Пособие по стереометрии

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»







Т.Е. Бондаренко, А.С. Потапов





ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ КАРТЫ И ЗАДАЧИ
ПО СТЕРЕОМЕТРИИ

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

УГЛЫ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ И ПЛОСКОСТЯМИ





Учебно-методическое пособие по элементарной математике







ВОРОНЕЖ ВГПУ
2011



УДК 513 (07)
ББК 22.151я7
Б81





Р е ц е н з е н т :

кандидат педагогических наук, почётный профессор Э.С. Беляева (ВГПУ)






Бондаренко Т.Е.
Б81 Теоретические карты и задачи по стереометрии: параллельность и перпендикулярность в пространстве, углы между прямыми и плоскостями: учебно(методическое пособие по элементарной математике / Т.Е.Бондаренко, А.С. Потапов. ( Воронеж: ВГПУ, 2011. – 126 с.



Пособие содержит теоретические сведения по следующим темам курса стереометрии: параллельность и перпендикулярность в пространстве, углы между прямыми и плоскостями, которые представлены в форме карт – справочников. К каждой карте подобран комплекс задач, при решении которых применяются приведённые в ней факты. Задачи сопровождаются чертежами, планами решений и ответами. Пособие предназначено для методического обеспечения курса элементарной математики в педагогическом вузе. Оно может быть использовано учителями средних общеобразовательных учреждений для подготовки учащихся к единому государственному экзамену по математике или для проведения элективного курса в условиях профильного обучения.

УДК 513 (07)
ББК 22.151я7





© Бондаренко Т.Е., Потапов А.С.,2011

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее учебное пособие является продолжением книги «Теоретические карты и задачи по планиметрии». Оно предназначено для совершенствования подготовки студентов и школьников по стереометрии. Предполагается, что курс был предварительно изучен, но либо недостаточно качественно, либо забыт. Возникает необходимость восстановить ранее полученные знания и умения за достаточно сжатые сроки. Для этого полезно обладать целесообразными дидактическими материалами. Один из возможных вариантов таких материалов предлагается читателю.
Выбор тематики пособия определялся востребованностью качественной подготовки абитуриентов и студентов по элементарной геометрии, в частности по стереометрии, и ее крайне низким уровнем.
Пособие состоит из трёх основных разделов: «Параллельность в пространстве», «Перпендикулярность в пространстве», «Углы между прямыми и плоскостями». Перечисленные темы являются основополагающими для успешного формирования умения решать стереометрические задачи.
Каждый раздел включает теоретическую карту по соответствующей теме, доказательства утверждений, содержащихся в ней, и комплекс задач, при решении которых используются утверждения из теоретической карты.
В теоретической карте сосредоточены сведения, полезные при решении задач. Так как курс стереометрии предварительно изучен, то он может быть структурно переформирован. Каждая теоретическая карта объединяет тематически однородные сведения. Содержание таких сведений подобрано из школьных учебников по геометрии [1], [2], [5], [8], [10]. Однако ряд ценных для решения задач фактов остается за пределами учебников. Поэтому в теоретические карты вошли сведения из различных учебных пособий, перечисленных в списке литературы. Так, в раздел «Углы между прямыми и плоскостями» включены базисные задачи из книги И.Г. Габовича [4].
Доказательства утверждений, содержащихся в теоретических картах, приводятся с целью их изучения. Если такие доказательства имеются в школьных учебниках, то они не рассматриваются, а сопровождаются соответствующими ссылками на литературные источники. К каждой теоретической карте предлагаются комплексы задач. Они сопровождаются чертежами, планами решений и ответами. Читателю предлагается самостоятельно найти решение, однако, в случае затруднений, он может воспользоваться приведённым планом – алгоритмом. Мы по–прежнему считаем, что накопление опыта - один из способов научиться решать задачи самостоятельно. Задачи подобраны из различных книг, перечисленных в списке литературы.
Настоящее учебное пособие может быть использовано преподавателями элементарной математики в педагогическом вузе, а также школьными учителями в процессе подготовки учащихся к единому государственному экзамену или в качестве содержательной основы элективного курса по стереометрии.
Авторы выражают благодарность всем, принявшим участие в подготовке пособия к изданию.












I. Параллельность в пространстве
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КАРТА № 1
1.1.Параллельность прямых
Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются [5, с.9], [10, с.11].





Признак параллельности прямых
Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой [5, с.11], [10, с.13].











Свойство параллельных прямых

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость [5, c. 10].


a || b, а пересекает плоскость
· в точке М:
прямая в пересекает плоскость
·.


1.2. Параллельность прямой и плоскости

Определения

1. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек [5, с.11].
2. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют общих точек [10, с.14].






Признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна самой плоскости [5, с.12], [ 10, c.13].

Существует прямая в такая, что
в (
· и в || a: a ||
·.



1.3. Параллельность плоскостей
Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют общих точек. [5, с.20], [ 10, с.15].





Признак параллельности плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны [5, с.20], [10, с.15].
1.4. Дополнительные признаки параллельности прямых
1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой [5, с.12].

2. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны [5, с.21], [10, с.17].








2. Доказательства утверждений теоретической карты №1

2.1.Параллельность прямых
Доказательство признака параллельности прямых приводится в учебниках [5, с.11], [10, с.13].
Доказательство свойства параллельных прямых приводится в учебнике [5, с.10].
2.2. Параллельность прямой и плоскости

Доказательство признака параллельности прямой и плоскости приводится в учебниках [5, с.12], [10, с.14].
2. 3. Параллельность плоскостей
Доказательство признака параллельности плоскостей приводится в учебниках [5, с.20, 21], [10, с.15].
2.4. Дополнительные признаки параллельности прямых
Доказательство первого дополнительного признака параллельности прямых приведено в учебнике [5, с.12].
Доказательство второго дополнительного признака параллельности прямых приводится в учебниках [5, с.35], [10, с.17].












3. Задачи к теоретической карте №1
3.1. Параллельность прямых
№ 1 (устно). На боковых гранях призмы отмечены точки М и N. Как через эти две точки провести два параллельных отрезка? Решить аналогичную задачу, заменив призму пирамидой.

·
·
·
·
·
·
· 2 (устно). Дан параллелепипед. Доказать, что: а) для каждого его ребра в нём найдутся три ребра, ему параллельные (рис.13); б) для каждой диагонали его грани найдётся ей параллельная и равная диагональ в другой грани (рис. 14).










№ 3. Прямая в лежит в плоскости
· и параллельна прямой а, не лежащей в этой плоскости. Через точку М плоскости
· 13 EMBED Equation.3 1415 проведена прямая с, параллельная прямой а. Доказать, что прямая с лежит в плоскости
·.

План доказательства.
13 EMBED Equation.3 1415



№ 4. Даны два параллелограмма АВВ1А1 и АСС1А1 (рис. 16). Доказать,
что
· АВС =
· А1В1С1.

План решения.
1. ВВ1С1С – параллелограмм.
2.
· АВС=
· А1В1С1.



№ 5. Точка М находится вне плоскости параллелограмма ABCD. Найдутся ли параллельные средние линии у треугольников: а) МАВ и МАD;
б) МАВ и МСD?
План решения.
а)
1. Р1- середина ребра DM,
Р6- середина ребра DА,
Р3- середина ребра MВ,
Р5- середина ребра АВ.
2. Р1 Р6 || Р3 Р5.
б) Аналогично Р1Р2 || Р4Р3.









№ 6. Точка М лежит вне плоскости треугольника АВС. Точки К, Р, Е, F – середины отрезков МА, АВ, МС, ВС. Как расположены прямые КР и ЕF?
План решения.
1. Провести МВ.
2. КР||МВ, EF||MB.
3. КР|| EF.






№ 7. На рисунке 20 точки M, H, K, P – середины соответствующих отрезков AD и DC, BC и AB. Найти периметр четырёхугольника MHKP, если МР=8см, АС=32см.






План решения.
1. МНКР – параллелограмм.
2. РК.
3. РМНРК.
Ответ: 48 см.





№ 8. Даны четыре точки, A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости. Доказать, что прямые, соединяющие середины отрезков AB и CD, AD и BC пересекаются в одной точке.


План решения.
1. Провести АС.
2. Доказать, что
NKMF – параллелограмм.
3. О – точка пересечения NM и KF.






№9. ABCDEF – замкнутая пространственная ломанная. Отрезки, соединяющие середины звеньев АВ и EF, ВС и ЕD , равны и параллельны. Параллельны ли звенья CD и AF?


План решения. 1. MKNP – параллелограмм. 2. AC || FD. 3. AC = FD. 4. FACD – параллелограмм. 5. Вывод.

№10. Треугольник ABC и трапеция KMNP имеют общую среднюю линию EF, причём KP || MN, EF || AC. Доказать, что
а) АС || KP; б) вычислить KP и MN, если КР:MN=3:5, АС=16 см.
План решения.
а) EF || KP, EF ||AC. Вывод.
б) 1. EF.
2. Выразить КР и MN через
переменную.
3. Составить и решить уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 6 см, 10 см.

3.2. Параллельность прямой и плоскости

№11 (устно). Дан куб АВСDA1B1C1D1 (рис. 24).
1. Докажите, что а) DC параллельно плоскости грани АА1В1В;
б) АС параллельно плоскости А1C1D;
в) А1D параллельно плоскости грани ВВ1C1С.
2. Назовите все рёбра куба, параллельные плоскости основания.
3. Каким граням куба параллельно ребро АD?
4. М – середина ребра AD, N – середина ребра DC. Докажите, что MN параллельно плоскости диагонального сечения АА1С1С. Назовите все плоскости, проходящие через вершины куба, параллельные MN.









№12 (устно). Средняя линия трапеции лежит в плоскости
·. Пересекают ли прямые, содержащие основания трапеции, плоскость
·? Ответ обосновать.







Рис. 25
№13. Параллельна ли плоскость АSС прямой, проходящей через точки Р и Р1 пересечения медиан треугольников SАВ и SСВ ( рис. 26)? Ответ обосновать.

План решения.
1.
· PBР1~
· MBM1.
2. РР1 || ММ1.
3. Вывод.




№14 (устно). Известно, что прямая параллельна плоскости. Параллельна ли она любой прямой в этой плоскости? Может ли данная прямая пересечь хотя бы одну из прямых плоскости?
№15 (устно). Будут ли параллельны две прямые, параллельные одной и той же плоскости?
№16. Плоскости
· и
· пересекаются по прямой с (рис. 27). Прямая р параллельна каждой из этих плоскостей. Докажите, что она параллельна прямой с.
План доказательства.
1. Существует прямая 13 EMBED Equation.3 1415
2. а( ||
·.
3. а( || с.
4. р || с.




№17. Отрезки АА1, ВВ1, СС1 не лежат в одной плоскости и пересекаются в точке О, являющейся серединой каждого из них. Доказать, что прямая АВ параллельна плоскости А1СВ1.
План решения.
1.
· АОВ=
· А1ОВ1.
2. АВ || А1В1.
3. А1В1( А1СВ1.
3. Вывод.



13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415


№18. Объясните, почему кузлы, на которых пилят брёвна обеспечивают горизонтальное положение бревна.
№ 19. В кубе АВСDA1B1C1D1 точка К1 – середина ребра АВ,
точка К2 – середина ребра АА1, точка К3 – середина ребра А1В1, точка К4 – середина ребра СС1, точка К5 – середина ребра СD. Как расположены между собой такие прямые и плоскости:
а) К2 К3 и К1К4К5;
План решения.
1. К2 К3 || К5 К4.
2. Вывод.

Ответ: К2 К3 || К1К4К5.




б) К1К4 и AB1D;
План решения.
Пусть точка О – середина АВ1.
1. ОС1 – линия пересечения сечения
АВ1С1D и К1К3С1С.
2. К1К4 || ОС1, 13 EMBED Equation.3 1415
3. Вывод.
Ответ: К1К4 || AB1D.






в) В1К5 и К2К3К4;

План решения.
1. К3D || В1К5.
2. К3D пересекает плоскость К2К3К4.
3. Вывод.
Ответ: В1К5 пересекает плоскость К2К3К4.


г) BD и К2К3К5;


План решения.
1.Точка О (середина отрезка К3К5) –
центр симметрии куба.
2. MN || ВD, 13 EMBED Equation.3 1415
3. MN пересекает плоскость К2К3К5.
4. Вывод.
Ответ: BD пересекает плоскость К2К3К5

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
№ 20. В правильной четырёхугольной пирамиде провести плоскость через диагональ основания параллельно боковому ребру. Сторона основания равна а, а боковое ребро равно в. Определить площадь полученного сечения.









План построения. План вычисления площади.
1. ОК || PD в плоскости BPD (рис. 33) 1. АС.
2. АК, КС. 2.
· АКС – равнобедренный.
3.
· АКС – искомое сечение. 3. ОК – высота
· АКС.
4.
· BPD ~
· BKO, k=2.
5. OK. 6.S
· ABC.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№ 21. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, параллельной прямой AD, проходящей через вершину С и внутреннюю точку М ребра АВ. Найти площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра имеет длину а и точка М делит ребро АВ пополам.











План построения. План вычисления.
1. MN || AD. 2. NC. 3.CM. 1. Вид сечения MNC.
4. MNC – искомое сечение. 2. NM. 3. МС. 4. РС. 5. S
·NMC.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415


№ 22. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена плоскость, которая параллельна медиане основания BN и пересекает боковые ребра SA в точке К, а SB в точке L, причём SK=13 EMBED Equation.3 1415 Вычислить, в каком отношении плоскость сечения делит ребро SC?


План построения.
1. Сечение BSN.
2. LT || BN (рис. 36).
3 .KT.
4. Точка Р – пересечение КТ и SC.
5. PL.
6. LK.
7.
· LPK – искомое сечение.


План вычисления.
Рассмотреть грань пирамиды АSC.
Провести AR || KP, NQ || KP (рис. 37).
1. ST= 13 EMBED Equation.3 1415
2. ST=TF=FN.
3. SP=PR=RQ.
4. RQ=QC.
5. SP=PR=RQ=QC.
6. SP: PC=1: 3.

Ответ: 1: 3.


№ 23. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка М принадлежит ребру SD. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки В, М и параллельной прямой АС.


План построения.
1. МВ (рис. 38).
2. О – точка пересечения SQ и МВ.
3. KF: O( KF и KF || AC (рис.39).
4. Сечение KMFB (рис.40).





№ 24. Пусть АВСA1B1C1 – правильная призма. Точка К – середина ребра АС. 1) Отметить точку L на ребре В1С1, такую, чтобы отрезок KL был параллелен грани АА1В1В. 2) Как вычислить длину LK, если рёбра призмы известны?
1) 2)










План построения. План вычисления. 1. Точка F – середина АВ. 1. КМ. 2. KL.
2. FB1.
3. Прямая р: р || FB1 и К( FB1.
4. L – точка пересечения прямой р и B1C1.
5. Доказать, что LК || АА1В1В.
№ 25 (устно). В правильной призме АВСА1В1С1 точка К – середина ребра ВВ1. Провести сечение призмы плоскостью, проходящей через точку К параллельно АС. Какое из них: а) параллельно В1С; б) параллельно А1В; в) имеет наибольшую площадь; г) имеет наименьшую площадь?









3.3.Параллельность плоскостей
№ 26 (устно). Верно ли утверждение, что если плоскости
· и
· параллельны и прямая а лежит в плоскости
·, то эта прямая параллельна плоскости
· (рис. 47).






№ 27 (устно). Доказать, что 1) противоположные грани параллелепипеда параллельны; 2) сечения параллелепипеда, проходящие через тройки его вершин А, В1, С и А1, С1, D, параллельны между собой. Сколько пар таких сечений можно провести?












№ 28 (устно). Если две параллельные прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то будут ли эти плоскости параллельны?







№ 29 (устно). Верно ли утверждение: если две прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны?







№ 30 (устно). Основание призмы - трапеция. Доказать, что призма имеет только одну пару параллельных боковых граней.












№ 31 (устно). Дан тетраэдр DABC. Точки М, N, P являются серединами ребер DA, DB, DC. Доказать, что плоскости MNP и ABC параллельны.









№ 32 (устно). Две стороны треугольника параллельны плоскости
·. Доказать, что и третья его сторона параллельна плоскости
·.







№ 33. Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Доказать, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.

План доказательства.
1. (A1OB1=(A2OB2.
2. A1B1|| A2B2.
3. (A1OC1=(A2OC2.
4. A1C1|| A2C2.
5. Вывод.

В задачах №34( №35 выбираются два отрезка, лежащие на скрещивающихся прямых.
№ 34. Дана правильная треугольная пирамида. Построить два её параллельных сечения, проходящих через:
1) среднюю линию основания и среднюю линию боковой грани;

План построения.
MN, РQ – средние линии
1. МК || AD.
2. КN.
3. Плоскости MKN и ADC параллельны.





2) апофему и среднюю линию боковой грани;
План построения.
MN – средняя линия грани ADC,
DQ – апофема.
1. NP || DQ.
2. PM.
3. QC ||PM.
4. Плоскости PNM и QDC параллельны.





3) среднюю линию основания и медиану боковой грани;

План построения.
MN – средняя линия грани AВC,
DР –медиана боковой грани ADC.
1. ВDP.
2. Q – точка пересечения MN и BP.
3. QK || DP.
4. MKN.
5.Плоскости MKN и ADC параллельны.

4) медианы двух боковых граней;

План построения.
DM –медиана боковой грани ADC,
АК – медиана боковой грани AВD
1. BDM.
2. KP || DM.
3. AP.
4. Q – точка пересечения АР и ВС.
5. QK.
6. MN || AQ.
7. DN.
8. Плоскости КАQ и DMN параллельны.






5) высоту пирамиды и среднюю линию боковой грани;

План построения.
MN – средняя линия грани ADC,
DО – высота пирамиды.
1. APD.
2. NQ ||DO.
3. MQ.
4. K – точка пересечения
5. KN. 6. DE || NK. 7. EC
8.Плоскости KNM и DEC параллельны.

6) высоту пирамиды и медиану боковой грани.
План построения.
DO – высота пирамиды,
ВN – медиана боковой грани.
1. DAM.
2. NK || DO.
3. ВК.
4. F – точка пересечения ВК и АС.
5. FN.
6. QP || BF, O(QP.
7. DQ.
8. Плоскости ВNF и DQP – параллельны.





№ 35. Пусть АВСDA1B1C1D1 ( куб. Построить два его сечения, параллельных между собой и проходящие через:
1) АС и В1D1;
План построения.
1. А1С1.
2. BD.
3. Плоскости граней ABCD и A1B1C1D1
параллельны.



2) АС и С1D;
План построения.
1. АВ1. 2. В1С.
3. А1С1. 4. А1D.
5. Плоскости АСВ1 и С1DА параллельны.


3) АС и В1D;
План построения.
1. OK ||B1D.
2. AK. 3. KC.
4. MN || AC.
5. Q – точка пересечения MN и В1D.
6. MB1. 7. B1N. 8. ND. 9. DM.
10.Плоскости треугольника АКС и четырёхугольника MB1ND параллельны.


4) АС и О1О2, где О1 и О2 – центры граней
АА1В1В и А1В1С1D1.
План построения.
1.А1С1. 2. А1В. 3. С1В.
4. АС. 5. АD1. 6. CD1.
7. Плоскости А1С1В и АСD1
параллельны.


№ 36. В правильном тетраэдре с ребром а DO – высота тетраэдра. Точка М – середина DO. 1) Провести через точку М сечение, параллельное плоскости ACD. 2) Вычислить периметр и площадь сечения.

План построения.
1. P – точка пересечения ВО и АС.
2. Плоскость BDP.
3. RQ || DP, M(RQ.
4. KN || AC, Q( KN.
5. RK.
6. RN.
7. Сечение KRN параллельно грани ADC.

2) 1. ( KRN ~ ( ADC. 2. Коэффициент подобия k=RQ : DP. 3. Р(АDC.
4. Р(KRN. 5. S (АDC. 6. S(KRN.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415




3.4. Дополнительные признаки параллельности прямых
№ 37 (устно). SABCD – правильная пирамида. Как построить линию пересечения плоскостей граней SAD и SBC, SAB и SDC? Ответ обосновать.











№ 38 (устно). Изобразить параллелограмм ABCD и точку Р, не лежащую в плоскости этого параллелограмма. Отметить точки E, K, M, H – середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Как построить линию пересечения плоскостей PEH и PKM? Ответ обосновать.








№ 39 (устно). АВСDA1B1C1D1 - куб. Как построить линию пересечения плоскости DA1C1 и плоскости грани АВС? Ответ обосновать.








№ 40 . Основание пирамиды SABCD – трапеция ABCD. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AD и точку М, принадлежащую грани BSC.
План построения.
1. KN || BC, М(KN.
2. AK.
3. ND.
4. AKND – сечение.
5. Доказать, что сечение искомое.




№ 41. Треугольники ABC и DBC не лежат в одной плоскости и имеют общую сторону, точки М, Н и К – середины соответственно сторон BD, CD, AC. 1) Построить l линию пересечения плоскостей МКН и АВС. 2) Построить точку Р пересечения плоскости МКН и прямой АВ. 3) Найти РК, если ВС=8.
4) Доказать, что отрезки РН и МК пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.
1. 2. 3.4.

1) План построения. 3)
1. Прямая l: l( ABC, K(l, l || BC. 1. PK– средняя линия (BAC.
2. Доказать, что l – искомая линия 2. PK=4.
пересечения плоскостей. 4)
2) План построения. 1.KH – параллелограмм,
1. P= l ( AB. MK, PH – диагонали.
2. Доказать, что Р – искомая точка 2. Вывод.
пересечения прямой и плоскости.
№ 42. Треугольник APD и трапеция ABCD имеют общую сторону AD и лежат в разных плоскостях. Через основание ВС трапеции и середину отрезка PD – точку К проведена плоскость, которая пересекает прямую АР в точке М. Найти МК, если AD = 10.
План решения.
1. l – линия пересечения плоскостей
BCK и PAD.
l( ADP, K(l, l || AD.
2. M – точка пересечения прямой АР
и плоскости ВСК.
3. МК – средняя линия (APD, MK=5.
№ 43 (устно). Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны. Доказать по рисунку 74.






№ 44. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания а и боковое ребро в. Провести в этой пирамиде плоскость через середины рёбер АВ и ВС параллельно ребру SB. Определить периметр полученного сечения.
План построения.
1. MN.
2. MP(SAB, MP || SB.
3. NQ(BSC, NQ || SB.
4. PQ.
5. MNQР – сечение.
6. Обосновать построение сечения.
План вычисления.
1. MN. 2. MP. 3. PMNQP.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 45. Построить сечение правильной четырёхугольной пирамиды, проходящее через середины двух смежных сторон основания и середину высоты. Вычислить периметр полученного сечения, если каждое ребро пирамиды равно а.





План построения.
Пусть точки K, F – середины смежных сторон АВ и ВС основания пирамиды,
Р ( середина высоты .
1. KF.
2. В плоскости ASC через точку Р
построить MN || AC (рис. 76).
3. Q = KF ( BD.
4. QP. 5. L = QP ( SD (рис. 77).
6. Обосновать, что KMLNF–
искомое сечение (рис. 78).

План вычисления.
1. KF. 2. MK. 3. LQ. 4. LP. 5. Вид ( MLN. 6. Вид ( LPN. 7. PN. 8. LN. 9. PKMLNF.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415




№46 (устно). Построить сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через вершины А, С и точку М ребра A1B1.

1. MP || A1C1.
2. АМРС – искомое сечение.
3.Обосновать, что АМРС–
искомое сечение (рис. 79).





№ 47 (устно). Через вершину тетраэдра проведена плоскость, параллельная противолежащей грани. Как построить линии пересечения этой плоскости с плоскостями остальных граней тетраэдра?


Назвать линии пересечения плоскости
· с гранями BPA, APC, BPC и обосновать выбор.





№ 48. В кубе ABCDA1B1C1D1 середины К и L противолежащих рёбер АА1 и СС1 соединены отрезками прямых с вершинами куба В и D1. Определить вид получившегося четырёхугольника KBLD1 и найти его стороны и диагонали. Ребро куба равно а.


Ответ:
ромб;13 EMBED Equation.3 1415




№ 49. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 AB=1, AA1=4. Построить сечение призмы, параллельное АС и проходящее через точки D1 и К – середину AA1. Вычислить площадь полученного сечения.
План построения.
1. КК1 || АС.
2. D1K.
3. D1K1.
4. l: l || D1K1, K ( l, KB.
5. p: p|| D1K, K1( p, K1B.
6. Обосновать, что D1KBК1 – искомое
сечение.
План вычисления.
1. Вид сечения.
2. КК1. 3. D1В. 4. S13 EMBED Equation.3 1415.

Ответ: 3.
№ 50. Основанием правильной призмы служит шестиугольник со стороной 3 дм; высота призмы равна 13 дм. Определить площадь сечения, проведённого через две противолежащие стороны верхнего и нижнего оснований призмы.












План построения.
1. Х – точка пересечения прямой FE и плоскости грани СС1DD1.
2. C1Х, точка N.
3. MF || C1N.
4. EN.
5. MB1 || EN.
6. Обосновать, что FMB1C1NE – искомое сечение.
План вычисления.
1.13 EMBED Equation.3 1415=2SFMNE.
2. MN. 3. NE. 4. PN. 5. PE. 6. SFMNE.
7. 13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: 63 дм2.

№ 51. На параллельных плоскостях
· и
· выбрано по паре точек А1, А2 и В1, В2 соответственно так, что прямые А1В1 и А2В2 пересекаются в точке S. Вычислить SA1 и SB2, если А1В1=6 см, SA2=2,5 см SB2 : SA2=3.



План решения.
1. ( SB1B2 ~ ( SA1A2.
2. Коэффициент подобия.
3. SB2.
4. Выразить SA1через SB1.
5. SA1.
Ответ: 1,5 см; 7,5 см.




Рассмотреть иное расположение заданных геометрических фигур (рис. 86) и решить задачу для второго случая.
Ответ: 3 см и 7,5 см.











№ 52. Три прямые, проходящие через одну точку и не лежащие в одной плоскости, пересекают одну из параллельных плоскостей в точках А1, В1 и С1, а другую – в точках А2, В2 и С2. Докажите, что треугольники А1В1С1 и А2В2С2 подобны.

Указание.
Доказать пропорциональность сторон
треугольников А1В1С1 и А2В2С2 или равенство их углов.
Рассмотреть иное расположение заданных геометрических фигур и решить задачу для второго случая.



№ 53. В правильной треугольной пирамиде SABC через SD и СЕ, где D – середина АВ, Е – середина SA проведены сечения пирамиды, параллельные между собой. Определить площадь большего из них, если площадь меньшего равна Q.

План построения.
1. ME || SD.
2. MC.
3. DР || MC.
4. SР.
5. SDР || EMC.



План вычисления.
1. (SDР = (EMС = (. 2. Выразить площадь ( SDР через SD, DР и (.
3. Выразить SD через ME. 4. Выразить DР через MC.
5. Выразить площадь ( SDР через ME, MC и ( .
6. Выразить площадь ( SDР через площадь ( MEC. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
II. Перпендикулярность в пространстве
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КАРТА №2
1.1 Перпендикулярность прямых
Определения
1. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом [10, c. 25].

2. Скрещивающиеся прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90( [10, c.50].
(Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым [10, c. 50]).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
3. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°[5, c. 34].

13 EMBED Equation.3 1415

Признаки перпендикулярности прямых
1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой [5, с. 34].

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
2. Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они перпендикулярны [10, с.25].
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

1.2. Перпендикулярность прямой и плоскости

Определения

1. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости [10, c.34].
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
2. Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения [10,с. 26].
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
1. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости [5, с. 36], [10, с. 26].
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
1.3. Перпендикулярность плоскостей
Определения
1. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым [10, с. 32].







2. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90° [5, с.52]. (Определение угла между плоскостями приведено на странице 73).

13 EMBED Equation.3 1415





Признак перпендикулярности плоскостей

Если одна из плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны [5, с.49], [10, с. 33].
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

1.4. Дополнительный признак перпендикулярности прямых
Теорема о трёх перпендикулярах: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна к её проекции на эту плоскость, то она перпендикулярна и к самой наклонной [5, c. 42], [10, c. 31].

Справедлива и обратная теорема: если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна к ней, то она перпендикулярна и к её проекции [5, c. 42], [10, c.31 ].
Обобщённая теорема о трёх перпендикулярах: любая прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и наклонной [10, задача 33, с. 62].
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Справедлива и обратная теорема: любая прямая на плоскости, перпендикулярная наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и её проекции.
1.5. Дополнительные признаки перпендикулярности прямой и плоскости
1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости [5, с. 35], [10, с. 28].







2. Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и к другой плоскости [5, с.40, задача 132], [8, с. 17].
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415




3. Если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна их линии пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости [10, стр. 41, задача 58].







4. Линия пересечения двух плоскостей, перпендикулярных к третьей плоскости, есть перпендикуляр к этой плоскости [8 ,c. 24].


13 EMBED Equation.3 1415



1.6. Дополнительные признаки перпендикулярности плоскостей
1. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей [5, с. 49].
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415







2. Если две плоскости параллельны и одна из них перпендикулярна к третьей плоскости, то и вторая перпендикулярна к ней.








2. Доказательства утверждений теоретической карты №2
2.1. Перпендикулярность прямых
Доказательство признака перпендикулярности прямых (1) приводится в учебнике Атанасяна [5,с. 34].
Доказательство признака перпендикулярности прямых (2) приводится в учебнике Погорелова [10, с.25]
2.2. Перпендикулярность прямой и плоскости
Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости приводится в учебниках [5, с. 36], [10, с. 26].
2.3. Перпендикулярность плоскостей.
Доказательство признака перпендикулярности плоскостей приводится в учебниках [5, с.49], [10, с. 33].
2.4. Дополнительный признак перпендикулярности прямых
Доказательство теоремы о трёх перпендикулярах приводится в учебниках
[5, c. 42], [10, c. 31]. Обобщённая теорема доказана в учебнике [10, задача 33, с. 50].
2.5. Дополнительные признаки перпендикулярности прямой и плоскости

Доказательство первого дополнительного признака перпендикулярности прямой и плоскости приводится в учебниках [5, с. 35], [10, с. 28].
Приведём доказательство второго дополнительного признака перпендикулярности прямой и плоскости [5, с.40, задача 132].
2.








Дополнительные построения
1. Построим любую плоскость 13 EMBED Equation.3 1415 АВ – линия пересечения 13 EMBED Equation.3 1415 А1В1 – линия пересечения 13 EMBED Equation.3 1415
2. Построим любую плоскость 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 АС – линия пересечения 13 EMBED Equation.3 1415 А1С1 – линия пересечения 13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство
1. (BAA1=90°, так как l (
·.
2. АВ || A1B1, так как
· ||
·, тогда (BAA1=(A A1B1=90°.
3. Аналогично (A A1С1=90°.
4. Из (1) и (2) следует, что l (
·.
Ниже приведено доказательство третьего дополнительного признака
перпендикулярности прямой и плоскости.
Доказательство.
Дополнительные построения.
Пусть АО ( другое обозначение прямой а, где О – точка пересечения прямых а и с. Проведём в плоскости
· прямую ОВ ( с.
1. (АОВ – линейный угол двугранного угла, образованного перпендикулярными плоскостями
· и
·. (АОВ=90°.
2. АО(с ( по условию) и АО(ОВ ( пункт 1), следовательно АО (
·.
4.Доказательство четвёртого дополнительного признака перпендикулярности плоскостей приведено в учебнике [5, с. 49].
2.6. Дополнительные признаки перпендикулярности плоскостей
Приведём доказательство второго дополнительного признака перпендикулярности плоскостей.

Доказательство
1. Существует прямая а:13 EMBED Equation.3 1415
2. Проведем плоскость (: 13 EMBED Equation.3 1415и пересекает плоскость
· по прямой b.
3. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то а || в, но тогда 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415






3. Задачи к теоретической карте №2
3.1. Перпендикулярность прямых
№ 1 (устно). Стороны четырёхугольника ABCD и прямоугольника A1B1C1D1 соответственно параллельны. Доказать, что ABCD – прямоугольник.
№ 2 (устно). Дан параллелепипед ABCD A1B1C1D1. Доказать, что
1) CD13 EMBED Equation.3 1415В1C1 и AB13 EMBED Equation.3 1415A1 D1, если (BAD=90°.
2) AB(CC1 и DD1(A1B1, если AB(DD1.








№ 3 (устно). В тетраэдре DABC ВС(AD. Доказать, что AD(MN, где M и N – cередины рёбер AB и АC.








№ 4 (устно). РАВСD – правильная пирамида, Q – центр её основания. Как построить прямую, проходящую через точку Р и перпендикулярную прямой 1) AD; 2) AC; 3) PQ? 4)Как построить прямую, проходящую через точку К – середину ребра AD, перпендикулярно PQ? Рассмотреть решения для
случая пересекающихся и скрещивающихся перпендикулярных прямых. Ответы обосновать.
Ответы.
1) PK; прямая l: 13 EMBED Equation.3 1415
2) PQ; прямая p: 13 EMBED Equation.3 1415
3) прямая п: 13 EMBED Equation.3 1415
4) KQ; прямая 13 EMBED Equation.3 1415



3.2. Перпендикулярность прямой и плоскости.
№ 5 (устно). ABCDA1B1C1D1 – куб. Как построить прямую, которая проходит: 1) через точку С и перпендикулярна прямой С1D; 2) через точку С1 и перпендикулярна прямой BD? Ответы обосновать.

Ответы.
1)CD1(C1D; BC(C1D.






2) C1O(BD; C1C(BD.





№ 6. Если даны две прямые такие, что одна из них параллельна, а другая перпендикулярна к плоскости, то они перпендикулярны. Доказать.

Дано: 13 EMBED Equation.3 1415
Доказать: 13 EMBED Equation.3 1415
План доказательства.
1. Существует прямая 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415


№ 7. Точки А и В являются проекциями точки М на плоскости граней двугранного угла. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна к его ребру.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
План доказательства.
1. с ( АМ, с ( ВМ.
2. с ( МАВ.
3. с ( АВ.



№8. Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны. Доказать.
Доказательство приведено в учебниках [5, с. 36], [10, с. 29].
№ 9. Общая сторона АВ треугольников АМВ и АКВ лежит на данной плоскости. Проекции сторон АМ и АК на эту плоскость перпендикулярны АВ. Как расположены относительно друг друга АВ и плоскость МАК?




План решения.
1. Точки М1, А, К1 принадлежат
одной прямой.
2. Точки М1, М, К, К1
принадлежат одной плоскости
·.
3. АВ (
·.
4. АВ ( МАК.
№ 10. Дан квадрат ABCD. О - точка пересечения его диагоналей, точка К не принадлежит плоскости квадрата, причём АК=ВК=СК=DК. Как расположена прямая АО относительно сторон треугольника ВКD?

План решения.
АО ( BD.
AO ( OK.
Вывод.




№ 11. Доказать, что плоскость, проходящая через высоту и апофему правильной пирамиды, перпендикулярна стороне основания.
План доказательства.
1. SK ( AB.
2. OK ( AB.
3. Вывод.



№ 12. Прямая ВМ перпендикулярна к плоскости прямоугольника ABCD. Доказать, что прямая, по которой пересекаются плоскости ADМ и ВСМ, перпендикулярна к плоскости АВМ.
План доказательства.
1. Пусть НК – линия пересечения
плоскостей ADМ и ВСМ. НК|| AD.
2. AD(AВM.
3. НК(AВM.




№ 13 . Дано: ABCD – трапеция, АВ=СD,
О – центр окружности, описанной вокруг трапеции,
ОЕ(АВС. АЕ=10, ОЕ=8, (ВАD=30°.
Найти: BD.
План решения.
1. (AEO – прямоугольный.
2. АО.
2. О – центр окружности,
описанной вокруг (ABD.
3. BD (по теореме синусов).


№ 14. В основании пирамиды РАВСD лежит квадрат АВСD со стороной 6 см, а ребро РС перпендикулярно к основанию. Точка К лежит на боковом ребре АР и делит его в отношении 1: 2, считая от точки А. Найти расстояние от точки К до плоскости DPС.


План решения.
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. HK || AD.
3. НК – искомое расстояние.
4. 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
5. НК.
Ответ: 4.

№ 15. Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости ( и пересекающие её в точках Р1 и Q1 соответственно. Найти Р1Q1, если PQ=15см, PP1=21,5 см, QQ1=33,5 см.
План решения.
1. P1PQQ1 – трапеция.
2. Провести PR || P1Q1. P1Q1=PR.
3. QR.
4. PR.
5. P1Q1. Ответ: 9 см

№16. Точка М принадлежит грани ADС тетраэдра ABCD, у которого AB=BD, AC=CD. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М и перпендикулярной ребру AD.
План построения.
Точка О: АО=OD.
СО ( АD.
KL: M( KL, KL||CO.
OB (OB(AD).
KP||OB.
LP.
LKP–искомое сечение. Доказать.
№ 17. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1В1C1D1 и точка М, являющаяся внутренней точкой сечения АА1С1С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М и перпендикулярной: 1) прямой ВВ1; 2) прямой ВС.
1) План построения.
FL: M( FL, FL || AC.
FK ||AB. 3.KL.
4. LH || DC.
5. FH
6. FKLH – искомое сечение Доказать.


2) План построения.
1. РТ: М( РТ, РТ || АА1.
2. FH: Т( FH, FH || AB.
3. FKLH – искомое сечение. Доказать.





№ 18. Пусть АВСDA1B1C1D1 - куб. Построить сечение этого куба плоскостью, проходящей через вершину А и перпендикулярной:

1) BD.
План построения.
1. АС.
2. АА1С1С – искомое сечение. Доказать.

2) CD1.
План построения.
1. С1D.
2. AB1C1D– искомое сечение. Доказать.





3) С1D.
План построения.
1. BA1 D1C ( C1D. Доказать.
2. APQD || BA1CD1.
3. AD – искомое сечение.



№ 19. Пусть РАВС – правильный тетраэдр, точка Q – центр его основания, точка К – середина ребра РС. Постройте его сечение плоскостью, проходящей:

1) через Q перпендикулярно АС.


План построения.
1. BQ
2. L – точка пересечения AC и BQ.
3. PLB – искомое сечение. Доказать.


2) через Q перпендикулярно РВ.
План построения.

1. LF: LF || AC, Q ( LF.
2. М – середина РВ.
3. FD || CM.
4. LDF – искомое сечение. Доказать.




3) через К перпендикулярно РС.
План построения.
1. АК.
2. КВ.
3. АКВ – искомое сечение. Доказать.



4) через К перпендикулярно АВ.
План построения.
1. CQ.
2. М – точка пересечения CQ и АВ.
3. МРС – искомое сечение. Доказать.







5) через Р перпендикулярно ВК.
План построения.
1. AO ( CPM.
2. Прямая l : l || AO, P( l.
3. Плоскость (: PB( ( и l ( (.
4. РВ – искомое сечение. Доказать.


3.3. Перпендикулярность плоскостей
№ 20 (устно). Доказать, что плоскость, проходящая через высоту и апофему правильной пирамиды перпендикулярна её боковой грани.
План доказательства
АВ(SOK.
ASB(SOK.





№ 21 (устно). Доказать, что диагональные сечения куба взаимно перпендикулярны.
План доказательства
BD ( AA1C1C.
AA1C1C ( BB1D1D.





№ 22 (устно). Доказать, что сечения куба AA1C1C и BC1D взаимно перпендикулярны.

План доказательства
1. BD ( AA1C1C.
2. AA1C1C ( BС1D.




№ 23 (устно). Треугольники АВС и ABD равносторонние и лежат в перпендикулярных плоскостях.
1) Доказать, что плоскость CKD перпендикулярна плоскости каждого из них, если К – середина стороны АВ.
План доказательства.
1. АВ ( СКD.
2. АСВ ( СКD.
3. АВD ( СКD.




2) Будут ли перпендикулярны плоскости АCD и BCD?
План решения.
1. К – середина CD.
2. (АКВ – угол между плоскостями
ACD и СВD.
3.АК2 + КВ2
· АВ2.
Ответ: не будут.
№24. В правильной четырёхугольной пирамиде две противоположные боковые грани боковые грани взаимно перпендикулярны. Доказать, что и другие боковые грани также взаимно перпендикулярны.








Дополнительные построения.
Рис. 142
р – линия пересечения плоскостей ASB и DSС (p|| AB).
Точки Н и К: AH = HB, DK = KC.
(МSK ( угол между гранями ASB и DSС.
Аналогичные построения для граней ASD и BSC (рис. 143).
(MSN ( угол между гранями ASD и BSC
План доказательства.
(НSK = 90(.
2. ( HSK =( MSN: (HSK = (MSN = 90(, ASD ( BSC.
№ 25. Пусть ABCD и ABKL – квадраты, плоскости которых перпендикулярны. Доказать, что
1) плоскость ADL перпендикулярна
плоскости каждого квадрата.
План доказательства.
1. АВ ( ADL.
2. ADL ( ABCD.
3. ADL ( ABKL.
2) ADK ( ABKL.
План доказательства.
1. АD ( ABKL.
2. ADK ( ABKL.




3) ADK ( BCL.
План доказательства.
1. AK ( BLC.
2. ADK ( BCL.




4) KLD ( ALD.
План доказательства.
1. LK ( ALD.
2. KLD ( ALD.



5)ALC ( BKD.
План доказательства.
1. AC ( DKB.
2. ALC ( BKD.

Дополнительный признак перпендикулярности прямых
(теорема о трёх перпендикулярах)
№ 26 (устно). К плоскости прямоугольника ABCD проведен перпендикуляр СМ. Доказать, что прямая МD перпендикулярна прямой ВС.
План доказательства.
1. MD ( AD.
2. AD || BC.
3. Вывод.




№ 27. Катеты прямоугольного треугольника АВС равны 15 и 20. Из вершины прямого угла С проведён к плоскости этого треугольника перпендикуляр CD, равный 35. Найти расстояние от точки D до гипотенузы АВ.
Дополнительные построения.
1.CD ( AB.
2. DM.
План решения
1. АВ.
2. СМ.
3. DM.
Ответ: 37.

№ 28. Стороны треугольника относятся как 10:17:21, а его площадь равна 84. Из вершины большего угла этого треугольника проведён перпендикуляр к его плоскости, равный 15. Найти расстояние от его концов до большей стороны.


Дополнительные построения.
Те же, что и задаче № 27.
План решения.
Стороны (АВС
(используя формулу Герона).
2. СК.
3. DK.
Ответ: 8, 17.

№ 29 (устно). Из вершины А треугольника АВС проведён к его плоскости перпендикуляр AD. Из точки D опущен перпендикуляр на сторону ВС. При каких условиях этот перпендикуляр пройдёт через один из концов отрезка ВС?


Ответ: если (В=90( или (С=90(.





№ 30. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка К, отстоящая от сторон АВ и DC параллелограмма на расстояния, равные КМ и КЕ. Доказать, что МЕ – высота параллелограмма.
Дополнительные построения.
КО ( ABCD.
ОЕ ( DC.
КЕ – заданное расстояние.
Аналогично КМ – заданное расстояние.

План доказательства
Доказать, что точки М, О, Е лежат на одной прямой.
2. Вывод.





№ 31. Через вершину В квадрата ABCD к его плоскости проведён перпендикуляр ВМ. Известно, что МВ = m, AB = n. Найти расстояние от точки М до сторон квадрата и до прямой АС.
План решения.
1. МВ – расстояние от точки М до
сторон АВ и ВС.
2. МВ = m.
3. МА – расстояние от точки М до
стороны AD.
4. МА.
5. МС – расстояние от точки М до
стороны DС.
6. МС.
7. МО – расстояние от точки М до стороны АС. 8. МО.
Ответ: МВ = т, МА = МС = 13 EMBED Equation.3 1415, МО = 13 EMBED Equation.3 1415.

№ 32 (устно). Существует ли четырёхугольная пирамида, у которой каждая боковая грань – прямоугольный треугольник?


Ответ: существует. Это пирамида в основании которой лежит прямоугольник, в частности, квадрат, и одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоскости основания (рис. 156).


№ 33. Из вершины А прямоугольника ABCD проведён к его плоскости перпендикуляр АМ, конец М которого отстоит от других вершин на расстоянии 6, 7 и 9. Найти длину перпендикуляра АМ.

План решения.
1. DC.
2. AM.
Ответ: 2.


№ 34. Основанием пирамиды служит квадрат, её высота проходит через одну из вершин основания. Определить боковую поверхность этой пирамиды, если сторона основания равна 20 см, а высота равна 21 см.

План решения.
1. Площадь (МВС и (АМВ.
2. МС.
3. Площадь (МСD и (МАD.
4. Площадь боковой поверхности
данной пирамиды.
Ответ: 1000.
35. К плоскости квадрата ABCD проведён перпендикуляр ВР, равный 3 см. PD = 5см. Найти периметр треугольника АОС, где О – центр окружности, описанной около треугольника APD.
Дано: ABCD – квадрат, ВP(ABCD,
PD=5, BP=3,
О – центр oкружности, описанной около (APD.
Найти: Р(СОА.
План решения.
1. BD=AC. 2. Центр О – середина PD.
3. ОР. 4. ОР=ОА. 5.ОА=ОС. 6.Р(АОС . Ответ: 9.
№ 36. Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной а. Одна из боковых граней также равносторонний треугольник и перпендикулярна к плоскости основания. Определить боковую поверхность этой пирамиды.

Построения.
SO(AC.
2. M – середина AB.
3. OK || CM.



План решения.
1. S(ASC. 2. SO(ABC. 3. SK – высота (ASB. 4. SO. 5. OK. 6. SK.
7. S(ASB. 8. (ASB=(CSB. 9. Sбоковой поверхности.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

№ 37. Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник со стороной а. Одно из боковых рёбер перпендикулярно к плоскости основания и равно стороне основания. Определить боковую поверхность этой пирамиды.









План решения.
1. Построения: СЕ ( FE, CA ( AF (рис.162).
2. (SCD, (SEF –прямоугольные (рис. 161)
3. Площадь (SCD. 4. СЕ, SE, площадь (SEF.
5. Построения: СК( ED, SK (рис. 163, 164).









6. CK, SK, площадь (SED. 7. (SCD=(SCB, (SFE= (SAF, (SED=(SAF.
8.Боковая поверхность пирамиды. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№ 38. Существует ли четырёхугольная призма, у которой сечение, проходящее через параллельные рёбра верхнего и нижнего основания – прямоугольник?









Ответ: существует. Это прямая призма, в основании которой лежит прямоугольник (квадрат). АВ1С1D – сечение – прямоугольник (рис. 165). Это наклонная призма, в основании которой лежит прямоугольник (квадрат) и две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания (рис. 166).
№ 39. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 построить сечение, проходящее через точки А, М (А1М=МВ1), Р (ВР=РС). Найдите площадь сечения, если все рёбра призмы равны а.
План построения.
1. АМ.
2. АР.
3. MK || AP.
4. KP.
5. AMKP – искомое сечение.






План решения.
1. Дополнительные построения.
Проведём КО(ВС.
2. АМКР – прямоугольная трапеция.
((Р=(К=90().
3. АР. 4. МК. 5. ОР.
6. КР. 7. SAMKP.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
40. Доказать, что диагональ куба и диагональ его грани, лежащие на скрещивающихся прямых, перпендикулярны.
План доказательства.
1. А1С – наклонная,
АС – её проекция на плоскость
нижнего основания куба,
2. АС ( BD.
3. Вывод.
4. Аналогично относительно
диагоналей 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 А1С и DC1.

41. Доказать, что диагональ куба А1С перпендикулярна плоскости ВС1D.

План доказательства.
1. А1С ( BD.
2. А1С ( DC1.
3. Вывод.



№ 42 (устно). Доказать, что диагональ основания правильной четырёхугольной пирамиды перпендикулярна её боковому ребру (рис. 171).
№ 43 (устно). Доказать, что сторона основания правильной треугольной пирамиды перпендикулярна её боковому ребру (рис. 172).








№ 44. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна а и боковое ребро равно в. Провести в этой пирамиде плоскость через середины рёбер АВ и ВС параллельно ребру SB. Определить площадь полученного сечения.
План построения сечения.
К, Р – середины АВ и ВС.
1. КР.
2. МК || SB.
3. PN || SB.
4. KMNP – искомое сечение. Доказать.
План решения.
1. KMNP – прямоугольник.
2. КР. 3. МК. 4. Площадь KMNP.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
№ 45. Пусть SABCD – правильная четырёхугольная пирамида, у которой боковое ребро равно диагонали основания. Через вершину основания пирамиды провести сечение, перпендикулярное противолежащему боковому ребру.
План построения.
Точка К: ВК = KS.
DK.
Точка Н – пересечения DK и SO.
MN: H( MN, MN || AC.
DMKN – искомое сечение. Доказать.



№ 46. Основанием призмы является правильный треугольник, сторона которого равна а. Каждое боковое ребро призмы равно в, угол между одним из боковых рёбер и прилежащими к нему сторонами основания равен 45(. Найти боковую поверхность призмы.
План решения.
1. А1О(АВС, точка О(АР,
где АР – биссектриса (А.
2. АА1(ВС.
3. ВВ1С1С ( прямоугольник.
4. 13 EMBED Equation.3 1415.
5. 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Sбоковой поверхности призмы.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415







III. Углы между прямыми и плоскостями

1. Теоретическая карта №3

1.1. Угол между прямой и плоскостью
Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость [5, с. 43], [10, с. 51 ].
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Угол
· между прямой АВ и её проекцией ВО на плоскость
· (рис. 176) является наименьшим из всех углов, которые данная прямая образует с прямыми, проведенными на плоскости через точку В.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
1. 2. Угол между плоскостями
Определение 1. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 178). Если
· тот из четырёх углов, который не превосходит каждого из остальных, то говорят, что угол между пересекающимися плоскостями равен
·, Очевидно, что 0°<
·
·90° [5, с.48].


13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Замечание.
Напомним, что двугранный угол измеряется линейным углом, который образуется, если отметить на ребре двугранного угла какую – нибудь точку и в каждой грани из этой точки провести луч перпендикулярно к ребру (рис. 179).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Покажем иные способы построения линейного угла.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Определение 2. Пусть данные плоскости пересекаются (рис.182). Проведём плоскость, перпендикулярную их линии пересечения. Она пересекает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими прямыми называют углом между данными плоскостями [10, с. 52].
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415









1.3. Свойства некоторых углов
1.3.1. Теорема о трёх косинусах.
Пусть
· – угол между наклонной l и её проекцией на плоскость
·,

· – угол между проекцией наклонной l на плоскость
· и прямой р,
проведённой через основание наклонной l в плоскости
·,

· – угол между наклонной l и прямой р (рис. 183).
Тогда справедливо следующее равенство:




cos
· = cos
·
·cos
·.




1.3.2. Теорема о биссектрисе угла.
Для того, чтобы проекция прямой, проведённой через вершину угла, меньшего 180°, вне его плоскости являлась биссектрисой данного угла необходимо и достаточно, чтобы эта прямая составляла со сторонами угла равные острые углы.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
1.3.3.Теорема о трёх синусах.
В одной из граней двугранного угла, величина которого равна
·, проведена прямая l, составляющая с ребром двугранного угла угол
· (0<
·<90°), а с другой его гранью угол
· (рис 185 ). Тогда справедливо следующее равенство:


sin
· = sin
·
· sin
·.








1.3.4. Теорема косинусов для трёхгранного угла
Пусть
·,
·,
· – плоские углы трёхгранного угла, а
· – двугранный угол, противолежащий плоскому углу
·. Тогда справедливо следующее равенство13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415



13 EMBED Equation.3 1415.







2. Доказательства утверждений теоретической карты №3
2.1. Теорема о трёх косинусах
Дано:
АВ – наклонная к плоскости
·,
ВО – её проекция;
р– прямая: р(
·, В(р;

· – угол между наклонной АВ
и её проекцией на плоскость
·,

· – угол между проекцией
наклонной АВ и прямой р,

· – угол между наклонной АВ
и прямой р
Доказать: cos
· = cos
·
·cos
·.
Доказательство.
1. Проведём ОК ( р, АК.
2. Пусть АВ=х.
3. (АОВ ( прямоугольный: ОВ=13 EMBED Equation.3 1415
4. (ВОК ( прямоугольный: ВК=ОВ(cos
·, учитывая (3), ВК=13 EMBED Equation.3 1415
5. (АВК( прямоугольный: ВК=х(cos
·.
6. Из (4) и (5): х(cos
· = 13 EMBED Equation.3 1415, cos
· = 13 EMBED Equation.3 1415.
2.2. Теорема о биссектрисе угла.
Необходимость.
Дано: (АВС ((АВС<180(),
BD ( прямая, проведённая через
вершину угла вне его плоскости,
ВО ( её проекция на плоскость угла.
ВО ( биссектриса (АВС.
Доказать: (1 = (2.


Доказательство
Первый способ.
1.Проведём ОМ(ВС, ОР(АВ.
Соединим точки D и M, D и P.
2. (ОВМ=(ОВР по гипотенузе и
острому углу: ОВ – общая, (РВО=(МВО
(ОВ – биссектриса).
Следовательно, ВМ=ВР.
3. (DВМ и (DВР – прямоугольные (по
теореме о трёх перпендикулярах)
(DВМ=(DВР катету и гипотенузе:
ВD – общая, ВМ=ВР (2).
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Второй способ.
Воспользуемся теоремой о трёх косинусах.
1) Для наклонной DB, её проекции ОВ и прямой ВС:
13 EMBED Equation.3 1415.
2)Для наклонной DB, её проекции ОВ и прямой ВА:
13 EMBED Equation.3 1415.
Так как ОВ – биссектриса угла РВМ, то (ОВМ=(ОВР, следовательно, равны и косинусы этих углов, то есть cos(1=cos(2 и, следовательно, (1=(2.
Достаточность (обратное утверждение) доказывается аналогично.

2.3. Теорема о трёх синусах
Дано: двугранный угол,
(АКО – линейный угол двугранного
угла (АО(
·2, ОК(КВ, АК), (АКО=
·;
АВ – прямая: АВ(
·1, (АВК=
·,
(АBО – угол, который составляет АВ
с гранью
·2, (АВО=
·;
Доказать: sin
· = sin
·
· sin
·
Доказательство
1. Пусть АВ=х.
2. (АВК – прямоугольный, АК=13 EMBED Equation.3 1415.
3. (АОК – прямоугольный, АО=13 EMBED Equation.3 1415, учитывая (2) АО=13 EMBED Equation.3 1415.
4. (АОВ – прямоугольный, АО=xsin
·
5. Из (3) и (4) xsin
·=13 EMBED Equation.3 1415, sin
·=13 EMBED Equation.3 1415.

2. 4. Теорема косинусов для трёхгранного угла

Дано: SABC – трёхгранный угол,
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
(ВАС – линейный угол двугранного угла,
противолежащего плоскому углу BSC,
равному
·.
Доказать: 13 EMBED Equation.3 1415

Доказательство.
1. Пусть SA=х.
Тогда в треугольнике ASB 13 EMBED Equation.3 1415.
В треугольнике ASC 13 EMBED Equation.3 1415.
2. По теореме косинусов для треугольника АВС
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
3. По теореме косинусов для треугольника ВSС
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
4. Из (2) и (3) получим равенство
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.

3. Задачи к теоретической карте №3
3.1. Угол между прямой и плоскостью

№1 (устно). На рисунке 192 изображён прямоугольный параллелепипед. Занумерованные углы запишите как углы между прямой и плоскостью.













№2. ABCDA1B1C1D1 – куб. Вычислить углы, которые образуют:

1) DC1 c плоскостями граней куба (устно);

Обозначим угол, образованный данной
прямой с гранью ABCD (A 1B1C1D1)
·, с
гранью АА1В1В (DD1C1C)
·, с гранью
АА1D1D (BB1C1C)
·.
Ответ:
· =45(,
·=0(,
·=45(.


2) DВ1 c плоскостями граней куба (устно);


Воспользуемся обозначениями пункта (1).

Ответ:
· =
·=
·=arctg13 EMBED Equation.3 1415.




3)A1D с плоскостью АВ1С 1;

План решения.
1. А1О ( АВ1С 1,
OD– проекция A1D на плоскость АВ1С1.
(А1DO=
· – искомый.
2. (А1DO – прямоугольный.
3. А1О, A1D выразить через ребро куба.
4. sin
·.
Ответ: 30(.



4) A1С с плоскостью АВ1С 1;

План решения
1. А1О ( АВ1С 1, СО1( АВ1С 1,
OО1– проекция A1С на плоскость АВ1С 1.
(А1КO =
· – искомый.
2. (А1КO – прямоугольный.
3. А1О, ОК выразить через ребро куба.
4. tg
·.
Ответ: arctg 13 EMBED Equation.3 1415.
5) A1D с плоскостью ВС 1D;
План решения
1. А1С ( ВС1D, OD – проекция A1D на
плоскость ВС1D;
(А1DO =
· – искомый.
2. (А1DO – прямоугольный.
3. А1D, ОD выразить через ребро куба.
4. cos
·.
Ответ: arccos13 EMBED Equation.3 1415.
6) В1D с плоскостью ВС1D;

План решения
1. А1С ( ВС1D, РО ( ВС1D,
где Р – точка пересечения А1С и В1D;
OD – проекция В1D на плоскость ВС1D;
(РDO =
· – искомый.
2. (РDO – прямоугольный.
3. РD, ОD выразить через ребро куба. 4. cos
·. Ответ: arccos 13 EMBED Equation.3 1415.

7) В1С с плоскостью ВС1D;

План решения
1. А1С ( ВС1D, OР – проекция В1С на
плоскость ВС 1D;
(СРО =
· – искомый.
2. (DPС – прямоугольный.
3. РС, DC выразить через ребро куба.
4. tg
·.
Ответ: arctg13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. Можно рассмотреть (ОPС, выразить через ребро куба ОР и РС
· и найти cos
·. Тогда
· = 13 EMBED Equation.3 1415.
№ 3. РАВС – правильный тетраэдр. Вычислить угол
·, который составляют:
1) ребро с плоскостью грани, в которой оно не лежит;
План решения.
Рассмотреть ребро АР и плоскость грани АВС.
1. РО(АВС; АР– наклонная, АО – проекция,
(РАО=
·.
2. Выразить АО через ребро пирамиды а.
3. cos
·.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Все другие рёбра образуют с гранями тетраэдра такие же углы.




2) апофема боковой грани с плоскостью
основания;
План решения.
Рассмотреть апофему РК.
1. РО(АВС; РК – наклонная, ОК – проекция, (РКО=
·.
2. Выразить ОК и РК через ребро тетраэдра а.
3. cos
· Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
3) высота пирамиды с плоскостью
боковой грани;
План решения.
Рассмотреть высоту РО.
1. ОF(РК, ОF(СРВ.
2. ОР – наклонная, PF – проекция,
(ОРF=
·=(ОРК.
3. Выразить ОК и РК через ребро
тетраэдра а.
4. sin
·. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№4. Отрезок длиной 20 см пересекает плоскость. Концы его находятся на расстоянии 6 см и 4 см от плоскости. Найти угол между данным отрезком и плоскостью.
План решения.
1. (АА1О((ВВ1О.
2. АО.
3. sin (AOA1.
Ответ: 30(.

№ 5. Отрезок АВ имеет длину 1 и упирается концами в две перпендикулярные плоскости
· и
·, причём А(
·, В(
·. Прямая АВ образует с плоскостью
· угол
·1, а с плоскостью
· угол
·2. Найти длины проекций отрезка АВ на каждую из плоскостей и на прямую их пересечения.

План решения.
1. Построения: АО1(l, BО2(l.
2. АО1(
·, ВО2(
·.
3. ВО1 ((АВО1).
4. АО2 ((АВО2).
5. АО1 ((АВО1), АО2 ((АВО2).
6.О1О2.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№6. Измерения прямоугольного параллелепипеда 3 см, 4 см, 5 см. Найти углы, образуемые его диагоналями с гранями.
План решения.
1.
· – угол, образованный диагональю В1D
с гранью ABCD.

·– угол, образованный диагональю В1D
с гранью AA1B1B.

·– угол, образованный диагональю В1D
с гранью BB1CC1.
2. B1D.
3.sin
·. 4. sin
·. 5. sin
·.
Ответ: 45(, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
№7. Определить объём прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна l и составляет с одной гранью угол 30(, а с другой 45(.

План решения.
1. (В1DB=30(, (АВ1D=45(.
2. ВВ1, BD.
3. АD.
4. AB.
5. V 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№8. Основание прямого параллелепипеда - ромб со стороной 3 см; диагонали параллелепипеда образуют с основанием углы в 30( и 45(. Найти высоту параллелепипеда и углы ромба.
План решения.
Пусть высота параллелепипеда равна h.
1. Выразить BD и ОD через h.
2. Выразить АС и АО через h.
3. Составить и решить относительно h
уравнение ((AOD).
4. АО, OD.
5. cos (OAD, cos(ODA (или синус, или
тангенс).
6. (OAD, (ODA.
7. (ВAD, (СDA.
Ответ: 3 см, 60(, 120(.
№9. Рёбра прямоугольного параллелепипеда относятся как 3:4:12. Через большее ребро проведено диагональное сечение. Найти синус угла между плоскостью этого сечения и не лежащей в ней диагональю параллелепипеда.



План решения.
1. Построения:
В1М ( А1 С1, В1М ( АА1 С1С,
DN ( AC, DN ( АА1 С1С,
MN – проекция B1D на АА1 С1С.
(( - искомый.
2. Пусть х – общая мера измерений
параллелепипеда.
Выразить В1М, B1О через х.
3. sin (( (( ОB1M).
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№10. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, боковое ребро которой равно стороне основания, найти угол между диагональю АВ1 и плоскостью АА1С1С.

План решения.
1.Построения: В1К(А1С1, АК.
2. К –середина А1С1, В1К( АА1С1С.
3. В1К.
4. АВ1.
5. sin(.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

№11. Высота прямой призмы АВСА1В1С1 равна 12. Основание призмы ( (АВС, в котором АВ=АС, ВС=18, tgC=0,4. Найти тангенс угла между прямой АС1 и плоскостью ВВ1С1.


План решения.
1. Построения: АР(СВ. АР( ВВ1С1.
(( - искомый.
2. РС.
3. tg C, AP.
4. C1P.
5.tg (.
Ответ: 0,24.


№12. ABCD – квадрат, СМ – перпендикуляр к плоскости квадрата. Определить угол наклона прямой МВ к плоскости МАС.
План решения.
1. АМС(ABCD, ВО(АС: ВО(АМС.
2. МО ( проекция ВМ на АМС.
3. (ВМО – искомый.
Ответ: (ВМО.


№13. ABC – треугольник, О – центр окружности, описанной около треугольника ABC. OS – перпендикуляр к плоскости треугольника. Определить угол наклона SO к плоскости АSC.

План решения.
1. Построения: ОР(ASC, SP, SK, AP,
CP, OP,OC.
2. SP – проекция SO на плоскостьASC.
3. SA=SC (равные наклонные равных
проекций). (ASC(равнобедренный.
4. AP=CP (равные проекции равных наклонных).
5. Точка Р принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку АС, то есть
высоте SK в треугольникеASC.
Вывод: угол наклона SO к плоскости АSC ( =(OSK.
Замечание. Рассуждения не изменятся, если в условии задачи 13 заменить треугольник на любой многоугольник, около которого можно описать окружность (прямоугольник, в частности , квадрат, равнобокую трапецию и другие).
№14. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h и составляет угол
· с плоскостью боковой грани. Найти полную поверхность пирамиды.
План решения.
1. (OSP=( (задача 10).
2. ОР, SP.
3. AD.
4. Sполной поверхности.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

№15. Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD. Точка М делит отрезок АВ в отношении 3:1, считая от точки А, прямая SM перпендикулярна плоскости основания. Найти тангенс угла между ребром SC и плоскостью основания, если ребро SD образует с плоскостью основания угол
·.
План решения.
Пусть сторона основания равна а.
1.Выразить MD через а.
2. Выразить SM через а.
3. Выразить МС через а.
4.tg(SCM.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 16. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны рёбра: АВ=13 EMBED Equation.3 1415, SC=17. Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М точка пересечения медиан грани SBC.
План решения.
1. Построения.
1.1. SO ( ABC.
1.2. MF || SO.
1.3. (MAF( искомый.
2. AD. 3. OD. 4. DF. 5. AF.
6. OC. 7. SO. 8. MF. 9. tg(MAF.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

№17. В треугольной пирамиде РАВС построено сечение АМK, площадь которого равна S. Ребро АР равно 3 и составляет с плоскостью сечения угол
·. Найти объём пирамиды РАКМ.
План решения.
Высота пирамиды РO. (Без построения
ясно, что РО = АРsin
·).
2. VРAВC.
Ответ: S(sin
·.









3.2. Угол между плоскостями
№18. ABCDA1B1C1D1 – куб. Вычислить углы, образованные плоскостями:
1) АВ1С1 и АВС.
План решения.
1. (В1АВ - искомый угол.
2. tg
·, где (В1АВ=
·.
Ответ: 45(.





2) ВВ1D1 и АВС.
План решения.
1. (АОD ( искомый угол.

Ответ: 90(.





3) АВ1D1 и АВС.
План решения.
1. l – линия пересечения плоскостей АВ1D1
и АВС (l параллельна В1D1 или ВD).
2. (О1АО ( искомый угол.
3. tg
·, где(О1АО=
·.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415


4) АВ1D1 и ВB1D1.
План решения.
1.О1 – центр верхнего основания.
(AО1O ( искомый угол.
2. tg
·, где (AО1O=
·.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

5) DА1C1 и BА1С1.
План решения.
1. О1 – центр верхнего основания.
(BО1D ( искомый угол
2. BD, O1D, cos
· ((BO1D), где (BО1D =
·.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Замечание. Можно воспользоваться (ОО1D (рис. 222) и найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415


6) C1ВD и А А1С1.
План решения.
1. А1С1 ( C1ВD (задача №22, с.20)
2. C1ВD ( А А1С1.
Ответ: 90(.



7) АВ1D и С В1D.
План решения.
1.Построения: АР ( B1D, РС.
2. АР=РС, РС ( B1D.
3. (АРС – искомый.
4. АР (из прямоугольного треугольника
AB1D, используя площадь).
5. АС.
6. cos
·, где (АРС =
·
(по теореме косинусов).
Ответ:
·=120(, угол между плоскостями 60(.
№19. Дан правильный тетраэдр. Вычислить угол, образованный:
1) плоскостями граней тетраэдра;
План решения.
1. Построения: О – центр основания;
АК, РК;
2. ОК, РК выразить через ребро
тетраэдра а;
3. cos
·, где (SKO=
·.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Все другие углы, образованные плоскостями граней тетраэдра равны найденному углу.







2) плоскостью, проходящей через две
апофемы тетраэдра и плоскость основания;
План решения.
1. Построения: SM, SK – апофемы,
SMK – данная плоскость.
P - середина MK, SP ( MK, NP ( MK,
(SPN – искомый.
2. SP, NP, SN выразить через ребро
тетраэдра а;
3. По теореме косинусов cos
·, где
(SPN=
·.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
3) плоскостью, проходящей через две
апофемы тетраэдра и плоскостью
боковой грани, не содержащей их;
План решения.
1. Построения: SK, SР – апофемы,
SРK – данная плоскость.
l – линия пересечения плоскости SРK и
грани ASC, l || AC.
MS ( l, NS ( l, (MSN – искомый.
2. SN, NM, SM выразить через ребро
тетраэдра а;
3. По теореме косинусов cos
·, где
(MSN=
·.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

4) плоскостями двух сечений, являющихся квадратами;

План решения.
1. Построения: MNPK, LNFK – сечения квадраты (рис. 228, 229). Они образованы средними линиями граней – треугольников.
Рис. 230. О – середина NK. ОМ ( NK, OF. (MOF – искомый.
2. Проверить равенство MF2 = OM2 + OF2. Сделать вывод.
Ответ: 90(.
№20 (устно). Две плоскости пересекаются. Какой угол образуют между собой плоскости биссекторов этих углов?
Определение. Биссектором двугранного угла называется полуплоскость, которая делит данный угол на два равных по величине угла.


На рисунке
·,
· – данные плоскости,

· 1,
·2 – биссекторные плоскости.






№ 21 (устно). В треугольной пирамиде РАВС ребро РВ перпендикулярно плоскости грани АВС. Треугольник АВС равносторонний. Назвать угол между плоскостями:
1) РАВ и РВС (рис. 232); 2) РАС и ВАС (рис. 232); 3) РАС и РВС (рис. 233).










Ответ: 1) (АВС; 2) (РКВ; 3) (АLC.
№ 22 (устно). В основании четырёхугольной пирамиды РАВСD квадрат АВСD, ребро РВ перпендикулярно основанию. Назвать угол между плоскостями:
1) PAD и АВС; 2) PCD и АВС; 3) PAD и PCD.









Ответ: 1) ( РАВ; 2) ( РСВ. 3) ( АКС.



4) PAD и PCВ.

Ответ: ( АРВ.





№ 23. Основанием пирамиды служит квадрат. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие образуют с ней двугранные углы, каждый из которых равен
·. Высота пирамиды равна Н. Определить боковую поверхность пирамиды.
План решения.
1. АВ ( AD, PA ( AD: (РАВ=
·.
2. Аналогично (РСВ=
·.
3. РB, AB, S(APB.
4. S(APB=S(CPB.
5. AP.
6. (APD – прямоугольный. S(APD.
7. S(APD= S(CPD.
8. Sбоковой поверхности пирамиды.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
№ 24. Основанием пирамиды служит прямоугольник, площадь которого равна S. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами 30( и 60(. Найти объём пирамиды.


План решения.
1. Пусть АВ = а. Выразить РВ через а.
2. Пусть ВС = в. Выразить РВ через в.
3. Выразить РВ через S (перемножить
результаты, полученные в (1) и (2)).
4. Найти объём пирамиды.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

№ 25. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют между собой тупой угол
·, две другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом
·. Найти боковую поверхность пирамиды.
План решения.
1. Построения: ВК ( AD, SK; BP ( DC, SP.
2. ВК.
3. SВ.
4. S(SAB.
5. SК, S(SAD.
6. S(SAB= S(SСB, S(SAD= S(SСD.
7. Sбоковой поверхности пирамиды.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 26. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с. Боковая грань, проходящая через катет, прилежащий к острому углу
· перпендикулярна к основанию, а две другие боковые грани наклонены к основанию под углом
·. Определить объём пирамиды.



План решения.
1. Построения:
1.1. PО ( BC, PО ( ABC.
PО – высота пирамиды;
1.2. ОК ( АВ, РК.
2. (РСО – угол между гранями АРС и АВС.
(РКО – угол между гранями АРВ и АВС.
(РСО =(РКО =
·=(АВС.
3. АС, ВС, S(ABС.
4. Точка О равноудалена от сторон АВ и АС,
АО – биссектриса (А.
5. ОС. 6. ОР. 7.VPABC.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 27. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с, а острый угол
·. Боковая грань, проходящая через гипотенузу перпендикулярна к основанию, а две другие боковые грани наклонены к основанию под углом
·. Определить объём пирамиды.
План решения.
1. Построения:
1.1. PО ( АB, PО ( ABC.
PО – высота пирамиды;
1.2. ОК ( АС, РК.
1.3. ОМ ( ВС, РМ.
2. (РКО – угол между гранями АРС и АВС.
(РМО – угол между гранями CРВ и АВС.
(РКО =(РМО =
·=(ABC.
3. АС, ВС, S(ABС.
4. СО – биссектриса (С.
5. ОМ=МС=х. 6. (ВОM((ВАС. 7. Найти х из пропорциональности сторон.
8. ОР. 9. VPABC.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 28. Основанием пирамиды служит параллелограмм ABCD с площадью m2, у которого диагональ BD перпендикулярна стороне AD. Двугранные углы при рёбрах AB и CD равны 60(, а при рёбрах AD и BC равны 45(. Найти боковую поверхность пирамиды.
Рассмотрим фрагмент данной конфигурации (рис. 242).
Пусть РО – высота пирамиды.
КМ – перпендикуляр к противоположным сторонам параллелограмма АВ и DС (О(КМ).
Так как (РКМ=(РМК, то точка О равноудалена от сторон АВ и DC.

Аналогично BD – перпендикуляр к противоположным сторонам параллелограмма AD и BC (рис. 243) и из равенства углов PDB и PBD следует, что точка О равноудалена от сторон AD и BC.
Свойством равноудалённости от противоположных сторон параллелограмма обладает точка пересечения его диагоналей (как центр симметрии). Таким образом, основание высоты пирамиды точка О – середина BD.




План решения.
1. AD(BD = m 2.
2. BD=13 EMBED Equation.3 1415.
3. AD(PD=13 EMBED Equation.3 1415 .
4. (APD – прямоугольный.
5. S (APD=13 EMBED Equation.3 1415=S(BPC.
6. KM(DC=m2. 7. KM=PM. 8. PM(DC=m2. 9. S (PDC=13 EMBED Equation.3 1415m2=S(APB.
10. Sбоковой поверхности пирамиды.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 29. Высота правильной четырёхугольной призмы равна Н. Через концы трёх рёбер, выходящих из одной вершины, проведена плоскость образующая с основанием угол
·. Найти боковую поверхность призмы.
План решения.
1. Построения: АВ1С, (В1ОВ =
·.
2. ОВ. 3. АВ. 4. Sбоковой поверхности призмы.

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415





№ 30. Через сторону основания, правильной четырёхугольной призмы проведено сечение, равновеликое боковой грани. Найти угол (, образованный сечением с плоскостью основания, если сторона основания призмы равна а, а высота h.
План решения.
1. АМND – прямоугольник
2. (NDC – угол между плоскостью сечения и
плоскостью основания, (NDC=(.
3. DD1=DN.
4. cos(.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415


№ 31. Боковое ребро прямой треугольной призмы равно в, через сторону АС основания АВС проведено сечение АDС, площадь которого равна q. Найти объём призмы, если плоскость сечения образует с плоскостью основания угол
·.
План решения.
1. Построения: ADP, BP ( AC, DP.
DPB=(
·.
2. S(ADC= 13 EMBED Equation.3 1415. q = 13 EMBED Equation.3 1415
3. Выразить PD через РВ.
4. Подставить в формулу площади сечения
и выразить площадь основания.
5. Vпризмы.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 32. В правильной треугольной призме сторона основания равна 4 см, боковое ребро равно 13 EMBED Equation.3 1415. В призме проведено сечение через вершину основания параллельно противоположной стороне основания под углом 45(к плоскости основания. Найти поверхность большей части призмы.


План решения.
1. Построения:
1.1. КРВ – сечение.
1.2. l – линия пересечения плоскости сечения и основания призмы,
(l || КР).
1.3. О1 – середина КР.
О1В ( l, ВО ( l (О- центр АВС).
1.4. (О1 ВО = 45(.
2. О1В1. 3. КВ1. 4. Поверхность меньшей части призмы (13 EMBED Equation.3 1415.
5. Поверхность призмы. 6. О1В. 7. S (KBP. 8. Поверхность большей части призмы.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 33. Основанием наклонной призмы служит равнобедренный треугольник. Боковая грань призмы, проходящая через основание а равнобедренного треугольника, ( квадрат и образует с двумя другими боковыми гранями углы, каждый из которых равен
·. Найти боковую поверхность призмы.
План решения.
1. Построения: РВ(ВВ1, РС(СС1.
(CВР – угол между гранями ВВ1С1С и
А А1В1В.
Аналогично, (РCВ – угол между гранями
ВВ1С1С и А А1С1С.
(CВР=(РCВ=
·.
2. ВРС – перпендикулярное сечение. 3. РВ ((ВРС). 4. Р((ВРС). 5.ВВ1.
6. Sбоковой поверхности призмы.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

№ 34. Боковое ребро наклонной призмы равно в, а площадь её основания равна S. Определить объём призмы, если известно, что плоскость, перпендикулярная к боковым рёбрам призмы, образует с плоскостью основания угол
·.
План решения.
1. Построения:
1.1. ВР ( АА1, РС.
Плоскость ВРС ( АА1.
1.2. АК ( ВС, РК, (АКР=
·. Доказать.
1.3. А1О (АВС. А1О ( А1АК. Доказать.
2. ( А1АО = (АКР=
·.
3. А1О. 4. Vпризмы. Ответ: bScos
·.
№ 35. Правильная четырёхугольная призма пересечена плоскостью так, что в сечении получился ромб с острым углом
·. Найти угол ( плоскости сечения с плоскостью основания призмы.
План решения.
1. Построения (рис. 251).
1.1 О – точка пересечения диагоналей
призмы.
1.2. Прямая l: О( l, l || АС, точки М, Р.
1.3. В1N = DD2.
1.4. MNPD2 – сечение.
2. Доказать MNPD2 – ромб
(параллелограмм с перпендикулярными
диагоналями).
3. (ND2B2 =(. Доказать. (На чертеже n – линия пересечения плоскости сечения и плоскости А2В2С2D2, параллельной основанию призмы).
4. Пусть МР= а, тогда B2D2 = а. 5. Выразить ND2 через а. 6. cos (.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415

3.3. Свойства некоторых углов
3.3.1.Теорема о трёх косинусах
№ 36. К плоскости равностороннего треугольника АВС со стороной а через вершину А проведён перпендикуляр, на котором отложен отрезок AZ длиной а. Найти тангенс угла между прямыми AВ и ZC.
План решения.
1.Построения.
Прямая р: С(р, р || AB.
2. ZС – наклонная, АС –проекция,
р – прямая в плоскости.
В обозначениях теоремы о трёх
косинусах
(ZCA=
·, (ACK=
·, (ZCK=
·

· – искомый угол.
3. Угол
·. 4. Угол
·. 5. cos
· (по теореме о трёх косинусах). 6. sin
·, tg
·.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 37. Проекция равностороннего треугольника на плоскость, проходящую через его сторону, является прямоугольным треугольником. Найти угол между стороной данного треугольника и плоскостью проекций.
План решения.
1. Построения:
ВО(
·, (ВСО – искомый.
2. (ВСА, (ОСА.
3. ВС – наклонная, ОС –
проекция, АС – прямая.
cos (ВСО (по теореме о трёх
косинусах).
Ответ: 45(.

№ 38. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами (1 и (2. Найти угол между этими диагоналями.
План решения.
Рассмотрим плоскость боковой грани АА1В1В, прямая AD1 – наклонная к этой плоскости, АА1- её проекция, АВ1 – прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной.
1. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415(в обозначениях
теоремы о трёх косинусах)
2. 13 EMBED Equation.3 1415 3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. cos
·. 5.
·.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 39. Высота правильной треугольной призмы равна h. Через одно из рёбер основания и противоположную ему вершину другого основания проведена плоскость. Найти площадь получившейся в сечении фигуры, если угол её при взятой вершине призмы равен 2(.
План решения.
1. СС1 – наклонная к плоскости
основания призмы, СВ – проекция,
АС – прямая. В обозначениях
теоремы о трёх косинусах
(С1СВ=
·, (АСВ=
·, (С1СА=
·
2. Выразить (С1СА через 2(.
3. cos
·. 4. sin
·. 5. СС1.
6. Sсечения.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

№ 40. Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью основания. Найти этот угол.
План решения.
1. (SDE.
2. (ODE.
3. В обозначениях теоремы о трёх косинусах
(SDE=
·, (ODE=
·, (SDO=
·,
где SD – наклонная к плоскости основания
пирамиды, OD – её проекция, DE ( прямая.
Составить уравнение ( 13 EMBED Equation.3 1415).
4. Решить уравнение относительно 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415.
№ 41. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h, а плоский угол при вершине равен 2(. Определить площадь боковой поверхности пирамиды.
План решения.
1. (PCD.
2. (OCD.
3. cos(PCO (по теореме о трёх косинусах):
РС – наклонная, ОС – проекция, DC – прямая.
4. sin(PCO.
5. PC.
6. S(DPC.
7. Sбоковой поверхности пирамиды.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415



3.3.2. Теорема о биссектрисе угла
№ 42. Прямые АВ и АС взаимно перпендикулярны, а прямая АD составляет с каждой из них угол 60(. Найти угол между прямой АD и плоскостью AВC.
План решения.
1.Построения: DO ( ADC, (DAO –
искомый.
2. АО – биссектриса (САВ.
3. cos(DAO по теореме о трёх косинусах.
Ответ: 45(



№ 43. Длины рёбер параллелепипеда равны а, в и с. Рёбра, длины которых а и в взаимно перпендикулярны, а ребро длиной с образует с каждым из них угол 60(. Определить объём параллелепипеда.
План решения.
1. Построения: А1О ( АВС.
2. АО – биссектриса (ВАС.
3. cos(A1AO (по теореме о трёх
косинусах), sin(A1AO.
4. A1O.
5. S(ABC.
6. Vпризмы.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 44. Основанием призмы ABCA1B1C1 служит правильный треугольник АВС со стороной а. Вершина А1 проектируется в центр нижнего основания, а ребро АА1 наклонено к плоскости основания под углом в 60(. Определить боковую поверхность призмы.

План решения.

1. Построения: ВР(АА1, РС.
2. (А1АВ=(А1АС.
3. РВ. 4. АО. 5. АА1. 6. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415.
8. ВВ1С1С – прямоугольник.
9. 13 EMBED Equation.3 1415 10. Sбоковой поверхности призмы.

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.

№ 45. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной, равной а, и с острым углом 60(. Ребро АА1 также равно а и образует с рёбрами АВ и AD углы 45(. Определить объём параллелепипеда.
План решения.
1. Построения: А1О ( АВСD.
2. О ( АС.
3. cos (А1АО ( по теореме о трёх
косинусах), sin (А1АО.
4. А1О.
5. SABCD.
6. Vпризмы.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415


№ 46. Все грани призмы – равные ромбы со стороной а и острым углом
·. Найти объём призмы.
Решение задачи аналогично решению задачи №45.

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, который можно привести к виду13 EMBED Equation.3 1415.
№ 47. Основанием параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит квадрат со стороной а, боковые ребра параллелепипеда равны в. Боковое ребро АА1 образует с пересекающими его сторонами острые углы, равные (. Найти площади диагональных сечений АА1С1С и ВВ1D1D параллелепипеда.
План решения.
1. Построения.
1.1. А1Р ( АВСD.
1.2. Диагональные сечения.
2. А1Р ( АС. Доказать.
3. cos (А1АР ( по теореме о трёх
косинусах), sin (А1АО.
4. А1Р. 5. АС. 6. Площадь АА1С1С.
7. ВВ1D1D – прямоугольник. Доказать.
8. Площадь ВВ1 D1D.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
№ 48. Основанием наклонного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит прямоугольник ABCD, стороны которого равны а и в. Боковое ребро АА1 равно с и составляет с плоскостью основания угол 45(, а с прилегающими сторонами основания AB и AD равные острые углы. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.




План решения.
1. cos(A1AD (по теореме о трёх
косинусах), sin (А1АD.
2. Площадь грани AA1D1D.
3. Площадь грани AA1В1В.
4. Боковая поверхность призмы.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

№ 49. В треугольной пирамиде все боковые рёбра и два ребра основания равны а. Угол между равными рёбрами основания равен
·. Определить объём пирамиды.

План решения.
1. (SAC=(SAB, АО – биссектриса (А.
2. cos(SAO (по теореме о трёх
косинусах), sin (SAO.
3. SO.
4. S(ABC.
5. VSABC.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 50. Боковые рёбра треугольной пирамиды имеют одинаковую длину и равны а. Из трёх плоских углов, образованных этими рёбрами при вершине пирамиды, два содержат по 45(, а третий – 60(. Определить объём пирамиды.














План решения.
1. Расположить данную пирамиду так, чтобы её основанием была грань РАВ, а вершиной точка С (рис. 266).
2. Построения: ОС ( РАВ.
3. О ( РК, где РК – биссектриса (Р.
4. cos (СРО ( по теореме о трёх косинусах), sin (CPО.
5. СО. 6. Площадь (АРВ. 7. Объём пирамиды. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
№ 51. В треугольной пирамиде SABC грань SВС перпендикулярна грани АВС, все плоские углы при вершине S равны 60(. SB=SC= 1 см. Найти объём этой пирамиды.
План решения
1. Рассмотреть пирамиду ABSC.
2. Построения: Точка О: ВО=ОС, АО.
3. AO ( SBC, АО – высота пирамиды.
4. SO – биссектриса (BSC.
5. cos (ASО (по теореме о трёх косинусах),
tg (ASО.
6. SO. 7. АО. 8. Площадь (BSC
9. Объём пирамиды. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
3.3.3.Теорема о трёх синусах
№ 52. Прямая АВ параллельна плоскости
·. Прямая CD пересекает прямую АВ под острым углом
· и образует с плоскостью
· угол
·. Найти угол
· между плоскостью
· и плоскостью, в которой лежат прямые AB и CD.

План решения.
1. АВ || р, р – линия пересечения плоскостей.
2.
· – угол между CD и р.
3. sin
· (по теореме о трёх синусах).
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415



№ 53. Из точки, принадлежащей грани острого двугранного угла, проведены к ребру перпендикуляр и наклонная. Доказать, что угол, который образует перпендикуляр с плоскостью второй грани, больше, чем угол, образованный наклонной с этой плоскостью.
План решения.
1. Построения: АО(
·, ОС, ОВ.
2. (АСО – угол, образованный,
перпендикуляром к ребру АС и
плоскостью
·.
3. (АВО – угол, образованный
наклонной к ребру АС и
плоскостью
·.
4.В обозначениях теоремы о трёх синусах (АВ – прямая) (АСО =
·, (АВО=
·, (АВС=
·
5. Записать теорему синусов и сделать вывод.


№ 54. Сторона АВ ромба ABCD с тупым углом 120( лежит в некоторой плоскости
·, составляющей с плоскостью ромба угол 45(. Определить угол, который составляет большая диагональ ромба с этой же плоскостью.
План решения.
1.Рассмотреть двугранный угол
с ребром АВ. Диагональ АС –
прямая в одной из его граней.
В обозначениях теоремы о трёх
синусах
·=45(, 13 EMBED Equation.3 1415(САВ=
·,

· – искомый угол.
2. ( САВ.
3. sin
·. 4.
·.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 55. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45( ко второму катету. Найти угол между гипотенузой и плоскостью.

План решения.
1. Построения: ВО (
·, ОС.
1. Пусть
· – двугранный угол, образованный данной плоскостью и плоскостью треугольника.
(ВСО =
· = 45(.
3. В обозначениях теоремы о трёх синусах (ВАС =
·, (ВАО=
·
(искомый).
4. (ВАС. 5. sin(ВАО. 6. (ВАО
Ответ: 30(.
№ 56. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника наклонён к плоскости
·, проходящей через гипотенузу, под углом 30(. Найти угол
· между плоскостью
· и плоскостью треугольника.
План решения.
1. Построения: СО (
·, АО.
2. Рассмотреть двугранный угол с ребром АВ. АС – прямая в одной из его граней.
В обозначениях теоремы о трёх синусах
· – искомый угол, (САО =
·=30(,(САВ =
·.
3. (САВ.
4. sin
·.
5.
·.
Ответ: 45(.
№ 57. В прямоугольном треугольнике через его гипотенузу проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол 60(, а с одним из катетов угол 45(. Найти угол между этой плоскостью и другим катетом.

План решения.
1. Построения:
СО (
·, ОР ( АВ, СР.
2. (СРО = 60(, (СВО = 45(.
3. Пусть СО = h. Выразить
СР через h ((СОР) .
4. Выразить СВ через h
((СОВ).
5. (СРВ – прямоугольный.
6. Выразить sin(СВР ((СРВ). 7. sin(CAB=cos(СВР.
8. Рассмотреть двугранный угол, образованный плоскостью треугольника и плоскостью
·. В обозначениях теоремы синусов АС – прямая, (СРО =
· = 60(, (CAB=
· (пункт 7), (CAО=
·. 9. sin
·. 10.
·.
Ответ: 30(.
№ 58. В прямоугольном треугольнике с острым углом
· через наименьшую медиану проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол
·. Найти углы между этой плоскостью и катетами треугольника.
План решения.
1. Наименьшая медиана СМ, где М – середина гипотенузы.
2. Рассмотреть двугранный угол с ребром СМ. Катет ВС – прямая в одной из его граней.
В обозначениях теоремы о трёх синусах
· – данный угол, 13 EMBED Equation.3 1415(ВСМ=
·,

· – искомый угол.
3. (ВСМ (рис. 275).
4. sin
·. 5.
·.
6. Рассмотреть двугранный угол с ребром СМ. Катет АС – прямая в одной из его граней. В обозначениях теоремы о трёх синусах
· – данный угол, (АСМ=
·,
· – искомый угол.
7. (АСМ (рис. 275). 8. sin
·. 9.
·.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 59. В прямоугольном треугольнике через биссектрису прямого угла проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол
·. Найти углы между этой плоскостью и катетами треугольника.
Решение задачи аналогично задачи решению № 58. Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 60. Угол между плоскостью квадрата ABCD и некоторой плоскостью
· равен
·, а угол между стороной АВ и той же плоскостью равен
·. Найти угол между стороной AD и плоскостью
·.
План решения.

Без ограничения общности можно считать, что вершина квадрата А находится на ребре MN двугранного угла, образованного плоскостью квадрата и данной плоскости
·.
1. Построения:
1.1. ВО (
·, АО. 1.2. DQ (
·, AQ.
2. Рассмотреть двугранный угол с ребром MN. АВ – прямая в одной из его граней. В обозначениях теоремы о трёх синусах
· – угол между данными плоскостями, 13 EMBED Equation.3 1415(ВАМ=
· – искомый угол, (ВАО=
·,
3. sin(BAM. 4. Выразить (DAN через (BAM. 5. sin(DAN.
6. Рассмотреть двугранный угол с ребром MN. АD – прямая в одной из его граней. В обозначениях теоремы о трёх синусах
· – угол между данными плоскостями, 13 EMBED Equation.3 1415(DАN=
·, (DAQ=
· - искомый угол.
7. sin(DAQ. 8. (DAQ.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

№ 61. Найти объём правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна а и образует с боковой гранью угол
·.





План решения.
1. Построения: SO (ABC, ВК, SK.
2. Рассмотреть двугранный угол SACB,
(SKO – его линейный угол.
3. ВС – прямая в одной из граней двугранного
угла SACB. В обозначениях теоремы о трёх
синусах (SKO =
· – линейный угол,
(ВСА=
·,
· – угол между ВС и гранью ASC
(данный по условию).
4. (ВСА. 5. sin
·. 6. tg
·. 7. ОК. 8. SO. 9. S(ABC. 10. VSABC.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Замечание. Можно доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415 и привести ответ к виду13 EMBED Equation.3 1415
3.3.4. Теорема косинусов для трёхгранного угла
№ 62. В трёхгранном угле два плоских угла по 45(,а двугранный угол между ними равен 60(. Найти третий плоский угол.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
№ 63. Определить угол между двумя смежными диагональными сечениями в кубе. (Диагональные сечения в кубе называются смежными, если они проходят через смежные стороны основания).






План решения.
1. Двугранный угол АВ1DС ( искомый, пусть его величина (.
2. Рассмотреть трёхгранный угол DAB1C.
В обозначениях теоремы о трёх косинусах
( B1DA=
·, (B1DC=
·, (ADC=
·,
3.
· =
·,
·=90(.
4. cos (. Ответ: 120(.

№ 64. Линейный угол двугранного угла, составленного двумя смежными боковыми гранями правильной четырёхугольной пирамиды, в два раза больше плоского угла при вершине пирамиды. Найти плоский угол при вершине пирамиды.
План решения.
1. Построения: DK (PC, BK.
2. (BKD – линейный.
3. Рассмотреть трёхгранный угол CDPB.
В обозначениях теоремы о трёх косинусах
( РСD =
·, (РCB =
·, (DCВ =
·, (BKD = (.
4.
· =
·,
·=90(.
5. Выразить
· и
· через (.
6. Составить уравнение по теореме о трёх
косинусах.
7. Решить полученное уравнение относительно cos13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415



№ 65. В треугольной пирамиде две боковые грани – равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны с и угол между ними равен
·. Одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно к плоскости основания. Найти объём пирамиды.
План решения.
1. Рассмотреть трёхгранный угол PАBC.
В обозначениях теоремы о трёх косинусах
( АРВ=
·, (CРB=
·, (АРС=
·, (АВС = (.
2.
· =
· = 45(.
3. cos( (по теореме о трёх косинусах).
4. sin(.
5. АВ, АВ=ВС=ВР.
6. S (АВС. 7. VSABC.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 66. Отрезок прямой, соединяющий центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найти косинус угла между смежными боковыми гранями.
План решения.
1. АО.
2. AS ((ASO).
3. cos (SAO ((ASO).
4.cos(SAC (по теореме о трёх косинусах).
5. Рассмотреть трёхгранный угол ASBC.
В обозначениях теоремы о трёх косинусах
двугранный угол с ребром AS равен (,
(SAC=
·, (SAB=
·,
· =
·, (ВАС =
·.
6. (ВАС. 7. sin(SAC. 8. cos( (по теореме косинусов).
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 67. Основанием пирамиды служит правильный треугольник, одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна к плоскости основания. Найти косинус угла между двумя другими боковыми гранями, если обе они составляют с плоскостью основания один и тот же угол (.
План решения.
1. Построения:
1.1. SO ( ABC.
1.2. OM ( BC, SM
1.3. OK ( AC, SK.
2. (SKO =(SMO = (.
3. Пусть АВ = АС = ВС = а.
АО = ОВ=0,5а.
4. Выразить ОК через а ((АКО).
5. Выразить SК через а ((SКО).
6. Выразить АК через а ((АКО), выразить КС через а ((АКО).
7. tg(SCK ((SCК), cos(SCK, sin(SCK.
8. Рассмотреть трёхгранный угол СASB с вершиной С. В обозначениях теоремы косинусов искомый двугранный угол с ребром SC равен (, (SCА=
·, ( SCB=
·,
·=
·, (ACB=
·.
9. (ACB=
·. 10. cos( (по теореме косинусов).
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 68. Стороны основания параллелепипеда равны а и в, а угол между ними равен
·. Найти объём параллелепипеда, если боковое ребро, проходящее через вершину данного угла, составляет с его сторонами углы
· и
·, а длина его равна с.



План решения.
1. Построения: А1О ( ABCD,
OK ( AD, A1K.
2. (А1КО – линейный угол
двугранного угла с ребром AD.
3. SABCD.
4. А1К.

5. Рассмотреть трёхгранный угол ASBC. В обозначениях теоремы о трёх косинусах двугранный угол с ребром AD равен (А1КО = (, (BAD=
·, (А1AD=
·, (A1АB =
·.
6. cos ( ( по теореме косинусов). Значение cos( обозначить р.
7. sin ( (выразить через р) . 8. А1О. 9. Vпризмы.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
№ 68. Основанием призмы служит правильный треугольник со стороной, равной а. Боковое ребро равно в и составляет с пересекающими его сторонами основания острые углы, соответственно равные
· и
·. Найти объём призмы.
Решение задачи аналогично решению задачи № 6.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415









СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Александров А.Д. Геометрия: Учебное пособие для 10(11 кл. общеобразовательных учреждений/ А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.( 2(е изд.(М.: Просвещение, 2001.(271с.
2. Александров А.Д. Геометрия для 10(11 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики /
А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. ( 3(е изд.(М.: Просвещение, 1992.(464 с.
3. Барыбин К.С. Сборник задач по математике: пособие для учителей 8(10классов/ К.С. Барыбин, А.К. Исаков. – М.: Гос. учеб.( педаг. изд-во Мин. Просвещения РСФСР, 1955. – 207 с.(
4. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач : книга для учителя / И.Г. Габович. – Киев: Радянська школа, 1989. – 160 с.
5. Геометрия : учебник для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян [и др.]. – М.: Просвещение, 2000. – 206 с.
6. Гусев В.А. Практикум по решению математических задач: Геометрия : учебное пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 1985. – 223 с.
7. Зив Б.Г. Задачи по геометрии: Пособие для учащихся 7 – 11 класса общеобразоват. учреждений/ Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский.( 3(е изд.(М.: Просвещение, 2000.(271с.
8. Киселёв А.П. Геометрия : Стереометрия: 10-11 кл. : учебник и задачник / А.П. Киселев, Н.А. Рыбкин. – М.: Дрофа, 1995. – 352 с.
9. Математика. Подготовка к ЕГЭ(2011: учебно-методическое пособие/ Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю. Кулабухова. ( Ростов(на( Дону: Легион (М, 2010 – 416с.13 EMBED Equation.3 1415
10. Погорелов А.В. Геометрия : учебник для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / А.В. Погорелов. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 175 с.
11. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих во втузы: учебное пособие/Под редакцией М.И. Сканави. ( 3(е изд.(М.: Высшая школа, 1977.
12. Смирнова И.М. Геометрия: Учебное пособие для 10-11 кл. естественно( научного профиля обучения / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – М.: Просвещение, 2001.( 239 с.
13. Смирнова И.М. Устные упражнения по геометрии для 7 – 11 классов:Кн. для учителя / И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. – М.: Просвещение, 2003.( 174 с.
14. Худобин А.И. Сборник задач по тригонометрии: пособие для учителей/ А.И. Худобин, Н.И. Худобин. (М.: Гос. учеб.( педаг. изд-во Мин. Просвещения РСФСР, 1954. – 186 с.






















СОДЕРЖАНИЕ


Предисловие ...........................................................................................................3

I. Параллельность в пространстве

1. Теоретическая карта № 1................................................................................... 5
1.1. Параллельность прямых ................................................................................. 5
1.2. Параллельность прямой и плоскости.............................................................. 6
1.3. Параллельность плоскостей............................................................................. 6
1.4. Дополнительные признаки параллельности прямых..................................... 7
2. Доказательство утверждений теоретической карты № 1...............................8
3. Задачи к теоретической карте № 1 ................................................................. 9

II. Перпендикулярность в пространстве
1. Теоретическая карта №2...................................................................................40
1.1. Перпендикулярность прямых.......................................................................... 40
1.2. Перпендикулярность прямой и плоскости.................................................... 41
1.3. Перпендикулярность плоскостей................................................................... 42
1.4. Дополнительный признак перпендикулярности прямых ............................. 44
1.5. Дополнительные признаки перпендикулярности прямой и плоскости...... 45
1.6. Дополнительные признаки перпендикулярности плоскостей..................... 46
2. Доказательство утверждений теоретической карты №2............................... 47
3. Задачи к теоретической карте №2.................................................................... 50

III. Углы между прямыми и плоскостями
1. Теоретическая карта №3...................................................................................73
1.1. Угол между прямой и плоскостью................................................................. 73
1.2. Угол между плоскостями..................................................................................73
1.3. Свойства некоторых углов............................................................................... 75
2. Доказательство утверждений теоретической карты №3 ...............................78
3. Задачи к теоретической карте №3................................................................... 81
IV. Список литературы....................................................................................... 124







































































































13PAGE 15


13PAGE 1412415




а

в


·

Рис. 1

а

в

с

Рис. 2

13 EMBED Equation.3 1415

а


·

Рис.3



в

М

а


·

Рис.4



а


·

Рис.5



в


·


·

Рис. 6

Рис. 7


·

а


·

а

в

в

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

а

в

13 EMBED Equation.3 1415
·

Рис. 8

13 EMBED Equation.3 1415


·13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
·

(

а

в

Рис. 9

13 EMBED Equation.3 1415

А

Рис. 12

В

S

C

M

N

13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 11

А

B1

А1

C1

13 EMBED Equation.3 1415

M

N

D1

D

С

В

А

В1

Рис. 10

В

М

С

А1

N

С1

13 EMBED Equation.3 1415

С1

В1

В1

С1

А1

D1

D1

А1

С

В

В

С

А

А

Рис. 13
Рис. 13

D

D

Рис. 14

в

а


·

М

с

Рис. 15

А

В

В1

А1

С1

С

Рис.16

М

А

В

С

D

Р2

Р4

Р1

Р3

Р5

Р6

Рис. 17

М

Рис.18

А

В

С

D

Р2

Р4

Р1

Р3

Р5

Р6

А

В

Р

К

F

М

Е

Рис. 19

С

Н

А

D

B

Р

C

К

Рис. 20

М

А

В

С

D

K

M

F

N

Рис. 21

О

А

C

E

B

Рис. 22

F

D

М

N

K

P

А

В

С

Е

F

N

М

К

Р

Рис. 23

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

N

М

Рис. 24

M

N

A

B

D

C


·

М

А

В

С

Р

Рис. 26

Р1

S

М1


·

с


·

р

Рис. 27

а(

О

А

С1

В

В1

А1

Рис. 28

С

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

К1

Рис. 29

К5

К4

К3

К21

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

К1

Рис. 30

К4

О

К3

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 31

К4

К3

К21

К5

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

К1

Рис. 32

К5

К4

К3

К21

О

М

N

Р

А

С

Рис. 33

D

В

О

К

А

В

С

Рис. 35

М

D

N

Р

А

В

С

Рис. 34

М

D

N

К

А

В

С

L

Рис. 36

Т

S

N

Р

S

А

С

N

К

Р

Рис. 37

Т

F

R

Q

М

А

В

D

С

S

О

К

F

Q

Рис. 40

М

А

В

D

С

S

Рис. 39

О

К

F

Q

М

А

В

D

С

S

Рис. 38

О

Q

В

С1

С

В1

К

L

F

Рис. 41

А1

А




·

45((
·/2

с

P

О

Рис. 240

К

С

В

С1

С

В1

К

L

М

Рис. 42

А1

А

А

А1

С1

С

К

N

Q

В1

а)

М

B

В

35

С

б)

в)

А

В

А

Рис. 44

А1

В

С1

С

В1

К

М

N

L

F

Q2

Q3

Q1

Рис. 43

А

Рис. 45

А1

В

С1

С

В1

К

М

N

Q

А

А

Рис. 46

А1

С1

С

Q

В

К

В1


·


·

а

Рис. 47

Рис. 49

В1

В

D1

А1

D

С1

С

А

Рис. 48

В1

В

D1

А1

D

С1

С

А


·


·

в

Рис. 50

а

в1

а1

с


·


·

в

Рис. 51

а

с

В1

С1

D1

А1

B

C

D

А

Рис. 52

А

В

С

Рис. 53

М

D

N

Р

С

Рис. 54


·

В

А

А2

А1

В1

В2

С2

С1

Рис. 55

О

А

В

С

Рис. 56

М

D

N

Q

Р

К

А

В

С

Рис. 57

М

D

Q

Р

N

А

В

М

D

N

Q

Р

К

С

Рис. 58

А

В

Рис. 59

М

D

N

Q

Р

К

С

А

В

С

Рис. 60

М

D

О

Р

К

N

Q

E

А

В

Рис. 61

М

D

N

О

Р

К

С

А

F

Q

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 62

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 63

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 64

О

К

M

N

Q

А

В

С

А1

D1

D

Рис. 65

О1

О2

С1

В1

А

В

С

Рис. 66

М

D

О

Р

N

К

R

1)

Q

А

В

D

С

Рис. 67

О

S

А

D

С

В

Е

К

М

Н

Рис. 68

Р

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 69

А

В

D

С

S

Рис. 70

М

К

N

В

А

D

К

М

Н

С

Рис. 71

l

Р

В

А

D

К

М

Н

С

Рис. 72

Р

l

А

В

С

Рис. 73

D

Р

К

М

l


·

А

А1

В1

В

Рис. 74


·

А

В

С

М

S

Q

Р

N

Рис. 75

А

С

Рис. 77

В

D

S

О

К

F

Р

L

М

N

Q

А

С

Рис. 76

В

D

S

О

К

F

М

N

Q

P

А

Рис. 78

В

D

С

S

О

К

F

Р

L

М

N

Q

A

C1

Рис. 79

B

C

D

A1

B1

D1

М

Р

А

В

Рис. 80

М

Q

Р

N


·

С

А

В

С

А1

С1

В1

D

Рис. 81

К

L

D1

А

l

С

А1

С1

В1

D

Рис. 82

К

К1

D1

p

B

А

В

С

D

E

F

А1

C1

B1

D1

E1

F1

Рис. 83

Х

M

N

E

F

Р

M

N

Рис. 84

Рис. 85


·


·

A1



A2

B1

S

B2

1 случай.

Рис. 86


·


·

A1



A2

B1

S

B2

2 случай.

Рис. 87


·


·



A2

B1

С1

В2

С2

А1

О

А

В

С

М

S

Р

D

Е

Рис. 88

90°

а13 EMBED Equation.3 1415

в

Рис. 89

О – точка пересечения прямых а и в,

13 EMBED Equation.3 1415



О13 EMBED Equation.3 1415

а

в

О

90(

а1

в1

Прямые а и в скрещивающиеся,
13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 90

с


·

а13 EMBED Equation.3 1415

в

90°



Рис. 91

Рис. 92

а

в

с

13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 93

а

в1

в

90°

а1

13 EMBED Equation.3 1415

а


·

Рис. 94

13 EMBED Equation.3 1415

а


·

Рис. 95


13 EMBED Equation.3 1415




А

13 EMBED Equation.3 1415

а


·

Рис. 96

в

с

а


·

Рис. 97



в

с


·


·


·

а

в

13 EMBED Equation.3 1415

с

Рис. 98

В


·


·

С

D



А

Рис. 99

О

13 EMBED Equation.3 1415а ( (, а ( ( : ( ( (.

Рис. 100

а


·


·

Рис. 101

А

l

О

В

АВ – наклонная к плоскости
·,
ВО – проекция АВ на плоскость
·,
l – прямая в плоскости
·,
13 EMBED Equation.3 1415


·

Рис. 102

А

l2

О

В

АВ – наклонная к плоскости
·,
ВО – проекция АВ на плоскость
·,
l1, l2– прямые в плоскости
·.
13 EMBED Equation.3 1415

l1


·

а

в


·

13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 103


·


·

l

13 EMBED Equation.3 1415

Рис. 104


·


·

с

а

Рис. 105

13 EMBED Equation.3 1415


·


·


·

с

Рис. 106


·


·


·

13 EMBED Equation.3 1415

а

Рис. 107


·


·


·

Рис. 108

13 EMBED Equation.3 1415


·


·

Дано: l (
·,
· ||
·.

Доказать: l (
·.


(


·

А

С

А1

В

С1

В1

l

Рис. 109


·


·

с

а

Рис. 110

Дано: 13 EMBED Equation.3 1415
Доказать: а (
·.



А

О

В

3.


·


·


·

Рис. 111

Дано: 13 EMBED Equation.3 1415
Доказать: 13 EMBED Equation.3 1415

а

(

в

C1

B1

D1

А1

D

С

В

А

Рис. 112

В

А

С

D

М

N

Рис. 113

.

Рис. 114

Р

К

A

B

C

D

Q

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 115

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 116

O

а

в




·

а1

Рис. 117


·


·

А

с

М

В

Рис. 118

А

В

М

М1

К1


·

К

Рис.119

К

А

С

D

В

О

Рис. 120

S

O

A

B

K

Рис. 121

М

А

С

Рис. 122

О

В

D

К

Н

Е

А

В

СС

30°

О

D

8

10

Рис. 123

Р

А

С

Рис. 124

О

В

D

К

Н

6

Р

Q

Q1

Р1

(

Рис. 125

R

В

А

С

D

М

Рис. 126

О

K

L

P

Рис. 127

D

B1

C1

А

С

В

D1

М

L

K

F

H

А1

L

B1

А

C1

С

Рис. 128

D

В

D1

М

K

F

H

T

P

А

В

С

А1

С1

В1

D

D1

Рис. 129

А

В

С

А1

С1

В1

D

D1

Рис. 130

А

В

В1

D

D1

С

А1

Q

Р

С1

Рис.131

В

А

С

Q

L

P

Рис. 132

В

А

С

Q

L

P

М

F

D

Рис. 133

В

А

С

Q

Рис. 134

P

К

В

А

С

Q

Рис. 135

P

К

M

В

А

С

Q

Рис. 136

О

P

К

M

l

(

S

O

A

B

K

Рис. 137

А

В

С

А1

С1

В1

D

D1

Рис. 138

А

В

С

А1

С1

В1

D

D1

Рис. 139

D

A

C

B

K

Рис. 140

D

A

C

B

К

Рис. 141

А

С

Рис. 142

О

В

D

К

Н

S

р

А

С

О

В

D

S

l

М

N

Рис. 143

А

В

D

Рис. 144

L

K

C

А

В

D

Рис. 145

L

K

C

А

В

D

Рис.146

L

K

C

А

В

D

L

K

C

Рис. 147

А

В

D

L

K

C

Рис.148

М

А

С

D

В

Рис. 149

А

В

С

Рис.150

D

15

20

M

А

В

С

Рис.151

D

К

А

D

В

С

Рис.152

А

Рис 153.

D

С

В

К

А

С

D

В

О

М

Е

Рис. 154

М

А

С

D

В

Рис. 155

m

n

О

М

А

С

D

В

Рис. 156

М

А

С

6

7

О

В

D

9

Рис.157

М

А

С

D

В

Рис. 158

20

21

А

В

С

D

O



P

Рис.159

Р

5

3

А

О

S

С

В

а

К

M

Рис. 160

А

D

S

Рис. 161

F

E

C

B

а

а

F

A

E

B

C

D

Рис. 162

120(

a

А

D

S

Рис. 163

F

E

C

B

а

а

K

F

A

E

B

C

D

Рис. 164

120(

K

a

А

А1

В

В1

С

С1

D1

D

Рис.166

Рис. 165

А

B1

C1

С

А1

D

В

D1

В

С1

С

В1

Р

М

К

Рис. 167

А1

А

В

С1

С

В1

Р

М

К

А1

А

О

Рис. 168

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 169

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 170

А

В

С

Рис. 172

Р

Р

А

С

D

В

О

Рис.171

В

N

Рис. 173

S

А

P

К

М

b

a

С

А

С

Рис. 174

О

В

D

К

Н

S

M

N

В

С1

С

В1

Р

13 EMBED Equation.3 141545(

О

А1

А

в

ав

Рис. 175

А

60(

О


·

Рис. 176

АВ – прямая,

· – плоскость,
ОВ – проекция АВ на плоскость
·,
13 EMBED Equation.3 1415 - угол между прямой АВ
и плоскостью
·.





·

А

В

О


·

Рис. 177


·- угол между прямой АВ и плоскостью
·,

·0- угол между прямой АВ и произвольной прямой:
·<
·0.





·


·0


·

Рис. 178

Р

Рис. 179

А

В


Первый способ
13 EMBED Equation.3 1415
План построения.
13 EMBED Equation.3 1415

l


·


·

Р

Рис. 180

А

В

Второй способ
План построения.
13 EMBED Equation.3 1415



·


·

l

Третий способ
План построения.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415


Р

Рис. 181

А

О


·


·

l


·


·


·

а

в

с

Рис. 182

13 EMBED Equation.3 1415


·


·


·

l


·

Рис. 183

р

С


13 EMBED Equation.3 1415АВС – данный угол,
BD – прямая, проведённая через
вершину угла вне его плоскости, ВО – её проекция.
Тогда, если 13 EMBED Equation.3 1415, то
ВО ( биссектриса 13 EMBED Equation.3 1415АВС;
и обратно,
если ВО ( биссектриса 13 EMBED Equation.3 1415АВС, то13 EMBED Equation.3 1415.

1

А

2

В

D

О

Рис. 184

Рис. 185


·


·

l


·


·


·


·


·


·


·

S

A

C

B

Рис. 186


·


·


·


·

Рис. 187

р

В

О

А

К

х

Рис. 188

О

D

В

2

А

1


С

С

1

А

2

В

D

О

Рис. 189

М

Р

Рис. 190


·1


·2


·


·


·

А

О

В

К

х


·


·


·


·

S

A

C

B

Рис. 191

D ffffffffffffffffff


D1 ffffffffffffffffff
1 ffffffffffffffffff


B ffffffffffffffffff


C ffffffffffffffffff


A ffffffffffffffffff


A1 ffffffffffffffffff


B1 ffffffffffffffffff


C1 ffffffffffffffffff


Рис. 192


8 ffffffffffffffffff


1 ffffffffffffffffff


7 ffffffffffffffffff


4 ffffffffffffffffff


3 ffffffffffffffffff


5 ffffffffffffffffff


2 ffffffffffffffffff


6 ffffffffffffffffff


А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 193


·


·

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 194


·


·


·

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 195


·

О

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 196


·

О

О1

К

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 197


·

О

К

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 198


·

О

Р

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 199


·

О

Р

В

А

С

Р

О

Рис. 200


·

В

А

С

Р

О

Рис. 201

К


·

В

А

С

Р

О

Рис. 202

K


·

F

А

В

А1

В1

О

Рис. 203


·


·


·1

Рис. 204


·2

А

1

О1

О2

B

l

D ffffffffffffffffff


D1 ffffffffffffffffff
1 ffffffffffffffffff


B ffffffffffffffffff


C ffffffffffffffffff


A ffffffffffffffffff


A1 ffffffffffffffffff


B1 ffffffffffffffffff


C1 ffffffffffffffffff


Рис. 205



· ffffffffffffffffff


а


· ffffffffffffffffff



· ffffffffffffffffff


4 ffffffffffffffffff


3 ffffffffffffffffff


5 ffffffffffffffffff


D ffffffffffffffffff


D1 ffffffffffffffffff
1 ffffffffffffffffff


B ffffffffffffffffff


C ffffffffffffffffff


A ffffffffffffffffff


A1 ffffffffffffffffff


B1 ffffffffffffffffff


C1 ffffffffffffffffff


Рис. 206


30( ffffffffffffffffff


45( ffffffffffffffffff


l ffffffffffffffffff


D ffffffffffffffffff


D1 ffffffffffffffffff
1 ffffffffffffffffff


B ffffffffffffffffff


C ffffffffffffffffff


A ffffffffffffffffff


A1 ffffffffffffffffff


B1 ffffffffffffffffff


C1 ffffffffffffffffff


Рис. 207


30( ffffffffffffffffff


45( ffffffffffffffffff


3 ffffffffffffffffff


О ffffffffffffffffff


D ffffffffffffffffff


D1 ffffffffffffffffff
1 ffffffffffffffffff


B ffffffffffffffffff


C ffffffffffffffffff


A ffffffffffffffffff


A1 ffffffffffffffffff


B1 ffffffffffffffffff


C1 ffffffffffffffffff


Рис. 208


( ffffffffffffffffff


N ffffffffffffffffff


М 11ffffffffffffffffff


O ffffffffffffffffff


В

С1

С

В1

К

(

Рис. 209

А1

А

В

С1

С

В1

К

(

Рис. 210

А1

А

12

18

Р

С

О

M

А

D

В

(

Рис. 211

А

С

Р

В

Рис. 212

О

S

(

К

О

.

Рис. 213

S

h

A

B

C

D

О

(

P

Рис. 214

S

A

B

C

D


·

М

А

D

S

Рис. 215

F

М

C

B

13 EMBED Equation.3 1415

О

17

в

В

А

С

М

Рис. 216

P

К

S

3

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис.217


·

А

В

С

А1

С1

D1

В1

О

Рис. 218


·

D

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D


·

О1

l

О

Рис. 219

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D


·

О1

О

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D


·

О1

Рис. 221

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D


·

О1

Рис. 222

О

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 223

О

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 224


·

P

В

А

С

S

О

Рис. 225

К


·

В

А

С

S

N

Рис. 226

K


·

М

Р

В

А

С

S

Рис. 227

K


·

М

Р

l

N

В

А

С

S

Рис. 230

K

М

Р

N

L

F

F

L


·

O

В

А

С

S

Рис. 229

K

F

L

N

В

А

С

S

Рис. 228

K

М

N

Р


·

Рис. 231


·


·2


·1


·

Рис. 233

L

P

С

А

В

В

А

С

Рис. 232

P

К

Рис. 235

Р

A

C

D

В

К

Рис. 234

Р

A

C

D

В

Рис. 236

Р

A

C

D

В

Рис. 237

Р

A

C

D

В


·


·

Н

Рис. 238

Р

A

C

D

В

30(

60(

Рис. 239

S

A

C

D

В


·


·


·

Р

К

а










В

А

С


Рис. 241

О

P

с


·


·


·

К

М

С

О

M

А

D

В

а

Рис. 242


K

Р
Рис.

С

О

А

D

В

Рис. 243


Р
Рис.

45(

С

О

M

А

D

В

60(

Рис. 244


K

Р
Рис.

45(

D ffffffffffffffffff


D1 ffffffffffffffffff
1 ffffffffffffffffff


B ffffffffffffffffff


C ffffffffffffffffff


A ffffffffffffffffff


A1 ffffffffffffffffff


B1 ffffffffffffffffff


C1 ffffffffffffffffff


Рис. 245



· ffffffffffffffffff


О ffffffffffffffffff


Н ffffffffffffffffff


D ffffffffffffffffff


D1 ffffffffffffffffff
1 ffffffffffffffffff


B ffffffffffffffffff


C ffffffffffffffffff


A ffffffffffffffffff


A1 ffffffffffffffffff


B1 ffffffffffffffffff


C1 ffffffffffffffffff


Рис. 246


( ffffffffffffffffff


N ffffffffffffffffff


М 11ffffffffffffffffff


a ffffffffffffffffff


h ffffffffffffffffff


В

С1

В1

Р

q


·

Рис. 247

А1

А

С

D

в

В

С1

В1

Р

О

45(

Рис. 248

А1

А

С

К

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

4

О1

l

В

С1

С

В1

Р

13 EMBED Equation.3 1415
·

К

Рис. 249

А1

А

ав

13 EMBED Equation.3 1415
·

В

С1

С

В1

Р

13 EMBED Equation.3 1415
·

К

Рис. 250

А1

А

Ов

13 EMBED Equation.3 1415в

13 EMBED Equation.3 1415
·

D ffffffffffffffffff


D1 ffffffffffffffffff
1 ffffffffffffffffff


B ffffffffffffffffff


C ffffffffffffffffff


A ffffffffffffffffff


A1 ffffffffffffffffff


B1 ffffffffffffffffff


C1 ffffffffffffffffff


Рис. 251



· ffffffffffffffffff


N ffffffffffffffffff


М 11ffffffffffffffffff


( ffffffffffffffffff


Р ffffffffffffffffff


D2 ffffffffffffffffff


A2 ffffffffffffffffff


B2 ffffffffffffffffff


C2 ffffffffffffffffff


О 11ffffffffffffffffff


n ffffffffffffffffff


А

В

С

Z

а

а

р

Рис.252


·


·


·

K


·

А

В

С

О

Рис. 253

D ffffffffffffffffff


D1 ffffffffffffffffff
1 ffffffffffffffffff


B ffffffffffffffffff


C ffffffffffffffffff


A ffffffffffffffffff


A1 ffffffffffffffffff


B1 ffffffffffffffffff


C1 ffffffffffffffffff


Рис. 254


(1 13 EMBED Equation.3 1415
·ffffffffffffffffff


(2 ffffffffffffffffff



· 13 EMBED Equation.3 1415
·ffffffffffffffffff


В

С1

В1

2(

Рис. 255

А1

А

С

D

h

А

D

S

Рис. 256

F

E

C

B


·


·

O

Рис. 257

Р

A

B

C

D

О

2(

А

В

С

D

60(

Рис. 258

О

А

В

С

А1

60(

Рис. 259

О

С1

В1

а

в

с

В

С1

С

В1

Р

13 EMBED Equation.3 141560(

К

Рис. 260

А1

А

ав

13 EMBED Equation.3 1415О

С

А1

А

D

В

Рис. 261

О

В1

С1

D1

а

а

45(

60(

С

А1

А

D

В

Рис. 262

О

В1

С1

D1

в

а

(

О1

Р

С

А1

А

D

В

Рис. 263

В1

С1

D1

с

а

45(

в

О

В

А

С

Рис. 264

S

а

а

а


·

а

О

а

В

А

С

Рис. 265

P

45(

а

а

а

60(

В

С

P

45(

60(

а

А

а

а

О

К

Рис. 266

В

А

С

Рис. 267

S

60(

1

1

О

Рис. 268


·


·

А

В

D

С


·

р

Рис.


·


·

А

В

D

С


·

р

Рис. 269


·


·

А

В

С

О


·

А

D

В

С

Рис. 270


·

А

В

С

О

Рис. 271

45(


·

А

В

С

О

Рис. 272

30(


·

А

В

С

О

Рис. 273

60(

Р

45(

h

M

A

B

C


·


·

Рис. 274

B

C

A

M


·


·

Рис. 275

А

D

В

С

Рис. 276


·


·

О

М

Q

N

В

А

С

S

О

а


·

К

Рис. 277

А

В

С

А1

С1

D1

В1

D

Рис. 278

Рис. 279

Р

К

A

B

C

D

О

(

13 EMBED Equation.3 1415

В

А

С

Рис. 280

P


·

с

с

(

В

А

С

S

О

а


·

К

Рис. 281

а

(

В

А

С

S

О

М

(

К

Рис. 282

С

А1

А

D

В

Рис. 283

В1

С1

D1

с

а

в

О

К

Рис. 220



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativecEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 10739031
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий