Задание 15. Метод замены множителей или метод рационализации


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Метод замены множителей ил
и метод рационализации.


Статью подготовила учитель высшей категории С.М. Гамзатова.


Метод замены множителей заключа
ется в замене сложного множителя в неравенстве
на более простой
,

знакосовпадающий с ним и имеющий
одни и те же корни.

В

резу
льтате
чего

приходим к
неравенству
, к решаемому методом интервалов
.


Существуют две основные замены:

1.

если

строго
возрастающая функция,

2.

если

строго убывающая функция


Например.

1.
Решить неравенство:




Решение.

Область определения неравенства:


Выражение
при

имеет тот же знак, что и
(


-

возрастающая)

, и противоположный , если

(

-

убыва
ю
щая)
. Оба
варианта можно объединить в один:

выражения
и

имеют
один

и тот же знак
.


Имеем






Нули уравнения


,
и

Методом интервалов находим решение исходного неравенства.

Ответ:


;
;
;










Аналогично можно решать и логарифмические неравенства.

Монотонность


ключ к замене
.


Выражение
при
(



-

возрастающая функция)

имеет тот же знак, что и

и противоположный
, если
(

-

убывающая функция)


Оба варианта можно объединить в один

, имеющий тот же знак, что и
исходное выражение

.










2.
Решить неравенство
:




Решение.



Заменим не
равенство равносильной системой, где учитывается область определения
логарифмической функции.


,





Ответ:





3.
Решить неравенство
:



Решение.






Выражение

и

имеют один знак.



Заменим
исходное
неравенство равносильной системой, где учитывается область
определения логарифмической функции.

.




Ответ:




Полезная таблица замены показательных и логарифмических неравенств на
равносильные




исходное неравенство

равносильная замена

1



2



3



4



5



6



7



8



9




10




В таблице для определённости взят знак «>», его можно заменить н
а любой другой
знак неравенства.





4. Решите


Решение
.

Область определения:



Заменяя каждый множитель на выражение
того же знака, получим










Ответ:











5 Решите неравенство.




Решение.

Область определения
: х

0



,








Выражение
для любого х (можно убедится рассмотрев
квадратный трёхчлен
, где
, дискриминант отрицателен).



по определени
ю показательной функции.

Тогда наше неравенство равносильно



Ответ:



6. Решите неравенство







Решение.



Заменим на равносильную систему с учётом области определения.








Ответ:






Литература:

1.

И.Ф.Шарыгин «Математика для поступающих в ВУЗ
ы» «Дрофа» 1997

2.

А.Г. Корянов г. Брянск «Задания С3»

3.

В. Голубев «Метод замены множителей» «Квант» №4 2006


Приложенные файлы

  • pdf 10665256
    Размер файла: 360 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий