МОДЕЛЬ ВНУТРИКЛЕТОЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ КАЛЬЦИЯ


-1028700-571500Анфалова Полина
Кафедра молекулярной биологии
00Анфалова Полина
Кафедра молекулярной биологии
МОДЕЛЬ ВНУТРИКЛЕТОЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ КАЛЬЦИЯ. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ.
Введение
Ион Ca2+— один из важнейших вторичных мессенджеров в клетках: начиная от прокариотических клеток бактерий и заканчивая высокоспециализированными нейронами млекопитающих. Ион Ca2+ участвует в передаче сигналов в таких разнообразных процессах, как, например, апоптоз или слияние сперматозоида с яйцеклеткой (в этом случае ион Ca2+ запускает процессы роста и дифференцировки). На всех стадиях развития ион Ca2+ служит связующим звеном между самыми разнообразными внеклеточными сигналами и внутриклеточным ответом на них. Такую универсальность иона Ca2+ как посредника в передаче клеточных сигналов можно объяснить его постоянно поддерживаемой очень низкой концентрацией в цитоплазме (10-6 - 10-7М), что, в свою очередь, достигается путем закачки Ca2+ во внутриклеточные компартменты клетки – ЭР, митохондрии и в меньшей степени ядро. Так как концентрация Ca2+ относительно низкая, клетка отвечает заметными физиологическими и биохимическими реакциями уже на небольшие ее изменения, которые происходят в ответ на стимуляцию клетки, в том числе и гормональную.
Описание модели
Чтобы наглядно представить Ca-зависимые процессы, реализуемые в клетке при гормональной стимуляции, воспользуемся системой кинетических уравнений. Для минимальной модели мы будем оперировать двумя переменными. Концентрацию кальция в цитозоле имеет смысл брать как динамическую переменную, потому что ее чаще всего измеряют. Используемая нами модель предполагает существование двух внутриклеточных пулов, один из них чувствителен к инозитол-трифосфату, а другой – к концентрации Ca2+ (Рис. 1.)
44455080Рис. 1. Модель, основанная на кальций индуцированном высвобождении кальция с двумя пулами, чувствительными соответственно к концентрации Ca2+, и к IP3. Рис. 1. Модель, основанная на кальций индуцированном высвобождении кальция с двумя пулами, чувствительными соответственно к концентрации Ca2+, и к IP3.
Модель содержит две переменные:
S1 – концентрация кальция в цитозоле
S2 – концентрация кальция во внутриклеточных компартментах.
Введем в нашу модель скорости, формирующие баланс метаболитов S1 и S2 (согласно схеме на Рис. 2.):
1187458382000Рис. 2. Реализация внутриклеточного Ca2+
Приток и отток цитозольного кальция через плазматическую мембрану обозначим, соответственно, скоростями v1 и v2.
Гормонально (инозитол-три-фосфат IP3) активируемое высвобождение кальция из внутриклеточного пула, обозначим скоростью v3.
Активный транспорт цитозольного кальция в гормон-не-чувствительный пул – v4.
Ca2+-индуцированное высвобождения кальция - скоростью v5.
свободный отток кальция из гормон-не-чувствительного пула в цитозоль – скоростью v6.
Основой модели является следующая система дифференциальных уравнений:
dS1dt=v1+v3-v2-v4+v5+v6dS2dt=v4-v5+v6Где положительными считаются потоки, входящие в цитозоль/пул, а отрицательными – выходящие из цитозоля/пула.
Скорость v1 считается постоянной, так как внеклеточная концентрация Ca2+ значительно превышает цитозольную, а скорость v3 - постоянна, потому что гормон-чувствительное депо ЭР быстро заполняется кальцием. Таким образом мы можем объединить эти две скорости в одну v0=v1+v3. Тогда получим систему:
dS1dt=v0+v5-v2+v6-v4dS2dt=v4-v5+v6В стационарном состоянии:
dS1dt=0dS2dt=0v0+v5-v2+v6-v4=0v4-v5+v6=0В стационарном состоянии v0=v2 (концентрация цитозольного кальция не меняется). А значит:
v4=v5+v6v2=v1+v3Проведем линеаризацию системы (P и Q – правые части уравнений системы):
344868531432500
∂P∂S1=∂v0∂S1-∂v2∂S1+∂v5∂S1-∂v4∂S1+∂v6∂S1=∂v2∂S1+∂v5∂S1-∂v4∂S1∂P∂S2=∂v0∂S2-∂v2∂S2+∂v5∂S2-∂v4∂S2+∂v6∂S2=∂v5∂S2+∂v6∂S2∂Q∂S1=∂v4∂S1-∂v5∂S1-∂v6∂S1=∂v4∂S1-∂v5∂S1∂Q∂S2=∂v4∂S2-∂v5∂S2-∂v6∂S2=-∂v5∂S2-∂v6∂S2Очевидно, что скорости v2 и v4 зависят только от концентрации цитоплазматического кальция (S1) и не зависят от концентрации депонированного кальция (S2), а скорость v6 не зависит от концентрации цитоплазматического кальция, а зависит только от депонированного. Это и объясняет сокращение производных v2 и v4 по S2, а v6 по S1. При этом скорость v0 вообще определяется исключительно условиями эксперимента.
Таким образом, мы получаем:
σ=-∂v2∂S1+∂v4∂S1+∂v5∂S2+∂v6∂S2+∂v5∂S1∆=∂v2∂S1∂v5∂S2+∂v6∂S2Автоколебания в системе будут возникать только тогда, когда и меняет знак (существует предельный цикл). Чтобы сигма меняла знак, должно выполняться неравенство . А это означает, что поток v5 зависит от концентрации кальция в цитозоле, то есть существует кальций-индуцированное высвобождение кальция, положительная обратная связь.
Пусть скорости v2, v4, v6 пропорциональны концентрациям с коэффициентами пропорциональности соответственно k2, k4, k6. В таком случае:
v2=k2S1v4=k4S1v6=k6S2Для скорости v5принимается следующая зависимость (кинетика Хилла):
v5=k5*S1n*S2K0,5n+S1nВ стационарном состоянии система примет вид:
S1`=v0k2S2`=k4vok2*k5+v0nk2nk0.5n+v0n+k6Тогда выражения для дельты и сигмы имеют следующий вид:



Из данного соотношения видно, что дельта всегда является величиной положительной, а значения для бифуркации Хопфа можно вычислить, приравняв значение сигмы к нулю.
Анализ модели
В программе MS Excel мы создали таблицу, позволяющую задавать параметр v0 и вычислять значения концентрации ионов Ca2+ в цитозоле (S1), в гормон-нечувствительном депо (S2), скорость высвобождения Ca2+ из нечувствительного пула (v5) а также сигму, дельту и дискриминант.
Константы скоростей реакций были заимствованы из справочных материалов. На основании таблицы мы смогли построить зависимость следа (sp ≡ σ) и дискриминанта (det) от v0 (графики 1А, 1В)
График 1А. Зависимость следа матрицы коэффициентов линеаризованного уравнения и дискриминанта от v0
k2 = 1; k4 = 2; k5 = 1; k6 = 0,01; k0,5 = 3,1; n = 4

График 1В. (то же при тех же значения параметров, что и в графике 1, в диапазоне [0,79;1,01]).

Эти графики позволяют нам уточнить бифуркационную диаграмму (Рис. 3.), показывающую переходы системы из одного стационарного состояния в другое при соответствующих бифуркационных значениях. Устойчивость особой точки определяется знаком σ(sp): если σ > 0, то состояние неустойчиво; если <0, то устойчиво. При det > 0 наблюдается узел, а при det < 0 – фокус.

Рис. 3. Бифуркационная диаграмма
Таким образом мы определили значения v0 при которых меняется тип особой точки.
Далее в Trax были построены кинетические портреты при различных значениях v0. Время бралось достаточное для выхода на стационарное состояние (3000 или 2000). Рассмотрим получившиеся кинетические портреты:
№1. Устойчивый узел

1.а) Зависимость S1(t) при v0=0.5

1.б) Зависимость S2(t) при v0=0.5

1.в) Зависимость S1(t) и S2(t) при v0=0.5
Как мы видим, колебания в системе отсутствуют (видимо, приток кальция был недостаточен, чтобы их вызвать). Концентрация Ca2+в цитозоле и в ЭПР выходит на стационарное состояние. Концентрация Ca2+ в ЭПР значительно выше, чем в цитозоле, что особенно заметно при построении кинетических портретов в одном масштабе (Кин. Портрет 1.в.)
№2. Устойчивый фокус

2.а) Зависимость S1(t) при v0=0.865

2.б) Зависимость S2(t) при v0=0.865

2.в) Зависимость S1(t) и S2(t) при v0=0.865
При увеличении стимула колебания возникают, но их амплитуда очень небольшая и они очень быстро затухают, чтобы их заметить потребовалось существенно увеличить масштаб.
№3. Неустойчивый фокус

3.а) Зависимость S1(t) при v0=0.87

3.б) Зависимость S1(t) и S2(t) при v0=0.87
Здесь уже наблюдаются выраженные незатухающие колебания концентрации Ca2+ , причем максимум концентрации Ca2+в цитозоле соответствует минимуму концентрации в депо. Получается, что Ca2+при стимуляции выходит из депо в цитозоль. Этот выход осуществляется очень быстро, о чем нам говорит почти вертикальная прямая изменения концентрации на графиках, а вот возвращение кальция в депо происходит постепенно, что видно по быстрому, но все же не мгновенному возрастанию концентрации в депо (Кин. Портрет 3.б.). Возможно, это связано с тем, что в цитозоль транспорт идет по градиенту концентрации, а закачка в депо – против градиента посредством Ca2+ -АТФазы. То, как долго цитоплазматическая концентрация Ca2+ остается повышенной, определяет в мышцах длительность сокращения, обеспечивая циклическую активность поперечных мостиков филаментов. Концентрация Ca2+ в депо не падает до начального уровня, а периодически возвращается к несколько более высокому значению, чем то, которое было до стимуляции.
№4. Неустойчивый узел

4.а) Зависимость S1(t) при v0=1

4.б) Зависимость S1(t) и S2(t) при v0=1
Амплитуда колебания стала меньше, период колебаний также существенно уменьшился. Уменьшение периода колебаний, вероятно, связано с увеличением скоростей оттока кальция из цитозоля. V0 увеличивается, соответственно, S1` увеличивается, пропорционально увеличиваются v2 и v4. k2<k4, так что при более низких значениях v0, v2 не играла значительной роли, и отток происходил практически только в депо, а в данном случае уже наблюдается значительный отток кальция из клетки во внеклеточное пространство, так что концентрация кальция в цитозоле начинает уменьшаться раньше, чем увеличиваться в депо.
№5. Неустойчивый фокус

5.а) Зависимость S1(t) при v0=3.1

5.б) Зависимость S1(t) и S2(t) при v0=3.1
Если мы сравним этот фокус, с неустойчивым фокусом, полученным при v0=0.87, то заметим, что амплитуда и период колебаний значительно уменьшились, возможные причины этого такие же, как и в пункте №4.
№6. Устойчивый фокус

6.а) Зависимость S1(t) и S2(t) при v0=3.5

6.б) Зависимость S1(t) и S2(t) при v0=3.5 (в увеличенном масштабе)
Колебания еле заметны и быстро затухают. Стимул был слишком сильным. (Быстро затухающие колебания скорее всего защищают клетку от неадекватных стимулов).
№7. Устойчивый узел

7.а) Зависимость S1(t) и S2(t) при v0=4.5

7.б) Зависимость S1(t) и S2(t) при v0=4.5 (в увеличенном масштабе)
Колебаний в системе не наблюдается. Такие высокие дозы кальция могут быть опасны для клетки
Итак, из данных кинетических портретов видно, что при v0 (0; 0.838) система находится в бесколебательном режиме; при v0 (0.838; 0.868) в системе наблюдаются затухающие колебания, а при v0 (0,868; 3.25) – автоколебательный режим, который снова переходит в затухающие колебания в интервале v0 (3,25; +∞).
Далее для этих значений v0 мы построили фазовые портреты. Получившиеся фазовые портреты выглядят следующим образом:
Зависимость S2 от S1:
№1. Устойчивый узел при v0=0.5

Таким образом, отсутствие колебаний при данном стимуле подтверждается отсутствием предельного цикла на фазовом портрете.
№2. Устойчивый фокус при v0=0.865
При данном v0 предельный цикл неустойчив. Он показывает границу областей начальных условий. При начальных условиях, лежащих внутри предельного цикла получается затухающий переходный процесс (фазовые траектории незамкнуты), а если начальные условия лежат снаружи – расходящийся переходный процесс. Колебаний не возникает.
№3. Предельные циклы

а) при v0=0.87

б) при v0=1

в) при v0=3.1
В этом диапазоне значений v0 существуют предельные циклы – замнкутые траектории, соответствующие периодическим процессам. Физический смысл устойчивого предельного цилка – автоколебания системы. То есть при таких v0 существуют автоколебания. При определенном низком значении S1 не наблюдается положительной обратной связи, и кальций просто уходит в депо. Потом с какого-то определенного момента начинается кальций индуцированное высвобождение кальция, S1 растет, S2 уменьшается и происходят колебания.
№4. Устойчивый фокус при v0=3.5

№5. Устойчивый узел при v0=4.5

Предельного цикла ни в №4, ни в №5 нет, как и автоколебаний в системе. В устойчивом фокусе можно наблюдать начальные колебания с небольшой амплитудой, но они быстро затухают. При устойчивом узле колебаний нет вовсе, любые концентрации приходят к стационарному состоянию, более высокому, чем при устойчивом узле, когда v0=0.5
*Помимо этого мы еще успели дополнительно рассмотреть жесткое рождение предельного цикла:

и бесконечно затухающий фокус:

Выводы
Автоколебания в системе существуют при наличии положительной обратной связи между потоком Ca2+ из гормон-не-чувствительного пула и концентрацией Ca2+ в цитозоле.
Концентрации Ca2+ в цитозоле и в пуле нелинейно зависят от потока Ca2+ извне.
При значении стимула менее 0.85 колебаний Ca2+ не происходит.
При стимуле 0.838<v0<0.868 колебания возникают, но быстро затухают.
При значении стимула 0.868<v0<3.25 возникают колебания. На фазовой плоскости им соответствует устойчивый предельный цикл. В этом же диапазоне при увеличении силы стимула амплитуда и период колебаний уменьшаются.
При стимуле v0>3.25 автоколебаний не возникает.
Ниже критического значения стимула система находится в устойчивом состоянии. В диапазоне 0.868<v0<3.25 - в неустойчивом - существуют автоколебания, фазовый портрет представляет собой устойчивый предельный цикл. Выше определенного параметра автоколебания исчезают и система переходит в новое устойчивое состояние, отвечающее более высокой концентрации кальция в цитозоле.
Итак, при анализе данной модели был выявлен диапазон силы стимула, в котором наша система имеет автоколебалельный характер. Помимо этого мы описали различные возможные состояния системы, что хорошо согласуется с другими работами.
Список литературы
[1] Эккерт Р., Рэндалл Д., Огастин Д. // Физиология животных: механизмы и адаптации. Том 1. М.: Мир, 1991. 424c. 344c
[2] Л.Д. Тёрлова, Н.Е. Беляева, П.В. Фурсова, Г.Ю. Ризниченко. Модель внутриклеточных колебаний кальция.
[3] Goldbetert, A., Dupontt, G., Oscillations and Waves of Cytosolic Calcium: Insights from Theoretical Models
[4] Н.Б. Гусев. Ca-связывающие белки. Часть 1. Классификация и строение // Соросовский Образовательный Журнал. 1998. No 5. 2-9.

Приложенные файлы

  • docx 5056953
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 5

Добавить комментарий