Синусы, косинусы, экспонента


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
СИНУ
С
, КОСИНУС, ЭКСПОНЕН А, РАБО А С ВЕК ОРАМИ

При работе с ЭЭГ и нейросетями нам придется работать с векторами. Мы будем пользоваться
двумя определени
ями векторов. Первое из них͗

В
ек
тор



направленный
отрезок прямо
й, т
.е. вектор характеризуется в
еличиной (
длина
)

и
направлением.






Соответственно, вектор

может быть привязан к какой
-
то точке, тогда мы можем охарактериз
овать
его двумя наборами чисел (
x
1
,

y
1
,

z
1
,
..
) и

(
x
2
,

y
2
,

z
2
,
..
)
.

Первый набор соответствует точке начала
вектора, второй


точке
конца вектора.




Если вектор не привязан ни к одной точке, то считаем, что он привязан к началу координат
(0,0,0,
͙
) и тогда мы можем охарактеризовать его
одним набором чисел, к
оторый соответствует
его концу. Для простоты работаем на плоскости, т.е. у нас каждой точке соответствует пар
а чисел
.

акой вектор можем назвать ещё
радиус
-
вектором.









Мы постро
или в системе координат вектор. Как нам найти его длину?

Опустим перпендикуляры
на оси из его конца.






Я



отрезок

А я


вектор

А

B

C

D

А


я томат

C
(0,4)

D
(
1,2
)

y

C

(
x
c
,

y
c
)

x

O

x
c

y
c

C

(
x
c
,

y
c
)

x

O

С
1
(
x
c
,0)

С
2
(
0
,
y
c
)

y

огда длина находится из

любог
о прямоугольного треугольника COC
1

или
COC
2

по теорем
е

Пифагора.

огда
длина
|

|






















. В общ
ем случае для вектора




с началом (
x
0
,
y
0
)

и
концом
(
x
1
y
1
)
:
|
ܽ
|










ݔ


ݔ





ݕ


ݕ




Пусть наш вектор




будет
начинаться в начале ко
ординат. Будем его поворачивать так, чтобы
точка вектора о
писала полный кру
г
.









Мы видим
,

что вектор описывается не только
координатам
и его конца. очно тот же вектор мы
получим, если отложим вдоль оси
OX

его длину и повернем на угол
ϕ
. Длина вектора ещё
называется его
модулем
.

В прямоугольном треуг
ольнике отношение катета
,

лежащего против угла
,

к
гипотенузе называется
синусом
, а

отношение
катета, лежащего против угла


косинусом
.


Е
сли мы вращаем вектор, то
его длина,

т.е. гипотенуза прямоугольного треугольник, будет радиусом.




еперь пусть у нашего вектора будет длина

1.
огда координаты его конца будут


(
sin

ϕ
,
cos

ϕ
)
.


x

O

Y

ϕ

C

(
x
c
,

y
c
)




Длина окружности


2
π
R
.

Чему будет равна длина
половины окру
жности? А

четверти? Половина
окружности


поворот
на 180 градусов. Пусть вектор у нас имеет длину 1. огда длина половины
окружности

равна

π
. .е. 180 градусов соответствуют
π
,

90 соответствуют



, 30




. ак что углы мы
можем измерять не только градусами, но и через
π
. акая величина будет называться радианом.

Для любителей строгих определений можем д
ать такое строгое определение͗

Значе
ние угла в радиана
х

равно

длине дуги, полученной при повороте единичного радиус
-
вектора на этот угол.


Чему равен







? А
ܿ݋





? А чему равно выражение
݊





ܿ݋





?

А теперь посмотрим
,

как меняется значение синуса при увеличении угла.
Для этого

найдем
значения


(


)
,







,







,





,







,






. Получим͗
½
,

1, снова
½
, 0,


1 (
т.к.
координаты конца вектора буду (
0,
-
1
)
)
, 0.

Продолжите ряд дальше. Посмотрите, что будет в отрицательной области.


Получается кривая, называемая синусоидой.


Ка
к мы можем её изменять? Мы
можем её растягивать по высоте

в
A

раз
, тогда она будет
строиться по формуле͗

ݕ

݊

ݔ


Мы можем растягивать или сужать её по ширине

в
ω

раз
, тогда о
на будет вычисляться по
формуле
:

ݕ

݊


ݔ


Мы можем её сдвигать вдоль оси
OX

на
ϕ
, и тогда она будет вычисляться по формуле͗

ݕ

݊

ݔ




Итого͗

ݕ

݊


ݔ




Вел
и
чина

А

в этом случае называется
амплитудой
,

ω



частотой
,
ϕ



фазовым сдвигом
.

Постройте такую же кривую для косинуса. А теперь сдвиньте её на пи пополам и поймите, почему
она не называется косинус
оидой.

еперь введем число
i

такое, что







ͳ
. Это число было введено для того, чтобы было
возможно решить любое уравнение вида



ݔ


Ͳ
. Ещё раз͗
квадратного
корня из отрицательных
чисел нет. Операция
извле
чения корня определена только для полож
ительных чисел. Но никто не
запр
ещает в
озводить мнимые числа в квадрат и получать отрицательные числа.

Число вида͗

ݖ

ܽ

ܾ

н
азывается
комплексн
ым
.

Число
ܽ

называется
действительной частью

комплексного числа

z
, а
число

b



мнимой частью

компле
ксного числа

z
. Обозначают
ܽ



ݖ


ܾ

݉

ݖ


Если по одной оси мы будем откладывать вещественную часть числа, а по другой


мнимую,

то
числу
z

будет соответствовать вектор
:


Этот в
ектор характеризуется модулем
|
ݖ
|



ܽ


ܾ


и углом
ϕ
:
ܿ݋




|

|

݊




|

|

аким образом͗

ݖ


|
ݖ
|

ܿ݋


݊



Введем ещё одну функцию экспонента
exp
(
x
)
,

значение
ко
торой будет равно некоему числу
e

в
степени
x

ݔ݌

ݔ





и верна формула͗


Из этой ф
ормулы мы

можем получить связь фундаментальных математических констант͗





ͳ

Ͳ


Приложенные файлы

  • pdf 11186390
    Размер файла: 555 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий