решения задач РГР (векторная алгебра и аналитич…

РГР. Векторная алгебра и аналитическая геометрия.
Задача 1 Разложение вектора по базису
Постановка задачи. Найти разложение вектора [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] по векторам
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
План решения.
1. Искомое разложение вектора [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеет вид
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2. Это векторное уравнение относительно [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] эквивалентно системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3. Решаем эту систему линейных алгебраических уравнений относительно переменных [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и таким образом определяем коэффициенты разложения вектора [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] по векторам [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Замечание. Если система уравнений не имеет решений (векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] лежат в одной плоскости, а вектор [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ей не принадлежит), то вектор [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] нельзя разложить по векторам [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Если же система уравнений имеет бесчисленное множество решений (векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и вектор [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] лежат в одной плоскости), то разложение вектора [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] по векторам [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] неоднозначно.
Задача 1. Написать разложение вектора [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] по векторам [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Имеем
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
или
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Т.е. искомое разложение имеет вид
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Задача 2 Коллинеарность векторов
Постановка задачи. Коллинеарны ли векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] построенные по векторам [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
План решения.
Способ 1. Векторы коллинеарны если существует такое число [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] такое, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Т.е. векторы коллинеарны если их координаты пропорциональны.
1. Находим координаты векторов [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число.
2. Если координаты векторов [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]пропорциональны, т.е.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
то векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] коллинеарны. Если равенства
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
не выполняются, то эти векторы не коллинеарны.
Способ 2. Векторы коллинеарны если их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е. [с1,c2] =0.
1. Находим координаты векторов [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], пользуясь тем, что при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении на число координаты умножаются на это число.
2. Если векторное произведение векторов [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[с1,c2] = 13 EMBED Equation.3 1415=0,
то векторы коллинеарны. Если же векторное произведение не равно нулю, то векторы не коллинеарны.
Замечание. Обозначение векторного произведения [с1,c2] или с1(c2.
Задача 2. Коллинеарны ли векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], построенные по векторам [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]?
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Способ 1. Находим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Имеем
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Т.е. векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] не коллинеарны.
Способ 2. Находим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Имеем
[с1,c2] = 13 EMBED Equation.3 1415= -267i+84j+124k ( 0.
Т.е. векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] не коллинеарны.
Задача 3 Угол между векторами
Постановка задачи. Даны точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найти косинус угла между векторами [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
План решения. Косинус угла [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] между векторами [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] определяется формулой
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (1)
1. Чтобы вычислить длины векторов [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и скалярное произведение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], находим координаты векторов
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2. По формулам длины вектора и скалярного произведения векторов находим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
3. Вычисляем [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] по формуле (1).
Замечание. Скалярное произведение векторов также может обозначаться [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Задача 3. Найти косинус угла между векторами [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Имеем
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Находим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Задача 4 Площадь параллелограмма
Постановка задачи. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], если известно, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и угол между векторами [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
План решения. Площадь параллелограмма, построенного на векторах [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], численно равна модулю их векторного произведения
S = ([ a, b] ( (1)
1. Вычисляем векторное произведение [a, b], используя его свойства
[a, b] = [(1p + (1 q, (2p + (2 q] =
= (1(2 [p, p] +(1 (2 [p, q] +(1 (2 [q, p] + (1 (2 [q, q] =
= ((1 (2 -(1 (2 )[p, q]
2. Находим площадь параллелограмма по формуле (1), используя определение векторного произведения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Находим
[a, b] = [6p - q, p + 2 q] = 6 [p, p] +12 [p, q] - [q, p] -2 [q, q] = (12 +1)[p, q] =13[p, q].
Следовательно,
S = 13 (p( (q( sin (/3 = 2613 EMBED Equation.3 1415

Задача 5 Компланарность векторов
Постановка задачи. Комланарны ли векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
План решения. Для того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельных плоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] было равно нулю.
1. Смешанное произведение векторов выражается через их координаты формулой
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2. Если определитель в правой части этого равенства равен нулю, то векторы компланарны; если же определитель не равен нулю, то векторы не компланарны.
Задача 5. Компланарны ли векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]?
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Находим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Т.е. векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]не компланарны.
Задача 6 Объем и высота тетраэдра
Постановка задачи. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
и его высоту, опущенную из вершины [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]на грань [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
План решения.
1. Из вершины [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] проведем векторы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2. В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. (1)
С другой стороны
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
где согласно геометрическому смыслу векторного произведения
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. (2)
Сравнивая формулы (1) и (2), получаем
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. (3)
2. Вычисляем смешанное произведение
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
и находим объем тетраэдра по формуле (1).
3. Вычисляем координаты векторного произведения
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
и его модуль.
4. Находим высоту [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]по формуле (3).
Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и его высоту, опущенную из вершины [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]на грань [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Находим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] до плоскости, проходящей через точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
План решения.
Способ 1.
Расстояние [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] от точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] до плоскости [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равно
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. (1)
1. Находим уравнение плоскости, проходящей через три точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2. По формуле (1) находим искомое расстояние.
Способ 2.
Расстояние [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] от точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] до плоскости равно длине ортогональной проекции вектора [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] на нормальный вектор плоскости [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], т.е.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. (2)
Поскольку нормальный вектор плоскости [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ортогонален векторам [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], его можно найти как их векторное произведение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
1. Находим координаты векторов:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
и нормального вектора плоскости
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2. По формуле (2) находим искомое расстояние.
Способ 3.
Искомое расстояние можно найти как высоту тетраэдра с вершинами [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], опущенную из вершины [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] на грань [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (см. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]).
Задача 7. Найти расстояние от точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] до плоскости, проходящей через точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Способ 1.
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Расстояние [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] от точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] до плоскости [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Находим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Способ 2.
Находим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Расстояние от точки до плоскости
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Способ 3.
Находим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Расстояние
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Задача 8 Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Постановка задачи. Написать общее уравнение плоскости проходящей через заданную точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] перпендикулярно данному вектору [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] имеют координаты [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
План решения. Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – текущая точка плоскости, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – ее нормальный вектор, тогда векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ортогональны, а значит их скалярное произведение равно нулю, т.е.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
или
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. (1)
Уравнение (1) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] перпендикулярно данному вектору [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
1. В качестве нормального вектора плоскости выбираем вектор
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2. Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным вектором [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], проходящей через точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] перпендикулярно вектору [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Находим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Так как вектор [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] перпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектора нормали. Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Задача 9 Угол между плоскостями
Постановка задачи. Найти угол между плоскостями [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
План решения. Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Поэтому угол [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] между плоскостями определяется формулой
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Задача 9. Найти угол между плоскостями.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Нормальные векторы заданных плоскостей
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Находим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Задача 10 Координаты точки, равноудаленной от двух заданных
Постановка задачи. Найти координаты точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], равноудаленной от точек [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
План решения. Расстояние между точками [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] определяется равенством
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
1. Находим расстояние между точками: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2. Так как по условию задачи эти расстояния равны, то составляем равенство [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и разрешаем его относительно неизвестных координат.
Задача 10. Найти координаты точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], равноудаленной от точек [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Находим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Так как по условию задачи [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Таким образом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Задача 11 Канонические уравнения прямой
Постановка задачи. Найти канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
План решения. Канонические уравнения прямой с направляющим вектором [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и проходящей через данную точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], имеют вид
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. (1)
Поэтому, чтобы написать канонические уравнения прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.
1. Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей, т.е. согласно определению векторного произведения, имеем
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. (2)
2. Выбираем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой не параллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения с этой координатной плоскостью.
3. Подставляем найденные координаты направляющего вектора и точки в канонические уравнения прямой (1).
Замечание. Если векторное произведение (2) равно нулю, то плоскости не пересекаются (параллельны) и записать канонические уравнения прямой не представляется возможным.
Задача 11. Написать канонические уравнения прямой.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Канонические уравнения прямой:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – координаты какой-либо точки прямой, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – ее направляющий вектор.
Находим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Найдем какую-либо точку прямой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Пусть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], тогда
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Следовательно, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – координаты точки, принадлежащей прямой.
Канонические уравнения прямой:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Задача 12 Точка пересечения прямой и плоскости
Постановка задачи. Найти точку пересечения прямой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и плоскости [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
План решения.
1. Находим параметрические уравнения прямой. Для этого полагаем
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
откуда получаем
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2. Подставляя эти выражения для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] в уравнение плоскости и решая его относительно [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], находим значение параметра [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], при котором происходит пересечение прямой и плоскости.
3. Найденное значение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] подставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки пересечения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Замечание. Если в результате решения уравнения относительно параметра [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] получим противоречие, то прямая и плоскость параллельны (это эквивалентно условию [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]).
Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Запишем параметрические уравнения прямой.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Подставляем в уравнение плоскости:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Откуда координаты точки пересечения прямой и плоскости будут [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Задача 13 Симметрия относительно прямой или плоскости
Симметрия относительно прямой
Постановка задачи. Найти координаты точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], симметричной точке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] относительно прямой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
План решения.
1. Находим уравнение плоскости, которая перпендикулярна данной прямой и проходит через точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Так как плоскость перпендикулярна заданной прямой, то в качестве ее вектора нормали можно взять направляющий вектор прямой, т.е.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Поэтому уравнение плоскости будет
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2. Находим точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] пересечения прямой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и плоскости [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (см. задачу 12).
3. Точка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] является серединой отрезка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где точка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] является точкой симметричной точке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], поэтому
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Задача 13. Найти точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], симметричную точке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] относительно прямой.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Уравнение плоскости, которая проходит через точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] перпендикулярно заданной прямой будет:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Откуда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – точка пересечения прямой и плоскости. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] является серединой отрезка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], поэтому
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Т.е. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Симметрия относительно плоскости
Постановка задачи. Найти координаты точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], симметричной точке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] относительно плоскости [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
План решения.
1. Находим уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Так прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор нормали плоскости, т.е.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Поэтому уравнение прямой будет
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2. Находим точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] пересечения прямой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и плоскости [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (см. задачу 12).
3. Точка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] является серединой отрезка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где точка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] является точкой симметричной точке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], поэтому
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Задача 14. Найти точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], симметричную точке [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] относительно плоскости.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Уравнение прямой, которая проходит через точку [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] перпендикулярно заданной плоскости, будет:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Найдем точку пересечения прямой и плоскости.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Откуда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – точка пересечения прямой и плоскости. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] является серединой отрезка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], поэтому
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Т.е. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].

0,35 Kb0,72 Kb0,26 Kb0,16 Kb0,21 Kb0,21 Kb0,16 Kb0,16 Kb0,21 Kb0,21 Kb0,16 Kb0,16 Kb0,21 Kb0,16 Kb0,21 Kb0,77 Kb0,29 Kb0,32 Kb0,35 Kb0,36 Kb0,17 Kb0,23 Kb0,31 Kb0,5 Kb0,17 Kb0,31 KbRoot Entry

Приложенные файлы

  • doc 10700286
    Размер файла: 354 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий