Проект 341-1 Логарифмы


Определение логарифма, свойства логарифма (Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин. – 15е изд.- М.: Просвещение, 2007.-384с. §15, §16) Урок – практикум.
Требования программы
Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число е.
Преобразования простейших выражений, включающих арифметические операции, а также операцию возведения в степень и операцию логарифмирования.
Логарифмическая функция, её свойства и график.
Решение рациональных, показательных, логарифмических уравнений и неравенств.
Обзор литературы
Я.И. Перельман. Занимательная алгебра. Издание 11. Под ред и с дополнениями Болтянского, Москва, 1967 год.
Целая глава посвящена «седьмому действию» - логарифмированию, а также понятию логарифма. Рассматривается ряд нетривиальных вопросов и задач, имеющих практическое значение.
Г.Е. Шилов. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. Москва, 1963 год.
Проведено строгое математическое построение современной темперированной музыкальной шкалы, основанное на использовании цепных дробей (как приближений иррациональных чисел) и логарифмов. Показаны «в действии» основные свойства логарифмов.
История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В трех томах. Под редакцией Юшкевича. Том второй: математика XVII столетия. Наука, 1970.
Глава «Вспомогательные средства вычислений» посвящена истории развития логарифмического исчисления. Может служить мотивацией к введению понятия логарифма в учебном процессе.
Уваренков, Маллер. Курс математического анализа. Том 1. Просвещение, Москва, 1966.
Книга примечательна очень подробными и строгими обоснованиями всех свойств логарифмической функции (в оличие от школьных учебников, где отсутствуют понятия предела и непрерывности).
Казакова М.А. Логарифмы и их свойства. Математика в школе. 2004, 9, с. 59. Рассматриваются методические тонкости введения понятия логарифма и его свойств.
Храмов. Сравнивая логарифмы, учимся творчеству. 2003, 2, с. 32-33.
Рассматриваются методические аспекты организации совместного с учащимися поиска правил сравнения логарифмов.
Дидактические материалы по алгебре и математическому анализу с ответами и решениями для 10-11 классов. Рыжик В.И., Черкасова Т.Х. Учебное пособие для профильной школы. СПб.: 2008. - 428 с.
Приводится большой набор задачного материала по всем изучаемым темам, связанным с логарифмами.
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Самостоятельные работы. Александрова Л.А. 4-е изд., испр. и доп. - М.: 2009. - 100 с.
Представлены все аспекты темы «Логарифмы», по каждому из которых приводится несколько вариантов самостоятельных и контрольных работ.
История
Некоторые математики шестнадцатого столетия в известной мере занимались сопоставлением арифметической и геометрической прогрессий, главным образом с целью облегчить работу со сложными тригонометрическими таблицами. Важным достижением на этом пути мы обязаны шотландскому лорду Джону Неперу (Neper или Napier), который в 1914 г. напечатал свое «Описание удивительного канона логарифмов» (Mirifici logarithmorum canonis descriptio). Основной идеей Непера было построение двух последовательностей чисел, связанных таким образом, что когда одна из них возрастает в арифметической прогрессии, другая убывает в геометрической. При этом произведение двух чисел второй последовательности находится в простой зависимости от суммы соответствующих чисел первой последовательности и умножение можно свести к сложению. С помощью такой системы Непер мог значительно облегчить вычислительную работу с синусами. Первоначальный способ Непера был в достаточной мере неуклюжим, к тому же все его таблицы содержали вычислительную ошибку.
Именно, логарифм Непера можно выразить через современный логарифм таким образом:
LogNap=M(LnM-Ln(x))Такое определение ведет к другим правилам логарифмирования, значительно менее удобным. Например:
LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) — LogNap(1)
Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.
Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log( − x) = log(x). Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.
Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.
Анализ теоретического материала:
Учебник: Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин. – 15е изд.- М.: Просвещение, 2007.-384с. §15, §16)
§15 Логарифмы
Понятие:
Логарифма: вводится через род и видовые отличия, род – показатель степени, видовое отличие – в которую надо возвести a что бы получить b
Свойства:
Основное логарифмическое тождество: доказывается через определения логарифма
Так же в этой темы рассматривается действие логарифмирование как операция обратная потенцированию.
§16 Свойства логарифмов
Теорема
Пусть a>0, a≠1, b>0, c>0, r – любое действительное число. Тогда справедливы формулы:
loga(bc)=logab+logaclogabc=logab-logaclogabr=r∙logabТеорема-свойство; логическая структура – теорема с сложным заключением. Вид формулировки – условная формулировка. Это теорема-формула. В данной теореме 3 свойства.
Доказательство:
По основному логарифмическому тождеству
alogab=b,(1)
alogac=c(2)
Перемножая равенства (1) И (2) получим alogab+logac=bc, откуда по определению логарифма logab+logac=logabcРазделив равенства (1) на (2), получим: alogab-logac=bc, откуда по определению логарифма следует формула logabc=logab-logacВозведя основное логарифмическое тождество (1) в степень r, получим ar∙logab=br, откуда по определения логарифма следует формула logabr=r∙logabБаза доказательства:
Основное логарифмическое тождество
Свойства степени
Определение логарифма
Теорема доказывается методом восходящего анализа
Выводы: Основная работа при изучении понятий: сформировать действия подведения под понятие и выведение следствий. Перед определением рассматривается задача, которая служит проблемной ситуацией. Определение кратко записывается logab=c⟺1) b>0, 2)ac=b, где a>0, a≠1. Так же рассматривается его существование. Логарифмирование вводится как операция обратная потенцированию. Основные свойства темы – основное логарифмическое тождество, свойства логарифма произведения, частного, логарифма степени. Свойства доказываются методом восходящего анализа.
Анализ задачного материала:
§15.
Все задачи параграфа №15 темы логарифмы можно разделить на две основные группы
1. Задачи на применение определения логарифма
№№266-273 задачи на прямое вычисление логарифма
№279 задачи на прямое вычисление логарифма с применением свойств степеней
№№277, 282, 285-287 задачи на решение уравнений с использованием определения
№№278, 283, 284, 288, 289 задачи на выяснение существования логарифма с использованием условий определения
№281 определение логарифма применяется 2 раза
В качестве ключевых задач для этой группы можно выделить следующие:
№279
1) log242=log2214=142) log3133=log33-1,5=-1,5№288
1) logx2x-1 существует при x>0x≠12x-1>0 ; x>0x≠1x>12 ;решение системы 12<x<1 и x>1Ответ: 12<x<1 и x>1№286
Решить уравнение
1) 72x+7x-12=07x=t, t>0t2+t-12=0t1=3; t2=-4-посторонний кореньt1=3; 7x=3;x=log73Ответ: x=log73.
Также эту группу задач необходимо дополнить задачами на выведение следствий из определения, например:
представить в виде логарифма
7-123=3749log73749=-123Существует ли логарифм
log3-9 ; log17 ; log-138 ; log5(25-1352) ;log4310 2. Задачи на применение основного логарифмического тождества
№№274-276 задачи на прямое применение
№280 Задачи на применение основного логарифмического тождества + свойства степеней
Ключевая задача
№280
6) (17)1+2log173=17(17log173)2=1732=127Эту группу можно дополнить:
Число 2 представить в виде степени по основанию 3
3log32Число 5 представить в виде степени по основанию 1919log195 §16.
Анализ задачного материала:
В §16 можно выделить 6 групп задач:
Задачи на применение свойства логарифма произведения (№290):
290) Вычислить:
1) log105+log1023) log122+log12722) log108+log101254) log36+log1332=log39=2Решение:
1) log105+log102=log1010=13) log122+log1272=log12144=22) log108+log10125=log101000=34) log36+log1332=log39=2295) Вычислить logax, если logab=3, logac=-2:
1) x=a3b2cРешение:
logaa3b2c=logaa3+logab2+logac=3+6-1=82) x=a43bc3Решение:
logaa43bc3=logaa4+loga3b-logaс3=4+1+6=11Задачи на применение свойства логарифма частного (№291):
Вычислить:
log215-log21516Решение:log215-log21516=log215∙1615=log216=4log575-log53Решение: log575-log53=log5753=log525=2log1354-log132Решение: log1354-log132=log13542=log1327=-3log8116-log832Решение: log8116-log832=log81512=-3Задачи на применение свойства логарифма степени (№292):
Вычислить:
log135169Решение: log135169=15log13132=25log113121Решение: log113121=13log11112=23log134243Решение: log134243=-14log335=-54log216128Решение: log216128=log216128=log22-76=-76Комбинированные задачи на применение свойств логарифма произведения, частного и степени (№293, №294, №295, №296):
Вычислить:
log812-log815+log820=log812∙2015=log816=113log915+log918-log910=log915∙1810=log927=112Задачи на решение логарифмических уравнений (№297):
Найти x по данному его логарифму (a>0,b>0):
1) log3x=4log3a+7log3bРешение:
log3x=4log3a+7log3b log3x=log3(a4b7) x=a4b72) log5x=2log5a-3log5bРешение:
log5x=2log5a-3log5b log5x=log5(a2b3)x=a2b33) log12x=23log12a-15log12bРешение:
log12x=23log12a-15log12blog12x=log12a23b15x=a23b154)log23x=14log23a+47log23bРешение:
log23x=14log23a+47log23blog23x=log23(a14b47)x=a14b47Задачи на свойство степени основания логарифма (№299, №300):
№299
Доказать, что если a>0,a≠0,b>0,p≠0, то logapb=1plogab. Используя эту формулу, вычислить:
log362-12log1632log2530+log0,26Решение:
1plogab=сlogab1p=cac=b1p(ap)c=blogapb=сДоказано.
Доказательство:
log362-12log163=12 log62+log63=12log66=122∙log2530+log0,26=log530-log56=log55=1Выводы:
Анализируя задачный материал данного параграфа нами было замечено, что в задачном материале отрабатываются все дидактические единицы параграфа. В основном свойство логарифмов отрабатываются «справа налево», отработка же в обратную сторону происходит только в комбинированных заданиях повышенной трудности. В №229(VI группа) приводится новое свойство, которое предлагается доказать учащимся самостоятельно.

Тема урока: «Определение логарифма, свойства логарифма»
Учебник: Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин. – 15е изд.- М.: Просвещение, 2007.-384с.
Тип урока: урок – практикум.
Учебная задача: посредством использования различных форм работы на уроке формировать у учащихся умение применять определение и свойства логарифмов.
Диагностируемые цели: в результате урока ученик:
Знает:
Определение логарифма
Действие логарифмирования
Условия существования логарифма
Свойства логарифмов
Умеет:
Применять свойство логарифмов для вычисления выражений и решения уравнений
Понимает:
На основе каких теоретических положения доказываются свойства логарифма
Методы обучения: репродуктивный, метод УДЕ, частично – поисковые.
Форма работы: фронтальная, парная.
Средства обучения: мел, доска, учебник, компьютер, проектор.
Структура урока:
Мотивационно – ориентировочный этап (10 минут)
Содержательный этап (33 минут)
Рефлексивно – оценочный этап(2 минут)
Мотивационно-ориентировочный этап:
Актуализация
Вычислите:
log55log327log4(-16)log82log-39Ребята, скажите, что же называется логарифмом числа a по основанию b? (Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a≠1 называется показатель степени, в которую надо возвести число a чтобы получить b)
Вычислите:
7log7515log1533log32Каким свойством логарифма вы пользовались при вычислении? (alogab=b, при b>0, a>0, a≠1)
Как называется данное свойство? (основное логарифмическое тождество)
Вычислите:
log410+log41.6Ребята, каким свойством логарифмов Вы пользовались при вычислении? (логарифм произведения равен сумме логарифмов)
Давайте вспомним данное свойство (ученики говорят свойство и ограничения, они появляются в презентации)
Вычислите:
log840-log85Ребята, каким свойством логарифмов Вы пользовались при вычислении? (логарифм частного равен разности логарифмов)
Давайте вспомним данное свойство (ученики говорят свойство и ограничения, они появляются в презентации)
Вычислите:
2log3 27Ребята, каким свойством логарифмов Вы пользовались при вычислении? (логарифм степени равен произведения показателя степени и логарифма основания степени)
Давайте вспомним данное свойство (ученики говорят свойство и ограничения, они появляются в презентации)
Мотивация:
Ребята, сегодня мы с вами будем отрабатывать материал, изученный на прошлом занятии, который вам понадобится в дальнейшем, в том числе при выполнении самостоятельной работы на следующем уроке.
Учебная задача:
Учиться применять определение и свойства логарифмов при решении задач.
Содержательный этап
Появляется тема урока: «Определение логарифма, свойства логарифма».
Вычислите:
0,32log0,37+1
Решение: 0,32log0,37+1=0,32log0,37∙0,31=0,3log0,372∙0,3=72∙0,3==49∙0,3=14,71,53log1,52+2Решение: 1,53log1,52+2=1,53log1,52∙1,52=1,5log1,523∙2,25==23∙2,25=8∙2,25=18Решите уравнение:
log5x=4logx81=4(1,2)x=4Решение:
log5x=4b) logx81=4c) (1,2)x=4x=54x>0x4=81x>0x≠1x=log1,24x=625x>0x=±3x>0x≠1Ответ: x=log1,24Ответ: x=625x=-3-посторонний кореньОтвет: x=3Найти x по данному его логарифму (a>0, b>0):log0,1x=log0,15-log0,1a+log0,1bРешение:
log0,1x=log0,15-log0,1a+log0,1blog0,1x=log0,15bax=5baОтвет: x=5balog3x=4∙log3a+7∙log3bРешение:
log3x=4∙log3a+7∙log3blog3x=log3a4+log3b3log3x=log3a4∙b3x=a4∙b3Ответ: x=a4∙b3log15x=log125a+log1125bРешение:
log15x=log125a+log1125blog15x=log152a+log153blog15x=12∙log15a+13∙log15blog15x=log15a12+log15b13log15x=log15a12∙b13x=a12∙b13Ответ: x=a12∙b13Вычислите:
log225∙log52Решение:
log225∙log52=2∙log25∙log52=2∙log25log25=2Ребята, а сейчас вы будете решать задания самостоятельно. Сейчас на экране откроется 2 варианта заданий, которые вы выполняете, после чего меняетесь с соседом решениями и проверяете друг друга. Вы должны поставить оценку и сдать мне. Я проверю и учту результаты каждого на самостоятельной работе, которая будет на следующем уроке.
I вариант
Вычислите:
512log516logx16=42log62+3log633-12log64log963+log137log23∙log34∙log43∙log32II вариант
Вычислите:
313log38 logx25=22log218-3log23+13log28log436+log1827log56∙log67∙log76∙log65Решение I варианта
Вычислите:
512log516=5log51612=16=4logx16=4Решение:
logx16=4x4=16x>0x≠1x=±2x>0x≠1x=-2-посторонний кореньОтвет: x=22log62+3log633-12log64==log622+log6333-log6412==log622∙333412=log64∙32==log66=1log963+log137=log3263+log3-17==12log336-log32=log33=1log23∙log34∙log43∙log32==log23log43∙log43log23=log23∙log43log43∙log23=1Решение II варианта
Вычислите:
313log38=3log3813=38=2 logx25=2Решение:
logx25=2x2=25x>0x≠1x=±5x>0x≠1x=-5 – посторонний корень
Ответ:x=52log218-3log23+13log28==log2182-log233+log2813==log2182∙81333=log218∙29=log24=2log436+log1827=log2236+log2-327==12log236-13log227=log236-log2327==log26-log23=log263=1log56∙log67∙log76∙log65=log56log76∙log76log56==log56∙log76log76∙log56=1293) Вычислить:
log812-log815+log82012log736-log714-3log7321295) Вычислить logax, если logab=3, logac=-2:
1) x=a3b2c2) x=a4 3bc3297) Найти x по данному ему логарифму (a>0, b>0):
1) log3x=4log3a+7log3b2) log5x=2log5a-3log5b300)Выразить a и b
1) log350, если log315=a, log310=b.
Рефлексивно-оценочный этап
Учитель: Какова была цель урока?
Ученики:Учиться применять изученные свойства логарифмом для решения задач.
Учитель: Достигли мы её?
Ученики: Да.
Учитель:Как мы ее достигли? Какие задачи на применение данных правил вы решали?
Ученики:Мы решали задания на применение различных свойств логарифмов и в конце занятия поиграли в игру.
Учитель записывает домашнее задание: 282(2, 3), 297(3,4), 300(2)

Решение домашнего задания:
282) Решить уравнение:
2) logx17=-14) logx5=-4Решение:Решение:
logx17=-1logx5=-4x-1=17x>0x≠1x-4=5x>0x≠1x=7x>0x≠1x=±185x>0x≠1Ответ: x=7x=-185 – посторонний корень
Ответ: x=185297) Найти x по данному его логарифму (a>0, b>0):3) log12x=23log12a-15log12bРешение:
log12x=23log12a-15log12blog12x=log12a23-log12b15log12x=log12a23b15x=a23b154) log23x=14log23a+47log23bРешение:
log23x=14log23a+47log23blog23x=log23a14+log23b47log23x=log23a14∙b47x=a14∙b47300) Выразить через a и b:
2) log41250, если log25=aРешение:
log41250=log22625∙2=12log254∙2=12log254+12log22=2∙a+12

Приложенные файлы

  • docx 11230114
    Размер файла: 65 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий