ОПОРНЫЕ ЗАДАЧИ планиметр

ОПОРНЫЕ ЗАДАЧИ

1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разбивает треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.
3. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.
4. Отношение квадратов катетов равно отношению их проекций на гипотенузу.
5. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
6. Биссектриса любого угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
7. Доказать, что биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолжение противоположной стороны в точке, расстояния от которой до концов этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника.
8. Доказать, что в любом треугольнике биссектриса либо совпадает с медианой и высотой, проведенными из той же вершины, либо лежит между ними.
9. Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.
10. Докажите, что медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.
11. Докажите, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
12. Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
13. Докажите, что средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику с коэффициентом 1:2.
14. Через точку на стороне треугольника проведена прямая, параллельная одной из двух других сторон. Докажите, что она отсекает треугольник, подобный данному.
15. Докажите, что диагонали трапеции вместе с основаниями образуют два подобных треугольника.
16. Докажите, что четырехугольник с вершинами в серединах сторон данного четырехугольника является параллелограммом. При каком условии этот параллелограмм будет: а) прямоугольником; б) ромбом; в) квадратом?
17. Докажите, что если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, перпендикулярны, то его диагонали равны.
18. Докажите, что если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника, равны, то его диагонали перпендикулярны.
19. Докажите, что медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей.
20. Докажите, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон равна высоте этого треугольника, проведенного к боковой стороне.
21. Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри правильного треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника.
22. Длины катетов прямоугольного треугольника а и b. Найдите длину высоты треугольника, проведенной из вершины прямого угла.
23. Докажите, что треугольник будет остроугольным, прямоугольным или тупоугольным в зависимости оттого, будет ли квадрат его наибольшей стороны соответственно меньше, равен или больше суммы квадратов двух других сторон.

Приложенные файлы

  • doc 10667920
    Размер файла: 31 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий