Теория вероятностей и математическая статистика — Казакевич Виктор Александрович

Министерство образования Республики Беларусь
Белорусский национальный технический
университет

Кафедра «Высшая математика № 1»










МАТЕМАТИКА

Методическое пособие
для студентов заочной формы обучения

В 4 частях

Часть 4











Минск
БНТУ
2011 УДК 519.2(075.4)
ББК 22.17я7
М 54



Авторы:
Н.И. Чепелев, А.В. Метельский, Т.И. Чепелева,
Е.А. Федосик, В.С. Марцинкевич

Рецензенты:
В.В. Карпук, Г.А. Романюк



М 54
Математика: методическое пособие для студентов заочной формы обучения: в 4 ч. / Н.И. Чепелев [и др.]. – Минск: БНТУ, 2011. – Ч. 4. – 70 с.

ISBN 978-985-525-661-9 (Ч. 4).


Настоящее методическое пособие предназначено для студентов второго курса заочной формы обучения.
Работа содержит основные понятия из программы по теории вероятностей и математической статистике, типовые примеры решений задач и контрольные задания (30 вариантов).
УДК 519.2(075.4)
ББК 22.17я7













ISBN 978-985-525-661-9 (Ч. 4)
ISBN 978-985-525-741-8 © БНТУ, 2011
ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4
ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ 5
ЛИТЕРАТУРА 7
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ 8
1. Элементы комбинаторики. Пространство элементарных
событий. Определения вероятности 8
1.1. Элементы комбинаторики 8
2. Теоремы сложения и умножения вероятностей 10
2.1. Теорема сложения вероятностей 10
2.2. Теорема умножения вероятностей 11
3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса 12
3.1. Формула полной вероятности 12
3.2. Формулы Байеса 13
4. Схема повторных независимых испытаний (схема Бернулли) 14
4.1. Формула Бернулли 14
4.2. Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа 14
4.3. Формула Пуассона 16
5. Случайные величины 17
5.1. Понятие случайной величины 17
5.2. Функция распределения СВ и ее свойства 17
5.3. Плотность распределения вероятностей СВ 18
6. Числовые характеристики СВ 21
6.1. Математическое ожидание и его свойства 21
6.2. Дисперсия и ее свойства 21
7. Законы распределения СВ 24
7.1. Законы распределения дискретных СВ 24
7.2. Законы распределения непрерывных СВ 25
8. Математическая статистика 29
8.1. Выборочный метод. Статистическое распределение
выборки. Эмпирическая функция распределения 29
8.2. Точечные оценки неизвестных параметров распределения 30
8.3. Интервальные оценки неизвестных параметров распределения 31
8.4. Статистическая проверка гипотезы о нормальном
распределении 32
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ 39
ПРИЛОЖЕНИЯ 62
ВВЕДЕНИЕ

Студент должен изучить теоретический материал, разобрать приведенные решения типовых примеров, а затем выполнить контрольные задания. Вариант задания совпадает с двумя последними цифрами шифра зачетной книжки. Если номер шифра больше тридцати, следует от него отнимать тридцать до тех пор, пока не получится число, меньшее или равное тридцати. Это и будет номер варианта. Например, шифр содержит две последние цифры 76, номер варианта будет 76 – 30 – 30 = 16. Шестнадцатый вариант задания содержит задачи с номерами: 16, 46, 76, 106, 136, 166, 196. Если шифр варианта 00, то студент выполняет 30 вариант.
ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

Пространство элементарных событий. Алгебра событий.
Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности.
Свойства вероятности.
Теорема сложения вероятностей.
Теорема умножения вероятностей.
Формула полной вероятности.
Формулы Байеса.
Схема повторных независимых испытаний. Формула Бернулли.
Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа.
Формула Пуассона.
Случайные величины (СВ). Закон распределения СВ. Непрерывные и дискретные СВ.
Математическое ожидание и его свойства.
Дисперсия и ее свойства.
Функция распределения и ее свойства.
Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
Биномиальный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия СВ, распределенной по биномиальному закону.
Распределение Пуассона. Математическое ожидание и дисперсия.
Равномерный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия.
Показательный закон распределения. Математическое ожидание и дисперсия.
Нормальный закон распределения. Функция и плотность распределения. Математическое ожидание и дисперсия.
Вероятность попадания нормально распределенной СВ в интервал. Вероятность отклонения СВ от математического ожидания по модулю. Правило трех сигм.
Двумерные СВ. Закон распределения. Условный закон распределения.
Числовые характеристики двумерных СВ. Условное математическое ожидание и условная дисперсия.
Корреляционный момент и его свойства.
Коэффициент корреляции и его свойства.
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева.
Теорема Бернулли.
Центральная предельная теорема Ляпунова.
Генеральная и выборочная совокупности. Вариационный ряд.
Полигон и гистограмма.
Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
Понятия выборки и выборочной функции (статистики). Выборочная средняя и выборочная дисперсия.
Оценки параметров распределения. Точечные оценки и требования, предъявляемые к ним.
Точечные оценки для математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности.
Интервальные оценки. Доверительный интервал.
Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной СВ при известном среднем квадратическом отклонении.
Распределение Стьюдента.
Построение доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной СВ при неизвестном среднем квадратическом отклонении.
Распределение Пирсона.
Построение доверительного интервала для среднего квадратического отклонения нормально распределенной СВ.
Понятие о статистических гипотезах и критериях согласия.
Критерий согласия Пирсона 13 EMBED Equation.3 1415.
Критерий согласия Колмогорова.
Выборочный коэффициент корреляции и его свойства.
Уравнение регрессии. Линейная регрессия. Определение коэффициентов линейной регрессии методом наименьших квадратов.
Нелинейная регрессия. Определение параметров нелинейной регрессии.
ЛИТЕРАТУРА

Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1997.
Микулик, Н.А. Теория вероятностей и математическая статистика / Н.А. Микулик, А.В. Метельский. – Минск: Пион, 2002.
Фигурин, В.В. Теория вероятностей и математическая статистика / В.В. Фигурин. – Минск: Новое знание, 2000.
Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. –М.: Высшая школа, 1997.
Гусак, А.А. Теория вероятностей: справочное пособие к решению задач / А.А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 1999.
Микулик, Н.А. Решение задач с техническим содержанием по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессом: справочное пособие / Н.А. Микулик [и др.]. – Минск: БНТУ, 1966.
Гайшун, Л.Н. Теория вероятностей / Л.Н. Гайшун, Г.К. Игнатьева, О.А. Велько. – Минск: МПУ, 2002.
Минюк, С.А. Математика для инженеров: учебник: в 2 т. / С.А. Минюк [и др.]. – Минск: Элайда, 2006. – Т. 2.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

1. Элементы комбинаторики. Пространство элементарных
событий. Определения вероятности

1.1. Элементы комбинаторики
Пусть дано множество, состоящее из n различных элементов 13 EMBED Equation.3 1415. Перестановкой на множестве из n элементов называется всякое упорядоченное множество, состоящее из этих n элементов. Число перестановок на множестве из n элементов Рn определяется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
Две различные перестановки состоят из одних и тех же элементов, но отличаются порядком следования элементов.
Пример 1.1. Имеется четыре вакантных должности и четыре претендента на эти должности. Сколькими способами можно заполнить эти должности?
Решение. Р4 = 4! = 24.
Размещением на множестве из n элементов по m элементов называется любое упорядоченное подмножество, содержащее m элементов. Два размещения считаются различными, если они состоят из различных элементов, или состоят из одних и тех же элементов, но отличаются порядком следования элементов в наборе. Число размещений на множестве из n элементов по m элементов определяется формулой 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1.2. Сколькими способами можно рассадить по 3 студента за стол в группе из 20 студентов?
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415.
Сочетанием на множестве из n элементов по m элементов называется всякое неупорядоченное подмножество, содержащее m элементов. Два различных сочетания отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний на множестве из п элементов по т элементов определяется формулой 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1.3. В ящике 5 деталей. Сколькими способами из ящика можно взять 3 детали?
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415.
Классическое определение вероятности. Элементарным событием или исходом называется всякая возможная реализация эксперимента. Множество 13 EMBED Equation.3 1415 всех элементарных событий называется пространством элементарных событий. Любое подмножество пространства элементарных исходов называется случайным событием. Исход (i благоприятствует событию А, если появление исхода (i влечет появление события А. Вероятность события характеризует степень объективной возможности наступления этого события. Вероятностью Р(А) события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих появлению события А, к общему числу равновозможных исходов.
13 EMBED Equation.3 1415,
где п – общее число исходов;
т – число исходов, благоприятствующих появлению события А.
Пример 1.4. В группе 8 юношей и 5 девушек. Из группы случайным образом отбирается 5 студентов. Найти вероятность того, что среди них окажется 4 девушки.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что из 5 случайно отобранных студентов окажутся 4 девушки. Общее число исходов будет равно количеству способов, сколькими из 13 студентов можно отобрать по 5 студентов 13 EMBED Equation.3 1415. Благоприятствовать событию А будут те исходы, в которых будет 4 девушки и 1 юноша 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Геометрическое определение вероятности. Пусть указана область (, из которой наугад выбирается точка. Вероятность того, что выбранная точка одновременно попадет в область А (А ( () пропорциональна мере области А (длине, площади, объему): 13 EMBED Equation.3 1415. Понятие геометрической вероятности обобщает классическое определение вероятности на случай опытов с бесконечным числом исходов.
Пример 1.5. Случайно поставленная точка принадлежит квадрату со стороной 4. Найти вероятность того, что она попадет в круг, вписанный в этот квадрат.
Решение. Пусть событие А состоит в том, что случайно поставленная точка попадет в круг, вписанный в квадрат. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Статистическое определение вероятности. Пусть некоторый эксперимент повторяют п раз, в результате этого событие А наступило т раз. Относительной частотой 13 EMBED Equation.3 1415 события А называется отношение количества испытаний, в которых наступило событие А, к общему числу проведенных испытаний:

13 EMBED Equation.3 1415.
Если число испытаний неограниченно увеличивать, то относительная частота события «стремится» к вероятности наступления события А. Поэтому при статистическом определении вероятности полагают 13 EMBED Equation.3 1415.

2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

2.1. Теорема сложения вероятностей
Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

13 EMBED Equation.3 1415.

Если события несовместные, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей:

13 EMBED Equation.3 1415.

Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1:

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
2.2. Теорема умножения вероятностей
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность второго события при условии, что произошло первое событие:

13 EMBED Equation.3 1415.

Если события 13 EMBED Equation.3 1415 являются независимыми, то вероятность произведения событий равна произведению вероятностей этих событий:

13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 2.1. Найти вероятность того, что случайно взятое двузначное число будет кратным 2 или 5.
Решение. Пусть событие А – случайно взятое число кратно 2 или 5; В – число кратно только двум; С – число кратно 5. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, где В и С – совместные события. Найдем вероятности этих событий.

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415

Пример 2.2. Для подготовки к экзамену студентам дано 50 вопросов. Студент, готовясь к экзамену, выучил 40 вопросов. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для сдачи необходимо ответить на 2 вопроса из двух, предложенных экзаменатором.
Решение. Пусть событие А – студент сдал экзамен; В – студент ответил на 1-й вопрос; С – студент ответил на 2-й вопрос. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, события В и С зависимые: 13 EMBED Equation.3 1415. Найдем вероятности 13 EMBED Equation.3 1415, используя классическое определение вероятности.
13 EMBED Equation.3 1415

3. Формула полной вероятности. Формулы Байеса

3.1. Формула полной вероятности
События 13 EMBED Equation.3 1415 образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и их сумма равна достоверному событию:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть событие А может наступить совместно с одним из событий 13 EMBED Equation.3 1415, образующих полную группу, тогда вероятность события А определяется по формуле:

13 EMBED Equation.3 1415.

Эта формула называется формулой полной вероятности, а события 13 EMBED Equation.3 1415 – гипотезами.
Пример 3.1. По линии связи передаются два сигнала А и В соответственно с вероятностями 0,4 и 0,6. Из-за помех 1/6 сигналов А искажается и принимается как В, а 1/5 сигналов В искажается и принимается как А. Найти вероятность того, что будет принят сигнал А.
Решение. Рассмотрим события: А – принят сигнал А, Н1 – передавался сигнал А; Н2 – передавался сигнал В. События Н1, Н2 образуют полную группу событий, поэтому
13 EMBED Equation.3 1415

3.2. Формулы Байеса
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из событий 13 EMBED Equation.3 1415, которые образуют полную группу событий. Если событие А произошло, то вероятности гипотез определяются по формулам Байеса

13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 3.2. Соотношение грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, равно 2 : 3. Вероятность того, что будет заправляться грузовая автомашина равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,3. К бензоколонке подъехала для заправки автомашина. Найти вероятность того, что это грузовая автомашина.
Решение. Пусть событие А – к бензоколонке подъехала для заправки автомашина; Н1 – подъехала грузовая автомашина; Н2 – подъехала легковая автомашина. Тогда

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
4. Схема повторных одинаковых независимых испытаний
(схема Бернулли)

4.1. Формула Бернулли
Если производится n независимых испытаний, в результате которых могут быть только два исхода А или 13 EMBED Equation.3 1415 с неизменными вероятностями 13 EMBED Equation.3 1415, то такая схема испытаний называется схемой Бернулли.
Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события А постоянна (равна р) и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно m раз, определяется по формуле Бернулли

13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 4.1. Прибор состоит из четырех узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что в течение смены откажут ровно два узла.
Решение. Из условия задачи 13 EMBED Equation.3 1415. Используя формулу Бернулли, получим

13 EMBED Equation.3 1415.

4.2. Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа
Локальная теорема Муавра–Лапласа. Если вероятность появления события А в каждом из независимых испытаний постоянна (равна р) и отлична от 0 и 1, а число испытаний п достаточно велико, то вероятность того, что в п независимых испытаниях событие наступит ровно т раз приближенно определяется по формуле:

13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 является четной функцией: 13 EMBED Equation.3 1415. Для функции 13 EMBED Equation.3 1415 построены таблицы значений, с помощью которых находятся 13 EMBED Equation.3 1415 по вычисленным значениям х.
Пример 4.2. Вероятность того, что автомат выпускает стандартную деталь равна 0,9. Какова вероятность того, что из 400 выпущенных автоматом деталей 356 окажутся стандартными.
Решение. Из условия задачи р = 0,9; п = 400; т = 356; q = 1– p = = 0,1. Так как п велико и прq = 400 ( 0,9 ( 0,1 = 36, то можно применить локальную теорему Муавра–Лапласа:

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415.

Интегральная теорема Муавра–Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом из независимых испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, а число испытаний велико, то вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А появится от т1 до т2 раз определяется по формуле

13 EMBED Equation.3 1415

где 13 EMBED Equation.3 1415 – функция Лапласа,
13 EMBED Equation.3 1415
Функция Лапласа является нечетной функцией:

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Значения функции Лапласа берут из таблицы по найденным значениям х.
Пример 4.3. Вероятность реализации одной акции некоторой компании равна 0,8. Брокерская фирма предлагает 100 акций этой компании. Какова вероятность того, что будет продано не менее 70 и не более 85 акций.
Решение. По условию задачи п = 100, т1 = 70, т2 = 85, р = 0,8. Находим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415

4.3. Формула Пуассона
Если в схеме Бернулли п велико, а вероятность появления события р мала, то вероятность того, что в п испытаниях событие наступит ровно т раз определяется по формуле

13 EMBED Equation.3 1415.

Формулу Пуассона обычно применяют, если р < 0,01; п >100 и пр ( 10.
Пример 4.4. При массовом производстве шестерен вероятность брака равна 0,002. Найти вероятность того, что из 500 выпущенных шестерен будет ровно 2 бракованных.
Решение. По условию задачи п =500 и т = 2, р = 0,002, ( = пр = = 500 ( 0,002 = 1 < 10. Для нахождения вероятности воспользуемся формулой Пуассона:
13 EMBED Equation.3 1415.
5. Случайные величины

5.1. Понятие случайной величины
Случайной величиной (СВ) называется числовая функция 13 EMBED Equation.3 1415, заданная на пространстве элементарных исходов ( и такая, что для любого действительного числа х определена вероятность 13 EMBED Equation.3 1415. Случайная величина – это величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Различают два вида СВ: дискретные и непрерывные. Дискретная СВ – это величина, которая принимает счетное или конечное число значений. Непрерывной СВ на интервале (a; b) называют СВ, которая может принять любое значение из (a; b). Чтобы задать СВ нужно задать закон распределения. Закон распределения дискретной СВ – это соответствие между возможными значениями СВ и вероятностями их появления. Закон распределения дискретной СВ записывается в виде таблицы:

xi
х1
х2
(
хп

pi
p1
p2
(
pп


13 EMBED Equation.3 1415.

5.2. Функция распределения СВ и ее свойства
Функцией распределения СВ (интегральной функцией распределения) называется функция 13 EMBED Equation.3 1415, равная вероятности того, что СВ Х принимает значение меньшее х, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Свойства функции распределения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415 – неубывающая функция, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5) функция распределения непрерывна слева: 13 EMBED Equation.3 1415;
6) если СВ принимает значение хi c вероятностью рi, то 13 EMBED Equation.3 1415;
7) если СВ Х является непрерывной, то 13 EMBED Equation.3 1415.

5.3. Плотность распределения вероятностей СВ
Плотностью распределения СВ (дифференциальной функцией распределения) называется такая функция р(х), что 13 EMBED Equation.3 1415.
Свойства плотности распределения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Чтобы задать закон распределения непрерывной СВ необходимо задать или плотность распределения, или функцию распределения.
Пример 5.1. Партия изделий содержит 10 % нестандартных. Пусть СВ Х – число стандартных изделий в партии из пяти изделий. Требуется составить закон распределения СВ и записать функцию распределения.
Решение. СВ Х может принимать значения хk = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Вероятность 13 EMBED Equation.3 1415 найдем по формуле Бернулли: 13 EMBED Equation.3 1415. По условию задачи 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415.
Запишем закон распределения СВ

хi
0
1
2
3
4
5

pi
0,00001
0,00045
0,0081
0,0729
0,32805
0,59049


Найдем функцию распределения. По определению:

13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415,
при 13 EMBED Equation.3 1415,
при 13 EMBED Equation.3 1415,
при 13 EMBED Equation.3 1415,
при 13 EMBED Equation.3 1415,
при 13 EMBED Equation.3 1415,
при 13 EMBED Equation.3 1415.
Окончательно
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 5.2. Непрерывная СВ задана плотностью распределения:

13 EMBED Equation.3 1415
Требуется найти значение параметра с и записать функцию распределения.
Решение. Значение параметра с определим, используя свойство плотности распределения: 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415.

Функцию распределения определим из условия 13 EMBED Equation.3 1415.
Для 13 EMBED Equation.3 1415,
для 13 EMBED Equation.3 1415,
для 13 EMBED Equation.3 1415.
Значит,
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 5.3. Дана функция распределения СВ:

13 EMBED Equation.3 1415

Нужно определить плотность распределения.
Решение. Плотность распределения определим из свойства плотности распределения: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
6. Числовые характеристики СВ

К числовым характеристикам СВ относятся: математическое ожидание М(Х), дисперсия D(Х), среднее квадратическое отклонение ((Х), начальные и центральные моменты и др.

6.1. Математическое ожидание и его свойства
Дискретная СВ принимает значения 13 EMBED Equation.3 1415 с вероятностями 13 EMBED Equation.3 1415. Математическим ожиданием СВ называется число М(Х), которое определяется соотношением

13 EMBED Equation.3 1415.

Если непрерывная СВ задана плотностью распределения 13 EMBED Equation.3 1415, то математическое ожидание определяется интегралом 13 EMBED Equation.3 1415.
Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ.
Свойства математического ожидания:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415, если СВ X и Y независимы.

6.2. Дисперсия и ее свойства
Начальным моментом k-го порядка называется математическое ожидание СВ Хk.
Для дискретных случайных величин
13 EMBED Equation.3 1415.
Для непрерывных случайных величин
13 EMBED Equation.3 1415.
Центральным моментом k-ого порядка называется математическое ожидание СВ 13 EMBED Equation.3 1415.
Для дискретных случайных величин:
13 EMBED Equation.3 1415.
Для непрерывных случайных величин:
13 EMBED Equation.3 1415.
Дисперсией называется центральный момент второго порядка:
13 EMBED Equation.3 1415.
Дисперсия характеризует степень разброса значений СВ относительно математического ожидания. Дисперсия СВ равна разности математического ожидания квадрата СВ и квадрата математического ожидания.
13 EMBED Equation.3 1415.

Свойства дисперсии:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415, X, Y – независимые СВ.
Средним квадратическим отклонением СВ называется корень квадратный из дисперсии СВ:

13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 6.1. Дискретная СВ задана законом распределения. Требуется найти М(Х), D(X), ((X).

xi
0
1
2
3

pi
0,1
0,3
0,4
0,2


Решение.
13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 6.2. Непрерывная СВ задана плотностью распределения:

13 EMBED Equation.3 1415

Требуется вычислить М(Х), D(X), ((X).
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415.
7. Законы распределения СВ

7.1. Законы распределения дискретных СВ
СВ Х, которая принимает значения 0, 1, 2,(, n с вероятностями 13 EMBED Equation.3 1415, называется распределенной по биномиальному закону. Биномиальный закон распределения может быть представлен в виде таблицы:

xi
0
1
2
(
n

pi
qn
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(
pn


Для биномиального закона 13 EMBED Equation.3 1415.
Дискретная СВ Х называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения 0, 1, 2,(, n с вероятностями, которые определяются по формуле Пуассона:

13 EMBED Equation.3 1415.

Для закона Пуассона 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 7.1. Производится 3 независимых испытания, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью 0,4. СВ Х – число появлений события А. Требуется составить закон распределения и вычислить числовые характеристики.
Решение. СВ Х принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 и распределена по биномиальному закону. Определим вероятности:

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415.
Закон распределения имеет вид:

xi
0
1
2
3
4

pi
0,1296
0,3456
0,3456
0,1536
0,0256


13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 7.2. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Вероятность того, что в течение часа абонент позвонит на станцию, равна 0,01 и постоянна для всех абонентов. Найти вероятность того, что на станцию в течение часа позвонят не более двух абонентов.
Решение. По условию задачи п = 400, р = 0,01, т ( 2, ( = 4.

13 EMBED Equation.3 1415

7.2. Законы распределения непрерывных СВ
СВ Х называется равномерно распределенной на отрезке [a; b], если плотность распределения СВ на этом отрезке постоянна и равна 13 EMBED Equation.3 1415, а вне отрезка – равна 0.

13 EMBED Equation.3 1415

Для СВ, распределенной по равномерному закону, справедливы следующие соотношения:
13 EMBED Equation.3 1415

Непрерывная СВ Х, принимающая значения с плотностью распределения
13 EMBED Equation.3 1415

называется распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром 13 EMBED Equation.3 1415. Для СВ, распределенной по показательному закону, справедливы следующие соотношения:

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.

СВ Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,

где а и ( – параметры распределения.
Для нормально распределенной СВ справедливы следующие соотношения:
13 EMBED Equation.3 1415

Вероятность попадания нормально распределенной СВ на отрезок 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле:

13 EMBED Equation.3 1415.

Вероятность отклонения нормально распределенной СВ от ее математического ожидания по абсолютной величине определяется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
Вероятность отклонения относительной частоты 13 EMBED Equation.3 1415 от вероятности наступления события р в серии из n независимых испытаний выражается формулой:

13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 7.3. Автобусы некоторого маршрута ходят строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.
Решение. Случайная величина Х – время прихода пассажира на остановку, распределена равномерно на [0; 5]. Плотность распределения вероятностей имеет вид:

13 EMBED Equation.3 1415

Пассажир будет ожидать автобус менее 3 минут, если он подойдет к остановке в интервале времени от 2 до 5 минут после отправления автобуса.
13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 7.4. Время Т безотказной работы двигателя автомобиля распределено по показательному закону. Известно, что среднее время наработки двигателя на отказ между техническим обслуживанием – 100 ч. Определить вероятность безотказной работы двигателя в течение 80 ч.
Решение. По условию задачи математическое ожидание СВ Т равно 100 ч. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда плотность распределения времени безотказной работы двигателя имеет вид:

13 EMBED Equation.3 1415

Функция распределения СВ Т

13 EMBED Equation.3 1415

определяет вероятность отказа двигателя за время продолжительностью t. Тогда вероятность безотказной работы двигателя за это время будет равна
13 EMBED Equation.3 1415.

Функцию R(t) называют функцией надежности. Для нашего случая
13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 7.5. Текущая оценка ценной бумаги представляет собой нормально распределенную СВ со средним значением 100 у. е. и дисперсией 9. Найти вероятность того, что цена актива (ценной бумаги) будет находиться в пределах от 91 до 109 у. е.
Решение. Так как 13 EMBED Equation.3 1415,
то 13 EMBED Equation.3 1415

8. Математическая статистика

8.1. Выборочный метод. Статистическое распределение
выборки. Эмпирическая функция распределения
Изучение всего набора элементов генеральной совокупности часто оказывается невозможным из-за больших материальных затрат или бесконечности генеральной совокупности. В этом случае применяется выборочный метод. Сущность выборочного метода заключается в том, что из генеральной совокупности извлекается выборка. На выборке производят нужные исследования, а полученные результаты распространяют на всю совокупность.
Пусть для изучения количественного признака Х из генеральной совокупности извлечена выборка 13 EMBED Equation.3 1415 объема n. Наблюдаемые значения хi признака Х называют вариантами, а последовательность вариантов, записанную в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Статистическим распределением выборки называется перечень хi и соответствующих им частот тi или относительных частот (i.
Статистическое распределение выборочной совокупности можно представить графически в виде полигона или гистограммы. Полигоном частот выборочной совокупности называется ломаная линия, соединяющая точки с координатами 13 EMBED Equation.3 1415.
Гистограммой выборочной совокупности называется фигура, составленная в декартовой системе координат из прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы 13 EMBED Equation.3 1415, а высоты соответственно равны 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Эмпирической функцией распределения называется функция 13 EMBED Equation.3 1415, где nх – число вариант в выборке, меньших х; п – объем выборки. Эмпирическая функция распределения при больших п служит оценкой неизвестной функции распределения генеральной совокупности. Эмпирическая функция распределения обладает следующими свойствами:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) эмпирическая функция распределения является неубывающей функцией, т. е. если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415;
3) если 13 EMBED Equation.3 1415 – наименьшая варианта, а 13 EMBED Equation.3 1415 – наибольшая варианта, то 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.

8.2. Точечные оценки неизвестных параметров распределения
Статистической оценкой неизвестного параметра генеральной совокупности называется функция от наблюдаемых значений случайной величины Х. Сами наблюдаемые значения (варианты) 13 EMBED Equation.3 1415 рассматриваются как значения п независимых СВ 13 EMBED Equation.3 1415, имеющих тот же закон распределения, что и изучаемая СВ Х. Поэтому статистические оценки также являются случайными величинами.
Статистическая оценка называется точечной, если она определяется одной величиной. Точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру, называется несмещенной, в противном случае – смещенной.
Несмещенной оценкой для математического ожидания генеральной совокупности является 13 EMBED Equation.3 1415 – выборочная средняя:

13 EMBED Equation.3 1415.

Смещенной оценкой для дисперсии генеральной совокупности является выборочная дисперсия 13 EMBED Equation.3 1415, а несмещенной оценкой для дисперсии генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415

Оценка 13 EMBED Equation.3 1415 параметра ( называется состоятельной, если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру при неограниченном числе испытаний, т. е. для любого сколь угодно малого ( > 0 выполнено предельное равенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Один и тот же параметр может иметь несколько оценок, которые обладают различными дисперсиями при ограниченном числе опытов. Чем меньше эта дисперсия, тем меньше вероятность совершить ошибку при оценке параметра. Поэтому в качестве оценки берется та, которая обладает минимальной дисперсией (эффективная).

8.3. Интервальные оценки неизвестных параметров
распределения
Статистическая оценка называется интервальной, если она характеризуется двумя случайными величинами: началом и концом интервала. В качестве интервальной оценки используются доверительные интервалы.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 является статистической оценкой неизвестного параметра (. Тогда при некоторых ( > 0 вероятность 13 EMBED Equation.3 1415 близка к единице, т. е. неизвестный параметр ( с вероятностью ( накрывается интервалом 13 EMBED Equation.3 1415. Вероятность ( называется доверительной вероятностью или надежностью оценки. Интервал, который с заданной надежностью накрывает неизвестный параметр, называется доверительным интервалом.
Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормально распределенной СВ при известном среднем квадратическом отклонении ( генеральной совокупности определяется неравенством
13 EMBED Equation.3 1415,

где t – значение функции Лапласа 13 EMBED Equation.3 1415, при котором 13 EMBED Equation.3 1415
Если среднее квадратическое отклонение
· нормально распределенной СВ неизвестно, но по результатам выборки вычислены 13 EMBED Equation.3 1415 и s, то доверительный интервал для математического ожидания определяется неравенством

13 EMBED Equation.3 1415

где 13 EMBED Equation.3 1415 находится из таблицы (приложение 5) по заданным значениям ( и n.
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения ( нормально распределенной СВ определяется неравенством

13 EMBED Equation.3 1415,

где 13 EMBED Equation.3 1415определяются из таблицы (приложение 6) по заданным ( и
· = n – 1.

8.4. Статистическая проверка гипотезы о нормальном
распределении
Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Важнейшим среди законов распределения является нормальный закон распределения с функцией распределения

13 EMBED Equation.3 1415.

Нормальный закон распределения является предельным для ряда законов распределения. Поэтому основные методы математической статистики разработаны применительно для нормального закона.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – функция распределения изучаемой СВ. Обозначим через Но гипотезу о нормальном распределении СВ с функцией 13 EMBED Equation.3 1415, где а и ( – конкретные значения параметров распределения. Для проверки гипотезы проводят серию из n независимых испытаний. В результате получают выборочную совокупность 13 EMBED Equation.3 1415, по которой делают вывод о правильности гипотезы Но. Так как СВ может принимать бесчисленное множество значений, то выборочная совокупность содержит неполную информацию о законе распределения генеральной совокупности. По этой причине при проверке гипотезы Но может быть допущена ошибка. Вероятность ошибочного отклонения правильной гипотезы Но называется уровнем значимости. Обычно при проверке гипотезы уровень значимости ( берут равным 0,001, 0,01, 0,05.
Одним из методов статистической проверки гипотезы о законе распределения является критерий согласия Пирсона 13 EMBED Equation.3 1415. Пусть статистическое распределение выборки задано в виде последовательности интервалов 13 EMBED Equation.3 1415 и соответствующих частот 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 – сумма частот, которые попадают в i-ый интервал).

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
. . .
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
. . .
13 EMBED Equation.3 1415


По результатам выборки вычисляем выборочное среднее 13 EMBED Equation.3 1415 и выборочное среднее квадратическое отклонение 13 EMBED Equation.3 1415. Предположим (гипотеза Но), что СВ распределена нормально с параметрами 13 EMBED Equation.3 1415. Теоретическая функция распределения имеет вид

13 EMBED Equation.3 1415.

Определим теоретические вероятности попадания СВ в интервал (13 EMBED Equation.3 1415):
13 EMBED Equation.3 1415.

Вычисляем теоретические частоты 13 EMBED Equation.3 1415 и вычисляем 13 EMBED Equation.3 1415 (статистику Пирсона):

13 EMBED Equation.3 1415.
Из таблицы критических точек распределения Пирсона 13 EMBED Equation.3 1415 по заданному уровню значимости ( и число степеней свободы
· = k – 3 (k – число интервалов) определяем критическое значение 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то нет оснований отвергать гипотезу Н0 о нормальном распределении генеральной совокупности. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то гипотеза Н0 отвергается с вероятностью ошибки (.
Пример 8.1. Дано статистическое распределение срока службы инструмента до выхода за пределы точности (в месяцах).

13 EMBED Equation.3 1415 – срок службы в мес.
20–25
25–30
30–35
35–40
40–45

13 EMBED Equation.3 1415 – частота
9
24
35
22
10


Требуется:
построить полигон и гистограмму относительных частот (частостей);
по виду полигона и гистограммы и, исходя из механизма образования исследуемой СВ, сделать предварительный выбор закона распределения;
предполагая, что СВ распределена по нормальному закону, найти точечные оценки параметров распределения, записать гипотетичную функцию распределения;
найти теоретические частоты нормального распределения и проверить гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона 13 EMBED Equation.3 1415 при уровне значимости 13 EMBED Equation.3 1415;
найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения нормально распределенной СВ при надежности 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Вычислим относительные частоты 13 EMBED Equation.3 1415, середины интервалов 13 EMBED Equation.3 1415, высоты прямоугольников гистограммы 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415
0,09
0,24
0,35
0,22
0,1

13 EMBED Equation.3 1415
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5

13 EMBED Equation.3 1415
0,018
0,048
0,07
0,044
0,02


Построим гистограмму и полигон частостей.






















Так как полигон частостей приближенно представляет кривую Гаусса и срок службы инструмента зависит от большого количества независимых параметров, то можно сделать предположение о нормальном распределении срока службы инструмента. Вычислим точечные оценки параметров распределения.

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.

Запишем гипотетичную функцию распределения

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.

Вычислим теоретические частоты в предположении, что СВ распределена по нормальному закону:

13 EMBED Equation.3 1415.

Вычисления значений функции Лапласа приведены в таблице.

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
–0,5

2
25
–7,51
–1,38
–0,4162

3
30
–2,51
–0,46
–0,1772

4
35
2,49
0,45
0,1736

5
40
7,49
1,36
0,4131

6
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
0,5


Вычислим теоретические частоты.

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415
Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью критерия 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислим статистику Пирсона.

13 EMBED Equation.3 1415
Из таблицы критических точек распределения 13 EMBED Equation.3 1415 по уровню значимости 13 EMBED Equation.3 1415 и числу степеней свободы
· = k – 3 = 2 найдем 13 EMBED Equation.3 1415 Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении СВ.
Найдем доверительные интервалы для а и (.

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 (приложение 5). Поэтому 31,433 < a < 33,587.
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 (приложение 6). Значит 4,82 < ( < 6,37.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Установлены три независимо работающих пожарных извещателя. Вероятности того, что при пожаре сработает первый, второй и третий извещатель соответственно равны 0,9, 0,7, 0,85. Какова вероятность того, что при пожаре сработает хотя бы одно устройство?
Для подготовки к экзамену студент должен изучить 50 теоретических вопросов и научиться решать 30 типов задач. Студент, готовясь к экзамену, выучил 40 теоретических вопросов и научился решать 25 типов задач. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для сдачи экзамена достаточно ответить на любые два задания из билета, содержащего два теоретических вопроса и задачу.
Детали проходят четыре операции обработки. Вероятность получения брака при первой, второй, третьей и четвертой операциях соответственно равны 0,005, 0,01, 0,015, 0,02. Найти вероятность того, что после четырех операций будет получена стандартная деталь.
У сборщика 10 деталей, из них первого сорта 6, второго – 4. Какова вероятность того, что из 5 одновременно взятых деталей 3 окажутся первого сорта и 2 – второго сорта?
Прибор состоит из трех независимо работающих блоков. Вероятности выхода из строя за время Т первого, второго, третьего блоков соответственно равны 0,1, 0,05, 0,01. Каждый блок необходим для работы прибора в целом. Какова вероятность того, что за время Т прибор выйдет из строя?
В ящике 15 деталей, среди которых 12 окрашенных. Сборщик наугад извлекает 5 деталей. Какова вероятность того, что среди извлеченных деталей 3 будут окрашенными?
В мастерской работают два мотора независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение смены первый мотор не потребует внимания мастера равна 0,85, а для второго мотора эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что в течение смены только один мотор потребует внимания мастера.
Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первосортным, если известно, что 4 % всей продукции является браком, а 80 % небракованной продукции удовлетворяют требованиям первого сорта.
Устройство содержит три независимо работающих блока. Вероятности отказов блоков соответственно равны 0,15, 0,2, 0,1. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один из блоков.
Три исследователя независимо один от другого производят измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний прибора равна 0,01. Для второго и третьего исследователей эти вероятности равны 0,02 и 0,015. Найти вероятность того, что ошибка будет допущена при измерении не более, чем одним исследователем.
В контейнере 17 изделий, из них 10 изделий первого сорта, 4 изделия – 2-ого сорта и 3 изделия – 3-ого сорта. Рабочий случайным образом берет 6 изделий. Какова вероятность того, что среди взятых изделий первого сорта окажется 3 изделия, второго – 2 изделия, третьего – 1 изделие?
В течение года три фирмы могут обанкротиться независимо друг от друга соответственно с вероятностями 0,02, 0,05, 0,04. Какова вероятность того, что в конце года все фирмы будут функционировать?
На сессии студенту предстоит сдать экзамены по четырем предметам. Студент освоил 90 % вопросов по первому предмету, 80 % – по второму, 75 % – по третьему и 95 % – по четвертому. Какова вероятность того, что студент успешно сдаст сессию?
Устройство состоит из четырех элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Какова вероятность того, что включенными будут неизношенные элементы?
В электрическую цепь включено последовательно три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,2, 0,15, 0,1. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.
Из партии для контроля отбирают 3 изделия. Известно, что в партии содержится 20 изделий, из которых 4 бракованных. Найти вероятность того, что среди отобранных все изделия годные.
На фирме 550 работников, 380 из них имеют высшее образование, а 412 – среднее специальное образование, у 357 работников – высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный работник имеет высшее или среднее образование или то и другое?
В ремонтную мастерскую поступило 8 телевизоров, из них 5 нуждается в общей регулировке. Мастер случайным образом берет для ремонта четыре телевизора. Какова вероятность того, что из выбранных телевизоров 3 нуждаются в общей регулировке?
Из группы туристов, отправляющихся за границу, 60 % владеют английским языком, 40 % – французским и 10 % – обоими языками. Найти вероятность того, что наугад взятый турист будет нуждаться в переводчике.
В читальном зале 10 учебников по теории вероятности, из которых 4 в твердом переплете. Библиотекарь берет один за другим два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в мягком переплете.
Вероятность того, что студент выполнит без ошибок лабораторную работу по физике, равна 0,7, а по химии – 0,8. Какова вероятность того, что он выполнит без ошибок: а) обе лабораторные работы; б) только одну из них; в) хотя бы одну лабораторную работу?
Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два изделия высшего сорта.
Устройство состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время t) первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8. Найти вероятности того, что за время t безотказно будут работать: а) только один элемент; б) только два элемента; в) все три элемента.
В ящике 10 деталей, из которых 4 окрашены. Сборщик наугад взял три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.
Для студента второго курса вероятность решить правильно задачу № 1 из типового расчета равна 0,8, а задачу № 2 – 0,7. Какова вероятность того, что: а) студент правильно решит обе задачи; б) решит неправильно хотя бы одну из задач; в) решит верно только одну из задач?
Две фотомодели снимаются для журнала мод. Вероятность появления в журнале их фотографий соответственно равна 0,9 и 0,7. Какова вероятность того, что в следующем номере журнала появятся снимки: а) обеих девушек; б) только первой; в) хотя бы одной из них?
Вероятность того, что наугад выбранный компьютер работает со сбоем, равна 0,2. Оператор включил два компьютера. Какова вероятность того, что: а) хотя бы один из них будет работать без сбоев; б) оба компьютера будут исправны.
Два скрипача участвуют в конкурсе. Вероятность стать лауреатом конкурса для первого музыканта равна 0,7, для второго – 0,6. Какова вероятность того, что: а) хотя бы один из них станет лауреатом; б) лауреатами станут оба скрипача?
Автомеханик находит неисправность генератора автомобиля с вероятностью 0,8, карбюратора – 0,9. Какова вероятность того, что при очередной поломке автомобиля: а) он обнаружит хотя бы одну из поломок; б) не обнаружит неисправностей генератора и карбюратора?
Два баскетболиста делают по одному броску мячом по корзине. Для первого спортсмена вероятность попадания равна 0,7, для второго – 0,9. Какова вероятность того, что в корзину попадут: а) оба игрока; б) хотя бы один из них; в) попадет только первый спортсмен?
В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей – на заводе № 2 и 18 деталей – на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наугад деталь окажется отличного качества.
Соотношение грузовых автомобилей, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, равно 3 : 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.
В специализированную больницу поступают в среднем 50 % больных с заболеванием К, 30 % – с заболеванием L, 20 % – с заболеванием M. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней L и M. эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.
В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20 % телевизоров со скрытым дефектом, второго – 10 % и третьего – 5 %. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30 % телевизоров с первого завода, 20 % – со второго и 50 % – с третьего?
У стоматолога три вида пломбирующего материала: цемент (50 %), амальгама (30 %) и пластмасса (20 %). Условия лечения таковы, что вероятность выпадения пломбы, сделанной из цемента, в течение первого года после лечения равна 0,5, пломбы из амальгамы – 0,6, из пластмассы – 0,4. У пациента пломба выпала через неделю. Из какого материала вероятнее всего она была сделана, если врач взял тот пломбирующий материал, что оказался под рукой?
Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим осуществляется в 80 % всего времени полета, режим перегрузки – в 20 %. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1, в условиях перегрузки – 0,4. Найти вероятность отказа прибора за время полета.
Для участия в математической олимпиаде среди студентов университета из группы № 1 выбрано 4 студента, из группы № 2 – 6 и из группы № 3 – 5. Вероятность того, что студент попадет в команду факультета, для этих групп соответственно равна 0,9, 0,8 и 0,5. Наугад выбранный студент в итоге попал в команду. В какой из групп вероятнее всего он учится?
На склад поступают диваны с трех мебельных фабрик. Первая и третья фабрики изготавливают одинаковое количество продукции, а вторая – вдвое больше. Вероятность для первой, второй и третьей фабрики сделать бракованный диван равна 0,15, 0,05 и 0,1 соответственно. Какова вероятность того, что диван, купленный наудачу, качественный?
Экзаменационные работы по математике с вероятностью 0,2, 0,3 и 0,5 попадают на проверку к одному из трех экзаменаторов, каждый из которых может пропустить (не заметить) ошибку студента с вероятностью 0,01, 0,02 и 0,015 соответственно. Наугад выбранная работа (из числа проверенных) оказалась правильно аттестованной. Какова вероятность, что эту работу проверял третий преподаватель?
С первого станка на сборку поступает 30 %, со второго – 40 %, с третьего – 30 % общего количества деталей. Среди деталей, изготовленных на первом станке, имеется 2 % брака, на втором – 3 %, на третьем – 1 % брака. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь стандартная.
Изделие проверяется на стандартность одним из двух контролеров. Первый контролер проверяет 55 % общего количества изделий, второй – 45 %. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым контролером, равна 0,9; а вторым – 0,85. Стандартное изделие при проверке признано стандартным. Найти вероятность того, что изделие проверял второй контролер.
Партия электролампочек на 25 % изготовлена первым заводом, на 35 % – вторым, на 40 % – третьим. Вероятности выпуска брака первым, вторым и третьим заводом соответственно равны 0,01, 0,02, 0,05. Найти вероятность того, что случайно взятая лампочка окажется бракованной.
На складе находятся детали, изготовленные на двух заводах. Объем продукции первого завода в четыре раза больше объема продукции второго. Вероятность брака на первом заводе 0,05; на втором – 0,01. Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что деталь изготовлена первым заводом?
Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью 0,9 и понижается с вероятностью 0,1. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85; при понижении – с вероятностью 0,3. Найти вероятность того, что фирма получит прибыль.
В цехе работает 15 станков. Из них 10 станков марки А, 3 – марки В и 2 – марки С. Вероятности выпуска стандартной детали на этих станках соответственно равны 0,85, 0,8, 0,9. При проверке деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она выпущена на станке марки С.
Среди студентов факультета – 35 % составляют первокурсники, 30 % студентов учатся на втором курсе, на 3-м и 4-м курсах их соответственно 20 % и 15 %. Среди студентов первого курса сдали сессию на отлично 3 %, среди второкурсников – 4,5 %, среди третьекурсников – 7 %, а среди студентов 4 курса – 10 %. Наугад вызванный студент оказался отличником. Какова вероятность того, что он учится на третьем курсе?
На сборку поступают детали с 2-х автоматов. Первый автомат дает в среднем 2 % брака, второй – 1 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 5000 деталей, со второго – 3000 деталей.
В двух ящиках имеются однотипные детали. В первом ящике 20 деталей, из них две бракованные, во втором – 30, из них 5 бракованных. Наугад взятая деталь из случайно выбранного ящика оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она взята из первого ящика.
Аппаратура в 80 % случаях работает в нормальном режиме и в 20 % – в аварийном. Вероятность сбоя в нормальном режиме равна 0,05; в аварийном – 0,5. Найти вероятность сбоя аппаратуры.
На наблюдательной станции установлены три радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели первым локатором равна 0,86; вторым – 0,7; третьим – 0,9. Оператор случайным образом включает один из локаторов и обнаруживает цель. Какова вероятность того, что был включен второй локатор?
Вероятность, что выпущенная деталь окажется годной, равна 0,96. Деталь подвергается упрощенной схеме контроля, которая для годных деталей дает положительный результат с вероятностью 0,95, а для деталей с отклонениями – с вероятностью 0,08. Какова вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, является годным?
Производится три независимых выстрела по самолету. Вероятность попадания в самолет при каждом выстреле равна 0,3. Самолет сбивается при одном попадании с вероятностью 0,2; при двух попаданиях – 0,5; при трех – 0,9. В результате трех выстрелов самолет сбит. Какова вероятность того, что было два попадания?
Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями: 0,25, 0,25, 0,5. Вероятности того, что радиолампа проработает гарантийный срок для первой, второй и третьей партий соответственно равны 0,9, 0,8, 0,85. Найти вероятность того, что наугад взятая электролампа выдержит гарантийный срок.
В торговую сеть поступают однотипные изделия, выпущенные тремя фабриками. Первая фабрика выпускает 30 % общего количества изделий, вторая – 50 %, третья – 20 %. Продукция первой фабрики содержит 0,5 % брака, второй – 2 %, третьей – 1 %. Какова вероятность того, что купленное изделие не будет бракованным?
Деталь производится одним из трех автоматов. Производительность первого автомата в два раза больше производительности второго автомата, а производительность третьего автомата в полтора раза больше производительности второго автомата. Брак первого, второго и третьего автоматов составляет соответственно 1 %, 2 %. 4 %. Какова вероятность выпуска стандартной детали?
Прибор может собираться из высококачественных деталей и из деталей обычного качества. Из высококачественных деталей собирается 40 % общего количества приборов. Вероятности выхода из строя прибора в течение гарантийного срока, собранного из высококачественных деталей, равна 0,03; собранного из деталей обычного качества – 0,1. Прибор выдержал гарантийный срок. Какова вероятность того, что прибор собирался из обычных деталей?
На трех автоматических линиях изготавливаются однотипные детали. Вследствие разладки станков возможен выпуск бракованной продукции первой линией с вероятностью 0,01; второй – 0,015; третьей – 0,02. Первая линия выпускает 30 % общего количества деталей, вторая –20 %, третья – 50 %. Найти вероятность выпуска брака.
Партия микросхем содержит 10 % брака. Проверка микросхем такова, что с вероятностью 0,98 обнаруживается дефект (если он есть) и с вероятностью 0,03 стандартная микросхема признается бракованной. Какова вероятность того, что на самом деле микросхема стандартна?
Две из трех независимо работающих ламп отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и третья лампы, если вероятности отказа первой, второй и третьей ламп соответственно равны 0,1, 0,3, 0,4.
В телевизионной студии 4 камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включено не менее двух камер.
Рабочий обслуживает 8 однотипных станков. Вероятность того, что в течение времени T станок потребует внимания рабочего, равна 0,6. Найти вероятность того, что в течение времени T не менее 7 станков потребуют внимания рабочего.
В течение гарантийного срока выходит из строя в среднем 5 % телевизоров. Какова вероятность того, что в партии из 100 телевизоров выдержат гарантийный срок не менее 60 телевизоров?
Вероятность выздоровления больного в результате применения нового способа лечения равна 0,98. Какова вероятность того, что из 100 больных, подвергшихся новому лечению, выздоровевших будет не менее 95?
Завод отправил на базу 5000 лампочек. Вероятность повреждения лампочки при перевозке равна 0,0002. Найти вероятность того, что при перевозке поврежденными окажутся 3 лампочки.
Вероятность того, что прибор не выдержит испытание, равна 0,001. Найти вероятность того, что из 1000 приборов более одного не выдержат испытание.
При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0,2. Какова вероятность того, что сообщение из 6 символов содержит не более одного искаженного символа?
Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение часа равна 0,0005. Какова вероятность того, что в течение часа нить оборвется на 3 веретенах?
В комнате 5 электрических лампочек, каждая из которых перегорает в течение года с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что в течение года перегорит не менее двух электролампочек.
Вероятность сбоя в АТС при каждом вызове равна 0,0002. Определить вероятность того, что при 5000 вызовов произойдет не более двух сбоев.
По данным отдела технического контроля на 100 металлических брусков, заготовленных для обработки, приходится 30 с зазубринами. Какова вероятность того, что из семи случайно взятых брусков не более двух окажутся с дефектом?
Телефонная станция обслуживает 600 абонентов. Вероятность звонка абонента в течение часа равна 0,005. Какова вероятность того, что в течение часа поступят звонки не более чем от трех абонентов?
В 30 % случаев страховая компания выплачивает по договору страховку. Найти вероятность того, что по истечении срока 10 договоров компания уплатит страховку в трех случаях.
Прибор состоит из пяти узлов. Вероятность безотказной работы в течение смены каждого узла равна 0,8. Причем работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. Найти вероятность того, что в течение смены прибор выйдет из строя.
Вероятность реализации одной акции некоторой компании равна 0,8. Брокерская контора предлагает 100 акций этой компании. Какова вероятность того, что будет продано не менее 85 акций?
Завод отправил потребителю партию из 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,003. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более двух изделий.
Вероятность отказа прибора при испытании равна 0,15. Какова вероятность того, что из 10 приборов при испытании откажут не более 2 из них?
Агрегат состоит из 21 блока. Вероятность того, что за время Т произвольный блок испытывает лишь допустимые деформации, равна 0,8. Найти вероятность того, что за время Т испытывают такие деформации от 18 до 20 блоков.
На склад поступают изделия, из которых 80 % оказываются высшего сорта. Найти вероятность того, что из 100 наудачу взятых изделий, не менее 80 окажутся высшего сорта.
При установившемся технологическом процессе 70 % всего числа изделий выпускается высшего сорта. Отдел технического контроля испытывает 200 изделий. Найти вероятность того, что изделий высшего сорта окажется в пределах от 140 до 180.
Инженерное сооружение состоит из семи узлов, вероятность разрушения каждого из которых 0,2. Сооружение считается разрушенным, если разрушено не менее трех узлов. Какова вероятность разрушения сооружения?
Книга из 500 страниц имеет 40 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице не более одной опечатки?
В магазин вошло десять покупателей. Найти вероятность того, что 4 из них совершат покупки, если вероятность совершить покупку для каждого покупателя равна 0,3.
Среди 100 изготавливаемых микросхем в среднем одна бракованная. Найти вероятность того, что в партии из 1000 микросхем будет не более двух бракованных.
В цехе 80 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся включенными от 60 до 70 станков?
При массовом производстве шестерен вероятность брака 0,001. Какова вероятность того, что из 500 шестерен не более трех окажутся бракованными?
В ходе аудиторской проверки компании аудитор случайным образом отбирает пять счетов. Найти вероятность того, что он обнаружит не более одного счета с ошибкой, если ошибки содержат в среднем 3 % счетов.
Сборник содержит 400 задач с ответами. В каждом ответе вероятность ошибки 0,01. Какова вероятность того, что в сборнике не более двух задач с ошибочными ответами?
Каждое из 8 предприятий отрасли выполняет месячный план с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что месячный план выполняет не менее шести предприятий.
При передаче текстовой информации слова кодируются в символы. Вероятность искажения каждого символа при передаче равна 0,009. При искажении двух и более символов слово не поддается дешифровке. Найти вероятность того, что слово, содержащее 10 символов, будет принято правильно.
В задачах 91–120 требуется для данной СВ Х:
1) составить закон распределения СВ;
2) найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X);
3) найти функцию распределения F(x).
В партии из шести изделий имеются два бракованных. Наугад взято три изделия. СВ Х – количество стандартных изделий среди трех взятых изделий.
Имеются три заготовки для одной и той же детали. Вероятность изготовления стандартной детали из каждой заготовки равна 0,9. СВ Х – количество заготовок, оставшихся после изготовления первой стандартной детали.
Прибор состоит из трех узлов. Вероятности выхода узлов из строя в течение времени Т соответственно равны 0,1, 0,05, 0,2. СВ Х – число отказавших узлов в течение времени Т.
Вероятность того, что в течение гарантийного срока телевизор потребует ремонта, равна 0,2. СВ Х – число телевизоров не выдержавших гарантийный срок из четырех приобретенных телевизоров.
Охотник, имеющий четыре патрона, стреляет в цель до первого попадания (или пока не израсходует все патроны). Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. СВ Х – число израсходованных патронов.
Стрелок делает три выстрела по мишени. Вероятности попадания в цель при первом, втором и третьем выстрелах соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8. СВ Х – число попаданий в мишень.
В партии 10 % деталей нестандартных. Наугад взяты четыре детали. СВ Х – число нестандартных деталей из 4 взятых.
Сигнальное устройство состоит из трех независимо работающих элементов, вероятность отказа каждого из которых равна 0,2. СВ Х – число отказавших элементов.
В партии из 10 изделий содержится три бракованных. Наугад отобраны два изделия. СВ Х – число бракованных изделий среди отобранных.
Вероятность изготовления стандартного изделия при установившемся технологическом процессе постоянна и равна 0,9. Для проверки качества изделия берутся и проверяются одно за другим 4 изделия. Если обнаруживается бракованное изделие, то бракуют всю партию. СВ Х – число изделий, проверяемых ОТК из каждой партии.
Установлены три независимо работающих сигнализатора, которые срабатывают при пожаре с вероятностями 0,8, 0,7, 0,9. СВ X – количество сигнализаторов, сработавших при пожаре.
Баскетболист делает три броска в кольцо. Вероятности попадания в кольцо при первом, втором и третьем броске соответственно равны 0,5, 0,6, 0,7. СВ X – количество попаданий в кольцо.
Стрелок делает три выстрела в мишень. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле постоянна и равна 0,16. СВ X – число попаданий.
Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания в мишень для первого, второго и третьего стрелков соответственно равны 0,5; 0,6; 0,6. СВ X – количество попаданий в мишень.
Устройство состоит из трех блоков, которые выходят из строя за время Т с вероятностями 0,1, 0,05, 0,15. СВ X – количество блоков, вышедших из строя за время Т.
В партии из 6 изделий – 3 бракованных. Случайным образом взяты 3 изделия из партии. СВ X – количество бракованных изделий среди трех взятых.
Устройство состоит из трех блоков, которые выходят из строя за время Т с вероятностью 0,1. СВ X – количество блоков, которые вышли из строя за время Т.
В партии деталей – 5 % брака. Наугад из партии взято 3 детали. СВ X – количество бракованных деталей из взятых.
Монету подбрасывают 5 раз. СВ X – количество появлений герба.
В партии из 5 изделий одно бракованное. Чтобы его обнаружить, выбирают наугад одно изделие за другим и проверяют. СВ X – количество проверенных изделий.
Вероятность приема каждого из 4 сигналов равна 0,6. СВ Х – число принятых сигналов.
На пути движения автомобиля 4 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,5 либо разрешает, либо запрещает дальнейшее движение. СВ Х – число светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.
На участке имеется 5 однотипных станков, работающих независимо друг от друга. Коэффициент использования для каждого станка равен 0,8. СВ Х – число работающих станков.
Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,6. В городе 4 библиотеки. СВ Х – число библиотек, которые посетит студент, чтобы взять нужную ему книгу.
Два стрелка делают независимо друг от друга по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,8. СВ Х – число попаданий в мишень.
Из партии в 10 изделий, среди которых 3 бракованных, выбраны случайно 3 изделия. СВ Х – число бракованных изделий среди выбранных.
Батарея состоит из 4 орудий. Вероятности попадания в цель при одном выстреле для 1, 2, 3 и 4 орудий соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,75. СВ Х – количество попаданий при одном залпе батареи.
Срок службы шестерен коробки передач зависит от следующих факторов: усталости материала в основании зуба, контактных напряжений и жесткости конструкции. Вероятности отказа каждого фактора соответственно равны 0,1, 0,2, 0,15. СВ Х – число отказавших факторов в одном испытании.
Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятности того, что в течение часа 1-й, 2-й, 3-й и 4-й станки потребуют внимания рабочего соответственно равны 0,2, 0,1, 0,2, 0,3. СВ Х – число станков, потребовавших внимания рабочего.
В пятиблочном радиоприемнике (все блоки различные) перегорел один блок. Для устранения неисправности наудачу взятый блок заменяется исправным блоком, после чего проверяется работа приемника. СВ Х – число замененных блоков.

В задачах 121–150 дана плотность распределения вероятности р(х).
Требуется:
1) определить значение параметра а;
2) найти функцию распределения F(x);
3) найти математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х);
4) построить графики р(х) и F(x).

121. 13 EMBED Equation.3 1415 122. 13 EMBED Equation.3 1415

123. 13 EMBED Equation.3 1415 124. 13 EMBED Equation.3 1415

125. 13 EMBED Equation.3 1415 126. 13 EMBED Equation.3 1415

127. 13 EMBED Equation.3 1415 128. 13 EMBED Equation.3 1415
129. 13 EMBED Equation.3 1415 130. 13 EMBED Equation.3 1415

131. 13 EMBED Equation.3 1415 132. 13 EMBED Equation.3 1415

133. 13 EMBED Equation.3 1415 134. 13 EMBED Equation.3 1415

135. 13 EMBED Equation.3 1415 136. 13 EMBED Equation.3 1415

137. 13 EMBED Equation.3 1415 138. 13 EMBED Equation.3 1415

139. 13 EMBED Equation.3 1415 140. 13 EMBED Equation.3 1415
141. 13 EMBED Equation.3 1415 142. 13 EMBED Equation.3 1415

143. 13 EMBED Equation.3 1415 144. 13 EMBED Equation.3 1415

145. 13 EMBED Equation.3 1415 146. 13 EMBED Equation.3 1415

147. 13 EMBED Equation.3 1415 148. 13 EMBED Equation.3 1415

149. 13 EMBED Equation.3 1415 150. 13 EMBED Equation.3 1415

В задачах 151–180 СВ Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением 13 EMBED Equation.3 1415.
Требуется:
1) записать 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
2) найти 13 EMBED Equation.3 1415;
3) найти 13 EMBED Equation.3 1415.

№ задачи
а
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

151
2,8
0,6
2,1
3,0
1,8

152
3,5
1,2
2,2
4,2
2,1

153
1,5
0,5
2,1
3,0
0,9

154
2,8
0,8
2,5
3,5
1,2

155
10
3
6
13
7,5

156
4
1,5
3
7
2,8

157
5
3
3,5
7
5,1

158
3
2
2
6
4,8

159
4,1
3,5
2
7
4,5

160
3,6
5,1
1,5
5,6
8,2

161
6,2
4,3
5
10
6,4

162
4,7
2,8
1,2
7,3
4,9

163
5,6
2,9
3,0
9,1
5,4

164
8,5
4,7
5,2
10,2
6,3

165
9,4
5,6
4,2
12,5
7,0

166
2,5
4,1
2,7
5,2
5,4

167
7,2
3,5
4,1
10,8
5,5

168
7,8
6,2
3,0
12,9
8,4

169
4,3
5,1
1,6
9,8
9,2

170
10,5
7,1
7,2
15,4
10,1

171
3,5
0,5
4,0
4,5
0,7

172
5,0
1,5
4,5
6,0
1,2

173
4,5
1,0
5,5
6,0
0,6

174
2,3
0,7
3,0
3,6
0,5

175
1,5
2,0
1,5
2,5
1,5

176
3,2
1,5
4,0
5,5
2,3

177
3,0
2,1
5,5
6,0
2,5

178
0,7
2,4
4,0
5,1
2,0

179
1,4
3,1
2,6
3,8
2,7

180
4,3
2,7
2,3
4,9
4,1


В задачах 181–210 дан интервальный статистический ряд распределения частот экспериментальных значений случайной величины Х.

Требуется:
1)построить полигон и гистограмму частостей (относительных частот) СВ Х;
2) по виду полигона и гистограммы и, исходя из механизма образования СВ, сделать предварительный выбор закона распределения;
3) вычислить выборочную среднюю 13 EMBED Equation.3 1415 и исправленное среднее квадратическое отклонение s;
4) записать гипотетичную функцию распределения и плотность распределения;
5) найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения при доверительной вероятности 13 EMBED Equation.3 1415;
6) найти теоретические частоты нормального закона распределения и проверить гипотезу о нормальном распределении СВ с помощью критерия Пирсона при уровне значимости 13 EMBED Equation.3 1415.
181. Даны результаты испытания стойкости 200 удлиненных сверл диаметра 4 мм (в часах):

xi стойкость сверла
3–3,2
3,2–3,4
3,4–3,6
3,6–3,8
3,8–4

частота mi
16
50
70
44
20


182. Даны результаты исследования 100 напыленных образцов на прочность напыленного слоя (в кг/мм2):

xi прочность
2,0–2,2
2,2–2,4
2,4–2,6
2,6–2,8
2,8–3,0

частота mi
7
22
38
23
10


183. Даны результаты исследования на разрыв 100 образцов дюралюминия (в кг/мм2):

xi предел прочности
(в кг/мм2)
42–43
43–44
44–45
45–46
46–47

частота mi
8
25
36
22
9


184. Даны результаты содержания фосфора (6 %) в 100 чугунных образцах:

xi содержание
фосфора
0,1–0,2
0,2–0,3
0,3–0,4
0,4–0,5
0,5–0,6

частота mi
7
22
38
24
9


185. Даны результаты испытания стойкости 100 сверл (в часах):

xi стойкость
(в часах)
17,5–22,5
22,5–27,5
27,5–32,5
32,5–37,5
37,5–42,5

частота mi
7
20
44
20
9


186. Даны данные о среднесуточном пробеге 100 автомобилей автоколонны (в сотнях км):

xi (сотни км)
1,2–1,6
1,6–2,0
2,0–2,4
2,4–2,8
2,8–3,2

частота mi
8
19
47
20
6


187. С автомата обрабатывающего втулки диаметра d = 40 + + 0,2 мм взята выборка изделий объемом 100. Результаты измерения диаметров втулок приведены в таблице:

xi диаметр
(в мм)
40,00–40,04
40,04–40,08
40,08–40,12
40,12–40,16
40,16–40,20

частота mi
8
19
44
20
9


188. В таблице приведены статистические данные о трудоемкости (в минутах) операции «Контроль механического состояния автомобиля после возвращения в гараж»:

xi трудоемкость (в мин.)
3–4
4–5
5–6
6–7
7–8
8–9

частота mi
6
8
33
35
11
7


189. В таблице приведены статистические данные о трудоемкости (в минутах) операции «ремонт валика водяного насоса автомобиля»:

xi трудоемкость (в мин)
0–10
10–20
20–30
30–40
40–50

частота mi
17
47
70
46
20


190. Даны результаты испытания стойкости 100 фрез (в часах):

xi стойкость (в час)
21–26
26–31
31–36
36–41
41–46

частота mi
8
21
43
21
7


191. Даны сведения о расходе воды, используемой цехом для технических нужд в течение 100 дней (в м3):

xi расход (в м3)
8–12
12–16
16–20
20–24
24–28

частота mi
7
25
36
22
10


192. Даны квартальные данные о среднесуточном пробеге 100 автомобилей (в км):

xi среднесуточный пробег
120–140
140–160
160–180
180–200
200–220

частота mi
9
21
40
18
12


193. Даны значения температуры масла в двигателе автомобиля БелАЗ при средних скоростях:

xi температура (в градусах)
40–45
45–50
50–55
55–60
60–65

частота mi
8
17
46
18
11


194. Даны размеры внутреннего диаметра гайки (в мм):

xi диаметр (в мм)
10,00–10,02
10,02–10,04
10,04–10,06
10,06–10,08
10,08–10,10

частота mi
9
16
47
21
7


195. Даны размеры диаметров 100 отверстий, просверленных одним и тем же сверлом:

xi диаметр (в мм)
8,02–8,07
8,07–8,12
8,12–8,17
8,17–8,22
8,22–8,27

частота mi
10
19
38
21
12


196. Даны результаты измерения диаметра валика, обработанного одношпиндельным автоматом:

xi диаметр (в мм)
19,80–19,85
19,85–19,90
19,90–19,95
19,95–20,00
20,00–20,05
20,05–20,10

частота mi
6
15
27
32
14
6


197. Даны результаты исследования грануляции партии порошка (в мкм):

xi грануляция (в мкм)
0–40
40–80
80–120
120–160
160–200

частота mi
7
23
35
26
9


198. Даны результаты наблюдений за сроком службы 150 однотипных станков до выхода за пределы норм (в месяцах двухсменной работы):

xi срок (в месяцах)
18–20
20–22
22–24
24–26
26–28

частота mi
15
27
61
29
18


199. Даны результаты измерения толщины (в см) 100 слюдяных прокладок:

xi толщина (в см)
0,20–0,26
0,26–0,32
0,32–0,38
0,38–0,44
0,44–0,50

частота mi
13
19
48
12
8


200. Даны диаметры 100 валиков после шлифовки (в мм):

xi диаметр (в мм)
20,0–20,1
20,1–20,2
20,2–20,3
20,3–20,4
20,4–20,5

частота mi
11
23
49
10
7

201. Даны сведения о расходе воды для технических нужд за 100 дней:

Расход воды, м3
8–10
10–12
12–14
14–16
16–18

частота mi
9
23
36
24
8


202. Даны результаты испытания на разрыв 100 образцов:

Предел прочности
42–43
43–44
44–45
45–46
46–47

частота mi
8
23
37
25
7


203. Даны сведения о среднесуточном пробеге 100 автомобилей:

Пробег, км
150–170
170–190
190–210
210–230
230–250

частота mi
10
24
34
25
7


204. Даны диаметры втулок после шлифовки:

Диаметр, мм
40,1–40,2
40,2–40,3
40,3–40,4
40,4–40,5
40,5–40,6

частота mi
9
26
34
24
7


205. Дана трудоемкость операции:

трудоемкость, мин
8–10
10–12
12–14
14–16
16–18

частота mi
8
15
54
16
7


206. Даны температуры масла в двигателе при средних скоростях:

Температура t, (C
40–42
42–44
44–46
46–48
48–50

частота mi
10
22
35
25
8


207. Даны отклонения диаметров валиков от номинала:

Отклонение, мкм
0–5
5–10
10–15
15–20
20–25

частота mi
6
24
42
20
8


208. Даны результаты измерения диаметров втулок

Диаметр, мм
9,74–9,76
9,76–9,78
9,78–9,80
9,80–9,82
9,82–9,84

частота mi
6
14
48
24
8


209. Даны результаты испытания стойкости фрез:

Стойкость, ч
22,5–27,5
27,5–32,5
32,5–37,5
37,5–42,5
42,5–47,5

частота mi
6
21
44
22
7


210. Даны результаты стойкости 100 сверл:

Стойкость, ч
17,5–22,5
22,5–27,5
27,5–32,5
32,5–37,5
37,5–42,5

частота mi
7
21
45
21
6


ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Значения функции 13 EMBED Equation.3 1415

x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0,0
0,3989
0,3989
0,3989
0,3988
0,3986
0,3084
0,3982
0,3980
0,3977
0,3973

0,1
0,3970
0,3965
0,3961
0,3956
0,3951
0,3945
0,3939
0,3932
0,3025
0,3918

0,2
0,3910
0,3902
0,3894
0,3885
0,3876
0,3867
0,3857
0,3847
0,3836
0,3825

0,3
0,3814
0,3802
0,3790
0,3778
0,3765
0,3752
0,3739
0,3726
0,3712
0,3697

0,4
0,3683
0,3668
0,3652
0,3637
0,3621
0,3605
0,3589
0,3572
0,3555
0,3538

0,5
0,3521
0,3503
0,3485
0,3467
0,3448
0,3429
0,3410
0,3391
0,3372
0,3352

0,6
0,3332
0,3312
0,3292
0,3271
0,3251
0,3230
0,3209
0,3187
0,3166
0,3144

0,7
0,3123
0,3101
0,3079
0,3056
0,3034
0,3011
0,2989
0,2966
0,2943
0,2920

0,8
0,2897
0,2874
0,2850
0,2827
0,2804
0,2780
0,2756
0,2732
0,2709
0,2685

0,9
0,2661
0,2637
0,2613
0,2589
0,2565
0,2541
0,2516
0,2492
0,2468
0,2444

1,0
0,2420
0,2396
0,2371
0,2347
0,2323
0,2299
0,2275
0,2251
0,2227
0,2203

1,1
0,2179
0,2155
0,2131
0,2107
0,2083
0,2059
0,2036
0,2012
0,1989
0,1965

1,2
0,1942
0,1919
0,1895
0,1872
0,1849
0,1826
0,1804
0,1781
0,1758
0,1736

1,3
0,1714
0,1691
0,1669
0,1647
0,1626
0,1604
0,1582
0,1561
0,1539
0,1518

1,4
0,1497
0,1476
0,1456
0,1435
0,1415
0,1394
0,1374
0,1354
0,1334
0,1315

1,5
0,1295
0,1276
0,1257
0,1238
0,1219
0,1200
0,1182
0,1163
0,1145
0,1127

1,6
0,1109
0,1092
0,1074
0,1057
0,1040
0,1023
1006
0989
0973
0957

1,7
0,0940
0,0925
0,0909
0,0893
0,0878
0863
0,0846
0,0833
0,0818
0,0804

1,8
0,0790
0,0775
0,0761
0,0748
0,0734
0,0721
0,0707
0,0694
0,0681
0,0669

1,9
0,0656
0,0644
0,0632
0,0620
0,0608
0,0596
0,0584
0,0573
0,0562
0,0551

2,0
0,0540
0,0529
0,0519
0,0508
0,0498
0,0488
0,0478
0,0468
0,0459
0,0449

2,1
0,0440
0,0431
0,0422
0,0413
0,0404
0,0396
0,0387
0,0379
0,0371
0,0363

2,2
0,0355
0,0347
0,0339
0,0332
0,0325
0,0317
0,0310
0,0303
0,0297
0,0290

2,3
0,0283
0,0277
0,0270
0,0264
0,0258
0,0252
0,0246
0,0241
0,0235
0,0229

2,4
0,0224
0,0219
0,0213
0,0208
0,0203
0,0198
0,0194
0,0189
0,0184
0,0180


Окончание приложения 1

x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

2,5
0,0175
0,0171
0,0167
0,0163
0,0158
0,0154
0,0151
0,0147
0,0143
0,0139

2,6
0,0136
0132
0,0129
0,0126
0,0122
0,0119
0,0116
0,0113
0,0110
0,0107

2,7
0,0104
0,0101
0,0099
0,0096
0,0093
0,0091
0,0088
0,0086
0,0084
0,0081

2,8
0,0079
0,0077
0,0075
0,0,0073
0,0071
0,0069
0,0067
0,0065
0,0063
0,0061

2,9
0,0060
0,0058
0,0056
0,0055
0,0053
0,0051
0,0050
0,0048
0,0047
0,0046

3,0
0,0044
0,0043
0,0042
0,0040
0,0039
0,0038
0,0037
0,0036
0,0035
0,0034

3,1
0,0033
0,0032
0,0032
0,0030
0,0029
0,0028
0,0027
0,0026
0025
0025

3,2
0,0024
0,0023
0,0022
0,0022
0,0021
0,0020
0,0020
0,0019
0,0018
0,0018

3,3
0,0017
0,0017
0,0012
0,0016
0,0015
0,0015
0,0014
0,0014
0,0013
0,0013

3,4
0,0012
0,0012
0,0010
0,0011
0,0011
0,0010
0,0010
0,0010
0,0009
0,0009

3,5
0,0009
0,0008
0,0008
0,0008
0,0008
0,0007
0,0007
0,0007
0,0007
0,0006

3,6
0,0006
0,0006
0,0006
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0005
0,0004

3,7
0,0004
0,0004
0,0004
0004
0,0004
0,0004
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003

3,8
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002

3,9
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0001
0,0001


Приложение 2
Значения функции Лапласа 13 EMBED Equation.3 1415

x
13 EMBED Equation.3 1415
x
13 EMBED Equation.3 1415
x
13 EMBED Equation.3 1415
x
13 EMBED Equation.3 1415

0,00
0,0000
0,32
0,1255
0,64
0,2389
0,96
0,3315

0,01
0,0040
0,33
0,1293
0,65
0,2422
0,97
0,3340

0,02
0,0080
0734
0,1331
0,66
0,2454
0,98
0,3365

0,03
0,0120
0,35
0,1368
0,67
0,2486
0,99
0,3389

0,04
0,0160
0,36
0,1406
0,68
0,2517
1,00
0,3413

0,05
0,0199
0,37
0,1443
0,69
0,2549
2,01
0,3438

0,06
0,0239
0,38
0,1480
0,70
0,2580
1,02
0,3461

0,07
0,0279
0,39
0,1517
0,71
0,2611
1,03
0,3485

0,08
0,0319
0,40
0,1554
0,72
0,2642
1,04
0,3508

0,09
0,0359
0,41
0,1591
0,73
0,2673
1,05
0,3531

0,10
0,0398
0,42
0,1628
0,74
0,2703
1,06
0,3554

0,11
0,0438
0,43
0,1664
0,75
0,2734
1,07
0,3577

0,12
0,0478
0,44
0,1700
0,76
0,2764
1,08
0,3599

0,13
0,0517
0,45
0,1736
0,77
0,2794
1,09
0,3621

0,14
0,0557
0,46
0,1772
0,78
0,2823
1,10
0,3643

0,15
0,0596
0,47
0,1808
0,79
0,2852
1,11
0,3665

0,16
0,0636
0,48
0,1844
0,80
0,2881
1,12
0,3686

0,17
0,0675
0,49
0,1879
0,81
0,2910
1,13
0,3708

0,18
0,0714
0,50
0,1915
0,82
0,2939
1,14
0,3729

0,19
0,0753
0,51
0,1950
0,83
0,2967
1,15
0,3749

0,20
0,0793
0,52
0,1985
0,84
0,2995
1,16
0,3770

0,21
0,0832
0,53
0,2019
0,85
0,3023
1,17
0,3790

0,22
0,0871
0,54
0,2054
0,86
0,3051
1,18
0,3810

0,23
0,0910
0,55
0,2088
0,87
0,3078
1,19
0,3830

0,24
0,0948
0,56
0,2123
0,88
0,3106
1,20
0,3849

0,25
0,0987
0,57
0,2157
0,89
0,3133
1,21
0,3869

0,26
0,1026
0,58
0,2190
0,90
0,3159
1,22
0,3883

0,27
0,1064
0,59
0,2224
0,91
0,3186
1,23
0,3907

0,28
0,1103
0,6,
0,2257
0,92
0,3212
1,24
0,3925

0,29
0,1141
0,61
0,2291
0,93
0,3238
1,25
0,3944

0,30
0,1179
0,62
0,2324
0,94
0,3264



0,31
0,1217
0,63
0,2357
0,95
0,3289



Окончание приложения 2

x
13 EMBED Equation.3 1415
x
13 EMBED Equation.3 1415
x
13 EMBED Equation.3 1415
x
13 EMBED Equation.3 1415

1,26
0,3962
1,59
0,4441
1,92
0,4726
2,50
0,4938

1,27
0,3980
1,60
0,4452
1,93
0,4732
2,52
0,4941

1,28
0,3997
1,61
0,4463
1,94
0,4738
1,54
0,4945

1,29
0,4015
1,62
0,4474
1,95
0,4744
2,56
0,4948

1,30
0,4032
1,63
0,4484
1,96
0,4750
2,58
0,4951

1,31
0,4049
1,64
0,4495
1,97
0,4756
2,60
0,4953

1,32
0,4066
1,65
0,4505
1,98
0,4761
2,62
0,4956

1,33
0,4082
1,66
0,4515
1,99
0,4767
2,64
0,4959

1,34
0,4099
1,67
0,4525
2,00
0,4772
2,66
0,4961

1,35
0,4115
1,68
0,4535
2,02
0,4783
2,68
0,4963

1,36
0,4131
1,69
0,4545
2,04
0,4793
2,70
0,4965

1,37
0,4147
1,70
0,4554
2,06
0,4803
2,72
0,4967

1,38
0,4162
1,71
0,4564
2,08
0,4812
2,74
0,4969

1,39
0,4177
1,72
0,4573
2,10
0,4821
2,76
0,4971

1,40
0,4192
1,73
0,4582
2,12
0,4830
2,78
0,4973

1,41
0,4207
1,74
0,4591
2,14
0,4838
2,80
0,4974

1,42
0,4222
1,75
0,4599
2,16
0,4846
2,82
0,4976

1,43
0,4236
1,76
0,4608
2,18
0,4854
2,84
0,4977

1,44
0,4251
1,77
0,4616
2,20
0,4861
2,86
0,4979

1,45
0,4265
1,78
0,4625
2,22
0,4868
2,88
0,4980

1,46
0,4279
1,79
0,4633
2,24
0,4875
2,90
0,4981

1,47
0,4292
1,80
0,4641
2,26
0,4881
2,92
0,4982

1,48
0,4306
1,81
0,4649
2,28
0,4887
2,94
0,4984

1,49
0,4319
1,82
0,4656
2,30
0,4893
2,96
0,4985

1,50
0,4332
1,83
0,4664
2,32
0,4898
2,98
0,4986

1,51
0,4345
1,84
0,4671
2,34
0,4904
3,00
0,49865

1,52
0,4357
1,85
0,4678
2,36
0,4909
3,20
0,49931

1,53
0,4370
1,86
0,4686
2,38
0,4913
3,40
0,49966

1,54
0,4382
1,87
0,4693
2,40
0,4918
3,60
0,499841

1,55
0,4394
1,88
0,4699
2,42
0,4922
3,80
0,499928

1,56
0,4406
1,89
0,4706
2,44
0,4927
4,00
0,499968

1,57
0,4418
1,90
0,4713
2,46
0,4931
4,50
0,499997

1,58
0,4429
1,91
0,4719
2,48
0,4934
5,00
0,499997


Приложение 3
Значения функции 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
0,20
0,10
0,05
0,02
0,01
0,001

1
1,642
2,706
3,841
5,412
6,635
10,827

2
3,219
4,605
5,991
7,824
9,210
13,815

3
4,642
6,251
7,815
9,837
11,345
16,266

4
5,989
7,779
9,488
11,668
13,277
18,467

5
7,289
9,236
11,070
13,388
15,086
20,515

6
8,558
10,645
12,592
15,033
16,812
22,457

7
9,803
12,017
14,067
16,622
18,475
24,322

8
11,030
13,362
15,507
18,168
20,090
26,125

9
12,242
14,684
16,919
19,679
21,666
27,877

10
13,442
15,987
18,307
21,161
23,209
29,588

11
14,631
17,275
19,675
22,618
24,725
31,264

12
15,812
18,549
21,026
24,054
26,217
32,909

13
16,985
19,812
22,362
25,472
27,688
34,528

14
18,151
21,064
23,685
26,683
29,141
36,123

15
19,311
22,307
24,996
28,259
30,578
37,697

16
20,465
23.542
26,296
29,633
32,000
39,252

17
21,615
24,769
27,587
30,995
33,409
40,790

18
22,760
25,989
28,869
32,346
34,805
42,312

19
23,900
27,204
30,144
33,687
36,191
43,820

20
25,038
28,412
31,410
35,020
37,566
45,315

21
26,171
29,615
32,671
36,343
38,932
46,797

22
27,301
30,813
33,924
37,659
40,289
48,268

23
28,429
32,007
35,172
38,968
41,638
49,728

24
29,553
33,196
36,415
40,270
42,980
51,179

25
30,675
34,382
37,652
41,566
44,312
52,620

26
31,795
35,563
38,885
42,856
45,642
54,052

27
32,912
36,741
40,113
44,140
46,963
55,476

28
34,027
37,916
41,337
45,419
48,278
56,893

29
35,139
39,087
42,557
46,693
49,588
58,302

30
36,250
40,256
43,773
47,962
50,892
59,703


Приложение 4
Распределение Стьюдента
Значения 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяют условию 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
0,40
0,30
0,20
0,10
0,05
0,025
0,010
0,005
0,001
0,0005

1
0,325
0,727
1,376
3,078
6,314
12,71
31,82
63,66
318,3
636,6

2
0,289
0,617
1,061
1,886
2,920
4,303
6,965
9,925
22,33
32,60

3
0,277
0,584
0,978
1,638
2,353
3,182
4,541
5,841
10,22
12,94

4
0,271
0,569
0,941
1,533
2,132
2,776
3.747
4,604
7,173
8,610

5
0,267
0,559
0,920
1,476
2,015
2,571
3,365
5,032
5,893
6,859

6
0,265
0,553
0,906
1,440
1,943
2,447
3,143
3,707
5,208
5,959

7
0,263
0,549
0,896
1,415
1,895
2,365
2,998
3,499
4,785
5,405

8
0,262
0,546
0,889
1,397
1,860
2,306
2,896
3,355
4,501
5,041

9
0,261
0,543
0,883
1,383
1,833
2,262
2,821
3,250
4,297
4,781

10
0,260
0,542
0,879
1,372
1,812
2,228
2,764
3,169
4,144
4,587

11
0,260
0,540
0,876
1,363
1,796
2,201
2,718
3,106
4,025
4,437

12
0,259
0,539
0,873
1,356
1,782
2,179
2,681
3,055
3,930
4,318

13
0,259
0,538
0,870
1,350
1,771
2,160
2,650
3,012
3,852
4,221

14
0,258
0,537
0,868
1,345
1,761
2,145
2,624
2,977
3,787
4,140

15
0.258
0,536
0,866
1.341
1,753
2,131
2,602
2,947
3,733
4,073

16
0,258
0,535
0,865
1,337
1,746
2,120
2,583
2,921
3,686
4,015

17
0,257
0,534
0,863
1,333
1,740
2,110
2,567
2,898
3,646
3,965

18
0,257
0,534
0,862
1,330
1,734
2,101
2,552
2,878
3,611
3.922

19
0,257
0,533
0,861
1,328
1,729
2,093
2,539
2,861
3,579
3,883

20
0,257
0,533
0,860
1,325
1,725
2,086
2,528
2,845
3,552
3,850

21
0,257
0,532
0,859
1,323
1,721
2,080
2,518
2,831
3,527
3,819

22
0,256
0,532
0,858
1,321
1,717
2,074
2,508
2,819
3,505
3,792

23
0,256
0,532
0,858
1,319
1,714
2,069
2,500
2,807
3,485
3,767

24
0,256
0,531
0,857
1,318
1,711
2,064
2,492
2,797
3,467
3,745

25
0,256
0,531
0,856
1,316
1,708
2,060
2,485
2,787
3,450
3,725

26
0,256
0,531
0,856
1,315
1,7j6
2,056
2,479
2,779
3,435
3,707

27
0,256
0,531
0,855
1,314
1,703
2,052
2,473
2,771
3,421
3,690

28
0,256
0,530
0,855
1,313
1,701
2,048
2,467
2,763
3,408
3,674

29
0,256
0,530
0,854
1,311
1,699
2,045
2,462
7,756
3,396
3,659

30
0,256
0,530
0,854
1,310
1,697
2,042
2,457
2,750
3,385
3,646

40
0,255
0,529
0,851
1,303
1,684
2,021
2,423
2,704
3,307
3,551

50
0,255
0,528
0,849
1,298
1,676
2,009
2,403
2,678
3,262
3,495

60
0,254
0,527
0,848
1,296
1,671
2,000
2,390
2,660
3,232
3,460

80
0,254
0,527
0,846
1,292
1,664
1,990
2,374
2,639
3,195
3,415

100
0,254
0,526
0,845
1,290
1,660
1,984
2,365
2,626
3,174
3,389

200
0,254
0,525
0,843
1,286
1,653
1,972
2,345
2,601
3,131
3,339

500
0,253
0,525
0,842
1,283
1,648
1.965
2,334
2,586
3,106
3,310

(
0,253
0,524
0,842
1,282
1,645
1,960
2,326
2,576
3,090
3,291

Приложение 5
Значения функции 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
0,95
0,99
0,999
13 EMBED Equation.3 1415
0,95
0,99
0,999

5
2,78
4,60
8,61
20
2,093
2,861
3,883

6
2,57
4,03
6,86
25
2,064
2,797
3,745

7
2,45
3,71
5,96
30
2,045
2,756
3,659

8
2,37
3,50
5,41
35
2,032
2,720
3,600

9
2,31
3,36
5,04
40
2,023
2,708
3,558

10
2,26
3,25
4,78
45
2,016
2,692
3,527

11
2,23
3,17
4,59
50
2,009
2,679
3,502

12
2,20
3,11
4,44
60
2,001
2,662
3,464

13
2,18
3,06
4,32
70
1,996
2,649
3,439

14
2,16
3,01
4,22
80
1,991
2,640
3,418

15
2,15
2,98
4,14
90
1,987
2,633
3,403

16
2,13
2,95
4,07
100
1,984
2,627
3,392

17
2,12
2,92
4,02
120
1,980
2,617
3,374

18
2,11
2,90
3,97
(
1,960
2,576
3,291

19
2,10
2,88
3,92






Приложение 6
Значения коэффициентов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415


·
0,99
0,98
0,95
0,00

 =
= n – 1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1
0,356
15,0
0,388
79,8
0,446
31,9
0,510
15,9

2
0,434
14,1
0,466
9,97
0,521
6,28
0,578
4,40

3
0,483
6,47
0,514
5,11
0,566
3,73
0,620
2,92

4
0,519
4,39
0,549
3,67
0,599
2,87
0,649
2,37

5
0,546
3,48
0,576
3,00
0,624
2,45
0,672
2,090

6
0,569
2,98
0,597
2,62
0,644
2,202
0,690
1,916

7
0,588
2,66
0,616
2,377
0,661
2,035
0,705
1,797

8
0,604
2,440
0,631
2,205
0,675
1,916
0,718
1,711

9
0,618
2,277
0,644
2,076
0,688
1,826
0,729
1,645

10
0,630
2,154
0,656
1,977
0,699
1,755
0,739
1,593

11
0,641
2,056
0,667
1,898
0,708
1,698
0,748
1,550

12
0,651
1,976
0,676
1,833
0,717
1,651
0,755
1,515

13
0,660
1,910
0,685
1,779
0,725
1,611
0,762
1,485

14
0,669
1,854
0,693
1,733
0,732
1,577
0,769
1,460

15
0,676
1,806
0,700
1,694
0,739
1,548
0,775
1,437

16
0,683
1,764
0,707
1,659
0,745
1,522
0,780
1,418

17
0,690
1,727
0,713
1,629
0,750
1,499
0,785
1,400

18
0,696
1,695
0,719
1,602
0,756
1,479
0,790
1,385

19
0,702
1,668
0,725
1,578
0,760
1,460
0,794
1,370

20
0,707
1,640
0,730
1,556
0,765
1,414
0,798
1,358

21
0,712
1,617
0,734
1,536
0,769
1,429
0,802
1,346

23
0,722
1,576
0,743
1,502
0,777
1,402
0,809
1,326

24
0,726
1,558
0,747
1,487
0,781
1,391
0,812
1,316

25
0,730
1,541
0,751
1,473
0,784
1,380
0,815
1,308

26
0,734
1,526
0,755
1,460
0,788
1,371
0,818
1,300

27
0,737
1,512
0,758
1,448
0,791
1,361
0,820
1,293

29
0,744
1,487
0,765
1,426
0,796
1,344
0,825
1,279

30
0,748
1,475
0,768
1,417
0,799
1,337
0,828
1,274

40
0,774
1,390
0,792
1,344
0,821
1,279
0,847
1,228

50
0,793
1,336
0,810
1,297
0,837
1,243
0,861
1,199

60
0,808
1,299
0,824
1,265
0,849
1,217
0,871
1,179

70
0,820
1,272
0,835
1,241
0,858
1,198
0,879
1,163

80
0,829
1,250
0,844
1,222
0,866
1,183
0,886
1,151

90
0,838
1,233
0,852
1,207
0,873
1,171
0,892
1,141

100
0,845
1,219
0,858
1,195
0,878
1,161
0,897
1,133

200
0,887
1,15
0,897
1,13
0,912
1,11
0,925
1,09











Учебное издание


ЧЕПЕЛЕВ Николай Иосифович
МЕТЕЛЬСКИЙ Анатолий Владимирович
ЧЕПЕЛЕВА Тереса Иосифовна и др.


МАТЕМАТИКА

Методическое пособие
для студентов заочной формы обучения

В 4 частях

Часть 4




Редактор М.С. Гаращук
Компьютерная верстка Д.А. Исаева
Подписано в печать 28.09.2011.
Формат 60(84 1/16. Бумага офсетная.
Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс.
Усл. печ. л. 4,06. Уч.-изд. л. 3,18. Тираж 300. Заказ 416.
Издатель и полиграфическое исполнение:
Белорусский национальный технический университет.
ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009.
проспект Независимости, 65. 220013, Минск.








13PAGE 14115


13PAGE 14415



20

гистограмма

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

0,07

0,06

0,05

0,04

0,03

0,02

0,01

полигон

25

30

35

40

45



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 3618220
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий