра CC​1 куба ABCDA​1B1C1D1. Найдите угол между прямыми BE и AD.
Конец формы
   2B3E5C

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA​1B1C1D1 AB=2, AD=AA​1=1. Найдите угол между плоскостями CDA​1 и CB​1D1.
Конец формы
   D3065C

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 45 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   58515E

Начало формы
Высота конуса равна 24, а диаметр основания равен 20. Найдите длину образующей конуса.

 
Конец формы
   AE935B

Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB : DC = 2 : 3 . Найдите угол A.
Конец формы
   A4755C

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SO=30, AC=32. Найдите длину отрезка SA.

Конец формы
   A4BE5E
Начало формы
Дан треугольник со сторонами 30, 30 и 36. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Конец формы
   C24E52

Начало формы
Дан треугольник со сторонами 80, 80 и 96. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Конец формы
   C11B5D

Начало формы
Основание равнобедренного треугольника равно 40, а высота, опущенная на боковую сторону равна 24. Внутри треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Конец формы
   C60B58

Начало формы
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы — прямые).

Конец формы
   9F1158

Начало формы
Отрезки AP, BN и CM — биссектрисы внутренних углов треугольника ABC. Один из углов треугольника равен 120°. Найдите площадь треугольника PNM, если две стороны этого треугольника равны 8 и 17.
Конец формы
   3AEF5A

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 64°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   4739A4

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   48B7A0

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   F83EA4

Начало формы
В каком отношении точка касания вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит его боковую сторону, если известно, что отношение радиусов его вписанной окружности и окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, равно 15?
Конец формы
   F343A9

Начало формы
В правильной треугольной призме ABCA​1B1C1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 2, точка D — середина ребра CC​1. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB​1.
Конец формы
   F807A9
Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=40, AC=451−−√. Найдите sinA.

Конец формы
   F538A3

Начало формы
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы — прямые).

Конец формы
   0A76AD

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 49°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   02E0A6

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 47°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   7209AE

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=5, BC=21−−√. Найдите cosA.

Конец формы
   7C0AAE

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
   BDB7AF

Начало формы
Высота конуса равна 5, а длина образующей равна 13. Найдите диаметр основания конуса.

 
Конец формы
   11FDA1

Начало формы
В правильной треугольной призме ABCA​1B1C1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 2, точка D — середина ребра CC​1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB​1.
Конец формы
   DB33A0

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 53°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   DDC3A1

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 66°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   ADDBA5
Начало формы
Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC=8, AF=3, угол BAC равен 45°.
Конец формы
   9775A3

Начало формы
Точка E — середина ребра DD​1 куба ABCDA​1B1C1D1. Найдите площадь сечения куба плоскостью B​1CE, если рёбра куба равны 4.
Конец формы
   E7DFA7

Начало формы
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 7 и 24 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12,5, средняя линия трапеции равна 27,5. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BMC.
Конец формы
   8D5AAC

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 78°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   88C3A9

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA​1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. На ребре AA​1 отмечена точка E так, что AE:EA​1=2:1. Найдите угол между плоскостями ABC и BED​1.
Конец формы
   F91AC0

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 294 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 7 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   F3E5CA

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   0A47CE

Начало формы
Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 143√. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.
Конец формы
   02BCC3

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 192 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   7923C4

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA​1B1C1D1 AB=2, AD=AA​1=1. Найдите угол между прямой AB​1 и плоскостью ABC​1.
Конец формы
  
Начало формы
На ребре CC​1 куба ABCDA​1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC​1=3:2. Найдите угол между прямыми BE и AC​1.
Конец формы
   1BF9C3

Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB:DC=1:3. Найдите угол A.
Конец формы
   2474C1

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что CC1=9, AB=2, B1C1=6. Найдите длину диагоналиBD1.

 
Конец формы
   52BBCD

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SO=24, AC=20. Найдите длину отрезка SD.

 
Конец формы
   ADF7CA

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   C944C4

Начало формы
Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF, в котором AC=10,5. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.
Конец формы
   C2CCCF

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   C1DBC6

Начало формы
Отрезки AP, BN и CM — биссектрисы внутренних углов треугольника ABC. Один из углов треугольника равен 120°. Найдите площадь треугольника PNM, если две стороны этого треугольника равны 3 и 5.
Конец формы
   9D89CE

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 147 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 7 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   9051C6

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AA1=2, CD=1, A1D1=2. Найдите длину диагоналиBD1.

Конец формы
  
Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=10, BC=8. Найдите cosA.

Конец формы
   CB6791

Начало формы
Точка E — середина ребра AA​1 куба ABCDA​1B1C1D1. Найдите площадь сечения куба плоскостью C​1DE, если рёбра куба равны 2.
Конец формы
   CB3D95

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 52°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   952E99

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA​1B1C1D1 AD=1, AB=AA1=2. Найдите угол между плоскостями ADC​1 и DA​1C1.
Конец формы
   9ED09E

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   EC1095

Начало формы
Косинус угла при основании равнобедренного треугольника равен 513, а боковая сторона равна 39. Внутри треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Конец формы
   33659E

Начало формы
На прямой, содержащей биссектрису AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удалённая от вершины A на расстояние, равное 10−−√. Найдите площадь треугольника BCE, если BC=3, AC=4.
Конец формы
   8DDF97

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 67°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   8CD291

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=86√, AB=20. Найдите sinB.

Конец формы
   0A6FEF

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SO=18, SD=82. Найдите длину отрезка AC.

 
Конец формы
Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
   789CE5

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что CC1=4, A1B1=1, BC=8. Найдите длину диагоналиDB1.

 
Конец формы
   1495E8

Начало формы
В ромбе ABCD угол CDA равен 78°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   257EE0

Начало формы
В правильной треугольной призме ABCA​1B1C1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка D — середина ребра CC​1. Найдите расстояние от вершины C до плоскости ADB​1.
Конец формы
   DA8FEB

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 70°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   532BE8

Начало формы
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   9D22E0

Начало формы
Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC=4, AF=2, угол BAC равен 60∘.
Конец формы
   9E17EA

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 50 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   9493EA

Начало формы
Высота конуса равна 12, а длина образующей равна 13. Найдите диаметр основания конуса.

Конец формы
   E4EDE4

Начало формы
Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если известно, что отношение радиусов его вписанной окружности и окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, равно 25.
Конец формы
   E834ED
Начало формы
Высота конуса равна 24, а длина образующей равна 30. Найдите диаметр основания конуса.

 
Конец формы
   6B7BEF

Начало формы
На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга окружности AC, не содержащая точку B, составляет 105°. Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 91°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

 
Конец формы
   8F88EA

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA​1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 1. Точка E — середина ребра AA​1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED​1.
Конец формы
   4F7460

Начало формы
Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 8 раз, а высоту оставить прежней?
Конец формы
   F9E66F

Начало формы
В правильной треугольной призме ABCA​1B1C1 стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2, точка D — середина ребра CC​1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB​1.
Конец формы
   FEBE6B

Начало формы
В треугольнике ABC известны стороны: AB=7, BC=10, AC=8. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.
Конец формы
   FDE265

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
   F1E266

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 74°, биссектрисы AD и BE пересекаются в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   7A406A

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   7B9C6C

Начало формы
Дан равнобедренный прямоугольный треугольник с боковой стороной 2. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Конец формы
  
Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 2 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 6 раз меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   BEA763

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 324 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 9 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   203E60

Начало формы
Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   2AA06C

Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 30°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB:DC=2:5. Найдите синус угла A.
Конец формы
   2EB266

Начало формы
Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC=7, AF=2, угол BAC равен 60°.
Конец формы
   D71465

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   D41C6A

Начало формы
В цилиндрический сосуд, в котором находится 6 дм3 воды, опустили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объём детали? Ответ выразите в дм3.
Конец формы
   590166

Начало формы
Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 5 раз, а высоту оставить прежней?
Конец формы
   E1FD6A

Начало формы
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 20 π, а высота равна 4. Найдите диаметр основания.

Конец формы
   E85866

Начало формы
Отрезки AP, BN и CM — биссектрисы внутренних углов треугольника ABC. Один из углов треугольника равен 120°. Найдите площадь треугольника PNM, если две стороны этого треугольника равны 5 и 13.
Конец формы
   45133B
Начало формы
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 
Конец формы
   478838

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   FAFD3A

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Конец формы
   F69F33

Начало формы
Точка E — середина ребра BB​1 куба ABCDA​1B1C1D1. Найдите угол между прямыми AE и CA​1.
Конец формы
   063533

Начало формы
На прямой, содержащей медиану AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удалённая от вершины A на расстояние, равное 4. Найдите площадь треугольника BCE, если BC=6, AC=4.
Конец формы
   7B1531

Начало формы
На ребре CC​1 куба ABCDA​1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC​1=2:1. Найдите угол между прямыми BE и AC​1.
Конец формы
   B8FC30

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA​1B1C1D1 стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 2. Точка E — середина ребра AA​1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED​1.
Конец формы
   1BF133

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SD=41, BD=18. Найдите длину отрезка SO.

Конец формы
   ACAA35

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 243 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 9 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   90193F

Начало формы
В правильной треугольной призме ABCA​1B1C1 стороны основания равны 3, боковые рёбра равны 1, точка D — середина ребра CC​1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB​1.
Конец формы
Начало формы
Точка E — середина ребра CC1 куба ABCDA​1B1C1D1. Найдите площадь сечения куба плоскостью A​1BE, если рёбра куба равны 2.
Конец формы
   613E30

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что BB1=2, A1B1=5, A1D1=14. Найдите длину диагонали CA1.

 
Конец формы
   34CC3D

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 320 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   867137

Начало формы
Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   888531

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   8FB432

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что CC1=12, A1B1=6, AD=4. Найдите длину диагоналиDB1.

 
Конец формы
   856E35

Начало формы
Синус угла при основании равнобедренного треугольника равен 817, а основание равно 60. Внутри треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Конец формы
   843233

Начало формы
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   4B4985

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA​1B1C1D1 стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 5. На ребре AA​1 отмечена точка E так, что AE:EA​1=2:3. Найдите угол между плоскостями ABC и BED​1.
Конец формы
   70A784

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   7C2E85
Начало формы
В ромбе ABCD угол DAB равен 148°. Найдите угол BDC. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   71BD8E

Начало формы
Точка E — середина ребра DD​1 куба ABCDA​1B1C1D1. Найдите угол между прямыми CE и AC​1.
Конец формы
   B6078E

Начало формы
Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1 ; 12), (7 ; 14), (7 ; 20).
Конец формы
   BE6D83

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA​1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 3. Точка E — середина ребра AA​1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED​1.
Конец формы
   133D84

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SA=34, AC=32. Найдите длину отрезка SO.

 
Конец формы
   1AAA8C

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA​1B1C1D1 AB=1, AD=AA1=2. Найдите угол между плоскостями ABC​1 и AB​1D1.
Конец формы
   2C5C87

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=30, AC=319−−√. Найдите sinA.

Конец формы
   ACE58C

Начало формы
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   9EEA86

Начало формы
Диаметр основания конуса равен 10, а длина образующей — 13. Найдите высоту конуса.

 
Конец формы
   66C481

Начало формы
В треугольнике ABC известны стороны: AB=4, BC=6, AC=5. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.
Конец формы
  
Начало формы
В треугольнике ABC известны стороны: AB=5, BC=6, AC=7. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.
Конец формы
   8A7988

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SC=35, BD=42. Найдите длину отрезка SO.

Конец формы
   5BB642

Начало формы
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы — прямые).

Конец формы
   5B434D

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1=7, CD=4, AD=4. Найдите длину диагоналиMathML must be formed by a single elementMathML must be formed by a single elementBD1.

Конец формы
   5D0145

Начало формы
Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной 4 и углом 120°. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Конец формы
   A2EA44

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA​1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 5. На ребре AA​1 отмечена точка E так, что AE:EA​1=3:2. Найдите угол между плоскостями ABC и BED​1.
Конец формы
   A18F44

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA​1B1C1D1 AB=1, AD=AA​1=2. Найдите угол между прямой AB​1 и плоскостью ABC​1.
Конец формы
   99B24D

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 6 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 7 раз меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   9D8E4C

Начало формы
Найдите угол при основании равнобедренного треугольника, если известно, что отношение радиусов его вписанной окружности и окружности, касающейся стороны и продолжений двух других сторон треугольника, равно 14.
Конец формы
   9A5C4E

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 5 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
  
Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA​1B1C1D1 стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 2. Точка E — середина ребра AA​1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED​1.
Конец формы
   E2E34D

Начало формы
Точка E — середина ребра BB​1 куба ABCDA​1B1C1D1. Найдите площадь сечения куба плоскостью D​1AE, если рёбра куба равны 4.
Конец формы
   E38445

Начало формы
В каком отношении точка касания вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит его боковую сторону, если известно, что отношение радиусов его вписанной окружности и окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, равно 27?
Конец формы
   664444

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SO=28, BD=42. Найдите длину отрезка SC.

 
Конец формы
   636742

Начало формы
На ребре CC​1 куба ABCDA​1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC​1=2:3. Найдите угол между прямыми BE и AC​1.
Конец формы
   31824E

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=321−−√, AB=15. Найдите sinB.

Конец формы
   817F41

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   8CBC41

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1=3, AB=6, BC=6. Найдите длину диагоналиAC1.

 
Конец формы
   836C43

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   48B6F7

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   4409F9
Начало формы
Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной 7. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.
Конец формы
   FAD1F0

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA​1B1C1D1 AB=1, AD=AA1=2. Найдите угол между плоскостями CDA​1 и CB​1D1.
Конец формы
   F2C8FB

Начало формы
На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга окружности AC, не содержащая точку B, составляет 125°. Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 79°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   FF92F2

Начало формы
На ребре CC​1 куба ABCDA​1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC​1=1:3. Найдите угол между прямыми BE и AC​1.
Конец формы
   F4FEF5

Начало формы
Точка E — середина ребра AA​1 куба ABCDA​1B1C1D1. Найдите угол между прямыми DE и BD​1.
Конец формы
   F2B2F5

Начало формы
Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 6 раз, а высоту оставить прежней?
Конец формы
   039CFC

Начало формы
Косинус угла, противолежащего основанию равнобедренного треугольника, равен 725, а боковая сторона равна 15. Внутри треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Конец формы
   02DAF3

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что CC1=4, A1B1=12, A1D1=3. Найдите длину диагонали DB1.

 
Конец формы
   7801FB

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
 
Конец формы
   7210FA

Начало формы
Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1 ; 14), (5 ; 16), (5 ; 22).
Конец формы
  
Начало формы
Косинус угла при вершине равнобедренного треугольника равен − 725, а основание равно 16. Внутри треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Конец формы
   1B40F0

Начало формы
В ромбе ABCD угол BCD равен 48°. Найдите угол DBA. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   175BFE

Начало формы
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 512 окружности. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   25C9F9

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
   AAF6FB

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AA1=12, A1B1=12, B1C1=1. Найдите длину диагонали BD1.

Конец формы
   AC49F5

Начало формы
Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC=5, AF=1, угол BAC равен 30°.
Конец формы
   CDD2F5

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 32 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   CFF4F9

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 112 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   CDE9F6

Начало формы
Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.
Конец формы
   CDD1F3

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA​1B1C1D1 стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 1. Точка E — середина ребра AA​1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED​1.
Конец формы
Начало формы
Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (3 ; 23), (13 ; 25), (13 ; 31).
Конец формы
   6CEFFD

Начало формы
На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга окружности AC, не содержащая точку B, составляет 165°. Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 55°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

 
Конец формы
   35FBFB

Начало формы
Диаметр основания конуса равен 14, а длина образующей — 25. Найдите высоту конуса.

Конец формы
   4C5D0D

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   4ADA09

Начало формы
Во сколько раз увеличится объём конуса, если радиус его основания увеличить в 7 раз, а высоту оставить прежней?
Конец формы
   BA9809

Начало формы
В цилиндрический сосуд, в котором находится 8 дм3 воды, опустили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза. Чему равен объём детали? Ответ выразите в дм3.
Конец формы
   DAB40F

Начало формы
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   D49605

Начало формы
Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   587F07

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 216 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 6 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   CAB009

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=10, BC=19−−√. Найдите cosA.

Конец формы
Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   927D08

Начало формы
Площадь круга, изображённого на клетчатой бумаге, равна 12. Найдите площадь заштрихованного кругового сектора.

Конец формы
   E7170A

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 72 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 6 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   602700

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 43°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   64D50B

Начало формы
Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC=8, AF=2, угол BAC равен 30°.
Конец формы
   376405

Начало формы
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   8F1804

Начало формы
В треугольнике ABC известны стороны: AB=5, BC=7, AC=8. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.
Конец формы
   802202

Начало формы
В треугольнике ABC известны стороны: AB=7, BC=8, AC=9. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.
Конец формы
   894F03

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1=7, CD=6, AD=6. Найдите длину диагоналиCA1.

Конец формы
   4D5A7F

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 
Конец формы
  
Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 30°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что DB:DC=1:2. Найдите синус угла A.
Конец формы
   75967B

Начало формы
Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если известно, что радиус его вписанной окружности в 6 раз меньше радиуса окружности, касающейся стороны и продолжений двух других сторон треугольника.
Конец формы
   17AB7E

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 28 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   1B4376

Начало формы
Диаметр основания конуса равен 24, а длина образующей — 13. Найдите высоту конуса.

Конец формы
   28677C

Начало формы
Отрезки AP, BN и CM — биссектрисы внутренних углов треугольника ABC. Один из углов треугольника равен 120°. Найдите площадь треугольника PNM, если две стороны этого треугольника равны 4 и 5.
Конец формы
   D07570

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1=4, AB=8, A1D1=8. Найдите длину диагоналиDB1.

Конец формы
   D95E72

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S точка O — центр основания, SO=15, AC=40. Найдите длину отрезка SA.

 
Конец формы
   D8637E

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 63 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   A0B974

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 384 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   A7F873

Начало формы
В правильной треугольной призме ABCA​1B1C1 стороны основания равны 2, боковые рёбра равны 3, точка D — середина ребра CC​1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB​1.
Конец формы
Начало формы
Высота конуса равна 12, а диаметр основания равен 70. Найдите длину образующей конуса.

 
Конец формы
   E12074

Начало формы
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA​1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки B до плоскости DEA​1.
Конец формы
   62C674

Начало формы
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
 
Конец формы
   60737A

Начало формы
Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (3 ; 17), (16 ; 19), (16 ; 25).
Конец формы
   696779

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 65°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   80FA73

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что CC1=6, CD=17, AD=6. Найдите длину диагоналиCA1.

Конец формы
   4F57B0

Начало формы
В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объём этого шара, делённый на ππ.
Конец формы
   4DADB3

Начало формы
Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1 ; 2), (4 ; 2), (2 ; 4).
Конец формы
   0987B1

Начало формы
Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 1336 окружности. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   0745B2

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 12 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
  
Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 144 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 6 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   0070B6

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 59°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   0687B6

Начало формы
В ромбе ABCD угол ABC равен 150°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   778FB3

Начало формы
Основание равнобедренного треугольника равно 80, а высота, опущенная на боковую сторону равна 64. Внутри треугольника расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.
Конец формы
   B320B2

Начало формы
Точка E — середина ребра CC​1 куба ABCDA​1B1C1D1. Найдите угол между прямыми BE и B​1D.
Конец формы
   2D40BB

Начало формы
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 
Конец формы
   D072BE

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 41°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
   5930B0

Начало формы
В цилиндрический сосуд, в котором находится 4 дм3 воды, опустили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 2,5 раза. Чему равен объём детали? Ответ выразите в дм3.
Конец формы
   A25AB8

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sinA=0,8. Найдите sinB.

Конец формы
   CD84BB

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 567 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 9 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
  
Начало формы
Высота конуса равна 16, а диаметр основания равен 60. Найдите длину образующей конуса.

Конец формы
   944BB0

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA​1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. Точка E — середина ребра AA​1. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BED​1.
Конец формы
   9ED0BC

Начало формы
Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Конец формы
   EA69B5

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=6, BC=33√. Найдите cosA.

Конец формы
   631EB2

Начало формы
В каком отношении точка касания вписанной в равнобедренный треугольник окружности делит его боковую сторону, если известно, что радиус окружности, касающейся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, в 7 раз больше радиуса вписанной окружности?
Конец формы
   86DCBB

Начало формы
Точка O — центр правильного шестиугольника ABCDEF, в котором AC=143√. Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников BOD, DOF и BOF.
Конец формы
   809CB5

Начало формы
На окружности отмечены точки A, B и C. Дуга окружности AC, не содержащая точку B, составляет 110°. Дуга окружности BC, не содержащая точку A, составляет 88°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

 
Конец формы
   8A3DB9

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 4. На ребре AA​1 отмечена точка E так, что AE:EA​1=1:3. Найдите угол между плоскостями ABC и BED​1.
Конец формы
   460D1A

Начало формы
Отрезки AP, BN и CM — биссектрисы внутренних углов треугольника ABC. Один из углов треугольника равен 120°. Найдите площадь треугольника PNM, если две стороны этого треугольника равны 20 и 29.
Конец формы
   7B2915

Начало формы
В треугольнике ABC угол A равен 40°, углы B и C — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке O. Найдите угол DOE. Ответ дайте в градусах.

Конец формы
Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 343 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если еёперелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 7 раз больше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   1D0619

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что DD1=6, A1B1=12, A1D1=12. Найдите длину диагонали CA1.

Конец формы
   223E12

Начало формы
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 2 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Конец формы
   680A1A

Начало формы
Отрезки AP, BN и CM — биссектрисы внутренних углов треугольника ABC. Один из углов треугольника равен 120°. Найдите площадь треугольника PNM, если две стороны этого треугольника равны 12 и 13.
Конец формы
   3F401F

Начало формы
В цилиндрический сосуд, в котором находится 10 дм3 воды, опустили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,6 раза. Чему равен объём детали? Ответ выразите в дм3.
Конец формы
   3E171F

Начало формы
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпала больше раз, чем орёл.
Конец формы
   454B44

Начало формы
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 8 спортсменов из Аргентины, 6 спортсменов из Бразилии, 5 спортсменов из Парагвая и 6 — из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины.
Конец формы
   49A14E

Начало формы
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 10 прыгунов из Голландии и 8 прыгунов из Колумбии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что десятым будет выступать прыгун из Голландии.
Конец формы
   433043

Начало формы
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 7, а высота равна 35√, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Конец формы
   F60B4D

Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми BA1 и D1C1.  Ответ дайте в градусах.
Конец формы
Начало формы
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 23 высоты. Объём жидкости равен 144 мл.  Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Конец формы
   06254C

Начало формы
Окружности радиусов 3 и 9 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1=30°.
Конец формы
   75C747

Начало формы
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 16.  Найдите его объём.
Конец формы
   7D0E46

Начало формы
В правильной четырёхугольной  пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина, SO=6, SA=10. Найдите длину отрезка BD.
Конец формы
   B1C644

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1,  площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
Конец формы
   1BC647

Начало формы
В сборнике билетов по биологии всего 15 билетов, в 9 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.
Конец формы
   12BA42

Начало формы
Радиусы окружностей с центрами O1 и O2 равны соответственно 1 и 8. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O1O2, если O1O2=21.
Конец формы
   162D4C

Начало формы
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 3, найдите угол между прямыми CD и E1F1.  Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   257041

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=15, AD=8, AA1=21.  Найдите площадь сечения, проходящего через вершины B, B1 и D.
Конец формы
   22DA45

Начало формы
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 85?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 84?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Конец формы
Начало формы
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор − 6, − 4, − 3, − 2, − 1, 1, 3. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 6 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Конец формы
   D0AB4F

Начало формы
а) Чему равно число способов записать число 1292 в виде 1292=a3⋅103+a2⋅102+a1⋅10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0; 1; 2; 3?
б) Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде N=a3⋅103+a2⋅102+a1⋅10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0; 1; 2; 3, ровно 130 способами?
в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде N=a3⋅103+a2⋅102+a1⋅10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0; 1; 2; 3, ровно 130 способами?
Конец формы
   5F2A44

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC=20, AB=28.  Найдите cosA.
Конец формы
   565E4B

Начало формы
В среднем из 1800 садовых насосов, поступивших в продажу, 18 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Конец формы
   5CAA43

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка N принадлежит ребру MC, причём MN:NC=2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точкиB и N параллельно прямой AC.
Конец формы
   ABA54B

Начало формы
В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 35√, а высота равна 3, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Конец формы
   CCDF4B

Начало формы
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1,  все рёбра которой равны 1, найдите угол между прямыми AA1 и BC1.
Конец формы
   C0F645

Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 30°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC=2:3. Найдите синус угла A.
Конец формы
   C82C45

Начало формы
В окружности проведены хорды PQ и CD, причём PQ=PD=CD=10, CQ=6. Найдите CP.
Конец формы
   E41141

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
  
Начало формы
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 67?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Конец формы
   34274A

Начало формы
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a>b>c>d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a+b+c+d=19 и a2−b2+c2−d2=25.
б) Может ли быть a+b+c+d=27 и a2−b2+c2−d2=27?
в) Пусть a+b+c+d=1800 и a2−b2+c2−d2=1800. Найдите количество возможных значений числа a.
Конец формы
   3E3046

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки B, A1, B1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1,  площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 8.
Конец формы
   F351F0

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, A1, B1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1,  площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.
Конец формы
   F007F1

Начало формы
Радиус основания конуса равен 8, а его высота равна 15. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 14. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
Конец формы
   FC9EFD

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
   0EF5FC

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, B1, C1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12,  а боковое ребро равно 12.
Конец формы
   7E63F8

Начало формы
Высота цилиндра равна 5, а радиус основания 10. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра на расстоянии 6 от неё.
Конец формы
   13BCFE

Начало формы
В треугольнике ABC AB=BC, AC=16, высота CH равна 4.  Найдите синус угла ACB.
Конец формы
   1397F6

Начало формы
Площадь параллелограмма ABCD равна 132. Точка G — середина стороны CD.  Найдите площадь трапеции ABGD.
Конец формы
Начало формы
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 17.  Найдите его объём.
Конец формы
   202AFE

Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC=1:5. Найдите синус угла A.
Конец формы
   2697F6

Начало формы
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 80 качественных сумок приходится семнадцать сумок с дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Конец формы
   2B6AF8

Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 30°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC=1:4. Найдите синус угла A.
Конец формы
   D147FF

Начало формы
Окружность радиуса 62√ вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN.
Конец формы
   DAEEF2

Начало формы
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 90?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Конец формы
   CB2CF5

Начало формы
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 5√, а высота равна 3√, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Конец формы
   E668F4

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 92, а боковые рёбра равны 12. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку C и середину ребра MA параллельно прямой BD.
Конец формы
   E5F8FE

Начало формы
а) Существует ли конечная арифметическая прогрессия, состоящая из пяти натуральных чисел, такая, что сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 99?
б) Конечная арифметическая прогрессия состоит из шести натуральных чисел. Сумма наибольшего и наименьшего членов этой прогрессии равна 9. Найдите все числа, из которых состоит эта прогрессия.
в) Среднее арифметическое членов конечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, равно 6,5. Какое наибольшее количество членов может быть в этой прогрессии?
Конец формы
   6762F0

Начало формы
В сборнике билетов по химии всего 50 билетов, в 14 из них встречается вопрос по кислотам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по кислотам.
Конец формы
   3E81F5

Начало формы
В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Конец формы
   884FFB

Начало формы
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 50 качественных сумок приходится семь сумок с дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Конец формы
   4F6606

Начало формы
Острые углы прямоугольного треугольника равны 84° и 6°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
 
Конец формы
   F1150D

Начало формы
Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника, вершинами которого являются точки O1, O2, B и C, если ∠ABO1=15°.
Конец формы
   FCD808

Начало формы
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5 или 6.
Конец формы
   19880B

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, E, F, A1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 12,  а боковое ребро равно 13.
Конец формы
   15C90E

Начало формы
Острые углы прямоугольного треугольника равны 53° и 37°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
 
Конец формы
   15650E

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=4, AD=5, AA1=9. Точка G принадлежит ребру AA1 и делит его в отношении 4:5, считая от вершины A. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки D, G и B1.
Конец формы
   2A4B07

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, AB=10, высота AH равна 9.  Найдите синус угла BAC.
Конец формы
   2EBC0B

Начало формы
Окружность радиуса 12 вписана в угол, равный 60°. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN.
Конец формы
Начало формы
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 9, 11, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 27, 30, 32, 34, 41.
Конец формы
   D3A30F

Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми CD1 и AD.  Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   DC1005

Начало формы
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса.  Образующая конуса равна 942√. Найдите радиус сферы.
Конец формы
   556A0A

Начало формы
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Украины и 2 прыгуна из Боливии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым будет выступать прыгун из Украины.
Конец формы
   5F720C

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 5,  а боковое ребро равно 9.
Конец формы
   AB820F

Начало формы
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 45 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Испании и 9 прыгунов из США. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать четвёртым будет выступать прыгун из США.
Конец формы
   A2EB00

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, F, A1, B1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 8,  а боковое ребро равно 15.
Конец формы
   9E9C0F

Начало формы
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a>b>c>d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a+b+c+d=15 и a2−b2+c2−d2=27.
б) Может ли быть a+b+c+d=19 и a2−b2+c2−d2=19?
в) Пусть a+b+c+d=1000 и a2−b2+c2−d2=1000. Найдите количество возможных значений числа a.
Конец формы
   E22909

Начало формы
В треугольнике ABC AB=BC, AC=20, высота CH равна 16.  Найдите синус угла ACB.
Конец формы
   6E360C

Начало формы
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 15,5.  Найдите его объём.
Конец формы
  
Начало формы
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков делится на 5, но не делится на 30.
Конец формы
   784B7D

Начало формы
В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна 453√. Найдите AB.
 
 
Конец формы
   7CD17A

Начало формы
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 28?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 88?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Конец формы
   BC8E79

Начало формы
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 7 спортсменов из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 6 спортсменов из Норвегии и 9 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Финляндии.
Конец формы
   BF0E7E

Начало формы
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится двадцать сумок с дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Конец формы
   179375

Начало формы
Окружности радиусов 11 и 24 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C, AO1 и BO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠AO1O2=60°. Найдите AB.
Конец формы
   10017C

Начало формы
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 34?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Конец формы
   1D667E

Начало формы
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 57.
Конец формы
   267D7F

Начало формы
Радиусы окружностей с центрами O1 и O2 равны соответственно 2 и 9. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O1O2, если O1O2=21.
Конец формы
   DCD471

Начало формы
В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Конец формы
  
Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC=1:4. Найдите синус угла A.
Конец формы
   5B3676

Начало формы
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 12. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 
Конец формы
   5A0E78

Начало формы
Шар вписан в цилиндр.  Площадь поверхности шара равна 48. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Конец формы
   AFD872

Начало формы
В окружности проведены хорды PQ и CD, причём PQ=PD=CD=12, CQ=4. Найдите CP.
Конец формы
   CE197C

Начало формы
а) Чему равно число способов записать число 1492 в виде 1492=a3⋅103+a2⋅102+a1⋅10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0; 1; 2; 3?
б) Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде N=a3⋅103+a2⋅102+a1⋅10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0; 1; 2; 3, ровно 150 способами?
в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде N=a3⋅103+a2⋅102+a1⋅10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0; 1; 2; 3, ровно 150 способами?
Конец формы
   C7C97E

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC=20, AB=18.  Найдите cosA.
Конец формы
   935C7B

Начало формы
На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 1,2. Найдите площадь закрашенного сектора.

 
Конец формы
   6C9A76

Начало формы
В сборнике билетов по физике всего 50 билетов, в 12 из них встречается вопрос по термодинамике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по термодинамике.
Конец формы
   33B67D

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 28, а боковое ребро AA1=3. Точка Q принадлежит ребру C1D1 и делит его в отношении 3:4, считая от вершины C1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A, C и Q.
Конец формы
   FEC4BE

Начало формы
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор − 8, − 5, − 4, − 3, − 1, 1, 4. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Конец формы
Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AC и BB1.  Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   09E9B4

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=28, AD=16, AA1=12.  Найдите синус угла между прямыми DD1 и B1C.
Конец формы
   0628B5

Начало формы
Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 
Конец формы
   7E75B5

Начало формы
Радиус основания конуса равен 5, а его высота равна 12. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 6. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
Конец формы
   BB05B1

Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC=3:5. Найдите синус угла A.
Конец формы
   2A3CBB

Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AB1 и CD.  Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   D40EB4

Начало формы
Шар вписан в цилиндр.  Площадь поверхности шара равна 21. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Конец формы
   D039B4

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 16. Точка L принадлежит ребру MC, причём ML:LC=2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки D и L параллельно прямой AC.
Конец формы
   D5E2B0

Начало формы
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 120 качественных сумок приходится двадцать одна сумка с дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Конец формы
   DCBCB3

Начало формы
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 130 качественных сумок приходится шестнадцать сумок с дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Конец формы
Начало формы
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 5 спортсменов из Аргентины, 4 спортсмена из Бразилии, 5 спортсменов из Парагвая и 6 — из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Парагвая.
Конец формы
   C0CCB2

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки C, A1, B1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1,  площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 6.
Конец формы
   EC8EB4

Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 30°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC=1:2. Найдите синус угла A.
Конец формы
   E2A7BF

Начало формы
Площадь параллелограмма ABCD равна 20. Точка F — середина стороны BC.  Найдите площадь трапеции AFCD.
Конец формы
   E183B6

Начало формы
В треугольнике ABC AB=BC, AC=30, высота CH равна 27.  Найдите синус угла ACB.
Конец формы
   6D9CBC

Начало формы
В окружности проведены хорды PQ и CD, причём PQ=PD=CD=14, CQ=10. Найдите CP.
Конец формы
   3D59BD

Начало формы
Каждое из чисел a1, a2, …, a450 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим
S1=a1+a2+…+a450, S2=a21+a22+…+a2450,
S3=a31+a32+…+a3450, S4=a41+a42+…+a4450.
Известно, что S1=721.
а) Найдите S4, если еще известно, что S2=1543, S3=4153.
б) Может ли S4=4243?
в) Пусть S4=6315. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Конец формы
   3291BA

Начало формы
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор − 8, − 4, 1, 4, 5, 9, 13. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 9 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Конец формы
   88A3B0

Начало формы
Окружности радиусов 1 и 7 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1=22,5°.
Конец формы
   43DB17

Начало формы
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что количество выпавших орлов меньше 2.
Конец формы
  
Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   412C1C

Начало формы
В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна 473√. Найдите AB.
 
Конец формы
   FE9018

Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 30°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC=5:6. Найдите синус угла A.
Конец формы
   0D9A1C

Начало формы
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен  322√2. Найдите образующую конуса.

Конец формы
   0F4E18

Начало формы
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет оба раза.
Конец формы
   B29510

Начало формы
Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 8. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.
Конец формы
   BC9513

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
   110714

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=9, AD=12, AA1=18.  Найдите синус угла между прямыми A1D1 и AC.
Конец формы
   15CF1C

Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми A1D и B1D1.  Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   21B915

Начало формы
На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

Конец формы
Начало формы
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 140 качественных сумок приходится тридцать сумок с дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Конец формы
   D7AB12

Начало формы
В треугольнике ABC AB=BC, AC=2, высота CH равна 1.  Найдите синус угла ACB.
Конец формы
   D53519

Начало формы
На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,5. Найдите площадь закрашенного сектора.

 
Конец формы
   57B317

Начало формы
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Конец формы
   5FAB13

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=21, AD=20, AA1=23.  Найдите площадь сечения, проходящего через вершины A, A1 и C.
Конец формы
   C1FD10

Начало формы
Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.
Конец формы
   9F6B16

Начало формы
В сборнике билетов по химии всего 50 билетов, в 16 из них встречается вопрос по углеводородам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по углеводородам.
Конец формы
   9E0413

Начало формы
Площадь параллелограмма ABCD равна 3. Точка H — середина стороны AD.  Найдите площадь трапеции AHCB.
Конец формы
   918418

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
   359E1F

Начало формы
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 37. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Конец формы
Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC=12, AB=6.  Найдите cosA.
Конец формы
   47932B

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, AB=12, AH — высота, BH=3.  Найдите косинус угла BAC.
Конец формы
   4BDC28

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
   0CEF2A

Начало формы
Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный 60°. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 4. Найдите MN.
Конец формы
   770921

Начало формы
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 70?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Конец формы
   725B26

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   B8F527

Начало формы
Окружности радиусов 11 и 21 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C, AO1 и BO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠AO1O2=60°. Найдите AB.
Конец формы
   B48527

Начало формы
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр).  Вычислите объём конуса, если объём цилиндра равен 162.
Конец формы
   BEC32B

Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC=3:4. Найдите синус угла A.
Конец формы
   B8982B

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
Начало формы
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 25?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 84?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Конец формы
   1FFC26

Начало формы
Окружности радиусов 53√ и 73√ с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке L. Прямая, проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке K, а большую — в точке M. Найдите площадь треугольника KMO1, если ∠LMO2=30°.
Конец формы
   1BBB26

Начало формы
Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1=15°.
Конец формы
   20722F

Начало формы
Шар вписан в цилиндр.  Площадь поверхности шара равна 29. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Конец формы
   2D1022

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, высота CH равна 19,2, cosA=725.  Найдите AC.
Конец формы
   244628

Начало формы
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса.  Образующая конуса равна 362√. Найдите радиус сферы.
Конец формы
   D9F924

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1,  площадь основания которой равна 5, а боковое ребро равно 6.
Конец формы
   58FE25

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, tgA=5√2.  Найдите AB.
Конец формы
   58D926

Начало формы
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Конец формы
   AA0224

Начало формы
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 63.
Конец формы
Начало формы
Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 14. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 9. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.
Конец формы
   C52924

Начало формы
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a>b>c>d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a+b+c+d=16 и a2−b2+c2−d2=32.
б) Может ли быть a+b+c+d=29 и a2−b2+c2−d2=29?
в) Пусть a+b+c+d=1400 и a2−b2+c2−d2=1400. Найдите количество возможных значений числа a.
Конец формы
   C1042A

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   CF2A29

Начало формы
а) Чему равно число способов записать число 1397 в виде 1397=a3⋅103+a2⋅102+a1⋅10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0; 1; 2; 3?
б) Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде N=a3⋅103+a2⋅102+a1⋅10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0; 1; 2; 3, ровно 140 способами?
в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде N=a3⋅103+a2⋅102+a1⋅10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0; 1; 2; 3, ровно 140 способами?
Конец формы
   9D2B26

Начало формы
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор − 4, − 1, 1, 3, 4, 5, 8. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Конец формы
   EA112E

Начало формы
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 12 высоты. Объём жидкости равен 25 мл.  Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Конец формы
   60E82D

Начало формы
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 13 высоты. Объём жидкости равен 12 мл.  Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Конец формы
   304821

Начало формы
Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 5 спортсменов из России, в том числе Кирилл Черноусов. Найдите вероятность того, что в первом туре Кирилл Черноусов будет играть с каким-либо шахматистом из России.
Конец формы
   4E8DDF

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что D1B=2AB.  Найдите угол между диагоналями BD1 и CA1. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   FC52D1

Начало формы
На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 1,6. Найдите площадь закрашенного сектора.
 
Конец формы
Начало формы
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса.  Образующая конуса равна 852√. Найдите радиус сферы.
Конец формы
   0717DF

Начало формы
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

 
Конец формы
   0630DF

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, высота CH равна 7,2, cosA=45.  Найдите AC.
Конец формы
   757ADF

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   B6E4D4

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=3, AD=4, AA1=32.  Найдите площадь сечения, проходящего через вершины C, C1 и A.
Конец формы
   1B0EDB

Начало формы
В треугольнике ABC AB=BC, AC=15, высота CH равна 6.  Найдите синус угла ACB.
Конец формы
   1F01DD

Начало формы
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 8, 9, 10, 17, 18, 19, 20, 27, 28, 29, 30, 37, 38, 39, 47.
Конец формы
   260FD0

Начало формы
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке  (все двугранные углы многогранника прямые).
 
Конец формы
   2685D2

Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AC и BC1.  Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   2259DC

Начало формы
Шар вписан в цилиндр.  Площадь поверхности шара равна 144. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Конец формы
Начало формы
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор − 6, − 2, 1, 4, 5, 7, 11. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 7 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Конец формы
   DA64D7

Начало формы
Площадь параллелограмма ABCD равна 126. Точка E — середина стороны AB.  Найдите площадь трапеции BCDE.
Конец формы
   6266DF

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=8, AD=7, AA1=5. Точка W принадлежит ребру DD1 и делит его в отношении 1:4, считая от вершины D. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки C, W и A1.
Конец формы
   3F95D7

Начало формы
Плоскость α пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 6. Плоскость β, параллельная плоскости α, касается меньшего шара, а площадь сечения этой плоскостью большего шара равна 4. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью α.
Конец формы
   3ECCD9

Начало формы
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.
Конец формы
   8F23D0

Начало формы
Острые углы прямоугольного треугольника равны 87° и 3°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
 
Конец формы
   891BD1

Начало формы
Окружности радиусов 1 и 4 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C, AO1 и BO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠AO1O2=60°. Найдите AB.
Конец формы
   F40456

Начало формы
Радиус основания конуса равен 9, а его высота равна 12. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 10. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
Конец формы
   0D3757

Начало формы
В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 6, а боковые рёбра равны 9. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AC и BC параллельно прямой MC.
Конец формы
   7F4F51

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
Начало формы
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 12?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 87?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Конец формы
   BC565B

Начало формы
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 32√, а высота равна 10−−√, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Конец формы
   B0895B

Начало формы
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор − 11, − 7, − 5, − 4, − 1, 2, 6. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Конец формы
   19BD55

Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми BC1 и A1B1.  Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   1B915A

Начало формы
Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 
Конец формы
   1CB056

Начало формы
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 15. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 
Конец формы
   DC6A56

Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми CB1 и AD.  Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   55735F

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки B, A1, B1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1,  площадь основания которой равна 8, а боковое ребро равно 6.
Конец формы
   5B4556

Начало формы
Окружности радиусов 11 и 24 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внутренним образом в точке K, MO1 и NO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠MO1O2=120°. Найдите MN.
Конец формы
   A2FB54

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
  
Начало формы
На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2. Найдите площадь закрашенного сектора.

 
Конец формы
   C1E658

Начало формы
В сборнике билетов по философии всего 30 билетов, в 15 из них встречается вопрос по онтологии. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по онтологии.
Конец формы
   9FD452

Начало формы
Шар вписан в цилиндр.  Площадь поверхности шара равна 60. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Конец формы
   ED1954

Начало формы
Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 3, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,91. Найдите радиус шара.
Конец формы
   6AB55A

Начало формы
Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 
Конец формы
   609A56

Начало формы
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орлов выпало больше, чем решек.
Конец формы
   3A2750

Начало формы
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=13, BC=7 и AD=11. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.
 
Конец формы
   31765C

Начало формы
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.
Конец формы
   348C56

Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми BA1 и AD1.  Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   4C46AC

Начало формы
Острые углы прямоугольного треугольника равны 62° и 28°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
 
Конец формы
Начало формы
В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 8, а боковые рёбра равны 17. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AB и BC параллельно прямой MB.
Конец формы
   F71EAB

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 3,  а боковое ребро равно 9.
Конец формы
   FD6FA5

Начало формы
Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 17 спортсменов из России, в том числе Денис Полянкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Денис Полянкин будет играть с каким-либо спортсменом из России.
Конец формы
   0375A5

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=8, AD=6, AA1=21.  Найдите синус угла между прямыми A1D1 и AC.
Конец формы
   0626A3

Начало формы
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

 
Конец формы
   BEBEA0

Начало формы
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр).  Вычислите объём конуса, если объём цилиндра равен 252.
 
Конец формы
   BF31A3

Начало формы
Найдите площадь квадрата, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 
Конец формы
   B6EAA8

Начало формы
Окружность радиуса 122√ вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 16. Найдите MN.
Конец формы
   24A6AF

Начало формы
Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (3; 7), (5; 7), (5; 9).
Конец формы
   2379A3

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=16, tgA=940.  Найдите AB.
Конец формы
Начало формы
Каждое из чисел a1, a2, …, a450 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим
S1=a1+a2+…+a450, S2=a21+a22+…+a2450,
S3=a31+a32+…+a3450, S4=a41+a42+…+a4450.
Известно, что S1=739.
а) Найдите S4, если еще известно, что S2=1779, S3=5611.
б) Может ли S4=6547?
в) Пусть S4=6435. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Конец формы
   DFD7AD

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки F, A1, B1, C1, D1, E1, F1 правильной шестиугольной призмыABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 4,  а боковое ребро равно 3.
Конец формы
   D4F5A5

Начало формы
В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по солям. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по солям.
Конец формы
   DAD2A3

Начало формы
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 18.
Конец формы
   5272A0

Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми CB1 и C1D1.  Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   50D1AB

Начало формы
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что разница выпавших очков равна 1 или 2.
Конец формы
   AA50A2

Начало формы
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 213−−√, а высота равна 210−−√, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Конец формы
   C98CAF

Начало формы
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

 
Конец формы
   CE3CAC

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=8, AD=22, AA1=6.  Найдите синус угла между прямыми C1D и AB.
Конец формы
   CA52A9

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1,  площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3.
Конец формы
Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=5, AD=2, AA1=7. Точка M принадлежит ребру CC1 и делит его в отношении 2:5, считая от вершины C. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки D, M и B1.
Конец формы
   6A91AA

Начало формы
Радиусы окружностей с центрами O1 и O2 равны соответственно 1 и 3. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O1O2, если O1O2=14.
Конец формы
   69EFA9

Начало формы
В правильной четырёхугольной  пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина, SO=30, SA=34. Найдите длину отрезка AC.
Конец формы
   3669AD

Начало формы
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 5 спортсменов из Аргентины, 8 спортсменов из Бразилии, 9 спортсменов из Парагвая и 3 — из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Уругвая.
Конец формы
   4A5CC7

Начало формы
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=23, BC=7 и CD=5. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.
 
Конец формы
   46ABC6

Начало формы
Цилиндр описан около шара. Объём шара равен 50.  Найдите объём цилиндра.
Конец формы
   FCCBC9

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 12, а боковые рёбра равны 10. ТочкаW принадлежит ребру MD, причём MW:WD=2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки C и W параллельно прямой BD.
Конец формы
   FD30C9

Начало формы
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса.  Радиус сферы равен 262√. Найдите образующую конуса.
Конец формы
   0F93C7

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, высота CH равна 16, cosA=0,6.  Найдите AC.
Конец формы
   0B56CC

Начало формы
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет все три раза.
Конец формы
  
Начало формы
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

 
Конец формы
   7BEFC4

Начало формы
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 2 прыгуна из Италии и 5 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать вторым будет выступать прыгун из Италии.
Конец формы
   7FC8C6

Начало формы
В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна 273√. Найдите AB.
 
 
Конец формы
   2EEDCC

Начало формы
Площадь параллелограмма ABCD равна 142. Точка H — середина стороны AD.  Найдите площадь трапеции BHDC.
Конец формы
   5AEAC4

Начало формы
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор − 7, − 2, 1, 5, 6, 8, 13. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 2 раза. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Конец формы
   A6ABCE

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что DB1=2CB.  Найдите угол между диагоналями BD1 и AC1. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   9C8BCB

Начало формы
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 8,5.  Найдите его объём.
Конец формы
   E460C7

Начало формы
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса.  Образующая конуса равна 292√. Найдите радиус сферы.
Конец формы
   6C63C7

Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC=1:3. Найдите синус угла A.
Конец формы
   40019C

Начало формы
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

 
Конец формы
Начало формы
Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 46 шахматистов, среди которых 10 спортсменов из России, в том числе Дмитрий Тоснин. Найдите вероятность того, что в первом туре Дмитрий Тоснин будет играть с каким-либо шахматистом из России.
Конец формы
   77BD91

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC=16, AB=8.  Найдите cosA.
Конец формы
   755A91

Начало формы
На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

 
Конец формы
   77BD9D

Начало формы
Окружности радиусов 5 и 9 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке L. Прямая, проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке K, а большую — в точке M. Найдите площадь треугольника KMO1, если ∠LMO2=15°.
Конец формы
   777D99

Начало формы
В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.
Конец формы
   B26391

Начало формы
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 48.
Конец формы
   B43A9D

Начало формы
В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 3, а боковые рёбра равны 6. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AB и AC параллельно прямой MA.
Конец формы
   BDB499

Начало формы
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 8 прыгунов из Италии и 2 прыгуна из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать первым будет выступать прыгун из Италии.
Конец формы
   23849A

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC=20, AB=8.  Найдите cosA.
Конец формы
   2DB39E

Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 30°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC=1:6. Найдите синус угла A.
Конец формы
Начало формы
Окружности радиусов 2 и 9 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке L. Прямая, проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке K, а большую — в точке M. Найдите площадь треугольника KMO1, если ∠LMO2=15°.
Конец формы
   55E390

Начало формы
В треугольнике ABC DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 24.  Найдите площадь треугольника ABC.
Конец формы
   509E9A

Начало формы
Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.
Конец формы
   567C96

Начало формы
Шар вписан в цилиндр.  Площадь поверхности шара равна 120. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Конец формы
   AF879C

Начало формы
Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 2, 3, 4, 5, 6.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 10, 12, 13, 22, 23, 24, 25, 34, 35, 36, 37, 46, 47, 49, 59.
Конец формы
   C20D9F

Начало формы
Каждое из чисел a1, a2, …, a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим
S1=a1+a2+…+a350, S2=a21+a22+…+a2350,
S3=a31+a32+…+a3350, S4=a41+a42+…+a4350.
Известно, что S1=513.
а) Найдите S4, если еще известно, что S2=1097, S3=3243.
б) Может ли S4=4547?
в) Пусть S4=4745. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Конец формы
   CCD093

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, высота CH равна 1, cosA=26√5.  Найдите AC.
Конец формы
   C79D98

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, высота CH равна 9,6, cosA=725.  Найдите AC.
Конец формы
   97CF97

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15, а боковые рёбра равны 16. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку D и середину ребра MB параллельно прямой AC.
Конец формы
   97799B

Начало формы
Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.
Конец формы
Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=6, tgA=512.  Найдите AB.
Конец формы
   6B509C

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.
Конец формы
   806993

Начало формы
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков — чётное число.
Конец формы
   4BA2E1

Начало формы
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 5, найдите угол между прямыми FA и D1E1.  Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   4C40EE

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC равно 37, сторона основания равна 352√.  Найдите объём пирамиды.
Конец формы
   0940E2

Начало формы
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n≥3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 10?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 1000?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 129.
Конец формы
   B103EF

Начало формы
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 36.
Конец формы
   BB0BEC

Начало формы
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 5√, а высота равна 1, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Конец формы
   BBBCEC

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку A и середину ребра MC параллельно прямой BD.
Конец формы
   1A48E0

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=12, cosB=35.  Найдите AB.
Конец формы
Начало формы
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 14 высоты. Объём жидкости равен 1 мл.  Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?
Конец формы
   DBFAE3

Начало формы
Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2, 3, 5, то на доске будет выписан набор 2, 3, 5, 5, 7, 8, 10.
а) На доске выписан набор − 13, − 9, − 5, − 4, − 1, 4, 8. Какие числа были задуманы?
б) Для некоторых различных задуманных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 9 раз. Какое наименьшее количество чисел могло быть задумано?
в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли по этому набору можно однозначно определить задуманные числа?
Конец формы
   532EE2

Начало формы
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 56. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 
Конец формы
   AB26ED

Начало формы
Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
Конец формы
   A738EC

Начало формы
В треугольнике ABC EF — средняя линия. Площадь треугольника BEF равна 4.  Найдите площадь треугольника ABC.
Конец формы
   C7EDE0

Начало формы
В треугольнике ABC DF — средняя линия. Площадь треугольника ADF равна 40.  Найдите площадь треугольника ABC.
Конец формы
   C3A5EC

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=6, AD=8, AA1=9.  Найдите синус угла между прямыми CD и A1C1.
Конец формы
   9F08EB

Начало формы
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 20?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Конец формы
   E6C5EB

Начало формы
В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 17, а высота равна 7, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Конец формы
   E9B6EC

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, высота CH равна 26√, cosA=0,2.  Найдите AC.
Конец формы
Начало формы
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 34. Найдите площадь закрашенной фигуры.
 
Конец формы
   3AFAE3

Начало формы
В правильной четырёхугольной  пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина, SO=14, SD=50. Найдите длину отрезка AC.
Конец формы
   80EAE0

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, AB=10, AH — высота, BH=5.  Найдите косинус угла BAC.
Конец формы
   89B5EE

Начало формы
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 8 спортсменов из Дании, 6 спортсменов из Швеции, 9 спортсменов из Норвегии и 7 — из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Норвегии.
Конец формы
   85B4E8

Начало формы
В сборнике билетов по географии всего 40 билетов, в 14 из них встречается вопрос по странам Африки. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по странам Африки.
Конец формы
   446667

Начало формы
В сборнике билетов по математике всего 30 билетов, в 9 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по неравенствам.
Конец формы
   4F076A

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=5, tgA=125.  Найдите AB.
Конец формы
   0F1E66

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, AB=8, AH — высота, BH=2.  Найдите косинус угла BAC.
Конец формы
   711164

Начало формы
Окружности радиусов 1 и 15 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C, AO1 и BO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠AO1O2=60°. Найдите AB.
Конец формы
   7B1565

Начало формы
На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 48. Найдите площадь закрашенной фигуры.

 
Конец формы
Начало формы
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n≥3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111.
Конец формы
   B61260

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB=6, AD=4, AA1=10. Точка F принадлежит ребру BB1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, F и C1.
Конец формы
   BAA560

Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми BD и A1D1.  Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   BCDE6B

Начало формы
Каждое из чисел a1, a2, …, a350 равно 1, 2, 3 или 4. Обозначим
S1=a1+a2+…+a350, S2=a21+a22+…+a2350,
S3=a31+a32+…+a3350, S4=a41+a42+…+a4350.
Известно, что S1=569.
а) Найдите S4, если еще известно, что S2=1307, S3=3953.
б) Может ли S4=4857?
в) Пусть S4=4785. Найдите все значения, которые может принимать S2.
Конец формы
   109463

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   25CE60

Начало формы
Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

Конец формы
   D00565

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=7, tgA=3√.  Найдите AB.
Конец формы
   525760

Начало формы
а) Чему равно число способов записать число 1091 в виде 1091=a3⋅103+a2⋅102+a1⋅10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0; 1; 2; 3?
б) Существуют ли 10 различных чисел N таких, что их можно представить в виде N=a3⋅103+a2⋅102+a1⋅10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0; 1; 2; 3, ровно 110 способами?
в) Сколько существует чисел N таких, что их можно представить в виде N=a3⋅103+a2⋅102+a1⋅10+a0, где числа ai — целые, 0≤ai≤99, i=0; 1; 2; 3, ровно 110 способами?
Конец формы
   584F65

Начало формы
В треугольнике ABC AB=BC, AC=24, высота CH равна 18.  Найдите синус угла ACB.
Конец формы
   A78362

Начало формы
Радиусы окружностей с центрами O1 и O2 равны соответственно 2 и 10. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O1O2, если O1O2=28.
Конец формы
Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 30°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC=1:3. Найдите синус угла A.
Конец формы
   AAC668

Начало формы
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса.  Радиус сферы равен 232√. Найдите образующую конуса.
Конец формы
   CEA269

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что BD1=2AD.  Найдите угол между диагоналями DB1 и AC1. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   C8B866

Начало формы
Окружность радиуса 82√ вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 12. Найдите MN.
Конец формы
   9BBF60

Начало формы
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Великобритании, 3 спортсмена из Франции, 4 спортсмена из Германии и 9 — из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Германии.
Конец формы
   6CF96B

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, D, E, F, B1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6,  а боковое ребро равно 6.
Конец формы
   301462

Начало формы
В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 7, а высота равна 3, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Конец формы
   3F386E

Начало формы
В равностороннем треугольнике ABC высота CH равна 243√. Найдите AB.
 
 
Конец формы
   4B763D

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, E, F, A1, E1, F1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 6,  а боковое ребро равно 10.
Конец формы
   432039

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, AB=12, AH — высота, BH=6.  Найдите косинус угла BAC.
Конец формы
Начало формы
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.
Конец формы
   FBF33A

Начало формы
В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 25√, а высота равна 4, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Конец формы
   F70136

Начало формы
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n≥3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 900?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 123.
Конец формы
   037336

Начало формы
Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию (n≥3).
а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 15?
б) Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 950?
в) Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 141.
Конец формы
   1D8832

Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 32, а боковые рёбра равны 4. Точка K принадлежит ребру MB, причём MK:KB=2:1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точкиA и K параллельно прямой BD.
Конец формы
   205335

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   22DB3E

Начало формы
Натуральные числа a, b, c и d удовлетворяют условию a>b>c>d.
а) Найдите числа a, b, c и d, если a+b+c+d=15 и a2−b2+c2−d2=19.
б) Может ли быть a+b+c+d=23 и a2−b2+c2−d2=23?
в) Пусть a+b+c+d=1200 и a2−b2+c2−d2=1200. Найдите количество возможных значений числа a.
Конец формы
   D58F3F

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, AB=30, высота AH равна 24.  Найдите синус угла BAC.
Конец формы
   DAFA32

Начало формы
В треугольнике ABC EF — средняя линия. Площадь треугольника BEF равна 6.  Найдите площадь треугольника ABC.
Конец формы
   54CC33

Начало формы
Окружность радиуса 102√ вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 12. Найдите MN.
Конец формы
  
Начало формы
Окружности радиусов 1 и 4 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внутренним образом в точке K, MO1 и NO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠MO1O2=120°. Найдите MN.
Конец формы
   A6AF30

Начало формы
Площадь параллелограмма ABCD равна 92. Точка F — середина стороны BC.  Найдите площадь трапеции ADFB.
Конец формы
   AE853D

Начало формы
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 бадминтонистов, среди которых 16 спортсменов из России, в том числе Игорь Чаев. Найдите вероятность того, что в первом туре Игорь Чаев будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.
Конец формы
   95A73B

Начало формы
В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Конец формы
   9CC43E

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=9, AD=12, AA1=9.  Найдите синус угла между прямыми DD1 и B1C.
Конец формы
   913B36

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC=20, AB=12.  Найдите cosA.
Конец формы
   E9A23E

Начало формы
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB=27, AD=36, AA1=10.  Найдите площадь сечения, проходящего через вершины D, D1 и B.
Конец формы
   EF9136

Начало формы
В правильной четырёхугольной  пирамиде SABCD точка O — центр основания, S — вершина, SO=48, SC=80. Найдите длину отрезка BD.
Конец формы
   44F180

Начало формы
Угол C треугольника ABC равен 60°, D — отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD:DC=1:2. Найдите синус угла A.
Конец формы
   4D4A8C

Начало формы
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр).  Вычислите объём конуса, если объём цилиндра равен 30.
 
Конец формы
Начало формы
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC равно 17, сторона основания равна 152√.  Найдите объём пирамиды.
Конец формы
   F9348F

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что CA1=2A1D1.  Найдите угол между диагоналями BD1 и AC1. Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   F7B88B

Начало формы
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса.  Радиус сферы равен 522√. Найдите образующую конуса.
Конец формы
   F3318D

Начало формы
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр).  Вычислите объём конуса, если объём цилиндра равен 63.
 
Конец формы
   79DC8F

Начало формы
В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 210−−√, а высота равна 2, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.
Конец формы
   712D85

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, AB=5, высота AH равна 4.  Найдите синус угла BAC.
Конец формы
   B7BA85

Начало формы
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Конец формы
   B5B58E

Начало формы
В окружности проведены хорды PQ и CD, причём PQ=PD=CD=8, CQ=6. Найдите CP.
Конец формы
   297181

Начало формы
В правильной треугольной пирамиде MABC с вершиной M высота равна 9, а боковые рёбра равны 15. Найдите площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проходящей через середины сторон AB и BC параллельно прямой MB.
Конец формы
   2FEF8D

Начало формы
Окружности радиусов 13 и 35 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внутренним образом в точке K, MO1 и NO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠MO1O2=120°. Найдите MN.
Конец формы
Начало формы
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 89?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 86?
в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Конец формы
   D84E8A

Начало формы
В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми CD1 и BC1.  Ответ дайте в градусах.
Конец формы
   D52983

Начало формы
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=2, tgA=158.  Найдите AB.
Конец формы
   573480

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 6, а боковое ребро AA1=1. Точка F принадлежит ребру C1D1 и делит его в отношении 2:1, считая от вершины C1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A, C и F.
Конец формы
   59D68D

Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 20, а боковое ребро AA1=7. Точка M принадлежит ребру A1D1 и делит его в отношении 2:3, считая от вершины D1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки B, D и M.
Конец формы
   52A086

Начало формы
Окружности радиусов 2 и 10 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1=22,5°.
Конец формы
   C57587

Начало формы
Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).
а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 19?
б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 86?
в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?
Конец формы
   C7D48D

Начало формы
Окружности радиусов 52√ и 82√ с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке L. Прямая, проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке K, а большую — в точке M. Найдите площадь треугольника KMO1, если ∠LMO2=22,5°.
Конец формы
   9B7F8D

Начало формы
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 45.
Конец формы
   96208A

Начало формы
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, B1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1,  площадь основания которой равна 7, а боковое ребро равно 3.
Конец формы
Начало формы
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 16, а боковое ребро AA1=1. Точка W принадлежит ребру A1B1 и делит его в отношении 1:3, считая от вершины A1. Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A, C и W.
Конец формы
   83088B

Начало формы
В треугольнике ABC AC=BC, AB=10, высота AH равна 3.  Найдите синус угла BAC.
Конец формы
   87AB89

Начало формы
Окружности радиусов 11 и 21 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внутренним образом в точке K, MO1 и NO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠MO1O2=120°. Найдите MN.
Конец формы
   84178E

Начало формы
Имеются каменные глыбы: 50 штук по 700 кг, 60 штук по 1 000 кг и 80 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 65 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 43 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится, чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
Конец формы

Приложенные файлы

  • docx 10403457
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий