Управленческая экономика_Сио К.К, пер с анг_200..


ОГЛАВЛЕНИЕ TOC \o "1-5" \h \z Предисловие редактора 17
Предисловие.■18
Глава 1
Введение в управленческую экономику23Понятие «управленческая экономика»23Экономическая теория и управленческая экономика24Аналитические средства: математическая экономика
и эконометрика26
Управленческая экономика в международной обстановке26Выводы27Список литературы27Глава 2
Фирма и ее поведение28План главы28Роль фирмы в обществе28Альтернативные модели поведения фирмы29Модель максимизации прибыли29
Модель максимизации продаж35
Модель максимизации роста36
Модель управленческого поведения36
Модель максимизации добавленной стоимости (японская модель).38
Американские трудности с японской моделью39
Почему мы руководствуемся моделью максимизации прибыли?40
Выводы41Задачи42Список литературы 45Приложение 2А. Вывод формулы дисконта46Приложение 2В. Эмпирическое исследование поведения японских
автомобилестроителей при максимизации добавленной стоимости47
EBIT/общие активы47
Акционерный фонд/общие активы47
Добавленная стоимость/общие активы48
Добавленная стоимость/основные (постоянные) активы48
Добавленная стоимость/количество работников48
Глава 3
Среды решения и выработка решения в условиях определенности50План главы51Среды решения51Концепция определенности51
Концепция риска52
Концепция неопределенности52
Выработка решения в условиях определенности: оптимизационный
TOC \o "1-5" \h \z анализ53
Предельный анализ.53
Линейное программирование55
Приростной анализ прибыли (краткосрочная концепция)58
Выводы 59Задачи60Список литературы.61Приложение ЗА. Предельный анализ..62Оптимизация функции63
Иллюстративный пример63Табличный метод65
Вычислительный метод67
Предельный анализ многомерной функции168
Ограниченный оптимум70
Приложение 3В. Линейное программирование72Графическая иллюстрация: задача линейного программирования
с двумя переменными72
Симплексный метод76
Трудности и их преодоление81
Двойственная задача83
Анализ чувствительности83
Список литературы 85Глава 4
Выработка решения в условиях риска и неопределенности86План главы. 86Матрица решения 87Выработка решения в условиях риска 88Методы оценки риска88
Предполагаемая стоимость90
Измерение риска: размах и среднее квадратичное отклонение91
Измерение относительного риска: коэффициент вариации94
Компромисс между риском и прибылью95
Полезность, страх риска и премия за риск97
Корректировка риска103
Анализ последовательности решения с использованием'
дерева решения110
Планирование риска и стоимость риска112'
Выработка решения в условиях неопределенности;115Степень неопределенности115
Критерий решения Вальда116
Альфа-критерий решения Гурвица,117
Критерий решения Сэйвиджа118
Критерий решения Лапласа119
Другие методы учета неопределенности119
Выводы124Задачи125Список литературы 132Приложение 4А. Краткое изложение законов вероятности133Определения133
Совокупная вероятность (логическое «и»)133
Условная вероятность;133
Логическое «или»134
Приложение 4В. Вероятностное распределение потока наличности136Оценка распределения вероятности137
Зависимые потоки наличности138
Глава 5
Анализ спроса и потребительское поведение 139План главыi139Количественный подход к потребительскому равновесию140Функция полезности: предельная полезность140
Потребительское равновесие при максимальной полезности142
Эффект рекламы и продвижения товара на рынок144
Предельная полезность и кривые спроса145
Предельная полезность и потребительские излишки146
Порядковый подход к потребительскому равновесию152Кривые безразличия152
Предельная норма замещения:155
Бюджетная линия157
Потребительское равновесие159Выводы:163Задачи164Список литературы166Приложение 5А. Математическое выражение
потребительского равновесия167
Глава 6
Функции спроса и эластичность спроса 169План главы169Функции рыночного спроса170Рыночный спрос и функция спроса фирмы170
Количественный спрос и изменения в спросе171
Характер функции спроса172
Эластичность спроса174Ценовая эластичность спроса174
Графическое измерение точечной эластичности178
Спрос, доход и ценовая эластичность180
Факторы, влияющие на ценовую эластичность185
Применение ценовой эластичности187
Другие виды эластичности спроса188
Выводы :196Задачи■197Список литературыv;200Глава 7
Оценка спроса: элементарные методы202План главыi202Статистический анализ203Сбор данных203
Выбор информационной кривой204
Простая линейная регрессия205
Интерпретация параметров!211
Оценка уравнения регрессии.212
Средняя квадратичная ошибка коэффициента регрессии 213
Коэффициент детерминации, г2213
Проверка гипотез218
Подход к оценке спроса в исследовании рынка219Обследования потребителя220
Выявление предпочтений потребителя221
Рыночные эксперименты1221
Выводы223Задачи224Список литературы228Глава 8
Оценка спроса: множественный регрессионный анализ229План главы....230
Построение функции мультивариантного спроса230Шаг 1. Идентификация переменных230
Шаг 2. Сбор и уточнение данных233
Шаг 3. Выбор наилучшей формы уравнения234
Шаг 4. Расчет уравнения регрессии.234
Шаг 5. Эксперименты с регрессионной моделью237
Шаг 6. Анализ компьютерной распечатки238
Тестирование и оценка результатов.....238
Шаг 1. Тестирование пригодности модели239
Шаг 2. Статистические тесты и оценки239
Общие тесты240
Тестирование отдельных параметров245
Исходные предположения и специальные задачи
множественного регрессионного анализа248
Мультиколлинеарность249
Гетеросцедастичность250
Автокорреляция.....251
Выводы256Задачи257Список литературы263Глава 9
Прогнозирование264План главы:264Механическая экстраполяция:265Простейшие модели;265
Анализ временных рядов266
Барометрические методык.274Типы показателей274
Составные индексы277
Диффузионные индексы277
Сбор мнений и обзоры целей278Обзоры экономических целей278
Прогнозирование объема продаж279
Эконометрические модели280Модели, состоящие из одного уравнения280
Модели, состоящие из систем уравнений281
Методы макроэкономического прогнозирования!283
Выводы285Задачи,...286
Список литературы288Приложение 9А. Оценка прогнозирования289Проверка прошлых характеристик289
Прогноз и фактические результаты289
Промежуточный обзор292
Выбор метода прогнозирования293
Глава 10
Анализ производства295План главы296Производственные функции296Характер изменения производственной функции при одном беременном вводимом факторе производства и сохранении
неизменными всех остальных вводимых факторов производства297
Производственная функция с несколькими переменными
вводимыми факторами308
Оптимизация нескольких переменных вводимых факторов
производства — обязательное условие максимизации прибыли321
Расширение производства и эффект масштаба 322Зависимость дохода от масштаба производства324
Испытание производственной функции на зависимость дохода
от масштаба производства;325
Изменчивость экономической эффективности при расширении
производства328
Проблемы успешного управления фирмой с целью получения экономии,
обусловленной увеличением масштаба производства329
Выводы330Задачи331Список литературы335Приложение 10 А. Влияние увеличения заработной платы
на численность работающих335
Глава И
Оценка производственных функций342
План главы342Измерение производственной функции343Методы измерения343
Проблемы измерения переменных затрат и выпуска346
Измерение агрегированного производства349
Подбор производственной функции350Свойства производственных функций351
Уравнения для производственных функций с одним
вводимым фактором производства352
Линейная производственная функция354
Квадратичное уравнение вида I: квадратичная производственная
функция с положительным параметром с355
Квадратичное уравнение вида II: квадратичная производственная
функция с отрицательным параметром с 356
Кубическая функция■-357
Степенная функция с одним вводимым фактором производства360
Степенная функция с несколькими вводимыми
TOC \o "1-5" \h \z факторами производства362
Некоторые эмпирические исследования эффекта масштаба364Исследования на основе данных временных рядов364
Исследования, основанные на кросс-секционных данных366
Выводы369Задачи371Список литературы373Приложение НА. Аппроксимация квадратичной
и кубической кривых:373
Глава 12
Анализ затрат375План главы'.:375
Природа затрат.376Концепция релевантных затрат376
Восстановительные и первоначальные затраты 377
Бухгалтерские и вмененные затраты...377
Дополнительные затраты и принятие решений378
Теория затрат: функции «затраты—выпуск» 382Постоянные и переменные затраты382
Краткосрочные и долгосрочные затраты383
Общие и предельные затраты383
Динамика краткосрочных затрат384
Свойства функций краткосрочных затрат390
Динамика долгосрочных затрат396Экономические преимущества и недостатки, обусловленные
увеличением масштаба производства399
Экономические преимущества, обусловленные увеличением
масштаба производства (на уровне завода)399
Экономические недостатки, обусловленные увеличением
масштаба производства (на уровне завода)400
Экономические преимущества, обусловленные увеличением
масштаба производства (для фирмы с несколькими заводами)400
Динамика затрат и стратегия управления401Минимальный эффективный масштаб производства402
Влияние ожидаемого спроса на выбор размеров предприятия405
Кривые обучения и экономия, обусловленная увеличением
масштаба производства408
Кривая обучения и стратегия корпорации!412
Выводы413Задачи:414Список литературы419Глава 13
•Эмпирические оценки функций затрат420План главы420Оценка функций краткосрочных затрат420Методы оценок421
Понимание существенных особенностей измерения затрат421
Статистический метод оценки затрат424
Эмпирические исследования краткосрочных затрат430
Оценка долгосрочных затрат432Методы оценки долгосрочных затрат433
Статистические методы433
Технический метод434
Метод естественного отбора435
Некоторые результаты исследований долгосрочных затрат436
Выводы439Задачи440Список литературы 442Глава 14
Прибыль: концепции, измерение, планирование и управление443План главы443Измерение прибыли: бухгалтерские и экономические концепции444Проблемы измерения бухгалтерской прибыли446
Экономическая концепция учета восстановительной стоимости446
Теории прибыли449Компенсационные, или функциональные, теории449
Фрикционные и монополистические теории:450
Научно-технические и инновационные теории450
Полезная отдача и стоимость инноваций: Япония и США451
Прибыль: планирование и управление■„455Бюджет прибыли455
Анализ безубыточности 456
Линейный анализ безубыточности458
Предельный вклад, или вложенная прибыль458
Алгебраические методы!461
Планирование прибыли463
Альтернативные точки безубыточности464Предел безопасности466
Операционный левередж: эластичность прибыли по реализации...469
Применение анализа безубыточности и операционный левередж470
Анализ безубыточности474
Децентрализованные центры прибыли474Прибыль отделений475
Оценка управленческой деятельности476
Выводы477Задачи478Список литературы483Глава 15
Рыночная структура и анализ ценообразования484План главы484Рыночные структуры485Воздействие характеристик продавца на рыночную структуру485
Воздействие характеристик покупателя на рыночную структуру485
Воздействие характеристик продукта на рыночную структуру486
Условия входа и выхода486
Экономия, обусловленная увеличением масштаба производства486
Анализ равновесия487
Идеальная конкуренция487Краткосрочное равновесие488
Долгосрочное равновесие491
Чистая монополия495Краткосрочное монопольное равновесие496
Долгосрочное монопольное равновесие499
Монопольная конкуренция500Краткосрочное равновесие при монопольной конкуренции500
Долгосрочное равновесие при монопольной конкуренции501
Оценка монопольной конкуренции505
Олигополия505Модели ценового лидерства506
Модель с ломаной кривой спроса508
Картели и сговоры512
Модель рыночной доли516
Неценовая конкуренция: дифференциация продукта и реклама521Роль рекламы521
Измерение дифференциации продукта522Выводы;523Задачи524Список литературы528Приложение 15А. Рыночная мощность и использование рекламы
для максимизации прибыли529
Измерение рыночной мощности530
Использование рекламы для максимизации прибыли531
Глава 16
Практика ценообразования и принятия решений533План главы533Цели ценообразования534Ценообразование, направленное на получение целевой прибыли
на инвестиции534
Ценообразование, направленное на достижение целевой рыночной доли535
Ценообразование, обусловленное конкуренцией535
Ценообразование: методы и подходы535Ценообразование по полным затратам535
Ценообразование по приращению затрат542
Ценовая дискриминация543Степень ценовой дискриминации543Условия для дифференциального ценообразования545
Основы структур ценовой дифференциации545
Максимизация прибыли и ценовая дискриминация546
Оптимальное ценообразование на многие виды продуктов549Ценообразование на линии продуктов549
Ценообразование на сопутствующие товары550
Стратегия ценообразования на многие виды продуктов:
использование производственной мощности завода552
Оптимальное ценообразование на совместные продукты555
Выводы:560Задачи!561Список литературы!564Приложение 16 А. Децентрализация и трансфертное
ценообразование565
Характер и цели трансфертного ценообразования565
Трансфертное ценообразование при отсутствии внешнего рынка566
Трансфертное ценообразование при наличии внешнего рынка569
Международное трансфертное ценообразование573
Задачи574Список литературы;575Приложение 16В. Ценовая дискриминация более чем
на двух рынках575
Глава 17,
Экономическая роль правительства580План главы581Внешние экономические условия582Позитивные внешние условия:582
Негативные внешние условия583
Экономическое воздействие внешних условий583
Поощрение выгодных внешних условий586
Система мероприятий, направленных на борьбу с негативными
внешними условиями588
Регулирование общественной полезности591Проблемы регулирования общественной полезности592
Эффект инфляции595
Ограничение рыночной мощности и недобросовестной
конкуренции595
Антитрестовские законы595
Слияния597
Последние изменения в подходах к слияниям;598
Принуждение к выполнению антитрестовских законов600Иллюстративные примеры600Тенденции выполнения законов602
Поведение регулирующих органов603Теория захвата.603
Теория распределения выгоды и ущерба604
Тенденции дерегулирования и приватизации604Основания для дерегулирования605
Эффект дерегулирования606
Насколько необходима антитрестовская политика?609
Приватизация общественных служб610
Будущее приватизации: «за» и «против»612
Выводы.....613
ЗадачиV;614
Список литературы619Гпава 18
Бюджет долгосрочных расходов компании620
План главы620Обзор процесса составления бюджета долгосрочных
расходов компании621
Решения по поводу финансирования621
Решения по выбору направления инвестиций621
Оценка стоимости капитала622Денежные затраты при различных методах финансирования624
Левередж и стоимость капитала631Оценка потока наличности634Оценка инвестиционных предложений635Методы дисконтированного потока наличности635
Ранжирование проектов по инвестированию капитала641
Другие методы оценки инвестиций643
Выводы646Задачи648Список литературы651Приложения653Таблицы и графики дисконтирования654
Натуральные логарифмы658
Статистические таблицы660
Формулы производных669
Переработка любого уже получившего признание учебника, безусловно, требует компромисса между преемственностью в содержании и научной новизной. Кроме того, автор должен учитывать, что непрерывное развитие теории и практики часто опережает современные учебные планы. Именно поэтому создание учебника, который, пробуждая интерес к изучаемому предмету, одновременно отвечает жестким научным требованиям, является достаточно трудным делом. Этот процесс требует терпения, обработки большого количества аналитического материала, который получен в результате долгих часов, проведенных в учебных аудиториях, а также кропотливой работы редактора. Профессор экономики финансов и учреждений Гавайского университета (Ма- ноа) К.К. Сио достиг уровня, позволившего ему создать превосходный учебник по современной управленческой экономике.
Седьмое издание «Управленческой экономики» является тщательно разработанным инструментом для анализа быстро изменяющегося мира, который предназначен как для преподавателей, так и для студентов. Оно во многом обогащено материалом, полученным в результате тщательного исследования рынка, а также тестирования десятков преподавателей и более чем 300 студентов, а также задачами и их решениями. Это издание п<эможет читателям увидеть глобальную управленческую перспективу и заложит аналитические основы, способствующие решению будущих проблем, а не только занимательному анализу прошлых.
Мы выражаем глубокую признательность тем преподавателям, которые решили использовать данный учебник в процессе обучения. Сотни тысяч студентов уже учились по нему с тех пор, как вышло в свет его первое издание. Пожалуйста, обратите внимание на имеющиеся в Предисловии замечания. Мы советуем вам воспользоваться именно настоящим изданием «Управленческой экономики», что, несомненно, будет очень полезным.
Со времени публикации предыдущей редакции данного издания деловая среда Претерпела два существенных изменения. Во-первых, ускорились темпы научно-технического прогресса и, во-вторых, национальные экономики различных стран, быстро включаясь в мировую экономику, становятся все менее чувствительными к правительственной политике. Эти тенденции привели к изменению масштабов и содержания управленческих решений и создали среду, в которой экономический анализ и его использование в частном и общественном сектора* приобретает все большее значение.
Как и предыдущая редакция, данное издание «Управленческой экономики» рассчитано на интеграцию экономической теории с наукой управления и другими научными дисциплинами с тем, чтобы выработать практический подход для принятия управленческих решений как в частном, так и в общественном секторах экономики.
Несмотря на многочисленные изменения в структуре данной книги и в ее содержании, в ней по-прежнему подчеркивается значение микроэкономического анализа и средств практического использования экономической теории для решения реальных жизненных проблем. Количественные методы будут полезны студентам для более глубокого понимания методов экономического анализа, а также для практического использования экономической науки при выработке управленческих решений. Издание предназначено для студентов старших курсов, лиц, сдающих экзамены на ученую степень магистра деловой администрации, аспирантов и слушателей курсов повышения профессиональной квалификации по экономике и управлению.
Структура изданияСедьмое издание содержит 18 глав и охватывает основные направления, перечисленные далее.
Понятие «управленческая экономика» и поведение фирмы (гл. 1-2). В этих главах рассмотрено понятие «управленческая экономика» и ее взаимосвязь с другими научными дисциплинами. Рассматриваются теория управления фирмой и ее различные модели (включая японскую), а также их использование для определения и прогнозирования поведения фирмы. Анализируется современная концепция стоимости как средства измерения богатства собственника в терминах текущей стоимости для предполагаемого потока прибыли в будущем.
Методы оптимизации в средах решений (гл. 3-4). В этих главах вводятся теория полезности и понятие «среды решений в условиях определенности, риска и неопределенности». Рассматриваются методы выработки оптимальных решений в этих условиях. В приложении к гл. 3 представлены основы линейного программирования.
Спрос (га. 5—9). В этих главах анализируются природа и источники спроса; методы количестйенного измерения и прогнозирования. Подробно рассматриваются поведение потребителя (гл. 5), функция и эластичность спроса (гл. 6), эмпирическая оценка спроса с использованием простой линейной регрессии (гл. 7), множественная линейная регрессия (гл. 8) и прогнозирование спроса (гл. 9).
Производство и затраты (гл. 10-13). В этих главах представлены теория и методы измерения объемов производства и затрат, причем особое внимание уделяется эмпирическому построению функций производства и затрат. Также рассматриваются проблемы количественного измерения входа и выхода.
Планирование и управление прибылью (гл. 14). В этой главе рассматривается использование бюджета для планирования и управления прибылью. Кроме того, как средство планирования прибыли вводится понятие «анализ безубыточности». Здесь рассмотрены вопросы оценки производительности отделений децентрализованной фирмы.
Выпуск продукции и ценовые решения в различных рыночных структурах (гл. 15-16).В этих главах рассмотрена рыночная структура в условиях идеальной конкуренции, чистой монополии, монополистической конкуренций и олигополии. Кроме того, анализируются различные методы ценообразования, практически используемые фирмами, которые действуют в различных рыночных структурах.
Экономическая роль правительства (гл. 17). В данной главе исследуются внешние факторы, влияющие на экономику (такие, как способы государственного регулирования промышленности, антитрестовские законы и меры их реализации), а также современные тенденции к дерегулированию и приватизации общественных служб.
Бюджет долгосрочных расходов компании (гл. 18). Эта глава посвящена оценкам стоимости капитала, потоков наличности, а также оценке инвестиционных предложений.
Характерные особенностиИнтернационализация содержания. Структура настоящего издания ориентирована на интернационализацию учебных планов по различным дисциплинам бизнеса (с учетом японской модели фирмы). Предполагается, что это позволит студентам освоить новые подходы к выработке глобальных решений.
Гйбкость в подаче материала. Достижению этой цели служат следующие приемы.
Каждая глава в основном исчерпывает тему, поэтому их можно изучать в любой
последовател ьности.
Отдельные главы дополнены приложениями, содержащими некоторые пояснения или более глубокий анализ материала, представленного в главе.
Для работы со студентами, которые имеют разные уровни подготовки, главы, содержащие фундаментальные материалы, отделены от глав, дающих дополнительный, более сложный материал. Так, например, анализ спроса рассматривается в пяти главах. Его фундаментальные основы изложены в трех главах, раскрывающих частные темы теории полезности и поведения потребителя, эластичности спроса и элементарных методов оценки спроса. В двух оставшихся главах, посвященных множественной линейной регрессии и прогнозированию, более глубоко рассматривается тема анализа спроса (в Руководстве для преподавателя представлены рекомендации, когда целесообразно использовать приведенный материал).
Иллюстративные задачи и краткие примеры. Теоретический материал каждой главы подкреплен иллюстративными задачами, способствующими углубленному пониманию теории путем демонстрации возможностей ее практического применения. Закреплению теоретического материала способствуют помещенные в конце главы задачи и краткие примеры из практики.
Необходимый уровень подготовки. Седьмое издание написало с учетом того, что студенты освоили школьный курс алцебры и типовой вводный курс по микро- и макроэкономике. Хотя в тексте используются некоторые расчеты, но для их понимания студенту достаточно знания основ дифференциального исчисления. Полный набор формул для получения производных представлен в приложении в конце книги, хотя в самом тексте использованы только первые три формулы. Приложения к отдельным главам служат для углубленного понимания расчетных методов.
Организация главыВсе главы были приведены к единой форме, обеспечивающей четкую структуру и удобное получение информации (структура каждой главы представлена далее).
Краткий обзор.
План главы, кратко раскрывающий содержание каждого из ее основных параграфов.
Текст с иллюстративными задачами и примерами.
Выводы к главе.
Задачи и краткие примеры.
Дополнительная литература.
Приложения (если имеются).
Для Лучшего восприятия иллюстративные задачи выделены в тексте при помощи специального полиграфического приема.
Основные отличия от предыдущих изданийПомимо исправлений, отражающих изменения в деловой среде, также были устранены устаревшие и добавлены новые материалы. Структура глав в данном издании была изменена с тем, чтобы подчеркнуть практическое значение управленческой экономики для решения управленческих проблем. Были тщательно изучены замечания и предложения преподавателей и студентов, работающих по предыдущим изданиям. В результате были внесены следующие основные изменения.
Реорганизация материала.
Глава 1 шестого издания разделена на две главы с тем, чтобы каждая глава полнее соответствовала своему содержанию. Это потребовало изменить нумерацию глав 2—12 шестого издания на главы 3—13 седьмого издания. Глава 13 «Прибыль: концепции и измерение» и глава 14 «Прибыль: планирование и управление» шестого издания в седьмом издании объединены в главу 14 «Прибыль: концепции, измерение, планирование и управление». Глава 18 «Бюджет долгосрочных расходов компании: выбор инвестиций» и глава 19 «Бюджет долгосрочных расходов компании: политика финансирования» шестого издания в седьмом издании объединены в новой главе 18, озаглавленной «Бюджет долгосрочных расходов компании». Таким образом, общее количество глав было сокращено с 19 в шестом издании до 18 в седьмом.
Добавлено восемь новых приложений, а одно изъято. Эти приложения к главам содержат новые или особо трудные материалы (в которых использованы более глубокие или совершенные математические средства), представляющие интерес только для успевающих студентов, а также иллюстративные примеры.
Удалены устаревшие материалы, а более 40% оставшихся переработано для того, чтобы уточнить их или же упростить для понимания. По мере необходимости некоторые материалы были расширены с той целью, чтобы они полнее соответствовали теме.
Задачи в конце главы и краткие примеры переработаны с тем, чтобы они лучше коррелировали с текстом. Задачи, не отвечающие новым требованиям, исключены и составлены новые, позволяющие подчеркнуть особенности процессов интернационализации бизнеса. Всего заменено более 30% задач, а более 25% оставшихся переработано.
В новом издании задачи в конце главы содержат вопросы для обсуждения, и преподаватель может использовать их, чтобы закрепить и уточнить понимание студентами теоретического материала главы. Кроме того, к каждой главе добавлены краткие примеры, позволяющие расширить понимание рассмотренных концепций и средств.
Основные новые материалы.
а.Модель управленческого поведения (гл. 2).
б.Модель максимизации добавленной стоимости (японск'ая модель; гл. 2).
в.Вывод формулы дисконта (Приложение 2А).
г.Эмпирическое исследование поведения японских автомобилестроителей при максимизации добавленной стоимости (Приложение 2В).
д.Линейное программирование, включая графическое решение, симплексный метод, двойственную задачу и анализ чувствительности (Приложение ЪВ).
е.Вероятностное распределение потока наличности (Приложение 4В).
ж.Математическое выражение потребительского равновесия (Приложение 5А).
Эффект масштаба и изменчивость экономической эффективности при расширении производства (гл. 10).
и.Влияние увеличения заработной платы на численность работающих (Приложение ЮЛ).
к. Аппроксимация квадратичной и кубической кривых (Приложение ПА).
л. Динамика затрат и стратегия управления (гл. 12), включая:
минимальный эффективный масштаб производства;
кривую обучения и стратегию корпорации.
м. Полезная отдача и стоимость инноваций: Япония и Соединенные Штаты (гл. 14).
н. Модель рыночной доли (для олигополии; гл. 15).
о.Тенденции дерегулирования и приватизации (гл. 17).
п. Текущая практика составления бюджета долгосрочных расходов в ведущих американских фирмах (гл. 18).
Дополнительная литература Для студентовДоработанное пособие для самостоятельной работы студента и сборник упражнений.
Так же как и в предыдущих изданиях, настоящее издание дополнено пособием для самостоятельной работы студента, которое представлено в виде отдельного приложения. Пособие предназначено для того, чтобы студент мог освоить материалы, представленные в главах, при минимальной помощи преподавателя. Оно состоит из двух частей.
Часть I включает (для каждой главы): 1) краткое содержание; 2) словарь важнейших терминов и 3) материалы для самоконтроля, состоящие из вопросов с ответами «вер- но-неверно» (или несколькими ответами) и задач. Также даются правильные ответы на вопросы и решения задач с тем, чтобы студент мог оценить степень своего понимания материала каждой главы.
Часть II пособия для самостоятельной работы студента содержит материалы для самоконтроля, аналогичные представленным в части I, но без ответов и решений. Часть II, таким образом, может быть использована для домашних заданий повышенной трудности. Ответы и решения приводятся в Руководстве для преподавателя. Пособие для самостоятельной работы-студента позволяет:
а)выделить важнейшие концепции, которые должен освоить студент;
б)оказать помощь студенту в решении задач, расположенных в конце главы, приводя аналогичные примеры;
в)показать возможности- использования экономической теории для решения практических проблем;
г)оказать помощь студенту в подготовке к сдаче экзамена по курсу.
Для преподавателя
Руководство для преподавателя. Руководство для преподавателя служит для оказания максимальной помощи преподавателю в использовании данного материала для занятий по курсу управленческой экономики. Оно состоит из трех частей. Часть I содержит ответы на задачи, представленные в конце каждой главы. Часть II содержит банк контрольных текстов с ответами на вопросы типа «верно-неверно» или с набором ответов, которые преподаватель может использовать для подготовки контрольных работ для студентов. Часть III содержит ответы на вопросы, приводимые в части II пособия для самостоятельной работы студента.
Выражение признательностиЯ получил множество полезных предложений и замечаний от студентов и преподавателей, использовавших прежние издания этой книги, и также воспользовался замечаниями и предложениями моих коллег. Всем им я очень благодарен. Особую признательность я выражаю проф. Дж. В. Коху (Университет «Old Dominion»); д-ру К. Куросава (Токийский технологический институт); Р. Э. Петерсону, Дж. П. Сой- дерхоуду, Р. А. Тоссигу и Р. Г Уортли (Гавайский университет); проф. Б. Беливо (Коннектикутский университет); проф. Э. Хейнцу (Университет Вальпарайзо); проф. В. Н. Криш- нан (Государственный университит «Bowling Green»); проф. Г. Лайнеру (Университет Северной Каролины в Шарлотте); проф. Дж. Маддалена (Колледж Св. Томаса Огиент- ского). Я благодарю за практические примеры и обзор проф. X. Фейнглину (Пекинский химический технологический институт); г-на Ч. К. Кима (Daelim Industrial Company, Сеул); д-ра Дж. Шена (Hong Kong Economic Journal)-, г-на Ш. Тацуе (Seiso Bussan Company, Токио). Я также хочу высказать свою глубокую признательность д-ру Д, Г. Боссу, декану Колледжа деловой администрации Гавайского университета, за его одобрение и поддержку в работе.
Моя особая благодарность проф. У. А. Лонгу (Гавайский университет) и С. Шоену (Hawaian Telephone Company). Г-н Шоен прекрасно отредактировал рукопись, что существенно улучшило ее восприятие. Проф. Лонг, мой коллега и дорогой друг на протяжении последних двадцати лет, научивший меня тонкостям английского языка, любезно согласился стать соавтором Руководства для преподавателя и Пособия для самостоятельной работы студента.
Мне повезло в том, что я имел способных помощников, тщательно и благожелательно решавших задачи подготовки рукописи к изданию. Это П. Эби, Д. Канг, Я. ЯмаМоту и Д. Йошинага (Колледж деловой администрации Гавайского университета). Наконец, я рад высказать свою благодарность коллективу редакции издательства «Richard D. Irwin» за бесценную помощь и особенно за подбор рецензентов, которые своей глубокой критикой первоначального варианта рукописи и своими предложениями внесли большой вклад в окончательный вариант.
Несмотря на все усилия, предпринятые для устранения ошибок, некоторые, вероятно, остались незамеченными. За них я принимаю на себя полную ответственность.
К. К. Сио
ГЛАВА«ИШ!1ВВЕДЕНИЕ В УПРАВЛЕНЧЕСКУЮ ЭКОНОМИКУИспользование экономической теории и ее аналитических средств для решения повседневных проблем — непростое дело, в чем, к своему разочарованию, убедились многие. «Экономическая теория очень хороша, — говорят они, — и я знаю эти средства, но как я могу применить их в повседневной жизни?».
Поскольку этот вопрос закономерен и на него нет готовых ответов, в 40-х гг. нашего столетия возникло новое направление экономической науки, названное управленческой экономикой и призванное преодолеть существующий разрыв между теорией и практикой. Управленческая экономика сегодня является неотъемлемой частью программ среднего и высшего образования по специальности «Деловая администрация». Эта дисциплина часто включается в учебные планы других профессиональных учебных заведений, готовящих инженеров, специалистов по общественному администрированию, здравоохранению, городскому и региональному планированию, врачей и правоведов. Это свидетельствует о том, что принципы и методы управленческой экономики относятся не только к организации, стремящейся к получению прибыли, но и к любой другой организации (как отечественной, так и зарубежной), которая желает оптимизировать использование свойх ресурсов.
Понятие «управленческая экономика»Одни ученые считают, что управленческая экономика - это сфера применения экономической теории (в особенности микроэкономической теории) к проблемам оптимального распределения экономических ресурсов. Другие рассматривают управленческую экономику как область микроэкономики, как подход, требующий интеграции принципов и методов других функциональных областей, таких, как бухгалтерский учет, финансы, маркетинг и менеджмент. Третьи видят в управленческой экономике дисциплину, связывающую экономическую теорию и науку о принятии решений. В этом случае ее задачами является обеспечение выработки рациональных решений не тольков частном секторе, но и в государственных ведомствах и в организациях, не преследующих цели получения прибыли. Везде, где существуют альтернативные стратегии распределения ресурсов, управленческая экономика предоставляет средства, позволяющие выявить наилучшую альтернативу.
Фактически все упомянутые определения справедливы, ибо управленческая экономика объединяет все эти подходы. Нам не нужно выбирать между ними, ибо во всех этих определениях существуют общие элементы. Их можно сформулировать следующим образом:
управленческая экономика - это способ применения экономической теории, особенно ее микроэкономического раздела, к практическому решению проблем;
эта дисциплина может быть использована для повышения качества управленческих решений;
управленческая экономика связана с выработкой решений по оптимальному распределению ограниченных ресурсов между конкурирующими направлениями работ как в частном, так и в общественном секторах.
Экономическая теория и управленческая экономикаЭкономическая теория традиционно подразделяется на две широкие области: микроэкономику, рассматривающую поведение на рынке продавца и покупателя, и макроэкономику, изучающую совокупность экономических понятий, таких, как валовый национальный продукт, национальный доход, национальная занятость и национальное потребление. Макроэкономика сосредоточивается на коллективных результатах миллионов, отдельных экономических решений, тогда как микроэкономика — на поведении отдельных лиц, принимающих решение в макроэкономической среде.
Поскольку микроэкономическая теория имеет дело с вопросами, близко связанными с поведением фирмы при распределении ресурсов (а именно с поведением потребителя, теорией спроса, анализом производства и затрат, структурой рынка и ценообразованием, планированием прибыли, бюджетом долгосрочных расходов компании и финансами), она вносит решающий вклад в управленческую экономику. Отдельная фирма, однако, существует не в вакууме. Ее среда — это проявления глобальной экономики, определяющей и направляющей действия миллиардов людей, производителей и потребителей, действующих во всем мире.
Неподконтрольная отдельной фирме национальная и международная экономическая обстановка сильно сказывается на возможностях получения и цене экономических ресурсов, приобретаемых ею. К таким ресурсам относятся рабочая сила, материалы, комплектующие, механизмы и оборудование. Национальная и международная экономическая обстановка также сказывается на доступности и стоимости финансирования, особенно на процентной ставке. Оказывая влияние на доходы, национальная и международная обстановка сильно влияет на возможности реализации продукции фирмы. Соответственно макроэкономика вносит серьезный вклад в управленческую экономику даже при том условии, что ее микроэкономическая составляющая будет более значима.
Хотя такое сочетание микроэкономической и макроэкономической теорий играет важнейшую роль в решении экономических” проблем, эффективность выработки решений зависит не только от экономической теории. Как показано на рис. 1.1, управленческая экономика во многом полагается на экономическую методологию и ее аналитические средства, а также на принципы бухгалтерского учета, финансов, маркетинга, управления кадрами и организации производства.
\ Задачи / \ управления / Экономическая теория Аналитические средства
Макроэкономика, Математическая экономика,
микроэкономика эконометрика
Управленческая
экономика
Экономическая
методология ' г Исследование функциональных областей
Описательные модели, нормативные модели Бухгалтерский учет, финансы, маркетинг, персонал, производство
Оптимальные
решения
Рис. 1.1. Природа управленческой экономикиКак показано на этом рисунке, экономическая методология включает два широких подхода, и каждый из них связан с использованием моделей, которые могут быть как описательными, так и нормативными. Они могут использоваться как раздельно, так и в сочетании друг с другом.
Описательные модели базируются на эмпирических наблюдениях. При их помощи ученые пытаются описать и объяснить экономические соотношения так, как они существуют в реальном мире, но только в упрощенной, абстрактной форме. Упрощение достигается агрегацией деталей, часто связанной с упрощающими предположениями, которые не всегда идеально соответствуют фактам реального мира! Хорошим примером такой модели служит модель идеальной конкуренции. Она исходит из предположения о том, что в.се участники рынка имеют о нем полную информацию, что очевидно невозможно. Тем не менее такая модель часто весьма успешно объясняет и прогнозирует поведение цен в реальном мире. Она используется как норма, как мерило, позволяющее объяснить несовершенства, которые проявляются в реальных условиях. То обстоятельство, что эта модель не отображает реальную жизнь во всех ее аспектах, не мешает использовать ее как средство, объясняющее и прогнозирующее изменение цен.
Нормативные модели (их называют также оптимизационными) позволяют лицу, принимающему решение, выявить наиболее эффективный путь достижений поставленной цели. Оптимизационная модель выражает целевую функцию в операционных терминах. В конечном счете она предписывает процедуры, с использованием которыхлицо, принимающее решение, может определить оптимальную стратегию с учетом заданных ограничений.
Поскольку в бизнесе решения обычно связаны с оптимизацией определенной функции, описательные модели часто бывают полезны для разработки подобных оптимизационных моделей. Нас в данном случае интересует не столько классификация моделей, сколько их способность прогнозировать изучаемые явления.
Аналитические средства: математическая экономика и эконометрикаВ математической экономике экономические отношения представлены в математической форме, что часто позволяет увидеть такие стороны проблемы, которые, могли быть легко упущены при чисто описательном подходе. Более того, математическое моделирование часто определяет границы анализа и позволяет «отсеять» нецелесообразные альтернативы.
В эконометрике статистические методы используются с целью исследования экономических моделей, разработанных для объяснения экономических соотношений. Так, например, статистические методы могут быть использованы для выявления соотношений между спросом на продукцию компании и такими факторами, как цена продукта, доход потребителя, расходы на рекламу и количество потенциальных потребителей. Эконометрические методы будут полезны: 1) при выявлении факторов, влияющих на спрос; 2) определении зависимости спроса от изменения и (или) взаимодействия этих факторов и выполнении точных измерений при решении проблем, поставленных в п. 1 и 2. Такая информация будет чрезвычайно полезной для выработки правильных решений.
Управленческая экономика в международной обстановкеУчитывая все увеличивающуюся интернационализацию рынка, в данном издании в задачах и иллюстративных примерах были использованы данные, характерные как для национальных, так и международных экономических условий.
В современных условиях для того, чтобы эффективно действовать в частном или общественном секторе, управляющему необходимо учитывать постоянно увеличивающуюся интернационализацию рынка. Американские фирмы, ведущие свои дела далеко за пределами Соединенных Штатов, пришли к выводу о том, что им необходимо адаптировать свой стиль управления, рыночную стратегию и разработку продукции к особенностям культурной и политической обстановки этих стран. Это, конечно же, логично. Кроме того, даже те компании, которые ведут дела исключительно внутри страны, сегодня ощущают мощное давление зарубежной продукции и капиталовложений. Так, например, когда Советский Союз покупал большие объемы пшеницы по цене ниже мировой, цена муки для мелких пекарен в Соединенных Штатах увеличивалась примерно на 20%. Мелкий и средний бизнес в Соединенных Штатах может столкнуться с конкуренцией иностранных фирм. Компании во всем мире ищут дешевую рабочую силу, поэтому они могут перевести свое производство в другую страну, где ее стоимость ниже. Ожидается еще большая интеграция мировой экономики до конца этого столетия. Конечно же, компаниям, желающим расти и процветать, необходимо адаптировать свой процесс выработки управленческих решений к условиям мирового рынка. Кроме того, в таких быстро
Список литературы
меняющихся условиях строгий анализ будет более чем прежде необходим для выработки правильных решений. Это придает аналитическим средствам управленческой экономики еще большую ценность, чем прежде.
ВыводыУправленческая экономика составляет то направление экономических исследований, которое сокращает разрыв между экономической теорией и практикой. Ее необходимо изучать, поскольку она вносит свой посильный вклад в процесс принятия управленческих решений не только организациями, стремящимися к получению прибыли, но и организациями, не преследующими целей получения прибыли, а также государственными ведомствами.
Управленческая экономика включает элементы как микро-, так и макроэкономики. В ней используются как описательные, так и нормативные модели, а также аналитические средства математической экономики и эконометрики. Быстрая интернационализация рынка придает средствам управленческой экономики, используемым для выработки управленческих решений, еще большую ценность, чем когда-либо прежде.
Список литературыCairncross, Sir Alec. «Economics in Theory and Practice». American Economic Review (May 1985), pp. 1-14.
Dean, Joel. Managerial Economics. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1951.
Harris, Robert G. «The Values of Economic Theory in Management Education». AEA Papers and Proceedings (May 1984), pp. 122-126.
McKinnon, Ronald I.; Christopher Radcliffe; Kong-Yam Tan; Arthur D. Warga; and Thomas D. Willett. «International Influences on the U.S. Economy: Summary of an Exchange». American Economic Review (December 1984), pp. 1132—1134.
ГЛАВА
2ФИРМА И ЕЕ ПОВЕДЕНИЕДля того чтобы лучше понимать рыночную стратегию коммерческих организаций, в первую очередь необходимо изучить роль фирмы в обществе, а также ее цели и задачи. Это будет способствовать лучшему пониманию процессов выработки решений по управлению производством, затратами и ценообразованием на рынке, т.е. тех вопросов, которые будут рассмотрены в последующих главах.
План главы.Эта глава начинается кратким описанием роли фирмы в обществе, а затем вводится ряд моделей, которые иногда используются для того, чтобы объяснить стратегию фир-. мы. В главу входят два параграфа и два приложения.
Роль фирмы в обществе. В этом параграфе кратко рассмотрены отношения фирмы с обществом и та среда, в которой фирма ведет свои дела.
Альтернативные модели поведения фирмы. В этом параграфе рассмотрены мотивы, определяющие решения фирмы, и анализируются некоторые модели, разработанные с тем, чтобы разъяснить особенности поведения фирмы на рынке.
Приложение 2А. Вывод формулы дисконта. В этом приложении рассмотрен вывод формулы дисконта, используемой для определения текущей стоимости равномерного потока будущих платежей.
Приложение 2В. Эмпирическое исследование поведения японских автомобилестроителей при максимизации добавленной стоимости. В данном приложении проведено эмпирическое исследование поведения фирм «Toyota», «Nissan», «Mazda» и «Honda», направленное на максимизацию добавленной стоимости.
Роль фирмы в обществеОсобый интерес для управленческой экономики представляет способ взаимодействия фирмы с обществом. Для понимания роли фирмы в обществе нам следует начать с того элементарного положения, что сырьевые ресурсы не обладают стоимостью до
тех пор, пока они не объединены с трудом и капиталом в процессе их обработки. Роль фирмы состоит в том, что она распределяет эти ограниченные ресурсы труда и капитала и управляет процессом их обработки с тем, чтобы иметь полезные товары и услуги и предоставить их членам общества на рынке.
Если фирма эффективно удовлетворяет потребности общества в товарах и услугах, то она получает вознаграждение, к которому стремится. Это вознаграждение - прибыль, которая в некотором смысле является двигателем, приводящим в действие экономическую систему на общее благо всех членов общества: рабочих, управляющих, инвесторов и потребителей. Общество полагается на стремление фирмы к прибыли, которое обеспечивает на только производство необходимых товаров и услуг, но и обеспечивает занятость, сбор налогов и эффективное распределение ограниченных ресурсов.
Однако операции фирмы на рынке далеко не всегда отвечают требованиям, предъявляемым обществом к товарам и услугам. Удовлетворяя вкусы и предпочтения потребителей, подверженные частым изменениям, фирма вынуждена принимать решения относительно объемов, цены, качества и сроков производства. Фирма не всегда располагает всей информацией, необходимой для такого решения, но, тем не менее, она вынуждена действовать. В условиях неопределенности, для того чтобы обеспечить свое процветание и выживание, фирма должна располагать эффективной стратегией, обеспечивающей действенное планирование.
Частные фирмы, действующие в условиях конкуренции на свободном рынке, должны распределять свои ресурсы эффективным и производительным образом. Именно это обстоятельство привело правительство США к решению ослабить степень регулирования таких отраслей,, как авиалинии и банки, в том числе коммерческие. Необходимость дерегулирования все шире понимается в мире. Многие бывшие социалистические страны в последние годы стали ослаблять государственный контроль в надежде, что движение к рыночной экономике улучшит производительность и использование ресурсов при производстве потребительских товаров. Такая тенденция к дальнейшему дерегулированию в Соединенных Штатах и других странах вызовет, вероятно, повышение спроса на профессиональных управляющих, хорошо освоивших принципы и методы управленческой экономики.
Альтернативные модели поведения фирмыСуществует значительное количество моделей, позволяющих объяснить поведение коммерческих фирм и их управляющих в терминах их задач и целей. В их число вошли следующие модели: максимизации прибыли, максимизации продаж, максимизации роста, управленческого поведения и японская модель, направленная на максимизацию добавленной стоимости.
Модель максимизации прибыли
Экономисты давно склонны считать, что главной целью организации любого типа должна быть максимизация ее выгод по отношению к затратам. Для коммерческой организации выгоды, которые она стремится получить, выражаются в форме прибыли. Поскольку наша экономическая система позволяет фирмам в нерегулируемых отраслях получать столько, сколько они смогут получить, первоначально предполагалось, что поведение фирмы наилучшим образом может быть описано при помощи модели максимизации прибыли, разработанной исследователями по теории микроэкономики фирмы.
Ранее варианты моделей максимизации прибыли сосредоточивались на решениях, максимизирующих прибыль в краткосрочной перспективе, т.е. позволяющих максимизировать суммарный краткосрочный доход за вычетом общих затрат. В более поздних вариантах таких моделей предполагалось, что цель фирмы состоит в максимизации стоимости фирмы в перспективе на будущее. Поскольку стоимость фирмы в длительном интервале определяется потоком ее будущих прибылей, которые могут соответствовать, а могут и не соответствовать ожиданиям, модель должна быть развита с тем, чтобы включить в нее текущую стоимость будущих денег (будущих прибылей) и концепцию риска. Для понимания такой модели студент должен четко представлять себе концепцию текущей стоимости.
Текущая стоимость. Концепция текущей стоимости основана на принципе сложных процентов. Предположим, что сегодня инвестирован 1 долл. при годовой процентной ставке Тогда через год сумма Av равная основному капиталу и процентам, составит
А, = $1 + ($1 х /)
или
TOC \o "1-5" \h \z А, = $1(1 + /),(I)
а через два года накопленная сумма Л2 достигнет
А, = $1(1 + /)(1 + 0 = $1(1 + /)2.(2)
Процесс, обратный процессу начисления сложных процентов, называется дисконтированием. Если мы ожидаем, что А2 через два года будет равно $1(1 + О2, то дисконтированная текущая стоимость 1 долл. при процентной ставке /' составит
$1(1 + <), =$1 или —— = $1.(3)
(I-')2 М*В общем виде концепция текущей стоимости (PV) будущих прибылей, тс, выражается как
РК-(4)М*где PVотражает текущую стоимость будущих прибылей, тс, получаемую к концу периода дисконтирования в п лет при свободной от риска периодической ставке дисконта /, выражаемой десятичной дробью. Иначе говоря, если будущие прибыли считаются достоверными, то может быть использована ставка дисконта без учета риска, равная /. Если будущий доход нельзя считать гарантированным, то мы используем рисковую ставку дисконтирования г, определяемую как / плюс премия за риск, компенсирующая его. Таким образом, величина г отражает степень риска. Это будет норма капитализации или стоимости капитала фирмы, т.е. та норма дохода, которую потребуют инвесторы после изучения экономического положения фирмы и финансового риска.
Независимо от того, какую переменную вы используете (/ или г), модель позволит максимизировать текущую стоимость дисконтированного потока прибылей. Если ожидается, что поток прибылей будет изменяться по годам, то уравнение можно привести к следующему виду:
л
(5)
PV=
(l + r) (l + r)2 (l + r)3 (1 + г)Л
л
П

где л2, я3 и лп представляют прибыли, ожидаемые фирмой в первом, втором, третьем и л-м годах при рисковой ставке дисконта г или требуемой норме дохода.
Если ожидается в каждом году получать равную прибыль, то задача максимизации потока прибылей существенно упрощается и сводится к задаче максимизации л. Текущая стоимость потока равных прибылей может быть вычислена по формуле (5), однако будет значительно проще воспользоваться формулой

(6)где л - периодические платежи; г - рисковая ставка дисконта; п — количество периодов.
Выражение в скобках называется показателем дисконтирования. Его вывод приведен в Приложении 2А в конце данной главы, а показатель дисконтирования при переменной величине годовой дисконтной ставки представлен в табл. А Приложения, помещенного в конце данной книги.
В динамической ситуации, когда предполагается возможность изменения величины л, задача максимизации значительно усложняется и приходится использовать уравнение (5). Однако для практического ее решения часто бывает полезно предположить равномерное распределение годовой прибыли на перспективу и считать, что эта тенденция сохранится до тех пор, пока изменение условий (ввод в эксплуатацию нового завода) не потребует изменить исходное предположение.
Если ожидаемый поток равномерной годовой прибыли, U, сохраняется постоянным в неограниченном интервале времени (т.е. бесконечно), то текущая стоимость такой последовательности доходов, PV, примет вид

г
(7)
где г - норма капитализации, характеризующая бизнес данной фирмы и ее финансовый риск1.
Ил.1 юс 1 ра ги иная эалача
Джон М., недавно закончивший Колледж деловой администрации, получил от своего деда наследство в 100 ООО долл. Он рассматривает три предложения об инвестиции наследства, имеющие равный риск. Каждая альтернатива предполагает начальную инвестицию в 100 ООО долл. Ожидаемый доход распределяется следующим образом.
приближается к нул(Ъ. Соответственно, PV=—
г
' Эта формула может быть получена из уравнения
U

Когда л стремится к бесконечности,
ГодПредложение 1 Предложение 2 Предложение 3
$ 30 ООО$50 ООО$0
30 ООО50 00030 000
30 00030 00060 000
30 00020 00060 000
.30 000 0_0
Всего$150 000$150 000$150 000
Вопросы
а.Какой будет чистая текущая стоимость (т.е. дисконтированный кассовый приход минус дисконтированный кассовый расход) каждого предложения при дисконтной ставке в 12%?
б.Как сказывается на чистой текущей стоимости распределение потока наличности во времени?
Решения
1-0.12)-
0,12
-$100 000= $8143.
а.Предпожение 1: PV — 30 000 Предложение 2:
ру _ $50 000 + $50 000 + $30 000 + $20 000 _ 5! 00 000 = $ 18 566.
1.12 (l,12)2 (l,12)3 (l,12)J
Предпожение 3: PV = $30_000_ + _$6^°°0 + $60^000 _ $1 qq 000 = $4754.
(l,12)2 (l,12)3 (1,12)“ б. Чем больше предполагаемое количество лет, через которое будет получен поток наличности, тем меньшей будет его текущая стоимость. Так, предпожение 2, согласно которому можно надеяться на больший поток наличности в более близкие сроки, будет иметь большую ценность, чем предложения 1 или 3. Предпожение 3, согласно которому можно надеяться на большую сумму годовых доходов, чем в предложениях 1 или 2, но относящее эту сумму на более поздний срок, будет иметь наименьшую ценность.
Максимизация состояния владельца. Мерой состояния владельца служит стоимость акции фирмы. Поэтому модель максимизации прибыли предполагает попытку фирмы максимизировать рыночную стоимость одной акции своего акционерного фонда. Фундаментальный подход к оценке стоимости акции можно выразить как

г
где V — капитализированная стоимость на акцию;
Е — ожидаемая прибыль на акцию, т.е. прибыль (полный доход - полные затраты), деленная на количество акций, подлежащих оплате (это неидентично дивидендам на акцию, если только все доходы компании не будут распределены в виде дивидендов, что маловероятно); г - норма капитализации, или требуемая норма дохода.
Такой подход универсально используется при оценке стоимости акционерного фонда инвесторами, которые умножают оцениваемый доход на коэффициент, называемый отношением «цена—доход», отношением «время—доход» или мультипликатором «цена— доход», для оценки стоимости данного акционерного фонда. Отношение «цена—доход» - это просто величина, обратная норме капитализации, г (т.е. 1 /г).
Процесс выработки решения фирмой во многом определяется соотношением между доходом на акцию, Е, и требуемой нормой дохода, г (г отражает риск, по предположению фирмы связанный с конкретным предложением инвестиций). Так, предположим, что стоимость капитала фирмы такова, что владелец требует норму дохода от своих инвестиций в 20%. Если доход фирмы на акцию составляет 1 долл., то капитализированная стоимость фирмы составит
„ $1,00V== $5 на акцию.
0,20Предположим теперь, что фирма имеет возможность инвестировать в проект, который повысит доход на акцию на 20 центов, но также повысит риск до величины, когда осторожный инвестор потребует доход в 25%, Получить повышенный доход будет очень соблазнительно для управляющих, пока они не оценят влияния капитализацирован- ной стоимости на обыкновенные акции. Ввиду повышенного риска капитализированная стоимость обыкновенных акции снизится до
F=H^=$4,8.
0,25
Критерий решения очевиден - предлагаемый проект позволит повысить доход на 20%, однако требуемая норма дохода повысится до 25% (с 0,20 до 0,25). Соответственно, состояние владельца, измеряемое стоимостью акций, сократится. Именно поэтому аксиомой бизнеса будет то, что чем выше риск, тем выше должна быть прибыль. Иначе не следует начинать рисковый проект.
Текущая стоимость будущих прибылей фирмы представляет стоимость фирмы при любом данном уровне риска (уровень риска включается в дисконтную ставку, г). Поэтому максимизировать текущую стоимость прибыли значит то же, что максимизировать состояние владельца. Модель максимизации прибыли тем самым показывает, что аппарат управления фирмой стремится максимизировать текущую стоимость будущих прибылей при данном уровне риска.
Иллюстративная задача
Корпорация «American Sports, Inc.» (ASI) экспортирует лыжное снаряжение американского производства дпя продажи в Японии. Капитализированная стоимость обыкновенных акций ASI составляет 45 долл. на акцию, а текущий доход на акцию равен 4,5 долл. Корпорация получила предложение принять участие в новой линии распространения спортивной одежды американского производства, что позволит ей увеличить доход на акцию примерно на 1,25 долл. При этом ASI будет вынуждена занять дополнительный оборотный капитал, чтобы создать необходимый запас для немедленной доставки товара при получении заказа. Однако управленческий аппарат корпорации знает, что обменный курс доллара США и японской иены нестабилен, а прогнозировать вкусы японских потребителей очень непросто. После оценки делового риска, связанного с маркетингом новой экспортной линии, финансового риска, связанного с непредсказуемостью обменного курса, и других фак-
2—1854
торов, управленческий аппарат ASI пришел к выводу, что для участия в новой экспортной линии доход от инвестиций должен составить 19%.
Вопросы
а.Найдите значение текущей ставки дохода на инвестиции.
б.Должна ли ASI принять участие в новой линии распространения спортивной одежды в Японии?
Решения
ЕЕ
V=—, отсюда г= — ;
гV
г= $4|5° =0,10 или 10%. $45
V = 4,50+ 1,25 = = $30,26
19 0,19
или
г= 1^11 = 0,1277 = 12,8%.
$45
Если ASI примет предложение, то капитализированная стоимость ее акций сократится с 45 до 30,26 долл. на акцию. Одновременно мы отмечаем, что доход на акцию, капитализированную при 45 долл., не достигнет требуемых 19%. Оба ответа указывают, что ASI не следует принимать это предложение.
Ограничения модели максимизации прибыли. Принципы, положенные в основу модели максимизации прибыли, помогают нам понять, какой должна быть стратегия фирмы, как ей следует вырабатывать решения и выбирать время для своих действий. В мире, в котором сроки инвестиций имеют важнейшее значение для успеха, эта модель позволяет нам глубже понять вероятное поведение фирмы. Однако модель максимизации прибыли, как и любая модель, дает упрощенный абстрактный вариант. В реальном мире существуют много сложностей, ограничивающих ее адекватность. Это происходит потому, что, помимо отсутствия всеобъемлющей информации, такая модель требует, чтобы фирма могла точно предсказать величину и распределение во времени потока будущих прибылей, что в. лучшем случае сделать очень трудно, а в худшем - невозможно. Кроме того, существует множество юридических, этических и социальных ограничений, которые ставят предел всеохватывающему стремлению фирмы к прибыли. В рамках этих ограничений фирма стремится иметь оптимальную прибыль.
Это означает, что фирма необязательно стремится максимизировать прибыль, вместо этого она пытается сбалансировать свое стремление к прибыли с другими целями и задачами - краткосрочными и долгосрочными, экономическими и неэкономическими. Достижение этих целей, так же как и увеличение прибыли, позволит ей максимизировать получаемые выгоды, которые необязательно должны сводиться к максимизации прибыли.
Признание этого обстоятельства привело к созданию ряда альтернативных моделей, исходящих из мотивов поведения фирмы, отличных от максимизации прибыли.
Эти модели, имеющие чрезвычайно важное значение для понимания поведения фирмы, можно подразделить на четыре общих класса моделей:
максимизации продаж;
максимизации роста;
управленческого поведения;
максимизации добавленной стоимости (японская модель).
Модель максимизации продаж
Модель максимизации продаж - это, вероятно, наиболее широко известная альтернатива модели максимизации прибыли. Она легко доступна для понимания и подтверждается интуитивно привлекательными примерами из жизни. Строгие эмпирические испытания, однако, не подтверждают справедливости гипотезы максимизации продаж. Особенно это касается долгосрочных задач фирмы.
Ученые приводят множество доводов в пользу того, почему фирмы могут отдавать предпочтение денежным поступлениям от продаж.
Изменение в продажах требует больших изменений в методах торговли и технологии производства, чем то будет оправдано равноценными изменениями в прибылях.
Управленческий аппарат фирмы может чувствовать, что отсутствие увеличения продаж несет ущерб репутации компании и ее отношениям с потребителями, финансовыми учреждениями и работниками.
Управленческий аппарат фирмы может чувствовать, что отсутствие увеличения продаж приведет к сокращению влияния компании на рынке и сделает ее более уязвимой для конкурентов.
Поскольку в большинстве случаев управляющие являются наемными служащими, а не владельцами фирмы, оценка работы ее управленческого аппарата будет более чувствительной к уровню продаж, чем к уровню прибылей (до тех пор, пока поддерживается приемлемый уровень прибылей).
Сторонники модели максимизации продаж признают, что некоторый минимальный уровень прибыли необходим, однако они уверены, что фирма, стремящаяся к максимизации продаж, предпочитает пожертвовать некоторыми либо всеми своими прибылями выше определенного минимума для того, чтобы увеличить объем продаж. Так, японские фирмы придают большое значение увеличению своего влияния на мировом рынке, поэтому они проводят демпинговую политику цен (т.е. продают продукцию за рубежом по ценам, ниже назначаемых в своей стране). Многие считают, что это тактика, направленная против Соединенных Штатов. Японские изготовители сложных микросхем, например, обвинялись в демпинге своей продукции, поступающей в Соединенные Штаты непосредственно либо через таких посредников, как Гонконг. Хотя демпинг может быть эффективен для увеличения своей доли на рынке, эта практика считается незаконной в Соединенных Штатах.
Можно привести и другой пример с падением курса доллара США относительно японской иены (вторая половина 80-х гг.). По логике, японские автомобилестроители должны были бы при этом повышать цену на свою продукцию, продаваемую на территории США, чтобы сохранить свой уровень прибылей. Вместо этого они предпочли держать постоянной цену в долларах, соглашаясь на снижение прибыли, чтобы сохранить свою долю рынка. Такое поведение составляет важный фактор в международной торговле. Однако природа таких фактов позволяет предположить, что здесь фирмы могут жертвовать ближайшими прибылями в пользу максимизации отдаленных. Максимизация отдаленной прибыли в данном случае составляет часть их стратегии, направленной на сохранение преимущественных позиций в конкуренции, способных принести большую прибыль в отдаленном будущем.
Модель максимизации роста
В любой компании рост склонны считать краеугольным камнем стратегии корпорации. Рост и его потенциал служат мерилом успеха корпорации в ее годовых отчетах и на финансовых страницах прессы для ее финансовых аналитиков и инвесторов. Согласно обычной модели максимизации роста, при достижении фирмой уровня выпуска, устойчиво обеспечивающего максимизацию прибылей, выпуск продукции должен оставаться постоянным до тех пор, пока остаются постоянными затраты и уровень спроса. По этой модели у фирмы будут отсутствовать основания для дальнейшего наращивания производства и продаж.
В действительности, конечно, спрос и затраты не остаются постоянными, и фирма будет стремиться к росту по тем же причинам, которые способствуют максимизации продаж. Рост, однако, должен финансироваться либо за счет удержаний из доходов, либо за счет займов, а часто за счет того и другого. Осторожные управляющие стремятся поддерживать соотношение «обязательства — активы» достаточным для стимулирования роста, но ниже предела неприемлемого риска.
В отдаленной перспективе рост фирмы будет определяться наличием достаточного потока прибылей. Очевидно, что какие бы различия ни проявлялись в краткосрочных интересах фирм, максимизирующих рост, продажи или прибыли, их долгосрочные интересы, вероятно, будут одинаковыми. Решение по максимизации роста неизбежно будет решением о максимизации прибыли в перспективе.
Модель управленческого поведения
Модели управленческого поведения касаются различий между владельцами и управляющими, характерных для разнообразных корпораций. Модели управленческого поведения включают модель управленческой выгоды, модель управленческой благоразум- ности и агентскую модель. Все эти модели исходят из следующих базовых предположений: 1) как владельцы (акционеры), так и управляющие являются рациональными людьми, пытающимися максимизировать свою личную выгоду, и 2) существуют коренные противоречия между интересами владельцев и интересами управляющих, поэтому когда управляющие пытаются максимизировать свою выгоду, они уменьшают выгоду владельцев.
Модель управленческой выгоды. Эта модель базируется на том предположении, что экономическая стратегия корпорации обусловлена несовпадением интересов владельцев и управляющих. Владельцы (акционеры) по этой модели стремятся максимизировать стоимость фирмы и поэтому заинтересованы в максимизации прибылей. Управляющие же имеют другой комплекс целей, мотивов, потребностей и желаний. Они больше заинтересованы в личных благах, чем в максимизации стоимости фирмы. Эта модель утверждает, что: 1) в контролируемых управляющими фирмах ставка прибыли меньше, чем в фирме, управляемой владельцем, поскольку аппарат управления игнорирует заинтересованность владельцев в максимизации прибыли, и 2) профессиональные управляющие не имеют личного интереса в максимизации прибыли. Ни одно из этих предположений не выдерживает строгого эмпирического исследования.
Эмпирические исследования, проведенные рядом ученых, показали, что заработная плата составляет только часть компенсации управляющих. Оставшаяся часть принимает форму ценных вознаграждений, премий, опционов акций и доли в прибылях, которые полностью зависят от прибыли. Эмпирические свидетельства подтверждают тем самым, что профессиональные управляющие имеют прямую и личную заинтересованность в максимизации прибыли.
Модель управленческой благоразумностн. Более реалистичную теорию фирмы, основанную на управленческом поведении, представляет модель управленческой благо- разумности. По этой модели управляющие могут преследовать свои личные интересы при том условии, что Они обеспечивают уровень прибылей, достаточный для выплаты приемлемых дивидендов владельцам и дальнейшего финансирования роста. Помимо заработной платы, личные интересы управляющих зависят от множества факторов, к которым относятся другие формы выплат, качество и профессиональный уровень подчиненных, не связанные с доходом блага и степенью свободы в расходовании или инвестировании денег фирмы. Когда фирма процветает, управляющие стремятся получать от нее различные виды нематериального вознаграждения (например, личный автомобиль с водителем). Бихевиористы называют такие нематериальные блага управленческими привилегиями.
Общая гипотеза модели управленческого благоразумия состоит в том, что фирма, которой руководят управляющие, максимизирующие выгоды, расходует больше на аппарат управления и предоставляет больше управленческих привилегий, чем фирма, максимизирующая прибыль. В эмпирических доказательствах, предлагаемых в подтверждение справедливости этой модели, недостаточно аргументов и имеется ряд недостатков. Самым существенным из них является тот, что среди возможных видов компенсаций наибольшее значение придается компенсации в форме заработной платы. Соответственно, серьезно недооценивается реальное поведение управляющих, направленное на максимизацию прибылей.
Агентская модель. Эта модель ориентирована на отношения между принципалами (акционерами) и их агентами (управляющими), которые действуют в интересах первых. Чтобы управляющие могли действовать, акционеры через свой совет директоров должны делегировать право принятия решений главному исполнительному директору (chief executive officer - CEO). Его полномочия должны предполагать делегирование права принятия решений другим управляющим фирмы.
Существует многое, что могут делать управляющие, преследуя свои интересы. Они, например, могут проводить политику, выставляющую их в наилучшем свете и гарантирующую им продвижение по службе. Недобросовестные управляющие могут принимать решения, способствующие личному обогащению за счет компании, принимая, например, в качестве взяток дорогостоящие бытовые предметы. Управляющих могут больше интересовать дорогостоящие привилегии, такие, как богатые кабинеты, роскошные автомобили и членство в престижных загородных клубах, чем сокращение затрат. Они могут уклоняться от принятия решений, имеющих элементы риска, опасных для их должности, или вступать в конфликты, создавая напряженность внутри компании или на рынке, нанося ущерб максимизации прибыли.
Проблема здесь в том, что акционеры не могут знать, действительно ли управляющие делают все, что в их силах, для максимизации состояния владельцев. Акционеры могут видеть только результаты действий руководящего аппарата, проявляющиеся на нижнем уровне. Если только акционеры не являются одновременно управляющими (как это имеет место в корпорациях закрытого типа), то они не способны наблюдать за повседневным процессом управления компанией.
Если результаты работы управляющих будут неудовлетворительными, то акционеры, действуя через совет директоров, могут наказать их (лишить премий, не повысить оклад или даже уволить). Но до тех пор, пока результаты остаются удовлетворительными, акционеры не способны установить, действительно ли они получают максимум того, что могут иметь.
Теоретически возможно, что для оценки действий управляющих будет установлена сложная и дорогостоящая интеллектуальная система, способная контролировать их работу. Естественно, что акционеры практически не заинтересованы в таких затратах, а некоторые сторонники агентской модели считают излишним jaKoft повседневный контроль за деятельностью управленческого аппарата. Они указывают на эмпирические данные, свидетельствующие о наличии строгой связи между прибыльностью компании и оплатой исполнителей, считая эти данные достаточным доказательством следующего положения: динамики рынка достаточно для того, чтобы заставить управляющих делать все, что в их силах.
Другие теоретики утверждают, что некоторые затраты неизбежны для акционеров и их наилучшей формой будет поощрение управляющих за их усилия по максимизации состояния акционеров. Оно обычно имеет форму контракта найма на работу, предусматривающего ежегодные премии в прямой зависимости от прибылей фирмы. Премии могут быть увязаны с прибылями текущего года или с характеристиками работы фирмы на несколько предстоящих лет.
Естественно, такой вид распределения прибылей не дает стопроцентной гарантии, что будет достигнута максимальная отдача, поскольку управляющие по-прежнему знают больше владельцев о ходе операций фирмы. Невзирая на премии, они могут работать недостаточно результативно и продолжать пользоваться дорогостоящими привилегиями. Понимая это обстоятельство, акционеры могут разделить риск владения с управляющими, гарантируя им опционы акций. Это позволит теснее увязать интересы управляющих и владельцев акций.
Описанная здесь модель может быть неприменима за пределами Соединенных Штатов. В некоторых странах заработная плата управляющих намного ниже, чем в Соединенных Штатах, а привилегии более щедрые. Законы других стран могут запрещать использование таких инструментов, как опционы акций. В Германии, например, разорительное налоговое законодательство делает опционы акций бессмысленными. В Японии управленческому аппарату запрещается владеть акциями своей компании. Более того, базовое положение о столкновении интересов владельцев акций и управляющих вовсе не учитывается в описываемой далее модели поведения японских компаний, направленной на максимизацию добавленной стоимости.
Модель максимизации добавленной стоимости (японская модель)
Хотя модель максимизации прибыли может быть применена как в коротком, так и в длительном периоде, фактически фирмы США сосредоточиваются на текущих прибылях. Для удовлетворения акционеров и банкиров данные о прибыли публикуются каждый квартал. Тем самым внимание сосредоточивается на таких финансовых аспектах, как доход на акцию в конкретном периоде, а не на долгосрочных концепциях повышения эффективности от использованных ресурсов или роста.
Сосредоточенная на краткосрочных прибылях, которые удовлетворяют акционеров, такая чрезмерно упрощенная концепция в значительной мере игнорирует интересы наиболее важного продуктивного ресурса фирмы - ее работников, т.е. конкретно тех, кто делает возможным получение прибыли. Управленческий аппарат часто пытается. улучшить финансовую картину и, чтобы уменьшить затраты, сокращает заработную плату работникам, в то время как профсоюзы, защищая их интересы, требуют повышения заработной платы и предоставления дополнительных льгот. Подобное предпочтение краткосрочных прибылей в значительной мере является причиной тех враждебных отношений, которые существуют между американскими управляющими и рядовыми сотрудниками.
Напротив, только немногие японские фирмы используют при управлении фирмой такой близорукий подход (максимизацию текущего квартального дохода на акцию). Вместо этого они пытаются максимизировать добавленную стоимость своей производственной деятельности. Компания покупает исходные материалы (товары и услуги) у внешних поставщиков. Стоимость добавляется к этим материалам в результате согласованной деятельности управляющих и рабочих, использующих активы компании для преобразования исходных материалов в ее конечный продукт. Добавленная стоимость вычисляется как разность между продажами компании за определенный период и издержками на товары и услуги, приобретенные у внешних поставщиков. Тем самым добавленная стоимость включает труд, управление, капитал, затраты и прибыль.
Модель добавленной стоимости - это долгосрочная концепция, направленная на максимизацию выгоды всех участников: управляющих, рабочих, поставщиков и акционеров. Ее исходная философия состоит в том, что основная цель частной корпорации состоит в вознаграждении своих работников (как управляющих, так и рядовых сотрудников). Вознаграждение включает в себя не только увеличенную заработную плату, жалованье и дополнительные привилегии, но также и удовлетворение, получаемое от изготовления высококачественного продукта. Жалованье управленческого аппарата, заработная плата сотрудников и другие затраты на содержание персонала являются неотъемлемой частью полной добавленной стоимости. Тем самым управление и труд не будут противниками, напротив, они будут партнерами, преследующими общую цель — максимизацию добавленной стоимости.
Если максимизация добавленной стоимости становится целью, то как управляющие, так и рабочие начинают остро осознавать, что их личные интересы неразрывно связаны со способностью фирмы конкурировать на мировых рынках. Тогда все они будут стремиться к сокращению затрат и увеличению продаж, вместе искать пути повышения производительности труда, эффективности инвестиций. Совместно они будут проектировать и производить инновационную продукцию для мировых рынков.
Каждый работник и акционер фирмы, максимизирующей добавленную стоимость, знает, что независимо от экономических условий постоянным инвестициям в производственные мощности и оборудование, в исследования и разработки, в развитие рынка должен быть отдан приоритет. Если это становится им, то все необходимые и согласованные инвестиции будут финансироваться за счет временного ограничения роста заработной платы, жалованья и дивидендов акционеров. Если возникает необходимость сократить вознаграждение работникам, то первым будет сокращено жалованье старшему управленческому персоналу. Таким способом японские автомобилестроители и другие японские компании, невзирая на экономические условия, год за годом стремятся максимизировать добавленную стоимость.
Американские трудности с японской моделью
Японская модель базируется на культуре этой страны, в основе которой лежит понимание значения гармоничных и согласованных отношений между членами семьи, между работниками и управляющими, между правительством и бизнесом. Эти культурные ценности, видимо, проявились в твердой приверженности практике максимизации добавленной стоимости. Они также помогают объяснить успех японских фирм в координации основных функций производства, исследований и разработок, маркетинга. Такая координация требует корпоративной среды, стимулирующей обучение, дружеские отношения и твердую приверженность всех работников корпоративным целям.
К сожалению, за редким исключением американские управляющие часто ставят знак равенства между лидирующей ролью корпорации и личной властью. Они видят себя в роли абсолютных монархов своей компании, обладающих всеобъемлющим правом принятия решений. Слишком часто в американских компаниях управление осу
ществляется путем противопоставления одного центра прибылей или затрат другому или одной личности другой. Слишком часто каждый сегмент компании располагает собственным бюджетом и реализует его без учета последствий для фирмы в целом. От управляющих производством могут требовать сокращения затрат любыми доступными способами. В результате одна американская компания за другой переводят свое производство из Соединенных Штатов в страны с более низкой нормой заработной платы. Это может быть самым простым решением в ближайшей перспективе, но однако иметь негативные последствия для промышленности в целом с учетом отдаленных последствий, ибо ведет к разрушению производственной базы.
Во многих американских фирмах сиюминутные,финансовые решения ставятся во главу угла в ущерб решениям о стратегических инвестициях. Внимание сосредоточивается на финансовом контроле, необходимом для выполнения бюджетных заданий по краткосрочным прибылям. Японские фирмы, напротив, отдают приоритет стратегическим решениям, что дает им возможность быстро приспосабливаться к инновационным рыночным переменам. Когда фирма, максимизирующая прибыль, вступает в прямую конкуренцию с фирмой, максимизирующей добавленную стоимость, ее шансы невелики.
Почему мы руководствуемся моделью максимизации прибыли?
Каждая из моделей, рассмотренных в данной главе, построена на различных исходных предположениях относительно целей фирмы. Наша способность предсказать или объяснить схему управленческого поведения фирмы и процессов выработки решений зависит от того, какую модель мы выберем. Гармоничная организация корпорации, воплощенная в модели максимизации добавленной стоимости (японская модель), видимо, наиболее перспективная и потому заслуживает серьезного изучения американскими фирмами. Однако в данном издании мы преимущественно используем модель максимизации прибыли, ибо из всех рассмотренных моделей она в наилучшей мере позволяет объяснить и предсказать поведение подавляющего большинства американских фирм.
Однако у модели максимизации прибыли много критиков. Их основные аргументы можно свести к следующим:
максимизация прибыли - это не самое рациональное действие, которое может предпринять управляющий;
в реальном мире управляющие не располагают полной информацией по спросу, затратам, а также прогнозом на будущее, необходимыми для максимизации прибыли;
в современной фирме управляющие, помимо получения прибыли, преследуют много иных целей;
поскольку в современной корпорации владение отделено от управления, управляющие больше заинтересованы в максимизации собственного благополучия, чем в максимизации прибыли;
политика, направленная на максимизацию прибыли, ведет к повышению риска и нестабильности, чего всегда опасаются управляющие. Поэтому не склонные к риску управляющие уклоняются от политики максимизации прибыли.
Сторонники модели максимизации прибыли выдвигают в ответ три главных аргумента:
существует слишком мало эмпирических свидетельств, подтверждающих справедливость любой из рассмотренных в этой главе моделей, включая модель максимизации прибыли;
что бы ни говорили управляющие относительно мотивов своего поведения, если они действуют так, словно пытаются максимизировать прибыль, то модель максимизации прибыли будет справедлива;
Выводы
когда существует сильная конкуренция, фирма, не максимизирующая свою прибыль, погибает.
В подтверждение этих аргументов можно выдвинуть по меньшей мере пять положений.
Без прибыли невозможно выжить в условиях конкуренции. Необходимо учитывать сильную конкуренцию, с которой встречаются фирмы не только на рынке, где они продают свои товары, но и на финансовом рынке, где они получают кредиты. Чем выше прибыль фирмы, тем ей легче удержаться на обоих рынках. Соответственно, действует тенденция к погоне за максимальными прибылями.
Вознаграждение управляющих тесно увязано с прибыльностью. Недавние исследования показали, что разрыв между интересами владельцев и управляющих скорее кажущийся, чем реальный. Более того, около 40% акций корпораций принадлежит финансовым учреждениям, и эта доля постоянно растет. Эти учреждения имеют все необходимое для вмешательства в управление корпорацией. Руководители корпораций хорошо знают об этих возможностях, и это дает сильный стимул к максимизации прибыли.
Модель максимизации прибыли наилучшим образом объясняет и прогнозирует поведение фирмы. Предположение о том, что поведение управляющих определяется их стремлением к максимальным прибылям, возможно, слишком упрощает многогранные задачи корпорации. Однако это будет несущественным до тех пор, пока основанная на нем модель позволяет понять и предсказать поведение коммерческой фирмы.
Модель максимизации прибыли исключительно удобна для анализа затрат. Прежде чем управляющий примет решение, максимизировать ли ему прибыль или двинуться в ином направлении, он должен сопоставить затраты с предполагаемой выгодой.
Модель максимизации прибыли позволяет глубже понять соотношение между затратами и выгодами при долгосрочном и краткосрочном планировании. Это становится особенно заметным при решении вопросов, связанных с социальной ответственностью фирмы перед обществом. Стремление фирмы к прибыли часто сдерживается ее обязанностями перед обществом. Большая их часть определяется правительством, однако в отдельных случаях руководители фирмы по собственной инициативе принимают на себя социальную ответственность. Здесь, однако, встает вопрос: как долго фирма будет нести тяготы социальных программ, не получая взамен соизмеримых выгод, особенно в краткосрочной перспективе?
Некоторые предусмотрительные фирмы, не отказываясь от своих целей максимизации прибыли, приступают к исполнению программ, направленных на получение отдаленных выГод как для себя, так и для общества в целом. Такие фирмы в определенных пределах жертвуют частью своих краткосрочных прибылей, чтобы гарантировать максимизацию прибыли в перспективе.
ВыводыУправленческая экономика свидетельствует о том, что фирма, стремящаяся к получению прибылей, сохраняет взаимовыгодные отношения с обществом, внутри которого она существует. Фирма, эффективно распределяя свои ограниченные ресурсы, обеспечивает занятость, платит налоги, создает товары или услуги. В обмен на эти блага она получает вознаграждение в виде прибыли. Прибыль — это локомотив нашей экономической системы.
Модель максимизации прибыли используется в этой книге для объяснения и прогнозирования поведения коммерческих организаций в Соединенных Штатах в условиях правовых, моральных и социальных ограничений. Существует ряд других моделей, постулирующих помимо максимизации прибыли и иные цели. К их числу относятся
модели максимизации продаж и максимизации роста. Анализ этих моделей позволяет утверждать, что, если они отличаются от модели максимизации прибыли в части краткосрочных целей, то сближаются с ней в максимизации прибыли в отдаленной перспективе.
Модель управленческого поведения подчеркивает различия между владельцами и управляющими. Она утверждает, что управляющие стремятся максимизировать свое личное состояние. Однако более глубокое исследование показывает, что состояние управляющего зависит от прибылей компании больше, чем от чего-либо другого.
Модель максимизации добавленной стоимости (японская модель) подчеркивает значение долгосрочных решений и наилучшим образом объясняет поведение многих фирм в этой стране. Согласно этой модели, фирма существует для обеспечения долгосрочного состояния всех лиц, связанных с существованием корпорации, - ее работников, управляющих, поставщиков и акционеров. Главной задачей фирмы в этом случае будет повышение добавленной стоимости товаров и услуг, получаемых от внешних поставщиков. Эта задача носит постоянный характер и не зависит от экономических циклов. Во время спада фирма увеличивает банковский долг и может временно сократить выплаты дивидендов акционерам и компенсации своим работникам, возвращая все это во время подъема. Тем самым поведение фирмы будет характеризоваться постоянной сосредоточенностью на инновациях и гибкости производства.
Хотя японская модель базируется на культурных ценностях, характерных для этой страны, некоторые японские производители, например «Honda», создают свои заводы в Соединенных Штатах и с завидным успехом практикуют там свой стиль управления. Это свидетельствует о том, что японский подход к гармонизации отношений между трудом и управлением заслуживает более внимательного изучения американскими управляющими.
Задачились понимать роль прибыли в экономике? Объясните.
Некоторые экономисты развивают теорию фирмы, постулирующую, что фирмы стремятся к максимизации продаж, а не прибыли или стоимости фирмы.
а.Объясните, как мотивация управляющих может ориентировать их на максимизацию продаж в большей степени, чем прибылей.
б.Объясните причины, по которым мы сохраняем теорию фирмы, отдающую предпочтение максимизации стоимости фирмы перед максимизацией продаж.
Другая модель, альтернативная модели максимизации стоимости фирмы, постулирует, что с появлением современных корпораций и связанного с ними отделения владения от управления управляющие будут больше заинтересованы в максимизации личного благосостояния, чем в прибылях корпорации.
а.Укажите, как вы можете измерить выгоды управляющего.
б.Объясните, почему такая теория не может заменить нашу теорию фирмы, выраженную в терминах максимизации стоимости.
Хотя все успешные фирмы стремятся к росту и часто преуспевают в этом, существует предел их роста. Объясните, в чем тут дело.
Компания «Johnson & Johnson», производитель тайленола, имела свою долю рынка анальгетиков, когда некто отравил часть капсул с этим лекарством. Изъятие из продажи всех капсул, проведение сотен испытаний, необходимость в дорогостоящей рекламной кампании — все это повело к резкому падению прибылей компании. Тем не менее такие чрезвычайные меры позволили упомянутой компании сохранить большую долю своего рынка.
а.Какой теории прибыли следовала компания «Johnson & Johnson»?
б.Почему компания сосредоточилась на сохранении своей доли рынка?
в.Почему компания «Johnson & Johnson» просто не изменила фирменное название тайленола?
Несколько лет назад, после слушаний в конгрессе по проблемам контроля компаний акционерами, сенатор Г. Метцен- баум (баллотировался по штату Огайо от партии демократов) заявил: «Слишком часто отдельные акционеры очень мало или вовсе ничего не знают о том, как фактически расходуются их деньги».
Его взгляд энергично поддержал К. Икэн, председатель «Icahn & Company», член Нью-Йоркской фондовой биржи, заявивший директорам и главным управляющим американских компаний, акции которых доступны широкой публике, что «они, в своем большинстве, ни перед кем не отвечают». Он высказал сожаление, что демократия в корпорациях «не работает, поскольку подлинной корпорационной демократии не существует».
Хотя по неуточненным данным в США зарегистрировано около 30 млн. владельцев акций, они практически не организованы. В прошлом предпринимались разрозненные попытки создания акционерами союзов для защиты своих интересов. Но до сих пор мелкие акционеры остаются наименее защищенной категорией.
Покажите, как акционеры могли бы заставить руководителей корпораций прислушиваться к своему голосу.
Некоторые экономисты предупреждают, что чрезмерные выплаты управленческому аппарату корпораций .могут развязать инфляционные процессы, ибо рядовые сотрудники могут использовать такой скачок в жалованье управляющих для обоснования своих требований по повышению заработной платы. Это, в свою очередь, может сделать Соединенные Штаты менее конкурентоспособными по сравнению с зарубежными производителями.
С 1979 по 1989 г. выплаты управляющим ведущих корпораций страны ежегодно росли на 12—16%, причем 25 наиболее высокооплачиваемых из них получали от 3 до 18 млн. долл. в вице жалованья, премий, опционов акций и других форм выплат.
В 1984 г. К. Юттер, ведущий советник президента Рейгана по торговле, был настолько возмущен такими высокими выплатами, что пригрозил отказаться от требований к Японии об установлении добровольной квоты на экспорт автомобилей в Соединенные Штаты. Главные управляющие корпораций в Японии получают только одну пятую от оплаты их коллег в Соединенных Штатах.
а.Заслуживают ли, по вашему мнению, американские главные управляющие компаний тех выплат, которые они получают?
б.Подрывают ли высокие выплаты американским главным управляющим компаний способность их компаний
■ в конкурентной борьбе на мировом рынке?
Как скажутся указанные далее ситуации на стоимости капитала акционерного фонда фирмы?
а.Существенный рост процентной ставки.
б.Внедрение научно-технических средств, значительно экономящих время.
в.Победа профсоюза в трудовом споре, приведшая к 20%-му увеличению заработной платы.
Корпорация «Global» имеет капитализированную стоимость в 25 долл. на акцию при годовом доходе в 3 долл. на акцию. Упомянутая корпорация получила инвестиционное предложение, позволяющее повысить ее доход в размере 95 центов на акцию, но одновременно увеличивающее деловой риск, что требует увеличения дохода от инвестиций на 15%.
а.Какова текущая величина дохода на инвестиции компании «Global»?
б.Следует ли компании принять такое предложение?
в.Объясните, каким образом риск связан с доходом.
г.В чем состоит главная проблема компании «Global» при выработке решений об инвестициях на будущее?
Фирма ведет рекламную кампанию, которая, как предполагается, позволит повысить до 115 долл. годовой доход от каждых 100 долл., потраченных сегодня. Должна ли фирма сегодня отдать из дохода 100 долл. с тем, чтобы получить через год 115 долл.?
Фирма рассматривает три предложения. Как показано в представленной далее таблице, первое предложение обещает приносить по 10 000 долл. дохода ежегодно на протяжении 10 лет. Второе предложение позволит иметь 75 000 долл. дохода на протяжении четырех лет (в сумме). Третье предложение обещает суммарный доход в 115 000 долл. Однако поступления начнутся по истечении 3 лет и завершатся полностью через 5 лет.
Распределение потока наличности
Год Предложение 1 Предложение 2 Предложение 3
1 $10 000 $30 000 0
2 10 000 20 000 0
3 10 000 15 000 0
4 10 000 10 000 $10 000
5 10 000 0 15 000
6 10 000 0 20 000
7 10 000 0 30 000
8 10 000 0 40 000
9 10 000 0 0
10 10 000 0 0
Всего $100 000 $75 000 $115 000
а.Какова текущая стоимость каждого предложения при ставке дисконтирования в 8, 12 и 18%?
б.Как сказывается распределение потока наличности во времени на текущей стоимости предложения?
«Nonesuch Goodies» — небольшая, но доходная пекарня — принадлежит владельцу, который хочет продать свое дело. Два его работника хотят купить пекарню, но не могут внести всю сумму сразу. Однако каждый из них знает, что инвестиции оправдаются за несколько ближайших лет.
Работник А предлагает 150 000 долл., причем он будет выплачивать 12% годовых ежегодно, а полную сумму долга в 150 000 долл. возвратит в конце 8-го года.
Работник В предлагает 125 000 долл. с оплатой полной суммы долга в конце 5-го года и выплатой 12% годовых.
До того, как владелец сделал выбор из этих двух предложений, владелец другой пекарни предложил 120 000 долл., причем 30 000 долл. он может выплатить сразу, а остальное — в конце 4-го года. Это предложение также предусматривает выплату 12% годовых с оставшейся суммы на протяжении
лет.
а.Какое предложение наиболее выгодное?
б.Если процентная ставка вместо 12% составит 8%,' то как это отразится на чистой стоимости каждого предложения?
Вы собираетесь купить новый автомобиль и договорились с дилером о цене в
895 долл. Ваших денег достаточно для того, чтобы уплатить за лицензию, страховку и внести в оплату машины 500 долл. Ваш кредитный союз согласен финансировать остаток долга на протяжении
лет из расчета 12% годовых, но может сократить эту ставку до 11%, если вы вернете долг за 2 года.
а.Каковы будут ежемесячные выплаты при финансировании покупки автомобиля в течение 3 лет?
б.Каковы будут ежемесячные выплаты при финансировании покупки автомобиля в течение 2 лет?
в.Сколько можно сэкономить, если финансировать покупку на протяжении 2 лет вместо 3?
Список литературы
Ситуационная задача:
Цель большого бизнеса - общественное благо или прибыль корпорации?
Американские фирмы большого бизнеса, такие, как «Еххоп», «СМ», «АТ & Т» и «1ВМ», вызывают восхищение своими размерами и производственной мощностью. Производство товаров и услуг этими промышленными гигантами ведет к созданию высокооплачиваемых рабочих мест, что, в свою очередь, способствует подъему уровня жизни в США. Реальный доход на душу населения в США увеличился с 2073 долл. в 1934 г. до
850 долл. в 1988 г. (т.е. почти в 7 раз). Бизнес, борясь за прибыли, превратил Соединенные Штаты в потребительский рай, превосходящий все развитые страны как по разнообразию продукции и услуг, так и по соотношению уровня цен и доходов потребителей.
Естественно, что столь резкий рост бизнеса в Соединенных Штатах сопровождался и нежелательными побочными эффектами. Так, например, возникают экологические проблемы, связанные с тем, что промышленные отходы сбрасывают в воздух или воду, а открытые горные выработки уродуют ландшафт. Кроме того, действует тенденция к централизации власти в руках гигантских корпораций. Поскольку за последние годы постоянно растет количество слияний и поглощений фирм, у отдельных граждан возникает страх перед властью крупных корпораций, растет их скепсис и недоверие к корпоративной Америке. Эти люди полагают, что бизнес теряет чувство меры от прибылей и его ничто не остановит в погоне за деньгами. Они считают, что бизнес не работает на общее благо, а, напротив, стремится только максимизировать свои прибыли.
Вопросы
а.Оказывает ли бизнес услугу обществу, пытаясь максимизировать прибыли, или это его главная цель, а не форма социальной ответственности?
б.Профессор М. Фридмен, лауреат Нобелевской премии в области экономики, подчеркивал позитивное значение максимизации прибыли, «пока он (бизнес) остается в рамках правовых и моральных правил игры, установленных обществом». Каковы правила этой игры? Где вы проведете границу?
в.Какова роль правительства в бизнесе? Должно ли правительство, используя налоговые стимулы и другие средства, добиваться одновременных максимизации прибылей и максимизации блага общества?
г.Следует ли разрешить бизнесу получать столько прибыли, сколько он сможет? Что вы думаете относительно того огромного количества налогов, которые обрушились на нефтяные компании США после того, как ОПЕК повысил цены на нефть? Было ли это справедливо и разумно с экономических позиций?
Список литературыAupperle, Kenneth Е.; Archie В. Carroll; and John D. Hatfield. «An Empirical Examination of the Relationship Between Corporate Social Responsibility and Profitability». Academy of Management Journal (June 1985), pp. 446-63.
Bailey, Duncan, and Stanley E. Boyle. «Sales Revenue Maximization; An Empirical Vindication». Industrial Organization Review 5, no. 1 (1977), pp. 46—55.
Baumol, William J. Business Behavior, Value and Growth, Rev. ed. New York: Harcout Brace Jovanovich, 1967.
Byrne, John A.; Ronald Grover; and Todd Vogel. «Is the Boss Getting Paid Too Much?' Business Week, no. 3103 (May 1, 1989), pp. 46—93.
Cubbin, John, and Dennis Leach. «Growth versus Profit Maximization: A Simultaneous Equations Approach to Testing the Marris Model». Managerial and Decision Economics (June 1986), pp. 123-31.
Dyl, Edward A. «Corporate Control and Management Compensation: Evidence on the Agency Problem». Managerial and Decision Economics 9 (1988), pp. 21—25.
Fama, E.F. «Agency Problems and the Theory of the Firm». Journal of Political Economy
(April 1980), pp. 272-84.
Fama, E.F., and Michael C. Jensen. «Separation of Ownership and Control». Journal of Law and Economics (June 1983), pp. 301—25.
Lewellen, Wilbur G., and Blaine Huntsman. «Managerial Pay and Corporate Performance». American Economic Review (September 1970), pp. 710—20.
Murphy, Kevin J. «Top Executives Are Worth Every Nickel They Get». Harvard Business Review (March—April 1986), pp. 125—32.
Palmer, John P. «The Separation of Ownership from Control in Large U.S. Industrial Corporations». Quarterly Review of Economics and Business (Autumn 1972), pp. 55—62.
Tsurumi, Y., and H. Tsurumi. «Value-Added Maximizing Behavior of Japanese Firms and Role of Corporate Investment and Finance». Columbia Journal of World Business (Spring 1985), pp. 29-35.
Welch, P.J. «On the Compatibility of Profit Maximization and the Other Goals of the Firm». Review of Social Economics (April 1980), pp. 65—74.
Williamson, J. «Profit, Growth, and Sales Maximization». Economica 33, no. 29 (1966), pp. 1-16.
Приложение 2А. Вывод формулы дисконтаФормула дисконта выводится следующим образом.
Сумма в 1 долл. в год за п лет, дисконтируемая на г, составит
-п
(1)
I(l + r) ' = (l + r) 1 + (l + r) 2 + (1 + г) 3 +...+ (l + r) ".
1=0
Умножим уравнение (1) на (1 + г):
-п
(2)
ЫЕМ1 = 1 +(i+r)1+(1+г)2 +...+(i+r) ^ ^
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):


(2)(1)
(3)
1(1 + г)" = (l + г) 1 + (1 + г) 2 +...+(l + /-)^" ^ + (1 + г)/=0
-п
г J] (l + /•)“' = 1 + 0 + 0+...+ 0 -(l + r)-”.
Отсюда текущая стоимость 1 долл. в год за п лет при ставке дисконта г составит

r
Приложение 2В
Уравнение (4), называемое показателем дисконта, и текущая стоимость А долл. в год за п лет, дисконтированная на г, равняется А, умноженному на показатель дисконта. Соответственно
Предполагается, что ставка дисконта г будет нормой капитализации или требуемой годовой нормой дохода. Однако эту формулу можно использовать также и для более короткого периода (например, для определения ежемесячных платежей при покупке автомашины). Так, если считать показатель г равным годовой процентной ставке, деленной на 12, то показатель п будет равен количеству ежемесячных платежей. Приравняем эти показатели к объему финансирования, PV, и решим это уравнение для А, равного ежемесячным выплатам заемщика, включая основную часть долга и процентную ставку.
Приложение 2В. Эмпирическое исследование поведения японских автомобилестроителей при максимизации добавленной стоимостиПодробный анализ поведения японских автомобилестроителей при максимизации добавленной стоимости был проведен Й. и X. Тзуруми. Их плодотворное исследование охватывало производство легковых автомобилей в Японии с 1970 по 1983 г. В ходе своего исследования они рассмотрели два финансовых и три производственных показателя для четырех различных производителей («Toyota», «Nissan», «Mazda» и «Honda»): доход до выплаты процентов и налогов (earnings before interest and taxes - ЕВ1Т)/общие активы;
акционерный фонд/общие активы; добавленная стоимость/общие активы; добавленная стоимость/основные (постоянные) активы; добавленная стоимость/количество работников.
ЕВП/общие активы
Отношение доходов до выплаты процентов и налогов к общим активам служит распространенным показателем доходности фирмы. Он выбран потому, что позволяет производить сравнительный анализ работы фирм в различных странах (особенно японских и американских). Это отношение в изученном периоде значительно колебалось, достигая порой 50%.
Акционерный фонд/общие активы
Показатель отношения стоимости акционерного фонда к суммарной стоимости активов дает наиболее содержательную оценку отношения долга японской фирмы к ее акционерной собственности, поскольку в Японии краткосрочные банковские займы фактически превращаются в долгосрочные займы с подвижной и корректируемой
процентной ставкой. Это отношение имело устойчивую тенденцию к повышению на протяжении 14 рассмотренных в исследовании лет, в которые японские фирмы использовали свои прибыли для оплаты долга.
Добавленная стоимость/общие активы
Отношение добавленной стоимости к общим активам характеризует продуктивность фирмы в целом. Чем выше этот показатель, тем более эффективной будет фирма. Это отношение имело устойчивую тенденцию к повышению на протяжении 14 изученных лет.
Добавленная стоимость/основные (постоянные) активы
Отношение добавленной стоимости к основным (постоянным) активам служит показателем продуктивности технических средств фирмы. Это отношение имело устойчивую тенденцию к повышению на протяжении 14 изученных лет.
Добавленная стоимость/ количество работников
Отношение добавленной стоимости к количеству работников служит показателем продуктивности персонала фирмы. Важно отметить, что этот показатель не проводит различия между руководителями фирмы и рядовыми сотрудниками. Все являются членами фирмы и все разделяют ее долгосрочную цель, сформулированную как успешная конкуренция на мировых рынках. Это отношение также имело устойчивую тенденцию к повышению на протяжении 14 изученных лет.
Все эти отношения подтверждают несколько заключений относительно максимизации добавленной стоимости.
Японские автомобилестроители усвоили, что максимизация добавленной стоимости увеличивает годовой поток наличности, необходимый для финансирования инвестиций и развития рынка. Они использовали отношения продуктивности как руководство для принятия решений по маркетингу и финансовому планированию.
Для того чтобы повысить продуктивность своей технологии, характеризуемую отношением добавленной стоимости к основным (постоянным) активам, продуктивность персонала фирмы, характеризуемую отношением добавленной стоимости к количеству работников, фирмы должны повышать величину основных (постоянных) активов, приходящихся на одного работника. Они достигли этого за счет обильных инвестиций в автоматизацию и другие, экономящие труд, нововведения. К 1979 г. «Mazda», например, могла производить одну хорошо сделанную субкомпактную автомашину всего за 47 рабочих часов. Напротив, «Ford» тратил 112 часов на производство одной машины сопоставимых размеров. За счет сокращения трудовых затрат японские автомобилестроители лидируют на мировом рынке. Так, в 1986 г. они произвели на 500 тыс. единиц продукции больше, чем Соединенные Штаты.
По мере повышения своих производственных возможностей фирмы минимизируют риск своего банкротства в результате применения дорогостоящих трудовых и материальных активов при неожиданных экономических спадах. Одним из основных способов решения этой задачи является увеличение доли основных (постоянных) ак-
Приложение 2В
тивов и сокращение доли долга. Таким образом сокращается постоянная стоимость обслуживания долга и снижается точка безубыточности в продажах фирмы. Тем самым все фирмы стремятся увеличивать, насколько возможно, свои основные фонды.
Японские автомобилестроители с 1970 по 1983 г. пережили несколько периодов экономической депрессии. Первым был спад 1974-1976 гг., который был вызван энергетическим кризисом, созданным картелем ОПЕК. В 1979 г. произошел еще один спад. Наконец, в 1981—1983 гг. экспорт автомобилей в Соединенные Штаты был ограничен в ответ на политическое давление правительства США. Хотя на протяжении этих 14 лет прибыльность автомобилестроителей значительно колебалась, норма продуктивности демонстрировала устойчивую тенденцию к повышению. В годы спада фирмы получали наличность, необходимую для обеспечения непрерывного роста производительности за счет краткосрочных и долгосрочных займов. Когда состояние потока наличности улучшалось в результате роста продуктивности и реализации новой продукции, дополнительные доходы сберегались с целью поддержания отношения акционерной собственности к общим активам.
Даже в период экономических спадов японские автомобилестроители продолжали наращивать свои инвестиции в производственные мощности и разработку новой продукции. С 1970 по 1983 г. основные (постоянные) активы четырех крупнейших японских автомобилестроителей возросли (с поправкой на инфляцию) примерно в 3-5 раз.
Поведению японских автомобилестроителей отвечает модель добавленной стоимости, рассмотренная в данной главе. Аналогичное стремление к постоянной модернизации производственных мощностей можно наблюдать и в других производственных отраслях Японии. Так, например, «Kawasaki Steel» постоянно пытается увеличить добавленную стоимость, приходящуюся на одного работника. В 1984 г. она увеличила ее на 25% без снижения заработной платы. Для сравнения: американская «Inland Steel Corporation» примерно с такими же объемами и структурой производства в том же году 75% своей добавленной стоимости затратила на оплату труда.
ГЛАВА3
СРЕДЫ РЕШЕНИЯ И ВЫРАБОТКА РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИопределение этих состояний знания, формирующих среду выработки решения, и опишем некоторые средства и,процедуры выработки решения в условиях определенности. Выработка решений в условиях риска и неопределенности будет рассмотрена в следующей главе.
План главыЭта глава включает два параграфа и два приложения.
Среды решения. В этом параграфе рассмотрены состояния знания, в условиях которых принимается решение. Эти состояния можно классифицировать как определенность, риск и неопределенность. Каждое из них требует использования различных комплексов средств и методов выработки решений.
Выработка решения в условиях определенности: оптимизационный анализ. В данном параграфе рассмотрены три основных средства, которые используются лицом, принимающим решения, для оптимизации целей в условиях определенности, а именно — предельный анализ, приростной анализ прибыли и линейное программирование.
Приложение 3А. Предельный анализ. В этом приложении объяснен порядок использования табличного метода и дифференциального исчисления для определения предельного значения функции. Здесь также показаны возможности использования множителя Лагранжа для оптимизации нелинейной функции при заданных ограничениях.
Приложение 3В. Линейное программирование. В данном приложении рассматривается использование графического и симплексного методов линейного программирования для оптимизации линейной функции с ограничениями и кратко объяснено понятие двойственности.
Среды решенияРешения в бизнесе обычно требуют выбора между различными стратегиями. Часто такой выбор производится в условиях таких сред, которые лицо, принимающее решения, контролирует слабо или не контролирует вовсе. Мы используем основной термин «сущность явления» для обозначения подобных условий. Решения, тем самым, прямо зависят от знания лицом, принимающим решения, сущности явлений и того, как каждая из рассматриваемых стратегий может быть реализована при определенном состоянии этой сущности. Как говорилось ранее, состояния знания лица, принимающего решения, могут быть классифицированы как состояния определенности, риска и неопределенности.
Различия между определенностью, риском и неопределенностью отражают различия в степени знания лица, принимающего решения. Если мы представим состояния его знания как линию спектра, то на одном ее конце будет определенность (полное знание), а на другом — неопределенность (полное отсутствие знания). Риск (частичное знание) будет лежать между ними. Положение на линии спектра будет отражать имеющуюся степень определенности (или неопределенности).
Концепция определенности
Определенность понимается как такое состояние знания, когда лицо, принимающее решение, заранее знает конкретный исход для каждой альтернативы.. Иначе говоря, лицо, принимающее решение, обладает исчерпывающим знанием состояния среды и результатов каждого возможного решения.
Насколько реалистична такая концепция? На первый взгляд, она кажется далекой от практики и поэтому имеющей только академический интерес. На деле, однако, справедливо обратное. Существует множество краткосрочных ситуаций, когда лицо, принимающее решение, располагает исчерпывающим знанием. Многие решения в области бизнеса требуют только знания текущих цен и величины спроса, которые могут быть определены с достаточной степенью точности в ближайшей перспективе. Предположим, например, что фирма заняла 100 ООО долл. по краткосрочному векселю, подлежащему оплате через 30 дней. Процентная ставка по векселю на 3% выше ставки по казначейским обязательствам. Если в кассу фирмы поступило 100 000 долл., то ее управляющие твердо знают, что выгоднее досрочно оплатить долг, чем вложить деньги в казначейские обязательства. В условиях определенности принимается большая часть решений в задачах по теории вероятностей, рассматриваемых экономической и бихевиористской наукой. Определенность имеет место в большинстве арифметических и алгебраических задач, а также во многих моделях линейного и нелинейного программирования. Такие модели используются для поиска варианта распределения ресурсов, дающего наибольшую отдачу,jno определенному показателю (такому, как прибыль или стоимость) или наименьшему, значению некоторого другого критерия (такого, как затраты) в условиях заданных ограничений.
На деле, однако, только немногое может оставаться определенным в достаточно большом временном интервале. Исходы долгосрочных инвестиций только за редким исключением могут быть предсказаны с достаточной точностью, если мы представим себе то большое количество динамических взаимодействий неизвестных переменных, с которыми мы встречаемся в реальной экономической ситуации. К этим переменным относятся внутренняя и международная конкуренция, изменения в политической обстановке, научно-технические достижения, а также быстроменяющиеся вкусы потребителей. Таким образом, стратегические решения принимаются в условиях, весьма далеких от полного знания. Соответственно, они принимаются в условиях либо риска, либо неопределенности.
Концепция риска
Риск определяется как состояние знания, когда известны один или несколько исходов по каждой альтернативе и когда вероятность реализации каждого исхода достоверно известна лицу, принимающему решение. В условиях риска лицо, принимающее решение, обладает неким объективным знанием среды действий и способно объективно прогнозировать вероятную сущность явлений и исход или отдачу по каждой из возможных стратегий. Наиболее общим критерием для каждой стратегии будет ожидаемая стоимость, рассматриваемая в следующей главе.
Концепция неопределенности
Неопределенность - это такое состояние знания, когда одна или более альтернатив имеют ряд возможных исходов, вероятность которых либо неизвестна, либо не имеет смысла. Поэтому, в отличие от риска неопределенность будет субъективным явлением. Два наблюдателя, рассматривающих определенную ситуацию, никогда не смогут одинаково сформулировать ее количественные характеристики. Это происходит не только потому, что они обладают различными уровнями знаний, но и потому, что они имеют различные темпераменты и подходы. Неопределенность часто бывает обусловлена быстрыми изменениями структурных переменных и явлений рынка, определяющих экономическую и социальную среду действия фирмы.
Выработка решений в условиях неопределенности и методы действий в условиях неопределенности будут рассмотрены в следующей главе.
Выработка решения в условиях определенности: оптимизационный анализВ условиях определенности лицо, принимающее решение, знает все о возможных состояниях сущности явлений, влияющих на решение, и знает, какое решение будет принято. Лицо, принимающее решение, просто выбирает стратегию, направление действий или проект, которые дадут максимальную отдачу.
В общем случае выработка решений в условиях определенности направлена на поиск максимальной отдачи либо в виде максимизации выгоды (дохода, прибыли или полезности), либо минимизации затрат. Такой поиск называется оптимизационным анализом. Мы рассмотрим три метода оптимизации, используемые лицом, принимающим решение: предельный анализ, линейное программирование и приростной анализ прибыли.
Предельный анализ(
В условиях определенности доходы и затраты будут известны для любого уровня производства и продаж. Задача состоит в том, чтобы найти их оптимальное соотношение, позволяющее максимизировать прибыль. Предельный анализ позволяет сделать это. В нем используются концепции предельных затрат и предельного дохода (рис. 3.1). На этом рисунке представлены кривые дохода, затрат и прибыли, типичные для микроэкономической теории.
$

Рис. 3.1. Функции дохода, затрат и прибыли


Предельный доход (MR) определяется как дополнительный доход (изменение общего дохода), получаемый от продажи дополнительной единицы продукта. Графически он выражается наклоном кривой общего дохода (TR).
Предельные затраты (MQ определяются как дополнительные затраты (изменение величины общих затрат) на приобретение или производство дополнительной единицы продукции. Графически они выражаются наклоном кривой общих затрат (ТС). Мы должны также отметить следующее.
При уровнях производства Q, и Q4 TR в точности равно ТС, так что прибыль равна нулю. Объем производства меньше (3, или больше Q4 ведет к убыткам (т.е. характеризуется отрицательной прибылью).
При уровнях производства больше Q, или меньше Q4 - прибыль положительная.
Предельный анализ показывает, что до тех пор, пока MR превышает МС, производство и продажа дополнительной единицы продукции будут повышать прибыль. Прибыль, соответственно, максимизируется при том уровне производства, при котором MR = МС.
Равенство MR = МС верно при Qy При этом уровне производства, если мы проведем одну касательную для кривой ТС, а другую - для кривой МС, то мы увидим, что они будут параллельны, т.е. наклоны обеих кривых будут равны между собой. Это означает, что при уровне производства, равном Qv MR = МС. При таком уровне производства наклон функции прибыли, или предельная прибыль (МР), будет равна нулю.
Иллюстративная задача
Угольная шахта «Black Star» — семейное предприятие, продающее свою продукцию на чисто конкурентном рынке, определяющем ее цену. Функция затрат шахты имеет вид
ТС = 1000 - 5Q + 0.05Q2,
где Q — количество добытого угпя в неделю;
ГС — общие затраты в недепю.
Рыночная цена угпя составляет 20 допп. за тонну.
Вопросы
а.Какова будет величина производства, максимизирующего прибыль шахты «Black Star»?
б.Какова величина максимальной прибыли шахты «Black Star»?
Решения
а.Прибыль будет максимальной при условии, что MR = МС (MR — первая производная функции TR; МС — первая произврдная функции ГС).
TR = 20 Q;MR = 20;
ТС = 1000 - 5Q + 0,05Q2; МС=-5 + 0J0Q.
Оптимальный выпуск имеет место при МС = MR; .
100 -5 = 20;
100 = 25;
Q* = 250 т угпя в недепю.
Аналогичный результат можно получить, взяв производную от функции прибыли, приравняв ее к нулю и решив для Q*:
к = TR - ТС = PQ - ТС= 20Q - 1000 + 5Q - 0,05Q2 =
=-1000 + 25Q - 0.05Q2;
dn
=25 - 0,100 = 0;
dQ
Q* = 250 т угпя в неделю, как и прежде,
б,я = TR - ТС = PQ - ТС =
= 20(250) - 1000 + 5(250) - 0,05(250)2 = 2125 допл. в недепю.
Вместо того чтобы оговаривать точную степень использования ресурсов, необходимую для максимизации прибыли, мы можем ввести в модель некоторый комплекс реальных условий, оговорив существование определенных ограничений на ресурсы. Предположим, что недостаток ресурсов или, возможно, отсутствие спроса будут ограничивать объем производства Q2 определенной величиной (см. рис. 3.1). Тогда лицо, принимающее решение, должно установить, будет ли выпуск продукции, максимизирующий прибыль при ограничении производства, равен Q2 или он будет находится левее (т.е. будет меньше Q2). Это достаточно сложная задача, общее решение которой может быть затруднено ограничениями на наличие ресурсов, ограничениями или условиями использования ресурсов и ограничениями или требованиями по уровню производства. Когда такие ограничения накладываются друг на друга, это еще более усложняет задачу. Облегчить ее может лииейиое программирование, развивающее предельный анализ.
Линейное программирование
Вспомните известную детскую песенку:
Джек Спрэт не ел жирного,
Его жена не ела постного,
Но все, что между жирным и постным,
Они съедали до крошки.
Многие помнят эту песенку с детства, но вряд ли они осознают, что она составляет фундаментальную задачу линейного программирования.
Предположим, например, что в семье Спрэтов недельный запас продуктов должен быть таким: не менее 8 фунтов постного мяса для мистера Спрэта и не менее 2 фунтов жирного мяса для миссис Спрэт. Если говядина, продаваемая по 4,5 долл. за фунт, содержит 75% постного мяса и 25% жира, а свинина, продаваемая по 2 долл. за фунт, содержит 60% постного мяса и 40% жира, то сколько этой семье нужно купить в неделю говядины и свинины, чтобы минимизировать свои расходы? Как изменится ответ, если говядина будет стоить 4 долл. за фунт? Такие вопросы типичны для некото
рых задач, решаемых методами линейного программирования (лицо, принимающее решение, должно располагать полной информацией).
Что такое линейное программирование? Это вид математического моделирования, который служит для поиска оптимального варианта распределения ограниченных ресурсов между конкурирующими работами. Любая экономическая задача, связанная с максимизацией или минимизацией (т.е. оптимизацией) линейной целевой функции (например, функции прибыли, полной стоимости или аналогичных экономических величин) и выраженная в форме комплекса линейных неравенств (например, ограничений по рабочей силе, материалам, капиталу или другим ресурсам), будет задачей линейного программирования. Линейное программирование с большим успехом используется для решения многих задач в области бизнеса. Некоторые из них представлены далее.
Определение набора продуктов, отвечающих заданным ограничениям при минимальных затратах. Примерами служат задачи по составлению марочной смеси бензопродуктов или набора продуктов питания, отвечающих заданным диетическим требованиям.
Определение оптимальных производственных линий и производственных процессов. Примеры встречаются везде, где действуют ограничения на производственные мощности (например, на размер завода или на машинное время) и где принимаются решения о выпуске продукции при наличии ограничений на ресурсы.
Определение оптимальных маршрутов перевозок. В качестве примера можно привести фирмы, производственные предприятия и склады, размещенные далеко друг от друга и стремящиеся минимизировать свои расходы на перевозки продукции от места производства на склад.
Это только немногие примеры широкого класса задач, решаемых методами линейного программирования. По масштабам своего использования это, вероятно, наиболее успешный и широко применяемый подход к решению задач о распределении ресурсов. Масштабы его использования тесно связаны с развитием электронно-вычислительной техники, поскольку сложные задачи линейного программирования требуют такого объема вычислений, на какой способна только современная ЭВМ. Поэтому большинство управляющих бизнесом, которым действительно необходимо решать задачи линейного программирования, ограничиваются их постановкой и передают на решение техническим специалистам, а те вводят эти данные в программы линейного программирования, используемые на ЭВМ. Коммуникации упрощаются и вероятность ошибок уменьшается, если данные сводятся в удобную для работы форму (см. далее).
Иллюстративный пример-
Предположим, что химический завод получил заказ на производство 5000 фунтов специальной смеси из трех компонентов, состав которой имеет следующие ограничения:
компонент 1: 5 долл. за фунт, не более 1500 фунтов; компонент 2: 6 долл. за фунт, не менее 750 фунтов; компонент 3: 7 долл. за фунт, не менее 1000 фунтов.
Какое количество каждого компонента должно быть использовано для минимизации стоимости продукта? Хорошей формой постановки такой задачи будет следующая.
TOC \o "1-5" \h \z Пусть х, = количеству фунтов компонента 1;(1)
х2 = количеству фунтов компонента 2;(2)
х3 = количеству фунтов компонента 3.(3)
Требуется минимизировать
Z = 5х, + 6х2 + 7х3(4)
при условии, что
х, + х2 + х3 > 5000;(5)
х, < 1500;(6)
*2 » 750;(7)
*3 » 1000;(8)х,; х2, х3 » 0." (9)
Уравнения (1), (2) и (3) определяют переменные х^, х2 и х3 в терминах количества компонентов 1, 2 и 3-го вцда соответственно. Эти количества, естественно, не могут быть меныйе нуля1.
Уравнение (4) утверждает, что цепь данной задачи состоит в.минимизации стоимости набора компонентов. (Стоимость компонента вычисляется путем умножения его количества на стоимость его единицы. Суммируя стоимость всех компонентов, получаем полную стоимость набора.)
Уравнение (5) гласит, что полный вес смеси должен быть не менее 5000 фунтов.
Уравнение (6) утверждает, что должно быть использовано не более 1500 фунтов компонента 1.
Уравнение (7) гласит, что должно быть использовано не менее 750 фунтов компонента 2.
Уравнение (8) утверждает, что должно быть использовано не менее 1000 фунтов компонента 3.
Уравнение (9) формально утверждает, что зти переменные будут положительными.
Приведенная постановка задачи соответствует формату, заложенному в пакете прикладных программ ЭВМ дпя решения задач линейного программирования. После ввода данные обрабатываются компьютерной программой, результатом применения которой является решение задачи. Дпя нашей задачи решением являются следующие величины:
х, = 1500; х2 = 2500; х3 = 1000.
Это означает, что цель минимизации стоимости будет достигнута при использовании 1500 фунтов компонента 1; 2500 фунтов компонента 2 и 1000 фунтов компонента 3. Обратите внимание, что зти значения удовлетворяют каждому из наложенных ограничений.
Линейное программирование может быть использовано только для решения задач, имеющих все четыре представленные далее характеристики:
комплекс неотрицательных независимых переменных;
одну и только одну цель, служащую функцией переменных (например, минимизация затрат или максимизация прибыли);
наличие ограничений, налагающих пределы на достижение цели. Обычно они имеют вид верхнего или нижнего пределов для сочетания переменных;
линейный характер количественных соотношений.
В приведенном ранее иллюстративном примере имеется три переменных, так что задача должна быть решена симплексным методом. Симплексный метод может быть также использован для решения задачи вручную, однако он лучше всего подходит для постановки решения задачи на ЭВМ. Если имеются только две переменных, то возможно использовать графический метод. Оба этих метода, графический и симплексный, рассмотрены в Приложении ЗВ в конце этой главы.
Приростной анализ прибыли (краткосрочная концепция)
Следует напомнить, что предельный анализ имеет дело с изменениями значений взаимосвязанных, но неизменных функций. В реальном мире, однако, функции спроса, дохода, производства ц затрат не могут быть известны достаточно точно и подвергаются изменениям. Тем не менее эти задачи могут быть решены методом приростного анализа прибыли, развивающим концепцию предельного анализа применительно к более широким практическим задачам.
Приростной анализ прибыли оперирует с любыми и всеми изменениями в доходах, затратах и прибылях, явившимися следствием определенного решения. Таким образом, концепция приростного анализа охватывает изменения как самих функций, так и их значений. Основное правило решения состоит в том, чтобы принять любое предложение, повышающее прибыль, или отвергнуть любое предложение, ее уменьшающее.
Поскольку в приростном решении рассматриваются только переменные, подвергающиеся изменениям, постоянные слагающие затрат (такие, как страхование и обесценение денег) не рассматриваются. Таким образом, приростные решения относятся к краткосрочной концепции. К сожалению, многие управляющие не используют приростные термины; напротив, они принимают решения, исходя из средних значений общих затрат, включая в них постоянные и переменные слагающие (полностью распределенные затраты). Почти всегда краткосрочные решения, основанные на средних значениях полностью распределенных затрат, неверны, если целью фирмы будет максимизация прибыли.
[1;пюсгра1И1шм() пример
Предположим, что производитель автомобильных шин изготавливает и продает 100 ООО шин в месяц по цене 24 допл. за штуку. Переменные затраты составляют
долл. за шину, а постоянные - 600 ООО долп.; соответственно полные производственные издержки составят 20 долп. за шину.
Предположим теперь, что крупный оптовый торговец (не относящейся к чиспу современных потребителей) предлагает контракт на 25 000 шин в месяц по цене 18 долл. каждая. Дпя изготовления дополнительных 25 000 шин производителю придется работать сверхурочно, что потребует дополнительных переменных затрат в 2 долл. за каждую шину. Полная средняя распределенная стоимость каждой шины при этом составит:
Выводы
Переменная стоимость первых 100 ООО шин по 14 долп. каждая$1 400 ООО Переменная стоимость последующих 25 ООО шин
по 16 долл. каждая400 000
Постоянные затрать!600 000
Полная стоимость 125 000 шин$2 400 000
Средняя стоимость одной шины$19,20
Если фирма, принимая решение, будет исходить из средней стоимости шины, то заказ будет отвергнут, поскольку ее стоимость будет выше предложенной цены. Но если рассчитать приращенные затраты, то приращенная стоимость последних 25 000 шин составит 16 долл. за шину, тогда как они дают дополнительный доход в 18 долл. за каждую шину. Предполагаемый контракт, таким образом, даст 50 000 долп. прибыли, которой иначе фирма не имела бы.
Дает ли приростной анализ главный аргумент дпя решения? Необязательно, ибо другие (неколичественные) соображения могут перевесить результат приростного анализа прибыли (например, реакция потребителей на такую сделку или вопрос о законности подобной ценовой дискриминации). Тем не менее приростной анализ прибыли служит мощным и относительно простым в использовании методом, помогающим принять решение.
ВыводыПроцесс выработки правильных решений следует по единой общей схеме независимо от отрасли экономики и характера организации. Лицо, принимающее решение, должно сформулировать свою задачу, определить цель решения, выявить все относящиеся к нему факторы, собрать и оценить необходимую информацию, оговорить альтернативы и, наконец, оценить их с тем, чтобы выбрать наилучшее решение своей задачи.
На принятие решения оказывают влияние уровень и объем знаний лица, принимающего его. В условиях определенности лицо, принимающее решение, может заранее рассчитать все конкретные исходы для любой из возможных стратегий. Риск характеризует такое состояние знаний, когда каждая из альтернатив ведет к одному из нескольких исходов с объективно определенной вероятностью. Неопределенность — это такое состояние знания, когда одна или несколько альтернатив ведут к ряду возможных исходов, вероятность осуществления которых неизвестна или не имеет смысла. Каждое из таких состояний знания требует различных средств и методов выработки решения.
Условия определенности встречаются преимущественно при решении многих краткосрочных оперативных задач. Причем лицу, принимающему решение, достаточно сведений о текущей цене, условиях и требуемом объеме поставки. Условия определенности часто ассоциируются с оптимизационными моделями.
Для выработки решения в условиях определенности имеются три основных средства: предельный анализ, линейное программирование и приростной анализ прибыли.
В предельном анализе прибыль максимизируется тогда, когда предельный доход равен предельным затратам.
Линейное программирование - это метод математического моделирования, имеющий целью выбор оптимального варианта распределения ограниченных ресурсов среди конкурирующих работ. Он может применяться только тогда, когда все количественные соотношения будут линейными. Этот метод позволяет найти значения для комплекса переменных, максимизирующих или минимизирующих единственную целевую функцию.
Приростной анализ прибыли служит примером использования методов предельного анализа для более широких задач в краткосрочном периоде. Он рассматривает только изменения прибылей, затрат и доходов, связанные с конкретным решением. Доходы и затраты, постоянные в данном интервале, в решении не учитываются как не имеющие к нему прямого отношения.
ЗадачиКлассифицируйте каждую из приведенных далее ситуаций как решение, принимаемое в условиях определенности, риска или неопределенности. Объясните ваш ответ.
а.Фермер из штата Иллинойс должен решить, сколько акров земли выделить под кукурузу, а сколько — под сою. Произведите расчеты.
б.В жаркую погоду на бейсбольном стадионе большой спрос на мороженое, а сосиски идут значительно хуже. При умеренной или холодной погоде положение меняется. Санитарные правила не позволяют хранить мороженое или сосиски дольше двух дней. Из-за большого объема заказа поставщики требуют от организатора торговли на стадионе подавать заявку на товар не позднее чем за семь дней, иначе они не гарантируют его поставку. Определите, сколько мороженого и сосисок должен заказать организатор торговли для большой игры на следующей неделе.
в.Стандарт качества кормов для домашних животных оговаривает минимальное количество белков, жиров и углеводов и максимальное количество балластных компонентов для конечной смеси. Имеются три основных компонента для изготовления кормовой смеси с различными пропорциями белков, жиров и углеводов. Цена компонентов различная. Изготовитель кормовой смеси хочет удовлетворить требования стандарта при ее минимальной себестоимости. Определите соответствующие пропорции основных компонентов смеси.
Компания «Friendly Electric» направила в комиссию штата по коммунальным предприятиям заявление с просьбой разрешить ввести тариф на электроэнергию, изменяющийся в зависимости от времени суток. Это значит, что электроэнергия, потребляемая в некоторый час суток (например, поздно ночью), будет стоит потребителю дешевле, чем в пиковые часы. Компания утверждает, что такая практика ценообразования позволит потребителю сэкономить на плате за электроэнергию. Так ли это?
Мелкий производитель выпускает два типа серфингов, о которых известно следующее.
«Surfmaster» < cWavemaster»
Продажная цена $250 $200
Стоимость наполни теля на единицу продукции 8 10
Стоимость кпея на единицу продукции 20 15
Стоимость работы на единицу продук ции при оплате 10 долп./час 120 80
Известны также следующие данные.
Допустимый расход напопнитепя $80 в день
Допустимый расход кпея $150 в день
Допустимые трудозатраты 96 ч в день
Постоянные затраты $250 в день
Предполагая, что цель компании состоит в максимизации прибыли и что все произведенные серфинги будут в конце концов проданы, определите, сколько досок каждого типа следует изготавливать в день? Поставьте задачу в форме, удобной для линейного программирования и решите ее графическим методом. (Графический метод рассматривается в Приложении 3В к данной главе.)
Корпорация «EasTenn Furniture Makers, Inc.», Ноксвилл, штат Теннесси, выпускает обеденные столы, мягкие стулья для столовой и кресла «Lazyman». Основные используемые ресурсы: дерево,
обивка и труд. Нормативные затраты ресурсов на каждый вид продукции и их недельный запас представлены далее.
Дерево
(фунтов) Обивка
(ярдов2) Труд
(ч)
Стоп 20 - 10
Ступ 5 3 5
Креспо
Допустимый 6 7 8
запас 3000 1000 400
Мебель выпускается по недельному графику и хранится на складе корпорации до продажи. Склад может вместить 750 единиц мебели каждого типа.
За каждую проданную единицу продукции компания получает следующую прибыль: 250 долл. за стол, 150 долл. за стул и 200 долл. за кресло.
а)Постройте модель линейного программирования и определите оптимальный объем производства для каждого продукта.
б)Используйте компьютер для решения этой задачи (если он имеется).
Ситуационная, задача:
«Changeroyl, Inc.»
«Changeroyl, Inc.» - станция технического обслуживания, производящая замену масла и смазку автомашин. Помимо машинного масла в фирменных банках емкостью в 1 кварту «Changeroyl, Inc.» отпускает масло из бочек емкостью в 55 галлонов. Цена бочкового масла определена за галлон, и покупатель платит за фактический объем заправленного масла.
Среднечасовой доход станции, получаемый от заправки машин бочковым маслом, выражается уравнением TR = = 12 Q - 0,9 Q2, где TR - общий доход, а Q — количество галлонов, продаваемых в час.
Полные затраты на покупку, хранение и заправку масла выражаются уравнением ТС = 12 + 2Q - 0,7Q2 + 0,03<23, где ТС — полная стоимость, a Q — количество галлонов, продаваемых в час.
Вопросы
а.Каков максимальный часовой доход станции от бочкового масла? При какой цене доход будет максимальным?
б.Какая максимальная прибыль станции от бочкового масла за 1 час?
в.Составьте таблицу, включающую цену, общий доход, общие затраты и прибыль при продаже от 0 до 19 галлонов масла в час с приращением в 1 галлон. Включите дробные значения количеств, дающих максимальную прибыль и максимальный доход.
г.Постройте график общего дохода, общих затрат и прибыли в форме, аналогичной графику, представленному на рис. 3.1. Нанесите линии, соответствующие предельному доходу и предельным затратам, и покажите, что прибыль максимизируется, когда MR = МС.
Список литературыBaumol, W.J. Economic Theory and Operations Analysis, 4th ed., chaps. 18, 19. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1977.
Gordon, G., and I. Pressman. Quantitative Decision Making for Business, chaps. 3, 4. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1978.
Horowitz, I. Decision Making and the Theory of the Firm. New York: Holt, Rinehart & Winston, 1970.
Simon, H. «Rational Decision Making in Business Organizations». American Economic Review, 69 (September 1970), pp. 493-513.
Приложение ЗЛ. Предельный анализДля поиска предельного значения функции может быть использовано два метода. Один из них — это табличный метод, который может быть использован независимо от того, известна ли нам данная функция или неизвестна. Другой - это метод дифференциального исчисления, который может быть применен только тогда, когда функция известна и непрерывна.
Предельное значение определяется как значение изменения, вызванного изменением на единицу значения одной независимой переменной, когда все другие независимые переменные (если они имеются) остаются постоянными. Такое определение четко оговаривает, что выбранные значения независимой переменной должны быть дискретными числами с приращением на 1,0. При таком строгом определении, если АХ= 1, то предельное значение будет выражено наклоном AY/AXсекущей линии между двумя точками Р1 и Р2(рис. 34.1).
Когда в практике используется табличный метод (обычно тогда, когда функция неизвестна), используются дискретные значения независимой переменной, однако требование, что АХ = 1, снимается. Здесь предельное значение принимается равным A Y/АХ, вне зависимости от значения АХ. Если функция линейная, то это не вызывает трудностей, ибо наклон прямой линии будет константой; Но если функция нелинейная, то при больших значениях АЛ' возможна существенная ошибка. Величина такой ошибки будет зависеть как от наклона кривой, так и от величины АХ.
Если функция известна и неперерывна, то обычно приближенное значение предельной величины можно получить взяв первую производную. Это означает, что предельная величина выражается тангенсом угла наклона касательной к кривой в некоторой ее точке. Как следует из рис. 34.1, если функция нелинейная, то наклон кривой в точке Р, не будет равен наклону кривой в точке Р2. Следовательно, использование производной в качестве показателя предельного значения нелинейной функции приводит к определенной ошибке, однако ее величина будет невелика и поэтому игнорируется на практике.
Y


Puc. ЗА.1. Предельное значение
Естественно, для получения предельной величины наклона кривой необходимо взять ее производную (т.е. дифференцировать функцию). Для этого достаточно знать стандартные формулы производных и помнить немногие простые правила, представленные в приложении в конце этой книги.
Приложение ЗА
Что касается принятых обозначений, то, имея функцию Y=f(X), ее первую производную можно выразить какf'(X) (читается «/штрих от Л») или dY/dX (читается «производная от Y по Л>>). Первая производная также будет функцией от Л' и может быть продифференцирована для получения второй производной, что записывается как/"(Х) или d2Y/dX2.
Оптимизация функции
Когда функция имеет максимум или минимум, наклон ее кривой в этой точке . будет равен нулю, соответственно, ее первая производная будет равна нулю. Точки максимума или минимума на этой кривой могут быть определены в следующем порядке.
Шаг 1. Найдите первую производную функции и приравняйте полученное выражение к нулю.I.
Шаг 2. Решите полученное выражение для критических значений или значений X, т.е. для тех значений X, при которых данная функция имеет максимум или минимум.
Шаг 3. Найдите вторую производную функции, т.е. ее производную от первой производной.
Шаг 4. Введите критические значения в выражение для второй производной. Если результатом будет положительное число, то функция имеет минимум. Если результат отрицателен, то функция имеет максимум.
Методика предельного анализа многомерной функции служит развитием вычислительного метода. В его основе лежит следующая концепция: для изучения влияния на многомерную функцию изменения одной из ее независимых переменных мы должны считать остальные независимые переменные постоянными. Мы вводим эту концепцию в свои вычисления, когда берем частную производную. Аналогичным правилам дифференцирования следуют, когда берут производную от одной переменной, считая все остальные переменные константами'.
Иллюстративный пример
Предположим, что фирма разработала.новый проект. В первый год после выхода на рынок фирма продала 500 единиц продукции по цене 300 долл. за каждую. Его производственная функция будет линейной, переменные затраты постоянно равны 100 долл. на единицу, постоянные накладные расходы, отнесенные на продукт, равны 40 000 долл. Изменений этих затрат в следующем году не ожидается.
Фирма заключила договор с рекламным агентством на рекламу этого продукта. Агентство предлагает рекламную кампанию, включающую публикацию объявлений на полную полосу в двух распространяемых по всей стране журналах Medium One и Medium Two. Полная полоса в Medium One стоит 6000 долл., Medium Two выходит меньшим тиражом и берет 4000 долл. за полосу.
После проведения соответствующего исследования рынка рекламное агентство сообщило фирме, что эффективность рекламной кампании зависит от количества данных объявлений, и функция спроса соответственно имеет вид
Q = 500 + 100/4 - 5А2,
где Q — количество единиц продукции, которое будет продано по цене 300 долл. за единицу, если будет использовано А единиц объявлений. Единица объявления включает одну полосу в Medium One и одну полосу в Medium Two при полной стоимости в 10 000 долл.
Фирма может выбирать между двумя стратегиями маркетинга: одна будет максимизировать прибыль (в ближайшей перспективе), а другая — продажи (что даст ей возможность увеличить долю рынка и, следовательно, максимизировать прибыль в отдаленной перспективе). Аппарату управления фирмой предстоит решить вопрос об объемах финансирования рекламы по каждой из этих стратегий.
Первым шагом в решении этой проблемы должно быть выявление всех ее существенных факторов (постоянных и переменных):
А — количество единиц объявлений по 10 000 долл. каждая (независимая переменная);
Р — цена единицы продукции (константа, равная 300 долл.);
Q - количество произведенных и проданных единиц продукции (зависимая переменная);
TVC — общие переменные затраты при данном уровне рекламы, вычисляемые как за- . траты на производство плюс затраты на рекламу (переменная);
TFC — общие постоянные затраты (константа);
ТС — общие затраты (TFC + TVC, переменная);
TR — общий доход от продажи Q единиц (переменная);
TCP — общая вложенная прибыль (TR — TVC, переменная);
л — доход от основной деятельности фирмы или прибыль (зависимая переменная).
Следующим шагом будет выражение соотношений между этими факторами в виде комплекса уравнений:
TOC \o "1-5" \h \z Q = 500 + 1004 - 5А2;(1)
TR= PQ = 300(500 + 1004 - 5А2) =
= 150 000 + 30 000/4 - 1500/42;(2)
TVC = 100 Q + 10 000/4 =
= 100(500 + 100/4 - 5А2) + 10 000/4 =
= 50 000 + 20 000/4 - 500/42;(3)
TCP = TR - TVC = 150 000 + 30 000/4 - 1500/42 - -(50 000 + ,20 000/4 - 500/42) =
= 100 000 + 10 0004 - 100042;(4)
TC = TFC + TVC = 40 000 + 50 000 + 20 0004 - 50042 =
= 90 000 - 20 0004 + 50042;(5)
n = TR - TC= 150 000 + 30 0004 - 150042 - -(90 000 - 20 0004 + 50042) =
= 60 000 + 10 0004 - 100042.(6)
На этом этапе для решения задачи можно воспользоваться двумя методами. Первый состоит в построении таблицы, в которой будут выявлены все важнейшие соотношения. Второй метод связан с использованием максимизационных методов вычисле-
Приложение ЗА
ний. Выполнить вычисления быстрее и проще, однако табличный метод выявляет взаимоотношения между переменными и концепцией предельного анализа. Оба этих метода рассматриваются далее.
Табличный метод
Табличный метод предельного анализа требует построения таблицы типа табл. ЗА1.
Первый шаг в построении таблицы — это выбор желаемых значений независимой переменной, в данном случае количества приобретаемых объявлений. Обратите внимание, что выбранные значения такой независимой переменной представляют собой дискретный числа, приращиваемые на 1,0. Напомним, что предельное значение по определению — это изменение функции в результате приращения на единицу независимой переменной.
Таблица ЗАЛ
Доходы, переменные затраты н получаемые прибыли как функция рекламной кампании
Куплено Общий Предельный Переменные Предельные Вложенная Предельная
рекламы доход доход затраты затраты прибыль прибыль
(единиц) (в тыс. долл.)(в тыс. долл.дв тыс. долл.)| [в ТЫС. ДОЛЛ.)(| в тыс. долл.)(в тыс. долл.)
0 150,0 28,5 50,0 19,5 100,0 9,0
1 178,5 25,5 69,5 18,5 109,0 7,0
2 204,0 22,5 88,0 17,5 ч 116,0 5,0
3 226,5 19,5 105,5 16,5 121,0 3,0
4 246,0 16,5 122,0 15,5 124,0 1,0
5 262,5 13,5 137,5 14,5 125,0 -1,0
6 276,0 10,5 152,0 13,5 . 124,0 -3,0
7 286,5 7,5 165,5 12,5 121,0 -5,0
8 294,0 4,5 178,0 11,5 116,0 -7,0
9 298,5 1,5 189,5 10,5 109,0 -9,0
10 300,0 -1,5 200,0 9,5 100,0 -11,0 .
11 298,5 -4,5 209,5 8,5 89,0 -13,0
12 294,0 218,0 76,0 , Каждое из выбранных значений независимой переменной затем подставляется в соответствующее уравнение, чтобы получить отвечающее ему значение функции. В данном случае уравнения (2), (3) и (4) используются для определения общего дохода, переменных затрат и вложенной прибыли, соответственно, при каждом выбранном количестве купленных объявлений.
3-1854
На рис. ЗА.2 представлена гистограмма значений функции, приведенных в табл. ЗА. 1. Нам следует использовать подобные гистограммы, чтобы иметь лучшее представление о концепции предельного анализа.
Обратите внимание, что на рис. ЗА.2 середина столбца соответствует дискретному значению независимой переменной, а пределы, или границы, столбцов продолжены вверх для большей наглядности. Также обратите внимание, что через средние точки всех столбцов проведены прямые линии. Для упрощения мы назовем их линиями изменений.
Когда независимая переменная изменяется от одной величины к другой, мы переходим к новому значению функции вдоль линии изменения. Совершая такое движение, мы проходим АХ единиц в горизонтальном и AY в вертикальном направлениях. Наклон линии изменения характеризуется отношением AY/AX. Поскольку линия изменения представляет прямую линию, ее наклон остается постоянным везде, включая точку, в которой она пересекает границу между/(Л1,) и/(Х2). Поскольку мы ограничили АX значением 1,0, предельное значение по определению будет равно AY.
Рис. ЗА.2. Гистограмма общего дохода, переменных затрат и вложенной нрибыли в зависимости от количества единиц объявлений
Взяв в качестве примера общий доход в табл. ЗАЛ, мы видим, что на границе между 0 и 1 предельный доход будет равен 178,5 - 150,0 = 28,5; между 1 и 2 он равняется 204,0 - 178,5 = 25,5 и т.д.
Приложение ЗА
Когда мы рассмотрим все данные в столбце <Юбщий доход», мы увидим, что общий доход будет максимальным при 10 единицах объявлений. Как следует из табл. 34.1, предельный доход между 9 и 10 единицами будет равен + 1,5, а предельный доход между 10 и 11 единицами составит - 1,5. Взглянув на рис. ЗА.2, мы видим, что такое изменение значений от положительной к отрицательной величине имеет место наверху гистограммы в столбце для 10 единиц объявлений. Аналогично, как следует из той же табл. ЗАЛ, мы видим, что максимум вложенной прибыли имеет место, когда покупается 5 единиц объявлений. При этом предельная прибыль между 4 и 5 единицами составляет + 1,0, а между 5 и 6 единицами — 1,0.
Обратите внимание, что при анализе данных по предельной прибыли мы пренебрегали значениями постоянных затрат и получаемого операционного дохода. Это было возможно, поскольку, как следует из рис. ЗА.2, постоянные затраты не сказываются на предельных прибылях. Если нам потребуется вычесть постоянные затраты из получаемой прибыли, то достаточно сократить высоту каждого столбца на равную величину. При этом наклон линий изменения остается тем же, что прежде, поскольку предельная прибыль не меняется.
Вычислительный метод
Обращаясь снова к рис. ЗА.2, мы видим, что хотя линии изменений будут прямыми линиями, соединенные вместе они очень близко следуют плавной кривой, которую мы ассоциируем с непрерывной функцией. Это позволяет использовать дифференциальное исчисление для вычисления предельных величин. Мы предполагаем, что эта функция будет непрерывной, так что вместо многих линий изменений мы будем иметь одну гладкую непрерывную кривую.
Вычислительный метод более результативный, чем табличный, по двум причинам.
Поскольку нам известно, что функция будет иметь оптимум, когда наклон графика станет нулевым, мы можем получить оптимальное значение независимой переменной, просто взяв первую производную, приравняв ее к нулю и решив относительно X. Так, например, уравнение (2) дает
77? = 150 000 + 30 0004 - 15004J;
= 30 000 - 30004= 0;
dA
4= 10,что мы видели ранее.
Вычисления позволяют обрабатывать многомерные функции, что было бы чрезвычайно трудно, если вообще возможно сделать табличным методом. Метод предельного анализа многомерных функций развивает рассмотренный ранее вычислительный метод. Частные производные берутся для каждой независимой переменной, при этом остальные переменные считаются константами. Все частные производные затем приравниваются к нулю. В результате получается система уравнений, в которой количество переменных будет равно количеству уравнений и, соответственно, каждое уравнение может быть решено для каждой переменной. Мы покажем возможности этого метода, продолжив анализ нашего иллюстративного примера.
Предельный анализ многомерной функции
Предположим, что в результате опыта, накопленного в ходе рекламной кампании, рекламное агентство получило новую информацию, позволяющую выявить влияние объявлений, помещенных в каждом из этих двух журналов. Тогда функция спроса приобретет следующий вид:
G = 500 + 66Mt - 3Mt2 + ЪШ2 - 2М2\(7)
где М{ - количество полностраничных объявлений, помещенных в Medium Опе\ М2 — количество полностраничных объявлений, помещенных в Medium Two.
Как следует распределить бюджет рекламной кампании между упомянутыми журналами в свете этой дополнительной информации? Для ответа на этот вопрос возьмем частные производные от уравнения (7):
TOC \o "1-5" \h \z J%L = 66-6M. ;(8)
дМ{1= 34 - 4М0 -(9)
дМ22
Оптимальные факторы входа. Уравнение (8) гласит, что спрос на выпускаемую продукцию изменяется на (66 - 6Afj) единиц при изменении на единицу Mv когда М2 считается константой. Уравнение (9) гласит, что спрос изменится на (34 - 4М2) единиц при изменении на единицу М2, когда М{ считается константой. Эти функции характеризуют предельный продукт М1 и М2 соответственно.
Теперь мы можем применить теорию предельной производительности для определения оптимального сочетания М{ и М2. Теория предельной производительности гласит, что оптимальное распределение факторов производства имеет место, когда соотношение предельного продукта МРк его цене Р будет одинаковым для всех факторов, т.е.>
МРА МРВMPN

Отсюда следует, что оптимальное сочетание имеет место, когда
66 - 6Мх 34 - 4М2 $6000 $4000 ‘
Решив это уравнение, мы получим, что Mt = М2 + 2,5; т.е. следует всегда давать на 2,5 объявления больше в Medium One, чем в Medium Two. Это еще не говорит о том, какое количество объявлений будет оптимальным, однако свидетельствует о том, что при любом уровне выхода мы получим максимальную отдачу от наших денег, если будем следовать указанному правилу распределения.
Оптимальный уровень выхода. Если под оптимумом мы будем понимать максимум объема продаж, то ответ можно получить, просто приравняв уравнения (8) и (9) к нулю. Тогда мы получим, что М1 должно равняться 11, а М2 — 8,5. Хотя это и соответствует нашему заключению относительно оптимального соотношения объявлений в Medium One и Medium Two, но предполагает, что рационально помещать рекламные объявления на полполосы в Medium Two. Это противоречит заданному условию, что объявления должны быть только на полную полосу. Означает ли это,что наше предположение о непрерывности функции спроса ведет к ошибочному заключению?
Технически ответ будет утвердительным, однако практически такая ошибка будет несущественной. Если мы подставим значения М{ = 11, а М2 = 8,0, 8,5 или 9,0, то получим следующие результаты.
м, м2 Q
11 8,0 1007,0
11 8,5 1007,5
11 9,0 1007,0
Поместив объявление на полполосы, мы получим непредсказуемый результат, а изготовление и продажа половины продукта может быть невозможной (в зависимости от продукта), так что принимается простое решение: поместить 11 полнополосных объявлений в журнале Medium One и 8 полнополосных объявлений в журнале Medium Two.
Дадут ли такие расходы на рекламу ожидаемое увеличение объема продаж? При предыдущем распределении 1 : 1 оптимальным было производство 1000 единиц продукции, даюших 300 000 долл. в стоимости продаж при расходах на рекламу 100 000 долл. При новом распределении оптимальный объем производства составит 1007 единиц продукции при стоимости продаж в 302 100 долл. и расходах на рекламу 98 000 долл. Это позволит повысить нашу прибыль на 4100 долл.
Оптимальные прибыли. Если под оптимальной мы будем понимать максимальную прибыль, то мы должны прежде всего использовать уравнение (7), чтобы получить новые уравнения для обшего дохода, полных переменных затрат и вложенной прибыли. Такими новыми функциями будут
Q = 500 + 66М1 - ЗМ,2 + 34М2 - 2М22;(7, повтор)
TOC \o "1-5" \h \z TR = 300(3 = 150 000 + 19 800М, - 900М,2 + 10 200М2 - 600М22;(10)
TVC = 100(3 + 6000М( + 4000М, =
= 50 000 + 12 600М, - 300М,2 + 7400М2 - 200М22;(11)
TCP = TR- TVC = 100 000 + 7200М, - 600М,2 + 2800М2 - 400М22.(12)
Для определения рационального распределения объявлений, дающего нам максимальную прибыль, возьмем частную производную от уравнения (12) и приравняем ее к нулю:
д(ТСР) = 720() _ 120р= 6;(13)-
дМх11?STCP) = 2800 - 800М-, = 0; М, = 3,5.(14)
дМ222
Оптимальные расходы на объявления в этих двух журналах составят:
($6000) + 3 ($4000) = $48 000.
При этом уровне расходов на рекламу объем продаж составит:
Q = 500 + 66М{ - 3Mt2 + 34М2 - 2М2 =
= 500 + 66(6) - 3(36) + 34(3) - 2(9) = 872 единицы,
что позволит получить вложенную прибыль
TCP = 100 ООО + 7200М, - 600М,2 + 2800М2 - 400М,2 =
= 100 ООО + 7200(6) - 600(36) + 2800(3) - 400(9) = $126 400.
Ограниченный оптимум
В предыдущих рассуждениях мы исходили из подразумеваемого предположения о наличии неограниченных ресурсов; в них не вводились ограничения на производственную мощность предприятия или на объем оборотного капитала, расходуемого на рекламу. В реальной жизни плановики не работают в таких идеальных условиях. Все они вынуждены идти на компромиссы в распределении ограниченных ресурсов с тем, чтобы получить максимально возможный результат при ограничениях, налагаемых или решениями управляющих, или условиями жизнедеятельности. К счастью, им на помощь приходит предельный анализ на базе дифференциального исчисления.
Снова вернемся к примеру с рекламной кампанией, чтобы проиллюстрировать это утверждение. Мы показали, что прибыли будут максимальными, если мы поместим шесть объявлений в Medium One и три объявления в Medium Two, затратив на них в целом 48 000 долл. Как следует их израсходовать, чтобы получить максимальную прибыль?
Применение теории предельной производительности. Из предыдущего примера по максимизации объема продаж при отсутствии ограничения по расходам на рекламу мы получили для оптимального сочетания объявлений уравнение
М{ = М, + 2,5.(15)
Если мы можем израсходовать на рекламу только 40 000 долл., то нам известно, что
$6000М, + $4000М2 = $40 000.(16)
Подставив уравнение (15) в уравнение (16), получим
6000(М, + 2,5) + 4000М, = $40 000;
10 000М, + 15 000 = 40 000;
М2 = 2,5;
М, = 5.
Отсюда следует, что нам нужно поместить пять объявлений в Medium One стоимостью в 30 000 долл. и два объявления в Medium Two за 8000 долл., затратив в обшей сложности на рекламу 38 000 долл. На этом уровне рекламы объем продаж, исходя из уравнения (7), будет равен
Q = 500 + 66(5) - 3(25) + 34(2) - 2(4) = 815 единиц.
Вложенная прибыль при этом составит
TCP = $200(815) - 38 000 = $125 000.
Множитель Лагранжа. Еще более мощным средством для оптимизации любой многомерной функции при одном или нескольких ограничениях служит множитель Лагранжа. Множитель Лагранжа — это искусственная переменная, обозначаемая греческой буквой «лямбда» (К). Возможности его использования будет легче объяснить на том же примере, для которого мы определили функцию спроса
TOC \o "1-5" \h \z Q = (Мг М2) = 500 +.66М{ - ЗМ,2 + ЪАМг - 2Мг2(17)
и ограничение
6000М, + 4000М2 = 40 ООО.(18)
Функция спроса будет максимизирована, когда мы приравняем к нулю как уравнение ограничения (18), так и частные производные по М{ и М2 в уравнении (17). Мы можем приравнять к нулю уравнение ограничения, тогда оно будет иметь следующий вид:
6000М, + 4000- 40 000 = 0,(19)
но когда мы возьмем частные производные от уравнения (17), то в результате получим систему из трех уравнений, имеющую всего две переменных, которая не имеет решения.
Разрешить эту дилемму можно, умножив уравнение (19) на искусственную переменную и прибавив полученное значение к уравнению (17). Теперь мы имеем функцию из трех переменных:
Q = f(Mv М2, X) = 500 + 66М{ - ЗЛ/,2 + ЪШ2 - 2М2 +
+ 6000Ш, + 4000Ш2 - 40 000А.
Когда мы возьмем частные производные по всем переменным (Mv М2, ^), мы получим три уравнения для тех переменных, которые доступны решению:
-У- = 66-6М, + 6000Х=0;
дМ.1
_^_ = 66-6M, + 6000Л= 0;
дМ11
Ж. = 6000Л/, - 400ОМ, + 40 000 = 0. дк
Обратите внимание, что частная производная относительно X также будет ограничением. Решив эту систему, мы получим
Mt = 5,0; М2 = 2,5; X = -0,006.
Заметим, что исходя из теории предельной производительности М1 и М2 будут иметь те же значения, что мы получили. Значение X, однако, дает нам дополнительную информацию, которую было невозможно получить другим путем. Знак «минус» говорит нам, что значение функции будет увеличиваться при ослаблении эффекта, накладываемого ограничением. Насколько велико будет такое улучшение? В данном случае оно составит примерно 0,006 единиц на каждый доллар, добавляемый к расходам на рекламу. Поскольку каждая проданная единица продукции дает 200 долл. прибыли, предельная прибыль при данном уровне расходов на рекламу составит 200 долл. х
006 = 1,20 долл. Поскольку функция прибыли нелинейна и предельная прибыль уменьшается с увеличением расходов на объявления и становится отрицательной, расходы на рекламу превысят 48 000 долл.
Однако в реальных условиях мы часто имеем многомерные функции со многими ограничениями. Для решения таких задач нам достаточно ввести дополнительную искусственную переменную для каждого дополнительного ограничения. Следует заметить, что множитель Лагранжа при решении задач нелинейного программирования (как в нашем примере) служит аналогом двойственных переменных в задачах линейного программирования, рассмотренных в Приложении ЪВ. Как двойственные переменные, так и множитель Лагранжа выражают изменения целевой функции, ожидаемые при изменении на единицу правой части ограничения.
Приложение 3В. Линейное программированиеВ своем практическом использовании линейное программирование является наиболее успешным и широко используемым подходом к решению задач распределения ресурсов. Оно получило развитие после второй мировой войны, и сфера его использования расширялась параллельно с развитием компьютерной индустрии, поскольку его практическое использование требует больших вычислительных мощностей.
Линейное программирование можно формально определить как метод оптимизации (т.е. максимизации или минимизации) линейной функции нескольких переменных, имеющих комплекс линейных ограничений. Задачи линейного программирования решаются с использованием операций матричной алгебры методом, известным как симплексный. Поскольку соотношения будут линейными, задачу с двумя переменными также можно решать графически. Графический метод практически не используется для решения реальных задач линейного программирования, однако он очень полезен для разъяснения базовых концепций, методов и элементарной геометрии линейного программирования. Именно поэтому, прежде чем излагать алгебраическую технику симплексного метода, мы графически решим задачу с двумя переменными.
Графическая иллюстрация: задача
линейного программирования с двумя переменными
Гончарное предприятие «Wayside Pottery» выпускает два вида глиняной посуды. Первый - это простой глиняный горшок с упроченным ободком. Второй - это меньшая по размеру и более изяшная ваза с ручками и орнаментом по бокам. Для изготовления простого глиняного горшка требуются 4 фунта глины и 1 ч работы,, а его реализация приносит 4 долл. прибыли. Для изготовления вазы требуются 3 фунта глины и 2 ч работы. Прибыль от реализации вазы составляет'5 долл. На фирме 40 ч в неделю работает один гончар; допустимый расход глины составляет 120 фунтов в неделю. Сколько горшков и ваз нужно изготовить в неделю, чтобы максимизировать прибыли предприятия?
Решение
Прежде всего следует построить хорошую модель линейного программирования. Затем мы сначала решим нашу задачу графическим методом, а потом симплексным.
Шаг 1. Определение переменных.
Пусть
- количество простых глиняных горшков, производимых за день;
х2 — количество ваз, производимых за день.
Шаг 2. Определение целевой функции. Каждый горшок дает 4 долл. прибыли, а каждая ваза - 5 долл. Цель, Z, состоящая в максимизации прибыли, выражается как
Z= Axt + 5xr
Шаг 3. Определение ограничений.
а.Ограничение по труду. Изготовляя горшки или вазы, гончар будет работать максимум 40 ч в неделю. Он может работать меньше, но не больше. Каждый горшок требует 1 ч работы, а каждая ваза -2 ч. Соответственно
х, + 1х2 < 40.
б.Ограничение по материалам. Гончар имеет максимум 120 фунтов глины в неделю, расходуемой на производство как горшков, так и ваз. Каждый горшок требует 4 фунтов глины, а каждая ваза - 3 фунтов. Соответственно
4л:, + Зх2 < 120.
Шаг 4. Введение ограничений на значение переменных. Физически невозможно произвести отрицательное количество горшков или ваз. Соответственно
хг х2 > 0.
Шаг 5. Построение горизонтальной и вертикальной оси графика. Обозначим горизонтальную ось х, а вертикальную ось — х2. Эти оси определяют границы неотрицательных ограничений. Все точки, лежащие выше горизонтальной оси и справа от вертикальной оси, будут удовлетворять этим ограничениям (рис. 3i?.l).
so40
30
Z
Г)

со
20
10
1_L.-_1—_I I1020304050
Г оршки
Рис. ЗВ.1. Неотрицательные ограничения
Шаг 6. Построение линии, отражающей первое ограничение. Ограничение по труду выражается неравенством дг, + 2хг < 40. Если х2 = 0, то лс, < 40, и х{ = 40 дает точку пересечения с осью X. Если xt = 0, то х2 < 20, и х2 = 20 дает точку, пересечения с осью У. Тогда линия х{ + 2х2 = 40, проведенная между двумя этими точками пересечения, даст верхнюю границу затененной зоны, представленной на рис. ЪВ.2. Все точки, лежащие в этой зоне, включая точки на этой линии, будут удовлетворять ограничению по труду.

Г оршки
Рис. ЗВ.2. Ограничение по труду
Шаг 7. Построение линии, отражающей второе ограничение. Ограничение по материалам выражается неравенством 4х, + Ъх2 < 120. Если х2 = 0, то х, < 30, и х, = 30 дает точку пересечения с осью X. Если xt = 0, то х2 < 40, и х2 = 40 дает точку пересечения с осью У. Мы проводим линию 4х, + Ъх2 - 120 между этими точками пересечения (рис. 35.3).

Г оршки
Рис. ЗВ.З. Область допустимых решений, удовлетворяющая всем ограничениям
После выполнения шага 7 линия ограничения по материалам пересекает линию ограничения по труду в точке с координатами (24, 8), как это показано на графике, представленном на рис. 35.3. Эти координаты можно найти, решив одновременно оба уравнения:
40) х 3 = Зх, + 6х2 = 120;
(х, + 2х2 = (4х, + Зх2 =
120.) х 2 = 8х, + 6х2 = 240;
—5х, = -120;
х, = 24; х, + 2хг = 40;
24 + 2х2 = 40;
2х2 = 16; х2 = 8.
Затененная плошадь на рис. ЗАЗ называется областью допустимых решений, поскольку в ней содержатся все сочетания переменных, удовлетворяющие всем ограничениям. Очевидно, что существует громадное количество таких комбинаций: фактически их число бесконечно. К счастью, нам нет необходимости рассматривать любое из возможных сочетаний внутри затененной области, поскольку оптимальное решение нужно искать в одном из углов или в крайних точках.
На рис. ЪВА проиллюстрирован базовый принцип решения задач линейного программирования: проводя параллельные линии, выражающие различные уровни целевой функции Z = 4х, + 5х2, мы получаем решения в углу области допустимых решений.I

Рис. ЗВ.4. Допустимые решения
В начале координат (0, 0) все ограничения будут удовлетворены, но значение целевой функции будет равно нулю. По мере параллельного передвижения целевой функции от начала координат прибыли увеличиваются. В точке (0, 20) все ограничения будут удовлетворены, а прибыль составит 100 долл. Она может быть повышена при переходе к точке (30, 0). Здесь все ограничения также будут удовлетворены, а прибыль составит 120 долл. Это решение еще не будет оптимальным, поскольку прибыль можно увеличить, если перейти в точку (24, 8), где пересекаются две линии ограничений. Здесь прибыль составит 136 долл. и будет максимальной. Если мы удалимся от начала координат, то ограничения больше не будут удовлетворяться, т.е. ни одна часть линиицелевой функции не будет лежать в области допустимых решений. Это демонстрирует линия 4х, + 5х2 = 160.
Следует заметить, что задача линейного программирования необязательно имеет единственное решение. Если целевая функция будет параллельной одной из границ ограничений, то любая точка на этой границе будет оптимальной, давая бесконечное число решений. Другим предельным случаем может быть отсутствие решения задачи в сформулированном виде. Так, например, если задано минимальное количество единиц выпускаемой продукции, а ограничение по ресурсу таково, что его недостаточно для производства такого минимального количества, то задача не будет иметь решения. Симплексный метод, как будет показано далее, дает способ выявления задач, не имеющих решения или имеющих бесконечное число решений.
Симплексный метод
Количественное решение задачи линейного программирования симплексным методом вручную или на ЭВЙ имеет два главных преимущества: 1) позволяет получить решение задачи с тремя и более переменными, ибо метод не ограничен трехмерным пространством; 2) значения дополнительных переменных в конечной форме уравнения дают чрезвычайно важную информацию для принятия решения.
Поскольку методика решения задачи не зависит от количества переменных в ней, для объяснения симплексного метода мы используем модель с двумя переменными, решенную ранее графически. Для этого мы внесем лишь небольшие изменения в постановку неотрицательных ограничений.
Цель: максимизировать Z = 4xt + 5х2 при условии х, + 2х2 < 40;
4х,/ + Зх2 <120; х, + 0х2 > 0;
Ох, + х2 > 0.
Первый шаг в решении этой задачи состоит в том, чтобы преобразовать неравенства в уравнения. Эта трансформация достигается за счет введения дополнительных неотрицательных переменных, предназначенных единственно для того, чтобы покрыть различие между неравенством и уравнением, введя дополнение в неравенство. Если данное ограничение определяет верхний предел (знаком неравенства будет «<»), то каждая такая дополнительная переменная представляет собой количество располагаемого ресурса, которое не использовано и вводится с коэффициентом +1. Если такое ограничение определяет нижний предел (знаком неравенства будет «>»), то каждая дополнительная переменная будет представлять величину, на которую использование располагаемого ресурса может превысить ограничение, и она вводится с коэффициентом — 1. В нашем примере нижний предел выражается исключительно неотрицательными ограничениями, соответственно введение дополнительных переменных дает следующую конструкцию:
х, + 1х2 + 5,= 40;
4xl + Зх2 + s2= 120;
х1 + 0х2— s} = .0;
0х, + х2~ s4 ~ 0.
Для решения задачи симплексным методом требуется каноническое построение матрицы дополнительных переменных п х п, где п равно числу ограничений1. В нашем случае мы имеем для дополнительных переменных матрицу 4 х 4, но она не будет канонической, поскольку два ее коэффициента будут отрицательными. Решение задачи состоит в том, чтобы каждому из таких уравнений добавить искусственную переменную с коэффициентом +1:
х, + 2х2 + j,= 40;
4х, + Зх2 + 52= 120;
х, + 0х2— s} + Ах = 0;
Ох, + 0х2 — 54 + А2 = 0.
Теперь мы имеем необходимое каноническое построение. Помимо матрицы ограничений искусственные переменные вводятся также в целевую функцию с очень большим коэффициентом М. Если мы максимизируем функцию, то этот большой коэффициент М берется со знаком «минус», если минимизируем, - то со знаком «плюс». Так, модифицированная целевая функция приобретает вид
Z = 4х, + 5х2 — MAt — МА2.
Теперь мы имеем неопределенную систему из четырех уравнений с восьмью переменными: xr х2, sr s2, s3, s4, A\, Av Расхождение между числом переменных и числом уравнений делает их однозначное решение невозможным. Выполняемый вручную или с использованием ЭВМ симплексный метод дает решение задачи для п переменных, где п равно числу ограничений. Каждый раз набор этих переменных изменяется за счет замены одной переменной другой. Этот процесс называется итерацией.,На каждой итерации мы получаем базисное допустимое решение, т.е. такое решение, которое удовлетворяет всем ограничениям и требованию, что число базисных переменных не должно превышать числа ограничений.
Начальное симплексное табло (итерация 0)
Симплексный метод изменяет базисные допустимые решения за счет ряда операций по строкам в табличном формате, называемом «табло». Для того чтобы начать решение симплексным методом, присвоим нулевое значение функциональным переменным, х, чтобы получить начальное базисное допустимое решение. Начальное табло (итерация 0) имеет вид, представленный в табл. ЪВЛ.
я 4 5 0 0 0 /0 -м -м Сь Базис Х1 х2 S1 s2 s3 s4 А1 А2 bi Ь*/а*
к ie
0 S1 1 2 1 0 0 0 0 0 40 0 s2 4 3 0 1 0 0 0 0 120 -м А1 1 0 0 0 -1 0 1 0 0 -м А2 0 1 0 0 0 -1 , 0 1 0 Zi -М -М 0 0 м м -м -м 0 crzi М+4 М+5 0 0 -м -м 0 0 Таблица 3 В. 1
1 Каноническое построение матрицы имеет место, когда каждое число главной диагонвли матрицы п х п равно +1.


Пояснение к начальному табло. Вторая строка содержит заголовки столбцов, включающих все переменные задачи. Строка Cj содержит коэффициенты переменных целевой функции. Они остаются постоянными во всех итерациях. Коэффициенты переменных ограничений показаны в ячейках матрицы n х т, где п равно числу ограничений (четыре строки в нашем случае), а т равно общему числу переменных, включая функциональные переменные, дополнительные переменные и искусственные переменные (восемь столбцов в нашем случае). Каждую ячейку матрицы можно обозначить как а.., где индекс / относится к строке, a j указывает столбец. Правую границу матрицы составляет столбец, обозначенный как Ьг Он содержит правые части ограничений. Назначение столбца, обозначенного как Л( /а.е, будет пояснено далее.
Столбец «базис» показывает, какие базисные переменные входят в текущее базисное допустимое решение. Каждая базисная переменная в своем столбце будет иметь коэффициент 1. Слева от столбца «базис» находится столбец Сь, куда введены коэффициенты базисных переменных, входящих в целевую функцию. Дополнительные переменные входят в целевую функцию с нулевыми коэффициентами, искусственные переменные — с коэффициентами плюс или минус М в зависимости от того, будем ли мы максимизировать или минимизировать целевую функцию. В данном случае мы ее максимизируем, так что знаком будет минус.
Каждая ячейка строки Z, содержит изменения в целевой функции в результате ввода одной переменной, указанной в заголовке столбца. Таким образом,
/?
Zj = aij ■
В начальном табло Z, вычисляется как 0(1) + 0(4) + (~М)( 1) + (-М)(0) = -М\ Z2 вычисляется как 0(2) + 0(3) + {—М){0) + {—М){ 1) = —М. Остальные столбцы, включая столбец Л(, вычисляются аналогично. Значение Z в столбце Ь. дает текущее значение целевой функции. В начальном табло это значение равно нулю, поскольку все функциональные переменные приравнены к нему.
Строка Cj — Zj содержит критерии оптимального решения. Если мы максимизируем целевую функцию, то решение будет оптимальным, когда все С — Zf будут нулевыми или отрицательными, а если минимизируем, то решение будет оптимальным, когда все С. — Z. будут нулевыми или положительными. В данном примере мы максимизируем функцию, и в строке С. — Z присутствуют два положительных элемента. Это означает, что мы не вышли на оптимум и поэтому должны выбрать новый базис.
Выбор нового базиса. Переход к новому базису осуществляется путем замены определенной базисной переменной некоторой небазисной, при этом одна переменная вводится в базис, а другая выводится из него. Сначала выбирается вводимая переменная, и это должна быть та, которая быстрее других наращивает значения Z. Ее определяет наибольшее положительное число в строке C. — Zj. В нашем примере она будет находиться в столбце х2, как это отмечено вертикальной стрелкой в матрице, представленной в табл. ЗВ.2.
Величина, на которую может быть увеличена Z при введении переменной, ограничена значением выводимой переменной, которая может быть уменьшена до нуля, но не может стать отрицательной. Предел приращения от вводимой переменной будет равен отношению Л( к коэффициенту вводимой переменной, а1е, где индекс е указывает на столбец вводимой переменной. Это выражение называется min-отношением. Если а.с равно нулю, то min-отношение будет стремиться к бесконечности. Если а1е отрицательно, то min-отношение также будет отрицательным или нулевым, в зависимости от значения Ь.. В любом из этих случаев оно не определяет вводимую переменную. Для каждой строки существует одно min-отношение. Для данного иллюстративного примера min-отношение помещено в столбец b/afe, как показано в матрице, представленной в табл. ЪВ.2, однако оно может не входить в распечатку, полученную в результате использования компьютерной программы.
Таблица ЪВ.2
Выбор вводимой и выводимой переменных
cf 4 5 0 0 0 0 -м -м Сь Базис Х1 х2 SI s2 s3 s4 А, А2 Ь| Ь/а-
к ie
0 S1 1 2 1 0 0 0 0 0 40 20
0 s2 4 3 0 1 0 0 0 0 120 40
-м А1 1 0 0 0 -1 . 0 1 0 0 »
-м А2 0 1 0 0 0 -1 0 1 0 «=0
Zi -М -М 0 0 м м -м -м 0 crzi М+4 М+5 0 0 -м -м 0 0 1Г
Выводимая переменная определяется наименьшей положительной величиной min- отношения. В нашем примере это будет Л2, что показано горизонтальной стрелкой. Этот элемент, лежащий на пересечении столбца х2 со строкой Л2, называется ведущим, или направляющим элементом. Поскольку мы хотим ввести переменную, х2, в базис, ведущий элемент должен измениться до 1. Это производится путем деления всех элементов строки на значение ведущего элемента. Все остальные элементы в столбце ведущего элемента должны быть приведены к нулю при помощи операций над строками, выполняемыми в следующем порядке.
В строке s, значение коэффициента при х2 равно 2. Для того чтобы изменить коэффициент на 0, мы умножаем новую строку х2 на 2 и полученное значение вычитаем из строки s
Для строки s2 мы умножаем новую строку х2 на 3 и вычитаем полученное значение из строки s2.
В строке Ах значение коэффициента при х2 уже равно нулю, так что нам нет необходимости вводить какие-либо изменения при решении задачи вручную. Компьютер, естественно, произведет умножение новой строки хг на 0 и вычтет полученное значение из строки Аг
Новое табло, полученное в результате таких операций над строками, показано в матрице, представленной в табл. ЗВ.З. Это табло показывает, что значение Сь для строки х2 равняется 5. Это будет коэффициент при х2 в целевой функции. Он используется для вычисления новых значений строк Z} и С). — Z. Столбец bt показывает, что Z остается равным нулю, что означает отсутствие увеличения целевой функции, однако строка Cj - Zf теперь показывает, что искусственные переменные сводятся к нулю. Это позволяет эффективно удалить искусственные переменные из целевой функции, что желательно сделать как можно быстрее. По этой причине искусственным переменным дается значение М, где М — очень большое число. Значение С — Z для второй искусственной переменной будет сведено к нулю при следующей итерации.
Таблица ЪВ.Ъ
Табло после 1-й итерации
Ci 4 5 0 0 0 0 -М -м СЬ Базис Х1 х2 S1 s2 s3 s4 А1 А2 ь, bi/aie
0 S1 1 0 0 1 2 0 0 -2 40 40
0 s2 4 0 1 0 3 0 0 -3 120 30
-м А1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 <=0
5 х2 0 1 0 0 0 -1 0 1 0 оо
Zi -М 5 0 0 -5, M -м 5 0 crzi М+4 0 . 0 0 5 -M 0 -М-5 1?
Вертикальная стрелка указывает на хх как на вводимую переменную для следующей итерации, поскольку она имеет наибольшее значение в строке С. — Zy Вычислив min- отношение, получим вводимую переменную Аг После второй итерации получим матрицу, представленную в табл. ЗВ.4.
Таблица ЗВ.4
Ткбло после 2-й итерации
с, 4 5 0 0 0 0 -M -М сь Базис Х1 х2 S1 s2 s3 s4 А1 А2 ь, bi/aie
0 S1 0 0 0 1 2 1 -1 -2 40 <=20
0 s2 0 0 1 0 3 4 -4 -3 120 40
4 Х1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 оо
5 х2 0 1 0 0 -1 0 0 1 0 -0
Zi 4 5 0 0 -5 -'4 4 5 0 crzi 0 0 0 0 5 4 -М-4 -М-5 '
ГГ
Для третьей итерации вводится s3 и выводится sr Результат этой итерации показан в матрице, представленной в табл. ЗВ.5.
Та б л ица ЗВ.5
Ткбло после 3-й итерации
Я 4 5 0 0 0 0 -M -M сь Базис Х1 х2 S1 s2 s3 s4 A, А2 bi bi/aie
0 s3 0 . 0 0 0,5 1 0,5 -0,5 -1 20 40
0 s2 0 0 1 -1,5 0 2,5 -2,5 0 60 <=24
4 Х1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 -0
5 х2 0 1 0 0,5 0 0,5 -0,5 0 20 40
Zi 4 5 0 2,5 0 -1,5 1,5 0 100 Ci-Zi 0 0 0 -2,5 0 1,5 -М-1,5 -М

На следующей итерации вводится s4 и выводится s2. Ее результат показан в матрице, представленной в табл. 35.6.
Ci 4 5 0 0 0 0 -м -м -
СЬ Базис Х1 х2 S1 s2 s3 S4 А1 А2 Ь, Ь|Ле
0 s3 0 0 -0,2 0,8 1 0' 0 -1 8 0 S4 0 0 0,4 -0,6 0 1 -1 0 24 4 Х1 1 0 0,4 -0,6 0 0 0 0 24 5 х2 0 1 -0,2 0,8 0 0 0 0 8 Zi ' 4 5 0,6 1,6 0 0 0 0 136 crzi 0 0 -0,6 -1,6 0 0 -м -м Таблица ЗД.6
Табло после 4-й итерации
Поскольку все переменные в строке С; - Z, будут нулевыми или отрицательными, это означает, что получено оптимальное решение при значении Z, равном 136. Значения базисных переменных в оптимальном решении можно найти в столбце Ьг Значения остальных небазисных переменных в оптимальном решении будут равны нулю. Соответственно решением будет [х,, х2, s,, s2, sv s4, Av A2] = [24, 8, 0, 0, 8, 24, 0, 0]. Из этого следует, что все имеющиеся в наличии ресурсы труда и глины будут израсходованы для производства 24 горшков и 8 ваз и принесут общую прибыль в 136 долл.
Трудности и их преодоление
Далее будут рассмотрены некоторые трудности, встречающиеся в симплексном процессе, и показаны пути их преодоления.
Минимизация. Минимизация целевой функции эквивалентна максимизации ее отрицательных значений. Например, минимизация функции Z = 3х1 + 5х2 эквивалентна максимизации функции Z' = — Зх, — 5х2. Имеются два пути решения этого алгоритма, и любой из них может быть введен в компьютерную программу.
Преобразовать критерии оптимальности с тем, чтобы выбрать переменные, имеющие наибольшие отрицательные значения С — Z. в качестве вводимых переменных, и закончить их ввод, когда все значения С7. - Z; будут равны нулю или будут положительными.
Изменить целевую функцию с Z на Z', т.е. обратить знак при С. на противоположный, и вести их расчет в обычном порядке.
Равенства. Трудности с первоначальными ограничениями состоят в том, что они уже являются равенствами и, следовательно, уравнения не содержат дополнительных переменных.
В этом случае будет отсутствовать очевидное базисное допустимое решение, с которого следует начинать решение задачи симплексным методом. Вывод будет тот же, что и тогда, когда неравенства имеют знак «>», т.е. в строку С добавляется искусственная переменная с коэффициентом 1 и в целевую функцию с коэффициентом -М, если она максимизируется, или +М, если она минимизируется.
Переменная, не ограниченная по знаку. Иногда в моделях встречаются переменные, которые могут принимать положительные или отрицательные значения. Однако симплексный алгоритм требует, чтобы все переменные были неотрицательными. Переменная, не ограниченная по знаку (т.е. та, которая может быть положительной или отрицательной), всегда может быть выражена в виде разности между двумя неотрицательными переменными. Если и > 0 и v > 0, то* может быть выражен как х = u — v.
Если х будет положительным, то пусть и = х и v = 0, тогда и - v > 0. Предположим, например, что х = 18. Пусть и = 18 и v = 0, тогда 18 - 0 = 18, что больше нуля.
Если х будет отрицательным, то пусть v = х и и = 0, тогда и — v> 0. Предположим, например, что х = -5. Пусть v = -5 и и = 0, тогда 0 - (-5) = 5, т.е. числу положительному.
Поскольку симплексным методом исследуются только экстремальные точки области допустимых решений, то либо и, либо v, либо оба всегда приводятся к нулю. Если и. — V. в целевой функции и во всех ограничениях заменяют хр то для решения можно использовать симплексный алгоритм. Если положительными или отрицательными могут быть более одной переменной, то пусть v — наибольшая из отрицательных переменных, которая используется в одном и том же значении v во всех случаях; т.е. v - max (—Xj) и х. = и. — v.
Допустимые условия для вводимой базисной переменной. Если существуют несколько одинаковых максимальных переменных, C—Z., то примем любую из них за вводимую переменную. Это не скажется на результате симплексного решения.
Допустимые условия для выводимой базисной переменной. Часто наличие одинаковых направляющих элементов для выводимой базисной переменной немедленно ведет к вырождению базисного допустимого решения, т.е. того решения, у которого одна из переменных равна нулю. Хотя теоретически симплексный алгоритм может войти в бесконечную петлю (зациклиться), этого фактически никогда не происходит, так что выбор выводимой переменной может быть сделан достаточно произвольно.
Кратные решения. Если задача линейного программирования имеет кратные решения, то симплексный алгоритм останавливается, когда выйдет на первое из кратных решений. Как мы сможем узнать о существовании других решений?
Для этого следует рассмотреть строку С. — Zj последней итерации, помня, что значения С{ — Z указывают на изменения в Z, имеющие место, если вводится еще одна переменная. Если существует только одно решение, то значение Cj - Zf для каждой базисной переменной будет равно нулю, а все остальные будут ненулевыми (т.е. отрицательными при максимизации и положительными при минимизации). Если мы найдем небазисную переменную с нулевым значением С} — Z, то это укажет на то, что существуют и другие оптимальные решения. Если мы выберем эту переменную как вводимую переменную и проведем дополнительную итерацию, то это даст еще одно решение, но не изменит значения Z. Однако такое решение также будет оптимальным. Фактически оно будет лежать на другом конце линии, на которой лежат все оптимальные решения. Это обстоятельство может иметь большое значение для управляющего, поскольку в этом случае следует принять во внимание! качественные факторы, которые сделают одно решение более желательным, чем другое.
Отсутствие допустимого решения. Если задача фактически не имеет допустимого решения, то симплексный алгоритм останавливается на решении, кажущимся допустимым. Однако при этом одна из искусственных переменных, которая должна была бы быть приведенной к нулю, будет присутствовать в решении.
Неограниченные переменные. Отсутствие ограничений делает возможным неограниченный рост значения переменной. При выборе неограниченной переменной в качестве вводимой переменной будет отсутствовать выводимая переменная, требуемая для выполнения теста на min-отношение. Тогда симплексный алгоритм останавливается без выхода на решение, т.е. поставленная задача неразрешима.
Двойственная задача
Каждая задача линейного программирования имеет две формы: прямую и двойственную. Оригинальная модель задачи — это ее прямая форма. Двойственная максимизаци- онная задача была представлена ранее в форме задачи, отвечающей на вопрос: «Сколько стоят для «Wayside Pottery» дополнительные единицы ресурсов?» Двойственность отражает предельную стоимость ограниченного ресурса, соответственно двойственное решение обычно называется теневой ценой (двойственные переменные, или оценки).
Прямая и двойственная задачи будут взаимодополняющими в том смысле, что симплексный алгоритм автоматически решает обе задачи одновременно. Соответственно каждую задачу можно записать как прямую, а решить как двойственную. Компьютерная программа не дает табло для двойственной задачи, вместо этого она просто дает распечатку теневых цен. Для нашего примера теневыми ценами будут следующие:
Ограничение, номер Значение
1 0,600
2 1,600
3 0,000
4 0,000
Возвращаясь к матрице, которая представлена в табл. ЗВ.6, демонстрирующей конечное тйбло в решении нащей задачи, мы видим, что теневые цены вводятся для каждой ограниченной переменной в строке Zf Это будет справедливым для общего случая. Таким образом, в любой задаче линейного программирования конечное табло будет содержать предельные значения ограниченных элементов в строке Z.
В данном примере основное решение гласит, что прибыль будет максимизирована при выпуске 25 горшков и 8 ваз и при таком уровне производства будут использованы все трудовые и материальные ресурсы. (Конечным значением для ^ и s2 будет нуль.) Нулевое значение теневой цены для дополнительных переменных s3 и s4 свидетельствует, что изменения правой части указанных ограничений будут безразличны для прибыли. Теневые цены для s| и s2 указывают, что добавление еще одного часа труда даст увеличение прибыли на 0,60 долл., а добавление еще одного фунта глины позволит повысить прибыль на 1,60 долл.
Значение такой двойственности для управляющего состоит в том, что она дает ему информацию относительно ресурсов. Например, главной заботой управляющего производством будет контроль за ресурсами, предоставленными в его распоряжение. Информация о влиянии этих ресурсов на прибыль леобходима для решения о целесообразности приобретения дополнительных ресурсов и о цене, которую фирма может позволить себе заплатить за них.
Анализ чувствительности
Рассмотренная ранее модель линейного программирования была сформулирована так, как будто все параметры модели были известны с полной определенностью. В большинстве задач из реальной жизни только некоторые параметры могут быть известныс полной определенностью, а большинство представляют экспертные оценки или обоснованные предположения и поэтому подвержены изменениям. Анализ изменения параметров и их последствий для решения модели называется анализом чувствительности.
Наиболее очевидный путь для определения последствий изменений в параметрах модели состоит в том, чтобы ее переформулировать и решить заново. К счастью, такая трудоемкая и дорогостоящая процедура будет излишней, поскольку конечное табло основного решения может после некоторой обработки дать такую информацию (табл. 35.7).
Таблица ЗВ.7
Типичная компьютерная распечатка результатов анализа чувствительности
********************** АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Текущее Верхний
значение предел
4,00 6,67
5,00 8,00
части Значение в Верхний
правой части предел
40,00 80,00
120,00 160,00
0,00 24,00
0,00 8,00
********************** Диапазоны коэффициентов целевой функции Нижний
TOC \o "1-5" \h \z Переменная предел XI2,50
Х23,00
Диапазон правой НомерНижний
ограничения предел
30,00
' 60,00
Без ограничений
уБез ограничений
Изменения в коэффициентах целевой функции. Изменение в одном из коэффициентов целевой функции, если оно будет существенным, ведет к изменению оптимального решения. Анализ чувствительности позволяет определить границы значений, в пределах которых оптимальное решение не меняется. В верхней части табл. ЗВ.7 показано, что дневное производство 24 горшков и 8 ваз остается оптимальным, если:
изменение цены горшка дает изменение прибыли на любую величину в пределах от 2,50 до 6,67 долл. включительно;
изменение цены вазы дает изменение прибыли на любую величину в пределах от
до 8 долл. включительно.
Важно отметить, что эти диапазоны относятся к изменению цены горшка или изменению цены вазы, но не к изменениям обеих цен.>
Изменения в количественных ограничениях. Изменение значений правой части ограничений, если оно достаточно велико, способно изменить границы зоны допустимых решений. Анализ чувствительности позволяет определить диапазон значений правой части ограничений, в переделах которого решение остается допустимым.
В нижней части табл. ЗВ.7 показано, что базисное решение [х,, х2, j,, j2] остается допустимым, если:
количество трудозатрат изменяется на любую величину в пределах от 30 до 80 ч включительно;
располагаемое количество глины изменяется на любую величину в пределах от 60 до 160 фунтов включительно;
неотрицательное ограничение на хх изменяется на любую величину в пределах от
до 24 горшков включительно;
неотрицательное ограничение на х2 изменяется на любую величину в пределах от
до 8 ваз включительно.
Эти диапазоны изменений относятся к правой части только одного ограничения. Если изменениям подвергается более одной правой части, то создается новая задача. Также важно отметить, что хотя базисные переменные остаются не затронутыми этими изменениями, количественные значения этих переменных могут измениться.
Список литературыBernhard, Richard Н. «Mathematical Programming Models for Capital Budgeting - A Survey, Generalization, and Critique». Journal of Financial and Quantitative Analysis 4 (June 1969), pp. 111-58. Это прекрасный обзор математического моделирования для финансовой области.
Dantzig, George В. Linear Programming and Extensions. Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1963.
Lee, Sang M. Goal Programming for Decision Analysis. Philadelphia: Auerback, 1972.
Myers, Stewart С. «А Note on Linear Programming and Capital Budgeting». Journal of Finance 27 (March 1972), pp. 89—92.
Plane, Donald R., and Gary A. Kochenberger. Operations Research for Managerial Decisions, 3d. ed. Homewood, 111.: Richard D. Irwin, 1976.
Taylor, Bernard W. Introduction to Management Science. Dubuque, Iowa: William C. Brown, 1982.
ГЛАВА4
ВЫРАБОТКА РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ РИСКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИКак уже говорилось в предыдущей главе, многие краткосрочные решения руководства представляют собой не более чем просто выбор наиболее подходящей альтернативы из множества альтернатив, результаты которых известны с определенностью. Другие краткосрочные решения и практически все долгосрочные принимаются в условиях риска и неопределенности, когда руководитель должен выбирать направления действий из различных альтернатив, слабо ориентируясь в том, какие события, способные оказывать воздействие на результаты, могут произойти. В настоящей главе представлены средства и методы, которые могут быть использованы для принятия решений в таких условиях.
План главыНастоящая глава подразделена на три параграфа и два приложения.
Матрица решения. Этот параграф знакомит нас с матрицей решения, известной также под названием платежной матрицы, которая представляет собой модель возможностей решения для типичной сложной задачи, требующей решения.
Выработка решения в условиях риска. В этом параграфе рассматриваются измерение риска, ожидаемая стоимость, компромисс «риск-прибыль», «риск-выгодность» и корректировка риска. Здесь мы познакомимся также с деревом решения — полезным инструментом последовательного анализа решений.
Выработка решения в условиях неопределенности. В данном параграфе анализируется субъективное принятие решения с использованием четырех основных критериев: критерия Вальда (называемого также критерием макси-мина), альфа-критерия Гурвица, критерия Сэйвиджа (называемого также критерием потерь от мини-макса) и критерия Лапласа (называемого также критерием Бэйеса).
Приложение 44. Краткое изложение законов вероятности. Это приложение определяет вероятность и показывает, как вычислять совместные и условные вероятности.
Приложение 4В. Вероятностное распределение потока наличности. Это приложение показывает, как вычислять и оценивать текущую стоимость серии движений денежной нетто-наличности, прогнозируемой на будущее.
Матрица решенияВ условиях риска и неопределенности типичная задача принятия решения достаточно сложна для того, чтобы допускать множество возможных результатов или отдач для каждой стратегии - результатов, которые часто представляют собой функцию условий, выходящую за пределы контроля лица, принимающего решение. Матрица решения, называемая также платежной матрицей, используется как инструмент для представления и анализа этих результатов. Матрица решения помогает лицу, принимающему решение, концептуализировать и формализовать процесс решения на:
постановку целей;
выбор возможной отдачи и
оценку и выбор альтернативных стратегий.
Пример платежей матрицы представлен в табл. 4.1, в которой пять альтернативных стратегий, или направлений действия, лица, принимающего решение, перечислены в левой части (5, - S}). Лицо, принимающее решение, предвидит также четыре возможных состояния экономики (условия или янления), которые обозначены от до TV4. Числа в матричных ячейках представляют собой конечную отдачу или результаты для каждой стратегии и связанного с ней состояния экономики.
Таблица 4.1
Матрица решения
Альтернативные стратегииСостояние экономики
TOC \o "1-5" \h \z NNNN
12'’з4
6664
2577-15
20207-1
19169-2
201515-3
В данном примере стратегиями могли бы служить различные рекламные кампании, а состояниями экономики могли бы быть стабильность, спад или депрессия. Отдача представляет собой наиболее эффективную оценку лицом, принимающим решение, результатов для каждой Комбинации стратегии и состояния экономики, выраженной в наиболее понятных терминах. Концептуально наиболее понятными терминами могли бы быть объемы, такие, как количество единиц проданной продукции, объем продаж (в долларах), прибыль (в долларах) или любые другие числа, которые имеют смысл для лица, принимающего решение.
В состоянии определенности может иметь место лишь одно состояние экономики, а платежная матрица может быть сведена к одному-единственному столбцу. Лицо, принимающее решение, знает, что отдача появится лишь в том случае, если будет осуществляться конкретная стратегия и ему требуется только выбрать стратегию с наибольшей отдачей.
В условиях риска вероятность каждого состояния экономики и вытекающей из него отдачи может быть определена объективно при помощи эмпирических доказательств, полученных из документации компании или экономических экспериментов.
В условиях неопределенности вероятностных состояний связанные с ними отдачи должны определяться субъективно, в соответствии с информацией и убеждениями лица, принимающего решение. Это, конечно, требует, чтобы лица, принимающие решения, обладали некоторыми знаниями по поводу возможных состояний экономики и вытекающих из них отдач. Если лица, принимающие решения, считают, что их знаний недостаточно для определения субъективных вероятностей, то они всегда могут вернуться к Байесовому постулату, гласящему, что вероятности равны.
Выработка решения в условиях рискаКак было отмечено, риск существует тогда, когда лицо, принимающее решение, не знает заранее его результатов, но способно установить объективное распределение вероятности возможных состояний внешней среды и связанных с ними отдач или результатов.
Методы оценки риска
Имеются два главных подхода к объективному измерению вероятности (степени риска). Один из них - априори, методом дедукции; другой - апостериори, посредством статистического анализа эмпирических данных.
Метод априори. При методе априори лицо, принимающее решение, способно определять вероятность результата без экспериментирования или анализа прошлого опыта. Вместо этого вероятности определяются дедуктивно на основании допускаемых принципов при.условии, что характеристики возможных случаев известны заранее. Например, мы знаем, что монета имеет две стороны. По этой причине подброшенная вверх монета может упасть или на ту или на другую сторону. Допуская, что монета равномерно сбалансирована, мы можем дидактически сделать вывод, что имеется равная вероятность того, что монета упадет или на ту или на другую сторону при любом единичном подбрасывании. Необязательно подбрасывать монету много раз, чтобы обнаружить, что сравнительная частота падения на ту или другую сторону составляет 1/2, или одно из каждых двух подбрасываний. На том же основании нет необходимости постоянно вытягивать карты из колоды, содержащей 52 карты, чтобы сделать вывод, что вероятность вытягивания любой конкретной карты равна 1/52.
Предполагаются ли все эти утверждения по поводу вероятности для предсказания конкретного результата? Конечно, нет. Они просто говорят о том, что в достаточно большом количестве экспериментов конкретный результат не находит реализации. Отсюда следует, что опытные игроки, участвующие в подобных играх, сталкиваются с условием риска, а не неопределенности. Единственное, что можно сказать почти наверняка, это то, что они проиграют, а игорный дом в конечном счете выиграет.
Априорный метод оценки риска подходит в том случае, когда принимающий решение может вычислить вероятность результата, не полагаясь на экспериментирование, выборку или прошлый опыт. Если это невозможно, то лицо, принимающее решение, должно воспользоваться апостериорным методом. При методе априори мы идем от причины к следствию. При методе апостериори мы наблюдаем следствия посредством эмпирического измерения, а затем пытается установить причину.
Метод апостериори. Метод апостериори предполагает, что прошлый опыт является типичным и что он будет продолжаться в будущем. Для того чтобы установить измерение вероятности, лицо,-принимающее решение, начинает с наблюдения частоты возникновения события, представляющего интерес, и с распределения этой частоты на общее количество наблюдений. Например, предположим, что на протяжении многих лет международная авиалиния планировала дополнительные воздушные рейсы между Гонолулу и Гонконгом для того, чтобы справиться с растущим потоком пассажиров во время Рождественских каникул и Новогодних праздников. Сейчас фирма должна принять решение, назначать дополнительные рейсы или нет. В первую очередь она должна собрать данные относительно того, какое количество мест было заполнено (фактор загрузки) в каждом из прошлых рейсов. Количество раз получения каждого конкретного фактора загрузки и представляет собой частоту этого фактора загрузки. Если этот показатель организован в нисходящем или восходящем порядке, то это распределение частоты.
Статистическая теория требует, чтобы данные по частоте удовлетворяли трем техническим условиям:
данные должны обеспечивать достаточное количество случаев или наблюдений, чтобы продемонстрировать стабильность;
наблюдения должны повторяться в совокупности наблюдений;
наблюдения должны быть независимыми.
Если эти условия будут удовлетворены, то распределение частоты может быть преобразовано в распределение вероятности. Заметим, однако, что существует различие между распределением частоты и распределением вероятности. Распределение частоты - это табулирование того, сколько раз возникали определенные события в прошлом. Распределение вероятности - это табулирование возможности возникновения этих событий в будущем в процентах.
Если лицо, принимающее решение, готово предположить, что прошлый опыт является типичным и что он может быть использован в будущем, то самый простейший способ для построения распределения вероятности — это осуществить прямое преобразование распределения частоты. Например, если определенный фактор загрузки возникал 20 раз на протяжении последних 50 рейсов, то мы можем сказать, что ожидаемая частота, а отсюда и вероятность возникновения этого фактора во время следующего полета будет равна 20/50 = 0,4 или 40%.
От лица, принимающего решение, конечно, не требуется принятия решения на основании знания простого преобразования распределения частоты. Распределение вероятности может быть модифицировано с целью получения новых факторов, которые могут иметь важное значение для последующего экономического поведения, или с целью корректировки контроля за прошлым, не продолжающимся в будущем.
Если условия таковы, что статистическая вероятность события может быть вычислена объективно, то возможность такого результата должна классифицироваться как риск. Такцм образом, страховые компании могут предсказывать с высокой степенью вероятности смерти, несчастные случаи и ущерб от пожаров. Эти вероятности помогают им принимать решения относительно уровней и ставок страховых премий. Хотя они и не могут установить вероятность того, что конкретный человек умрет или что конкретный дом сгорит, они могут предсказать с небольшой ошибкой, сколько людей в данной возрастной группе умрет в следующем году или сколько домов данного типа, расположенных в определенной местности, сгорят.
Если менеджер, принимающий решение, сталкивается с событиями или результатами, подразумевающими наличие риска, то его главная задача заключается в разработке методов, способных обеспечить его возможностью вычислить, а в последующем свести к минимуму риски, присущие конкретной задаче. Один из методов, применяемых для достижения этих целей, состоит в том, чтобы вычислить распределение вероятности возможных результатов из блока выборочных наблюдений, а затем подсчитать предполагаемую стоимость.
Предполагаемая стоимость
В условиях риска главным критерием решения служит предполагаемая стоимость, которая вычисляется следующим образом:
П
Е(Х) = РхХ1+ Р2Х2 +... + Р„Х„ = ]>,X,,(1)
/=1
где X. — стоимость г-й отдачи;
Р.' — вероятность г-й отдачи (которая равна вероятности г'-ro варианта).
Из уравнения (1) следует, что предполагаемая стоимость стратегии представляет собой средневзвешенную стоимость, в которой используются вероятности отдачи в качестве весовых коэффициентов. Таким образом, можно сказать, что если бы стратегия применялась много раз при аналогичных вариантах, то мы могли бы рассчитывать на получение средней отдачи, равной предполагаемой стоимости.
Предположим, что оценивается множество стратегий при одинаковой стоимости инвестиций. Предполагаемая стоимость служит основным критерием для сравнения этих альтернатив. При сравнении двух или более стратегий менеджер, принимающий решение, выбирает стратегию с самой высокой предполагаемой стоимостью.
Давайте вновь рассмотрим матрицу решения, представленную в табл. 4.1, в которой анализируются четыре возможных состояния экономики. Пусть — времена бума; N2 — времена стабильности; N} - времена спада, a Nt - времена депрессии. Давайте предположим также, что лицо, принимающее решение, после тщательного анализа способно определить объективную вероятность в 20% для Nt, в 65% для N2, в 10% для N} и в 5% для Nt (табл. 4.2). Заметим, что сумма вероятностей составляет 100% (этот показатель должен быть постоянным). Предполагаемая стоимость каждой стратегии вычисляется следующим образом:
Д^) = 0,20(6) + 0,65(6) + 0,10(6) + 0,05(4) = 5,90;
E(S2) = 0,20(25) + 0,65(7) + 0,10(7) + 0,05(—15) = 9,50;
E(S}) = 0,20(20) + 0,65(20) + 0,10(7) + 0,05(-1) = 17,65;
E(St) = 0,20(19) + 0,65(16) + 0,10(9) + 0,05(—2) = 15,00;
Вычисление предполагаемой стоимости
E(Ss) = 0,20(20) + 0,65(15) + 0,10(15) + 0,05(—3) = 15,10.
Состояние экономики Предполагаемая
Альтернативные N. ■N, "з стоимость
стратегии (р = 0,20) (р = 0,65) (р= 0,10) (р = 0,05) £F(S)
5, 6 6 6 4 5,90
25 7 7 -15 9,50
53 20 20 7 -1 17,65а
19 16 9 -2 15,00
20 15 15 -3 15,10
* Оптимальная стратегия Таблица 4.2


Для того чтобы принять решение, выбирается стратегия с самой высокой предполагаемой стоимостью. В данном примере явное предпочтение отдается стратегии Sy Но предположим, что предполагаемые стоимости альтернативных стратегий одинаковы, как это следует из табл. 4.3. Что тогда?
Таблица 4.3
Вычисление предполагаемой стоимости
Альтернативная
стратегия . Состояние экономики N, N2 N3 (р = 0,25) (р = 0,50) (р = 0,25) Предполагаемая
стоимость
E(S)
S, 20 10 20 15
40 10 0 15
10 10 10 10
В табл. 4.3 представлена матрица решения со следующими вероятностями: 0,25 для Nv 0,50 для N2 и 0,25 для Ny Включена также величина отдач для трех различных стратегий, или проектов.
Предполагаемые стоимости вычисляются следующим образом:
£(£,) = 0,25(20) + 0,50(10) + 0,25(20) = 15,0;
£(S2) = 0,25(40) + 0,50(10) + 0,25(0) = 15,0;
£(53) = 0,25(10) + 0,50(10) + 0,25(10) = 10,0.
Понятно, что 5, или S2 предпочтительнее S}. Но для того чтобы сделать выбор между
и S2, имеющими одинаковую предполагаемую стоимость, мы должны использовать какой-то другой критерий. Таким критерием может оказаться степень риска. Поскольку предполагаемая стоимость служит измерением основной тенденции, степень риска может быть определена как степень отклонения возможных отдач от предполагаемой стоимости. Степень риска, таким образом, считается вторичным, или вспомогательным, измерением предполагаемой стоимости.
Измерение риска: размах и среднее квадратичное отклонение
Из табл. 4.3 следует, что хотя S и S2 имеют одинаковую предполагаемую стоимость, равную 15, Si фактически может иметь отдачу или в 20, или в 10, в то время как S2 могла бы иметь отдачу или в 40, или в 10, или в 0. Интуитивно мы чувствуем, что чем дальше от среднего значения находится фактическая отдача, тем рискованнее будет проект. Следовательно, одним из способом измерения риска можно считать вычисление размаха, который представляет собой разность между самыми крайними величинами отдачи. В нашем примере размах Si равен 10 (от низкого, равного 10, до высокого, равного 20), в то время как размах S2 равен 40 (от низкого, равного 0, до высокого, равного 40).
Размах — это полезная предварительная оценка, но она учитывает лишь крайние стоимости и не учитывает стоимости, расположенные между ними. Если мы предположим наличие нормального распределения вероятности, то более точным измерением риска будет статистика, называемая средним квадратичным отклонением (1реческая буква «сигма»), которое является измерением отклонения отдачи от предполагаемой стоимости. Среднее квадратичное отклонение показывает жесткость распределения вероятности. Чем выше среднее квадратичное отклонение, тем выше вероятность возможной отдачи и, следовательно, тем выше риск.
Вычисление среднего квадратичного отклонения может производиться следующим образом.
Шаг 1. Вычислим предполагаемую стоимость (взвешенное среднее арифметическое) распределения
П
(2)/= 1
где Xf - i-я отдача, или результат;
Р. — вероятность i-й отдачи;
Е(Х) — предполагаемая стоимость или взвешенный средний результат с вероятностями в качестве весов.
Шаг 2. Вычтем предполагаемую стоимость из каждого результата с целью получения ряда отклонений от предполагаемой стоимости, т.е.
d=Xt- Е(Х).(3)
Шаг 3. Возведем в квадрат каждое отклонение, затем умножим возведенное в квадрат отклонение на вероятность связанного с ним результата. Затем сложим результаты с целью получения среднего возведенного в квадрат отклонения, или дисперсии, о2, распределения вероятности:
TOC \o "1-5" \h \z °2=Ц*,-вд]2л.(4)
/=1
Шаг 4. Взяв корень квадратный из дисперсии, получим среднее квадратичное отклонение, о:
<i•(5)
Уравнение (5) можно также записать в следующем виде:
о =ji(x-nx)2pl,(6)
поскольку среднее арифметическое распределение, (читается: «мю от X»), представляет собой предполагаемую стоимость. Обозначения в уравнении (6) более понятные, чем в уравнении (5).
В табл. 4.4 продемонстрированы вычисления средних квадратичных отклонений для стратегий, представленных в табл. 4.3. Как следует из табл. 4.4, S2 со средним квадратичным отклонением в 15 в три раза рискованнее, чем Sl со средним квадратичным отклонением в 5, в то время как ^ со средним квадратичным отклонением, равным нулю, вообще не подразумевает риска.
Таблица 4.4
Вычисление среднего квадратичного отклонения
Стратегия (X. - и) (X. - и)2 Р, <*, " М)2Р,
5 25 0,25 6,25
-5 25 0,50 12,50
5 25 0,25 6,25
О,2 = 25,00
25 625 0,25 156,25
-5 25 0,50 12,50
-15 225 0,25 56,25
022 = 225,00
0 0 0,25 0,0
0 0 0,50 0,0
0 0 0,25 0,0
032 = 0,0 03 = 0Для любого нормального распределения кривая вероятности распределения симметрична относительно среднего. Зона под кривой представляет общую вероятность, равную 1,0, разделенную на две равные части. Таким образом, вероятность (зона) слева от среднего равна 0,5 и вероятность справа ± 0,5. На рис. 4.1 проиллюстрирован этот принцип. Данный рисунок выполнен в стандартном масштабе, или в масштабе Z, который имеет среднее значение, равное нулю, и среднее квадратичное отклонение, равное ±1,0.

Рис. 4.1. Размах вероятности для нормального распределения
Если мы обратимся к таблице нормального распределения (см. табл. Е в Приложении в конце данной книги), то увидим, что величина Z= 1,0 (означающая одно среднее квадратичное отклонение от среднего) соответствует размаху 0,3413. Следовательно, размах между Z= -1,0 и Z— +1,0 равен 0,6826. Другими словами, если имеется вероятность, равная 68,26%, то фактический результат окажется в пределах одного среднего квадратичного отклонения от среднего (в любом направлении). При использовании той же самой процедуры размах в пределах ±2 средних квадратичных отклонений от среднего равен 0,9544, или 95,44%, а размах в пределах ±3 средних квадратичных отклонений равен 99,73% (см. рис. 4.1).
Вернемся к нашим ранним сравнениям стратегий Si и Sr На рис. 4.2 показано распределение вероятности для каждой стратегии, а также их среднее и среднее квадратичное отклонение. На этом рисунке размах в 68% вероятности (т.е. ц + 1о) показан как затененная область. Для распределения вероятности это узкая полоса с размахом от 10 до 20. Для распределения вероятности S2 представлена более широкая полоса с размахом от 0 до 40, Понятно, что абсолютное отклонение возможных отдач гораздо выше для S2, чем для Sv Более высокое отклонение говорит о том, что S2 более рисковая вероятность, чем 5,, поскольку обе альтернативы имеют одинаковую предполагаемую стоимость.
F(X)

Стоимость отдачи
Рис. 4.2. Распределение вероятности двух стратегий с одинаковой предполагаемой стоимостью
Измерение относительного риска: коэффициент вариации
Предположим, что фирма имеет возможность осуществлять инвестиции в два разных проекта. Один имеет предполагаемую стоимость в 500 000 долл. со средним квадратичным отклонением в 5000 долл. Другой имеет предполагаемую стоимость в 100 000 долл. со средним квадратичным отклонением в 2000 долл. Какой из них более рисковый?
Если мы воспользуемся средним квадратичным отклонением для измерения риска, то мы должны будем сделать вывод, что более крупный проект является более рисковым. Но если учитывать среднее квадратичное отклонение в отношении размера проекта, то относительный риск будет ниже для более крупного проекта. Понятно, что для того чтобы сравнивать рисковость проектов с сильно отличающимися величинами инвестиций, отдач и предполагаемой стоимости, необходимо пользоваться скорее относительными, чем абсолютными измерениями. Относительное среднее квадратичное отклонение (чаще называемое коэффициентом вариации) и является таким измерением.
Коэффициент вариации - это отношение среднего квадратичного отклонения к предполагаемой стоимости, или среднему. Вычисленный в процентах, он является индексом риска в расчете на доллар прибыли и, таким образом, обеспечивает возможность сравнения относительного риска стратегий или проектов с сильно различающейся величиной. Формула имеет вид:
С=—(100),(7)
Ц
где о - среднее квадратичное отклонение;
ц - предполагаемая стоимость (средняя величина).
|(100) = 0.
Базируясь на данных, представленных в табл. 4.3 и 4.4, рассчитаем коэффициенты вариации для каждой стратегии:
для St: с, = 1 (*
1 (15
для S2: СН [-TJ
для S3: c,-i f-
10
Анализ риска для двух проектов
В данном случае использование коэффициента вариации приводит к тем же самым выводам, которые были достигнуты, когда среднее квадратичное отклонение было использовано для измерения риска. Но этого может не произойти, если предполагаемые стоимости будут другими. Например, предположим, что мы выполняем два проекта и что имеют место три возможных состояния экономики: N, N2 и N, с вероятностями в 0,20, 0,70 и 0,10 соответственно. В табл. 4.5 рассматриваются два проекта —.5], и S,, их предполагаемая отдача, предполагаемая стоимость, E(S.), среднее квадратич- й коэффициент вариации, С., для каждого проекта.
Проект N,
(Р = 0,20) Ы2
(Р = 0,70) "з
(Р = 0,10) MS) с*
st 20 10 5 11,5 4,5 39
*5 150 100 75 107,5 22,5 21
Таблица 4.5
Мы видим, что S5 наверняка представляет собой намного более крупный проект, чем .S4, с более высокой предполагаемой стоимостью, для которой имеет место более высокое среднее квадратичное отклонение. Более высокое среднее квадратичное отклонение означает более высокий абсолютный риск. Но относительный риск (т.е. риск в расчете на доллар предполагаемой стоимости, измеряемый коэффициентом вариации), грубо говоря, вполовину выше для Ss, чем для S4. Поскольку предполагаемая стоимость S5 также выше, чем предполагаемая стоимость 5, мы можем сделать вывод, что S5 является более желательным проектом.
Компромисс между риском и прибылью
Какую стратегию выберет лицо, принимающее решение, зависит от его отношения к риску в связи с отдачей, а также от других соображений, таких, как общее финансовое положение этого лица. На рис. 4.3 рассматриваются предполагаемая прибыль и
относительный риск для 5,, S2, S}, а также стратегий или проектов, проанализированных ранее в табл. 4.3.
Ось абсцисс на рис. 4.3 представляет абсолютный риск (который измеряется средним квадратичным отклонением, о) и относительный риск (который измеряется коэффициентом вариации, С). Ось ординат представляет среднюю прибыль стратегии или проекта в долларах. Пересечения прибыли и риска для трех стратегий - это точки ■ S2 и Sy


3367100(С)
Абсолютный риск (а) и относительный риск (С)
Рис. 4.3. Диаграмма риска—прибылей
Кривые А и В представляют функции риска—прибылей лица, принимающего решение А и решение В соответственно. Эти кривые представляют требуемую прибыль как функцию риска (они называются также кривыми рыночного безразличия). Кривая А отражает неприятие риска, поскольку по мере того, как риск возрастает, требуемая прибыль возрастает увеличивающимися темпами. Кривая В отражает отношение лица, подвергающегося риску. По мере повышения риска требуемая прибыль также увеличивается, но не так быстро.
Желательность предполагаемой прибыли измеряется ее удаленностью от вертикальной оси и расположением относительно кривой компромисса лица, принимающего решение риска-прибыли. Лицо, принимающее решение А, может не рассматривать стратегию S2, потому что она находится ниже его кривой. Он,может выбрать Sv предпочтя ее S}, если даже S} и будет свободна от риска, потому что предполагаемая прибыль 5, выше, чем прибыль, которая ему требуется после должного учета риска. Лицо, принимающее решение В, может рассмотреть все три стратегии, которые можно считать приемлемыми, но оно также должно выбрать 5,, потому что она обещает самую высокую прибыль.
Полезность, страх риска и премия за риск
В обширном море человеческих личностей, без сомнения, есть люди, которые идут на риск, и люди, которые безразличны к нему. Но и здравый смысл, и эмпирические наблюдения говорят о том, что большинство инвесторов и руководителей бизнеса стремятся избегать риска. Почему? Множество теорий пытаются объяснить этот факт поведения человека, но наиболее удовлетворительным объяснением можно считать теорию полезности.
Полезность и принятие решения. Предположим, что две строительные фирмы приглашены принять участие в конкурсе на лучшую проектную спецификацию для крупного строительства. Компания А с активами в сумме 50 млн долл. значительно крупнее, чем компания В, активы которой составляют всего лишь 10 млн долл. Однако стоимость подготовки предложения (1 млн долл.) одинакова для обеих компаний, причем она не будет возмещена фирме, предложение которой не будет принято. Компания, которая выигрывает конкурс, может рассчитывать на прибыль в 25 млн долл. при выполнении строительных работ.
Руководство обеих компаний считает, что они имеют равные шансы на победу в конкурсе. Альтернативы следующие: выиграть или не выиграть. Если выигрывают обе компании, то предполагаемая стоимость для каждой (в млн долл.) составляет:
Е (прибыль) = 0,5(—1) + 0,5(25) = 12.
Несмотря на тот факт, что предполагаемая стоимость участия в конкурсе составляет 12 млн долл., фирма меньшего размера может предпочесть не принимать в нем участия. Почему?
Причина в том, что 12 млн долл. — это лишь теоретическая средняя прибыль, подсчитанная на базе многих экспериментов. Однако в реальной жизни имеет место лишь один эксперимент, в котором компания или выигрывает 25 млн долл., или теряет 1 млн долл. Если такая потеря приводит фирму к банкротству то она не должна рисковать своим выживанием, независимо от того, насколько велики потенциальные выгоды. С другой стороны, если компания способна перенести убытки в сумме 1 млн долл., то она может пойти на риск.
Вывод, который можно сделать, состоит в том, что преобразование долларовой отдачи в какую-то другую структуру вознаграждения может оказаться необходимым до того, как можно будет провести соответствующий анализ. Если долларовая стоимость не отражает адекватно чувств лица, принимающего решение, или его отношения к прибылям или убыткам, то она должна быть преобразована в более понятное измерение.
Полезность как раз и является таким измерением, и она может быть выражена в концептуальных единицах, называемых утилямн. К сожалению, никто не имеет возможности установить стандартный утиль, которым можно было бы производить количественные измерения полезности. Тем не менее это понятие полезно. Менеджеры, принимающие решение интуитивно, используют это понятие, когда они определяют порядок предпочтения альтернатив: т.е. самый высокий уровень полезности ставится первым, следующий уровень идет вторым и т.д. Таким образом, очень практичное
порядковое измерение полезности базируется на количественном измерении, даже если оно фактически и невозможно.
Риск и убывающая предельная полезность. Здесь необходимо пояснить формальную зависимость между риском и полезностью. Для этого прибыли и убытки должны быть измерены с точки зрения предельной полезности, а не с точки зрения абсолютной стоимости в долларах. Предельная полезность определяется как изменение общей полезности, которое происходит тогда, когда еще одна денежная единица прибывает или убывает. В предыдущем примере, если компания не сможет нести убытки в размере 1 млн долл., то она назначит более высокую предельную полезность потерянным долларам, а не долларам, которые могут быть приобретены.
Три способа, посредством которых полезность может быть теоретически связана с доходом, представлены на рис. 4.4 а, Ъ, с.
Утили

Доход ($000)
Рис. 4.4. Полезность дохода
У тили
с
о
с
Доход ($000)
У тили

Доход ($000)

На этих трех вариантах рисунка рассматривается поведение различных типов инвесторов при увеличении дохода от инвестиций равными приращениями. Оси абсцисс представляют доход, измеряемый в долларах; оси ординат - полезность приобретенных долларов, измеренную в утилях. Каждая кривая представляет полезность как функцию дохода; наклон каждой кривой - предельную полезность.
Обычный инвестор (рис. 4.4, а) старается избегать риска. Причина стремления избегать риска выражена убывающей предельной полезностью. Этот рисунок показывает, что при отсутствии инвестиций отсутствуют и прибыли. После получения первойЛООО долл. общая полезность возрастает на 16 утилей по мере того, как инвестор удовлетворяет срочные нужды. Вторая 1000 долл., хотя, без сомнения, и желательна, необходима не так остро, как первая. Следовательно, общая полезность возрастает всего только на
утилей. Таким образом, предельная полезность для второй 1000 долл. составляет 9 утилей, если сравнивать с 16 утилями для первой 1000 долл. Когда получена третья 1000 долл., общая полезность возрастает до 30 утилей, но предельная полезность падает до 5 утилей. Понятно, что предельная полезность убывает по мере увеличения прибыли или дохода. Это основной фактор риска, и он оказывает решающее воздействие на поведение инвестора.
Например, предположим, что инвестор может делать выбор между свободными от риска инвестициями в государственные облигации, которые могут обеспечить доход в 30 000 долл., и инвестициями в акции новой электронной фирмы, которая может обес-
печить доход в 40 ООО долл., если все пойдет хорошо, но только в 10 ООО долл., если ее дела пойдут не так хорошо, как ожидалось. Предположим также, что тщательное исследование убеждает инвестора в следующем: вероятность того, что новая продукция пойдет хорошо, составляет 0,75. Предполагаемая долларовая стоимость обоих проектов следующая:
Е (государственные облигации) = (1,0) ($30 000) = $30 000;
Е (новое предприятие) = 0,75 ($40 000) + 0,25 ($10 000) = $32 500.
Предполагаемые стоимости полезности (в утилях) обоих проектов (см. рис. 4.4 а) равны:
Е (государственные облигации) = (1,0) (30) = 30;
Е (новое предприятие) = (0,75) (34) + (0,25) (16) = 29,5.
Таким образом, мы видим, что предполагаемый денежный доход выше у новой электронной фирмы, но предполагаемая полезность выше у свободных от риска государственных облигаций. Следовательно, инвестор, старающийся избегать риска, предпочтет купить государственные облигации.
Прямые линии на рис. 4.4 b имеют постоянные наклоны, характеризующие человека как безразличного к риску, для которого предельная полезность потерянного доллара равна предельной полезности полученного. Безразличие к риску - это, однако, не то же самое, что безразличие к прибылям. Человек, представленный в части В', назначает более высокую стоимость полезности полученного или потерянного доллара, чем это делает человек, представленный в части В, а человек, представленный в части В, получает более высокую полезность от доллара по сравнению с человеком, представленным в части В".
На рис. 4.4 с предельная полезность становится более высокой по мере увеличения дохода. Это отражает случай с заядлым игроком, который придает более высокую полезность полученным долларам, а не потерянным. Поднимающаяся вверх кривая, таким образом, описывает поведение тех, кто готов принимать на себя риск - чем больше они выигрывают, тем более важной становится победа.
Понятно, что поведение человека может соответствовать одной из кривых, представленных на рис. 4.4 а, Ъ, с, или даже какой-то совершенно иной кривой. Может оказаться несколько заядлых игроков (этот тип представлен на рис. 4.4 с), которые фактически добиваются успеха в деле. Может оказаться также несколько руководителей, которые проявляют безразличие к риску (этот тип представлен на рис. 4.4 Ь), потому что они не сознают его или не понимают его значения. Если такие руководители и существуют, то они, конечно, в меньшинстве. Большинство руководителей, принадлежат к типу, представленному на рис. 4.4 а, т.е. они остро чувствуют риск предпринимательства. Они больше страдают от потери доллара, чем радуются его приобретению. Следовательно, функция полезности большинства руководителей бизнеса демонстрирует убывающую предельную полезность. Действительно, подобное поведение преобладает в такой степени, что допущение убывающей предельной полезности служит одним из двух краеугольных камней экономической теории.
Премии за риск. Неприятие риска со стороны инвесторов и руководителей демонстрируется многими различными способами. Предположим, что облигации класса АА продаются по более высокой цене, чем облигации класса В. Инвесторы осуществляют диверсификацию или посредством создания индивидуальных портфелей, или путем осуществления инвестиций в совместные фонды. Люди вкладывают свои деньги на сберегательные счета с низкими процентными ставками, но страхуемые федеральным правительством, более охотно, чем в облигации, обеспечивающие намного более высокий процент. Кроме того, они покупают всевозможные страховки на случай несчастного случая или смерти.
Почему же тогда, раз инвесторы стремятся избегать риска, они все-таки вкладывают свои деньги в обыкновенные акции, в товары, драгоценные металлы, в коллекции и другие рисковые инвестиции? Ответ заключается в том, что они не сделают этого, если не будут получать премию за риск. Инвестор хочет иметь компенсацию не только за использование своих денег, но также и за риск их потери. Другими словами, инвестор требует более высокой нормы прибыли, если присутствует риск.
Для иллюстрации понятия «премия за риск» предположим, что женщина имеет функцию полезности, аналогичную функции, представленной на рис. 4.5, и что ее просят заключить пари на 1000 долл. на подбрасывание монеты с равными шансами; т.е. вероятность выигрыша составляет 0,5 и вероятность проигрыша тоже равна этому числу.

Рис. 4.5. Полезность пари без премии за риск
Таким образом, если она выиграет, то получит 1000 долл., а если проиграет, то заплатит 1000 долл. Должна ли она заключать пари? Чтобы получить ответ, давайте еще раз обратимся к рис. 4.5, на котором представлены инвестиции без премии за риск.
Если инвестор выигрывает 1000 долл., то он получает 8 утилей полезности; но если он проигрывает, то он жертвует 12 утилями. Поскольку вероятность выигрыша или проигрыша одинакова, предполагаемая стоимость в утилях составляет 0,5(8) + 0,5(—12) = -2. Поскольку предполагаемая стоимость отрицательна, понятно, что инвестор не должен заключать пари.
Теперь давайте предположим, что тот же инвестор получит премию, если он заключит пари. Если женщина проиграет, то она потеряет 1000 долл., но если она выиграет, то она получит 1800 долл. И опять шансы составляют 50 : 50. Должна ли она заключать пари? Давайте обратимся к рис. 4.6.
И опять ответ зависит от функции полезности инвестора. Как показывает кривая, представленная на рис. 4.6, потери в сумме 1000 долл. принесут потери полезности в размере 12 утилей, в то время как выигрыш в 1800 долл. принесет увеличение полезности на 12 утилей. Предполагаемая стоимость пари в таком случае будет равна
5(-12) + 0,5(+12) = 0, что означает, что инвестор может быть безразличным к пари; т.е. что женщина может и согласиться на пари, а возможно, и отказаться от него. Если премия за риск будет увеличена, то она согласится на пари; но если премия за риск будет уменьшена, то она наверняка откажется.

Рис. 4.6. Полезность пари с премией за риск
Теперь давайте предположим, что тому же самому инвестору предлагается еще одно пари на 500 долл., опять с подбрасыванием монеты. Потребует ли она вновь премию в 800 долл. на пари в сумме 500 долл.? На этот раз обратимся к рис. 4.7, из которого следует, что потеря 500 долл. для этого инвестора означает потерю 5 утилей. Для того чтобы выиграть 5 утилей, инвестору требуется премия за риск в сумме 100 долл. Но эти 100 долл. — лишь 1/8 премии за риск в 800 долл., требуемой за пари на сумму в 1000 долл. Можно сказать, что если сумма пари удваивается, то требуемая премия за риск возрастает в 8 раз. Как это возможно?

Рис. 4.7. Премия за риск для меньшего пари
Ответ, конечно, заключается в форме функции полезности, или кривой инвестора. Риск измеряется дисперсией возможных результатов. Поскольку дисперсия в +1000 долл. вдвое выше, чем дисперсия в +500 долл., вполне возможно, что риск должен быть вдвое большим. Но на рис. 4.6 и 4.7 мы видим, что если премия за риск добавляется к выигравшей стороне пари, то дисперсия возможных результатов меняется, следовательно, риск тоже меняется.
Два широко известных ученых - Милтон Фридмен и Леонард Дж. Сэйвидж - были обеспокоены традиционным подходом, основанным на предельной полезности, о котором мы говорили, потому что он не объясняет, почему человек может одновременно демонстрировать поведение принятия на себя риска и стремление избежать риска. Например, человек, который играет (первый тип поведения), с большей вероятностью поедет в казино на застрахованном автомобиле и будет жить в застрахованном доме (второй тип поведения). Фридмен и Сэйвидж пытались объяснить такое поведение гипотезами функции полезности, которая вначале растет, а затем стабилизируется и падает (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Функция полезности Фридмена-Сэйвиджа
Отношение инвестора к риску зависит прежде всего от формы кривой полезности, которая, в свою очередь, зависит от личности инвестора, а затем — от текущего положения каждой кривой, которое определяется текущим доходом. Если текущий доход низок, то предельная полезность дохода (измеряемая наклоном кривой) высока, и человек готов согласиться на риск при более низкой премии, чем в том случае, когда доход высок. Или, как утверждает гипотеза Фридмена-Сэйвиджа, на низких уровнях дохода человек может даже искать риск.
Деловой риск и финансовый риск. Для фирмы премия за риск имеет два компонента: деловой риск и финансовый риск. Деловой риск связан с решениями фирмы по поводу инвестиций. Он определяется как относительная дисперсия от чистого операционного дохода фирмы и может измеряться коэффициентом вариации.
Деловой риск в некоторой степени всегда присутствует, потому что ни один бизнес не гарантирует успеха. Степень риска зависит от характера предпринимательской деятельности и от демонстрируемых навыков управления. Некоторые виды предпринимательской деятельности по своей природе более рисковые, чем другие. В пределах одного вида этой деятельности инвестор обычно сталкивается с более высоким деловым риском во вновь созданной фирме, а не в фирме, давно успешно функционирующей. С другой стороны, «старая» фирма, продукция или методы предпринимательства которой устарели, может иметь достаточно высокую степень делового риска.
Финансовый риск отличается от делового риска. Если деловой риск определяется решениями фирмы по поводу инвестиций, то финансовый риск определяется финансовыми решениями фирмы. Финансовый риск характеризуется двумя аспектами: 1) риском возможной неплатежеспособности и 2) изменчивостью доходов, доступных обычному акционеру.
Если фирма включает долгосрочную задолженность в структуру своего капитала, то финансовый риск должен быть добавлен к деловому риску с целью определения общего риска, перед лицом которого стоит фирма. Это происходит потому, что доходы должны идти прежде всего на оплату обслуживания задолженности (выплаты в основной капитал и погашение процентов). Чем выше задолженность, тем выше вероятность того, что наличных доходов может оказаться недостаточно для ее обслуживания. Если фирма не способна осуществить требуемые платежи, то она будет вынуждена признать себя банкротом. В меньшей степени риск вызывается также продажей льготных акций, потому что дивиденды на льготные акции должны выплачиваться после обслуживания задолженности, но до того, как инвесторы в акционерный капитал могут получить какую-либо прибыль на свои инвестиции.
В любом случае, чем больше фирмы должны выплачивать из своих доходов на обслуживание задолженности, тем меньше средств остается для распределения между акционерами. Если распределение вероятности может быть определено для доходов акционеров, то финансовый риск также может быть измерен коэффициентом вариации.
Корректировка риска
При оценке отдачи для конкретной стратегии лицо, принимающее решение, должно учитывать и текущую стоимость будущих прибылей, и степень риска. Оба эти аспекта объединены в следующей модели оценки:
" R
<8)г= 1 (1 + г)
где NPVI - чистая текущая стоимость денежного потока наличности, связанного с инвестициями;
Л, - предполагаемая прибыль (поток наличности за период t для t = 1, 2, ..., п после выплаты всех расходов за период);
г — требуемая норма прибыли, учитывающая уровень делового и финансового риска;
п — количество учитываемых периодов;
/0 - сумма начальных инвестиций, представляющая собой отток наличности (отрицательное число) при t = 0.
Несколько способов учета риска в модели оценки обсуждаются в финансовых публикациях. Двумя наиболее часто применяемыми методами являются следующие: метод учетной ставки, скорректированной с учетом риска, и метод эквивалента определенности.
Учетная ставка, скорректированная с учетом риска. Мы можем определить учетную ставку, скорректированную с учетом риска, как необходимую норму прибыли от предполагаемых инвестиций после должного учета имеющегося риска. Как уже говорилось ранее, каждая фирма имеет представление о необходимой норме прибыли, отражающей ее восприятие нормального риска (нормальный деловой риск плюс финансовыйриск). Если уровень риска предложенного проекта или инвестиций кажется не превышающим нормальный риск фирмы, то величина г в уравнении (8) будет представлять собой нормальную требуемую норму прибыли. Но если допускаемый или предполагаемый предложением риск выше нормального уровня риска фирмы, то более высокое значение г будет использовано в уравнении (8) для компенсации его более высокого уровня.
Например, предположим, что нормальный деловой и финансовый риск фирмы требует 20%-ной нормы прибыли. Фирма рассматривает стратегию инвестиций, которая первоначально стоит 100 ООО долл. и обещает обеспечивать 50 ООО долл. притока наличных средств в год в течение следующих трех лет.
При ставке дисконтирования в 20% чистая текущая стоимость инвестиций и прибыли на них определяются следующим образом:
NPV,*™™ ++- $100 000 = $5324.
(1,20) (1,20)2 (1,20)3Чистая текущая стоимость является положительной, следовательно, проект приемлем. Он обещает обеспечивать чистую текущую стоимость в 20% прибыли на инвестиции плюс 5324 долл. Но предположим, что существующий уровень риска, по мнению управляющих, должен обеспечивать 25% прибыли. Тогда чистая текущая стоимость должна быть выражена следующим образом:
m $50 000 + $50 000 + $50 000 _000=_$2400.
0Д5) (1,25)2 (1.25)1
Теперь чистая текущая стоимость отрицательна. Предложение не будет обеспечивать учетную ставку в 25% прибыли из-за дефицита в 2400 долл., и оно должно быть отвергнуто.
Таким образом, мы видим, что при методе учетной ставки, скорректированной с учетом риска, который применяется для оценки предполагаемых инвестиций, риск в полной мере отражается ставкой дисконтирования и процессом дисконтирования. Однако имеют место по крайней мере три ограничения для такого подхода.
Как мы определяем соответствующую учетную ставку? Понятно, что внедрение новой продукции - более рискованное мероприятие, чем покупка государственных облигаций, но в какой степени? Очень трудно решить этот вопрос последовательно и объективно, особенно если не имеется исторического опыта и ретроспективной информации, на основе которых можно делать оценку.
Этот метод не учитывает распределение вероятности будущего потока наличности - информацию, которая могла бы иметь большую ценность.
Учетная ставка, скорректированная с учетом риска, не предлагает какого-либо последовательного метода оценки риска, оценки, которая может быть полностью субъективной. Такое ограничение может быть преодолено с помощью метода эквивалента определенности.
Метод эквивалента определенности. Метод учетной ставки, скорректированной с учетом риска, учитывает риск просто путем модифицирования учетной ставки, г, в знаменателе модели оценки. И напротив, метод эквивалента определенности учитывает риск в числителе модели оценки и применяет учетную ставку, свободную от риска,
(такую, как норма прибыли на государственные облигации), в знаменателе с целью учета стоимости денег в зависимости от временного периода. Степень риска отражена в числителе посредством умножения Предполагаемой прибыли в связи с риском, Rp на коэффициент эквивалента определенности, а, с целью получения свободной от риска эквивалентной величины, R* т.е.
atR=R,,(9)
отсюда
К
а,= ~г-(10)
к,Уравнение (10) говорит о том, что
_ Предполагаемая эквивалентом прибыль без учета риска в t-й период 'Предполагаемая прибыль с учетом риска в t-й период
Это меняет модель оценки на
V «Л v К
NPVr=\—!_!_-/= У(П)
' ,~,(l + /)' ° ,где ЖРК7 — чистая текущая стоимость денежного потока, связанного с инвестициями;
аг — коэффициент эквивалента определенности для ?-го периода;
Rr — предполагаемый поток наличных средств в период t, подверженный риску;
R* — свободная от риска эквивалентная величина наличных средств в период t,
/ - свободная от риска норма прибыли или процентная ставка;
п — количество рассмотренных периодов;
— сумма начальных инвестиций, представляющая собой отток наличных денежных средств (отрицательное число) при t = 0,
Коэффициент эквивалента определенности, а, — это число между 0 и 1, которое отражает функцию риска лица, принимающего решение. Он изменяется обратно пропорционально степени риска, т.е. чем выше риск, тем меньше должен быть коэффициент. Величина, равная 0, означает, что лицо, принимающее решение, считает проект слишком рискованным для того, чтобы от него можно было ожидать реальной прибыли. Величина, равная 1, означает, что лицо, принимающее решение, считает проект свободным от риска. Таким образом, а и связанное с ним R* служат базой для оценки риска лица, принимающего решение.
Предположим, что мы имеем фирму, рассматривающую возможность осуществить инвестиции в сумме 100 000 долл., которые способны обеспечивать приток наличных средств (в ситуации риска) в сумме 50 000 долл. в год на протяжении трех лет. Предположим также, что восприятие риска руководством фирмы таково, что оно считает получение свободных от риска 45 000 долл. в первый год, 40 000 долл. во второй год и 35 000 долл. в третий год эквивалентным получению подверженной риску прибыли в сумме 50 000 долл. каждый год. Тогда коэффициент эквивалента определенности должен иметь следующий вид:
$45 000 п оп
а.== 0,90 или
$50 000
$40 000 . оп
а,== 0,80 или
$50 000
$35 000 „
а,== 0,70 или
$50 000
Теперь предположим, что процентная ставка по казначейским векселям составляет 12%. Если мы согласны с тем, что норма прибыли свободна от риска, то чистая текущая стоимость инвестиций будет выражена следующим образом:
9($50 ООО) 0,8($50 ООО) 0,7($50 ООО) _
NPV=-L±++ L - $Ю0 ООО = -$3021.
l>12 (1,12)2 (1,12)3Предложение должно быть отвергнуто, потому что отрицательная NPV говорит о том, что прибыль от инвестиций будет несовместима с представлением руководства фирмы о возможном риске.
Метод эквивалента определенности в сравнении с методом учетной ставки, скорректированной с учетом риска. При обоих методах руководство фирмы определяет степень риска в предполагаемых инвестициях, а затем включает риск в модель оценки. Метод учетной ставки, скорректированной с учетом риска, учитывает риск путем добавления премии за риск к свободной от риска ставке, /, с целью получения нормы прибыли (с учетом риска), г, которая затем используется для дисконтирования периодического движения наличных средств. Метод эквивалента определенности учитывает риск в оценке коэффициента эквивалента определенности, а, и использует свободную от риска учетную ставку для вычисления стоимости денег с учетом времени. Если оба подхода предполагают одинаковое движение наличных средств (с учетом риска), Rt, в каждый период и, кроме того, предполагают постоянную учетную ставку (которая является необходимой нормой прибыли, г, для метода учетной ставки, скорректированной с учетом риска, и свободной от риска нормы прибыли, /, для метода эквивалента определенности), то оба метода должны обеспечивать одинаковую техническую стоимость движения наличных средств, Rt, для любого конкретного периода, т.е.
aR R
(12)
(l + /)' (l + г)'Разделив обе стороны на Л, и умножив на (1 + /)', мы получим
(1 + /)'
(13)
и, = ——(1-ГИллюстративная задача
Предположим, что требуемая норма прибыли фирмы равна 20% из-за делового и финансового риска, в то время как норма прибыли по казначейским векселям составляет 8%. Фирма рассматривает возможность инвестиций в сумме 500 000 долл. в предприятие, которое обещает прибыли в сумме 150 000 долп. в год в течение следующих пяти пет.
Вопросы
а.Вычислите чистую, текущую стоимость предполагаемого предприятия с применением метода учетной ставки, скорректированной с учетом риска.
б.Вычислите эквивалентные стоимости 0£(, способные обеспечить такой же результат при расчетах по методу эквивалента определенности.
в. Докажите, что ос(, вычисленная в п. «б» методом эквивалента определенности, обеспечивает те же самые результаты, что и метод учетной ставки, скорректированной с учетом риска.
Решения
а.В соответствии с методом учетной ставки, скорректированной с учетом риска,
(1 — 1,20)~ 0,20
NPV= $150 ООО
$500 ООО =-$51 408,18.
б.В соответствии с методом эквивалента определенности коэффициент эквивалента определенности должен быть следующим:
год 1; a = 1^- = 0,900;
: 0,810;
год 2: а =
= 0,729;
год 3: а =
год 4: а =
0,59049.
год 5: а =
1,20 1,08)2
1120)3 1,08)4
1,20)2
1,08)3
1,20)4
1,08)5
1,20)5

в.Используя эти коэффициенты а, мы получим
Npy_ 0,90($150 000) + 0,81 ($150 000) + 0,729($150 000)
0,О8)2
1,08
(1,08)3
6561 ($150 000) 0,59049($150 000) „„
+ IIL + -1IIL - $500 000 =-$51 408,18.
4Понятно, что пока оба метода остаются равнозначными, коэффициент а( становится меньше по мере увеличения t. Так, постоянная учетная ставка, г, подразумевает снижение коэффициента и увеличение риска по мере того, как мы углубляемся в будущее. Может быть также показано, что коэффициент а( уменьшается, а риск повышается с течением времени постоянными темпами. Кроме того, из уравнения (13) следует вывод, что чем больше разница между учетной ставкой, г, скорректированной с учетом риска, и свободной от риска ставкой, /, тем сильнее должно быть воздействие на снижение а и на повышение риска по прошествии времени.
Если воспринимаемый риск в каждый период движения наличных средств таков, что метод эквивалента определенности и метод учетной ставки, скорректированной с учетом риска, обеспечивают один и тот же дисконтированный приток денежной наличности, то нет смысла применять метод эквивалента определенности, поскольку метод учетной ставки, скорректированной с учетом риска, может обеспечить такой же ответ с меньшими вычислениями. Если, однако, имеются какие-либо периоды, в течение которых воспринимаемый риск выше или ниже уровня риска, представленного учетной ставкой, скорректированной с учетом риска, то метод эквивалента определенности может обеспечить более эффективную оценку чистой текущей стоимости предполагаемых инвестиций.
Например, прибыль от инвестиций на внедрение новой продукции может быть более неопределенной (рисковой) в начальные годы, пока фирма борется за признание продукции и за долю рынка, чем позже, когда рынок для продукции уже установлен. Метод эквивалента определенности может легко уловить эту ситуацию во время процедуры определения а, для каждого отдельного периода. Можно сказать, что метод эквивалента определенности дает возможность определить степень риска непосредственно для каждого будущего периода, а затем рассчитать стоимость потока наличности за этот период, используя свободную от риска процентную ставку. По этой причине метод эквивалента определенности считается предпочтительным.
Иллюсграгинный случай: «East-West Trading Company»
«East-West Trading Company» имеет возможность организовать производство в Гонконге, пуск которого запланирован на начало 1991 г. Начальные инвестиции должны составить 1,5 млн долл., из которых ожидаемая прибыль должна составить не менее 500 ООО долл. в год на протяжении, по крайней мере, 11 пет. Стоимость капитала компании составляет 15%, что на 7% выше текущей процентной ставки по казначейским векселям. Деловой и финансовый риск дпя нового предприятия сопоставим с настоящим положением фирмы. Однако оценивая предполагаемый риск, аналитик фирмы отмечает, что Гонконг, который сейчас представляет собой колонию Британской короны, в 1997 г. перейдет к Китайской Народной Республике. Хотя Китай и обещает не вносить изменений в систему свободного экономического предпринимательства Гонконга в течение 50 лет, фактическое выполнение этого обещания вызывает большие сомнения, особенно после событий на площади Тьянанмень 4 июня 1989 г.
Обсуждая проект с аналитиком, президент компании заметил, что вполне возможно следующее: Китай потребует долю в прибылях предприятия после 1997 г.
«Предположим, — сказал он, — что Китай будет предъявлять права на все больший объем нашей прибыли, например 50% в 1997 г. и на 10% больше в каждый последующий год, пока не возьмет в свои руки весь бизнес. Как это скажется на наших инвестициях?».
«Из ожидаемой суммы прибыли в 500 000 долп. в год нам останется 250 000 долп. в 1997 г., 200 000 долл. в 1998 г., 150 000 долл. в 1999 г., 100 000 допл. в 2000 г., 50 000 долл. в 2001 г. и ничего после этого, — ответил аналитик. — Если бы вы смогли получить эти деньги, то это бы вас удовлетворило?».
«Вряд ли, — ответил президент, — но после того, как мы возместим свои инвестиции, все, что мы будем получать, будет нашей прибылью. Мне хотелось бы, чтобы вы опредепипи: 1) когда наши инвестиции будут возмещены полностью; 2) чистую текущую стоимость этого предприятия с 1991 г. по 2001 г., если Китай не будет вмешиваться, и 3) чистую текущую стоимость этого предприятия до 2001 г., если Китай захочет постепенно забрать весь бизнес, о чем мы уже говорили сегодня».
К концу дня аналитик прислал президенту следующие расчеты.
«В отрет на ваш первый вопрос: если допустить, что мы достигнем минимального лритрка наличных средств в 500 ООО долл. в год, то наши инвестиции будут полностью возмещены не позднее чем через 4,3 года. Привожу свои расчеты: пусть п — количество лет, тогда уравнение текущей стоимости (в млн долл.), равной начальным инвестициям в 1,5 млн допл., будет следующим:
1
1-0.15)'
0,15
0.15)"
1,5 = 0,5
= 0,5
0,15

0,|5(,,5)=0.5—^5_=ММ5)"~0.5.
”(1.15)”
225(1,15)" = 0,5(1,15)"-0,5;
275(1,15)" = 0,5;
" = 1,8181818...; n(log 1,15) = log 1,8181818; (0,06069784)n = 0,259637306; n = 4,2775 » 4,3 года.
В ответ на ваш второй вопрос привожу следующие расчеты:
1-0,15Г
NPV = $500 000
0,15
$1 500 000 = $1 116 856.

Дпя того чтобы ответить на ваш третий вопрос, я сделал допущение, что Китай будет сокращать нашу ожидаемую прибыль в 500 000 долл. в год, доводя ее до сумм, которые мы обсуждали в вашем офисе сегодня, т.е. 250 000 долл. в 1997 г., 200 000 долл. в 1998 г., 150 000 долл. в 1999 г., 100 000 долл. в 2000 г. и 50 000 долл. в 2001 г. Если я буду рассматривать эти суммы как свободные от риска эквиваленты подверженных риску 500 000 долл. и дисконтирую на свободную от риска процентную ставку по государственным облигациям, то чистая текущая стоимость будет составлять
1-0.15)“
NPV = $500 000
0,15
250 ООО 200 000 150 000 (1,08)7 (1,08)8 (1,08)9

+ 100 000 + 50 000 500 ООО = $788 969.
10 (1,08)11Пожалуй, зто отличная возможность, независимо от того, что решит делать Китай в 1997 г.».
Анализ последовательности решения с использованием дерева решения
Дерево решения — это графический метод, который показывает последовательность стратегических решений и предполагаемые последовательности при каждом возможном блоке обстоятельств. Построение и анализ дерева решения подходят в любом случае, если последовательный ряд обусловленных решений принимается в условиях риска. Под обусловленным решением мы имеем в виду решение, которое зависит от обстоятельств или опционов, появляющихся позднее.
Построение дерева решения начинается с первого или более раннего решения и продвигается вперед по времени через ряд последовательных событий и решений. При каждом решении или событии у этого дерева появляются ответвления, которые показывают каждое возможное направление действия до тех пор, пока наконец все логические последовательности и вытекающие из них отдачи не будут вычерчены. На рис. 4.9 представлено дерево решения (пример). Фирма должна принять решение, израсходовать ли ей 350 ООО долл. на сбыт новой продукции или инвестировать деньги куда-то еще с 10%-ной прибылью. Если брать последовательность событий слева направо, то первое решение (обозначенное квадратом) состоит в том, заниматься сбытом продукции или нет. Если фирма не будет заниматься сбытом продукции, то отдача составит 35 ООО долл. от альтернативных инвестиций.
Цена
фирмы
ЦенаОтдача
конкурента (в тыс. долл.)

Рис. 4.9. Дерево решения, представляющее последовательности сбыта новой продукции
Если фирма сбывает продукцию, то следующим событием (неконтролируемая ситуация, обозначенная большим кружком) может быть вступление конкурента на рынок. Веррятность конкуренции (0,8) и вероятность отсутствия конкуренции (0,2) указываются в скобках рядом с соответствующими ответвлениями.
Важно отметить, что при построении дерева решения ответвления из квадратов представляют стратегии, а ответвления из крупных кружков — внешние условия. Поскольку лицо, принимающее решение, осуществляет полный контроль над тем, какуюстратегию выбрать, ответвления из квадратов не имеют вероятностей. Но это лицо не осуществляет контроля над внешними условиями. Следовательно, ответвления из больших кружков имеют вероятности и сумма вероятностей для всех ответвлений, вытекающих из любого кружка, должна равняться 1,0. В этом примере вероятности конкуренции (0,8) и отсутствия конкуренции (0,2) составляют в общей сложности 1,0, поскольку то или другое должно произойти.
Если конкуренция отсутствует, то единственное оставшееся решение должно состоять в следующем: какую назначить цену (высокую, среднюю или низкую). Три ответвления вычерчены и названы «Высокая», «Средняя» и «Низкая», отдача для каждого из них обозначена в конце каждого ответвления. Если конкуренция имеет место, то используются те же самые ответвления! Однако каждое ответвление вновь подразделяется, что отражает намерения конкурента назначить высокую, среднюю или низкую цену. Намерения конкурента — это внешние условия, поэтому они исходят из кружков. Каждое из этих последних ответвлений помечено двумя черточками, обозначающими вероятности, а отдача обозначается в конце каждого из них. И опять вероятности составляют в общей сложности 1,0 для каждого кружка, поскольку конкурент наверняка будет взимать или высокую, или среднюю, или низкую цену.
Рис. 4.10. Анализ дерева решения, представляющего последовательности сбыта
новой продукции
Цена
фирмы
Цена
конкурента
Отдача (в тыс. долл.)
Начиная с верхней правой части рисунка, аналитик фирмы вычисляет предполагаемую стоимость, если цена фирмы высокая й если имеет место конкуренция. Предполагаемая стоимость составит (150 х 0,4) + (—50 х 0,5) + (-250 х 0,1) = 10. Эта предпо-
Дерево решения, таким образом, представляет графическую форму ожидания того, что цена, которую назначает конкурент, будет зависеть от цены, которую устанавливает фирма. В то же самое время последующая прибыль фирмы зависит от того, какую цену назначит конкурент. Поскольку каждое решение зависит от оценки событий, которые будут происходить позднее, анализ дерева решения начинается в конце последовательности и продвигается назад. На рис. 4.10 анализируется наш пример.
лагаемая стоимость обозначается в кружке событий или выше него. Предполагаемая стоимость средней и низкой цены вычисляется и обозначается аналогичным образом. Поскольку средняя цена дает самую высокую предполагаемую стоимость, эта стоимость обозначается в блоке решения, а другие два ответвления обозначаются двумя черточками, чтобы показать, что они не являются оптимальными.
При альтернативном состоянии отсутствия конкуренции единственный вопрос заключается в том, какую цену назначить: высокую, среднюю или низкую. Отдача свидетельствует о том, что высокая цена является оптимальной. Два других ответвления обозначаются двумя чертрчками.
В точке первого события (внедрение конкурентной продукции) предполагаемая стоимость составляет (50 х 0,8) + (650 х 0,2) = 170. Фирма теперь готова принять решение. Если она не будет осуществлять сбыт, то получит 35 000 долл., а если будет, то ожидаемая прибыль составит 170 000 долл. Теперь понятно, что фирма вступит в рынок.
Схема, представленная на этом рисунке, дает также четкое указание на наиболее прибыльную стратегию ценообразования. Продукция должна первоначально реализовываться по высокой цене. Если возникает конкуренция, а вероятность ее возникновения составляет 80%, то цена должна снижаться до средней величины с целью максимизации ожидаемой прибыли.
Планирование риска и стоимость риска
Деятельность руководства фирмы, принимающего решения и осуществляющего планирование, в сущности, направлена на перспективу. Планы составляются в текущий момент в предвидении будущего. Поскольку для риска характерно, что вероятности результатов могут быть оценены статистически, предполагаемые прибыли или убытки могут быть включены заранее в структуру издержек фирмы. Дело обстоит именно так, независимо от того, каков характер риска — внутрифирменный или межфирменный.
Внутрифирменный риск касается возможных убытков, которые фирмы предпочитают включить заранее в структуру издержек вместо того, чтобы покупать страховку от таких убытков из источников за пределами компании. Если количество случайностей в пределах фирмы достаточно велико для того, чтобы их можно было предсказывать с известной поправкой на ошибку, то руководство фирмы может установить вероятность убытков и добавить их к другим известным издержкам.
Например, предположим, что опыт предприятия подсказывает, что 2 детали из каждых 100 могут выйти из строя во время монтажа. Вместо того чтобы искать страховку от пйломки, предприятие может добавить стоимость поломанных деталей к фактической стоимости этих деталей. Другими словами, если средние предполагаемые убытки компании можно предсказать на текущий период, то их можно застраховать в самой фирме, рассматривая их в качестве стоимости ведения дела. Никакого страхования из сторонних источников для покрытия убытков не требуется.
Определение вероятности таких убытков может стать Частью планирования фирмы при условии выделения резервов на случай ущерба или непредвиденных обстоятельств. Поэтому компании, берущие небольшие займы, ожидают невыполнения обязательств; банки регулярно списывают безнадежные займы, и обычной практикой в бухгалтерском учете является неоплата счетов для любого бизнеса, который имеет дебиторскую задолженность в своих бухгалтерских книгах.
Межфирменный риск возникает в том случае, если количество наблюдений или случаев недостаточно велико в пределах одной фирмы для того, чтобы ее руководство могло считать, что оно может прогнозировать убытки с обоснованной достоверностью. Когда рассматривается много фирм, количество наблюдений становится достаточнобольшим для того, чтобы можно было продемонстрировать необходимую стабильность для предсказания. Примерами таких рисков являются пожары, наводнения, штормы и другие стихийные бедствия. Поскольку руководители фирм не способны прогнозировать такой ущерб для своих фирм, они перекладывают это бремя на страховые компании.
Страховые компании устанавливают вероятность таких убытков на базе большого количества случаев. Вероятность убытков не может быть установлена для конкретной фирмы, но вероятность убытков, охватывающих много фирм, может быть предсказана с минимальной ошибкой. Страховая компания прогнозирует совокупный риск всех фирм, которые она страхует, и распространяет стоимость совокупных предполагаемых убытков, взимая с каждой фирмы взнос, называемый премией. Страховая премия затем становится частью структуры издержек застрахованной фирмы.
Страховая компания должна решить, какую премию взимать на основании предполагаемых убытков плюс административные расходы и прибыль. Руководитель, старающийся избегать риска, должен решить, покупать или не покупать страховку, основываясь на предполагаемой стоимости операций фирмы и ее функции полезности.
Иллюетраижнаи задача
Предположим, что фирма имеет функцию полезности TU = X — 0,0002Х2, где X- тыс. допп. (рис. 4.11). Предположим далее, что эта фирма занимается производственными операциями, которые требуют использования воспламеняющихся растворителей для выполнения сварочных операций в том же здании. Предположим также, что страховая компания определила, что это именно тот тип операции высокого риска, при котором пожар может привести к полному разрушению здания, а вероятность возникновения пожара в рамках отрасли составляет 20%. Если здание фирмы сгорит, то на его восстановление потребуется 400 ООО допп. Фирма обоснованно ожидает получить доход от основной деятельности в сумме 500 000 допп. в год. Страховая компания требует премию, на 25% превышающую убытки, с цепью покрытия административных расходов и прибыли.

Доход
Рис. 4.11. Функция полезности фирм, стремящихся избегать риска
Вопросы
а.Сколько фирма готова платить эа страховой полис на случай пожара при условии, что в этом случае здание будет восстановлено?
б.Какова должна быть премия по страховому полису на случай пожара, необходимая дпя покрытия возможного ущерба в 400 ООО долл.?
в.Стоит ли фирме покупать страховку?
Решения
а.Еспи предполагаемый доход от основной деятельности фирмы равен 500 ООО долл., то полезность TU = 500 — 0,0002(500)2 = 450. Если фирма не имеет страховки и еспи случится пожар, то ее доход от основной деятельности снизится до $500 000 - $400 000 = $100 00. При доходе в 100 000 долл. полезность составит TU= 100 -0,0002(100)2 = 98.
Хотя страховая компания определила вероятность пожара в размере 0,2 дпя отрасли, фирма не имеет представления о том, какова должна быть вероятность пожара для фирмы. Следовательно, фирма может допускать равную вероятность возникновения пожара и его отсутствия. Таким образом, прежний доход от основной деятельности в следующем году (в тыс. допп.) составит
Е(Х) = 0,5($100) + 0,5($500) = $ 300, а предполагаемая полезность составит
E(U) = 0,5(98) + 0,5 (450) = 274.
Таким образом, предполагаемая полезность для этой неопределенной перспективы в 300 000 долл. дохода от основной деятельности составляет 274. Но определенные перспективы в 291 000 долл. также должны обеспечивать полезность в 274 (в соответствии с функциями полезности фирмы, TU = 291 — 0,0002(291 )2 = 274). Следовательно, руководитель, старающийся избегать риска и стремящийся максимизировать прибыли, должен быть готов выплатить премию в размере
$500 000$291 000 = $209 000 эа страхование от пожара. Почему? Потому что
она гарантирует 291 000 долп. дохода от основной деятельности независимо от того, сгорит здание или нет.
б.Страховая премия определяется вероятностью убытков, которая составляет
2.дляотрасли. Следовательно, $400 000 х 0,20 = $80 000.
К этому добавляются 25% на накладные расходы и прибыли, и общая премия составляет $80 000 х 1,25 = $100 00.
в.Покупка страхового полиса эа премию в 100 000 долл. гарантирует доход от основной деятельности в размере 400 000 долп., независимо от того, сгорит здание или нет. Эта сумма имеет полезность в 368. Понятно, что полезность в 368 более предпочтительна, чем полезность в 274.
При другом подходе руководство фирмы могло бы испрпьэовать матрицу решения для рассмотрения четырех возможных отдач.
Убытки от пожара полностью покрываются страховкой, премия = $100 000.
Доход от основной деятельности = $500 000 - $100 000 = $400 000.
TU = 400 - 0,0002(400)2 = 368.
Убытки от пожара, страховки не имеется, убытки = $400 000.
Доход от основной деятельности = $500 000 - $400 000 = $100 000.
Ш= 100 - 0,0002(100)2 = 98.
Пожара не произошло, страховка имеется, премия = $100 000.
Доход от основной деятельности = $500 000 - $100 000 = $400 000.
TU - 400 - 0,0002(400)2 = 368.
4. Пожара и, следовательно, убытков не было, страховки нет. Доход от основной деятельности = $500 ООО.
TU = 500 - 0,0002(500)2 = 450,
Полезность может быть проанализирована в матрице решения.
Пожар (р = 0,5) Пожара нет (Р = 0,5) Ожидаемая
полезность
Страховать 368 368 366
Не страховать 98 450 274
Матрица решения подтверждает, что фективно, если купит страховку. фирма будет функционировать бопее эф-
Выработка решения в условиях неопределенностиНеопределенность можно представить как некоторое состояние знаний, при котором одна или несколько альтернатив приводят к блоку возможных результатов, вероятности которых неизвестны. Обычно это происходит потому, что не имеется надежных данных, на основании которых вероятности могли бы быть вычислены апостериори, а также потому, что не имеется каких-либо способов вывести вероятности априори. Это означает, что принятие решений в условиях неопределенности всегда субъективно.
Степень неопределенности
Поскольку предположения являются субъективными, постольку должны различаться степени неопределенности со стороны лица, принимающего решение. Например, два человека могут рассматривать одно и то же событие, но каждый будет делать собственные предположения с большей или меньшей вероятностью, чем другой. Процедура принятия решения может зависеть от степени неопределенности, понимаемой лицом, принимающим решение.
Практикуются два основных подхода к принятию решения в условиях неопределенности.
Лицо, принимающее решение, может использовать имеющуюся у него информацию и свои собственные личные суждения, а также опыт для идентификации и определения субъективных вероятностей возможных внешних условий, а также оценки вытекающих в результате отдач для каждой имеющейся стратегии в каждом внешнем условии. Это, в сущности, делает условия неопределенности аналогичными условиям риска, а процедура принятия решения, обсуждавшаяся ранее для условий риска, выполняется и в этом случае.
Если степень неопределенности слишком высока, то лицо, принимающее решение, предпочитает не делать допущений относительно вероятностей различных внешних условий, т.е. это лицо может или не учитывать вероятности, или рассматривать их как равные, что практически одно и то же. Если применяется данный подход, то для оценки предполагаемых стратегий имеются четыре критерия решения:
а)критерия решения Вальда, называемый также макси-мином;
б)альфа-критерий решения Гурвицсг,
в)критерий решений Сэйвиджа, называемый также критерием отказа от мини- макса;
г)критерий решений Лапласа, называемый также критерием решения Бэйеса.
Пожалуй, наиболее трудная задача для лица, принимающего решение, заключается
в выборе конкретного критерия, наиболее подходящего для решения предложенной задачи. Выбор критерия должен быть логичным при данных обстоятельствах. Кроме того, при выборе критерия должны учитываться философия, темперамент и взгляды нынешнего руководства фирмы (оптимистические или пессимистические; консервативные или прогрессивные).
Критерий решения Вальда
Критерий решения Вальда, или макси-мин, — это критерий консерватизма и попытка максимизировать уровень надежности. Он представляет внешние условия как капризные и недоброжелательные и делает предположение, что закон Марфи полностью подтверждается. Следовательно, по этому критерию необходимо определить наихудший из возможных результатов каждой стратегии, а затем выбрать стратегию, обещающую наилучший из наихудших результатов.
Рассмотрим критерий макси-мина, применив его для матрицы решения, представленной в табл. 4.6, для которой мы должны допустить, что вероятности различных состояний экономики неизвестны. В табл. 4.6 наименьшая отдача из каждой строки выбрана в качестве минимального уровня надежности, связанной со стратегией. Самая большая из них, стоимость в +4, предполагает, что St является самой подходящей стратегией при данном критерии.
Таблица 4.6
Применение критерия макси-мина и макси-макса
Состояние экономикиКритерий
Стратегия NtN2N3Nt . макси-мин макси-макс
6 6 6 4 4‘ 6
25 7 7 -15 -15 25"
20 20 7 -1 -1 20
19 16 9 -2 -2 19
20 15 15 -3 -3 20
* Наиболее подходящая стратегия при указанном критерии.
Хорош ли такой выбор? Все зависит от того, что вы подразумеваете под этим. Заметим, что если возникает состояние экономики JV4, то Si является единственной стратегией, которая поможет избежать риска. С другой стороны, как только возникает любое другое состояние экономики, стратегия ^ повторно приводит к самой низкой прибыли. Соответствует ли такая ситуация реальности? Может быть, соответствует, а может быть, и нет. Стратегия ^ просто наиболее консервативная — она подразумевает самые низкие риски, но в то же время обещает самые низкие прибыли. Фирма сама должна решить, как следует взвешивать минимальный уровень прибыли в процессе принятия решения и насколько можно повысить риск, если дела пойдут хуже. Поскольку критерий консервативен, он особенно хорошо подходит для мелких коммерческих фирм, выживание которых зависит от способности избежать убытков.
В табл. 4.6 добавлен антитезис макси-мина, названный критерием макси-макса. По этому критерию лицо, принимающее решение, полностью оптимистично, и поэтому оно выбирает максимальную отдачу для каждой стратегии в качестве ориентира. Стратегия, которая предлагает самое лучшее из лучшего, затем выбирается в качестве оптимальной. Это, конечно, абсурд. Мы включили этот критерий потому, что макси- макс и макси-мин представляют экстремы альфы в альфа-критерии решения ГУрвица, который будет рассматриваться далее.
Альфа-критерий решения Гурвица
Альфа-критерий решения Гурвица предполагает определение индекса решения, d, для каждой стратегии, который представляет собой средневзвешенное его экстремальных отдач. Взвешивающими факторами служат коэффициент оптимизма, а, который применим к максимальной отдаче, М, и его дополнение, 1 — а, которое применимо к минимальной отдаче, т. Стоимость каждой стратегии, таким образом, равна
di = аМ + (1 — а)тг(13)
Стратегия с самой высокой стоимостью для di выбирается в качестве оптимальной.
Коэффициент оптимизма располагается в диапазоне от 0 до 1, что обеспечивает возможность лицу, принимающему решение, выражать свое субъективное отношение к риску с той или иной степенью оптимизма. Если лицо, принимающее решение, совершенно пессимистично, то оно может решить, что а = 0. Результат будет тот же, что и при использовании критерия макси-мина. Если лицо, принимающие решение, — неисправимый оптимист, то оно может решить, что а = 1. Результат будет таким же, что и при критерии макси-макса.
Фактически альфа-критерий Гурвица необходим для того, чтобы обеспечить лицо, принимающее решение, возможностью обратить внимание и на самую худшую, и на самую лучшую отдачу для конкретной стратегии и определить субъективную вероятность для каждой из них. Предположим, например, что лицо, принимающее решение, находится на оптимистической позиции и решает, что а = 0,7. Его анализ текущей задачи представлен в табл. 4.7. Можно видеть, что наибольшая средневзвешенная отдача определяет выбор стратегии Sr
Та б л и ца 4.7
Альфа-критерий Гурвица для решения задачи принятия решения
Стратегия М а аМ т (1 - а) (1 - а)т d
5, 6 0,7 4,2 4 0,3 1,2 5,4
s2 25 0,7 17,5 -15 0,3 -4,5 13,0
s3 20 0,7 14,0 -1 0,3 -0,3 13,7е
19 0,7 13,3 -2 0,3 -0,6 12,7
Л 20 0,7 14,0 -3 0,3 -0,9 13,1
4 Наиболее подходящая стратегия. Решение, принятое по альфа-критерию Гурвица, зависит от величины а, которая, в свою очередь, зависит от собственного отношения лица, принимающего решение,
к риску. Этот критерий подходит для использования коммерческими фирмами; но если степень оптимизма лица, принимающего решение, оказывается необоснованной, то возможны значительные потери. Следовательно, рекомендуется соблюдать определенную осторожность.
Критерий решения Сэйвиджа
Критерий решения Сэйвиджа, иногда называемый критерием потерь от мини-макса,
исследует убытки, которые представляют собой понесенные потери в результате принятия неправильного решения. Потеря измеряется как абсолютная разность между отдачей для данной стратегии и отдачей для наиболее эффективной стратегии в пределах одного и того же состояния экономики.
Суть измерения потерь совершенно проста. Если любое конкретное состояние экономики возникает в будущем и если мы выбрали стратегию, которая обеспечивает максимальную отдачу для этого состояния, то мы не считаем потери. Но если мы выбрали любую другую стратегию, то потеря представляет собой разность между тем, что происходит фактически, и тем, что мы получили бы, приняв более оптимальное решение.
Матрица потерь необходима для их подсчета, и она представляет собой модификацию платежной матрицы. В пределах каждого столбца (состояние экономики) самая большая отдача вычитается из каждой следующей отдачи в столбце (включая самое себя). Абсолютная разность между позициями (без учета знака) представляет собой измерение потерь. Используя матрицу, представленную в табл. 4.1, мы построим матрицу потерь (табл. 4.8). Из этой таблицы следует* что когда состояние экономики оказывается равным JV,, а лицо, принимающее решение, выбирает S2, то потерь нет, потому что была выбрана правильная стратегия. Однако если выбрана стратегия Slt то потери измеряются как 16 — 25 I = 19, а если S}, то потери равны [20 - 25 |= 5 и т.д.
Таб л и ца 4.8
Построение матрицы потерь
Матрица решенияМатрица потерьМаксимальные
потери
>атегия N. N3 N, N3 5, 6 6 6 . 4 19 14 9 0 19
25 7 7 -15 0 13 8 19 19
53 10 20 7 -1 5 0 8 5 8
s4 19 16 9 -2 6 4 6 6 6'
55 20 15 15 -3 5 5 0 7 7
в Наиболее подходящая стратегия.
После заполнения матрицы потерь обозначаются максимальные потери для каждой стратегии. Затем выбирается стратегия с самыми низкими максимальными поте-
рями. Из табл. 4.8 следует, что верной стратегией является 54, потому что она минимизирует максимальное «наказание» за неверно определенное состояние экономики.
Заметим, что лицо, принимающее решение, при использовании критерия Сэйвид- жа явно отказывается от попыток максимизировать отдачу, выбирая стратегию с удовлетворительной отдачей при более низком риске. Критерий Сэйвиджа, следовательно, особенно полезен для Оценки серии проектов на протяжении длительного периода.
Критерий решения Лапласа
Существует Бэйесов постулат, который гласит, что если вероятности явления неизвестны, то они должны приниматься за равные. В критерии решения Лапласа этот постулат применяется для вычисления предполагаемой стоимости любой стратегии; поэтому критерий Лапласа называют также Бэйесовым критерием. Выбранная стратегия — это стратегия с самой высокой предполагаемой стоимостью при условии равных вероятностей.
Для стратегий S2, S}, S и S5 из нашего примера предполагаемая стоимость составляет 22/4, 24/4, 46/4, 42/4 и 47/4 соответственно, и стратегия Ss должна быть выбрана. Результат допущения равной вероятности для каждого из состояний экономики заключается в том, чтобы принять решение в ситуации неопределенности в качестве решения в ситуации риска, поэтому ранее обсуждается' критерий решения в ситуации риска.
Критерий Лапласа - это критерий рациональности, полностью нечувствительный к отношению лица, принимающего решение. Он чрезвычайно чувствителен, однако, к определению лицом, принимающим решение, состояния экономики и природы. Например, предположим, что состояния природы — жаркая, теплая и холодная погода. При отсутствии какого-либо прогноза погоды Бэйесова вероятность холодной погоды должна составлять одну треть. Но предположим теперь, что состояния природы — теплая и холодная погода. В этом случае вероятность холодной погоды сменилась на одну вторую. В действительности, конечно, равная вероятность всех состояний природы невозможна, особенно в краткосрочные периоды. Таким образом, критерий Лапласа больше подходит для долгосрочного прогнозирования, осуществляемого крупными фирмами.
В заключение следует сказать, что процесс принятия решения в условиях неопределенности — это процесс выбора критерия, а затем выполнения вычислений, необходимых для осуществления выбора в пределах этого критерия. Мы видим также, что четыре критерия решений, которые обсуждались ранее, будучи примененными к одной и той же матрице решения, могут привести к четырем различным стратегиям.
Какой критерий является самым подходящим? Универсального правильного ответа не существует. Каждый из критериев логичен при конкретных обстоятельствах, и каждый может быть подвергнут критике на том или ином основании. Выбор часто может зависеть от личных соображений. Поэтому какую же пользу приносит понятие платежной матрицы? Пожалуй, самый удачный ответ заключается в том, что она представляет собой полезный инструмент для концептуализации и формализации процесса принятия решения. Здесь следует обратить внимание на то, что имеются и другие неколичественные методы решения проблемы неопределенности.
Другие методы учета неопределенности
Редко представляется возможность застраховаться от неопределенности или включить неопределенность в структуры и прогнозы затрат фирмы. Имеется, однако, множество методов, которые опытные руководители фирм обычно применяют для сниженияопасности неопределенности. В их число входят: хеджирование, гибкое инвестирование, диверсификация интересов фирмы, приобретение дополнительной информации, модификация целей, обращение к властям за руководством и контроль над окружением.
Хеджирование. Хеджирование — один из наиболее широко распространенных методов, посредством которого руководитель фирмы может заменить будущую неопределенность надежностью нынешнего контракта. Хеджирование принимает многочисленные формы, но оно наиболее часто применяется при составлении контрактов на товары и услуги и при торговле сделками на срок на товарных биржах. Контракты на поставку товаров и услуг, особенно в строительной промышленности, как правило, содержат разделы, которые защищают интересы как покупателя, так и подрядчика. Интересы покупателя защищают разделы, которые предусматривают наказание подрядчиков за задержку в поставках или за срыв поставок. Интересы подрядчиков защищают разделы, которые допускают задержку в поставках или срыв поставок из-за форсмажорных обстоятельств (таких, как забастовки, войны, революции, решения высших государственных органов и стихийные бедствия).
На товарных биржах торговля сделками на срок прогнозируется на базе ряда текущих (спотовых) цен и ряда будущих (форвардных) цен на различные товары. Кроме того, что эти рынки способствуют фактическому обмену товаров, они выполняют две жизненно важные функции: 1) обеспечивают возможность и покупателям и продавцам гарантировать будущие рыночные цены на продукцию, которой они обмениваются, и
обеспечивают возможность спекулянтам-биржевикам вступить в рынок.
Гибкое инвестирование. Умный руководитель знает, что изменения в экономике неизбежны, поэтому он постарается не оказаться заблокированным в инвестициях в специализированные основные средства, если только не станет ясно, что потребность в таких специализированных основных активах будет иметь место на протяжении всего срока действия инвестиций. Например, станок общего назначения стоит дороже, чем специализированный станок, но станок общего назначения позволяет быстрее перейти с одного вида продукции на другой. Гибкость особенно важна для таких долгосрочных инвестиций, как инвестиции в землю и здания. Хотя может оказаться более дорогостоящим возведение здания общего типа по сравнению со стоимостью возведения здания, приспособленного к нынешним требованиям бизнеса, такая гибкость может окупиться, если условия изменятся или если здание придется продать или сдать в аренду.
Диверсификация интересов фирмы. Диверсификация тесно связана с гибкостью. Такой подход иллюстрирует старая пословица: «Не клади все яйца в одну корзину». Диверсификация подчеркивает стабильность и долгосрочную точку зрения. В краткосрочный период максимум прибыли может явиться результатом концентрации усилий на наиболее прибыльной продукции. Однако такая политика вполне может привести фирму к краху, если рынок для этой единственной продукции сократится или вообще исчезнет. Диверсификация видов продукции может сгладить колебания в функции прибыли фирмы посредством стабилизации производства и доходов. Она помогает гарантировать выживание фирмы и, в конечном счете, может даже максимизировать прибыль. Производитель, выпускающий несколько видов продукции, инвестор, покупающий диверсифицированный портфель или акции в совместном фонде, и конгломерат — все это примеры диверсификации с целью уменьшения неопределенности.
Приобретение дополнительной информации. Надежная релевантная информация - ключ к успешному принятию решения. Очевидно, что чем больше информации вы соберете относительно будущего, тем менее неопределенным оно будет. Однако спустя некоторое время вступает в действие закон убывающей предельной полезности. Сбор информации — дорогостоящее дело, и выгоды, которые можно получить из дополнительной информации, должны быть взвешены с учетом дополнительных расходов на ее получение. Более того, затраченное время является главным критерием для принятия большинства решений. С одной стороны, торопливое решение, принятое до полу-
чения достаточного объема информации, может оказаться очень дорогостоящим. С другой стороны, решение, откладываемое на слишком продолжительный срок в ожидании информации, может поставить фирму в положение «слишком мало, слишком поздно». И время, затрачиваемое на принятие решения, и объем информации, который следует собрать, — все это важные моменты для лица, принимающего-решение.
Модификация целей. Перед лицом полной неопределенности оптимальное решение может оказаться невозможным. Однако если менеджер, принимающий решение, готов согласиться на что-то, меньшее чем максимум, то задача сводится к более управляемым пропорциям. Например, анализ безубыточности может быть использован для установления целей продаж, способных обеспечить удовлетворительную прибыль на инвестиции. Хотя некоторая неопределенность по поводу того, может или не может быть достигнута цель, остается, более высокая степень неопределенности (со ссылкой на максимизацию) становится менее релевантной для решения. Так, задачи ценообразования, как правило, устанавливаются для достижения запланированной прибыли на инвестиции, для реализации доли целевого рынка или для конкурентоспособности.
Обращение к властям за руководством. Пожалуй, наиболее прагматичный подход к уменьшению неопределенности и, без сомнения, наиболее часто применяемый — позволить властям самим принимать решение. В некоторых случаях имеются реальные власти — специальные правительственные органы (такие, как Комиссия по ценным бумагам и фондовым биржам США или Национальный совет по трудовым соглашениям), которые диктуют нормы поведения, хотят этого руководители бизнеса или нет. Но имеются также и символические власти, такие, как традиция, конвенция, давление со стороны коллег, профессиональная этика или просто то, что делают другие.
Контроль над окружением. Более тщательно разработанный подход к уменьшению неопределенности, чем обращение к властям, — стремление наладить какой-то контроль над окружением бизнеса. Такой подход обычно принимает форму попыток получить монополию посредством оформления патентов и авторских прав, а также исключительных дилерских операций или просто заполнения «рыночной ниши» в числе первых. Как и в случае с обращением к властям, такой подход срабатывает (если он вообще срабатывает) только в условиях краткосрочного периода. Государство ревниво относится к любому снижению конкуренции, не говоря уже о неприкрытой монополии. Кроме того, если рынок рентабелен, то конкуренты могут быстро освоить его, несмотря на патенты или авторские права.
Иллюстративный случай
Компания «Tropical Products, Inc.» со штаб-квартирой на Гавайях — один из крупнейших в мире производителей консервированных и свежих ананасов. В последние годы компания начала также производство орехов макадамии, произрастающих в Австралии, но пользующихся спросом и на Гавайях. До настоящего времени «Tropical Products, Inc.» продавала зти орехи только на внутреннем рынке. Продукция, благодаря своему высокому качеству, очень популярна среди туристов. Это заставило компанию поверить, что дпя нее существует национальный, а возможно и международный рынок. Компания увеличила свои плантации для предполагаемого расширения рынка, поэтому дополнительная продукция вскоре появится дпя сбыта внутри страны.
В структуру фирмы входит отдел маркетинга, который предложил две альтернативные стратегии для стимулирования внутреннего сбыта орехов (каждая стоимостью 3 млн долл.).
Стратегия 1 (St). Рекламная кампания по национальному телевидению (на протяжении четырех недель предполагается транслировать шестнадцать 15-секундных роликов).
Стратегия 2 (S}). На протяжении одного года распространять орехи в качестве образцов среди пассажиров, летящих на Гавайи самолетами авиакомпаний «American», «Continental», «Delta», «TWA» и «United airlines».
Отдел маркетинга предлагает оценить продукцию так, чтобы обеспечивалась предельная прибыль в 30% с 1 долл. продаж, из которой и должны оплачиваться мероприятия по продвижению продукции на рынок. При такой цене отдел маркетинга оценивал прибыли для каждой стратегии рекламной кампании, которые классифицировались как высокоуспешные, среднеуспешные и неудачные (табл. 4.9).
Та б л и ца 4.9
Продажи, оцененные в млн долл.
Стратегии Высокоуспешные Среднеуспешные Неудачные
(р = 0,30) (р = 0,40) (р = 0,30)
S, 80 45 15
45 35 30
Вице-президент компании по вопросам финансирования считает, что функция полезности фирмы по отношению к прибылям должна быть такой, как показано на рис. 4.12.
Утили

Прибыль
Рис. 4.12. Предполагаемая функция полезности
Вице-президент компании по вопросам финансирования замечает также, что: доходы текущего года по государственным облигациям составляют 10%; стоимость капитала компании составляет 15%;
рисковость S, и Sj такова, что требуются премии за риск в 20% от нормы прибыли для и в 8% от нормы прибыли для S2.
122
Вся приведенная ранее информация была передана аналитику, которому быпо поручено подготовить брифинг и построить диаграммы, на основании которых руководство высшего уровня могпо бы сделать выбор между двумя предполагаемыми стратегиями: S, и S}. Предположим, что вы аналитик и должны выполнить следующее.
Преобразовать матрицу ожидаемых продаж в матрицу предполагаемой чистой прибыли после вычитания стоимости продвижения продукции на рынок (табл. 4.10).*
Таблица 4.10
Оцененнвя чиствя прибыль от продвж после вычетв стоимости мероприятий по продвижению продукции нв рынок (в млн допл.)
N, N2 N3
Стратегии (р = 0,3) (Р = 0,4) (Р = 0,3)
5, $21,0е $15,0 $1,5
$2 $10,5 $11,0 $6,0
а Примеры вычисления: (0,3)80 - 3 = 21,0. Дпя каждой стратегии вычислить чистую прибыль, дисконтированную при помощи учетной ставки, скорректированной с учетом риска. Затем вычислить предполагаемую стоимость, среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариации для каждой стратегии. Прежде всего заметим, что S требует премии эа риск в 20% в дополнение к 15% стоимости капитала при общей требуемой прибыли в 35%. Для Sj премия эа риск составляет 8% в дополнение к стоимости капитала при общей требуемой прибыли в 23%. Отдачи, скорректированные с учетом риска, представлены в табл. 4.11.
Таблица 4.11
Ожидвемвя чиствя прибыль (в млн долл.) и относительный риск, если предполвгве- мые величины чистой прибыли дисконтироввны при помощи учетной стввки, скорректироввнной с учетом рискв
Стратегии N, N2 N3 E(S) Os, Cs/ (p = 0.3) (p = 0,4) (p = 0.3)
S,$15,556® $11,111 $1,111 $9,444 $5,758 61,0%
S2$8,537 $8,943 $4,878 $7,602 $3,208 42,2%
"Примеры вычисления: —= 15,556.
1+0,15 + 0,20
Понятно, что 5, обещает более высокую прибыль даже поспе корректировки с учетом риска, но она продолжает оставаться почти в полтора раза рискованнее, чем Sj. Остается одна задача, и она состоит в том, чтобы оценить отдачу сточки зрения скорее полезности, чем долларовой величины. Хотя очень трудно выполнять точные измерения на базе рис. 4.12, приблизительные величины полезности показаны в табл. 4.12. Из этой таблицы следует, что S, и S} очень близки с точки зрения предполагаемой полезности прибыли, но что примерно в три раза рискованнее.
Таблица 4.12
Величине полезности чистой прибыли, скорректированной с учетом рискв, и относительного рискв двух стрвтегий
Стратегии N, N2 N3 Е(5.) (р = 0,3) (р = 0,4) (р = 0,3) °s, cSi
S, 41,0 30,0 5,0 25,8 S2 29,0 30,0 19,0 26,4 14,4
4,9 55,7%
18,4%
ВыводыВ настоящей главе рассмотрены методы и подходы к принятию решения в условиях риска и неопределенности. Полезная модель принятия решения - это матрица решения, в которой строки представляют стратегии, столбцы - состояния экономики, а ячейки матрицы содержат оценочные отдачи для каждой стратегии при каждом состоянии экономики,
В условиях риска главным критерием решения для выбора оптимальной стратегии является предполагаемая стоимость. Степень риска обозначается средним квадратичным отклонением. Среднее квадратичное отклонение само по себе, однако, не может использоваться для сравнения рисков. Такие сравнения требуют использования относительного среднего квадратичногр отклонения, называемого коэффициентом вариации.
Каким образом лицо, принимающее решение, захочет решать проблему риска, зависит от его отношения к нему. Некоторые могут искать риск, другие безразличны к нему, но большинство предпринимателей пытаются избегать риска. Их отношение базируется на функциях полезности, при которых увеличение приращений доходов (прибылей) ведет к уменьшению приращений удовлетворенности (полезности).
Лицо, принимающее решение и не склонное к риску, соглашается на риск только в том случае, если имеет место премия, соизмеримая с риском. Любая коммерческая фирма и любой индивидуальный инвестор имеют в виду какую-то определенную норму прибыли, которая учитывает имеющийся риск. По мере того как степень риска возрастает, эта, норма прибыли также возрастает вдоль кривой безразличия к риску, которая показывает функцию компромисса инвестора (риск—прибыли).
Модель максимизации прибыли может быть одновременно скорректирована и для риска, и для истинной стоимости денег посредством нескольких методов. Два наиболее важные из них — учетная ставка, скорректированная с учетом риска, и метод эквивалента определенности.
Если последовательный ряд обусловленных решений должен приниматься в условиях риска, то дерево решения обеспечивает лицо, принимающее решение, возможностью представить визуально и оценить все возможные варианты действий. Построение дерева решения начинается с первого решения и продвигается вперед через ряд последовательных событий и решений. При каждом решении или событии у дерева появляются ответвления, показывающие каждое возможное направление действий. Они появляются до тех пор, пока все логические последствия и получаемые в результате отдачи не будут исчерпаны.
Какое решение примет лицо, принимающее его в условиях риска, зависит главным образом от его отношения к риску. Это отношение может быть выражено функциями риска—прибыли или кривыми рыночного безразличия. Чистая текущая стоимость отдачи может располагаться на кривой безразличия к рынку или выше нее, и только в этом случае она может считаться приемлемой.
Если в условиях неопределенности лицо, принимающее решение, неспособно или не готово определить субъективные вероятности возможных состояний экономики, то имеются еще четыре критерия, которые могут быть использованы для принятия решения.!
Критерий макси-мин, или критерий Вальда, посредством которого выбирается стратегия, обеспечивающая самый наилучший из наихудших результатов.
Альфа-критерий Гурвица, который обеспечивает лицо, принимающее решение, возможностью обратить внимание и на самую худшую, и на самую лучшую отдачу для конкретной стратегии и определить субъективную вероятность для каждой из них.
Критерий Сэйвиджа, или критерий мини-макс, который стремится минимизировать понесенные потери в результате принятия неправильного решения.
Критерий Лапласа, или Бэйесов критерий, который гласит, что если вероятности явления неизвестны, то они должны приниматься за равные.
Существуют также неколичественные методы решения проблем неопределенности. В их число входят: хеджирование, гибкое инвестирование, диверсификация интересов фирмы, приобретение дополнительной информации, модификация целей, обращение к властям за руководством и контроль над окружением.
Какой бы метод решения проблемы неопределенности ни выбрали менеджеры, принимающие решения, они должны стремиться к возможно большей объективности. Неудачные решения принимаются в том случае, когда они позволяют своим эмоциям и личным предубеждениям превалировать над здравым смыслом и научным обоснованием. Эффективно действующие менеджеры смягчают свою субъективность образованием, знаниями, опытом и устойчивым темпераментом.
ЗадачиЗанимаясь изучением новой продукции, консультант по маркетингу сталкивается с четырьмя альтернативными фабричными марками, пятью возможными упаковочными конструкциями и с тремя вариантами рекламных кампаний.
а.Какое количество стратегий должно рассмотреть руководство фирмы?
б.Каково состояние экономики и какое воздействие оно может оказывать на выбор руководства фирмы? Приведите примеры.
в.Как руководство фирмы может учитывать реакцию конкурентов?
Объясните, какие показатели дисперсии, такие, как размах, отклонение и среднее квадратичное отклонение, могут быть использованы для обозначения степени риска в принятии решения. Какой коэффициент вариации применяется?
Большинство предпринимателей считаются не склонными к риску. Почему? Каковы факторы, оказывающие воздействие на функции риска—прибыли лица, принимающего решение?
При каких обстоятельствах одной только предполагаемой стоимости недостаточно для получения решения? Какие другие измерения могут быть необходимы?
Суммируйте логическую последовательность действий, необходимых для принятия решений в условиях риска и в условиях неопределенности.
Объясните, почему метод эквивалента определенности считается предпочтительнее метода учетной ставки, скорректированной с учетом риска.
Предположим, что перед вами урна с девятью красными, восьмью белыми и семью зелеными шариками. Если вы встряхнете урну таким образом, чтобы все шарики тщательно перемешались, а затем вытяните один шарик, то какова вероятность того, что этот шарик окажется зеленым? Какая это вероятность: априорная или апостериорная? Почему?
Смит, который недавно устранился от ведения успешного бизнеса чистой стоимостью около 1 млн долл., только что купил дом в Гринвилле (Южная Каролина) за 120 ООО долл. Страховка на случай пожара должна стоить 500 долл. в год. Поскольку Смит Имеет достаточно активов, которые легко можно преобразовать в наличные средства в случае необходимости, он не уверен в том, стоит ли ему покупать страховку от пожара, особенно в связи с тем, что его друг сообщил ему, что вероятность пожара, способного полностью разрушить его дом, составляет всего 0,002.
а.Должен ли Смит купить страховку на случай пожара? Если бы вы были на месте Смита, то вы купили бы страховку?
б.Предположим, что Смит — инвестор в недвижимую собственность, состоящую из 500 домов стоимостью 120 000 долл. каждый, размещенных по всем Соединенным Штатам. При наличии одинаковой вероятности пожара в каждом доме следует ли страховать каждый из них?
Получив степень бакалавра искусств, Сусана К. получила отличную должность в международной бухгалтерской фирме. В течение первого года занятости Сусана сумела сэкономить 6000 долл., которые она поместила в фонд денежного рынка. В настоящее время она изучает две возможности инвестирования.
Для проекта А вероятность прибыли с чистой текущей стоимостью в 3000 долл. равна 0,20, вероятность прибыли с чистой текущей стоимостью в 10 000 долл. равна 0,10 и вероятность прибыли с чистой текущей стоимостью в 7000 долл. равна 0,70.
Для проекта В вероятность прибыли с чистой текущей стоимостью в 4000 долл. равна 0,35, вероятность прибыли с чистой текущей стоимостью в 6500 долл. равна 0,40 и вероятность прибыли с чистой текущей стоимостью в 8000 долл. равна 0,25.
а.Какова предполагаемая текущая стоимость для каждой инвестиции?
б.Найдите среднее квадратичное отклонение и коэффициент вариации для каждой инвестиции. Какие инвестиции должны быть выбраны?
в.Предположим, что общая полезность дохода Сусаны может быть выражена уравнением TU = 25Л- - 3JSf2, где X выражен в тысячах долларов текущей стоимости. Какие инвестиции должны быть выбраны? Почему?
Предположим, что фирма имеет возможность осуществлять инвестиции в два разных проекта. Используя сопутствующую матрицу, найдите предполагаемую стоимость и инвестиций, и их средних квадратичных отклонений. Используя коэффициент вариации, укажите, какие инвестиции более рискованные, и объясните, почему.
Вероятности Проект 1/3 1/3 1/3
А 80 60 20
В 75 65 30
Почтовая служба Европы и Дальнего Востока планирует организовать службу подборки и доставки «от двери до двери» мелких пакетов высокой стоимости между Лондоном и Гонконгом, с дальнейшим продлением ее до китайских городов Гуанчжоу, Шанхай и Пекин. Предполагается, что новая фирма будет пользоваться коммерческими авиалиниями для транспортировки и гарантировать доставку в течение двух дней. Фирма рассматривает пять разных стратегий маркетинга и идентифицирует четыре возможных состояния, над которыми она не осуществляет контроля. Поскольку это новое предприятие, фирма не может определить объективные вероятности для этих четырех состояний экономики, но она может оценить доходы для каждой стратегии в соответствии с каждым состоянием экономики, приняв за единицу измерения 100 тыс. долл., как это показано в сопутствующей платежной матрице. Прежде чем решить, какой стратегии следовать, фирма хотела бы выяснить, какая стратегия является наилучшей в соответствии с каждым из рассмотренных нами критериев: Лапласа, Гурвица (при а = 0,6), Сэйвиджа И Вальда. Фирма просит вас обеспечить ее этой информацией.
Стратегии Состояние экономики N, А 11 15 9 6
В 13 4 14 7
С 10 10 10 10
D 9 11 15 13
Е 8 3 7 5


12. «Grand Slalom Ski Company», Огден (Юта) предполагает наладить производство трех новых марок горных лыж. Предполагаемая стоимость этих трех моделей следующая.
Лыжи Постоянные
затраты Переменные затраты в расчете на одну пару
А $50 ООО $75
В 75 ООО 60
С 90 000 30
Три вероятных уровня продаж оцениваются в 2000 пар, 4000 пар и 6000 пар с вероятностями в 0,30, 0,45 и 0,25 соответственно. Розничная цена будет составлять 400 долл. за пару.
а)Постройте соответствующую платежную матрицу. Какая модель должна быть выбрана?
б)Теперь предположим, что фирма не знает, каковы вероятности этих трех уровней продаж.
Какая модель должна быть выбрана в соответствии с Бэйесовым критерием?
Постройте матрицу потерь и определите, какая модель должна быть выбрана в соответствии с критерием Сэйвиджа.
Вы работаете менеджером до перевозкам в фирме, которая изготовляет производственные роботы, управляемые с помощью ЭВМ. Однажды в полдень директор службы связи с потребителями информирует вас, что выход из строя одного из компонентов вынудил выгодного потребителя закрыть свою сборочную линию. Требуются дополнительные отгрузки для замены вышедшего из строя комплекта, и потребитель предлагает премию в сумме 15 000 долл., если завтра продукция будет поставлена на его предприятие к 6 ч утра. .
Изучив возможность доставки продукции, вы делаете вывод о том, что невозможно доставить груз к 6 ч утра, пользуясь рейсами, следующими по расписанию. Местная грузовая авиалиния предоставляет два типа чартерных самолетов малой грузоподъемности: реактивный и турбовинтовой. Стоимость фрахтования реактивного самолета оценивается в 7000 долл. Из-за разницы в продолжительности полета вы оцениваете вероятность доставки к 6 ч утра как равную в 0,8 для реактивного самолета и в 0,3 - для турбовинтового.
а.Постройте дерево решения, которое включало бы все имеющие отношение к делу данные, связанные с решением, которое предстоит принять.
б.Какова предполагаемая прибыль при доставке реактивным самолетом? Турбовинтовым?
в.Какую альтернативу вы готовы выбрать? Почему?
«Trans-Atlantic Corporation» недавно завершила сооружение новых производственных мощностей для своей новой модели факс-машины. Компания уже провела исследования по выбору наиболее подходящей стратегии для продвижения на рынок новой продукции. После того как поле возможных стратегий маркетинга было сужено, осталось две альтернативы. Руководство теперь должно сделать выбор между ними.
Стратегия А предусматривает продвижение факс-машин с помощью рекламы, нацеленной на потенциальных конечных пользователей продукции. Стратегия В предусматривает продажи через служащих «Trans-Atlantic», призванных убедить дистрибьюторов в необходимости продвигать на рынок данную продукцию.
Как часть своего анализа специалисты по планированию компании рассматривают вероятность четырех возможных объемов продаж в соответствии со стратегией В. Эти возможности вместе с их оцененными вероятностями представлены в сопутствующей таблице. Вероятности субъективные, представляющие собой наиболее благоприятные прогнозы руководства компании относительно будущего своей новой продукции.
а.Если компания «Trans-Atlantic» имеет 40% предельных прибылей от продаж, то каковы предполагаемые прибыли в соответствии с каждой стратегией?
б.Постройте диаграмму прибылей в соответствии с каждой стратегией. Какая стратегия кажется более рисковой при визуальном сравнении обеих диаграмм?
в.Вычислите среднее квадратичное отклонение распределения прибыли длякаждой стратегии. Какая стратегия кажется более рисковой?
Стратегия А (внимание потребителю) Оцененные продажиВероятность
TOC \o "1-5" \h \z $100 ООО: о!
250 ООО0,3
300 0000,3
450 0000,2
Стратегия В (внимание дистрибьютору) Оцененные продажиВероятность
$200 0000,3
250 0000,3
300 0000,4
г.Предположим, что функция полезности фирмы соответствует представленной на рисунке. Какую стратегию руководитель отдела маркетинга рекомендует руководству компании?
Утили

Прибыль (в тыс. долл.)
Иллюстративная задача:
«JB Foundry»
«JB Foundry» - небольшое литейное предприятие, специализирующееся на производстве отливок по заказу. Фирма имеет проблемы со своей старой элект- родуговой печью, которая полностью амортизирована, но может быть продана за 6000 долл. Необходимо срочно принять решение относительно того, модифицировать ли старую печь или купить современную модель, имеющую также характеристики, которые не могут быть включены в модификацию старой. Решение осложняется мнением специалистов о том, что в ближайшие три года в печной технологии ожидается прорыв.
Наилучшая оценка, которую могут получить владельцы предприятия, состоит в том, что шансы радикального усовершенствования печи примерно через 3 года составляют 40%. Если новая печь действительно появится, то вероятность того, что она превратит все существующие модели в неконкурентоспособные, равна 0,9; вероятность того, что это будет лишь незначительное усовершенствование, составляет 0,1.
Стоимость модификации старой печи составляет 3000 долл., а стоимость существующей модели равна 25 000 долл. В любом случае печь будет в течение восьми лет эксплуатироваться, после чего ее продадут. В сопутствующей таблице представлены предполагаемая экономия за год и ликвидационная стоимость при трех условиях (состояниях эконрмики):
Nt — отсутствие технологического прорыва;
N2 — разработана новая печь, которая делает все ранее разработанные печи устаревшими;
7V3- разработана новая печь, но она обеспечивает лишь незначительную экономию.
Таблица базируется на периоде эксплуатации обеих печей, составляющем восемь лет. Резкое снижение экономии и ликвидационной стоимости при состояниях N2 и Nj возникает из-за того, что разработка совершенно новой или даже усовершенствованной печи, видимо, повлияет на спрос литейного предприятия и на его общую конкурентную позицию.
Покупка новой печи Модификация старой печи
Состо Экономия Ликвида- Экономия Ликвида-
яние за год ционная за год ционная стоимость стоимость
N, $6000 $8000 $2000 $4000
n2 2000 2000 1000 2000
N3 3000 4000 1000 3000
Для литейного предприятия имеется и еще одна альтернатива. Если новый тип печи будет разработан через три года, то модифицированная старая печь может быть продана к тому времени за 9000 долл., а совершенно новая печь может быть куплена, по оценке, за 45 000 долл. Имеется вероятность в 0,9 состояния N2, в случае которого новая
печь может обеспечивать экономию в 13 ООО долл. ежегодной стоить 20 ООО долл. в конце пятого года. Имеется вероятность в 0,1 состояния Nv в случае которого новая печь может обеспечивать экономию только в сумме 8000 долл. ежегодно и стоить только 15 ООО долл. после пяти лет эксплуатации. Если новая печь будет куплена сейчас, то она буцет эксплуатироваться в течение восьми лет, независимо от новых разработок.
Используйте дерево решения для определения того, следует ли модифицировать старую печь или купить новую современной модели (без учета фактора инфляции).
Иллюстративная задача:
«Pan-Pacific Corporation»
«Pan-Pacific Corporation» — крупный производитель спортивного оборудования для школ, профессиональных спортсменов и Олимпийских игр. Корпорация довольно успешно функционировала с 1970 по 1985 г., достигнув объема продаж почти в 300 млн долл. с прибылями, составляющими около 15 млн долл. ежегодно. В конце 80-х гг. рынок оказался наводненным дешевыми импортными товарами, заставившими «PanrPacific» нести серьезные убытки сначала в результате сокращения объема продаж, а затем уменьшения прибылей, так как компании пришлось снизить цены, чтобы выдержать конкуренцию. Убытки за трехлетний период достигли 40 млн долл. (табл.)
1987 1988 1989
Продажи (млн долл.) 250 270 300
Убытки (10) (10) (20)
Стремясь решить проблему, «Pan- Pacific» изучила возможности выхода на новые сегменты рынка И производства другой продукции, которая могла бы оказаться более прибыльной. После оценки исследования, проведенного специалистами фирмы, совет директоров решил, что « Pan,-Pacific» должна следовать стратегии производства и маркетинга одного из следующих новых товаров:
S,— радиоприемники СВ, цена 100 долл. за единицу;
— факсимильные машины (факс), цена 800 долл. за единицу;
— персональные компьютеры, цена 1000 долл. за единицу.
Руководители фирмы рассчитали, что необходимые начальные инвестиции в предприятие и оборудование должны составить 10 млн долл., какие бы товары фирма ни решила производить. Объемы продаж должны зависеть от трех состояний экономики: бум, стабильность и спад. Целиком распределенные удельные затраты должны меняться вместе с объемом, как показано в табл. 4.13.
Продукция Состояние
экономики Удельные
продажи Удельные
производственные
затраты
5,: Радиоприемники СВ Бум 950 000 $84,56
Стабилизация 900 000 84,57
Спад 860 000 84,75
52: Факс-машины Бум 280 000 629,75
Стабилизация 240 000 646,30
Сп«д 200 000 653,80
53: Персональные компьютеры Бум 120 000 720,40
Стабилизация 90 00 725,75
Спад 75 000 767,80
Таблица 4.13
Оценочные среднегодовые удельные продажи и удельные затраты,
1991-1993 гг.
5—1854
Оцененное ежегодное движение потока наличности представлено в табл. 4.14.
Таблица 4.14
Оценочное ежегодное движение потока наличности, 1991-1193 гг.
Продукция Состояние
экономики Удельные продажи (в тыс.) Валовые прибыли (в млн долл.) Производственные издержки (в мпн долл.) Чистый приток наличности (в млн долл.)
5,: Радиоприемники СВ Бум 950 95 80,332 14,668
Стабильность 900 90 76,113 13,887
Спад 860 86 72,885 13,115
52: Факс-машииы Бум 280 224 176,330 47,670
Стабильность 240 192 155,112 36,888
Спад 200 160 130,760 29,240
5,: Персональные Бум 120 120 86,448 33,552
компьютеры Стабильность 90 90 65,318 24,682
Спад 7S 75 51,585 17,415
Если чистые притоки наличности (см. чистых притоков наличности, дисконтиро- табл. 4.14) будут иметь место каждый год ванная при 10%, будет соответствовать пред- (1991, 1992 и 1993 гг.), то текущая стоимость ставленной в табл. 4.15.
Таблица 4.15
Текущая стоимость притоков наличности за три года, дисконтироваппая при 10%
Продукция Состояние
экономики Среднегодовой приток наличности (в млн долл.) Текущая стоимость чистого притока наличности за три года (в млн долл.) Первоначальные расходы (в млн долл.) Текущая стоимость чистой прибыли за три года (в мпн долл.)
Sj: Радиоприемники СВ Бум 14,668 36,447 10,0 26,447
Стабильность 13,887 34,535 10,0 24,535
Спад 13,115 32,615 10,0 22,615
S2: Факс-машины Бум 47,670 118,548 10,0 108,548
Стабильность 36,888 91,735 10,0 81,735
Слад 29,240 72,716 10,0 62,716
5,: Персональные Бум 33,552 83,439 10,0 73,439
компьютеры Стабильность 24,682 61,380 ‘0 10,0 51,380
Спад 17,415 43,309 10,0 33,309
Руководители «Pan-Pacific» не знают точно, какое состояние экономики будет преобладать на протяжении следующих трех лет. Следовательно, они построят платежную матрицу с использованием текущей Стоимости притоков денежных средств за три года в качестве отдачи. Если применяется критерий решения для принятий решения в условиях^^определенности, то результата будут ан<шогйчны представленным в табл. 4.16, 4.17, 4.18.
Таблица 4.16
Применение критерия максп-мипа и альфа-критерия ГУрвица
Продукция Состояние экономики Критер! КИ
Бум Стабильность Слад Макси-мина
Вальда Г урвица а-0,5
5,: Радиоприемники СВ 26,447 24,535 22,615 22,615 24,531
52: Факс-машины 108,548 81,735 62,716 62,716" 85,632’
5: Персональные компьютеры 73,439 51,380 33,309 33,309 53,374
‘Наиболее удачный выбор при указанном критерии. Таблица 4.17
Примеиепие критерия потерь от мипи-макса (критерия Сэйлиджа)
Состояние экономики Матрица потерь Макси
мальные
потери
Продукция Бум Стабильность Спад Бум Стабиль
ность Слад 5,: Радиоприемники СВ 26,447 24,535 Sy Факс-машины 108,548 81,735 S,: Персональные компьютеры 73,439 51,380 ‘Наиболее удачный выбор при указанном критерии. 22,615
62,716
33,309 82,101
0
35,109 57,200
0
30,355 40,101
0
29,407 82,101

35,109
Таблица 4.18
Примеиепие критерия Лапласа
Состояние экономики Продукция Бум Стабипь- р ■» 1/3 иость рш 1/3 Спад Р * 1/3 Предпола
гаемая
стоимость Среднее
квадра
тичное
отклоне
ние Коэффициент
•ариации
S,: Радиоприемники СВ 26,447 24,535 S,: Факс-машины 108,548 81,735 S,: Персональные компьютеры 73,439 51,380 ‘Наиболее удачный выбор при указанном критерии. 22,615
62,716
33,309 24,532
84,333*
52,709 1,564
18,800
16,410 6,38
22,29
31,13
Коэффициенты вариации в табл. 4.18 показывают, что три предложения имеют различные степени риска. Поэтому руководство «Pan-Pacific» считает, что учетная ставка должна быть скорректирована таким образом, чтобы она могла отражать различные уровни риска.
Продукция ,: Учетная стаака, скорректированная с учетом риска
Радиоприемники СВ 12%
Факс-машины 15
Персональные 20
компьютеры Ежегодное движение денежной наличности, скорректированное для различных Степеней риска
Состояние Средне Текущая Первона Текущая
Продукция экономики годовой стоимость чальные стоимость
приток притока расходы чистых
наличнос- наличнос- (в млн прибылей
ти (в мпн ти за три доли.) (в млн
допп.) года (в мпн ' долл.) ДОПЛ.)
5.: Радиоприемники СВ Бум . 14,668 35,230 10,0 25,230
Стабипьность 13,887 33,354 10,0 23,354
Спад 13,115 31,500 10,0 21,500
S;: Факс-машины Бум 47,670 108,840 10,0 98,840
Стабипьность 36,888 84,224 10,0 74,224
Спад 29,240 66,762 10,0 56,762
5,: Персональные Бум 33,552 70,677 10,0 60,677
компьютеры Стабипьность 24,682 51,992 10,0 41,992
Спад 17,415 36,684 10,0 ' 26,684
Таблица 4.19
Это приведет к изменению текущей стоимости наличности (табл. 4.19).

Вопросы
а.Какую продукцию должно выбрать руководство фирмы? Почему?
б.Оцените расчет продаж и прибылей. Каковы допущения при вычислении текущей стоимости чистой прибыли?
в.Как можно усовершенствовать принятие решения, подразумевающее различные критерии анализа риска?
д.Как вы считаете, не должна ли компания «Pan-Pacific» остановить производство спортивного оборудования? Почему?
Список литературыArrow, Kenneth J. «Risk Perception in Psychology and Economics». Economic Inquiry, xx (January 1982), pp. 1-8.
Barron, F. Hutton. «Payoff Matrices Pay Off at Hallmark». Interfaces 15 (July—August 1985), pp. 20-25.
Brunk, Gregory G. «А Test of the Friedman-Savage Gambling Model». Quarterly Journal of Economics (May 1981), pp. 341—48.
Cozzolino, John М. «А New Method for Risk Analysis». Sloan Management Review (Spring 1979), pp. 53—65.
Einhorn, Hillel J., and Robin M. Hogarth. «Decision Making: Going Forward in Reverse». Harvard Business Review 1 (January-February 1987), p. 66.
Friedman, D. «Why There Are No Risk Preferrers». Journal of Political Economy 89 (June 1981), p. 600.
Gay, Gerald D., and Steven Manaster. «Hedging against Commodity Price Inflation: Stocks and Bills as Substitutes for Futures Contracts». Journal of Business (July 1982), pp. 317-44.
Graham, Daniel. «Cost—Benefit Analysis Under Uncertainty». American Economic Review (September 1981), pp. 715—21.
Huber, G.P. Managerial Decision Making. Glenview, ILL; Scott, Foresman, 1980.
Loomes, G., and R. Sugden. «Regret Theory: An Alternate Theory of Rational Choice under Uncertainty». Economic Journal 92 (December L982), pp. 805—24.
Machina, Mark J. «Decision Making in the Presence of Risk». Science 236 (May 1, 1987), pp. 537-43.
Magee, J.F. «Decision Trees for Decision-Making». Harvard Business Review 42 (July- August 1964), pp. 126-36.
Peterson, Richard, and K.K. Seo. «Public Administration Planning in Developing Countries: A Bayesian Decision Theory Approach». Policy Sciences (September 1972), pp. 371—78.
Schlaifer, R. Analysis of Decisions Under Uncertainty. New York: McGraw-Hill (reprinted 1978).
Slovic, Paul. «Perception of Risk». Science 236 (April 17, 1987), pp. 289—85.
Szpiro, George G. «Measuring Risk Aversion: An Alternative Approach». Review of Economics and Statistics 68 (February 1986), pp. 156—59.
Wilson, Richard, and E.A.C. Crouch. «Risk Assessment and Comparison: An Introduction». Science 236 (April 17, 1987), pp. 267-70.
Приложение 4А. Краткое изложение законов вероятностиОпределения
Вероятность любого события — это положительное реальное число от нуля до единицы включительно.
Вероятность, равная нулю, означает, что событие может не произойти никогда. (Событие невозможно.)
Вероятность, равная единице, означает, что событие наверняка произойдет. (С уверенностью в 100%.)
Совокупная вероятность (логическое «и»)
Если А и В не являются независимыми (одно может оказывать воздействие на другое), то
(1)
Р(А и В) = Р(В)Р(А |Я) = Р(А)Р(В\А).
Если А и В являются зависимыми (одно не оказывает воздействия на другое), то
(2)
(3)
Р(А |Я) = Р(А) И Р(В U) = Р(В). Следовательно, согласно уравнению (1),
Р(А и В) = Р(А)Р(В).
Условная вероятность
Если вероятность В не равна нулю, то условная вероятность А при данном В равна
(4)
Лдгическдё«Шш'
Если события А и В взаимоисключающие (т.е. если одно происходит, то другое не может произойти), то
Р(А или В) = Р(А) + Р(В).'(5)
Если события А и В не являются взаимоисключающими (т.е. оба могут происходить одновременно), то
Р{А или В) = Р(А) + Р(В) - Р(А и В).(6)
Иллюстративный примерПредположим, что крупная корпорация насчитывает 10 ООО служащих, которые могут быть классифицированы по возрастным группам и по принадлежности к полу так, как это показано в табл. 4А. 1. Нижняя строка «Всего» показывает, что 70% из 10 ООО служащих фирмы — мужчины (событие В,), а 30% — женщины (событие Вг). Верхняя строка «Всего» показывает, что 30% всех служащих составляют люди до 34 лет (событие Д), 60% — от 34 до 54 пет включительно (событие Аг) и 10% - 55 лет и более (событие А3).
Теперь предположим, что мы открыли файлы персонала фирмы и наугад взяли один из документов.
Таблица 4А. 1
Распределение служащих по возрастным группам и по принадлежности к полу
Событие => В1 ■ В2 '
Событие Л Возраст Мужчины Женщины Всего
А, Меньше 34 2100 (0,21) 900 (0,09) 3000 (0,30)
А2 34-54 4200 (0,42) 1800(0,18) 6000(0,60)
0\ А3 55 и более 700(0,07) 300 (0,03) 1000(0,10)
Всего 7000 (0,70) , 3000 (0,30) 10 000 (1,0)
Вопрос. Какова вероятность Того, что служащий войдет в одну из трех возрастных групп? Какова вероятность того, что служащий окажется мужчиной или женщиной?
Ответ. Благодаря способу, посредством которого определяются возрастные группы, служащий должен принадлежать к одной из трех возрастных групп. Кроме того, поскольку представлены только два пол*; служащий должен быть или мужчиной, или женщиной. В терминах вероятности события At, Аг и Аъ разъединены (взаимоисключены), точно так же обстоит дело и с событиями В, и В2. Более того, собь1Тия А И события В являются независимыми. (Пол одного индивида не оказывает воздействия на возраст другого и наоборот.) Следовательно,
Р(А, или Аг или А3) = P(At) + Р(А2) + Р(А3) = 0,30+ 0,60 + 0,10 => 1,0;
Р(В, или В2) = Р(В,) + Р(В2) =■ 0,70 + 0,30 = 1,0.
Вопрос. Каковы совокупные вероятности между возрастными группами и принадлежностью к полу?
Ответ. Совокупная вероятность, т.е. Р(А и В), образуется посредством деления совокупной частоты на общую частоту. Поскольку оба события независимы, совокупная вероятность также может быть вычислена как
Р(А и В) = Р(А)Р(В).
Например: /’(мужчины 55 +) = /’(мужчины)Р(55 +) = (0,7) (0,1) = 0,07.
Вопрос. Предположим, что документация о сотрудниках хранится отдельно по мужчинам и по женщинам. Если мы возьмем наугад один документ из файла для женщин, то какова вероятность, что возраст этой женщины будет между 34 и 54 годами?
Ответ. Возникает вопрос условной вероятности, когда условие заключается в том, что служащий является женщиной, т.е. Р(А} |в,). Поскольку события независимы, условная вероятность равна
р(а2*в2) р(а2)р(вЛ
р А*1—-т-т1 —--=■р Ыш °'<5°.р(в2) р(вг)Теперь предположим, что фирма может быть разделена на три крупных отдела (производства, управления и по продажам) и все служащие приписаны к одному из них (табл. АА.2).
Таблица 4А.2
Распределение служащих по отделам в зависимости от принадлежности
к определенному полу
Событие => ■l в2 *3 Событие К Пол Производство Управление Продажи Всего
А1 Мужчины 6000 700 300 7000
(0,60) (0,07) (0,03) (0,70)
а2 Женщины 1500 1300 200 3000
(0,15) (0.13) (0.02) (0,30)
Всего 7500 2000 500 10 000
(0,75) (0,20) (0,05) (1,00)
Вопрос. Имеет ли принадлежность служащего к тому или иному полу какое- либо отношение к распределению по отделам?
Ответ. Р(А,) Р(8,) = (0,70)(0,75) = 0,525. Из таблицы, однако, следует, что совокупная вероятность равн$ Q,6Q. Таким образом, мы делаем вывод, что события не являются независимыми и принадлежность к полу не оказывает влияния на распределение по отделам.
Приложение 4В. Вероятностное распределение потока наличностиПри корректировке модели максимизации прибыли для риска при помощи метода учетной ставки, скорректированной с учетом риска, и метода эквивалента определенности рассматривают доход, который будет получен в будущий период, как данную сумму. В реальной ситуации эти суммы являются скорее предполагаемыми стоимостями распределенной вероятности. Следовательно, чистая стоимость должна быть текущей стоимостью серии предполагаемых стоимостей. Элементы этой серии могут быть, а могут и не быть независимыми, т.е. доход в период t может зависеть, а может и не зависеть от того, каким был результат в период t— 1. Если результаты независимы, то чистая текущая стоимость равна
n ЕI
r=0 (l + /)'
где Et — предполагаемая стоимость результата в период t\ i — свободная от риска процентная ставка.
Среднее квадратичное отклонение распределения вероятности возможной чистой текущей стоимости равно
-ISA-где S' — дисперсия распределения вероятности движения потока наличности в период t, вычисленное следующим образом:
П
s,2 = Ъ(АхгЕ)2рх,, i=iгде Ах/ — х-е возможное движение потока наличности в период t;
Pxt — вероятность его возникновения;
Et — предполагаемая стоимость результата в период t.
Для иллюстрации этого метода предположим, что свободная от риска процентная ставка составляет 12% и что мы можем иметь на ближайшие три года движение потока наличности, аналогичное представленному в табл. 45.12.
Таблица 45.1 Распределение вероятности возможных потоков наличности
Период 1 Период 2 Период 3
Чистый поток наличности (в тыс. долл.) Вероят
ность Чистый поток наличности (в тыс. делл.) Вероят
ность Чистый поток наличности (в тыс. долл.) . Вероятность
10 0,05 10 0,10 10 0,20
20 0,15 20 0,20 20 0,20
30 0,40 30 0,30 30 0,20
40 0,25 40 0,25 40 0,20
50 0,15 50 0,15 50 0,20
Для этого примера первый шаг предусматривает вычисление предполагаемой стоимости и дисперсии для каждого периода в следующем виде.
Период 1:
Еу(Х) = 0,05(10) + 0,15(20) + 040(30) + 0,25(40) + 0,15(50) = 33;
о,2 = (10 - 33)2(0,05) + (20 - 33)3(0,15) + (30 - 33)2(0,40) +
+ (40 - 33)2(0,25) + (50 - 33)2(0,15) = 111.
Период 2:
Е2(Х) = 0,10(10) + 0,20(20) + 0,30(30) + 0,25(40) + 0,15(50) = 31,5;
022 = (10 - 31,5)2(0,10) + (20 - 31,5)2(0,20) + (30 - 31,5)2(0,30) +
+ (40 - 31,5)2(0,25) + (50 - 31,5)2(0,15) = 142,75.
Период 3:
Е,(Х) = 0,20(10) + 0,20(20) + 0,20(30) + 0,20(40) + 0,20(50) = 30;
032 = (10 - 30)2(0,20) = (20 - 30)2(0,20) + (30 - 30)2(0,20) +
+ (40 - 30)2(0,20) + (50 - 30)2(0,20) = 200.
Чистая текущая стоимость и среднее квадратичное отклонение за три периода равны
NPV= + 31,5 + 30,0 = 75,929;
(1,12)2 . (1,12)3= ij 280,53 = 16,749.
111,0 142,75 200,0 4-Н
1Д2
У (1,12)2 (1,12)4 (1,12)6Оценка распределения вероятности
Если распределение возможной чистой текущей стоимости является нормальным (что, как правило, и должно быть), то таблица нормального распределения, представленная в Приложении к данной книге (или в любом статистическом тексте), может
быть использована для определения вероятности того, что фактическая чистая текущая стоимость выше или ниже любой данной суммы.
Например, предположим, что мы хотим знать вероятность того, что чистая текущая стоимость потока наличности, представленного в табл. 41?. 1, будет равной менее чем нулю. Первый шаг - определить количество средних квадратичных отклонений между нулем и средним. Это можно определить, вычислив Z - стоимости для X - О с применением формулы
z=£iiiВ нашем примере
^0-^9
16,749
В таблице зон нормального распределения мы находим, что для Z - стоимости такой величины соответствующая зона превышает 0,49997. Следовательно, зона, остающаяся слева от Z, слишком мала, чтобы ее можно было измерить. Таким образом, для всех практических целей нет Шанса, что наша фактическая прибыль будет ниже нуля.
Зависимые потоки наличности
Сравнительно простой метод, обсуждавшийся только что, предполагает независимые потоки наличности. В реальной ситуации поток наличности, реализованный в один период, часто зависит от потока наличности, реализованного в предшествующий период. При таких обстоятельствах вычисление чистой текущей стоимости возможных потоков. наличности значительно усложняется. В некоторых случаях может потребоваться полномасштабное компьютерное моделирование. Более подробное обсуждение уравнений и методов, применяемых для этой цели, выходит за рамки данной книги, но с ними можно ознакомиться во многих публикациях по финансовой проблематике.

ГЛАВА
АНАЛИЗ СПРОСА И ПОТРЕБИТЕЛЬСКОЕ ПОВЕДЕНИЕАнализ спроса предусматривает основные виды информации, необходимой для управления некоторыми наиболее важными аспектами в деятельности фирмы. Они включают:
прогнозирование объема продаж;
планирование производства;
анализ затрат и финансовое планирование;
ценообразование и манипулирование другими переменными спроса, такими, как реклама и продвижение товара на рынок;
управление ресурсами и запасами;
планирование прибыли.
С точки зрения управления главные цели анализа спроса - выявление и измерение переменных, оказывающих воздействие на реализацию продукции. Следовательно, для фирмы, ставящей цель получения прибылей, изучение спроса является важной частью планирования бизнеса. Более того, фирму не может удовлетворить чисто статическое исследование. Она должна понимать динамику сил, влияющих на спрос, и определять, можно ли, а если можно, то как, манипулировать этими силами с целью повышения прибыльности.
Поскольку анализ спроса является обязательной предпосылкой успешного ведения операций, настоящая и последующие три главы посвящены этому экономическому показателю.
План главыГлавная цель настоящей главы - заложить основы для анализа спроса на продукцию и услуги со стороны отдельных потребителей. Мы начинаем с первичного определяющего фактора всего спроса - с потребителя, - потому что все функции спроса
связаны с тем, как потребители готовы и способны действовать. Следовательно, необходимо понимать поведение потребителя с тем, чтобы уяснить, какие факторы определяют спрос на любой продукт. (Мы будем употреблять слово «продукт» для обозначения любого экономического товара или услуги.) Для того чтобы понимать поведение потребителя, мы должны построить модель потребительского равновесия.
В настоящую главу входят два параграфа и приложение.
Количественный подход к потребительскому равновесию. В этом параграфе описано построение модели потребительского равновесия с использованием количественного подхода, который требует количественного измерения полезности.
Порядковый подход к потребительскому равновесию. В этом параграфе показано, как та же самая модель потребительского равновесия может быть получена с использованием порядкового подхода, который требует, чтобы товары были упорядочены с точки зрения предпочтения.
Приложение 5А. Математическое выражение потребительского равновесия. В этом приложении представлен математический расчет уравнения потребительского равновесия с применением количественного подхода.
Количественный подход к потребительскому равновесиюПочему вы покупаете товары или услуги? Очевидно, ваше решение о покупке базируется на двух соображениях: полезности, которую вы можете извлечь из продукта, и вашей покупательной способности.
Экономист определяет полезность как удовольствие, или удовлетворенность, связанную с обладанием, использованием или потреблением товаров или услуг (продуктов). Полезность имеет много источников и причин. Она может иметь объективные особенности (например, любое здание объективно может быть полезно в качестве укрытия), но в основном она субъективна. Это происходит потому, что полезность является функцией индивидуального вкуса, предпочтения, восприятия, состояния мышления или образования личности. Более того, полезность — это не абсолютная величина. Скорее, она разная для каждого человека. Кроме того, даже для одного человека она меняется в зависимости от времени и места. Однако на момент принятия решения о покупке каждый потребитель оценивает полезность продукта и базирует свое решение покупать или не покупать на этом восприятии.
Функция полезности: предельная полезность
Концептуально полезность может измеряться в единицах, называемых утилями. Проблема, однако, состоит в том, что никто не может определить утиль, поэтому фактически невозможно измерять полезность таким образом. Тем не менее аналитически мы можем сделать это для того, чтобы установить закон убывающей предельной полезности. Этот закон гласит, что предельная полезность для потребителя убывает по мере роста потребления. Предельная полезность определяется как изменение в общей полезности, вытекающее из изменения на одну единицу в потреблении, т.е.
ATUy
MUX=1,(1)
де*где MUX — предельная полезность товара X;
&TUX- изменение в общей полезности товара X;
Д Qx - изменение в количестве товара X, потребленного на протяжении периода.
В реальной жизни это жесткое определение предельной полезности несколько ослаблено с целью применения к непрерывным функциям. Для непрерывной функции полезности предельная полезность определяется как наклон кривой функции полезности относительно некоторого уровня полезности. Она может измеряться в любой конкретной точке кривой и равна первой производной функции в этой точке, т.е.
мих=.
(2)
dJUx
dQy
Предположим, что TU= 20 Qx — 2QX2. Это квадратичная функция, для которой предельная полезность является линейной функцией MUX= 20 — 4Qr Значения для TUи MU вычерчены на рис. 5.1, на котором общая функция полезности представлена в верхней части, а соответствующая функция предельной полезности — в нижней части.
Утили

Рис. 5,1. Функции общей и предельной полезности
Поскольку предельная полезность представляет собой наклон кривой общей полезности, точка насыщения, в которой общая полезность является максимальной, легко определяется как точка, в которой предельная полезность равна нулю. Эта точка соответствует потреблению пяти единиц X за определенный период. Если потребляется более пяти единиц, то устанавливается отрицательная предельная полезность, а общая полезность убывает.
Интуитивный анализ схемы нашего собственного потребления хорошо вписывается в функции общей полезности и предельной полезности, представленные на рис. 5.1. Предположим, например, что товар X - это датская сладкая трубочка. Если мы очень голодны, то мы можем получить удовлетворенность от потребления одной сладкой датской трубочки полезностью в 18 утилей в соответствии с функцией полезности TUX — 20(1) - 2(1)J = 18. Если бы мы должны были съесть больше сладких трубочек, то обшая удовлетворенность должна была бы возрасти до потребления пяти штук, но дополнительное удовольствие (предельная полезность от каждого дополнительного потребления) должно было бы постоянно убывать. После того, как пятая трубочка будет потреблена, обшая удовлетворенность достигнет пика в 50 утилей [TUX - 20(5) - 2(25) = 50]. Предельная полезность в этот момент равна нулю [MUX - 20 - 4(5) = 0]. Это говорит нам о том, что от потребления следующих сладких трубочек удовлетворенности не будет. Частичное потребление шестой трубочки может даже создать отрицательную предельную полезность. Это означает, что обшая полезность убывает, вместо того чтобы возрастать. Устанавливается отрицательная полезность (например, от шестой сладкой трубочки вы можете почувствовать себя плохо).
Эта постоянно убывающая предельная полезность называется законом убывающей предельной полезности. Ценность этого закона не уменьшается от отсутствия определения утиля или количественной шкалы для его измерения. Это общепринятый принцип, так как он имеет предсказательную и поясняющую ценность. Допущение убывающей предельной полезности является одним из основных понятий экономической теории.
Потребительское равновесие при максимальной полезности
Общий доход потребителя должен быть или израсходован, или сбережен (удержан в деньгах). Вопрос заключается в том, как потребитель решает, что именно покупать?
Предположим, что домохозяйка идет в супермаркет, имея при себе 100 долл., которые она предполагает израсходовать. Пртратит ли она все на цыплят, все на говядину или все на хлеб? Вряд ли. Она могла бы потратить какую-то сумму на мясо, какую-то на хлеб, 1&кую-то на молоко, какую-то на свежие овоши, какую-то на консервированную продукцию и т.д. Конечно, в реальной жизни потребитель расходует свои деньги на разнообразные товары. Но он всегда стремится получить за свои деньги как можно больше.
Теперь давайте попытаемся создать модель поведения потребителя, которая предполагает этот принцип здравого смысла. При анализе поведения потребителя, как и многих других аспектов экономики, мы будем понимать под максимальной полезностью состояние равновесия. Потребитель в состоянии равновесия балансирует стоимость потребления (полезность денег) с учетом полезности, которая может быть получена от купленных товаров и услуг. Для того чтобы построить модель такого поведения, необходимо сделать несколько упрошенных допущений.
Потребитель свободен тратить свои доходы так, как считает нужным.
Потребитель полностью осведомлен обо всех факторах, которые способны оказывать влияние на его решение, таких, как доходы, цены на другие товары и полезность каждого товара.<
Торговые единицы всех товаров подлежат разделению. Это допущение необходимо для построения непрерывной функции, в которой обшая полезность зависит от количества товара, потребленного на протяжении определенного периода.
Вкусы потребителя и его предпочтения также четко установлени е тем, чтобы не возникало трудностей в последовательном выборе между одним и другим видом товара.
Предельная полезность каждого товара убывает для потребителя по мере увеличения потребления.
Больше - это лучше, чем меньше. (Бесполезные или неудачные позиции или не учитываются, или повторно определяются.)
И, наконец, потребитель всегда стремится максимизировать полезность своего дохода или путем рационального расходования, или путем сбережения (которое подразумевает активное использование денежных средств, в т.ч. через финансово-кредитную систему).
Каждый закупленный продукт обеспечивает полезность, которая убывает по мере роста потребления, н каждый товар может быть закуплен по конкретной цене. Предельная полезность каждого товара связана с последней закупленной единицей или с последним затраченным долларом. Если мы разделим предельную полезность этой операции на цену товара, то полученное в результате соотношение, MUX/P^ представляет собой предельную полезность товара X в расчете на 1 долл. Это соотношение дает нам возможность сравнивать относительную удовлетворенность, полученную от покупки товаров с несоизмеримыми ценами, такими, как цены на хлеб и цены на автомобиль.
Теперь предположим, что потребитель имеет фиксированную сумму денег, и всю ее он должен потратить на яблоки и апельсины. Если последний доллар, потраченный на яблоки, обеспечивает более высокую предельную полезность, чем последний доллар, потраченный на апельсины, то потребитель должен купить больше яблок и меньше апельсинов. Но по мере того, как потребляется больше яблок, их предельная полезность убывает. По мере того, как потребляется меньше апельсинов, их предельная полезность возрастает. В конечном счете предельная полезность в расчете на 1 долл. уравнивается и для яблок, н для апельсинов. В этой точке потребитель больше не может повышать общую полезность путем покупки большего или меньшего количества того или другого товара. Потребитель находится в состоянии равновесия, потому что
^^апсльсины
РР
яблокиапельсины ,
Та же самая процедура может быть использовала для установления равновесия в потреблении других товаров. Далее, рассматривая деньги как товар, цена .которого всегда составляет 1 долл. за 1,долл., сэкономленный или удерживаемый на руках, мы можем установить общее правило для состояния равновесия потребителя: потребитель достигает максимального уровня полезности в точке равновесия, в которой предельная полезность в расчете на последний потраченный доллар одинакова для всех товаров, включая сбережения, т.е.
MU, MUR MUN ,
= —L = ... = _N- = MUU.(3
.. уЛВ"
Это уравнение представляет собой модель полезности д ля максимизации удовлетворенности потребителя, вклюЧ&я удовлетворенность удержанием или экономией денег1.
См. расчет уравнения (3) в Приложении 5А.
изНасколько реалистична эта модель, если учесть, что большинство потребителей вообще никогда не слышали о ней? Способна ли она объяснить или предсказать поведение реального потребителя? Если помнить, что полезность является личностной переменной, как уже говорилось ранее, то да. Нужно запомнить главное, что следует из этой модели: потребители всегда стремятся получить за свои деньги как можно больше. Сделать это не удается только из-за отсутствия информации.
Некоторые наблюдатели утверждают, что потребители не обязательно являются рациональными экономными людьми. В поддержку подобной точки зрения они указывают на такие признаки поведения потребителей, как привычка, лояльность, каприз, импульсивность, инерция и сопротивление нововведениям. Однако можно утверждать, что все признаки являются просто аспектами уникальной индивидуальной функции полезности каждого потребителя. Здравый смысл говорит нам, что если в момент принятия решения потребители знают, как получить за свои деньги больше, то они делают это.
Конечно, имеется множество поверхностных событий или условий, которые могли бы воздействовать на решение конкретного потребителя по поводу конкретной покупки в конкретный период. Но в основе этих поверхностных вариаций лежит устойчивая и последовательная схема поведения потребителя, в соответствии с которой он всегда стремится получить максимум полезности от ограниченного дохода. Потребитель делает это посредством распределения дохода на расходы для приобретения различных товаров в соответствии с личным восприятием предельной полезности в расчете на 1 долл. Таким образом, можно сказать, что потребитель достигает эффективности при покупке разных товаров посредством их уравнивания на предельном уровне и максимизации на общем уровне полезности.
Эффект рекламы и продвижение товара на рынок
Модель поведения потребителя, представленная в уравнении (3), показывает, что покупки потребителя регулируются отношением предельной полезности к цене. Это отношение колеблется, если меняется или предельная полезность, или цена. Например, предположим, что продажи говядины растут за счет продаж свинины. Результатом является дисбаланс в уравнении, так что
^^говядина ^ ^^свинина
~Р~Р'
говядинасвинина
Это неравенство показывает, что потребитель получает больше полезности в расчете на 1 долл. от говядины, чем от свинины. Поскольку домохозяйка покупает больше говядины и меньше свинины, предельная полезность говядины должна убывать, а предельная полезность свинины должна повышаться до тех пор, пока соотношение не станет равным.
Как при этих обстоятельствах производители свинины могут приостановить снижение своих продаж? У них есть две возможности: снизить цену на свинину, чтобы уравновесить соотношение, или изменить предельную полезность свинины. Поскольку полезность любого товара существует только в голове потребителя, предельная полезность может быть изменена с помощью рекламы и стратегии продвижения товара на рынок. Продвижение товара на рынок может включать в себя выставки в пунктах продажи, распространение рецептов на блюда из свинины или чего-то еще, что может убедить, что свинина - вкусное и полезное блюдо.
Предельная полезность и кривые спроса
MU г MU
“ - Ы1'м
Кривая спроса потребителя может быть получена из данных по предельной полезности. Как мы уже видели, если потребитель находится в состоянии равновесия, то предельная полезность в расчете на 1 долл. для любого конкретного товара равна предельной полезности денег, т.е.
Х М =MUM,(4)
Рх $1
где MUU - предельная полезность денег;
MUX - предельная полезность товара X;
Рх - цена единицы товара X.
Перекрестное умножение дает
РXMUU = MUX.(5)
Отсюда
MU
Рх=-•(6)
мииПредположим, что предельная полезность денег является постоянной, скажем, MUM= 2, а предельная полезность товараX равна MUX= 200 — 4Qr Используя эту информацию наряду с уравлением (6), мы получим данные, представленные в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Расчет цены на базе информации по предельной полезности товара X и предельной полезности денег
°х мих мим и - Ш*
Х мии
0 200 2 100
5 180 2 90
10 160 2 80
15 140 2 70
20 120 2 60
25 100 2 50
30 80 2 40
35 60 2 30
40 40 2 20
45 20 2 10
50 0 2 0
Если количество, Qr и цену, Рг представить графически, то результатом явится кривая линейного спроса, представленная на рис. 5.2. Направленный вниз наклон кривой спроса является прямым результатом закона убывающей предельной полезности. Если потребленное количество увеличивается на одну единицу, то предельная полезность снижается, если даже общая полезность и будет возрастать. Потребитель ие хочет обменивать ту же самую сумму денег на дополнительную единицу, которая имеет более низкую полезность. Поэтому цена должна падать, если нужен рост потребления.
$

Количество, требуемое эв период
Рис. 5.2. Кривая линейного спроса, полученная на базе информации но предельной иолезиости товара X и предельной полезности денег
Предельная полезность и потребительские излишки
Убывающая кривая спроса, представленная на рис. 5.2, показывает, что при цене в 100 долл. потребитель не будет покупать никакую продукцию. Потребитель готов платить 98 долл. за первую единицу продукции, 96 долл. - за вторую единицу, 94 долл. - за третью единицу и т.д., причем готов купить еще одну дополнительную единицу продукции при каждом снижении цены на 2 долл. Покупатель может взять максимум
единиц продукции, если товар будет отдаваться бесплатно, потому что на этом уровнепотребления предельная полезность равна нулю» а любое последующее потребление может привести к установлению отрицательной полезности.
Хотя этим и можно объяснить теорию кривой спроса, известно, что продукция не оценивается таким образом. Вместо этого устанавливается единая цена на все единицы, требуемые по этой цене (рис. 5.3). Из данного рисунка следует, что для того, чтобы продать Q. = 30 единицам данному конкретному потребителю, цена Pt устанавливается в 40 долл. за единицу для всех 30 единиц. Общие доходы продавца составляют 30 х 40 = 1200 долл., что представлено затененной областью ниже горизонтальной линии Р = 40 долл.; на диаграмме видно, что этот потребитель готов платить 90 долл. за каждые первые 5 единиц, 80 долл. за каждые вторые 5 единиц, 70 долл. за каждые третьи 5 единиц, 60 долл. за каждые четвертые 5 единиц и 50 долл. за каждые пятые 5 единиц. Разность между тем, что потребитель готов платить, и тем, что фактически выплачено, называется потребительскими излишками. Они представлены заштрихованной областью над горизонтальной линией Р = 40 долл.
$

Рис. 5.3. Цена для потребителя на 30 единиц продукции, которая реализовывалась в единицах продаж, состоящих из 5 единиц продукции каждая
Точная сумма потребительских излишков - это суммирование для всех единиц продаж разности между ценой едййицы продаж-которую потребитель Ротов заплатить, и ценой, фактйческм уплаченной? Цена единиШ ttpoaajt - ^тб цена единицы продукции, умноженная на количество единиц продукции в каждой единице продаж. Поскольку цена, которую потребитель готов платить за последнюю единицу продаж, — это то же самое. что цена, которая запрашивается, последняя единица продаж опускаг ется из суммирования. Формула, таким образом, имеет следующий вид:
п-1
(7>/= 1
где CS — потребительские излишки;
п — количество закупленных единиц продаж;
Ры — цена, которую потребитель готов платить за /'-ю единицу продукции;
Р, — цена, фактически уплаченная за /-ю единицу продукции;
Sl— количество единиц продукции в /-й единице продаж.
В этом случае закуплено 30 единиц продукции, но единица продаж - это пакет из 5 единиц продукции, поэтому п = 6. Рассчитаем потребительские излишки, воспользовавшись уравнением (7):
(90 - 40)5 = $250
(80 - 40)5 = 200
(70 - 40)5 = 150
(60 - 40)5 = 100
(50- 40)5 = 50
$750
В этом случае пределом потребительского излишка является область, ограниченная треугольником над горизонтальной линией Р = 40 долл., а в общем случае — треугольником над любой линией цены Р = Рг Теоретически этот предел никогда не может быть достигнут, иначе потребовалось бы бесконечное количество единиц на оси Xмежду началом координат и пересечением функции справа с осью X. На практике, однако, потребительский излишек примерно равен площади треугольника выше линии цены, если продается большое количество единиц. Предположим теперь, что 30 единиц продукции продаются в единицах продаж, каждая из которых состоит из одной единицы продукции (рис. 5.4), а не из пяти (см. рис. 5.3).
На рис. 5.3 и 5.4 представлено одно и то же количество продукции, проданное по одной и той же цене при одной и той же функции спроса. На обоих рисунках площадь треугольника над линией цены Р = 40 долл. представляет собой возможные максимальные потребительские излишки, измеряемые как [(30) (100 - 40)]/2 = 900 долл. На рис. 5.3 потребительский излишек удерживается при 750 долл. (83,3% от максимума), потому что единица продаж состоит из пяти единиц продукции. На рис. 5.4 единица продаж содержит одну единицу продукции и потребительский излишек удерживается при 870 долл., что составляет 96,7% от максимума.
Возникает вопрос: почему продавец не поднимает цену и не возмещает таким образом потребительский излишек? Потому что при более высокой цене количество, продаваемое в настоящее время, продано не будет. Имеется, однако, способ возмещения некоторой части потребительских излишков путем дисконтирования цены в зависимости от объема, что будет рассмотрено далее. Здесь мы обращаем внимание на! следующее: до тех пор, пока существует единая цена на товар, эта цена будет устанавливаться предельной полезностью последней (или наименее ценной) проданной единицы. Таким образом, мы можем определить потребительский излишек как дополнительную полезность, которую получают потребители, но не оплачивают, потому что от них требуется только уплатить цену, установленную предельной полезностью последней закупленной единицы.
Этот принцип объясняет, почему некоторые товары, такие, как драгоценные камни и драгоценные металлы, очень дорогие, в то время как другие товары, такие, как вода, очень дешевые. В большинстве случаев воды так много, что последний голлон, который мы готовы вылить на землю, не стоит многого. Таким образом, если воды очень много, то она является продуктом, предельная полезность которого становится очень низкой, если даже общая полезность его и очень высока. Еще более удивительным примером служит воздух, которым мы дышим. Его общая полезность — это стоимость самой жизни. Но предложение воздуха настолько велико, что цена последнего кубического фута, который мы вдыхаем, равна нулю. Следовательно, мы ничего не платим за первый драгоценный вдох стоимостью в целую жизнь.
$

Количество, требуемое за период
Рис. 5.4. Потребительские излишки по продажам 30 единиц продукции (1 единица продаж равиа 1 единице продукции)
Иллюстративная задача
Закончив весной университет, Питер М. был принят на работу в местную инвестиционную компанию в качестве специалиста по анализу финансовых систем. Новая работа требует, чтобы он одевался бопее строго, чем в студенческие годы. В частности, он должен теперь носить рубашки с воротничком под галстук, а не с открытым воротом. Предположим, функция полезности для Питера в отношении рубашек, которые носят под галстук, равна
TUX = 80QX - 2CV-
Вопросы
а.Если Питер купит пять рубашек с воротником под галстук, то какова общая и предельная полезность для него при таком уровне потребления?
б.Сколько рубашек под галстук дблжен купит Питер, чтобы максимизировать для себя общую Полезность?
а.Предположим, что предельная полезность денег Питера является постоянной и измеряется 2 утилями а расчете на 1 долл.
Постройте схему спроса Питера на рубашки с воротничком под гапстук.
Составьте уравнение спроса Питера на эти рубашки.
Постройте кривую спроса Питера.
г.Предположим, что Питер решает купить восемь рубашек с воротничком под гапстук. В соответствии со схемой его спроса рассчитайте, какую цену он должен заплатить и какими будут его потребительские излишки?
Решения
TUX = 80Q, - 20,’; dTU,
MUX — = 80 - 4Q,.
Если Q, = 5, TUX = 80(5) - 2(5)2 = 350 утипвн, то MUX в 80 - 4(5) = 60 утипвн.
б.Общая полезность максимальная, если предельная полезность равна нулю:
MUX ш 80 - 40, = 0;
Ох= 20.
в. 1. Схема спроса Питера имеет следующий «ид.
°х мих *4. ми.
р,= —1
0 80 2 40
1 76 2 38
2 72 2 36
3 68 2 34
4 64 2 32
5 60 30
6 56 28
7 52 26
8 48 2 24
9 44 2 22
10 40 2 20
11 36 18
12 32 2 16
13 28 2 14
14 24 2 12
15 20 2 10
16 16 2 8 ,
17 12 2 6
18 8 2 4
19 4 2 2
20 0 2 0
2. Для того чтобы найти функцию спроса Питера, необходимо выбрать любые две точки из схемы спроса (Q, Р) й ввести их в стандартную формулу дпя Линейного уравнения. Взяв конечные точки (0,40) и (20,0), мы получим

= 0 + ———(р* - 4о) = -0,5Р^ + 20, т.е. 0-40
Qx = 20 - 0,5РХ и Рх = 40 - 2QX.
3. Кривая спроса Питера имеет следующий вид.
$Кривая спроса

Количество, требуемое за период
г. Если Qx = 8, то Рх = 40 — 2Qx = 40 - 16 = $24.! В соответствии с такой схемой спроса Питер должен быть готов заплатить $38 + $36 + $34 + $32 + $30 + $28 + + $26 + $24 = $248 за первые восемь (с первой г?о восьмую) рубашек. Однако восемь рубашек фактически стоят ему всего только в х $24 = $192. Его потребительские излишки составляют $248 — $192 = $56.
Таким образом, стремление потребителей получить как можно больше за свои деньги отражено в их индивидуальных функциях спроса. Кривые рыночного спроса просто являются совокупностями всех индивидуальных кривыххпроса потребителей. Поскольку полезность базируется на индивидуальных вкусах » предпочтениях, каждая кривая рыночного спроса отражает совокупные рыночные предпочтения всех потребителей этого рынка. Следовательно, кривая рыночного спроса является мощным инструментом для производителей, позволяющим определить, что и в каком количестве необходимо производить.
Порядковый подход к потребительскому равновесиюХотя метод количественного подхода к полезности, которую можно извлечь из товара, концептуально приемлем и помогает понять поведение потребителя, трудно связать субъективные предпочтения потребителя с изменениями в ценах, доходах и с другими переменными рынка, которые являются объективными. Вследствие этого экономисты разработали альтернативную модель, которую мы называем порядковым подходом. Порядковый подход требует, чтобы комбинации товаров были упорядочены в порядке предпочтения.
При порядковом подходе к анализу спроса используются те же самые базисные допущения, что и при количественном подходе. Кроме того, делается допущение, что потребители способны ранжировать все воспринимаемые пакеты товаров: т.е. если они сталкиваются с двумя или более пакетами товаров и услуг, то они могут определить для них порядок предпочтения.
Порядок предпочтения не требует, чтобы потребители оценивали, какой объем полезности может быть получен от пакета товаров. Основополагающей является только способность определять порядок. Например* когда домохозяйка идет в супермаркет, она не считает утили, не определяет полезность каждого товара. Она просто выбирает предпочтительный товар, который, по ее мнению, принесет ей самое большое удовлетворение за ее деньги. Более того, степень предпочтения не имеет отношения к делу. Для потребителя совершенно достаточно подумать, субъективно или импульсивно, что один товар или пакет товаров лучше другого.
Если говорить точнее, то мы делаем допущение, что схема предпочтения потребителя обладает следующими характеристиками.
При наличии трех пакетов товаров (А, В и С), если человек отдает предпочтение товару А перед товаром В и товару В перед товаром С, то он должен отдавать предпочтение товару А перед товаром С. Аналогичным образом, если человек безразличен к товарам А и В и к товарам В и С, то он должен быть безразличен и к товарам А и С. И, наконец, если он не делает различия между товарами А и В и отдает предпочтение товару В перед товаром С, то он должен отдавать предпочтение товару А перед товаром С. Это допущение, очевидно, может быть отнесено к четырем или более различным пакетам.
Если человек может определить порядок для любой пары пакетов, выбранных наугад, то он может определить порядок для всей совокупности пакетов.
Если пакет А содержит столько же единиц каждого товара, что и пакет В, и, по крайней мере, хотя бы на одну единицу больше одного товара, то предпочтение должно быть отдано пакету А.' *
Теперь, когда определены наши базисные допущения и схема предпочтения потребителя, можно рассмотреть аналитические методы, используемые при порядковом подходе для получения той же самой модели состояния равновесия для потребителя, которая была получена с помощью количественного подхода.
Кривые безразличия
Потребители покупают и используют много товаров в различных количествах. Это факт, учитываемый функцией общей полезности TU:
TU = AXi,X1,...,Xn),(8)
где (Xv Xv ..., Xj - количества товаров, потребленные в расчете на период.
Для целей нашего анализа нам необходимо учитывать только два товара одновременно. Предположим, что X представляет количества одного товара или пакета товаров, потребленные в расчете на период, a Y - количества другого товара или пакета товаров, потребленные в расчете на период. Тогда уравнение (8) сводится к следующему виду:
TU = / (X, Y).(9)
Это уравнение описывает некоторую поверхность в трехмерном пространстве (рис. 5.5). Определим систему координат на плоскости осью X и осью Y. По оси X вычисляется потребление товара X, а по оси Y- потребление товара /за период. И X, и Квычисляются только как положительные величины. Общая полезность определена на оси TU. Имеется только одно значение полезности, TUXY, для каждой комбинации Хн Y. Поскольку возможно неограниченное количество комбинаций, не ограничено и количество значений полезности, каждое из которых представлено точкой в пространстве. Взятые вместе, эти точки образуют гладкую поверхность полезности.
TU
t

Рис. 5.5. Поверхность полезности - общая полезность, полученная в результате потребления различных комбинаций товаров X и Y
Поверхность полезности можно рассматривать как холм, на котором самая высокая полезность представлена самой высокой точкой поверхности. Полезность возрастает по мере того, как мы поднимаемся вверх по холму. Это объясняется увеличением потребления одного или другого товара либо обоих одновременно.
Если бы плоскость проходила через поверхность полезности, то она оставила бы на ней след. Если бы плоскость проходила под углом в 90° к основанию и параллельно одной из осей, то оставленный в результате след отражал бы функцию полезности этого товара. Таким образом, если Y постоянен и равен 0, а X изменяется, то вертикальное скольжение по оси Xоставляет след Ux на поверхности полезности. Аналогичным образом, если Xудерживается постоянным на уровне, равном 0, то вертикальное скольжение по оси Y должно оставлять след Ur
Эти следы, или линии на поверхности, являются кривыми функции полезности. Каждая из них выражает зависимость между общей полезностью и потреблением одного товара, в то время как потребление другого товара удерживается на постоянном уровне. Очевидно, поскольку может быть произведено бесчисленное множество вертикальных скольжений, можно построить бесчисленное множество кривых полезности. Наклоны индивидуальных кривых полезности обозначают предельные полезности переменного потребления товаров.
Если повторно горизонтально пересечь плоскостью фигуру, представленную на рис. 5.5, сохраняя ее параллельной основанию, то кривые уровня, такие, как АА, ВВ и СС, оставляют следы на поверхности. Каждый такой след представляет собой размещение всех возможных комбинаций X и У, обеспечивающих равную полезность.: Например, на левом конце кривой АА комбинация У1 единиц товара У и Л'единиц товара X обеспечивает А утилей общей полезности, что бы ни представлял собой утиль. На правом конце кривой АА комбинация X единиц X и А 'Единиц У также обеспечивает А утилей полезности. Кривая АА представляет собой все комбинации Хи Y, которые обеспечивают А утилей полезности. Логически потребитель должен быть безразличным к тому, какие из этих комбинаций использованы. Однако потребители не должны быть безразличными к тому, какой уровень полезности достигнут, поскольку мы делаем допущение, что потребители всегда стремятся к самому высокому уровню полезности, какой только может быть обеспечен их доходами.
Если кривые этих уровней спроектировать на основание фигуры Х—У, то результатом будет установление блока кривых безразличия на карте безразличия, таких, как А'А', В'В’ и СС. Основание Х—У, на котором строится карта безразличия, называется товарным пространством.<
Кривая безразличия ^ это совокупность всех комбинаций товаров X и У, которые обеспечивают один и тот же уровень общей полезности или удовлетворенности. Карта безразличия — это диаграмма, на которой отражены кривые безразличия.
. На рис. 5.6 продемонстрирована типичная карта, безразличия, на которой кривые £/,, U2 и У, представляют собой три множества возможных уровней полезности от потребления различных комбинаций X и У в течецие одного и того же периода. Поскольку все точки вдоль любой одной кривой представляют равные уровни удовлетворенности, потребитель не имеет предпочтений рреди позиций Л, В, Сили D. Но любые , ИЗ этих точек могут оказаться предпочтительными для позиции И', которая лежит на нижней кривой. , ., .. , ,.w ,,
Характеристики кривых безразличия!. Кривые безразличия имеют пять основных особенностей. . ;‘
Их количество неопределенно, и каждая точка в Товарном пространстве лежит на кривой безразличия.
Они непрерывны, а их склон направлен вниз.
Они вогнуты вверх (выгнуты к началу). .
Чем дальше кривая безразличия находится от пересечения осей координат, тем более высокий уровень полезности она представляет.
Они не могут пересекаться, потому что каждая кривая представляет разный и уникальный уровень полезности.
Кривые, не демонстрирующие рассмотренных здесь двойств, исключены из нашего анализа1.
Это кривые для полных замещений, кривые для полных дополнений и кривые для ситуаций, когда один товар желателен, адругой нет. Заинтересованнее студенты могут получить допол- нитепьную информацию в учебнике по стандартной теории ценообразования.
Y

Потребление X эа период
Рис. 5.6. Типичная карта безразличия
Предельная норма замещения
Ранее было замечено, что кривые безразличия вогнуты вверх и наклонены вниз. Эти характеристики вытекают из допущения убывающей предельной полезности. Поскольку понятие убывающей предельной полезности играет решающую роль в модели потребительского поведения, оно должно быть четко сформулировано.
Как уже говорилось ранее, различные комбинации товаров могут обеспечивать равные уровни общей полезности. Если потребитель остается на конкретной кривой безразличия, то один товар может быть замещен другим таким образом, чтобы потребитель был доволен, как и раньше. Норма, при которой потребитель готов производить такое замещение, - интересный и важный вопрос. Мы называем ее предельной иормой замещения, А" на К
Предельная норма замещения, X на Y (записывается как MRSозначает количество единиц Y, от которых следует отказаться, чтобы приобрести одну дополнительную единицу X при соблюдении условия постоянной общей полезности.
MRSxy — норма изменения. Она измеряется наклоном кривой безразличия, который неодинаков в каждой точке вдоль кривой'. Поскольку каждая точка представляет собой различную комбинацию товаров X и Y, каждая комбинация имеет разные URS„.
. 1 Для того чтобы найти наклон • точке Р, необходимо провести касательную к кривой • точке Р. Дал**, испопьзуя сегмент >той линии • качестве гипотенузы, построить правильней треугольник с основанием ДХ и высотой ДY. Наклон касательной дУ/дХ и является наклоном кривой «точкв Р.
Зависимость между MU и MRS. Существует ли зависимость между предельной полезностью и предельной нормой замещения? Конечно, существует, поскольку наклон кривой безразличия является прямым результатом закона убывающей предельной полезности.
Для того чтобы оценить эту зависимость, посмотрим, что произойдет, если мы будем спускаться вниз по кривой безразличия между любыми двумя точками. Потребление Y сокращается на AY единиц, что приводит к потере полезности в -AY MUY утилей. Но поскольку общая полезность остается неизменной по мере того, как мы движемся вниз по кривой, потеря полезности от потребления меньшего количества У четко компенсируется приобретением от потребления большого количества X, т.е.
-Д Y MUr = АХ MUX.(10)
Разделив обе стороны на -АХ MUy, мы получим
-Д Y MUr АХ ■ MUX
-АХ ■ MUr . -АХ ■ MUY ’(П)
так что наклон кривой равен
= (12) АХ MUy
Давайте вернемся к рис. 5.6, на котором потребление ^увеличивается приращениями по две единицы. Все точки на кривой безразличия U2 обеспечивают одинаковый уровень общей полезности, но по мере того, как мы движемся вниз по кривой, более мелкие приращения Y последовательно опускаются с целью увеличения X на две единицы без изменения общей полезности.
В точке А потребитель использует 16 единиц Y и 2 единицы X для обеспечения определенного уровня общей полезности, представленного кривой безразличия U2. Теперь предположим, что 4,2 единицы Yизъяты, что заставляет потребителя обозначить точку W на нижней кривой безразличия, Uv Изменение полезности от такого движе- ' ния составляет
AUy=-AY- MUy = -4,2MUy,
где MUy- предельная полезность Y, а знак «минус» означает потерю общей полезности. Но потерянная полезность может быть восстановлена замещением еще двух единиц X. Это отправляет потребителя назад, к кривой безразличия U2, к точке В. Полезность, приобретенная еще от двух единиц X, равна
ДUx= АХ- MUX=2MUX.
Поскольку общая полезность в точке В равна общей полезности в точке А, тогда
2MUX= -4,2MUy,
отсюда
Миу _4 ?
— = —— =-2,1,MUy 2
что указывает на отрицательный наклон.
Теперь, по мере того, как мы переходим от точки В к точке С, мы имеем
MUX _2,8
MRS„ =— = ——— =-14;
" MUY 2
затем, по мере перехода от точки С к точке D, мы имеем
MUX _i 5 MRS «у =— = —— =-0,75.
" MUY 2
Схема ясна: чем больше X потреблено, тем меньше его предельная полезность в сравнении с предельной полезностью 7, т.е. MRSубывает по мере увеличения потребления X. Это объясняет, почему кривая безразличия вогнута вверх. Только такая кривая может удовлетворять условию постоянна убывающего наклона.
MRS и обмен продукцией. Постоянно убывающая MRS — логический результат допущения, что предельная полезность товара убывает по мере того, как мы приобретаем большее его количество. Следовательно, чем больше товара имеет человек, тем охотнее он готов обменять его на другой товар. Например, человек, имеющий 10 пар рубашек и 1 пару туфель, охотно поменяет 3 рубашки еще на 1 пару туфель. Но если бы у него было 3 пары туфель и только 5 рубашек, то он мог бы, вероятно, поменять только 1 рубашку на еще 1 пару туфель,
Такая готовность обменивать то, что мы ценим меньше, на то, что мы ценим больше, действительно имеет место, независимо от того, кто является владельцем товара — отдельные лица, фирмы или страны. Таким образом, предельная норма замещения регулирует и внутреннюю, и внешнюю торговлю.
Иллюстративный примерДва производителя компьютеров - «JCOR» в Японии и «USCOR» в Соединенных Штатах — выпускают и используют микрочипы Q и Z. «JCOR» имеет предельную норму замещения между чипами Q и чипами Z, равную 6 чипам Q за 5 чипов Z. «USCOR» имеет предельную норму замещения между чипами Q и чипами Z, равную 13 чипам Q за 10 чипов Z.
Вопрос
Имеет ли смысл для корпорации вести своповую торговлю микрочипами? Если торговля желательна, то чем следует торговать и как?
Решение
Из-за различных норм предельного замещения между микрочипами Q и Z торговля между корпорациями может быть взаимовыгодной. Предположим, что «JCOR» обменивает 20 чипов Z на 25 чипов Q. «JCOR» отдает эквивалент в 24 чипа Q, но приобретает 25 в обмен. «USCOR» получает эквивалент в 26 чипов Q, но отдает только 25. Торговля желательна, потому что обе стороны выигрывают от обмена.
Бюджетная линия
Кривые безразличия отражают личные чувства потребителя и относительную стоимость, касающуюся потребления различных комбинаций любых двух товаров. Они показывают те комбинации X и 7, которые потребитель готов принять как равноудовлетворительные, и эти комбинации полностью независимы от доходов потребителя и от рыночных цен. Доход и рыночные цены определяют, что потребитель способен делать, в то время как кривые безразличия показывают, что потребитель готов делать. э‘
Способность потребителя покупать продукты X п У определяется бюджетными ограничениями, которые могут быть выражены графически как бюджетная линия или линия достижимых комбинаций. Предположим, что потребитель имеет ограниченную сумму денег, которую он может потратить на продукты X и У. Давайте предположим; что он потратит всю эту сумму. Уравнение бюдясета тогда будет иметь
ВИД
В = QXPX + QyPr,(13)
где В — бвджет (доход) потребителя, имеющийся для закупки продуктбв ХиУ, который можно Израсходовать целиком;
Qx — количество продукта X, закупленного на протяжении определенного периода;
Qy — количество продукта У, закупленного на протяжении определенного периода;
Рх — цена продукта Х\
PY - цена продукта У Для того чтобы объяснить, что же такое бюджетная линия, предположим, что потребитель имеет 25 долл., которые он может затратить на продукты X и У, стоимость которых составляет 5 долл. за единицу. Как показано на рис. 5.7, если бы весь бюджет был израсходована на У, то потребитель мог бы приобрести пять единиц У. Отсюда пересечение бюджетной линии с осью У находится в точке (0, 5). Аналогичным образом если бы весь бюджет был потрачен на X, то потребитель мог бы купить пять единиц X. Отсюда пересечение бюджетной линии с осью X находится в точке (5, 0). Линия бюджета представлена прямой Bv расположенной между этими двумя точками.
Бюджетная линия или линия достижимых комбинаций — это совокупность всех комбинаций продуктов X и Y, которые могут быть приобретены, если весь имеющийся доход будет потрачен на X и Y., ' /
На рис. 5.7 также представлено семейство бюджетных линий длятрех уровней дохода. При цене на продукты Хи Y, продолжающей,оставаться, постоянной на уровне 5 долл. за единицу, линия В2 представляет бюджет в 30 долл., а Линия Вг - бюджет в 75 долл. Линии параллельны, потбму что цены не изменились. Однако линия В4 имеет иной наклон, потому что цены изменились - 7 долл. за единицу для Хи 3 долл. за единицу для Y (по сравнению с бюджетом в‘S0 дел®)-,^
Любая линия бюджета пересекается с осью Y в точке В/Рг а с осью X — в точке В/Р^ Если мы будем перемещаться вниз по линии отпересечения с осью У до пересечения с осью X, то Д У составит —В/Ру единиц, а ДХсоставит В/Рх единиц. Следовательно, наклон линии равен
А У ~вру ~врх pi
АХ ВРХ BPY PY '
Уравнение констатирует^ что наклонлинии бюджеМ является отрицательным йока* зателем отношения цены Xк цене Y.
Потребительское равновесиеРавное допущение, на базе которого строится теория поведения потребителя, состоит в том, что потребители стремятся разместить свои ограниченные денежные доходы на покупку имеющихся товаров и услуг таким образом, чтобы максимизировать свою удовлетворенность (полезность). Другими словами, потребители всегда пытаются достичь состояния равновесия при как можно более высоком уровне удовлетворенности между тем, что они готовы покупать, и тем, что они способны купить.
Как показано на рис. 5.8, точка равновесия может быть найдена путем вычерчивания бюджетной линии на карте безразличия для продуктов X и У. Поскольку количество кривых безразличия на карте безразличия является неопределенным, одна кривая может быть касательной к бюджетной линии независимо от того, где она пролегает. Точка касания - это точка равновесия, представляющая достижимую комбинацию X и Y, которая обеспечивает наиболее высокий уровень полезности.
Y

Количество X эа период
Рис. 5.7, Семейство бюджетных линий
На рис. 5.8 показано, что бюджетная линия является касательной к кривой безразличия, Uv в точке М, в которой потребитель приобретает девять единиц У и шесть единиц X. Поскольку кривые безразличия могут не пересекаться, понятно, что 11г представляет наиболее высокий уровень полезности, который может быть достигнут при имеющемся бюджете. Кривая безразличия, представляющая более низкий уровень, может пересекать линию бюджета в двух местах. Нетрудно уви- . деть, почему точка М предпочтительнее любой другой точки на бюджетной линии. Например, в точке L также расходуется доход, но в этой точке уровень полезности наверняка ниже, чем в точке М, потому что точка L лежит на кривой безразличия, которая расположена ниже.

Количество X за период
Рис. 5.8. Потребительское равновесие
В точке касания кривой безразличия и бюджетной линии наклон кривой безразличия равен наклону бюджетной линии, т.е.
MUy Ру
,(15)
MUY PY
чем легко манипулировать, чтобы обеспечить
MUy MUY
- =-. (16)
Р Р
XГ Y
Вывод из этого примера с двумя продуктами может быть расширен, чтобы охватить всевозможные товары, которые потребитель мог бы купить, включая будущее потребление. Это приводит к составлению общего уравнения для достижения оптимального размещения дохода потребителя во всевозможных товарах, которое имеет вид
TOC \o "1-5" \h \z MU. MUKMU ы
А в ~N(17)
Ра РвPn
Это та же самая модель, которая обеспечивается количественным подходом. Модель говорит о том, что общая полезность от потребления максимизируется, если доход потребителя распределяется таким образом, что предельная полезность в расчете на 1 долл. затрат по каждому товару является одинаковой. Как и раньше,
модель рассматривает деньги, находящиеся в сбережениях или каким-то иным образом оказавшиеся неизрасходованными, в качестве товара с ценой в 1 долл. за 1 долл.
Иллюстративная задача
Некоторый потребитель имеет 100 долл., которые он должен потратить на говядину, цыплят и рыбу. Предположим, что его функции полезности имеют следующий вид:
TUB = 400QB - 10QB2;
TUC = 550QC - 20QC2;
TUF = 200Qf - 5Qf2,
где 8, С, и F обозначают говядину, цыплят и рыбу, соответственно. Кроме того, предположим, что средняя цена за фунт равна
Рв = $4,00;
Рс = $2,50;
PF = $4,00.
Вопрос
Как следует израсходовать 100 долл. этому потребителю, чтобы максимизировать общую полезность?
Решение
Предельные полезности говядины, цыплят и рыбы являются первыми производными соответствующих функций общей полезности:
MUB = 400 - 20QB;
MUC = 550 - 40QC;
MUF = 200 - 10Qf.
Общая полезность является максимальной, если
MUB MUC MUF
TOC \o "1-5" \h \z РвРсР F
Взяв первую пару товаров, говядину и цыплят, мы получим
MUB 400-20QB 550 - 40QC MUC
Рв4,002,50Рс
Выполнив перекрестное умножение, мы получим
1000 - 50QB = 2200 - 160Qc;
-50QB = 1200 - 160QC;(18)
QB = -24 + 3,2QC.
Взяв вторую пару товаров, цыплят и рыбу, мы получим
б-I854
MUC 550 - 40QC 200 - 1QQF MU F Pc2,504,00PF
Выполнив перекрестное умножение, мы получим
2200 - 160QC = 500 - 25QF;
-160Qc = -1700 - 25QF;(19)
Qc= 10,625 + 0,15625QF.
Общие затраты составляют
4,00QB + 2,50QC + 4,00QF = 100;
4,00QB = 100 - 2,50QC - 4,00QF;(20)
QB = 25 - 0,625QC - Qf.
Подставив уравнение (19) в уравнение (20), мы получим
QB = 25 - 0,625QC - Qf =
= 25 - 0,625(10,625 + 0,15625QF) -QF =(21)
= 25 - 6,640625 - 0,09765625QF - QF =
= 18,359375 - 1,09765625QF.
Подставив уравнение (19) в уравнение (18), мы получим
QB = -24 + 3,2 Qc = -24 + 3,2(10,625 + 0,15625QF);(22)
QB = -24 + 34 + 0,5Qf = 10 + 0,5QF.
Приравняв уравнение (21) к уравнению (22), мы получим
18,359375 - 1,09765625QF = 10 + 0,5QF;
-1,59765625QF = -8,359375;
Qf = 5,232273839 * 5,23 фунта рыбы.
Подставив Qf в уравнение (19), мы получим
Qc = 10,625 + 0,15625QF = 10,625 + 0,15625 (5,232273839) =
= 11,44254279 * 11,44 фунта цыплят.
Подставив Qf в уравнение (22), мы получим
QB = 10 + 0,5Qf = 10 + 0,5 (5,232273839) = 12,61613692 * 12,62 фунта говядины.
Таким образом, 100 долл. потребителя должны быть израсходованы следующим образом:
12,62 фунта говядины по $4,00 за фунт = $50,48
44 фунта цыплят по $2,50 за фунт = $28,60 5,23 фунта рыбы по $4,00 за фунт = $20,92
$100,00
ВыводыПоведение потребителя легче всего объяснить с точки зрения полезности, которая определяется как удовлетворенность, получаемая от наличия, использования или потребления товаров или услуг. Концептуально полезность может измеряться в количественных единицах, называемых утилями, хотя мы не имеем возможности определить их.
Предельная полезность определяется как изменение в общей полезности, вызванное увеличением на одну единицу в потреблении какого-то продукта (товара или услуги). Определение общей полезности как функции потребления позволяет нам установить закон убывающей полезности. Этот закон гласит, что предельная полезность убывает по мере увеличения потребления и становится равной нулю в точке насыщения, в которой общая полезность является максимальной. Последующее потребление способно установить отрицательную полезность, когда предельная полезность становится отрицательной, а общая полезность снижается.
Максимальная общая полезность ото всех товаров, рассматриваемых в совокупности, возникает тогда, когда предельная полезность в расчете на 1 долл. одинакова для всех товаров, включая деньги (сбережения), т.е. когда
миА MUBMUN
ГАГ ВN
Если такое уравнение превалирует, то говорят, что потребитель находится в состоянии равновесия, получая наибольшее удовлетворение за деньги, которые он потратил или сэкономил. Потребитель может быть выведен из состояния равновесия изменением в цене или в собственном понимании предельной полезности.
Кривая спроса потребителя на конкретный товар непосредственно связана с предельной полезностью этого товара. Кривая спроса, направленная вниз, подчиняется закону убывающей предельной полезности.
Кривая спроса говорит о том, что на каждую последующую единицу или долю единицы, на которую имеется спрос, цены различны. Однако в реальной жизни, если устанавливается конкретная цена, то весь товар, на который существует спрос, продается именно по этой цене. Цена должна основываться на предельной полезности последней проданной единицы, имеющей наименьшую ценность. Поскольку некоторые потребители готовы платить более высокую цену, говорят, что имеет место потребительский излишек.
Уравнение потребительского равновесия также может быть получено при помощи порядкового подхода, при котором необходимо, чтобы потребители были способны упорядочить товары в порядке предпочтения. Если такой порядок установлен, то пары товаров могут объединяться в несчетное количество комбинаций, которые обеспечивают тот же самый уровень общей удовлетворенности. Графическое изображение этих комбинаций дает кривую безразличия на карте безразличия.
Наклон кривой безразличия называется предельной нормой замещения, X на Y (MRSxy), и равен отрицательному значению MUx/MUr Он представляет количество одного товара, У, от которого можно отказаться, чтобы получить одну дополнительную единицу другого товара, X, не меняя общую полезность, полученную и от X, и от Y вместе взятых. По мере того, как мы продвигаемся вниз по кривой безразличия, MRSXY убывает как прямой результат закона убывающей предельной полезности.
Кривые безразличия представляют то, что потребитель готов делать. То, что потребитель способен делать, представляют при помощи бюджетной линии (линии достижимых комбинаций). Бюджетная линия определяется как совокупность всех комбинаций товаров X и У, которые могут быть закуплены при полном расходовании данного дохода или бюджета. Наклон бюджетной линии представляет собой отрицательную величину соотношения цен на товары, —PX/PY.
Если бюджетная линия строится на карте безразличия, то она должна касаться какой-либо кривой безразличия в конкретной точке, представляющей определенную комбинацию X и У Это максимальная общая полезность, достижимая в пределах ограничений бюджета, и это точка состояния равновесия для потребителя. В этой точке наклон кривой безразличия и наклон линии бюджета — одно и то же, т.е.
MUx_Jx MUY PY '
Следовательно,
MUX MUy
р р
гх гу
В общем виде уравнение или модель потребительского равновесия при распределении дохода на все товары, включая возможную экономию, имеет вид
TOC \o "1-5" \h \z MU. MUKMU N
± =- = ... =L = MUM.
Р РР
ГАГВrN
ЗадачиОбъясните почему вода, которая имеет . такое важное значение для жизни, так дешева, в то время как драгоценные камни, в которых мы в сущности не нуждаемся, стоят так дорого.
Для того чтобы построить модель поведения потребителя, необходимо сделать допущение, что человек способен измерять степень удовлетворенности, получаемой от потребления еще одной дополнительной единицы. Верно это или нет? Объясните почему.
Бетти Дж., мать троих детей, гордится тем, что ей удается кормить семью из пяти человек при ограниченном бюджете на питание, который включает 150 долл. в месяц на мясные продукты. Раз в месяц супермаркет «Safeway» производит распродажу цыплят по цене 1 долл. за фунт. Бетти покупает 150 фунтов и хранит цыплят в своей морозилке.
К сожалению, это поглощает ее месячный бюджет на мясо, поэтому семья вынуждена есть цыплят каждый день в течение месяца.
а.Как могла бы реагировать ее семья на такие «выгодные» закупки?
б.Какие руководящие принципы могли бы вы предложить Бетти, которым она могла бы следовать в своих будущих покупках? Поясните подробнее.
Если потребитель находится в состоянии равновесия, а предельная полезность последней потребленной единицы X вдвое выше предельной полезности последней потребленной единицы У, то какова зависимость между ценой Хи ценой Y!
Каково уравнение потребительского равновесия, полученное при помощи количественного подхода и каковы основы для его получения? Каковы условия для потребительского равновесия в соответствии с порядковым подходом? Покажите, что оба подхода приводят к одному И тому же уравнению потребительского равновесия.
Эрнест Р., недавний выпускник крупного среднезападного университета, получил должность в международной фир
ме, которая требует, чтобы он много ездил по Европе и Дальнему Востоку. В этой фирме принято, что ее служащие должны хорошо одеваться. Эрнест знает, что если иметь достаточное количество галстуков, с тем чтобы менять их каждый день, то можно создать впечатление хорошо одетого молодого служащего, к чему он и стремится. Он оценивает свою функцию полезности для галстука как TUN= 160Qn- 4Qn2, а его предельная полезность денег составляет 2,5.
а.Сколько галстуков должен купить Эрнест, чтобы максимизировать свою степень удовлетворенности?
б.Постройте схему спроса Эрнеста на галстуки.
в.Если цена галстука составляет 12,8 долл., то сколько галстуков готов купить Эрнест и каковы его потребительские излишки?
Далее представлена карта безразличия с бюджетной линией. Предположим, что X стоит 8 долл. за единицу.

Единица Y за период
Единица X за период
а.Какова цена К?
б.Вычислите уравнение для бюджетной линии.
в.Постройте новую бюджетную линию при цене на X, доходящей до 12 долл. за единицу, и при цене на Y, остающейся неизменной. Используйте карту безразличия для определения того, будет ли общая полезность убывать или увеличиваться.
г.Допустим следующее: Рх= 8 долл.; PYf= 5 долл., бюджет = 200 долл. Постройте новую бюджетную линию.
Предположим, что покупатель равно удовлетворен комбинациями яблок и апельсинов.
Апельсины Яблоки
3 9
5 7
7 5
9 3
11 1
а.Какова предельная норма замещения между апельсинами и яблоками? Меняется ли она?
б.Какая, по мнению покупателя, полезность выше: апельсинов или яблок?
в.Реальная ли эта ситуация? Поясните.
На приведенном далее рисунке представлена карта безразличия, на которой построены две бюджетные линии, М и N. Предположим, что цена товара /равна 5 долл.
Y

а.Зная, что бюджетная линия потребителя — линия М, а потребитель находится в состоянии равновесия, ответьте на следующие вопросы.
Какая доля бюджета потребителя предназначена для покупки Хц Y!
Какова удельная цена А?
Каково уравнение для линии Л/?
Какова оптимальная комбинация Xи Y в точке С? Какова предельная норма замещения?
Почему потребитель не должен покупать комбинации товаров Хи Y, представленные точкой А или точкой В на диаграмме? Объясните это в терминах MRS.
б.Предположим, что общие расходы остаются неизменными, а бюджетная линия смещается к линии N. Ответьте на следующие вопросы.
Какова теперь цена XI
Каково уравнение для линии N ?
Какова оптимальная комбинация Xи У в точке D ?
4) Какова MRS в точке D ?
Индия и Индонезия производят хлопковое и льняное полотно. Внутренний рынок Индии имеет предельную норму замещения между хлопком и льном, равную 40 ярдам хлопкового полотна за 10 ярдов льняного. Внутренний рынок Индонезии имеет предельную норму замещения между хлопком и льном, равную 120 ярдам хлопкового полотна за 20 ярдов льняного. Имеет ли смысл для обеих стран обмениваться хлопковым и льняным полотном? Если да, то чем следует торговать?
Предположим, что человек, который только что неожиданно получил 20 000 долл., оказался перед лицом следующего неравенства:
MU„MU .
сбереженияновый автомобиль
__ _ . сбереженияновый автомобиль
а.Что должен сделать этот человек: вложить свои средства в фондовый денежный рынок или купить новый автомобиль?
б.Предположим, что цена нового автомобиля увеличивается. Повлияет ли это на решение потребителя?
в.Предположим, что проценты по вкладам на фондовом денежном рынке увеличиваются. Каков будет результат?
Предположим, что следующие данные описывают предпочтения и возможности Джейн Джэксон, которая имеет
долл., предназначенные для покупки товаров Ха У:
MUX = 60 - 2Х\ Рх = $2;
MUy = 48 - У; ?к=$4.
Какую комбинацию X и У должна выбрать мисс Джэксон, чтобы максимизировать свою полезность?
Компенсация для управленческого персонала фирм часто включает дополнительные доходы нерегулярного характера и доплаты к заработной плате, такие, как бесплатный проезд, служебный автомобиль и опцион на акции.
а.Почему при прогрессивной налоговой системе свободные от налогообложения доплаты к заработной плате и дополнительные доходы нерегулярного характера имеют более высокую полезность, чем более высокая заработная плата?
б.Как повлияло на полезность свободных от налога доплат к заработной плате снижение максимальной ставки подоходного налога с 50 до 33%?
в.Каков будет эффект единого подоходного налога в 20%?
Джек Миллер надеется поступить в школу управления в следующем семестре. Для того чтобы его приняли, он должен поднять свою среднюю успеваемость на
15. Сегодня — последний день занятий, поэтому у Джека осталось пять дней на подготовку к выпускным экзаменам. В отчаянии Джек просит вас, старших студентов-экономистов, посоветовать ему, как можно максимизировать среднюю успеваемость. Выпускной экзамен Джека по химии составляет 35% от его выпускной оценки; по математике - 35%; по математическому анализу - 30%. Поскольку математический анализ — профилирующий предмет для поступления в школу управления, оценка по этому курсу вдвое важнее, чем по остальным. Если Джек планирует заниматься по семь часов ежедневно, то сколько часов он должен потратить на подготовку к каждому выпускному экзамену?
Список литературыBaumol, W.J. Economic Theory and Operations Analysis, 4th ed., chap. 9. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1977.
Hausman, Jerry A. «Exact Consumer's Surplus and Deadweight Loss». American Economic Review, 71, no. 4 (September 1981), pp. 662-76.
Haveman, Robert H.; Mary Gabay; and James Andreoni. «Exact Consumer's Surplus and Deadweight Loss: A Correction». American Economic Review, 77, no. 3 (June 1987), p. 494.
Hull, L.; P.G. Moore; and H. Thomas. «Utility and Its Measurement». Royal Statistical Society Journal 136, part 2 (1973), pp. 226-47.
Hyman, David N. Modern Microeconomics, 2nd ed. Homewood, 111.: Richard D. Irwin, 1988.
Schoemaker, PJ.H. «The Expected Utility Model: Its Variants, Purposes, Evidence and Limitations». Journal of Economic Literature, 20 (June 1982), pp. 529—63.,
Willig, R. «Consumer's Surplus without Apology». American Economic Review, 66 (September 1976), pp. 589-97.
Приложение 5А. Математическое выражение потребительского равновесияПотребитель может или израсходовать, или сберечь весь свой доход, так что
/=/»*;+ /yr2 + :„ + рд,. ‘ (1)где/ — доход потребителя;
Xv Хг, ... , Хл — количество товаров п, один из которых - сбережения;
Pv Рг, • , Р„ - ueHj.1 на товары п.
Потребитель хочет максимизировать
TU = J{XV Х2, ... , Хп)(2)
во исполнение ограничения уравнения (1).
Уравнение (2) максимизировано, если каждая из его частных производных и уравнение ограничения равны нулю. Однако это дает систему из (п + 1)-го уравнения с п переменными, которая не может быть решена. Следовательно, должна быть введена искусственная переменная, известная под названием множителя Лагранжа. Греческая буква «лямбда» (к) обычно используется в качестве символа для множителя Лагранжа.
Приравняем уравнение ограничения к нулю, умножим его на А. и сложим полученный результат с уравнением (2). Это дает
TOC \o "1-5" \h \z TU = /(Xv Х2, ... , Хп) + Щ - Pft - Р2Х2 - ... - РХп).(3)
Предельная полезность каждого товара является его собственной частной производной. Взяв частные производные от уравнения (3), мы получаем
dTU - MUу -Я?, =0;(4)
дХу
дти
дХ2
Л.]
= MUx-XP2 = 0;(5)
dTU - MUX -ЯР,, = 0;(6)
dTU
= 1-Р,Х,-Р2Х2-...-РяХ= 0.(7)
дХУравнение (7) говорит о том, что весь доход израсходован (или сбережен), если общая полезность является максимальной. Разделив уравнения (4), (5) и (6) на Р{, Р2, ... , Рп, соответственно, мы получаем
MUX MUX михр р р
Х\ Х2 Х,
Вещи, равные одной и той же вещи, равны также и друг другу. Поскольку деньги — это один из товаров, мы делаем вывод, что общая полезность максимальна, если предельная полезность последнего истраченного или сохраненного доллара одинакова для всех товаров, т.е.
мих миХг михР РР
X.г X,гх„
ГЛАВА6
ФУНКЦИИ СПРОСА И ЭЛАСТИЧНОСТЬ СПРОСАДля профессионального экономиста термин «спрос» имеет специфическое значение. Он обозначает количество единиц конкретных продуктов (товаров или усдуг), которое потребители готовы и способны купить при четко установленных условиях времени, места, цены и т.д. Таким образом, спрос является функцией множества независимых переменных или детерминантов спроса; он может быть выражен алгебраическим уравнением, диаграммой или таблицей.
Чувствительность требуемого количества к изменениям в детерминантах спроса называется эластичностью спроса. Измерения эластичности по отношению к изменениям в цене, доходе или ценах на другую продукцию могут помочь руководителям бизнеса понять рыночные характеристики товаров или услуг, которые они продают, и таким образом могут оказать им помощь при планировании стратегий маркетинга (особенно ценообразования).
План главыНастоящая глава подразделена на два основных параграфа.
Функции рыночного спроса. В этом параграфе мы рассматриваем концепцию функции рыночного спроса. Практически рыночный спрос — это рыночное проявление переменных, полученных из теории потребительского поведения, которая анализировалась в предыдущей главе. Руководство фирмы осуществляет контроль над некоторыми из этих переменных, например, такими, как цена и качество продукции, обслуживание потребителя и расходы на рекламу. Другие переменные, такие, как вкусы потребителя, предпочтения и ожидания, не могут контролироваться фирмой, но на них может оказывать воздействие высокопрофессиональная кампания по рекламе и продвижению товара на рынок. Некоторые другие переменные, такие, как доход потребителя, цены на аналогичную продукцию, диапазон имеющихся товаров и услуг, количество потенциальных потребителей и процентная ставка, полностью выходят за пределы контроля со стороны руководства фирмы. Независимо от степени контроля, осуществляемого фирмой над конкретными переменными спроса, их воздействие на спрос должно быть измерено с тем, чтобы можно было разработать успешную стратегию, маркетинга.
Эластичность спроса. В этом параграфе обсуждается эластичность цен, которая представляет собой измерение чувствительности спроса к изменениям цены. Кроме того, здесь рассматриваются еще три типа эластичности спроса, которые обычно встречаются в экономическом анализе, маркетинге, а также других экономических дисциплинах: эластичность спроса и доходы, перекрестная эластичность спроса и эластичность рекламы. Рассматриваются три способа измерения эластичности (точечная эластичность, дуговая эластичность и графическое измерение). В настоящем параграфе также объясняются зависимости эластичности и общих доходов (TR) и эластичности и предельных доходов (MR). Показано, как понимание этих зависимостей может помочь фирме разработать эффективную систему ценообразования на ее продукцию.
Функции рыночного спросаРуководители бизнеса знают, что спрос на большую часть продукции находится под воздействием множества факторов, а не только цены. Следовательно, базисная функция спроса устанавливает зависимость между требуемым количеством и всеми переменными, оказывающими воздействие на спрос. Тем не менее именно эффект цены в отношении этого требуемого количества, если все другие переменные сохраняются постоянными, представляет собой интерес при анализе спроса. Условно обозначим
е,=/(/% хг,..., х„),где Qd — требуемое количество; Р — цена; Xt, Xv ... , Xn — все другие детерминанты спроса, которые сохраняются постоянными, как это показано вертикальной линией в формуле.
Рыночный спрос и функция спроса фирмы
В предыдущей главе мы видели, что спрос создается поведением отдельных потребителей. Отдельные функции потребительского спроса отражают то количество конкретного товара, которое потребитель готов и способен закупать по определенной цене в пределах определенного диапазона цен в конкретное время и в конкретном месте, допуская, что все переменные спроса, кроме цены, сохраняются постоянными. Функция рыночного спроса — это сумма всех функций потребительского спроса на данном рынке. Таким образом, индивидуальные количества, запрашиваемые по данной цене, объединяются для образования рыночного спроса на продукцию по этой цене. Если подобная процедура будет повторена для всех цен, то сумма будет обеспечивать рыночный спрос.
Важно понимать характер зависимости между рыночным спросом и функцией спроса отдельной фирмы.
Все рынки одинаковы в том отношении, что они состоят из покупателей и продавцов, тогда как третьи стороны, такие, как брокеры и агенты, являются посредниками между ними. Однако в рамках этой структуры рынки и рыночный спрос существенно отличаются друг от друга по размеру, механизму и динамике. Например, Соединенные Штаты в целом представляют собой широкий рынок для целого ряда бытовых изделий, в то время как только в штатах, находящихся в зоне сильных снегопадов, имеется внутренний рынок для такой продукции, как снегоходы. С другой стороны, рынок экспонатов для коллекций, таких, как монеты, картины и марки, состоит из относительно небольшого количества потребителей, рассеянных по всему миру.
Понятно, что спрос на продукцию фирмы — это какая-то часть общего рыночного спроса на продукцию этого типа. Однако это не означает, что функция спроса фирмы - это уменьшенный в масштабе вариант функции рыночного спроса. Многие факторы (за исключением цены), воздействующие на спрос, необязательно одни и те же для фирмы и для рынка.
Базисная зависимость между функцией спроса фирмы и рыночным спросом зависит от рыночной структуры1. В рыночной структуре, которой присуща чистая конкуренция, кривая спроса фирмы является горизонтальной линией, хотя кривая рыночного спроса имеет наклон, направленный вниз. В рыночных структурах, в которых существует конкуренция между производителями (например, монополистическая конкуренция и олигополия), спрос фирмы оказывается под воздействием деятельности конкурентов, которые могут оказывать несущественное или могут не оказывать вовсе никакого воздействия на общий рыночный спрос. При монополии спрос фирмы — это рыночный спрос.
Независимо от рыночной структуры, именно эта кривая спроса, с которой сталкивается фирма, имеет самое большое значение для решений фирмы в отношении ценообразования, производства и продвижения ее продукции на рынок.
Количественный спрос и изменения в спросе
1 Способы определения цен, объема выпуска и конкурентных стратегий в различных рыночных структурах рассматриваются в гл. 15.
Студент должен осторожно подходить к различию между изменениями в требуемом количестве и изменениями в спросе. Если цена меняется, а другие переменные остаются постоянными, то результатом является изменение в требуемом количестве, как это показано на рис. 6.1, вариант А. Снижение цены с Рх до Рх2 приводит к перемещению вдоль кривой спроса из точки А в точку В по мере того, как требуемое количество меняется от X, до Хг
А. Изменение в требуемом количествеВ. Увеличение спроса
ЦенаЦена


Рис. 6.1. Изменение в требуемом количестве н изменение в спросе


На рис. 6.1, вариант В, показан эффект изменения дохода по отношению к спросу на стандартную продукцию. Стандартная, или нормальная, продукция определяется как продукция, потребление которой увеличивается по мере увеличения дохода, напротив, продукция худшего качества - это такая продукция, потребление которой уменьшается с увеличением дохода. На данном рисунке, начиная с кривой спроса Dv увеличение дохода заставляет всю кривую смещаться в сторону Dr Таким образом, все большее количество требуется при всех уровнях цен. И напротив, уменьшение дохода снижает требуемое количество также при всех уровнях цен, и кривая смещается в сторону Dy
Именно таков смысл термина «изменение спроса». В случае с продукцией худшего качества увеличение дохода будет заставлять кривую спроса смещаться в противоположном направлении, т.е. в сторону происхождения. Дело в том, что изменение дохода способствует смещению кривой спроса в том или ином направлении, в зависимости от типа товара. Более того, смещение кривой спроса может быть вызвано не только изменением дохода, но также и изменением любой переменной, исключая цену.
Характер функции спроса
Когда экономист говорит о рыночном спросе или о кривой спроса, эти термины касаются спроса только как функции цены при условии, что другие переменные постоянные. Конечно, спрос также может быть выражен функцией любой другой единственной переменной при условии, что все остальные переменные остаются постоянными, с использованием того же самого анализа, который применим к спросу как функции цены. Кроме того, он также может быть выражен функцией множества переменных.
Предположим, что крупный производитель продовольствия идентифицировал мно- говариантную функцию спроса на марку швейцарского сыра на национальном рынке. Функция имеет следующий вид:
Qx = 5 - 10Рх + 15 Рг - 25 Рг + 0,001/,(1)
где Qx — годовое потребление швейцарского сыра марки X (в фунтах) в расчете на одну семью;
Рх — цена за один фунт швейцарского сыра марки Х\
PY — цена за один фунт сыра марок, конкурирующих с маркой швейцарского сыра;
Р2 — индекс цен упаковок в 10 унций крекеров типа легкой закуски;
/ — среднегодовой доход семьи.
Уравнение (1) может быть получено при помощи линейной регрессии данных, собранных на основе или собственной документации фирмы, или вторичных источников опубликованной статистики. В любом случае оценка функции спроса — это, в сущности, вопрос оценки ее коэффициентов на основе данных об ее переменных. Коэффициенты уравнения (1) демонстрируют воздействие каждой переменной на общий спрос при условии, что все другие переменные остаются постоянными:
— 10Рх говорит о том, что увеличение на 1 долл. цены на швейцарский сыр марки X может привести к сокращению на 10 фунтов его годового потребления среднестатистической семьей;
15Ру говорит о том, что увеличение на 1 долл. цены на конкурирующие сорта сыра может привести к увеличению на 15 фунтов потребления швейцарского сыра марки Х\
, -25Pz говорит о том, что 100%-ное увеличение цены на крекеры закусочного типа может привести к сокращению на 25 фунтов потребления швейцарского сыра марки X,
001/ говорит о том, что увеличение на 1000 долл. среднегодового дохода семьи может привести к увеличению на 1 фунт потребления швейцарского сыра марки X. Теперь давайте предположим следующие стоимости переменных на будущий год:
Рх= $2,50;
Рг = $3,00;
Pz= $1,00;/= $30 000.
Как следует из табл. 6.1, предполагаемые продажи швейцарского сыра марки X в будущем году должны составить 30 фунтов на семью.
Таблица 6.1
Функция спроса: оценка объема продаж швейцарского сыра марки X
(1) (2) (3) (4)
Независимая переменная Предполага Величина Общий
емая сто коэффици результат
имость не ента в урав (2) х (3)
зависимой нении переменной спроса Постоянный чпен +5,0
Рх $2,50 -10,0 -25,0
ру $3,00 + 15,0 +45,0
pz 1,00 -25,0 -25,0
1 $30 000,00 +0,001 +30,0
Ожидаемый объем продаж +30,0
Уравнение спроса для Qx как функции цены, при условии, что все другие переменные сохраняются постоянными при величинах, представленных в табл. 6.1, может быть вычислено следующим образом:
Qx = (5 + 45 - 25 + 30) - ЮР*;
Qx = 55 - 10
Если Рх = 2,50 долл., как показано в столбце (2) этой таблицы, то
Qx = 55 - 10(2,5) = 30.
Цена является единственной независимой переменной в этом уравнении, но это не означает, что требуемое количество оказывается под воздействием только со стороны цены. Другие переменные, такие, как цена на другую продукцию и доход потребителя, не игнорируются, они просто предполагаются постоянными в то время, как цене позволено изменяться.
Аналогичным образом мы можем использовать данные табл. 6.1 для составления уравнений спроса по каждой из независимых переменных:
Qx= (5 - 25 - 25 + 30) + 15Р/,
Qx= -15 + \5PY\
Qx = (5 - 25 + 45 + 30) - 25Р/,
Qx = 55 — 25PZ;
Qx = (5 - 25 + 45 - 25) + 0,001/; '
Qx= 0 + 0,001/.
На что мы здесь хотим обратить внимание, так это на то, что коэффициент каждой переменной в уравнении спроса указывает на воздействие этой переменной на требуемое количество, при условии, что все другие переменные сохраняются постоянными.
Эластичность спросаЕсли мы снижаем цену на продукцию, то мы знаем, что продажи возрастут, но насколько? И что произойдет с валовой прибылью? Какова будет динамика продаж, если возрастет доход потребителя? Что произойдет с продажами, если увеличится бюджет на рекламу? Будет ли изменение цены на сливочное масло оказывать воздействие на объем продаж маргарина? Если будет, то насколько? На все эти важные вопросы можно ответить, если вы поймете концепцию эластичности спроса и освоите методы ее измерения.
Вообще эластичность любой функции определяется как процентное изменение зависимой переменной Y, которое вызвано изменением на 1% (или относительно небольшим) в независимой переменной X, при условии, что все другие независимые переменные остаются постоянными. Эта общая концепция эластичности применима к любой функции. Например, в главе 10 мы обратим особое внимание на эластичность производства. Теоретически функция спроса имеет эластичность для каждой из множества ее независимых переменных. Однако мы ограничим наше обсуждение четырьмя видами эластичности спроса, которые наиболее активно обсуждаются в литературе по теории спроса. Рассмотрим эти виды эластичности спроса.
Ценовая эластичность спроса, которая измеряет реакцию объема продаж на изменения в ценах.
Эластичность спроса по доходу, которая измеряет реакцию объема продаж на изменения в доходах потребителя.
Перекрестная эластичность спроса, которая измеряет реакцию объема продаж одного товара на изменения в цене другого товара.
Эластичность спроса по рекламе, которая измеряет реакцию объема продаж на изменения в суммах средств, затраченных на рекламу и продвижение товара на рынок.
Ценовая эластичность спроса
Ценовая эластичность определяется как процентное изменение в требуемом количестве, которое вызвано изменением на 1 % в цене, в то время как все другие переменные сохраняются постоянными. Общее уравнение для измерения ценовой эластичности имеет следующий вид:
Процентное изменение в требуемом количестве
Эластичность=.
Процентное изменением цене продукта
Условно обозначим
(2)
е __ ^@х Рх _ Ь-@х Р
ч~ ьРх/Гх ~~о7"ё
где eD — ценовая эластичность спроса;
Qx - количество продукта X, которое требуется;
Рх — цена продукта X (при условии, что все остальные переменные остаются постоянными).
Такая эластичность функции спроса просто представляет собой скорость изменения, AQX/APX, умноженную на коэффициент, Px/Qx, который является коэффициентом приведения к ее единицам измерения, использованным в вычислении.
Имеются два типа измерения эластичности. Первый - прямое измерение в конкретной точке с использованием формулы точечной эластичности. Второй — измерение средней эластичности по дуге или сегменту кривой спроса с использованием формулы дуговой эластичности. Дуговая эластичность применима к большинству эмпирических измерений ценовой эластичности спроса.
Точечная эластичность (метод вычисления). Точечная эластичность - это предельная концепция в том смысле, что она определяет эластичность в специфической точке на кривой спроса. В общем определении эластичности, представленном в уравнении (2), выражение AQX/APX аппроксимирует наклон криволинейной функции спроса вблизи точки (Pr Qx), если АРх достаточно мала. Если мы хотим иметь точный наклон в этой точке, то мы применяем некоторые другие вычисления и предполагаем, что АРХ стремится к нулю. Отсюда вытекает условие др'^окоторое служит определением производной dQJdP'х Следовательно, мы можем определить точечную эластичность как
dQy Р у
tD(3)dPx Qx
Рассмотрим функцию спроса Qx- 30 - 2РГ где {^представляет требуемое количество, а Рх — цену продукта X. Какова ценовая эластичность в точке на кривой спроса, где Рх — 6?
По уравнению (3) мы получаем
Zi.{-2)6.= (-2)— =-0,67.
ЧР, О, 30-(2хб)18
Это может означать, что если цена составляет 6 долл., то изменение на 1% в цене может вызвать изменение на 0,67% в требуемом количестве. Знак «минус» означает, что переменные движутся в противоположном направлении.
Если кривая спроса линейная, то ее наклон постоянен, так что (dQx/dPx) = (AQX/APX) везде вдоль линии. Отношение (P/Q), однако, разное в каждой точке вдоль линии. Следовательно, эластичность различна в каждой точке на линии, независимо от того, является ли кривая линейной или не является.
Если имеется множество независимых переменных в функции спроса, то точка эластичности каждой переменной, X, может быть найдена с помощью частных производных, т.е. AQ/АХ. = dQ/dX.. Если функция спроса линейная, то частные производные оказываются коэффициентами соответствующих переменных.
Дуговая эластичность. Как уже говорилось ранее, точечная формула уравнения (3) отражает предельную концепцию и она действительна лишь для небольших передвижений от точки к точке вдоль кривой спроса. Более того, из уравнения (3) следует, что необходимо знать точное изменение в Qr вызванное очень малым изменением в Рг т.е. требуется, чтобы функция спроса была известна. Однако имеется много случаев, когда нам нужно измерить эластичность, а функция спроса неизвестна. Бывает, что нас интересует более крупный сегмент кривой спроса. Для этого нам необходима формула дуговой эластичности, которая вычисляла бы среднюю эластичность между двумя точками на кривой спроса.
Чтобы объяснить сущность формулы дуговой эластичности, предположим, что цена папуа (тропического фрукта) в супермаркете «Safeway» в Гонолулу снизилась с 0,50 долл. за фунт до 0,38 долл. за фунт, вследствие чего средние продажи папуа увеличились с 300 до 450 фунтов в день, что наглядно показано далее.
Рх (в центах за один фунт) Qx (в фунтах)
50 300
38 450
Эти данные определяют две точки вдоль кривой спроса, уравнения для которых мы не составили. Какова средняя эластичность между этими двумя точками?
Если мы возьмем верхнюю точку (50, 300) за нашу базовую точку, то
Процентное изменение в Qx
Эластичность цены ==
Процентное изменение в Рх
450 - 300
300 _ 450 - 300 ^ 50 _ 150 ^,50 __2 Qg 38 - 50300 38 - 50 300 _12
50
Если мы используем нижнюю точку (38, 540) в качестве нашей базовой точки и будем перемещаться по кривой, то
300 - 450
Ценовая450 300 - 450 38 -150 38,
= = X!—= X= -1,06.
эластичность 50 _ 3845о 50 _ 38 450 12
38
Теперь мы видим, что ценовая эластичность папуа совершенно различна в верхнем и нижнем концах этого сегмента кривой спроса.
Что делать? Решение заключается в том, чтобы найти среднюю эластичность для данного приращения меняющегося спроса. Для того чтобы сделать это, нам необходимо изменить базу для вычисления эластичности на среднее между двумя базами (Pv Q,) и (Р2, С?2) на концах дуги. Средняя цена составляет (Рг + Р,)/2, а среднее требуемое количество равно (Q2 + Q,)/2. Эти средние координаты определяют точки на полпути между ними вдоль прямой линии. Затем мы модифицируем базисное определение эластичности, чтобы получить формулу дуговой эластичности с использованием средних координат Р и Q. Изменения в Р и Q — это изменения между конечными
точками, т.е. АР = Р2 — Pt и ДQ = Q2 — Qr Мы обозначаем дуговую эластичность как Ев, я не гв, для того, чтобы отличить дуговую эластичность от точечной эластичности. Дуговая эластичность определяется следующим образом:

Q1 + Ql 2(°2 Q])Е Qx2 - °2 + Ql+
Ьрх p2~pi 2(/>2-/>.) (Q1 + Ql)(P2-P1) 'РХ Р2 + Р LР2 + Р1
Применив формулу дуговой эластичности к нашему примеру, получим
_ (450 - 300)(38 + 50) (150)(88) 13,200 ,
^ ■— ——-—— —— 1)47 .
(450 + 300)(38 - 50) (750)(-12) -9,000
Это означает, что в. среднем в пределах изменения цен от 50 до 38 центов за фунт при изменении цен на папуа на 1% требуемое количество будет меняться на 1,47%.
Подводя итог, мы еще раз подчеркиваем, что точечная эластичность — это предельная концепция, потому что она измеряет эластичность в конкретной точке кривой спроса! Она может быть использована для анализа воздействий очень небольших изменений в цене. Более широкая концепция дуговой эластичности позволяет проводить измерения средней эластичности по более широкому диапазону изменений в цене. Дуговая эластичность, таким образом, более адекватный инструмент анализа эмпирии ческих данных, касающихся цен и требуемых количеств.
Иллюстративная задача
Допустим, что функция спроса равна Qx= 100 — 5Рх.
Вопросы
а.Какова ценовая эпастичность спроса в точке, в которой цена равна 5 долп., если цена увеличивается до 7 допл.? Какова ценовая эпастичность в точке, в которой цена составляет 7 допл., если цена снижается до 5 долл.?
б.Какова средняя эластичность между этими точками?
Решения
а.Если Рх = $5, то Qx= 100 - 5(5) = 75.
Если РЛ = $7, то Qx = 100 - 5(7) = 65.
Эластичность в конечных точках дуги равна: в точке (5, 75)
в точке (7, 65)

б. Средняя эластичность вычисляется по формуле дуговой эластичности:
Е _ (o,-Q,)(P2+P,) _ (б5-75)(7 + 5) _ (-ю)(12) _ (02 + 0,)(Р2-Р,) (б5 + 75)(7-5) (140)(2)
Предостережение. Следует заметить также, что средняя эластичность в средней точке дуги не является средней между эластичностями конечных точек, т.е.

2

Точная дуговая эластичность может быть получена с использованием формулы дуговой эластичности.
Эластичность и неэластичность. Коэффициент ценовой эластичности (определяемый или по точечной, или по дуговой формуле) состоит из двух компонентов: знака и величины. Знак указывает на относительное направление движения между двумя переменными. Если знак отрицательный, то они движутся в противоположных направлениях, а если положительный, то они движутся в одном и том же направлении. Величина (абсолютная величина) коэффициента определяет степень чувствительности требуемого количества к изменению в цене, т.е.
если |е 1= 1,0, то функция является удельно эластичной. Это означает, что изменение на 1% в цене может вызвать изменение на 1% в требуемом количестве;
если |е |> 1,0, то функция является эластичной. Это означает, что изменение на 1% в цене может вызвать большее, чем на 1% изменение в требуемом количестве;
если |е |< 1,0, то функция является неэластичной. Это означает, что изменение на 1,0% в цене Кюжет вызвать меньшее, чем на 1%, изменение в требуемом количестве.
Графическое измерение точечной эластичности
Предположим, что мы построили диаграмму кривой спроса на базе схемы спроса. Имеется ли возможность оценить ценовую эластичность визуальным наблюдением за кривой? Да, имеется.
Например, предположим, что мы имеем кривую линейного спроса АС (рис. 6.2). Точка В находится в середине АС, и мы хотим найти ее эластичность.
Во-первых, заметим, что треугольники АОС, APtB, BFE, BQ^C и EQ2C подобны, поскольку все их соответственные углы равны. Следовательно, точка В расположена таким образом, что АВ = ВС, это означает, что 0Q, = £),С и OPl = PtA.
Затем берем подобные треугольники BFE and BQ^C. Предположим, что мы снижаем цену на очень небольшую сумму, скажем, с Pt до Р2, т.е.
Д Р = Р{Р2 = BF.
Это ведет к тому, что требуемое количество возрастает с Ql до Qv т.е.
Д Q = <?,<?,= FE.
В точке В цена Р равна OPi долл., а количество Q равно OQi единиц. Следовательно,
(5)
(6)
Д Q Р FE ор\
АР Q BF OQx Из подобия треугольников следует, что
ДQ _ FE_ _ Q\c АР В? BQ\

Рис. 6.2. Графическое измерение точечной эластичности
Поскольку BQ^= OPv
(7)
(8)
A Q _Q\C _QXC АР ZQX ОРх
Производя замещения в уравнении (5), мы получим
_ ДQ р _ Q\C ОР\
Е°'~АР 'q~~op^'~oq['
Отсюда
(9)
е _ 01С _ ВС Е° OQ, ВА
по подобию треугольников.
Поскольку В находится в середине линии АС (т.е. ВС = ВА), можно сделать вывод, что линейная функция спроса является удельно эластичной в средней точке АС. Отсюда следует, что любая точка B(Q Fj на кривой линейного спроса пересекается с точкой А на оси Р и с точкой С на оси Q,
если ВС = ВА, или ОР = РА, или QC = QO, то гв = 1,0; если ВС > ВА, или ОР > РА, или QC > QO, то гв > 1,0; если ВС < ВА, или ОР < РА, или QC < QO, то гв < 1,0.
Для того чтобы найти ценовую эластичность в точке В на диаграмме криволинейной функции спроса, мы просто проводим линию между осями касательно к кривой спроса в точке В. Если мы обозначим пересечение прямой линии с осью Y как А, а пересечение с осью X как С, то эластичность будет представлена соотношением ВС/ВА, как мы и показали.
При помощи графического измерения эластичности можно увидеть зависимость между общими доходами, предельными доходами и эластичностью, которые оказываются под воздействием изменения в цене.
Спрос, доход и ценовая эластичность
Функция спроса может быть записана так, чтобы показать, что требуемое количество — это функция взимаемой цены, т.е. Qx = f(Pх). Однако в теоретическом анализе спроса мы можем также использовать обратное выражение Рх = f(Qx}, которое является математически эквивалентным. Функция Рх = f(Qx) облегчает объяснение зависимости общих и предельных доходов от изменений в спросе, а также зависимости «затраты — цена» в различных рыночных структурах.
Взяв наш предыдущий пример функции спроса для швейцарского сыра марки X, мы можем записать
TOC \o "1-5" \h \z Qx= 55 — ЮРХ(10)
или
Рх = 5,5 -Q,IQX,(11)
что является математическим эквивалентом уравнения (10). Мы используем его для получения функции предельных доходов.
Применив уравнение (10), общие доходы можно выразить как
TRX = PXQX= Рх(55 - 10Рх) = 55Рх — 10/у.(12)
Применив уравнение (11), общие доходы можно выразить как
TRx= PxQx= (5,5 - 0,10,)^= 5,50,— 0,\Q},(13)
а ответы (в долларах) будут одинаковыми. Но производные уравнений (12) и (13) не одинаковы. Поскольку предельные доходы определяются изменениями в общих доходах при продаже еще одной единицы, предельные доходы, MRr можно определить, взяв производную по Qx в уравнении (13):
MRx= ^ = 5,5-0,20х.(14)
Обшие доходы максимальные, если предельные доходы равны нулю:
MRX = 5,5 - 0,2Qx = 0;
0,2 Qx= 5,5;
Qx= 27,5 единиц.
Следовательно, цена, при которой обшие доходы являются максимальными, равна Рх = 5,5 - 0,1 Qx = 5,5 - 0,1(27,5) = $2,75.
При этой цене
TR = PQ= 2,75(27,5) = $75,63.
Ценовая эластичность, общие доходы и предельные доходы — все это функционально связано с кривой спроса. Эти зависимости представлены на рис. 6.3.
Общие доходы и ценовая эластичность. На рис. 6.3 показано, что в верхней части кривой спроса (где цена выше) величина (абсолютное значение) коэффициента эластичности выше 1,0. Отсюда следует, что спрос эластичен. В нижней части кривой величина коэффициента эластичности меньше 1,0, отсюда следует, что спрос неэластичен. В центре кривой, где цена составляет 2,75 долл., величина коэффициента эластичности равна 1,0, отсюда следует, что спрос является удельно эластичным.
На рисунке показано, что если спрос является эластичным, то снижение цены вызывает увеличение обших доходов. Почему? Потому что величина эластичности, большая, чем 1,0, означает следуюшее: если цену снизить на несколько процентов, то требуемое количество возрастет на гораздо больший процент. Увеличение количества проданных единиц компенсирует более низкую цену, а общие доходы возрастают. По той же самой причине, если спрос является неэластичным, то увеличение цены может вызвать увеличение общих доходов, даже, если будет продано меньшее количество единиц.
Максимальные доходы имеют место в том случае, если величина эластичности равна
как это показано на рис. 6.3. 3 этом случае любое изменение цены в любом направлении может привести к сокращению общих доходов.
Зависимость между изменением цен, эластичностью и обшими доходами может быть изложена в следуюшем виде.
Если спрос эластичный ( I eD I > 1,0): обший доход увеличивается, если уменьшается цена; обший доход уменьшается, если увеличивается цена.
Если спрос неэластичный ( | г0 I < 1,0): обший доход увеличивается, если увеличивается цена; обший доход уменьшается, если уменьшается цена.
Если Спрос удельно эластичен ( I г0 I = 1,0): общие доходы максимальны. Любые изменения в цене (в сторону увеличения или уменьшения) могут вызвать сокрашение общего дохода.
Предостережение. Не путайте максимальные доходы с максимальной прибылью. Вычисление прибыли требует учета как расходов, так и доходов.
Предельные доходы и ценовая эластичность. Как уже говорилось, предельные доходы могут быть вычислены на основе преобразования уравнения (13) следуюшим образом:
Возврашаясь назад к функции спроса уравнения (11), Рх= 5,5 - 0,1 Qr мы видим, 1Т0 наклон родственной функции предельных доходов в уравнении (15) как раз в два раза круче. Отсюда вытекает, что кривая MRX должна лежать точно на полпути между
кривой спроса и вертикальной осью; т.е. пересечение кривой MR с осью X должно находиться на полпути между началом координат и пересечением кривой спроса с осью X (см. рис. 6.3). Это особенность всех линейных функций спроса.
$
MRX,PX

' Если |в£5 |> 1,0, то * 1 Если |е£) |< 1,0, то
MRx - величина положительная, ■ i MRX - величина отрицательная,
и по мере того, как и по мере того, как
l Qxi, Рхf: Qxl, TRXТ
$ i i i 1 i TR 1
i 1 i i + i t 1 i iп .i - - -1 - iii1 i ' iIedI'=1,0;, \
\MRX\= 0; ;
lTRxT max 1 i 1 ! i 1 i
i 1 i i \TRX
Рас. 6.3. Зависимость функции спроса Qx = 55 — 10Рх от общих доходов (TRX), предельных доходов (MRX) и ценовой эластичности (е^)
(Источник: Current MacBooks)
Поскольку предельные доходы получены из общих доходов, они также связаны с ценой эластичностью спроса (см. рис. 6.3). По мере того, как цена уменьшается, проданное количество увеличивается и, как следствие:
предельные доходы постоянно уменьшаются по мере того, как предельное количество увеличивается (потому что цена уменьшается);
в эластичном интервале функции спроса предельные доходы положительны, а общие увеличиваются по мере увеличения проданного количества;
если функция удельно эластична, то предельные доходы равны нулю, а общие максимальные;
в неэластичном интервале функции спроса предельные доходы отрицательны, а общие уменьшаются по мере увеличения проданного количества.
Зависимости, отмеченные на этой кривой спроса, могут быть обобщены для всех кривых линейного спроса. И, наконец, существует формула, которая объединяет вместе цену, ценовую эластичность и предельные доходы:
1
1-
(16)
MRX=PX

Эта формула говорит о том, что если величина (причем абсолютная) коэффициента эластичности больше, чем 1,0, то предельные доходы будут положительными. И, напротив, если величина коэффициента эластичности меньше чем 1,0, то предельные доходы будут отрицательными. Если величина коэффициента эластичности равна 1,0, то предельные доходы будут равны нулю.
Иллюстративная задача
Компания «Digimill, Inc.» — американский производитель фрезерных станков с числовым программным /правлением. Фирма экспортирует свою наименее дорогостоящую модель стоимостью 1500 долп. в Мексику, спрос в которой составляет
Q = 3500 - 2Р,
Где Q — требуемое количество; Р - цена.
«Digimill, Inc.» хочет прорваться на южноамериканские рынки Бразилии, Аргентины и Чили.
Вопросы
Предпопожив, что спрос в каждой из этих трех стран такой же, как в Мексике, Ответьте на следующие вопросы.
а.Сколько станков, по мнению компании, она может продать в этих трех странах? !
б.Каковы должны быть общие доходы от продаж во всех трех странах при цене в 1500 долл.?
в.Какова ценовая эластичность спроса в каждой стране, если цена равна ■500 долл.? Способно ли увеличение цены на 10% повысить общие доходы?
г.Если цена равна 1500 долл., то каковы будут предельные доходы в каждой Щфане?
д.Сколько единиц должна продать компания в каждой стране, чтобы максими- щровать доходы? Какой должна быть цена?
е.Покажите, что ценовая эластичность равна -1,0, если общие доходы максимальны.
Решения
а.Если Р = 1500 долл., то Q = 3500 - 2Р = 3500 - 2(1500) = 500 единиц в каждой стране или 1500 единиц в общей сложности.
б.Q = 3500 - 2Р, отсюда Р = 1750 - 0,5Q;
TR = PQ = (1750 т- 0,50)Q = 1750Q - Q,5Q2 =
= 1750(500) - 0,5(500)2 = $750 000 в каждой стране;
$750 000 х 3 страны = $2 250 000.
1500
= -6,0,
500
dQ Р ,
в. eD =—=-2
dP Q

что означает следующее: увеличение цены на 10% может привести к уменьшению объема продаж на 60%. При цене ($1500 х 1,10) = $1650 объем продаж должен составить
Q = 3500 - 2(1650) = 200,
что означает уменьшение на 300 единиц в расчете на одну страну. Общие доходы должны составить.1
TR = PQ = (1650)(200) = $330 000,
что означает уменьшение общих доходов $750 000 - $330 000 = $420 000 в каждой стране. Очевидно, что повышение цены нежелательно.
с/тр d(l750Q-0,5Q2)
г.MR=SJJL= -1L= 17-50 - Q= 1750 - 500 = $1250 •
dQdQ
д.Общие доходы максимальны, если предельные доходы равны нулю. Следовательно,
MR = 1750 - Q = 0;
Q = 1750;
Р = 1750 - 0,5(1750) = $875,
Q = 3500 - 2Р;
875
= -1,0
1750
ed = • — = -2 dP Q
)-■
MRX Рх
0 = 875
= 875 £ -г- 875;
875 I е I = 875;
! е I = 1,0;
Е = -1,0,
поскольку ценовая эластичность всегда отрицательна.
Факторы, влияющие на ценовую эластичность
Для того чтобы успешно разрабатывать стратегии ценообразования и маркетинга, лица, принимающие решения, должны не только понимать зависимость Между ценами, ценовой эластичностью, общими и предельными доходами, но и причины того, почему различные изделия имеют разную ценовую эластичность. Таких причин много, и их можно подразделить на четыре категории: наличие заменителей (субститутов), сравнительный размер расходов, восприятие потребителем предметов первой необходимости по сравнению с предметами роскоши и период, к которому относится кривая спроса.
Наличие заменителей. Чем больше имеется заменителей продукции, тем большую склонность к ценовой эластичности она проявляет. Если цена на взаимодополняющую продукцию меняется, то спрос оказывается под воздействием и исходного товара, и его дополнения. Поскольку взаимодополняемые товары .в сущности участвуют в изменении цены, они также склонны к ценовой эластичности. Тесно связанным с эффектом замещения является эффект множественного использования продукции. Если продукция имеет всего только одно применение или очень ограниченное число применений, то эффект изменения в цене сравнительно ограничен. Однако если имеется множество способов применения продукции, то эффект изменения цены выражается более явно. Следовательно, продукция со многими применениями более склонна к ценовой эластичности, чем продукция с. единственным применением (табл. 6.2).
Та б л ица 6.2
Характеристики ценовой эластичности продукции
Направленность характеристики продукции
«= Более эластична Заменители
Множественные применения Крупные проекты Товары длительного пользования Предметы роскоши Долгосрочные структуры
Менее эластична =»
Взаимодополняемые товары Ограниченное применение Небольшие проекты Товары краткосрочного пользования Предметы первой необходимости Краткосрочные структуры
Сравнительный размер расходов. Из табл. 6.2 следует, что ценовая эластичность оказывается под воздействием стоимости товара в сравнении с общим бюджетом потребителя. Например, увеличение цены на карандаши или на жевательную резинку оказывает незначительное воздействие на спрос, предъявляемый на эти товары, потому что расходы на них представляют незначительную долю общего дохода потребителя. Вообще спрос на товары краткосрочного пользования, если эти товары не являются предметами роскоши, менее эластичен, чем спрос на товары длительного пользования. Дорогостоящие товары длительного пользования, такие, как крупные бытовые ^приборы, солнечные системы водонагрева, ковры больших размеров, автомобили и рома, очень эластичны с точки зрения цены не только из-за сравнительного размера расходов на них, но также из-за того, что такие расходы можно отложить.
Восприятие потребителями предметов первой необходимости по сравнению с предметами роскоши. Одним из наиболее важных детерминантов эластичности является восприятие потребителем продукции как предмета первой необходимости или как предмета роскоши. Потребители будут продолжать покупать почти то же самое количество Предметов первой необходимости.даже тогда, когда цены возрастут. Следовательно, |прос на предметы первой необходимости менее эластичен. Некоторыми примерами
могут служить лекарственные препараты и основные продовольственные товары, такие, как хлеб, молоко и соль. И напротив, предметы роскоши — это товары, которые потребители покупают тогда, когда могут, позволить себе это. Поскольку то, что они могут позволить себе при любом доходе, определяется ценой, спрос на предметы роскоши более эластичен с точки зрения цены.
Период, к которому относится кривая спроса. На протяжении длительного периода потребители могут или адаптировать свои бюджеты к изменениям в цене на конкретный товар, или найти замену ему. Если времени достаточно, то замену можно найти почти для любой, продукции. Следовательно, могут иметь место существенные различия между долгосрочной и краткосрочной эластичностью (табл. 6.3). Из этой таблицы следует, что бензин является неэластичным на коротком промежутке времени с ценовой эластичностью в -0,40. Когда в середине 70-х гг. цены на бензин возросли почти вдвое (с 0,35 долл. за галлон в середине 1973 г. до 0,60 долл. за галлон в середине 1974 г.), водители начали жаловаться, но продолжали ездить так же много, как до повышения цен. Но по мере того, как в конце 70-х и в начале 80-х гг. цены на бензин продолжали подниматься, водители стали предпочитать более экономичные автомобили и стали меньше ездить, чтобы потреблять меньше дорогостоящего бензина. Такое поведение отражает более высокую долгосрочную эластичность бензина и указывает на то, что любое последующее увеличение цен в будущем столкнется с более высокой эластичностью и, следовательно, с еще большим сопротивлением со стороны потребителя.
Та б л ица 6.3
Примеры краткосрочной и долгосрочной ценовой эластичности спроса
Расчетная ценовая эластичность ТоварКраткосрочнаяДолгосрочная
Лвтомобипи и запчасти -1,87 -2,24
Фарфор, стекло, посуда -1,54 -2,55
Электроэнергия, бытовые приборы -0,13 -1,89
Поездки жителей США за рубеж -0,14 -1,77
Бензин -0,40 -1,50
Жипье -0,30 -1,88
Железнодорожное сообщение между городами -1,40 -3,19
Драгоценности и часы -0,41 -0,67
Видеокассеты -0,87 -3,67
Ремонт радиоприемников и телевизоров -0,47 -3,84
Канцелярские товары -0,47 -0,56
Шины и трубы -0,86 -1,19
Табачные изделия -0,46 -1,89
Предметы туапета -о;го -3,04
Источник: Hendrik S. Houthakker and Lester D. Taylor, Consumer Demand in the United States, 1929—1970: Analysis and Projections (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1970), pp. 166-67. Показатели no краткосрочной эластичности бензина взяты из работы Robert Archibald and Robert Gillingham, «The Review of the Short-Run Consumer Demand for Gasoline Using Household Survey Data», Review of Economics and Statistics 62 (November 1980), pp. 622- 28. Показатели no долгосрочной эластичности бензина взяты из работы J.M. Griffin, Energy Conservation in the OECD, 1980—2000 (Cambridge, Mass.: Balinger, 1979).


Применение ценовой эластичности
Ценовая эластичность влияет на принятие управленческих решений. Далее представлены примеры применения общей ценовой эластичности, а также ценовой эластичности после дерегулирования воздушного транспорта и после дерегулирования цен на нефть.
Ценовая эластичность в качестве руководства по установлению цен. Ценовая эластичность особенно полезна в качестве руководства по установлению цен. Данные по эластичности можно использовать для ответа на следующие вопросы: «Что произойдет с объемом продаж, если мы поднимем цену на 5%» и «Насколько мы должны снизить цену, чтобы получить увеличение объема продаж на 10%?».
Как мы видели на рис. 6.3, предельные доходы отрицательны на протяжении неэластичной части кривой спроса фирмы, где величина ценовой эластичности менее
Это означает, что увеличение цены на 1% может привести к сокращению объема продаж менее чем на 1%; следовательно, общие доходы должны увеличиться. И напротив, снижение цены на 1% может привести к увеличению объема продаж менее чем на 1%; следовательно, общие доходы должны уменьшиться.
Означает ли это, что фирма, которая функционирует в неэластичной части кривой спроса, должна повысить свои цены? Необязательно: помните, что цель фирмы заключается в максимизации прибылей, а не доходов. Для того чтобы максимизировать прибыли, необходимо учесть затраты. Может оказаться так, что, снижая цены, фирма достигнет такого уровня производства, при котором, возможно, появится крупная экономия, обусловленная увеличением масштаба производства. Если это снижает затраты на большую величину, чем снижаются доходы, то прибыли фирмы могут возрасти.
Ценовая эластичность после дерегулирования воздушного транспорта. В сфере воздушных перевозок дерегулирование привело к широко распространенному дисконтированию цен на авиабилеты на различных маршрутах. Руководство авиалиний должно было принимать решения такого рода: сохранить ли старые маршруты или отказаться от них, выходить на новые рынки или нет, а также определить, как оценивать свои услуги в условиях жесткой рыночной конкуренции. Ценовая эластичность спроса сыграла ключевую роль в подобных решениях (руководители авиалиний пытались определить, способно ли снижение цены на авиабилеты привести к увеличению общих доходов).
Общие доходы — это решающий фактор в определении стратегии авиалиний, во- первых, потому, что самолет имеет ограниченные мощности, а во-вторых, потому что продукция авиалиний (транспортировка) не может храниться. Если самолет отправляется со свободными местами, то доходы от этих мест потеряны навсегда. Вот почему авиалинии имеют множество видов оплаты, каждый из которых применим к различным сегментам рынка с разной ценовой эластичностью. Очень низкие резервные тарифы представляют собой последние усилия авиалиний по заполнению всех мест каждого рейса. Эти тарифы привлекают авиапассажиров самой высокой ценовой эластичностью.
Ценовая эластичность после дерегулирования цен на нефть. Ценовая эластичность спроса является ключевым элементом для определения национальной политики в отношении дерегулирования цен на нефть и, как следствие, на природный газ. Споры по поводу желательности дерегулирования часто концентрируются вокруг вопроса эластичности цен. Например, когда в 1973 г. было введено эмбарго на арабскую нефть, официальные государственные деятели считали, что ее потребление должно быть сокращено на 20 — 30%. Для того чтобы достичь требуемого уровня, официальные лица должны были принять решение, поднимать ли цены или лимитировать потребление. Некоторые экономисты считали, что спрос на бензин был практически неэластичен, поэтому были необходимы чрезвычайно высокие цены для сокращения спроса до требуемого уровня, а это было неприемлемо политически. Другие экономисты считали, что спрос является достаточно эластичным для того, чтобы потребление бензина достигло требуемого уровня.
Правительство дерегулировало цены на нефть, а вскоре спрос, предложение и цены стабилизировались (цены снизились в 1982 г). Такое поведение цен на бензин согласуется с краткосрочной (—0,4) и долгосрочной (—1,5) ценовой эластичностью (см. табл. 6.3). В краткосрочный период спрос на бензин был неэластичен с точки зрения цены, но в долгосрочной перспективе мероприятия по сохранению энергоносителей сократили спрос на бензин до точки, в которой уменьшение цены было необходимо для сохранения доходов.
Другие виды эластичности спроса
Концептуально каждый фактор, который оказывает воздействие на спрос, имеет эластичность. Однако характер некоторых факторов (таких, как вкусы и предпочтения, а также ожидания потребителя) таков, что невозможно или, по крайней мере, чрезвычайно трудно количественно измерить эластичность. Переменные, которые несложно измерить количественно, следующие: доходы, цены на другую продукцию и уровень расходов на рекламу. Таким образом, каждая из этих переменных имеет свою собственную эластичность.
Эластичность спроса по доходу. Эластичность спроса по доходу измеряет чувствительность требуемого количества к изменениям в доходах. Формула точечной эластичности для эластичности по доходу имеет вид
dQx i
TOC \o "1-5" \h \z £'=-7Гх7Г’(17)
Qx
где / — доходы, a Qx — количество товара X, которое требуется, если цены и все другие переменные сохраняются постоянными.:
Формула дуговой эластичности имеет вид
Qx - Qx /, + /,
_ Л1 v 2 1
' 0X+G.V, Л-V°8)
Спрос по отношению к доходу может быть эластичным или неэластичным в зависимости от того, больше или меньше 1,0 величина коэффициента эластичности по доходу. Однако в отличие от ценовой эластичности, которая всегда отрицательна, знак коэффициента эластичности по доходу может быть или положительным, или отрицательным. Положительный знак указывает на нормальный товар, в то время как отрицательный — на товар худшего качества.
В табл. 6.4 представлены эластичности по доходу для 14 видов продукции (вся продукция нормальная). В большинстве случаев для нормальных видов продукции показывают долгосрочную эластичность по доходу, которая выше краткосрочных; эластичностей (что закономерно). Отмеченные звездояками товарные позиции автомобили, мебель и бытовые электроприборы (т.е. товары длительного пользования) - являются исключениями из правила, так как у них долгосрочная эластичность по доходу намного ниже, чем краткосрочная эластичность. Это объясняется тем фактом, что потребит тели не всегда замещают такие позиции, если их доход .возрастает.
Табли ца 6.4
Эластичность спроса по доходу на отдельные товары
Эластичность по доходу
ТоваркраткосрочнаяДолгосрочная
TOC \o "1-5" \h \z Автомобили5,501,07*
Фарфор, стекло, посуда0,470,77
Готовая Одежда0,951,17
Зубопротезное обслуживание0,381,00
Поездки граждан США за границу0,243,09
Мебель2,600,53*
Бензин и нефть0,551,36
Бытовые электроприборы2,721,40*
Жилье, принадлежащее владельцам 0,072,45
Драгоценности и часы1,001,60
Медицинское обслуживание0,281,15
Обувь0,901,50
Зрелищные виды спорта0,461,07
Туалетные принадлежности0,253,74
Источник: Hendrik S. Houthakker and Lester D. Taylor, Consumer Demand in the United States, 1929—1970: Analysis and Projections (Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1970), pp. 166—67.
Применение эластичности спроса no доходу. Эластичность спроса по доходу применима к широкому диапазону проблем рыночного планирования и стратегий. В качестве примера можно назвать долгосрочное планирование развития фирмы, разработку стратегий маркетинга и прогнозирование потребностей домашних хозяйств.
Долгосрочное планирование развития фирмы. С течением времени мы ожидаем увеличения доходов потребителя. Следовательно, перспективы долгосрочного развития с точки зрения объема продаж более многообещающие для предметов роскоши из-за их более высокой эластичности по доходу. С другой стороны, более высокая эластичность по доходу означает более высокую изменчивость объема продаж в краткосрочный период, что нежелательно. Например, в табл. 6.4 показано, что краткосрочная эластичность по доходу для автомобилей должна составлять 5,5. Без сомнения, такая высокая величина может частично объяснить, почему продажи новых автомобилей резко сокращаются во время спада экономики и сильно расширяются во время ее подъема.>
Компании, продукция которых имеет высокие эластичности по доходу, могут надеяться на будущее развитие в нормально развивающейся экономике, но они будут сильнее подвержены спаду. С другой стороны, компании, продукция которых имеет низкие эластичности по доходу, практически не подвержены спаду, но они не могут рассчитывать на участие в развивающейся экономике в благоприятные времена. Таким фирмам необходимо осуществлять диверсификацию производства, т.е. расширять сферу деятельности предприятия на рынках новых продуктов, производство которых не связано « основной деятельностью предприятия.
Разработка стратегий маркетинга. Эластичность спроса по доходу оказывает воздействие на решение о размещении товара на конкретном рынке, а также относительно объема и концентрации мероприятий по рекламе и продвижению товара на рынок. Например, торговцы предметами роскоши, как правило, заботятся о том, чтобы их
реклама дошла до молодых профессионалов, доход которых, как они полагают, быстро растет.
Прогнозирование потребностей в жилье. Особенно интересное применение эластичность по доходу находит в сфере жилья. Расчетный диапазон эластичности спроса по доходу для жилья может быть объединен с прогнозируемым реальным доходом для обеспечения прогнозов спроса и на жилье, занимаемое хозяевами, и на жилье, сдаваемое в аренду.
Иллюстративная задачаПредпопожим, что ежегодное увепичение реапьного дохода в Вепикобритании ожидается в размере от 2 до 3%. Предпопожим дапее, что эластичность спроса по доходу на жипье в Лондоне оценивается между 0,8 и 1,0 дпя арендуемых единиц и между 0,7 и 1,5 дпя жилья, занимаемого впадепьцами.
Вопросы
а.Каким допжен быть рост спроса на арендуемые единицы в спедующие 10 пет?
б.Каким допжен быть рост спроса на единицы, занимаемые владельцами, в спедующие 10 пет?
Решения
Прогнозируемое увеличение спроса на арендуемое жилье на последующие 10 лет
а.Еспи годовое увепичение реапьных доходов составит 2%, то совокупное увепичение за 10 пет составит (1,02) = 1,219, т.е. увеличение на 21,9%. При увеличении на 3% в год совокупное увепичение за 10 пет составит (1,03)10 = 1,344, т.е. увеличение на 34,4%. Прогнозы увеличения спроса на арендуемые жилые единицы, соответствующие эластичностям по доходу, равным 0,8 и 1,0, представлены в табл. 6.5. Из таблицы следует, что в течение 10 лет увепичение спроса на арендуемые жипые единицы (в связи с увеличением доходов) может находиться в интервале от 17,5 до 34,4%.
Эластичность спроса по доходу Увеличение спроса на арендуемые жилые единицы при условии, что реапьный доход будет повышаться на 2% в год Увеличение спроса на арендуемые жилые единицы при условии, что реапьный доход будет повышаться на 3% в год
0,8 0,8 х 21,9% я 17,5% 0,8 х 34,4% = 27,5%
U Л
1,0 1,0 х 21,9% я 21,9% 1,0 х 34,4% = 34,4%
Таблица 6.5

Та б ли ца 6.6
Прогнозируемое увеличение спроса на жилье, занимаемое владельцами, на последующие 10 лет
Эластичность спроса по доходу Увеличение спроса на жилье, занимаемое владельцами, при условии, что реальный доход будет повышаться на 2% в год Увеличение спроса на жилье, занимаемое владельцами, при условии, что реальный доход будет повышаться на 3% в год
0,7 0,7 х 21,9% = 15,3% 0,87 х 34,4% = 24,1%
г Л
1,5 1,5 х 21,9% = 32,9% 1,5 х 34,4% *= 51,6%
Перекрестная эластичность спроса. Можно разработать несколько различных показателей измерения эластичности, если интерпретировать экономические эффекты и взаимодействия заменителей и взаимодополняющих продуктов. Наиболее важным из этих показателей является перекрестная эластичность спроса. Предположим, что Рх и Ру обозначают цены продукта X и продукта Y соответственно, в то время как Qx и Qy обозначают соответствующее требуемое количество. Перекрестная эластичность спроса показывает, на сколько процентов изменилось требуемое количество X при незначительном процентном изменении в цене Y. Формула точечной эластичности имеет следующий вид:
dQx Р у£с=~Г±х — ■(!9)
dPY Qx
Формула дуговой эластичности выглядит следующим образом:
Q х — Qx Р у +РуЕс=-Jl— х —-И.(20)
Qx2 + QxПерекрестная эластичность может быть положительной, отрицательной или нулевой. Она будет положительной, если продукция является заменителем. Так, при прочих равных условиях, если цена на масло возрастает, то его потребление может снизиться, но потребление маргарина должно возрасти, чтобы заместить сокращение потребления масла. Таким образом, цена на масло и потребление маргарина движутся в одном и том же направлении, вверх или вниз, поэтому знак коэффициента перекрестной эластичности положительный.
С другой стороны, если товары взаимодополняющие, то их перекрестная эластичность будет отрицательной. Так, увеличение цены на бензин может привести, при прочих равных условиях, к уменьшению закупок крупных автомобилей. Цена бензина и количество требуемых крупных автомобилей движутся в противоположных направлениях, jtaepx или вниз; отсюда знак коэффициента перекрестной эластичности отрицательный.
И наконец, невысокая или нулевая перекрестная эластичность означает, что товары j^tira рынки, на которых они продаются) в сущности не зависят друг от друга, поскольку Дтклонения в цене одного товара не вызывают заметных изменений в закупках другого.
В своем широкоизвестном исследовании Г. Уолд оценил перекрестные эластичнос- ш,между говядиной и свининой и между маслом и маргарином. Его результаты представлены в табл. 6.7. Эти перекрестные эластичности показывают, что если цена насвинину возрастает на 1%, то количество требуемой говядины может увеличиться на
28%. Но если цена на говядину поднимается на 1%, то требуемое количество свинины увеличивается всего только на 0,14%. Таким образом, чувствительность спроса на говядину к изменениям в ценах на свинину вдвое выше чувствительности спроса на свинину к изменениям в цене на говядину, но спрос на то и на другое не реагирует сколько-либо заметно на изменения в цене другого товара. Их перекрестная эластичность говорит о том, что они не являются очень близкими заменителями друг друга.
Таблица 6.7
Перекрестные эластичности спроса на две пары товаров
ТоварЗаменитель Перекрестная эластичность
TOC \o "1-5" \h \z ГовядинаСвинина+0,28
СвининаГовядина+0,14
МаспоМаргарин+0,67
МаргаринМаспо+0,81
Источник: Н. Wold, Demand Analysis, New York: John Wiley & Sons, 1953, pp. 282, 285.
Перекрестные эластичности несколько выше между маслом и маргарином, но спрос все равно перекрестно-неэластичный. Очевидно, потребители, которые любят масло, склонны игнорировать изменение в цене маргарина, поскольку изменение на 1% в цене маргарина вызывает изменение в потреблении масла, равное лишь 0,67%. Потребители маргарина несколько более чувствительны к изменениям в цене на масло, поскольку изменение на 1% в цене на масло приводит к изменению в потреблении маргарина, равному 0,81%.
Концепция перекрестной эластичности спроса особенно полезна не только для принятия решения фирмой, но также и для измерения взаимозависимости между отраслями.
На уровне фирмы перекрестные эластичности помогают при формулировании стратегии маркетинга. Например, фирма должна знать, какие изменения в спросе на ее продукцию вызовут изменения в цене, а также на заменитель или на взаимодополняющие товары, предлагаемые конкурентом. Во многих случаях конкуренция существует «внутри», т.е. фирма может производить много видов родственной продукции, которые могут быть или заменителями, или дополнениями друг к другу. Например, компания «Procter & Gamble» изготавливает, по крайней мере, пять различных видов мыла для рук и четыре различных вида чистящих бытовых препаратов, и все они конкурируют друг с другом. Перекрестные эластичности этих товаров должны помогать при разработке стратегий ценообразования, способных обеспечивать максимальные прибыли для фирмы в целом. Компания «Gillette» производит и безопасные бритвы, и лезвия для них. Поскольку эти изделия являются взаимодополняющими, компания должна знать, как изменение в ценах на лезвия будет влиять на спрос, предъявляемый на бритвы, и наоборот, для того, чтобы оценить оба эти изделия и гарантировать себе максимальную прибыль.
На уровне отрасли перекрестная эластичность спроса показывает, имеются ли заменители для продукции этой отрасли. Например, если цена на импортируемую нефть становится слишком высокой, то добыча нефти не шельфе становится экономически осуществимой и привлекательной. Однако когда в ответ на затоваривание мирового рынка цены ОПЕК упали, разработка шельфа для добычи нефти была приостановлена, потому что такая нефть больше не могла служить жизнеспособным заменителем! средневосточной нефти. Спрос на уголь также реагирует на изменения в ценах на нефть,и можно ожидать, что спрос на нефть будет реагировать на изменения в ценах на природный газ.
В некоторых случаях исследования перекрестной эластичности показывают следующее: то, что считается монополией, фактически уязвимо для конкуренции со стороны продукции другой отрасли. Например, в городах, где и природный газ, и электроэнергия поступают по коммуникациям, газ может быть заменен на электроэнергию или электроэнергия может быть заменена на газ для приготовления пищи, нагрева воды и отопления помещений. Каждое коммунальное предприятие имеет монополию на свою продукцию, но оно должно очень осторожно подходить к ценообразованию.
Одно из важных применений перекрестной эластичности состоит в определении отраслей. Исследования перекрестной эластичности могут определять границы отрасли, включая в нее все фирмы, продукция которых является близким заменителем, на что указывают высокие положительные эластичности. Фирмы, продукция которых имеет отрицательные иди очень невысокие перекрестные эластичности, должны быть исключены как принадлежащие к какой-то другой отрасли. Определение отрасли - это важный аспект в антитрестовских делах (и еще более важный в статистических исследованиях). Достоверность исследования отрасли в значительной степени зависит , от того, как определена отрасль.
Эластичность спроса по рекламе. Эластичность спроса по рекламе измеряет чувствительность объема продаж (требуемое количество) к изменениям в расходах на рекламу и на продвижение товара на рынок. Как и для других эластичностей, обсуждавшихся до сих пор, формула для эластичности по рекламе может быть выведена из общей формулы:
dY X....
е= — х —.(21)
dX Y
Если мы допустим, что объем продаж является функцией расходов на рекламу, то формула точечной эластичности будет иметь вид:
dS „ А
а Е?= — х —(22)
s dA S’1 ’
где S - проданное количество, или общие доходы от продаж;
А - сумма расходов на рекламу.
Дуговая эластичность измеряется следующим образом:
S2— S^ А 2 + А ^
5Аг-Ау '(23)
Рассматривая объем продаж как функцию расходов на рекламу, аналитик должен признать, что финансирование рекламы зависит от многочисленных факторов. Некоторые из них перечислены далее.
Стадия развития рынка для определенной продукции.
Степень, в которой конкуренты реагируют на рекламную кампанию, проводимую фирмой (или посредством своих собственных рекламных кампаний, или посредством увеличения объемов продаж).
Качество и количество прошлой и настоящей рекламной кампании в сравнении с прошлой и настоящей рекламой конкурентов (колебания количественных факторов, например выбор рекламных средств, делают трудноопределимой эффективность расходов на рекламу).
S-I854
Важность детерминантов спроса, не имеющих отношения к рекламе (таких, как тенденции развития, цены и доходы), и степень точности, с которой они могут быть определены при анализе.
Время, истекшее с момента появления расходов на рекламу до. момента появления реакции объема продаж на эти расходы (определить его трудно, потому что такие интервалы частично зависят от типа продукции, типа рекламы и т.д.).
Влияние эффекта инвестиций прошлой рекламной кампании и степени, с которой он может влиять на нынешние и будущие объемы продаж посредством отложенных и кумулятивных закупок. (Эффект инвестиций - это реализация продаж в результате произведенных расходов на рекламу, но спустя длительное время после того момента, когда были осуществлены расходы на рекламу.)
Все эти факторы должны быть учтены, если объем продаж оценивать как функцию рекламы. Для того чтобы добиться этого, должны быть разработаны методы измерения, позволяющие избежать тех сложностей, о которых только что шла речь. Как'можно себе представить, эта задача не из легких, но полезность эластичности спроса по рекламе зависит от ее успешного выполнения.

В зоне отдыха местная авиалиния выполняет один раз в сутки пассажирский рейс на остров Парадиз и обратно (расстояние до этого острова составляет около 150 миль). Контролер авиалинии оценил функцию спроса как
Q = 20- 5Р + 0,2А + 0,01/,
где Q - среднее количество пассажиров за день, следующих в одном направлении;
Р - цена билета в одном направлении;
А - расходы на рекламу за один месяц;
I — доход на душу населения на рынке авиалинии.
Вопрос
В настоящее время Р = $50, А — $1000 и I = $12 000. Найдите ценовую эластичность спроса, эластичность спроса по доходу и эластичность спроса по рекламе.
Решение
Q = 20 - 5Р + 0,2А + 0,01/ = 20 - 5($50) + 0,2($1000) + 0,01($12 ООО) = 90.
е _ dQ Р И 50 7Я Ценовая эластичность = Ео г~ х “— V ■3)~— *,/0.
аР Q90
Это означает следующее: увеличение (уменьшение) цены на 1% при условии, что все остальные переменные сохраняются постоянными, способно вызвать уменьшение (увеличение) количества проданных билетов на 2,78%.
е _ dQ v I _(п П1у12 ООО „ Эластичность по доходу = Ег—^J~ q~ —99—
Это означает, что изменение в доходах потенциальных пассажиров на 1% в сторону повышения или в сторону понижения при условии, что все остальные переменные сохраняются постоянными, может привести к изменению копиче-ства проданных билетов на 1,33% в сторону повышения или в сторону понижения.
Эластичность по рекламе = д £, = х — — (о,2)-Р--Р- = +2,22.
дА S90
Это означает, что изменение на 1% в расходах на рекламу в сторону повышения ипи в сторону понижения при условии, что все остальные переменные сохраняются постоянными, может вызвать изменение количества проданных билетов на 2,22% в сторону повышения или в сторону понижения.
Совокупный эффект эластичности спроса. Как уже было сказано, для каждого фактора, оказывающего влияние на спрос, можно рассчитать показатель эластичности. Если все факторы будут свободно изменяться и взаимодействовать, то их совокупное влияние на спрос можно представить как сумму влияний их индивидуальных-эластичностей. Например, если меняются и цена, и доходы, то требуемое на следующий год количество, Q,, будет текущим спросом, Qv плюс изменение, вызванное увеличением цен, плюс изменение, вызванное увеличением доходов. Изменение, вызванное увеличением цен, равно текущему спросу, умноженному на процентное изменение в цене, и умноженному на ценовую эластичность спроса. Изменение, вызванное увеличением доходов, равно нынешнему спросу, умноженному на процентное изменение в доходах, и умноженному на эластичность спроса по доходу. В математических символах
АР 'д/l , АР АI
~Р~ I е£ + Qo 11 е/~ Qo 1 + — р гв + — г,
где Q0— количество, требуемое в 0-й год (текущий спрос);
Qt— количество, требуемое в 1-й год (спрос следующего года);
ДР/Р — процентное изменение в цене, выраженное десятичной дробью;
ев— эластичность спроса;
Д///— процентное изменение в доходах, выраженное десятичной дробью;
е.— эластичность спроса по доходу.

Компания «Cotham Leather Goods, Inc.» производит женские сумочки европейского стиля. Фирма продает ежегодно 100 ООО единиц продукции. В настоящий момент цена одной единицы вдвое превышает прямые издержки производства. Руководство фирмы Считает, что ценовая эластичность спроса на эту продукцию, eD, составляет около -1,3, а эластичность спроса по доходу для этой продукции, £(| составляет около 2,0. Специалисты по экономическому прогнозированию предполагают, что подлежащий расходованию реальный доход возрастет в будущем году на 6%. Компания только что подписала трудовое соглашение, предусматривающее увеличение прямых производственных издержек в будущем году на 10%.
ВопросЕсли компания будет следовать своей нынешней политике ценообразования и в будущем году, то сколько единиц продукции она сможет продать?
РешениеИспользуя уравнение (24), получаем
АР ' £D ^0 'А1) <
CL
<
о
о
н
«*г 1 +— £0+— £,
Р > 1 > Р
= 100 ООО [1 + (0,Ю)(-1,3) + (0,06)(2,0)] = 99 ООО.
Таким образом, можно сказать, что уменьшение объемов продаж, вызванное увеличением цены, составляет (0,1) (-1,3)( 100 000) = -13 000. Такое уменьшение объемов продаж частично может быть компенсировано увепичением объемов продаж, вызванным увепичением доходов, что составит (0,6)(2,0)(100 000) = +12 000. Еспи мы сделаем допущение, что все другие факторы, такие, как расходы на рекламу и цены конкурентов, остаются неизменными, то результатом будет уменьшение объемов продаж на 1000 единиц.
ВыводыЭластичность - наиболее часто используемый показатель чувствительности спроса к любому из своих детерминантов. Эластичность определяется как процентное изменение в независимой переменной, вызванное изменением на 1% в одной из независимых переменных, при условии, что все остальные переменные остаются постоянными. Эластичность может быть измерена в любой точке на функциональной кривой с помощью точечной формулы
в=^х* dX Y'
Она может также быть вычислена для сегмента кривой по дуговой формуле
Е= —- х —-.
Г2 + У1 Хг-Хх
Эластичность — это общее понятие, применимое к любой функции. В применении к спросу особый интерес представляют четыре вида эластичности: 1) ценовая эластичность спроса; 2) эластичность спроса по доходу;. 3) перекрестная эластичность спроса и 4) эластичность спроса по рекламе. Эти эластичности находят широкое применение при принятии решений как в государственном, так и в частном секторах. Например, ценовая эластичность спроса — это главный довод при принятии решения по поводу изменений в ценах; эластичность спроса по доходу может указывать на правильное размещение нового предприятия; перекрестная эластичность спроса может регулировать реакцию на действия конкурентов, а эластичность спроса по рекламе может определять направленность и величину новой рекламной кампании.
Ценовая эластичность спроса измеряет чувствительность спроса к изменениям в ценах. Ее знак всегда является отрицательным, что указывает на то, что увеличение в цене может привести к сокращению требуемого количества и наоборот. Функция спроса
это удельная эластичность в точке, в которой предельные доходы равны нулю, а общие доходы максимальны. Ниже этой точки спрос неэластичен, предельные доходыотрицательны, а увеличение цены способно привести к росту общих доходов. Выше этой точки спрос эластичен, и фирма может увеличить общие доходы путем снижения цены.
Эластичность спроса по доходу измеряет чувствительность спроса к изменениям в доходах потребителя. Ее знак будет положительным для нормальных товаров, отрицательным — для товаров худшего качества. Эластичность по доходу является важным показателем при долгосрочном планировании, а также при формулировании краткосрочной стратегии маркетинга.
Перекрестная эластичность спроса определяет чувствительность спроса к изменениям в ценах на некоторые другие товары. Ее знак будет положительным, если два вида продукции являются заменителями друг для друга, и отрицательным, если они взаимодополняют друг друга. Для неродственных видов продукции коэффициент должен быть равен нулю или очень близким к нулю. Перекрестная эластичность важна для разработки стратегии маркетинга фирмы и для определения отраслей, а также при оценке конкурентоспособности отрасли в целом.
Эластичность спроса по рекламе определяет способность спроса (о&ьема продаж) реагировать на изменения в расходах fra рекламу. Этот показатель измерить особенно трудно из-за многих факторов, взаимодействующих с рекламой.
Каждый фактор, который оказывает воздействие на спрос, имеет свою собственную эластичность. В действительности все эти факторы действуют и взаимодействуют более или менее одновременно. Общее воздействие на спрос представляет собой сумму индивидуальных воздействий.
Задачи«Эластичность спроса на продукцию обычно увеличивается по прошествии времени, когда происходят изменения в ценах. Так, уменьшение цены на 1 % может привести сначала к увеличению требуемого количества менее чем 1%, но в конечном счете количество может уве- личкться на 2%, 5% или даже еще больше». Так ли это? Поясните.
Чем уже определяется продукция — например, «Toyota Tercel» в сравнении с «автомобилем», — тем более эластичен спрос». Так ли это? Поясните.
Как вы считаете, какой должна быть перекрестная эластичность спроса для некоторых пар продукции: положительной, отрицательной или нулевой? Какое общее правило, если таковое вообще имеется, вы можете вывести из ваших ответов?
Далее представлены следующие пары продукции, которые вы должны проанализировать:i
а.автомобили с открытым верхом и седаны;
б.Кока-Кола и Пепси-Кола;
в.продажа учебников и зачисление в школу;
г.парты и стулья;
д.трубочки с китайскими яйцами и детские носки.
Компания «Central City Meat Packers» заметила, что спрос, Q, на ее копченые сосиски для завтрака находится под воздействием изменений в доходах надушу населения. И таким образом,
Q = 1000 + 0,2/.
а.Вычислите требуемое количество для каждой 1000 долл. доходов на душу населения, начиная с 2000 и заканчивая 6000 долл.
б.Вычислите эластичность спроса по доходу, если доходы изменятся с 3000 до 5000 долл. и с 10 000 до 15 000 долл.
в.Судя по поведению эластичности по доходу, являются ли копченые сосиски для завтрака предметом роскоши или предметом первой необходимости?
Компания «Bruce Ноше Products» производит пылесосы, которые продает по 100 долл. за штуку. При такой цене объем продаж составляет в среднем около 2000 шт. в месяц. Однако компания недавно узнала, что ее главный конкурент намеревается снизить цены на свои пылесосы с 90 до 80 долл. Руководство компании считает, что перекрестная эластичность между ее продукцией и продукцией ее конкурента составляет + 0,8. Принимая другие переменные спроса за постоянные, вычислите возможное снижение объема продаж компании «Bruce Ноше Products» (в штуках и в долларах).
Посмотрите на сопутствующую кривую спроса,которая соответствует уравнению б = 60 - 5 Р.
Р

Р
Применяя геометрический метод вычисления ценовой эластичности, мы можем определить, что при цене в А долл. ценовая эластичность равна
А _ОА Е° А-М AM’
а при цене в В долл. ценовая эластичность равна
_ В _ОВ В-М ВМ-
Теперь, используя эту информацию и формулу MR = Р + 1/е, заполните следующую таблицу.
р Q TR е MR
12 10 8 6 4 . 2 0 В задаче 8 проиллюстрирован геометрический метод для нахождения ценовой эластичности, а затем он применен к кривой линейного спроса. Однако тот же самый подход может быть использован при оценке точечной ценовой эластичности на кривых линейного спроса. Например, на сопутствующей кривой спроса нас интересует определение ценовой эластичности при цене А. Линия MN вычерчивается касательно к кривой спроса при цене А, а ценовая эластичность оценивается как и раньше: £ = А/(А - М).
Теперь рассмотрим кривую спроса Р = 20/ Q и заполним следующую таблицу.
р а TR е MR
5 4 3 Автомобильный центр «Upland Sears»
обычно ежемесячно продает 300 отличных аккумуляторов с пятилетним сроком эксплуатации по цене, установленной в 75 долл. Однако в прошлом месяце объем продаж уменьшился до 225 единиц. Руководитель автомобильного отдела считает, что уменьшение объемов продаж явилось результатом продажи аккумуляторов с трехлетним сроком эксплуатации, цена на которые была снижена с 65 до 55 долл.
а.С помощью дуговой формулы вычислите перекрестную эластичность между автомобильными аккумуляторами с пяти- й трехлетним сроком эксплуатации.
б.Подсчитайте объем продаж аккумуляторов с пятилетним сроком эксплуатации, если на аккумуляторы с трехлетним сроком эксплуатации будет установлена цена в 60 долл.
Компании «Freshbake» и «Dreambake» продают свадебные торты. Допустим, что продажи свадебных тортов.состав- ляют Qf = 1650 и QD = 620. Кривые спроса для двух конкурентов имеют следующий вид:
«Freshbake»: PF — 750 — 0,3Qf\ «Dreambake»: PD = 700 — 0,5QD.
а.Вычислите точечную ценовую эластичность для компаний «Freshbake» и «Dreambake».
б.Предположим, что компания «Freshbake» уменьшит цену на свадебный торт, увеличив тем самым свой объем продаж с 1650 до 1734 единиц и уменьшив объем продаж компании «Dreambake» до 610 единиц. Какова перекрестная эластичность между свадебными тортами двух компаний?
в.Что говорит коэффициент перекрестной эластичности, вычисленный в пункте «б», о замещаемости обоих видов продукции?
г.Увеличились ли доходы компаний «Freshbake» в результате снижения цбны? Поясните свой ответ.
(Библиотечное исследование). Найдите данные о ценах и потреблении за последние 10 лет или более для любых двух конкурирующих или взаимодополняющих видов продукции. (Так, например, в Agricultural Statistics, публикуемой ежегодно Министерством сельского хозяйства США, представлены данные по многим видам сельскохозяйственной продукции.) Просмотрите указатели последних томов. Для исследования рекомендуем вам следующие виды продукции: мясные продукты (говядина, телятина, баранина, свинина, ветчина); молочные продукты (сыр, молоко, мороженое); цитрусовые (апельсины, лимоны). Пара продуктов может быть отобрана из различных продовольственных групп (например, ветчина и яйцо или мясо и сыр). Конечно, вы можете выбрать и несельскохозяйственные виды продукции. Проанализируйте данные по двум продуктам, которые вы отобрали, посредством оценки дуговых измерений для перекрестной эластичности спроса. Поясните полученные результаты.
Ситуационная задача:
«Sparklife Industries»
Компания «Sparklife Industries» в настоящее время контролирует 4% рынка свечей зажигания. Руководитель отдела продаж компании занимает агрессивную позицию- в отношении увеличения ее рыночной доли. На последнем совещании совета директоров он доложил высшему руководству, что после снижения цены с 1,10 до 1,00 долл., произведенного в январе 1986 г., объем продаж увеличился с 2,2 до 2,75 млн единиц в год.
Конечно, это очень значительное увеличение. Однако члены совета директоров сумели сразу отметить и другие факторы, которые могли оказать влияние на ситуацию: 1) индекс потребительских цен увеличился на 4%; 2) средний доход на душу населения, подлежащий расходованию, увеличился на 3%; 3) хорошо известйый производитель запчастей к автомашинам выступил на рынке; 4) составной индекс производителей легковых и грузовых автомобилей, а также мотоциклов показал увеличение объема продаж на 6%; 5) другие производители свечей зажигания продемонстрировали стабильные 1*ены; 6) цены на газ в течение последних трех месяцев года увеличились на 5%.
Вопросы
а.Вычислите ценовую эластичность спроса при условии, что другие факторы сохраняются постоянными.
б.Проанализируйте все дополнительные факторы, поясняющие возможное воздействие на ваше первоначальное измерение ценовой эластичности.
в.Какие из дополнительных факторов подлежат количественному измерению?
г.Могли бы вы рекомендовать снизить цены без дополнительной информации?
Ситуационная задача:
«LRS Corporation»
Компания «Video Magic» является розничным торговцем новыми и подержанными телевизорами. В 1980 г. компания «Video Magic» была куплена. Она стала филиалом «LRS Corporation», холдинговой компании, владеющей несколькими крупными отелями. Для своих отелей «LRS Corporation» часто делает крупные закупки телевизоров, и это обеспечивает ей операционный левередж на рынке телевизоров. Кроме того, «Video Magic» обеспечивает отличный рынок сбыта для подержанных телевизоров «LRS
Corporation». Для того чтобы вести более эффективную политику оформления заказов и ценообразования, бухгалтер компании отразил данные за последние 10 лет работы (см. табл.).
Вопросы
а.Экономисты предсказывают дальнейшее увеличение среднего дохода на душу населения, подлежащего расходованию. Какие планы должно составить руководство в отношении будущих товарных запасов?
б.Отель компании «LRS Corporation» предполагается отремонтировать, причем предусмотрена и замена 1050 телевизоров сроком службы в четыре года. Для того чтобы избавиться от старых телевизоров, руководство рассматривает возможность продажи всех подержанных телевизоров по сниженным ценам. Какое влияние снижение цены на подержанные телевизоры может оказать на объем продаж новых телевизоров?
в.Руководство оценивает также политику ценообразования на свои новые телевизоры. Какие предложения могли бы вы внести?
(Каждый из этих вопросов подразумевает ту или иную форму эластичности. Помните, что эластичность применяется только в том случае, если все другие факторы сохраняются постоянными.)
Г од Цена
новых
телевизоров Цена
подержанных
телевизоров Количество новых проданных телевизоров Средний доход на душу Населения, подлежащий расходованию
1981 $600 $150 2000 $2000
1982 650 150 1900 2000
1983 650 175 2000 2250
1984 650 200 2100 2250
1985 600 150 2000 2250
1986 600 175 2100 2250
1987 600 175 2000 2000
1988 700 175 2100 2250
1989 750 150 2000 2250
1990 800 150 1900 2250
Список литературыArchibald, Robert, and Robert Gillingham. «Review of the Short-Run Consumer Demand for Gasoline Using Household Survey Data». Review of Economics and Statistics 62 (November 1980), pp. 622-28.
Barrett, W.B., and М.В. SLoyin. «Economic Volatility and the Demand for Consumer Durables». Applied Economics 20, no. 6 (June 1988), p. 731.
Clarke, Darral G. «Sales-Advertising Cross-Elasticities and Advertising Competition». Journal of Marketing Research 10 (August 1973), pp. 250-61.
Dax, P. «Estimation of Income Elasticities from Cross-Section Data». Applied Economics 19, no. 11 (November 1987), p. 1471.
Gillingham, Robert, and Robert P. Hagemann, «Household Demand for Fuel Oil». Applied Economics 16 (1984), да. 475—82.
Houthakker, Hendrik, S., and Lester D. Taylor. Consumer Demand in the United States: Analysis and Projections. Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1970.
Hyman, David N. Modern Microeconomics, 2nd ed. Homewood, 111: Richard D. Irwin, 1988.
Nevin, John R. «Laboratory Experiments for Estimating Consumer Deijiand: A Validation Study». Journal of Marketing Research 11 (August 1974), pp. 261—68.
Pouris, A. «The Price Elasticity of Electricity Demand in South Africa». Applied Economics 19, no. 9 (September 1987), p. 1269.
Simon, Herman. «Dynamics of Price Elasticity and Brand Life Cycles: An Empirical Study». Journal of Marketing Research 16 (November 1979), pp. 439—52.
Van Helden, G.J.; P.S.H. Leeflang; and E. Sterken. «Estimation of the Demand for Electricity». Applied Economics 19, no. 1 (January 1987), p. 69.
ГЛАВАОЦЕНКА СПРОСА: ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫЗадачей анализа спроса является выявление сил, воздействующих на процесс реализации продукции, и установление связей между этими силами и спросом на продукцию. В этой главе рассматриваются два взаимодополняющих и зачастую пересекающихся метода анализа спроса: статистический анализ и исследование рынка. Задачей статистического анализа является определение структуры и параметров функций спроса посредством использования эмпирических данных. При отсутствии надежной экспериментальной информации (например, для новой продукции) необходимо предпринять' исследование рынка. Это приводит к прямому контакту с потребителями посредством наблюдения, обследования или рыночного эксперимента. Короче говоря, статистический анализ может быть выполнен при наличии собранной информации. Какой подход следует использовать (или оба сразу) зависит от доступности и надежности эмпирических данных и мастерства аналитика. При наличии достоверной информации достаточно провести только статистический анализ.
План главыГлава состоит из двух параграфов.
Г. Статистический анализ. В этом параграфе рассматриваются вопросы использования временных рядов и кросс-секционных данных. Сюда входят необходимая корректировка информации, метод наименьших квадратов для простой линейной регрессии, статистическая обработка и графики, которые используются для проверки ■ достоверности регрессионного уравнения.
Подход к оценке спроса в исследовании рынка. В этом параграфе рассматриваются три способа рыночных исследований, которые могут быть использованы для определения покупательской способности потребителе.
Статистический анализПри наличии достоверной информации для определения спроса достаточно провести только статистический анализ (на основе цены).
Статистический анализ включает следующие этапы:
а)сбор, проверка и оценка данных;
б)выбор информационной кривой;
в)проверка и оценка выбранной кривой.
Сбор данных
Для оценки спроса экономисты обычно используют временные ряды и кросс-секционные данные.
Временные ряды. Рассматриваются временные изменения в спросе на определенные виды товаров или услуг и соответствующие временные изменения в ценах на них, получаемой прибыли, объеме продаж и других независимых переменных, влияющих на спрос. В простом регрессионном анализе мы имеем дело с одной независимой временной переменной, «замораживая» все остальные переменные. К сожалению, в течение некоторого периода переменная, которую мы рассматриваем, может подвергнуться значительному влиянию других переменных. К примеру, такие измеряемые в денежном эквиваленте величины, как цена, объем продаж, стоимость и прибыль всегда изменяются со временем под действием инфляции. Кроме того, на эти величины оказывает влияние увеличение объема товаров й услуг на рынке. Поэтому когда мы хотим определить влияние одной отдельной переменной величины за промежуток времени, мы должны «заморозить» все другие переменные. Таким образом, в любом исследовании с использованием временной последовательности необходимо корректировать информацию, для того чтобы избежать эффектов группового влияния и инфляции.
Групповая корректировка. Для нейтрализации эффектов группового влияния на объем продаж величины начального дохода и показатели спроса приводится к базовому уровню. Однако такое преобразование производится только когда собранная информация охватывает продолжительный промежуток времени, так как объем производства обычно не претерпевает резких изменений от года к году. Если анализируемая продукция предназначена для пользования всей семьей, к примеру автомобиль или стиральная машина, то наилучшая оценка спроса на нее часто может быть получена путем исследования потребности одной отдельно взятой домохозяйки или одной отдельно взятой семьи.
Дефляционная корректировка. В течение ряда лет происходит постоянное уменьшение покупательной способности денег, что отражается в росте цен. Этот процесс не позволяет производить правильные сравнения номинальных объемов в долларах за различные периоды. Скажем, 100 долл. в 1990 г. определенно неравны 100 долл. в 1970 г.
Решение этой проблемы заключается в делении всех номинальных показателей в долларах на соответствующий индекс цен. Наиболее используемым при изучении потребительского спроса является индекс потребительских цен (ИПЦ). Индекс потребительских цен отражает нормированную среднюю величину цен, по которым потребителем осуществлялись закупки определенных видов товаров и услуг (так называемая потребительская корзина), по отношению к Предыдущему базовому периоду. Когда номинальный показатель в долларах за каждый определенный период делится на соответствующий этому периоду ИПЦ и умножается на 100, временная последовательность переводится из номинальных долларов в «постоянные доллары» базового пери
ода, для которого ИПЦ составляет 100. Например, на май 1989 г. для базового 1967 г. ИПЦ составлял 370,8. Это означает, что 1000 долл. в мае 1989 г. стоила только 269,69 долл. [1000(100,0/370,8) = 269,69 долл.] в долларах 1967 г. Или можно сказать так: то, что в 1967 г. можно было купить за 100 долл., в мае 1989 г. можно было купить за 370,80 долл.
Другие корректировки. В дополнение к групповой и дефляционной корректировке во временных рядах иногда применяются и другие виды корректировок, среди которых можно назвать корректировки, предназначенные для устранения тенденционных, сезонных и циклических влияний. Методы проведения таких корректировок кратко рассматриваются в главе 9.
Кросс-секционные данные. Анализ временных рядов позволяет определить временные изменения единственной переменной. Кросс-секционный анализ, напротив, рассматривает изменения переменной или группы переменных из некоторого набора в некоторый определенный момент времени. Например, для того чтобы определить влияние величины прибыли на спрос, в качестве переменной может быть выбран объем продаж за май \9ХХг., а набором может служить список фирм, производящих данный продукт.
Выбор между анализом временных рядов и кросс-секционным анализом часто зависит от имеющейся информации и временных и денежных ограничений. Поэтому при изучении спроса чаще используются временные ряды, потому что необходимую информацию можно получить из печатных источников.
Выбор информационной кривой
При выборе кривой результаты наблюдений используются для оценки параметров выбранной функции спроса. Эту функцию затем можно использовать для прогноза величины зависимой переменной при известных значениях независимых переменных. При выборе кривой возникают два основных вопроса.
Какой тип уравнения необходимо использовать?
В какой степени подходит выбранная функция и в какой степени оцененная функция прогнозирует спрос?
Что касается первого вопроса, выбор уравнения зависит рт двух условий: 1) количества независимых переменных и 2) распределения данных, т.е. линейное это распределение или нелинейное?' >
Если тренд экспериментальных значений зависимой переменной приблизительно линеен и существует множество независимых переменных, то оцененное уравнение имеет вид:
Q =Ь0 + blXl+b2X2+ ... +bkXk,(1)
где 'q — оцененный спрос на исследуемый товар;
Xt - величина i-й независимой переменной, i — 1, 2, ..., &;
bQ — постоянная величина;
Ь: — коэффициент при /-й независимой переменной.
С математической точки зрения это уравнение описывает гиперплоскость множественной регрессии (которая будет рассматриваться в следующей главе). Если данныеможно свести к единственной независимой переменной (например, цене) и тренд зависимой переменной практически линеен, то для выбора формулы этой прямой может быть использован простой (парный) регрессионный анализ. Уравнение при этом имеет вид
Qx = o + bPx,(2)
е,
р
где
количество товара X, необходимое на период (зависимая переменная); цена единицы товара X (независимая переменная);
а -
постоянная величина (определяющая точку пересечения графика функции с осью У);
Ь -
коэффициент регрессии для Рх (определяющий наклон прямой на графике функции).
Если тренд.зависимой переменной нелинеен и функция имеет одну независимую переменную, то она описывается уравнением
Qx-aPxK(3)
Это уравнение может быть записано в виде логарифма, если прологарифмировать обе его части:
log Qx = log a + b log Px.(4)
Эта логарифмическая функция линейна и может быть оценена с помощью простого регрессионного анализа.
Простая линейная регрессия
Большинство расчетов регрессий в настоящее время производится на компьютерах с помощью пакетов программ. Анализ простой регрессии также может быть произведен на многих типах недорогих карманных электронных калькуляторов (некоторые имеют для этого встроенные программы). Тем не менее необходимо производить текущий анализ информации при ее вводе в компьютер и при оценке полученных данных. Эта работа может выполняться в следующей последовательности.
Шаг 1. Сбор данных. Прежде чем применить какой-либо метод расчета, мы должны собрать необходимые данные. Для того чтобы продемонстрировать процесс анализа, предположим, что мы собрали данные временных рядов, представленные в табл. 7.1. Наша задача заключается в подборе к этим данным регрессионной функции.
Таблица 7.1
Серия данных, собранных за определенные периоды
Период Наблюдение X Наблюдение У
1 12 47
2 10 38
3 15 55
4 14 49
5 19 60
6 17 56
7 20 66
8 25 80
Шаг 2. Организация переменных во времени. Организация переменных во времени (рис. 7.1) необходима по следующим причинам: 1) для визуального сравнения их изменений, что позволяет вскрыть все взаимные отставания и опережения и произвести соответствующую корректировку, и 2) выделение тренда позволяет определить, линеен он или нет, что помогает выбрать соответствующую модель для формы кривой. Изучив рис. 7.1, можно сделать следующие выводы.
Существует прямая зависимость между величинами Хи Y; так, с ростом Xрастет и Y, а при падении X падает и Y.
Не существует никаких явных связей отставания—опережения между ними. Если бы эти связи были обнаружены, то данные можно было бы скорректировать путем сдвига того или иного ряда величин вперед либо назад во времени до тех пор, пока такие связи не исчезнут.
Выделяемый для каждой серии тренд является линейным, как показано пунктирными линиями.
Полученная информация дает нам базу для организации диаграммы разброса.

Рис. 7.1. Организация переменных во времени


Шаг 3. Организация диаграммы разброса. Базой данных для простой линейной регрессии является набор упорядоченных пар (X, Y), которые представляют собой значения Xи Уза рассматриваемый период. Если мы предположим, что истинная функция распределения, Y=f(X), линейна, то мы должны, в первую очередь, проверить истинность этого предположения. С этой целью сведем имеющиеся данные в диаграмму разброса (рис. 7.2).
8
Точка средних значений (16,5, 56,375)

X = 16,5
Рис. 7.2. Диаграмма разброса данных
Так как на предыдущем шаге было установлено, что между переменными не существует связей отставания-опережения, мы можем противопоставить значения Уза каждый год значениям X за тот же период без необходимости сдвигать те или иные ряды
и,кроме того, мы решили, что выделяемый тренд каждого ряда является линейным. Следовательно, диаграмма разброса может быть представлена в обычном арифметическом масштабе. Но, с другой стороны, если бы тренды подчинялись геометрическому закону, то их можно было бы представить в логарифмическом масштабе, чтобы изобразить их в виде прямых. __
Как следует из рис. 7.2, X (среднее значение X) равняется 16,5, а У (среднее значение Y) равняется 56,375. На рисунке также выделен период каждого наблюдения. Визуальное изучение подтверждает, что выделенная функция может быть линейна^ и это показано пунктирной линией. Кроме того, отмечена точка средних значений, (X, У).
Можно показать математически, что истинная линия регрессии, базирующаяся на полной группе возможных наблюдений, должна проходить через эту точку средних значений. Наша расчетная линия регрессии базируется на наборе наблюдений, извлеченных из полной группы возможных наблюдений. Изображенная линия регрессии является только оценкой истинной линии регрессии, но она также должна проходить через точку средних значений.
Шаг 4. Оценка линии регрессии. При анализе регрессии мы используем метод наименьших квадратов. Это делается для того, чтобы лианеализировать данные. При этом такие величины, как сумма квадратичных отклонений расчетной величины Уот
ее наблюденных значений минимизировалась бы. Если через разбросанные точки наблюдений провести прямую линию, то некоторые из этих точек будут лежать выше этой прямой, некоторые ниже и, возможно, некоторые точки будут лежать прямо на линии регрессии. Расстояния по вертикали между наблюденными точками и усредненной прямой называются отклонениями, или разбросами. Эта концепция проиллюстрирована на рис. 7.3.
У
9
8
У
23456789 Независимая переменная
Рис. 7.3. Типичная линия регрессии с разбросом
У-а + ЬХ
X
(5)
эго чтобы оценить истинную линию регрессии, Y. = а + (ЗА^, для оценочной линии регрессии должны быть рассчитаны параметры а и Ь:
Yi = a + bXr
где X. — /-е значение независимой переменной;
У — /-е значение зависимой переменной;
a — пересечение линии регрессии с осью Y; b — наклон линии регрессии.
Для того чтобы получить уравнение для регрессионных коэффициентов а и Ь, можно использовать дифференциальное исчисление. Разработано несколько эквивалентных версий таких уравнений. Одна из этих версий, простая для расчета, представлена далее:
Ь =
а=,(7)
л
где л - количество наблюденных точек.
_ Если через X мы обозначим среднее значение независимой переменной X, а через
- среднее значение зависимой переменной Y, то 'LXi = пХ и Z7. = п Y . Следовательно, уравнение (6) можно представить в виде
nHx,Y,-Hx^LY, nJjC^-nXnJb— -
«м-M2(8)
_n{YlXiYl-nX Y) _ 5]яг,у#_л7 7
n^xf-nY2) Y,x?~nx2
а уравнение (7) в виде
Е Y: - Z>2>, У, а£лг - -
a = .=_!=Y-ЬХ .(9)
лn ‘ n
Для того чтобы рассчитать уравнение регрессии, мы должны вначале рассчитать суммы X, Y, XY и X2. Для использования в дальнейшем при оценке уравнения регрессии надо также вычислить сумму Y2 (табл. 7.2). Согласно уравнению (6),
ь__ 8(7867)-(132)(451) _ 3404 _ , ^
"2>MS>f) " 8(2340И132)2 " 1296 "’
или, согласно уравнению (8),
ь_ Т,х,Г,-п1¥ _ 7867 - 8(16,5)(56,375) _ 425,5 _ , ^
^Xf-nj22340 - 8(16,5)2162
Согласно уравнению (7),
_ 451 - 2,62654321(132)
13,0370
п
или, согласно уравнению (9),
a= Y-Ьх = 56,375 - 2,62654321(16,5)= 13,0370.
Учитывая, что уравнение регрессии является только лишь оценкой истинной регрессии, чтобы не обольщаться точностью расчета, которой в действительности не су-шествует, мы округляем коэффициенты а и b и записываем оценочное уравнение регрессии в виде
Данные для расчета простой (парной) линейной регрессии методом наименьших квадратов
I' =13+2,6*,.
Период Наблюдения X Наблюдения У XY X2 Уг
1 12 47 564 144 2209
2 10 38 380 100 1444
3 15 55 825 225 3025
4 14 49 686 196 2401
5 19 60 1140 361 3600
6 17 56 952 289 3136
7 20 66 1320 400 4356
8 25 80 2000 625 6400
Суммы 132 451 7867 2340 26571
Среднее 16,5 56,375 Таблица 7.2
Как было показано ранее, оценочное уравнение регрессии может быть получено путем расчета вручную с помощью карманного калькулятора. Если в наличии имеется компьютер с программой расчета линейной регрессии, то, конечно же, гораздо проще и быстрее использовать компьютер не только для расчета уравнения регрессии, но и для других статистических расчетов, используемых при анализе регрессии. В табл. 7.3 содержится компьютерное решение нашего примера с использованием программного обеспечения Microstat™.
Таблица 7.3
Типичная компьютерная распечатка регрессионного анализа
Регрессионный анализ
Основные данные: A.SeoИмя:
Количество наблюдений: 8 Количество переменных: 2
Индекс Имя Среднее Ср. квадр. ошибка зависимой переменной
1 X 16.SOOO 4,8107
Зависимая переменная: У S6.37S0 12,7944
Зависимая переменная: у Переменные Коэффициент Ср. квадр. ошибка Т -критерий Стьюден+а Вероятность
регрессии коэф. регрессии (DF - число ст. св.=S)
X 2.S26S 0,1706 16,398 0,00000
Константа 13,0370 (коэф.,а) Ср. квадр. ошибка оценки = 2,1711 Коэф. детерминации, г2 = 0.97S3 г = 0,9876 Анализ разброса данных (дисперсии) Источник Сумма Число Средний F-критерий Вероятность
хвадратов степеней
свободы хвадрат (Фишера)
Регрессия 1117.S941 1 1117.S941 237,106 4.742Е-06
Остаток 28,2809 6 4,7136 Итого 114S.87S0 7

Компьютерная распечатка, представленная в этой таблице, начинается с заголовка, предназначенного для идентификации выдаваемой информации, далее следует информация о количестве наблюдений и переменных, введенных в программу. Затем следуют имена переменных, средние значения и стандартные отклонения (как входные данные), а также идентифицируется зависимая переменная.
Далее показан коэффициент регрессии для X, т.е. параметр Ь в оценочном уравнении регрессии У( = a + bXt, а также константа регрессии а. Обратите внимание, что значения этих параметров согласуются с ранее представленными результатами расчета, выполненного вручную.
Остальная часть распечатки будет объяснена в дальнейшем.
Шаг 5. Сравнение расчетных и действительных значений. Как близко лежат расчетные значения зависимой переменной к действительным значениям? Другими словами, насколько хорошо наше оценочное уравнение регрессии описывает У как функцию Л? Наглядный ответ на этот вопрос получен путем первоначального расчета, согласно уравнению регрессии Yt = 13 + 2,6Х( для каждого наблюдения и последующего сравнения действительного и расчетного значений У, (табл. 7.4). Некоторые компьютерные программы могут сделать это за вас автоматически или по запросу.
Таблица 7.4
Наблюденные н вычисленные значения функции Y = / (X)
Исходное значение X Наблюденное значение Y Вычисленная функция У, = 13 + 2,6Х Отклонение
10 38 39,0 + 1,0
12 47 44,2 - 2,8
14 49 49,4 + 0,4
15 55 52,0 - 3,0
17 56 57,2 + 1,2
19 60 62,4 + 2,4
20 66 65,0 - 1,0
25 80 78,0 - 2,0
Отклонения действительных значений У от расчетных У в этой таблице являются отражением того факта, что результаты всех наблюдений не укладывают на регрессионной прямой (так как, если бы они укладывались, то вариации У полностью объяс-
А
иялись бы вариациями Xи все значения У равнялись бы значениям У ). Тот факт, что результаты наблюдений отклоняются от линии регрессии, указывает на то, что на величину У действуют силы, отличные от X.
Интерпретация параметровПараметр а является постоянным членом, определяющим точку пересечения линии регрессии с осью У Он обычно не имеет строгого экономического смысла в уравнении спроса Q = а + ЬР, так как маловероятно, что когда-нибудь Р = 0 во всем диапазоне наблюденных данных. Имеет ли параметр а смысл для других функций, Зависит от того, присутствует ли нуль среди наблюденных значений независимой переменной.
Параметр Ь определяет угол наклона линии регрессии. Он представляет собой отдельный вклад каждой, независимой переменной в величину зависимой переменной.
А
Например, если взять уравнение регрессии У( = 13 + 2,6Х, то видно, что изменение на единицу независимой переменной X изменяет значение зависимой переменной У на 2,6. Положительный знак параметра Ь указывает на то, что переменные изменяются в одинаковом направлении, т.е. возрастают или убывают вместе.
Оценка уравнения регрессии
Птавная цель анализа линейной регрессии состоит в выводе линейного уравнения, которое может быть использовано для определения величины независимой переменной У по любым имеющимся значениям независимой переменной X. Здесь сразу же встает вопрос: насколько информативна или точна определенная таким образом величина У?
При анализе простой регрессии для ответа на этот вопрос используют два статистических показателя: 1) средняя квадратичная ошибка оценки, Se, и 2) коэффициент детерминации, г2, и его квадратичный корень, г, называемый коэффициентом корреляции.
Средняя квадратичная ошибка оценки. Средняя квадратичная ошибка оценки, Se, является параметром нормально распределенной случайной величины, представляющей собой отклонение экспериментальных точек от оценочной линии регрессии. Иначе говоря, St определяет разброс случайных значений У при их распределении по нормальному закону относительно оценочных значений У для любых имеющихся значений X. Следовательно, средняя квадратичная ошибка оценки характеризует интервал, в котором может быть определен У при оценке уравнения регрессии на различных степенях статистического доверия. Она рассчитывается как
№-?')2*е=\—— ,(Ю)
f п-к-1
где Se
У,
У,
п
к
п—к—1
средняя квадратичная ошибка уравнения регрессии; наблюденные значения У при Х'р
расчетные значения У при X",
количество наблюдений; количество независимых переменных; число степеней свободы2.
Уравнение (10) показывает, что средняя квадратичная ошибка оценки является квадратным корнем среднего значения суммы квадратичных отклонений или разбросов. Среднее значение суммы квадратичных отклонений — это сумма квадратичных отклонений, деленная на л-&—1 степеней свободы. В табл. 7.3. средняя квадратичная ошибка оценки равна 2,1711. Сумма квадратичных отклонений в разделе «Анализ разброса данных» равна 28,2809, а число степеней свободы равно 6. Таким образом,

как это и указано на распечатке.
Если Se = 0, то оценочное уравнение отлично подходит к наблюденным данным, т.е. все наблюденные точки лежат на линии регрессии и не отклоняются от нее. Но . если 5 * 0, то по крайней мере некоторые из наблюденных точек лежат выше или ниже линии регрессии. Чем больше средняя квадратичная ошибка оценки, тем шире диапазон отклонений. Следовательно, чем меньше эта ошибка оценки, тем более надежной будет оценка У, рассчитанная по оценочному уравнению регрессии для любых имеющихся значений X.
Как и для любого нормального распределения, можно ожидать, что 95% вероятных значений Y будут лежать вблизи оценочных значений Y со средней квадратичной ошибкой ±1,96, а 99% значений этой величины будут совпадать со средней квадратичной ошибкой ±2,58. Для рассматриваемого случая существует вероятность в 95%, что
/\ /\ экспериментальное значение Улежит в интервале у ± (1,96) (2,1711) = У ±4,2554;
и существует вероятность в 99%, что экспериментальное значение Улежит в интервале
± (2,58) (2,1711) = У ± 5,6014.
Средняя квадратичная ошибка коэффициента регрессии
S.

Средняя квадратичная ошибка коэффициента регрессии, Sb, определяет среднее квад- f ратичное отклонение распределения значений коэффициента регрессии, Ь. Таким образом, Sb является мерой надежности этого коэффициента, которая рассчитывается как
(П)В табл. 7.3 средняя квадратичная ошибка коэффициента регрессии находится в той же строке, что и сам коэффициент регрессии, и имеет значение 0,1706. Далее в той же строке находится значение /-критерия, которое рассчитывается как отношение коэффициента регрессии к средней квадратичной ошибке коэффициента регрессии. Сам /-критерий используется для проверки коэффициента регрессии на статистическую надежность, как это будет показано в следующей главе.
Коэффициент детерминации, г2
Коэффициент детерминации, г2, является статистической величиной, показывающей, насколько хорошо регрессионная модель описывает вариации зависимой переменной. Это проверка того, насколько график регрессии совпадает с наблюденнымиданными при учете вариаций зависимой переменной. Компьютерная распечатка, представленная в табл. 7.3, содержит строку «Коэф. детерминации, г = 0,9753». Это свидетельствует о том, что около 97,5% изменений зависимой переменной, У, объясняется вариациями независимой переменной, X. Значения г2 могут варьироваться от 0,0 до
или от 0 до 100%. Нижний предел 0,0 показывает, что между переменными не существует взаимосвязи. Верхний передел 1,0 означает, что линия регрессии идеально подходит, при этом все изменения Y объясняются изменениями X. Иначе говоря, все наблюденные точки лежат на линии регрессии. Однако такое бывает достаточно редко (если вообще бывает).
Коэффициент детерминации не указывает причины и следствия. Он просто является математическим выражением взаимосвязи между независимой и зависимой переменными и показывает степень их взаимосвязанных изменений, хотя в экономической теории и можно постулировать их причинно-следственную связь.
Статистический смысл коэффициента детерминации проиллюстрирован на рис. 7.4. Здесь Y — среднее значение всех эмпирических значений У, на основе которых построена линия регрессии, а пара Хп У. - отдельное наблюдение. Если У использовать для оценки Yt, то полное отклонение1 будет У — К . Однако мы можем получить лучшую оценку, используя линию регрессии. При этом мы делим полное отклонение (Yt — У ) на
две части. Отклонение ниже линии регрессии, (У, - У), объясняется уравнением
* /\
регрессии2. Отклонение выше линии регрессии, (Yt - У ), не объяснено._
Подобным способом мы можем разделить и сумму квадратов отклонений Z( Y: - У )2
так, что:
Полная _ Объяснимая Необъяснимая вариация вариация вариация
Отсюда
Полная вариация что эквивалентно уравнению
1 , Необъяснимая вариация г -1-= 1 -
Полная вариацияХ(^/“
го
го
Рис. 7.4. Объяснимое, необъяснимое и полное отклонение
го
Z
Z
ф
*
ф
а
а>
с
«
го
t
S

Уравнение (14) ведет к следующей формуле:
(45)
(16)
Кп-пГг — 1 —
Коэффициент детерминации может также быть рассчитан по формуле
5 V
г —\ —
’г)
где St - средняя квадратичная ошибка оценки;
Sy — средняя квадратичная ошибка зависимой переменной.
Обе эти величины имеются на компьютерной распечатке. Таким образом,
se 2
= 1- е = 1-
,sr, ,
2,1711
„ 12,7944 )
]2 = 1- О,
02879518 = 0,9712.

Коэффициент коррелиции. Квадратный корень из коэффициента детерминации, г2, созывается коэффициентом корреляции, г, и определяет степень связи между переменными. Так как г2 изменяется в пределах от 0 до 1, то г лежит в диапазоне от —1 до И! В нашем случае r = V0,9753 = 0,9876, что мы и видим на компьютерной распечатке.
Знак г указывает относительное направление изменений переменных. Так как знак может быть либо положительным, либо отрицательным, при анализе его необходимо согласовать с положительным или отрицательным наклоном линии регрессии.
Величина /-указывает на степень связи между переменными. В нашем случае видна очень сильная прямая связь между независимой переменной X и зависимой переменной Y.
Ил нос флгшшяя ia шча
Шеф полиции некоторого города предполагает линейную связь между полицейским наблюдением и уличными происшествиями. Собрана следующая информация за прошедшие 12 месяцев.
КоличествоКоличество
полицейских наблюденийпроисшествий за месяц
(в сотнях рабочих часов за месяц)
625
750
560
690
515
680
*30
510
800
550
550
525
64 53 67
52 82 59 67 90 50 77 88 71
Вопросы
а.Рассчитайте предполагаемое уравнение регрессии.
б.Рассчитайте среднюю квадратичную ошибку оценки, Se.
в.Рассчитайте коэффициент детерминации, г2.
г.Сколько часов полицейского наблюдения, согласно уравнению регрессии, потребуется для снижения количества уличных происшествий до 500 за месяц?
Решения
а. Пусть X — часы полицейского наблюдения; У — количество происшествий.
X У XY X2 У2
64 625 40 000 4096 390 625
53 750 39 750 2809 562 500
67 560 37 520 4489 313 600
52 690 35 880 2704 476 100
82 515 42 230 6724 ' 265 225
59 680 40 120 3481 462 400
67 630 42 210 4489 396 900
90 510 45 900 8100 260 100
50 800 40 000 2500 640 000
77 550 42 350 5929 302 500
88 550 48 400 7744 302 500
71 525 37 275 5041 275 625
ЕХ = 820 ЕУ = 7385 ЕХУ = 491 635 ЕХ2 = 58 106 ЕУ2 = 4 648 075


Из уравнейия (6) следует:
_ (12)(491 635)- (820)(7385) _ - -156 080
г-г-А 7 7
Из уравнения -G»1
(7) следует: -Ь2> 7385 (12)(58 10б)-(820)2 24 872 - 6,275329688(820) _ 12 530,77034 _ 4П/1/1
п 12 Следовательно, Y — 1044 — 6,ЪХ.
А
б. Используя оценочное уравнение Y тов отклонений. 12
= 1044 - 6,ЗХ, < М 1 1 ■
1
попучим сумму квадра-
X Y А
Y (У - Г) (Y - Y У
64 625 640,8 -15,8 249,64
53 750 710,1 39,9 1592,01
67 560 621,9 -61,9 3831,61
52 690 716,4 -26,4 696,96
82 515 527,4 -12,4 153,76
59 680 672,3 7,7 59,29
67 630 621,9 8,1 65,61
90 510 477,0 33 1089,00
50 800 729,0 71 5041,00
77 550 558,9 -8,9 79,21
88 550 489,6 60,4 3648,16
71 525 596,7 -71,7 5140,89
E(Y - У)2 = 21 647,14
Согласно уравнению (10),
21 647,14
12-1-1
= 46,53.
YY,
п — к — 1
в.Согласно уравнению (15),
г%1
: 0,7907 = 79,0%.
21 647,14
= 1 -■
1л2 -[(2>,)2/п] 4 648 075-[(7385)2/12]
Этот расчет, выполненный вручную, подтверждается компьютерной распечаткой.
Источник
Число степеней свободы 1 10 11
Средний
квадрат
81621,1218 2160,179S
F-критерий
(Фишера)
37,784
Регрессия
Остаток
Итого
1.088Е-04
Регрессионный анализ -
Основные данные: ПолицияИмя:
Количество наблюдений: 12 Количество переменных: 2
Индекс Имя Среднее Ср. квадр. ошибка
зависимой переменной
1 рабочие часы 68,3333 13,7268
Зависимая переменная:происшествия 618,4167 96.870S
Зависимая переменная: происшествия Переменные Коэффициент Ср. квадр. ошибка Т-критерий Стьюдента Вероятность
регрессии коэф. регрессии (DF - число ст.св.= 10)
Рабочие часы -6,2753 1,0209 -6,147 0.00011
Константа 1044,2309 Ср. квадр. ошибка оценки = 46,4777 Коэф. детерминации, г2 = 0,7907 г = -0,8892
Анализ разброса данных (дисперсии)
Сумма квадратов
81621,1218 21601,79S2 103222,9167
Вероятность
Проверка гипотез
Как это было ранее показано, существует отклонение, или разность между оцененными и наблюденными значениями зависимой переменной Удля большинства значений независимой переменной X. Анализ регрессии проводится исходя из предположения, что разброс значений независимой переменной X составляет случайную выборку из неизвестной группы отклонений. При этом принимаются три основных предположения о распределении отклонений для каждого имеющегося значения X.
Их распределение нормально.
Они распределены случайно относительно среднего значения или нуля.
Каждое распределение имеет одну и ту же дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Это предположение необходимо для вычисления средней квадратичной ошибки оценки, которая является одинаковой для всех значений X. Если это предположение неверно, то средняя квадратичная ошибка в одной точке линии регрессии будет отличаться от средней квадратичной ошибки в другой точке.
Если хотя бы одно из этих предположений не выполняется, то правомерность анализа регрессии ставится под сомнение. Чтобы детально изучить эту тему, студенты могут обратиться к любому стандартному учебнику по эконометрике.
Для вопросов, рассмотренных в данной главе, и получения некоторого представления о действии данных допущений может быть использован простой графический метод. На рис. 7.5 представлен разброс наблюдений для случая, когда работают эти допущения; при этом ось Xпредставляет линию регрессии. Когда наблюдаемые,величины расположены в их естественном порядке, закон их распределения явно не просматривается. Создается впечатление, что они случайно распределены относительно линии регрессии.
г. 1044 - 6,ЗХ = 500;
6,ЗХ= 544;
X = 86,349 сотен рабочих часов = 8,635 рабочих часов.

На рис. 7.6 представлены отклонения для случая,, когда эти допущения не выполняются. Это набор отклонений, взятых из исследования о потреблении мяса за 1965—1979 гг. В приведенном примере отклонения отрицательны в первые годы, положительны в середине периода и опять отрицательны в последние годы. Такая структура указывает на наличие тенденции в изменении переменных и служит предостережением о том, что было бы лучше работать с «детрендированной» информацией1.
Положительные значения d
е

••.* * * • е
••_••_•^
# ^ # # Последовательность
ввода данных
V
Отрицательные значения d
Рис. 7.5. Отклонения от линии регрессии, показывающие случайный разброс
Подход к оценке спроса в исследовании рынкаЕсли для статистического анализа спроса не хватает надежной информации, то вначале необходимо провести исследование рынка и получить определенную информацию непосредственно от потребителя. Приведем некоторые доводы, по которым необходимо или желательно провести исследование рынка.
' Существуют насколько способов устранения тренда; некоторые из них рассматриваются в гл. 9. Очень простой метод заключается в использовании модели множественной регрессии, Применяющей тренд в качеств* одной из независимых переменных. Множественная регрессия рассматривается в следующей главе.
X
X
0)
У
«
X
f)
ft)
А
X
л
q
0)
н
5
X
О
с.
о
С
75
74
• .
76
72
73
69
71
Последовательность ввода данных
68
70
78
77
/с • 67 65 66
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
1,0 0,0
"S-ьо
5
| -2-0 (tl
« -3,0
|-4,0
|-5,0
|-6,0 a
0-7.0

79
ft(c, 7.6. Отклонения от лнннн регрессии при изучении потребления мяса
Вводится новый продукт-, прямое исследование необходимо, так как не существует данных для статистического анализа.
Предполагаются изменения таких качественных переменных, как вкус, предпочтения или ожидания потребителя', статистические данные по таким переменным, как цена, анализируются исходя из предположения о том, что качественные переменные неизменны. Если же они изменились, то статистическая информация бесполезна.;
Необходим рыночный эксперимент: с целью разработки ценовой политики фирме требуются данные о колебаниях цен на географически удаленных рынках.
Этот перечень скорее является примерным, чем исчерпывающим. Несомненно, существует множество других доводов, по которым менеджеры-маркетологи стремятся к прямому контакту с потребителем. Прямой контакт наиболее часто рассматривается в литературе по маркетингу по следующим направлениям: «обследования потребителя», «выявление предпочтений потребителя» и «рыночные эксперименты».
Обследования потребителя
Обследования потребителя проводятся путем опроса представителей группы существующих и потенциальных покупателей. Потребителей спрашивают об их реакции на гипотетические изменения таких переменных спроса, как цена, доход, цены на другие
продукты, расходы на рекламу и т.п. Теоретически аналитик должен уметь связать ответы на эти вопросы с характеристиками спроса. Однако практически потребители могут быть не в состоянии или не желать дать точные ответы на эти вопросы. Поэтому выводы, основанные на прямых ответах, могут быть ненадежны. Тем не менее опытные работники, использующие соответственным образом составленные вопросники, могут получить полезную информацию не прямым путем, а косвенно. Например, если люди кажутся несведущими в разнице цен на конкурирующие товары, то это может служить хорошим индикатором того, что цены на этот вид товара неэластичны. Эффективность рекламной кампании также может быть оценена по осведомленности потребителей. Тем не менее существует некоторая основа для определения, по крайней мере, одной важной переменной спроса, а именно ожиданий потребителя (с учетом будущих цен, инфляции, дохода и наличия соответствующего товара), которая может иметь сильное влияние на функцию спроса. Единственный способ узнать, чего хочет потребитель, — это спросить его об этом. Кроме того, опросы потребителя являются хорошим средством для выявления изменений во вкусах и предпочтениях.
Выявление предпочтений потребителя
Другим методом выявления реакции потребителя на изменения переменных спроса является проведение контролируемого эксперимента, называемого «выявление предпочтений потребителя». Участникам такого эксперимента дают небольшие суммы денег для покупки определенных предметов из перечня. Затем манипулируют такими переменными спроса, как цена товара или цены на конкурирующие товары и изучают реакцию потребителей на проведенные изменения.
Надежность информации от такого эксперимента подвергают сомнению на следующем основании: его участники знают, что за ними наблюдают, и поэтому действуют неестественно. Несмотря на такие заявления, при некоторых обстоятельствах изучение предпочтений потребителя может дать ценную информацию о спросе на товар, особенно когда проводится параллельное изучение потребителя. Например, при помощи выявленного предпочтения потребителя можно определить различия в реакции потребителей в различных географических зонах и избежать при этом риска, связанного с проведением рыночных экспериментов.
Рыночные эксперименты
В отличие от выявления предпочтений потребителя, проводимого в искусственных условиях, рыночный эксперимент проводится в условиях реального рынка. Рынки, выбранные для эксперимента, должны быть хотя и похожими, но все же отличаться друг от друга. После того как выбор рынков произведен, фирма начинает эксперимент, варьируя один или несколько факторов, определяющих спрос, и наблюдая результаты. Например, фирма может менять цены на один и тот же товар на различных рынках и сравнивать результаты. С помощью демографической статистики, разработанной Бюро по переписи населения США, фирмы могут ставить эксперименты на нескольких рынках с целью определить влияние на спрос таких характеристик, как возраст, профессия, образовательный уровень, размеры семьи и этнический состав населения. Рыночные эксперименты должны проводиться в масштабе, достаточно большом для того, чтобы быть уверенным в правильности результатов (несмотря на то, что широкомасштабный эксперимент очень дорогой).
Рыночный эксперимент может быть довольно рискованным. Потребители не должны знать 6 том, что они являются объектами эксперимента, в противном случае они изменят свое поведение. Другой риск состоит в том, что если потребителей отпугнутьслишком высокими ценами и различными надбавками в процессе ввода нового товара, то они могут никогда больше не вернуться.
Если предпринимается контролируемый эксперимент, то затраты на него еще выше. Однако в условиях, когда эксперимент не контролируем, нет возможности отличить эффекты экспериментального воздействия от эффектов, вызванных такими случайными факторами, как забастовки, плохая погода или неожиданные действия конкурентов.
Несмотря на эти трудности, прямой рыночный эксперимент может быть весьма полезен. Например, если фирма вводит новый продукт, то по нему не может существовать никакой статистической информации. Только рыночный эксперимент может обеспечить наилучшую информацию для определения цены на этот продукт. Рыночный эксперимент может также оказаться полезным фирме при проверке результатов статистического исследования для выбора определенной рыночной стратегии.
И мюшрашнпый примерНесколько пет назад исследователи из Университета Флориды выбрали Грэнд Рэпидс (Мичиган) местом рыночного эксперимента по определению влияния конкуренции на объем продаж трех партий валенсийских апельсинов. Одна партия была из Калифорнии, другая — из округа Индиан-Ривер во Флориде и еще одна - из внутреннего района Флориды. Город Грзнд Рэпидс был выбран для эксперимента, поскольку по размеру, демографическим характеристикам и экономической базе его потребительский рынок является типичным для Среднего Запада. В эксперименте принимало участие девять супермаркетов, расположенных в различных районах города. Эксперимент дпился 31 день.
Каждый день цены на апельсины из каждой партии изменялись, и дпя каждой партии отмечался объем продаж за день. Интервал изменения цен составлял 32—16 центов, соответственно выше и ниже базовой цены, назначенной в начале эксперимента. Объем продаж за время эксперимента составил 9250 дюжин. Результаты исследования представлены в табл. 7.5. Цифры, выделенные жирным шрифтом, показывают эластичность цен, т.е. процентные изменения в спросе на апельсины из каждой партии при изменении цены на них. Остальные цифры относятся к перекрестным эластичностям спроса, т.е. это процентные изменения спроса на апельсины одной партии п|Ьи изменении на J% цены на апельсины другой партии. Например, апельсины из Индиан-Ривер, штат Флорида (1-й столбец), имеют ценовую эластичность — 3,7, а перекрестную эпастичность '+1,16 по отношению к апельсинам из внутренней Флориды и + 0,18 из Калифорнии.
Эластичность цены и перекрестная эластичность спроса трех партий валенсийских апельсинов
Относительные изменения потребления
ВариацииФлорида, округВнутренний Калифорния
изменения ценИндиан-Риверрайон Флориды
Флорида, округ
Индиан-Ривер—3,07+1,56 +0,01 Внутренний район
Флориды+1,16• —3,01 +0,14
Калифорния+0,18+0,09 —2,76
Перекрестные эластичности имеют особенное значение. Обе партии апельсинов из Флориды с перекрестной эластичностью +1,56 и +1,16 явно рассматриваются покупателями как аналогичные. Но калифорнийские апельсины, похоже, занимают отдельное место на рынке, т.е. калифорнийские апельсины и апельсины из Флориды при очень низкой перекрестной эластичности не рассматриваются как аналогичные. Это впечатление о двух раздельных рынках усиливается при рассмотрении цифр, Выделенных жирным шрифтом. Апельсины из Флориды не только очень чувствительны к изменениям цены, но также имеют очень близкие ценовые эластичности (—3,07 и —3,01). Апельсины из Калифорнии также имеют высокую Ценовую эластичность —2,76, но все же более низкую, чем из Флориды.
Правильность данного исследования определяют два условия. Во-первых, длительность эксперимента быпа достаточно короткой, чтобы избежать изменений других переменных, кроме цены, таких, как доходы населения, его вкусы, численность и инфляция. Во-вторых, экспериментаторы были в состоянии обеспечить адекватные количества фруктов из каждой партии по экспериментальным ценам.
ВыводыОценка спроса является неотъемлемой частью любого бизнеса. Методом, наиболее часто используемым при практическом определении спроса, является линейная регрессия. Если требуемое количество принять за функцию одной независимой переменной, то в этом случае можно использовать простую (парную) линейную регрессию. В случае, когда имеются две или более независимых переменных, необходимо применять множественный регрессионный анализ, который будет рассматриваться в следующей главе.
При наличии адекватной информации статистический анализ является лучшим методом определения спроса. База данных для статистического анализа может быть одной из следующих.
Информация на основе анализа временных рядов, которая содержит изменения избранных переменных за довольно длительный промежуток времени. Эта информация должна быть скорректирована с учетом изменений в численности населения и инфляции или дефляции. Кроме того, вполне возможно, что из нее необходимо удалить трендовые, сезонные и циклические влияния.
Информация на основе кросс-секционных данных, позволяющая произвести моментальный снимок многих переменных в один определенный момент времени или в течение одного определенного периода. На эту информацию не влияют изменения численности населения или текущая цена доллара, однако может быть необходима корректировка для устранения нежелательных влияний.
Подбор уравнения, связывающего изменения зависимой переменной с изменениями независимой переменной, осуществляется по графику с помощью метода наименьших квадратов. Лучше всего такая операция выполняется с помощью компьютера, но ее также можно выполнить и с применением карманного калькулятора. Когда к экспериментальным данным применяется линейная регрессия, наблюденные точки могут лежать выше, ниже,или на этой линии. Расстояние между такой точкой и линией регрессии называется отклонением, или разбросом. Отклонение существует вследствие того, что не все изменения зависимой переменной могут быть объяснены изменениями независимой переменной. Метод наименьших квадратов позволяет минимизировать сумму квадратичных отклонений.
Независимо от способа получения, рассчитанная линия регрессии должна быть оценена и проверена на правильность. Для оценки используют тесты на: среднюю квадратичную ошибку оценки; коэффициент детерминации; коэффициент корреляции.
Конечно, регрессионный анализ не может быть выполнен, пока не собрана соответствующая статистическая информация. Если такой информации нет, то необходим прямой контакт с потребителем. Прямой контакт может иметь следующие формы.
Обследования потребителя, когда изучается реакция потребителя на гипотетические изменения цены, дохода, цен на другие продукты, рекламу товара и другие составляющие спроса.
Выявление предпочтений потребителя, при котором манипулируют переменными спроса и затем наблюдают за реакцией потребителя. Такой эксперимент осуществляется в лабораторных условйях.
Рыночные эксперименты, в которых цены или другие переменные изменяются на одном или нескольких рынках, и при этом наблюдаются реакции потребителей.
ЗадачиОбъясните, почему построение диаграммы разброса является важным первым шагом при анализе связи между зависимой и независимой переменными.
Перед тем как начать широкомасштабный выпуск своей продукции для американского рынка, французские производители нового пищевого комбайна провели рыночный эксперимент в пяти американских городах и получили следующие результаты.
Г ород Цена Объем продаж
Цинциннати (Огайо), $30 152
Мемфис (Теннесси) 35 142
Сент-Луис (Миссури) 40 , 137
Канзас-Сити (Миссури) 45 125
Даллас (Техас) 50 122
а)Предположим, что эти пять городов являются типичными для рынка США. Используя линейную регрессию, найдите функцию спроса и оцените объем продаж прибора при цене в 47,50 долл.
б)Какова ценовая эластичность спроса при цене в 50 долл.?
в)Какая цена максимизирует совокупный доход?
Результаты экспериментального изучения спроса таковы: ^ уравнение регрессии! Y =20 + 4Х; средние значения: X = 5, Y = 40; средняя квадратичная ошибка оценки Y: Se = 3,0;
среднее квадратичное отклонение Y: SY = 6,8;
количество наблюдений: п = 60.
а.Постройте такую диаграмму разброса, какую вы себе представляете.
б.Какую переменную спроса может представлять собой Х> Дайте краткое объяснение.
в.Рассчитайте г2.
4. «Road Ranger Manufacturing Company» производит оснастку для переоборудо- вания обычных пикапов в удобные фургоны для лагерного туризма. Руководство компании полагает, что спрос на такие фургоны тесно связан с располагаемым доходом населения1. Представленная информация получена из архивов компании и из Statistical Abstract of the United States за 1987 г.
Год Объем продаж Располагаемый Численность Индекс
(в млн долл.) личный доход населения потребительских
(в млрд долл.) (в млн чел.) цен
1983 $83,6 $1551,2 222,6 195,4
1984 101,2 1729,3 225,1 217,4
1985 111,1 1918,0 227,8 246,8
1986 126,5 2127,6 230,1 272,4
1987 143,0 2261,4 232,5 289,1
1988 162,8 2428,1 234,8 298,4
1989 212,3 2670,6 237,0 311,1
1990 224,4 2828,0 239,0 322,2
а. Проведите корректировку данных по в. Составьте диаграмму разброса.
объему продаж и по доходу. г. Оцените уравнение регрессии.
б. Упорядочите переменные по време д. Сравните действительные и расчет
ни. Имеются ли в данных какие-либо ные значения объема продаж.
опережения или отставания? Каковы 5. Имеются три способа набора данных.
их тенденции? А В С
Цена Количество Ежедневная Количество Количество Ежемесячные
реализованного средняя посетителей пользователей поступления на
температура плавательного индивидуальный
бассейна пенсионный
счет (в тыс. долл.)
Р Q Т А X У
$2,40 12 000 80,3 ,340 650 $82,8
3,13 5700 69,4 210 100 5,0
2,65 8000 83,1 410 520 59,3
3,03 6400 85,7 480 960 148,7
2,52 8900 82,3 400 210 15,2
2,43 11 300 79,8 320 740 100,6
3,74 4800 76,4 280 140 8,3
2,60 9000 73,7 250 360 34,0
2,62 9300 80,6 330 1050 110,1
а.Составьте диаграмму разброса для каждого из наборов данных. Кривая какого типа подходит к каждому из них?
б.Используя метод наименьших квадратов, рассчитайте уравнение регрес
сии для набора А и покажите, что рассчитанная прямая проходит через среднюю точку. Предостережение. Не округляйте никаких чисел до тех пор, пока не выполните все задание.
' Доход, которым население располагает после уплаты налогов для потребления и сбережений. - Примеч. ред.
8-1854
Ь0 = 2170,7; bt = 42,0;
для Африки Ь0 = 893,57; Ь1 = -17,28;

в.Выполните задание из пункта «б» для набора В.
Профессор, надеясь убедить студентов продолжить высшее образование, поручил им исследовать связь между получаемым доходом и образованием. Его студенты обнаружили в университетской библиотеке следующие данные.
Средний
срок
обучения
X Среднегодовой доход (в тыс. долл.) У
4 $12
5 14.
6 16
7 18
8 22
10 24
12 30
14 42
15 60
17 80
20 90
а.Составьте уравнение регрессии.
б.Как изменения среднегодового дохода зависят от среднего срока обучения?
в.Критически оцените взаимосвязь между величиной среднегодового дохода и средним сроком обучения. Можете ли вы предложить какие- либо другие переменные, которые должны быть включены?
Менеджер по сбыту, который работает в большом мебельном магазине, пытается определить эффективность рекламы, помещенной в газете. За последние 13 недель были использованы различные площади газетного листа в целях рекламы распродаж основных предметов обстановки и других крупногабаритных предметов. Пусть А — количество колонок рекламного текста, a Q — количество проданных по объявлениям предметов. Тогда данные могут бьцгь представлены в следующем виде:
1А = 1407; 2(2 = 403;
ZA2 = 184 971; ZQ2 = 13 983.
2L4<2 = 48 552;
а.Рассчитайте уравнение регрессии.
б.Рассчитайте среднюю квадратичную ошибку оценки.
в.Рассчитайте коэффициент детерминации.
г.Проведите оценку уравнения регрессии.
Новозеландская нефтяная компания для оценки взаимосвязи между средней дневной температурой и средней дневной добычей нефти собрала следующие данные.
Средняя
дневная
температура
СС) Средняя дневная добыча нефти (в галлонах)
-12 7,0
-8 6,7
-4 6,3
0 5,1
4 4,5
8 3,4
12 2,9
16 1,3
а.Рассчитайте оценочную линейную взаимосвязь и объясните смысл отрезка, отсекаемого ее графиком на оси координат, и смысл угла наклона графика. Оба ли они имеют смысл?
б.Рассчитайте среднюю квадратичную ошибку оценки.
в.Сделайте прогноз средней дневной добычи нефти при средней дневной температуре 13°С.
г.Во многих случаях параметр а уравнения регрессии не имеет экономического смысла. А как в данном случае? Поясните свой ответ.
Так как главным в определении спроса является величина дохода, политиков всегда заботит все, что может повлиять на нее. Особую тревогу представляют темпы увеличения рождаемости в развивающихся странах. Предположим, что информация из 22 стран Латинской Америки и 26 стран Африки была использована для разработки регрессионной модели
= Ь, + ЬхХ, где Y — доход на душу населения;
X— процент населения в возрасте до 15 лет.
Компьютерный расчет дал следующие результаты:
для Латинской Америки
SSR = 954 235; SSE = 33 402; SST = 987 637;
SSR = 153 785; SSE = 3774; SST= 157 559,
где SSR — регрессионная сумма квадратов1;
SSE — погрешность суммы квадратов2; SST — полная сумма квадратов3.
а.Какой смысл для каждой модели имеет коэффициент наклона?
б.Рассчитайте и интерпретируйте коэффициент детерминации для каждой модели. Какой из них лучше подходит? Почему?
в.Латиноамериканский производитель желает знать, какой может быть доход на душу населения для страны, если численность населения в возрасте до 15 лет уменьшилась до 12% от общего количества. Можете ли вы ответить на этот вопрос?
Пытаясь определить правильную цену на новую продукцию, компания поставила свою продукцию на десять однотипных рынков, имеющих одинаковые условия для реализации, по девяти разным ценам. После сбора информации о результатах первого месяца реализации было составлено следующее регрессионное уравнение:
(2= 1812,11 - 73,91 Р, для которого коэффициент корреляции г=- 0,519.
а.Зная значение коэффициента корреляции, можно ли с достаточной уверенностью сказать, что существует отрицательная линейная связь между ценой и требуемым количеством товара?
б.Насколько сильна связь между ценой и требуемым количеством товара? Обсудите этот вопрос.
Ситуационная задача:
Мидлэндский
государственный университет
Мидлэндский государственный университет является государственной организацией, предназначенной для того, чтобы предоставить возможность получить образование всем желающим. Поэтому политика членов правления, которой придерживалось и руководство штата, состояла в поддержании платы за обучение для жителей штата на возможно низком уровне. Последнее повышение платы за обучение состоялось 2 года назад, и в настоящее время эта плата, составляющая 600 долл. за семестр, является одной из самых низких в США. Тем не менее действительные затраты таковы, что вносимая плата составляет не более 5% затрат на одного студента. Ясно, что плата за обучение должна возрасти. Вопрос только в том, на сколько?
Пытаясь определить влияние повышения платы за обучение на количество студентов, управляющий университета составил вопросник для изучения мнения 1000 студентов. Каждому студенту были представлены пять различных вариантов платы за обучение и был задан следующий вопрос: «Останется ли он (она) в университете?» Было предложено выбрать один из следующих ответов на этот вопрос: (1) конечно, нет; (2) вероятно, нет; (3) возможно, останусь; (4) весьма вероятно, что останусь; (5) скорее всего, останусь; (6) определенно останусь. В количественном выражении ответы на эти вопросы эквивалентны следующим вероятностям продолжения учебы в университете: (1)
0; (2)0,2; (3) 0,4; (4) 0,6; (5) 0,8 и (6)
Результаты опроса таковы.
Количество студентов в каждой опрошенной категории
Плата за обучение
(в семестр) (1) (2) (3) (4) (5) (6)
$700 0 25 50 225 300 400
800 50 100 100 300 250 200
900 100 150 250 250 150 100
1000 300 225 175 150 100 50
1100 500 300 125 50 25 0
Вопросы
а.Как вы думаете, сколько из 1000 опрошенных студентов останутся учиться при пяти различных вариантах оплаты?
б.Свяжите изменения в плате за обучение с ожидаемым количеством сту-
дентов и нарисуйте примерную кривую спроса.
в.Используйте линейный регрессионный анализ для оценки истинной кривой спроса.
г.При каких размерах платы за обучение доход будет максимальным?
Ситуационная задача: бакалейные магазины *Foodland»
«Foodland» — это самая большая сеть бакалейных магазинов в Гонолулу, состоящая из девяти больших магазинов в различных районах города. Директор по сбыту собрал информацию о ценах и объеме продаж молока для десяти случайно выбранных недель текущего года. Эта информация была сведена в следующую таблицу.
Неделя Объем продаж Q (в тыс. галлонов) Цена P (в долл. за галлон)
I ft $2,50
2 6 3,30
3 5 3,10
4 13 2,60
5 to 2,70
6 16 2,10
7 6 3,00
8 12 2,80
9 18 2,10
to 20 2,20
Директор по сбыту хочет, чтобы вы рассчитали линейную регрессию с помощью компьютера и затем-представили результаты генеральному директору. Генеральный директор слабо разбирается в регрессионом анализе, так что вам придется объяснить ему смысл компьютерной распечатки, обращая при этом особое внимание на использование статистической терминологии. Если у вас нет доступа к компьютерной программе линейной регрессии, то задача может быть решена на калькуляторе. Вы обязаны включить в расчет следующие данные, добавляя при этом любые другие параметры:
уравнение регрессии; точки пересечения; коэффициент регрессии; среднюю квадратичную ошибку оценки; л2;
коэффициент корреляции; сумму квадратов отклонений от линии регрессии;
полную сумму квадратов; разбросы;
объяснимую вариацию; необъяснимую вариацию.
Дайте подтверждение вашему заключению относительно надежности регрессионного уравнения.
Список литературыBaumol, William J. Economic Theory and Operations Analysis, 4th ed. Enlewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1977.
Dean, Joel. Managerial Economics. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1960.
Eskin, Gerald J., and Penny H. Baron. «Effects of Price and Advertising in Test-Market Experiments». Journal of Marketing Research 14 (November 1987), pp. 499-508.
Godwin, M.B.; W.E Chapman, Jr.; and W.T. Hanley. Competition between Florida and Valencia Oranges in the Fruit Market. Bulletin 704. Washington, D.C.: Economic Research Service, U.S. Dept, of Agriculture, December 1965.
Houthakker, H.S., and Lester D. Taylor. Consumer Demand in the United'States, 1929- 1970: Analyses and Projections. Cambridge, Mass: Harvard University Press, 1970.
Nevin, John R. «Laboratory Experiments for Estimating Consumer Demand: A Validation Study». Journal of Marketing Research 15 (August 1978), pp. 413—28.
Willis, Raymond E.A. Guide to Forecasting for Planners and Managers. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1987.
ГЛАВА8
ОЦЕНКА СПРОСА: МНОЖЕСТВЕННЫЙ РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗВ предыдущей главе мы рассмотрели применение простой линейной регрессии для анализа связи между одной независимой переменной, влияющей на спрос, и требуемым количеством товаров или услуг. В некоторых случаях изменения спроса удовлетворительно объясняются изменениями одной независимой переменной, например цен. Однако в других случаях может понадобиться изучение связи между спросом и двумя или более независимыми переменными, которые могут изменяться более или менее спонтанно. Это может быть сделано с помощью метода множественного регрессионного анализа, широко используемого и очень важного аналитического инструмента бизнеса и экономики.
Множественный регрессионный анализ позволяет производить оценку случайной связи между зависимой переменной У и любым количеством независимых переменных Х2, Х2, Хк. Основа множественного регрессионного анализа — это оценка параметров регрессии, или коэффициентов, для каждой независимой переменной. Каждый параметр (или коэффициент) является мерой того, как каждая независимая переменная влияет на зависимую переменную при условии, что все остальные независимые переменные поддерживаются неизменными.
Так как расчет множественной регрессии сложно осуществить вручную, то его лучше всего выполнить на компьютере. Компьютерные распечатки множественного регрессионного анализа не стандартизованы и различаются в основном форматом, а не содержанием. Если вы разберетесь с распечатками, представленными в данной главе, то вам не составит труда разобраться и с иными распечатками, выполненными в другом формате.
Каков бы ни был формат, компьютерная распечатка требует интерпретации, проверки и исправления перед ее практическим использованием. В данной главе рассматриваются именно эти вопросы.
План главыГлава охватывает три главные темы.
Построение функции мультивариаитного спроса. Этот параграф включает способы идентифицикации переменных, сбора и корректировки данных компьютерной программы расчета множественной регрессии.
Тестирование и оценка результатов. В данном параграфе показано, как произвести оценку и тестирование как всего уравнения, так и его отдельных параметров.
Исходные предположения и специальные задачи множественного регрессионного анализа. В этом параграфе рассматриваются условия, на которых базируется множественно-регрессионная модель, а также особые проблемы, возникающие в том случае, когда эти условия не соблюдаются, особенно проблемы мультиколлинеарности, гетеросцедастичности и автокорреляции.
Построение функции мультивариаитного спросаМультивариантное уравнение спроса должно отвечать трем важным требованиям: как можно точнее отражать связи между зависимыми и независимыми переменными;
представлять собой простую и надежную модель рыночных процессов; выполняться для любых заданных значений времени и стоимости.
Технические аспекты множественного регрессионного моделирования рассмотрены в обычных учебниках по статистике и эконометрике. Кроме того, для проведения грамотного множественного регрессионного анализа необходимы понимание его экономического смысла, рассудительность и воображение. С целью получения практических навыков по использованию регрессионного анализа при изучении спроса, мы проведем его пошаговый анализ, начиная с выявления (идентификации) переменных.
Шаг 1. Идентификация переменных
В главе 6 мы узнали, что спрос является функцией многих переменных: QB = = /(Хр Х2, Х}, ..., Хп). При любом эмпирическом изучении спроса в первую очередь нам необходимо выявить независимые переменные и их связь с зависимой переменной. Например, модель спроса может иметь следующий вид:
Qd = f(P, Т, I, Pr, Е, R, N, А, О),
где Qd — требуемое количество определенного товара;
Р - рыночная цена этого товара;
Т - вкусы и предпочтения потребителя;
I — уровень дохода потребителя, т.е. доход плюс кредит;
Рг — цены на подобные товары (субституты и дополняющие);
Е — ожидаемые потребительские цены, доходы и доступность товара;
R — объем доступных товаров;
N — количество потенциальных потребителей;
А — реклама и продвижение продаж;
О— все другие факторы.
Однако недостаточно определить связь переменных спроса с необходимым количеством товара (с зависимой переменной). Мы должны также определить, имеют ли независимые переменные связи друг с другом. При построении мультивариантной функции спроса точные оценки связей между необходимым количеством товара и независимыми переменными, определяющими спрос, часто затруднены вследствие близких взаимных связей между факторами, определяющими спрос, и тем фактом, что их величины изменяются более или менее случайно. Это последнее обстоятельство особенно досадно, так как трудно определить, какое действие оказывает на спрос одна из переменных в то время, как остальные переменные изменяются.
При анализе простой (парной) регрессии (см. гл. 7) мы полагали, что спрос изменяется в результате изменений цены, в то время как все остальные переменные не меняются, т.е. QD—f(P IТ, /, Pr, Е, R, N, А, О)1. Следовательно, все, что нам требовалось для построения кривой спроса, — это серия наблюдений за спросом при различных ценах на товар.
Мы знаем, что рыночная цена устанавливается по точке пересечения кривых спроса и предложения. До тех пор, пока кривые спроса и предложения остаются стабильными, цена не меняется. Следовательно, если мы наблюдаем изменение рыночной цены, это означает, что сместились либо кривая спроса, либо кривая предложения, либо обе эти кривые.
Если сместилась только кривая предложения, то точки зависимости «цена - количество товара» будут лежать только вдоль кривой спроса, как показано на рис. 8.1. Если можно установить, что условия, изображенные на этом рисунке, действительно выполняются, то кривая спроса может быть с большой точностью аппроксимирована прямой простой парной линейной регрессии (см. гл. 7).
Хорошим примером ситуации, отображенной на рис. 8.1, является рынок микропроцессоров, часто называемых персональными компьютерами. Технологический процесс быстро снизил затраты на производство этих приборов, поэтому у производителей появилось желание расширить производство. Это означает, что кривая предложения сместилась вправо несмотря на то, что кривая спроса не изменилась. Таким образом, быстрое увеличение спроса вызвано в основном значительным снижением цен вследствие снижения затрат на производство.

Рис. 8.1. Кривые спроса и предложения
1 Как отмечалось в гл. 5, можно также определить спрос как функцию одной любой переменной при условии, что все остальные переменные не меняются.
Р
Но что произойдет, если при этом другие переменные не останутся постоянными? Любое изменение какой-либо переменной, кроме цены, вызовет смещение кривой спроса. На рис. 8.2 представлена ситуация, когда статистическая информация указывает на то, что изменились как кривая предложения, так и кривая спроса. На уровнях спроса Q2 и Q} существовали, по крайней мере, три точки равновесия. Если эти точки соединить линией DD', то мы увидим следующее: эта линия имеет наклон вперед, что подтверждает экономическую теорию. Но этого недостаточно, чтобы можно было заключить, что линия DD' представляет собой функцию спроса одной переменной. Напротив, диаграмма ясно показывает, что линия DD' определяется тремя различными функциями спроса.

Количество проданного товара за период Рис. 8.2. Серия кривых спроса и предложения
В главе 6 было показано, что изменение цены вызывает движение вдоль кривой спроса, в то время как изменение любой другой величины, определяющей спрос, приводит к изменению положения кривой спроса (см. рис. 6.1). Правильный анализ спроса требует достаточной информации для определения функций взаимосвязи между переменными, которые влияют на спрос, и для проведения различия между продвижениями вдоль кривой спроса и изменениями положения самой кривой. Поэтому случай, представленный на рис. 8.2, известен под названием «проблема идентификации».
Если функция спроса оценивается только исходя из цены и количества товара, то не всегда возможно отделить эффект изменений цены от действия всех остальных факторов, что ведет к негативным последствиям для фирмы. Например, прямая, соединяющая точки равновесия на рис. 8.2, имеет меньший наклон (т.е. более эластична), чем любая из истинных кривых спроса. Если фирма ошибочно примет эту линию за кривую спроса, то она может снизить цену в ожидании сильного повышения доходов за счет резкого увеличения объема продаж. Истинная кривая спроса имеет больший наклон (т.е. менее эластична), что указывает на то, что предполагаемого увеличения объема продаж не будет.
Проблема идентификации может быть решена при помощи множественной регрессии при условии наличия достаточной информации. Если же достаточной информации не имеется и одна из переменных спроса пропущена или использована простая (парная) линейная регрессия, то результатом будет ошибочное изображение функции спроса.
Если для оценки функции спроса используется анализ временных рядов, то лицо, проводящее анализ, должно знать о существовании проблемы идентификации, так как за период, достаточно продолжительный для данного анализа, можно ожидать изменения и других переменных, кроме цены. Такие количественные переменные, как доход и цены на другие товары, могут быть легко выявлены. Качественные переменные, такие, как вкусы и предпочтения потребителя, а также его ожидания, прямо не вычисляются. Тем не менее степень их изменений может быть представлена в численном виде и, следовательно, может быть включена в множественный регрессионный анализ.
Шаг 2. Сбор и уточнение данных
Когда переменные выявлены, необходимо получить о них информацию. Источники такой информации, конечно же, определяются требованиями к модели. Как отмечено в главе 7, основными источниками являются такие правительственные публикации, как Statistical Abstract of the United States, ежегодный Economic Report to the President, Business Statistics, Agricultural Statistics и Survey of Current Business. Другими источниками являются Federal Reserve Bulletin и U.S. Industry Outlook. При сборе данных необходимо учитывать следующие аспекты: 1) организацию информации (т.е. какую информацию следует использовать: месячную, квартальную или годовую) и 2) количество наблюдений, требуемое для получения хороших результатов.
Организация и уточнение данных. Вопрос о том, какую информацию лучше использовать, — месячную, квартальную или годовую, — чаще всего решается на основе доступности. Многие организации не публикуют экономические сборники так часто, как этого хотелось бы исследователям, оставляя им возможность пользоваться лишь ежегодной информацией. При возможности было бы желательно иметь ежеквартальную информацию, так как большее количество наблюдений позволяет достичь большей статистической эффективности.
Данные временных рядов должны быть скорректированы с учетом изменений численности населения и инфляции (см. гл. 7). Квартальные данные могут нуждаться в сезонном уточнении. Далее, так как многие экономические явления реагируют на изменение условий с некоторой задержкой, эконометрические модели, в которых используется квартальная информация, должны создаваться с применением скорее опережающих, чем текущих переменных. Кстати сказать, тот или другой ряд может быть сдвинут во времени таким образом, чтобы действие и реакция на это действие происходили одновременно (см. гл. 7).
Количество наблюдений. Вопрос о том, какое количество наблюдений необходимо для получения адекватных результатов, не прост. Адекватных результатов можно ожидать,'если мы будем работать со всем населением. Но это редко удается. Обычно ограничения во времени и в деньгах, выделенных на сбор информации, вынуждают использовать выборочный метод. Размер выборки является компромиссом между растущими затратами на сбор данных при увеличении объема выборки и снижением убытков от ошибки оценки.
Основное правило состоит в том, что для хорошо выбранной модели требуется количество наблюдений, по крайней мере в три или четыре раза большее, чем количество независимых переменных. Следующий шаг состоит в выборе формы регрессионного уравнения.
Шаг 3. Выбор наилучшей формы уравнения
(1)
Многие функции спроса являются фактически линейными в доступном интервале эмпирических данных. В таком случае наилучшей формой является уравнение, описывающее регрессионную плоскость сверху, снизу или совпадающее с наблюденными точками. Оценочное уравнение имеет вид
Q - Ьй + blXl + Ь2Х2 + ... + ЬкХк,
где Q — оценка требуемого количества;
Xt — значение /-й независимой переменной;
Ь: — оценочное значение /-го регрессионного параметра.
Когда данные указывают на то, что функция их распределения не совсем линейна, мы можем свести ее к линейной путем логарифмирования. Если мы постулируем форму уравнения как

(2)(3)
то оценивающее линейно-регрессионное уравнение будет описывать регрессионную плоскость сверху, снизу или совпадать с ней в точках, соответствующих логарифмам наблюденных данных. Оценочное уравнение имеет следующий вид:
log Q = log Ьй + bl log Xl + b2 log X2+ ... +bk log Xk ■
Обычно не существует априори причины для предпочтения одной формы другой. В каждом конкретном случае кажется весьма разумным испробовать обе формы и использовать ту из них, которая лучше описывает связь между зависимой и независимой переменными. Компьютерные программы позволяют проделать это без особого труда.
Многовариантные функции имеют то полезное свойство, что эластичность каждой переменной равняется ее относительной экспоненте. Следовательно, в логарифмической форме коэффициенты при независимых переменных являются их собственными относительными эластичностями. Кроме того, если все независимые переменные функции случайно возрастают в некоторой пропорции к, то пропорциональное увеличение зависимой переменной будет умножено на к вследствие суммирования экспонент независимых переменных. Надо сказать, что возврат в исходный масштаб осуществляется по сумме показателей при экспонентах.
В данном анализе множественная линейная регрессия является расширением метода наименьших квадратов для простой (парной) линейной регрессии, рассмотренного в предыдущей главе. Метод наименьших квадратов может быть быстро и точно применен в компьютерной программе для оценки коэффициентов регрессии. Компьютерная распечатка не только содержит значения всех параметров регрессионного уравнения, но также выдает проверочную информацию, по которой можно судить о правильности выбранной модели.
Шаг 4. Расчет уравнения регрессии
В качестве примера расчета мультивариантной функции спроса мы используем кросс-секционные данные. Предположим, что фирма «Pacific Traders» импортирует из Китая черные шампиньоны. Этот восточный пищевой продукт затем продается в 15 городах США, в которых проживает достаточное количество людей восточного проис-
хождения. Так как на всех 15 рынках цена одинакова, фирма полагает, что на,объем продаж влияют в первую очередь две величины: численность целевого населения (потенциальных покупателей) и доход на душу населения. Кросс-секционные данные представлены в табл. 8.1.
Таблица 8.1
Данные об импорте китайских черных шампиньонов в 15 городах США
Город Количество покупок за неделю (в ящиках) Q Количество потенциальных покупателей (в тыс. чел.) *, Доход на душу населения
*2
1 162 274 $2450
2 120 180 3254
3 223 375 3802
4 131 205 2838
5 67 86 2347
6 169 265 3782
7 81 98 3008
8 192 330 2450
9 116 195 2137
10 55 53 2560
11 252 430 4020
12 232 372 4427
13 144 236 2660
14 103 .157 2088
15 212 370 2605
Во-первых, надо убедиться в линейности связи между зависимой и независимыми переменными. Что касается кросс-секционных данных, то проверка осуществляется сопоставлением зависимой переменной с каждой из независимых переменных (рис. 8.3)‘.
Расположение точек на этом рисунке говорит о том, что связи независимых переменных с зависимой переменной линейны в обоих случаях; следовательно, мы можем применять множественную регрессию без какой-либо дальнейшей корректировки данных. Выбранная функция спроса имеет вид
Q = Ь0 +Ь{Х{ + Ь2Х2 > -(4)

где Q — оценочный спрос на черные шампиньоны (количество покупок за неделю);
Ху — численность целевого населения (потенциальных покупателей; в тыс. чел.);
Х2 - доход на душу целевого населения (в долл.);
Ь0, Ь{, Ь2 - оценочные параметры, которые необходимо получить с помощью регрессионного анализа.
' Если бы мы использовали данные временных рядов, то нам бы пришлось бы проверять их ; по каждой независимой переменной на линейность, организуя точки X. во времени (см. гл. 7). Если же какая-пибо из переменных меняется по криволинейной траектории, то необходимо применить логарифмическое преобразование.
Проводя расчеты по стандартной программе множественной регрессии, получаем следующую информацию (табл. 8.2). В зависимости от программного обеспечения формат может меняться, но общее содержание остается неизменным1.
300
ч
X X
3

4
о200
о.
с
fi 150 ю
О
100
50
50 100 150 200 250 300 350 400 450 Численность населения (в тыс. чел.)
300 г
250
200
150
100
50
X

ч
о
о.
с
2
О)
А
Ю
О

2000 2500 3000 3500 4000 4500 Доход на душу населения (в долл.)
Рис. 8.3. Кросс-секционные данные для линейных зависимостей
Таблица 8.2
Типичная выводимая информация для компьютерной программы множественной регрессии
Переменная, № В Ср. квадр. ошибка Соотношение
коэф. регрессии для t-тестирования
0 3,48301 2,43013 1,42091
1 0,496006 6,08316Е- 03 81,9416
2 9,19890Е —03 9.67909Е-04 9,60389
Анализ дисперсии Сумма Средний F- критерий (Фишера)
квадратов квадрат Регрессия 83844,7 26922,4 8681,88
Ошибка 86,8694 4,73828 Итого 83901,6 Число степеней свободы для регрессии - 12 Коэффициент детерминации, R2 = 0,998948 R = 0,999472 Средняя квадратичная ошибка оценки = 2,17676 Показатель Дурбина-Ватсона = 2,70218 Кроме более или менее стандартной выводимой информации, большинство программ должны выдавать по запросу дополнительную информацию, такую, как среднее и среднее квадратичное отклонение распределения каждой переменной, корреляционную матрицу, вариационно-ковариационную матрицу и анализ отклонений. Таким образом, компьютерная программа не только обеспечивает расчет регрессионного уравнения, но и выдает информацию и тестовую статистику, необходимые для проведения регрессионного анализа.
Шаг 5. Эксперименты с регрессионной моделью
Существуют по крайней мере три различных способа анализа регрессионной модели.
Использование различных способов определения переменных. Например, количество затраченного труда может быть измерено путем определения количества работающих, затраченного рабочего времени или по выплаченной заработной плате.
Применение как линейной, так и нелинейной обработки информации.
Удаление или введение в регрессионное уравнение различных независимых переменных1.
Так как анализировать регрессионное уравнение с помощью компьютерных программ чрезвычайно просто, для исследователя очень важно иметь некоторые априорные соображения о целесообразности включения в уравнение каждой независимой переменной. Причем необходимо учитывать, что сильная корреляция между зависи-
' Для наблюдения последствий систематического введения в уравнение независимых переменных исследователю рекомендуется воспользоваться пошаговой множественно-регрессионной программой. В такой программе на вход подается набор независимых переменных. Компьютер вначале отбирает независимые переменные, дающие наибольшее снижение необъяснимой вариации и выполняет расчет простой (парной) регрессии. Затем он выполняет анализ регрессии, последовательно добавляя в каждом цикпе одну переменную, причем каждый раз добавляется та из оставшихся переменных, которая дает наибольшее снижение необъяснимой вариации. Процесс продолжается до тех пор, пока в расчет не будут включены все переменные из набора ипи пока ни одна из оставшихся переменных не будет давать сколько-нибудь значительного снижения необъяснимой вариации.
мой переменной и некоторой определенной независимой переменной необязательно указывает на причину и следствие. Например, наверняка может быть установлена сильная корреляция между зарплатой учителя и продажей спиртных напитков. Но отсюда никак нельзя сделать вывод, что учителя пьют, — просто обе эти величины связаны через другую переменную (общий уровень наличного дохода).
Кроме того, исследователь не должен недооценивать переменную, регрессионный коэффициент которой показывает ее статистическую незначимость. Если априори существуют экономические соображения о влиянии этой переменной на спрос, то наверняка лучше оставить ее в анализе. Отсутствие значимости или даже неправильный знак при переменной могут быть результатом эффекта мультиколлинеарности, который будет рассмотрен позже.
В дополнение к ранее рассмотренным теоретическим соображениям исследователь должен также учитывать доступность информации. Математические характеристики множественной регрессии таковы, что результаты анализа могут быть улучшены путем увеличения количества наблюдений (объема выборки). В некоторых случаях они также могут быть улучшены путем введения добавочных переменных.
Шаг 6. Анализ компьютерной распечатки
В компьютерной распечатке табл. 8.2 заголовком «Переменная, №», представлены значения коэффициентов (Ь0, Ь]У Ь2), стоящих в правой части оценочного уравнения
Q =Ь0+Ь1Х1+Ь2Х2.(5)
После округления это уравнение может быть записано в виде
G = 3,5 + 0,5*, + 0,009*2.(6)
Результаты анализа могут быть интерпретированы следующим образом.
Регрессионная константа, Ь0, определяет положение регрессионной плоскости. Теоретически она представляет собой требуемое количество при условии, что все независимые переменные равны нулю. Но математически она может быть отрицательной. В действительности, конечно же, невозможно иметь отрицательный спрос. Также маловероятно, чтобы все переменные равнялись нулю. Следовательно, параметр bQ не имеет реального экономического смысла.
Все остальные параметры, Ь., указывают направление и величину изменений зависимой переменной, Q , в результате увеличения на единицу соответствующей независимой переменной, Xt, при условии, что все независимые переменные остаются постоянными. В этом случае
а)увеличение на 1000 человек численности целевого населения (потенциальных покупателей) при сохранении на прежнем уровне дохода надушу населения по оценке должно привести к повышению спроса на пол-ящика в неделю;
б)увеличение на 1000 долл. дохода на душу населения при сохранении его численности на прежнем уровне должно привести к увеличению спроса примерно на девять ящиков в неделю.
Тестирование и оценка результатовЗадачами множественного регрессионного анализа являются получение надежной оценки параметров для независимых переменных на основе выборки, а также статистических выводов об этих параметрах, как индивидуальных, так и сгруппированных, ипроверка правильности оценочного уравнения регрессии. Компьютерная распечатка, представленная в табл. 8.2, содержит эти выводы, а также результаты статистических тестов. Однако необходимо принять во внимание, что компьютер работает с данными, представленными лишь в правильном формате.
Компьютер только следует процедуре, заданной программой, и он выполнит любой регрессионный анализ, данные для которого представлены в корректной форме, независимо от экономического смысла. Таким образом, задача исследователя заключается в определении правильности применения результатов расчета для прогнозирования спроса. Пригодность модели может быть определена путем ответа на два фундаментальных вопроса: «Имеют ли параметры регрессии правильный знак и разумные значения?» и «Насколько хорошо изменения спроса объясняются изменениями независимых переменных (как по отдельности, так и в совокупности)?».
Ответ на первый вопрос основан на экономической теории и на суждениях исследователя. Для того чтобы ответить на второй вопрос, необходимо провести определенные статистические тесты, оценивающие как отдельные параметры, так и модель в целом.
Шаг 1. Тестирование пригодности модели
Знаки коэффициентов. Каждый коэффициент регрессии (параметр) представляет собой крайнее значение реакции переменной спроса на единичное изменение соответствующей независимой переменной. Знак параметра указывает направление изменения переменной спроса по отношению к изменению независимой переменной. Положительный знак показывает, что переменная спроса изменяется в том же направлении, что и независимая переменная; отрицательный — что эти переменные изменяются в противоположных направлениях. Исследователь может проверить знак параметра, чтобы определить, показывает ли он теоретически правильное относительное изменение переменных.хч.
Возвращаясь к табл. 8.2, мы видим, что увеличение Хх и Х2 ведут к увеличению Q . Отметим, что положительные знаки bt и Ь2 согласуются с теорией. Если знак неверен, то это может говорить о том, что мы неправильно построили модель, упустив важную переменную. В некоторых случаях неверный знак сопутствует другим симптомам возникновения статистической проблемы мультиколлинеарности.
Величины параметров. Это проверка параметра на экономический смысл. Хотя и не существует общепринятых пределов, большинство экономистов субъективно ограничивают значения каждого параметра определенными рамками. Иногда параметр может принять такое значение, которое явно невозможно. Например, предположим, что мы смоделировали совокупный спрос (в долларах) как функцию цены и наличного дохода:
Cd = b0 + blXl+b2X2,(7)
где Xt — цена, а Х2 — наличный доход.
Теперь предположим, что знаки параметров верны, но Ь2 = 1,3. Есть ли в этом какой- либо смысл? Конечно, нет, так как Ь2 представляет собой крайнее значение совокупной склонности потребителя совершить покупку или, что более понятно, дополнительную возможность совершить покупку при возрастании дохода на одну единицу. Следовательно, значение 1,3 явно бессмысленно, так как в соответствии с ним средний потребитель должен потратить 1,3 долл. из каждого дополнительного доллара дохода.
Шаг 2. Статистические тесты и оценки
Данные тестов. Стандартная компьютерная программа для линейной регрессии выдает некоторые статистические данные, с помощью которых можно ответить на следующие вопросы: «Насколько хорошо изменения независимых переменных объясняют изменение зависимой переменной как по отдельности, так и в целом?» и «Имеют ли независимые переменные статистическую значимость?». Иными словами, насколько надежными являются отдельные параметры при прогнозировании значений зависимой переменной?
Для регрессии в целом существуют следующие тесты: множественный коэффициент детерминации, R;
скорректированный множественный коэффициент детерминации, R2; /^-статистика для регрессии;
средняя квадратичная ошибка оценки для регрессии.
Для параметров отдельных переменных существуют тесты на: среднюю квадратичную ошибку коэффициента регрессии; соотношение для t-тестирования для каждого параметра.
Способы интерпретации и использования этих методов проверки будут рассмотрены более детально.
Общие тесты
Множественный коэффициент детерминации, Я2. Как уже было отмечено, множественная регрессия описывает регрессионную плоскость, и наблюденные точки лежат выше, ниже или на этой плоскости. Множественный коэффициент детерминации является мерой того, насколько хорошо плоскость, описываемая регрессионным уравнением, удовлетворяет экспериментальным данным. Как мы показали в предыдущей главе, полная вариация1 переменной спроса может быть разделена на две части:
Полная \ _ f Объяснимая \ f Необъяснимая \ вариация j I вариация j | вариация
т.е.
1(о,-е)2=1(?-еГ+1(о,-?Г-(«)Множественный коэффициент детерминации, R2, определяется как часть общего изменения переменной спроса, относящаяся к изменениям всех вместе взятых независимых переменных из наилучшего выбранного уравнения спроса. Этот коэффициент имеет исключительно математический смысл и не определяет никакой причинно-следственной связи. Множественный коэффициент детерминации вычисляется по следующей формуле:
^ 2 _ Полная объяснимая вариация
Цо.-о)'Полная вариацияЦо,- о)''<9)
где Q. — /-е наблюденное значение Q\
Q . - i-я оценка значения Q, рассчитанная по уравнению регрессии;
Q. — среднее значение Q, т.е. T.Q/n, где п — количество наблюдений.
Эта формула может быть записана как
п 2 Полная вариация - Полная необъяснимая вариация
Я ==(Ю)
Полная вариация
Нс.-ёг-Пс.-в;)Це.-в)1На компьютерной распечатке, представленной в табл. 8.2, под заголовком «Анализ дисперсии» мы видим величину суммы квадратов регрессии, SSR (полная объяснимая вариация), которая равна 53 844,7, в то время как полная сумма квадратов, SST, составляет 53 901,6. Иными словами, значение R (которое напечатано ниже) составляет
844,7/53 901,6 = 0,9989. Это означает, что 99,89% изменений объема продаж объясняется изменениями численности целевого населения и дохода на душу населения, взятыми вместе и подставленными в наилучшее уравнение регрессии.
Величина R2 лежит в интервале от нуля до единицы. Нулевое значение говорит о том, что между спросом и всеми другими переменными не существует связи. Значение R2 = 1 показывает, что все изменения спроса объясняются одновременными изменениями независимых переменных1. Для эмпирического анализа нет ничего необычного в том, чтобы получить высокий R2 при статистически незначимых или имеющих бессмысленный знак коэффициентах регрессии. Более того, одним из свойств метода наименьших квадратов для множественной регрессии является то, что при добавлении еще одной независимой переменной может произойти не снижение, а, наоборот, повышение R1 вне зависимости от того, связана ли введенная переменная со спросом или нет. По этой причине может возникнуть желание (с целью достичь более высокого значения R2) ввести как можно больше переменных. Однако с этим желанием надо бороться, так как немного можно сказать о модели, которая включает переменные, не имеющие теоретического обоснования. Мы должны помнить, что нашей целью является разработка надежных оценок истинных групповых параметров, а не получение высокого R2.
Скорректированный множественный коэффициент детерминации, R2. Еще одной характеристикой R2 является его чувствительность к количеству наблюдений, входящих в регрессию. Если количество наблюдений равно количеству независимых переменных, то каждая точка^наблюдений будет лежать точно на регрессионной плоскости и расчетное значение Q будет равно наблюденному значению Q. Тогда R2 = 1, однако это говорит скорее о недостатке информации, чем о благоприятном совпадении. Чтобы получить информативные результаты, мы должны иметь количество наблюдений, достаточное для того, чтобы переменная спроса имела некоторую свободу изменений, т.е. число степеней свободы должно быть больше нуля2.
Для того чтобы уделить должное внимание степеням свободы, определяемым количеством наблюдений и количеством параметров._статистики ввели скорректированный множественный коэффициент детерминации, R2. Его формула имеет следующий вид:
Л2=Л2-(\(l - Л2),(11)
n-k-l
где п — количество наблюдений, а к — количество независимых переменных.
Каковы приемлемые значения для R 2 ? Это, в основном, дело индивидуальных
соображений, и соображения эти меняются в зависимости от исследуемого объекта.
Кросс-секционный анализ, рассматривающий демографические связи, имеет тенден- — 2
цию занижать уровень R по сравнению с методом временных рядов, работающим с ретроспективными связями. Обычно если количество наблюдений по крайней мере в три или четыре раза больше количества независимых переменных, то приемлемым считается R 2 > 0,75.
Чтобы выяснить, объясняет ли регрессионное уравнение статистически значимую часть полной вариации зависимой переменной, рассмотрим F-тестирование на полную значимость.
/’-тестирование на полную значимость. Множественный коэффициент детерминации, R2, и скорректированный множественный коэффициент детерминации, R 2, показывают величину объяснимой вариации. Однако эти коэффициенты ничего не говорят о статистической значимости объяснимой вариации. Чтобы ответить на этот вопрос, мы используем отношение вариаций, известное как /"-статистика. Подобно R 2, F-статистика зависит от числа степеней свободы. Критерий /■'-статистики рассчитывается как
(Полная объяснимая вариация)/(к)£( Q - of /к
р . _ _ _ _ ______ / (12)(Полная необъяснимая вариация)/^ п-к- 1J £? - Q,) /п-к-\
где F — критерий /^-статистики;
к - количество независимых переменных; п - количество наблюдений.
Числитель уравнения (12) представляет собой дисперсию зависимой переменной вследствие вариации независимых переменных. Она рассчитывается как сумма квадратов дисперсии (объяснимая вариация), деленная на число степеней свободы, df Так как для каждой независимой переменной существует только одна возможность изменения, то df= к.
Знаменатель уравнения (12) представляет собой остаточную дисперсию, которая не может быть объяснена вариацией независимых переменных. Она рассчитывается как разность или погрешность суммы квадратов (необъяснимая вариация), деленная на число степеней свободы. В знаменателе вариация зависит от количества наблюдений, п, за вычетом (к + 1) оцененных параметров, bQ, br..., bk. Следовательно, df= n - к — 1.
Так как /"-параметр близко связан с коэффициентом детерминации, R2, он может быть рассчитан как
RJk
F=
(13)
F-тест на полную значимость основан на том, что для статистической значимости регрессионного уравнения по крайней мере один из истинных параметров регрессии должен быть равен нулю. Расчетное значение /■'-критерия используется для проверки нулевой гипотезы2 о том, что все истинные регрессионные параметры равны нулю.
Если эта гипотеза верна, то не существует действительной связи между зависимой и независимой переменными. В экстремальном случае как R2, так и /■'-критерий должны быть равными нулю, но в любом случае они очень малы. По мере возрастания /^критерия в какой-то точке он становится достаточно большим, чтобы можно было с достаточной степенью уверенности отвергнуть нулевую гипотезу. Это значение /■'-критерия устанавливает верхний предел значений F, которые возможны в случае выполнения нулевой гипотезы. Это значение известно как критическое значение /■'-распределения.
Таблицы для критических значений /■'-распределения строятся для четырех уровней статистической значимости. Табл. Gв Приложении, расположенном в конце книги, представляет собой матрицу критических значений Fс уровнем значимости 0,05 и 0,01, что соответствует уровням доверия 95 и 99% соответственно. Чтобы воспользоваться таблицей, необходимо знать число степеней свободы, к, в числителе и число степеней свободы, п - к— 1, в знаменателе уравнения (12) или уравнения (13). Для каждой комбинации кип - к - 1 записано критическое значение критерия F. Например, как следует из таблицы, для уровня значимости 0,05 критическое значение F для 3 степеней свободы в числителе и 15 степеней свободы в знаменателе составляет 3,29. Это означает, что если
' Уравнение (13) получено путем преобразования знаменателя уравнения (12): (Полная необъяснимая вариация)/(п — к - 1) =
= (Полная вариация - Полная объяснимая вариация)/(л - к - 1). Затем, разделив числитель и знаменатель на полную вариацию, мы имеем
Полная объяснимая вариация
F=
(Полная вариация)/к
Полная вариация —Полная объяснимая вариация
(Полная вариация) /(п~к- 1)
Полная объяснимая вариация
(Полная вариация) /к
Полная вариацияПолная объяснимая вариация
(Полная вариация )/(п-к-1) (Полная вариация )/(n-fc-1)
Теперь как в числителе, так и в знаменателе мы имеем выражение (ГТолная объяснимая ва- риация/Полная вариация), которое, согласно уравнению (9), есть R1. Следовательно,
к /к

нулевая гипотеза выполняется, то вероятность превышения F= 3,29 составляет 0,05, или 5%. Иначе говоря, если расчетное значение Fпревышает 3,29, то мы на 95% можем быть уверены, что коэффициенты регрессии не равны нулю. Если мы хотим быть уверены в этом на 99%, то мы должны найти критическое значение Fдля уровня значимости 0,01. Это значение составляет 5,42 для того же числа степеней свободы.
На распечатке в табл. 8.2 представлено расчетное значение (строка «Анализ дисперсии»). В данном примере на распечатке содержится информация о регрессии двух независимых переменных, базирующаяся на 15 наблюдениях. Следовательно, числитель имеет 2 степени свободы, а знаменатель имеет 15-2-1 = 12 степеней свободы. Таким образом, расчетное значение /■'-критерия составляет
= 5681,878458 = 5681,88.
844,7 : 2 _ 26 922,35 56,8594 : 12 4,738283333
Это значит, что объяснимая (факторная) дисперсия в 5681,88 раз больше, чем необъяснимая (остаточная).
Согласно табл. G для 2 степеней свободы в числителе и 12 степеней свободы в знаменателе при уровне значимости 0,01 критическое значение /■'составляет 6,93. Иными словами, если нулевая гипотеза (о том, что все параметры регрессии равны нулю) выполняется, то критическое значение F= 6,93 может быть превышено только один раз из ста попыток. Так как расчетное значение Fсоставляет 5681,88, мы отвергаем нулевую гипотезу и делаем вывод, что регрессия в целом статистически значима на уровне 0,01.
Однако это не означает, что все независимые переменные значимы. Каждая независимая переменная должна быть подвергнута отдельной проверке на статистическую значимость. Мы это сделаем, когда будем проверять отдельные параметры. Но вначале мы хотим рассмотреть еще один способ полного статистического тестирования по средней квадратичной ошибке оценки.
Средняя квадратичная ошибка оценки. Средняя квадратичная ошибка оценки характеризует разброс наблюденных точек от теоретической линии регрессии. Если имеется средняя квадратичная ошибка оценки, 5, то можно рассчитать доверительные интервалы для оцененных значений зависимой переменной при различных уровнях доверия. Доверительный интервал представляет собой такой диапазон значений, в котором в течение некоторого заданного отрезка времени можно ожидать данное наблюдение.
Средняя квадратичная ошибка оценки - это оцененное среднее квадратичное отклонение вероятностного распределения значений зависимой переменной при поддержании на постоянном уровне всех независимых переменных. Иными словами, она определдет разброс случайных наблюденных значений Q относительно оцененных значений Q . Для множественной регрессии средняя квадратичная ошибка оценки рассчитывается как квадратный корень среднего значения суммы квадратичных отклонений (погрешность среднего квадрата) по формуле:
где 5
Q,
средняя квадратичная ошибка оценки;

п
наблюденное значение зависимой переменной спроса в /-й точке;
оцененное значение зависимой переменной спроса, рассчитанное для
/-й точки по уравнению регрессии;
к
п — к — 1
количество наблюденных точек;
количество независимых переменных;.
число степеней свободы.
На компьютерной распечатке, представленной в табл. 8.2, средний квадрат ошибки составляет 4,73828. Тогда средняя квадратичная ошибка оценки составит
Se = -j 4,73828 = 2,17676.
Так как мы предположили нормальное распределение отклонений от оптимальной плоскости, можно ожидать, что около 68% всех наблюденных значений Q будет находиться относительно плоскости регрессии внутри некоторого интервала, равного одной средней квадратичной ошибке; около 95% значений можно ожидать лежащими внутри интервала, равного двум средним квадратичным ошибкам, и практически все точки можно ожидать лежащими внутри интервала, равного трем средним квадратичным ошибкам. Конечно, чем меньше средняя квадратичная ошибка, тем больше связь между зависимой и независимой переменными и тем лучше подходит уравнение регрессии к наблюденным данным.
Тестирование отдельных параметров
До сих пор мы проводили проверку надежности и значимости независимых переменных как группы, предполагая при этом, что все они изменяются одновременно. Необходимо провести для каждой независимой переменной отдельную проверку на надежность и значимость, «заморозив» при этом все остальные переменные. Для этого мы используем среднюю квадратичную ошибку коэффициента регрессии и /-тестирование. Обе эти величины включены в стандартную компьютерную распечатку.
Средняя квадратичная ошибка коэффициента регрессии (Standard Error of the Regression Coefficient - SERC). Каждый регрессионный коэффициент, b., является средним значением нормально распределенных вероятностных значений. Средняя квадратичная ошибка коэффициента регрессии определяет разброс значений относительно коэффициента регрессии так же, как среднее квадратичное отклонение определяет разброс случайных переменных относительно их среднего значения. Чтобы рассчитать SERC, компьютерная программа использует сложную формулу для каждого коэффициента регрессии, а результаты расчета выводятся на распечатку.
SERC позволяет определять надежность каждого параметра по отдельности. Если средняя квадратичная ошибка мала по сравнению с оцениваемым параметром, то это говорит о том, что этот параметр близок к истинному значению. Тем не менее следует определить, может ли истинный параметр быть равным нулю. С этой целью для получения соотношения /-тестирования коэффициент регрессии делится на среднюю квадратичную ошибку, а результат этой операции также выводится в числе стандартных выводимых данных компьютерной программы. Иными словами, /-соотношение есть количество средних квадратичных ошибок, содержащееся в коэффициенте регрессии1. Оно рассчитывается как
Коэффициент регрессии
/-соотношение =-
Средняя квадратичная ошибка коэффициента регрессии
и используется для проверки статистической значимости каждого отдельного параметра.
Определение индивидуальной значимости с помощью t-тестирования. Если отдельная переменная является статистически значимой, то истинное значение ее параметра
' Так как средняя квадратичная ошибка коэффициента регрессии всегда положительна, (-соотношение принимает знак коэффициента регрессии. Знак не играет роли — нам важно только значение.
не может равняться нулю. Следовательно, мы должны провести проверку нулевой гипотезы на равенство нулю параметра при переменной (т.е. Н0 : р. = 0). Если можно отбросить это предположение, то мы можем быть уверены, что независимая переменная никак не влияет на зависимую переменную. Мы можем проверить это предположение с помощью /-соотношения и соответствующего /-распределения.
t-распределение. Это распределение малых групп значений из неизвестного набора. Подобно нормальному распределению, /-распределение симметрично относительно нуля, а площадь под его кривой равна единичной вероятности. Точный размер кривой зависит от числа степеней свободы, рассчитанного как и — Лг — 1, где Лг — количество независимых переменных, а и — количество наблюдений в выборке. По мере увеличения объема выборки /-распределение приближается к нормальному, и при бесконечно большом числе степеней свободы эти два распределения совпадают. Приближение к этому пределу происходит довольно быстро. Существует довольно широко применяемое правило, говорящее о том, что нормальное распределение применимо при и > 30.
Как правило, /-статистика и /-распределение применяются для проверки гипотез при уровне статистической значимости а, где а — вероятность ошибки типа 1, обычно принимаемая за 0,05 или 0,01. Для проведения проверки разделим соответствующее t- распределение на три части (рис. 8.4). Точно в середине (что соответствует математическому ожиданию) «вырежем» отрезок, равный (1 — а) от полной вероятности, ограниченный слева величиной -/и/2, а справа - величиной +/и/2. Иначе говоря, в каждом «хвосте» остается вероятность а/2. Вместо этого (что не показано на рисунке) всю величину можно поместить в один «хвост», правый или левый, ограниченный величиной плюс или минус /и.

Рис. 8.4. Типичное распределение с /-критерием по двум «хвостам»
t-тестирование по одному и по двум «хвостам», /-тестирование проводится для проверки нулевой гипотезы о равенстве нулю коэффициента р.. Если эта гипотеза может быть отвергнута на уровне значимости а, то можно заключить, что переменная X. статистически значима на уровне а.
В основном /-тестирование может проводиться по одному или по двум «хвостам» распределения. В первом случае необходимо выявлять отклонения от нуля только в одном направлении. Например, предположим, что производитель игрушек хочет проверить утверждение продавца своей продукции, что среднее время работы батареек в его игрушках составляет 10 ч непрерывной работы. В данном случае продавца не волнует, если среднее время работы будет больше чем 10 ч, но он вернет товар, если случайно в каком-либо образце среднее время работы составит менее 10 ч. Нулевая гипотеза имеет следующий вид: Я0: ц = 10. Альтернативная гипотеза есть Я,: ц < 10. Полная площадь несостоятельности нулевой гипотезы — левый «хвост» /-распределения. Для множественной регрессии тестирование по двум «хвостам» используется для проверки нулевой гипотезы о равенстве нулю истинного коэффициента регрессии: Я0: р. = 0. Если можно отвергнуть эту гипотезу, то справедливо утверждение, что независимая переменная не имеет никакого
влияния на зависимую переменную. Мы можем отвергнуть эту гипотезу, если /-соотношение падает в любом из «хвостов» /'-распределения.
Значение / показывает количество средних квадратичных отклонений от среднего, (-значения, равные + / (см. рис. 8.4), называются критическими значениями / для проверки по двум «хвостам», /-значения, равные ± /и (не показаны на рисунке), называются критическими значениями / для тестирования по одному «хвосту». Критические значения / содержатся в табл. F в Приложении в конце книги. Табл. F представляет собой матрицу, в строках которой расположены степени свободы, а в столбцах — значения а. Каждая ячейка матрицы содержит критическое значение /, соответствующее определенному уровню значимости (заданному числу степеней свободы), которое определяет /-распределение.
Заголовки столбцов имеют два индекса: верхний, а/2, и нижний, а. Следует отметить, что /-критерий статистической значимости коэффициентов регрессии требует только сравнения /-соотношения с критическим значением / для выбранного уровня значимости при соответствующем числе степеней свободы: Если /-соотношение больше, то мы отвергаем гипотезу, что р, = 0, и приходим к выводу, что переменная X. Статистически значима на уровне а.
В примере, представленном в табл. 8.2, дано /-соотношение для Xt = 81,942 и Х2 = 9,504. Предположим, мы хотим проверить значимость на уровне 0,01. В табл. F находим критическое значение / для а/2 = 0,005 и df — 12. Это значение равно 3,055. Так как оба этих отношения во много раз больше критического значения, мы приходим к выводу, что обе переменные статистически значимы на уровне 0,01.
Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии. Если /-критерий показывает, что истинный параметр не равен нулю, все же с некоторым уровнем уверенности хотелось бы знать интервал, в котором лежит истинный параметр. Этот интервал легко найти, зная коэффициент регрессии, Ь., среднюю квадратичную ошибку коэффициента регрессии, Sbi (которая в данном примере рассчитана на компьютере), и соответствующее значение / из табл. F.
Выбрав а (вероятность ошибки типа 1) и определив желаемый уровень доверия 1-а (вероятность несовершения ошибки типа 1), получаем доверительный интервал для b•
*,±'И/А-<16>где Ь. — /-й коэффициент регрессии;
t — критическое значение для /-статистики по двум «хвостам»;
Sb. - средняя квадратичная ошибка /-го коэффициента регрессии.
Предположим, что мы хотим получить 95%-ный доверительный интервал для регрессионных коэффициентов, представленных в табл. 8.2. Коэффициенты bt и Ь2 содержатся в компьютерной распечатке. Распечатка также содержит Su и Sbl. Так как требуемый уровень доверия составляет 1 — а, то а = 0,05. Из табл. F получаем /-статистику для а/2 = 0,025 и df= 12. Это 2,179. Следовательно, для Ь. = 0,496, 95%-ный доверительный интервал составляет
496 ± (2,179)(0,00605316) = 0,496 ± 0,013189835.
Для Ь2 = 0,0091989, 95%-ный доверительный интервал составляет
0091989 ± (2,179)(0,000967909) = 0,0091989 ± 0,002109073.
Произведенные расчеты говорят о следующем: мы можем быть на 95% уверены в том, что истинное значение р, лежит между 0,483 и 0,509, а истинное значение р2 яежит между 0,007 и 0,011.
Исходные предположения и специальные задачи множественного регрессионного анализаМножественная регрессия является одним из самых распространенных инструментов экспериментального исследования не только функции спроса, но также функций производительности, цены и многих других. Хотя это и мощный инструмент, но и он тоже имеет некоторые весьма специфические ограничения. Если пренебречь каким- либо из них, то возникают особые трудности. Это, в первую очередь, проблема мультиколлинеарности, гетеросцедастичности и автокорреляции. Подробное исследование этих проблем выходит за пределы данной работы. Тем не менее следует дать краткое объяснение предположений, на которых строится регрессионная модель, так же как и краткий обзор проблем, возникающих при пренебрежении этими исходными положениями.
Правильность построения регрессионной модели основана на определенных статистических допущениях. Во-первых, регрессионный анализ требует определения набора независимых переменных Х2, ..., Хк), каждая из которых состоит из дискретного набора значений. Хотя переменные X. и могут быть случайными величинами, но раз уж их значения выбраны (путем наблюдений), то они не изменяются.
Наблюденное значение зависимой переменной определяется не только выбранной комбинацией значений специфицированных независимых переменных, но также и других независимых переменных, которые не были определены, а также различными случайными изменениями. Следовательно, для любой заданной комбинации значений независимых переменных возможно несколько значений зависимой переменной. Предположим, например, что мы постулировали зависимую переменную Q как функцию двух переменных:
Q=AX„ Х2),
где Q — батоны пшеничного хлеба;
Х1 — цена одного батона;
Х2 - доход на душу населения.
Если мы опросим большое количество домохозяек с одинаковым доходом, сколько они будут покупать хлеба по данной цене, то мы получим множество разных ответов. Конечно, на практике опрос не будет ограничен только домохозяйками с одинаковым доходом или хлебом с одинаковой ценой. Вместо этого мы рассмотрим разные комбинации дохода и цены, а также значения Q, соответствующие каждой комбинации значений X. Полученные данные будут введены в программу для выполнения множест- венно-регрессионного анализа по формуле
е. = Ро + РЛ + РЛ + ^-о?)где Qj - эмпирическая функция j-й комбинации Xt и Х2, — разность между £? и Q..
Надо отметить, что только Q является случайной переменной. Это означает, что когда уравнение регрессии
? = *0 + + АА(18)
используется для оценки Q, значения независимых переменных известны совершенно точно, а значение Q может быть оценено с ошибкой. Это происходит, во-первых, потому, что упущена по крайней мере еще одна существенная переменная, например цена на белый хлеб, а во-вторых, сама оценка Q подвержена случайным вариациям.
Значение в уравнении (18) является математическим ожиданием и вычисляется с помощью регрессионного уравнения и заданных значений Xtj и X2j; т.е. Qj — это математическое ожидание распределения вероятностей переменной Qb уравнении (17). Распределение Q отражено в члене \х], который является случайным всплеском вариации Q., не связанным с независимыми переменными, которые входят в уравнение регрессии. Именно с помощью этого члена, характеризующего погрешности, мы описываем экспериментальные значения Q., лежащие выше или ниже регрессионной плоскости. Поэтому необходимо рассмотреть этот член более подробно.
Случайные флуктуации наблюденного значения Q распределены по случайному закону с математическим ожиданием, равным нулю. Иными словами, отклонения (^относительно одновременно положительны и отрицательны, и поэтому они взаимно уничтожаются.
Распределение погрешности имеет постоянную дисперсию. Для каждой комбинации значений ^существует распределение значений ц, и его дисперсия одинакова для всех таких распределений. Это явление называется гомосцедастичностъю («homo» означает подобие, «scedasticity» означает разброс, рассеивание). Если условие го- мосцедастичности не выполняется, то функция называется гетеросцедастичной («hetero» означает различие).
Погрешности не зависят от значений независимых переменных, Хи, и друг от друга.
Независимость означает, что не может быть сильной линейной взаимосвязи между независимыми переменными. Например, если X' всегда в три раза больше, чем Ху, то это означает невыполнение условия данного пункта и что линейная регрессия является ошибочной2.
Другое часто принимаемое условие: Е (ц) = 0. Отсюда вытекает линейное уравнение
к
£(0 = Ро + 1>Л./= 1
Теперь, зная налагаемые на регрессионный анализ ограничения, мы готовы к краткому исследованию того, что же произойдет, если какое-либо из них будет выполняться.
Мультиколлинеарность
Четыре из пяти приведенных ранее условий заключаются в том, что переменные не должны влиять друг на друга. Следовательно, не должно существовать никакой линейной взаимосвязи между какой-либо независимой переменной и другой независимой переменной или линейной комбинацией независимых переменных. Если это условие не выполняется (т.е. две или более независимых переменных коррелированы), то проявляется мультиколлинеарность.
Выявление мультиколлинеарности особенно важно для множественных регрессий в области экономики и бизнеса, там, где они наиболее часто применяются. Например, независимые переменные «семейный доход» и «семейное имущество» должны быть в
высокой степени коррелированы, так же как и независимые переменные «объем продаж» и «количество продавцов». Наиболее явные признаки мультиколлинеарности следующие.
Высокое значение R2 при неудовлетворении независимыми переменными условий Л-тестирования, на статистическую значимость.
Один или более регрессионных коэффициентов имеют неверный знак.
Еще одна хорошая проверка на мультиколлинеарность заключается в проверке корреляционной матрицы, которая в общем порядке или по особой команде выводится на распечатку. В табл. 8.3 представлена корреляционная матрица для линейной регрессии, ранее представленной в табл. 8.2.
Таблица 8.3
Компьютерная распечатка типичной корреляционной матрицы при анализе множественной регрессии
XI Х2 /Ч
Q
XI 1,0 0,56856 0,995493
Х2 0,56856 0,999999 0,639301
Q 0,995493 0,639301 1,0
Строки и столбцы корреляционной матрицы относятся соответственно к перемен- - ным Xv Х2 и Q . Каждое число в матрице представляет собой коэффициент корреляции между переменными, находящимися в строках и столбцах матрицы. Так как каждая переменная отлично скоррелирована сама с собой, главная диагональ матрицы состоит из единиц или величин, очень близких к единице. Матрица симметрична, поэтому в распечатке коэффициенты выше и ниже главной диагонали равны. Подозрение в мультиколлинеарности возникает при высоком коэффициенте корреляции между двумя независимыми переменными. В таблице коэффициент корреляции между Х1 и Х2 составляет 0,56856, поэтому нет причин подозревать мультиколлинеарность. Если подозревается мультиколлинеарность, то следует удалить одну переменную из анализа.
Гетерос цедастичнос ть
Наше второе базовое условие состоит в том, что все распределения ошибки имеют
одинаковую дисперсию, а2. Если это условие не выполняется, то возникает ситуация гетеросцедастичности. Последствиями гетеросцедастичности являются завышенные результаты испытаний на статистическую значимость. Так, весьма вероятно, что /"-критерий даст завышенную статистическую значимость регрессии в целом, а /-критерии отдельных параметров скорее всего дадут завышенную статистическую значимость каждого коэффициента регрессии1.
Хотя не составляет труда определить последствия гетеросцедастичности, однако не так просто установить ее существование. Причина здесь в том, что не существует способа определения действительной дисперсии ошибки, которую мы приняли одинаковой для всех распределений.
Иногда сама природа исследований подсказывает возможность существования гетеросцедастичности. Предположим, к примеру, что малые, средние и большие фирмы
вобраны в одну группу при кросс-секционном анализе зависимости прибыли от капиталовложений, объема продаж, стоимости продукции, процентных ставок и других подобных переменных. Гетеросцедастичность можно ожидать вследствие различий в размерах фирм, которые, в свою очередь, могут вызвать различия в распределении данных по большинству из переменных.
Отклонения или квадраты отклонений в обычном порядке или по команде -выводятся на распечатку большинства компьютерных программ. Существуют несколько способов выявления гетеросцедастичности. Эти способы включают графический метод, критерий Парка и метод корреляции рядов Спирмена. Существуют также исправляющие методы, которые применимы, когда гетеросцедастичность уже обнаружена. Объяснение этих способов и методов не входит в задачу данной книги. Необходимую информацию по ним можно найти в учебниках по эконометрике.
Автокорреляция
Третье основное условие состоит в том, что ошибки или погрешности должны быть независимы, т.е. погрешность одного наблюдения не должна влиять на погрешность любого другого наблюдения. Если мы имеем дело с временными рядами, то события, происшедшие в момент времени t — 1, не должны оказывать влияния на события, происшедшие в момент времени t. В противном случае существует автокорреляция. Если такое влияние существует, то это ведет к завышению значений Fat. F- и /-критерии перестают быть правильными и могут привести к ошибочным выводам.
Существуют несколько причин наличия автокорреляции временных рядов.
Инерция. Движение переменных вверх или вниз создает остаточный момент, который приводит к влиянию предыдущего наблюдения на последующее. Например, когда начинается выход из экономического спада, увеличение занятости в один период ведет к увеличению спроса на товары и услуги; что ведет к увеличению занятости в следующий период. Остаточный момент сохраняется до тех пор, пока он не будет скомпенсирован такими факторами, как сокращение потребности в квалифицированном труде, жесткая денежная политика во избежание инфляции, сокращение поставок сырья и т.п.
Конкретизация систематических ошибок, возникающих вследствие исключения переменных.
Пытаясь улучшить регрессионный анализ, исследователь может исключить переменные, которые не следовало бы исключать. Например, предположим, что мы имеем модель спроса
Q = р0 + рД + рД + рД + ц,(19)
где Q — величина спроса на автомобили «Кадиллак»;
Х1 — средняя цена автомобиля «Кадиллак»;
Х2 - доход на душу населения;
Хъ — средняя цена автомобиля «Линкольн»; ц — погрешность.
Предположим, мы рассчитываем регрессию
Q = b0 + btX, + b2X2 + v.(20)
Если уравнение (19) верно, то из уравнения (20) мы получаем и = р3ЛГ3 + ц. До тех пор, пока цена на автомобиль «Линкольн» оказывает влияние на спрос на автомобиль «Кадиллак», член и будет изменяться систематически, что создает автокорреляцию.
Конкретизация систематических ошибок, возникающих вследствие неправильного задания функции. Если данные аппроксимировали прямой линией, хотя на самом деле они должны лежать на кривой, то это ведет к возникновению автокорреляции. Например, предположим, что квадратичная кривая
Q, = р0 + р.ЛГ, + р2А7 + ц,(21)аппроксимирована прямой
Q=bt+ ЬД + У),.(22)
В уравнении (22) член и. = р,ЛГ2 + ц.. При возрастании Х1 соответственно возрастает и Xf, в результате возникает автокорреляция.
Феномен паутины. Зависимая переменная, например запас товара, реагирует на изменение независимой переменной, например цены, с запаздыванием на один период. Это явление наиболее часто встречается в сельскохозяйственном производстве, где решение фермера об объеме посадок в большой степени зависит от прошлогодних цен. Это приводит к тому, что рассогласованный член, ц, регулярно скачет вверх-вниз, так как в один год в сельском хозяйстве наблюдается перепроизводство продукции, а на с