математика_ч_3_нмп

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ХАРКІВСЬКИЙ МАШИНОБУДІВНИЙ КОЛЕДЖ
Циклова комісія математики, комп’ютерної техніки та інформаційних технологій







МАТЕМАТИКА
Частина ІІІ
Планіметрія
Збірник прикладних задач
для самостійної роботи студентів усіх спеціальностей 1 курсу з дисципліни «Математика»













Харків, 2014

ББК 22.1 я 73
УДК 51 (075.8)
М - 34



Математика. Збірник прикладних задач для самостійної роботи студентів усіх спеціальностей 1 курсу. Частина ІІІ. Планіметрія. Укладачі: Клинцова О. А. Зоркіна Л. Ф., Харків, ХМК, с. 45



Рекомендовано методичною Радою Харківського машинобудівного коледжу, протокол № 1 від 25.09.2014р.




Рецензент: Якшина Лариса Олексіївна – викладач вищої категорії









ББК 22.1 я 73
© Харківський машинобудівний коледж

13 LINK \l "зміст" 14Зміст15
13 LINK \l "передмова" 14Передмова .415
13 LINK \l "п1" 14§1. Трикутники, їх види та властивості. Формули для обчислення площі трикутників. Прямокутний трикутник515
13 LINK \l "п2" 14§2. Чотирикутники. Їх види та властивості. Формули для обчислення площ...1715
13 LINK \l "п3" 14§3. Коло і круг. Площа круга та довжина кола. Формули для знаходження радіусів кіл, вписаних у многокутник і кіл, описаних навколо многокутника.2815
13 LINK \l "п4" 14§4. Декартові координати на площині...3615
13 LINK \l "п5" 14§5. Вектори на площині. Дії над векторами. 3815
13 LINK \l "список_літератури" 14Список літератури...4515



















ПЕРЕДМОВА
Збірник прикладних задач розроблено відповідно до навчальної програми дисципліни «Математика». Цей посібник є продовженням навчально-методичного посібника з математики для студентів 1 курсу і охоплює такі теми: «Трикутники, їх види та властивості. Формули для обчислення площі трикутників. Прямокутний трикутник», «Чотирикутники. Їх види та властивості. Формули для обчислення площ», «Коло і круг. Площа круга та довжина кола. Формули для знаходження радіусів кіл, вписаних в многокутник і кіл, описаних навколо многокутника», «Декартові координати на площині», «Вектори на площині. Дії над векторами».
Специфікою посібника порівняно з нормативними підручниками є орієнтація на самостійну роботу під контролем викладача.
Відомо, що при самостійному розв’язуванні задач більшість студентів потребують постійних консультацій щодо способів і методів їх розв’язування, оскільки знайти шлях до розв’язування задачі без допомоги викладача або відповідного посібника студенту не під силу. Такі консультації студент може знайти у цьому посібнику на початку кожного параграфа.
Кожна тема закріплюється вправами, різними за вимогами та складністю.
Спочатку вміщено завдання спрямувального характеру, потім складніші, тренувальні, завдання, які потребують ретельної самоперевірки або контролю з боку викладача.
Система вправ побудована так, що вона повністю охоплює закріплення і перевірку засвоєння теоретичного матеріалу та практичне його застосування, сприяє формуванню обчислювальних навичок.
Посібник пропонується студентам загальноосвітнього курсу для роботи на аудиторних заняттях та самостійної роботи дома, а також усім, хто хоче вдосконалити свої знання з названих тем.


13 LINK \l "зміст" 14До змісту15

§ 1 Трикутники, їх види та властивості. Формули для обчислення площі трикутника. Прямокутний трикутник
Трикутником називається геометрична фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. Точки називаються вершинами трикутника, а відрізки – його сторонами.

рис. 1
На рис. 1 зображено трикутник з вершинами А, В, С і сторонами АВ, ВС, АС. Такий трикутник позначають так:
·АВС. Кути 13 EMBED Equation.3 1415САВ, 13 EMBED Equation.3 1415АВС, 13 EMBED Equation.3 1415АСВ називаються кутами трикутника АВС. Їх ще позначають одною буквою 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Сторону ВС і кут А трикутника АВС називають протилежними. Протилежними також є сторона АС і кут В, сторона АВ і кут С. Кути А і С називаються прилеглими до сторони АС, відповідно кути В і С, А і В прилеглі до сторін ВС і АВ.
Периметром трикутника називається сума довжин його сторін 13 EMBED Equation.3 1415.
В будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін (нерівність трикутника), тобто 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Трикутники називаються рівними, якщо в них відповідні сторони рівні і відповідні кути рівні. Наприклад
·АВС =
·РMN, якщо АВ=NM, BC=РN, AC=MP, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 2).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
рис. 2
На кресленні рівні сторони відмічають рівною кількістю рисочок, а рівні кути – рівною кількістю дужок. У рівних трикутників проти рівних сторін лежать рівні кути, а проти рівних кутів лежать рівні сторони.
Ознаки рівності трикутників
Перша ознака рівності трикутників ( за двома сторонами і куту між ними).
Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Друга ознака рівності трикутників ( за стороною і прилеглими до неї кутами).
Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні й прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Третя ознака рівності трикутників ( за трьома сторонами).
Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Трикутник називається рівнобедреним, якщо в нього дві сторони рівні. Ці сторони називаються бічними сторонами, а третя сторона називається основою.

На рис. 3
·АВС – рівнобедрений, у нього АВ = ВС.






рис. 3
Трикутник, у якого всі сторони рівні називається рівностороннім або правильним.
Висотою трикутника називається перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону. На рис. 4 ВН – висота трикутника АВС.
Медіаною трикутника називається відрізок, що сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони. На рис. 4 АМ – медіана трикутника АВС.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
рис. 4
Бісектрисою трикутника називається відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони. На рис. 4 АL – бісектриса трикутника АВС.
Слід пам’ятати: в будь-якому трикутнику медіани перетинаються в одній точці; бісектриси перетинаються в одній точці; висоти або їх продовження перетинаються в одній точці. Точка перетину медіан трикутника – це центр тяжіння трикутника; точка перетину бісектрис трикутника – це центр кола, вписаного в трикутник; точка перетину висот (або їх продовжень) – це ортоцентр трикутника; точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника – це центр кола, описаного навколо трикутника. Ці чотири точки називають особливими точками трикутника.
Властивості рівнобедреного трикутника:
У рівнобедреному трикутнику кути при основі дорівнюють.
У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи є бісектрисою і висотою.
Ознака рівнобедреного трикутника:
Якщо в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.
Сума кутів трикутника дорівнює 18013 EMBED Equation.3 1415.
Зовнішнім кутом трикутника при даній вершині називається кут, суміжний з кутом трикутника при цій вершині. На рис. 5 13 EMBED Equation.3 1415 - зовнішній кут трикутника АВС.

В
А13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415D
рис. 5
Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх з ним не суміжних. На рис. 6 13 EMBED Equation.3 1415. Зовнішній кут трикутника більше від будь-якого внутрішнього кута не суміжного з ним.
Гострокутним трикутником називається трикутник, у якого всі кути гострі.
Тупокутним трикутником називається трикутник, у якого є тупий кут.
Прямокутним трикутником називається трикутник, у якого є прямий кут. На рис. 6
·АВС – прямокутний, у нього 13 EMBED Equation.3 1415. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 18013 EMBED Equation.3 1415, то в прямокутному трикутнику тільки один прямий кут, два інших – гострі. Сторона прямокутного трикутника, що лежить проти прямого кута, називається гіпотенузою, а дві інші сторони називаються катетами.
В
С13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 А
рис. 6
Теорема Піфагора. В прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:
13 EMBED Equation.3 1415.
З теореми Піфагора випливає:
1) будь-який з катетів менший за гіпотенузу;
2) квадрат катета дорівнює різниці квадратів гіпотенузи і іншого катета.
Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи:
13 EMBED Equation.3 1415.
Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
13 EMBED Equation.3 1415.
Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого катета: 13 EMBED Equation.3 1415.
Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного катета:
13 EMBED Equation.3 1415.
Із визначення тригонометричних функцій отримуємо наступні правила:
1) невідомий катет дорівнює добутку гіпотенузи на синус кута протилежного до цього катета або на косинус кута прилеглого до цього катета;
2) невідомий катет дорівнює добутку другого катета на тангенс кута протилежного до невідомого катета, або на котангенс кута прилеглого до невідомого катета;
3) гіпотенуза дорівнює відношенню катета до синуса кута протилежного до цього катета, або до косинуса кута прилеглого до цього катета.
Співвідношення між сторонами і кутами довільного (не прямокутного) трикутника дають теорема синусів і теорема косинусів.
Теорема косинусів: Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвійного добутку цих сторін на косинус кута між ними. Наприклад, в
·АВС (рис. 7) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 7
Теорема синусів: В довільному трикутнику відношення будь-якої сторони до синуса протилежного кута постійне і дорівнює діаметру кола описаного навколо цього трикутника: 13 EMBED Equation.3 1415.
Два трикутники називаються подібними, якщо їх кути рівні, а відповідні сторони пропорційні. На рис. 8
·АВС подібне до
·А13 EMBED Equation.3 1415В13 EMBED Equation.3 1415С13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Число 13 EMBED Equation.3 1415 називається коефіцієнтом подібності.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
рис. 8
Ознаки подібності трикутників
Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого, то такі трикутники подібні.
Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути, що містяться між цими сторонами є рівними, то такі трикутники подібні.
Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого, то такі трикутники подібні.
Середньою лінією трикутника називається відрізок, який сполучає середини двох його сторін. Середня лінія трикутника, яка сполучає середини двох його сторін, паралельна третій стороні і дорівнює її половині.
Площу S трикутника можна обчислювати за наступними формулами.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 9
1. Площа трикутника S дорівнює половині добутку його сторони на висоту, що проведено до цієї сторони: 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Площа трикутника S дорівнює половині добутку двох будь-яких сторін трикутника на синус кута між ними: 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Площа трикутника S за формулою Герона дорівнює: 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415- довжини сторін трикутника, а 13 EMBED Equation.3 1415 - полу периметр.
4. Площа трикутника S дорівнює: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 - радіус кола, вписаного в трикутник, а 13 EMBED Equation.3 1415- радіус кола, описаного навколо трикутника.
5. Площа прямокутного трикутника S дорівнює половині добутку його катетів: 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Площа правильного трикутника S дорівнює: 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415- сторона трикутника.
Завдання для розв’язування
1. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 3см і 4см. Знайдіть гіпотенузу цього трикутника. Пригадайте, як називається такий трикутник?
2. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 15см і 8см. Знайдіть довжину д гіпотенузи цього трикутника?
3. Знайдіть невідомий катет прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює 13см, а відомий катет 5см.
4. У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює 10см, а один з катетів 6см. Знайдіть другий катет.
5. У
·АВС 13 EMBED Equation.3 1415, АС=13см, ВС=12см. Знайдіть 13 EMBED Equation.3 1415.
6. У
·АОВ 13 EMBED Equation.3 1415, ОА=20см, АВ=29см. Знайдіть 13 EMBED Equation.3 1415.
7. У
·KLM 13 EMBED Equation.3 1415. LM=61см, КМ=60см. Знайдіть 13 EMBED Equation.3 1415.
8. У
·AMN 13 EMBED Equation.3 1415. AM=40см, AN=9см. Знайдіть 13 EMBED Equation.3 1415.
9. Знайдіть невідомі сторони й гострі кути прямокутного трикутника за такими даними:
1) за двома катетами: а) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
2) за гіпотенузою і катетом: а) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
3) за гіпотенузою і гострим кутом: а) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
4) за катетом і протилежним кутом: а) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
5) за катетом і прилеглим кутом: а) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
10. Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо вони відносяться як 2:1, а гіпотенуза дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415см.
11. Знайдіть висоту рівностороннього трикутника, сторона якого дорівнює 6см.
12. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо відстані від її середини до катетів дорівнюють 5см і 12см.
13. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 70см, а висота проведена до неї 12см. Знайдіть периметр трикутника.
14. Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює 6см, другий катет дорівнює 8см. Знайдіть довжину медіани, проведеної до гіпотенузи.
15. В прямокутному трикутнику висота і медіана, проведені до гіпотенузи відповідно дорівнюють 24см і 25см. Знайдіть периметр трикутника.
16. Трикутник, периметр якого дорівнює 24см, поділяється відрізком, який з’єднує вершину трикутника з точкою на протилежній стороні, на два трикутники, периметри яких дорівнюють 12см і 20см. Знайдіть довжину цього відрізку.
17. В
·АВС проведено відрізок AD таким чином, що 13 EMBED Equation.3 1415, АВ = 4см, АС = 7см. Знайдіть периметр трикутника АВС, якщо периметри трикутника АВD дорівнює 12см.
18. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 10см, а основа дорівнює 4см. Знайдіть довжину бічної сторони цього трикутника.
19. Периметр рівнобедреного трикутника АВС з основою ВС дорівнює 50см, а периметр рівностороннього трикутника ВСD дорівнює 72см. Знайдіть сторони АВ і ВС.
20. Знайдіть кути трикутника, якщо вони пропорційні числам 1, 2, 3.
21. Один із кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 11013 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть інші кути цього трикутника.
22. Доведіть, що якщо один із кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 6013 EMBED Equation.3 1415, то цей трикутник рівносторонній.
23. В трикутнику АВС кут А вдвічі більший від кута В, а 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 цього трикутника.
24. Знайдіть гострі кути прямокутного рівнобедреного трикутника.
25. Знайдіть кути трикутника, якщо один із його кутів втричі більше другого і в п’ять разів більше третього.
26. Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника утворює з протилежною стороною кути, один з яких дорівнює 7013 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть чому дорівнюють гострі кути цього трикутника.
27. У
·АВС проведено бісектриси ВМ і СN, які перетинаються в точці К. Знайдіть кут ВКС, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
28. У трикутнику АВС 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть під яким кутом перетинаються висоти АЕ і СD цього трикутника.
29. Доведіть, що в прямокутному трикутнику катет, що лежить навпроти кута в 3013 EMBED Equation.3 1415, дорівнює половині гіпотенузи.
30. Доведіть, що в прямокутному трикутнику медіана, яку проведено до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи.
31. Сторони трикутника дорівнюють 7см, 6см і 5см. Знайдіть периметр трикутника, вершинами якого є середини сторін даного трикутника.
32. DE – є середня лінія трикутника АВС, де точки D і Е лежать на сторонах ВС і АС відповідно. Знайдіть довжину сторони АВ, якщо вона на 9см більше ніж DE.
33. Сторони трикутника дорівнюють 10см, 15см і 20см. Знайдіть сторони подібного йому трикутника, периметр якого дорівнює 90см.
34. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо дві інші сторони дорівнюють 1см і 13 EMBED Equation.3 1415 см і утворюють кут 13513 EMBED Equation.3 1415.
35. З’ясуйте яким є вид трикутника (відносно кутів), якщо його сторони дорівнюють 11см, 17см і 21см.
36. Один із кутів трикутника дорівнює 6013 EMBED Equation.3 1415, сторони, що є прилеглими до цього кута, дорівнюють 22см і 48см. Знайдіть медіану проведену до третьої сторони.
37. Сторона трикутника дорівнює 20см, а прилеглі до неї кути дорівнюють 3013 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть інші сторони трикутника.
38. Знайдіть площу правильного трикутника зі стороною 3см.
39. Сторона трикутника дорівнює 8см, а висота, проведена до цієї сторони – 4,5см. Знайдіть площу трикутника.
40. Знайдіть площу прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють 6см і 9см.
41. Знайдіть площу трикутника, дві сторони якого дорівнюють 4см і 7см, а кут між ними: 1) 3013 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
42. Знайдіть площу трикутника зі сторонами 26см, 28см і 30см.
43. Площа трикутника дорівнює 84см13 EMBED Equation.3 1415. Знайти висоту цього трикутника, проведену до сторони довжиною 8см.
44. Знайдіть найменшу висоту трикутника, сторони якого дорівнюють 7см, 8см і 9см.
45. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, основа якого дорівнює 6см, а бічна сторона – 5см.
46. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 9см і 12см. Знайти висоту трикутника, що проведена до гіпотенузи.
47. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 3013 EMBED Equation.3 1415, а його площа – 150см13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть сторони трикутника.
48. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 25см, а висота, опущена на основу, - 20см. Обчисліть площу трикутника.
49. Висота рівнобедреного трикутника, опущена на бічну сторону, ділить її на два відрізки 7 і 18см, починаючи від вершини, яка протилежна основі. Обчисліть площу трикутника.
50. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 80см, а бічна сторона – 25см. Обчисліть площу трикутника.
51. Знайдіть площу рівнобедреного прямокутного трикутника з гіпотенузою 213EMBED Equation.31415см.
52. Середні лінії прямокутного трикутника паралельні катетам дорівнюють 4см і 3см. Обчисліть площу цього трикутника.
53. Висота прямокутного трикутника, опущена на гіпотенузу, ділить її на відрізки 16 і 9см. Обчисліть площу трикутника.
54. Дві сторони трикутника дорівнюють 25 і 40см, а висота, опущена на третю сторону, дорівнює 24см. Обчисліть площу трикутника.
55. Гіпотенуза і катет прямокутного трикутника відносяться, як 5:4, а другий катет дорівнює 15см. Обчисліть площу трикутника.
56. Різниця катетів прямокутного трикутника дорівнює 2см, а гіпотенуза – 10см. Обчисліть площу трикутника.
57. Знайдіть висоти трикутника зі сторонами 13см, 14см і 15см.
58. У
·АВС BD – висота, проведена на сторону АС. Знайдіть величину відрізку CD, якщо AD = 3см, BD = 4см, а площа трикутника АВС дорівнює 28см13 EMBED Equation.3 1415.
59. У трикутнику АВС АВ = 13 EMBED Equation.3 1415см, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть площу трикутника АВС.
60. Площа правильного трикутника дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415см13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть довжину бісектриси цього трикутника.
61. Знайдіть бічну сторону рівнобедреного трикутника, якщо його основа дорівнює 18см, а площа трикутника 108см13 EMBED Equation.3 1415.
62. Знайдіть сторони трикутника, якщо вони відносяться як 9:10:17, а площа трикутника дорівнює 144см13 EMBED Equation.3 1415.
63. Знайдіть площу трикутника, основа якого дорівнює 2см, а кути при основі 3013 EMBED Equation.3 1415 і 4513 EMBED Equation.3 1415.
64. Основа трикутника дорівнює 10см, а медіани двох інших сторін дорівнюють 9см і 12см. Знайдіть площу трикутника.
65. Площа трикутника АВС дорівнює 20см13 EMBED Equation.3 1415, а сторони АВ і ВС відповідно дорівнюють 10см і 8см. Знайдіть величину кута В.














13 LINK \l "зміст" 14До змісту15
§ 2 Чотирикутники. Їх види та властивості. Формули для обчислення площ
Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатись. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають, – сторонами чотирикутника. Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Вершини, які не є сусідніми називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями.
Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами.
B
A13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415D
рис. 10
У чотирикутника АВСD на рис. 10 точки А, В, С, D – його вершини, АВ, АС, ВС, АD – сторони чотирикутника АВСD. Вершини А і В, В і С, С і D, D і А – сусідні (суміжні) вершини. Вершини А і С, В і D – протилежні вершини. Відрізки АС і ВD є діагоналями чотирикутника АВСD. Сторони АВ і СD, ВС і АD є протилежними.
Сума довжин усіх сторін чотирикутника називається периметром:13 EMBED Equation.3 1415.
Паралелограмом називається чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні, тобто лежать на паралельних прямих. На рис. 11 АВСD – паралелограм, т. я. АВ
·СD, AD
·BC.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 11
Ознаки паралелограма
Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і в точці перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник – паралелограм.
Якщо у чотирикутника дві сторони паралельні і рівні, то цей чотирикутник – паралелограм.
Якщо у чотирикутника протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник – паралелограм.
Властивості паралелограма
У паралелограма (рис. 11):
1. Протилежні сторони рівні (АВ=СD і АD=ВС).
2. Протилежні кути рівні (13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415).
3. Діагоналі перетинаються і в точці перетину діляться навпіл (АО=ОС і
ВО= ОD).
Кожна діагональ розбиває паралелограм на два рівних трикутника (
·АВС=
·CDA і
·ABD=
·CDB).
Сума кутів, прилеглих до однієї сторони дорівнює 18013 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415).
Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін, тобто: 13 EMBED Equation.3 1415.
Відстані між паралельними сторонами паралелограма називаються висотами паралелограма. На рис. 12 BL і MN – висоти паралелограма АВСD.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 12
Площу S паралелограма можна обчислювати за наступними формулами:
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 13
1. Площа паралелограма дорівнює добутку його сторони на висоту, що проведено до цієї сторони: 13 EMBED Equation.3 1415(рис. 13).
2. Площа паралелограма дорівнює добутку двох будь-яких сторін паралелограма на синус кута між ними: 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 13).
3. Площа паралелограма дорівнює половині добутку діагоналей паралелограма на синус кута між ними: 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 14).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 14
Прямокутником називається паралелограм, у якого всі кути прямі. На рис. 15 паралелограм АВСD – прямокутник, так як 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 15
Ознаки прямокутника
Якщо у паралелограма один з кутів прямий, то цей паралелограм є прямокутником.
Якщо діагоналі паралелограма рівні між собою, то цей паралелограм є прямокутником.
Властивості прямокутника
Прямокутник має всі властивості паралелограма, крім того, діагоналі прямокутника рівні.
Площу S прямокутника можна обчислювати за наступними формулами:
Площа прямокутника S дорівнює добутку двох його суміжних сторін: 13 EMBED Equation.3 1415(рис. 16).
Площа прямокутника S дорівнює половині добутку квадрата його діагоналі на синус кута між діагоналями: 13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 16
Ромбом називається паралелограм, у якого всі сторони рівні. На рис. 17 паралелограм АВСD – ромб, так як АВ = ВС = CD = DA.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 17
Ознаки ромба
Якщо у паралелограма діагоналі перпендикулярні, то цей паралелограм – ромб.
Якщо у чотирикутника сторони рівні, то цей чотирикутник – ромб.
Властивості ромба
Діагоналі ромба взаємно перпендикулярні (АС13 EMBED Equation.3 1415ВD).
Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.
Площу S ромба знаходиться за формулами:
Площу S ромба дорівнює добутку квадрата сторони на синус кута ромба
13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 18).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 18
2. Площа S ромба дорівнює половині добутку діагоналей ромба: 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 18).
Квадратом називається прямокутник, у якого всі сторони рівні. (Інше визначення: Квадратом називається ромб, у якого всі кути прямі). На рис. 19 зображено квадрат АВСD.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 19
Властивості квадрата
1. У квадрата всі кути прямі.
2. Діагоналі квадрата рівні.
3. Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом і є бісектрисами його кутів. Кожна діагональ квадрата утворює зі стороною кут 4513 EMBED Equation.3 1415 (рис. 20).
4. Діагональ квадрата більше його сторони в 13 EMBED Equation.3 1415 разів.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 20
Площа квадрата S дорівнює квадрату його сторони: 13 EMBED Equation.3 1415 і половині квадрата його діагоналі 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 21).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 21
Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони називаються основами трапеції. Дві інші сторони називаються бічними сторонами. Висотою трапеції називається відстань між її основами. На рис. 22 зображено трапецію АВСD, ВС і AD – основи трапеції, АВ і CD – бічні сторони, MN – висота трапеції АВСD.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис.22
Властивість трапеції
Сума кутів трапеції, прилеглих до бічної сторони дорівнює 18013 EMBED Equation.3 1415.
Рівнобокою (рівнобедреною) називається трапеція, у якої бічні сторони рівні (рис. 23). У рівнобокої трапеції (рис. 23) кути при основі рівні і діагоналі рівні.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 23
Прямокутною трапецією називається трапеція, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основи. Ця бічна сторона є висотою трапеції (рис 24).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 24
Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається середньою лінією трапеції. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі. На рис. 25 MN – середня лінія трапеції АВСD.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 25
Площа S трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту: 13 EMBED Equation.3 1415 або добутку середньої лінії на висоту 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 26).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 26
Завдання для розв’язування
66.Діагональ паралелограма утворює з двома його сторонами кути 1513 EMBED Equation.3 1415 і 4513 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть кути паралелограма.
Знайдіть всі внутрішні кути паралелограма, якщо сума двох із них дорівнює 12013 EMBED Equation.3 1415.
Бісектриса гострого кута паралелограма перетинає його сторону під кутом 2813 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть кути паралелограма.
Периметр паралелограма дорівнює 64см. Знайдіть довжини його сторін, якщо сума двох з них дорівнює 48см.
Діагональ паралелограма поділяє його кут на частини, які дорівнюють 9013 EMBED Equation.3 1415 і 3013 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює 96см.
Гострий кут паралелограма дорівнює 6013 EMBED Equation.3 1415, а його сторони – 10 і 16см. Знайдіть меншу діагональ паралелограма.
Висота паралелограма, проведена з вершини тупого кута, дорівнює 6см і ділить сторону паралелограма навпіл. Знайдіть меншу діагональ паралелограма, якщо його гострий кут дорівнює 3013 EMBED Equation.3 1415.
Бісектриса одного з кутів прямокутника поділяє його сторону навпіл. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його більша сторона дорівнює 22см.
Знайдіть периметр прямокутника АВСD, якщо бісектриса кута А ділить: 1)сторону ВС на відрізки 6см і 10см; 2) сторону DC на відрізки 5см і 12см.
В прямокутнику АВСD діагоналі перетинаються в точці О. Знайдіть периметр трикутника АОВ, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, АС = 18см.
Периметр прямокутника дорівнює 72см. Знайдіть сторони прямокутника, якщо: 1) одна сторона на 6см більше від другої; 2) різниця двох сторін дорівнює 14см; 3) одна зі сторін у п’ять разів більша за другу.
У прямокутнику діагональ утворює зі стороною кут 4013 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть гострий кут між діагоналями цього прямокутника.
У ромбі АВСD 13 EMBED Equation.3 1415, АС = 18см. Знайдіть периметр ромба.
Кути, які діагоналі ромба утворюють з однією з його сторін, відносяться як 2:7. Знайдіть кути ромба.
Знайдіть кути ромба, у якого висота, проведена з вершини тупого кута ділить протилежну сторону навпіл.
Периметр ромба дорівнює 100см, а його діагоналі відносяться як 3 : 4. Знайдіть висоту ромба.
У рівнобедрений прямокутний трикутник, катет якого дорівнює 5см, вписано квадрат, який має з трикутником спільний кут. Знайдіть периметр квадрата.
Знайдіть кути В і D трапеції АВСD з основами AD і ВС, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Бісектриси кутів при більшій основі трапеції є перпендикулярними до бічних сторін. Знайдіть кути трапеції.
У рівнобокої трапеції висота, яку проведено з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки 5см і 10см. Знайдіть відношення основ трапеції.
Знайдіть периметр рівнобокої трапеції, якщо її більша основа дорівнює 8см, бічна сторона 6см, а кут між ними дорівнює 6013 EMBED Equation.3 1415.
Знайдіть периметр рівнобокої трапеції, якщо її гострий кут дорівнює 6013 EMBED Equation.3 1415, а довжини основ дорівнюють 8см і 4см.
Основи прямокутної трапеції дорівнюють 4см і 7см, а один із кутів 13513 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть меншу бічну сторону.
Середня лінія рівностороннього трикутника розбиває його на чотирикутник і трикутник. Доведіть, що чотирикутник – трапеція і знайдіть її периметр, якщо сторона трикутника 10см.
Сума основ прямокутної трапеції дорівнює 41см, а їх різниця – 9см. Обчисліть периметр трапеції, якщо її висота дорівнює 12см.
Основи прямокутної трапеції дорівнюють 6см і 15см, а діагональ є бісектрисою тупого кута. Обчисліть периметр трапеції.
У рівнобокої трапеції FKPE відомо, що FK = EP = 9см, FE = 20см, KP = 8см. Знайдіть тангенс кута F трапеції.
Знайдіть висоту рівнобокої трапеції, якщо її діагональ перпендикулярна до бічної сторони, а різниця квадратів основ дорівнює 100.
Діагоналі прямокутної трапеції взаємно перпендикулярні і більша з них точкою перетину ділиться на відрізки, які дорівнюють 2см і 8см. Знайдіть основи трапеції.
Знайдіть площу паралелограма, сторона якого дорівнює 18см, а висота, проведена до цієї сторони, – 7см.
Знайдіть площу паралелограма, сторони якого 9см і 12см, а кут між ними дорівнює 6013 EMBED Equation.3 1415.
Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють 12см і 8см.
Одна із сторін прямокутника дорівнює 12см, а його площа – 168см13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть другу сторону прямокутника.
Знайдіть площу квадрата, периметр якого дорівнює 12см.
Знайдіть сторону квадрата, якщо його площа дорівнює 196см13 EMBED Equation.3 1415.
Площа паралелограма дорівнює 48см13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть відстань між сторонами паралелограма, довжини яких 6см.
Одна із сторін паралелограма дорівнює 4см, а висота, проведена до другої сторони, – 8см. Знайдіть невідомі сторони і висоту паралелограма, якщо його площа дорівнює 96см13 EMBED Equation.3 1415.
Сторони паралелограма дорівнюють 9см і 12см, а одна із його висот – 4см. Знайдіть другу висоту паралелограма. Скільки розв’язків має задача?
Знайдіть площу ромба, сторона якого 13 EMBED Equation.3 1415см, а один з кутів - 12013 EMBED Equation.3 1415.
Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 8см і 5см.
Площа ромба 48 см2. Одна діагональ 8см. Обчисліть довжину другої діагоналі.
Обчисліть площу трапеції, основи якої дорівнюють 8см і 11см, а висота – 4см.
Площа трапеції дорівнює 168см13 EMBED Equation.3 1415, одна з її основ – 15см, а висота – 9см. Знайдіть другу основу трапеції.
Площа трапеції дорівнює 24см13 EMBED Equation.3 1415, а її висота – 4см. Знайдіть основи трапеції, якщо вони відносяться як 1:5.
Периметр паралелограма дорівнює 112см, відстань між більшими сторонами – 12см, між меншими сторонами – 30см. Знайдіть площу паралелограму.
Дві сторони паралелограма дорівнюють 8см і 12см, а сума двох нерівних висот дорівнює 15см. Знайдіть площу паралелограма.
Знайдіть площу паралелограма, якщо його діагоналі дорівнюють 3см і 5см, а гострий кут паралелограма дорівнює 6013 EMBED Equation.3 1415.
Бісектриса кута паралелограма, який дорівнює 3013 EMBED Equation.3 1415, ділить його сторону на відрізки 18см і 12см, рахуючи від вершини протилежного кута. Знайдіть площу паралелограма.
Знайдіть площу ромба, якщо його сторона 15см, а сума діагоналей – 42см.
Кути ромба відносяться як 1:3, а його сторона дорівнює 8см. Знайдіть площу ромба.
Сторона прямокутника 8см і утворює з діагоналлю кут 3013 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть площу прямокутника.
Периметр прямокутника дорівнює 28см, а різниця його суміжних сторін дорівнює 2см. Визначіть площу прямокутника.
Знайдіть площу прямокутника, у якого периметр і діагональ відповідно дорівнюють 70см і 27см.
Бісектриси кутів А і D прямокутника АВСD поділяють сторону ВС на три рівні частини. Знайдіть площу прямокутника, якщо його периметр дорівнює 60см.
Знайдіть площу квадрата, діагональ якого дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415см.
Точка М діагоналі квадрата віддалена від двох його сторін на 2,8см і 1,7см. Знайдіть площу квадрата.
Обчисліть площу прямокутника, діагональ якого дорівнює 8см і утворює з основою кут 600.
У рівнобічної трапеції більша сторона дорівнює 44см, бічна сторона – 17см, а діагональ – 39см. Знайдіть площу трапеції.
Знайдіть площу трапеції, у якої паралельні сторони дорівнюють 60см і 20см, а непаралельні – 13см і 37см.
Основи рівнобокої трапеції дорівнюють 50см і 14см, діагональ перпендикулярна до бічної сторони. Знайдіть площу трапеції.
Знайдіть площу рівнобокої трапеції, якщо її діагональ дорівнює 10см і утворює з основою кут, косинус якого дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайдіть площу рівнобокої трапеції, якщо її висота дорівнює 3см, а тангенс кута який утворює діагональ з більшою основою дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415.



















13 LINK \l "зміст" 14До змісту15
§ 3 Коло і круг. Площа круга та довжина кола. Формули для знаходження радіусів кіл, вписаних в многокутник і кіл, описаних навколо многокутника
Колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки. Ця точка називається центром кола (рис. 27).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 27
Відстань від точок кола до його центра називається радіусом кола. Радіусом також називається будь-який відрізок, що сполучає точку кола з його центром.
Відрізок, що сполучає дві точки кола, називається хордою. Хорда, що проходить через центр, називається діаметром. На рис. 29 ОА, OD, OF – радіуси, ВС – хорда, FD – діаметр.
Відношення довжини кола до його діаметра не залежить від кола, тобто одне й те саме для будь-яких двох кіл. Це відношення прийнято позначати грецькою буквою 13 EMBED Equation.3 1415. Отже, довжина кола обчислюється за формулою 13 EMBED Equation.3 1415.
Кругом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, відстань від яких до даної точки не більша за дану. Ця точка називається центром круга, а дана відстань – радіусом круга. Іншими словами, кругом називається частина площини, обмежена колом (рис. 28).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 28
Площа круга обчислюється за формулою 13 EMBED Equation.3 1415.
Пряма, що проходить через точку кола перпендикулярно до радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичною. При цьому дана точка кола називається точкою дотику. На рис. 29 АВ – дотична, А – точка дотику.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 29
Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на деякому колі (рис. 30). Коло при цьому називається описаним навколо многокутника.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 30
Многокутник називається описаним навколо кола, якщо всі його вершини дотикаються до деякого кола (рис. 31). При цьому коло називається вписаним у многокутник.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 31
Правильний опуклий многокутник завжди можна вписати у коло і навколо нього описати коло. Радіус R описаного кола і радіус r вписаного кола для правильного многокутника із стороною 13 EMBED Equation.3 1415і кількістю сторін 13 EMBED Equation.3 1415 знаходиться за формулами: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Навколо будь-якого трикутника можна описати коло і тільки одне. Центр кола, описаного навколо трикутника, є точкою перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника (рис. 32).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 32
Радіус кола описаного навколо довільного трикутника можна обчислити за формулами: 13 EMBED Equation.3 1415.
Центр кола, описаного навколо гострокутного трикутника, знаходиться всередині трикутника (рис. 33 а), навколо тупокутного трикутника – зовні трикутника (рис. 33 б), навколо прямокутного трикутника – на середині його гіпотенузи (рис. 33 в).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 33
а) б) в)
Радіус кола описаного навколо прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи: 13 EMBED Equation.3 1415.
В будь-який трикутник можна вписати коло і тільки одне. Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис (рис. 34). Радіус кола вписаного в довільний трикутник можна обчислити за формулою 13 EMBED Equation.3 1415. Для прямокутного трикутника: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 34
Центри кіл вписаного у правильний трикутник і описаного навколо нього співпадають, це є точка перетину його медіан, а радіуси цих кіл знаходяться за формулами: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 . На рис. 35 О – центр кола вписаного і описаного навколо трикутника АВС. АО – радіус описаного кола, ОD – радіус вписаного кола.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис.35
У чотирикутник можна вписати коло тоді і тільки тоді, якщо суми його протилежних сторін рівні між собою. На рис. 36 коло вписане у чотирикутник АВСD: АВ+CD = AD+BC. Доречи, вписати коло можна у ромб, квадрат, а також трапецію, у якої сума основ дорівнює сумі бічних сторін.

рис. 36
Навколо чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 18013 EMBED Equation.3 1415 (рис. 37.): 13 EMBED Equation.3 1415. Доречи, описати коло можна навколо прямокутника, квадрата, рівнобічної трапеції.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 37
Завдання для розв’язування
Із деякої точки на колі проведено діаметр і хорду, яка дорівнює радіусу кола. Знайдіть кут між ними.
Із деякої точки кола проведені дві хорди, які дорівнюють радіусу кола. Знайдіть кут між ними.
Дано три кола з центрами в точках О13 EMBED Equation.3 1415, О13 EMBED Equation.3 1415, О13 EMBED Equation.3 1415 і радіусами відповідно 1см, 3см, 5см які мають зовнішній дотик. Знайдіть периметр трикутника О13 EMBED Equation.3 1415О13 EMBED Equation.3 1415О13 EMBED Equation.3 1415.
Два кола з діаметрами 8см і 14см дотикаються. Знайдіть відстань між їх центрами у випадку зовнішнього і внутрішнього дотику.
Хорда довжиною 66см віддалена від центра кола на 56см. Знайдіть діаметр кола.
Із деякої точки проведено до кола дві взаємно перпендикулярні дотичні, радіус кола дорівнює 15см. Знайдіть довжини дотичних.
Кінці діаметра віддалені від дотичної до кола на 5см і 15см. Знайдіть довжину діаметра.
Два кола, радіуси яких дорівнюють 8см і 18см, мають зовнішній дотик. Пряма дотикається кіл в точках А і В. Знайдіть довжину відрізка АВ.
Радіус кола дорівнює 5см. Із точки віддаленої від центра кола на 10см, проведені дві дотичні до кола. Знайдіть довжини дотичних і кут між ними.
Знайти відстань від центра кола до точки, з якої виходять січна і дотична, якщо вони відповідно дорівнюють 8см і 4см, а січна віддалена від центра кола на 12см.
Доведіть, що сторона трикутника, яка лежить проти кута 3013 EMBED Equation.3 1415, дорівнює радіусу кола, описаного навколо цього трикутника.
Радіус круга дорівнює 5см. Знайдіть площу круга і довжину кола, що його обмежує.
Знайдіть площу круга, якщо довжина кола, що його обмежує, дорівнює 813EMBED Equation.DSMT41415м.
Площа круга 1613 EMBED Equation.3 1415см13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть діаметр круга.
Діаметр кола, описаного навколо прямокутного трикутника з катетом 12см, дорівнює 13см. Знайдіть другий катет трикутника.
Катети прямокутного трикутника дорівнюють 18 та 24см. Обчисліть радіуси описаного і вписаного кола.
Гіпотенуза і катет прямокутного трикутника відносяться як 5:4, а другий катет дорівнює 12см. Знайдіть площу вписаного круга.
Знайдіть радіуси описаного і вписаного кола для трикутника із сторонами 13см, 14см, 15см.
Сторона трикутника дорівнює 20см, а протилежний їй кут – 15013 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть площу кола описаного навколо трикутника.
Бічна сторона рівнобедреного трикутника 6см, а висота, проведена до основи , 4см. Знайдіть площу описаного круга.
Знайдіть радіус вписаного і радіус описаного кіл для рівнобедреного трикутника з основою 10см і бічною стороною 13см.
Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 12см, а висота, проведена до основи, дорівнює 8см. Знайдіть радіус кола, вписаного в цей трикутник.
Висота, проведена до основи рівнобедреного трикутника, дорівнює 32см, а діаметр кола, описаного навколо трикутника дорівнює 50см. Знайдіть периметр трикутника.
Кут навпроти основи рівнобедреного трикутника, дорівнює 12013 EMBED Equation.3 1415,бічна сторона дорівнює 8см. Знайдіть діаметр кола, описаного навколо цього трикутника.
Знайдіть радіуси описаного і вписаного кола для правильного трикутника зі стороною 6см.
Радіус кола, вписаного у правильний трикутник, дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415см. Знайдіть площу цього трикутника.
Периметр правильного трикутника дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415см. Знайдіть радіус кола, вписаного в цей трикутник.
Знайдіть площу правильного трикутника, вписаного в коло радіуса 2см.
Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника АВС, якщо відомо, АВ=20см, 13 EMBED Equation.3 1415.
Висота, проведена до сторони трикутника, дорівнює 48см і ділить її на відрізки 20см і 36см. Знайдіть діаметр описаного кола.
Знайдіть довжину діаметра кола, описаного навколо трикутника, дві сторони якого 8см і 6см, а висота, проведена до третьої сторони, дорівнює 4см.
Радіус кола вписаного у прямокутний трикутник, дорівнює 4см, а катет трикутника 12см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо цього трикутника.
У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, дорівнює 32см. Обчисліть периметр цього трикутника, якщо довжина описаного навколо нього кола дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415см.
Знайдіть площу круга описаного навколо прямокутника, сторони якого дорівнюють 6см та 8см.
Сторони прямокутника дорівнюють 33см і 56см. Знайдіть довжину кола, описаного навколо прямокутника.
Знайдіть площу круга, описаного навколо прямокутника, менша сторона якого дорівнює 30см, а кут між діагоналями дорівнює 6013 EMBED Equation.3 1415.
Два кола радіуса R вписано у прямокутник таким чином, що вони торкаються одне одного і кожне торкається трьох сторін прямокутника. Знайдіть площу прямокутника.
У коло радіуса 5см вписано прямокутник, периметр якого дорівнює 28см. Знайдіть площу цього прямокутника.
Знайдіть площу круга, вписаного у квадрат, сторона якого дорівнює 10см.
Обчисліть площу круга, описаного навколо квадрата, сторона якого дорівнює 3см.
Знайдіть відношення площі круга, описаного навколо квадрата, до площі круга, вписаного в нього.
Знайдіть периметр квадрата, який має таку ж саму площу, що й коло, довжина якого дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415.
Навколо трикутника зі стороною 3см описано коло; навколо цього кола описано квадрат, а навколо нього – коло. Знайдіть радіус кола, описаного навколо квадрата.
Знайдіть площу круга, вписаного у ромб, діагоналі якого дорівнюють 6см і 8см.
Обчисліть довжину кола вписаного у ромб, діагоналі якого дорівнюють 15см і 20см.
Знайдіть радіус круга, вписаного у ромб, якщо сторона ромба дорівнює 10см, а одна з його діагоналей дорівнює 12см.
Сторона ромба 8см, а гострий кут дорівнює 6013 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть площу круга, вписаного в ромб.
У ромб вписано коло, довжина якого дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415см. Знайдіть периметр ромба, якщо сума його діагоналей дорівнює 70см.
Навколо кола діаметром 12см описано рівнобічну трапецію, бічна сторона якої дорівнює 13см. Знайдіть площу трапеції.
Основи рівнобічної трапеції 18с і 32см. Знайдіть площу круга, вписаного у цю трапецію.
Навколо кола радіуса 2см описано рівнобічну трапецію з гострим кутом 3013 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть середню лінію трапеції.
Знайдіть радіус кола, вписаного у рівнобоку трапецію, якщо середня лінія трапеції дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415см, а косинус кута при основі трапеції дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415.
Точка дотику кола, вписаного в рівнобічну трапецію, ділить бічну сторону трапеції у відношенні 9:4. Обчислити периметр трапеції, якщо довжина вписаного в неї кола дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415см.
У рівнобічної трапеції довжини основ дорівнюють 21см і 9см, а довжина висоти – 8см. Знайдіть площу круга, описаного навколо трапеції.
Основи рівнобічної трапеції 22см і 42см, бічна сторона – 26см. Знайдіть площу круга, описаного навколо трапеції.
В коло вписано опуклий чотирикутник, у якого довжини сторін 1см, 13 EMBED Equation.3 1415см і 13 EMBED Equation.3 1415см. Знайдіть кути чотирикутника.
Вершини опуклого чотирикутника АВСD лежать на колі. Відомо, що 13 EMBED Equation.3 1415. Довести, що 13 EMBED Equation.3 1415.



13 LINK \l "зміст" 14До змісту15
§ 4 Декартові координати на площині
Декартова прямокутна система координат на площині задається двома взаємно перпендикулярними осями: вісь 13 EMBED Equation.3 1415 – вісь абсцис і вісь 13 EMBED Equation.3 1415 – вісь ординат (рис. 38). Точка їх перетину О – початок координат.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 38
Кожній точці А площини відповідають два числа (рис. 39) 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, які називаються декартовими координатами, відповідно абсцисою і ординатою точки А і записують 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 39
Якщо задано дві точки А13 EMBED Equation.3 1415 і В13 EMBED Equation.3 1415 і С – середина відрізку АВ, то координати точки С знаходяться за формулами: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Відстань між точками А і В знаходиться за формулою: 13 EMBED Equation.3 1415.
Завдання для розв’язування
Знайдіть координати середини відрізка АВ, якщо А(1; 2), В(3; 4).
Точка С – середина відрізка АВ. Знайдіть координати точки А, якщо В(-1;3), С(-2; 2).
Доведіть, що чотирикутник АВСD з вершинами у точках А(2; 5), В(18; 13), С(16; 9), D(0; 1) є паралелограмом.
Дано три вершини паралелограма АВСD: А(-3; -1), В(-2; 3), С(3; 3). Знайдіть координати четвертої вершини D.
Дано точки А(-2; 5), В(2; 7), С(4; 3). Знайдіть координати кінців середньої лінії трикутника АВС, яка паралельна до сторони АС.
Дано координати вершин трикутника АВС: А(4; -2), В(1; 2), С(-3; 6). Знайдіть координати точки М, яка є серединою медіани
·АВС, проведеної з вершини А.
Дано вершини трикутника АВС: А(5; -4), В(-1; 4), С(5; 4). Знайдіть периметр
·АВС.
Знайти медіану АМ трикутника АВС, вершини якого мають координати А(0; 1), В(1; -4), С(5; 2).
Дано точки А(-2; 2), В(2; 5), С(-1; 9). Доведіть , що трикутник АВС рівнобедрений.
На площині задано точки А(3; 6), В(-2; 4), С(1; -2). Доведіть, що ці точки лежать на одній прямій.
Доведіть, що трикутник, з вершинами у точках А(7; 3), В(11; -3), С(10; 5), – прямокутний.
Знайдіть медіану ВМ трикутника АВС, вершини якого мають координати: А( 4; -2), В(-2; -2), С(-2; 6).
Знайдіть координати точки М, яка лежить на осі 13 EMBED Equation.3 1415 і рівновіддалена від точок А(-4; 7) і В(8; 3).
Доведіть, що середина гіпотенузи прямокутного трикутника рівновіддалена від усіх його вершин.







13 LINK \l "зміст" 14До змісту15
§ 5 Вектори на площині. Дії над векторами
Вектором називається напрямлений відрізок. На рис. 40 13 EMBED Equation.3 1415 – вектор, А – начало вектора, В – кінець вектора.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 40
Довжиною вектора (модулем, абсолютною величиною) називається довжина відрізка, який зображує цей вектор. 13 EMBED Equation.3 1415. Вектор, довжина якого дорівнює 1, називається одиничним вектором (ортом) і позначається 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вектор, у якого початок співпадає з кінцем називається нульовим вектором і позначається 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Напрям у нульового вектора не визначається.
У будь-якого ненульового вектора є дві характеристики: довжина і напрям.
Ненульові вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. На рис. 41 вектори 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – колінеарні. Нульовий вектор є колінеарним будь-якому вектору.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 41
Ненульові вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 називаються однаково напрямленими (співнапрямленими), якщо вони колінеарні і напрямлені в одну сторону (рис. 41). Ненульові вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 називаються протилежно напрямленими, якщо вони колінеарні і напрямлені в протилежні сторони (рис. 41).
Вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину і однаковий напрям (рис. 42).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 42
Вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 називаються протилежними, якщо вони мають однакову довжину і протилежний напрям (рис. 43). Вектор, протилежний вектору 13 EMBED Equation.3 1415, позначається 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 43
Від будь-якої точки А можна відкласти вектор, рівний даному вектору 13 EMBED Equation.3 1415, і до того ж тільки один.
Сумою двох векторів 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 називаються третій вектор 13 EMBED Equation.3 1415, початок якого співпадає з началом вектора 13 EMBED Equation.3 1415, а кінець – з кінцем вектора 13 EMBED Equation.3 1415, при умові, що кінець вектора 13 EMBED Equation.3 1415 співпадає з початком вектора 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 44). Це правило називається правилом трикутника.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 44
Вектори можна додавати також за правилом паралелограма (рис. 45): відкласти два вектора від одної точки, тоді вектор суми цих векторів буде співпадати з діагоналлю паралелограма, побудованого на цих векторах.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 45
Основні властивості суми векторів
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415.
Різницею векторів 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 називаються такий вектор 13 EMBED Equation.3 1415, сума якого з вектором 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює вектору 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 46). Різницю векторів 13 EMBED Equation.3 1415 можна замінити сумою вектора 13 EMBED Equation.3 1415 з вектором протилежним до вектора 13 EMBED Equation.3 1415, тобто 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 46).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 46
Добутком вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на число 13 EMBED Equation.3 1415 називається вектор 13 EMBED Equation.3 1415, колінеарний до вектора 13 EMBED Equation.3 1415 для якого:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415;
3) якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 47).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 47
Два ненульових вектора 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 колінеарні тоді і тільки тоді, коли 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415.
Скалярним добутком двох ненульових векторів називається добуток довжин цих векторів на косинус кута між ними: 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 48)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 48
Властивості скалярного добутку
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415, тобто 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415.
4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Якщо точка А має координати А(13 EMBED Equation.3 1415), а точка В(13 EMBED Equation.3 1415, то координати вектора 13 EMBED Equation.3 1415 знаходяться за формулою 13 EMBED Equation.3 1415.
Нехай вектор 13 EMBED Equation.3 1415 має координати 13 EMBED Equation.3 1415, а вектор 13 EMBED Equation.3 1415, тоді:
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415;
6) 13 EMBED Equation.3 1415;
7) 13 EMBED Equation.3 1415;
8) 13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415;
9) 13 EMBED Equation.3 1415.
Завдання для розв’язування
В прямокутнику АВСD АВ = 3см, ВС = 4см, С – середина сторони АВ. Знайдіть довжини векторів 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Основа 13 EMBED Equation.3 1415 прямокутної трапеції АВСD з прямим кутом А дорівнює 12см, АВ = 5см, 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть довжини векторів 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Користуючись рисунком 49, знайдіть вектори 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 рис. 49
Спростіть вираз 13 EMBED Equation.3 1415.
Доведіть, що якщо А, В, С, D – довільні точки, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Спростіть вираз 13 EMBED Equation.3 1415.
Спростіть вираз 13 EMBED Equation.3 1415.
В паралелограмі АВСD 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Виразіть вектори 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 через вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.
Точка М – середина сторони АВ трикутника АВС. Виразити вектор 13 EMBED Equation.3 1415 через вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.
АВСD – паралелограм, точка О – точка перетину його діагоналей. Виразити вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 через вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.
На стороні СD паралелограма АВСD позначено точку М так, що СМ : МD=2:3. Виразіть вектор 13 EMBED Equation.3 1415 через вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Доведіть, що середня лінія трикутника паралельна його третій стороні.
В паралелограмі АВСD 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Записати вектори 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 через вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.
AF, BE, CD – медіани трикутника АВС. Точка М – точка перетину цих медіан. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Виразити через 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 наступні вектори: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
АВСD – паралелограм, точка О – точка перетину його діагоналей. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Виразіть через вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 наступні вектори:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415 6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415 8) 13 EMBED Equation.3 1415
Намалюйте два довільні не колінеарні вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Побудуйте:
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415 6. 13 EMBED Equation.3 1415
АВСD – паралелограм, точка О – точка перетину його діагоналей. Знайдіть:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415 6) 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equation.3 1415 8) 13 EMBED Equation.3 1415
9) 13 EMBED Equation.3 1415 10) 13 EMBED Equation.3 1415
MNKL – паралелограм, точка О – точка перетину його діагоналей. Знайти вектори:
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415 6. 13 EMBED Equation.3 1415
Знайти скалярний добуток векторів 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайдіть кут між векторами 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайдіть абсолютну величину вектора 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, а кут між векторами 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайдіть абсолютну величину вектора 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, а кут між векторами 13 EMBED Equation.3 1415.
Дано точки А(3; 1) і В(-1; 2). Знайдіть координати вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Дано вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.Знайдіть координати вектора 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Дано вектори 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть координати векторів 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Дано вектори 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть координати векторів 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Дано вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. З’ясуйте, при якому значенні 13 EMBED Equation.3 1415 ці вектори будуть колінеарними.
З’ясуйте, при якому значенні 13 EMBED Equation.3 1415 вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 будуть колінеарними.
З’ясуйте, при якому значенні 13 EMBED Equation.3 1415 вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 будуть колінеарними.
Знайдіть 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.
Обчисліть скалярний добуток векторів 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.
Дано точки М(4; -2), N(1; 1) і Р(3; 3). Знайдіть скалярний добуток векторів 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайдіть кут між векторами 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайдіть кут між векторами 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.
Установіть вид кута між векторами 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.
Дано вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. З’ясуйте, при якому значенні 13 EMBED Equation.3 1415 ці вектори будуть перпендикулярними.
З’ясуйте, при якому значенні 13 EMBED Equation.3 1415 вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярні.
З’ясуйте при якому значенні 13 EMBED Equation.3 1415 вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 перпендикулярні.
Обчислити модуль вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Дано вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть 13 EMBED Equation.3 1415.
Дано вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть 13 EMBED Equation.3 1415.
Відомо, що 13 EMBED Equation.3 1415.Знайдіть довжину вектора 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Дано вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть координати вектора 13 EMBED Equation.3 1415 і його довжину, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайдіть координати суми векторів 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, якщо А(2; 4), С(3; -2), В – деяка точка площини.
Дано вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Відомо, що 13 EMBED Equation.3 1415, а кут між векторами 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює 6013 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть кут між векторами 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.
Дано 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, а кут між векторами 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює 6013 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть кут між векторами 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайдіть гострий кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415.





13 LINK \l "зміст" 14До змісту15

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Погорєлов О.В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 7 – 10 кл. загальноосвіт. навч. закл.– К.: Школяр, 2004, Освіта, 2001
2. Атанасян Л. С. и др. Геометрия. Ученик для 7 – 9 классов средней школы. /Под научным руководством акад. А. Н. Тихонова. – М.: Просвещение, 1992. – 335с.
3. Веселовский С. Б. , Колесникова Л. В., Рябчинская В. Д. Изучение геометрии в 9 классе. – К.: Рад. школа, 1984. – 128с.
4. Лоповок Л. М. Факультативные задания по геометрии для 7 – 11 классов: Пособие для учителя. – К.: Рад. шк. 1990. – 128с.
5. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. Часть 1. – М.: Наука, 1991. – 320с.
6. Титаренко А. М. , Роганин А. Н. Планиметрия для учащихся и абитуриентов: Учебное пособие. – Харьков: Веста: Издательство «Ранок», 2002. – 448с.










13PAGE 15


13PAGE 14215



С

C



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 10674306
    Размер файла: 5 MB Загрузок: 2

Добавить комментарий