ответы к экзамену по Физике


1. МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕМеханическим движением тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.
Механическое движение тел изучает механика. Раздел механики, описывающий геометрические свойства движения без учета масс тел и действующих сил, называется кинематикой.
Путь и перемещение. Линия, по которой движется точка тела, называется траекторией движения. Длина траектории называется пройденным путем. Вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории, называется перемещением.
Движение тела, при котором все его точки в данный момент времени движутся одинаково, называется поступательным движением. Для описания поступательного движения тела достаточно выбрать одну точку и описать ее движение (рис. 1).
15659106985000
Рис. 1
Движение, при котором траектории всех точек тела являются окружностями с центрами на одной прямой и все плоскости окружностей перпендикулярны этой прямой, называется вращательным движением (рис. 2).
23609309017000
Рис. 2
Поступательное и вращательное движения - самые простые примеры механического, движения тел.
При движении автомобиля по дороге его кузов движется поступательно, а колеса совершают вращательное движение относительно осей.
Материальная точка. Тело, размерами которого в данных условиях движения можно пренебречь, называют материальной точкой.
Тело можно рассматривать как материальную точку, если его размеры малы по сравнению с расстоянием, которое оно проходит, или по сравнению с расстояниями от него до других тел. Космический корабль, пролетающий 8 км за 1 с, при наблюдении с поверхности Земли вполне можно рассматривать как материальную точку. Но космонавт, находящийся в космическом корабле, не может считать свой корабль материальной точкой.
Когда траекторией движения материальной точки является прямая линия и направление движения не изменяется, модуль вектора перемещения равен пройденному пути. Если точка движется по криволинейной траектории, то модуль вектора перемещения меньше пройденного пути (рис. 3).
12312658636000
Рис. 3
Если в конкретных условиях тело можно рассматривать как материальную точку, мы будем говорить о координатах тела и траектории движения тела.
Метр. Для определения координат тела необходимо уметь измерять расстояние на прямой между двумя точками. Любой процесс измерения физической величины заключается в сравнении измеряемой величины с единицей измерения этой величины. Единица для измерения длины может быть выбрана произвольно, но для удобства в науке и технике, в торговле и в быту в настоящее время условились во всех странах пользоваться одной единицей длины - метром.
Эталон единицы длины - метр - изготовлен из очень прочного сплава иридия и платины.
Метр равен примерно 1/40000000 части земного меридиана.
По современному определению метр - это расстояние, которое свет проходит в пустоте за 1/299792458 долю секунды. Таким образом, современное определение единицы расстояния связано с определением единицы измерения времени - секундой.
Секунда. Для измерения времени выбирается какой-либо природный периодический процесс или процесс, регулярно повторяющийся в специально изготовленном приборе - часах.
До недавнего времени основой для измерения времени служили астрономические наблюдения за движением Солнца и звезд. Суточное движение Солнца и звезд происходит из-за вращения Земли вокруг своей оси.
Сутки делятся на 24 часа, 1 час - на 60 минут, 1 минута - на 60 секунд; поэтому 1 секунда равна 1/24·60·60 доле суток. Длительность суток определялась из астрономических наблюдений. Однако точные современные часы позволяют обнаружить, что из-за изменения направления ветров и океанских течений, из-за влияния приливов вращение Земли вокруг своей оси то ускоряется, то замедляется. Строго повторяющимися являются периодические процессы в мире атомов. Поэтому для точных измерений времени используются атомные часы. Секунда равна 9192631770 периодам излучения атома цезия при переходе между двумя уровнями сверхтонкой структуры основного состояния.
В Международной системе единиц (СИ) длина и время приняты за независимые от других величины. Подобные величины называются основными. Длина и время - основные величины в Международной системе единиц, они используются для определения других величин этой системы.
Система отсчета. Относительность механического движения. Чтобы описать механическое движение тела (точки), нужно знать его координаты в любой момент времени. Для определения координат материальной точки следует прежде всего выбрать тело отсчета и связать с ним систему координат. В механике часто телом отсчета служит Земля, с которой связывается прямоугольная декартова система координат (рис. 4). Для определения положения материальной точки в любой момент времени необходимо также задать начало отсчета времени.
22129755651500
Рис. 4
Система координат, тело отсчета, с которым она связана, и указание начала отсчета времени образуют систему отсчета, относительно которой рассматривается движение тела.
Траектория движения тела, пройденный путь и перемещение зависят от выбора системы отсчета. Другими словами, механическое движение относительно.
Скорость. Для количественной характеристики процесса движения тела вводится понятие скорости движения.
Мгновенной скоростью поступательного движения тела в момент времени называется отношение очень малого перемещения к малому промежутку времени , за который произошло это перемещение:
. (1.1)
Мгновенная скорость - векторная величина.
При последовательном уменьшении длительности промежутка времени направление вектора перемещения приближается к касательной в точке A траектории движения, через которую проходит тело в момент времени (рис. 5). Поэтому вектор скорости лежит на касательной к траектории движения тела в точке A и направлен в сторону движения тела.
1697355508000
Рис. 5
Формула (1.1) позволяет установить единицу скорости.
В Международной системе (СИ) единицей расстояния является метр, единицей времени - секунда; поэтому скорость выражается в метрах в секунду:
.
Метр в секунду равен скорости прямолинейно и равномерно движущейся точки, при которой точка за время 1 с перемещается на расстояние 1 м.
Равномерное прямолинейное движение. Движение с постоянной по модулю и направлению скоростью называется равномерным прямолинейным движением. При равномерном прямолинейном движении тело движется по прямой и за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути.
Классический закон сложения скоростей. Выясним, как связаны между собой скорости движения тела в различных системах отсчета. Рассмотрим такой пример. Вагон движется по прямолинейному участку железнодорожного пути равномерно со скоростью относительно Земли. Пассажир движется относительно вагона со скоростью , векторы скоростей и имеют одинаковое направление. Найдем скорость пассажира относительно Земли. Перемещение пассажира относительно Земли за малый промежуток времени равно сумме перемещений за этот промежуток времени вагона относительно Земли и пассажира относительно вагона (рис. 6):

или .
16719552222500
Рис. 6
Отсюда скорость пассажира относительно Земли равна
(1.2)
Мы получили, что скорость пассажира в системе отсчета, связанной с Землей, равна сумме скоростей пассажира в системе отсчета, связанной с вагоном, и вагона относительно Земли.
Этот вывод справедлив для любых направлений векторов скорости и скорости . Закон, выражаемый формулой (1.2), называется классическим законом сложения скоростей.
2. СкоростьДля характеристики движения материальной точки вводят векторную физическую величину - скорость, определяющую как быстроту движения, так и направление движения в данный момент времени.

Пусть материальная точка движется по криволинейной траектории МN так, что в момент времени t она находится в т.М, а в момент времени в т. N. Радиус-векторы точек М и N соответственно равны , а длина дуги МN равна (рис. 1.3).
Вектором средней скорости точки в интервале времени от t до t+Δt называют отношение приращения радиуса-вектора точки за этот промежуток времени к его величине :
(1.5)
Вектор средней скорости направлен также, как вектор перемещения т.е. вдоль хорды МN.
Мгновенная скорость или скорость в данный момент времени. Если в выражении (1.5) перейти к пределу, устремляя к нулю, то мы получим выражение для вектора скорости м.т. в момент времени t прохождения ее через т.М траектории.
(1.6)
В процессе уменьшения величины точка N приближается к т.М, и хорда МN, поворачиваясь вокруг т.М, в пределе совпадает по направлению с касательной к траектории в точке М. Поэтому вектор и скорость v движущейся точки направлены по касательной траектории в сторону движения. Вектор скорости v материальной точки можоразложить на три составляющие, направленные вдоль осей прямоугольной декартовой системы координат.
(1.7)
где - проекции вектора скорости на оси координат х, у, z.
Подставляя в (1.6) значения для радиус-вектора материальной точки (1.1) и выполнив почленное дифференцирование, получим:
(1.8)
Из сопоставления выражений (1.7) и (1.8) следует, что проекции скорости материальной точки на оси прямоугольной декартовой системы координат равны первым производным по времени от соответствующих координат точки:
(1.9)
Поэтому численное значение скорости:
(1.10)
Движение, при котором направление скорости материальной точки не изменяется, называется прямолинейным. Если численное значение мгновенной скорости точки остается во время движения неизменным, то такое движение называется равномерным.
Если же за произвольные равные промежутки времени точка проходит пути разной длины, то численное значение ее мгновенной скорости с течением времени изменяется. Такое движение называют неравномерным.
В этом случае часто пользуются скалярной величиной , называемой средней путевой скоростью неравномерного движения на данном участке траектории. Она равна численному значению скорости такого равномерного движения, при котором на прохождение пути затрачивается то же время , что и при заданном неравномерном движении:
(1.11)
Т.к. только в случае прямолинейного движения с неизменной по направлению скоростью, то в общем случае:
.
Закон сложения скоростей. Если материальная точка одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещения в соответствии с законом независимости движения, равно векторной (геометрической) сумме элементарных перемещений, обусловленных каждым из этих движений в отдельности:

В соответствии с определением (1.6):
(1.12)
Таким образом, скорость результирующего движения равна геометрической сумме скоростей всех движений, в которых участвует материальная точка, (это положение носит название закона сложения скоростей).
3. УскорениеУскорение характеризует быстроту изменения скорости, т.е. изменение величины скорости за единицу времени.
Вектор среднего ускорения. Отношение приращения скорости к промежутку времени , в течение которого произошло это приращение, выражает среднее ускорение:

Вектор, среднего ускорения совпадает по направлению с вектором .
Ускорение, или мгновенное ускорение равно пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени к нулю:
(1.13)
В проекциях на соответствующие координаты оси:

или
(1.14)
4.Кинематика вращательного движения.
Если в процессе движения абсолютно твердого тела (рис.2.1) его точки А и В остаются неподвижными, то и любая точка С тела, находящаяся на прямой АВ, также должна оставаться неподвижной. В противном случае расстояния АС и ВС должны были бы изменяться, что противоречило бы предположению об абсолютной твердости тела. Поэтому движение твердого тела, при котором две его точки Аи В остаются неподвижными, называют вращением тела вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую АВ называют осью вращения.

Рассмотрим произвольную точку М тела, не лежащую на оси вращения АВ. При вращении твердого тела расстояния М А и МВ и расстояние ρ точки М до оси вращения должны оставаться неизменными. Таким образом, все точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения, а плоскости перпендикулярны этой оси. Движение абсолютно твердого тела, закрепленного в одной неподвижной точке, называют вращением тела вокруг неподвижной точки - центра вращения. Такое движение абсолютно твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг некоторой оси, проходящей через центр вращения и называемой мгновенной осью вращения тела. Положение мгновенной оси относительно неподвижной системы отсчета и самого тела с течением времени может изменяться.
5. СИЛА. МАССА ТЕЛА И ИМПУЛЬС
Сила и ускорение. В инерциальных системах отсчета любое изменение скорости тела происходит под действием других тел. Описывая действие одного тела на другое, мы часто говорим о слабом, сильном или очень сильном действии. Но значение слов "сильный удар", "слабый удар", например, при описании действия клюшки хоккеиста на шайбу совершенно неопределенно, пока нет количественной меры действия одного тела на другое. В физике для количественного выражения действия одного тела на другое вводится понятие "сила".
Когда нужно знать ускорение только одного из двух взаимодействующих тел и можно не рассматривать второе тело, то влияние одного тела на другое, вызывающее возникновение ускорения, называют силой, действующей на тело.
Если к концу пружины прикрепить тележку и растянуть пружину, то под действием пружины тележка движется ускоренно. Следовательно, со стороны растянутой пружины на тележку действует сила. Эту силу называют силой упругости. Сила упругости зависит только от того, как растянута пружина, но не зависит от того, к какому телу она прикреплена.
Другой пример силы - сила тяжести, действующая на любое тело у поверхности Земли.
Взаимодействие тел может приводить к различным изменениям их скоростей как по модулю, так и по направлению. Поэтому сила характеризуется не только числом, но и направлением.
Сила - величина векторная, ее обозначают буквой .
За направление вектора силы принимается направление вектора ускорения тела, на которое действует сила.
В Международной системе единиц за единицу силы принимается сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2. Эта единица называется ньютоном (Н):
.
Масса и импульс тела     

       Воздействие на данное тело со стороны других тел вызывает изменение его скорости, т.е. сообщает данному телу ускорение.        Опыт показывает, что одинаковое воздействие сообщает различным телам разные по величине ускорения. Всякое тело противится попыткам изменить его состояние движения. Это свойство тел, как мы уже говорили, называется инертностью (следует из первого закона Ньютона).        Мерой инертности тела является величина, называемая массой.        Чтобы определить массу некоторого тела, нужно сравнить её с массой тела, принятого за эталон массы (или сравнить с телом уже известной массы).        Масса – величина аддитивная (масса тела равна сумме масс частей, составляющих это тело).        Система тел, взаимодействующих только между собой, называется замкнутой.        Рассмотрим замкнутую систему тел массами m1 и m2 (рис. 3.1).
 Рис. 3.1
       Столкнём эти два тела. Опыт показывает, что приращённые скорости  и  всегда имеют противоположное направление (отличное знаком), а модули приращений скорости относятся как
 (3.2.1)  
(тело, обладающее большей массой, меньше изменяет скорость).        Приняв во внимание направление скоростей, запишем:

       При  v << c  масса  m = const (ньютоновская, классическая механика), тогда имеем:

       Произведение массы тела m на скорость  называется импульсом тела :
 (3.2.2)
6. Принцип относительности Галилея
Рассмотрим две системы отсчета: неподвижную (К) и движущуюся относительно первой вдоль оси Х с постоянной Х с постоянной скоростью (K’). Координаты тела М в системе К x:y:z , а в системе К’ - x’:y’:z’. Эти координаты связаны между собой соотношениями, которые называються преообразованием Галилея

Дифференцируя эти уравнения по времени и учитывая, что , найдем соотношения между скоростями и ускорениями:



Таким образом, если в системе К тело имеет ускорение а, то такое же ускорение оно имеет и в системе К’.
Согласно второму закону Ньютона:

т.е. второй закон Ньютона одинаков в обоих случаях.
При движение по инерции, т.о., справедлив и первый закон Ньютона, т.е. рассматриваемая нами подвижная система является инерциальной. Следовательно, уравнения Ньютона для материальной точки, а также для произвольной системы материальных точек одинаковы во всех инерциальных системах отсчета - инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея. Этот результат называется механическим принципом относительности (принцип относительности Галилея), и формулируется следующим образом: равномерное и прямолинейное движение (относительно какой-либо инерциальной системы отсчета) замкнутой системы не влияет на закономерности протекания в ней механических процессов. Следовательно, в механике все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны. Поэтому никакими механическими опытами внутри системы нельзя обнаружить движется ли система равномерно и прямолинейно или покоится.
7.Упругие силы. Диаграмма растяжения твердого тела     
       Электромагнитные силы в механике проявляют себя как упругие силы и силы трения.
       Под действием внешних сил возникают деформации (т.е. изменение размеров и формы) тел. Если после прекращения действия внешних сил восстанавливаются прежние форма и размеры тела, то деформация называется упругой. Деформация имеет упругий характер в случае, если внешняя сила не превосходит определенного значения, называемого пределом упругости.

При превышении этого предела деформация становится пластичной, или неупругой, т.е. первоначальные размеры и форма тела полностью не восстанавливаются.
       Рассмотрим упругие деформации. В деформированном теле (рис. 4.2) возникают упругие силы, уравновешивающие внешние силы. Под действием внешней силы –  Fвн  пружина получает удлинение  x, в результате в ней возникает упругая сила –  Fупр, уравновешивающая  Fвн.
 Рис. 4.2
       Упругие силы возникают во всей деформированной пружине. Любая часть пружины действует на другую часть с силой упругости  Fупр.
       Удлинение пружины пропорционально внешней силе и определяется законом Гука:
  (4.3.1)  
k  – жесткость пружины. Видно, что чем больше  k, тем меньшее удлинение получит пружина под действием данной силы.
       Гук Роберт (1635–1703) – знаменитый английский физик, сделавший множество изобретений и открытий в области механики, термодинамики, оптики. Его работы относятся к теплоте, упругости, оптике, небесной механике. Установил постоянные точки термометра – точку таяния льда, точку кипения воды. Усовершенствовал микроскоп, что позволило ему осуществить ряд микроскопических исследований, в частности наблюдать тонкие слои в световых пучках, изучать строение растений. Положил начало физической оптике.
       Так как упругая сила отличается от внешней только знаком, т.е.  Fупр = –Fвн, закон Гука можно записать в виде
 , Fупр = –kx.
       Потенциальная энергия упругой пружины равна работе, совершенной над пружиной.        Так как сила непостоянна, элементарная работа  dA = F dx, или
dA = –kx dx.
       Тогда полная работа, которая совершена пружиной, равна:

Диаграмма растяжения твердого тела

8. Силы трения
Сила трения — это сила, возникающая при соприкосновении двух тел и препятствующая их относительному движению. Причиной возникновения трения является шероховатость трущихся поверхностей и взаимодействие молекул этих поверхностей. Сила трения зависит от материала трущихся поверхностей и от того, насколько сильно эти поверхности прижаты друг к другу. В простейших моделях трения (закон Кулона для трения) считается, что сила трения прямо пропорциональна силе нормальной реакции между трущимися поверхностями. В целом же, в связи со сложностью физико-химических процессов, протекающих в зоне взаимодействия трущихся тел, процессы трения принципиально не поддаются описанию с помощью простых моделей классической механики.
Разновидности силы трения
При наличии относительного движения двух контактирующих тел силы трения, возникающие при их взаимодействии, можно подразделить на:
Трение скольжения — сила, возникающая при поступательном перемещении одного из контактирующих/взаимодействующих тел относительно другого и действующая на это тело в направлении, противоположном направлению скольжения.
Трение качения — момент сил, возникающий при качении одного из двух контактирующих/взаимодействующих тел относительно другого.
Трение покоя — сила, возникающая между двумя контактирующими телами и препятствующая возникновению относительного движения. Эту силу необходимо преодолеть для того, чтобы привести два контактирующих тела в движение друг относительно друга. Возникает при микроперемещениях (например, при деформации) контактирующих тел. Она действует в направлении, противоположном направлению возможного относительного движения.
Характер фрикционного взаимодействия
В физике взаимодействия трение принято разделять на:
сухое, когда взаимодействующие твёрдые тела не разделены никакими дополнительными слоями/смазками (в том числе и твердыми смазочными материалами) — очень редко встречающийся на практике случай. Характерная отличительная черта сухого трения — наличие значительной силы трения покоя;
граничное, когда в области контакта могут содержаться слои и участки различной природы (окисные плёнки, жидкость и так далее) — наиболее распространённый случай при трении скольжения.
смешанное, когда область контакта содержит участки сухого и жидкостного трения;
жидкостное (вязкое), при взаимодействии тел, разделённых слоем твёрдого тела (порошком графита), жидкости или газа (смазки) различной толщины — как правило, встречается при трении качения, когда твёрдые тела погружены в жидкость, величина вязкого трения характеризуется вязкостью среды;
эластогидродинамическое (вязкоупругое), когда решающее значение имеет внутреннее трение в смазывающем материале. Возникает при увеличении относительных скоростей перемещения.
9. Сила тяжести. Вес.  
Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым относительно поверхности  Земли ускорением g = 9.8 м/c2 - ускорение свободного падения. Следовательно, на всякое тело массы m действует сила, называемая силой тяжести.
                                        =
(вращение Земли не учитываем)
   Сила тяжести вызывает падение незакрепленных тел на Землю. Она равна силе, с которой неподвижное относительно Земли тело давит на горизонтальную опору (или действует на вертикальный подвес) вследствие тяготения к Земле. Точка приложения силы тяжести тела, т.е. точка приложения равнодействующих сил тяжести всех частиц тела, называется центром тяжести тела. Центр тяжести тела совпадает с его центром инерции и в телах правильной геометрической формы определяется как наиболее симметричная точка в телах неправильной геометрической формы как точка равновесия (момент сил относительно центра тяжести при равновесии должен быть равен 0).

     Сила  , с которой тело действует на подвес или опору, называется весом тела. Если тело не подвижно относительно Земли (v=0), то . Если тело и опора движутся с каким-нибудь ускорением относительно Земли, то
 
2-й Закон Ньютона
m+ .
По 3-му закону Ньютона  

Тогда


=
Проекция на ось Y

I Система покоится
Y:  mg – Fr = 0
G = mg
Вес равен силе тяжести.
II Система движется с ускорением вверх
Y:  mg – Fr = -ma
G = m(g + a)
Вес больше силы тяжести.
III Система движется с ускорением вниз
Y:  mg – Fr = ma
G = m (g - a)
Вес меньше силы тяжести
10. Работа. Мощность. Кинетическая энергия.
Работа.
Изменение механического движения и энергии тела происходит в процессе силового взаимодействия этого тела с другими телами. Для количественной характеристики этого процесса в механике вводят понятие работы, совершаемой силой.

Если рассматриваемая сила постоянна,а тело, к которому она приложена, движется поступательно и прямолинейно, то работой, совершаемой силой при прохождении телом пути , называют величину
(4.1)
где а - угол между силой и направлением движения тела.

Работа - скалярная величина. Если вектор силы и вектор перемещений образуют острый угол т.е. , то , если , то , т.е. сила, действующая перпендикулярно к перемещению тела, работы не совершает.
В общем случае тело может двигаться произвольным, достаточно сложным образом (рис.4.2). Выделим элементарный участок пути , на котором силу можно считать постоянной и перемещение прямолинейным. Элементарная работа на этом участке равна
(4.2)
Полная работа на пути определяется интегралом

МощностьВеличина, характеризующая скорость совершения работы, называется мощностью Мощность численно равна отношению к промежутку времени за который она совершается.

или в общем случае
,
Подставляя значение получим
(4.5)
Кинетическая энергия.
Рассмотрим случай, когда материальная точка движется из точки 1 в точку 2 под действием приложенных к ней сил (рис.4.4.)

Причем силы, действующие на материальную точку, могут иметь разную природу, т.е. могут быть консервативными и неконсервативными. Уравнение движения в этом случае запишется в виде
(4.6)
где Перепишем (4.6) в виде
(4.7)
Умножим скалярно уравнение (4.7) на и проинтегрируем от точки1 до точки 2, получим:
(4.8)
Учитываем то, что , и интеграл в правой части выражения (4.8) представляет собой работу всех сил, на участке 1-2, можно записать:
(4.9)
величина
(4.10)
называется кинетической энергией материальной точки. Таким образом, кинетическая энергия материальной точки – это энергия, которой обладает эта точка вследствие своего движения.
Из полученного выражения (4.9) следует, что работа всех сил, действующих на материальную точку на участке траектории 1-2 равна изменению ее кинетической энергии на этом участке.

11. Потенциальная энергияПотенциальная энергия - это энергия, обусловленная взаимным расположением тел и характером их взаимодействия. При соответствующих условиях возможно изменение потенциальной энергии, за счет чего совершается работа. Для поднятия тела массой m на высоту необходимо совершить работу против сил тяготения Р:
,
знак минус перед интегралом, т.к. сила Р направлена в сторону противоположную изменению h.
Проинтегрируем это выражение:

Эта энергия пойдет на увеличение энергии замкнутой системы тело-Земля т.е. численно равна

Считая поверхности Земли , получим

Эта энергия системы тело - Земля и является потенциальной энергиейтела, поднятого на высоту h:

12. Закон сохранения энергииРассмотрим процесс изменения состояния тела, поднятого на высоту h. При этом его потенциальная энергия

Тело начало свободно падать . Из кинематики известно, что момент достижения поверхности земли оно будет иметь скорость и кинетическую энергию:

Кинетическая энергия тела, упавшего с высоты h, оказалась равной его потенциальной энергии, которую оно имело до начала падения. Следовательно:

На поверхности Земли h=0 и потенциальная энергия , а -максимальна. В начале падения , а т.е. потенциальная энергия переходит (превращается) в кинетическую. Таким образом, при падении тела в системе тело-Земля кинетическая энергия возрастает и, следовательно, ее изменение равное работе , имеет положительный знак, т.е.
Потенциальная энергия - уменьшается, и, следовательно, ее изменение имеет знак минус. Поэтому можем записать:
Сложив (4.12) и (4.13), получим

или
Сумма представляет собой полную энергию, и, следовательно,
, а
Таким образом, энергия замкнутой консервативной системы остается постоянной при всех, происходящих в ней процессах и превращениях. Энергия может переходить из одних видов в другие (механические, тепловые, и т.д.), но общее ее количество остается постоянным. Данное положение называют законом сохранения и превращения энергии.
13. Потенциальная энергия деформации
Деформированное упругое тело (например, растянутая или сжатая пружина) способно, возвращаясь в недеформированное состояние, совершить работу над соприкасающимися с ним телами. Следовательно, упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией. Она зависит от взаимного положения частей тела, например витков пружины. Работа, которую может совершить растянутая пружина, зависит от начального и конечного растяжений пружины. Найдем работу, которую может совершить растянутая пружина, возвращаясь к нерастянутому состоянию, т. е. найдем потенциальную энергию растянутой пружины.
Пусть растянутая пружина закреплена одним концом, а второй конец, перемещаясь, совершает работу. Нужно учитывать, что сила, с которой действует пружина, не остается постоянной, а изменяется пропорционально растяжению. Если первоначальное растяжение пружины, считая от нерастянутого состояния, равнялось , то первоначальное значение силы упругости составляло , где — коэффициент пропорциональности, который называют жесткостью пружины. По мере сокращения пружины эта сила линейно убывает от значения  до нуля. Значит, среднее значение силы равно . Можно показать, что работа  равна этому среднему, умноженному на перемещение точки приложения силы: .
Таким образом, потенциальная энергия растянутой пружины
                                                                                
Такое же выражение получается для сжатой пружины.
В формуле (98.1) потенциальная энергия выражена через жесткость пружины и через ее растяжение . Заменив  на , где  — упругая сила, соответствующая растяжению (или сжатию) пружины , получим  выражение
,                                                                        
которое определяет потенциальную энергию пружины, растянутой (или сжатой) силой . Из этой формулы видно, что, растягивая с одной и той же силой разные пружины, мы сообщим им различный запас потенциальной энергии: чем жестче пружина, т.е. чем больше ее упругость, тем меньше потенциальная энергия; и наоборот: чем мягче пружина, тем больше энергия, которую она запасет при данной растягивающей, силе. Это можно уяснить себе наглядно, если учесть, что при одинаковых действующих силах растяжение мягкой пружины больше, чем жесткой, а потому больше и произведение силы на перемещение точки приложения силы, т. е. работа.
Эта закономерность имеет большое значение, например, при устройстве различных рессор и амортизаторов: при посадке на землю самолета амортизатор шасси, сжимаясь, должен произвести большую работу, гася вертикальную скорость самолета. В амортизаторе с малой жесткостью сжатие будет больше, зато возникающие силы упругости будут меньше и самолет будет лучше предохранен от повреждений. По той же причине при тугой накачке шин велосипеда дорожные толчки ощущаются резче, чем при слабой накачке. (4.3)
14. Условия равновесия механической системы.
Согласно принципу возможных перемещений (основному уравнению статики), для того, чтобы механическая система, на которую наложены идеальные, стационарные, удерживающие и голономные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этой системе были равны нулю все обобщенные силы:

где - обобщенная сила, соответствующая j - ой обобщенной координате;
s - число обобщенных координат в механической системе.
Если для исследуемой системы были составлены дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа II - го рода, то для определения возможных положений равновесия достаточно приравнять обобщенные силы нулю и решить полученные уравнения относительно обобщенных координат.
Если механическая система находится в равновесии в потенциальном силовом поле, то из уравнений (1) получаем следующие условия равновесия:

Следовательно, в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. Не всякое равновесие, определяемое вышеприведенными формулами, может быть реализовано практически. В зависимости от поведения системы при отклонении от положения равновесия говорят об устойчивости или неустойчивости данного положения.
15. Закон сохранения импульсаЗакон сохранения импульса является следствием второго и третьего законов Ньютона. Он имеет место в изолированной (замкнутой) системе тел.
Такой системой называется механическая система, на каждое из тел которой не действуют внешние силы. В изолированной системе проявляются внутренние силы, т.е. силы взаимодействия между телами, входящими в систему.
Так как в замкнутой системе внешние силы отсутствуют, то

или
Это равенство выражает закон сохранения импульса, согласно которому полный вектор импульса замкнутой системы тел с течением времени не изменяется.
Т.к. , то при любых процессах, происходящих в замкнутой системе, скорость ее центра инерции сохраняется неизменной.
16. Закон сохранения момента импульса
      Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки 0 данной оси. Значение момента импульса Lz не зависит от положения точки 0 на оси z.      При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri с некоторой скоростью vi. Скорость vi и импульс mivi перпендикулярны этому радиусу, т.е. радиус является плечом вектора mivi. Поэтому можно записать, что момент импульса отдельной точки относительно оси z равен

      Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных его точек:

      Учитывая связь между линейной и угловой скоростями (vi = ωri), получим следующее выражение для момента импульса тела относительно неподвижной оси:                                               т.е. момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.      Продифференцировав выражение (4.12) по времени, получим:                                                                                   Это еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: скорость изменения момента импульса тела относительно неподвижной оси вращения равна результирующему моменту относительно этой оси всех внешних сил, действующих на тело.      Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке (уравнение 4.8), и состоит в следующем:      если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.      Действительно, если M = 0, то dL / dt = 0 , откуда                                                                                                                   Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.      Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z (уравнение 4.13), следует закон сохранения момента импульса тела относительно оси:      если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е. если Mz = 0, то dLz / dt = 0, откуда                                                                 Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.
17. СИЛЫ ИНЕРЦИИ
Силы инерции — силы, обусловленные ускоренным движением неинерциальной системы отсчета (НСО) относительно инерциальной системы отсчета (ИСО). Основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета: , где  — сила, действующая на тело со стороны других тел;
  — сила инерции, действующая на тело относительно поступательно движущейся НСО.  — ускорение НСО относительно ИСО. Она появляется, например, в самолете при разгоне на взлетной полосе;
 — центробежная сила инерции, действующая на тело относительно вращающейся НСО.  — угловая скорость НСО относительно ИСО,  — расстояние от тела до центра вращения;  — кориолисова сила инерции, действующая на тело, движущееся со скоростью  относительно вращающейся НСО.   — угловая скорость НСО относительно ИСО (вектор направлен вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого винта).
18. Центробежная сила инерции. Сила Кориолиса.
Рассмотрим два случая проявления центробежной силы инерции.
Пример 1. Рассмотрим вращающийся диск с закрепленными на нем стойками с шариками, подвешенными на нитях (рис.2). При вращении диска с постоянной угловой скоростью шарики отклоняются на некоторый угол, тем больший, чем дальше он находится от оси вращения. Относительно инерциальной системы отсчета (неподвижной) все шарики движутся по окружности соответствующего радиуса R, при этом на шарики действует результирующая сила (рис.3).

Рис.2
 
Рис.3
 
Согласно второму закону Ньютона

учитывая, что F/P=tgα, можно записать

т.е. угол отклонения шарика зависит от угловой скорости и от его удаления от оси вращения диска.
Относительно неинерциальной системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик находится в покое.
Это возможно в том случае, если сила (8) уравновешена силой инерции , называемой центробежной силой инерции:

Пример 2. Рассмотрим диск, вращающийся вокруг перпендикулярной к нему вертикальной оси z с угловой скоростью ω. Вместе с диском вращается надетый на тонкую спицу шарик, соединенный с центром диска пружиной (рис. 4).

Рис.4
 
Шарик занимает на стержне некоторое положение, при котором сила натяжения пружины (она будет центростремительной) оказывается равной произведению массы шарика m на его ускорение:

где – нормальное ускорение на шарике; r – расстояние от оси вращения до центра шарика.
Относительно системы отсчета, связанной с диском, шарик покоится. Это формально можно объяснить тем, что кроме силы упругости на шарик действует сила инерции, модуль которой равен силе упругости (7):

Сила инерции направлена вдоль радиуса от центра диска. Силу инерции (8), возникающую в равномерно вращающейся системе отсчета, называют центробежной силой инерции. Эта сила действует на тело во вращающейся системе отсчета, независимо от того, покоится тело в этой системе или движется относительно нее со скоростью . Если положение тела во вращающейся системе отсчета характеризовать радиус-вектором , то центробежную силу можно представить в виде

 
где – компонента радиус-вектора, направленная перпендикулярно оси вращения.
Центробежные силы, как и всякие силы инерции, существуют только в ускоренно движущихся (вращающихся) системах отсчета и исчезают при переходе к инерциальным системам отсчета.
Действию центробежной силы подвергается, например, пассажир в движущемся автобусе на поворотах. Если в центробежной машине подвесить на нитях несколько шариков и привести машину в быстрое вращение, то центробежные силы инерции отклонят шарики от оси вращения. Угол отклонения тем больше, чем дальше шарик отстоит от оси. Центробежные силы используются в центробежных сушилках для отжима белья, в сепараторах для отделения сливок от молока, в центробежных насосах, центробежных регуляторах и т.д. Их надо учитывать при проектировании быстровращающихся деталей механизмов.
Сила Кориолиса.
При движении тела относительно вращающейся системы отсчета, кроме центробежной силы, появляется еще одна сила, называемая силой Кориолиса.
Рассмотрим рис.5. Шарик массой m движется прямолинейно со скоростью от центра к краю диска. Если диск неподвижен, то шарик попадает в точку М, а если диск вращается с постоянной угловой скоростью ω, то шарик попадает в точку N. Это обусловлено тем, что на шарик действует сила Кориолиса.

Рис.5
Появление силы Кориолиса можно обнаружить, если рассмотреть пример с шариком на спице на вращающемся диске, но без пружины. Для того чтобы заставить шарик двигаться с некоторой скоростью вдоль спицы, необходима боковая сила. Шарик вращается вместе с диском с постоянной угловой скоростью , поэтому его момент импульса равен:

Если шарик будет перемещаться вдоль спицы с постоянной скоростью , то с изменением момент импульса шарика изменится. А это означает, что на движущееся во вращающейся системе тело должен действовать некоторый момент силы, который согласно основному уравнению динамики вращательного движения равен


Для того чтобы заставить шарик двигаться по вращающемуся диску вдоль радиальной прямой со скоростью , необходимо прилагать боковую силу
направленную перпендикулярно . Относительно вращающейся системы (диска) шарик движется с постоянной скоростью.
Это можно объяснить тем, что сила уравновешивается приложенной к шарику силой инерции , перпендикулярной к скорости (рис.6). Сила и есть Кориолисова сила инерции. Она определяется выражением


Рис.6
 
С учетом направления силу Кориолиса можно представить в виде

Сила Кориолиса всегда перпендикулярна скорости тела . Во вращающейся системе отсчета при = 0 эта сила отсутствует. Таким образом, Кориолисова сила инерции возникает только тогда, когда система отсчета вращается, а тело движется относительно этой системы. Действием силы Кориолиса объясняется ряд эффектов, наблюдающихся на поверхности Земли, например, поворот плоскости колебаний маятника Фуко относительно Земли, отклонение к востоку от линии отвеса свободно падающих тел, размытие правого берега рек в северном полушарии и левого в южном, неодинаковый износ рельсов при двухколейном движении.
Начало формы
19. ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС ТВЕРДОГО ТЕЛА
Представим твердое тело как систему материальных точек, разбив его на элементарные массы . Каждая масса может находиться под воздействием внутренних сил и внешних . По второму закону Ньютона .
Сложив эти уравнения для всех частиц тела, получаем
.
Сумма всех внутренних сил, действующих в системе, равна нулю, тогда
.
Сумму, стоящую в левой части, можно заменить произведением массы системы на ускорение центра масс, поэтому
.
- центр масс (инерции) твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к телу сил, на ускорение центра масс (см. главу 2).
 

20. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения, все время остаются неподвижными.Рассмотрим вращение твердого тела (рис. 2.11) вокруг оси, проходящей через две неподвижные точки   и . Проведем через ось   неподвижную полуплоскость   и движущуюся вместе с телом полуплоскость . Вращение тела будет определяться величиной двуleft000гранного угла   между по-луплоскостями   и . Угол   называется углом поворота. Условимся считать за положительное направление вращения тот случай, когда, смотря с заданного направления оси вращения, увеличение угла поворота наблюдается в сторону, противоположную движению часовой стрелки.
При вращении угол поворота   изменяется в зависимости от времени. Равенство:
  
является уравнением вращения тела вокруг неподвижной оси. Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени. Угол   в равенстве (2.30) выражается в радианах.
21. Момент инерции.
Чтобы найти момент инерции тела, надо просуммировать момент инерции всех материальных точек, составляющих данное тело
В общем случае, если тело сплошное, оно представляет собой совокупность множества точек с бесконечно малыми массами , и моменты инерции тела определяется интегралом
о где - расстояние от элемента до оси вращения.
Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощьюплотности
где m - масса однородного тела, V - его объем. Для тела с неравномерно распределенной массой это выражение даетсреднюю плотность.

Плотность в данной точке в этом случае определяется следующим образом

и тогда
Пределы интегрирования зависят от формы и размеров тела Интегрирование уравнения (5.5) наиболее просто осуществить для тех случаев, когда ось вращения проходит через центр тяжести тела. Рассмотрим результаты интегрирования для простейших (геометрически правильных) форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему.

Момент инерции полого цилиндра с тонкими стенками, радиуса R.
Для полого цилиндра с тонкими стенками

Сплошной однородный диск. Ось вращения является осью диска радиуса . и массы m с плотностью Высота диска h. Внутри диска на расстоянии вырежем пустотелый цилиндр с толщиной стенки и массой . Для него

Весь диск можно разбить на бесконечное множество цилиндров, а затем просуммировать:

Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инерции стержня длиной L и массой m относительно оси, проходящей:
а) через центр стержня -
б) через начало стержня -

Теорема Штейнера. Имеем тело, момент инерции которого относительно оси, проходящей через его центр масс известен. Необходимо определить момент инерции относительно произвольно оси параллельной оси . Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:
22. Кинетическая энергия вращающегося твердого телаКинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек па которые это тело можно разбить:

Если тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , то линейная скорость i-ой точки равна , где , - расстояние от этой точки до оси вращения. Следовательно.
где - момент инерции тела относительно оси вращения.
В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений - поступательного со скоростью, равной скорости центра инерции тела, и вращения с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. При этом выражение для кинетической энергии тела преобразуется к виду
где - момент инерции тела относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции.

23. Гироскопы.
Гироскопом (или волчком) называют массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии (рис.5.5).

Момент количества движения гироскопа совпадает с его осью вращения. Для того, чтобы изменитьнаправление в пространстве оси гироскопа, т.е. направление вектора необходимо в соответствие основным уравнением динамики вращательного движения подействовать на него моментом внешних сил . Пусть это пара сил создающая вращающий момент относительно оси , лежащей в плоскости чертежа перпендикулярно оси ОО (вращение вокруг ). При этом наблюдается следующее явление, получившее название гироскопического эффекта: под действием пары сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси гироскопа ОО вокруг оси , ось гироскопа поворачивается вокруг прямой перпендикулярно к этим осям (т.е. к ОО и ). «Противоестественное» на первый взгляд поведение гироскопа оказывается, как легко видеть, полностью соответствует законам динамики вращательного движения, т.е. в конечном счете, законам Ньютона. Рассмотрим поведение гироскопа под действием момента силы действующего вдоль оси . За время момент количества движения гироскопа получит приращение , которое имеет такое же направление, как и . Момент количества движения гироскопа спустя время будет равен результирующей , лежащей в плоскости чертежа. Направление вектора совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось гироскопа повернется вокруг оси (перпендикулярной плоскости чертежа), причем так, что угол между векторами и уменьшится: Если действовать на гироскоп длительное время постоянным по направлению моментом внешних сил, то ось гироскопа устанавливается в конце концов так, что ось и направление собственного вращения совпадают с осью и направлением вращения под действием внешних сил (вектор , совпадает по направлению с вектором ).
24. Гармонические колебания
Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.
Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).

Рисунок 2.1.1.
Механические колебательные системы
Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными (см. §2.5).
Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением
x = xm cos (ωt + φ0).
Здесь x – смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

25. МаятникиМатематический маятник.
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая , направленная вдоль нити, не учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещения и, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения
Момент силы относительно точки О: , и момент инерции:M = FL .Момент инерции J в данном случаеУгловое ускорение:
С учетом этих величин имеем:
или
Его решение,
где и Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.
Физический маятник.
Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения
. Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:
Решение этого уравнения
Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е. или
.Из этого соотношения определяем
Данная формула определяет приведенную длину физического маятника, т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.26. Энергия гармонического осциллятораСобственные незатухающие колебания возникают в системе при выполнении двух условий: во-первых, при смещении из положения равновесия должна возникать возвращающая сила, пропорциональная смещению (упругая или квазиупругая), и, во-вторых, в системе должны отсутствовать диссипативные силы.
Запустить колебание можно по-разному, но в любом случае эта операция означает сообщение системе некоторого запаса энергии. Далее в процессе колебания эта энергия будет переходить из потенциальной в кинетическую и обратно, но сумма этих энергий в любой момент времени должна быть неизменно равной начальной механической энергии.
Обратимся к конкретному осциллятору — пружинному маятнику (рис. 13.1).
Рис. 13.1
Колебание груза массой m происходит по гармоническому закону:
                        x = a Cos (wt + a).                (13.1)
Скорость груза меняется по закону синуса:
.                  (13.2)
Вычислим механическую энергию маятника в произвольный момент времени t:
Eмех = Ек + U.
Здесь:     — кинетическая энергия груза,
U = — потенциальная энергия деформированной пружины.
         (13.3)
         (13.4)
В последнем выражении мы учли, что , то есть .
Кинетическая и потенциальная энергии осциллятора меняются с частотой, вдвое превышающей частоту колебаний маятника — w0 (рис. 13.2). И та и другая составляющие механической энергии осциллируют во времени. А их сумма?
(!).              (13.5)
Их сумма остается неизменной в любой момент времени. Этот результат можно было бы предсказать a priori: ведь в процессе собственных незатухающих колебаний выполняется закон сохранения механической энергии.

Рис. 13.2
Легко видеть, что уравнение (13.5) выражает механическую энергию системы через максимальную кинетическую, когда потенциальная энергия равна нулю. В этот момент груз проходит с максимальной скоростью положение равновесия.
Но эту же механическую энергию можно связать и с максимальной потенциальной энергией — в точке амплитудного отклонения маятника, где v = 0 и Ек = 0.
.                  (13.6)
Здесь k = , поэтому
.
Максимальная потенциальная энергия (Umax) незатухающего осциллятора равна его максимальной кинетической энергии и обе они равны полной механической энергии (Емех) системы, которая в процессе колебаний остается неизменной.
27. Сложение колебаний одного направления.Биения.
Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой.
Рассмотрим сложение одинаково направленных колебаний одного периода, но отличающихся начальной фазой и амплитудой. Уравнения складываемых колебаний заданы в следующем виде:

где и - смещения; и - амплитуды; и - начальные фазы складываемых колебаний. Амплитуду результирующего колебания удобно определить с помощью векторной диаграммы , на которой отложены векторы амплитуд и складываемых колебаний под углами и к оси х и по правилу параллелограмма получен вектор амплитуды суммарного колебания . Если равномерно вращать систему векторов (параллелограмм) и проектировать векторы на ось OY, то их проекции будут совершать гармонические колебания в соответствии с заданными уравнениями. Взаимное расположение векторов , и при этом остается неизменным, поэтому колебательное движение проекции результирующего вектора тоже будет гармоническим.

Отсюда следует вывод, что суммарное движение - гармоническое колебание, имеющее заданную циклическую частоту. Определим модуль амплитуды А результирующего колебания В угол (из равенства противоположных углов параллелограмма).
Следовательноотсюда
.Согласно теореме косинусовили
Начальная фаза результирующего колебания определяется из :
Соотношения для фазы и амплитуды позволяют найти амплитуду и начальную фазу результирующего движения и составить его уравнение
Биения
Рассмотрим случай, когда частоты двух складываемых колебаний мало отличаются друг от друга , и пусть амплитуды одинаковы и начальные фазы , т.е. Сложим эти уравнения аналитически
ПреобразуемТогда
Так как все же медленно изменяется, величину нельзя назвать амплитудой в полном смысле этого слова (амплитуда величина постоянная). Условно эту величину можно назвать переменной амплитудой. График таких колебаний показан на рис. 1.6 Складываемые колебания имеют одинаковые амплитуды, но различны периоды, при этом периоды отличаются незначительно друг от друга. При сложении таких колебаний наблюдаются биения. Число n биений в секунду определяется разностью частот складываемых колебаний, т.е.

Биения можно наблюдать при звучании двух камертонов, если частоты и колебаний близки друг к другу.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Пусть материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях, совершающихся с одинаковыми периодами Т в двух взаимно перпендикулярных направлениях. С этими направлениями можно связать прямоугольную систему координат XOY, расположив начало координат в положении равновесия точки. Обозначим смещение точки С вдоль осей ОХ и OY, соответственно, через х и у.
Рассмотрим несколько частных случаев.
A. Начальные фазы колебаний одинаковы. Выберем момент начала отсчета времени таким образом, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю. Тогда смещения вдоль осей ОХ и OY можно выразить уравнениями:
Поделив почленно эти равенства, получим уравнения траектории точки С:или
Следовательно, в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний точка С колеблется вдоль отрезка прямой, проходящей через начало координат.

Б. Начальная разность фаз равна π Уравнения колебания в этом случае имеют вид:

Уравнение траектории точки
Следовательно, точка С колеблется вдоль отрезка прямой, проходящей через начало координат, но лежащие в других квадрантах, чем в первом случае. Амплитуда А результирующих колебаний в обоих рассмотренных случаях равна

В. Начальная разность фаз равна .
Уравнения колебаний имеют вид:Разделим первое уравнение на , второе - на :
Возведем оба равенства в квадрат и сложим. Получим следующее уравнение траектории результирующего движения колеблющейся точки
Колеблющаяся точка С движется по эллипсу с полуосями и . При равных амплитудах траекторией суммарного движения будет окружность В общем случае при , но кратным, т.е. , при сложении, взаимно перпендикулярных колебаний колеблющаяся точка движется по кривым, называемым фигурами Лиссажу. Конфигурация этих кривых зависит от соотношения амплитуд, начальных фаз и периодов составляющих колебаний.
28. Затухающие колебанияВсе реальные колебательные системы являются диссипативными. Энергия механических колебаний такой системы постепенно расходуется на работу против сил трения, поэтому свободные колебания всегда затухают - их амплитуда постепенно уменьшается. Во многих случаях, когда отсутствует сухое трение, в первом приближении можно считать, что при небольших скоростях движения силы, вызывающие затухание механических колебаниях, пропорциональны скорости. Эти силы, независимо от их происхождения, называют силами сопротивления.
где r - коэффициент сопротивления, v - скорость движения. Запишем второй закон Ньютона для затухающих колебаний тела вдоль оси ОХ
или
Перепишем это уравнение в следующем виде:
и обозначим:
где представляет ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т.е. при r = 0. Эту частоту называют собственной частотой колебания системы; β - коэффициент затухания. Тогда
Будем искать решение уравнения (7.19) в видегде U - некоторая функция от t.
Продифференцируем два раза это выражение по времени t и, подставив значения первой и второй производных в уравнение (7.19), получим
Решение этого, уравнения существенным образом зависит от знака коэффициента, стоящего при U. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положительный. Введем обозначение тогда С вещественным ω решением этого уравнения, как мы знаем, является функция
Таким образом, в случае малого сопротивления среды , решением уравнения (7.19) будет функция

График этой функции показан на рис. 7.8. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Величину называют собственной циклической частотой колебаний диссипативной системы. Затухающие колебания представляют собой непериодические колебания, т.к, в них никогда не повторяются, например, максимальные значения смещения, скорости и ускорения. Величину обычно называют периодом затухающих колебаний, правильнее - условным периодом затухающих колебаний,
Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих друг за другом через промежуток времени, равный периоду Т, называют логарифмическим декрементом затухания.

Обозначим через τ промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Тогда

откуда
Следовательно, коэффициент затухания есть физическая величина, обратная промежутку времени τ, в течение которого амплитуда убывает в е раз. Величина τ называется временем релаксации.
Пусть N - число колебаний, после которых амплитуда уменьшается в е раз, Тогда

Следовательно, логарифмический декремент затухания δ есть физическая величина, обратная числу колебаний N, по истечению которого амплитуда убывает в е раз
29. Вынужденные колебанияВ случае вынужденных колебаний система колеблется под действием внешней (вынуждающей) силы, и за счет работы этой силы периодически компенсируются потери энергии системы. Частота вынужденных колебаний (вынуждающая частота) зависит от частоты изменения внешней силы Определим амплитуду вынужденных колебаний тела массой m, считая колебания незатухающими вследствие постоянно действующей силы .
Пусть эта сила изменяется со временем по закону , где амплитуда вынуждающей силы . Возвращающая сила и сила сопротивления Тогда второй закон Ньютона можно записать в следующем виде:
или
Предположим, что возникающее под действием силы установившиеся вынужденные колебания системы также являются гармоническими: (7.22) причем их циклическая частота равна циклической частоте ω вынуждающей силы.

Дифференцируя два раза (7.22) и подставляя в (7.21), получим
Обозначим:
Тогда последнее равенство можно записать в следующем виде:
Правую часть этого выражения можно рассматривать как уравнение некоторого гармонического колебания, получившегося при сложении трех гармонических колебаний, определяемых слагаемыми левой части этого равенства. Для сложения этих колебаний воспользуемся методом векторных диаграмм. Проведем опорную линию ОХ (рис. 1.9) и отложим под углами, соответствующими начальным фазам всех четырех колебаний векторы , , , их амплитуды таким образом, чтобы

Из рис. видно, что Подставляя в последнее значения соответствующих амплитуд (1.22), получим:
отсюда
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы F0, обратно пропорциональна массе m системы и уменьшается с увеличением коэффициента затухания β. При постоянных F0, m и β амплитуда зависит только от соотношения циклических частот вынуждающей силы β и свободных незатухающих колебаний системы . При циклической частоте вынуждающей силы ω=0 амплитуда колебаний . В этом случае колебания не совершаются и смещение при вынужденных колебаниях равно статической деформации под действием постоянной силы F0:

Поэтому отклонение A0 иногда называют статической амплитудой.
Если нет диссипации т.е β=0, то амплитуда колебаний
растет с увеличением циклической частоты ω вынуждающей силы Fвн и при становится бесконечно большой (рис. 7.10). При дальнейшем росте циклической частоты ω амплитуда А вынужденных колебаний уменьшается, причем

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении вынуждающей частоты ω к частоте собственных колебаний системы называется резонансом.
Если затухание существует то амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения, когда знаменатель правой части для уравнения (7.23) достигает минимума. Приравнивая нулю первую производную по ω от подкоренного выражения, получим условие его минимума, для которого , где - называют резонансной частотой. обозначает то значение циклической частоты ω вынуждающей силы, при котором .
Из последней формулы следует, что для консервативной системы , а для диссипативной системы несколько меньше собственной циклический частоты. С увеличением коэффициента затухания ω явление резонанса проявляется все слабее, и, наконец при исчезает совсем.
Явление резонанса используется для усиления колебаний, например, электромагнитных. Однако при конструировании различных машин и сооружений необходимо учитывать даже самую небольшую периодическую силу с тем, чтобы предотвратить нежелательные последствия резонанса.
30. Линии и трубки тока. Неразрывность струи
Гидродинамика - раздел механики сплошных сред, в котором изучается движение несжимаемых жидкостей и взаимодействие несжимаемых жидкостей с твёрдыми телами. Рассмотрим движение несжимаемой жидкости. Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости , как функцию времени .Совокупность векторов, заданных для всех точек пространства, образует так называемое поле вектора скорости.
Стационарное течение – это установившееся движение жидкости, при котором вектор скорости в каждой точке пространства остаётся постоянным, т.е. .

Линии тока - это линии, проведённые в движущейся жидкости так, что касательные к ним в каждой точке совпадают по направлению с вектором скорости. Густота линий тока пропорциональна величине скорости в данном месте.
Трубка тока – это часть жидкости, ограниченная линиями тока. Частицы жидкости при своём движении не пересекают стенок трубки тока.

 
Возьмем несжимаемую жидкость и рассмотрим в ней трубку тока. Объём жидкости, прошедшей через поперечное сечение S за время Dt, равен SvDt.

Тогда  Q = Sv  - поток жидкости, т.е. объём жидкости, прошедшей через поперечное сечение S за единицу времени.
 
Если жидкость несжимаема, то объем жидкости между сечениями S1 и S2 будет оставаться неизменным, и тогда  S1v1 = S2v2 . Это справедливо для любой пары S1 и S2 , и мы получаем
            Sv = const – теорема о неразрывности струи:
 Для несжимаемой жидкости величина потока жидкости Sv в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинаковой.
31. Уравнение Бернулли для стационарного течения несжимаемой жидкости
Sv = const где S - площадь поперечного сечения трубки тока жидкости; v - скорость течения жидкости.
Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости
ρv2 / 2 + ρgh + p  = const где Р - статическое давление жидкости для определенного сечения трубки тока; v -скорость жидкости для этого же сечения; h -высота, на которой расположено сечение.
 Формула Торичелли, позволяющая определить скорость истечения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде,
 
 где h- глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.
32.  Силы внутреннего трения.Формула Стокса.
Явление внутреннего трения с макроскопической точки зрения связано с возникновением сил трения между слоями газа или жидкости, перемещающимися параллельно друг другу с различными по величине скоростями. Со стороны слоя, движущегося быстрее, на более медленно движущийся слой действует ускоряющая сила. Наоборот, медленно перемещающийся слой тормозит более быстро движущиеся слои газа. Силы трения, которые при этом возникают, направлены по касательной к поверхности соприкосновения слоев.
Рассмотрим известный опыт Ньютона. Пусть имеются две параллельные пластинки (рис. 1), между которыми находится газ (жидкость).

рис. 1
Расстояние между пластинками h. Нижнюю пластинку будем удерживать неподвижно, верхнюю заставим двигаться в одном и том же направлении в своей плоскости с постоянной скоростью u0.
Слой газа, непосредственно прилегающий к верхней пластинке, будет иметь ту же скорость u0, что и пластинка, слой же газа, прилегающий к нижней пластинке, находится в покое. Как показывает опыт, любой промежуточный слой движется со скоростью u, пропорциональной расстоянию x от неподвижной пластинки, т. е.
(3.3.1)
Постоянная a определяется из условия, что при x = h u = u0, т. е. u0 = ah. Откуда a = u0/h. Тогда выражение (3.3.1) примет вид
(3.3.2)
Таким образом, к верхней пластинке приложена сила F1, лежащая в ее плоскости и имеющая то же направление, что и направление движения пластинки. Так как пластинка движется с постоянной скоростью u0, то на пластинку должна действовать такая же по величине, но противоположно направленная сила F со стороны газа, которую назовем силой вязкого трения.
Из опыта следует, что абсолютная величина силы F1 пропорциональна скорости u0, с которой мы двигаем пластинку, и площади пластины, т. е.
(3.3.3)
где – постоянный коэффициент пропорциональности, который называют коэффициентом вязкого трения. Учитывая, что сила вязкого трения , равенство (3.3.3) перепишем в виде
(3.3.4)
Так как из (3.3.2) следует, что , то последнее выражение можно представить так:
(3.3.5)
Это закон внутреннего вязкого трения Ньютона, который установил его экспериментально. Закон утверждает: при стационарном (ламинарном) движении слоев жидкости или газа с различными скоростями между ними возникают касательные силы, пропорциональные градиенту скорости слоев и площади их соприкосновения. Физический смысл коэффициента вязкости заключается в том, что он численно равен силе, действующей на единицу площади поверхности, параллельной скорости течения газа или жидкости, при градиенте скорости .
Согласно второму закону Ньютона, , где K – импульс элементарной массы слоя газа. Поэтому (3.3.5) можно представить в виде бесконечно малых:
(3.3.6)
Пусть изменение скорости движения газа или жидкости происходит в направлении оси X, а сама скорость течения направлена перпендикулярно этой оси (рис. 2).

рис. 2
Тогда закон Ньютона (3.3.6) утверждает: импульс, переносимый за время dt через площадку dS, перпендикулярной оси X, пропорционален времени dt, величине площадки dS и градиенту скорости . Знак “минус” означает, что импульс переносится в направлении уменьшения скорости слоя.
С молекулярно-кинетической точки зрения причиной внутреннего трения является наложение упорядоченного движения слоев газа с различными гидродинамическими скоростями u и хаотического теплового движения молекул. В результате теплового движения, молекулы из более быстрого слоя переносят с собой больший упорядоченный импульс и, сталкиваясь, передают его молекулам более медленно движущегося слоя, вследствие чего он увеличивает скорость. Наоборот, при переходе молекул из медленно движущегося слоя в более быстрый слой, они приносят в него меньший упорядоченный импульс, что приводит к уменьшению упорядоченной скорости этого слоя. Увеличение или уменьшение гидродинамической скорости слоя газа, согласно второму закону динамики, свидетельствует о наличии силы внутреннего трения, действующей между слоями. Следовательно, за счет теплового хаотического движения скорости слоев будут выравниваться, если, конечно, внешними силами не поддерживать разности скоростей слоев.
Таким образом, с точки зрения молекулярно-кинетической теории в процесс внутреннего трения каждая молекула переносит упорядоченный импульс , вызывая тем самым изменение импульса слоя. Подставляя в общее уравнение переноса (4.4.7) и , получим:
(3.3.7)
Сравнивая последнее соотношение с (3.3.6), получим формулу для коэффициента вязкости газов:
(3.3.8)
Из формулы (3.3.8) видно, что коэффициент вязкости газов, как и коэффициент теплопроводности, не зависит от давления. Опыт подтверждает этот вывод. Отклонения наблюдаются при очень низких и очень высоких давлениях, когда начинает зависеть от давления. Зависимость от температуры такая же, как для коэффициента теплопроводности.
Наиболее точные методы измерения коэффициента вязкости основаны на формуле Пуазейля:
(3.3.9)
где V – объем газа, протекшего за время t через капилляр радиуса r и длины l при разности давлений на его концах. Измерив в опыте все указанные величины, из формулы Пуазейля находят коэффициент вязкости .
  Формула Стокса

обход контура (границы поверхности S) согласован с выбором стороны поверхности S.
     Формула Стокса в символической форме

- направляющие косинусы нормали, соответствующей выбранной стороне поверхности.
33. Давление газа
Мы знаем, что газы в отличие от твердых тел и жидкостей заполняют весь сосуд, в котором они находятся (например, стальной баллон для хранения газов, камеру автомобильной шины и т. д.). При этом газ оказывает давление на стенки, дно и крышку баллона или камеры, в которых он находится. Чем обусловлено это давление?
Молекулы газа беспорядочно движутся. При своем движении они сталкиваются друг с другом, а также со стенками сосуда, в котором находится газ (рис. 87). Газ состоит из огромного количества молекул, поэтому и число их ударов очень велико. Например, в комнате, в которой вы сейчас находитесь, на каждый квадратный сантиметр за 1 с молекулами воздуха наносится столько ударов, что их количество выражается двадцатитрехзначным числом. Хотя сила удара отдельной молекулы мала, но действие всех молекул о стенки сосуда приводит к значительному давлению.
Рисунок 87. Беспорядочное движение молекул газа.
Итак, в газах давление создается ударами беспорядочно движущихся молекул.
Рассмотрим следующий опыт. Под колокол воздушного насоса помещают завязанный резиновый шарик. Он содержит небольшое количество воздуха и имеет неправильную форму (рис. 88, а). Затем насосом откачивают воздух из-под колокола. Оболочка шарика, вокруг которой воздух становится все более разреженным, постепенно раздувается и принимает сферическую форму (рис. 88, б).
Рисунок 88. Опыт,доказывающий,что давление в газах создается ударами беспорядочно двиэущихся молекул.
Как можно это объяснить?
Мы знаем, что молекулы воздуха движутся и потому непрерывно ударяют о стенки шарика внутри и снаружи. При откачивании воздуха число молекул под колоколом вокруг оболочки шарика уменьшается. Но внутри завязанного шарика их число не изменяется. Поэтому число ударов молекул о внешнюю поверхность оболочки становится меньше числа ударов о внутреннюю поверхность. Из-за этого шарик раздувается и принимает такие размеры, при которых сила упругости его резиновой оболочки становится равной силе давления газа, находящегося внутри его.
Сферическая форма, которую принимает раздутая оболочка шарика показывает, что газ оказывает по всем направлениям одинаковое давление.
Выясним, как зависит давление газа от его объема. Температуру газа будем считать постоянной.
Если объем газа уменьшить, но так, чтобы масса его осталась неизменной, то в каждом кубическом сантиметре газа молекул станет больше. Это означает, что плотность газа увеличится. Тогда число ударов молекул о стенки сосуда возрастет и давление газа станет больше. Это можно подтвердить опытом.
На рисунке 89, а изображен стеклянный цилиндр, один конец которого закрыт тонкой резиновой пленкой. В цилиндр вставлен поршень. При вдвигании поршня объем воздуха в цилиндре уменьшается. При этом резиновая пленка выгибается наружу, указывая на то, что давление воздуха в цилиндре увеличилось (рис. 89, б).
Наоборот, при увеличении объема этой же массы газа число молекул в каждом кубическом сантиметре, а значит, и число их ударов о стенки сосуда станет меньше. При этом давление газа тоже уменьшится.
На опыте это проявляется следующим образом. При вытягивании поршня из цилиндра резиновая пленка прогибается внутрь сосуда, указывая, что давление воздуха внутри цилиндра стало меньше, чем снаружи (рис. 89, в).

Рисунок 89. Опыт,демонстрирующий зависимость давления газа от его объема.
Итак, если масса и температура газа остаются неизменными, то при уменьшении объема газа его давление увеличивается, а при увеличении объема давление уменьшается.
Изменение давления газа при изменении его объема учитывают, например, в таком устройстве, как резиновая груша (рис. 90). Этот прибор состоит из двух резиновых шаров с клапанами и резиновой трубки, которую обычно присоединяют к пульвериза- тору (устройству, предназначенному для распыления жидкостей). Когда шар 1 сдавливают рукой, один (впускной) клапан закрывается, и воздух из шара 1 накачивается в шар 2. При освобождении шара 1 от надавливания он благодаря упругости свонх стенок принимает первоначальную форму. При этом давление внутри его уменьшается, и очередная порция наружного воздуха, открывая впускной клапан, вновь входит внутрь шара 1. Воздух в шаре 2 в это время закрывает другой клапан и по трубке направляется в пульверизатор.
Рисунок 90. Резиновая груша. Принцип действия.
34.Температура.
Температура — физическая величина, характеризующая тепловое состояние тел.
В окружающем нас мире происходят различные явления, связанные с нагреванием и охлаждением тел. Их называют тепловыми явлениями. Так, при нагревании холодная вода сначала становится теплой, а затем горячей; вынутая из пламени металлическая деталь постепенно охлаждается и т. д. Степень нагретости тела, или его тепловое состояние, мы обозначаем словами «теплый», «холодный», «горячий». Для количественной оценки этого состояния и служит температура.
Температура — один из макроскопических параметров системы. В физике тела, состоящие из очень большого числа атомов или молекул, называютмакроскопическими. Размеры макроскопических тел во много раз превышают размеры атомов. Все окружающие тела — от стола или газа в воздушном шарике до песчинки — макроскопические тела.
Величины, характеризующие состояние макроскопических тел без учета их молекулярного строения, называют макроскопическими параметрами. К ним относятся объем, давление, температура, концентрация частиц, масса, плотность, намагниченность и т. д. Температура — один из важнейших макроскопических параметров системы (газа, в частности).Температура — характеристика теплового равновесия системы.
Известно, что для определения температуры среды следует поместить в эту среду термометр и подождать до тех пор, пока температура термометра не перестанет изменяться, приняв значение, равное температуре окружающей среды. Другими словами, необходимо некоторое время для установления между средой и термометром теплового равновесия.
Тепловым, или термодинамическим, равновесием называют такое состояние, при котором все макроскопические параметры сколь угодно долго остаются неизменными. Это означает, что не меняются объем и давление в системе, не происходят фазовые превращения, не меняется температура.
Однако микроскопические процессы при тепловом равновесии не прекращаются: скорости молекул меняются, они перемещаются, сталкиваются.
Любое макроскопическое тело или группа макроскопических тел —термодинамическая система — может находиться в различных состояниях теплового равновесия. В каждом из этих состояний температура имеет свое вполне определенное значение. Другие величины могут иметь разные (но постоянные) значения. Например, давление сжатого газа в баллоне будет отличаться от давления в помещении и при температурном равновесии всей системы тел в этом помещении.
Температура характеризует состояние теплового равновесия макроскопической системы: во всех частях системы, находящихся в состоянии теплового равновесия, температура имеет одно и то же значение (это единственный макроскопический параметр, обладающий таким свойством).
Если два тела имеют одинаковую температуру, между ними не происходит теплообмен, если разную — теплообмен происходит, причем тепло передается от более нагретого тела к менее нагретому до полного выравнивания температур.
Измерение температуры основано на зависимости какой-либо физической величины (например, объема) от температуры. Эта зависимость и используется в температурной шкале термометра — прибора, служащего для измерения температуры.
Действие термометра основано на тепловом расширении вещества. При нагревании столбик используемого в термометре вещества (например, ртути или спирта) увеличивается, при охлаждении — уменьшается. Использующиеся в быту термометры позволяют выразить температуру вещества в градусах Цельсия (°С).
А. Цельсий (1701-1744) — шведский ученый, предложивший использовать стоградусную шкалу температур. В температурной шкале Цельсия за нуль (с середины XVIII в.) принимается
 
температура тающего льда, а за 100 градусов — температура кипения воды при нормальном атмосферном давлении.
Поскольку различные жидкости расширяются с повышением температуры по-разному, то температурные шкалы в термометрах с разными жидкостями различны.
Поэтому в физике используют идеальную газовую шкалу температур,основанную на зависимости объема (при постоянном давлении) или давления (при постоянном объеме) газа от температуры.
35. Уравнение состояния идеального газа.
Идеа́льный газ – это модель газа в которой 1)собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда. 2)между молекулаи газа отсутствуют силы взаимодействия 3)столкновение молекул газа между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.
Уравнение состояния идеального газа — формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид: , где:
p — давление,
Vμ — молярный объём,
T — абсолютная температура,
R — универсальная газовая постоянная.
Так как , где ν — количество вещества, а , где m — масса, μ — молярная масса, уравнение состояния можно записать:
Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Менделеева — Клапейрона.
Уравнение можно записать в виде:

Последнее уравнение называют объединённым газовым законом. Из него получаются законы Бойля — Мариотта, Шарля и Гей-Люссака:
— закон Бойля — Мариотта
— закон Гей-Люссака
— закон Шарля
36. Внутренняя энергия идеального газа. Количество теплоты.
Термодинамика – это наука о тепловых явлениях. В противоположность молекулярно-кинетической теории, которая делает выводы на основе представлений о молекулярном строении вещества, термодинамика исходит из наиболее общих закономерностей тепловых процессов и свойств макроскопических систем. Выводы термодинамики опираются на совокупность опытных фактов и не зависят от наших знаний о внутреннем устройстве вещества, хотя в целом ряде случаев термодинамика использует молекулярно-кинетические модели для иллюстрации своих выводов.
Термодинамика рассматривает изолированные системы тел, находящиеся в состоянии термодинамического равновесия. Это означает, что в таких системах прекратились все наблюдаемые макроскопические процессы. Важным свойством термодинамически равновесной системы является выравнивание температуры всех ее частей.
Если термодинамическая система была подвержена внешнему воздействию, то в конечном итоге она перейдет в другое равновесное состояние. Такой переход называется термодинамическим процессом. Если процесс протекает достаточно медленно (в пределе бесконечно медленно), то система в каждый момент времени оказывается близкой к равновесному состоянию. Процессы, состоящие из последовательности равновесных состояний, называются квазистатическими.
Одним из важнейших понятий термодинамики является внутренняя энергия тела. Все макроскопические тела обладают энергией, заключенной внутри самих тел. С точки зрения молекулярно-кинетической теории внутренняя энергия вещества складывается из кинетической энергии всех атомов и молекул и потенциальной энергии их взаимодействия друг с другом. В частности, внутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий всех частиц газа, находящихся в непрерывном и беспорядочном тепловом движении. Отсюда вытекает закон Джоуля, подтверждаемый многочисленными экспериментами.
Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры и не зависит от объема
Молекулярно-кинетическая теория приводит к следующему выражению для внутренней энергии одного моля идеального одноатомного газа (гелий, неон и др.), молекулы которого совершают только поступательное движение:

Поскольку потенциальная энергия взаимодействия молекул зависит от расстояния между ними, в общем случае внутренняя энергия U тела зависит наряду с температурой T также и от объема V:
U = U (T, V).
Таким образом, внутренняя энергия U тела однозначно определяется макроскопическими параметрами, характеризующими состояние тела. Она не зависит от того, каким путем было реализовано данное состояние. Принято говорить, что внутренняя энергия является функцией состояния.
37. Первое начало термодинамикиПервый закон термодинамики представляет собой закон сохранения энергии. Если сообщить телу количество тепла (рис.9.4), тело может за счет этого тепла увеличить свою внутреннюю энергию на величину и, кроме того, выполнить работу , причем в силу закона сохранения энергии: ΔQ=ΔU+ΔA

Последние выражение удобнее записать для малого изменения состояния системы, вызванного сообщением ей малого количества тепла δQ и совершением системой элементарной работы δAδQ = dU+δAРазличие в записи малого приращения внутренней энергии dU и элементарного количества теплоты δQ, а также элементарной работы δA объясняется следующим соображениями. Как уже отмечалось, внутренняя энергия системы являеться функцией ее состояния. Следоватено, при любом процессе, в результате которого система вновь возвратилась в некоторое состояние, полное изменение ее внутренней энергии равно нулю. Математически это записываться в виде уравнения которое являеться необходимым и достаточным условием того, что внутренняя энергия системы U представляет собой, так называемый полный дифференциал dU. Работа и теплота такими свойствами не обладают. Поэтому δQ и δА не являються полными дифференциалами, эти величины являються “Функциями процесса” (см. рис. 9.3)
Таким образом:
δQ = dU+δAПервый закон термодинамики формулируется следующим образом: теплота, переданная системе, расходуется на изменение ее внутренней энергии и на совершение работы.
38. Теплоёмкость идеального газа
Если в результате теплообмена телу передается некоторое количество теплоты, то внутренняя энергия тела и его температура изменяются. Количество теплоты Q, необходимое для нагревания 1 кг вещества на 1 К называют удельной теплоемкостью вещества c.
c = Q / (mΔT).
Во многих случаях удобно использовать молярную теплоемкость C:
C = M · c,
где M – молярная масса вещества.
Определенная таким образом теплоемкость не является однозначной характеристикой вещества. Согласно первому закону термодинамики изменение внутренней энергии тела зависит не только от полученного количества теплоты, но и от работы, совершенной телом. В зависимости от условий, при которых осуществлялся процесс теплопередачи, тело могло совершать различную работу. Поэтому одинаковое количество теплоты, переданное телу, могло вызвать различные изменения его внутренней энергии и, следовательно, температуры.
Такая неоднозначность определения теплоемкости характерна только для газообразного вещества. При нагревании жидких и твердых тел их объем практически не изменяется, и работа расширения оказывается равной нулю. Поэтому все количество теплоты, полученное телом, идет на изменение его внутренней энергии. В отличие от жидкостей и твердых тел, газ в процессе теплопередачи может сильно изменять свой объем и совершать работу. Поэтому теплоемкость газообразного вещества зависит от характера термодинамического процесса. Обычно рассматриваются два значения теплоемкости газов: CV – молярная теплоемкость в изохорном процессе (V = const) и Cp – молярная теплоемкость в изобарном процессе (p = const).
В процессе при постоянном объеме газ работы не совершает: A = 0. Из первого закона термодинамики для 1 моля газа следует
QV = CV ΔT = ΔU.
Изменение ΔU внутренней энергии газа прямо пропорционально изменению ΔT его температуры.
Для процесса при постоянном давлении первый закон термодинамики дает:
Qp = ΔU + p (V2 – V1) = CV ΔT + pΔV,
где ΔV – изменение объема 1 моля идеального газа при изменении его температуры на ΔT. Отсюда следует:

Отношение ΔV / ΔT может быть найдено из уравнения состояния идеального газа, записанного для 1 моля:
pV = RT,
где R – универсальная газовая постоянная. При p = constили
Таким образом, соотношение, выражающее связь между молярными теплоемкостями Cp и CV, имеет вид (формула Майера):
Cp = CV + R.
Молярная теплоемкость Cp газа в процессе с постоянным давлением всегда больше молярной теплоемкости CV в процессе с постоянным объемом (рис. 3.10.1).

Рисунок 3.10.1.
Два возможных процесса нагревания газа на ΔT = T2 – T1. При p = const газ совершает работу A = p1(V2 – V1). Поэтому Cp > CV
Отношение теплоемкостей в процессах с постоянным давлением и постоянным объемом играет важную роль в термодинамике. Оно обозначается греческой буквой γ.

В частности, это отношение входит в формулу для адиабатического процесса (см. §3.9).
Между двумя изотермами с температурами T1 и T2 на диаграмме (p, V) возможны различные пути перехода. Поскольку для всех таких переходов изменение температуры ΔT = T2 – T1 одинаково, следовательно, одинаково изменение ΔU внутренней энергии. Однако, совершенные при этом работы A и полученные в результате теплообмена количества теплоты Q окажутся различными для разных путей перехода. Отсюда следует, что у газа имеется бесчисленное количество теплоемкостей. Cp и CV – это лишь частные (и очень важные для теории газов) значения теплоемкостей.


Модель. Теплоемкости идеального газа
Термодинамические процессы, в которых теплоемкость газа остается неизменной, называются политропическими. Все изопроцессы являются политропическими. В случае изотермического процесса ΔT = 0, поэтому CT = ∞. В адиабатическом процессе ΔQ = 0, следовательно, Cад = 0.
Следует отметить, что «теплоемкость», как и «количество теплоты» – крайне неудачные термины. Они достались современной науке в наследство от теории теплорода, господствовавшей в XVIII веке. Эта теория рассматривала теплоту как особое невесомое вещество, содержащееся в телах. Считалось, что оно не может быть ни создано, ни уничтожено. Нагревание тел объяснялось увеличением, а охлаждение – уменьшением содержащегося внутри них теплорода. Теория теплорода несостоятельна. Она не может объяснить, почему одно и то же изменение внутренней энергии тела можно получить, передавая ему разное количество теплоты в зависимости от работы, которую совершает тело. Поэтому лишено физического смысла утверждение, что «в данном теле содержится такой-то запас теплоты».
В молекулярно-кинетической теории устанавливается следующее соотношение между средней кинетической энергией поступательного движения молекул и абсолютной температурой T:

Внутренняя энергия 1 моля идеального газа равна произведению на число Авогадро NА:

При изменении температуры на ΔT внутренняя энергия изменяется на величину

Коэффициент пропорциональности между ΔU и ΔT равен теплоемкости CV при постоянном давлении:

Это соотношение хорошо подтверждается в экспериментах с газами, состоящими из одноатомных молекул (гелий, неон, аргон). Однако, для двухатомных (водород, азот) и многоатомных (углекислый газ) газов это соотношение не согласуется с экспериментальными данными. Причина такого расхождения состоит в том, что для двух- и многоатомных молекул средняя кинетическая энергия должна включать энергию не только поступательного, но и вращательного движения молекул.

Рисунок 3.10.2.
Модель двухатомной молекулы. Точка O совпадает с центром масс молекулы
На рис. 3.10.2 изображена модель двухатомной молекулы. Молекула может совершать пять независимых движений: три поступательных движения вдоль осей X, Y, Z и два вращения относительно осей X и Y. Опыт показывает, что вращение относительно оси Z, на которой лежат центры обоих атомов, может быть возбуждено только при очень высоких температурах. При обычных температурах вращение около оси Z не происходит, так же как не вращается одноатомная молекула. Каждое независимое движение называется степенью свободы. Таким образом, одноатомная молекула имеет 3 поступательные степени свободы, «жесткая» двухатомная молекула имеет 5 степеней (3 поступательные и 2 вращательные), а многоатомная молекула – 6 степеней свободы (3 поступательные и 3 вращательные).
В классической статистической физике доказывается так называемая теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы:
Если система молекул находится в тепловом равновесии при температуре T, то средняя кинетическая энергия равномерно распределена между всеми степенями свободы и для каждой степени свободы молекулы она равна
Из этой теоремы следует, что молярные теплоемкости газа Cp и CV и их отношение γ могут быть записаны в виде

где i – число степеней свободы газа.
Для газа, состоящего из одноатомных молекул (i = 3)

Для газа, состоящего из двухатомных молекул (i = 5)

Для газа, состоящего из многоатомных молекул (i = 6)

Экспериментально измеренные теплоемкости многих газов при обычных условиях достаточно хорошо согласуются с приведенными выражениями. Однако, в целом классическая теория теплоемкости газов не может считаться вполне удовлетворительной. Существует много примеров значительных расхождений между теорией и экспериментом. Это объясняется тем, что классическая теория не в состоянии полностью учесть энергию, связанную с внутренними движениями в молекуле.
Теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы можно применить и к тепловому движению частиц в твердом теле. Атомы, входящие в состав кристаллической решетки, совершают колебания около положений равновесия. Энергия этих колебаний и представляет собой внутреннюю энергию твердого тела. Каждый атом в кристаллической решетке может колебаться в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Следовательно, каждый атом имеет 3 колебательные степени свободы. При гармонических колебаниях средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной энергии. Поэтому в соответствии с теоремой о равномерном распределении на каждую колебательную степень свободы приходится средняя энергия kT, а на один атом – 3kT. Внутренняя энергия 1 моля твердого вещества равна:
U = 3NАkT = 3RT.
Поэтому молярная теплоемкость вещества в твердом состоянии равна:
C = 3R = 25,12 Дж/моль·К.
Это соотношение называется законом Дюлонга–Пти. Для твердых тел практически не существует различия между Cp и CV из-за ничтожно малой работы при расширении или сжатии.
Опыт показывает, что у многих твердых тел (химических элементов) молярная теплоемкость при обычных температурах действительно близка к 3R. Однако, при низких температурах наблюдаются значительные расхождения между теорией и экспериментом. Это показывает, что гипотеза о равномерном распределении энергии по степеням свободы является приближением. Наблюдаемая на опыте зависимость теплоемкости от температуры может быть объяснена только на основе квантовых представлений.
39. Работа, совершаемая газом при различных процессах
Внутренняя энергия газа может изменяться в результате совершения газом работы и сообщения ему теплоты. Поэтому принято говорить о двух формах передачи энергии от одних тел к другим: о теплоте и работе.
Работа газа при произвольном процессе рассчитывается как площадь криволинейной трапеции под графиком p(V). На рис. 6.1 показана произвольная зависимость давления газа p от его объема V (объем газа в начальном состоянии V 1; объем газа в конечном состоянии V 2). Площадь заштрихованной фигуры совпадает с работой, совершенной газом.

Рис. 6.1
Если зависимость p(V) представляет собой прямую линию, то работа численно равна площади прямолинейной трапеции.
В Международной системе единиц работа, совершаемая газом, измеряется в джоулях (1 Дж).
Работа газа при изобарном процессе (p = const) может быть вычислена по одной из формул:
A = p∆V, или A = νR∆T,
где p — давление газа; ΔV — изменение объема газа при переходе из начального в конечное состояние, ΔV = V 2 − V 1; V 1 — объем газа в начальном состоянии; V 2 — объем газа в конечном состоянии; ν — количество вещества (газа); R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); ΔT — соответствующее изменение температуры газа, ΔT = T 2 − T 1; T 1 — абсолютная температура начального состояния; T 2 — абсолютная температура конечного состояния.
Работа газа при изохорном процессе (V = const) не совершается:
A = 0.
Работа газа при круговом (циклическом) процессе рассчитывается как площадь фигуры, ограниченной графиком функции p(V). На рис. 6.2 показан график произвольного кругового процесса; цифрами обозначены: 1 — исходное состояние идеального газа (оно совпадает с конечным); 2, 3 — промежуточные состояния газа.

Рис. 6.2
Площадь заштрихованной фигуры совпадает с работой, совершенной газом при циклическом процессе.
Работа, совершаемая газом за цикл, может быть:
положительной (прямой цикл);
отрицательной (обратный цикл).
Пример 3. График циклического процесса, происходящего с некоторой массой идеального газа, в координатах p(V) имеет вид прямых, соединяющих точки (0,0250 м3; 75,0 кПа), (0,0750 м3; 125 кПа), (0,0750 м3; 75,0 кПа). Определить абсолютную величину работы, совершаемой газом за цикл.
Решение. На рисунке изображен график циклического процесса в указанных термодинамических координатах p(V).

Величина искомой работы равна площади треугольника, ограниченного прямыми, соединяющими указанные точки:
A=12(125−75,0)⋅103⋅(0,0750−0,0250)=1,25⋅103 Дж=1,25 кДж.
Газ за цикл совершает работу 1,25 кДж.
Пример 4. Газ, состоящий из смеси 2,0 г водорода и 4,2 г гелия, при изобарном нагревании совершил работу 46 кДж. Во сколько раз увеличился объем газа, если его начальная температура была равна 300 К? Молярные массы водорода и гелия равны 2,0 и 4,0 г/моль соответственно.
Решение. Запишем формулу для расчета работы смеси газов при изобарном процессе:
A = p∆V = p(V 2 − V 1),
где p — давление смеси газов (постоянная величина), p = const; V 1 — объем смеси газов в начальном состоянии; V 2 — объем смеси газов в конечном состоянии.
Давление смеси газов определяется законом Дальтона:
p = p 1 + p 2,
где p 1 — парциальное давление водорода; p 2 — парциальное давление гелия.
Давления указанных газов в смеси определяются следующими выражениями:
парциальное давление водорода
p1=m1M1RT1V1,
где m 1 — масса водорода; M 1 — молярная масса водорода; T 1 — температура смеси газов в начальном состоянии; V 1 — объем смеси газов в начальном состоянии; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К);
парциальное давление гелия
p2=m2M2RT1V1,
где m 2 — масса гелия; M 2 — молярная масса гелия.
Подстановка закона Дальтона и явного вида выражений для парциальных давлений водорода и гелия в формулу для работы, совершаемой смесью указанных газов, дает
A=(p1+p2)(V2−V1)=(m1M1RT1V1+m2M2RT1V1)(V2−V1).
Преобразование данного уравнения к виду
A=(m1M1+m2M2)RT1V1(V2−V1)=(m1M1+m2M2)RT1(V2V1−1)
позволяет выразить искомое отношение объемов
V2V1=A(m1M1+m2M2)RT1+1.
Вычислим:
V2V1=46⋅103(2,0⋅10−32,0⋅10−3+4,2⋅10−34,0⋅10−3)⋅8,31⋅300+1=10.
Следовательно, при совершении указанной работы объем смеси увеличился в 10 раз.
40. Термодинамические процессы
Основными процессами в термодинамике являются:
изохорный, протекающий при постоянном объеме;
изобарный, протекающий при постоянном давлении;
изотермический, происходящий при постоянной температуре;
адиабатный, при котором теплообмен с окружающей средой отсутствует;
политропный, удовлетворяющий уравнению pvn= const.
Изохорный, изобарный, изотермический и адиабатный процессы являются частными случаями политропного процесса.
При исследовании термодинамических процессов определяют:
уравнение процесса в p-v иT-s координатах;
связь между параметрами состояния газа;
изменение внутренней энергии;
величину внешней работы;
количество подведенной теплоты на осуществление процесса или количество отведенной теплоты.Изохорный процесс
 
Изохорный процесс в p, v- , T, s- и i, s-координатах (диаграммах)
При изохорном процессе выполняется условие v = const.
Из уравнения состояния идеального газа (pv = RT) следует:
 p/T = R/v = const,
т. е. давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:
 p2/p1 = T2/T1.
Работа расширения в изохорном процессе равна нулю (l = 0), так как объем рабочего тела не меняется (Δv = const).
Количество теплоты, подведенной к рабочему телу в процессе 1-2 при cv = const определяется по формуле:
q= cv(T2 —  T1). 
Т. к.l = 0, то на основании первого закона термодинамики Δu = q, а значит изменение внутренней энергии можно определить по формуле:
Δu = cv(T2 — T1).
Изменение энтропии в изохорном процессе определяется по формуле:
s2 – s1= Δs = cvln(p2/p1) = cvln(T2/T1).
Изобарный процесс


Изобарный процесс в p, v- , T, s- и i, s-координатах (диаграммах)
Изобарным называется процесс, протекающий при постоянном давлении p = const. Из уравнения состояния идеального газа слуедует:
v/T = R/p = constили
 v2/v1 = T2/T1,
т. е. в изобарном процессе объем газа пропорционален его абсолютной температуре.
Работа будет равна:
l = p(v2 – v1). 
Т. к. pv1 = RT1 и pv2 = RT2, то
l = R(T2 – T1).
Количество теплоты при cp = const определяется по формуле:
q = cp(T2 – T1).
Изменение энтропии будет равно: 
s2 – s1= Δs = cpln(T2/T1).
Изотермический процесс

Изотермический процесс в p, v- , T, s- и i, s-координатах (диаграммах)
При изотермическом процессе температура рабочего тела остается постоянной T = const, следовательно:
pv = RT = constили
p2/p1 = v1/v2,
т. е. давление и объем обратно пропорциональны друг другу, так что при изотермическом сжатии давление газа возрастает, а при расширении – снижается.
Работа процесса будет равна:
l  = RTln (v2 – v1) = RTln (p1 – p2).
Так как температура остается неизменной, то и внутренняя энергия идеального газа в изотермическом процессе остается постоянной (Δu = 0) и вся подводимая к рабочему телу теплота полностью превращается в работу расширения:
q = l.
При изотермическом сжатии от рабочего тела отводится теплота в количестве, равном затраченной на сжатие работе.
Изменение энтропии равно:
s2 – s1= Δs = Rln(p1/p2) = Rln(v2/v1).
Адиабатный процесс


Адиабатный процесс в p, v- , T, s- и i, s-координатах (диаграммах)
Адиабатным называется процесс изменения состояния газа, который происзодит без теплообмена с окружающей средой. Так как dq = 0, то уравнение первого закона термодинамики для адиабатного процесса будет иметь вид:
du + pdv = 0
или
Δu+ l = 0,
следовательно
Δu= -l. 
В адиабатном процессе работа расширения совершается только за счет расходования внутренней энергии газа, а при сжатии, происходящем за счет действия внешних сил, вся совершаемая ими работа идет на увеличение внутренней энергии газа.
Обозначим теплоемкость в адиабатном процессе через cад, и условие dq = 0 выразим следующим образом:
dq = cадdT = 0. 
Это условие говорит о том, что теплоемкость в адиабатном процессе равна нулю (cад = 0).
Известно, что
сp/cv = k
и уравнение кривой адиабатного процесса (адиабаты) в p, v-диаграмме имеет вид:
pvk = const. 
В этом выражении k носит название показателя адиабаты (так же ее называют коэффициентом Пуассона).
Значения показателя адиабаты k для некоторых газов:
kвоздуха = 1,4
kперегретого пара = 1,3
kвыхлопных газов ДВС = 1,33
kнасыщенного влажного пара = 1,135
Из предыдущих формул следует:
l= — Δu = cv(T1 – T2);
i1 – i2= cp(T1 – T2).
Техническая работа адиабатного процесса (lтехн) равна разности энтальпий начала и конца процесса (i1 – i2).
Адиабатный процесс, происходящий без внутреннего  трения в рабочем теле, называется изоэнтропийным. В T, s-диаграмме он изображается вертикальной линией.
Обычно реальные адиабатные процессы протекают при наличии внутреннего трения в рабочем теле, в результате чего всегда выделяется теплота, которая сообщается самому рабочему телу. В таком случае ds > 0, и процесс называется реальным адиабатным процессом.
Политропный процесс
Политропным называется процесс, который описывается уравнением:
pvn= const.
Показатель политропы n может принимать любые значения в пределах от -∞ до +∞, но для данного процесса он является постоянной величиной.
Из уравнения политропного процесса и уравнения Клайперона можно получить выражение, устанавливающее связь между p, vи Tв любых двух точках на политропе:
p2/p1 = (v1/v2)n; T2/T1 = (v1/v2)n-1; T2/T1 = (p2/p1)(n-1)/n. 
Работа расширения газа в политропном процессе равна:

В случае идеального газа эту формулу можно преобразовать:
  
Количество подведенной или отведенной в процессе теплоты определяется с помощью первого закона термодинамики:
q = (u2 – u1) + l.
Поскольку

представляет собой теплоемкость идеального газа в политропном процессе.
При cv, k и n = const cn = const, поэтому политропный процесс иногда определят как процесс с постоянной теплоемкостью.
Политропный процесс имеет обобщающее значение, ибо охватывает всю совокупность основных термодинамических процессов.
Графическое представление политропа в p, v координатах в зависимости от показателя политропа n.

pv0 = const (n = 0) – изобара;
pv = const (n = 1) – изотерма;
p0v = const, p1/∞v = const, pv∞ = const – изохора;
pvk = const (n = k) – адиабата.
n > 0 – гиперболические кривые,
n < 0 – параболы.
Тепловым двигателем называется устройство, способное превращать полученное количество теплоты в механическую работу. Механическая работа в тепловых двигателях производится в процессе расширения некоторого вещества, которое называется рабочим телом. В качестве рабочего тела обычно используются газообразные вещества (пары бензина, воздух, водяной пар). Рабочее тело получает (или отдает) тепловую энергию в процессе теплообмена с телами, имеющими большой запас внутренней энергии. Эти тела называются тепловыми резервуарами.
Как следует из первого закона термодинамики, полученное газом количество теплоты Q полностью превращается в работу A при изотермическом процессе, при котором внутренняя энергия остается неизменной (ΔU = 0):
A = Q.
Но такой однократный акт преобразования теплоты в работу не представляет интереса для техники. Реально существующие тепловые двигатели (паровые машины, двигатели внутреннего сгорания и т. д.) работают циклически. Процесс теплопередачи и преобразования полученного количества теплоты в работу периодически повторяется. Для этого рабочее тело должно совершать круговой процесс или термодинамический цикл, при котором периодически восстанавливается исходное состояние. Круговые процессы изображаются на диаграмме (p, V) газообразного рабочего тела с помощью замкнутых кривых (рис. 3.11.1). При расширении газ совершает положительную работу A1, равную площади под кривой abc, при сжатии газ совершает отрицательную работу A2, равную по модулю площади под кривой cda. Полная работа за цикл A = A1 + A2 на диаграмме (p, V) равна площади цикла. Работа A положительна, если цикл обходится по часовой стрелке, и A отрицательна, если цикл обходится в противоположном направлении.

Рисунок 3.11.1.
Круговой процесс на диаграмме (p, V). abc – кривая расширения, cda – кривая сжатия. Работа A в круговом процессе равна площади фигуры abcdОбщее свойство всех круговых процессов состоит в том, что их невозможно провести, приводя рабочее тело в тепловой контакт только с одним тепловым резервуаром. Их нужно, по крайней мере, два. Тепловой резервуар с более высокой температурой называют нагревателем, а с более низкой – холодильником. Совершая круговой процесс, рабочее тело получает от нагревателя некоторое количество теплоты Q1 > 0 и отдает холодильнику количество теплоты Q2 < 0. Полное количество теплоты Q, полученное рабочим телом за цикл, равно
Q = Q1 + Q2 = Q1 – |Q2|.
При обходе цикла рабочее тело возвращается в первоначальное состояние, следовательно, изменение его внутренней энергии равно нулю (ΔU = 0). Согласно первому закону термодинамики,
ΔU = Q – A = 0.
Отсюда следует:
A = Q = Q1 – |Q2|.
Работа A, совершаемая рабочим телом за цикл, равна полученному за цикл количеству теплоты Q. Отношение работы A к количеству теплоты Q1, полученному рабочим телом за цикл от нагревателя, называется коэффициентом полезного действия η тепловой машины:


Модель. Термодинамические циклы
Коэффициент полезного действия указывает, какая часть тепловой энергии, полученной рабочим телом от «горячего» теплового резервуара, превратилась в полезную работу. Остальная часть (1 – η) была «бесполезно» передана холодильнику. Коэффициент полезного действия тепловой машины всегда меньше единицы (η < 1). Энергетическая схема тепловой машины изображена на рис. 3.11.2.

Рисунок 3.11.2.
Энергетическая схема тепловой машины: 1 – нагреватель; 2 – холодильник; 3 – рабочее тело, совершающее круговой процесс. Q1 > 0, A > 0, Q2 < 0; T1 > T2
В двигателях, применяемых в технике, используются различные круговые процессы. На рис. 3.11.3 изображены циклы, используемые в бензиновом карбюраторном и в дизельном двигателях. В обоих случаях рабочим телом является смесь паров бензина или дизельного топлива с воздухом. Цикл карбюраторного двигателя внутреннего сгорания состоит из двух изохор (1–2, 3–4) и двух адиабат (2–3, 4–1). Дизельный двигатель внутреннего сгорания работает по циклу, состоящему из двух адиабат (1–2, 3–4), одной изобары (2–3) и одной изохоры (4–1). Реальный коэффициент полезного действия у карбюраторного двигателя порядка 30 %, у дизельного двигателя – порядка 40 %.

Рисунок 3.11.3.
Циклы карбюраторного двигателя внутреннего сгорания (1) и дизельного двигателя (2)
В 1824 году французский инженер С. Карно рассмотрел круговой процесс, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, который сыграл важную роль в развитии учения о тепловых процессах. Он называется циклом Карно (рис. 3.11.4).

Рисунок 3.11.4.
Цикл Карно
Цикл Карно совершает газ, находящийся в цилиндре под поршнем. На изотермическом участке (1–2) газ приводится в тепловой контакт с горячим тепловым резервуаром (нагревателем), имеющим температуру T1. Газ изотермически расширяется, совершая работу A12, при этом к газу подводится некоторое количество теплоты Q1 = A12. Далее на адиабатическом участке (2–3) газ помещается в адиабатическую оболочку и продолжает расширяться в отсутствие теплообмена. На этом участке газ совершает работу A23 > 0. Температура газа при адиабатическом расширении падает до значения T2. На следующем изотермическом участке (3–4) газ приводится в тепловой контакт с холодным тепловым резервуаром (холодильником) при температуре T2 < T1. Происходит процесс изотермического сжатия. Газ совершает работу A34 < 0 и отдает тепло Q2 < 0, равное произведенной работе A34. Внутренняя энергия газа не изменяется. Наконец, на последнем участке адиабатического сжатия газ вновь помещается в адиабатическую оболочку. При сжатии температура газа повышается до значения T1, газ совершает работу A41 < 0. Полная работа A, совершаемая газом за цикл, равна сумме работ на отдельных участках:
A = A12 + A23 + A34 + A41.
На диаграмме (p, V) эта работа равна площади цикла.
Процессы на всех участках цикла Карно предполагаются квазистатическими. В частности, оба изотермических участка (1–2 и 3–4) проводятся при бесконечно малой разности температур между рабочим телом (газом) и тепловым резервуаром (нагревателем или холодильником).
Как следует из первого закона термодинамики, работа газа при адиабатическом расширении (или сжатии) равна убыли ΔU его внутренней энергии. Для 1 моля газа
A = –ΔU = –CV (T2 – T1),
где T1 и T2 – начальная и конечная температуры газа.
Отсюда следует, что работы, совершенные газом на двух адиабатических участках цикла Карно, одинаковы по модулю и противоположны по знакам
A23 = –A41.
По определению, коэффициент полезного действия η цикла Карно есть

С. Карно выразил коэффициент полезного действия цикла через температуры нагревателя T1 и холодильника T2:

Цикл Карно замечателен тем, что на всех его участках отсутствует соприкосновение тел с различными температурами. Любое состояние рабочего тела (газа) на цикле является квазиравновесным, т. е. бесконечно близким к состоянию теплового равновесия с окружающими телами (тепловыми резервуарами или термостатами). Цикл Карно исключает теплообмен при конечной разности температур рабочего тела и окружающей среды (термостатов), когда тепло может передаваться без совершения работы. Поэтому цикл Карно – наиболее эффективный круговой процесс из всех возможных при заданных температурах нагревателя и холодильника:
ηКарно = ηmax.


Модель. Цикл Карно
Любой участок цикла Карно и весь цикл в целом может быть пройден в обоих направлениях. Обход цикла по часовой стрелке соответствует тепловому двигателю, когда полученное рабочим телом тепло частично превращается в полезную работу. Обход против часовой стрелки соответствует холодильной машине, когда некоторое количество теплоты отбирается от холодного резервуара и передается горячему резервуару за счет совершения внешней работы. Поэтому идеальное устройство, работающее по циклу Карно, называют обратимой тепловой машиной.
В реальных холодильных машинах используются различные циклические процессы. Все холодильные циклы на диаграмме (p, V) обходятся против часовой стрелки. Энергетическая схема холодильной машины представлена на рис. 3.11.5.

Рисунок 3.11.5.
Энергетическая схема холодильной машины. Q1 < 0, A < 0, Q2 > 0, T1 > T2
Устройство, работающее по холодильному циклу, может иметь двоякое предназначение. Если полезным эффектом является отбор некоторого количества тепла |Q2| от охлаждаемых тел (например, от продуктов в камере холодильника), то такое устройство является обычным холодильником. Эффективность работы холодильника можно охарактеризовать отношением

т. е. эфективность работы холодильника – это количество тепла, отбираемого от охлаждаемых тел на 1 джоуль затраченной работы. При таком определении βх может быть и больше, и меньше единицы. Для обращенного цикла Карно

Если полезным эффектом является передача некоторого количества тепла |Q1| нагреваемым телам (например, воздуху в помещении), то такое устройство называется тепловым насосом. Эффективность βТ теплового насоса может быть определена как отношение

т. е. количеством теплоты, передаваемым более теплым телам на 1 джоуль затраченной работы. Из первого закона термодинамики следует:
|Q1| > |A|,
следовательно, βТ всегда больше единицы. Для обращенного цикла Карно

42. Холодильные машины
Холодильная машина - устройство, служащее для отвода теплоты от охлаждаемого тела при температуре более низкой, чем температура окружающей среды. Процессы, происходящие в холодильных машинах, являются частным случаем термодинамических процессов, т. е. таких, в которых происходит последовательное изменение параметров состояния рабочего вещества: температуры, давления, удельного объема, энтальпии. Холодильные машины работают по принципу теплового насоса - отнимают теплоту от охлаждаемого тела и с затратой энергии (механической, тепловой и т. д.) передают её охлаждающей среде (обычно воде или окружающему воздуху), имеющей более высокую температуру, чем охлаждаемое тело. Холодильные машины используются для получения температур от 10°С до -150°С. Область более низких температур относится к криогенной технике. Работа холодильной машины характеризуется их холодопроизводительностью.
Первые холодильная машина появились в середине XIX в. Одна из старейших холодильных машин - абсорбционная. Её изобретение и конструктивное оформление связано с именами Дж. Лесли (Великобритания, 1810), Ф. Карре (Франция, 1850) и Ф. Виндхаузена (Германия, 1878). Первая парокомпрессионная машина, работавшая на эфире, построена Дж. Перкинсом (Великобритания, 1834). Позднее были созданы аналогичные машины с использованием в качестве хладагента метилового эфира и сернистого ангидрида. В 1874 К. Линде (Германия) построил аммиачную парокомпрессионную холодильную машину, которая положила начало холодильному машиностроению.
В основе работы холодильников лежит холодильный цикл. Простой паровой цикл механической холодильной машины реализуется с помощью четырех элементов, образующих замкнутый холодильный контур, – компрессора, конденсатора, дроссельного вентиля и испарителя или охладителя (рис. 1). Пар из испарителя поступает в компрессор и сжимается, вследствие чего его температура повышается. После выхода из компрессора пар, имеющий высокие температуру и давление, поступает в конденсатор, где охлаждается и конденсируется. В некоторых конденсаторах используется режим переохлаждения, т.е. дальнейшее охлаждение сконденсировавшейся жидкости ниже ее температуры кипения. Из конденсатора жидкость проходит через дроссельный вентиль. Поскольку температура кипения (насыщения) для данного давления оказывается ниже температуры жидкости, начинается ее интенсивное кипение; при этом часть жидкости испаряется, а температура оставшейся части опускается до равновесной температуры насыщения (тепло жидкости расходуется на ее превращение в пар). Процесс дросселирования иногда называют внутренним охлаждением или самоохлаждением, поскольку в этом процессе температура жидкого хладагента снижается до нужного уровня. Таким образом, из дроссельного вентиля выходят насыщенная жидкость и насыщенный пар. Насыщенный пар не может эффективно отводить тепло, поэтому он перепускается мимо испарителя и подается прямо на вход компрессора. Между дросселем и испарителем установлен сепаратор, в котором пар и жидкость разделяются.

Рис. 1. Схема холодильного цикла.
Принцип действия компрессионных холодильных машин
Компрессионные холодильники - наиболее распространённые и универсальные. Основными составляющими частями такого холодильника являются:
компрессор, получающий энергию от электрической сети;
конденсатор, находящийся снаружи холодильника;
испаритель, находящийся внутри холодильника;
терморегулирующий расширительный вентиль, ТРВ, являющийся дросселирующим устройством;
хладагент, циркулирующее в системе вещество с определёнными физическими характеристиками.
Ко всем элементам холодильной машины предъявляется требование высокой герметичности. В зависимости от вида холодильного компрессора компрессионные машины подразделяются на поршневые, турбокомпрессорные, ротационные и винтовые.
Хладагент под давлением через дросселирующее отверстие (капилляр или ТРВ) поступает в испаритель, где за счёт резкого уменьшения давления происходит испарение жидкости и превращение ее в пар. При этом хладагент отнимает тепло у внутренних стенок испарителя, за счёт чего происходит охлаждение внутреннего пространства холодильника.
Компрессор засасывает из испарителя хладагент в виде пара, сжимает его, за счёт чего температура хладагента повышается и выталкивает в конденсатор.
В конденсаторе, нагретый в результате сжатия хладагент остывает, отдавая тепло во внешнюю среду, и конденсируется, то есть превращается в жидкость. Процесс повторяется вновь.
Таким образом, в конденсаторе хладагент под воздействием высокого давления конденсируется и переходит в жидкое состояние, выделяя тепло, а в испарителе под воздействием низкого давления вскипает и переходит в газообразное, поглощая тепло.
Терморегулирующий вентиль (ТРВ) необходим для создания необходимой разности давлений между конденсатором и испарителем, при которой происходит цикл теплопередачи. Он позволяет правильно (наиболее полно) заполнять внутренний объем испарителя вскипевшим хладагентом. Пропускное сечение ТРВ изменяется по мере снижения тепловой нагрузки на испаритель, при понижении температуры в камере количество циркулирующего хладагента уменьшается. Капилляр — это аналог ТРВ. Он не меняет свое сечение, а дросселирует определенное количество хладагента, зависящее от давления на входе и выходе капилляра, его диаметра и типа хладагента.
Обычно также присутствует теплообменник, выравнивающий температуру на выходе из конденсатора и из испарителя. В результате к дросселю поступает уже охлажденный хладагент, который затем ещё сильнее охлаждается в испарителе, в то время как хладагент, поступивший из конденсатора подогревается, прежде чем поступить в компрессор и конденсатор. Это позволяет увеличить эффективность холодильника.
При достижении необходимой температуры температурный датчик размыкает электрическую цепь и компрессор останавливается. При повышении температуры (за счёт внешних факторов) датчик вновь включает компрессор.
Для повышения экономической эффективности холодильной машины (снижения затрат энергии на единицу отнятого от охлаждаемого тела количества теплоты) иногда перегревают пар, всасываемый компрессором, и переохлаждают жидкость перед дросселированием. По этой же причине для получения температур ниже -30°С используют многоступенчатые или каскадные холодильные машины.
В многоступенчатых холодильных машин сжатие пара производится последовательно в несколько ступеней с охлаждением его между отдельными ступенями. При этом в двухступенчатых холодильных машинах получают температуру кипения хладагента до -80 °С.
В каскадных холодильных машинах, представляющих собой несколько последовательно включенных холодильных машин, которые работают на различных, наиболее подходящих по своим термодинамическим свойствам для заданных температурных условий хладагентах, получают температуру кипения до -150 °С.
Принцип действия абсорбционных холодильных машин
Рабочим веществом в абсорбционных холодильниках служат растворы двух компонентов с различными температурами кипения при одинаковом давлении. Компонент, кипящий при более низкой температуре, выполняет функцию хладагента; второй служит абсорбентом. В области температур от 0 до -45°С применяются машины, где рабочим веществом служит водный раствор аммиака (хладагент - аммиак). При температурах охлаждения выше 0°С преимущественно используют абсорбционные машины, работающие на водном растворе бромида лития (хладагент - вода).
В абсорбционных системах сохраняются конденсатор, дроссельный вентиль и испаритель, но вместо компрессора используются четыре других элемента: абсорбер, насос, парогенератор (кипятильник) и редукционный клапан. Пар из испарителя попадает в абсорбер. Там он соприкасается с абсорбирующей жидкостью, которая поглощает находящийся в паровой фазе хладагент; давление в абсорбере при этом понижается, что обеспечивает непрерывное поступление пара из испарителя. В процессе абсорбции происходит выделение тепла, следовательно, абсорбер должен охлаждаться, например, за счет циркуляции воды. Холодная смесь абсорбирующей жидкости и хладагента поступает в насос, в котором её давление повышается. Поскольку повышение давления жидкости сопровождается лишь незначительным изменением её объема, необходимая для этого работа мала. После выхода из насоса холодная жидкость высокого давления поступает в кипятильник, где к ней подводится тепло, и большая часть холодильного агента испаряется. Этот умеренно перегретый пар высокого давления проходит через конденсатор и совершает обычный холодильный цикл, а абсорбент охлаждается и возвращается в абсорбер (через редукционный клапан) для повторения цикла. Действительный абсорбционный цикл отличается от идеального тем, что часть абсорбента испаряется в кипятильнике и уносится вместе с парами хладагента. Если его не отделить от хладагента до входа в испаритель, то это приведет к повышению температуры в испарителе, или на практике давление в испарителе будет значительно меньше давления насыщения при той температуре, которая должна быть в испарителе. Отделение абсорбента от хладагента частично происходит в сепараторе, который расположен между конденсатором и кипятильником и служит для конденсации абсорбента и возврата его в кипятильник вместе с небольшим количеством сопутствующего хладагента. Механическая работа абсорбционных холодильных установок значительно меньше, чем компрессионных, однако общие затраты энергии значительно выше. Энергия, которая подводится к кипятильнику, много больше той, которая отводится от абсорбера охлаждающей водой. Там, где электроэнергия дорогая, а тепловая энергия и охлаждающая вода дешевы, абсорбционные установки более выгодны, чем компрессионные. Применение абсорбционных машин весьма выгодно на предприятиях, где имеются вторичные энергоресурсы (отработанный пар, горячая вода, отходящие газы промышленных печей и т.д.).
Принцип действия пароэжекторных холодильных машин
Способ получения холода без совершения механической работы состоит в эжекции пара из испарителя. В такой установке хладагентом является вода, поэтому температура в холодильной камере не может быть ниже 0° С.
Пароэжекторный холодильник состоит из эжектора, испарителя, конденсатора, насоса и ТРВ. Хладагентом служит вода, в качестве источника энергии используется пар давлением 0,3-1 МН/м2, который поступает в сопло эжектора, где расширяется. В результате в эжекторе и, как следствие, в испарителе машины создаётся пониженное давление, которому соответствует температура кипения воды несколько выше 0°С (обычно порядка 5°С). В испарителе за счёт частичного испарения происходит охлаждение подаваемой потребителю холода воды. Отсосанный из испарителя пар, а также рабочий пар эжектора поступает в конденсатор, где переходит в жидкое состояние, отдавая теплоту охлаждающей среде. Часть воды из конденсатора подаётся в испаритель для пополнения убыли охлаждаемой воды.
Пароэжекторные установки находят применение в промышленности, там, где имеются пар высокого и среднего давления и дешевая вода для охлаждения. Эти установки используются также на судах, поскольку небольшое число движущихся частей упрощает их обслуживание и ремонт.
Принцип действия холодильных машин на вихревых охладителях
Охлаждение осуществляется за счёт расширения предварительно сжатого компрессором воздуха в блоках специальных вихревых охладителей.
Распространения не получил из-за большой шумности, необходимости подвода сжатого (до 10-20 Атм) воздуха и очень большого его расхода, низкого КПД. Достоинства — большая безопасность использования, так как не используется электричество и нет ни движущихся механических частей, ни опасных химических соединений в конструкции; долговечность, надёжность.
Воздушно-расширительные холодильные машины относятся к классу холодильно-газовых машин. Хладагентом служит воздух. В области температур примерно до -80°С экономическая эффективность воздушных машин ниже, чем парокомпрессионных. Более экономичными являются регенеративные воздушные холодильные машины, в которых воздух перед расширением охлаждается либо в противоточном теплообменнике, либо в теплообменнике-регенераторе. В зависимости от давления используемого сжатого воздуха воздушные холодильные машины подразделяются на машины высокого и низкого давления. Различают воздушные машины, работающие по замкнутому и разомкнутому циклу.
Принцип действия термоэлектрических холодильных машин
Термоэлектрический холодильник строится на элементах Пельтье, бесшумен, но большого распространения не получил из-за дороговизны охлаждающих термоэлектрических элементов. Тем не менее, сумки-холодильники, небольшие автомобильные холодильники и кулеры питевой воды часто делаются с охлаждением от элементов Пельтье.
Термоэлектрический холодильник работает на основе эффекта Пельтье, который заключается в выделении или поглощении теплоты при прохождении электрического тока через спай термопары. На рис. 2 схематично показано поперечное сечение такого холодильника объемом 65 дм3, способного поддерживать температуру холодильной камеры на 10° С ниже температуры окружающей среды. В верхней части расположены 72 термоэлемента, обеспечивающие охлаждение, которые потребляют большую часть из 135 Вт электроэнергии, необходимой для работы холодильника. В канале обдува воздухом расположены специальные ребра для лучшего сброса тепла, а в камере установлены пластины для увеличения поверхности теплообмена. Подобные холодильники на судах рассчитаны на хранение шести тонн замороженных или охлажденных продуктов. Промышленность выпускает и другие типы термохолодильников, в частности термостаты для лабораторных нужд.
Рис. 2. Термоэлектрический холодильник (может быть сделан портативным). 1 – охлаждающие ребра; 2 – вентилятор; 3 – жалюзи; 4 – термоэлементы; 5 – тепловая изоляция; 6 – холодные пластины.
43. Поверхностное натяжение
Поверхностное натяжение, стремление вещества (жидкости или твердой фазы) уменьшить избыток своей потенциальной энергии на границе раздела с др. фазой (поверхностную энергию). Определяется как работа, затрачиваемая на создание единицы площади поверхности раздела фаз (размерность Дж/м2). Согласно другому определению, поверхностное натяжение – сила, отнесенная к единице длины контура, ограничивающего поверхность раздела фаз (размерность Н/м); эта сила действует тангенциально к поверхности и препятствует ее самопроизвольному увеличению.
Поверхностное натяжение – основная термодинамическая характеристика поверхностного слоя жидкости на границе с газовой фазой или другой жидкостью. Поверхностное натяжение различных жидкостей на границе с собственным паром изменяется в широких пределах: от единиц для сжиженных низкокипящих газов до нескольких тысяч мН/м для расплавленных тугоплавких веществ. Поверхностное натяжение зависит от температуры. Для многих однокомпонентных неассоциированных жидкостей (вода, расплавы солей, жидкие металлы) вдали от критической температуры хорошо выполняется линейная зависимость:

где s и s0 – поверхностное натяжение при температурах T и T0 соответственно, α≈0,1 мН/(м·К) – температурный коэффициент поверхностного натяжения. Основной способ регулирования поверхностного натяжения заключается в использовании поверхностно-активных веществ (ПАВ).
Поверхностное натяжение входит во многие уравнения физики, физической и коллоидной химии, электрохимии. Оно определяет следующие величины:
капиллярное давление , где r1 и r2 -главные радиусы кривизны поверхности, и давление насыщенного пара рr над искривленной поверхностью жидкости: , где r – радиус кривизны поверхности, R – газовая постоянная, Vn – молярный объем жидкости, p0 – давление над плоской поверхностью (законы Лапласа и Кельвина, см. Капиллярные явления).
Краевой угол смачивания θ в контакте жидкости с поверхностью твердого тела: cos, где – удельная свободная поверхностные энергии твердого тела на границе с газом и жидкостью, – поверхностное натяжение жидкости (закон Юнга, см. Смачивание).
Адсорбцию ПАВ где μ – химический потенциал адсорбируемого вещества (уравнение Гиббса, см. Адсорбция). Для разбавленных растворов где с – молярная концентрация ПАВ.
Состояние адсорбционного слоя ПАВ на поверхности жидкости: (ps + a/A2)·(A- b)=kT, где ps=(s0—s) – двухмерное давление, s0 и s – соответственно поверхностное натяжение чистой жидкости и той же жидкости при наличии адсорбционного слоя, а – постоянная (аналог постоянной Ван-дер-Ваальса), A – площадь поверхностного слоя, приходящаяся на одну адсорбированную молекулу, b – площадь, занимаемая 1 молекулой жидкости, k – постоянная Больцмана (уравнение Фрумкина-Фольмера, см. Поверхностная активность).Электрокапиллярный эффект: – ds/df = rs, где rs – плотность поверхностного заряда, f-потенциал электрода (уравнение Липмана, см. Электрокапиллярные явления).
Работу образования критического зародыша новой фазы Wc. Например, при гомогенной конденсации пара при давлении , где p0 – давление пара над плоской поверхностью жидкости (уравнение Гиббса, см. Зарождение новой фазы).
Длину l капиллярных волн на поверхности жидкости: , где ρ – плотность жидкости, τ – период колебаний, g – ускорение свободного падения.
Упругость жидких пленок со слоем ПАВ: модуль упругости , где s – площадь пленки (уравнение Гиббса, см. Тонкие пленки).
Поверхностное натяжение измерено для многих чистых веществ и смесей (растворов, расплавов) в широком интервале температур и составов. Поскольку поверхностное натяжение весьма чувствительно к наличию примесей, измерения разными методиками не всегда дают совпадающие значения. Основные методы измерения следующие:
подъем смачивающих жидкостей в капиллярах. Высота подъема , где – разность плотностей жидкости и вытесняемого газа, ρ – радиус капилляра. Точность определения поверхностного натяжения растет с уменьшением отношения ρ/α (α-капиллярная постоянная жидкости).
Измерение максимального давления в газовом пузырьке (метод Ребиндера); расчет основан на уравнении Лапласа. При выдавливании пузырька в жидкость через калиброванный капилляр радиусом r перед моментом отрыва давление pm=2σ/r
Метод взвешивания капель (сталагмометрия): (уравнение Тейта), где G – общий вес n капель, оторвавшихся под действием силы тяжести от среза капиллярной трубки радиусом r. Для повышения точности правую часть умножают на поправочный коэфициент, зависящий от r и объема капли.
Метод уравновешивания пластины (метод Вильгельми). При погружении пластины с периметром сечения L в смачивающую жидкость вес пластины , где G0 – вес сухой пластины.
Метод отрыва кольца (метод Дю Нуи). Для отрыва проволочного кольца радиусом R от поверхности жидкости требуется сила
Метод сидящей капли. Профиль капли на несмачиваемой подложке определяется из условия постоянства суммы гидростатического и капиллярного давлений. Дифференциальное уравнение профиля капли решается численным интегрированием (метод Башфорта-Адамса). По измерениям геометрических параметров профиля капли с помощью соответствующих таблиц находят поверхностное натяжение.
Метод вращающейся капли. Капля жидкости плотностью r1 помещается в трубку с более тяжелой (плотность r2) жидкостью. При вращении трубки с угловой скоростью ω капля вытягивается вдоль оси, принимая приближенно форму цилиндра радиуса r. Расчетное уравнение: . Метод применяют для измерения малых поверхностных натяжений на границе двух жидкостей.
Поверхностное натяжение является определяющим фактором многих технологических процессов: флотации, пропитки пористых материалов, нанесения покрытий, моющего действия, порошковой металлургии, пайки и др. Велика роль поверхностного натяжения в процессах, происходящих в невесомости.
Понятие поверхностного натяжения впервые ввел Я.Сегнер (1752). В первой половине XIX в. на основе представления о поверхностном натяжении была развита математическая теория капиллярных явлений (П.Лаплас, С.Пуассон, К.Гаусс, А.Ю.Давидов). Во второй половине XIX в. Дж.Гиббс развил термодинамическую теорию поверхностных явлений, в которой решающую роль играет поверхностное натяжение. В XX в. разрабатываются методы регулирования поверхностного натяжения с помощью ПАВ и электрокапиллярных эффектов (И.Ленгмюр, П.А.Ребиндер, A.H.Фрумкнн). Среди современных актуальных проблем – развитие молекулярной теории поверхностного натяжения различных жидкостей (включая расплавленные металлы), влияние кривизны поверхности на поверхностное натяжение
44. Капиллярные явления
Капиллярные явления, поверхностные явления на границе жидкости с др. средой, связанные с искривлением ее поверхности. Искривление поверхности жидкости на границе с газовой фазой происходит в результате действия поверхностного натяжения жидкости, которое стремится сократить поверхность раздела и придать ограниченному объему жидкости форму шара. Поскольку шар обладает минимальной поверхностью при данном объеме, такая форма отвечает минимуму поверхностной энергии жидкости, т.е. ее устойчивому равновесному состоянию. В случае достаточно больших масс жидкости действие поверхностного натяжения компенсируется силой тяжести, поэтому маловязкая жидкость быстро принимает форму сосуда, в который она налита, а ее своб. поверхность представляется практически плоской.
В отсутствие силы тяжести или в случае очень малых масс жидкость всегда принимает сферическую форму (капля), кривизна поверхности которой определяет мн. свойства вещества. Поэтому капиллярные явления ярко выражены и играют существенную роль в условиях невесомости, при дроблении жидкости в газовой среде (или распылении газа в жидкости) и образовании систем, состоящих из многих капель или пузырьков (эмульсий, аэрозолей,пен), при зарождении новой фазы капель жидкости при конденсации паров. пузырьков пара при вскипании, зародышей кристаллизации. При контакте жидкости с конденсированными телами (другой жидкостью или твердым телом) искривление поверхности раздела происходит в результате действия межфазного натяжения.
В случае смачивания, например, при соприкосновении жидкости с твердой стенкой сосуда, силы притяжения, действующие между молекулами твердого тела и жидкости, заставляют ее подниматься по стенке сосуда, вследствие чего примыкающий к стенке участок поверхности жидкости принимает вогнутую форму. В узких каналах, например, цилиндрических капиллярах, образуется вогнутый мениск - полностью искривленная поверхность жидкости (рис. 1).

Рис. 1. Капиллярное поднятие на высоту h жидкости, смачивающей стенки капилляра радиуса r; q - краевой угол смачивания.
Капиллярное давление. Так как силы поверхностного (межфазного) натяжения направлены по касательной к поверхности жидкости, искривление последней ведет к появлению составляющей, направленной внутрь объема жидкости. В результате возникает капиллярное давление, величина которого Dp связана со средним радиусом кривизны поверхности r0 уравнением Лапласа:
Dp = p1 - p2 = 2s12/r0, (1)
где p1 и p2 - давления в жидкости 1 и соседней фазе 2 (газе или жидкости), s12 - поверхностное (межфазное) натяжение.
Если поверхность жидкости вогнута (r0<0), давление в ней оказывается пониженным по сравнению с давлением в соседней фазе p1 < р2 и Dp < 0. Для выпуклых поверхностей (r0 > 0) знак Dp изменяется на обратный. Отрицательное капиллярное давление, возникающее в случае смачивания жидкостью стенок капилляра, приводит к тому, что жидкость будет всасываться в капилляр до тех пор, пока вес столба жидкости высотой h не уравновесит перепад давления Dp. В состоянии равновесия высота капиллярного поднятия определяется формулой Жюрена:

где r1 и r2 - плотности жидкости 1 и среды 2, g - ускорение силы тяжести, r - радиус капилляра, q - краевой угол смачивания. Для несмачивающих стенки капилляра жидкостей cos q < 0, что приводит к опусканию жидкости в капилляре ниже уровня плоской поверхности (h < 0).
Из выражения (2) следует определение капиллярной постоянной жидкости а = [2s12/(r1 — r2)g]1/2. Она имеет размерность длины и характеризует линейный размер Z [ а, при котором становятся существенными капиллярные явления Так, для воды при 20 °С а = 0,38 см. При слабой гравитации (g : 0) значение а возрастает. На участке контакта частиц капиллярная конденсация приводит к стягиванию частиц под действием пониженного давления Dp < 0.
Уравнение Кельвина. Искривление поверхности жидкости приводит к изменению над ней равновесного давления пара р по сравнению с давлением насыщенного пара ps над плоской поверхностью при той же температуре Т. Эти изменения описываются уравнением Кельвина:

где - молярный объем жидкости, R - газовая постоянная. Понижение или повышение давления пара зависит от знака кривизны поверхности: над выпуклыми поверхностями (r0 > 0) p > ps; над вогнутыми (r0 < 0) р < рs. . Так, над каплями давление пара повышено; в пузырьках, наоборот, понижено.
На основании уравнения Кельвина рассчитывают заполнение капилляров или пористых тел при капиллярной конденсации. Так как значения р различны для частиц разных размеров или для участков поверхности, имеющей впадины и выступы, уравнение (3) определяет и направление переноса вещества в процессе перехода системы к состоянию равновесия. Это приводит, в частности, к тому, что относительно крупные капли или частицы растут за счет испарения (растворения) более мелких, а неровности поверхности некристаллические тела сглаживаются за счет растворения выступов и залечивания впадин. Заметные различия давления пара и растворимости имеют место лишь при достаточно малых r0 (для воды, например, при r0 [ 0,1 мкм). Поэтому уравнение Кельвина часто используется для характеристики состояния коллоидных систем и пористых тел и процессов в них.

Рис. 2. Перемещение жидкости на длину l в капилляре радиуса r; q - краевой угол.
Капиллярная пропитка. Понижение давления под вогнутыми менисками - одна из причин капиллярного перемещения жидкости в сторону менисков с меньшим радиусом кривизны. Частным случаем этого является пропитка пористых тел - самопроизвольное всасывание жидкостей в лиофильные поры и капилляры (рис. 2). Скорость v перемещения мениска в горизонтально расположенном капилляре (или в очень тонком вертикальном капилляре, когда влияние силы тяжести мало) определяется ур-нием Пуазёйля:

где l - длина участка впитавшейся жидкости, h - ее вязкость, Dp - перепад давления на участке l, равный капиллярному давлению мениска: Dp = — 2s12cos q/r. Если краевой угол q не зависит от скорости v, можно рассчитать количество впитавшейся жидкости за время t из соотношения:
l(t) = (rts12cos q/2h)l/2. (5)
Если q есть функция v, то l и v связаны более сложными зависимостями.
Уравнения (4) и (5) используют для расчетов скорости пропитки при обработке древесины антисептиками, крашении тканей, нанесении катализаторов на пористые носители, выщелачивании и диффузионном извлечении ценных компонентов горных пород и др. Для ускорения пропитки часто используют ПАВ, улучшающие смачивание за счет уменьшения краевого угла q. Один из вариантов капиллярной пропитки - вытеснение из пористой среды одной жидкости другой, не смешивающейся с первой и лучше смачивающей поверхность пор. На этом основаны, например, методы извлечения остаточной нефти из пластов водными растворами ПАВ, методы ртутной порометрии. Капиллярное впитывание в поры растворов и вытеснение из пор несмешивающихся жидкостей, сопровождающиеся адсорбцией и диффузией компонентов, рассматриваются физико-химической гидродинамикой.
Помимо описанных равновесных состояний жидкости и ее движения в порах и капиллярах, к капиллярные явления относят также равновесные состояния очень малых объемов жидкости, в частности тонких слоев и пленок. Эти капиллярные явления часто называют капиллярные явления II рода. Для них характерны, например, зависимость поверхностного натяжения жидкости от радиуса капель и линейное натяжение. Капиллярные явления впервые исследованы Леонардо да Винчи (1561), Б. Паскалем (17 в.) и Дж. Жюреном (18 в.) в опытах с капиллярными трубками. Теория капиллярных явлений развита в работах П. Лапласа (1806), Т. Юнга (1804), А. Ю. Давыдова (1851), Дж. У. Гиббса (1876), И. С. Громеки (1879, 1886). Начало развития теории капиллярных явлений II рода положено трудами Б. В. Дерягина и Л. М. Щербакова.

Приложенные файлы

  • docx 10656049
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий