Математика, шпоры по теории word 2003

7.7. Тригонометрическая и показательная формы
комплексного числа Комплексное число 13 EMBED Equation.3 1415 в прямоугольной декартовой системе координат Оху изображается точкой М (рис. 7.28).






Рис. 7.28
Длина радиус-вектора точки М называется модулем комплексного числа z и обозначается |z| или r:
13 EMBED Equation.3 1415 (7.31)
Угол (, образованный этим вектором с положительным направлением действительной оси Ох, называется аргументом числа z. Связь между аргументом ( комплексного числа и его действительной и мнимой частью выражается формулами:
13 EMBED Equation.3 1415 (7.32) или 13 EMBED Equation.3 1415 (7.33) Аргумент комплексного числа определен неоднозначно: если ( – аргумент числа z, то 13 EMBED Equation.3 1415 – также аргумент этого числа при любом целом k. Для однозначности определения аргумента его выбирают в пределах 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 такое значение аргумента называют главным и обозначают 13 EMBED Equation.3 1415 Всюду далее будем рассматривать главное значение аргумента: 13 EMBED Equation.3 1415
На практике находить аргумент комплексного числа z имеет смысл согласно формуле (7.32) с учетом координатной четверти, в которой лежит число z, или формул (7.33).
Запись комплексного числа в виде
13 EMBED Equation.3 1415 (7.34)
называется тригонометрической формой комплексного числа.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 комплексные числа, заданные в тригонометрической форме. Тогда для произведения 13 EMBED Equation.3 1415 и частного 13 EMBED Equation.3 1415 справедливы формулы:
13 EMBED Equation.3 1415 (7.35)
13 EMBED Equation.3 1415 (7.36)
Для комплексного числа 13 EMBED Equation.3 1415 справедлива формула Муавра:
13 EMBED Equation.3 1415 (7.37)
Корнем n-й степени из комплексного числа z называется комплексное число w такое, что 13 EMBED Equation.3 1415
Корень n-й степени из комплексного числа
13 EMBED Equation.3 1415
имеет n различных значений, которые находят по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (7.38)
где 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 – арифметическое значение корня.
Все значения корня 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 расположены на окружности с центром в начале системы координат и радиусом 13 EMBED Equation.3 1415 в вершинах правильного вписанного в окружность n-угольника.
Соотношение
13 EMBED Equation.3 1415 (7.39)
называется формулой Эйлера.
Пусть комплексное число z записано в тригонометрической форме. Используя формулу Эйлера (7.39), можно записать:
13 EMBED Equation.3 1415 (7.40)
Такая форма записи называется показательной формой комплексного числа.
Правила действий над комплексными числами
в показательной форме
13 EMBED Equation.3 1415 (7.41) 13 EMBED Equation.3 1415 (7.42) 13 EMBED Equation.3 1415 (7.43)
13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 (7.44)

Пример 1. Представить в тригонометрической форме комплексное число:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 1) Находим модуль данного числа по формуле (7.31):
13 EMBED Equation.3 1415
Для нахождения аргумента ( используем формулу (7.32):
13 EMBED Equation.3 1415
и число z лежит в IV четверти. Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 7.29). Рис. 7.29

Подставим полученные значения |z| и ( в формулу (7.34), получим:

2) В данном случае 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 (точка, изображающая данное число, принадлежит отрицательной части мнимой оси (рис. 7.30)).
Рис. 7.30 Поэтому 3) Находим модуль комплексного числа
13 EMBED Equation.3 1415 (так как ), 13 EMBED Equation.3 1415 (заданное число является отрицательным действительным числом (рис. 7.31)).


Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415

8.1. Векторы и простейшие действия над ними
Под вектором на плоскости понимают направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке B, который обозначается (или ). Модулем, или длиной, такого вектора называется длина отрезка
Если нет необходимости указывать начало и конец вектора, то его обозначают или
Различают векторы связанные (закрепленные) с фиксированным началом и свободные. Под свободным вектором понимают класс эквивалентных направленных отрезков, т. е. таких отрезков, которые совмещаются при параллельном переносе.
Векторы и называются коллинеарными (обозначение: ), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Кроме того, если они имеют одинаковое направление, их называют сонаправленными (обозначение: ), а если противоположное – противоположно направленными (обозначение: ).
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые длины и являются сонаправленными. Записывается это с помощью обычного знака равенства: При этом запись понимают также в смысле, что начало свободного вектора приложено к точке А.
Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается Направление такого вектора считается неопределенным. У нулевого вектора начальная и конечная точки совпадают.
Пусть заданы два ненулевых вектора Отложим их от некоторой точки О таким образом, чтобы Под углом между векторами и понимают наименьший положительный угол, на который надо повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением второго вектора. Этот угол не зависит от выбора точки О и изменяется от 0 до (.
Для векторов определены следующие линейные операции: умножение вектора на действительное число и сложение векторов
Произведением вектора на действительное число
· называется вектор удовлетворяющий следующим условиям:




Для того чтобы сложить векторы и геометрически, используют правило треугольника: начало вектора совмещается с концом вектора их суммой является вектор начало которого совпадает с началом вектора а конец – с концом вектора (рис. 8.1). Для обозначения этого действия используется обычный знак суммы:

Рис. 8.1
Сложение двух векторов можно производить также по правилу параллелограмма: векторы и приводятся к общему началу, некоторой точке О, и на них строится параллелограмм. Тогда суммой этих векторов является вектор который совпадает с диагональю построенного параллелограмма, исходящей из точки О (рис. 8.2).

Рис. 8.2
Сумма трех и более векторов может быть найдена по правилу замыкания (ломаной). Это вектор, начало которого совпадает с началом вектора а конец – с концом вектора (рис. 8.3).

Рис. 8.3

Свойства линейных операций над векторами:
коммутативность сложения векторов, т. е.

ассоциативность сложения векторов, т. е.

дистрибутивность сложения векторов относительно умножения на действительное число
·, т. е.
дистрибутивность сложения действительных чисел относительно умножения на вектор, т. е.

коммутативность и ассоциативность операции умножения вектора на число, т. е.
Вектор называется противоположным вектору Разностью векторов и называется вектор
Для того чтобы найти разность векторы и приводятся к общему началу. Тогда разностью будет являться вектор у которого начало совпадает с концом вектора а конец – с концом вектора (рис. 8.4).

Рис. 8.4
Таким образом, геометрически векторы и изображаются диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и которые приведены к общему началу (рис. 8.5):

Рис. 8.5

Вектор называется ортом (единичным вектором) вектора если и Для его нахождения может быть использована формула
Вектор называется линейной комбинацией векторов если существуют числа такие, что

Говорят, что точка C делит вектор в отношении
· (
· > 0), если  = 
·
Кроме линейных операций, для векторов определено также скалярное умножение.
Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число

Скалярное произведение обозначается также
Если хотя бы один из векторов или нулевой, то
Скалярным квадратом вектора называется величина

Физический смысл скалярного произведения двух векторов состоит в том, что оно численно равно работе, осуществляемой силой по перемещению материальной точки на вектор т. е.
.
Для вычисления угла между векторами и можно воспользоваться формулой

Свойства скалярного произведения:
– коммутативность;
– дистрибутивность;
;
тогда и только тогда, когда
тогда и только тогда, когда
тогда и только тогда, когда
6)
7)


8.2. Операции над векторами в координатной форме

Прямоугольная декартова система координат Oxy на плоскости задается совокупностью точки О (начало системы координат) и пары перпендикулярных единичных векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 При этом ось Ox, направление которой совпадает с направлением вектора 13 EMBED Equation.3 1415 называется осью абсцисс. Ось Оy, совпадающая по направлению с вектором 13 EMBED Equation.3 1415 – осью ординат. Вся плоскость называется координатной плоскостью xOy. За масштабную единицу выбирают длину 13 EMBED Equation.3 1415 Координатами точки М являются перпендикулярные проекции точки М на координатные оси Ox и Oy, взятые с соответствующим знаком. Таким образом, точке М на плоскости соответствует упорядоченная пара (x, y) действительных чисел x и y. Пишут: M(x, y).
Каждой точке М на плоскости соответствует единственный радиус-вектор 13 EMBED Equation.3 1415 который имеет те же координаты, что и точка М. Пишут: 13 EMBED Equation.3 1415 Вектор 13 EMBED Equation.3 1415 может быть представлен также в виде линейной комбинации векторов 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если на плоскости заданы точки A(x1, y1), B(x2, y2), то
13 EMBED Equation.3 1415 длина
13 EMBED Equation.3 1415 (8.1) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 тогда его единичный вектор (орт) есть
13 EMBED Equation.3 1415 (8.2) При этом координаты орта 13 EMBED Equation.3 1415 задают направление вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и называются направляющими косинусами. Если ( и ( – углы между вектором 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и базисными векторами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 соответственно, то
13 EMBED Equation.3 1415 (8.3) Если 13 EMBED Equation.3 1415 то верны формулы:
13 EMBED Equation.3 1415 (8.4) 13 EMBED Equation.3 1415 (8.5) 13 EMBED Equation.3 1415 (8.6)
13 EMBED Equation.3 1415 (8.7)
Для коллинеарных векторов 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 справедливо:
13 EMBED Equation.3 1415
Координаты точки C(xc, yc), делящей отрезок AB в отношении
· > 0, находят по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415 (8.8)


8.3. Полярная система координат. Способы задания
кривой на плоскости

Выделим на плоскости произвольную точку О – полюс – и проведем числовой луч ОР – полярную ось. Расстояние от полюса до произвольной точки М обозначим
·, а величину угла, на который нужно повернуть ОР, чтобы совместить с ОМ, обозначим через
·. Будем считать
· положительным, если поворот совершается против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае.
Величины
· и
· называются полярными координатами точки М:
· – полярный радиус,
· – полярный угол. Принято считать, что 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 а полюс имеет нулевые полярные координаты.
Если заданы одновременно прямоугольная система координат xOy и полярная с полярной осью Ox, то можно установить связь между прямоугольными (x, y) и полярными (
·,
·) координатами точки М на плоскости с помощью следующих формул:
13 EMBED Equation.3 1415 (8.9)
13 EMBED Equation.3 1415 (8.10) Можно рассматривать уравнения кривых в полярных координатах:
· =
·(
·) или Ф(
·,
·) = 0.

9.1. Прямая на плоскости

Рассмотрим различные случаи задания прямой L на плоскости.
1. Если задан ненулевой направляющий вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и радиус-вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 некоторой фиксированной точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 то в этом случае радиус-вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 произвольной точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задается формулой
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (9.1)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Уравнение (9.1) называется векторно-параметрическим уравнением прямой L.
2. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – координаты точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 которая лежит на прямой L, (l, m) – координаты направляющего вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 то прямая задается параметрическими уравнениями:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – направляющий вектор, такой, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – точка, через которую проходит прямая, то имеем каноническое уравнение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (9.2)
4. Если прямая L не параллельна оси Ox, то для всех направляющих векторов отношение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 По заданному угловому коэффициенту k прямой L и точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 уравнение прямой L может быть задано в следующем виде:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М0.
В случае, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – точка пересечения прямой L с осью Oy, это уравнение может быть записано в следующем виде:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5. Координаты направляющего вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 прямой L могут быть найдены, если известны две точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 этой прямой: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (9.3)
6. Если известны точки пересечения прямой L с координатными осями, т. е. точки M0(a, 0) и M1(0, b), то справедливо уравнение «в отрезках»:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
7. Положение прямой на плоскости однозначно определено и в случае, когда задан ненулевой нормальный вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 этой прямой и точка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Условие перпендикулярности векторов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 позволяет перейти к векторному уравнению
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
и затем к его координатной форме:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (9.4)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Уравнение (9.4) называется общим уравнением прямой L.
8. Если в качестве нормального вектора берется единичный вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 направленный из начала координат в сторону прямой, т. е.

то справедливо нормальное уравнение прямой L на плоскости:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – расстояние от начала координат до прямой.
Величина
·(M0, L) = x0cos 
· + y0cos 
· – p, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется отклонением точки М0 от прямой L. При этом
· < 0, если точки M0 и O(0, 0) лежат по одну сторону от прямой L,
· > 0 – если по разные. Расстояние d(M0, L) от точки до прямой равно абсолютному значению отклонения.
От общего уравнения прямой к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Расстояние от точки M0(x0, y0) до прямой L: Ax + By + C = 0 может быть найдено по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (9.5)
Угол между прямыми легко найти с помощью косинуса угла между их направляющими или нормальными векторами, а также по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 где k1 и k2 – угловые коэффициенты прямых. При этом возможны частные случаи:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Здесь L1 и L2 – прямые на плоскости, для которых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – угловые коэффициенты соответственно прямых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В полярной системе координат уравнение прямой имеет вид

·cos(
· –
·0) = p,
где p – длина перпендикуляра, проведенного из полюса к прямой,
·0 – угол между полярной осью и перпендикуляром.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (9.7)
где
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (9.8)
Уравнение (9.7) называется каноническим уравнением эллипса.
Параметры эллипса
Точки F1(–c, 0) и F2(c, 0), где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называются фокусами эллипса, при этом величина 2c определяет междуфокусное расстояние.
Точки А1(–а, 0), А2(а, 0), В1(0, –b), B2(0, b) называются вершинами эллипса (рис. 9.2), при этом А1А2 = 2а образует большую ось эллипса, а В1В2 – малую, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – центр эллипса.
Основные параметры эллипса, характеризующие его форму:

· = с/a – эксцентриситет эллипса;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – фокальные радиусы эллипса (точка М принадлежит эллипсу), причем r1 = a +
·x, r2 = a –
·x;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – директрисы эллипса.

Рис. 9.2

Для эллипса справедливо: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 директрисы не пересекают границу и внутреннюю область эллипса, а также обладают свойством 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Эксцентриситет эллипса выражает его меру «сжатости».
Если b > a > 0, то эллипс задается уравнением (9.7), для которого вместо условия (9.8) выполняется условие
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (9.9)
Тогда 2а – малая ось, 2b – большая ось, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – фокусы (рис. 9.3). При этом r1 + r2 = 2b,
· = c/b, директрисы определяются уравнениями:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Рис. 9.3
При условии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеем (в виде частного случая эллипса) окружность радиуса R = a. При этом с = 0, а значит,
· = 0.
Точки эллипса обладают характеристическим свойством: сумма расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2а (рис. 9.2).
Для параметрического задания эллипса (формула (9.7)) в случаях выполнения условий (9.8) и (9.9) в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на эллипсе, и положительным направлением оси Ox:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Если центр эллипса с полуосями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 находится в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 то его уравнение имеет вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (9.10) 9.3. Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (9.11)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Параметры гиперболы
Точки F1(–c, 0), F2(c, 0), где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называются фокусами гиперболы (рис. 9.10), при этом величина 2с (с > a > 0) определяет междуфокусное расстояние. Точки А1(–а, 0), А2(а, 0) называются вершинами гиперболы, при этом отрезок А1А2 = 2а образует действительную ось гиперболы, а отрезок В1В2 = 2b – мнимую ось (В1(0, –b), B2(0, b)), точка О – центр гиперболы.

Рис. 9.10
Основные параметры гиперболы, характеризующие ее форму:
величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется эксцентриситетом гиперболы, она характеризует меру «сжатости» гиперболы;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – фокальные радиусы гиперболы (точка М принадлежит гиперболе), причем r1 = a +
·x, r2 = –a +
·x – для точек правой ветви гиперболы, r1 = – (a +
·x), r2 = – (–a +
·x) – для точек левой ветви;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – директрисы гиперболы;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – асимптоты гиперболы. Для гиперболы справедливо:
· > 1, директрисы не пересекают границу и внутреннюю область гиперболы, а также обладают свойством 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Говорят, что уравнение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (9.12) задает уравнение гиперболы, сопряженной данной (рис. 9.11). Его можно записать также в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 В таком случае отрезок В1В2 образует действительную ось, а А1А2 – мнимую, вершины находятся в точках В1(0; –b) и B2(0; b), фокусы – F1(0; –c) и F2(0; c), эксцентриситет 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 уравнения директрис 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Рис. 9.11
Точки гиперболы обладают важным характеристическим свойством: абсолютное
значение разности расстояний от каждой из них до фокусов есть величина
постоянная, равная 2a (рис. 9.10) или 2b (рис. 9.11).
Для параметрического задания гиперболы в качестве параметра t может быть взята
величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на гиперболе, и
положительным направлением оси Ox:
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению
Параметры параболы Точка F(p/2, 0) называется фокусом параболы, величина p – параметром, точка О(0, 0) – вершиной (рис. 9.15). При этом прямая OF, относительно которой парабола симметрична, задает ось этой кривой.

Рис. 9.15
Величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 где M(x, y) – произвольная точка параболы, называется фокальным радиусом, прямая D: x = –p/2 – директрисой (она не пересекает внутреннюю область параболы). Величина называется эксцентриситетом параболы.
Основное характеристическое свойство параболы: все точки параболы равноудалены от директрисы и фокуса (рис. 9.15).
Существуют иные формы канонического уравнения параболы, которые определяют другие направления ее ветвей в системе координат (рис. 9.16):
а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Рис. 9.16

Для параметрического задания параболы в качестве параметра t может быть взята величина ординаты точки параболы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где t – произвольное действительное число.

10.1. Числовая последовательность





Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел, которая каждому натуральному числу n ставит в соответствие число 13 EMBED Equation.3 1415. Числовую последовательность обозначают 13 EMBED Equation.3 1415, т. е.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415– n-й член последовательности, а формула13 EMBED Equation.3 1415 называется формулой общего члена последовательности.
Зная функцию13 EMBED Equation.3 1415 и номер n, можно вычислить любой член последовательности.
Последовательность, у которой все члены равны между собой, называется постоянной.
Последовательность может быть задана:
аналитическим способом (задается формула n-го члена последовательности, по которому могут быть найдены все остальные);
реккурентным способом (задается первый или несколько первых членов последовательности и указывается правило, позволяющее найти последующие члены последовательности через предыдущие);
геометрически (точками на числовой оси, соответствующими конкретным значениям n);
графическим способом (задаются точки 13 EMBED Equation.3 1415 на координатной плоскости);
словесным описанием;
табличным способом.
Последовательность называется возрастающей (строго), если 13 EMBED Equation.3 1415 является возрастающей (строго) числовой функцией, т. е. если13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Последовательность называется убывающей (строго), если 13 EMBED Equation.3 1415 – убывающая (строго) числовая функция, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Последовательность 13 EMBED Equation.3 1415 называется неубывающей, если каждый ее член, начиная со второго, не меньше предыдущего, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Последовательность (хn) называется невозрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, не больше предыдущего, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными последовательностями.
Последовательность 13 EMBED Equation.3 1415 называется ограниченной, если существуют такие числа m и M, что выполняется неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Если существует такое число M, что13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 то последовательность называется ограниченной сверху; если существует такое число m, что13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 то последовательность называется ограниченной снизу.
Последовательность 13 EMBED Equation.3 1415 ограничена тогда и только тогда, когда существует такое положительное число C, что выполняется неравенство
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Пример 1. Определить, является ли число 28 членом последовательности 13 EMBED Equation.3 1415 если 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Число 28 является членом последовательности, если найдется такой номер 13 EMBED Equation.3 1415 для которого выполняется равенство 13 EMBED Equation.3 1415 Решим это квадратное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Числа 13 EMBED Equation.3 1415 следовательно, число 28 не является членом данной последовательности.

10.2. Предел последовательности
Число а называется пределом последовательности (хn), если для любого положительного числа ( найдется такой номер n(() (зависящий от (), что, начиная с этого номера (т. е. для всех n ( n(()), будет выполняться неравенство
(10.1)
Обозначают:
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела – расходящейся.
Геометрическая интерпретация предела: если число а является пределом последовательности (хn), то в произвольную, сколь угодно малую (-окрестность точки а попадают все члены данной последовательности, начиная с некоторого номера n(().
Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.
Всякая монотонная и ограниченная последовательность сходится.
Если последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела.
Если предел последовательности равен нулю, то ее называют бесконечно малой.
Свойства бесконечно малых последовательностей:
1) сумма и произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью;
2) произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую является бесконечно малой;
3) для того чтобы выполнялось равенство необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство где – бесконечно малая последовательность.
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого сколь угодно большого числа М найдется такой номер 13 EMBED Equation.3 1415 что для всех n, начиная с этого номера 13 EMBED Equation.3 1415 выполняется неравенство
13 EMBED Equation.3 1415
Если последовательность (хn) – бесконечно большая, то говорят, что она стремится к бесконечности, и пишут 13 EMBED Equation.3 1415
Последовательность не имеет предела в двух случаях:
1) предел не определен;
2) последовательность является бесконечно большой.
Если (xn) – бесконечно большая последовательность, то – бесконечно малая последовательность.
Если (xn) – бесконечно малая последовательность, то – бесконечно большая.
Если последовательности (xn), (уn) имеют пределы, то справедливы следующие свойства:
1) где 13 EMBED Equation.3 1415
2)
3)
4) где
Свойства 2) и 3) обобщаются, соответственно, на любое конечное число слагаемых и множителей.
При вычислении пределов числовых последовательностей могут возникнуть неопределенности вида 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Для того чтобы вычислить предел в случае неопределенности, необходимо тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.
10.3. Предел функции
Рассмотрим функцию 13 EMBED Equation.3 1415 определенную в некоторой окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415 (в самой точке 13 EMBED Equation.3 1415 данная функция может быть не определена).
Число А называется пределом функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 (по Гейне), если для любой последовательности (xn), сходящейся к 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 последовательность 13 EMBED Equation.3 1415 соответствующих значений функции сходится к А.
Обозначают:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 имеет предел, то он единственный.
Если функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеют пределы в точке 13 EMBED Equation.3 1415 то справедливы формулы:
где С = const; (10.3)
(10.4)
(10.5)
(10.6)
Если непосредственное вычисление предела по формулам (10.3)–(10.6) приводит к неопределенности типа 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 то необходимо вначале тождественно преобразовать выражение, стоящее под знаком предела.
Для всех элементарных функций в любой точке их области определения имеет место равенство
(10.7)
которое означает, что операции вычисления предела и функции переставимы.
Кроме предела функции в точке рассматривают предел функции на бесконечности: число A называется пределом функции 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 (или 13 EMBED Equation.3 1415), если для всякой последовательности (xn), 13 EMBED Equation.3 1415 (или 13 EMBED Equation.3 1415) при 13 EMBED Equation.3 1415 последовательность 13 EMBED Equation.3 1415 соответствующих значений функции сходится к числу A.
Обозначают:
Для предела функции на бесконечности также справедливы формулы (10.3)–(10.6). Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется бесконечно малой функцией при 13 EMBED Equation.3 1415 (или 13 EMBED Equation.3 1415), если

Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется бесконечно большой при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 если для всякой последовательности (xn), 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 (или13 EMBED Equation.3 1415) последовательность соответствующих значений функции 13 EMBED Equation.3 1415 является бесконечно большой.
Обозначают:
(10.8) Если 13 EMBED Equation.3 1415 – бесконечно большая функция при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 то она не имеет предела (предел – это число!). Запись формулы (10.8) следует воспринимать лишь как обозначение бесконечно большой функции.

Пример 1. Пользуясь определением предела функции по Гейне, доказать, что
Решение. Пусть (xn) – произвольная последовательность, которая сходится к 3 т. е.
Тогда

10.4. Первый и второй замечательные пределы

При вычислении пределов часто используются первый и второй замечательные пределы.
Первый замечательный предел:
13 EMBED Equation.3 1415 (10.9)
Если 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 то верна более общая формула первого замечательного предела:
(10.10)
Первый замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа 13 EMBED Equation.3 1415
Второй замечательный предел:
(10.11)
или
(10.12)
Если 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 то обобщением формулы (10.11) является формула
(10.13)
Если 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 то обобщением формулы (10.12) является формула
(10.14)
Второй замечательный предел позволяет устранить неопределенность типа 13 EMBED Equation.3 1415
Для того чтобы использовать, например, формулу (10.13), необходимо быть уверенным, что реализованы следующие пять условий (акцентируем их подчеркиванием):
1) 2)
3) 4)
5) 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Эти условия достигаются тождественным преобразованием выражения, стоящего под знаком предела.

11. Производная функции

11.1. Понятие производной. Правила
дифференцирования. Таблица производных

Пусть функция 13 EMBED Equation.3 1415 определена в точке 13 EMBED Equation.3 1415 и в некоторой ее окрестности, x – точка из рассматриваемой окрестности. Приращением аргумента в точке 13 EMBED Equation.3 1415 называется величина 13 EMBED Equation.3 1415 приращением функции – величина 13 EMBED Equation.3 1415 Если выразить 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415
Производной функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, при условии, что предел существует.
Производную в точке обозначают 13 EMBED Equation.3 1415 По определению
(11.1)
или, что то же,
13 EMBED Equation.3 1415 (11.2)
при условии, что пределы (11.1) и (11.2) существуют.
Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Производная функции в точке – это число. Если функция дифференцируема на некотором множестве X из ее области определения, то 13 EMBED Equation.3 1415 также является функцией (ее обозначают также 13 EMBED Equation.3 1415).
Основные правила дифференцирования
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 – дифференцируемые функции. Справедливы формулы:
13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 (11.3)
13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 (11.4)
13 EMBED Equation.3 1415 (11.5)
13 EMBED Equation.3 1415
· (11.6)
13 EMBED Equation.3 1415 (11.7)
Таблица производных основных элементарных функций
13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 в частности:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 в частности, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 в частности 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 1. Найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 пользуясь определением, если:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 1) Используем определение производной в виде формулы (11.1):

Поскольку по условию 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415
2) По формуле (11.1) получаем:

Далее, применив тригонометрическую формулу
13 EMBED Equation.3 1415
получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Так как при 13 EMBED Equation.3 1415 имеем 13 EMBED Equation.3 1415 и, применив формулу первого замечательного предела, получаем:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Поскольку по условию 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415

Пример 2. Вычислить производную функции пользуясь определением производной.
Решение. Пусть x – произвольная фиксированная точка из 13 EMBED Equation.3 1415 Пользуясь формулой (11.1), имеем:

Таким образом, операция дифференцирования ставит в соответствие функции 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 функцию 13 EMBED Equation.3 1415
11.2. Производная сложной функции
Если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415 (11.8)
Обобщенная таблица производных
13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 в частности:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 в частности, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 в частности, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если для функции y = f(x) существует обратная функция x = ((y), которая имеет производную 13 EMBED Equation.3 1415 то верна формула
13 EMBED Equation.3 1415 (11.9)

Пример 1. Найти производную функции:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415 6) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 1) Функцию 13 EMBED Equation.3 1415 необходимо рассматривать как сложную функцию, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 – дифференцируемые функции своих аргументов. Тогда, согласно формуле (11.8) и соответствующим формулам таблицы производных, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
2) Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
13 EMBED Equation.3 1415
Вычисляем производную, используя правило дифференцирования суммы функций, формулу (11.8) и обобщенную таблицу производных:
13 EMBED Equation.3 1415
3) Рассмотрим функцию как 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 – также сложная функция. Применив формулу (11.8) дифференцирования сложной функции, обобщенную таблицу производных, а также правило дифференцирования частного двух функций, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
4) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 тогда 13 EMBED Equation.3 1415 Согласно формуле (11.8), получим:
13 EMBED Equation.3 1415
5) Рассмотрим функцию как 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415
Функцию 13 EMBED Equation.3 1415 можно представить в виде 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

6) Перед тем как дифференцировать функцию, преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:
13 EMBED Equation.3 1415
Продифференцируем полученное выражение по формулам (11.3)–(11.5), (11.8) и соответствующим формулам таблицы производных:
13 EMBED Equation.3 1415
Применив далее формулы тригонометрии, окончательно получим:
13 EMBED Equation.3 1415

11.3. Уравнение касательной
и нормали. Физический смысл производной

Производная функции в точке представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке

где – угол наклона касательной к оси Ox. В этом состоит геометрический смысл производной.
Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке где имеет вид:
(11.9)
Прямая, проходящая через точку графика функции перпендикулярно касательной, проведенной в этой точке, называется нормалью к графику функции в точке (рис. 11.1). Уравнение нормали имеет вид:
(11.10)
где

Рис. 11.1

Физические приложения производной
1. Если материальная точка M движется неравномерно по пути, заданному функцией то мгновенная скорость движения в момент времени есть производная от пути S по времени t:
(11.11)
2. Если функцией описывается процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени, то мгновенное ускорение материальной точки в момент времени есть производная от скорости v по времени t:
(11.12)
3. Если – функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температуры T, то теплоемкость тела есть производная от количества теплоты Q по температуре T:

4. Линейная плотность неоднородного тонкого стержня в точке есть производная от массы m по длине l:

5. Мгновенное значение электродвижущей силы индукции равно скорости изменения магнитного потока, т. е. производной от магнитного потока ( по времени t:

6. Сила тока в колебательном контуре в момент времени t0 равна производной заряда q по времени t:


Пример 1. Написать уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x = 2.
Решение. Для нахождения уравнения касательной воспользуемся формулой (11.9). Сначала найдем ординату точки касания Для этого значение подставим в уравнение функции:

Для нахождения углового коэффициента найдем производную используя формулу дифференцирования дроби:

Найдем значение производной при

Подставив найденные значения в формулу (11.9), получаем уравнение касательной:
т. е.
Чтобы написать уравнение нормали, воспользуемся формулой (11.10):

Получим, что уравнение нормали, проведенной к заданной кривой в заданной точке, имеет вид
12. Стереометрия
12.1. Взаимное расположение прямых и плоскостей
в пространстве
Параллельность прямых и плоскостей
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются.
Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.
Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются.
Теоремы о параллельных прямых и параллельных плоскостях:
Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и только одну.
Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна их линии пересечения.
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.
Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и только одну.
Две плоскости, параллельные третьей, параллельны между собой.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Углы между прямыми и плоскостями
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость (угол ( на рис. 12.1).

Рис. 12.1

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными соответственно данным скрещивающимся прямым.
Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей прямой. Полуплоскости называются гранями, прямая – ребром двугранного угла.
Линейным углом двугранного угла называется угол между полупрямыми, принадлежащими граням двугранного угла, исходящими из одной точки на ребре и перпендикулярными ребру (угол ( на рис. 12.2).


Рис. 12.2

Градусная (радианная) мера двугранного угла равна градусной (радианной) мере его линейного угла.
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости.
Две плоскости называются перпендикулярными, если пересекаясь, они образуют прямые двугранные углы.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Теоремы о перпендикулярных прямых и плоскостях:
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.
Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
Перпендикуляр и наклонная
Теорема. Если из одной точки вне плоскости проведены перпендикуляр и наклонные, то:
1) наклонные, имеющие равные проекции, равны;
2) из двух наклонных больше та, проекция которой больше;
3) равные наклонные имеют равные проекции;
4) из двух проекций больше та, которая соответствует большей наклонной.
Теорема о трех перпендикулярах. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной (рис. 12.3).
Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Рис. 12.3

Пример 1. Через данную точку провести прямую, параллельную данной плоскости.
Решение. Анализ. Предположим, что прямая построена (рис. 12.4). Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости (по признаку параллельности прямой и плоскости). Две параллельные прямые лежат в одной плоскости. Значит, построив плоскость, проходящую через данную точку и произвольную прямую в данной плоскости, можно будет построить параллельную прямую.

Рис. 12.4

Построение.
1. На плоскости ( проводим прямую а.
2. Прямая а и точка А задают плоскость. Построим плоскость (.
3. В плоскости ( через точку А проведем прямую b, параллельную прямой а.
4. Построена прямая b, параллельная плоскости (.
Доказательство. По признаку параллельности прямой и плоскости прямая b параллельна плоскости (, так как она параллельна прямой а, принадлежащей плоскости (.
Исследование. Задача имеет бесконечное множество решений, так как прямая а в плоскости ( выбирается произвольно.
12.2. Призма. Параллелепипед
Призмой называется многогранник, две грани которого – равные n-угольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней – параллелограммы (боковые грани). Боковым ребром призмы называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию.
Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 12.9). Если боковые ребра не перпендикулярны плоскостям оснований, то призма называется наклонной. Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники.
Рис. 12.9

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Диагональю призмы называется отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Диагональным сечением называется сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани. Перпендикулярным сечением называется сечение призмы плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы.
Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех граней призмы (т. е. сумма площадей боковых граней и площадей оснований).
Для произвольной призмы верны формулы:
13 EMBED Equation.3 1415 (12.1) где Sбок – площадь боковой поверхности; P – периметр перпендикулярного сечения; l – длина бокового ребра; Sполн – площадь полной поверхности; Sосн – площадь основания; V – объем призмы; H – высота; Q – площадь перпендикулярного сечения.
Для прямой призмы верны формулы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 где p – периметр основания; l – длина бокового ребра; H – высота.
Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм. Параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны к основаниям, называется прямым (рис. 12.10). Если боковые ребра не перпендикулярны основаниям, то параллелепипед называется наклонным. Прямой параллелепипед, основанием которого является прямоугольник, называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

Рис. 12.10
Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. Длины ребер, исходящих из одной вершины, называются измерениями параллелепипеда. Так как параллелепипед – это призма, то основные его элементы определяются аналогично тому, как они определены для призм.
Теоремы:
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
В прямоугольном параллелепипеде квадрат длины диагонали равен сумме квадратов трех его измерений: 13 EMBED Equation.3 1415
Все четыре диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой.
Для произвольного параллелепипеда верны формулы: 13 EMBED Equation.3 1415 где Sбок – площадь боковой поверхности; P – периметр перпендикулярного сечения; l – длина бокового ребра; Sполн – площадь полной поверхности; Sосн – площадь основания; V – объем призмы; H – высота; Q – площадь перпендикулярного сечения.
Для прямого параллелепипеда верны формулы: (12.2) где p – периметр основания; l – длина бокового ребра; H – высота прямого параллелепипеда.
Для прямоугольного параллелепипеда верны формулы:
(12.3) где p – периметр основания; H – высота; d – диагональ; a, b, c – измерения параллелепипеда.
Для куба верны формулы: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 где d – диагональ куба; a – длина ребра.
12.3. Пирамида. Усеченная пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого – многоугольник (основание), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани) (рис. 12.15). Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 12.16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром.








Рис. 12.15 Рис. 12.16

Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию. Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой. Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.
Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.
Теоремы:
1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания.
2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания.
3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание.
Для вычисления объема произвольной пирамиды верна формула: где V – объем; Sосн – площадь основания; H – высота пирамиды.Для правильной пирамиды верны формулы: где Sбок – площадь боковой поверхности; p – периметр основания; hа – апофема; Sполн – площадь полной поверхности; Sосн – площадь основания; V – объем правильной пирамиды; H – высота.
Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 12.17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.
Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Рис. 12.17

Для усеченной пирамиды справедливы формулы:
(12.4)
где Sполн – площадь полной поверхности; Sбок – площадь боковой поверхности; S1, S2 – площади верхнего и нижнего оснований; V – объем усеченной пирамиды; H – высота.
Для правильной усеченной пирамиды верна формула:

где p1 , p2 – периметры оснований; hа – апофема правильной усеченной пирамиды.
12.4. Цилиндр
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой параллельно данной прямой (рис. 12.25).
Данная кривая называется направляющей, а прямые – образующими цилиндрической поверхности. Прямой круговой цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности перпендикулярно плоскости этой окружности. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть цилиндрической (рис. 12.26).
Цилиндром (прямым круговым цилиндром) называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим поверхности (рис. 12.27).








Рис. 12.25 Рис. 12.26 Рис. 12.27

Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей одну из сторон прямоугольника.
Два круга, ограничивающие цилиндр, называются его основаниями. Прямая, проходящая через центры данных кругов, называется осью цилиндра. Отрезки, образующие цилиндрическую поверхность, называются образующими цилиндра. Высотой цилиндра называется расстояние между его основаниями. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось цилиндра. Разверткой боковой поверхности цилиндра называется прямоугольник со сторонами, равными длине окружности основания и длине образующей цилиндра.
Для цилиндра верны формулы:
(12.5) 13 EMBED Equation.3 1415 (12.6) где Sосн – площадь основания; R – радиус основания; Sбок – площадь боковой поверхности; H – высота; Sполн – площадь полной поверхности; V – объем цилиндра.

12.5. Конус. Усеченный конус

Конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной кривой и точку вне кривой (рис. 12.32).
Данная кривая называется направляющей, прямые – образующими, точка – вершиной конической поверхности.
Прямой круговой конической поверхностью называется поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими через каждую точку данной окружности и точку на прямой, которая перпендикулярна плоскости окружности и проходит через ее центр. В дальнейшем эту поверхность будем кратко называть конической поверхностью (рис. 12.33).
Конусом (прямым круговым конусом) называется геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, которая параллельна плоскости направляющей окружности (рис. 12.34).









Рис. 12.32 Рис. 12.33 Рис. 12.34

Конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей один из катетов треугольника.
Круг, ограничивающий конус, называется его основанием. Вершина конической поверхности называется вершиной конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с центром его основания, называется высотой конуса. Отрезки, образующие коническую поверхность, называются образующими конуса. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось конуса. Разверткой боковой поверхности конуса называется сектор, радиус которого равен длине образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса. Для конуса верны формулы: 13 EMBED Equation.3 1415 (12.7) где Sосн – площадь основания; R – радиус основания; Sбок – площадь боковой поверхности; l – длина образующей; Sполн – площадь полной поверхности; V – объем конуса; H – высота.
Усеченным конусом называется часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию конуса (рис. 12.35).
Рис. 12.35
Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг оси, содержащей боковую сторону трапеции, перпендикулярную основаниям.
Два круга, ограничивающие конус, называются его основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между его основаниями. Отрезки, образующие коническую поверхность усеченного конуса, называются образующими. Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью усеченного конуса. Осевым сечением называется сечение, проходящее через ось усеченного конуса.

Для усеченного конуса верны формулы: 13 EMBED Equation.3 1415 (12.8) где Sбок – площадь боковой поверхности; R – радиус нижнего основания; r – радиус верхнего основания; l – длина образующей; Sполн – площадь полной поверхности; V – объем усеченного конуса; H – высота.
12.6. Шар Шар и сфера
Сферой называется множество всех точек пространства, равноудаленных от данной точки.
Данная точка называется центром сферы. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы. Хордой называется отрезок, соединяющий две точки сферы. Диаметром называется хорда, проходящая через центр сферы (рис. 12.40).

Рис. 12.40

Шаром называется геометрическое тело, ограниченное сферой. Центр, радиус, хорда и диаметр сферы называются соответственно центром, радиусом, хордой и диаметром шара (рис. 12.40).
Шар можно рассматривать как тело, полученное при вращении полукруга вокруг оси, содержащей диаметр полукруга.
Сферой также называется поверхность шара.
Плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку, называется касательной плоскостью к сфере (шару). Общая точка называется точкой касания сферы (шара) и плоскости.
Теорема. Для того чтобы плоскость была касательной к сфере (шару), необходимо и достаточно, чтобы эта плоскость была перпендикулярна к радиусу сферы (шара), проведенному в точку касания.
Для шара верны формулы:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 где S – площадь поверхности шара (площадь сферы); R – радиус шара; V – объем шара.
Шаровой сегмент и сферический сегмент
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Круг, получившийся в сечении, называется основанием сегмента. Отрезок, соединяющий центр основания сегмента с точкой поверхности шара, перпендикулярный основанию, называется высотой шарового сегмента (рис. 12.41). Поверхность сферической части шарового сегмента называется сферическим сегментом.

Рис. 12.41
Для шарового сегмента верны формулы:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
где S – площадь сферической части шарового сегмента (площадь сферического сегмента); R – радиус шара; h – высота сегмента; Sполн – площадь полной поверхности шарового сегмента; r – радиус основания шарового сегмента; V – объем шарового сегмента.
Шаровой слой и сферический пояс
Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Круги, получившиеся в сечении, называются основаниями слоя. Расстояние между секущими плоскостями называется высотой слоя (рис. 12.42). Поверхность сферической части шарового слоя называется сферическим поясом.
Шар, шаровой сегмент и шаровой слой можно рассматривать как геометрические тела вращения. При вращении полукруга вокруг оси, содержащей диаметр полукруга, получается шар, соответственно при вращении частей круга получаются части шара: шаровой сегмент и шаровой слой.



Рис. 12.42

Для шарового слоя верны формулы:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
где S1, S2 – площади оснований; R1, R2 – радиусы оснований; S – площадь сферической части шарового слоя (площадь сферического пояса); R – радиус шара; h – высота; Sполн – площадь полной поверхности; V – объем шарового слоя.
Шаровой сектор
Шаровым сектором называется геометрическое тело, полученное при вращении кругового сектора (с углом меньше 90() вокруг оси, содержащей один из боковых радиусов. Дополнение такого тела до шара также называется шаровым сектором. Таким образом, шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса, либо из шарового сегмента без конуса (рис. 12.43 а, б).


а) б)
Рис. 12.43 Для шарового сектора верны формулы: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
где S – площадь поверхности шарового сектора; R – радиус шара; r – радиус основания сегмента; h – высота шарового сегмента; V – объем шарового сектора.

12.7. Комбинации геометрических тел

Сфера, вписанная в многогранник или тело вращения
Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех граней многогранника.
Многогранник соответственно называется описанным около сферы.
Теоремы:
Сферу можно вписать в призму, если призма прямая и ее высота равна диаметру окружности, вписанной в основание призмы.
Сферу можно вписать в пирамиду, если в основание можно вписать окружность, а вершина пирамиды ортогонально проектируется в центр этой окружности.
Сферу можно вписать в любую правильную пирамиду.
Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается оснований и боковой поверхности цилиндра. Цилиндр соответственно называется описанным около сферы.
Теорема. Для того чтобы сферу можно было вписать в цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы высота цилиндра равнялась диаметру его основания.
Сфера называется вписанной в конус, если она касается основания и боковой поверхности конуса. Конус соответственно называется описанным около сферы.
Теорема. Сферу можно вписать в любой конус.
Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается оснований и боковой поверхности конуса. Усеченный конус соответственно называется описанным около сферы.
Теорема. Для того чтобы сферу можно было вписать в усеченный конус, необходимо и достаточно, чтобы образующая усеченного конуса равнялась сумме радиусов оснований.
Теорема. Сферу можно вписать в тело вращения, если в осевое сечение можно вписать окружность.
Сфера, описанная около многогранника
или тела вращения
Сфера называется описанной около многогранника, если все вершины многогранника лежат на сфере. Многогранник соответственно называется вписанным в сферу.
Теоремы:
1. Для того чтобы сферу можно было описать около призмы, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и около основания можно было описать окружность.
2. Для того чтобы сферу можно было описать около пирамиды, необходимо и достаточно, чтобы около основания можно было описать окружность.
3. Сферу можно описать около любой правильной пирамиды.
Сфера называется описанной около цилиндра, если окружности оснований цилиндра лежат на сфере. Цилиндр соответственно называется вписанным в сферу.
Теорема. Сферу можно описать около любого цилиндра.
Сфера называется описанной около конуса, если окружность основания и вершина конуса лежат на сфере. Конус соответственно называется вписанным в сферу.
Теорема. Сферу можно описать около любого конуса.
Сфера называется описанной около усеченного конуса, если окружности оснований конуса лежат на сфере. Усеченный конус соответственно называется вписанным в сферу.
Теорема. Сферу можно описать около любого усеченного конуса.

Многогранники и тела вращения
Цилиндр называется описанным около призмы, если окружности оснований цилиндра описаны около оснований призмы, а боковые ребра призмы являются образующими цилиндра. Призма соответственно называется вписанной в цилиндр.
Теорема. Для того чтобы около призмы можно было описать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и около ее основания можно было описать окружность.
Цилиндр называется вписанным в призму, если окружности его оснований вписаны в основания призмы, а боковая поверхность касается боковых граней призмы.
Теорема. Для того чтобы в призму можно было вписать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая и в ее основание можно было вписать окружность.
Конус называется описанным около пирамиды, если окружность основания конуса описана около основания пирамиды, а боковые ребра пирамиды являются образующими конуса. Пирамида соответственно называется вписанной в конус.
Теорема. Для того чтобы около пирамиды можно было описать конус, необходимо и достаточно, чтобы боковые ребра пирамиды были равны.
Конус называется вписанным в пирамиду, если окружность его основания вписана в основание пирамиды, а боковая поверхность касается боковых граней пирамиды. Пирамида соответственно называется описанной около конуса.
Теорема. Для того чтобы в пирамиду можно было вписать конус, необходимо и достаточно, чтобы в основание пирамиды можно было вписать окружность, а вершина пирамиды ортогонально проектировалась в центр этой окружности.

Пример 1. Шар вписан в прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетом a и противолежащим ему острым углом
·. Найти объем призмы.
Решение. Сделаем рисунок (рис. 12.48). Шар вписан в прямую призму, значит, высота призмы равна диаметру шара, а в треугольник основания вписана окружность, радиус которой равен радиусу шара. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, у которого катет BC = a, противолежащий ему (BAC =
·. Найдем катет AC и гипотенузу AB:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Рис. 12.48

Площадь треугольника ABC равна: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вычислим радиус окружности, вписанной в треугольник:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вычисляем объем призмы по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Получаем ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415










13 PAGE \* MERGEFORMAT 142315



M

a

0

x

y

b

(

z

4

0

x

y

r

(

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

–3

0

x

y

(

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

0

x

y

(

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

О

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

О

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

С

В

А

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

О

(a2

(b2

M

B1

B2

A1

A2

b

а

а

у

х

О

F2

F1

D2

D1

(c2

с

r2

r1

х

(a2

(b2

B1

B2

A1

A2

b

а

b


у

0

F2

F1

D2

D1

(c2

с

а



b

(b

l1

l2

D1

D2

B1

B2

F1

F2

A1

A2

x

y

О

с

–с

с

а



b

(b

D1

D2

B1

B2

F1

F2

A1

A2



с

y

x

О

l1

l2

y

О

p

d

х

–p/2

p/2

p

D

r

F

М(х, у)

y

0

х

–p/2

p/2

D

F

p

y

0

х

–p/2

p/2

D

F

p

y

0

х

–p/2

p/2

D

F

p

а)

б)

в)

М0

у

х

0

у0

х0

(

y = f(x)

(

(

а

(

(

(

с

D

А

(

В

С

(

а

b

A

(

Е1

С1

В1

А1

D

Е

А

В

С

D1

(

D1

B1

А1

D

С

В

А

C1

A

C

B

S

O

S

D

С

В

А

C1

B1

A1

C

B

A

(

(

(

l

а

(

l

A

a



S

(

O

A

l

O

O1

M

B

D

A

O

N



P

(

O1

O

K

C

B

A

O1

O

O2

(

(

O1

O

O1

O

A

P

(

А

В

С




Приложенные файлы

  • doc 10719996
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий