Основные формулы и теоремы 9 класс №1

Основные формулы и теоремы.

1. Прямоугольный треугольник.

1. Теорема Пифагора а2 + b2 =с2 .
2. Нахождение гипотенузы 13 EMBED Equation.3 1415 и катета 13 EMBED Equation.3 1415
3. Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой ипроекцией этого катета на гипотенузу: а = 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Теорема позволяет
а) зная проекцию катета и гипотенузу, найти катет;
б) зная катет и гипотенузу, найти проекцию катета,
в) зная катет и его проекцию, найти гипотенузу.
4. Высота есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Теорема позволяет:
а) зная проекции катетов, найти высоту;
б) зная проекции катетов, найти площадь;
в) построить среднее пропорциональное двух отрезков
5. 13 EMBED Equation.3 1415 высота, опущенная на гипотенузу.
6. 13 EMBED Equation.3 1415 радиус описанной окружности.
7. Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.
8. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
9. 13 EMBED Equation.3 1415 радиус вписанной окружности.
10. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
11. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 900.
12. Признаки равенства прямоугольных треугольников:
а) по двум катетам;
б) по гипотенузе и прилежащему катету;
в) по гипотенузе и противолежащему катету;
г) по гипотенузе и острому углу.
13. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
13 EMBED Equation.3 1415 отношение прилежащего катета к гипотенузе
13 EMBED Equation.3 1415 отношение противолежащего катета к гипотенузе
13 EMBED Equation.3 1415 отношение противолежащего катета к прилежащему
13 EMBED Equation.3 1415 отношение прилежащего катета к прилежащему
Из определения sin
·, cos
·, tg
· получаем следующие правила:
1. Катет противолежащий углу
· равен произведению гипотенузы на sin
·: ВС=АВ
· sin
·.
2. Катет прилежащий углу
· равен произведению гипотенузы на cos
·: AС=АВ
· cos
·.
3. Катет противолежащий углу
· равен произведению второго катета на tg
·: ВС=АС
· tg
·.

2. Правильный треугольник.
13 EMBED Equation.3 1415 площадь или (13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415 высота (биссектриса, медиана)
13 EMBED Equation.3 1415 - сторона через радиус описанной окружности
13 EMBED Equation.3 1415 радиус описанной окружности через сторону
13 EMBED Equation.3 1415 - радиус вписанной окружности
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 3. Треугольник.

1. Признаки равенства треугольников:
а) по двум сторонам и углу между ними;
б) по стороне и прилежащим к ней углам;
в) по трем сторонам.
2. Теорема косинусов: 13 EMBED Equation.3 1415. (Рис 4.)
Теорема позволяет:
а) найти сторону треугольника по двум другим сторонам и углу между ними;
б) зная три стороны, найти угол (косинус угла): 13 EMBED Equation.3 1415,
в) по двум сторонам и углу напротив одной из них найти третью сторону (задача может иметь два решения).
Следствия.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, где с - наибольшая сторона треугольника, то данный треугольник - тупоугольный , если 13 EMBED Equation.3 1415 - прямоугольный, если 13 EMBED Equation.3 1415 - остроугольный .
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
3. Теорема синусов: 13 EMBED Equation.3 1415(Рис 4.)
Теорема позволяет:
а) зная две стороны и угол напротив одной из них, найти угол (синус угла) напротив второй стороны;
б) зная два угла и одну из сторон, найти остальные стороны;
а) по стороне и противолежащему углу найти радиус описанной окружности;
г) по радиусу описанной окружности и стороне треугольника найти угол, лежащий напротив данной стороны (может иметь два решения в силу справедливости формулы sin
· = sin (180° -
·));
д) по радиусу описанной окружности и углу при вершине треугольника найти основание треугольника.
4. Свойство медиан треугольника:
а) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ей в отношении 2:1, считая от вершины.
б) Медиана делит треугольник на 2 равновеликих треугольника (равновеликие это значит равные площади).
в) Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
г) Формула медианы: 13 EMBED Equation.3 1415(Рис 4.)
5. Свойство биссектрисы треугольника:
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника, т.е.13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415.

6. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при одной вершине треугольника взаимно перпендикулярны.
7. Формулы биссектрисы: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
8. Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам, т.е.13 EMBED Equation.3 1415 , откуда 13 EMBED Equation.3 1415(Рис 5.).
9. Нахождение высоты треугольника: 13 EMBED Equation.3 1415
10. Отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника отсекает треугольник, подобный данному.
11. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третей стороне и равна её половине.
MN
·AC и 13 EMBED Equation.3 1415.(Рис 6.)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 12. Признаки подобия треугольников: а) По двум углам.
б) По двум сторонам и углу между ними.
в) По трем сторонам.
13. Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.
Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 14. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона основанием.
Свойство равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Признак равнобедренного треугольника: Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
15. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины называется перпендикуляр, проведенный из этой вешины к прямой, которая содержит противолежащую сторону треугольника.(Рис 7а., 7б.)
16. Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вешину с серединой противолежащую стороны треугольника.(Рис 7 в.)
17. Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вешину с точкой на противолежащей стороне. (Рис 7 г.)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
18. Свойство медианы равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
19. Неравенство треугольника: Каков бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.
20. Теорема об изменении синуса, косинуса и тангенса при возрастании угла: При возрастании острого угла sin
· и tg
· возрастают, а cos
· убывает.
21. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
4. Параллелограмм.

Определение. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны парами параллелельны, называется параллелограмм.
1. Противолежащие стороны равны:AB=CD, BC=AD; диагонали точкой пересечения делятся пополам: AO=OC, BO=OD, противолежащие углы равны: 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его четырех сторон, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Теорема позволяет:
а) зная две смежные стороны и диагональ параллелограмма найти вторую диагональ;
б) зная две диагонали и одну из сторон найти вторую сторону.
3. Биссектриса AF угла A параллелограмма ABCD отсекает от него равнобедренный треугольник ABF т. е. АВ= АF, биссектриса DP угла D параллелограмма ABCD отсекает от него равнобедренный треугольник DCP т. е. CDВ= PC.
4. Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны (AF
·DP), а противоположных - параллельны или лежат на одной прямой (AF
·CH) .
5. Биссектрисы четырех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник.
6. Площадь параллелограмма: 13 EMBED Equation.3 1415,
S = аbsin
· , 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 5. Ромб.

1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и лежат на биссектрисах его углов.
2. Высоты ромба равны.
3. В любой ромб можно вписать окружность. Ее диаметр равен высоте ромба.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
4. Признаки ромба:
а) Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны, то это ромб.
б) Если диагональ параллелограмма лежит на биссектрисе его угла, то это ромб.
в) Если стороны четырехугольника равны, то это ромб.
5. Площадь ромба: S = ah = a2 sin A = 13 EMBED Equation.3 1415 .
6. Квадрат.
1. У квадрата все углы прямые.
2. Диагонали квадрата равны.
3. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.
4. 13 EMBED Equation.3 1415 - сторона через радиус описанной окружности
5. 13 EMBED Equation.3 1415 радиус описанной окружности через сторону
6. 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус вписанной окружности
7. Правильный шестиугольник.

1. 13 EMBED Equation.3 1415 радиус описанной окружности через сторону
2. 13 EMBED Equation.3 1415 - радиус вписанной окружности
13 EMBED Equation.3 1415, где Р периметр, а r радиус вписанной окружности
3. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 1800
·(n-2), где n число сторон. Тогда для правильного n-угольника угол
· : 13 EMBED Equation.3 1415, где n число сторон.
8. Прямоугольник.

1. Диагонали прямоугольника равны.
2. Признаки прямоугольника:
а) Если у параллелограмма диагонали равны, то это прямоугольник.
б) Если у параллелограмма один угол прямой, то это прямоугольник.
в) Если у четырехугольника три угла прямые, то это прямоугольник.
3. Вокруг всякого прямоугольника можно описать окружность. Ее центр лежит в точке пересечения диагоналей.
4. Прямоугольник, у которого диагонали перпендикулярны, это ромб.
5. Прямоугольник, у которого диагональ делит угол пополам, это ромб.
6. Площадь прямоугольника:
S = ab = 13 EMBED Equation.3 1415 d2 sin
·.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 9. Трапеция.
Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. (ВС
·АD основания, АВ и СD боковые стороны). Если АВ = СD, то трапеция равнобокая (равнобедренная).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
1. Средняя линия трапеции 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Площадь трапеции: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 ,где d1, d2 диагонали, а
· угол между диагоналями .
3. Углы при основаниях и диагонали равнобедренной трапеции равны.
4. Высота равнобедренной трапеции, опущенная из вершины большего угла, делит большее основание на отрезки АН=13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника: прилежащие к основаниям подобны, прилежащие к боковым сторонам равновелики.
6. Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, с концами на боковых сторонах равен 13 EMBED Equation.3 1415.

7. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон, т. е. AD+BC=AB+CD.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
8. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность. Ее центр лежит на серединном перпендикуляре к основанию трапеции. Радиус этой окружности равен радиусу окружности описанной около любого треугольника с вершинами в вершинах трапеции.
9. Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
10. Точка пересечения диагоналей, середины оснований и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 11. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.
12. Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна квадрату её высоты: S=h2.
13. Квадрат высоты равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равен произведению оснований: h2=AD
·BC, (AD
·BC, AB=CD).


10. Окружность.
1. Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка центр окружности (точка О). Расстояние от точек плоскости до ее центра называется радиусом ( R=AO=DO). Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой (BC). Хорда, проходящая через центр называется диаметром (d=AD, d=2R).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
2. Центр окружности, описанной вокруг треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
3. 13 EMBED Equation.3 1415радиус описанной окружности для треугольника
4. 13 EMBED Equation.3 1415радиус описанной окружности для треугольника (из теоремы синусов).
5. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника.
6. 13 EMBED Equation.3 1415 радиус вписанной окружности для треугольника (многоугольника 13 EMBED Equation.3 1415 где р полупериметр ).
7. 13 EMBED Equation.3 1415 радиус описанной и радиус вписанной окружности (для правильного многоугольника).

8. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла 13 EMBED Equation.3 1415(Рис 8).
9. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между
собой АВ=ВС (Рис 8).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 10. Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: АВ2 = BP
·BQ (Рис 9).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 11. Вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла и равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 (Рис 10)
12. Угол между касательной и секущей, проходящими через одну точку окружности, равен половине градусной меры дуги, заключенной внутри угла 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415( Рис 11).

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Произведения отрезков пересекающихся хорд равны между собой, т.е. AP
·BP=CP
·DP. (Рис. 12)


13. Свойство описанного четырехугольника:
В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны: AB+CD=BC+AD (Рис 13).
14. Признак описанного четырехугольника:
Если у четырехугольника суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность (Рис 13).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
15. Свойство вписанного четырехугольника:
Во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180° (Рис 14).
16. Признак вписанного четырехугольника:
Если у четырехугольника сумма двух противоположных углов равна 180°, то вокруг него можно описать окружность (Рис 14).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
17. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415- длина окружности, S = 13 EMBED Equation.3 1415 - площадь круга.
18. 13 EMBED Equation.3 1415длина дуги, 13 EMBED Equation.3 1415- площадь сектора, 13 EMBED Equation.3 1415.

19. Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной.
(а13 EMBED Equation.3 1415АО, а касательная, АО радиус)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
11. Теорема Фалеса.
1. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне угла отложатся равные между собой отрезки.
Если А1А2=А2А313 EMBED Equation.3 1415и А1В1
·А2В2
·А3В3, то В1В2=В2В3 (Рис 15).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 2. Теорема, обратная теореме Фалеса:
Если на сторонах угла от его вершины отложить равные (пропорциональные) отрезки, то прямые соединяющие их соответствующие концы будут параллельны
Теорема Фалеса позволяет обосновать деление отрезка на несколько равных частей и на пропорциональные части.
3. Теорема о пропорциональных отрезках: Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла равные отрезки.

12. Параллельные прямые.

Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются
Теорема. Две прямые, параллельные третьей, параллельны.
13 EMBED Equation.3 14151 и 13 EMBED Equation.3 14152; 13 EMBED Equation.3 14153 и 13 EMBED Equation.3 14154 накрест лежащие углы
13 EMBED Equation.3 14151 и 13 EMBED Equation.3 14154; 13 EMBED Equation.3 14152 и 13 EMBED Equation.3 14153 внутренние односторонние углы 13 EMBED Equation.3 14151 и13 EMBED Equation.3 14155, 13 EMBED Equation.3 14152 и13 EMBED Equation.3 14158, 13 EMBED Equation.3 14153 и 13 EMBED Equation.3 14156, 13 EMBED Equation.3 14154 и 13 EMBED Equation.3 14157 соответственные углы
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 Признаки параллельности прямых:
Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 1800 или соответственные углы равны, то прямые параллельные.
13. Углы.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. (13 EMBED Equation.3 14151 и 13 EMBED Equation.3 14152)
Теорема. Сумма смежных углов равна 1800. (13 EMBED Equation.3 14151+13 EMBED Equation.3 14152=1800)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415


Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого угла.( 13 EMBED Equation.3 14151 и 13 EMBED Equation.3 14152, 13 EMBED Equation.3 14153 и 13 EMBED Equation.3 14154)
Теорема. Вертикальные углы равны. ( 13 EMBED Equation.3 14151=13 EMBED Equation.3 14152, 13 EMBED Equation.3 14153=13 EMBED Equation.3 14154)

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415 14. Векторы и координаты.

1. А(х1; у1), В(х2; у2) - две точки на плоскости
2. М13 EMBED Equation.3 1415- координаты середины отрезка
3. AB= 13 EMBED Equation.3 1415- длина отрезка
4. 13 EMBED Equation.3 1415- координаты вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Равными называются векторы, которые равны по длине и совпадают по направлению.
6. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты и обратно: 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415 вектор
8. |13 EMBED Equation.3 1415 | = 13 EMBED Equation.3 1415- длина (абсолютная величина) вектора
9. 13 EMBED Equation.3 1415- скалярное произведение векторов, выраженное через координаты векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
10. 13 EMBED Equation.3 1415- скалярное произведение векторов, выраженное через длины векторов и угол между ними.
11. cos
· =13 EMBED Equation.3 1415, косинус угла между векторами
12. 13 EMBED Equation.3 1415- критерий перпендикулярности векторов
13. 13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415- критерий коллинеарности векторов
14. ах + bу = с - уравнение прямой, k =13 EMBED Equation.3 1415 угловой коэффициент прямой
15. (х-а)2 +(у-b)2 =R2 - уравнение окружности с центром в точке O(a;b) и радиусом R
16. х2 +у2 =R2 - уравнение окружности с центром в начале координат.

15. Формулы площади.
Треугольники: 13 EMBED Equation.3 1415- половина произведения основания на высоту
13 EMBED Equation.3 1415- половина произведения двух сторон на синус угла между ними
13 EMBED Equation.3 1415- формула Герона, где13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415площадь правильного (равностороннего) треугольника
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415катеты площадь прямоугольного треугольника
13 EMBED Equation.3 1415через радиус описанной окружности
S=pr, где 13 EMBED Equation.3 1415- через радиус вписанной окружности
Четырехугольники: S = ab - площадь прямоугольника
S=a2 – площадь квадрата
S = ahа = absin
· - площадь параллелограмма
13 EMBED Equation.3 1415S = mh - площадь трапеции
13 EMBED Equation.3 1415 , S = ahа = a2sin
· площадь ромба.
13 EMBED Equation.3 1415, - площадь четырехугольника (выпуклого)
Многоугольник: 13 EMBED Equation.3 1415, где Р периметр, а r радиус вписанной окружности
Площади подобных треугольников (фигур) относятся как квадраты их сходственных сторон (элементов) 13 EMBED Equation.3 1415.

16. Свойства корней.

Квадратные корни
1. Для 13 EMBED Equation.3 1415= b имеем 13 EMBED Equation.3 1415. 4. 13 EMBED Equation.3 1415, (а
·0, b
·0).
2. 13 EMBED Equation.3 1415 , (а
·0) 5. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415=|а| (а-любое) 6. 13 EMBED Equation.3 1415 (а
· 0)
Вынесение из-под корня 13 EMBED Equation.3 1415, b
·0.
13 EMBED Equation.3 1415 если a<0
Внесение под корень 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 если a>0

17. Корни натуральной степени.

Корень четной степени из отрицательного числа не определен!
1. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415 7. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415 5. 13 EMBED Equation.3 1415 8. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415 6. 13 EMBED Equation.3 1415
Если a>b
·0, то 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Если a> 1,то 13 EMBED Equation.3 1415>1 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 0<а< 1,то 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.



18. Тригонометрия.
1. sin2 x + cos2 x = l. 3. 13 EMBED Equation.3 1415 . 5. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415 . 4. 13 EMBED Equation.3 1415. 6. 13 EMBED Equation.3 1415.
Тангенс не определен для углов кратных 90°.
Котангенс не определен для углов кратных 180°.

Формулы сложения: 1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415.
4. 13 EMBED Equation.3 1415.
5. 13 EMBED Equation.3 1415 . 6. 13 EMBED Equation.3 1415.
7. 13 EMBED Equation.3 1415. 8. 13 EMBED Equation.3 1415.

Формулы двойного аргумента: 1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415. 3. 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 14154. 13 EMBED Equation.3 1415.
5. 13 EMBED Equation.3 1415. 3а) 13 EMBED Equation.3 1415 . 4а)13 EMBED Equation.3 1415.
6. 13 EMBED Equation.3 1415.
Формулы суммы и разности тригонометрических функций:
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415 6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415 8. 13 EMBED Equation.3 1415
Формулы половинного аргумента:
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 4. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415 . 5. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415. 6. 13 EMBED Equation.3 1415.
Формулы произведения тригонометрических функций:
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 3. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415 . 4. 13 EMBED Equation.3 1415 .
5. 13 EMBED Equation.3 1415. 6. 13 EMBED Equation.3 1415. 7. 13 EMBED Equation.3 1415.
Формулы тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента:
13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415.

19. Формулы сокращённого умножения.

1. (a + b)2 = a2+2ab+b2; 4. (a + b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 ;13 EMBED Equation.3 1415
2. (a - b)2 = a2-2ab+b2; 5. (a - b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 ;
3. a2 – b2 = (a-b)(a+b);

6. a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2 );
7. a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2).

20. Свойства степеней.
1. аn = а
· а
·...
· а, n натуральное число
n раз
2. а° = 1, (а 13 EMBED Equation.3 1415 0, т.к. 0 ° - не определено)
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415например, 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415, например 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415 и13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

7. 13 EMBED Equation.3 1415 10. (ab)n =an
·bn
8. 13 EMBED Equation.3 1415 11. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415
Если a> b
· 0 и г > 0, то аг >br.
Если а>b > 0 и г < 0, то аrЕсли p > г и а > 1, то ар > аг.
Если р> г и 0 < а< 1, то ар <аг.

21. Квадратные уравнения.

ax2+bx+c = 0 (a13 EMBED Equation.3 14150) D = b2 4ас - дискриминант квадратного уравнения.
D = b2 - 4ас дискриминант квадратного уравнения.
При а>0, D<0 парабола «висит» над осью Ох, т. е. нет корней (рис 1).
Если а>0, D=0 парабола касается сверху оси Ох, т.е. один корень 13 EMBED Equation.3 1415 (рис 2).
Если а>0, D>0, то парабола пересекает ось Ох в двух точках х1 и х2, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (рис 3).

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Аналогично при а<0.

ТЕОРЕМА ВИЕТА
Произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену, а сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е.
x2+px + q = 0, х1+х2= -р
x1 и х2 корни х1
·х2=q

ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЕ ВИЕТА
Если числа х1 и х2 таковы, что х1 + х2 = - р и х1
·х2= q, то они являются корнями уравнения
х2 + рх + q = 0.
Пример. Решить уравнение х 2 – 5х + 6 = 0.
Число 6 можно разложить на целые множители: 2 и 3, -2 и -3, а также 6 и 1, - 6 и - 1. Сумма корней должна давать второй коэффициент, взятый с противоположным знаком, т.е. 5. Подходят числа 2 и 3.
Ответ: х1 =2,х2 = 3.

КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
ах2 + bх + с = а(х – x1)(x – x2) - разложение на множители, где х1, х2- корни;
если D = 0, т.е. один корень или два равных между собой, то ах2 + bх + с = а(х - х0)2, где13 EMBED Equation.3 1415.
22. Модуль.
a, если a
·0
Определение 13 EMBED Equation.3 1415
-a, если a<0

РАСКРЫТИЕ МОДУЛЯ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ
Пример. |х-2|
Если х-2
·0, т.е.х
·2,то |х-2|= х-2.
Если х - 2 < 0, т.е. х<2, то |х-2|= -(х-2) = 2-х.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МОДУЛЯ
1. |а|
·0 3. |ab|= |a|
·|b|
2. |а-b|=|b-а| 4. |а-b|2=(а-b)2.

Геометрический смысл модуля
|а| это расстояние от точки А(а) до начала отсчета.
|а-b| это расстояние между точками А(а) и В(b).

УРАВНЕНИЯ С МОДУЛЕМ.
1. |x|=а.
а) если а
·0, то х = а или х = - а
б) если а < 0, то корней нет.
2. |x-b|=а.
а) если а
·0,то х-b = а или х - b = - а, (решаем каждое уравнение),
б) если а < 0, то корней нет.
3. |f(x)|= |g(x)|.
f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
4. |f(x)|= g(x).
f(x) = g(x) и g(x)
· 0 или
f(x) = -g(x) и g(x)
·0.

НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ
1. |f(x)| а) если a
· 0, то - a < f(x) < a.
б) если а < 0, то решений нет
Пример. |2x-3|<5.
-5<2x-3<5, -2<2x<8, -12. |f(x)|
·a
а) если а > 0, то f(x)
· а или f(x)
· - а
б) если а
· 0, то х13 EMBED Equation.3 1415R.
Пример. |x+1|>2.
x+l>2 или x + 1<-2
х>1 х<-3
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
3. |f(x)|-g(x)4. |f(x)|>g(x) 13 EMBED Equation.3 1415 f(x)> g(x) или f(x)<-g(x)

Неравенства |f(x)|> |g(x)|и f(x)2> g(x)2 равносильны.

23. Иррациональные уравнения.

Пример 1.13 EMBED Equation.3 1415 Пример 2. 13 EMBED Equation.3 1415
2x +1 = 9 корней нет
x= 4
Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 равносильно системе: 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 равносильно системе: 13 EMBED Equation.3 1415
Неравенство в системе, обычно, проверяют, а не решают.

24. Прогрессии.
Арифметическая прогрессия: (аn), аn=an-1+d, где d разность арифметической прогрессии,
аn=a1+(n-1)d.
Формулы суммы n первых членов прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Свойство: ..,аn-1, an, an+1,.., тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Геометрическая прогрессия: (bn), bn=b1
·qn-1, где q знаменатель Г.П.
Формулы суммы n первых членов прогрессии: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, q13 EMBED Equation.3 14151.
Свойство: ..,bn-1, bn, bn+1,.., 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть (bn)
· бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, тогда сумму этой прогрессии находят по формуле: S=13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.

6

2

4

1

h

a

3

А


·


·

b

B

A

C

c


·

a

О

B

d2

D

d1

A

В

С

a

b

A

P

F

C

D

O

H

A





В


·

С



В

А

D

C

D

Р

К

Р



В

А

A

B

C

D

H

M

N

m

b

a

h

7

a

b

A

8

с

b

D

C

B

A

Рис 8

Рис 9

Рис 12

Рис 11

Рис 10

О

В

х2

С

B

А

A

C

О

О

Р

A

B

М

К

C

A

B

D

h

Рис 15

Рис 14

Рис 13

A

D

C

B

A2

B3

B2

A3

A1

B1



х1

0

0

0

у0

у0

х0

х0

х0

Рис.1

Рис.3

Рис.2

х

х

х

у

у

у

А

Н


В

С

А

А1

В

С

а








B

bc

ac

c

b

a

В

С

D

5

1

2

1

2

3

4

A

В

С

М

N

Внешний
угол

ma

Рис 4.

В


·

С

A

Рис 7б.

Н

А

В

С

А1

В

А

С

М

А

В

Рис 5.

Рис 6.

Рис 7а.

С

Рис 7в.

Рис 7г.



В

С

D

А

О

а

А

О

С

D

A

D

O

B

C

H

ha


·

a

а

b

d

d

О


·



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 10885743
    Размер файла: 608 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий