БАНК ЗАДАЧ з елементарної математики до держа..

БАНК ЗАДАЧ
з елементарної математики до державного екзамену
" Елементарна математика з методикою викладання математики в школі"
І. Обчислення і тотожні перетворення
Розкласти на множники:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Довести, що якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
Довести, що якщо 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 - число ціле.
Спростити вирази:
13 EM
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Спростити вирази та знайти їх значення:
13 EMBED Equation.3 1415 , якщо 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Довести рівності:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Позбутися ірраціональності в знаменнику дробу:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Порівняти числа:
13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415
2 та 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415
Знайти 13 EMBED Equation.3 1415 , якщо 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Знайти 13 EMBED Equation.3 1415 , якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Знайти 13 EMBED Equation.3 1415 , якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Знайти 13 EMBED Equation.3 1415 , якщо 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Обчислити:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


ІІ. Рівняння
Розв’язати рівняння:
1.
13 EMBED Equation.3 1415
2.
13 EMBED Equation.3 1415

3.
13 EMBED Equation.3 1415
4.
13 EMBED Equation.3 1415

5.
13 EMBED Equation.3 1415
6.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 13 EMBED Equation.3 1415
42.
13 EMBED Equation.3 1415

43.
13 EMBED Equation.3 1415
44.
13 EMBED Equation.3 1415

45.
13 EMBED Equation.3 1415
46.
13 EMBED Equation.3 1415


Розв’язати системи рівнянь:
1.
13 EMBED Equation.3 1415
2.
13 EMBED Equation.3 1415

3.

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·quation.3 1415

23.
13 EMBED Equation.3 1415
24.
13 EMBED Equation.3 1415

25.
13 EMBED Equation.3 1415
26.
13 EMBED Equation.3 1415

27.
13 EMBED Equation.3 1415
28.
13 EMBED Equation.3 1415

29.
13 EMBED Equation.3 1415
30.
13 EMBED Equation.3 1415


ІІІ. Нерівності
Розв’язати нерівності:
1.
13 EMBED Equation.3 1415
2.
13 EMBED Equation.3 1415

3.
13 EMBED Equation.3 1415
4.
13 EMBED Equation.3 1415

5.
13 EMBED Equation.3 1415
6.
13 EMBED Equation.3 1415

7.
13 EMBED Equation.3 1415
8.
13 EMBED Equation.3 1415

9.
13 EMB
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·BED Equation.3 1415
28.
13 EMBED Equation.3 1415

29.
13 EMBED Equation.3 1415
30.
13 EMBED Equation.3 1415


Розв’язати системи нерівностей:

1.
13 EMBED Equation.3 1415
2.
13 EMBED Equation.3 1415

3.
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


Довести нерівності:
1.
13 EMBED Equation.3 1415
2.
13 EMBED Equation.3 1415

3.
13 EMBED Equation.3 1415
4.
13 EMBED Equation.3 1415

5.
13 EMBED Equation.3 1415
6.
13 EMBED Equation.3 1415


ІV. Тригонометрія

Довести справедливість рівності:
1.
13 EMBED Equation.3 1415
2.
13 EMBED Equation.3 1415

3.
13 EMBED Equation.3 1415
4.
13 EMBED Equation.3 1415

5.
13 EMBED Equation.3 1415
6.
13 EMBED Equation.3 1415

7.
13 EMBED Equation.3 1415




Розв’язати рівняння:
1
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Довести нерівності:
1.
13 EMBED Equation.3 1415
2.
13 EMBED Equation.3 1415

3.
13 EMBED Equation.3 1415
4.
13 EMBED Equation.3 1415

5.
13 EMBED Equation.3 1415
6.
13 EMBED Equation.3 1415


Розв’язати нерівності:
1.
13 EMBED Equation.3 1415
2.
13 EMBED Equation.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Спростити вирази:
1
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415




Розв’язати системи тригонометричних рівнянь

1.
13 EMBED Equation.3 1415
2.
13 EMBED Equation.3 1415

3.
13 EMBED Equation.3 1415
4.
13 EMBED Equation.3 1415

5.
13 EMBED Equation.3 1415
6.
13 EMBED Equation.3 1415





V Текстові задачі
Задачі на числові залежності:
Знайти всі числа виду 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, що діляться на 45.
Число 9 записати у вигляді добутку двох додатних чисел, сума квадратів яких була б найменшою.
Сума квадратів цифр двозначного числа дорівнює 10. Якщо від шуканого числа відняти 18, то отримаємо число, яке записане тими ж цифрами, але в зворотному порядку. Знайти це число.
Знайти двозначне число яке в чотири рази більше суми своїх цифр і в три рази більше добутку своїх цифр.
Знайдіть два цілих числа, сума яких дорівнює 1244. Якщо до першого числа приписати справа цифру 3, а в другому числі відкинути останню цифру 2, то отримані числа будуть рівні.
Тризначне число закінчується цифрою 3. Якщо цю цифру перенести на початок числа, то нове число буде більше потроєного попереднього числа на 1. Знайти це число.
Знаменник звичайного дробу на 4 більший за його чисельник. Якщо чисельник цього дробу збільшити на 6, а знаменник – на 5, то отриманий дріб буде на 13 EMBED Equation.3 1415більший за даний. Знайдіть даний дріб.
Задачі на прогресії:
Перший член арифметичної прогресії дорівнює -5, а різниця дорівнює 6. Скільки треба взяти перших членів прогресії, щоб їх сума дорівнювала 1040?
Дано рівносторонній трикутник із стороною 1 см. Середини його сторін – вершини другого трикутника, середини сторін другого – вершини третього трикутника і т.д. Знайти суму периметрів усіх цих трикутників.
Терміновий вклад, внесений в ощадний банк, щороку збільшується на 3%. Чому дорівнюватиме вклад через 3 роки, якщо спочатку він дорівнював 800 грн.?
Скільки членів геометричної прогресії потрібно додати, щоб отримати суму 3069, якщо 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
При діленні дев’ятого члена арифметичної прогресії на другий її член в частці отримаємо 5, а при діленні тринадцятого члена цієї прогресії на її шостий член в частці отримаємо 2 і в остачі 5. Знайти суму 20 членів цієї прогресії.
Сума нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює 4, а сума кубів її членів дорівнює 192. Знайдіть перший член і знаменник геометричної прогресії.
При діленні дев’ятого члена арифметичної прогресії на другий її член в частці отримаємо 5, а при діленні тринадцятого члена цієї прогресії на її шостий член в частці отримаємо 2 і в остачі 5. Знайти суму 20 членів цієї прогресії.
Сума другого і третього членів геометричної прогресії дорівнює 30, а різниця четвертого і другого дорівнює 90. Знайдіть перший член прогресії.
Задачі на сумісну роботу:
Один робітник виготовляє 96 деталей на 2 години швидше, ніж другий 112 деталей. Скільки деталей виготовляє щогодини кожен робітник, якщо перший робить за годину на 2 деталі більше, ніж другий?
Перший насос перекачує 90 м3 води на 1 год швидше, ніж другий 100 м3. Скільки води щогодини перекачує кожен насос, якщо перший перекачує за годину на 5 м3 води більше ніж другий?
Двоє робітників виконують деяку роботу за 12 годин. Якщо б з початку перший робітник зробив половину цієї роботи, а потім другий решту, то вся робота була б виконана за 25 год. За який час міг би виконати цю роботу кожен робітник окремо?
Для прокладки траншеї виділено 2 екскаватори різних типів. Час необхідний першому екскаватору для прокладки траншеї, на 3 години менший за час, який потрібен другому екскаватору для прокладки цієї ж траншеї. Скільки годин потрібно кожному екскаватору для прокладки траншеї, якщо сума їхнього часу в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 раз більше часу необхідного для прокладки траншеї при спільній роботі?
В котлован рівномірно надходить вода. 10 однакових насосів, працюючи одночасно, можуть відкачати воду за 12 год, а 15 таких насосів за 6 год. За скільки часу можуть відкачати воду з заповненого котловану 25 таких насосів при спільній роботі ?
Два маляра, працюючи разом можуть пофарбувати фасад будинку за 16 годин. За скільки годин може виконати цю роботу кожен з них, працюючи самостійно, якщо одному для цього потрібно на 24 год менше, ніж другому?
Одна бригада працювала на ремонті дороги 9 год, після чого до неї приєдналась друга бригада. Через 6 год спільної роботи виявилось, що відремонтовано 13 EMBED Equation.3 1415 дороги. За скільки годин може відремонтувати дорогу кожна бригада, працюючи самостійно, якщо першій бригаді на це потрібно на 9 год більше, ніж другій?
Задачі на рух:
На шлях із села до міста, що дорівнює 90 км, один мотоцикліст витрачає на 18 хв більше, ніж другий, оскільки його швидкість на 10 км/год менша від швидкості другого. Знайдіть швидкість кожного мотоцикліста.
Катер пропливає 4 км проти течії річки і 15 км за течією за такий самий час, який потрібен плоту, щоб проплисти 2 км по цій річці. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість катера дорівнює 18 км/год.
Туристу потрібно пройти відстань від села до станції. Пройшовши 3 км/год, він зрозумів, що спізниться на потяг, і почав рухатись із швидкістю 4 км/год. На станцію він прийшов за 45 хв до відходу потягу. Якщо б він йшов з попередньою швидкістю, то спізнився б на потяг на 40 хв. Визначте відстань від села до станції.
Пасажир знаходиться в поїзді який рухається з швидкістю 40 км/год помічає, що повз вікно в протилежному напрямку за 3 секунди пройшов зустрічний поїзд, довжина якого 75 м. Яка швидкість зустрічного поїзда?
Велосипедист повинен був проїхати 48 км з певною середньою швидкістю. Але по деяким причинам першу половину шляху він їхав із швидкістю, яка на 20% менша запланованої, а другу частину шляху із швидкістю, яка на 2 км більша запланованої. На весь шлях велосипедист витратив 5 годин. Знайти заплановану швидкість.
Літак летів спочатку із швидкістю 220 км/год. Коли йому залишалось летіти на 385 км менше, ніж він пролетів, швидкість його стала дорівнювати 330 км/год. Середня швидкість літака на всьому шляху дорівнює 250 км/год. Яку відстань пролетів літак?
Мікроавтобус запізнювався на 12 хв. Для того щоб прибути у пункт призначення вчасно, він за 144 км від цього пункту збільшив свою швидкість на 8 км/год. Знайдіть початкову швидкість мікроавтобуса.
Задачі на сплави і суміші:
Після того як змішали 60-відсотковий і 30- відсотковий розчини кислоти, отримали 600 г 40- відсоткового розчину. Скільки грамів кожного розчину змішали?
Сплав важить 2 кг і складається з срібла і міді, причому маса срібла складає 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 маси міді. Скільки срібла в сплаві?
Є 735 г 16% - ного розчину йоду в спирті. Потрібно отримати 10% - ний розчин йоду. Скільки грамів спирту потрібно добавити до розчину який є?
З 40 тон руди виплавляють 20 тон металу, який містить 6% суміші. Який відсоток суміші в руді?
Бджоли, переробляючи квітковий нектар в мед, звільняють його від значної частини води. Скільки кілограмів нектару потрібно переробити бджолам для отримання 1 кг меду, якщо відомо, що нектар містить 70% води, а отриманий з нього мед – 17% води?
З 38 т сировини другого сорту, яка містить 25% домішок, після переробки отримують 30 т сировини першого сорту. Який відсоток домішок в сировині першого сорту?
Змішали 30-відсотковий розчин соляної кислоти з 10-відсотковим і отримали 600 г 15-відсоткового розчину. Скільки взяли грамів кожного розчину?
Скільки кілограмів 20-відсоткового і скільки кілограмів 50-відсоткового сплавів міді треба взяти, щоб отримати 30 кг 30-відсоткового сплаву?

VІ. Стереометрія
Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює а. Бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть об’єм піраміди.
Бічною гранню правильної зрізаної чотирикутної піраміди є трапеція, більша основа якої дорівнює 8см. А менша основа і бічні сторони по 4 см. Знайдіть об’єм даної зрізаної піраміди.
В основі паралелепіпеда лежить квадрат, а бічне ребро утворює з сторонами основи рівні кути по 60°. Знайдіть висоту паралелепіпеда, якщо довжина бічного ребра 12см.
В основі піраміди лежить прямокутник. Дві суміжні бічні грані піраміди перпендикулярні до основи, а дві інші нахилені до неї під кутами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 і 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Визначте бічну поверхню піраміди, якщо висота піраміди дорівнює 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з кутом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при вершині і бічною стороною 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Визначте об’єм піраміди, якщо всі її бічні ребра нахилені до основи під кутом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В основі піраміди лежить ромб, більша діагональ якого дорівнює 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а гострий кут – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Бічні грані нахилені до основи під кутом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайти об’єм піраміди.
В основі піраміди лежить трикутник з кутами 13 EMBED Equation.3 1415. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють 13 EMBED Equation.3 1415. Точку висоти піраміди, що знаходиться на відстані 13 EMBED Equation.3 1415від сторони основи піраміди, рівновіддалена від її бічної грані і площини основи. Визначити об’єм піраміди.
В основі трикутної піраміди 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 лежить прямокутний трикутник 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, ребро 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 перпендикулярне площині основи. Дано: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайти радіус вписаної в піраміду кулі.
В основі чотирикутної піраміди лежить квадрат з стороною 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, одне бічне ребро перпендикулярне площині основи, а більше бічне ребро нахилене до площини основи під кутом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайти радіус кулі, вписаної в цю піраміду.
В правильній трикутній піраміді висота, опущена на основу, рівна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а відстань від центра основи до бічної грані рівна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Визначити радіус вписаної в піраміду кулі.
В правильній трикутній піраміді площа бічної поверхні рівна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а кут між бічною гранню і основою рівний 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайти висоту піраміди, опущену на основу.
В трикутній піраміді всі бічні ребра і дві сторони основи дорівнюють 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Кут між рівними сторонами основи дорівнює 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Обчислити об’єм піраміди.
Всі ребра правильної трикутної призми дорівнюють 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайти площу перерізу, проведеного через сторону основи під кутом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 до площини основи.
Двогранний кут при ребрі основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415, а відстань від центра основи до бічної грані - d. Знайдіть об’єм конуса, вписаного в дану піраміду.
Діагональ бічної грані правильної трикутної призми дорівнює d і нахилена під кутом 13 EMBED Equation.3 1415 до площини основи. Знайдіть об’єм циліндра, вписаного в цю призму.
Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює d і утворює з площиною однієї бічної грані кут13 EMBED Equation.3 1415, а іншої - кут 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда.
З точки до площини проведено дві похилі, які утворюють з площиною кути по 30°. Знайдіть кут між проекціями похилих на цю площину, якщо кут між похилими дорівнює 60°.
Знайдіть площу поверхні тіла, яке утворюється при обертанні трикутника зі сторонами 25см, 29см і 36см навколо меншої сторони.
Кут між діагоналями двох бічних граней правильної трикутної призми, проведеними з однієї вершини, дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть об'єм призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює d.
Кут між діагоналями двох бічних граней правильної чотирикутної призми, проведеними з однієї вершини, дорівнює13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть об'єм призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює d.
Обчисліть об’єм і повну поверхню правильного тетраедра, якщо радіус кола, описаного навколо його грані, дорівнює 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Основа піраміди – квадрат. Дві суміжні бічні грані перпендикулярні до основи, а дві інші нахилені до неї під кутом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Рівні бічні ребра піраміди дорівнюють 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайти об’єм піраміди.
Основа піраміди – прямокутник, одна із сторін якого дорівнює а і утворює з діагоналлю прямокутника кут 13 EMBED Equation.3 1415. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть бічну поверхню конуса, описаного навколо даної піраміди.
Основа піраміди – рівнобедрений трикутник з основою а і кутом 13 EMBED Equation.3 1415 при вершині. Усі бічні ребра піраміди утворюють з площиною основи кут 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть висоту конуса, описаного навколо даної піраміди.
Основа піраміди – ромб, зі стороною 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 і гострим кутом – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Бічні грані нахилені до основи під кутом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайти бічну поверхню піраміди.
Основа похилої призми - правильний трикутник зі стороною 10 см. Бічне ребро призми дорівнює 12 см і утворює із суміжними сторонами основи кути по 60°. Знайдіть об'єм призми.
Основа прямої призми - рівнобедрений трикутник з бічною стороною 8 см і кутом 120° при вершині. Кут між діагоналями рівних бічних граней, які проведено з однієї вершини верхньої основи, дорівнює 90°. Обчисліть площу бічної поверхні призми.
Основа прямої призми - ромб з більшою діагоналлю d і гострим кутом 13 EMBED Equation.3 1415. Через меншу діагональ нижньої основи і вершину гострого кута верхньої основи проведено переріз, який утворює з площиною основи кут 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть об'єм призми.
Основа прямої призми – ромб з гострим кутом 13 EMBED Equation.3 1415, площа якого дорівнює S. У призмі проведено діагональний переріз, що проходить через меншу діагональ основи. Діагональ цього перерізу нахилена до площини основи під кутом13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть площу бічної поверхні призми.
Основа прямої призми - ромб з гострим кутом 13 EMBED Equation.3 1415. Діагональний переріз призми, що проходить через більшу діагональ основи, має площу S. Знайдіть площу бічної поверхні призми.
Основою піраміди є прямокутний трикутник з гострим кутом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Висота піраміди дорівнює 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Кожне бічне ребро утворює з її основою кут 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайти об’єм піраміди.
Повна поверхня правильної трикутної піраміди рівна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а кут між бічними ребрами рівний 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайти висоту піраміди, опущену на основу.
Прямий круговий конус вписано в кулю. Знайти відношення об’єму конуса до об’єму кулі, якщо твірна конуса нахилена до його основи під кутом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Прямокутний трикутник з катетом а і протилежним кутом 13 EMBED Equation.3 1415обертається навколо прямої, що містить його гіпотенузу. Знайдіть об’єм тіла обертання.
Ребро куба дорівнює 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайти об’єм прямого кругового конуса, вершина якого співпадає з вершиною куба 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а коло основи проходить через центри граней куба, які не проходять через вершину 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ребро правильного тетраедра 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дорівнює 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайдіть площу його перерізу, який проходить через вершину 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 і середини ребер 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 і 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ребро правильного тетраедра рівне 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайти радіус сфери, яка дотикається до бічних граней тетраедра, якщо центр цієї сфери лежить на основі тетраедра.
Рівнобедрений трикутник, бічна сторона якого дорівнює b, а кут при вершині - 13 EMBED Equation.3 1415, обертається навколо прямої, що проходить через вершину трикутника паралельно його основі. Знайдіть об’єм тіла обертання.
Ромб, площа якого дорівнює S, обертається навколо своєї сторони. Знайдіть площу поверхні отриманого тіла обертання.
Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, висота піраміди 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди.
Сторони основ правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнюють 3 см і 9 см, а бічне ребро утворює з площиною більшої основи кут 45°. Знайдіть об’єм даної зрізаної піраміди.
У конус вписано кулю, радіус якої дорівнює r. Твірну конуса видно із центра кулі під кутом 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть об’єм конуса.
У кулю вписано правильну чотирикутну призму, висота якої дорівнює h, а діагональ нахилена до площини основи під кутом 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть радіус кулі.
У кулю з радіусом R вписано правильну чотирикутну призму, діагональ якої нахилена до площини основи під кутом 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть сторону основи призми.
У правильній трикутній піраміді апофема дорівнює 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а плоский кут при вершині -13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Визначте об’єм конуса, вписаного в піраміду.
У правильній трикутній піраміді бічне ребро утворює з площиною основи кут 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайдіть об’єм піраміди, якщо радіус описаної кулі дорівнює 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
У правильній трикутній піраміді двогранний кут при основі дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415. Через одну із сторін основи проведено переріз, площина якого перпендикулярна до протилежного бічного ребра. Площа перерізу дорівнює Q. Визначити об’єм піраміди.
У правильній трикутній піраміді з висотою 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 через сторону основи 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 проведено площину, яка перетинає протилежне бічне ребро під прямим кутом. Знайдіть площу перерізу.
У правильній трикутній піраміді кут між бічними гранями дорівнює 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знайдіть плоский кут при вершині піраміди.
У правильній трикутній піраміді радіус вписаної кулі дорівнює r, а плоский кут при вершині - 13 EMBED Equation.3 1415. Знайдіть об’єм піраміди.
У правильній чотирикутній піраміді бічна грань нахилена до площини основи під кутом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Відрізок, що сполучає середину висоти піраміди з серединою апофеми, дорівнює 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Визначте об’єм піраміди.
У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює а, двогранний кут при ребрі основи - 13 EMBED Equation.3 1415 Знайдіть площу перерізу, який ділить цей двогранний кут навпіл.
У правильній чотирикутній піраміді через середини двох суміжних бічних ребер проведено переріз, який паралельний висоті піраміди. Знайдіть площу перерізу, якщо сторона основи піраміди дорівнює 8см, а висота піраміди – 12см.
У правильній чотирикутній призмі АВСDА1В1С1D1 сторона основи дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415см, а бічне ребро – 3см. Через діагональ ВD нижньої основи і середину сторони В1С1 верхньої проведено площину. Знайдіть площу перерізу.
У правильному тетраедрі кожне ребро дорівнює а. Знайдіть відстань між мимобіжними ребрами.
У просторі задано точки М (1; 5;-2), N(2; 3; -1) і К(3;4;-1). Чи рівні відрізки МN і МК? Знайдіть площу трикутника М N К.
У прямокутному паралелепіпеді АВСDА1В1С1D1 діагональ АС1 утворює з ребрами АВ і АD кути 13 EMBED Equation.3 1415 відповідно. Знайдіть косинус кута С1АС.
У прямокутному паралелепіпеді АВСDА1В1С1D1 проведено переріз АВ1С1D. Відомо, що площі чотирикутників АВСD і АВ1С1D дорівнюють 12см2 і 20 см2 відповідно. Знайдіть площу грані ВВ1С1С.
Через гіпотенузу прямокутного рівнобедреного трикутника проведено площину, яка утворює з площиною трикутника кут 45°. Знайдіть кути, які утворюють катети трикутника з цією площиною.
Через сторону нижньої основи і протилежну вершину верхньої основи правильної трикутної призми проведено переріз під кутом 60° до площини основи. Знайдіть об'єм призми, якщо площа перерізу дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415см2.
Через сторону нижньої основи і середину протилежного бічного ребра правильної трикутної призми проведено переріз під кутом 45° до площини основи. Знайдіть об'єм призми, якщо площа перерізу дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415 см2.
Через сторону правильного трикутника проведено площину, яка утворює з площиною трикутника кут 30(. Знайдіть кути, які утворюють дві інші сторони трикутника з цією площиною.
Через сторону правильного трикутника проведено площину, яка утворює з двома іншими сторонами трикутника кути по 45(. Знайдіть кут між площиною трикутника і проведеною площиною.
Чи колінеарні вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415? знайдіть координати вектора 13 EMBED Equation.3 1415 , колінеарного вектору 13 EMBED Equation.3 1415, модуль якого у три рази більший за модуль вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Чи рівні вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415, якщо А (1; 6; 4), В(3;2;5), С(0; -1; 1), D(2; -5; 2)? Чи належить точка С прямій АВ?
Доведіть, що відрізки, які сполучають точки перетину медіан протилежних бічних граней довільної чотирикутної піраміди проходять через одну точку і діляться нею пополам.
Знайдіть усі значення параметра т, при яких вектори 13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 будуть перпендикулярними.
Квадрати відстаней від точки М до осі абсцис, осі ординат та осі аплікат відповідно дорівнюють 20, 65 і 53. Знайдіть квадрат відстані від точки М до початку координат.
На осі абсцис знайдіть точку Х, сума квадратів відстаней від якої до точок А (12; -6) і В (-2; 8) буде найменшою.








13PAGE 15


13PAGE 14915




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 10807842
    Размер файла: 795 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий