ОПОРНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ

ОПОРНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
О биссектрисе:
1) Биссектрисы смежных углов перпендикулярны
2) Биссектрисы внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей перпендикулярны.
3) Если в треугольнике АВС биссектрисы углов В и С пересекаются в точке О, то 13 EMBED Equation.3 1415
4) Если в треугольнике АВС биссектрисы внешних углов В и С пересекаются в точке О, то 13 EMBED Equation.3 1415
5) точка пересечения биссектрисы треугольника с его описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра его вписанной окружности.
6) Биссектриса угла между неравными сторонами треугольника делит угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведенными из той же вершины, пополам.
7) Формулы длины биссектрисы (в стандартных обозначениях):
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415, где m, n –длины отрезков, на которые биссектриса делит третью сторону.
8) биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам

Медиана.
Медиана треугольника равна половине стороны. к которой она проведена тогда и только тогда. если треугольник прямоугольный.
Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих, а три медианы – на шесть равновеликих трегольников.
Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна 13 EMBED Equation.3 1415.
Формула длины медианы: 13 EMBED Equation.3 1415
Три медианы треугольника точкой пересечении делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Трапеция
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований
Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 900, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований.
Вокруг трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, если она равнобедренная.
Если в трапецию можно вписать окружность, то ее боковая сторона видна из центра окружности под прямым углом, и ее радиус равен среднему пропорциональному отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону.
Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то боковая сторона трапеции равна ее средней линии.
Точка пересечения диагоналей трапеции, середины оснований и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой


Замечательные средние в трапеции: Если длины оснований трапеции равны a и b , то имеют место следующие отрезки с концами на боковых сторонах, параллельные основаниям:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 - отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей, причем этой точкой он делится пополам.
б) 13 EMBED Equation.3 1415 - отрезок, делящий трапецию на две равновеликих.
в) 13 EMBED Equation.3 1415 - отрезок, делящий трапецию на две подобных
г) средняя линия.
д) Все эти отрезки в любой трапеции упорядочены, т.к. имеет место неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
9) Если О – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, то площади треугольников АОВ и COD равны.

4. Окружность
1) Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам
2) Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром. перпендикулярен ей.
3) Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
4) Хорды окружности равны тогла и только тогда, когда они равноудалены от ее центра.
5) Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.
6) дуги окружности равны тогда и только тогда,. когда равны стягивающие их хорды.
7) а) точка М лежит на окружности с диаметром АВ тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415
б) точка М лежит внутри окружности с диаметром АВ тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415
в) точка М лежит вне окружности с диаметром АВ тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415
8) Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде и делит ее пополам.
9)Линия центров двух касающихся окружностей в обоих случаях проходит через точку касания
10) Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной в его внутренней области.
11) угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, находящихся во внутренней области этих углов
12) угол с вершиной вне окружности стороны которого пересекают или касаются окружности, равен полуразности дуг, высекаемых его сторонами и лежащими в его внутренней области.
13) а) Если из одной точки проведены касательная и секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.
б) следствие: произведение всей секущей на ее внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно
14) Произведение отрезков хорд, проходящих через данную точку внутри окружности, постоянно.
15) Общие хорды трех попарно пересекающихся окружностей проходят через одну точку либо параллельны
16) Две окружности касаются внутренним образом в точке М. Если АВ – хорда большей окружности, касающаяся меньшей в точке Т, то МТ – биссектриса угла АМВ.

Высоты и описанная окружность треугольника
Основания серединных перпендикуляров к сторонам треугольника являются вершинами треугольника, высоты которого содержатся в этих серединных перпендикулярах.
Если ВМ и СЕ – высоты треугольника АВС, то он подобен треугольнику АМЕ с коэффициентом подобия 13 EMBED Equation.3 1415.
Если Н – точка пересечения высот (ортоцентр) треугольника АВС, а О - центр его описанной окружности, то отрезок АН вдвое больше расстояния от О до середины ВС
Точки О, Н и точка М пересечения медиан треугольника лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причем точка м лежит на отрезке ОН и ОМ:МН=1:2
Если BM и СN – высоты треугольника, а О – центр описанной окружности, то ОА и MN перпендикулярны (М – центр масс)
Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно прямых, содержащих его стороны, лежат на его описанной окружности
Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин его сторон, лежат на его описанной окружности
Высоты АА1, ВВ1 и СС1 треугольника АВС делят углы треугольника А1В1С1 пополам.

Вписанная и вневписанные окружности треугольника.
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 13 EMBED Equation.3 1415, а вневписанной и касающейся гипотенузы 13 EMBED Equation.3 1415.
Если М – точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник АВС, то АМ=р-ВС, где р – полупериметр треугольника.
Если М – точка касания со стороной АС треугольника АВС окружности, касающейся продолжения сторон ВА и ВС , то АМ=р-ВА, где р – полупериметр треугольника. Кроме того, расстояния от точки В до точек касания, лежащих на лучах ВА и ВС, также равны р
Если окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ,ВС и АС соответственно в точках K, L и M, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Если прямые, проходящие через точку А, касаются окружности с центром О в точках В и С, то
а) АВ=АС и АО – биссектриса угла ВАС
б) Центр вписанной окружности треугольника АВС лежит на данной окружности
6) Формула Эйлера. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ЦЕНТРАМИ ВПИСАННОЙ (радиуса r) И ОПИСАННОЙ ( радиуса R) ОКРУЖНОСТЕЙ ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНО 13 EMBED Equation.3 1415
7) Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника, а центр вневписанной – в точке пересечения биссектрисы внутреннего с двумя биссектрисами внешних углов треугольника.
8) Площадь треугольника равна а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415
9) Радиус вписанной окружности треугольника связан с радиусами трех его вневписанных окружностей соотношением 13 EMBED Equation.3 1415.
7. Четырехугольники
1) В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны
2) ВОКРУГ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА МОЖНО ОПИСАТЬ ОКРУЖНОСТЬ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, если сумма его противоположных углов равна пи.
3) Четырехугольник АВСD вписанный. Доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415, то есть сумма произведений его противоположных сторон равна произведению диагоналей (теорема Птолемея).
4) Площадь ЛЮБОГО четырехугольника равна половине произведения длин его диагоналей на синус угла между ними.
5) Середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. при этом:
а) это прямоугольник тогда и только тогда. когда диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны
б) он ромб тогда и только тогда, когда диагонали исходного четырехугольника равны
в) площадь параллелограмма равна половине площади исходного четырехугольника
6) Середины противоположных сторон четырехугольника и середины его диагоналей являются вершинами параллелограмма либо лежат на одной прямой.
7) Диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных сторон равны.
8) Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

И еще о площади треугольника
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Отношение площадей треугольников, имеющих равные углы, равно отношению произведений сторон, их заключающих
Отношение площадей треугольников, имеющих равные или общие стороны, равно отношению проведенных к ним высот
Отношение площадей треугольников, имеющих равные или общие высоты, равно отношению оснований


















Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 10667808
    Размер файла: 80 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий