Метод рационализации, задание С-3


Метод рационализации
№ Выражение F Выражение G
1 QUOTE - QUOTE (а –1)(v – φ)
1a

2 QUOTE - QUOTE
2a )

3
4 QUOTE ( QUOTE
4a
5
6
Примеры решения неравенств методом рационализации
Пример 1. Решите неравенство log 2x+3 x2 < 1.
Решение. Запишем неравенство в виде log2x+3x2 – 1< 0 и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации
(2x + 2)(x2 – 2x – 3) < 0
2x + 3 > 0
x ≠ 0
(x + 1)(x + 1)(x – 3) < 0
x > 1,5
x ≠ 0
Ответ: (-1.5; -1) (-1; 0) (0; 3).

Пример 2. Решите неравенство log|x+2|(4 + 7x – 2x2) ≤ 2.
Решение. Запишем нераенство в виде log|x + 2|(4 + 7x – 2x2) – log|x + 2|(x + 2)2 ≤ 0 и заменим равносильной системой, используя метод рационализации
(|x + 2| - 1)(4 + 7x – 2x2 – x2 – 4x – 4) ≤ 0
4 +7x - 2x2 > 0
x + 2 ≠ 0
((x + 2)2 – 1)(-3x2 + 3x) ≤ 0
(x + 0,5)(x – 4) < 0
x ≠ 2
x(x + 1)(x + 3)(x – 1) ≥ 0
(x + 0,5)(x – 4) < 0
x ≠ 2
+ - + - + х
● ● ● ●
-3 -1 0 1
+ - + х
° °
-0,5 4
Ответ: ( -0,5; 0] [1; 4).
Пример 3. Решите неравенство ≥ 0.
Решение. Заменим данное неравенство равносильной системой, используя метод рационализации

> 0
3 – x > 0
x > 0
x ≠ 3
x ≠ 1
(x – 3)(x – 1)(- 1) ≥ 0
(x – 1)(- 1) > 0
x > 0
x ≠ 3
x ≠ 1
(x – 1)(3 – x –x2) ≤ 0
(x – 1)(3 – x – 1) > 0
x < 3
x > 0
x ≠ 1

1 < x < 2
< 2.
При решении неравенства (х – 1)(х – 2) < 0 системы учтены условия x < 3, x > 0, x ≠ 1. Условие 1 < x < 2 позволяет исключить множитель x – 1 > 0 в первом неравенстве системы.
Ответ: .
Пример 4. Решите неравенство log12x2-41+35(3 – x) ≥ log2x2-5x+3(3- x).
Решение. Запишем неравенство в виде log12x2-41+35(3 – x) - log2x2-5x+3(3- x) ≥ 0 и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации
(12x2 – 41x + 34)(2x2 – 5x + 2)(2 – x)(-10x2 + 36x – 32) ≥ 0
12x2 – 41x + 35 > 0
2x2 – 5x + 3 > 0
12x2 – 41x + 34 ≠ 0
2x2 – 5x + 2 ≠ 0
3 – x > 0
(x – 2)4(x - (x - > 0(x – 1)(x - > 0(x - (x – 2)(x - x < 3
Для решения первых трёх неравенств системы используем метод интервалов.
Ответ:
Пример 5. Найдите все значения а, при которых неравенство loga(x2 + 4) > 1 выполняется для всех значений х.
Решение. Используя метод рационализации, запишем данное неравенство равносильной системой
(а – 1)(х2 + 4 - а) > 0
a > 0
a ≠ 1
Для решения первого неравенства системы используем метод областей.
Обозначим F(x,a) = (a – 1)( х2 + 4 - а).
Для выражения F(x,a) переменные х и а принимают любые значения.
F(x, a) = 0, (а – 1)(х2 + 4- а) = 0, отсюда а = 1 или а = х2 + 4.
Имеем прямую и параболу, которые разбивают координатную плоскость на области, в каждой из которых выражение F(x,a) сохраняет знак.
Возьмём контрольную точку (0; 0). F(0,0)= - 4< 0. Ставим знак минус в области, содержащей точку (0; 0). В остальных областях расставляем знаки, используя правило знакочередования. Множество точек, координаты которых удовлетворяют первому неравенству системы, выделены цветом. Условия а > 0, а ≠ 1 учтены. Проводя прямые, параллельные оси Ох, видим, что полностью прямые находятся в заштрихованной области при а .
Ответ: .

Задания для самостоятельного решения
Решите неравенство
.
Ответ:
Решите неравенство
< 1.
Ответ: (log310; + ).
Решите неравенство
.
Ответ: .
Решите неравенство
.
Ответ: .
Решите неравенство
.
Ответ: .

Приложенные файлы

  • docx 10665243
    Размер файла: 197 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий