Вища математика СР

Міністерство освіти і науки України
Дніпропетровський транспортно-економічний коледж







Методичні рекомендації
для вивчення тем,
винесених на самостійне вивчення з предмету
«Вища математика»






Розроблено викладачами математики
Шевченко С.В. (вища категорія) і
Височиною В.В. (перша категорія)
Розглянуто і затверджено на засіданні
ПК фізико-математичних дисциплін
Протокол №________ від __________
Голова ПК ___________ Крісан Є.А.









2009








Анотація



Дані методичні рекомендації містить повний об’єм самостійних тем, що відповідають програмі з вищої математики. У рекомендаціях виділені задачі та тестові завдання для підготовки до практичних занять, розв’язавши які, студент може самостійно зробити висновок про якість своєї підготовки.
Студентам запропоновано теми рефератів, за допомогою яких вони зможуть біль глибоко вивчити ту чи іншу тему.
Рекомендується для студентів економічних спеціальностей, викладачів, фахівців математичного та економічного профілю та усім, хто бажає самостійно вивчати окремі теми курсу вищої математики.













ВСТУП
Математика багата ідеями, її історія відбиває найвидатніші думки безлічі поколінь. Свідоме оволодіння цими ідеями надзвичайно полегшується в разі ознайомлення з обставинами їх зародження й розвитку.
З огляду на це пропонуємо щонайстисліший огляд історії тих розділів математичної науки, які становлять основу вищої математики одного з найважливіших навчальних предметів природничого циклу.
Математика одна з найдавніших наук, витоки якої сягають глибин палеоліту
Перші поняття й положення математики звели струнку систему стародавні греки близько 2500 років тому. Ці поняття й положення стали самостійною і суто теоретичною наукою, яка охоплювала арифметику та геометрію. Раніше, насамперед у стародавніх вавилонян і єгиптян, математика поступово формувалась як безпосередньо пов’язана з практикою сукупність виведених із досвіду правил розв’язування конкретних задач. Спочатку арифметика і геометрія не були розділені, а тісно перепліталися між собою. З часом кожна з них виокремилась як самостійна частина математики. Згодом, у процесі подальшого розвитку математики як самостійні її розділи сформувалися алгебра наука про розв’язування рівнянь, і тригонометрія, що довго була вступом до астрономії. Цей процес тривав близько 2000 років і закінчився в XVII сторіччі, коли докорінно змінився характер самої математики. Річ у тім, що в зазначений період математика вивчала здебільшого сталі величини, за допомогою яких вона описувала окремі стани.
Математику цього періоду можна схарактеризувати як математику сталих величин або, інакше, як елементарну математику. Найважливіші результати цього періоду становлять тепер основний зміст курсу математики середньої школи.
У стародавніх греків особливого розквіту набула геометрія. Найвизначнішим грецьким геометрам Евкліду, Архімеду та Аполлонію, діяльність яких припадає на III сторіччя до н. е., належать видатні досягнення в математиці. В арифметиці й алгебрі прославився Діофант (III ст. н. е.), проте самостійною наукою алгебра стала у працях ал-Хорезмі, Омара Хайяма та ін. (IXXII ст.).Тригонометрію як самостійну науку вперше виклав Насіреддін Тусі (XIII ст.). Досягнення вчених Середньої Азії та Близького Сходу разом із надбаннями стародавніх греків, індійського й інших народів перенесли в Європу араби, які відігравали провідну роль у розвитку науки середньовічного світу. Викладені у творах Леонардо Пізанського (XIII ст.), усі зазначені здобутки стали основою подальшого розвитку математики в Європі, який привів у XVII ст. до нової математики математики змінних величин, або, інакше, вищої математики.
Зауважимо, що близько до вищої математики підійшли ще Архімед, який створив способи обчислення площ і об’ємів, і Аполлоній, який вивчав конічні перерізи. Проте ці паростки нового в математиці сталих величин не знайшли тоді подальшого розвитку. Річ у тім, що хоча розвиток математики за своїм змістом і визначається її предметом, проте стимулюється він в основному й остаточно потребами практики, виробництва. І якщо такі потреби не виникали в математиці ні в період розкладу старогрецького рабовласницького суспільства, ні в період розвитку феодалізму, який розтягнувся через усе середньовіччя, то зрозуміло, чому математика залишалась у рамках вивчення сталих величин: життя не висувало нових задач, а старі розв’язувалися засобами елементарної математики. Нові задачі в математиці задачі на обчислення площ і об’ємів, центрів ваги, а також на обчислення швидкості руху і тісно пов’язана з нею задача проведення дотичної до кривої, задачі про найбільші і найменші значення величин та деякі інші виникли у зв’язку з потребами виробництва пізніше, у XVI і, особливо, XVII сторіччях. Це сторіччя великих змін у житті європейських народів, змін, які привели до розвитку нових виробничих відносин, зародження капіталізму. Цей період характеризується великими географічними відкриттями, видатними досягненнями в різних галузях науки, зокрема в астрономії та механіці, що тісно пов’язані з мореплавством і розвитком нової техніки. Новизна поставлених у зв’язку з цим задач полягала головним чином у тому, що потрібно було математично вивчати рух, зміни, перехід одних станів у інші. Розв’язування цих задач привело до появи понять змінної величини та функції, які докорінно змінили характер самої математики, перетворили її на математику змінних величин, вищу математику.
Першим рішучим кроком у створенні математики змінних величин був вихід книги Р. Декарта «Геометрія» (1637), в якій було закладено основи аналітичної геометрії, упроваджено зручну алгебраїчну символіку, що значно вдосконалювала символіку Ф. Вієта і стала основою сучасної.
Отже, Декартова змінна величина стала «поворотним пунктом» у математиці. Завдяки поняттю змінної в математику ввійшли рух і діалектика і завдяки цьому ж стало негайно необхідним диференціальне та інтегральне числення, яке відразу й виникло і було загалом і в цілому завершене, а не винайдене І. Ньютоном і Г. Лейбніцом. Основна заслуга цих учених вона мала принциповий характер полягала у створенні у другій половині XVII сторіччя алгоритмів диференціального та інтегрального числення. Разом із ними народжувалася теорія диференціальних рівнянь, застосування математичного аналізу до геометрії диференціальна геометрія та інші розділи вищої математики. У працях найвизначніших математиків XVIII сторіччя Л. Ейлера, Ж. Лагранжа, П. Лапласа математичний аналіз широко застосовувався до механіки, астрономії та інших наук. Л. Ейлер систематизував аналіз і виклав його як учення про функції.
Найвидатніші досягнення математики XIX сторіччя відкриття М. І. Лобачевським неевклідової геометрії, введення Е. Галуа поняття групи (18301832), створення Г. Кантором теорії множин (18761888), яке було тісно пов’язане з обґрунтуванням математичного аналізу, насамперед у працях О. Коші, К. Гаусса, Н. Абеля, Б. Больцано, К. Вейєрштрасса, зумовили докорінні зміни змісту математики як науки: вона почала вивчати в дуже узагальненому вигляді кількісне відношення та просторові форми реального світу, стала ще абстрактнішою, істотно розширилися межі її практичного застосування. Так складалися основні риси сучасної математики.

Будова математичної теорії
Ключові поняття
Абстракція (від лат. аbstractio відволікати, відтягати) буквально відокремлення. Сутність абстракції полягає в тому, що, розглядаючи якесь явище, ми свідомо беремо до уваги лише певні його сторони, ігноруючи всі інші, які не мають вирішального значення для розглядуваного випадку.
Абстракція виокремлює загальні, найістотніші ознаки предмета вивчення. Без абстракції неможлива наука, неможливе пізнання і логічне мислення взагалі.
Абстракція відіграє велику роль у математиці. Так, у геометрії ми розглядаємо лише форму тіл, їх положення або співвідношення між окремими їх елементами і зовсім ігноруємо всі інші їх властивості (масу, колір, матеріал тощо), тобто абстрагуємося від них. В арифметиці ми розглядаємо натуральні числа, не цікавлячись самими об’єктами лічби. Більшість фундаментальних понять і положень математики виникла в результаті абстрагування від об’єктів реального світу (поняття точки, прямої, площини, трикутника, кола, кулі, взагалі фігури, величини, числа, функції, аксіоми і т. ін.).
Абсурд (від лат. absurdus неблагозвучний, противний, без- глуздий) безглуздя. У математиці застосовується метод зведення до абсурду метод доведення від супротивного, відомий ще з часів Стародавньої Греції, коли він був особливо поширений. Сутність методу полягає в тому, що для доведення якогось твердження припускають, що воно неправильне, і за допомогою логічних міркувань приходять до суперечності абсурду.
Аксіома (від грец. Axioma буквально гідність, повага, авторитет)  у переносному розумінні означає те, що завдяки своєму авторитету не підлягає сумніву, незаперечне. Уперше цей термін застосував старогрецький філософ Арістотель. Тривалий час математики під аксіомами розуміли ті істини або положення, які з огляду на їх очевидність можна прийняти без доведення. У сучасній математиці терміну «аксіома» надають ширшого значення, а саме: аксіома це одне з вихідних тверджень, які прийнято без доведення і покладено в основу якоїсь теорії.
Алгебра (від араб. aldjebr поновлення, або відновлення) одна з провідних галузей сучасної математики, а також один із предметів шкільного навчання.
Алгебра, як і арифметика, має своїм предметом кількісні відношення дійсного світу, але вивчає їх із загальнішого погляду, ніж арифметика.
Алгоритм (від лат. algorithmus). Цей термін виник у ХІІ столітті. Більшість учених вважають, що слово «алгоритм» є перекручене прізвище ал-Хорезмі (ІХ століття). Дехто пов’язує його з арабським al-horethm (корінь) або із грецьким arithmos (число). Це слово часто використовували середньовічні автори в назвах своїх праць з математики.
Поняття алгоритму є одним із основних математичних понять. Під алгоритмом розуміють точні вказівки щодо виконання в певному порядку деякої системи операцій для розв’язування задач певного типу. Отже, характерними ознаками алгоритму є його повна визначеність і масовість.
Аналіз (від грец. analysis розкладання, розчленування, розбір, розв’язання) поділ на складові частини. Метод наукового дослідження, за допомогою якого досліджуваний предмет (явище) розкладають на частини або мислено розчленовують унаслідок логічного абстрагування.
Аналіз математичний у широкому розумінні це розробка способів обчислень і їх застосувань до розв’язування різних питань про величини. У вузькому розумінні це частина математики, яка вивчає числення нескінченно малих величин.
Аналогія (від грец. analogia відповідність, схожість, подібність де в чому предметів, явищ або понять, які в цілому різні) один з методів наукового пізнання, який, щоправда, не має доказової сили. Адже висновки, зроблені за аналогією, можуть бути хибними. Тому такі висновки потрібно перевіряти методами, які мають доказову силу, зокрема методом індукції математичної.
Аргумент (від лат. argumentum знак, ознака, доведення, зміст, предмет; arguere показувати, доводити). У логіці аргумент це довід, який є основою істинності або хибності висловленого твердження. У математиці цей термін має різні значення: незалежна змінна величина або взагалі вираз, що записаний під знаком функції, аргумент комплексного числа.
Арифметика (від грец. arithmetike наука про числа) наука про числа і дії з ними. Вивчає кількісні відношення дійсного світу. Її основою є вчення про натуральні та раціональні додатки числа й правила виконання дій із ними.
Вища математика математика змінних величин.
Геометрія (від грец. geometria землевпорядкування (землеміряння) математична наука про просторові форми і відношення тіл. У загальнішому розумінні геометрія охоплює різноманітні математичні теорії, належність яких до геометрії визначається не лише схожістю їх предмета зі звичайними просторовими формами та відношеннями, а також і тим, що вони історично склались і складаються на основі геометрії в її первісному значенні й у своїх побудовах виходять з аналізу й узагальнення досвіду оперування з просторовими відношеннями й формами конкретних тіл.
Геометрія аналітична розділ геометрії, в якому властивості ліній, поверхонь і співвідношення між ними вивчаються за допомогою дослідження рівнянь цих ліній і поверхонь у деякій (найчастіше декартовій прямокутній) системі координат.
Гіпотеза (від грец. hypothesis основа, допущення, припущення)  науково обгрунтоване припущення, що пояснює відому сукупність явищ. Гіпотеза стає вірогідною науковою теорією, якщо дослідна перевірка або виявлення нових фактів підтверджують її правильність. Гіпотези відіграють важливу роль у більшості наук, концентруючи зусилля дослідників у певному напрямі. У математиці особливо часто користуються гіпотезами при доведеннях за допомогою індукції математичної.
Дедукція (від лат. deductio виведення, відведення, введення) логічний умовивід від загального до конкретного, від загальних суджень до часткових або менш загальних висновків. У науковому пізнанні дедукція нерозривно пов’язана з індукцією.
Дедуктивний метод полягає в тому, що кожне нове твердження виводиться із сукупності раніше встановлених тверджень. Фактично більшість геометричних теорем виводиться дедуктивним методом.
Диференціальне числення розділ аналізу математичного, в якому вивчають властивості похідної, способи її обчислення та застосування до питань дослідження функцій.
Еквівалентний (від лат. aequivalens (aequivalentis), що складається зі слів аeque рівно і valens той, що має силу, сильний) буквально рівносильний, рівнозначний, рівноцінний. Поняття еквівалентності є узагальненням поняття рівності. Його застосовують, порівнюючи рівняння, нерівності, множини тощо. Два означення (взагалі твердження) називають еквівалентними, якщо кожне з них є наслідком другого.
Елементарна математика математика сталих величин.
Задача це виклад вимоги знайти за даними речами інші шукані речі, які перебувають одні з одними і з даними речами в певних співвідношеннях. Отже, задача складається з умови, в якій наведено дані і шукані величини, визначено співвідношення між ними (в явній чи неявній формі), і головного запитання, на яке потрібно дати відповідь. При розв’язуванні задач широко застосовують аналіз і синтез.
Інваріант (від лат. invarians (invariantis) незмінний) величина, співвідношення, властивість, що пов’язані з якимось математичним об’єктом і не змінюються при певних перетвореннях. Наприклад, відстань між двома точками на площині не змінюється при перенесенні або повертанні системи координат, тобто є інваріантом відносно цих перетворень, хоч координати цих точок і змінюються.
Індукція (від лат. inductio наведення) метод міркування, дослідження, що грунтується на умовиводах від окремих випадків до загального висновку, від окремих фактів до узагальнень. Індукція завжди тісно пов’язана з дедукцією.
Інтуїція (від лат. intueor пильно, уважно дивлюсь, споглядаю)  чуття, здогад, здатність відчувати правильність якого-небудь положення, що грунтується на попередньому досвіді. Інтуїція відіграє важливу, але не вирішальну роль у процесі пізнання.
Константа (від лат. constans (constantis ) сталий, незмінний. Так називають сталу величину. Розглядають абсолютні константи, прикладами яких П відношення довжина кола до його діаметра, R газова константа у фізиці.
Критерій (від грец. kriterion) засіб для розв’язування) ознака, за допомогою якої можна зробити певний висновок. Найчастіше так називають теореми, в яких установлюється необхідність і достатність, на відміну від ознак, які встановлюють лише достатність тієї чи іншої умови. Наприклад, критерій прямокутності трикутника: для того щоб трикутник був прямокутним, необхідно і достатньо, щоб сума квадратів його сторін дорівнювала квадратові третьої сторони.
Лема (від грец. lemma припущення, попереднє твердження) теорема, що не має самостійного значення і вводиться як допоміжна для доведення однієї або кількох важливих теорем.
Лінійна алгебра один із найважливіших розділів алгебри, який виник на основі загальної теорії лінійних рівнянь.
Математика (від грец. 13 EMBED Equation.3 1415), від 13 EMBED Equation.3 1415 наука, знання) наука про кількісні відношення і просторові форми дійсного світу. Одна з найдавніших наук. Характерними рисами математики є її абстрактність, точність, або логічна строгість, і, так би мовити, безсумнівність її висновків; нарешті надзвичайна широта застосувань.
Метод (від. грец. methodos шлях слідом за чимось, від metа після, слідом і hodos шлях, дорога) спосіб дослідження явищ природи та суспільного життя; підхід до явищ, що вивчаються, планомірний шлях наукового пізнання і встановлення істини; взагалі прийом, спосіб.
Методика (від метод) сукупність способів, методів, прийомів доцільного проведення якоїсь роботи, а також розділ педагогіки вчення про методи викладання якоїсь дисципліни.
Модель (від лат. mod
·lus міра) зразок чого-небудь або відтворення предмета чи явища у зменшеному, або збільшеному, або взагалі в іншому вигляді.
Нескінченність. Поняття про нескінченність є одним із найважливіших понять математики. Його взагалі означити не можна; хоч воно й відбиває властивості об’єктивної реальності, проте не може бути зведене до простіших (означених або взятих за означення) понять. Це поняття, як і більшість математичних понять, є результат абстрагування від властивостей реальних об’єктів і процесів та порівняння їх кількісних відношень.
Оптимальний (від лат. optimus найкращий) найбільш сприятливий, найбільш відповідний.
Параметр (від грец. parametro вимірюю що-небудь, порівнюючи з чимось іншим) стала величина, яка в даних умовах не змінює свого значення.
Постулат (від лат. postulatum вимога) твердження, яке приймають без доведення. У логічному розумінні постулат те саме, що й аксіома.
Принцип (від лат. principium початок) основне вихідне положення якої-небудь теорії, учення, науки і т. ін. У математиці деякі теореми мають назву принципу, скажімо, принцип індукції, що свідчить про фундаментальну роль цих тверджень у деяких теоріях.
Проблема (від грец. problema те, що виставлене вперед, задача, завдання) складна теоретична або практична задача, яку потрібно вивчити, дослідити, розв’язати.
Процес (від лат. processus проходження, переміщення)  сукупність послідовних дій, спрямованих на досягнення певного результату; у математиці ряд перетворень, об’єднаних в одне ціле.
Редукція (від лат. reduc
·re повертати назад) математичний метод, який дає змогу зводити дослідження або обчислення складних виразів до дослідження або обчислення простіших, подібних до них за формою. Відповідні співвідношення (формули) називають редукційними, або рекурентними.
Синтез (від грец. synthesis поєднання, сполучення, складання) метод вивчення предмета в його цілісності, єдності та взаємному зв’язку його частин; синтез у процесі наукового пізнання пов’язаний з аналізом.
Система (від грец. systema буквально ціле, складене з частин) у широкому розумінні правильність розміщення частин, стрункий ряд, зв’язане ціле. Систематизувати зводити в систему, розміщувати в певному порядку, установлювати певну послідовність. Систематичний  зведений у певну систему.
Скаляр, скалярна величина (від лат. scal
· східці; scalaeris  східчастий) так звичайно називають величини, які повністю визначаються своїм числовим значенням (довжина, площа, об’єм, маса, густина, температура, час і т. ін.). Їх значення завжди можна зіставити з певною шкалою (скалою).
Теорема (від грец. theorema, від theoreo придивляюсь, спостерігаю) твердження, правдивість якого перевіряють за допомогою логічних міркувань, що спираються на аксіоми або на раніше доведені твердження, або на ті та інші одночасно.
Міркування, що виявляють справедливість теореми, називають доведенням.
У формулюванні теореми розрізняють дві частини: умову теореми (те, що дано) і висновок (те, що потрібно довести). Теорему називають оберненою до даної, якщо її умова є висновком, а висновок умовою даної теореми.
Якщо справджується якась теорема і обернена до неї, то ці теореми називають взаємно оберненими.
Справедливість умови будь-якої з них не лише достатня, а й необхідна для справедливості висновку.
Теорему, умова і висновок якої є запереченнями умови і висновку даної, називають протилежною даній. Протилежна теорема рівносильна оберненій, а теорема, обернена до протилежної, рівносильна даній (прямій).
Теорему, в якій установлюється необхідна і достатня умова, при виконанні якої справджується висновок теореми, називають критерієм.
Формула (від лат. formula правило, спосіб) записане за допомогою знаків математичних певне правило, звичайно зведене до найпростішого вигляду, де зазначено, які операції і в якому порядку слід виконати з даними величинами, щоб дістати значення шуканої величини.



Перелік тем, винесених на самостійне вивчення.
№ п/п
Назва теми
Обсяг н/г

1.
Визначники 3-го, n-го порядку. Властивості визначників. Розклад визначника за елементами рядків та стовпців.
2

2.
Роз'вязування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера.
2

3.
Ранг матриці. Умови сумісності та визначеності СЛР.
2

4.
Вектори і лінійні дії над нами. Розклад вектора за базисом. Координати вектора, дії за координатами. Обчислення скалярного добутку та косинуса кута між двома векторами.

2

5.
Різні види рівнянь прямої на площині.
2

6.
Кут між двома прямими. Умови || і
· двох прямих. Відстань від точки до прямої.
2

7.
Кут між двома площинами. Умови || і
· двох площин. Відстань від точки до площини.
2

8.
Різні види рівнянь прямої у просторі. Кут між двома прямими у просторі. Умови || і
· двох прямих у просторі. Кут між прямою і площиною.Умови || і
· прямої і площини.

2

9.
Гіпербола. Парабола. Властивості.
2

10.
Числова послідовність. Границя числової послідовності. Теореми про границі числової послідовності. Нескінчено малі та нескінчено великі послідовності.

2

11.
Неперервність функції в точці і на проміжку. Точки розриву функції.
2

12.
Задачі, що приводять до поняття похідної.Означення похідної. Фізичний та геометричний зміст похідної. Таблиця похідних. Похідна складеної та оберненої функцій.

2

13.
Диференціал функції та його геометричний зміст. Властивості диференціала. Застосування диференціала в наближених обчисленнях.

2

14.
Формула Тейлора.
2

15.
Застосування диференціального числення до дослідження функцій.
2

16.
Функція багатьох змінних. Означення та символіка. Границя функції. Графік функції.
2

17.
Диференційованість функції багатьох змінних. Похідна за напрямом. Градієнт.
2

18.
Локальні екстремуми функції багатьох змінних.
2

19.
Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Таблиця основних інтегралів.
2

20.
Означення і умови існування визначеного інтеграла. Властивості. Формула Ньютона – Лейбніца.
2

21.
Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ фігур, об'ємів тіл обертання та фізичних задач.
2

22.
Загальні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь. Постановка задачі Коші. Загальний та частинний розв'язки диференціального рівняння.

2

23.
Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютна та умовна збіжність рядів.
2

24.
Дослідження рядів на збіжність.
2






Розділ „Лінійна алгебра”

Тема 1:
Визначники 3-го, n-го порядку. Властивості визначників.
Розклад визначника за елементами рядків та стовпців

Мета теми:вивчити поняття визначника третього порядку,-го порядку, їх властивості. Навчитися користуватися теоремою про розкладання визначника.

Студент повинен знати: означення визначника третього та n порядків, властивості; теорему про розкладання визначника.
Студент повинен вміти:обчислювати визначники другого, третього та четвертого порядків; застосовувати теорему про розкладання визначника за елементами рядків та стовпчиків для обчислювання визначників.

Основні питання теми
При вивченні цієї теми треба спочатку уважно прочитати матеріал, зробити конспект, в якому повинні бути означення визначників, їх властивості та схема їх обчислення. Це зручно зробити за наступним планом:
1.Означення визначника 2,3 та n порядку.
2.Загальний вигляд визначника 2, 3 та n порядку.
3.Властивості.
4.Розкладання визначника за елементами рядків та стовпців.
5.Приклади.

Свої набуті знання ви можете перевірте в наступному тесті.
1.Різниця добутків елементів, що стоять у головній та побічній діагоналях називається...
а)матрицею другого порядку б)визначником другого порядку
в)визначником третього порядку г)квадратною матрицею
2.Якщо рядки визначника замінити відповідними стовпцями, а стовпці рядками, то визначник....
а)дорівнює 0 б)не зміниться
в)збільшить порядок г)поміняє знак на протилежний
3.Якщо у визначника поміняти місцями 2 рядка або стовпчика, то він...
а)буде дорівнювати 0 б)не зміниться
в)збільшить порядок г)змінить знак на протилежний
4.Якщо один з рядків визначника (або стовпчиків) складається з нулів, то він...
а)буде дорівнювати 0 б)не зміниться
в)збільшить порядок г)змінить знак на протилежний
5.Якщо визначник має 2 однакових рядка або стопчика, то він...
а)буде дорівнювати 0 б)не зміниться
в)збільшує порядок г)змінить знак на протилежний
6.Якщо елементи двох рядків або стовпчиків визначника пропорційні, то він...
а)буде дорівнювати 0 б)не змінюється
в)збільшує порядок г)змінює знак на протилежний
7.Якщо до елементів одного рядка (стовпчика) визначника додати або відняти елементи іншого рядка (стовпчика), або елементи, пропор-ційні до них, то визначник...
а)буде дорівнювати 0 б)не зміниться
в)збільшить порядок г)змінить знак на протилежний
8.Обчислити визначники

Завдання для самоперевірки
Обчислити визначники різними методами:

3 2 4 1 -2 5 -3 4 0 6
1 -4 5 2 1 -3 2 -1 3 2
2 3 1 -1 3 4 4 0 5 1
1 2 3 -5
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор. 6 – 12.

Лекція „Визначники третього порядку”
Вираз



являє собою визначник третього порядку.
Існує простий спосіб розкриття визначника третього порядку  так зване правило Саррюса. Допишемо до визначника (2) перший і другий стовпці, а далі перемножатимемо елементи, що розміщені на одній лінії, як показано на схемі:





Добуток елементів, які розміщені на лініях, що йдуть згори ліворуч униз праворуч, береться зі знаком «+». Добуток елементів, розміщених на лініях, що йдуть згори праворуч униз ліворуч, береться зі знаком «–».

Обчислимо визначник третього порядку
.
( За правилом Саррюса складемо таблицю


і знайдемо значення визначника:
D3 = 1 ( 2 ( 2 + 2 ( 1 ( 3 + 3 ( 2 ( 1 – 3 ( 2 ( 3 – 1 ( 1 ( 1 – 2 ( 2 ( 2 = –11. (
Оскільки визначник n-го порядку складається з n! доданків, то формула (1) не застосовується для обчислення визначників при n > 3 (уже при n = 4 визначник містить 4! = 24 доданки).
Для обчислення визначників застосовують властивості, що розглядаються далі.
Властивості визначників
Властивість 1. При транспонуванні визначника його значення не змінюється.
Доведення. Доведемо, що визначники

рівні. Розглянемо доданки, які входять до D:
.
Якщо позначити , то до визначника D1 увійде відповідний доданок
.
Оскільки до визначників D та D1 входять однакові доданки з однаковими знаками, то D = D1.
Із властивості 1 випливає, що рядки та стовпці визначника рівноправні. Усі наведені далі властивості, що справджуються для рядків, виконуються й для стовпців. (

Для визначника другого порядку маємо:
.

Властивість 2. Якщо всі елементи деякого рядка дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.
Доведення. Оскільки кожний із доданків, що входять до визначника, містить нульовий множник, то всі доданки дорівнюють нулю і визначник також дорівнює нулю. (



Властивість 3. Якщо всі елементи будь-якого рядка мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника.
Доведення. Кожний із доданків, що входять до визначника, містить один із елементів розглядуваного рядка. Тому спільний множник елементів цього рядка можна виносити із суми цих доданків. (

Обчислимо визначник:
.
Властивість 4. Якщо поміняємо місцями два рядки визначника, то він змінить свій знак.
Доведення. У визначнику n-го порядку поміняємо місцями k-й і s-й рядки (s > k). Здобутий визначник позначимо D1. Якщо до визначника D входить доданок
,
то до визначника D1 обов’язково входить аналогічний доданок
.
Оскільки переставлення других індексів відрізняються однією транспозицією, то парність переставлень різна. Отже, доданок, що є добутком розглядуваних елементів, завжди входить до визначників D та D1 з різними знаками. Це й доводить потрібну властивість. (

Поміняємо місцями рядки у визначнику:
.

Властивість 5. Якщо у визначнику два рядки однакові, то визначник дорівнює нулю.
Доведення. Поміняємо місцями однакові рядки визначника. Він при цьому не зміниться, а згідно з властивістю 4 лише змінить свій знак, тобто D = –D. Звідси випливає, що D = 0. (

Для визначника третього порядку виконується рівність:
,
оскільки цей визначник має два однакові рядки.

Властивість 6. Якщо у визначнику елементи одного рядка пропорційні до відповідних елементів іншого рядка, то визначник дорівнює нулю.
Доведення. Винесемо множник пропорційності за знак визначника й дістанемо визначник з двома однаковими рядками, який дорівнює нулю. (

Властивість 7. Якщо у визначнику D всі елементи будь-якого рядка є сумою двох доданків, то цей визначник є сумою двох визначників, усі елементи яких (крім фіксованого рядка) збігаються. У першому визначнику фіксований рядок містить перші доданки, у другому визначнику фіксований рядок містить другі доданки.
Доведення. Візьмемо k-й рядок. Оскільки до кожного з доданків, що утворюють визначник, входить один із елементів k-го рядка, то можна в загальному вигляді записати розклад визначника за елементами цього рядка:
.

Множники називаються алгебраїчними доповненнями елементів . Якщо ці елементи є сумами двох доданків то

що й доводить сформульовану властивість. (

За властивістю 7 маємо:
.

Властивість 8. Якщо до елементів деякого рядка визначника додати відповідні елементи іншого його рядка, помноживши на одне й те саме число, то значення визначника при цьому не зміниться.
Доведення. Додамо до елементів k-го рядка визначника D елементи s-го його рядка , помножені на число (. Здобутий визначник набере такого вигляду D1:

Останній доданок дорівнює нулю, бо визначник має однакові k-ті та s-ті рядки. Отже, D1 = D. (

Маємо рівність визначників:
.
Із доведення властивостей 7 і 8 випливають розглянуті далі властивості визначників.

Властивість 9. Сума добутків елементів будь-якого рядка або стовпця визначника на відповідні алгебраїчні доповнення дорівнює цьому визначнику, тобто якщо
,
то справджуються рівності:


Властивість 10. Сума добутків елементів будь-якого рядка визначника на алгебраїчне доповнення відповідних елементів іншого його рядка дорівнює нулю:
.
Аналогічна властивість виконується для стовпців:
.
Обчислимо визначник четвертого порядку
.
( Додамо перший рядок до другого і четвертого, утворивши визначник
.
Поміняємо місцями перший і третій стовпці:
.
Додамо другий рядок до третього і четвертого рядків і винесемо спільний множник елементів третього і четвертого рядків:
.
Віднявши третій рядок від четвертого, обчислимо даний визначник за формулою (1):
.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001


Тема 2 :
Роз'вязування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера

Мета теми: навчитися розв'язувати системи лінійних рівнянь за допомогою формул Крамера

Студент повинен знати: означення визначника третього та n порядків, властивості; теорему про розкладання визначника. Формули Крамера для систем 2-х,3-х лінійних рівнянь з 2-ма,3-ма змінними; кількість розв'язків системи залежно від значень визначників системи.
Студент повинен вміти:обчислювати визначники другого, третього та четвертого порядків; застосовувати теорему про розкладання визначника за елементами рядків та стовпчиків для обчислювання визначників. Застосовувати формули Крамера для розв'язування систем лінійних рівнянь

Основні питання теми:
1.Означення визначника 2, 3 та n порядку.
2.Загальний вигляд визначника n порядку.
3.Властивості визначників.
4.Формули Крамера для систем двох лінійних рівнянь.
5.Формули Крамера для систем трьох лінійних рівнянь.
6.Умови існування розв'язків системи.
7.Приклади розв'язання систем.

Свої набуті знання ви можете перевірити за наступними питаннями
1.Який вигляд має система 2-х, 3-х лінійних рівнянь з двома, трьома змінними?
2.Що таке головний визначник системи?
3.Який вигляд мають формули Крамера?
4.Коли система має єдиний розв'язок?
5.Коли система має безліч розв'язків?
6.Коли система не має розв'язків?
7.Чи можна застосовувати формули Крамера для будь-якої системи лінійних рівнянь?

Завдання для самоперевірки
Розв’язати за формулами Крамера системи рівнянь

Відповідь. . Відповідь. .

Відповідь. . Відповідь. .

Відповідь. .
Відповідь. .


Відповідь. .
Відповідь. .


Відповідь. .
Відповідь. .


Відповідь. .
Відповідь. .


Відповідь. . Відповідь. .

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор.21 – 23.

Лекція” Формули Крамера”
Спинимося на застосуванні теорії визначників до розв’язування системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими:
(1)
Означення. Визначник, елементами якого є коефіцієнти при невідомих у системі (1)
, (2)
називається визначником цієї системи.
Теорема. Якщо визначник D системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1) відмінний від нуля, то ця система має єдиний розв’язок:
(3)
Тут Dk визначник, утворений з визначника D системи (1) заміною k-го стовпця на стовпець із правих її частин.
Доведення. Помноживши k-те рівняння системи (1) на алгебраїчне доповнення Aks елемента аks і додавши всі рівняння, дістанемо:

Згідно з властивостями 9 і 10 визначників маємо рівняння

з якого при випливають формули (3).
Отже, якщо система рівнянь (1) має розв’язок, то він подається у вигляді (3).
Доведемо, що ці формули справді визначають розв’язок системи рівнянь (1), підставивши туди розв’язки (3). Для k-го рівняння маємо:

з якого випливає справедливість теореми. (
Розв’яжемо за формулами Крамера систему рівнянь:

( Запишемо відповідні визначники і знайдемо розв’язки системи рівнянь:

Розв’яжемо систему рівнянь

( Обчислимо визначник цієї системи:
.
Визначник системи відмінний від нуля. Знайдемо тепер визначник і розв’язки системи рівнянь:

Формули Крамера незручні для практичних обчислень при , але вони застосовуються в теоретичних дослідженнях.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001


Тема 3 :
Ранг матриці. Умови сумісності та визначеності СЛР

Мета теми: усвоїти поняття ранга матриці; навчитися обчислювати ранг матриці, а також визначати сумісність і визначеність системи лінійних рівнянь.

Студент повинен знати: означення матриці; види матриць; поняття мінора та алгебраїчного доповнення до елемента матриці; поняття ранга матриці; умови сумісності та визначенності системи лінійних рівнянь.
Студент повинен вміти: виконувати дії над матрицями (додавання, віднімання, множення на число, множення матриць); обчислювати визначники 2-го, 3-го, 4-го порядків; знаходити обернену матрицю; обчислювати мінори та алгебраїчні доповнення до елементів матриці; знаходити ранг матриці.

Основні питання теми:
1.Поняття ранга матриці
2.Обчислення ранга матриці
3.Методи обчислення рангів
4.Умови сумісності та визначенності системи лінійних рівнянь.
7.Приклади обчислення рангів матриць.

Свої набуті знання ви можете перевірите в наступному тесті
1.Визначник, який утворюється з даного в результаті викреслення і-го рядка та j-го стовпця називається...
а)алгебраїчним доповненням А(і,j) елемента а(i,j) б)детермінантом А(i,j)
в)мінором М(i,j) елемента а(i,j) г)матрицею А
2.Якщо мінор елемента береться зі знаком(-1) у степені(i+j),то він називається...
а)алгебоаїчним доповненням А(i,j) елемента а(i,j) б)детермінантом А(i,j)
в)мінором М(i,j) елемента а(i,j) г)матрицею А
3.Прямокутна таблиця чисел, що складається з m рядків та n стовпців називається...
а)алгебраїчним доповненням А(i,j) елемента а(i,j)
б)детермінантом порядку i наj
в)мінором М(i,j) елемента а(і,j)
г)матрицею порядка m на n
4.Матриця, в якій число рядків дорівнює числу стовпців, називається...
а)квадратною б)діагональною
в)одиничною г)нульовою
5.Якщо всі елементи матриці дорівнюють 0, то вона називається...
а)квадратною б)діагональною
в)одиничною г)нульовою
6.Якщо всі елементи квадратної матриці, крім тих, що стоять на головній діагоналі, дорівнюють 0, то матриця називається...
а)квадратною б)діагональною
в)одиничною г)нульовою
7.Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює 1, називається...
а)квадратною б)діагональною
в)одиничною г)нульовою
8.Якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В, то матриця А називається ...... до матриці В
а)протилежною б)невиродженою
в)виродженою г)узгодженою
9.Якщо визначник матриці дорівнює нулю, то вона називається...
а)протилежною б)невиродженою
в)виродженою г)узгодженою
10.Якщо визначник матриці не дорівнює нулю, то вона називається...
а)протилежною б)невиродженою
в)виродженою г)неузгодженою
11.Найбільший з порядків мінорів матриці А, що не дорівнює нулю, називається...
а)визначником матриці А б)рангом матриці А
в)алгебраїчним доповненням матриці А г)множником матриці А
12.Система лінійних рівнянь, що має 3 змінних і 3 рівняння має едине рішення, якщо головний визначник системи...
а)не дорівнює 0 б)дорівнює 0
в)не існує г)дорівнює рангу системи
13.Матриця А має обернену тоді і тільки тоді, коли вона є ...
а)виродженою б)невиродженою
в)нульовою г)узгодженою

Завдання для самоперевірки
Обчислити ранг наступних матриць
. .
Відповідь. r = 2. Відповідь. r = 3.
. .
Відповідь. r = 2. Відповідь. r = 2.
. .
Відповідь. r = 3. Відповідь. r = 3.
. .
Відповідь. r = 4. Відповідь. r = 3.
. .
Відповідь. r = 2. Відповідь. r = 3.
.
Відповідь. r = 6. Відповідь. r = 5.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор.18 – 19, 30 – 31.

Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.
Теми рефератів:
1.Матричне числення (приклади з економіки)
2.Історія розвитку лінійної алгебри.

Лекція „Ранг матриці”

Створено багато методів і способів розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Розглянемо найважливіші з них, що спираються на поняття рангу матриці.
Означення. Рангом матриці А називається ранг її векторів-стовпців.
Отже, рангом матриці можна назвати найбільше число лінійно незалежних її стовпців. Далі за допомогою теорії визначників буде доведено, що ранг матриці дорівнює також найбільшому числу лінійно незалежних її рядків. Із теореми 6, наведеної в підрозд. 2.1.3, випливає така теорема.
Теорема 1. Ранг матриці не змінюється в результаті еквівалентних перетворень стовпців або рядків матриці.
За допомогою еквівалентних перетворень досягають того, щоб якомога більше елементів матриці дорівнювали нулю. Для обчислення рангу матриці користуються наведеною далі теоремою.
Теорема 2. Нехай у матриці А в кожному рядку і кожному стовпці міститься не більш як один ненульовий елемент. Тоді дорівнює загальному числу всіх ненульових елементів матриці А.
Доведення теореми випливає з того, що стовпці матриці, які містять ненульові елементи, будуть лінійно незалежні. (
Знайдемо ранг матриці
.
( Помножимо перший рядок на 2 і віднімемо від другого рядка. Далі помножимо перший рядок на 3 і віднімемо від третього рядка. У результаті дістанемо еквівалентну матрицю:
.
Віднявши другий рядок від третього, запишемо матрицю
.
Обчислення рангу матриці на цьому етапі можна припинити, оскільки матриця А2 має лише два ненульові рядки. Звідси випливає, що ранг матриці А2 не може бути більшим за два. Крім того, матриця А2 має два ненульові лінійно незалежні рядки. Отже, .
Продовжимо еквівалентні перетворення матриці А2. Помножимо перший стовпець на 2 і віднімемо від другого стовпця, далі додамо перший стовпець до третього, помножимо перший стовпець на 3 і віднімемо від четвертого стовпця. Зрештою дістанемо матрицю
.
Помножимо другий її стовпець на 4 і віднімемо від третього стовпця, далі помножимо другий стовпець на 5 і додамо до четвертого стовпця. У результаті утвориться матриця
,
яка в кожному рядку і кожному стовпці має не більш як один ненульовий елемент. Таким чином, .
Перейдемо до розгляду систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Їх розв’язування зводиться до виконання еквівалентних (тобто таких, що не змінюють розв’язків) перетворень системи рівнянь. А саме, можна переставляти рівняння, множити рівняння на числа, відмінні від нуля, і додавати до одного рівняння інше, помножене на деяке число.
Означення. Якщо система лінійних рівнянь має розв’язки, то вона називається сумісною. Якщо система рівнянь не має розв’язків, то вона називається несумісною, або суперечливою. Якщо розв’язок системи єдиний, то система називається визначеною. Якщо система має більш як один розв’язок, її називають невизначеною.
Розглянемо систему однорідних рівнянь
(1)
Теорема 3. Для того щоб однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь (1) мала єдиний нульовий розв’язок , необхідно і достатньо, щоб при дефект матрицікоефіцієнтів цієї системи дорівнював нулю.
Іншими словами, система лінійних однорідних рівнянь (1) має лише нульовий розв’язок, якщо ранг матриці А дорівнює n.
Теорема 4. Для того щоб однорідна система рівнянь (1) мала ненульовий розв’язок, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці А був меншим від n.
Оскільки при ранг матриці А не може бути більшим за m, то при система однорідних рівнянь (1) є невизначеною і завжди має ненульовий розв’язок.
Теорема 5. Якщо ранг r матраці А менший за n, то загальне число лінійно незалежних ненульових розв’язків системи (1) дорівнює дефекту матриці: .
При цьому загальні розв’язки системи (1) можна подати у вигляді
,
де лінійно незалежні розв’язки системи рівнянь .
Розглянемо тепер неоднорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь
(3)
Теорема 6. (КронекераКапеллі). Для того щоб неоднорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь (3) була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці А дорівнював рангу розширеної матриці
.
Доведення. Якщо , то перший стовпець матриці є лінійною комбінацією решти її стовпців, а отже, система рівнянь (3) має розв’язки.
Коли система (3) має розв’язки, то перший стовпець матриці є лінійною комбінацією решти її стовпців. Звідси випливає, що матриці і містять однакове число лінійно незалежних стовпців. Отже, , що й доводить теорему. (
Загальний розв’язок системи рівнянь (3) складається з частинного розв’язку системи (3) та загального розв’язку однорідної системи (1). Таким чином, очевидними є наведені далі теореми.
Теорема 7. Для того щоб неоднорідна система рівнянь (3) мала єдиний розв’язок, необхідно, щоб .
Теорема 8. Нехай . Система неоднорідних рівнянь (3) має загальний розв’язок виду
,
де частинний розв’язок неоднорідної системи рівнянь (3), а лінійно незалежні розв’язки однорідної системи .
Можна дійти висновку, що коли число m рівнянь у системі (3) менше за число невідомих n, то ця система або невизначена, або суперечлива.
Система рівнянь є несумісною.
( Справді, якщо перше рівняння помножимо на 2 і віднімемо від другого рівняння, дістанемо неможливу числову рівність 0 = 1. (
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор.18 – 19, 30 – 31.

Розділ „Елементи векторної алгебри та
аналітичної геометрії”
Тема 4
Вектори і лінійні дії над ними. Розклад вектора за базисом. Координати вектора, довжина вектора, дії над векторами, що задаються своїми координатами. Обчислення скалярного добутку та косинуса кута між двома векторами.

Мета заняття Узагальнення та систематизація знань з даної теми, повторення формул стереометрії.
Розвивати просторове мислення.
Студенти повинні знати: означення вектора та лінійні дії над ними; поняття про базис вектора; основні формули дій над векторами, які задані координатами, означення направляючих косинусів; означення скалярного добутку у просторі, та косинуса кута між векторами;
Студенти повинні вміти: виконувати лінійні дії над векторами; розкладати вектор за базисом; виконувати дії над векторами, які задані координатами; обчислювати скалярний добуток двох векторів на площині і у просторі.

Основні питання теми
1.Скалярні та векторні величини; дії над векторами;
2.Розклад вектора за базисом на площині та у просторі; координати вектора;
3.Формули для обчислення довжини вектора;
4.Скалярний добуток двох векторів та його властивості;
5.Обчислення кута між двома векторами;

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті
1.Відрізок, що має певну довжину і певний напрямок називається...
а)промінем б)вектором
в)хордою г)медіаною
2.Одиничний вектор,напрям якого збігається з даним вектором, називається...
а)0-вектором б)вектор-сумою
в)модулем вектора г)ортом
3.Якщо 2 вектора лежать на одній прямій, або на паралельних прямих, вони називаються...
а)компланарними б)скалярними
в)рівними г)колінеарними
4.Якщо 3 вектора лежать в одній площині або в паралельних площинах, вони називаються...
а)компланарними б)скалярними
в)рівними г)колінеарними
5.Довільна упорядкована пара неколінеарних векторів називається... на площині
а)ортом б)комбінацією
в)основою г)базисом
6.Довільна упорядкована трійка некомпланарних векторів називається у просторі
а)ортом б)комбінацією
в)основою г)базисом
7.Коефіциєнти, що стоять біля векторів базису в розкладанні вектора за базисом називаються в даному базисі...
а)ортами вектора б)системою вектора
в)координатами вектора г)проекцією вектора
8.Добуток довжин двох векторів на косинус кута між ними називається...
а)кутовим добутком б)мішаним добутком
в)векторним добутком г)скалярним добутком

Завдання для самоперевірки
1.Довести, що вектори а = (3;-2;1), b = (-1;1;-2), с = (2;1;-3) і d = (11;-6;5) лінійно залежні. Виразити вектор d як лінійну комбінацію векторів а, b i с.
2.Відомо, що вектор а = (0;-2;-3) і b = (3;2;3). Переконатись,що |3а + 2b| = 7.
3.Знайти координати векторів, їхню довжину та кути між ними, якщо вони задані в системі координат на малюнку. Довжина сторони правильного шестикутника дорівнює 4.
4.Визначити скалярний добуток векторів х і y:
a)
б)
Відповідь. а) 9; б) 0.
5.Визначити кут між векторами х і y:
a)
б)
в)
Відповідь. а) 90(; б) 45(; в) .
6.Закінчте вирази:
1). Вектором називається
2). Вектори вважаються рівними, якщо
3). З векторами виконуються такі лінійні операції: , за правилами
4). Лінійні операції над векторами мають такі властивос- ті:
5). Проекцією вектора на вісь називається
6). Проекція добутку вектора на скаляр дорівнює (до- вести).
7). Проекція суми векторів дорівнює (довести).
7. Перевірити за допомогою паралелограма, побудованого на векторах , справджуваність таких тотожностей:
; ;
; .
8. На сторонах ОА і ОВ прямокутника ОАСВ відкладено одиничні орти . Виразити через них вектори і , якщо довжина .
9. Яку особливість у розташуванні повинні мати вектори  і , щоб виконувались співвідношення:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
10. За якої умови, накладеної на вектори і , вектор ділить кут між ними навпіл?
11. Три вектори є сторонами трикутника. За допомогою векторів виразити медіани трикутника .
12. У рівнобічній трапеції ОАСВ кут ВОА = 60(, ОВ = ВС = = СА = 2, М і N середини сторін ВС і АС. Виразити вектори , через і одиничні вектори напрямів і .
13. Сторона ВС трикутника розділена на п’ять рівних частин точками , які з’єднані з вершиною А. Вектори Знайти вирази для векторів .
14. В ромбі ABCD дано діагоналі . Розкласти за цими векторами всі вектори, що збігаються зі сторонами ромба: .
15. У правильному шестикутнику ABCDEF дано: і . Розкласти за цими векторами вектори .

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
гл. , стор.32 – 57.

Лекція” Вектори, лінійні операції над векторами”
Означення. Векторною величиною, або вектором (у широкому розумінні), називається будь-яка величина, що має напрям (наприклад, сила, що діє на матеріальну точку).
Означення. У геометрії вектором (у вузькому розумінні) називається напрямлений відрізок. Напрям відрізка вказується стрілкою. Розрізняють початок і кінець вектора.
Означення. Два вектори називаються рівними між собою, якщо кожний із них можна дістати паралельним перенесенням іншого.
Рівні вектори є паралельними (колінеарними), мають один і той самий напрям і однакову довжину. Довжина вектора а називається також абсолютною величиною, або модулем, вектора і позначається .
Означення. Вектор називається нульовим (нуль-вектором), якщо він має нульову довжину, тобто його кінець збігається з початком.
На письмі вектор позначається напівжирним шрифтом.
Щоб знайти суму двох векторів а і b, сумістимо початок вектора b з кінцем вектора а.
Означення. Сумою a + b векторів a та b називається вектор, початок якого збігається з початком вектора a, а кінець із кінцем вектора b (рис. 1).

Рис. 1 Рис. 2

Додавання векторів комутативне, тобто для довільних векторів a і b справджується рівність (рис. 2)
a + b = b + a. (1)
Додавання векторів асоціативне, тобто для будь-яких векторів a, b, c виконується рівність
(a + b) + c = a + (b + c). (2)
Цю властивість, що випливає з означення суми векторів, унаочнює рис. 3.

Рис. 3
Віднімання векторів операція, обернена до їх додавання. Різниця b – a векторів a і b являє собою вектор, початок якого збігається з початком вектора a, а кінець із кінцем вектора b (рис. 4).
a + (b – a) = b

Рис. 4
Для будь-яких векторів a, b виконуються нерівності:
.
Розглянемо довільний вектор a і вісь х.
Означення. Якщо вектор a утворює кут ( з віссю х (рис. 5), то проекцією вектора а на вісь називається величина
. (3)

Рис. 5

Якщо х1 координата проекції початку вектора, а х2 координата проекції кінця вектора на вісь х, то
(4)
Нехай вектор а має початок у точці М1(х1, y1, z1), а кінець у точці М2(х2, y2, z2). Тоді величини

є проекціями вектора a на осі х, y, z. Проекції вектора однозначно визначають вектор. Тому виконується рівність

Очевидно, що проекція на вісь х суми a + b векторів a та b дорівнює сумі проекцій на вісь х векторів a, b (рис. 6).



Рис. 6

· Справді, виконуються рівності

Нехай відомі проекції векторів a та b:
.
Тоді проекція суми векторів a + b дорівнює сумі відповідних проекцій векторів-доданків:

Означення. Добутком вектора a на число ( називається вектор , довжина якого дорівнює . Вектор колінеарний вектору а; має однаковий з ним напрям при і протилежний напрям при . Якщо або , то маємо , тобто добуток є нуль-вектором.
Множення вектора на число має властивість асоціативності та дистрибутивності. Для довільних чисел (, ( та векторів a, b справджуються рівності:
(1)
Останню рівність унаочнює рис. 7 ().

Рис. 7
Ця властивість випливає з подібності трикутників із коефіцієнтом подібності (.
З очевидної рівності

випливає:

Лема. Будь-який вектор a можна єдиним чином подати у вигляді суми трьох векторів, кожний із яких колінеарний одній з осей координат х, у, z.
( Справді, нехай М1 початок вектора a, М2 його кінець. Сумістимо точку М1 із початком координат. Опустимо з точки М2 перпендикуляр на координатну площину ху і позначимо здобуту проекцію М3. Із точки М3 опустимо перпендикуляр на вісь х. Відповідну проекцію позначимо М4. Вектор М3М2 колінеарний осі z, вектор М4М3 осі у, а вектор М1М4 осі х.
Звідси, скориставшись одиничними векторами i, j, k, що, як відомо, колінеарні осям х, у, z, дістанемо:
.
Оскільки виконується рівність (рис. 8),

Рис. 8
то вектор a можна записати у вигляді:
(2)
Вектори називаються компонентами вектора a.
Отже, кожний вектор дорівнює сумі його компонентів за трьома осями координат.
Якщо вектори a та b подано за їх компонентами:

то для їх лінійної комбінації маємо
. (3)
Дано два вектори:
.
Знайдемо за формулою (3) вектор
.
Скалярний добуток векторів
Означення. Скалярним добутком векторів a і b називається число , що дорівнює добутку довжини цих векторів на косинус кута між ними (рис. 9):
(1)

Рис. 9
Нехай проекція вектора b на вісь, паралельну вектору a. Тоді маємо:
(2)
Останнє співвідношення означає, що скалярний добуток двох векторів дорівнює модулю одного з них, помноженому на проекцію другого вектора на напрям першого.
Якщо кут між векторами a та b гострий, то ; якщо тупий, то ; якщо прямий, то . Коли один із векторів a, b є нульовим, то його можна вважати ортогональним до будь-якого іншого вектора.
Наведемо аналітичні властивості скалярного добутку, що випливають із його означення.

Остання рівність є наслідком формули (2) і властивості проекцій суми векторів:

Отже, у разі скалярного множення суми векторів на вектор можна розкривати дужки. Нехай вектори а та b подано через їх проекції на координатні осі:

Запишемо таблицю скалярного множення для одиничних векторів i, j, k ортів системи координат:

Перемноживши скалярно вектори a та b, знайдемо їх скалярний добуток у проекціях на координатні осі:
(3)
Звідси маємо:

Знаючи проекції векторів а, b, можна знайти кут між цими векторами:

Дано просторовий трикутник з вершинами А(1, 2, –1), В(2, 4, 1), С(3, 0, 0). Знайдемо кут при вершині А.
( Розглянемо вектори

і з їх скалярного добутку визначимо косинус шуканого кута:
.
Оскільки скалярний добуток векторів a, b дорівнює нулю, то кут при вершині А прямий. (
Властивості додавання векторів та множення числа на вектор ((( ( деякі числа):

4. Для будь-якого вектора а існує протилежний вектор –а, такий що

Із означення скалярного добутку випливають такі його властивості:

Зауваження. Скалярному добутку можна дати економічну інтерпретацію, розглянувши m різних товарів відповідно кількістю та ціною за одиницю товару. Загальну вартість усіх товарів можна подати скалярним добутком вектора кількості товарів і вектора цін :

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
гл.2, §1- 4, стор.32 – 57.


Тема 5
Різні види рівнянь прямої на площині

Мета заняття Вивчити різні види завдань прямої на площині та відповідні їм рівняння.
Розвивати просторове мислення.

Студенти повинні знати: означення напрямного та нормального векторів прямої; різні види рівнянь прямої на площині.
Студенти повинні вміти: знаходити різні види рівнянь прямої на площині відповідно способам завдання.

Основні питання теми
При вивченні цієї теми треба спочатку уважно прочитати матеріал, зробити конспект, в якому повинні бути зображені різні способи завдання проямої і записані відповідні їм рівняння. Це зручно зробити за наступним планом:
1.Поняття нормального та напрямного векторів прямої;
2.Пряма, що проходить через дану точку і має заданий напрямний вектор;
3.Пряма, що проходить через дві дані точки;
4.Пряма, що відрізає на осях координат задані відрізки;
5.Пряма, що проходить через дану точку і має заданий нормальний вектор;
6.Пряма що проходить через дану точку і має даний кутовий коефіциент;
Завдання для самоперевірки
Скласти рівняння прямої, що проходить:
1)через точки А(-4;3) і В(2;-1);
2)через точку М(5;3) паралельно прямій 2х – 4у = 7;
3)через точку Р(3;-4) під кутом° 30 до осі ОХ.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор.76 – 80.

Лекція ”Пряма лінія на площині”
Нехай на площині задано пряму у прямокутній системі координат х, у. Кут ( між віссю Ох і цією прямою називається кутом нахилу прямої до осі. Тангенс кута нахилу називається кутовим коефіцієнтом розглядуваної прямої. Якщо ця пряма перетинає вісь Оу у точці В з координатами (0, b), то число b називається початковою ординатою. Візьмемо довільну точку М(х, у) на прямій (рис. 1).

Рис. 1
З прямокутного трикутника МАВ знаходимо рівняння прямої
,
яке можна подати у вигляді
, де
(1)

Якщо розглядувана пряма паралельна осі Оу, то ( = 0,5( і tg( не існує. При цьому пряма має рівняння виду х = а (рис. 2).

Рис. 2
Координати х, у будь-якої точки М(х, у), що належить прямій, задовольняють рівняння (1). Якщо пряма (1) проходить через точку М1(х1, у1), то справджується рівність
у1 = kx1 + b,
Віднімаючи почленно цю рівність від рівності (1), дістаємо рівняння прямої, що проходить через задану точку:
(2)
Зі зміною кутового коефіцієнта k в рівнянні (2) утворюються різні прямі, що проходять через точку М1(х1, у1). Рівняння (2) називається рівнянням пучка (в’язки) прямих (рис. 3).

Рис. 3
Нехай дано дві різні точки М1(х1, у1), М2 (х2, у2), де х2 ( х1. З рівняння (2) випливає вираз для кутового коефіцієнта прямої, що проходить через точки М1, М2:
(3)
Підставляючи в (3) рівняння (2), знаходимо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки М1(х1, у1), М2 (х2, у2):
(4)
Знайдемо рівняння прямої, що проходить через дві точки М1(4, 1), М2(2, 3).
( Згідно з (4) маємо:

Ця пряма утворює кут 135( з віссю Ох. (
Якщо задано вектор , паралельний деякій прямій, і точку М0(х0, у0) на цій прямій, то рівняння прямої можна записати у вигляді

Вектор s називається напрямним вектором прямої.
Щоб побудувати графік прямої, достатньо знати дві її різні точки і через них провести пряму. Якщо пряма перетинає осі координат у точках М1(а, 0), М2(0, b), а ( 0, b ( 0, то її можна записати рівнянням
(5)
яке називається рівнянням прямої у відрізках на осях.
Запишемо рівняння прямої

у вигляді (5).
( Значенню у1 = 0 відповідає х1 = 3. При х2 = 0 знаходимо у2 = 2. Отже, шукане рівняння прямої подається у вигляді

Пряма перетинає вісь х у точці з координатою х = 3, а вісь у у точці з координатою у = 2. (

Розглянемо на площині прямокутну систему координат х, у і знайдемо рівняння прямої, коли відомий вектор її нормалі і задано точку М0(х0, у0) на цій прямій. Нехай М(х, у) довільна точка шуканої прямої (рис. 4).

Рис. 4
За умовою вектор перпендикулярний до вектора . Тому їх скалярний добуток . Звідси маємо рівняння
(1)
або

(2)

Це рівняння називається загальним рівнянням прямої.
На відміну від рівняння виду (1) змінні х, у входять до рівняння (2) рівноправно. Рівняння (1) завжди можна подати у вигляді (2).
Рівняння прямої (2) можна записати у вигляді (y = kx + b) лише за умови В ( 0.
Коефіцієнти А, В при х, у у загальному рівнянні прямої є про- екціями на координатні осі вектора її нормалі n.
Справджується теорема.
Теорема 1. Будь-яка пряма на площині може бути задана лінійним рівнянням виду (2). Кожне лінійне рівняння виду (2), де А2 + В2 > 0, визначає деяку пряму.
Доведення. Перше твердження теореми було доведено раніше при виведенні рівняння (1). Доведемо друге твердження. Візьмемо довільне лінійне рівняння

Оскільки коефіцієнти при х, у не перетворюються одночасно на нуль, завжди знайдуться значення х = х0, у = у0, при яких виконується рівність
Ах0 + Ву0 + С = 0.
Віднімаючи ці рівняння почленно, дістаємо рівність
А(х – х0) + В(у – у0) = 0. (3)
За допомогою векторів
,
рівність (3) можна записати у вигляді .
Як бачимо з рис. 3.27, вектор тоді і тільки тоді буде перпендикулярним до ненульового вектора , коли точка М(х, у) лежить на прямій, що проходить через точку М0(х0, у0) перпендикулярно до цього вектора. Звідси випливає рівняння (1), що визначає деяку пряму. Отже, теорему доведено. (
Нехай х, у координати довільної точки на площині. Пряма (2) поділяє всю площину на дві півплощини. В одній півплощині виконується нерівність Ах + Ву + С > 0, а в іншій нерівність Ах + Ву + С < 0. На самій прямій маємо: Ах + Ву + С = 0.
Розглянемо частинні випадки рівняння (2):
якщо А = 0, то пряма паралельна осі х;
якщо В = 0, то пряма паралельна осі у;
якщо С = 0, то пряма проходить через початок координат;
якщо А = 0, С = 0, то пряма збігається з віссю х;
якщо В = 0, С = 0, то пряма збігається з віссю у.
Нагадаємо, що пряма проходить перпендикулярно до вектора .

Геометричним образом лінійного рівняння є пряма на площині. Змінні х та у, що входять до рівняння, це координати множини точок, що лежать на цій прямій. Якщо поділити рівняння прямої на один з відмінних від нуля коефіцієнтів А, В, С, то це рівняння буде залежати від двох параметрів, що визначають розміщення лінії відносно прямокутної системи координат.
Наприклад, якщо поділимо на , то одержимо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: , де , ( кут нахилу прямої до осі ОХ, b відрізок, що відтинає пряма на осі OY.
Рівняння , де координати точки, що лежить на прямій, описує множину прямих, що проходять через задану точку.
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки (х1, у1) та (х2, у2), можна записати у вигляді:
.
Якщо рівняння прямої подати у вигляді
,
то параметри визначають відрізки, що відтинає пряма на відповідних осях системи координат.
Кут між двома прямими і знаходять за формулою: , з якої можна одержати умову паралельності () і перпендикулярності двох прямих. Відстань від точки до прямої обчислюють за формулою:
.
Приклад 1. Дано рівняння сторін і трикутника АВС. Точка основа висоти . Записати рівняння медіани АМ, бісектриси AF і висоти AD трикутника, а також знайти кут А.
Знайдемо координати вершини А. Для цього розв’яжемо си- стему рівнянь: , .
Запишемо рівняння висоти , використовуючи рівняння прямої, що проходить через дві точки або . Використовуючи умову перпендикулярності , знайде- мо кутовий коефіцієнт сторони ВС трикутника: . Тоді рівняння сторони ВС можна записати так: або . Знайдемо координати вершин В і С трикутника, розв’язавши відповідно системи рівнянь:
і
Одержимо: . Основа медіани це середина відрізка ВС; . Використовуючи рівняння прямої, що проходить через дві точки, одержимо рівняння медіани: . Знайдемо довжини сторін Тоді обчислимо відношення, у якому основа бісектриси поділяє сторону ВС: .
За формулами знайдемо координати основи бісектриси . Рівняння бісектриси запишемо як рівняння прямої, що проходить через задані точки: . Для знаходження кута А визначимо кутові коефіцієнти прямої АС і прямої АВ .
Тоді
Приклад 2. Дано трикутник . Знайти відстань від вершини В до медіани, що проходить через точку А.
Знайдемо координати основи медіани: . Запишемо рівняння медіани як прямої, що проходить через дві задані точки: , або . Відстань від точки до медіани знайдемо за формулою: .
Приклад 3. Знайти координати точки, що розташована на віддалі 5 одиниць від прямої і прямої .
Нехай координати шуканої точки, тоді маємо систему рівнянь:

Отже, точок буде чотири:
Приклад 4. Скласти рівняння бісектрис кутів, утворених двома прямими і .
Бісектриса є множиною точок, рівновіддалених від сторін кута. Нехай одна з точок цієї множини. Тоді, прирівнюючи відстані від цієї точки до прямих, маємо:
.
З останнього рівняння маємо рівняння двох бісектрис у вигляді: і . Слід зазначити, що бісектриси взаємно перпендикулярні: .
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор.76 – 80.


Тема 6
Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпенди-кулярності прямих. Відстань від точки до прямої

Мета заняття: Навчитися знаходити кут між двома прямими, відстань від точки до прямої, застосовувати умови паралельності та перпендикулярності двох прямих при розв'язуванні задач.

Студенти повинні знати: формули обчислення кута між двома прямими, умови перпендикулярності та паралельності двох прямих; формулу відстані між двома векторами.
Студенти повинні вміти: розв'язувати задачи на обчислення косинуса кута між двома векторами і відстані від точки до прямої; застосовувати умови паралельності і перпендикулярності двох прямих при розв'язуванні задач.

Основні питання теми
1.Знаходження кута між двома прямими (різні види завдання прямої);
2.Умови паралельності двох прямих;
3.Умови перпендикулярності двох прямих;
4.Обчислення відстані від точки до прямої

Завдання для самоперевірки
1.Вивести формулу для знаходження відстані точки від прямої.
2.Знайти кут між прямими х = 4 і 2х – у = 0.
3.Точка А(2;0) є вершиною правильного трикутника, а протилежна сторона лежить на прямій х + у – 1 = 0. Скласти рівняння двох інших сторін.
4.Довести, що пряма 3х + 2у – 6 = 0 перетинає відрізок АВ, де А(1;1) і В(2;2).
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор. 80 – 83.

Лекція ”Кут між прямими”
Розглянемо дві прямі, які задано рівняннями
. (1)
Якщо прямі паралельні, то вони мають однакові кути нахилу:
(2)


Дві прямі збігаються, якщо k1 = k2, b1 = b2.

Якщо прямі взаємно перпендикулярні, то і
.


Рівність

є умовою перпендикулярності двох прямих виду (1).
(3)


Якщо прямі не паралельні, то вони перетинаються в точці М(х, у), координати якої є розв’язком системи рівнянь

Нехай ( кут між цими прямими (рис. 1).


Рис. 1
Згідно з рис. 1 маємо: (2 = (1 + ( (зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним). Отже,


Формулу

застосовують для знаходження кута між двома прямими, заданими рівняннями виду (1).
(4)


У трикутнику з вершинами А(1, 1), В(5, 1), С(2, 4) знайти кут ( при вершині А, а також рівняння висоти CD і медіани ВМ (рис. 2).

Рис. 2
Скориставшись (3), знайдемо кутові коефіцієнти прямих АВ, АС:


Пряма СD перпендикулярна до прямої АВ. Її кутовий коефіцієнт , а відповідне рівняння
у – 4 = – 4(х – 2).
Точка М поділяє відрізок АС пополам. Отже,

Через точки В(5, 2), М проводимо пряму m і згідно з (4) дістаємо:
або . (


Взаємне розташування двох прямих
Дві прямі задано їх загальними рівняннями:
(1)
Точку перетину М(х, у) цих прямих знаходимо, розв’язуючи систему рівнянь (1), оскільки координати х, у точки М задовольняють одночасно обидва ці рівняння.
Кут ( між даними прямими дорівнює куту між їх нормалями (рис. 3).

Рис. 3
Отже, маємо такі залежності:
умова паралельності прямих.
(2)


Якщо прямі збігаються, то їх коефіцієнти пропорційні:

умова перпендикулярності прямих.
(3)


Скориставшись формулою скалярного добутку векторів, знайдемо кут (:
(4)
Розглянемо спосіб побудови прямих, що проходять через точку перетину двох даних прямих.
Теорема 2. Якщо прямі (1) не паралельні, то рівняння
(5)
визначає пучок прямих, які проходять через точку перетину прямих (1). Вибором ( можна дістати будь-яку пряму, що проходить через точку перетину прямих (1), крім другої прямої.
Доведення. При кожному значенні ( рівняння (5), що є лінійним, визначає деяку пряму. Припустимо, що коефіцієнти при х, у перетворюються на нуль:

Тоді виконується рівність

а це означає, що прямі (1) паралельні.
Нехай М0(х0, у0) є точкою перетину прямих (1):

Звідси випливає, що

тобто пряма (5) проходить через точку М0(х0, у0).
Візьмемо тепер довільну точку площини М1(х1, у1) і виберемо ( так, щоб пряма (5) проходила через точку М1. Для цього має виконуватися рівність

з якої завжди можна визначити ( за умови
.
Іншими словами, точка М1 не повинна лежати на другій прямій (1). Отже, і справді вибором параметра ( можна дістати будь-яку пряму, що проходить через точку перетину прямих (1), за винятком другої прямої (1).
Теорему доведено. (
Маємо рівняння сторін трикутника:



Знайдемо рівняння його висоти, проведеної з вершини С.

· Складемо рівняння пучка променів, які проходять через вершину С:

Далі за умовою (3) перпендикулярності прямих до АВ маємо:

Звідси знаходимо значення ( = 4 і рівняння висоти 2х + у – 7 = 0. (
Відстань від точки до прямої
Дано загальне рівняння прямої
Ах + Ву + С = 0 (1)
і точку М1(х1, у1). Знайдемо відстань d від точки М1 до прямої (1). Візьмемо точку М0(х0, у0) на цій прямій.
Тоді відстань від точки М1 до прямої дорівнює проекції вектора на вектор нормалі (рис. 4).


Рис. 4

Записуємо аналітичний вираз для шуканої відстані:

Оскільки – Ах0 – Ву0 = С, то остаточно маємо:
(2)
Означення. Рівняння виду
(3)
називається нормальним рівнянням прямої (1). Знак перед радикалом має бути протилежний знаку вільного члена С. Якщо С = 0, то вибір знака значення не має.
Узявши в нормальному рівнянні (3)

запишемо його у вигляді

де ( кут між віссю х і вектором нормалі n; р відстань від прямої до початку координат (рис. 5).

Рис. 5
Перейдемо до полярних координат, скориставшись рівностями х = r cos(, у = r sin(. Тоді нормальне рівняння прямої набере вигляду

Залежність, записану формулою (2), можна сформулювати як теорему.
Теорема 3. Для того щоб знайти відстань d від точки М1(х1, у1) до прямої, заданої рівнянням (1), достатньо підставити координати точки х = х1, у = у1 у нормальне рівняння прямої і знайти модуль здобутої величини.
Обчислити відстань d від точки М1(5, 3) до прямої 3х + 4у + 3 = 0.
( За формулою (2) знаходимо
(
Нехай маємо загальні рівняння двох прямих, що перетинаються:
(4)
Якщо точка М(х, у) лежить на бісектрисі кутів, утворених прямими (4), то вона однаково віддалена від цих прямих, тобто виконується рівність:
. (5)
Знайти рівняння бісектриси АD трикутника з вершинами А(1, 1), В(6, 3), С(2, 5) (рис. 6).


Рис. 6


· Згідно з (5) записуємо рівняння двох бісектрис:

Звідси маємо:
(6)

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.3, §7, стор.80.


Тема 7
Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин. Відстань від точки до площини

Мета заняття Навчитися розв'язувати задачі, користуючись умовами || та
· площин, формулою кута між двома площинами та відстані від точки до площини.
Розвивати просторове мислення.

Студенти повинні знати: формули обчислення кута між двома площинами, умови перпендикулярності та паралельності двох площин, формулу відстані від точки до площини.
Студенти повинні вміти: розв'язувати задачі на формули та умови паралельності та перпендикулярності двох площин, знаходити відстань від точки до площини;

Основні питання теми
1.Визначення кута між двома прямими;
2.Умови паралельності двох прямих;
3.Умови перпендикулярності двох прямих;
4.Знаходження відстані від точки до площини;
5.Розвязування задач з теми

Завдання для самоперевірки
1.Записати та дослідити загальне рівняння площини.
2.Вивести рівняння площини, яка проходить через три точки.
3.Вивести рівняння площини у відрізках на осях.
4.Задано точки А(1;2;-1) і В(0;3;1). Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А перпендикулярно до вектора АВ.
5.Знайти відстань між площинами 2х – у + 2z + 9 = 0 і 4х – 2у + 4z – 21 = 0.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл. 3, стор. 87 – 88.
Лекція ”Відстань від точки до площини”
Дано площину

і точку М1(х1, у1, z1) поза нею. Знайдемо відстань від точки М1 до площини. Нехай точка М0(х0, у0, z0) лежить на площині. Тоді відстань d від точки М1 до площини дорівнює модулю проекції вектора , на нормаль до площини (рис. 2).

Рис. 2
Отже,
.
Оскільки

то
(1)
Знайдемо відстань d від точки М1(1, 2, 3) до площини, заданої рівнянням .
( Згідно з (1) маємо:
. (
Рівняння площини, записане у вигляді

де знак перед радикалом протилежний знаку D, називається нормальним рівнянням площини. Якщо D = 0, то вибір знака неістотний.
Щоб знайти відстань від точки М1(х1, у1, z1) до площини, слід підставити координати цієї точки в нормальне рівняння площини і знайти модуль здобутої величини.
Величина

називається відхиленням точки М(х, у, z) від площини.
Модуль відхилення дорівнює відстані від точки М(х, у, z) до площини. Якщо , то точка М(х, у, z) і початок координат лежать по один бік від розглядуваної площини; якщо , по різні боки; якщо , то М лежить на цій площині.
Коли маємо дві площини, які перетинаються й подаються рівняннями

то бісектральні площини визначаються рівнянням
(2)
Взаємне розміщення двох площин
Нехай дано дві площини, які визначаються загальними рівняннями
.
Розглянемо вектори нормалей до кожної з площин:
.
Кут ( між площинами визначається кутом ( між векторами . Отже, справджується рівність
. (1)
Умова перпендикулярності площин така:
. (2)
Умова паралельності площин:
. (3)
Дві площини збігаються, якщо виконується рівність
. (4)
У разі виконання умови (4) рівняння однієї площини можна дістати з рівняння іншої площини множенням на сталий множник.
Нехай дано три площини
. (5)
Вони перетинаються в одній точці у тому і тільки тому разі, коли визначник
.
Якщо , то площини можуть мати спільну пряму, коли система рівнянь (5) має нескінченну множину розв’язків, або не мати жодної спільної точки, коли система (5) не має розв’язків.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл. 3, стор. 87 – 88.

Тема 8
Різні види рівнянь прямої у просторі. Кут між двома прямими у просторі. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих у просторі. Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини

Мета заняття Вивчити різні види рівнянь прямої у просторі, умови || та
· двох прямих у просторі, умови || та
· прямої та площини, а також формулу для знаходження кута між двома прямими у просторі та кута між прямою та площиною.
Розвивати просторове мислення.

Студенти повинні знати: формули обчислення кута між двома прямими у просторі, міх прямою і площиною; умови перпендикулярності та паралельності двох прямих у просторі та між прямою і площиною.
Студенти повинні вміти: розв'язувати задачи на формули дляобчислення кутів та умови паралельності і перпендикулярності у просторі.
Основні питання теми
1.Параметричні рівняння прямої;
2.Канонічне рівняння прямої;
3.Рівняння прямої, що проходить через 2 дані точки;
4.Пряма, як перетин двох площин;
5.Умови || двох прямих у просторі;
6.Умови
· двох прямих у просторі;
7.Умови || прямої і площини;
8.Умови
· прямої і площини;
9.Знаходження кута між двома прямими у просторі;
10.Знаходження кута між прямою і площиною;

Завдання для самоперевірки
1.Написати загальні рівняння прямої. Як перейти від загальних рівнянь прямої до канонічних?
2.Як знайти кут між двома прямими в просторі? Написати умови паралельності і перпендикулярності прямих.
3.Через точку М(1;2;3) провести пряму , перпендикулярну до площини, що задана рівнянням 2х – у + 3z + 4 = 0.
4.Через задану точку А(-4;3;1) провести площину, перпендикулярно до прямої, що задана рівнянням (х – 2)/2 = (у – 1)/1 = (z + 1)/3.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор. 90 – 96.
Лекція” Різні види рівнянь прямої у просторі”
Нехай дано точку М0(х0, у0, z0) на прямій і вектор , паралельний цій прямій. Складемо рівняння прямої. Нехай М(х, у, z) довільна точка на прямій. Вектор паралельний вектору , який називається напрямним вектором прямої.
За умовою паралельності дістанемо рівняння
, (1)
яке називається канонічним рівнянням прямої.
Пряму можна визначити як результат перетину будь-яких двох площин із наведених далі трьох:
.
Останні рівняння є рівняннями проекцій прямої відповідно на координатні площини

Якщо дано дві точки М1(х1, у1, z1), М2(х2, у2, z2) на прямій, то за напрямний вектор можна взяти Тоді рівняння прямої набере вигляду
(2)
Складемо рівняння прямої, що проходить через точки М1(1, 2, 3) і М2(3, 5, 7).
( З рівняння (2) маємо:
(
Якщо відомі канонічні рівняння (1), то з них можна вивести параметричні рівняння прямої. Нехай t коефіцієнт пропорційності векторів і s, тобто .
З рівнянь

маємо рівняння
,
які називаються параметричними рівняннями прямої.

(3)


Коли параметр t змінюється від – ( до + (, точка М(х, у, z), де х, у, z визначаються рівнянням (3), пробігає всю пряму.
Скориставшись позначеннями

рівняння прямої можна записати у векторній формі
(4)

Рівняння прямої у просторі
Будь-яка пряма лінія у просторі подається системою двох рівнянь які задають (коли розглядати кожне з них зокрема) дві різні площини, що проходять через цю пряму.
(1)
Рівняння (1), узяті разом, називаються загальними рівняннями прямої. Напрямний вектор цієї прямої ортогональний до кожної з нормалей

Отже, можна вважати що

Перейдемо від загального рівняння прямої

до канонічного.
( Візьмемо , та із системи рівнянь , знайдемо х1 = 1, у1 = – 5.
Покладемо , то із системи рівнянь , знайдемо х2 = 1, у2 = – 7. Канонічне рівняння прямої набере вигляду
. (
Щоб дістати довільну площину, яка проходить через пряму (1), застосовують пучок площин:
. (2)
Площина і пряма у просторі
Будь-яке рівняння першого степеня відносно координат точки простору відображає площину. Коефіцієнти при змінних А, В, С є компонентами вектора, перпендикулярного до площини.
Кут між двома площинами і визначається за формулою:
.
Умовою їх паралельності є: , а перпендикулярності . Відстань від точки до площини можна знайти за формулою: .
Пряма у просторі може бути визначена як перетин двох площин:

або канонічним рівнянням:
,
де напрямний вектор прямої, точка, що лежить на прямій.
Пряму у просторі можна задати також параметричним рівнянням:

де t параметр, або рівнянням прямої, що проходить через дві задані точки і :
.
Звичайно, всі рівняння відповідають прямій у просторі і між ними існує певний зв’язок.
Площина і пряма у просторі можуть перетинатися під деяким кутом (, який визначається за формулою:
.
У разі виконання умови: пряма і площина па- ралельні, а якщо перпендикулярні. Умовою того, що пряма лежить на площині, є виконання співвідношень:

Приклад 1. Скласти рівняння площини, що проходить через вісь ОZ і утворює з площиною кут 60(, і знаходження її відстані до точки .
Рівняння шуканої площини можна записати у вигляді , тому що вона проходить через вісь OZ. Використаємо другу умову задачі: , з якої одержимо рівняння: або . Остаточно маємо, що умовам задачі задовольняють дві площини: і . Точка А лежить на першій площині, тому що , а відстань її до другої площини .
Приклад 2. Знайти напрямний вектор прямої

і кути, які вона утворює з осями системи координат.
Вектори і перпендикулярні до відповідних площин, що задають рівняння прямої, тому напрямний вектор прямої розташований перпендикулярно до кожного з векторів . Згідно з означенням векторного добутку векторів

Тобто: або . Кути з осями знайдемо за формулами: ; .
Приклад 3. Показати, що прямі
і
перетинаються, і написати рівняння площини, в якій вони роз- ташовані.
Дві прямі будуть лежати на одній площині, коли їх напрямні вектори і і вектор будуть компланарними. Точка лежить на першій прямій, а на другій. Вектор . Напрямний вектор . . Отже, прямі лежать на одній площині. Для запису рівняння цієї площини знайдемо вектор . Точка лежить на цій площині. Отже, маємо: або остаточно: .
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор. 90 – 96.


Тема 9
Гіпербола. Парабола. Властивості

Мета заняття Вивчити означення, виведення канонічного рівняння та властивості кривих: гіпербола та парабола.
Розвивати логічне мислення.

Студенти повинні знати: означення гіперболи, її рівняння, властивості; означення параболи, її рівняння, властивості.
Студенти повинні вміти: розв'язувати задачі, складати різні рівняня гіперболи; розв'язувати задачі, складати різні рівняння параболи; будувати ці криві в системі координат залежно від їх рівняння.

Основні питання теми
1.Означення гіперболи;
2.Розташування в системі координат;
3.Виведення канонічного рівняння;
4.Властивості: осі, вершини, фокуси, асимптоти, ексцентриситет, загальне рівняння, спряжені гіперболи, рівнобічна гіпербола;
5.Означення параболи;
6.Виведення канонічного рівняння параболи;
7.Властивості: вершина, фокус, директриса, вісь симетрії;
8.Розташування параболи в системі координат залежно від її рівняння;
2.5. Криві другого порядку
До кривих другого порядку належать: коло, еліпс, гіпербола, парабола. У загальному випадку їм відповідає рівняння:
13EMBED Equation.31415.
Шляхом перетворення системи координат із загального рівняння можна одержати канонічні рівняння кривих другого порядку:
кола: 13EMBED Equation.31415, де 13EMBED Equation.31415 координати центра кола, а 13EMBED Equation.31415 радіус кола;
еліпса: 13EMBED Equation.31415, де 13EMBED Equation.31415 півосі еліпса;
гіперболи: 13EMBED Equation.31415, де а дійсна, b уявна півосі гіперболи;
параболи: 13EMBED Equation.31415, де р параметр параболи.

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті
1.Множина точок площини, для кожної з яких відстань до заданої точки є величиною сталою, називається ...
а)еліпсом б)гіперболою
в)колом г)параболою
2.Множина точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок є величиною сталою, називається...
а)еліпсом б)гіперболою
в)колом в)параболою
3.Множина точок площини, для кожної з яких модуль різниці до двох заданих точок є величиною сталою, називається...
а)еліпсом б)гіперболою
в)колом г)параболою
4.Множина точок площини, для кожної з яких відстань до даної точки дорівнює відстані до даної прямої, називається...
а)еліпсом б)гіперболою
в)колом г)параболою
5.Якщо піввісі у гіперболи рівні між собою, то вона називається...
а)дійсною б)уявною
в)рівносторонньою г)квадратною
6.Відношення с/а для кривих другого порядку називається...
а)директрисою б)ексцентриситетом
в)фокусною відстанню г)довжиною дійсної осі
7.Пряма, відстань до якої від будь-якої точки параболи дорівнює відстані до фокуса, називається...
а)дотичною до параболи б)директрисою параболи
в)нормаллю до параболи г)січною параболи
8.Прямі, що задаються рівняннями у = -(b/a)x та у = +(b/a)х називаються...
а)директрисами гіперболи б)директрисами параболи
в)асимптотами гіперболи г)асимптотами еліпса
9.Вісь, яку перетинає гіпербола називається...
а)дійсною б)уявною
в)вертуальною г)прямою
10.Якщо у еліпса а < b, то його фокуси належать...
а)осі ОХ б)осі ОУ
в)великій осі еліпса г)малій осі еліпса
Завдання для самоперевірки
1.Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої розміщені на осі ОХ симетрично початку координат, якщо дійсна вісь дорівнює 6, а ексцентриситет
· = 5/3.
2.Знайти відстань фокуса гіперболи х2 – 8у2 = 8 від її асимптоти.
3.Встановити, що рівняння 16х2 – 9у2 – 64х – 54у – 161 = 0 визначає гіперболу. Знайти її центр і півосі.
4.Дослідити взаємне розміщення параболи у2 = х і прямої х + у – 2 = 0.
5.Знайти довжину хорди еліпса 4х2 + 9у2 = 36, яка проходить через його фокус перпендикулярно до великої осі.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор. 104 – 110.

Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.
Теми рефератів:
1.Скалярні й векторні величини.
2.Застосування кривих другого порядку.
3.Симетрія в природі.
Лекція „ Парабола”
Означення: Канонічним рівнянням параболи називається рівняння виду
(1)
Ця крива розміщена симетрично відносно осі х, оскільки заміна у на –у в її рівнянні не змінює його. Точка О перетину осі симетрії з параболою називається вершиною параболи (рис. 1).

Рис. 1
Ексцентристет параболи дорівнює одиниці, а тому . Важливою є так звана оптична властивість параболи, яка полягає в тому, що всі промені, паралельні осі х, після відбиття параболи потрапляють у її фокус F (рис. 2).

Рис. 2
Візьмемо довільну точку М(х, у) на параболі і проведемо дотичну в точці М. Кутовий коефіцієнт дотичної визначається так:
.
Доведемо, що кут падіння ( променя на дотичну дорівнює куту його відбиття (. Достатньо довести, що
тобто або .
Згідно з рис. 2 маємо:
Це й доводить оптичну властивість параболи.
Знайдемо координати фокуса параболи

( Беручи

дістанемо рівняння параболи виду (1)

Оскільки , то фокус F має координати . Отже, знаходимо координати фокуса
(
Гіпербола
Означення. Канонічним рівнянням гіперболи називаються рівняння
(1)
Ця крива розміщена симетрично відносно осей х та у. Початок координат є центром симетрії гіперболи. З рівняння

випливає, що .
1. Гіпербола утворена двома вітками, які містяться в області
.
( Справді, з рівняння (1) маємо:
.
Область, в якій розміщені вітки гіперболи, обмежені прямими
(2)

,


які називаються асимптотами гіперболи.


З рівняння

бачимо, що (у(зростає зі зростанням (х( при (рис. 3).
13EMBED Word.Picture.81415
Рис. 3
2. Розглянемо вітку гіперболи, яка визначається рівнянням
,
і доведемо, що при ця вітка наближається до асимптоти з рівнянням .
( Справді, маємо такі співвідношення:
.
Багато властивостей гіперболи аналогічні властивостям еліпса.
Означення. Пряма, що проходить через центр симетрії гіперболи, називається її діаметром. Центри всіх хорд гіперболи, що мають рівняння
,
лежать на діаметрі гіперболи, який подається рівнянням .
Діаметри гіперболи
(3)
називаються спряженими. Хорди гіперболи, паралельні одному й тому самому діаметру, поділяються спряженим діаметром пополам. Якщо дотична до гіперболи паралельна деякому діаметру, то спряжений діаметр проходить через точку дотику.
Рівняння дотичної до гіперболи в точці М0(х0, у0) подається у вигляді
. (4)
3. Знайдемо ексцентриситет гіперболи, скориставшись рівнянням (1). Для цього візьмемо
.
Остаточно при маємо:
,
або
(5)
Знайдемо ексцентриситет гіперболи
.
( Маємо: . (
4. Доведемо фокальну властивість гіперболи, яка може використовуватися для означення гіперболи.
Означення. Гіперболою називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величина стала.
Відстань між фокусами дорівнює 2с. Проведемо вісь х через фокуси і припустимо, що вісь у поділяє відрізок між фокусами пополам (рис. 4).

Рис. 4
Візьмемо

або
. (6)
Тут знак «+» для правої вітки гіперболи, а знак «–» для лівої.
Перетворимо це рівняння гіперболи, позбавившись від ірраціональності:

Отже,
(7)
Звідси:

Остаточно:

Роблячи заміну , дістаємо відоме канонічне рівняння гіперболи.
Рівняння (7) можна подати у вигляді
(8)
Знак «+» відповідає правій вітці гіперболи, знак «–» лівій.
5. Доведемо, що прямі є директрисами гіперболи (рис. 5).

Рис. 5
Для довільної точки на правій вітці гіперболи М(х, у) маємо:
.
Обчислюємо відношення фокальних радіусів до відстаней директрис:
.
Ці відношення сталі і дорівнюють ексцентриситету. Це й доводить, що прямі є директрисами.
Дано рівняння директрис гіперболи , відстані між фокусами якої дорівнюють 10. Записати канонічне рівняння гіперболи.
( З рівностей знаходимо , а далі записуємо рівняння . (
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор. 104 – 110.

Розділ „Вступ до математичного аналізу”
Тема 10

Числова послідовність. Границя числової послідовності. Теореми
про границі. Нескінченно малі та нескінно великі послідовності

Мета заняття Узагальнити та систематизувати знання студентів з теми. Вивчити теореми про границі послідовностей.
Розвивати логічне мислення.

Студенти повинні знати: означення числової послідовності та її границі; теореми про границі послідовностиі; правила знаходження границь ч.п.; поняття збіжної, розбіжної, нескінченно малої та нескеінченно великої послідовностей.
Студенти повинні вміти: задавати числову послідовність; знаходити члени послідовності за формулою її загального члена; знаходити границі числової послідовності.

Основні питання теми
1.Числова послідовність; способи завдання; властивості;
2.Границя числової послідовності; геометричне тлумачення границі;
3.Збіжні та розбіжні послідовності;
4.Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності;
5.Теореми про границі: необхідна умова існування границі, єдиність гра-ниці, про представлення послідовності сумою її границі та нескінченно малої послідовності, сума двох нескінченно малих послідовностей, до-буток обмеженої та нескінченно малої, границя суми двох послідовнос-тей, границя добутку двох послідовностей, границя частки двох послі-довностей, зв'язок між нескінченно малою та нескінченно великою по-слідовностями; теорема Вейєрштрасса;
6.Число е;

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті
1.Якщо областю визначення функції є множина натуральних чисел, то функція називається...
а)натуральною функцією б)похідною послідовністю
в)первісною функцією г)числовою послідовністю
2.Якщо для будь-якого числа
· існує такий номер N, що при всіх n > N виконується нерівність |аn – а| <
·, то число а називається...
а)обмеженням послідовності б)розбіжністю послідовності
в)границею послідовності г)збіжністю послідовності
3.Якщо послідовність не має границю, то вона називається...
а)збіжною б)розбіжною
в)нескінченно малою г)нескінченно великою
4.Якщо границя послідовності дорівнює "+" або " – " нескінченності, то вона називається...
а)збіжною б)розбіжною
в)нескінченно малою г)нескінченно великою
5.Якщо для будь-якого члена послідовності виконується нерівність: наступний член менший за попередній, то послідовність називається...
а)зростаючою б)спадною
в)незростаючою г)неспадною
6.Якщо послідовність аn нескінченно мала, то послідовність 1/аn буде...
а)обмеженою б)необмеженою
в)нескінченно великою г)нескінченно малою
7.Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу буде послідовністю...
а)обмеженою б)необмеженою
в)нескінченно великою г)нескінченно малою
8.Якщо послідовність має границю, то вона...
а)обмежена б)необмежена
в)стала г)неперервна
9.Будь – яка збіжна послідовність ...
а)має тільки одну границю б)не має границі
в)має завжди дві границі г)є розбіжною
10.Границя суми двох нескінченно малих послідовностей є послідовністю...
а)обмеженою б)необмеженою
в)нескінченно великою г)нескінченно малою

Завдання для самоперевірки
1.Записати перші шість членів числової послідовності
а) хn = (2n + 1)/n б)уn = (n + (-1)nn)/n
2.Довести, що наступна послідовність не має границі
хn = (n + 1)/n, n = 1,3,5,.
1/n, n = 2,4,6,
3.Куди прямують наступні послідовності?
а) хn = n!
б) yn = - n3
в) zn = n2cos
·n.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор. 149 – 155.
Лекція „Послідовність. Границя послідовності і функції”
Означення. Якщо задана закономірність, згідно з якою кожному натуральному числу 1, 2, 3, , відповідає деяке дійсне число, то говорять, що задано послідовність.
Послідовність можна розглядати як функцію, областю визначення якої є множина натуральних чисел.
13 EMBED Equation.3 1415
Послідовність визначається формулою, тобто законом, згідно з яким установлюється спосіб відповідності заданих чисел послідовним натуральним числам. Послідовність із загальним членом аn позначається 13 EMBED Equation.3 1415, або просто аn.
У прикладі: 13 EMBED Equation.3 1415.
Інший спосіб визначення послідовності полягає в застосуванні рекурсії: n-й член послідовності визначається за допомогою заданих 13 EMBED Equation.3 1415 попередніх членів послідовності.
Рекурсія 13 EMBED Equation.3 1415 визначає послідовність 0, 3, 6, 9, .
Рекурсія 13 EMBED Equation.3 1415 визначає послідовність 1, 2, 5, 27, 734, .
Приклади послідовностей.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415;
Обмежені та монотонні послідовності
Означення. Послідовність 13 EMBED Equation.3 1415 називається обмеженою, коли існує таке додатне число М, що нерівність
13 EMBED Equation.3 1415
виконується для всіх n.
Означення. Послідовність 13 EMBED Equation.3 1415 називається монотонно зростаючою (спадною), якщо
13 EMBED Equation.3 1415
для всіх n.
Визначити, які з наведених далі послідовностей обмежені, а які монотонні.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
( За означенням відповідно обмеженої та монотонної послідовності маємо:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 обмежена послідовність;
13 EMBED Equation.3 1415 монотонна спадна послідовність;
2) 13 EMBED Equation.3 1415 необмежена послідовність;
3) 13 EMBED Equation.3 1415 обмежена послідовність;
13 EMBED Equation.3 1415 монотонно спадна послідовність;
4) 13 EMBED Equation.3 1415 послідовність обмежена;
13 EMBED Equation.3 1415, оскільки
13 EMBED Equation.3 1415 послідовність монотонно зростаюча. (
Означення. Послідовність хn називається обмеженою зверху, якщо існує число m, таке що при всіх n = 1, 2, 3, виконується нерівність 13 EMBED Equation.3 1415.
Означення. Послідовність хn називається обмеженою знизу, якщо існує число m, таке що при всіх n = 1, 2, 3, виконується нерівність 13 EMBED Equation.3 1415.
Означення. Послідовність хn, не обмежена зверху або знизу, називається необмеженою.
Послідовність 13 EMBED Equation.3 1415, для якої
13 EMBED Equation.3 1415
обмежена зверху та знизу:13 EMBED Equation.3 1415.
Послідовність 13 EMBED Equation.3 1415, тобто
13 EMBED Equation.3 1415
обмежена зверху, але не обмежена знизу.
Означення. Множина довільних точок Х на числовій осі називається обмеженою зверху, якщо існує число т, таке що для всіх 13 EMBED Equation.3 1415 виконується нерівність 13 EMBED Equation.3 1415. Число т називається верхньою межею множини.
Означення. Множина довільних точок Х на числовій осі називається обмеженою знизу, якщо існує число m, таке що для всіх, 13 EMBED Equation.3 1415 виконується нерівність 13 EMBED Equation.3 1415. Число m називається нижньою межею множини.
Множина, для якої існують верхня та нижня межі, називається обмеженою.
Найменша серед верхніх меж називається супремумом і позначається 13 EMBED Equation.3 1415. Найбільша серед нижніх меж називається інфімумом і позначається 13 EMBED Equation.3 1415.
Означення. Точною верхньою межею множини Х називається значення 13 EMBED Equation.3 1415, таке що:
для будь-якого 13 EMBED Equation.3 1415 виконується нерівність 13 EMBED Equation.3 1415;
для будь-якого 13 EMBED Equation.3 1415 знайдеться значення 13 EMBED Equation.3 1415, таке що
13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогічно означується точна нижня межа множини Х.
Теорема. У будь-якої обмеженої множини існують точні верхня та нижня межі.
Збіжні та розбіжні послідовності
Означення. Число а називається границею послідовності 13 EMBED Equation.3 1415, якщо для кожного як завгодно малого додатного числа 13 EMBED Equation.3 1415 існує таке число 13 EMBED Equation.3 1415, що
13 EMBED Equation.3 1415 для всіх 13 EMBED Equation.3 1415.
Позначення: 13 EMBED Equation.3 1415.
Графічна ілюстрація
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 1
Означення. Послідовність, яка має границю, називається збіжною, а яка не має границі називається розбіжною.
Послідовність 13 EMBED Equation.3 1415 збіжна, оскільки існує 13 EMBED Equation.3 1415 (за означенням 13 EMBED Equation.3 1415 для будь-якого 13 EMBED Equation.3 1415).
Зауваження. Послідовність, границя якої дорівнює 0, називається нульовою послідовністю.
Послідовність 13 EMBED Equation.3 1415 розбіжна, оскільки не має границі. Вона почергово набуває значення + 1 і – 1.
Властивості збіжних послідовностей
Теорема 1. Границя сталої дорівнює цій сталій:
13 EMBED Equation.3 1415.
Доведення. Справді, 13 EMBED Equation.3 1415 для всіх n, тому
13 EMBED Equation.3 1415. (
Теорема 2. Якщо послідовність хn має границю, то ця границя єдина.
Доведення. Припустимо супротивне. Нехай 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, причому 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Для визначеності візьмемо, що 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415, то знайдеться число N, таке що при 13 EMBED Equation.3 1415 виконується нерівність
13 EMBED Equation.3 1415. (1)
А оскільки водночас 13 EMBED Equation.3 1415, то знайдеться число N2, таке що при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. (2)
Візьмемо 13 EMBED Equation.3 1415. При 13 EMBED Equation.3 1415 одночасно виконуються обидві нерівності (1), (2).
Оцінімо
13 EMBED Equation.3 1415,
тобто 13 EMBED Equation.3 1415.
Це неправильна (хибна) нерівність. Дістали суперечність, яка й доводить теорему.(
Теорема 3. Послідовність хn, яка має границю, є обмеженою.
Доведення. Нехай 13 EMBED Equation.3 1415. Візьмемо довільне 13 EMBED Equation.3 1415, наприклад ( = 1. Тоді знайдеться число N, таке що при всіх 13 EMBED Equation.3 1415 виконуватиметься нерівність 13 EMBED Equation.3 1415. Звідси випливає:
13 EMBED Equation.3 1415.
Позначимо
13 EMBED Equation.3 1415.
Тоді для всіх n
13 EMBED Equation.3 1415,
тобто послідовність хn обмежена.(
Теорема 4. Нехай 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді знайдеться число N, таке що при будь-якому 13 EMBED Equation.3 1415 справджуватиметься нерівність
13 EMBED Equation.3 1415.
Доведення. Візьмемо довільне значення (, наприклад 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді знайдеться число N, таке що при 13 EMBED Equation.3 1415 виконується нерівність 13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді 13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема 5. Нехай 13 EMBED Equation.3 1415. Якщо послідовність xn при всіх n задовольняє нерівність 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415.
Доведення. Припустимо супротивне, тобто 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Тоді згідно з теоремою 4 можна стверджувати, що починаючи з деякого номера n виконуватиметься нерівність
13 EMBED Equation.3 1415.
А це суперечить умові теореми. Отже, припущення неправильне. (
Теорема 6. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Доведення. Припустимо супротивне. Нехай 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді згідно з теоремами 4 і 5, починаючи з деякого номера виконуватимуться нерівності
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Тоді 13 EMBED Equation.3 1415, що суперечить умові. Отже, припущення неправильне. (
Означення. Перехід від нерівності 13 EMBED Equation.3 1415 до нерівності 13 EMBED Equation.3 1415 називається граничним переходом у нерівності.
Теорема 7 (про «охоплену» послідовність або теорема про двох міліціонерів). Нехай виконується нерівність 13 EMBED Equation.3 1415. Якщо послідовності хn і уn збіжні, причому 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, то послідовність un також буде збіжною і 13 EMBED Equation.3 1415.
Доведення. Візьмемо довільне 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді знайдеться число N, таке що при 13 EMBED Equation.3 1415, виконується нерівність 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогічно, знайдеться число N2, таке що при 13 EMBED Equation.3 1415 виконується нерівність 13 EMBED Equation.3 1415. Візьмемо 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді при 13 EMBED Equation.3 1415 виконуються одночасно обидві нерівності
13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415
Розглянувши підкреслені нерівності, запишемо:
13 EMBED Equation.3 1415.
Остаточно дістанемо 13 EMBED Equation.3 1415, або 13 EMBED Equation.3 1415, тобто для довільного 13 EMBED Equation.3 1415 можна знайти N, таке що при 13 EMBED Equation.3 1415 виконується нерівність 13 EMBED Equation.3 1415, що означає, що 13 EMBED Equation.3 1415. (
Розглянемо послідовність 13 EMBED Equation.3 1415.
При всіх n виконується нерівність 13 EMBED Equation.3 1415.
Оскільки 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415.(
Теорема 8. (Больцано–Вейєрштрасса). Будь-яка монотонна обмежена послідовність має границю.
Доведення. Розглянемо множину значень послідовності 13 EMBED Equation.3 1415. Ця множина обмежена, тому вона має точну верхню і нижню межі. Для визначеності вважатимемо, що послідовність хn монотонно зростає.
Позначимо 13 EMBED Equation.3 1415 і доведемо, що 13 EMBED Equation.3 1415 При всіх n за умовою теореми виконується нерівність 13 EMBED Equation.3 1415 Візьмемо довільне 13 EMBED Equation.3 1415 За означенням точної верхньої межі можна знайти значення 13 EMBED Equation.3 1415, таке що 13 EMBED Equation.3 1415. Оскільки послідовність монотонно зростає, то при 13 EMBED Equation.3 1415 маємо 13 EMBED Equation.3 1415
Із нерівностей 13 EMBED Equation.3 1415 випливає: 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415
Це означає, що 13 EMBED Equation.3 1415 (
Число е
Розглянемо послідовність чисел 13 EMBED Equation.3 1415. Обчислимо кілька перших значень членів послідовності:
13 EMBED Equation.3 1415
Доведемо, що послідовність хn монотонно зростає. За формулою бінома Ньютона маємо:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Замінимо в цьому розкладі n на n + 1. Тоді число доданків збільшиться на одиницю.
Далі маємо:
13 EMBED Equation.3 1415
Кожний вираз, що містить n, зростає, тобто 13 EMBED Equation.3 1415.
Доведемо обмеженість послідовності хn.
У формулі (3) значення кожного виразу в дужках менше від одиниці. Отже,
13 EMBED Word.Picture.8 1415
За формулою суми геометричної прогресії маємо:
13 EMBED Equation.3 1415
Звідси
13 EMBED Equation.3 1415
За теоремою Больцано–Вейєрштрасса послідовність 13 EMBED Equation.3 1415 має границю.
Означення. Границя послідовності 13 EMBED Equation.3 1415 називається числом е.
Позначення:
13 EMBED Equation.3 1415
Число е* (так зване Неперове число).

Для кращого розуміння означення границі послідовності розглянемо приклади:
Приклад. Використовуючи означення границі послідовності довести, що .
Згідно з означенням границі послідовності для довільного треба знайти такий номер елемента послідовності N, що для всіх виконувалася б нерівність . Нехай вибрано , за цим ( розглянемо , тоді і для будь-якого маємо: .
Проілюструємо одержаний результат табличкою:
(
0,5
0,1
0,01
0,001
0,0001


N
3
11
101
1001
10001


Тоді при , починаючи з , відповідні п можна брати з послідовності Для них . Якщо , а , то тепер п можна брати з послідовності і знову нерівність виконується. Отже, для будь-якого навіть нескінченно малого значення ( можна знайти N, що для всіх нерівність виконується. Це й означає, що .
Приклад. Використовуючи означення границі функції, довести, що .
Згідно з означенням границі функції для будь-якого треба знайти таке , що для тих х, для яких виконується не- рівність , виконується й нерівність . Нехай вибрано деяке , за ним знайдемо . Тоді . Повернемося до нерівності: . Тобто доведено, що .
З наведених прикладів зрозуміло, що завдання знаходження границі послідовності і функції з використанням означення досить складне. Формально для знаходження границі треба у вираз функції підставити число, до якого прямує х. Якщо в результаті підстановки одержується число, то воно дорівнює границі функції, але, як правило, за такої підстановки одержують так звану невизначеність вигляду: і т. п. Для розкриття невизначеності дещо перетворюють вираз функції, що стоїть під знаком границі, і використовують відповідні теореми теорії границь або одну з особливих границь.
Приклади. Знаходження границь:
1) .
2) .
3) .
4)  .
5)  .
6)  .
7) 
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор. 149 – 155.


Тема 11
Неперервність функції в точці і на проміжку. Точки розриву

Мета заняття Вивчити та засвоїти поняття неперервності функції в точці та на проміжку, точок розриву. Навчитися визначати види точок розриву. Розвивати різні способи і прийоми мислення.

Студенти повинні знати: поняття неперервность функції в точці і на проміжку; точки розриву функції.
Студенти повинні вміти: з'ясовувати неперервність функції в точці і на проміжку, класифікувати точки розриву.

Основні питання теми
Вивчаючи функцію, ми називаємо однією з властивостей неперервність функції. Візуально ми розуміємо (дивлячись на графік), яка функція є непе-рервною, а яка розривна. Наприклад, функція у = х2 є неперервною, а у = [х], як можна побачити, є розривною. Отже, розглянемо математичне означення неперервності функції та властивості неперервних функції.
1.Означення неперервності функції в точці та на проміжку;
2.Властивості неперервних функцій;
3.Поняття точки розриву функції;
4.Класифікація точок розриву;
5.Приклади.

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті
1.Якщо границя функції f(х) в точці х=а і значення цієї функції в точці х=а рівні, то функція називаєтьсяв цій точці ...
а)диференційовною б)неперервною
в)розривною г)обмеженою
2.Якщо в точці не існує хоча б однієї з односторонніх границь функції, то ця точка називається ...
а)точкою усувного розрива б)точкою неперервності функції
в)точкою розрива другого рода г)точкою стрибка функції
3.Якщо в даній точці області визначення функції односторонні границі існують, але не рівні між собою. то така точка називається...
а)точкою усувного розрива б)точкою неперервності функції
в)точкою розрива другого роду г)точкою стрибка функції
4.Різниця двох значень функції називається...
а)прирістом функції б)прирістом аргументу
в)спадом функції г)зростанням аргументу
5.Різниця двох значень аргументів називається...
а)прирістом функції б)прирістом аргументу
в)спадом функції г)зростанням аргументу
6.Коли при знаходженні границі функції в точці х 0 значення аргументів знаходяться тільки праворуч від даної точки х0, то така границя називається...
а)лівосторонньою б)правуосторонньою
в)односторонньою г)неіснуючою
7.Коли нескінченно малому прирісту аргумента відповідає нескінченно малий приріст функції, то така функція називається...
а)диференційовною б)неперервною на проміжку
в)розривною на проміжку г)обмеженою в точці
8. Коли при знаходженні границі функції в точці х 0 значення аргументів знаходяться тільки ліворуч від даної точки х0, то така границя називається...
а)лівосторонньою б)правуосторонньою
в)односторонньою г)неіснуючою

Завдання для самоперевірки
Визначити неперервність наступних функцій в заданих точках
а) у = 1/х в т.х = 0
б) у = х2 + х в т. х = 1,2,5
в) у = 2х – 4 в.т. х = -3
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик„Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор. 183 – 189.

Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.
Теми рефератів:
1.Леонард Ейлер та його трансцендентні числа е та
·.
2.Порівняння нескінченно малих функцій.
3.Властивості функцій, неперервних на відрізку.

ЛЕКЦІЯ „Неперервність функції”
Основні поняття
Означення
(Коші)
Функція у = f(x) називається неперервною в точці х0 функцією, якщо ця функція f визначена в точці х0 і для кожного (достатньо малого) числа 13EMBED Equation.31415 існує число 13EMBED Equation.31415, таке що при 13EMBED Equation.31415 виконується
13EMBED Equation.31415

або
f(x) неперервна в точці х0, якщо 13EMBED Equation.31415.

Відношення 13EMBED Equation.31415 можна переписати у вигляді
13EMBED Equation.31415
Графічна ілюстрація
13EMBED Word.Picture.81415
Рис. 1
Пояснення. Функція y = f(x) неперервна в точці х0, якщо при будь-якому х з інтервалу 13EMBED Equation.31415 значення f(x) лежать у смузі 13EMBED Equation.31415.
Дамо означення неперервності функції, еквівалентні означенню Коші
Означення. Функція y = f(x) називається неперервною в точці х0, якщо
f(x) визначена в точці х0;
границя зліва в точці х0 дорівнює границі справа в цій точці і дорівнює значенню в ній функції (рис. 2):
13EMBED Equation.31415.
13EMBED Word.Picture.81415
Рис. 2
Означення. Функція у = f(x) називається неперервною в точці х0, якщо нескінченно малому приросту аргументу 13EMBED Equation.31415 відповідає нескінченно малий приріст функції 13EMBED Equation.31415.
Приклад. Довести за означенням, що функції y = x2 і y = sin x неперервні в будь-якій точці х0 ( R.
( 1. Надамо аргументу х0 ( R приросту (х, тоді 13 EMBED Equation.3 1415 13EMBED Equation.31415.
Якщо (х нескінченно мала величина, то (у також нескінченно мала величина, оскільки коли (х ( 0, то і (у ( 0. Отже, y = x2 неперервна функція при будь-якому х0 ( R.
2. Надамо аргументу х0 ( R приросту (х:
13EMBED Equation.31415
Якщо (х ( 0, то (у ( 0. Отже, функція y = sin x неперервна функція при будь-якому х0 ( R.
Означення. Функція у = f(x) неперервна на проміжку (а, b), якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.
Означення. Функція у = f(x) неперервна на відрізку [а, b], якщо вона неперервна на проміжку (а, b) і неперервна в точці х = а справа і в точці х = b зліва.
Означення. Функція у = f(x) називається неперервною в точці х0 справа (зліва), якщо
13EMBED Equation.31415
Функція 13EMBED Equation.31415
неперервна в точці х0 зліва (рис. 3).
13EMBED Word.Picture.81415
Рис. 3
Теорема 1. Усі елементарні функції неперервні на інтервалах визначеності.
Властивості неперервних функцій
Теорема 2. Нехай функції у = f(x) i y = g(x) неперервні на інтервалі (а, b). Тоді їх наведені далі комбінації також неперервні:
1) f(x) ( g(x); 3) const g(x);
2) f(x) g(x); 4) f(x) / g(x), g(x) ( 0.
Теорема 3. Якщо функція у = f(x) неперервна в будь-якій точці х0 і u = F(y) неперервна в точці f(x0), то їх композиція f о F cкладена функція і u = F(f(x)) неперервна в точці х0.
Доведення. За означенням
13EMBED Equation.31415
Довести, що функція
13EMBED Equation.31415
неперервна в будь-якій точці х.
( Функція у є композицією двох неперервних функцій
13EMBED Equation.31415 і 13EMBED Equation.31415
Функція f(x) і F(x) неперервна згідно з теоремою 1, а їх композиція f о F неперервна за теоремою 3. (
Розриви функції
Означення. Функція у = f(x), яка не є неперервною в точці х0, називається розривною в цій точці.
Можливі варіанти розриву функцій в точці
13EMBED Word.Picture.81415
13EMBED Equation.31415 (рис. 4)

Рис. 4

13EMBED Word.Picture.81415
13EMBED Equation.31415 (рис. 5).

Рис. 5

13EMBED Word.Picture.81415
13EMBED Equation.31415 (рис. 6)

Рис. 6
Означення.
Точка х0 називається точкою розриву першого роду функції у = f(x), якщо існують скінченні границі
13EMBED Equation.31415 і при цьому:


1. 13EMBED Equation.31415
або
2. 13EMBED Equation.31415
або
3. 13EMBED Equation.31415
або
неусувний розрив 1-го роду;


4. 13EMBED Equation.31415 усувний розрив 1-го роду



Означення.
Точка х0 називається точкою розриву 2-го роду функції у = f(x), якщо одна із границь
13EMBED Equation.31415
не існує або нескінченна.

Методика дослідження функції у = f(x) на неперервність
Знаходимо точку х0 «підозрілу» на розрив. Це може бути точка, в якій функція невизначена або змінює закон визначеності.
Визначаємо інтервали неперервності функції.
Обчислюємо
13EMBED Equation.31415.
4. Робимо висновок згідно з теоремами (якщо такі границі існують), або використовуючи означення точок розриву.
Дослідити на неперервність функцію
13EMBED Equation.31415
13EMBED Word.Picture.81415
Рис. 7
Точка х0 = 1 є «підозрілою» на розрив, оскільки в ній функція змінює закон визначеності (на проміжку (– (; 1) маємо у = х, на проміжку (1, +() іншу залежність: у = х + 1).
Функція неперервна на проміжках (– (; 1) і (1; + ().
Знаходимо
13EMBED Equation.31415.
4. 13EMBED Equation.31415, тому за означенням функція 13EMBED Equation.31415 має в точці х = 1 неусувний розрив 1-го роду.
Дослідити на неперервність функцію
13EMBED Equation.31415
( 1. Точка х0 = 0 є «підозрілою» на розрив, оскільки в ній функція змінює закон визначеності.
2. (– (; 0) 13EMBED Equation.31415 (0; + () множина, де функція неперервна.
3. Знаходимо
13EMBED Equation.31415
1 = 1 =1 функція неперервна в точці х0 = 0 за означенням неперервної функції. Отже, інтервалом неперервності функції 13EMBED Equation.31415.
Наслідки з формул для визначних границь
1. 13EMBED Equation.31415 2. 13EMBED Equation.31415 3. 13EMBED Equation.31415.
4. 13EMBED Equation.31415. 5. 13EMBED Equation.31415
Досліджуючи функції на неперервність, слід пам’ятати, що елементарна функція може мати розрив тільки в окремих точках, в яких вона невизначена. Неелементарна функція може мати розриви у точках, де вона невизначена, а також у тих точках, при переході через які змінюється її аналітичний вираз.
Дослідження функції на неперервність полягає в знаходженні точок, в яких можливий розрив, з подальшою перевіркою умов неперервності функції. Перевірка умов переважно зводиться до знаходження односторонніх границь функції, коли х прямує до можливої точки розриву зліва або справа, і до подальшого порівняння значень цих границь, якщо вони існують.
Приклад. Дослідити на неперервність функції:
1) ;
2) ;
3) ,
схематично побудувати їх графіки.

1) . Можливі точки розриву (функція невизначена в цих точках): . Оскільки функція парна, то її поведінка в околі цих точок однакова. Дослідимо точку . Функція визначена в околі цієї точки, знайдемо і . Отже, односторонні границі не існують, тому в точці і аналогічно в точці функція має розрив другого роду.

2) . Точка можливого розриву . Знайдемо , . Обидві односторонні границі функції існують, але нерівні між собою. В точці функція має розрив першого роду, стрибок.



3) . Точка можливого розри- ву . Знайдемо . Односторонні грани- ці існують, але нерівні між собою. В точці функція має розрив першого роду.

Приклад. Дослідження на неперервність функції:

При якому значенні а функція буде неперервною? Побудувати схематично графік при різних значеннях а.
Задана функція не є елементарною, хоча на кожному з проміжків вона задається елементарними функціями. Можлива точка розриву є точка переходу від одного аналітичного виразу до іншого . Знайдемо односторонні границі: . Згідно з означенням, якщо границі рівні між собою і рівні значенню функції в точці , то функція буде неперервною. Отже, для неперервності маємо умову . При функція неперервна в точці , а при інших значеннях а в цій точці розрив першого роду.

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик„Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор. 183 – 189.

Розділ”Диференціальне числення функції однієї змінної”
Тема 12
Задачі, що приводять до поняття похідної. Означення похідної. Фізичний та геометричний зміст похідної. Таблиця похідних. Похідна складеної та оберненої функцій

Мета заняття Узагальнити та систематизувати знання про похідну, виховувати вміння самостійно відпрацьовувати тему, розвивати логічне мислення.

Студенти повинні знати: означення похідної функції в точці, фізичний та геометричний зміст похідноїї; таблицю похідних основних елементарних функцій; основні формули диференціювання.
Студенти повинні вміти: знаходити похідні за означенням та за таблицею; користуватися правилами диференціювання.

Основні питання теми
1.Задачі, що приводять до поняття похідної (задача про миттєву швидкість руху точки, миттєву силу струму і т.п.); фізичний зміст похідної функції в точці;
2.Означення похідної функції в точці;
3.Геометричний зміст похідної функції в точці;
4.Таблиця похідних;
5.Похідна складеної функції;
6.Похідна оберненої функції
7.Приклади.

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті
1.Якщо існує границя відношення прирісту функції до прирісту аргумента, коли приріст аргумента наближається до нуля, то значення цієї границі називається........
а)границею функції в точці б)неперервністю функції в точці
в)похідною функції в точці г)первісною функції в точці
2.Знаходження похідних від функції f(х) називається......
а)зростанням функції б)спаданням функції
в)інтегруванням функції г)диференціюванням функції
3.Швидкість в даний момент часу - це..........зміст похідної.
а)фізичний б)геометричний
в)алгебраїчний г)механічний
4.Якщо функція описує деякий фізичний процес, то її похідна - є миттєвою швидкістю зміни процесу. В цьому полягає .............. зміст похідної.
а)фізичний б)геометричний
в)алгебраїчний г)механічний
5.Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої у=f(х) в даній точці є ...
а)інтегралом функції f(х) б)похідною функції f(х)
в)приростом функції f(х) г)первісною функції f(х)
6.Тангенс кута нахилу дотичної до кривої у=f(х) в даній точці є ..
а)інтегралом функції f(х) б)похідною функції f(х)
в)приростом функції f(х) г)первісною функції f(х)
7.Граничне положення січної КМ, коли точка М по графіку функції у=f(х) наближається до точки K називається....
а)первісною функції в точці К
б)похідною функції в точці К
в)нормаллю до графіка функції в точці К
г)дотичною до графіка функції в точці К
8..Пряма, що проходить перпендикулярно дотичній до графіка функції в точці дотику називається....
а)первісною функції б)похідною функції
в)нормаллю функції г)дотичною функції
9.Похідна сталої функції...
а)не існує б)дорівнює 0
в)дорівнює соs х г)дорівнює sin х
10.Похідна суми двох функції...
а)не існує б)дорівнює 0
в)дорівнює сумі похідних г)дорівнює добутку похідних

Завдання для самоперевірки
1.Як знайти похідну, виходячи з її означення?
2.Довести, користуючись означенням, що
(3х2 – 5х + 2)' = 6х – 5;
3.Дати означення диференційованої функції в точці і на проміжку.
4.Який клас функцій ширший: неперервних в точці х = х0 чи диференційовних в цій точці? Навести приклади.
5. Нехай витрати виробництва є функцією кількості випущеної продукції: . Знайти середні і граничні витрати виробництва за обсягу випущеної продукції, що дорівнює 10 грошовим одиницям.
6. Обсяг виготовленої продукції у (ум. од.) цеху протягом робочого дня виражається такою функцією , де t кількість годин роботи. Знайти обсяг випуску продукції через 2 години після початку робочого дня.
7. У якій точці дотична до параболи : 1) паралельна осі ОХ; 2) утворює кут 45( з віссю ОХ?
8. У яких точках кутовий коефіцієнт дотичної до параболи дорівнює 3?
9. Під якими кутами перетинаються парабола і пряма ?
10. Під яким кутом перетинаються гіпербола і парабола ?
11. Скласти рівняння дотичних до кривої :
1) в точці ;
2) в точці перетину з віссю OY.
12. Задано криву . Скласти рівняння дотичних:
1) в точках перетину її з прямою ;
2) паралельної і перпендикулярної до цієї прямої;
3) що проходять через точку .
13. Скласти рівняння спільних дотичних до кривих і .
14.Знайти похідні функцій:
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .

Для кращого засвоєння цієї теми можна порадити виконати завдання на сторінках 203, 218.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор. 191 – 218.

Лекція „Похідна”
Під час вивчення економічних понять, таких, наприклад, як попит, витрати виробництва, національний прибуток, часто доводиться визначати швидкість зміни значень відповідних величин. Розв’язуючи такі задачі, застосовують методи диференціального числення.
Поняття похідної
Нехай у = f(x) є неперервна функція аргументу х, визначена на інтервалі (a, b). Візьмемо деяке значення незалежної змінної х і надамо її деякого приросту (х. Тоді функція y = f(x) набуде приросту
(у = f(x + (x) – f(x) (рис. 1).
Означення. Відношення 13 EMBED Equation.3 1415 приросту (у функції у = f(x) до приросту 13 EMBED Equation.3 1415 незалежної змінної х називається диференціальним відношенням:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис.1
Відношення 13 EMBED Equation.3 1415 є тангенсом кута нахилу січної до осі Ох. При 13 EMBED Equation.3 1415 січна прямує до дотичної в точці Р. Тангенсом кута ( нахилу дотичної до осі Ох при цьому буде границя відношення
13 EMBED Equation.3 1415.
Означення.
Функція у = f(x) називається диференційовною в точці х = х0, якщо існує границя
13 EMBED Equation.3 1415.
(2)

Значення границі при цьому називається похідною функції у = f(x) у точці х0 і позначається
Позначення. 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415



Означення. Функція називається диференційовною на інтервалі І, якщо вона диференційовна в кожній точці х цього інтервалу.
Кожному значенню х із області диференційовності функції f (x) ставиться у відповідність її похідна в точці х. Отже, дістаємо похідну функцію, яку позначаємо f( (x). Дія відшукання похідної функції f (x) називається диференціюванням.
Розглянемо функцію 13 EMBED Equation.3 1415 і знайдемо диференціальне відношення та похідну цієї функції.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 2
( Диференціальне відношення визначаємо за формулою (1):
13 EMBED Equation.3 1415.
Похідну знаходимо за (2): 13 EMBED Equation.3 1415. (
Похідні основних елементарних функцій
1. Похідна степеневої функції
13 EMBED Equation.3 1415.
( Диференціальне відношення (1) має такий вигляд:
13 EMBED Equation.3 1415.
Згідно з наслідком 5 маємо:
13 EMBED Equation.3 1415.
Отже, 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 (
2. Похідна показникової функції
13 EMBED Equation.3 1415
( Диференціальне відношення (1) дорівнює
13 EMBED Equation.3 1415.
Згідно з наслідком 4 маємо:
13 EMBED Equation.3 1415.
Отже,
13 EMBED Equation.3 1415.
У частинному випадку при а = е дістаємо:
13 EMBED Equation.3 1415. (
3. Похідна логарифмічної функції
13 EMBED Equation.3 1415
( Записуємо диференціальне відношення (1):
13 EMBED Equation.3 1415
Користуючись другою визначною границею, дістаємо
13 EMBED Equation.3 1415.
Отже, при 13 EMBED Equation.3 1415 шукана похідна подається так:
13 EMBED Equation.3 1415
Зокрема, коли а = е, маємо:
13 EMBED Equation.3 1415. (
4. Похідні тригонометричних функцій
13 EMBED Equation.3 1415
( 1. Для функції у = sinx диференціальне відношення (1) подається так:
13 EMBED Equation.3 1415.
Згідно з першою визначною границею маємо:
13 EMBED Equation.3 1415.
Отже,
13 EMBED Equation.3 1415.
2. Аналогічно для функції у = cosx дістаємо:
13 EMBED Equation.3 1415
3. Для функції у = tgх диференціальне відношення (1) набуває вигляду:
13 EMBED Equation.3 1415
Згідно з наслідком 1 13 EMBED Equation.3 1415.
Отже,
13 EMBED Equation.3 1415.
4. Аналогічно для функції у = ctgx записуємо:
13 EMBED Equation.3 1415(
Правила диференціювання
Правило 1. Похідна сталої дорівнює нулеві
(сonst)( = 0.

( 13 EMBED Equation.3 1415(рис. 3). (
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 3
(7)( = 0; (– 100)( = 0.
Правило 2. Якщо u будь-яка диференційовна функція від х і с довільна стала, то (cu) ( = cu(.

(13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(13 EMBED Equation.3 1415 (
Правило 3. Якщо u та v диференційовні функції від х, то їх сума u + v є диференційовною функцією:
13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогічно, похідна суми будь-якого скінченного числа диференційовних функцій дорівнює похідним цієї функції:
13 EMBED Equation.3 1415.

( Нехай у = u + v. Якщо (u і (v прирости функцій u та v відносно приросту (х аргументу х, то приріст функції у такий:
13 EMBED Equation.3 1415.
Остаточно маємо:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (
Знайти похідну функції 13 EMBED Equation.3 1415.
(13 EMBED Equation.3 1415.(
Правило 4. Добуток двох диференційовних функцій u та v є диференційовною функцією
13 EMBED Equation.3 1415.

( Нехай у = uv, де u і v диференційовні функції від х;
·х приріст аргументу х; (u і (v прирости u і v. Тоді приріст функції у буде такий:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 4).
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 4
Отже,
13 EMBED Equation.3 1415.
Коли (х прямує до нуля, маємо:
13 EMBED Equation.3 1415.
Тоді
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415(
Похідна добутку n функцій:
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Знайти у(, якщо у = (х2 +1) lnx.
( 13 EMBED Equation.3 1415.
Правило 5. У точках, в яких 13 EMBED Equation.3 1415, відношення 13 EMBED Equation.3 1415 двох диференційовних функцій є функція диференційовна, причому
13 EMBED Equation.3 1415.

( Розглянемо точки, в яких виконуються умови: 13 EMBED Equation.3 1415; u i v диференційовні.
Нехай х набуває приросту (х; (у, (u, (v відповідні прирости функцій у, u і v.
Якщо 13 EMBED Equation.3 1415 в точці х, 13 EMBED Equation.3 1415, коли (х близьке до нуля. Тоді виконується рівність
13 EMBED Equation.3 1415.
Віднімаючи від неї вираз 13 EMBED Equation.3 1415, дістаємо:
13 EMBED Equation.3 1415,
або
13 EMBED Equation.3 1415.
Якщо (х прямує до 0, маємо:
13 EMBED Equation.3 1415. (
Знайти у(, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
( 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. (
Похідна оберненої функції
Теорема 1. Якщо функція у = f(x) монотонна й має в точці х відмінну від нуля похідну, то функція, обернена до даної, подається у вигляді х = g(y) і має похідну х = g(y), обернену до похідної даної функції:
13 EMBED Equation.3 1415. (4)
Похідні обернених тригонометричних функцій:
13 EMBED Equation.3 1415
( Якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то для функцій 13 EMBED Equation.3 1415 оберненими є відповідно такі:
13 EMBED Equation.3 1415
За теоремою 1 маємо:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415. (
Похідна складної функції
Правило 6.
Теорема 2. Похідна складної функції 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
правило ланцюга.

Доведення. Позначимо u = ((х). Тоді у = f(u). Знайдемо прирости функцій у = f(u), u = ((x):
13 EMBED Equation.3 1415
Далі запишемо диференціальне відношення (1):
13 EMBED Equation.3 1415
Коли 13 EMBED Equation.3 1415то й 13 EMBED Equation.3 1415. Тому
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. (

Задана функція у = f(x). Знайти у(.
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.
( 1) За формулою (5) маємо:
13 EMBED Equation.3 1415
2) Візьмемо: 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді за правилом 4
13 EMBED Equation.3 1415.
Функції 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 складні. Згідно з (5) маємо:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
3) Нехай 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді за правилом 5 дістаємо:
13 EMBED Equation.3 1415.
Похідні функцій arctgx3 і 13 EMBED Equation.3 1415 обчислюємо за формулою (5):
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
стор. 191 – 218.


Тема 13
Диференціал функції, його геометричний зміст. Властивості. Застосування диференціала в наближених обчисленнях
Мета заняття Засвоєння поняття диференціалу функції в точці; формування уміння знаходити диференціали та застосовувати їх при наближених обчисленнях.
Виховувати розумову культуру, культуру усного і писемного мовлення; розвивати логічне мислення.

Студенти повинні знати: поняття диференціалу функції, його геометричний зміст, властивості.
Студенти повинні вміти: знаходити диференціал функції, застосовувати його в наближених обчисленнях.

Основні питання теми
Ми знаємо, що процес знаходження похідних називається диференціюванням. Але в математичному аналізі є поняття диференціала функції в точці як самостійне. Що це таке і для чого, ви повинні вивчити в цій темі
1.Поняття диференціала функції в точці; позначення;
2.Властивості диференціала;
3.Геометричний зміст диференціала;
4.Застосування диференціала в наближених обчисленнях;
5.Приклади

Завдання для самоперевірки
Закінчте вирази:
1. Похідною функції у точці х називається
2. Дотичною до графіка функції у точці М називається
3. Геометричний зміст похідної функції полягає в тому, що 
4. Фізичний зміст похідної функції полягає в тому, що
5. Економічний зміст похідної функції полягає в тому, що 
6. Функція називається диференційовною в точці х, якщо
7. Вказати правильне твердження:
а) якщо функція неперервна в точці х, то вона диференційовна в ній;
б) якщо функція диференційовна в точці х, то вона неперервна в цій точці.
8. Диференціалом функції називається
9. Геометричний зміст диференціала полягає в тому, що 
10. Якщо існують похідні функцій і , то:
а) (довести);
б) (довести);
в) (довести).
11. Сформулювати і довести теорему про похідну складної функції.
12. Сформулювати і довести теорему про похідну оберненої функції.
13. Еластичністю функції називається
14. Якщо існують еластичності та функцій і , то:
а) (довести);
б) (довести).
15. Попит називається еластичним, якщо
16. Попит називається нееластичним, якщо
17. Знайти відношення для функцій:
1) при
2) при
3) при .
18. Використовуючи означення похідної як , знайти похідні функцій:
1) ; 2) ;
3) ; 4)
5) ; 6) ;
7) ; 8).
19. Нехай витрати виробництва є функцією кількості випущеної продукції: . Знайти середні і граничні витрати виробництва за обсягу випущеної продукції, що дорівнює 10 грошовим одиницям.
20. Обсяг виготовленої продукції у (ум. од.) цеху протягом робочого дня виражається такою функцією , де t кількість годин роботи. Знайти обсяг випуску продукції через 2 години після початку робочого дня.
21. У якій точці дотична до параболи : 1) паралельна осі ОХ; 2) утворює кут 45( з віссю ОХ?
22.Знайти диференціал функції у = lnsin 2х: а)при довільних значеннях х і
·х; б)при х =
·/8; в) при х =
·/8 і
·х = 0,1.
23.Обчислити наближено arсtg 1,05.
24.Знайти диференціал функції у = lnsin 2х: а)при довільних значеннях х і
·х; б)при х =
·/8; в) при х =
·/8 і
·х = 0,1.
25.Обчислити наближено arсtg 1,05.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001,
гл.5, стор. 218 – 222.
Лекція „диференціал”
Нехай функція у = f(x) диференційовна в інтервалі 13 EMBED Equation.3 1415. З означення диференційовності маємо:
13 EMBED Equation.3 1415
Звідси можна записати:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
де функція 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 задовольняє умову
13 EMBED Equation.3 1415
Із (1) для приросту функції дістаємо:
13 EMBED Equation.3 1415
Покладемо, що 13 EMBED Equation.3 1415.
Означення. Величина f((x)(х називається диференціалом функції f(x) за приростом (х.
Позначення: 13 EMBED Equation.3 1415
Геометрична інтерпретація:
Диференціал 13 EMBED Equation.3 1415 є лінійним наближенням (апроксимацією) до приросту функції: 13 EMBED Equation.3 1415. Наскільки менше 13 EMBED Equation.3 1415, настільки краще наближення (апроксимація) (рис. 1).
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 1
Нехай 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдемо диференціал df(x) і приріст (f(x) для 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 і порівняємо їх.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 2
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 2).
2) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. (
Правила обчислення диференціала
Правило 1. Нехай 13 EMBED Equation.3 1415.
Тоді13 EMBED Equation.3 1415
або
13 EMBED Equation.3 1415

Правило 2. Дано 13 EMBED Equation.3 1415.
Тоді 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Правило 3. Маємо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Тоді
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. Знайти диференціал 13 EMBED Equation.3 1415
( 13 EMBED Equation.3 1415 за правилом 3 маємо:
13 EMBED Equation.3 1415 (

Правило 4. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415

Правило 5. Якщо функція 13 EMBED Equation.3 1415 має обернену 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415.

Правило 6. Якщо функції задані у параметричному вигляді
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
то
13 EMBED Equation.3 1415.

Зауваження. Такі перетворення застосовують, виконуючи інтегрування функцій.


Інваріантність форми першого диференціала функції
Важлива властивість диференціала функції полягає в тому, що його вигляд лишається незмінним навіть у тому разі, коли переходять до іншої незалежної змінної.
( Справді, нехай у = f(x). Тоді диференціал цієї функції записується у вигляді
13 EMBED Equation.3 1415. (1)
Виконаємо заміну змінних u = ((x). Тоді функція у = f(u) буде функцією від змінної х:
13 EMBED Equation.3 1415.
Обчислюючи диференціал цієї функції, дістаємо:
13 EMBED Equation.3 1415, (2)
або
13 EMBED Equation.3 1415. (3)
Вираз 13 EMBED Equation.3 1415 є диференціалом функції u, оскільки 13 EMBED Equation.3 1415. Тому (3) можна подати у вигляді
13 EMBED Equation.3 1415.
Отже, ми повернулися до вигляду диференціала (1), який був записаний за припущення, що змінна u є незалежною. Маємо властивість диференціала, яка називається його інваріантністю:

Формула для знаходження диференціала
13 EMBED Equation.3 1415
справджується в усіх випадках: як тоді, коли u є незалежною змінною, так і тоді, коли u є функцією іншої незалежної змінної. В останньому випадку під множником du слід розуміти диференціал функції u.

Зауваження. Оскільки диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то формули для знаходження диференціалів будуть такі самі, як і для знаходження похідних, якщо кожну з них помножити на dx.










Знайти диференціал функції 13 EMBED Equation.3 1415.
(13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (
Знайти dy з виразу 13 EMBED Equation.3 1415.
( До обох частин рівності застосуємо операцію знаходження диференціала:
13 EMBED Equation.3 1415
Звідси
13 EMBED Equation.3 1415. (
Знайти 13 EMBED Equation.3 1415.
( 13 EMBED Equation.3 1415. (
Диференціали вищих порядків
Диференціал функції є також функцією незалежної змінної, а тому його можна диференціювати. Розглянемо функцію 13 EMBED Equation.3 1415.
Означення. Другим диференціалом функції у = f(x) називається вираз d(dy).
Позначення: 13 EMBED Equation.3 1415
Аналогічно дістаємо третій диференціал 13 EMBED Equation.3 1415 і т. д. до диференціала n-го порядку 13 EMBED Equation.3 1415.
Диференціал незалежної змінної dx не залежить від х, тому, диференціюючи dx за х, слід розглядати dx як величину сталу відносно х. Отже, приходимо до простих співвідношень між послідовними диференціалами і послідовними похідними:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Знайти третій диференціал функції
13 EMBED Equation.3 1415.
( Згідно з (1) дістаємо:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 (
Зауваження. Формули (1) при 13 EMBED Equation.3 1415 будуть неправильними в загальному випадку, якщо змінна х є функцією від незалежного аргументу t. Виняток становитиме випадок, коли х є лінійною функцією незалежного аргументу t і 13 EMBED Equation.3 1415.
( Справді, при незалежному аргументі х функції f(x) маємо:
13 EMBED Equation.3 1415.
Якщо у функції у = f(x) аргумент х є функцією змінної t, тобто х = ((t), то dx вже залежить від t, і dx = (((t)dt, тому при x = ((t) дістаємо:
13EMBED Equation.31415 (2)
13EMBED Equation.31415 (
Розглядаючи вирази (1) і (2), доходимо висновку, що форма диференціала другого порядку не зберігається з переходом до складеної функції.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.5, стор. 225 – 233

Тема 14
Формула Тейлора

Мета заняття :вивести формулу Тейлора представлення функції у вигляді многочлена . Розвивати логічне мислення.

Студенти повинні знати: формулу Тейлора представлення функцій у вигляді многочлена.
Студенти повинні вміти: знаходити похідні вищих порядків функцій; користуватися формулою Тейлора представлення функцій у вигляді многочлена; записувати розкладання елементарних функцій за формулою Тейлора.

Основні питання теми
1.Формула Тейлора;
2.Формула Маклорена;
3.Приклади
Завдання для самоперевірки
1.За правилом Лопіталя обчислити границі
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. . 14. .
15. . 16. .
2.Записати формулу Тейлора для наступних функцій
1. Розкласти многочлен за степенями двочлена .
2. Розкласти многочлен за степенями двочлена .
3. Розкласти многочлен за степенями двочлена .
4. Функцію розкласти за степенями х, використовуючи формулу Тейлора.
5. Записати формулу Тейлора п-го порядку для функції при .
6. Записати формулу Маклорена п-го порядку для функції .
7. Записати формулу Тейлора п-го порядку для функції при .
8. Записати формулу Маклорена 2п-го порядку для функції .
9. Записати формулу Тейлора п-го порядку для функції при .
10. Записати формулу Маклорена 2п-го порядку для функції .
11. Записати формулу Тейлора 3-го порядку для функції при . Побудувати графіки цієї функції і її много- члена 3-го порядку.
12. Записати формулу Тейлора 2-го порядку для функції при і побудувати графіки цієї функції і її многочлена 2-го порядку.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.5, стор. 238 – 245.
Лекція „Формула Тейлора”
Нехай функція f(x) має п похідних у точці х0.
Означення. Многочлен
13EMBED Equation.31415
називається многочленом Тейлора функції f(x) у точці х0.
Теорема. Нехай функція f(x) має в (-околі точки х0 (n + 1) похідну. Тоді для будь-якої точки х із цього околу знайдеться точка с, розміщена між точками х і х0, для якої справджується рівність:
13EMBED Equation.31415 (1)
де Т(х) п-й многочлен Тейлора функції f(x) у точці х0.
Доведення. Визначимо функцію r(x) формулою 13EMBED Equation.31415. Оскільки 13EMBED Equation.31415, маємо 13EMBED Equation.31415. Визначимо ще одну функцію:
13EMBED Equation.31415.
Для цієї функції також виконується рівність 13EMBED Equation.31415. Тому можна застосувати теорему Коші для перетворення частки функцій r(x) і ((x):
13EMBED Equation.31415, (2)
де х1 деяка точка, розміщена між точками х0 і х. Маємо 13EMBED Equation.31415, оскільки
13EMBED Equation.31415.
Крім того, 13EMBED Equation.31415.
Звідси 13EMBED Equation.31415. Застосовуючи теорему Коші до співвідношення (2), дістаємо:
13EMBED Equation.31415, (3)
де точка х2 розміщена між х0 і х1.
Міркуючи так само, застосуємо теорему Коші до співвідношення (3) (п + 1) раз і дістанемо ланцюжок рівностей:
13EMBED Equation.31415,
де кожна точка хk+1 розміщена між х0 і хk (k = 1, , n). Отже,
13EMBED Equation.31415, (4)
де 13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415.
Узявши с = хn + 1 і врахувавши, що f(x) = T(x) + r(x), дістанемо рівність (1).
Формула (1) називається формулою Тейлора, а вираз (4) залишковим членом у формі Лагранжа.
Беручи у формулі (1) х0 = 0, дістанемо формулу, яку називають формулою Маклорена:
13EMBED Equation.31415
де с точка, розміщена між 0 і х.
Застосування формули Тейлора в економічних задачах
1. Рівність 13EMBED Equation.31415 застосовується в задачах економічної статистики. Наприклад, розглянемо таку задачу.
Припустимо, що для чисел відомо середнє арифметичне
13EMBED Equation.31415
і середнє квадратичне відхилення:
13EMBED Equation.31415.
Як визначити середнє арифметичне виду
13EMBED Equation.31415,
якщо числа х1, х2, , хn невідомі, але відомий відрізок, якому вони належать?
( Значення 13EMBED Equation.31415 можна, очевидно, знайти лише наближено. При цьому похідна буде настільки малою, наскільки малим буде максимальне значення 13EMBED Equation.31415 на відрізку, який містить х1, х2, , хn.
Замінимо функцію f(x) на многочлен Тейлора другого порядку в точці а:
13EMBED Equation.31415.
Тоді
13EMBED Equation.31415
Оскільки
13EMBED Equation.31415,
маємо:
13EMBED Equation.31415 . ( (7)
Для додатних чисел х1, х2, , хn відоме середнє арифметичне а і середнє квадратичне відхилення
·. Знайти наближено середнє геометричне 13EMBED Equation.31415.
( Середнє геометричне можна подати у вигляді:
13EMBED Equation.31415.
Використовуючи формулу (7) для функції 13EMBED Equation.31415, одержимо
13EMBED Equation.31415.
Отже, середнє геометричне дорівнює
13EMBED Equation.31415. (8)
Нехай рі вартість споживчого кошика на 1 січня і-го року, 13EMBED Equation.31415 індекс споживчих цін за цей рік. Відомо, що середнє арифметичне чисел k1, k2, , kn дорівнює 1, а середнє квадратичне відхилення
· = 1. Визначити відносну зміну споживчих цін з 1 січня і-го року по 1 січня (і+10)го року.
( Згідно з формулою (8) знаходимо
13EMBED Equation.31415.
Далі маємо:
13EMBED Equation.31415.
Отже, ціни за 10 років зросли приблизно на 5%. (

Розклад основних елементарних функцій за формулою Тейлора
Розкладемо за формулою Тейлора функцію 13EMBED Equation.31415 у т. х0 = 0. Для цього обчислюємо:
13EMBED Equation.31415
Далі за формулою Тейлора (1) маємо:
13EMBED Equation.31415 (9)
Зокрема, при х = 1
13EMBED Equation.31415
У цьому розкладі залишковий член прямує до нуля при 13EMBED Equation.31415:
13EMBED Equation.31415.
Можна записати: 13EMBED Equation.31415.
Цей вираз називають рядами і позначають так:
13EMBED Equation.31415 (10)
2. Розкладемо за формулою Тейлора функцію 13EMBED Equation.31415 у т. х0 = 0. Насамперед знайдемо:
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415;

За формулою Тейлора (1) дістанемо (рис. 1)
13EMBED Equation.31415 (11)
13EMBED Equation.31415.
13EMBED Word.Picture.81415
Рис. 1
Обчислимо, скільки потрібно утримати членів у формулі для того, щоб обчислити значення функції 13EMBED Equation.31415 з точністю до 10–8 при 13EMBED Equation.31415.

· Залишковий член у формулі Тейлора за модулем має бути меншим, ніж 10–8:
13EMBED Equation.31415.
Отже, 13EMBED Equation.31415.
Обчислимо кілька членів розкладу 13EMBED Equation.31415 при
n = 0,
13EMBED Equation.31415;

n = 1,
13EMBED Equation.31415;

n = 3,
13EMBED Equation.31415;

n = 4,
13EMBED Equation.31415;

n = 5,
13EMBED Equation.31415.

Остаточно дістанемо:
13EMBED Equation.31415
3. Розклад за формулою Тейлора функції 13EMBED Equation.31415 в т. х0 = 0.
Насамперед обчислимо:
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415.
Далі за формулою Тейлора (1) дістанемо:
13EMBED Equation.31415 (12)
Знайдемо значення 13EMBED Equation.31415 з точністю до 10–10.

· Оскільки 13EMBED Equation.31415, то
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415.
Щоб досягти заданої точності, візьмемо
13EMBED Equation.31415
·
Розклад за формулою Тейлора деяких часто застосовуваних функцій
1. Розклад функції 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415 довільне число.
Насамперед
13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415;

13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415;

13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415;

13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415.


За формулою Тейлора отримаємо розклад
13EMBED Equation.31415 (13)
Цей розклад названо формулою бінома Ньютона на честь її відкривача. Якщо 13EMBED Equation.31415 натуральне число, то розклад містить скінченне число доданків.
Обчислити 13EMBED Equation.31415.

· Маємо
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415.
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 .
Застосувавши знайдений розклад, обчислимо 13EMBED Equation.31415.

· Виконаємо перетворення 13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415.
2. Розклад функції 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415;

13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415;


13EMBED Equation.31415;

13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415;

13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415;




За формулою Тейлора (1) дістанемо розклад
13EMBED Equation.31415
або 13EMBED Equation.31415 (14)
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.5, стор. 238 – 245.


Тема 15
Застосування диференціального числення до дослідження функцій
Мета заняття Узагальнити й систематизувати знання з диференціального числення, а саме навчитися застосовувати знання з теми до дослідження функції та побудови графіків.
Розвивати різні способи і прийоми мислення.

Студенти повинні знати: правила диференціювання; загальну схему дослідження функцій; необхідні й достатні умови зростання та спадання функції, існування точок екстремуму, інтервалів опуклості та точок перегину графіка функції; поняття асимптоти і її види.

Студенти повинні вміти: обчислювати похідні за формулами; застосовувати їх до дослідження функцій; будувати графіки функцій, для яких проведено повне дослідження.
Основні питання теми
Диференціальне числення застосовується до дослідження функції і побудови її графіка за загальною схемою:
1)Область визначення і множина значень функції:
2)Нулі функції
3)Властивості функції (парність або непарність, неперервність, обмеженість, періодичність)
4)Знаходження інтервалів монотонності функції та точок екстремуму функції
5)Знаходження інтервалів опуклості та точок перегину графіка функції
6)Асимптоти графіка функції
7)Побудова графіка
8)Приклади

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті
1.Якщо диференційовна на інтервалі (а;b) функція спадає, то її похідна на цьому інтервалі...
а)< 0 або = 0 б)> 0 або = 0
в)= 0 г)не існує
2.Точка, в якій похідна функції дорівнює нулю або не існує називається...
а)точкою мінімуму б)точкою максимуму
в)стаціонарною точкою г)точкою екстремуму
3.Значення функції в точці мінімуму називається...
а)максимумом функції б)екстремумом функції
в)мінімумом функції г)наближенням функції
4.Точка області визначення функції, яка одночас є кінцем двох інтервалів різної опуклості називається.......
а)точкою неперервності функції б)точкою мінімуму функції
в)точкою максимуму функції г)точкою перегину графіка функції
5.Якщо друга похідна функції f ''(х) на даному інтервалі > 0, то графік функції...
а)опуклий донизу на даному інтервалі
б)опуклий догори на даному інтервалі
в)зростає на даному інтервалі
г)спадає на даному інтервалі
6.Пряма, яка підходить до графіка функції дуже близько, але ніколи його не перетинає називається...
а)асимптотою б)нормаллю
в)дотичною г)січною
7.Асимптоти бувають....
а)похилі б)вертикальні
в)горизонтальні г)хвилясті
8.Різниця двох значень аргументів функції називається...
а)диференціалом функції б)прирістом функції
в)прирістом аргументу г)похідною функції
9.Якщо а - точка розрива функції, то вертикальну асимптоту задає рівняння...
а) у = в б) х = а в) у = а г) х = в
10.Графік функції у = f(х) буде опуклий догори на інтервалі (а;в), якщо на цьому інтервалі...
а)похідна функції f ' (х) зростає
б)похідна функції f ' (х) спадає
в)похідна функції f ' (х) стала
г)похідної функції f ' (х) не існує
11.Якщо похідна функції у=f '(х) < 0 на інтервалі (а;b), то функція на цьому інтервалі..
а)спадає б)стала
в)зростає г)не існує
12.Якщо диференційовна на інтервалі (а;b) функція зростає, то її похідна на цьому інтервалі..
а)< 0 або = 0 б)> 0 або = 0
в)= 0 г)не існує
13.Точки мінімума і максимума функції називаються..........
а)точками екстремуму функції б)точками розрива функції
в)точками неперервності функції г) стаціонарними точками функції
14.Значення функції в точці максимуму називається.........
а)максимумом функції б)екстремумом функції
в)мінімумом функції г)наближенням функції
15.Точки перегину графіка функції знаходяться за допомогою...
а)асимптот графіка б)похідної першого порядку
в)монотонності функції г)похідної другого порядку
16.Якщо друга похідна функції f ''(x) на даному інтервалі < 0, то графік функції............
а)опуклий донизу на даному інтервалі
б)опуклий догори на даному інтервалі
в)зростає на даному інтервалі
г)спадає на даному інтервалі
17.Пряма, відстань від точок якої до точок графіка функції прямує до 0 називається...
а)асимптотою б)нормаллю
в)дотичною г)січною
18. Графік функції може мати вертикальні асимптоти х=а , якщо функція в точці а буде...
а)неперервною б)сталою
в)розривною г)дотичною
19.Рівняння у = кх + в може задавати таку асимптоту до графіка функції у = f(х)...
а)похилу б)вертикальну
в)горизонтальну г)хвилясту
20.Графік функції у = f(х) буде опуклий донизу на інтервалі (а;в), якщо на цьому інтервалі...
а)похідна функції f ' (х) зростає б)похідна функції f ' (х) спадає
в)похідна функції f ' (х) стала г)похідної функції f ' (х) не існує

Завдання для самоперевірки
Дослідити функцію та побудувати її графік
1. . 2. .
3. .
Знайти інтервали монотонності таких функцій:
1. . 2. .
3. . 4. .
5. 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. .
Визначити екстремуми функцій:
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.5, стор.246 – 266

Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.
Теми рефератів:
1.Застосування похідної в економіці.
2.Диференціювання функцій, заданих графічно і таблично.
3.Екстремальні задачі.
Лекція „Загальний план дослідження функції”
1. Знайти область визначення та значення функції, заданої формулою, якщо таку область не зазначено.
2. Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність.
3. З’ясувати точки перетину функції з вісями координат.
4. Дослідити функцію на неперервність.
5. Знайти асимптоти графіка функції (якщо вони існують).
6. З’ясувати, як функція поводиться на кінцях кожного з проміжків області визначення (знайти границі функції на кінцях цих проміжків, якщо вони є).
7. Дослідити функцію на диференційовність.
8. Дослідити функцію на монотонність та екстремуми. Знайти екстремуми і значення функції в точках екстремуму.
9. Дослідити функцію на опуклість (вгнутість): знайти інтервали опуклості (вгнутості), а також точки перегину функції.
10. Знайти найбільше і найменше значення функції (якщо вони існують).
11. Побудувати графік функції.
Побудуємо графік функції 13EMBED Equation.31415.
1. Функція не існує в точках 13EMBED Equation.31415. Тому область визначення функції
13EMBED Equation.31415
2. Функція непарна, оскільки 13EMBED Equation.31415. З огляду на непарність функції достатньо побудувати її графік лише при 13EMBED Equation.31415.
Функція неперіодична.
3. Точки перетину з осями координат:
з віссю Ох: 13EMBED Equation.31415
(0; 0) точка перетину з віссю Ох.
з віссю Оу: 13EMBED Equation.31415
(0; 0) точка перетину з віссю Оу.
4. Функція невизначена в точці 13EMBED Equation.31415 тому ці точки є «підозрілими» на розрив. Знайдемо односторонні границі в точці 13EMBED Equation.31415:
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
Точки 13EMBED Equation.31415 точки розриву другого роду.
13EMBED Equation.31415 область неперервності функції.
5. Знаходимо асимптоти функції. Насамперед з’ясовуємо, що прямі 13EMBED Equation.31415 вертикальні асимптоти. (Це випливає з означення вертикальних асимптот та п. 4.)
Шукаємо похилу асимптоту 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415;
13EMBED Equation.31415.
Отже, 13EMBED Equation.31415 похила асимптота.
6. В п. 4 знайдені односторонні границі функції в точках 13EMBED Equation.31415. Залишилось знайти границі функції, коли 13EMBED Equation.31415і 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
7. Знайдемо першу похідну від функції у (вона існує на D (x)):
13EMBED Equation.31415
8. Дослідимо функцію на монотонність і знайдемо точки екстремуму. Для знаходження стаціонарних точок прирівнюємо першу похідну до нуля:
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
Зважаючи на зауваження п. 2, розглядатимемо дослідження функції при 13EMBED Equation.31415
13EMBED Word.Picture.81415
13EMBED Equation.31415, коли 13EMBED Equation.31415,
13EMBED Equation.31415, коли 13EMBED Equation.31415
Тому 13EMBED Equation.31415 точка максимуму, 13EMBED Equation.31415 точка мінімуму.
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
9. Знайдемо другу похідну функції у:
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
Точка х = 0 може бути точкою перегину, бо 13EMBED Equation.31415 Перевіримо це за критерієм. Визначимо знак 13EMBED Equation.31415 в околі точки х = 0
13EMBED Word.Picture.81415
Друга похідна змінює в точці х = 0 свій знак, тому функція 13EMBED Equation.31415 має точку перегину х = 0, на проміжку (0; 1) функція опукла, (1, +
·) функція вгнута.
10. Найбільше та найменше значення функції не існують.
11. Побудуємо графік функції, враховуючи дослідження.
13EMBED Word.Picture.81415
Рис. 1
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.5, стор.246 – 266

Розділ”Диференційованість функцій багатьох змінних”
Тема 16
Функція багатьох змінних. Означення та символіка. Границя функції. Графік функції

Мета заняття Формування первинних уявлень про функцію двох (трьох) змінних та її графік, умінь знаходити області визначення та множину значень функції двох змінних.
Розвивати логічне мислення, допитливість.

Студенти повинні знати: означення функції багатьох змінних; поняття області визначення та множини значень функції; поняття графіка функції двох та трьох змінних; та символіку теми.
Студенти повинні вміти: відрізняти функції багатьох змінних, знаходити та зображувати області визначення та множини значень функцій двох та трьох змінних;
Основні питання теми
До теперішнього часу ми розглядали та вивчали функцію однієї змінної х. Але в природі існує багато процесів і залежностей, коли, щоб отримати результати того чи іншого процесу, необхідно мати дані двох, трьох або більше параметрів. Отже, існують функції, які залежать від двох або більше змінних.
1.Означення функції двох змінних; приклади;
2.Область визначення та множина значень;
3.Межа області визначення; відкриті та замкнені області; приклади;
4.Графік функції двох змінних; лінії рівня;
5.Границя функції багатьох змінних;
6.Неперервність функції багатьох змінних;
7.Приклади

Завдання для самоперевірки
1.Знайти область визначення D функції
z = 13 EMBED Equation.3 1415 + ln(4 – х2 – у2)
2.Дослідити на неперервність функції
а) z = 2х2 + 3у; б) z = (х + у – 1)/(у2 – 2х).
3.Знайти та зобразити області визначення функцій двох змінних:
1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .
11. . 12. .
13. . 14. .
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
гл.6, стор. 284 – 294.
Лекція „Означення функції багатьох змінних”
Означення. Якщо кожній точці множини D n-вимірного простору Rn за деяким законом Р(х1, х2, , хn) поставлено у відповідність одне і тільки одне дійсне число 13 EMBED Equation.3 1415, то говорять, що в області 13 EMBED Equation.3 1415 задано функцію n незалежних змінних.
13 EMBED Equation.3 1415
При цьому D називають областю визначення функції, а Е областю значень функції.
Згідно з означенням функцію 13 EMBED Equation.3 1415 можна розглядати як функцію точки і записувати як 13 EMBED Equation.3 1415.
Зокрема, коли n = 2, маємо функцію двох змінних 13 EMBED Equation.3 1415, якщо кожній парі 13 EMBED Equation.3 1415 на площині поставлено у відповідність одне і тільки одне число z.
Зауважимо, що в задачах економічного змісту найчастіше доводиться стикатися з функціями двох або трьох незалежних змінних. Тому надалі головну увагу приділятимемо саме їм.
Наведемо приклади таких функцій.
Витрати виробництва даного виробу за даної технології є функцією матеріальних витрат х і витрат у на оплату робочої сили: 13 EMBED Equation.3 1415. Це є функція витрат виробництва.
Розглянемо функцію двох незалежних змінних K, L, яка називається виробничою функцією, або функцією КоббаДугласа: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, де Q обсяг виробництва; С деяка стала; L кількість праці, яку вкладено у виробництво; K кількість капіталу. Із наведеної рівності випливає, що частка, %, заробітної плати в загальному прибутку становить ( ( 100, а частка капіталу, %, ( ( 100. Задану функцію можна подати у вигляді таблиці або графіка. Для двох факторів таким графіком може бути рівнопродуктова крива, для більшої їх кількості  деякий тривимірний образ.
Криву, що являє собою множину точок, кожною з яких подається одна з можливих комбінацій двох факторів виробництва, котрі забезпечують однакову кількість виготовлюваної продукції, зображено на рис. 1.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 1.

Нехай предметами споживання є два товари А масло та В маргарин, ціни на які становлять відповідно р1 та р2. Якщо ціни на інші товари сталі, а прибуток споживачів і структура споживання не змінюються, то попит і пропозиція за кожним із товарів залежать від його ціни. Маємо:
функцію попиту на товар А: q1 = f1(p1, p2);
функцію попиту на товар В: q2 = f2(p1, p2);
функцію пропозиції товару А: s1 = f3(p1, p2);
функцію пропозиції товару В: s2 = f4(p1, p2).
Задану умовою задачі залежність можна подати такою таблицею:

Характеристика товару
Товар А масло
Товар В маргарин

Кількість
q1
q2

Ціна
p1
p2


Попит на масло визначатиметься функцією 13 EMBED Equation.3 1415 і залежатиме від його ціни р1 та ціни р2 конкурентного товару маргарину.
Зокрема, ця функція може набирати такого вигляду:
13 EMBED Equation.3 1415,
або 13 EMBED Equation.3 1415.
Способи задання функції
Функцію двох змінних, як і функцію однієї змінної, можна подати такими способами:
аналітично (у вигляді формули); наприклад:
13 EMBED Equation.3 1415.
таблично; наприклад:

х
у


1
2
3
4

1
1
2
3
4

2
2
4
6
8

3
3
6
9
12

4
4
8
12
16

(таблиця множення чисел: z = xy)
графічно (рис. 2);
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Графічне зображення функції двох змінних
Означення. Графіком функції двох змінних 13 EMBED Equation.3 1415 називається множина всіх точок (х, у, f(x, y)) простору R3, де (x, y) ( R2.
Щоб зобразити графічно функцію двох змінних, розглянемо систему координат хуz у тривимірному просторі (рис. 3).
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 3
Кожній парі чисел х і у відповідає точка Р(х, у) площини ху. Узявши в цій точці значення функції 13 EMBED Equation.3 1415, дістанемо точку у просторі R3 з координатами (х, у, z), яка позначається символом Q(х, у, z). Усі такі точки, що відповідають різним значенням незалежних змінних х і у, утворюють певну поверхню у просторі R3. Ця поверхня і є графічним зображенням функції 13 EMBED Equation.3 1415.

Графічним зображенням функції 13 EMBED Equation.3 1415 є площина, що проходить через точки (0, 0, 4), (0, 4, 0), (4, 0, 0) (рис. 4).

13 EMBED Word.Picture.8 1415


Графічним зображенням функції 13 EMBED Equation.3 1415 є сідло (рис. 5).

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Зауваження. На практиці побудувати графік функції двох змінних буває нелегко, оскільки потрібно зобразити на площині просторову фігуру, а це не завжди вдається.
Існує й інший спосіб геометричного зображення функції двох змінних за допомогою ліній рівня.
Означення. Лінією рівня називається множина всіх точок площини, в яких функція 13 EMBED Equation.3 1415 набуває однакових значень. Рівняння ліній рівня записують у вигляді 13 EMBED Equation.3 1415. Для функції трьох змінних розглядають поверхні рівня.
Накресливши кілька ліній рівня та задавши значення на них функції, дістанемо певне уявлення про характер зміни функції.
Один з найпростіших прикладів зображення функції за допомогою ліній рівня задання рельєфу місцевості на географічній карті. Висота місцевості над рівнем моря є функцією координат точки земної поверхні. За лініями однакової висоти, нанесеними на карту, легко уявити рельєф відповідної місцевості.
У метеорології лініями рівня є ізотерми та ізобари. В економіці ізокванти, криві індиферентності. Лініями рівня виробничої функції є ізокванти. Ізокванта крива, утворена множиною точок, що відповідають різним варіан- там поєднання двох будь-яких видів витрат, котрі забезпечу- ють постійно одну й ту саму кількість виготовлюваної продукції (рис. 6). Крива індиферентності відбиває зміну поєднання двох різних благ за умови, що загальна споживна корисність їх лишається сталою (рис. 7).

13 EMBED Word.Picture.8 1415

Рис. 6 Рис. 7
Побудувати лінії рівня функції
13 EMBED Equation.3 1415.

·
·Шукане рівняння має вигляд
13 EMBED Equation.3 1415.
1. Якщо с < 0, то ліній рівня немає.
2. Якщо с = 0, то лінії рівня становлять множину всіх точок осі х, крім двох: (( 2, 0).
3. Якщо с > 0, маємо 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, або 13 EMBED Equation.3 1415. Отже, лініями рівня є кола радіусом 13 EMBED Equation.3 1415 із центром у точці 13 EMBED Equation.3 1415, з яких вилучено точки (( 2, 0). Узявши с = 1, 2, , дістанемо сім’ю ліній рівня (рис. 8).

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Знаходження області визначення функції двох змінних
Розглянемо алгоритм знаходження області визначення функції двох змінних на такому прикладі.
Знайти область визначення функції
13 EMBED Equation.3 1415
та надати відповідну геометричну інтерпретацію.
1. Запишемо область визначення функції аналітично:
13 EMBED Equation.3 1415.
2. Замінивши нерівності в D рівностями, побудуємо лінії, що відповідають їм на координатній площині:
13 EMBED Equation.3 1415
3. За допомогою контрольних точок 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 з’ясуємо розміщення D на площині й виділимо її штриховкою (рис. 9).
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Границя функції двох змінних
Означення. Число А називається границею функції 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, якщо для будь-якого 13 EMBED Equation.3 1415 існує число 13 EMBED Equation.3 1415, таке, що в разі виконання нерівності
13 EMBED Equation.3 1415
справджується нерівність 13 EMBED Equation.3 1415.
Позначають:
13 EMBED Equation.3 1415,
або
13 EMBED Equation.3 1415
Наслідок. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Теорема 1. Якщо функція f(х, y) має границю при (х, y) ( ( (х0, y0), то така границя тільки одна.
Теорема 2. Якщо функція f(х, y) має границю при (х, y) ( ( (х0, y0), то вона обмежена в деякому околі точки f(х0, y0).
Теорема 3. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, і в деякому виколотому околі точки (13 EMBED Equation.3 1415, y0) виконується нерівність 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Наслідок. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 у деякому околі точки (13 EMBED Equation.3 1415, y0) і 13 EMBED Equation.3 1415 існує, то ця границя невід’ємна (недодатна).
Теорема.4. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415 і в деякому виколотому (-околі точки (13 EMBED Equation.3 1415, y0) справджуються нерівності 13 EMBED Equation.3 1415, то і 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема 5. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415,
то виконуються рівності:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415 (с ( 0).
Означення. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то функція 13 EMBED Equation.3 1415 називається нескінченно малою при 13 EMBED Equation.3 1415
Обчислити 13 EMBED Equation.3 1415.

·
·Застосувавши теорему 1.5 про арифметичні операції над границями, а також узявши до уваги те, що границя сталої величини дорівнює цій сталій, тобто
13 EMBED Equation.3 1415
дістанемо:
13 EMBED Equation.3 1415
Обчислити 13 EMBED Equation.3 1415.

·
·Візьмемо ху = t. Тоді з того, що (х, у) ( (0, 0), випливає t ( 0 і задану границю можна подати у вигляді 13 EMBED Equation.3 1415. При t ( 0 маємо: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Отже,
13 EMBED Equation.3 1415.
Звідси, 13 EMBED Equation.3 1415.
Зауваження. Поняття границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних мають багато спільного, але існує й принципова різниця, з огляду на яку поняття границі функції кількох змінних є істотно більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.
Так, для функції багатьох змінних справджуються теореми про границю суми, добутку та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї змінної.
Водночас маємо такі розбіжності між цими поняттями:
Якщо 13 EMBED Equation.3 1415 (f(x) функція однієї змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границі її дорівнюють b. Обернене твердження також правильне: з існування та збігу двох односторонніх границь випливає існування границі функції в точці.
Для функції двох змінних 13 EMBED Equation.3 1415 наближення до точки (х0, у0) можливе нескінченною кількістю способів: і справа, і зліва, і згори, і знизу, і під деяким кутом до осі х тощо (рис. 10).
Більш того, до точки можна наближатися не лише по прямій, а й по складніших траєкторіях (рис. 11).

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 10 Рис. 11
Очевидно, що рівність 13EMBED Equation.31415 справджується тоді й тільки тоді, коли границя досягається в результаті наближення до точки (х0, у0) по будь-якій траєкторії. Отже, маємо істотне обмеження порівняно зі збігом двох односторонніх границь у разі функції однієї змінної.
Довести, що 13EMBED Equation.31415 не існує.

·
·Наближатимемося до точки (0, 0) по прямій у = kx.
Якщо у = kx, то
13EMBED Equation.31415.
Зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої, наприклад:
при k = 1 границя дорівнює 13EMBED Equation.31415,
при k = 2 границя дорівнює 13EMBED Equation.31415 і т. д.
Отже, наближаючись до точки (0, 0) у різних напрямах, дістаємо різні границі. Це означає, що 13EMBED Equation.31415 не існує.
Зауваження. Для функцій n > 1 змінних можна розглядати n! так званих повторних границь.
У частинному випадку для функції двох змінних 13EMBED Equation.31415 можна розглядати дві повторні границі в точці (х0, у0):
13EMBED Equation.31415 і 13EMBED Equation.31415.
Наприклад, для функції 13EMBED Equation.31415 маємо:
13 EMBED Equation.3 1415
Отже, змінювати порядок граничних переходів загалом не можна.
Скажімо, у попередньому прикладі 13 EMBED Equation.3 1415 не існує, але повторні границі існують: 13 EMBED Equation.3 1415.
Неперервність функції двох змінних
Означення. Функція 13 EMBED Equation.3 1415 називається неперервною в точці 13 EMBED Equation.3 1415, якщо
13 EMBED Equation.3 1415.
Означення. Функція 13 EMBED Equation.3 1415 називається неперервною в області (замкненій чи відкритій), якщо вона неперервна в кожній точці цієї області.
Означення. Функцію 13 EMBED Equation.3 1415, визначену на множині D ( R2, називають неперервною за множиною Е ( D в точці (х0, у0) 13 EMBED Equation.3 1415 D, якщо
13 EMBED Equation.3 1415.
Означення. Точка 13 EMBED Equation.3 1415 називається точкою розриву функції 13 EMBED Equation.3 1415, якщо:
1) функція 13 EMBED Equation.3 1415 не визначена в точці 13 EMBED Equation.3 1415;
2) функція 13 EMBED Equation.3 1415 визначена в точці 13 EMBED Equation.3 1415, проте:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 не існує;
б) 13 EMBED Equation.3 1415 існує, але не дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415.
Означення. Точка 13 EMBED Equation.3 1415 називається точкою усувного розриву функції 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415 існує, але або 13 EMBED Equation.3 1415 не визначена в точці 13 EMBED Equation.3 1415, або 13 EMBED Equation.3 1415
Розглянемо функцію двох незалежних змінних
13 EMBED Equation.3 1415
Ця функція має розрив у точці (0, 0), бо в ній для функції 13 EMBED Equation.3 1415 границі не існує.
Тут ми стикаємося з цікавим явищем: розглядувана функція не є неперервною в точці (0, 0) за двома змінними водночас, але є неперервною за кожною зі змінних х і у окремо.
Точки розриву можуть бути не лише ізольованими, як у попередньому прикладі, а можуть заповнювати лінії, поверхні тощо. Так, функції двох змінних 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 мають розриви: перша прямі 13 EMBED Equation.3 1415 друга  окіл 13 EMBED Equation.3 1415 Для функції трьох змінних
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
розриви заповнюють відповідно гіперболічний параболоїд 13 EMBED Equation.3 1415 і конус 13 EMBED Equation.3 1415
Знайти
13 EMBED Equation.3 1415.

·
·Для будь-якого 13 EMBED Equation.3 1415 існує 13 EMBED Equation.3 1415, таке що для всіх точок 13 EMBED Equation.3 1415, які задовольняють умову 13 EMBED Equation.3 1415 і відмінні від початку координат, справджується нерівність
13 EMBED Equation.3 1415
Отже,
13 EMBED Equation.3 1415.
Знайти границю функції
13 EMBED Equation.3 1415
в точці (0, 0) за множиною, на якій функція визначена.

·
·Зауважимо, що функція не визначена в точках прямої 13 EMBED Equation.3 1415. Тому звичайної границі в точці (0, 0) не існує. Але границя за множиною точок 13 EMBED Equation.3 1415, на якій функція визначена, існує і дорівнює нулю, оскільки
13 EMBED Equation.3 1415.
Знайти значення а, при якому функція
13 EMBED Equation.3 1415
в точці (0, 0):
1) є неперервною за прямою 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
2) неперервною за кривою 13 EMBED Equation.3 1415;
3) неперервною.

·
·1. Наближатимемося до точки (0, 0) по прямій 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Це означає, що виконуються рівності:
13 EMBED Equation.3 1415.
Якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то дана функція буде неперервною за даною прямою.
2. Наближатимемося до точки (0, 0) по кривій 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то розглядувана функція буде неперервною за даною прямою.
3. У точці (0, 0) функція 13 EMBED Equation.3 1415 має розрив, оскільки в ній границя не існує. Це випливає з 1 і 2.
Знайти точки розриву, а також точки усувного розриву функції двох змінних:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415.

·
·1. Функція 13 EMBED Equation.3 1415 в точці (0, 0) не існує, тому вона має в цій точці розрив. Знайдемо границю
13 EMBED Equation.3 1415.
Для будь-якого 13 EMBED Equation.3 1415 існує 13 EMBED Equation.3 1415, таке що для всіх точок 13 EMBED Equation.3 1415, які задовольняють умову 13 EMBED Equation.3 1415 і відмінні від початку координат, виконується нерівність
13 EMBED Equation.3 1415.
Отже, 13 EMBED Equation.3 1415 і функція має в точці (0, 0) усувний розрив, якщо 13 EMBED Equation.3 1415 у цій точці.
2. Функція 13 EMBED Equation.3 1415 не існує, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, тобто 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Тому вона має розриви. Знайдемо границю
13 EMBED Equation.3 1415.
Отже, функція 13 EMBED Equation.3 1415 має в точці 13 EMBED Equation.3 1415 неусувний розрив.

Неперервність складеної (складної) функції двох змінних
Означення. Нехай функція 13 EMBED Equation.3 1415 визначена на множині Е, а змінні 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, у свою чергу, залежать від змінних х і у: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 причому обидві функції 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 визначені на множині D. Якщо для будь-якого 13 EMBED Equation.3 1415 існує значення 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 12), то говорять, що на множині визначено складену (складну) функцію 13 EMBED Equation.3 1415 де 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 проміжні, х, у незалежні змінні.

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 12
Функція 13 EMBED Equation.2 1415 де 13 EMBED Equation.2 1415 13 EMBED Equation.2 1415. Це складена функція, яка визначена на координатній площині. Її можна записати у вигляді
13 EMBED Equation.2 1415.
Теорема 1.6. Нехай на множині D визначено складену функцію 13 EMBED Equation.2 1415, де 13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415 і нехай функції 13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415 неперервні в точці 13 EMBED Equation.2 1415, а функція 13 EMBED Equation.2 1415 неперервна в точці 13 EMBED Equation.2 1415, де 13 EMBED Equation.2 1415, 13 EMBED Equation.2 1415. Тоді складена функція 13 EMBED Equation.2 1415 неперервна в точці 13 EMBED Equation.2 1415
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
гл.6, стор. 284 – 294.


Тема 17
Диференційованість функції багатьох змінних. Похідна за напрямом. Градієнт.

Мета заняття Засвоєння понять похідної за напрямом та градієнта; розвивати логічне мислення, виховувати інтерес до математики.

Студенти повинні знати: поняття диференційованості функції багатьох змінних; формули похідної за напрямом та градієнта функції.
Студенти повинні вміти: обчислювати похідну за напрямом та градієнт функції.

Основні питання теми
1.Поняття диференційованої функції в точці;
2.Неперервність диференційованої функції;
3.Існування частинних похідних диференційованої функції;
4.Достатня умова диференційованості;
5.Повний диференціал та його застосування до обчислення функцій і похибок.
6.Диференціали вищих порядків;
7.Похідна за напрямом;
8.Градієнт;
9.Приклади

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті
1.Якщо кожній парі чисел (х;у) є D за певним законом відповідає число z, то кажуть, що на множині D визначено функцію z = f(х;у), яка називається...
а)неявною функцією б)параметричною функцією
в)каноничною функцією г)функцією двох змінних
2.Якщо функція z = f(М) диференційовна в точці м, то вона в цій точці...
а)розривна б)екстремальна
в)неперервна г)стала
3.Вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції u(x;y;z) в точці М(х;у;z) називається...
а)градієнтом функції б)ортом функції
в)полем функції г)напрямком функції
4.Лінію, що обмежує область визначення D називають...
а)областю визначення функції б)межею області визначення
в)графіком функції г)лінією рівня
5.Швидкість зростання скалярного поля в довільній точці є максимальною у напрямі...
а)градієнта б)області визначення
в)похідної за напрямом г)множини значень
6.Градієнт суми двох функцій ...
а)дорівнює добутку градієнтів цих функцій б)не існує
в)сумі градієнтів цих функцій г) дорівнює 0
7.Похідна за напрямом вектора, що перпендикулярний до градієнта...
а)дорівнює 0 б)не існує
в)дорівнює 1 г)дорівнює 5

Завдання для самоперевірки
1.Знайти похідну функції u = х2 – 2хz + у2 в точці А(1;2;-1) за напрямом від точки А до точки В(2;4;-3). З'ясувати характер зміни поля в даному напрямі.
2.Знайти найбільшу швидкість зростання поля u = ху - z в точці М(1;2;3).
3.Знайти похідну функції у точці за напрямом, що утворює із осями координат рівні гострі кути.
4.Знайти похідну функції у точці за напрямом від точки М до точки .
5. Знайти похідну функції у точці за напрямом вектора , де .
6. Знайти похідну функції у точці за напрямом, що утворює з осями координат кути відповідно 60(, 45(, 60(.
7. Знайти похідну функції у точці за напрямом найбільшого зростання функції.
8.Знайти функції у точці за напрямом бісектриси четвертого координатного кута.
9. Знайти у точці , якщо .
10.Знайти величину і напрям в точці , якщо .
11. Знайти кут між градієнтами функції у точках і .
12. Знайти кут між градієнтами функції у точках та .
13.Знайти в точці кут між градієнтами функцій: та .
14.Знайти напрям найбільшої зміни функції у початку координат.
15. Знайдіть точку, в якій градієнт функції дорівнює .
16. Функції та диференційовні. Доведіть, що:
а) ;
б) .
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.6, стор. 294- 318.

Лекція „Диференційовність функції двох змінних”
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 1

Нехай функція 13 EMBED Equation.3 1415 визначена в деякому околі точки 13 EMBED Equation.3 1415. Надамо незалежним змінним х та у приростів (х і (у так, щоб точка 13 EMBED Equation.3 1415 не виходила за межі зазначеного околу. Тоді й точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
також потраплять у цей окіл (рис. 1).


Означення. Різницю 13 EMBED Equation.3 1415 називають повним приростом функції за х та у при переході від точки 13 EMBED Equation.3 1415 до точки 13 EMBED Equation.3 1415 і позначають 13 EMBED Equation.3 1415. Різницю 13 EMBED Equation.3 1415 називають частинним приростом за х функції 13 EMBED Equation.3 1415, а різницю 13 EMBED Equation.3 1415 частинним приростом за у цієї функції. Позначають ці прирости відповідно 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415. Отже,
13 EMBED Equation.3 1415
Зауваження. Аналогічно визначаються прирости функції більш ніж двох змінних.
Повний диференціал функції двох змінних
Означення. Функція 13 EMBED Equation.3 1415 називається диференційовною в точці 13 EMBED Equation.3 1415, якщо її повний приріст 13 EMBED Equation.3 1415 можна подати у вигляді:
13 EMBED Equation.3 1415
де А, В деякі числа; (, ( нескінченно малі при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Головна лінійна частина приросту функції, тобто 13 EMBED Equation.3 1415, називається повним диференціалом функції (точніше першим диференціалом) 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415; позначається 13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415 Таким чином,
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Диференціалом незалежної змінної x або y називають її приріст, тобто за означенням беруть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Якщо функція f диференційовна в кожній точці множини 13 EMBED Equation.3 1415, то її називають диференційовною на множині D.
Отже, у кожній точці, де виконується рівність (1), повний диференціал функції 13 EMBED Equation.3 1415 обчислюється за формулою
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Теорема . Якщо функція 13 EMBED Equation.3 1415 диференційовна в точці 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, то в точці 13 EMBED Equation.3 1415 існують частинні похідні
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Якщо частинні похідні функції f існують у кожній точці множини 13 EMBED Equation.3 1415, то говорять, що функція f має частинні похідні на множині D.
Аналогічно визначають і позначають частинні похідні трьох і більше змінних.
Для повного диференціала формула (2) узагальнюється на випадок диференційовної функції n змінних 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Знайти 13 EMBED Equation.3 1415 якщо 13 EMBED Equation.3 1415.

· Знайдемо спочатку 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Звідси за формулою (4) дістанемо:
13 EMBED Equation.3 1415
Властивості повного диференціала
Для будь-яких диференційовних функцій 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 справджуються рівності:
13 EMBED Equation.3 1415, де (, ( сталі; (5)
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Похідна за напрямом. Градієнт
Означення. Нехай функція 13 EMBED Equation.3 1415 визначена в деякому околі точки 13 EMBED Equation.3 1415; l деякий промінь з початком у точці 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 точка на цьому промені, яка належить околу точки 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 2); 13 EMBED Equation.3 1415 довжина відрізка 13 EMBED Equation.3 1415. Якщо існує 13 EMBED Equation.3 1415, то ця границя називається похідною функції 13 EMBED Equation.3 1415 за напрямом l у точці 13 EMBED Equation.3 1415 і позначається 13 EMBED Equation.3 1415.
Зокрема, 13 EMBED Equation.3 1415 похідна функції 13 EMBED Equation.3 1415 за додатним напрямом осі х, а 13 EMBED Equation.3 1415 похідна функції 13 EMBED Equation.3 1415 за додатним напрямом осі у.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 2
Похідна за напрямом 13 EMBED Equation.3 1415 характеризує швидкість зміни функції 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415 за напрямом l.
Теорема. Якщо функція 13 EMBED Equation.3 1415 має в точці 13 EMBED Equation.3 1415 неперервні частинні похідні, то в цій точці існує похідна 13 EMBED Equation.3 1415 за будь-яким напрямом 13 EMBED Equation.3 1415, причому
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
де 13 EMBED Equation.3 1415і 13 EMBED Equation.3 1415 значення частинних похідних у точці 13 EMBED Equation.3 1415.
Знайти похідну функції 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415 за напрямом 13 EMBED Equation.3 1415

· Знайдемо та обчислимо частинні похідні в точці 13 EMBED Equation.3 1415 функції 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Тоді за формулою (6) маємо:
13 EMBED Equation.3 1415.
Означення. Вектор з координатами 13 EMBED Equation.3 1415, який характеризує напрям максимального зростання функції 13 EMBED Equation.3 1415 в точці 13 EMBED Equation.3 1415, називається градієнтом функції 13 EMBED Equation.3 1415 у цій точці і позначається 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 (7) де i, j одиничні орти.
Знайти градієнт функції 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415.

· Запишемо та обчислимо частинні похідні в точці 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415
Тоді згідно з (7) 13 EMBED Equation.3 1415, або 13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогічно для диференційовної функції 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415 похідна за напрямом довільного одиничного вектора 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 подається так:
13 EMBED Equation.3 1415
Означення. Градієнтом диференційовної функції 13 EMBED Equation.3 1415 у точці 13 EMBED Equation.3 1415 називають вектор 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 де 13 EMBED Equation.3 1415 одиничні орти, а значення частинних по- хідних 13 EMBED Equation.3 1415 обчислені в точці 13 EMBED Equation.3 1415.
Властивості:
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 2. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то похідна 13 EMBED Equation.3 1415 досягає найбільшого значення при 13 EMBED Equation.3 1415.
Частинні похідні і повні диференціали вищих порядків
Нехай функція 13 EMBED Equation.3 1415 має частинні похідні в усіх точках множини D. Візьмемо будь-яку точку 13 EMBED Equation.3 1415. Якщо в цій точці існують частинні похідні 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, то вони залежать від х і у, тобто вони є функціями двох змінних. Отже, можна ставити питання про відшукання їх частинних похідних. Якщо вони існують, їх називають частинними похідними другого порядку і позначають відповідно 13 EMBED Equation.3 1415 (читаємо: «де два зет по де ікс квадрат») або 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415 Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні третього і вищих порядків.
Нехай функція 13 EMBED Equation.3 1415 в околі точки 13 EMBED Equation.3 1415 має частинну похідну першого порядку 13 EMBED Equation.3 1415.
Означення. Частинну похідну функції 13 EMBED Equation.3 1415 за змінною 13 EMBED Equation.3 1415 називають частинною похідною другого порядку за змінними 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 і позначають 13 EMBED Equation.3 1415 або 13 EMBED Equation.3 1415
Отже, за означенням:
13 EMBED Equation.3 1415.
Якщо 13 EMBED Equation.3 1415, похідну 13 EMBED Equation.3 1415 позначають 13 EMBED Equation.3 1415.
Означення. Частинною похідною порядку 13 EMBED Equation.3 1415 називають частинну похідну першого порядку за будь-якою змінною від будь-якої похідної 13 EMBED Equation.3 1415 порядку.
Частинні похідні за різними змінними називають мішаними частинними похідними.
Теорема . Якщо дві мішані похідні порядку m, що відрізняються лише порядком диференціювання, неперервні в деякій точці, то їх значення в цій точці збігаються.
Знайти 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.

· Маємо: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Знайти 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 для функції 13 EMBED Equation.3 1415.

· 13 EMBED Equation.3 1415.
Означення. Диференціалом другого порядку функції 13 EMBED Equation.3 1415 називається диференціал її повного диференціала:
13 EMBED Equation.3 1415.
Аналогічно визначаються диференціали третього і вищих порядків:
13 EMBED Equation.3 1415.
Для диференціала порядку m справджується залежність:
13 EMBED Equation.3 1415 (8)
У частинному випадку при 13 EMBED Equation.3 1415 формула (8) набирає вигляду:
13 EMBED Equation.3 1415 (9)
Зауваження. Для складеної функції 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, другий її диференціал, загалом, не подається через dx і dy згідно з формулою (9). Отже, для порядку 13 EMBED Equation.3 1415 не виконується властивість інваріантності форми диференціала щодо вибору змінних.
У разі функції n змінних 13 EMBED Equation.3 1415 формула (8) набирає вигляду:
13 EMBED Equation.3 1415 (10)
де підсумовування виконується за всіма цілими невід’ємними 13 EMBED Equation.3 1415, такими що 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 формула (10) подається так:
13 EMBED Equation.3 1415

Знайти 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415

· 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Згідно з (9) маємо:
13 EMBED Equation.3 1415
Диференціювання неявної функції
І. Функція двох змінних. Функція 13 EMBED Equation.3 1415 визначає одну зі змінних х або у як неявну функцію іншої змінної. Поданий вираз  це деяке рівняння, що містить х та у і всі члени якого перенесені в ліву частину. Нехай 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді 13 EMBED Equation.3 1415. Проте оскільки 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 Звідси
13 EMBED Equation.3 1415 (11)
Розв’язавши рівняння (11) відносно 13 EMBED Equation.3 1415 (вважаючи, що 13 EMBED Equation.3 1415і 13 EMBED Equation.3 1415 існують), знайдемо залежність13 EMBED Equation.3 1415 (12)
Це так звана формула диференціювання неявної функції.
Нею подаються відносні швидкості зміни значень х щодо значень у, чим забезпечується незмінність f(x, y). Геометрично це означає, що точка (x, y) рухається вздовж кривої, рівняння якої є и = f(x, y), а (12) визначає для будь-якого моменту напрям її руху.
Для функції 13 EMBED Equation.3 1415 знайти 13 EMBED Equation.3 1415.

· Нехай
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
З рівняння (12) знаходимо:
13 EMBED Equation.3 1415.
Відомо, що змінна х, проходячи через значення х = 3 дм, зростає зі швидкістю 2 дм/с. З’ясуємо, з якою швидкістю має змінюватись у при у = 1 дм, щоб функція 2ху2 – 3х2у лишалася сталою.

· Нехай
13 EMBED Equation.3 1415
знаходимо частинні похідні цієї функції за х і за у:
13 EMBED Equation.3 1415
Підставляючи в (18), маємо:
13 EMBED Equation.3 1415, або 13 EMBED Equation.3 1415.
За умовою х = 3, у = 1, 13 EMBED Equation.3 1415, звідки 13 EMBED Equation.3 1415 (дм/с).
Знайти похідні від функцій
1. 13 EMBED Equation.3 1415

· 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415

· 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415

· 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415

· 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415

· 13 EMBED Equation.3 1415

Функція трьох змінних. Нехай Р (х, у, z) точка на поверхні, заданій рівнянням:
13 EMBED Equation.3 1415, (13)
і нехай РС і АР перерізи, що утворюються площинами, проведеними через точку Р паралельно площинам Y0Z і X0Z (рис. 3). Для точок кривої АР змінна у лишається сталою. Отже, згідно з (13) z є неявною функцією лише х, а на підставі (16) виконується рівність:
13 EMBED Equation.3 1415 (14)
Геометрична інтерпретація. Формула (14) визначає тангенс кута нахилу кривої АР у точці Р до осі 0х.

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 3
У лівій її частині замість 13 EMBED Equation.3 1415 записано 13 EMBED Equation.3 1415, оскільки згідно з (13) змінна z була спочатку неявною функцією х і у (формулу (14) виведено за припущення, що величина у лишається сталою).
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.6, стор. 294- 318.

Тема 18
Локальні екстремуми функції багатьох змінних.

Мета заняття Засвоєння поняття локальних екстремумів функції двох змінних.
Розвивати логічне мислення, уважність

Студенти повинні знати: формули похідної складеної функції, повної похідної, локальних екстремумів.
Студенти повинні вміти: обчислювати похідну складеної функції,повну похідну, локальні екстремуми функцій багатьох змінних.

Основні питання теми
1.Поняття точки локального максимуму;
2.Поняття точки локального мінімуму;
3.Необхідні умови екстремуму;
4.Критичні точки функції;
5.Достатні умови екстремуму;
6.Другі достатні умови екстремуму;
7.Правила дослідження диференційованих функцій на екстремум;
8.Приклади.

Завдання для самоперевірки
1.Відкритий прямокутний басейн повинен мати об'єм V. Знайти розміри басейну, за яких на його облицювання піде найменша кількість матеріалу.
2.Знайти екстремуми функції z = х4 + у4 – 2х2 + 4ху – 2у2.
3.Закінчте вирази:
- Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , якщо
- Точка називається стаціонарною для функції , якщо:
- Необхідні умови екстремуму функції багатьох змінних полягають у тому, що
- Формула Тейлора для функції двох змінних має вигляд: 
- Критерій Сільвестра додатної визначеності квадратичної форми має вигляд:
- Достатні умови існування екстремуму функції багатьох змінних формулюються так:
- Поняття умовного екстремуму функції багатьох змінних полягає у тому, що
- Задача про умовний екстремум функції багатьох змінних при зводиться до задачі про звичайний екстремум функції
4. Вкажіть правильний розв’язок задачі.
Для знаходження найбільшого значення функції у замкненій області з рівнянням межі потрібно вибрати найбільше значення із обчислених у таких точках:
а) в стаціонарних точках області ;
б) у точках умовного екстремуму функції за умови ;
в) у стаціонарних точках і точках умовного екстремуму функції при ;
г) у стаціонарних точках і точках на межі області .
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.6, стор. 320 – 324.

Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.
Теми рефератів:
1.Застосування частинних похідних.
2.Зображення та застосування функцій багатьох змінних.


Розділ”Інтегральне числення функції однієї змінної”
Тема 19
Поняття первісної функції та невизначеного інтегралу. Таблиця основних інтегралів

Мета заняття Узагальнити та систематизувати знання з теми.
Розвивати уважність, вміння самостійно визначати головну думку, логічне мислення.

Студенти повинні знати: поняття первісної функції та невизначеного інтегралу, властивості невизначеного інтегралу;основні табличні інтеграли.
Студенти повинні вміти: знаходити первісні функції та невизначені інтеграли; використовувати властивості для знаходження первісних та інтегралів.

Основні питання теми
1.Поняття первісної; властивості первісної;
2.Невизначений інтеграл; позначення, властивості;
3.Застосування інваріантності форми першого диференціалу при інтегруванні;
4.Таблиця основних інтегралів;
5.Приклади.

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті
1.Якщо функція F(х) диференційовна на (а;b) і її похідна дорівнює f(х),то вона називається..........
а)оберненою до f(х) б)складеною на (а;b)
в)первісною для f(х) г)розривною на (а;b)
2.Якщо функція f(х) має первісну F(х), то вона має........
а)множину первісних F(х) + С б)обернену функцію F(х) + С
в)складену функцію F(х) + С г)розривну функцію f(х) + С
3.Множина усіх первісних функції f(х) називається.........
а)визначеним інтегралом функції f(х)
б)невизначеним інтегралом функції f(х)
в)криволінійним інтегралом функції f(х)
г)невласним інтегралом функції f(х)
4.Сталий множник можна виностит за знак.......
а)похідної
б)первісної
в)інтеграла
г)функції

Завдання для самоперевірки
1.Сформулювати теорему про існування первісної.
2.У чому суть інваріантності формули інтегрування? Навести приклади.
3.Закінчте вирази:
- Первісною називається
- Операції знаходження для функції похідної і первісної співвідносяться між собою як
- Теорема про множину первісних функції формулюється так:
- Задача інтегрування функції на деякому проміжку полягає в тому, щоб - Теоретичною основою розв’язання задачі інтегрування функції є теорема про
- Невизначеним інтегралом називається
4. Які з наведених нижче функцій будуть первісними для функції ?
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) .
(Зазначте правильну відповідь.)
5. Які з наведених функцій будуть первісними для функції ?
а) ; б) ;
в) .
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.7, стор. 330 – 336.

Лекція „Поняття невизначеного інтеграла”
Означення. Нехай функція f (x) є похідною від функції F (x), тобто f (x)dx  диференціал функції F (x):

13EMBED Equation.31415
Тоді функція F (x) називається первісною для функції f (x).
Якщо F (x) одна з первісних функції f (x), то будь-яка інша її первісна подається виразом F (x) + С, де С довільна стала.
Отже, якщо функція f (x) має принаймні одну первісну, то їх існує безліч.
Означення. Найзагальніший вигляд первісної для даної функції f (x) (або даного виразу f (x)dx) називається її невизначеним інтегралом.
Невизначений інтеграл виразу f (x)dx позначають
13EMBED Equation.31415 (1)
Термін «інтеграл» походить від латинського слова integralis цілісний.
Символ 13EMBED Equation.31415 початкова літера слова summa (сума).
Слово «невизначений» підкреслює, що до загального виразу первісної входить сталий доданок, який можна взяти довільно.
Вираз 13EMBED Equation.31415 називають підінтегральним виразом, функцію f (x) підінтегральною функцією, змінну x змінною інтегрування.
Постають такі запитання: 1) чи завжди можна знайти невизначений інтеграл; 2) як можна знайти цей інтеграл, якщо він існує?
Відповідь на перше запитання частково дає наведена далі теорема, яка є основною теоремою інтегрального числення.
Теорема 1. Усяка неперервна функція має первісну.
Проте ця теорема не стверджує, що первісну даної непе- рервної функції можна знайти за допомогою скінченної кількості відомих дій і подати результат в елементарних функ- ціях. Більш того, існують неперервні елементарні функції, інтеграли від яких не є елементарними функціями. Такі функції називають неінтегровними. Їх інтеграли не можуть бу- ти знайдені за допомогою скінченної кількості елементарних функцій.
Наприклад, можна довести, що інтеграли 13 EMBED Equation.3 1415 13EMBED Equation.31415 13 EMBED Equation.3 1415не подаються елементарними функціями, тобто відповідні підінтегральні функції є неінтегровними.
Зауважимо, що за правилами диференціального числення для будь-якої елементарної функції можна знайти її похідну (також елементарну). В інтегральному численні такі правила для відшукання первісної принципово неможливі.
Первісні для неінтегровних функцій, таких як 13 EMBED Equation.3 1415 13EMBED Equation.31415 і т. ін., знаходять наближеними (чисельними) методами.
Загалом знаходження невизначених інтегралів задача, істотно складніша порівняно з диференціюванням. Її розв’язування спрощується завдяки застосуванню математичних довідників і комп’ютерних пакетів програм, наприклад Mathсad, Mathematica 3.0 тощо.
Основні властивості невизначеного інтеграла
Властивість 1. Знак диференціала перед знаком інтеграла знищує останній:
13EMBED Equation.31415

· Продиференціювавши рівність (1) дістанемо:
13EMBED Equation.31415
Властивість 2. Знак інтеграла перед знаком диференціала знищує останній, але при цьому вводиться довільний сталий доданок:
13EMBED Equation.31415 (2)

· Рівність (2) випливає з (1), якщо взяти 13EMBED Equation.31415
Властивість 3. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:
13EMBED Equation.31415 (3)

· Справді, згідно з властивістю 1 диференціал лівої частини
13EMBED Equation.31415 (4)
подається так само, як і диференціал правої частини:
13EMBED Equation.31415 (5)
Якщо диференціали (4) і (5) обох частин рівності (3) однакові, то ці частини відрізняються лише сталою, яка вважається включеною в позначення невизначеного інтеграла.
Властивість 4. Інтеграл алгебраїчної суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів доданків:
13EMBED Equation.31415
Формула доводиться безпосередньою перевіркою диференціюванням. Справді, диференціал лівої частини подається так:
13EMBED Equation.31415
Найпростіші інтеграли. Таблиця основних інтегралів
За формулами, якими подаються диференціали функцій, легко дістати відповідні формули інтегрування.
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415
1.13EMBED Equation.31415
2.13EMBED Equation.31415
3.13EMBED Equation.31415
4.13EMBED Equation.31415
5.13EMBED Equation.31415
6.13EMBED Equation.31415
7.13EMBED Equation.31415
Таблиця основних інтегралів
1. 13EMBED Equation.31415
2. 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
3. 13EMBED Equation.31415
4. 13EMBED Equation.31415
5. 13EMBED Equation.31415
6. 13EMBED Equation.31415
7. 13EMBED Equation.31415
8. 13EMBED Equation.31415
9. 13EMBED Equation.31415
10. 13EMBED Equation.31415
11. 13EMBED Equation.31415
12. 13EMBED Equation.31415
13. 13EMBED Equation.31415
14. 13EMBED Equation.31415
15. 13EMBED Equation.31415
16. 13EMBED Equation.31415
17. 13EMBED Equation.31415
18. 13EMBED Equation.31415 13 EMBED Equation.3 1415
19. 13EMBED Equation.31415
20. 13EMBED Equation.31415 13 EMBED Equation.3 1415
21. 13EMBED Equation.31415 13 EMBED Equation.3 1415
22. 13EMBED Equation.31415
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.7, стор. 330 – 336.


Тема 20
Означення та умови існування визначеного інтегралу. Властивості. Формула ньютона – Лейбніца

Мета заняття Узагальнити та систематизувати знання з теми.
Розвивати уважність, вміння самостійно визначати головну думку, логічне мислення.

Студенти повинні знати: означення та умови існування визначеного інтеграла; властивості визначеного інтеграла, формулу Ньютона-Лейбница.
Студенти повинні вміти: обчисляти визначені інтеграли; застосовувати властивості визначеного інтеграла для його обчислення.

Основні питання теми
1.Задачі, що приводять до визначеного інтеграла (про площу криволінійної трапеції, про роботу змінної сили, про пройдений шлях, про масу неоднорідного стержня);
2.Означення та умови існування визначеного інтеграла;
3.Властивості визначеного інтеграла;
4.Формула Ньютона – Лейбніца;
5.Геометричний зміст визначеного інтеграла;
6.Фізичний зміст визначеного інтеграла;
7.Необхідна та достатня умови інтегрованості;
8.Теорема про середнє значення функції;
9.Приклади.

Завдання для самоперевірки
1.Сформулювати теорему про існування визначеного інтеграла.
2.Сформулювати і довести властивості аддитивності і збереження знака визначеного інтеграла.
3. Із фігур, що обмежені лініями:
а)  б)
в)  г)
д)
виберіть ті, які не відповідають поняттю «криволінійна трапеція».
4. Визначеним інтегралом називається
5.Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що
6. Виберіть правильні твердження. Величина визначеного інтеграла залежить від: а) виду підінтегральної функції; б) позначення аргументу; в) проміжку інтегрування; г) області визначення первісної функції.
7.Теорема про середнє для визначеного інтеграла формулюється так
8.Сформулюйте п’ять будь-яких властивостей визначеного інтеграла.
9. Які з формул:
а) б)
в) г) 
д)
відбивають властивості визначеного інтеграла?

10.Обчислити інтеграли
б) в) 
е)
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001, стор.365 – 380.

Лекція „Визначений інтеграл”
І. Поняття визначеного інтеграла. Означення. Сума 13 EMBED Equation.3 1415 називається інтегральною сумою, або сумою Рімана.
Означення. Скінченна границя І суми ( при 13 EMBED Equation.3 1415 називається визначеним інтегралом від функції f(x) на відрізку [a; b] і позначається
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
де а, b відповідно нижня та верхня межі інтегрування, ( знак інтеграла, введений Лейбніцем. (Лейбніц увів знак інтеграла ( як витягнуту букву S, що позначає підсумовування.) У разі існування границі І функція f(x) називається інтегровною на проміжку [a; b].
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Це відома формула НьютонаЛейбніца, яка поєднує диференціальне числення з інтегральним.
В інтегралі 13 EMBED Equation.3 1415 символ х позначає змінну інтегрування. Цю змінну можна позначати будь-якою іншою буквою, а отже, завжди маємо:
13 EMBED Equation.3 1415
Зауважимо, що означення визначеного інтеграла можна застосувати лише до обмеженої функції.
Теорема. (Необхідна умова інтегрування.) Інтегровна на проміжку [a; b] функція обмежена.
Властивості визначеного інтеграла
Властивість 1. Визначений інтеграл є міра площі. Визначений інтеграл 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює площі криволінійної трапеції.
Властивість 2. При переставленні меж інтегрування визначений інтеграл змінює знак, не змінюючи абсолютної величини.
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Наслідок. 13 EMBED Equation.3 1415
Властивість 3. (Поділ відрізка інтегрування.) Нехай точка c ( [а; b]. Тоді
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Геометрична інтерпретація
13 EMBED Word.Picture.8 1415

Рис. 1

Площа криволінійної трапеції АаbB дорівнює сумі площ криволінійних трапецій АасС і СсbB (рис. 1).
Властивість 4. (Знак визначеного інтеграла.)
1. Якщо f(x) > 0 для х ( (а; b), a < b, то 13 EMBED Equation.3 1415
2. Якщо f(x) < 0 для х ( (а, b), a < b, то 13 EMBED Equation.3 1415
Геометрична інтерпретація
1. Площа, обмежена кривою В'АВ, має різні знаки по різні боки кожної межі інтегрування а (рис. 2).
13 EMBED Word.Picture.8 1415

Рис. 2

2. Площі кривих, розміщених над віссю абсцис, вважаються додатними, а площі кривих, розміщених під віссю абсцис, від’ємними (рис. 3).

13 EMBED Word.Picture.8 1415

Рис. 3

Знайти суму площ двох сусідніх хвиль синусоїди 13 EMBED Equation.3 1415

· 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 4).

13 EMBED Word.Picture.8 1415

Рис. 4
Властивість 5. Якщо ((х) > ((х) для х ( (a; b), a < b, то справджується рівність:
13 EMBED Equation.3 1415
Властивість 6. Визначений інтеграл суми функцій подається як алгебраїчна сума інтегралів:
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
Властивість 7. Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
Властивість 8. Якщо функція f(x) інтегровна на [a; b] і а < b, то
13 EMBED Equation.3 1415 (7)
Властивість 9. Якщо f(x) інтегровна на [a; b], де а < b, і якщо на цьому проміжку виконується нерівність
13 EMBED Equation.3 1415
то
13 EMBED Equation.3 1415 (8)
Властивість 10. (Теорема про середнє значення.) Нехай f(x)  інтегровна на [a; b] функція і на всьому проміжку 13 EMBED Equation.3 1415 Тоді
13 EMBED Equation.3 1415 (9)
де 13 EMBED Equation.3 1415
Випадок неперервної функції f(x). Якщо числа m i M відповідно найбільше і найменше значення функції (вони існують за теоремою Вейєрштрасса), то за теоремою БольцаноКоші проміжного значення ( функція f(x) набуває в деякій точці с проміжку [a, b].
Таким чином,
13 EMBED Equation.3 1415
Геометрична ілюстрація. Нехай f(x) ( 0. Розглянемо криволінійну фігуру АВСD, обмежену кривою у = f(x) (рис. 5). Площа такої фігури (виражена визначеним інтегралом) дорівнює площі прямокутника з основою АВ і висотою LM.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 5

ІІ. Розглянемо інший підхід до поняття визначеного інтеграла.
Відомо, що для неперервної на проміжку [a, b] функції f(x) інтеграл
13 EMBED Equation.3 1415
є первісною. Якщо F(x) будь-яка первісна для f(x) функція, то
13 EMBED Equation.3 1415
Сталу С можна визначити, узявши х = а або Ф(а) = 0. Дістанемо
0 = Ф(а) = F(x) + С, звідси С = – F(x).
Остаточно,
Ф(х) = F(x) – F(а).
Зокрема, при х = b маємо:
13 EMBED Equation.3 1415
або
13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Наведена залежність називається формулою НьютонаЛейбніца і є основною формулою інтегрального числення.
За допомогою формули (1) встановлюється зв’язок між теоремами про середнє в диференціальному та інтегральному численні.
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
Формули зведення. Формула інтегрування частинами
Основна формула інтегрального числення може в деяких випадках відразу давати значення визначеного інтеграла. Проте за її допомогою різні формули зведення в теорії невизначених інтегралів перетворюються на аналогічні формули вже у визначених інтегралах, що дозволяє обчислення одного інтеграла зводити до обчислення іншого простішого інтеграла.
Загальна форма формул зведення має вигляд:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Якщо областю застосування такої формули є проміжок [a, b], то маємо формулу
13 EMBED Equation.3 1415 (3)

· Справді, позначимо
( g(x)dx = Ф(х).
Тоді за основною формулою (3) дістанемо:
13 EMBED Equation.3 1415
Але
13 EMBED Equation.3 1415
тому приходимо до формули (3).
Зокрема, формула інтегрування частинами набирає вигляду:
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
а узагальнена формула подається так:
13 EMBED Equation.3 1415
Формула (4) встановлює співвідношення між числами, і вона простіша за формулу (3), яка встановлює відповідності між функціями.
Обчислити інтеграл 13 EMBED Equation.3 1415

· За формулою (4) маємо:
13 EMBED Equation.3 1415
Звідси дістаємо рекурентну формулу:
13 EMBED Equation.3 1415
або
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
За допомогою формули (5) інтеграл In послідовно зводиться до інтеграла І0 або І1.
Якщо n парний степінь (n = 2k), то
13 EMBED Equation.3 1415.
Якщо n непарний степінь (n = 2k + 1), то
13 EMBED Equation.3 1415.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001, стор.365 – 380.

Тема 21
Застосування визначеного інтегралу до обчислення площ фігур, об’ємів тіл та розв’язування фізичних задач

Мета заняття Набуття вмінь та навичок застосовувати знання про визначений інтеграл до розв’язування задач.
Розвивати уважність, зацікавленість, логічне мислення.

Студенти повинні знати: задачі, в яких застосувується визначений інтеграл; формули для обчислення площ фігур, об'ємів тіл обертання, шляху, що пройшла точка, роботи сили, тиску рідини.
Студенти повинні вміти: застосовувати інтеграли до обчислювання площ фігур, об'ємів тіл обертання, розв'язувати задачі з фізики за допомогою інтеграла.

Основні питання теми
Існує дві основних схеми застосування визначеного інтеграла: так званий метод інтегральних сум та метод диференціала. Сьогодні ми розглянемо застосування визначеного інтеграла до розв’язування геометричних та фізичних задач.
1.Обчислення площ плоских фігур
2.Обчислення шляху, що пройшла точка
3.Обчислення довжини дуги
4.Обчислення об’єма тіла
5.Обчислення роботи сили
6.Обчислення тиску рідини на вертикальну пластину
7.Приклади.

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті
1.Фігура, що обмежена графіком функції у = f(х), прямими х = а, х = b і відрізком [а;b] осі ОХ називається...
а)рівнобедреною трапецією б)невизначеною трапецією
в)прямокутною трапецією г)криволінійною трапецією
2.Площа криволінійної трапеції на відрізку а;b дорівнює...
а)визначеному інтегралу на відрізку а;b
б)добутку середньої лінії трапеції a на висоту трапеції b
в)(а + b)h г)abR
3.Якщо існує і має кінцеве значення границя інтегральних сум, яка не залежить від розбиття відрізка а;b на частини та від вибору точок на кожному інтервалі, то ця границя називається...
а)невизначеним інтегралом б)визначеним інтегралом
в)криволінійним інтегралом г)невласним інтегралом
4.Робота А змінної сили F(х), яка діє на відрізку а;b, дорівнює..
а)дотичній до сили б)похідній від сили
в)визначеному інтегралу від сили г)невизначеному інтегралу від сили
5.Шлях, пройдений точкою за проміжок часу від t = а до t = b, дорівнює......
а)дотичній до швидкості v(t) б)похідній від швидкості v(t)
в)невизначеному інтегралу від швидкості v(t)
г)визначеному інтегралу від швидкості v(t)
6.Фізичний зміст визначеного інтеграла - це...
а)шлях S, пройдений точкою від t = а до t = b зі швидкістю v(t)
б)площа S криволінійної трапеції в)робота А змінної сили F(х)
г)маса m неоднорідного стержня
Завдання для самоперевірки
1.Охарактеризувати дві основні схеми застосування визначеного інтеграла до розвязування практичних задач.
2.Обчислити площу фігури, обмеженої прямою у = х і параболою у = 2 – х2
3.Обчислити площу поверхні частини параболоїда , утвореного обертанням навколо осі ОХ параболи у2 = 2х, де 0
· х
· 4.
4.За допомогою визначених інтегралів обчислити площі фігур, що обмежені лініями:
1.  2.  3. 4.
5.  6. 7.
8.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл. 7, стор. 401 – 411.

Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.
Теми рефератів
1.Використання поняття визначеного інтеграла для отримання моделей задач
економічного характеру.
2.Історія розвитку інтегрального числення.
Лекція „Застосування визначеного інтеграла”
1. Обчислення площі фігури у прямокутних координатах
1. Якщо на відрізку [a, b] функція f(x) ( 0, то площа криволінійної трапеції, обмеженої кривою у = f(x), віссю Ох і прямими х = а і х = b, подається так:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
13 EMBED Word.Picture.8 1415
2. Якщо потрібно обчислити площу фігури, обмеженої кривими у = f1(x), у = f2(x) (f1(x) ( f2(x)) ординатами х = а і х = b, то
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 2
Обчислити площу фігури, обмеженої кривими 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415

· Знаходимо точки перетину кривих:
13 EMBED Equation.3 1415
отже,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 3
Звідси за формулою (2)
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 .
3. Якщо криву задано рівняннями в параметричній формі
13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (3)
то площа криволінійної фігури обчислюється за формулою
13 EMBED Equation.3 1415 (4)

· Cправді, нехай рівняння (3) визначають деяку функцію у = f(x) на відрізку [a, b]. Тоді площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою:
13 EMBED Equation.3 1415
або
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 4
Обчислити площу фігури, обмеженої віссю х і однією аркою циклоїди х = 5(t – sint), y = 5(1 – сost).

· За формулою (4) маємо:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 75(  .
2. Довжина дуги кривої
1. Довжина дуги кривої у прямокутних координатах. Нехай у прямокутних координатах на площині задано криву рівнянням у = f(x), де f(x) і f((x) неперервні на відрізку [a, b] функції.
Знайдемо довжину дуги АВ цієї кривої, що міститься між вертикальними прямими х = a i x = b (рис. 5).
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 5

Нагадаємо означення довжини дуги кривої.
Візьмемо на дузі АВ точки А, А1, А2, , В з абсцисами а = x0, x1, x2, , xn = b і проведемо хорди АА1, А1А2, , Аn–1B, довжини яких позначимо відповідно (l1, (l2, (ln. Тоді дістанемо ламану АА1А2  Аn–1B, вписану в другу АВ. Довжина ламаної дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415.
Означення. Довжиною l дуги АВ називається границя, до якої прямує довжина вписаної в цю дугу ламаної, коли довжина її найбільшої ланки прямує до нуля:
13 EMBED Equation.3 1415 (5)
Довжина дуги кривої обчислюється за формулою:
13 EMBED Equation.3 1415 (6)
Обчислити довжину півкубічної параболи 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

· За формулою (6) маємо:
13 EMBED Equation.3 1415



Застосування визначеного інтеграла в економіці
1. Загальні витрати споживачів на товар. Розглянемо криву попиту Р = f(Q) на деякий товар (рис. 6). Якщо Р ціна одиниці товару, то загальна сума витрат на придбання товару Q буде Р ( Q.
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 6

На рис. 6 позначено: Р0 ціна рівноваги; Q0 кількість товару, який продається за ціною Р0. Припустимо, що товар у кількості Q0 не відразу весь надходить на ринок, а продається партіями (Q. Мета продавця: утримувати ціну на товар, вищою за рівноважну.
Після надходження першої партії товару його кількість на ринку буде
Q1 = (Q.
Ціна, що відповідає такій кількості товару, становить Р1 = f(Q1). Витрати споживача Р1(Q.
Після надходження другої партії товару його кількість на ринку буде
Q2 = Q1 + (Q = 2(Q.
Відповідна ціна Р2 = f(Q2). Витрати Р2(Q.
Після надходження n-ї партії кількість товару Qn = Q0 = n(Q. Відповідна ціна Рn = f(Qn) = Р1 = f(Q0) = Р0. Витрати Рn(Q. Загальні витрати споживачів на всю кількість товару Q0 становитимуть
Р1(Q + Р2(Q + + Рn(Q = f1(Q1)(Q + f(Qn)(Q.
Графічна інтерпретація
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Як бачимо з рис. 7, загальні витрати споживачів дорівнюють сумі площ прямокутників, а вона, у свою чергу, наближено дорівнює визначеному інтегралу
f(Q1)(Q + f(Q2)(Q + + f(Qn)(Q 13 EMBED Equation.3 1415.
Наближена рівність стає точною, якщо n як завгодно велике.
Отже, сумарні витрати Sвит можна обчислювати за формулою:
13 EMBED Equation.3 1415 (7)
Означення. Надлишок споживача Sнадл це різниця між можливими витратами споживача і реальними витратами в умовах ринку:
13 EMBED Equation.3 1415
Геометрична інтерпретація
13 EMBED Word.Picture.8 1415
2. Додаткова вартість. Розглянемо криву пропозиції Р = f(Q) (рис. 9).
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 9

Виробники іноді мають можливість поставляти товар на ринок за вищою ціною, ніж та, на яку вони були згодні попередньо. Припускаючи, що весь товар Q0 буде реалізовано за ціною Р0, можна знайти дохід
R = Р0Q0.
Нехай водночас кількість товару, меншу за Q0, виробники поставляють за ціною, нижчою, ніж Р0. Тоді додаткова вартість виробника Sдод.варт обчислюються за формулою:
13 EMBED Equation.3 1415
3. Задача знаходження капіталу за відомими чистими інвестиціями.
Нагадаємо, що чисті інвестиції це загальні інвестиції, які надходять в економіку за певний проміжок часу, за відрахуванням інвестицій на відшкодування витраченого капіталу. Таким чином, за одиницю часу капітал збільшується на суму чистих інвестицій.
Якщо позначити через K(t) капітал як функцію часу, а чисті інвестиції І(t), то згідно зі сказаним можна записати:
13 EMBED Equation.3 1415
тобто чисті інвестиції це похідна від капіталу за часом t.
Часто доводиться відшукувати приріст капіталу за період з моменту часу t1 до t2, тобто
(K = K(t2) – K(t1).
Оскільки K(t) є первісною для функції І(t), можна записати:
13 EMBED Equation.3 1415 (8)
Визначити приріст капіталу за три роки за даними чистими інвестиціями:
13 EMBED Equation.3 1415. (9)

· Безпосередньо застосувавши формулу (8), дістанемо:
13 EMBED Equation.3 1415
За даними інвестиціями (9), знайти, за скільки років приріст капіталу становитиме 150 000.

· Маємо (K = 150 000. Позначимо шуканий проміжок часу через Т. Тоді:
13 EMBED Equation.3 1415
або
13 EMBED Equation.3 1415
Остаточно маємо:
13 EMBED Equation.3 1415
Отже, потрібно 8,54989 років, щоб приріст капіталу досяг 150 000.
4. Деякі задачі, розв’язувані за допомогою теорії інтегралів
Нехай f(x) = x2 + 10х навантаження на електростанцію; х години, що відлічуються від початку доби. Обчислити середні витрати електроенергії за 2 доби.
За формулою (7)
13 EMBED Equation.3 1415
(На теорему про середнє). Витрати виробництва K(x) визначаються формулою
K(x) = 3x2 + 4x + 1,
де х кількість вироблених одиниць продукції.
Знайти середнє значення витрат виробництва, якщо його обсяг змінюється від 0 до 3 умовних одиниць; указати обсяг продукції, за якого витрати набувають середнього значення.

· Середнє значення ( функції K(t) можна обчислити так:
13 EMBED Equation.3 1415
Водночас з огляду на неперервність K(t) значення ( досягається в деякій точці х0, тобто K(х0) = (, або 13 EMBED Equation.3 1415. Це рівняння має корені (х0)1 = – 3, (х0)2 = 13 EMBED Equation.3 1415. Отже, обсяг продукції, за якого витрати набувають середнього значення, дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл. 7, стор. 401 – 411.

Розділ”Диференціальні рівняння”
Тема 22
Загальні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь. Задача Коші. Геометричний зміст д/р. Загальний та частинний розв’язки д/р

Мета заняття Ознайомитися та вивчити основні початкові поняття теорії диференціальних рівнянь.
Розвивати зосередженість, кмітливість, логічне мислення.

Студенти повинні знати: поняття диференціального рівняння, його порядок; формулювати задачу Коші, поняття загального та частинного розв'язків рівняння; поняття інтегральної кривої.
Студенти повинні вміти: визначати порядок диференціального рівняння; відрізняти загальний та частинний розв'язки.

Основні питання теми
1.Що таке диференціальне рівняння?
2.Порядок д/р;
3.Розв’язок диференціального рівняння;
4.Інтегральна крива д/р;
5.Теорема Коші про існування і єдиність розв'язку;
6.Особливі точки, особливі розв'язки;
7.Загальний та частинний розв'язки (інтеграли) д/р;
8.Постановка задачі Коші для д/р першого порядку;
9.Приклади.

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті
1.Рівняння, що пов`язує незалежну змінну, невідому функцію та її похідні називається....
а)квадратним б)диференціальним
в)інтегральним г)логарифмічним
2.Порядок найвищої похідної, що входить до диференціального рівняння визначає..
а)перевірку рівняння б)степінь рівняння
в)порядок рівняння г)розв`язок рівняння
3.Функція, яка разом із своїми похідними обертає диференціальне рівняння в тотожність по х на інтервалі (а;b) називається...
а)інтегральною кривою диференціального рівняння
б)степенем диференціального рівняння
в)порядком диференціального рівняння
г)розв`язком диференціального рівняння
4.Диференціальне рівняння може мати...
а)загальний розв`язок б)частинний розв`язок
в)загальний інтеграл г)частинний інтеграл
5.Графік розв`язку диференціального рівняння називається...
а)дотичною до рівняння б)інтегральною кривою рівняння
в)нормаллю рівняння г)асимптотою рівняння
6.Якщо за допомогою початкових умов треба знайти частинний розв`язок диференціального рівняння, то кажуть, що треба...
а)записати формулу Коші б)зробити перетворення Коші
в)розв`язати задачу Коші г)розв`язати інтеграл Коші
7.Розв`язок, який можна отримати із загального розв`язку диференціального рівняння за допомогою початкових умов називається...
а)стандартним розв`язком рівняння
б)загальним розв`язком рівняння
в)індивідуальним розв`язком рівняння
г)частинним розв`язком рівняння
8.Якщо загальний розв`язок диференціального рівняння знайдено в неявному вигляді,то такий розв`язок називають......
а)загальним інтегралом диференціального рівняння
б)загальною похідною диференціального рівняння
в)загальною первісною диференціального рівняння
г)загальною кривою диференціального рівняння

Завдання для самоперевірки
1.У чому полягає геометричний зміст рівняння у' = f (х,у)?
2. Порядок звичайного диференціального рівняння визначається за: а) найвищим степенем функції; б) найвищим степенем похідної функції; в) сумою порядків всіх похідних рівняння; г) порядком старшої похідної. (Виберіть правильну відповідь.)
3.Закінчте вирази:
- Звичайним диференціальним рівнянням n-го порядку називається
- Розв’язком диференціального рівняння називається
4. Яка з наведених рівностей є загальним розв’язком диференціального рівняння , а яка частинним?
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) .
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.8, стор. 421 – 426.

Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.
Теми рефератів
1.Диференціальні рівняння як математичні моделі економічних і фізичних
закономірностей.
2.Метод Ейлера наближеного розв'язку задачі Коші для диференціальних
рівнянь першого порядку.

Лекція „Загальні поняття та означення теорії
диференціальних рівнянь”
Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, що містить похідні шуканої функції. Найвищий порядок похідної шуканої функції називається порядком диференціального рівняння. Надалі для скорочення запису замість слів «диференціальне рівняння» будемо використовувати позначення «ДР».
у ( = у ДР першого порядку;
у ( + siny = 0 ДР другого порядку;
у ((( ( у ( – у ( ( у ( = 0 ДР третього порядку.
ДР першого порядку в загальному вигляді можна подати так:
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Це ДР не розв’язуване відносно похідної. Якщо рівняння (1) можна розв’язати відносно похідної, то подаємо його у вигляді
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Це рівняння називається ДР першого порядку, розв’язуваним відносно похідної. Його можна записати у вигляді
13 EMBED Equation.3 1415
або
13 EMBED Equation.3 1415
Якщо функція f(x, y) є дробом
13 EMBED Equation.3 1415,
то ДР першого порядку можна записати в симетричній формі
13 EMBED Equation.3 1415
Означення. Розв’язком ДР називається функція у = ((х), яка в результаті підставляння в ДР замість шуканої функції перетворює це ДР на тотожність.
Графік функції у = ((х) називається інтегральною кри- вою. Процес знаходження розв’язку називається інтегруванням ДР.
ДР у ( = 2у має розв’язок у = е2х.

· Справді, підставляючи у ( = е2х ( 2, у = е2х у ДР, дістаємо тотожність е2х ( 2 (2 е2х.
Як правило, ДР має нескінченну множину розв’язків. Так, диференціальне рівняння у ( = 2у має розв’язок у = Се2х, де С довільний сталий параметр.
Якщо шукана функція у = у(х) залежить від одного аргументу, то ДР для у(х) називається звичайним.
Якщо шукана функція залежить від кількох аргументів, то маємо ДР з частинними похідними. У цьому розділі викладаються лише звичайні ДР.
Задача Коші
Означення. Задача знаходження частинного розв’язку у = ((х) ДР (2), що задовольняє умову:
у = у0 при х = х0, (3)
називається задачею Коші. Умови (3) називаються початковими умовами, а числа у0, х0 початковими значеннями.
Під час розв’язання задачі Коші застосовується така теорема існування і єдиності розв’язку ДР.
Теорема 1. Якщо функція f(x, y) неперервна в області D і задовольняє в ній умову Ліпшиця
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
то при (х0, у0) ( D існує єдиний розв’язок ДР у = ((х), що задовольняє початкові умови (3).
Якщо в області D виконуються умови теореми існування і єдиності, то через кожну точку області D проходить одна інтегральна крива.
Задача Коші полягає в знаходженні інтегральної кривої, що проходить через задану точку (х0, у0).
Умови (4) можна замінити іншою умовою:
13 EMBED Equation.3 1415
Точки, в яких порушується єдиність розв’язків ДР, називаються особливими. Розв’язок ДР називається особливим, якщо всі точки цього розв’язку особливі.
ДР першого порядку 13 EMBED Equation.3 1415 має розв’язок у = сх. Усі інтегральні криві перетинаються в точці (0, 0), яка є особливою точкою.
ДР 13 EMBED Equation.3 1415 має очевидний (тривіальний) розв’язок у = 0. Цей розв’язок є особливим, бо через кожну точку розв’язку проходить ще один розв’язок у = (х – с)3.
Означення. Функція у = ((х, с), що містить довільну сталу с, називається загальним розв’язком ДР у( = f(x, y), якщо функція у = ((х, с) є розв’язком ДР при довільному значенні сталої с, тобто
13 EMBED Equation.3 1415
і якщо за рахунок вибору довільної сталої с можна розв’язати задачу Коші з довільними початковими умовами, тобто рівняння у0 = ((х0, с) розв’язується відносно с.
Розв’язок виду у = ((х, с0) називається частинним розв’язком.
ДР у( = y має загальний розв’язок у = Сех, бо (Сех)( ( Сех, а рівняння 13 EMBED Equation.3 1415розв’язується відносно С, 13 EMBED Equation.3 1415
Означення. Якщо довільна стала в загальному розв’язку ДР виражена через початкові значення, то загальний розв’язок називається розв’язком у формі Коші.
ДР у( = y має загальний розв’язок 13 EMBED Equation.3 1415 у формі Коші.
Розв’язок ДР часто називають інтегралом ДР. Назву можна пояснити тим, що розв’язком найпростішого ДР
13 EMBED Equation.3 1415
є інтеграл від f(x): 13 EMBED Equation.3 1415
Загальний розв’язок ДР може бути знайдений у неявній формі, у вигляді рівняння ((х, у) = с. Це рівняння називається інтегралом ДР. Функція ((х, у) також називається інтегралом ДР. Якщо загальний розв’язок ДР задається неявним рівнянням виду ((х, у, с) = 0, то це рівняння називається загальним інтегралом ДР.
ДР 2xdx + 2уdy = 0 має інтеграл х2 + у2 = с.

· Справді, знайдемо диференціали від лівої і правої частин рівняння х2 + у2 = с: d(x2 + y2) = dc ( 2xdx + 2ydy = 0.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл.8, стор. 421 – 426.

Розділ ”Ряди”
Тема 23
Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютна та умовна збіжності рядів
.
Мета заняття Вивчити поняття знакозмінного ряду та ознаку, за якою можна визначити його збіжність. Навчитися визначати абсолютну та умовну збіжно-сті рядів.
Розвивати уважність, логічне мислення, вміння виділити головну думку теми

Студенти повинні знати: поняття знакозмінного ряду, його властивості, ознаку Лейбніца; поняття абсолютної та умовної збіжності рядів.
Студенти повинні вміти: користуватися різними ознаками при дослідженні рядів на збіжність;досліджувати ряди на абсолютну та умовну збіжность.

Основні питання теми
1.Ряди, в яких знаки членів строго чергуються;
2.Ознака Лейбніца;
3.Знакозмінні ряди;
4.Ознака збіжності знакозмінного ряду;
5.Абсолютно та умовно збіжні ряди;
6.Приклади.

Свої набуті знання ви можете перевірити в наступному тесті
1.Вираз u1 + u2 + u3 +...+ un ... називається...
а)нескінченною сумою б)скінченною сумою
в)рядом г)рівнянням з n-змінними
2.Сума n-перших членів ряда називається...
а)загальною сумою ряда б)вибірковою сумою ряда
в)інтегральною сумою ряда г)частинною сумою ряда
3.Якщо послідовність частинних сум ряда збіжна і ця границя дорівнює S, то це число S називається...
а)сумою ряда б)збіжністю ряда
в)розбіжністю ряда г)загальним членом ряда
4.Якщо ряд має кінцеву суму, то він називається...
а)розбіжним б)збіжним
в)сумованим г)кінцевим
5.Якщо послідовність частинних сум ряду не має скінченної границі, то ряд називається...
а)розбіжним б)збіжним
в)сумованим г)кінцевим
6.На збіжність ряду не впливає..
а)зміна знаків усіх членів
б)відкидання від нього скінченної кількості членів ряду
в)додавання до нього скінченної кількості членів ряду
г)обертання усіх членів ряду
7.Якщо ряд збіжний, то границя його загального члена...
а)не існує б)дорівнює `+` нескінченності
в)дорівнює `-` нескінченності г)дорівнює `0`
8.Якщо границя загального члена ряда не дорівнює 0, то ряд буде..
а)розбіжним б)збіжним
в)гармонійним г)загальним
9.Ряд, довільні два сусідні члени якого мають різні знаки, називається рядом, члени якого...
а)строго додатні б)строго від`ємні
в)строго чергуються г)знакозмінні
10.Якщо серед членів ряда є як від`ємні, так і додатні, то ряд називається...
а)збіжним б)розбіжним
в)строго змінним г)знакозмінним
11.Якщо ряд, утворений з модулів членів ряду, є збіжним, то сам знакозмінний ряд називається....
а)абсолютно збіжним б)умовно збіжним
в)незбіжним г)розбіжним
12.Якщо знакозмінний ряд є збіжним, а ряд, утворений з модулів його членів, розбіжний, то даний ряд називається...
а)абсолютно збіжним б)умовно збіжним
в)незбіжним г)розбіжним

Завдання для самоперевірки
Дослідити на збіжність ряди
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415 3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415 6. 13 EMBED Equation.3 1415 7. 13 EMBED Equation.3 1415 8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415 10. 13 EMBED Equation.3 1415
11. 13 EMBED Equation.3 1415 12. 13 EMBED Equation.3 1415
13. 13 EMBED Equation.3 1415 14. 13 EMBED Equation.3 1415
15. 13 EMBED Equation.3 1415
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл. 9, стор. 505 – 509.
Лекція „Збіжність рядів зі знакозмінними членами”
Знакопочергові ряди. Ознака збіжності Лейбніца
Означення. Ряд виду
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
де аn > 0 (n = 1, 2, 3, ), називається знакопочерговим рядом.

Лейбніц указав достатню умову збіжності ряду (1).
Теорема 1. Нехай у знакопочерговому ряді (1) послідовність аn(n = 1, 2, 3, ) монотонно спадає. Якщо
13 EMBED Equation.3 1415
ряд (1) збігається і його сума не перевищує а1.
Дослідимо збіжність знакопочергового ряду
13 EMBED Equation.3 1415
Усі умови теореми 1 виконані, і тому ряд збігається.
Абсолютна й умовна збіжність
Розглянемо довільний числовий ряд
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Означення. Ряд (2) називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд
13 EMBED Equation.3 1415 (3)
Збіжний ряд (2) називається умовно збіжним, якщо ряд (3) розбіжний.
Ряд 13 EMBED Equation.3 1415 є умовно збіжним, бо ряд 13 EMBED Equation.3 1415 розбіжний.
Очевидно, що із збіжності ряду (3) випливає збіжність ряду (2), бо члени ряду (22) можуть мати різні знаки.
Теорема 2. Абсолютно збіжний ряд збігається.
Оскільки для рядів з додатними членами відомі достатні ознаки збіжності, то їх можна використовувати для дослідження збіжності рядів за знакопочерговими членами.
Теорема 3. Якщо для знакопочергового ряду
13 EMBED Equation.3 1415
існують границі
13 EMBED Equation.3 1415,
то при q < 1 ряд абсолютно збіжний, а при q > 1 розбіжний.
Дослідимо збіжність ряду
13 EMBED Equation.3 1415

· Знаходимо границю
13 EMBED Equation.3 1415
Отже, ряд, що розглядається, збігається абсолютно.
Раніше відмічалося, що в довільному ряді не можна переставляти члени ряду. Наведемо без доведення такі твердження.
Теорема 4. Якщо ряд збігається абсолютно, то за будь-якої перестановки членів ряд буде збігатися і сума його не змінюватиметься.
Теорема 5. (Теорема Рімана.) Якщо ряд збігається умовно і s будь-яке наперед задане число, то завжди можна переставити члени ряду так, щоб сума отриманого ряду дорівнювала s.
Дамо пояснення до теореми Рімана. Умовна збіжність ряду виконується завдяки тому, що додатні і від’ємні члени взаємно знищуються. Якщо скласти ряд лише із додатних членів і ряд лише із від’ємних членів, то ці ряди розбігаються. Отже, можна почергово обирати лише додатні або від’ємні числа так, щоб значення частинних сум було як можна ближче до значення s. При цьому сума ряду дорівнюватиме s.
Розглянемо ряд Лейбніца
13 EMBED Equation.3 1415
Переставимо члени ряду так, щоб після додатного члена стояли два від’ємні.
При цьому дістанемо ряд
13 EMBED Equation.3 1415
За такого переставлення членів ряду сума ряду зменшилась удвічі.
Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001
Гл. 9, стор. 505 – 509.
Тема 24
Дослідження рядів на збіжність

Мета заняття Набуття вмінь та навичок визначати збіжність рядів.
Розвивати логічне мислення, вміння орієнтуватися при виборі ознак збіжності рядів.

Студенти повинні знати::поняття числових рядів,гармонічного ряду, властивості числових рядів; поняття знакододатного ряду, достатні ознаки збіжності; поняття знакозмінного ряду, його властивості, ознаку Лейбніца.
Студенти повинні вміти: виконувати найпростіші дослідження числових рядів; досліджувати ряди на збіжність; користуватися різними ознаками при дослідженні рядів на збіжність.

План самостійного розв’язування задач
Для вивчення цієї теми студенти отримують індивідуальні завдання, в яких треба дослідити ряди на збіжність, використовуючи відповідну ознаку.
Для цього треба:
1.Повторити поняття числового та степеневого рядів;
2.Знати,що таке сума ряда і як за означенням її знайти;
3.Повторити ознаки збіжності рядів:
- ознаку порівняння
- ознаку Даламбера
- ознаку Коші
- Ознаку Лейбніца
4.Знайти суму ряду
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415 6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415 8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 1415
11. 13 EMBED Equation.3 1415
1213 EMBED Equation.3 1415. 13. 13 EMBED Equation.3 1415.
14. 13 EMBED Equation.3 1415. 15. 13 EMBED Equation.3 1415
16. 13 EMBED Equation.3 1415

Література : В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001, стор.505 – 509.

Для більш глибокого вивчення теми рекомендовано обрати одну із запропонованих тем для написання реферату.
Теми рефератів:
1.Ряди Фур'є і їх застосування.
2.Ряд Лейбніца.

















Література

1.Дубовик В.П. Вища математика. – Київ: АСК,2001
2.Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів. – Т.1.
Вища математика. – Київ: Нац. акад. упр., 1997
3.Бугір М. Математика для економістів. – Київ: Академія,1988
4.Богомолов М.В. Практичні заняття з математики. – Київ: Вища школа,1997
5.Кринський Х.Е. Математика для економістів. – М.: Вища школа,1970
6.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.:
Высш. шк., 1980
7.Дюженкова Л.І., Носаль Т.В. Вища математика. – Київ:Вища шк., 1991










ЗМІСТ

Анотація
Вступ
Будова математичної теорії. Ключові поняття
Перелік тем, винесених на самостійне вивчення
Тема 1. „Визначники 3-го, n-го порядку. Властивості визначників.
Розклад визначника за елементами рядків та стовпців”
Тема 2.”Роз'вязування систем лінійних рівнянь за формулами Крамера”
Тема 3.”Ранг матриці. Умови сумісності та визначеності СЛР”
Тема4.”Вектори і лінійні дії над нами. Розклад вектора за базисом.
Координати вектора, дії за координатами. Обчислення скалярного
добутку та косинуса кута між двома векторами”
Тема 5.”Різні види рівнянь прямої на площині”
Тема 6.”Кут між двома прямими. Умови || і
· двох прямих. Відстань від
точки до прямої”
Тема 7.”Кут між двома площинами. Умови || і
· двох площин. Відстань
від точки до площини”
Тема 8.”Різні види рівнянь прямої у просторі. Кут між двома прямими у
просторі. Умови || і
· двох прямих у просторі. Кут між прямою і
площиною.Умови || і
· прямої і площини”
Тема 9.”Гіпербола. Парабола. Властивості”
Тема 10.”Числова послідовність. Границя числової послідовності”
Теореми про границі числової послідовності. Нескінчено малі та
нескінчено великі послідовності”
Тема 11.”Неперервність функції в точці і на проміжку. Точки розриву
функції”
Тема 12.”Задачі, що приводять до поняття похідної.Означення похідної.
Фізичний та геометричний зміст похідної. Таблиця похідних. Похідна
складеної та оберненої функцій”
Тема 13.”Диференціал функції та його геометричний зміст. Властивості
диференціала. Застосування диференціала в наближених обчисленнях”
Тема 14.”Формула Тейлора”
Тема 15.”Застосування диференціального числення до дослідження фун-
кцій”
Тема 16.”Функція багатьох змінних. Означення та символіка. Границя
функції. Графік функції”
Тема 17.”Диференційованість функції багатьох змінних. Похідна за
напрямом. Градієнт”
Тема 18.”Локальні екстремуми функції багатьох змінних”
Тема 19.”Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла. Таблиця
основних інтегралів”
Тема 20.”Означення і умови існування визначеного інтеграла. Властивості.
Формула Ньютона – Лейбніца”
Тема 21.”Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ фігур,
об'ємів тіл обертання та фізичних задач”
Тема 22.”Загальні поняття та означення теорії диференціальних рівнянь.
Постановка задачі Коші. Загальний та частинний розв'язки
диференціального рівняння”
Тема 23.”Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца. Абсолютна та умовна
збіжність рядів”
Тема 24.”Дослідження рядів на збіжність”
Література
Зміст



* Літерою е його вперше позначив Л. Ейлер.


































































13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

Позначення Ньютона

Позначення Лейбніца

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415



13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

Рис. 2

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

Рис. 4

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

Рис. 5

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

Рис. 8

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

Рис. 9

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415

13 EMBED CorelDraw.Graphic.8 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native15Times New RomanEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native15Times New Roman

Приложенные файлы

  • doc 10754631
    Размер файла: 6 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий