матиматика №7

Контрольная работа № 7

Задание 1.
13 EMBED Equation.3 1415.

Рассмотрим множества по отдельности.
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415.


Задание 2.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Два множества эквивалентны, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Взаимно однозначное соответствие множеств 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 можно установить, как аналитически:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
так и геометрически:


Прямая, описываемая функцией 13 EMBED Equation.3 1415, однозначно отображает интервал13 EMBED Equation.3 1415 на интервал 13 EMBED Equation.3 1415.

Задание 3.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, то поделим выражения, стоящие числителе и знаменателе, по отдельности на 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Воспользовались формулой первого замечательного предела 13 EMBED Equation.3 1415.


Задание 4.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415


Задание 5.
13 EMBED Equation.3 1415.

1. Область допустимых значений переменной 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.

2. Находим первую производную 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Определяем стационарные точки 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

0
+
не опред.
+
0


13 EMBED Equation.3 1415
убыв.
0
возр.

возр.
–28
убыв.

характер
экстремума

13 EMBED Equation.3 1415



13 EMBED Equation.3 1415



Ответ: на интервале 13 EMBED Equation.3 1415 функция убывает, на интервале 13 EMBED Equation.3 1415 – возрастает; 13 EMBED Equation.3 1415 – точка минимума, 13 EMBED Equation.3 1415 – точка максимума.


Задание 6.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415


Задание 7.
а) Метод интегрирования по частям
13 EMBED Equation.3 1415


б) Метод замены переменной
13 EMBED Equation.3 1415
Задание 8.
13 EMBED Equation.3 1415.
Область определения функции:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим уравнение 13 EMBED Equation.3 1415. Данное уравнение задаёт окружность с центром в точке с координатами 13 EMBED Equation.3 1415 и радиусом 13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, область определения функции есть внешность окружности, задаваемой уравнением 13 EMBED Equation.3 1415, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415.


Задание 9.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Задание 10.
13 EMBED Equation.3 1415.
Находим частные производные первого порядка:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Приравниваем частные производные нулю и находим стационарные точки:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Получили три стационарные точки 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Находим частные производные второго порядка:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Исследуем стационарные точки на экстремум.
Для точки 13 EMBED Equation.3 1415 будем иметь 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
·
Т. к. 13 EMBED Equation.3 1415, то в точке 13 EMBED Equation.3 1415 экстремума нет.
Для точки 13 EMBED Equation.3 1415 будем иметь 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Т. к. 13 EMBED Equation.3 1415, то в точке 13 EMBED Equation.3 1415 экстремума нет.
Для точки 13 EMBED Equation.3 1415 будем иметь 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Т. к. 13 EMBED Equation.3 1415, то точка 13 EMBED Equation.3 1415 – точка экстремума, причём в данной точке достигается минимум 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 – точка минимума.
Задание 11.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Данное уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. линейное уравнение по 13 EMBED Equation.3 1415. Для решения применяем вариации произвольных постоянных.
Находим общее решение соответствующего однородного уравнения.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Подстановкой в исходное уравнение убеждаемся, что 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 решениями не являются.
Будем рассматривать константу 13 EMBED Equation.3 1415 как функцию, зависящую от 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
Находим производную 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
Подставляем 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 в исходное уравнение.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда искомая функция будет иметь вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Решаем задачу Коши, принимая начальные условия 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Задание 12.
13 EMBED Equation.3 1415.
Данное уравнение является неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.
Общее решение ищем в виде 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения; 13 EMBED Equation.3 1415 – частное решение данного неоднородного дифференциального уравнения.
1) 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415
Составляем характеристическое уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Общее решение: 13 EMBED Equation.3 1415.
2) 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415
Правая часть уравнения имеет специальный вид 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 не является корнем характеристического уравнения, 13 EMBED Equation.3 1415 – многочлен первой степени. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 будем искать в виде многочлена первой степени с неопределёнными коэффициентами
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Подставляем найденные выражения в исходное уравнение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Находим неизвестные коэффициенты 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, приравнивая коэффициенты в уравнении при соответствующих степенях 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Общее решение уравнения имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 10789216
    Размер файла: 391 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий