Синус и косинус


Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90º. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90º.
Тупой угол — больший 90º. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается С. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла А, обозначается а.
Угол А обозначается соответствующей греческой буквой α.

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет а, лежащий напротив угла α, называется противолежащим (по отношению к углу α). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла α, называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
sin A=a/c
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Cos A=b/c
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Tg A=a/b
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Tg A=sin A/cos A
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):Ctg A= b/a = cos A/sin A
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

Давайте докажем некоторые из них.
Сумма углов любого треугольника равна 180º. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa 90º.
С одной стороны, sin A=a/c как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, cos B=a/c , поскольку для угла β катет а будет прилежащим.
Получаем, что cos β = sin A. Иными словами, cos (90º — А) = sin A.
Возьмем теорему Пифагора: a2 + b2 = c2.
Поделим обе части на cos2 A:
Cos2 A + sin2 A = 1
Мы получили основное тригонометрическое тождество:
Поделив обе части основного тригонометрического тождества на cos2 A, получим:
1+ctg2 A = 1/cos2 A
Это значит, что если нам дан тангенс острого угла α, то мы сразу можем найти его косинус.
Аналогично,
1+ ctg2 A = 1/sin2 A
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 180°.
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: a2 + b2 = с2.
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 0 до 90°.

Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A = 0,1. Найдите cos B.
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку А+В = 90°, sin A = cos B = 0,1.
2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АВ = 5, sin A = 7/25 . Найдите AC.

Имеем:

Sin A = a/c = BC/AB = 7/25
Отсюда
BC = 7/25 * AB = 7/5
Найдем АС по теореме Пифагора.
AC = корень AB2 – BC2 = 24/25 = 0.96
Задача решена.
Часто в задачах встречаются треугольники с углами 90°, 30° и 60° или с углами 90°, 45° и 45°. Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Для треугольника с углами 90°, 30° и 60° катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.
Треугольник с углами 90°, 45° и 45° — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. В банке заданий ФИПИ на сайте mathege.ru вы найдете множество подобных задач. Но это не всё! Там вы встретите задачи, в которых фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Приложенные файлы

  • docx 11186589
    Размер файла: 104 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий