ТВ3 -в РИО









III. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

В предыдущих главах рассматривались так называемые скалярные (одномерные) сл. величины. При решении практических задач приходится рассматривать совместно пары сл. величин (13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415), тройки сл. величин (13 EMBED Equation.DSMT4 1415) и т.д., которые называются сл. векторами или n – мерными сл. величинами, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Совместное изучение скалярных сл. величин позволяет получить информацию об их зависимости.

3.1. СОВМЕСТНАЯ (n–МЕРНАЯ) ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Дадим формальное определение многомерных сл. величин. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– некоторое вероятностное пространство и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – случайные величины, заданные на нем. Каждому значению 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 они ставят в соответствие вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Определение. Отображение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415задаваемое совокупностью случайных величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, называется случайным вектором или многомерной случайной величиной или n – мерной случайной величиной.
Если учесть, что все 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, измеримые функции, случайным вектором
· следовало бы назвать отображение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – борелевская
· – алгебра в 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Необходимым и достаточным условием измеримости случайного вектора
· является выполнение условия: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Справедливо утверждение [1]: n – мерная случайная величина
· измерима тогда и только тогда, когда все функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 являются F– измеримыми функциями.
Основной характеристикой случайного вектора
· является совместная или n-мерная функция распределения: 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
Если положить n=2, то двумерная функция распределения есть ничто иное, как вероятность попадания случайной точки с координатами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в область 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, иначе говоря, в угол с вершиной в точке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Далее везде, где упрощение обозначения не вызывает недоразумений, будем вместо 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 писать 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Свойства совместной функции распределения случайного вектора
· аналогичны свойствам функции распределения скалярной случайной величины, но есть и специальные свойства, вызванные тем фактом, что
· – вектор. Перечислим некоторые из них:
1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – функция неубывающая по каждому из своих аргументов.
3. Функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – непрерывная слева функция по каждому из своих аргументов.
4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Результат следует из того, что событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и пересечение любого события A вида 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с невозможным событием есть событие невозможное.
Эти четыре свойства аналогичны свойствам одномерной функции распределения.
5. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для всего множества перестановок чисел 1, 2, , n.
6. Если m < n, то, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Рассмотрим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то есть m = n–1. Событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– достоверное событие, произведение события А и достоверного события есть событие А, поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
Аналогичные рассуждения можно провести для любого 1· будет только одна из них, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, представляет собой функцию распределения сл. величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Это так называемые маргинальные (частные) распределения случайных величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется совместным маргинальным распределением случайных величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Если m=n, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Иначе говоря, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Свойства 5 и 6 называют свойством согласованности совместной функции распределения случайного вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
7. Справедливо соотношение: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Формула определяет вероятность события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

На практике мы ограничимся рассмотрением двумерных сл. величин. Для этого случая (n=2) вышеперечисленные свойства функции распределения примут вид:
1.13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– неубывающая функция по каждому из своих аргументов;
3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– непрерывная слева функция по каждому из своих аргументов;
4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
6. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
7.13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Эту формулу можно вывести, исходя из представления события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в виде алгебраической суммы событий: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.

3.2. ДИСКРЕТНЫЕ ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Двумерная случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 будет дискретной, если каждая из случайных величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 дискретна. Как и в одномерном случае, двумерную дискретную сл. величину задают ее рядом распределения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (3.1)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – все возможные значения сл. величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 соответственно. На числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, таким образом, накладываются ограничения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (3.2)
Если число возможных значений вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 конечно, то сл. двумерную величину можно описать с помощью таблицы с двумя входами, по смыслу схожей с таблицей распределения скалярной случайной величины.
Таблица 2
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equatio
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
В верхней строке таблицы перечислены все возможные значения случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, в левом столбце – все возможные значения случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В клетках на пересечении строк с номерами i и столбцов с номерами j записывают вероятности событий 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Таблицу 2 можно расширить, включив в нее еще одну строку и один столбец:

Таблица 3
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415


13 EMBED
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415




В последней строке новой таблицы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 записаны числа
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.3)
Следовательно, первая и последняя строки таблицы образуют ряд распределения случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Аналогично, в последнем столбце новой таблицы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 записаны числа
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (3.4) потому первый и последний столбцы таблицы образуют ряд распределения случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Приведем обоснование формулы (3.4): действительно, если обозначить за 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, i=1,2,, n, за 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, j=1,2,..,m, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415|события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 попарно несовместны при всех i,j| = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Иногда вместо обозначений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, i=1,2,,n, применяются обозначения 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 с тем, чтобы показать, что эти числа не зависят от значений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 второй сл. величины. Аналогично, вместо обозначений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 применяют обозначения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Формулы
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.5)
называются формулами согласованности для дискретных сл. величин. Для чисел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, таким образом, естественны ограничения
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.6)
Для двумерных дискретных сл. величин функция распределения может быть записана по аналогии с одномерным случаем в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.7)
Суммирование распространяется на те значения i, j, для которых выполняются неравенства 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 может быть восстановлена по ряду распределения (3.1).
Пример 1. Двумерная дискретная сл. величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задана таблицей распределения

13 EMBED Equation.DSMT4 1415\13 EMBED Equation.DSMT4 1415
1
2
3

0.2
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

0.3
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415





Найти законы распределения сл. величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и записать их в этой же таблице. Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. Вычислим по формуле (3.4) числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Теперь вычислим по формуле (3.3) числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, j=1,2,3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Проверкой полученных результатов являются выполнение равенств (3.5): 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Исходная таблица преобразуется к виду:



13 EMB
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·НЕПРЕРЫВНЫЕ n–МЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Если функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 абсолютно непрерывна, то случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется непрерывной. Совместную функцию распределения в этом случае можно записать в виде n-кратного интеграла 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – плотность распределения n–мерной случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Как и в случае одномерной сл. величины будем полагать выполнение почти всюду равенства

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.8)


Свойства совместной плотности распределения

1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4. Условие согласованности для совместной плотности распределения имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– маргинальная совместная плотность распределения случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В частности, 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415, – маргинальные плотности распределения сл. величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

При n=2 свойства совместной функции распределения принимают вид:

1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

В заключение рассмотрим наиболее часто встречающееся на практике многомерное нормальное распределение (гауссово распределение).
Говорят, что сл. вектор 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, компонентами которого являются непрерывные сл. величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, распределен по нормальному закону, если совместная плотность распределения вектора 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 определяется формулой:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.9)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– вектор математического ожидания сл. величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или вектор средних, положительно определенная симметричная матрица A носит название ковариационной матрицы, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– определитель этой матрицы. Вектор m и матрица A – параметры многомерного нормального распределения.
Если m=0 и A=I, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– совместная плотность стандартного нормального распределения.
Пусть n=2, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вектор m и матрица A могут быть параметрами двумерного нормального распределения, так как A > 0, симметрична. Определитель матрицы A равен 1, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, квадратичная форма 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда плотность распределения двумерной сл. величины выглядит следующим образом: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

3.4. УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для простоты изложения ограничимся случаем n = 2. Итак, пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – двумерная случайная величина с известными функциями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Известно, что сл. величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 приняла значение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Что можно сказать о распределении сл. величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при условии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415? Из самой постановки вопроса видно, что понятие условного распределения весьма схоже с определением условной вероятности событий, рассмотренной в п. 1.8.
Начнем с наиболее простого случая, пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – дискретная величина. Назовем условной функцией распределения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при условии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 условную вероятность события {13 EMBED Equation.DSMT4 1415} при условии события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то есть
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (3.10)
Условная функция распределения обладает всеми свойствами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функции распределения.
Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 также дискретная случайная величина, причем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то удобно вместо условной функции распределения рассматривать условные вероятности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, которая принимает значение xi при условии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, определяемые как
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.11)
Составим таблицу:
Таблица 4

·\
·
y1
y2

ym
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

x1
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

x2
13 EMBED Equati
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ясно, что эта таблица получается из табл. 3 из п.3.2 заменой в ней элементов рij элементами 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, вычисляемыми по формуле (3.11): 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так, например, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и т.д. Очевидно, таблицу 3 можно получить из таблицы 4 заменой элементов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на рij по формуле
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.12)

Пусть теперь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не является дискретной величиной. Формулой (3.10) для определения условной функции распределения пользоваться в этом случае не можем, так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Перейдем от события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 к событию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 получим из события 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Определим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и назовем условной функцией распределения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 предел этой условной вероятности при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.13)
Поскольку событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 есть объединение непересекающихся событий 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, кроме того, событие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то согласно следствию из свойства Р3 вероятностей имеем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Итак,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.14)
Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то второй сомножитель в формуле (3.14) можно переписать в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, следовательно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.15)
Если функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет производную по x , т.е. существует условная плотность распределения случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при условии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.16)

С использованием свойства 4 совместных плотностей распределения и опустив в левой части у функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 индекс 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 получим:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.17)
Аналогичным рассуждением может быть получена формула:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.18)
Из формул (3.16) и (3.18) можно получить соотношения:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (3.19)

которые напоминают формулы умножения вероятностей для случайных событий.

Пример 2. Пусть (
·,
·) – нормально распределенный случайный вектор с ковариационной матрицей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, вектором средних 13 EMBED Equation.DSMT4 1415(см. равенство (3.9)). Найдем условное распределение случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при условии
·=y.
Решение. Сначала вычислим матрицу 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Тогда согласно формуле (3.9): 13 EMBED Equation.DSMT4 1415


13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.20)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (3.21)

Видим, что условное распределение сл. величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при условии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– формула (3.21) – снова будет нормальным со средним значением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и средним квадратическим отклонением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Отметим еще, что маргинальное распределение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – формула (3.20) – также является нормальным со средним значением m2 и средним квадратическим отклонением 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Определение. Случайные величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называются независимыми, если имеет место равенство:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.22)
или же, через плотности распределения,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.23)

В этом случае условные плотности распределений совпадают с плотностями распределений. Так, при n=2 в случае независимости случайных величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеем:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.24)

Отметим, что дискретные сл. величины будут независимыми, если:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.25)

3.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Рассмотрим задачу нахождения закона распределения некоторой функции заданной сл. величины
· для случая, когда
· – n–мерная случайная величина. Итак, пусть
· –n–мерная случайная величина с известной плотностью распределения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и имеется функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– m– мерная случайная величина . Ставится задача нахождения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Остановимся на некоторых частных случаях этой задачи.
Случай 1. Пусть m=n>1, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– дифференцируемая векторная функция. Предполагаем, что система уравнений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет единственное решение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Для любого борелевского множества Sx, являющегося некоторым множеством значений случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, соответствующее борелевское множество 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 удовлетворяет условию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Кроме того, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Вычислим вероятность первого события, для чего воспользуемся свойством 3 плотностей распределения: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Сделаем в интеграле замену переменных x = g(y), по известной из математического анализа формуле замены переменных в кратном интеграле получим
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Но в силу соотношения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и справедливости формулы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415заключаем, что
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.26)

Замечание. Аналогично замечанию в п. 2.4, обозначение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 удобнее заменить на обозначение: x = x(y), тогда последняя формула примет вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.27)

Пример 3. Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 –независимые сл. величины, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет равномерное на отрезке [0,1] распределение, а сл. величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 распределена по экспоненциальному закону с параметром
·.
Решение. Итак, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Рассмотрим систему уравнений:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
Используем формулу (3.27): 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Случай 2. Пусть теперь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, функция 13 EMBED Equation.DSMT4 1415–дифференцируемая векторная функция. Этот случай сводится к предыдущему, если к системе имеющихся уравнений

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 добавить n–m+1 новых переменных, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 следует выбирать так, чтобы они были дифференцируемыми, полученная система n уравнений с n неизвестными имела единственное решение и это решение могло быть получено возможно проще. Чаще всего за новые переменные 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 берут какие-нибудь из прежних переменных, например, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда по формуле (3.27) получаем для случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По свойству 4 совместных плотностей вероятностей:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.28)
Пример 4. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– вектор положительных сл. величин, совместная плотность распределения которых 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 известна,
·=
·13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. Здесь m=1, n=2, обратимся к случаю 2. Составим систему уравнений следующим образом:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ,


13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Полученный интеграл называется интегралом типа свертки (сверткой функций распределения двух независимых случайных величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется интеграл вида F13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – суперпозиция интегралов от функций распределения случайных величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и13 EMBED Equation.DSMT4 1415).
Пример 5. Пусть имеют место условия предыдущего примера, но 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. Рассмотрим систему уравнений:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 По формуле (3.27) найдем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 6. Пусть имеют место условия примера 4, но 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение. Решаем систему уравнений:


·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Решение этой задачи можно получить иным способом. Введем новую случайную величину
· такую, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Решаем систему уравнений: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Замечание 1. Рассмотренные приемы нахождения законов распределения известных функций от известных случайных величин не являются единственно возможными. Данная задача может быть решена в такой последовательности: сначала находим функцию распределения новой сл. величины, а уж потом плотность распределения. Приведем решение примера 5 подобным образом. Итак,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 известна. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Видим, что результат получился тот же самый с точностью до обозначений.

Замечание 2. С использованием рассмотренного в п. 3.5 способа нахождения закона распределения функций сл. величин могут быть получены следующие результаты:
1. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – независимые сл. величины, каждая из которых распределена нормально с параметрами 0 и 1. Тогда сл. величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 распределена по закону 13 EMBED Equation.DSMT4 1415(хи – квадрат) с n степенями свободы.
Непрерывная сл. величина Х имеет распределение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если ее плотность распределения задается в виде:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. Пусть
· и
· – независимые сл. величины,
· распределена по нормальному закону с параметрами 0 и 1,
· имеет распределение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда сл. величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 распределена по закону Стьюдента или имеет t – распределение.
Случайная величина Х имеет t – распределение с n степенями свободы, если ее плотность распределения задается в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при n
· имеет стандартное нормальное распределение.
3. Пусть
· и
· – независимые сл. величины, имеющие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 распределение с m и n степенями свободы соответственно. Тогда сл. величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет F – распределение или распределение Фишера , или распределение Снедекора с m и n степенями свободы.
Плотность F – распределения задается в виде:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Замечание 2. Если сумма двух независимых одинаково распределенных сл. величин подчиняется тому же закону распределения, что и слагаемые сл. величины (с иными параметрами, естественно), то этот закон распределения называется композиционно устойчивым или восприизводимым. Композиционно устойчивыми являются такие важные законы распределения как нормальный, закон Пуассона, биномиальный (с одними и теми же параметрами) и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

3.6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ВЕКТОРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Как было отмечено в п.2.5, описание случайной величины с помощью функции распределения или плотности распределения является самым полным, самым подробным, но часто эти функции просто неизвестны или требуют больших объемов исходных данных для их определения. Это замечание в полной мере относится и к векторным случайным величинам.
Определение математического ожидания векторной сл. величины ничем не отличается от определения математического ожидания скалярной сл. величины, только это определение применяется для компонент случайного вектора. Так, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– n–мерная непрерывная случайная величина, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.29)
Свойства математического ожидания уже описаны в п. 2.5.


3.7. МОМЕНТЫ ВЕКТОРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Кроме определений моментов, приведенных в разделе 2.7: начальных, центральных, абсолютных для векторных сл. величин могут быть даны определения так называемых смешанных моментов.
Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – сл. величины с совместной функцией распределения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Величины
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.30)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, называются смешанными моментами порядка k величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Аналогично определяются центральные смешанные моменты к-го порядка 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (3.31)
Среди смешанных моментов особую роль играют смешанные моменты 2 порядка. Центральные смешанные моменты 2 порядка сл. величин
· и
· – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 обозначают через cov(
·,
·) и называют ковариацией сл. величин
· и
·: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (см. также п. 3.11).

3.8. ДИСПЕРСИЯ ВЕКТОРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Относительно вычисления дисперсии векторной сл. величины можно сказать то же самое, что и относительно ее математического ожидания, а именно: определение дисперсии векторной сл. величины сводится к определению дисперсий компонент случайного вектора. Так, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– n–мерная непрерывная случайная величина, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.32)
Таким образом, можем считать, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Согласно формуле (3.31) вектор дисперсий 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 случайного вектора
· – это вектор центральных моментов его компонент. Однако для векторной сл. величины важны не только дисперсии ее компонент, но и ковариации между ними, определение которых приведено выше, в п. 3.6. В общем случае дисперсии и ковариации векторных сл. величин образуют так называемую матрицу ковариаций или ковариационную матрицу, обозначают ее иногда символом
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

или , с учетом сделанного замечания,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Изучением ковариаций случайных величин мы займемся несколько позже (см. п. 3.11).

3.9. УСЛОВНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ. КРИВЫЕ РЕГРЕССИИ

Для простоты изложения ограничимся в этом параграфе рассмотрением только двумерных сл. величин. Следующая группа числовых характеристик – это характеристики связи сл. величин. Наиболее полно зависимость сл. величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 описывается с помощью условных распределений (см. п. 3.4). Однако это описание довольно сложно. Более просто, хотя и менее полно, зависимость между сл. величинами описывается при помощи условного математического ожидания.
Определение. Условным математическим ожиданием сл. величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415при условии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, называется величина:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.33)
Первая строка формулы справедлива для непрерывных сл. величин
· и
·, вторая – для дискретных сл. величин.
Очевидно, что величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415является функцией сл. величины (, что немедленно следует из ее определения, следовательно, сама является сл. величиной, которую мы будем обозначать13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Область определения сл. величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 совпадает с множеством значений сл. величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Значения сл. величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415при различных значениях
· принято иногда записывать в виде: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Свойства условного математического ожидания.

1. M(C(() = C
2. M(a( + b(() = aM(((() + b
3. M(( + ((() = M(((() + M(((()
4. M((((() = M(((()M((((),если ( и ( независимы при условии
·.
Эти свойства аналогичны свойствам математического ожидания (арифметические действия понимаются уже не как действия над числами, а как действия над функциями, определенными для всех значений (). Нижеследующие свойства присущи только условному математическому ожиданию.
5. M[M(((()]=M(
Доказательство приведем для непрерывных сл. величин.

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Следствие. В процессе доказательства получено полезное соотношение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.34)
которое в литературе носит название формулы полного математического ожидания.
6. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, h и ( – некоторые функции.
Действительно, для произвольного значения y сл. величины
· можем записать 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Полученное равенство справедливо при любом значении y сл. величины (.
7. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = M(, если ( и ( – независимы.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в силу независимости сл. величин. Полученное равенство справедливо при любом значении y сл. величины (.
8. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Вернемся к определению условного математического ожидания сл. величины ( при условии
·=y, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Эта сл. величина, рассматриваемая как функция (, иначе, при различных значениях (, характеризует зависимость “в среднем” сл. величины ( от сл. величины (. По этой причине функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415ещё называют функцией регрессии или просто регрессией сл. величины ( на сл. величину (. Эта идеальная зависимость, освобожденная от случайностей. График функции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, ее в этом случае удобнее обозначать как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, называют линией регрессии сл. величины ( на сл. величину ( (или просто линией регрессии ( на (). Отметим, что линий регрессии две: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В общем случае они между собой не совпадают.
Пример 7. Рассмотрим двумерную сл. величину ((,(), имеющую нормальное распределение. В примере 2 этого раздела была получена формула для условной плотности нормального распределения:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 является условным математическим ожиданием 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то есть регрессией ( на
·. Перепишем это выражение в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 где a=13 EMBED Equation.DSMT4 1415. На плоскости (x,y) уравнение этой прямой имеет вид х=a+by.
Очевидно, линия регрессии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 также представляет собой прямую линию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 где с=13 EMBED Equation.DSMT4 1415, которую на координатной плоскости (x,y) представима в виде y= c+dх. В общем случае эти линии не совпадают, как уже было отмечено выше.
Уравнения регрессии могут быть записаны в более симметризованной форме, а именно: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 для регрессии
· на
· и регрессии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на
· соответственно.
Прямые регрессии проходят через центр рассеивания – точку (13 EMBED Equation.DSMT4 1415) с угловым коэффициентом ( по отношению к одной и той же оси Ох) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как |
·|
·1 (см. п.3.12), то |13 EMBED Equation.DSMT4 1415|
· |13 EMBED Equation.DSMT4 1415|, что геометрически означает, что прямая регрессии
· на
· всегда расположена более круто по отношению к оси Ох, чем вторая прямая регрессии
· на
·. При |
·| =1 линии регрессии совпадают, при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 прямые регрессии распадаются на две прямые, параллельные осям координат – вырожденный случай регрессии.

3.10. УСЛОВНАЯ ДИСПЕРСИЯ

Для того чтобы оценить насколько сильно отдельные значения сл. величины могут отклоняться от кривых регрессии, используют понятие условной дисперсии:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.35)
Случайная величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, рассматриваемая как функция
·, носит название скедастика, сами уравнения (3.35) называются скедастическими (терминология справедлива и для сл. величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Как и в случае условного математического ожидания, некоторые свойства условной дисперсии аналогичны свойствам обычной дисперсии, другие же присущи только условной дисперсии. Первые только перечислим, вторые приведем с доказательствами.
1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – независимые сл. величины при условии
·.
5. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Доказательство приведем для непрерывной сл. величины. Рассмотрим выражение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415– использовали свойство 6 условного математического ожидания. Далее используем формулу (3.34).
6. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Согласно свойству D4 дисперсии имеем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Применим к обеим частям полученного равенства оператор математического ожидания: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или, используя свойство 5 условного математического ожидания в левой части равенства, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Вычтем из обеих частей 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В левой части получаем выражение для дисперсии D
·, правую же часть полученного равенства преобразуем следующим образом. Нетрудно показать, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 = 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Действительно,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда получаем равенство 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Остается показать, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Замечание. В ходе доказательства получена формула, имеющая самостоятельное значение
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.36)
Пример 8. Пусть (
·,
·) – двумерная сл. величина, имеющая нормальное распределение. Известно (см. предыдущий пример), что условная плотность распределения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет вид
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Но тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Аналогично, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Обе дисперсии постоянны, т.е. не зависят от значений сл. величин
· и
· соответственно. При |
· |=1 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. О том, как проинтерпретировать полученный результат, см. п. 3.12.
Проверим свойство 6 условной дисперсии: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Мы получили хорошо известный результат.

Упражнение.
Проверить справедливость соотношений
1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если
· и
· – независимые одинаково распределенные сл. величины.

3.11. КОВАРИАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Вышеописанные характеристики связи сл. величин являются функциями значений условия. Одним числом зависимость между сл. величинами описывается ковариацией или коэффициентом корреляции.
Определение. Ковариацией скалярных сл. величин ( и ( называют число, равное математическому ожиданию произведения центрированных сл. величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
cov((,()=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.37)

Ковариацией векторных случайных величин будет квадратная матрица, элементами которой служат ковариации между компонентами векторов
· и
· –13 EMBED Equation.DSMT4 1415и n–размерность векторов
· и
· (см. также п. 3.7).


13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.38)

Первая формула в равенстве (3.38) справедлива для дискретного распределения, вторая – для непрерывного. Таким образом,

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

Если
·=
·, то

13 EMBED Equation.DSMT4 1415


13 EMBED Equation.DSMT4 1415,

поскольку диагональные элементы матрицы являются дисперсиями сл. величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 по свойству 1 ковариаций сл. величин (см. ниже). Поскольку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, что следует из определения ковариации, то матрица A – симметричная матрица.
Если cov((,()=0, то сл. величины
· и
· называются некоррелированными.
Ковариация сл. величин обладает следующими свойствами:
1. cov ((,() = D(
cov ((,() = M(( – M()2 = D(
2. Если ( и ( независимы, то cov((,() = 0. Иначе говоря, из независимости сл. величин следует их некоррелируемость.
Cov((,() = M((– M()(( – M() =(по свойству М4 математического ожидания сл. величин)= M((– M()M(( – M()=0.
Обратное утверждение в общем случае места не имеет. Существуют зависимые сл. величины, ковариация которых равна нулю. Так, если
·=sin
·,
·=cos
·, сл. величина
· распределена равномерно на отрезке [0,2
·], то cov((,()=13 EMBED Equation.DSMT4 1415, следовательно, по определению сл. величины ( и ( не коррелированы. Однако между этими сл. величинами существует функциональная зависимость.
3. Пусть13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Действительно,
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 (по свойству М2 математического ожидания сл. величин).
Замечание. Если в качестве
· и
· рассмотреть двумерные сл. величины, то есть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, при этом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – неслучайные матрицы порядка 2Ч2, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – двумерные неслучайные векторы, тогда формула претерпевает очевидные изменения: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
4.13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Рассмотрим сл. величину ( = x( – ( , x – произвольное число. 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415. Квадратный трехчлен относительно x неотрицателен тогда и только тогда когда его дискриминант не положителен, т.е. 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
В случае если
· и
· – двумерные сл. величины, то неравенство принимает вид 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Это неравенство называют неравенством Коши-Буняковского.
При выводе свойства 4 получен интересный результат, имеющий самостоятельное значение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (3.39)
Этот результат может быть получен повторением доказательства свойства 4 для сл. величины ( =( +(. Полученное соотношение следует отнести к свойствам дисперсии, в качестве 5 ее свойства. Оно определяет дисперсию суммы произвольных сл. величин.
5.13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Пример 9. Рассмотрим двумерную сл. величину, имеющую нормальное распределение (см. пример 2). Вычислить ковариацию между компонентами вектора.
Решение. 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
=13 EMBED Equation.DSMT4 1415

=13 EMBED Equation.DSMT4 1415, ( последний интеграл вычислили по частям).
Итак, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Поскольку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то ковариационная матрица A имеет вид A=13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Мы ввели этот термин “ковариационная матрица” раньше (см. формулу 3.9 и пояснение к ней) , чем выяснили смысл этого понятия.
Пример 10. Пусть (( ,() – нормальный сл. вектор и матрица ковариаций для него имеет вид A=13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т.е. сл. величины ( и ( не коррелированны.
Запишем плотность нормального распределения в этом частном случае:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Итак, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 сл. величины ( и ( независимы.
Этот пример имеет принципиальное значение. Ранее мы отметили, что из независимости сл. величин следует их некоррелируемость. Обратное утверждение в общем случае места не имеет. Только для нормально распределенных сл. величин из некоррелируемости случайных величин, следует независимость сл. величин
· и
·.
Пример 11. Докажем свойство М4 математического ожидания из п. 2.5: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если сл. величины
· и
· независимы. Для простоты записи будем считать сл. величины
· и
· непрерывными. По определению математического ожидания функции случайной величины имеем: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415|по определению независимых сл. величин (3.23)|= 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – по определению математического ожидания сл. величины.

3.12. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Существенным недостатком ковариации сл. величин является то, что её размерность совпадает с произведением размерностей сл. величин. Это так называемый абсолютный показатель тесноты связи сл. величин. Конечно же безразмерная (относительная) характеристика независимости сл. величин была бы лучше. Такой характеристикой служит коэффициент корреляции сл. величин
Определение. Коэффициентом корреляции сл. величин ( и ( называют число ( = ( (( ,(), определяемое соотношением:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.40)
Выпишем его свойства:
1. ((( ,() =1
Справедливость утверждения следует из свойства 1 ковариаций.
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Справедливость утверждения следует из свойства 4 ковариаций (см. также пример 7 этого раздела).
3.Если ( и ( независимы, то ((( ,() = 0, иначе, из независимости сл. величин следует их некоррелируемость.
Справедливость утверждения следует из свойства 2 ковариаций. Обратное утверждение справедливо только для нормально распределенных сл. величин, в общем случае оно места не имеет.
4. Пусть 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Знак “+” надо брать, когда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415имеют одинаковые знаки, и знак “–” – в противоположном случае.
Смысл полученного результата: коэффициент корреляции с точностью до знака инвариантен относительно линейных преобразований сл. величин.
5. (((,() = ( 1 тогда и только тогда, когда сл. величины ( и ( линейно зависимы.
Действительно, если (((,() = ( 1, то существуют числа a и b, такие, что ( =a( + b. Для определенности выберем для коэффициента корреляции знак “+”. Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415. Поскольку числители первых двух дробей есть ничто иное как дисперсии соответствующих сл. величин, то получили неравенство 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Так как (=1, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 c вероятностью 1 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Последнее утверждение требует пояснений. Выражение, стоящее под знаком математического ожидания, неотрицательно; математическое ожидание – это интеграл Лебега по вероятностной мере от неотрицательной функции и он равен 0. По свойству интеграла Лебега это может быть только тогда, когда подынтегральная функция равна нулю почти всюду относительно этой меры, т.е. множества, на которых она отлична от нуля, имеют вероятностную меру 0.
Из последнего равенства выразим ( через (: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415= a
·+b.
Если взять ( = –1, то следует рассмотреть квадрат математического ожидания суммы величин: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, остальные действия аналогичны.
Если же ( =a( + b, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Рассмотренные свойства коэффициента корреляции выявляют его смысл: как мера зависимости сл. величин он “улавливает” только линейную зависимость. Значит, из условия (((,() = 0 следует только один вывод: линейной зависимости между сл. величинами
· и
· нет. Нелинейная зависимость между сл. величинами при этом может быть и даже очень сильная. Чем ближе 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 к 1, чем больше линейная зависимость между сл. величинами, причем, если ( < 0, то сл. величины “растут” в разные стороны: с увеличением одной из них вторая наоборот уменьшается, и наоборот.
Если (((,() = 0, то сл. величины ( и ( называются некоррелированными (выше определение некоррелированных величин уже было приведено с использованием понятия ковариации сл. величин).
Отметим в заключение, что для характеристики нелинейной зависимости между сл. величинами
· и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 используют корреляционные отношения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Приведем некоторые свойства корреляционных отношений:
1. 0
·13 EMBED Equation.DSMT4 1415
·1;
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=1 тогда и только тогда, когда сл. величина
· функционально зависит от сл. величины
·;
3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=0 тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Геометрически это означает, что линия регрессии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 горизонтальная прямая.
4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Равенство возможно тогда и только тогда, когда регрессия 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – прямая линия.
3.13. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВЕКТОРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Определение характеристической функции для скалярной сл. величины было приведено в разделе 2.8. Для векторных сл. величин определение остается справедливым с очевидными изменениями:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.41)
Здесь 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и
· – n-мерная сл. величина.
Свойства характеристических функций многомерных распределений аналогичны свойствам характеристических функций скалярных сл. величин, но есть и отличия, отметим только одно из них: смешанные моменты порядка к можно определять также дифференцированием характеристических функций. При этом справедливо соотношение:

13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3.42)

Отметим в заключение, что характеристическая функция многомерного нормального распределения может быть записана в виде 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где вектор m и матрица A – параметры многомерного нормального распределения. Очень часто характеристическая функция многомерного нормального распределения используется вместо плотности распределения для описания случайного вектора.


КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте определение сл. вектора.
2. Что такое функция распределения сл. вектора.
3. Какой сл. вектор называется дискретным.
4. Напишите условия согласованности для двух дискретных сл. величин. Какой цели они служат?
5. Дайте определение непрерывного сл. вектора.
6. Запишите условия согласованности для непрерывного сл. вектора через функции распределения и через плотности распределения.
7. Сформулируйте необходимое и достаточное условия независимости непрерывных сл. векторов.
8. Что такое числовая характеристика сл. величины?
9. Дайте определение математическому ожиданию, дисперсии, начального и центрального моментов сл. величины. Назовите другие характеристики сл. величины.
10. Перечислите свойства математического ожидания, дисперсии.
11. Что такое ковариация (корреляционный момент), коэффициент корреляции? Назовите их основные свойства.
12. Сформулируйте основное правило нахождения закона распределения функции сл. величины.
13. Каким образом сл. величина 13 EMBED Equation.DSMT4 1415связана с нормальным распределением?
14. Какая с. величина имеет распределение Стьюдента?
15. Как вводится F- распределение?
16. Что означает композиционная устойчивость данного закона? Примеры.
17. Что такое условное распределение?
18. Как вводится условное распределение в случае дискретных сл. величин? В случае непрерывных сл. величин?
19. Дайте определение условного математического ожидания сл. величин.
20. Каков вероятностный смысл регрессии
· на
·?
21. Что представляет собой линия регрессии для нормального закона распределения? Какова геометрическая роль коэффициента корреляции?
22. В чем разница между функциональной и вероятностной зависимостью между сл. величинами?

ЗАДАЧИ

137. Совместное распределение случайного вектора задается таблицей:

X\Y
-1
0
1

-1
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

1
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Найти а) одномерные законы распределения сл. величин X и Y; б) закон распределения сл. величины X+Y; в) закон распределения сл. величины X–Y: г) закон распределения сл. величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; д) совместный закон распределения сл. величин X+Y и X–Y.
138. Вычислить коэффициент корреляции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в условиях задачи 137.
139. Точка произвольным образом бросается в круг единичного радиуса. Найти коэффициент корреляции между ее декартовыми координатами.
140. Найти коэффициент корреляции13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если X и Y независимы, одинаково распределены и имеют конечный второй момент.
141. Найти коэффициент корреляции 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если X имеет а) стандартное нормальное распределение; б) показательное распределение с параметром
·.
142. Плотность совместного распределения величин ( и ( определяется равенствами f(u,v)=1, если (u,v) ( G = {(u,v): 0
·u
·2, 0
·v<1– u/2}, и f(u,v)= 0,если (u,v) (G. Найти13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
143. Плотность совместного распределения сл. величин (1 и (2 f(1(2(u,v)=с(u+v), если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и f(1(2(u,v)=0, если13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Найти а) постоянную с; б) f(i(xi), i=1,2; в) плотность распределения (=max((1,(2).
144. Плотность 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 если u2+v2(1, и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 если u2+v2<1. Найти f((y), если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
145. Неотрицательные сл. величины (1 и (2 независимы и имеют одну и ту же плотность распределения f(x), x
·0. Найти f(1(2(u,v), если (1= (1–(2 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
146. Случайные величины (1 и (2 независимы и имеют одно и то же показательное распределение. Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
147. Случайные величины ( и ( независимы и имеют равномерное распределение на [0,a]. Найти плотность распределения сл. величин а) (+(; б)(–(; в) ((; г) (/(.
148. Случайные величины ( и ( независимы и имеют показательное распределение с параметром (=1. Найти плотность распределения сл. величин а) (+(; б)( –(; в) |(–(|; г) (/(.
149. Найти f(+((х), если сл. величины ( и ( независимы и а) ( имеет равномерное распределение на [0,1], ( – равномерно распределена на [0,2]; б) ( имеет равномерное распределение на [0,1], ( – показательное распределение с параметром (=1; в) обе сл. величины распределены по показательному закону с одним и тем же параметром; г) обе сл. величины распределены по закону Пуассона с параметрами (1 и (2.
150. Найти плотность распределения сл. величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если (i, i=1,2, независимы и равномерно распределены на [0,1].
151. В квадрат с вершинами в точках (0.0), (1.0), (0.1) и (1.1) наудачу брошена точка. Доказать, что для 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Найти для 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
152. Точка бросается в треугольник с вершинами (0,0), (0,1), (2,0). Найти функцию распределения и плотность распределения а) декартовых координат точки; б) полярных координат точки.
153. Случайные величины X и Y независимы, причем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415а 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Найти функции распределения сл. величин X+Y и XY.
154. Случайная величина ( равномерно распределена на [0,2(], (1=cos(, (2=sin(. Найти M(1, M(2, cov((1,(2). Являются ли (1,(2 независимыми?
155. Случайные величины ( и ( независимы и одинаково распределены. Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в следующих случаях:
а) ( и ( имеют показательное распределение с параметром (;
б) ( и ( равномерно распределены на [0,1];
в) ( и ( имеют распределение, задаваемое плотностью распределения f(x)=(2xe-(x, x(0.
156. Совместная плотность распределения сл. величин
· и
· имеет вид: f(((u,v)=1, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 0 в противном случае. Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
157. Случайные величины (1,(2,(3 независимы и распределены нормально с одинаковыми параметрами а=0, (=1; (=13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найти распределение (.
158. Cлучайные величины (1 и (2 независимы и имеют нормальное распределение с параметрами a,
·. Найти f((x), если (=(12+(22.
159. Случайная величина
· имеет стандартное нормальное распределение. Пусть (=13 EMBED Equation.DSMT4 1415 . Будет ли сл. величина
·+
· иметь нормальное распределение?

160. Случайные величины ( и ( независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
161. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 задан в таблице:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415\13 EMBED Equation.DSMT4 1415
-2
-1
1
2

-1
0,02
0,03
0,09
0,01

0
0,04
0,20
0,16
0,10

1
0,05
0,10
0,15
0,05







Найти: а) законы распределения одномерных случайных величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) условные законы распределения случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при условии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=2 и случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при условии 13 EMBED Equation.DSMT4 1415=1; в) вероятность P(13 EMBED Equation.DSMT4 1415>13 EMBED Equation.DSMT4 1415).
162. Двумерная случайная величина ((1, (2) распределена равномерно внутри квадрата R с центром в начале координат. Стороны квадрата равны 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и составляют углы 45
· с осями координат. Определить а) выражение совместной плотности двумерной случайной величины ((1, (2); б) плотности вероятности одномерных составляющих (1 и (2 .
163. Случайные величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеют стандартное нормальное распределение. Найти совместное распределение сл. величин 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при a,b(0.
164. Случайный вектор ((1,(2) имеет нормальное распределение с M(1=M(2=0 и матрицей ковариаций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найти распределение вектора (с1(1,с2(2) при с1,с2(0.
165. Cлучайный вектор (=((1,(2) имеет нормальное распределение с М(=13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и матрицей ковариаций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
166. Cлучайный вектор (=((1,(2) имеет нормальное распределение с М(=13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и матрицей ковариаций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, |13 EMBED Equation.DSMT4 1415|<
·2. Найти P{0((1(x(2}, x>0.
167. Случайные величиы ( и ( независимы и нормально распределены с параметрами 0, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 0, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 соответственно. Вычислить при
·1=1,
·2=2 вероятность попадания сл. величины ((,() в область: а)|x|(1,|y|(2; б)0(x(2, |y|(2; в) 0(x(2, 0(y(4; г) x+y(0, |x|(1,y(–2; д) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
168. Случайные величины ( и ( независимы и нормально распределены с М(=М(=0, D(=D(=4. Найти вероятность, что сл. точка ((,() попадает в область: а)13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б)2(min(|x|,|y|), max(|x|,|y|)(3; в) 2(|x|+|y|(3.
169. Совместная плотность сл. величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет вид: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, и 0 в противном случае. Найти М(k, D(k, k=1,2, cov((1,(2).
170. Совместная плотность сл. величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет вид:
f(1,(2(u,v)= 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найти М13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
171. Cлучайная величина ( имеет равномерное распределение на отрезке [0,1]. Найти
·((1,(2), если а) (1=а(, (2=b(, (a,b(0); б) (1=а(, (2=b(, (a<0172. Пусть ((,() – координаты сл. точки, имеющей равномерное распределение в области D(R2. Найти (((,(), если а) D – часть единичного круга x2+y2(1, x(0, y(0; б) D – треугольник x+y(1, x(0, y(0.
173. Случайные величины ( и ( не коррелированы. Доказать, что M((=M(M(.

174. Какие из матриц могут быть ковариационными для вектора (=((1,(2,(3): а)13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б)13 EMBED Equation.DSMT4 1415; в)13 EMBED Equation.DSMT4 1415; г)13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ; д)13 EMBED Equation.DSMT4 1415; е)13 EMBED Equation.DSMT4 1415; ж)13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
175. При каких значениях х существует сл. вектор (=((1,(2,(3) с ковариационной матрицей
а)13 EMBED Equation.DSMT4 1415; б)13 EMBED Equation.DSMT4 1415?
176. Cлучайные величины ( и ( обладают конечными дисперсиями 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Указать пределы, в которых может изменяться D((+().
177. Случайные величины ( и ( независимы и P{(=k}=P{(=k}=pqk-1, q=1– p, k=1,2, Найти а)P{(=(}; б)P{(>(}; в)P{(<(}; г)P{(=k|(>(}; д)P{(=k|(<(}; е)P{(=k|(=(}; ж) P{(=k|(+(=m}, з) M((|(+(=m), m
·2.
178. Cлучайные величины ( и ( независимы и одинаково распределены. Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
179. Найти в условиях задачи 156 дисперсию D((|(+(=z).
180. Cлучайные величины (i, i=1,2, независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Являются ли независимыми сл. величины (1= (1+(2, (2=(1–(2?









13PAGE 15


13PAGE 1415915




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native2Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native4ІEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeqEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native)ІEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native°Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeІEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native°Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeІEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeaEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 10949367
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий