методичка вектори

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
МАРІУПОЛЬСЬКИЙ КОЛЕДЖ ДВНЗ «ПДТУ»









МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК
ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

З НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ:
«ВИЩА МАТЕМАТИКА»

ДЛЯ СТУДЕНТІВ 2 КУРСУ




















Розробила Карбан Н.В.
Розглянуто і затверджено
на засіданні циклової
комісії _____________

Голова циклової комісії
Карбан Н.В.







Для викладачів математики
та студентів.


















Загальні методичні вказівки

Даний посібник надає можливість студентам середніх спеціальних навчальних закладів правильно організувати їх самостійну роботу в оволодінні системою знань, умінь та навичок в обсязі діючої програми.
Ця робота вимагає не тільки великої наполегливості, але й уміння, без якого витрата сил та часу не дає потрібного ефекту. Читати, розуміти прочитане та застосовувати його практично – це зміст вміння працювати з навчальними посібниками.
Передусім необхідно ознайомитись зі змістом програми, даної для само опрацювання. Потім слід обрати з наданої літератури основний навчальний посібник чи підручник, за яким буде опрацьована теоретична частина тієї чи іншої теми.
Розв’язання задач є найкращим способом закріплення матеріалу. Загального алгоритму розв’язання всіх математичних задач не існує, але можна виділити певні рекомендації:

1) величини, задані в умові задачі, необхідно перевести в одну систему
одиниць;

2) уважно вивчити мету та питання в задачі, які теоретичні положення
пов'язанні з нею;

3) обміркувати умову та знайти план розв'язання;

4) порівняти задачу з типовими, розв’язання яких вам вже відомі;

5) послідовно дати відповіді та запитання: що дано; що необхідно знайти; чи достатньо даних, щоб знайти невідомі, та т. п.;

6) виконати алгоритм розв’язання та зробити перевірку;

7) обміркувати, чи не має ця задача іншого, більш раціонального розв’язання;

8) якщо ви не можете розв’язати задачу, звернутися до навчальної літератури, в якій може міститися розв'язана задача, схожа на дану; спробуйте використати її для розв’язання.






Література

1. Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. Математика: учеб. пособие для техникумов. – М.:Высш. шк., 1991. – 480с.

2. Зайцев И. Л. Элементы высшей математики для техникумов. М., 1974г. 416стр.

3. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для
техникумов. – М.: Высш. шк., 1990 – 495с.

4. Алгебра и начала анализа / Под ред. Г. Н. Яковлева. М., 1981, ч. II.
































Вектори і координати на площині та в просторі.

Програма

Векторні величини. Вектори. Дії з векторами (додавання векторів, множення вектора на число, скалярний добуток векторів). Розклад вектора. Прямокутні координати на площині та в просторі. Ділення відрізку в даному відношенні. Застосування векторів для розв’язання прикладних задач.

Методичні вказівки

1. Вивчити навчальний матеріал за підручником В. Т. Лисичкин, И. Л. Соловейчик "Математика" розділ 3.
2. Ознайомитися з методичними вказівками до даної теми та розібрати розв’язання прикладів з даного посібника.
3. Дати відповіді на питання та виконати вправи для самоперевірки.

Поняття вектора

Деякі фізичні величини (сила, швидкість, прискорення та інші) характеризуються не тільки числовим значенням, але й напрямом. Наприклад, для характеристики руху тіла в даний момент часу, недостатньо сказати, що воно рухається з швидкістю 50км/год, потрібно ще вказати напрям його руху, тобто напрям швидкості. В зв’язку з цим указані фізичні величини зручно зображати напрямленими відрізками. Такий спосіб зображення фізичних величин відрізняється наочністю.
Напрямлений відрізок називається вектором. Термін «вектор» походить від латинського слова «vector», що в перекладі – «нести», «вести» або «переносити».
Для позначення векторів користуються прописними латинськими літерами, над якими ставлять стрілки або риски: 13 EMBED Equation.3 1415.
Іноді вектор позначають двома великими літерами кінців відрізку, що зображає вектор. Наприклад, вектор 13 EMBED Equation.3 1415 на мал.1 можна позначити 13 EMBED Equation.3 1415, де А – початок, В – кінець вектора.
Вектор називають нульовим, якщо його початок співпадає з кінцем. Наприклад, 13 EMBED Equation.3 1415є нульовими векторами.
Довжиною вектора або абсолютною величиною вектора, або модулем вектора називається довжина відрізка, який зображає вектор. Наприклад, 13 EMBED Equation.3 1415, тобто абсолютна величина нульового вектору дорівнює 0.
Два ненульових вектора називають колінеарними, якщо вони лежать на
одній прямій або на паралельних прямих (див. мал.2).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Два колінеарних вектора з одним напрямом називають спів напрямленими, а з різними напрямами – протилежно напрямленими. Наприклад, на мал.2 вектори 13 EMBED Equation.3 1415та 13 EMBED Equation.3 1415- співнапрямлені, а вектори 13 EMBED Equation.3 1415та 13 EMBED Equation.3 1415- протилежно напрямлені.
Нульовий вектор вважається колінеарним любому вектору.
Одиничним вектором або ортом називається вектор одиничної довжини.
Два вектори називаються рівними, якщо вони спів напрямлені та мають однакову довжину. Наприклад, вектори 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 не рівні, бо хоч мають одну довжину, але мають різні напрями.

Координати вектора

З шкільного курсу математики відомо, що прямокутна система координат на площині визначається прямокутним базисом 13 EMBED Equation.3 1415 та точки О (мал.3); 13 EMBED Equation.3 1415 - одиничний вектор осі абсцис (Ох); 13 EMBED Equation.3 1415 - одиничний вектор осі ординат (Оу);
О – початок координат.
Теорема: довільний вектор 13 EMBED Equation.3 1415 площини можна розкласти єдиним образом за базисними векторами, тобто 13 EMBED Equation.3 1415. Коефіцієнти х та у цього розкладу називаються координатами вектора 13 EMBED Equation.3 1415 в даній системі координат та пишуть: 13 EMBED Equation.3 1415.
Координати точки А (мал.3) співпадають з відповідними координатами вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Якщо йдеться про систему координат у просторі, тоді прямокутна система координат визначається базисом 13 EMBED Equation.3 1415, де 13 EMBED Equation.3 1415 - одиничний вектор осі аплікат (Оz). Тоді теорема матиме схожий вигляд.
Теорема: довільний вектор 13 EMBED Equation.3 1415 простору можна розкласти єдиним образом за базисними векторами, тобто 13 EMBED Equation.3 1415. Коефіцієнти х , у та z
цього розкладу називаються координатами вектора 13 EMBED Equation.3 1415 в даній системі координат та пишуть: 13 EMBED Equation.3 1415.
Якщо у вектора задані координати його початку та кінця, тоді щоб знайти його власні координати, необхідно від координат кінця вектора відняти координати початку. Тобто, якщо 13 EMBED Equation.3 1415та 13 EMBED Equation.3 1415, тоді вектор 13 EMBED Equation.3 1415 у просторі має координати: 13 EMBED Equation.3 1415. Якщо вектор розглядається на площині, тоді 13 EMBED Equation.3 1415.
Довжина вектора дорівнює квадратному кореню від суми квадратів його координат. Вектор у просторі: 13 EMBED Equation.3 1415, тоді його абсолютна величина обчислюється за формулою: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вектор на площині: 13 EMBED Equation.3 1415, тоді його абсолютна величина обчислюється за формулою: 13 EMBED Equation.3 1415.
Якщо вектор заданий координатами його початку та кінця 13 EMBED Equation.3 1415та 13 EMBED Equation.3 1415, тоді 13 EMBED Equation.3 1415(для простору). Або 13 EMBED Equation.3 1415 для площини.

Приклад 1.
Абсолютна величина вектора 13 EMBED Equation.3 1415 дорівнює 13, так як 13 EMBED Equation.3 1415.
Відповідь: 13.

Приклад 2.
Знайти периметр трикутника з вершинами А(3;-2;8), В(-1;0;6), С(5;1;-7).

Розв'язання.
13 EMBED Equation.3 1415
Відповідь: 13 EMBED Equation.3 1415

Додавання векторів

1. Правило трикутника.
Сумою векторів 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 називається вектор 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема: Які б не були точки А, В, С має місце рівність13 EMBED Equation.3 1415. Векторна рівність13 EMBED Equation.3 1415(мал.4) називається правилом трикутника додавання векторів.

2. Правило паралелограма.
Сума векторів 13 EMBED Equation.3 1415та 13 EMBED Equation.3 1415 (мал.5) знайдена за правилом паралелограма.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Вектором, протилежним вектору 13 EMBED Equation.3 1415, називається вектор 13 EMBED Equation.3 1415; координати цих векторів протилежні за знаками: 13 EMBED Equation.3 1415та 13 EMBED Equation.3 1415. Сума двох протилежних векторів дорівнює нуль-вектору: 13 EMBED Equation.3 1415.

3. Віднімання векторів.
Різницею векторів 13 EMBED Equation.3 1415та 13 EMBED Equation.3 1415називається сума вектора 13 EMBED Equation.3 1415 та вектора 13 EMBED Equation.3 1415, протилежного до 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
Якщо вектори 13 EMBED Equation.3 1415та 13 EMBED Equation.3 1415відкладені від однієї точки О (мал.6), тоді для знаходження різниці доцільно користуватися формулою: 13 EMBED Equation.3 1415.



Множення вектора на число

Добутком вектора 13 EMBED Equation.3 1415на число 13 EMBED Equation.3 1415 називається вектор 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема: Абсолютна величина вектора 13 EMBED Equation.3 1415дорівнює добутку 13 EMBED Equation.3 1415. Напрямок вектора 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415співпадає з напрямком вектора 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415, та протилежний напрямку вектора 13 EMBED Equation.3 1415, якщо 13 EMBED Equation.3 1415.
На мал.7 зображені вектори 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 .
Добутком нульового вектора на довільне число та добутком довільного вектора на нуль називається нульовий вектор.
Теорема: Для того, щоб вектори 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415були колінеарними, необхідно і достатньо, щоб існувало число 13 EMBED Equation.3 1415, яке б задовольняло умові: 13 EMBED Equation.3 1415. Тобто відповідні координати колінеарних векторів пропорційні. І навпаки, якщо відповідні координати двох векторів пропорційні, тоді вектори колінеарні: для векторів 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 виконується 13 EMBED Equation.3 1415, тоді вони колінеарні.

Приклад 3.
Знайти значення m та n, при яких вектори a(15;m;1) и b(18;12;n) є колінеарними.
Розв'язання.
За умовою колінеарності векторів 13 EMBED Equation.3 1415, тоді 13 EMBED Equation.3 1415. Тобто 13 EMBED Equation.3 1415, тоді 13 EMBED Equation.3 1415, аналогічно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Відповідь: 13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 4.
Дані вектори 13 EMBED Equation.3 1415. Визначити довжину вектора 13 EMBED Equation.3 1415.

Розв'язання.
Спочатку знайдемо координати векторів 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415, потім додамо їх:
13 EMBED Equation.3 1415
Знайдемо абсолютну величину отриманого вектора:
13 EMBED Equation.3 1415.
Відповідь: 25.
Скалярний добуток векторів

Кутом між двома векторами називається кут між їх напрямами.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Скалярним добутком двох ненульових векторів називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними, тобто
13 EMBED Equation.3 1415.
Якщо один з цих векторів нульовий, тоді їх добуток вважається рівним 0.
Скалярний добуток 13 EMBED Equation.3 1415 позначається 13 EMBED Equation.3 1415 та називається скалярним квадратом; 13 EMBED Equation.3 1415.
З означення скалярного добутку випливає: якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Навпаки: якщо скалярний добуток векторів дорівнює 0, то вектори перпендикулярні:
13 EMBED Equation.3 1415.
Якщо вектори задані з своїми координатами, тоді скалярний добуток можна обчислити за формулами: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
Приклад 5.
В рівносторонньому трикутнику АВС сторона дорівнює 6см. Знайти скалярний добуток векторів: а) 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415.

Розв'язання.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Відповідь: а) 18, б) – 18.
Приклад 6.
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415. Знайти 13 EMBED Equation.3 1415.
Розв'язання.
13 EMBED Equation.3 1415Відповідь: 13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 7.
Які з даних пар векторів взаємно перпендикулярні: 13 EMBED Equation.3 1415?
Розв'язання.
13 EMBED Equation.3 1415
Відповідь: 13 EMBED Equation.3 1415.

Знаходження кута між векторами

За означенням скалярного добутку 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді
13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 8.
Обчислити кут між векторами 13 EMBED Equation.3 1415.

Розв’язання.
13 EMBED Equation.3 1415
Відповідь: 13 EMBED Equation.3 1415.


Приклад 9. Знайти кути трикутника АВС, якщо А(6;7), В(3;3), С(1;-5).

Розв’язання.
1)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
2)
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
3) Тоді 13 EMBED Equation.3 1415
Відповідь: 13 EMBED Equation.3 1415.

Ділення відрізку в заданому відношенні

Якщо точка М ділить відрізок між точками 13 EMBED Equation.3 1415та 13 EMBED Equation.3 1415 у відношенні 13 EMBED Equation.3 1415 (мал.9), тоді координати точки ділення М обчислюються за формулами:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Якщо точка М ділить відрізок АВ навпіл, тоді 13 EMBED Equation.3 1415 і координати точки М обчислюються за формулами:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415.
Приклад 10.
Дано точки В(-1;3) та С(8;-12). Знайти координати точок М та N, які поділяють відрізок ВС на три рівні частини (мал.10).

Розв’язання.
Точка N поділяє відрізок ВС у відношенні 13 EMBED Equation.3 1415, тоді 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; тобто N(5;-7).
Точка М поділяє відрізок ВN навпіл, тоді 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415, тоді М(2;-2).
Відповідь: М(2;-2), N(5;-7).

Приклад 11.
Дано три вершини А(-1;2), В(4;3) та С(7;5) паралелограму АВСD. Обчислити координати вершини D.

Розв’язання.
Діагоналі паралелограму АВСD (мал.11) точкою М поділяються навпіл, тобто точка М – середина відрізків АС та ВD. Знайдемо координати точки М:
13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415, отже М(3;3,5).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Але 13 EMBED Equation.3 1415, тоді 13 EMBED Equation.3 1415 і
13 EMBED Equation.3 1415. Отже , D(2;4).
Відповідь: D(2;4).

Проекції вектора на вісі координат

Розглянемо вектор з початком в центрі координат та кінцем в точці А(х;у) (мал.12).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Щоб знайти проекції 13 EMBED Equation.3 1415та 13 EMBED Equation.3 1415вектора 13 EMBED Equation.3 1415треба використати формули:
13 EMBED Equation.3 1415та 13 EMBED Equation.3 1415, при заданому куті 13 EMBED Equation.3 1415 нахилу вектора 13 EMBED Equation.3 1415 до вісі ОХ.

Приклад 12.
Дано А(5;-2) та В(-3;4). Знайти кут нахилу вектора 13 EMBED Equation.3 1415 до вісі абсцис.

Розв’язання.
Знайдемо довжину відрізку 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
За мал.13 проекція 13 EMBED Equation.3 1415дорівнює: 13 EMBED Equation.3 1415; аналогічно,
13 EMBED Equation.3 1415. Тоді 13 EMBED Equation.3 1415.
Розв’яжемо систему рівнянь:
13 EMBED Equation.3 1415 Відповідь: 13 EMBED Equation.3 1415.

Приклад 13.
Три сили F1, F2, F3 прикладені в одну точку таким чином, що кут між F1 и F2 дорівнює 30°, а між F2 и F3 – 60°. Знайдіть їх рівнодіючу силу, якщо | F1 | = 2 Н,
| F2| = 10 Н, | F3 | =11 Н.

Розв’язання.
Розглянемо мал.14: при додаванні векторів 13 EMBED Equation.3 1415та 13 EMBED Equation.3 1415за правилом паралелограма отримаємо прямокутник 13 EMBED Equation.3 1415. Для 13 EMBED Equation.3 1415використаємо теорему Піфагора: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
За правилом паралелограма додамо вектори 13 EMBED Equation.3 1415та 13 EMBED Equation.3 1415, результатом буде результуюча трьох сил 13 EMBED Equation.3 1415. Для знаходження її числового значення використаємо теорему косинусів у 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
Але 13 EMBED Equation.3 1415. При паралельних прямих 13 EMBED Equation.3 1415 та 13 EMBED Equation.3 1415 кути 13 EMBED Equation.3 1415відповідні, тобто 13 EMBED Equation.3 1415.
З 13 EMBED Equation.3 1415 знайдемо 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415. Тоді 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, отже
13 EMBED Equation.3 1415. Остаточно:13 EMBED Equation.3 1415.
Відповідь: 19,26Н.

Приклад 14.
Довести, що трикутник з вершинами А(2;2), В(-1;6) та С(-5;3) – прямокутний.

Розв’язання.
Знайдемо довжини сторін трикутника АВС:
13 EMBED Equation.3 1415
Скористуємося оберненою теоремою Піфагора: якщо в трикутнику сума квадратів двох сторін дорівнює квадрату більшої сторони, тоді цей трикутник прямокутний і навпроти більшої сторони лежить прямий кут. Так як 13 EMBED Equation.3 1415, тоді 13 EMBED Equation.3 1415 прямокутний та 13 EMBED Equation.3 1415.
Відповідь: доведено.

Питання для самоперевірки

1. Що називають вектором; абсолютною величиною вектора; напрямом вектора; нульовим вектором?

2. Дати означення колінеарних векторів.

3. Дати означення рівних векторів.

4. Як знайти координати вектора, який задається парою не співпадаючих точок?

5. Як знайти довжину вектора?

6. Дати означення скалярного добутку двох векторів.

7. Записати координатну формулу скалярного добутку.

8. Сформулювати умову колінеарності двох векторів.

9. Сформулювати умову перпендикулярності двох векторів.

10. Записати формулу для обчислення кута між векторами.

11. Сформулювати правила додавання, віднімання векторів та множення вектора на число.

12. Записати формули ділення відрізка в заданому відношенні та середини відрізка.











Самостійна робота

№ 1. Дано точки А(-2;7), В(3;-1) та С(1;2). Знайти довжину вектора 13 EMBED Equation.3 1415, якщо:
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 16. 13 EMBED Equation.3 1415.

2. 13 EMBED Equation.3 1415. 17. 13 EMBED Equation.3 1415.

3. 13 EMBED Equation.3 1415. 18. 13 EMBED Equation.3 1415.

4. 13 EMBED Equation.3 1415. 19. 13 EMBED Equation.3 1415.

5. 13 EMBED Equation.3 1415. 20. 13 EMBED Equation.3 1415.

6. 13 EMBED Equation.3 1415. 21. 13 EMBED Equation.3 1415.

7. 13 EMBED Equation.3 1415. 22. 13 EMBED Equation.3 1415.

8. 13 EMBED Equation.3 1415. 23. 13 EMBED Equation.3 1415.

9. 13 EMBED Equation.3 1415. 24. 13 EMBED Equation.3 1415.

10. 13 EMBED Equation.3 1415. 25. 13 EMBED Equation.3 1415.

11. 13 EMBED Equation.3 1415. 26. 13 EMBED Equation.3 1415.

12. 13 EMBED Equation.3 1415. 27. 13 EMBED Equation.3 1415.

13. 13 EMBED Equation.3 1415. 28. 13 EMBED Equation.3 1415.

14. 13 EMBED Equation.3 1415. 29. 13 EMBED Equation.3 1415.

15. 13 EMBED Equation.3 1415. 30. 13 EMBED Equation.3 1415.



№ 2. За малюнком знайти результат дій 13 EMBED Equation.3 1415з трьома векторами, якщо:


13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

1. 13 EMBED Equation.3 1415. 16. 13 EMBED Equation.3 1415.

2. 13 EMBED Equation.3 1415. 17. 13 EMBED Equation.3 1415.

3. 13 EMBED Equation.3 1415. 18. 13 EMBED Equation.3 1415.

4. 13 EMBED Equation.3 1415. 19. 13 EMBED Equation.3 1415.

5. 13 EMBED Equation.3 1415. 20. 13 EMBED Equation.3 1415.

6. 13 EMBED Equation.3 1415. 21. 13 EMBED Equation.3 1415.

7. 13 EMBED Equation.3 1415. 22. 13 EMBED Equation.3 1415.

8. 13 EMBED Equation.3 1415. 23. 13 EMBED Equation.3 1415.

9. 13 EMBED Equation.3 1415. 24. 13 EMBED Equation.3 1415.

10. 13 EMBED Equation.3 1415. 25. 13 EMBED Equation.3 1415.

11. 13 EMBED Equation.3 1415. 26. 13 EMBED Equation.3 1415.

12. 13 EMBED Equation.3 1415. 27. 13 EMBED Equation.3 1415.

13. 13 EMBED Equation.3 1415. 28. 13 EMBED Equation.3 1415.

14. 13 EMBED Equation.3 1415. 29. 13 EMBED Equation.3 1415.

15. 13 EMBED Equation.3 1415. 30. 13 EMBED Equation.3 1415.


№ 3. Перевірити дані вектори на колінеарність та перпендикулярність, при відсутності того та другого, знайти кут між цими векторами:
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 16. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415. 17. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415. 18. 13 EMBED Equation.3 1415.
4. 13 EMBED Equation.3 1415. 19. 13 EMBED Equation.3 1415.
5. 13 EMBED Equation.3 1415. 20. 13 EMBED Equation.3 1415.
6. 13 EMBED Equation.3 1415. 21. 13 EMBED Equation.3 1415.
7. 13 EMBED Equation.3 1415. 22. 13 EMBED Equation.3 1415.
8. 13 EMBED Equation.3 1415. 23. 13 EMBED Equation.3 1415.
9. 13 EMBED Equation.3 1415. 24. 13 EMBED Equation.3 1415.
10. 13 EMBED Equation.3 1415. 25. 13 EMBED Equation.3 1415.
11. 13 EMBED Equation.3 1415. 26. 13 EMBED Equation.3 1415.
12. 13 EMBED Equation.3 1415. 27. 13 EMBED Equation.3 1415.
13. 13 EMBED Equation.3 1415. 28. 13 EMBED Equation.3 1415 .
14. 13 EMBED Equation.3 1415. 29. 13 EMBED Equation.3 1415.
15. 13 EMBED Equation.3 1415. 30. 13 EMBED Equation.3 1415.


№ 4. Знайти точку С, яка ділить відрізок АВ у відношенні 13 EMBED Equation.3 1415, якщо:
1. 13 EMBED Equation.3 1415. 16. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415. 17. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415. 18. 13 EMBED Equation.3 1415.
4. 13 EMBED Equation.3 1415. 19. 13 EMBED Equation.3 1415.
5. 13 EMBED Equation.3 1415. 20. 13 EMBED Equation.3 1415.
6. 13 EMBED Equation.3 1415. 21. 13 EMBED Equation.3 1415.
7. 13 EMBED Equation.3 1415. 22. 13 EMBED Equation.3 1415.
8. 13 EMBED Equation.3 1415. 23. 13 EMBED Equation.3 1415.
9. 13 EMBED Equation.3 1415. 24. 13 EMBED Equation.3 1415.
10. 13 EMBED Equation.3 1415. 25. 13 EMBED Equation.3 1415.
11. 13 EMBED Equation.3 1415. 26. 13 EMBED Equation.3 1415.
12. 13 EMBED Equation.3 1415. 27. 13 EMBED Equation.3 1415.
13. 13 EMBED Equation.3 1415. 28. 13 EMBED Equation.3 1415.
14. 13 EMBED Equation.3 1415. 29. 13 EMBED Equation.3 1415.
15. 13 EMBED Equation.3 1415. 30. 13 EMBED Equation.3 1415.

№ 5. Знайти проекції вектора 13 EMBED Equation.3 1415на вісі координат, якщо дана його довжина та кут нахилу 13 EMBED Equation.3 1415 до вісі Ох:

1. 13 EMBED Equation.3 1415. 16. 13 EMBED Equation.3 1415.

2. 13 EMBED Equation.3 1415. 17. 13 EMBED Equation.3 1415.

3. 13 EMBED Equation.3 1415. 18. 13 EMBED Equation.3 1415.

4. 13 EMBED Equation.3 1415. 19. 13 EMBED Equation.3 1415.

5. 13 EMBED Equation.3 1415. 20. 13 EMBED Equation.3 1415.

6. 13 EMBED Equation.3 1415. 21. 13 EMBED Equation.3 1415.

7. 13 EMBED Equation.3 1415. 22. 13 EMBED Equation.3 1415.

8. 13 EMBED Equation.3 1415. 23. 13 EMBED Equation.3 1415.

9. 13 EMBED Equation.3 1415. 24. 13 EMBED Equation.3 1415.

10. 13 EMBED Equation.3 1415. 25. 13 EMBED Equation.3 1415.

11. 13 EMBED Equation.3 1415. 26. 13 EMBED Equation.3 1415.

12. 13 EMBED Equation.3 1415. 27. 13 EMBED Equation.3 1415.

13. 13 EMBED Equation.3 1415. 28. 13 EMBED Equation.3 1415.

14. 13 EMBED Equation.3 1415. 29. 13 EMBED Equation.3 1415.

15. 13 EMBED Equation.3 1415. 30. 13 EMBED Equation.3 1415.

№ 6. Розв’язати прикладну задачу:

1. Чи можливо розкласти силу в 1Н на дві сили по 0,4Н?
2. Знайти кути, що складають сили F1 =2,5кН та F2 =2кН з рівнодіючою силою R=3,5кН.
3. Знайти рівнодіючу силу R двох сил F1 =50Н та F2 =25Н, якщо кут між даними силами складає 135о.
4. 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
5. Літак має горизонтальну швидкість 100м/с, а вертикальну 50м/с, швидкість вітру перпендикулярна курсу літака та дорівнює 6м/с. Визначити рівнодійну швидкість літака.
6. Рівнодійна R=4Н двох сил F1 та F2 =1Н. Знайти силу F1 , якщо кут між силами F1 та F2 дорівнює 30о.
7. Два трактори, що їдуть по берегам прямого каналу з постійною швидкістю, тягнуть барку за допомогою двох канатів. Сили натягу канатів рівні 80кН та 96кН, кут між ними 60о. Знайти силу опору води, що діє на барку при її русі.
8. Турист пройшов 5км у південному напрямі, а потім 12км у східному напрямі. Знайти модуль його переміщення.
9. Рівнодійна R=10Н двох сил F1 та F2 =3Н. Знайти силу F1 , якщо кут між силами F1 та F2 дорівнює 45о.
10. Знайти кут, що складають сили F1 =10Н та F2 =7Н, якщо їх рівнодіюча сила R=13Н.
11. Знайти рівнодіючу силу R двох сил F1 =10Н та F2 =2Н, якщо кут між даними силами складає 30о.
12. 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13. Катер пройшов по озеру у північно-східному напрямку 2км, а потім у північному напрямі 1км. Знайти переміщення катеру.
14. Рівнодійна R=5Н двох сил F1 та F2 =2Н. Знайти силу F1 , якщо кут між силами F1 та F2 дорівнює 135о.
15. Чи можливо розкласти силу в 1Н на дві сили по 1Н?
16. Знайти кути, що складають сили F1 =1Н та F2 =2Н з рівнодіючою силою R=3Н.
17. Горизонтальна швидкість підйомного крану дорівнює 20км/год, а вертикальна 15км/год. Знайти результуючу швидкість, тобто швидкість тіла, що піднімають.
18. Знайти рівнодіючу силу R двох сил F1 =7Н та F2 =24Н, якщо кут між даними силами складає 45о.
19. Рівнодійна R=11Н двох сил F1 та F2 =7Н. Знайти силу F1 , якщо кут між силами F1 та F2 дорівнює 120о.
20. 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
21. Чи можливо розкласти силу в 1Н на дві сили по 100Н?
22. Рівнодійна R=17Н двох сил F1 та F2 =5Н. Знайти силу F1 , якщо кут між силами F1 та F2 дорівнює 60о.
23. Знайти кути, що складають сили F1 =11Н та F2 =3Н з рівнодіючою силою R=5Н.
24. 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
25. Два трактори, що їдуть по берегам прямого каналу з постійною швидкістю, тягнуть барку за допомогою двох канатів. Сили натягу канатів рівні 90кН та 106кН, кут між ними 45о. Знайти силу опору води, що діє на барку при її русі.
26. Знайти рівнодіючу силу R двох сил F1 =12Н та F2 =4Н, якщо кут між даними силами складає 60о.
27. Турист пройшов 15км у північному напрямі, а потім 20км у східному напрямі. Знайти модуль його переміщення.
28. Знайти кут, що складають сили F1 =15Н та F2 =20Н, якщо їх рівнодіюча сила R=25Н.
29. Чи можливо розкласти силу в 1Н на дві сили по 0,5Н?
30. Знайти рівнодіючу силу R двох сил F1 =6Н та F2 =11Н, якщо кут між даними силами складає 120о.

Мал.1

Мал.2

Мал.3

Мал.4


Мал.5


Мал.6


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Мал.7


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Мал.8

Мал.9

Мал.10

Мал.11

Мал.12

Мал.13

Мал.14

Визначити за малюнком сили F1 та F2 натягу канатів, якщо результуюча сила R=10Н і кут між F1 та стелею дорівнює 45о.

Визначити за малюнком сили F1 та F2 натягу канатів, якщо результуюча сила R=6Н і кут між F1 та стелею дорівнює 60о.

Визначити за малюнком сили F1 та F2 натягу канатів, якщо результуюча сила R=14Н і кут між F1 та стелею дорівнює 30о.

Визначити за малюнком сили F1 та F2 натягу канатів, якщо результуюча сила R=8Н і кут між F1 та стелею дорівнює 30о.



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 11245895
    Размер файла: 761 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий