Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.


Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.
Градусная мера угла в 1 радиан равна:
Так как дуга длиной πR (полуокружность), стягивает центральный угол в 180°, то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.

И наоборот

Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°
Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна

И наоборот

Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.
Например, 360° = 2π рад, пишут 360° = 2π
В таблице указаны наиболее часто встречающиеся углы в градусной и радианной мере.
Градусы 0 15 30 45 60 75 90 120 135 150 180 270 360
Радианы 0 π/12 π/6 π/4 π/3 5π/12 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π
Пример 1.
Найти радианную меру угла равного а) 40° ,  б)120° ,  в)105°
Решение
а) 40° = 40·π / 180 = 2π/9
б) 120° = 120·π/180 = 2π/3
в) 105° = 105·π/180 = 7π/12
Пример 2.
Найти градусную меру угла выраженного в радианах а) π/6 ,  б) π/9,  в) 2·π/3
Решение
а) π/6 = 180°/6 = 30°
б) π/9 = 180°/9 = 20°
в) 2π/3 = 2·180°/6 = 120°
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса
- Синус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (рис.1):
sin t = b/c.
- Косинус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе (рис.1):
cos t = a/c.
Эти определения относятся к прямоугольному треугольнику и являются частными случаями тех определений, которые представлены в данном разделе.
Поместим тот же прямоугольный треугольник в числовую окружность (рис.2).
 
Мы видим, что катет b равен определенной величине y на оси Y (оси ординат), катет а равен определенной величине x на оси X (оси абсцисс). А гипотенуза с равна радиусу окружности (R).Таким образом, наши формулы обретают иной вид.
Так как b = y, a = x, c = R, то:
              y                    xsin t = —— , cos t = ——.             R                    R
Кстати, тогда иной вид обретают, естественно, и формулы тангенса и котангенса.
Так как tg t = b/a,  ctg t = a/b, то, верны и другие уравнения:
tg t = y/x,
ctg = x/y.
Но вернемся к синусу и косинусу. Мы имеем дело с числовой окружностью, в которой радиус равен 1. Значит, получается:
              ysin t = —— = y,              1
               xcos t = —— = x.               1
Так мы приходим к третьему, более простому виду тригонометрических формул.
Эти формулы применимы не только к острому, но и к любому другому углу (тупому или развернутому).
Определения и формулы cos t, sin t, tg t, ctg t.
Косинусом числа t числовой окружности называют абсциссу этого числа: 
cos t = xСинус числа t – это его ордината:
sin t = yТангенс числа t – это отношение синуса к косинусу:
                                                                                     sin t                    π                                                                         tg t = ———,  где t  ≠  —  +  πk                                                                                     cos t                    2
Котангенс числа t – это отношение косинуса к синусу:
                                                                                      cos t                                                                         ctg t = ———,  где t  ≠  πk                                                                                      sin t Из формул тангенса и котангенса следует еще одна формула:
                                                                               sin t        cos t                          πk                                                         tg t · ctg t = ——— · ——— = 1, при t ≠ ——                                                                               cos t        sin t                           2
 Уравнения числовой окружности.
Из предыдущего раздела мы знаем одно уравнение числовой окружности:
x2 + y2 = 1
Но поскольку x = cos t, а y = sin t, то получается новое уравнение:
cos2 t + sin2 t = 1
 Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в четвертях окружности:
  1-я четверть 2-я четверть 3-я четверть 4-я четверть
cos t+ – – +
sin t+ + – –
tg t, ctg t+ – + –
 
Косинус и синус основных точек числовой окружности:
 
Как запомнить значения косинусов и синусов основных точек числовой окружности.
Прежде всего надо знать, что в каждой паре чисел значения косинуса стоят первыми, значения синуса – вторыми.
1) Обратите внимание: при всем множестве точек числовой окружности мы имеем дело лишь с пятью числами (в модуле):
      1      √2      √30;  —;  ——; ——;  1.      2       2        2
Сделайте для себя это «открытие» - и вы снимете психологический страх перед обилием чисел: их на самом деле всего-то пять.
2) Начнем с целых чисел 0 и 1. Они находятся только на осях координат.
Не надо учить наизусть, где, к примеру, косинус в модуле имеет единицу, а где 0.
На концах оси косинусов (оси х), разумеется, косинусы равны модулю 1, а синусы равны 0.
На концах оси синусов (оси у) синусы равны модулю 1, а косинусы равны 0.
Теперь о знаках. Ноль знака не имеет. Что касается 1 – тут просто надо вспомнить самую простую вещь: из курса  7 класса вы знаете, что на оси х справа от центра координатной плоскости – положительные числа, слева – отрицательные; на оси у вверх от центра идут положительные числа, вниз – отрицательные. И тогда вы не ошибетесь со знаком 1.
3) Теперь перейдем к дробным значениям.
- Во всех знаменателях дробей – одно и то же число 2. Уже не ошибемся, что писать в знаменателе.
- В серединах четвертей косинус и синус имеют абсолютно одинаковое значение по модулю: √2/2. В каком случае они со знаком плюс или минус – см.таблицу выше. Но вряд ли вам нужна такая таблица: вы знаете это из того же курса 7 класса.
- Все ближайшие к оси х точки имеют абсолютно одинаковые по модулю значения косинуса и синуса: (√3/2; 1/2).
- Значения всех ближайших к оси у точек тоже абсолютно идентичны по модулю – причем в них те же числа, только они «поменялись» местами: (1/2; √3/2).
Теперь о знаках – тут свое интересное чередование (хотя со знаками, полагаем, вы должны легко разобраться и так).
Если в первой четверти значения и косинуса, и синуса со знаком плюс, то в диаметрально противоположной (третьей) они со знаком минус.
Если во второй четверти со знаком минус только косинусы, то в диаметрально противоположной (четвертой) – только синусы.
Осталось только напомнить, что в каждом сочетании значений косинуса и синуса первое число – это значение косинуса, второе число – значение синуса.
- Обратите внимание еще на одну закономерность: синус и косинус всех диаметрально противоположных точек окружности абсолютно равны по модулю. Возьмем, к примеру, противоположные точки π/3 и 4π/3:
cos π/3 = 1/2,       sin π/3 = √3/2cos 4π/3 = -1/2,    sin 4π/3 = -√3/2
Различаются значения косинусов и синусов двух противоположных точек только по знаку. Но и здесь есть своя закономерность: синусы и косинусы диаметрально противоположных точек всегда имеют противоположные знаки.
Важно знать:
Значения косинусов и синусов точек числовой окружности последовательно возрастают или убывают в строго определенном порядке: от самого малого значения до самого большого и наоборот (см. раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций» - впрочем, в этом легко убедиться, лишь просто посмотрев на числовую окружность выше).
В порядке убывания получается такое чередование значений:
       √3      √2      1              1         √2          √31;  ——;  ——; —;  0;   – —;  – ——;  – ——; –1        2        2       2              2          2             2
Возрастают они строго в обратном порядке.
Поняв эту простую закономерность, вы научитесь довольно легко определять значения синуса и косинуса.
 Тангенс и котангенс основных точек числовой окружности.
Зная косинус и синус точек числовой окружности, легко можно вычислить их тангенс и котангенс. Делим синус на косинус - получаем тангенс. Делим косинус на синус - получаем котангенс. Результаты этого деления - на рисунке
ПРИМЕЧАНИЕ: В некоторых таблицах значения тангенса и котангенса, равные модулю √3/3, указаны как 1/√3. Ошибки тут нет, так как это равнозначные числа. Если числитель и знаменатель числа 1/√3 умножить на √3, то получим √3/3.
Как запомнить значение тангенсов и котангенсов основных точек числовой окружности.
Здесь такие же закономерности, что и с синусами и косинусами. И чисел тут всего четыре (в модуле): 0, √3/3, 1, √3.
На концах осей координат – прочерки и нули. Прочерки означают, что в данных точках тангенс или котангенс не имеют смысла.
Как запомнить, где прочерки, а где нули? Поможет правило.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу. На концах оси синусов (ось у) тангенс не существует.
Котангенс – это отношение косинуса к синусу. На концах оси косинусов (ось х) котангенс не существует.
В остальных точках идет чередование всего лишь трех чисел: 1, √3 и √3/3 со знаками плюс или минус. Как с ними разобраться? Запомните (а лучше представьте) три обстоятельства:
1) тангенсы и котангенсы всех середин четвертей имеют в модуле 1.
2) тангенсы и котангенсы ближайших к оси х точек имеют в модуле √3/3; √3.
3) тангенсы и котангенсы ближайших к оси у точек имеют в модуле √3; √3/3.Не ошибитесь со знаками – и вы большой знаток.
Нелишне будет запомнить, как возрастают и убывают тангенс и котангенс на числовой окружности (см.числовую окружность выше или раздел «Возрастание и убывание тригонометрических функций»). Тогда еще лучше будет понятен и порядок чередования значений тангенса и котангенса.
 
Тригонометрические свойства чисел числовой окружности.
Представим, что определенная точка М имеет значение t.
Свойство 1:
 sin (–t) = –sin t cos (–t) = cos t tg (–t) = –tg t ctg (–t) = –ctg tПояснение. Пусть t = –60º  и  t = –210º.
cos –60º равен 1/2. Но cos 60º тоже равен 1/2. То есть косинусы –60º  и 60º  равны как по модулю, так и по знаку: cos –60º = cos 60º.
cos –210º равен –√3/2. Но cos 210º тоже равен –√3/2. То есть: cos –210º = cos 210º.
Таким образом, мы доказали, что cos (–t) = cos t.
sin –60º равен –√3/2. А sin 60º равен √3/2. То есть sin –60º и sin 60º равны по модулю, но противоположны по знаку.
sin –210º равен 1/2. А sin 210º равен –1/2. То есть sin –210º и sin 210º равны по модулю, но противоположны по знаку.
Таким образом, мы доказали, что sin (–t) = –sin t.
Посмотрите, что происходит с тангенсами и котангенсами этих углов – и вы сами легко докажете себе верность двух других тождеств, приведенных в таблице.
Вывод: косинус – четная функция, синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.
Свойство 2: Так как t = t + 2πk, то:
 sin (t + 2πk) = sin t  cos (t + 2πk) = cos t
Пояснение: t и t + 2πk – это одна и та же точка на числовой окружности. Просто в случае с 2πk  мы совершаем определенное количество полных оборотов по окружности, прежде чем приходим к точке t. Значит, и равенства, изложенные в этой таблице, очевидны.
 
Свойство 3: Если две точки окружности находятся друг против друга относительно центра О, то их синусы и косинусы равны по модулю, но противоположны по знаку, а их тангенсы и котангенсы одинаковы как по модулю, так и по знаку.
 sin (t + π) = –sin t cos (t + π) = –cos t tg (t + π) = tg t ctg (t + π) = ctg tПояснение: Пусть точка М находится в первой четверти. Она имеет положительное значение синуса и косинуса. Проведем от этой точки диаметр – то есть отрезок, проходящий через центр оси координат и заканчивающийся  в точке окружности напротив. Обозначим эту точку буквой N. Как видите, дуга MN равна половине окружности. Вы уже знаете, что половина окружности – это величина, равная π. Значит, точка N находится на расстоянии π от точки М. Говоря иначе, если к точке М прибавить расстояние π, то мы получим точку N, находящуюся напротив. Она находится в третьей четверти. Проверьте, и увидите: косинус и синус точки N – со знаком «минус» (x и y имеют отрицательные значения).
Тангенс и котангенс точки М имеют положительное значение. А тангенс и котангенс точки N? Ответ простой: ведь тангенс и котангенс – это отношение синуса и косинуса. В нашем примере синус и косинус точки N – со знаком «минус». Значит:
                     –sin ttg (t + π) = ———— = tg t                    –cos t 
                      –cos tctg (t + π) = ———— = ctg t                      –sin tМы доказали, что тангенс и котангенс диаметрально противоположных точек окружности имеют не только одинаковое значение, но и одинаковый знак.
 
Свойство 4: Если две точки окружности находятся в соседних четвертях, а расстояние между точками равно одной четверти окружности, то синус одной точки равен косинусу другой с тем же знаком, а косинус одной точки равен синусу второй с противоположным знаком.
                                     π                        sin (t + —) = cos t                                     2                                     π                      cos (t + —) = –sin t                                    2
 

Приложенные файлы

  • docx 11186674
    Размер файла: 85 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий