ответы тест №2 эл мат


Тждество — это равенство двух отличных по записи, но имеющиходинаковое значение, выражений, при любых переменных из их области определения.    
  (a – b)2     =     (a – b)2 : 2       —  верное тождество
2 2. Уравнение Если в равенство входит буква, то равенство называется уравнением.  Уравнение может быть верным при одних значениях этой буквы  и неверным при других ее значениях.              Например, уравнение           x + 6   = 7                      верно при       x   =   1                          и   неверно   при         x   =   2 .   
3. Равносильные уравнения Линейное уравнение имеет вид     ax + by + c = 0 .  Например:         5x – 4y + 6   =   0 .          Выразим   y:          ⇒       4y = 5x + 6       ⇒       y = 
5x+6
4
⇒       y = 1,25x + 1,5 .              Полученное уравнение, равносильное первому, имеет вид                                              y = kx + m ,              где:     x   —   независимая переменная (аргумент);                            y   —   зависимая переменная (функция);                            k   и   m     —   коэффициенты (параметры).    
4 Эквивалентные уравнения
Два уравнения  и называются равносильными (эквивалентными), если совпадают множества всех их решений или оба они не имеют решений и обозначают  .5/Уравнение первой степени.
Уравнение первой степени можно привести к виду:
ax + b = 0,
где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Отсюда легко вывести значение x:
           bx = – —          aЭто значение x является корнем уравнения.
Уравнения первой степени имеют один корень.
Уравнение второй степени.
Уравнение второй степени можно привести к виду:
ax2 + bx + c = 0,
где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:
- если D > 0, то уравнение имеет два корня;
- если D = 0, то уравнение имеет один корень;
- если D < 0, то уравнение корней не имеет.
Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.
(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).Уравнение третьей степени.
Уравнение третьей степени можно привести к виду:
ax3 + bx2 + cx + d = 0,
где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.
Уравнение четвертой степени.
Уравнение четвертой степени можно привести к виду:
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e  = 0,
где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0.
Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.
Обобщение:
1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;
2) уравнение n-й степени может иметь не более n корней.
6/Уравнением с одной переменной, называется равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.
7/расп8/-11/Системы линейных уравнений: основные понятия Система линейных уравнений.
Несовместная и неопределенная системы линейных уравнений. Совокупность линейных уравнений.Совместная и несовместная совокупность линейных уравнений.
Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных. Записывается это так:

Многие, впервые сталкиваясь с высшей алгеброй, ошибочно полагают, что число уравнений обязательно должно совпадать с числом переменных. В школьной алгебре так обычно и бывает, однако для высшей алгебры это, вообще говоря, неверно.
Решение системы уравнений — это последовательность чисел (k1, k2, ..., kn), которая является решением каждого уравнения системы, т.е. при подстановке в это уравнение вместо переменных x1, x2, ..., xn дает верное числовое равенство.
Соответственно, решить систему уравнений — значит найти множество всех ее решений или доказать, что это множество пусто. Поскольку число уравнений и число неизвестных может не совпадать, возможны три случая:
Система несовместна, т.е. множество всех решений пусто. Достаточно редкий случай, который легко обнаруживается независимо от того, каким методом решать систему.
Система совместна и определена, т.е. имеет ровно одно решение. Классический вариант, хорошо известный еще со школьной скамьи.
Система совместна и не определена, т.е. имеет бесконечно много решений. Это самый жесткий вариант. Недостаточно указать, что «система имеет бесконечное множество решений» — надо описать, как устроено это множество.
Переменная xi называется разрешенной, если она входит только в одно уравнение системы, причем с коэффициентом 1. Другими словами, в остальных уравнениях коэффициент при переменной xiдолжен быть равен нулю.
Если в каждом уравнении выбрать по одной разрешенной переменной, получим набор разрешенных переменных для всей системы уравнений. Сама система, записанная в таком виде, тоже будет называться разрешенной. Вообще говоря, одну и ту же исходную систему можно свести к разным разрешенным, однако сейчас нас это не волнует. Вот примеры разрешенных систем:

Обе системы являются разрешенными относительно переменных x1, x3 и x4. Впрочем, с тем же успехом можно утверждать, что вторая система — разрешенная относительно x1, x3 и x5. Достаточно переписать самое последнее уравнение в виде x5 = x4.
Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть всего у нас k переменных, из которых r являются разрешенными. Тогда возможны два случая:
Число разрешенных переменных r равно общему числу переменных k: r = k. Получаем систему из k уравнений, в которых r = kразрешенных переменных. Такая система является совместной и определенной, т.к. x1 = b1, x2 = b2, ..., xk = bk;
Число разрешенных переменных r меньше общего числа переменных k: r < k. Остальные (k − r) переменных называются свободными — они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.
Так, в приведенных выше системах переменные x2, x5, x6 (для первой системы) и x2, x5 (для второй) являются свободными. Случай, когда есть свободные переменные, лучше сформулировать в виде теоремы:
Обратите внимание: это очень важный момент! В зависимости от того, как вы запишете итоговую систему, одна и та же переменная может быть как разрешенной, так и свободной. Большинство репетиторов по высшей математике рекомендуют выписывать переменные в лексикографическом порядке, т.е. по возрастанию индекса. Однако вы совершенно не обязаны следовать этому совету.
Теорема. Если в системе из n уравнений переменные x1, x2, ..., xr — разрешенные, а xr + 1, xr + 2, ..., xk — свободные, то:
Если задать значения свободным переменным (xr + 1 = tr + 1, xr + 2 = tr + 2, ..., xk = tk), а затем найти значения x1, x2, ..., xr, получим одно из решений.
Если в двух решениях значения свободных переменных совпадают, то значения разрешенных переменных тоже совпадают, т.е. решения равны.
В чем смысл этой теоремы? Чтобы получить все решения разрешенной системы уравнений, достаточно выделить свободные переменные. Затем, присваивая свободным переменным разные значения, будем получать готовые решения. Вот и все — таким образом можно получить все решения системы. Других решений не существует.
Вывод: разрешенная система уравнений всегда совместна. Если число уравнений в разрешенной системе равно числу переменных, система будет определенной, если меньше — неопределенной.
Несколько уравнений образуют Совокупность уравнений

12,13/ Линейное неравенство./ Строгие и нестрогие неравенства Что такое неравенство? Берётся любое уравнение, знак "=" ("равно") заменяется на другой значок (>;≥; <; ≤; ≠) и получается неравенство.) Уравнение может быть каким угодно: линейным, квадратным,дробным, показательным, тригонометрическим, логарифмическим, и т.д. и т.п. Соответственно, и неравенства у нас получатся линейные, квадратные, и т.д.
Что нужно знать о значках неравенств? Неравенства со значком больше (>), или меньше (<) называются строгими. Со значками больше или равно (≥), меньше или равно (≤) называются нестрогими.Значок не равно (≠) стоит особняком, но решать примеры с таким значком тоже приходится постоянно. И мы порешаем.)Сам значок не оказывает особого влияния на процесс решения. А вот в конце решения, при выборе окончательного ответа, смысл значка проявляется в полную силу! Что мы и увидим ниже, на примерах. Есть там свои приколы...
Неравенства, как и равенства, бывают верные и неверные. Здесь всё просто, без фокусов. Скажем, 5 >2 - верное неравенство. 5 < 2 - неверное.
Линейные, квадратные, дробные, показательные, тригонометрические и прочие неравенства решаются по-разному. На каждый вид - свой способ, свой специальный приём. Но! Все эти специальные приёмы можно применять только к некоему стандартному виду неравенства. Т.е. неравенство любого вида нужно сначала подготовить к применению своего способа.
14,16/Основные свойства неравенств/. Действия с двумя неравенствами.
1) Если 
2) Свойство транзитивности. Если 
3) Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство, т.е. если 
4) Если из одной части верного неравенства перенести в другую какое-либо слагаемое, изменив его знак на противоположный, то получится верное неравенство, т.е. если 5) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Например, если 
6) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. Например, если
7) Аналогично правилам 5) и 6) действуют правила для деления на одно и то же число. Если 
Действия с неравенствами
1) Неравенства одинакового знака можно почленно складывать. или 
2) Неравенства противоположных знаков можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого производится вычитание. или 
3) Неравенства одинаковых знаков с положительными членами можно почленно умножать.
4) Обе части неравенства с положительными членами можно возводить в одну и ту же натуральную степень.
5) Верно обратное действию 4) утверждение
15/Числовые промежутки
Решение неравенств обозначают на координатной прямой.
Пусть a - некоторое число. Часть координатной прямой левее точки a вместе с точкой a (черный (закрашенный) кружок)

Часть координатной прямой левее точки a, но не включая точку

Аналогично, если x находится правее
 
Пример 1: Записать, используя обозначения числовых промежутков, множество точек заштрихованной части координатной прямой.

17/
18 Эквивалентные неравенства До сих пор мы рассматривали тождественные неравенства, то есть такие неравенства, которые выполняются (обращаются в числовые неравенства) при всех допустимых или специально указанных значениях входящих в них букв. К таким относятся,  например,  неравенства:
 а + 1 > а,    а2 > 0,    
Теперь мы переходим к изучению неравенств, которые выполняются не при всех, а лишь при некоторых (а может быть, и ни. при каких!) допустимых значениях букв. Примером такого неравенства может служить неравенство
2х > 0. Оно выполняется при любых положительных значениях х, хотя допустимыми значениями х являются все числа, в том числе и отрицательные.
Решить неравенство, содержащее неизвестную величину, — это значит найти все те значения этой неизвестной величины, при которых данное неравенство выполняется.
Подобно решению уравнений, решение неравенств обычно проводится путем сведения их к более простым, эквивалентным (или равносильным)  неравенствам.
Два неравенства, содержащие одну и ту же неизвестную величину, называются эквивалентными (или равносильными), если они выполняются при одних и тех же значениях этой величины.
Примером эквивалентных неравенств могут служить неравенства 2х > 0 и —3х < 0, справедливые при всех положительных значениях х. Неравенства х > 0 и х2 > 0 не эквивалентны, поскольку первое из них верно только при положительных значениях х, а второе — как при положительных, так и при отрицательных значениях х.
Неравенства, каждое из которых не выполняется ни при каких значениях неизвестной величины, также считаются эквивалентными. Примером таких неравенств могут служить неравенства
х2 < — 1  и  —(5x4 + 3) > 0.
19/Система неравенств с одной переменнойСистема неравенств с одной переменной появляется, когда требуется найти общее решение не одного, а сразу двух или более неравенств.
Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство.
Множество решений системы неравенств с одной переменной есть пересечение множеств решений всех входящих в него неравенств.
Если решение каждого из неравенств системы изобразить на числовой прямой штриховкой, решение системы неравенств можно определить как общий для всех прямых заштрихованный промежуток (то есть промежуток, для которого штриховка есть на каждой из числовых прямых).
Решить систему неравенств — значит, найти множество её решений или убедиться, что система не имеет решений.
Изучение систем неравенств с одной переменной в курсе алгебры начинается с рассмотрения систем линейных неравенств.
Система из двух линейных неравенств после упрощения приводится к системе простейших неравенств одного из видов (для определённости, a<b):
1)rightcenter
  
2)


  
3)

4)
  
5)
  
6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

  16)

17)
Если одно из неравенств системы не имеет решений, то и система не имеет решений.
18)
Если решением одного из неравенств системы является любое число, решение системы совпадает с решением другого неравенства.
Пример 1. Решите неравенства: 1.a) х4x−12−x>3х+2 1.b) х4x−12−x≥3х+2..
Решение:
19,20) Неравенства с одной переменной и их системы
Общий способ сравнения чисел
Число а больше числа b (а>b), если их разность (а - b) — положительное число; число а меньше числа b, если их разность (а - b) — отрицательное число.
Свойства числовых неравенств:
Если a>b, то b<а; если a<b, то b>a;
Если a<b и b<c, то a<b<c;
Если a<b и c∈R, то a+c<b+c;
Если а<b и с>0, то ас<bс; если а<b и с<0, то ac>bc;
Если a<b и c<d, то a+c<b+d;
Если a<b и c<d и а, b, с, d - положительные числа, то ac<bd.
Решение неравенства с одной переменной - это значение переменной, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Решить неравенство с одной переменной означает найти все его решения или доказать, что решений нет.
Решение системы неравенств с одной переменной - это значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.
Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.
Решения неравенств с одной переменной метод интервалов
Если неравенство имеет вид f(x)=(x−x1)(x−x2)⋅⋯⋅(x−xn)>0(<0) , то в каждом из промежутков, на которые область определения разбивается точками x1x2,…,xn, знак функции сохраняется, а при переходе через каждую из точек x1,x2,…,xn ее знак меняется.
21) Двойное неравенство.
Неравенства, в которых встречаются два знака неравенства - двойные неравенства.
Решить двойное неравенство можно путём замены его системой неравенств. Затем система решается любым удобным способом.
 
Пример:
Решить двойное неравенство 24<3x<72.
 
1. Данное неравенство записываем в виде системы неравенств:
 
{24<3x3x<72 
2. Из первого неравенства получаем x>8, из второго x<24.
 
3. Полученные промежутки отмечаем на прямой.
 

22) Пересечение и объединение двух множеств.
Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.
Пример:Возьмем числа 12 и 18.  Найдем их делители, обозначив все множество этих делителей соответственно буквами А и B:А = {1, 2, 3, 4, 6, 12},B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Мы видим, что у чисел 12 и 18 есть общие делители: 1, 2, 3, 6. Обозначим их буквой C:C = {1, 2, 3, 6).Множество C и является пересечением множеств А и B. Пишут это так:А ∩ B = C.
Если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств является пустоемножество.Пустое множество обозначают знаком Ø, а используют такую запись:
X ∩ Y = Ø.
Объединение двух множеств – это множество, состоящее из всех элементов этих множеств.
Для примера вернемся к числам 12 и 18 и множеству их элементов A и B. Выпишем сначала элементы множества А, затем добавим к ним те элементы множества B, которых нет во множестве А. Мы получим множество элементов, которым обладают А и B в совокупности. Обозначим его буквой D:
D = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).Множество D и является объединением множеств A и B. Пишется это так:
D = A U B.
23),24 Квадрат суммы
Квадрат суммы и квадрат разности. Правила
         Докажем, что при любых значениях a и b верно равенство                                      (a+b) 2=a 2+b 2+2ab                          или     (a+b) 2=a 2+2ab+b 2.        Доказательство.          (a+b) 2=(a+b)(a+b)=a 2+ab+ab+b 2=a 2+b 2+2ab.  Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения,  то опять получится тождество.  Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений  плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.  
         Докажем, что при любых значениях a и b верно равенство                                      (a−b) 2=a 2+b 2−2ab                          или     (a−b) 2=a 2−2ab+b 2.          Доказательство.            (a−b) 2=(a−b)(a−b)=a 2−ab−ab+b 2=a 2+b 2−2ab.  Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений  минус удвоенное произведение первого и второго выражений.  
25)
Разность квадратов. Правила
         При любых значениях a и b верно равенство                            (a−b)(a+b)=a 2−b 2 .               (1)            Доказательство.              (a−b)(a+b)   =   a 2+ab−ab−b 2   =   a 2−b 2          Так как равенство (1) верно при любых значениях a и b,  то оно является тождеством. Это тождество называется  формулой разности квадратов. Если в эту формулу вместо a и b  подставить какие-нибудь выражения, например 3x 2 и 2y ,  то опять получится тождество.                  (3x 2−2y)(3x 2+2y)=9x 4−4y 2 .       (2)          Поэтому формула разности квадратов читается так:          произведение разности двух выражений и их суммы равно          разности квадратов этих выражений.  
26,27)
Сумма кубов и разность кубов. Правила
         Выражения вида                          a 2−ab+b 2   и   a 2+ab+b 2  называют соответственно неполным квадратом разности  и неполным квадратом суммы (сравните их с квадратом разности  и квадратом суммы).  
                      a 2−2ab+b 2   и   a 2+2ab+b 2    
         При любых значениях a и b верно равенство                                (a+b)(a 2−ab+b 2)   =   a 3+b 3 .               (1)                Доказательство.                              (a+b)(a 2−ab+b 2)     =                      =     a 3+a 2b−a 2b−ab 2+ab 2+b 3     =                      =     a 3+b 3              Так как равенство (1) верно при любых значениях a и b,  то оно является тождеством. Это тождество называется  формулой суммы кубов . Если в эту формулу вместо a и b  подставить какие-нибудь выражения, например 2x и y 2 ,  то опять получится тождество.                      (2x+y 2)(4x 2−2xy 2+y 4)   =   8x 3+y 6 .        Поэтому формула суммы кубов читается так:          произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности        равно сумме кубов этих выражений.    
         При любых значениях a и b верно равенство                                (a−b)(a 2+ab+b 2)   =   a 3−b 3 .               (2)                Доказательство.                              (a−b)(a 2+ab+b 2)     =                      =     a 3−a 2b+a 2b−ab 2+ab 2−b 3     =                      =     a 3−b 3              Так как равенство (2) верно при любых значениях a и b,  то оно является тождеством. Это тождество называется  формулой разности кубов . Если в эту формулу вместо a и b  подставить какие-нибудь выражения, например 2x и y 2 ,  то опять получится тождество.                      (2x−y 2)(4x 2+2xy 2+y 4)   =   8x 3−y 6 .        Поэтому формула разности кубов читается так:          произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы        равно разности кубов этих выражений.    
28,29 Куб суммы и куб разности. Правила
         При любых значениях a и b верно равенство                              (a+b) 3   =   a 3+3a 2b+3ab 2+b 3 .               (1)              Доказательство.                    (a+b) 3     =     (a+b)(a 2+2ab+b 2)   =                  =   a 3+2a 2b+ab 2   +   a 2b+2ab 2+b 3   =                    =   a 3+3a 2b+3ab 2+b 3            Так как равенство (1) верно при любых значениях a и b,  то оно является тождеством. Это тождество называется  формулой куба суммы. Если в эту формулу вместо a и b  подставить какие-нибудь выражения, например 5y 3 и  2z , то опять получится тождество.                 (5y 3+2z) 3   =   125y 9+150y 6z +60y 3z 2+8z 3 .       (2)          Поэтому формула куба суммы читается так:        куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения      плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго,      плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго,      плюс куб второго выражения.  
          При любых значениях a и b верно равенство                              (a−b) 3   =   a 3−3a 2b+3ab 2−b 3 .               (3)              Доказательство.                    (a−b) 3     =     (a−b)(a 2−2ab+b 2)   =                  =   a 3−2a 2b+ab 2   −   a 2b+2ab 2−b 3   =                    =   a 3−3a 2b+3ab 2−b 3            Так как равенство (3) верно при любых значениях a и b,  то оно является тождеством. Эо тождество называется  формулой куба разности. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, например 5y 3 и  2z ,  то опять получится тождество.                 (5y 3−2z) 3   =   125y 9−150y 6z +60y 3z 2−8z 3 .       (4)            Поэтому формула куба разности читается так:          куб разности двух выражений равен кубу первого выражения        минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго,        плюс утроенное произведение первого выражения и квадрата второго,        минус куб второго выражения.  
30) Биномиальные коэффициенты.
В комбинаторике биномиальный коэффициентозначает, число всех возможных вариантов выборки kэлементов из множества элементов n.

Пример:
Из множества n {1,2,3,4}, выбираем все возможные комбинации из двух элементов, k=2
{1,2} {1,3} {1,4} {2,3} {2,4} {3,4}
Получается шесть возможных вариантов.
Подставив значения в формулу, проверим полученный результат:

31,32,33)34,35
Квадратные уравнения. Правила
37)Для уравнений вида , то есть при чётном , где вместо формулы (1) для нахождения корней можно использовать эквивалентное выражение

Действительно, подставим в вышеприведённую универсальную формулу (1) корней уравнения указанное соотношение:



Для приведённого квадратного уравнения эта формула принимает вид:
.
Также при чётном  удобнее вычислять значение не целого дискриминанта, а его четверти:

или, если уравнение приведённое:
.
Все необходимые свойства при этом сохраняются:

(вместо знака «больше» в выражение может быть подставлены и другие знаки: «меньше» или «равно»). Подобным преобразованиям можно подвергнуть формулу для нахождения единственного корня при :
.
Обратите внимание, что для приведённого уравнения можно упростить расчёт следующим образом:
.
Отсюда следует важное и полезное правило: корнем приведённого уравнения с чётным вторым коэффициентом и равным нулю дискриминантом является половина второго коэффициента.
38)

39) 40
Теорема Виета. Правила
Сумма корней приведенного квадратного трехчлена  равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену .

В случае неприведенного квадратного уравнения  формулы Виета имеют вид:

Значимость теоремы Виета заключается в том, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные многочлены от двух переменных    и    . Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.
Пример
Задание. Используя теорему Виета, найти корни уравнения 
Решение. Согласно теореме Виета, имеем, что


Подбираем значения  и , которые удовлетворяют этим равенствам. Легко видеть, что им удовлетворяют значения
  и  
Ответ. Корни уравнения , 
Обратная теорема Виета
Теорема
Если числа  и  удовлетворяют соотношениям , то они удовлетворяют квадратному уравнению , то есть являются его корнями.
Пример
Задание. Зная, что числа  и  - корни некоторого квадратного уравнения, составить само это уравнение.
Решение. Пусть искомое квадратное уравнение имеет вид:

Тогда, согласно теореме Виета, его коэффициенты связаны с корнями следующими соотношениями:

Тогда


То есть искомое уравнение

Ответ. 
Общая формулировка теоремы Виета
Теорема
Если  - корни многочлена  (каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты  выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:






Иначе говоря, произведение  равно сумме всех возможных произведений из  корней.
          
                  Корнями квадратного уравнения называют такие значения переменной,  при которых квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство.            Решить квадратное уравнение   —   значит найти все его корни или  установить, что корней нет.    
          Последовательность решения квадратного уравнения                                              ax 2+bx+c   =   0 :      •   находим дискриминант     D   =   b 2 – 4ac ;      •   если   D < 0 ,   то квадратное уравнение не имеет корней ;    •   если   D = 0 ,   то квадратное уравнение имеет один корень   x   =   
–b2a
 ;    •   если   D > 0 ,   то квадратное уравнение имеет два корня                            x 1   =   
–b+√ D
2a
 ,           x 2   =   
–b−√ D
2a
 .    
                                          Основные понятия          Коэффициенты   a ,   b   и   с   называют:                    а   —   первый или старший коэффициент ;                    b   —   второй коэффициент или коэффициент при   х ;                    с   —   свободный член.            Приведённым называют квадратное уравнение у которого старший  коэффициент равен   1 :                          x 2+5x−7   =   0 ;             x 2− 
        Если старший коэффициент отличен от   1 , то уравнение  называется неприведённым :                          3x 2+5x−7   =   0 ;             8x 2−3x+2   =   0 .          Полное квадратное уравнение   —   уравнение в котором присутствуют  все три слагаемых :                          5x 2+6x−1   =   0 ;             11x 2−7x+3   =   0 .            Неполное квадратное уравнение   —   уравнение в котором хотя бы один из коэффициентов   b   или   c   равны нулю :                          5x 2+6x   =   0 ;         5x 2+6   =   0 ;         x 2   =   0 .      
41)Биквадратное уравнение — это уравнение вида
  
где a, b и c — числа, причём a≠0.
Биквадратные уравнения решают введением новой переменной x²=t. Так как x²≥0, можем сразу ввести условие на t: t≥0.
По следствию из теоремы Безу, многочлен степени n имеет не больше n разных корней. Следовательно, биквадратное уравнение может иметь 4, 3, 2 корня, 1 корень либо не иметь корней.
Рассмотрим решение биквадратных уравнений на конкретных примерах.
  
Пусть
  
тогда 
  
Получили квадратное уравнение. Дискриминант
  
  
  
  
Оба корня удовлетворяют условию t≥0.
Возвращаемся к исходной переменной:
  
Решаем неполные квадратные уравнения, и получаем корни
  
Ответ:
  
42)
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители можно выполнить, используя следующую теорему.
Теорема
(О разложении квадратного трёхчлена на множители)
1) Если квадратное уравнение
  
имеет два корня x1 и x2, квадратный трёхчлен ax²+bx+c можно разложить на множители по формуле
  
2) Если уравнение имеет один корень x1, квадратный трёхчлен можно представить в виде
  
3) Если уравнение не имеет корней, то квадратный трёхчлен ax²+bx+c в действительных числах не раскладывается на множители.
Примеры разложения квадратного трёхчлена на линейные множители.
  
Чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители, надо решить квадратное уравнение
  
  
  
  
  
  
Подставляем a=2, x1=3, x2= -1/2 в формулу
  
Получаем
  
  
Удобно внести 2 во вторые скобки. Для этого 2 умножим на каждое слагаемое в этих скобках:
  
  
Таким образом,
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
Квадратный трехчлен раскладываем на множители по формуле
  
  
Чтобы внести множитель в скобки, представим его как квадрат (чтобы воспользоваться свойством степеней a²b²=(ab)²): 9=3².
  
  
Корни квадратного уравнения можно найти через дискриминант (или дискриминант, делённый на 4), по теореме, обратной теореме Виета или используя формулы особых случаев.
Разложить квадратный трёхчлен на множители можно, не прибегая к помощи теоремы о разложении квадратного трёхчлена на множители. Для этого слагаемое с bx представляют в виде суммы или разности двух слагаемых и используют способ группировки.
Например,
  
  
  
Выбирайте для себя тот способ, который нравится лично вам, в котором вы чувствуете себя наиболее уверенно и не допускаете ошибок.
43)?????????????
5.5. Квадратными неравенствами называются неравенства Неравенство вида

Неравенство Коши.


45,46) Одночлен.Стандартный вид одночлена.
Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней.
Примеры одночленов —
        
Одночленами  считают также числа, переменные и их степени.
Другими словами, одночлен может состоять только из  числа, только из переменной или только из степени.
Например,
      
Произведение входящих в одночлен множителей в алгебре принято записывать в определенном порядке.
Определение. Стандартный вид одночлена — запись, в которой на первом месте стоит число, а буквы расставлены в алфавитном порядке.
Например, одночлены
        
записаны в стандартном виде, а записи
       к стандартному виду одночлена не относятся.
48-50) Многочлен Многочлен стандартного вида — это многочлен, в котором каждый член — одночлен стандартного вида и многочлен не содержит подобных членов.
Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Чтобы привести многочлен к стандартному виду, нужно:
1) Каждый член многочлена представить в стандартном виде; 2) Привести подобные члены многочлена.
Примеры. Представить многочлен в стандартном виде:
  
  
  
  
Решение:
  
Удобно подчеркнуть подобные члены многочлена вместе со знаком.
  
Чтобы привести подобные члены многочлена, складываем их коэффициенты и результат умножаем на буквенную часть.
  
  
  
  
  
Сначала входящие в данный многочлен одночлены приводим к стандартному виду:
  
Теперь приводим подобные члены многочлена:
  
  
  
В алгебре принято многочлены всегда приводить к стандартному виду.
47 Степень одночлена.
Степенью многочлена  называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
Обычно, прежде чем искать степень многочлена, его приводят к многочлену стандартного вида, хотя, вообще говоря, это не обязательно.
Итак, чтобы найти степень многочлена:
1) Можно привести многочлен к стандартному виду. 2) Найти степень всех входящих в него одночленов — членов многочлена. 3) Выбрать наибольшую из этих степеней.
Примеры. Найти степень многочлена:
  
  
  
  
  
Решение:
  
Данный многочлен записан в стандартном виде. Степень первого члена многочлена — одночлена 7x²y — равна 2+1=3. Степень второго члена многочлена — -11xy — равна 1+1=2. Степень третьего члена многочлена — 4y — равна 1. -9 — одночлен нулевой степени.
Наибольшая из степеней одночленов — 3. Таким образом, это — многочлен третьей степени.
  
Здесь 10x²y³ — одночлен 5-й степени, 32x⁴ — 4-й, -12x²y² — также одночлен 4-й степени. Наибольшая из степеней одночленов — 5. Следовательно, это — многочлен 5-й степени.
3) Сначала приведем данный многочлен к стандартному виду:
  
  
  
14a³ — одночлен 3-й степени, -5a³b — 4-й, 16ab³ — также одночлен 4-й степени. Наибольшая из степеней входящих в многочлен одночленов — 4. Таким образом, данный многочлен имеет четвертую степень.
Хотя в алгебре принято упрощать многочлен, приводя его к стандартному виду, степень можно искать и для многочлена, не записанного в стандартном виде.
  
1,7x — одночлен 1-й степени, 2y — одночлен 1-й степени, -12 — одночлен 0-й степени. Значит,  это — многочлен первой степени.
  
Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена. 20 — одночлен 0-й степени. Следовательно, 20  является многочленом нулевой степени.
51) Деление многочлена на многочлен.


52)

53) схема Горнера – способ деления многочлена
Pn(x)=∑i=0naixn−i=a0xn+a1xn−1+a2xn−2+…+an−1x+an
на бином x−a. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число a, взятое из бинома x−a:

После деления многочлена n-ой степени на бином x−a, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна n−1. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать на примерах.Пример №1
Разделить 5x4+5x3+x2−11 на x−1, используя схему Горнера.
Решение
Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена 5x4+5x3+x2−11, расположенные по убыванию степеней переменной x. Заметьте, что данный многочлен не содержит x в первой степени, т.е. коэффициент перед x в первой степени равен 0. Так как мы делим на x−1, то во второй строке запишем единицу:

Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:

Следующую ячейку заполним по такому принципу: 1⋅5+5=10:

Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 1⋅10+1=11:

Для пятой ячейки получим: 1⋅11+0=11:

И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: 1⋅11+(−11)=0:

Задача решена, осталось только записать ответ:

Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления 5x4+5x3+x2−11 на x−1. Естественно, что так как степень исходного многочлена 5x4+5x3+x2−11 равнялась четырём, то степень полученного многочлена 5x3+10x2+11x+11 на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена 5x4+5x3+x2−11 на x−1. В нашем случае остаток равен нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена 5x4+5x3+x2−11 при x=1 равно нулю.
Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена 5x4+5x3+x2−11 при x=1 равно нулю, то единица является корнем многочлена 5x4+5x3+x2−11.
54. Число корней многочлена.
55. Кратность корня многочлена.
Корнем  -й степени из комплексного числа  называется комплексное число  , такое что  , где  - натуральное число. Обычно используется обозначение  .Корень  -й степени из комплексного числа имеет  различных значений, которые находятся по формуле Муавра-Лапласа:
 (3.2)
Или через показательную форму
 (3.3)
Где  .Корнем многочлена  называется такое  , при котором  
Число α называют корнем кратности k многочлена p(x), если справедливо равенство
p(x) = (x – α)kq (x) ,(1)
где
56/ Разложение многочлена на множители Простейший пример разложения многочлена на множители способом группировки приведен ниже: 10ас + 14bc – 25a - 35b = (10ас – 25а) + (14bc - 35b) В первую скобку нужно взять слагаемые с множителем а, который и будет общим, а во вторую – со множителем b. Обратите внимание на знаки + и – в готовом выражении. Мы ставим перед одночленом тот знак, который был в начальном выражении. То есть нужно работать не с выражением 25а, а с выражением -25. Знак минус как бы «приклеить» к стоящему за ним выражению и всегда учитывать его при вычислениях. На следующем шаге нужно вынести множитель, который является общим, за скобку. Именно для этого и делается группировка. Вынести за скобку – значит выписать перед скобкой (опуская знак умножения) все те множители, которые с точностью повторяются во всех слагаемых, которые находятся в скобке. Если в скобке не 2, а 3 слагаемых и больше, общий множитель должен содержаться в каждом из них, иначе его нельзя вынести за скобку. В нашем случае - только по 2 слагаемых в скобках. Общий множитель сразу виден. В первой скобке – это а, во второй – b. Здесь нужно обратить внимание на цифровые коэффициенты. В первой скобке оба коэффициента (10 и 25) кратны 5. Это значит, что можно вынести за скобку не только а, но и 5а. Перед скобкой выписать 5а, а затем каждое из слагаемых в скобках поделить на общий множитель, который был вынесен, и также записать частное в скобках, не забывая о знаках + и - Со второй скобкой поступить также, вынести 7b, так как и 14 и 35 кратно 7. Итак: 10ас + 14bc – 25a - 35b = (10ас – 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c – 5). Получилось 2 слагаемых: 5а(2c - 5) и 7b(2c – 5). Каждое из них содержит общий множитель (все выражение в скобках здесь совпадает, значит, является общим множителем): 2с – 5. Его тоже нужно вынести за скобку, то есть во второй скобке остаются слагаемые 5а и 7b: 5а(2c - 5) + 7b(2c – 5) = (2c – 5)*(5а + 7b). Итак, полное выражение: 10ас + 14bc – 25a - 35b = (10ас – 25а) + (14bc - 35b) = 5а(2c - 5) + 7b(2c – 5) = (2c – 5)*(5а + 7b). Таким образом, многочлен 10ас + 14bc – 25a - 35b раскладываается на 2 множителя: (2c – 5) и (5а + 7b). Знак умножения между ними при записи можн57 57. Приведенные и неприведенные многочлены.
Определение 1: p(x) над P называется неприводимым, если он имеет своими делителями делители вида c и cp(x) и других делителей не имеет.
Определение 2:  над P называется приводимым, если кроме делителей c и cf(x) этот многочлен имеет другие делители  ,  .
R:  , 

не приводим. C:  кроме 
приводимый.
Один и тот же многочлен над одним полем может оказаться неприводим, а над другим приводим.
 ст.  называется приводимым над P, если существуют многочлены  над P, что имеет место равенство



 ст.  называется неприводимым над P, если в любом его представлении вида
(1) 
один из многочленов будет иметь 0 степень, другой n.

Замечание: Многочлены 0-ой степени играют роль 1. То есть не являются ни приводимыми, ни неприводимыми. Всякий другой многочлен будет либо приводим, либо неприводим.
58 58. Рациональные корни неприведенного и приведенного многочленов.
59. Корни неприведенного и приведенного многочленов.
Теорема Безу Пусть f (x) = αnx n + αn−1x n−1 + . . . + α1x + α0 – многочлен над полем F. Этот многочлен можно рассматривать как функцию из F в F, сопоставляющую каждому элементу β ∈ F элемент из F, который называется значением многочлена f (x) на элементе β: f (β) = α0β n + α1β n−1 + . . . + αn−1β + αn. Определение Элемент β ∈ F называется корнем многочлена f (x), если f (β) = 0. Следующее утверждение проверяется непосредственно. Оно называется теорема Безу. Предложение Пусть f (x) = a0x n + a1x n−1 + . . . + an – многочлен над полем F и α ∈ F. Тогда f (x) = q(x)(x − α) + f (α), где q(x) = b0x n−1 + b1x n−2 + . . . + bn−1, причем b0 = a0, bk = ak + αbk−1 при всех k = 1, . . . , n − 1, f (α) = an + αbn−1. (1) В силу теоремы Безу число β будет корнем многочлена f (x) тогда и только тогда, когда f (x) = q(x)(x − β). А. Я.
Тема 1-10: Многочлены 2 Схема Горнера На формулах (1) основан упрощенный алгоритм деления многочлена f на двучлен x − α и нахождения значения f (α), известный под названием схема Горнера. Для осуществления алгоритма составляется таблица из двух строк.
В первой строке записываются коэффициенты многочлена f по убыванию степеней (без пропусков, если некоторая степень отсутствует, то на соответствующем месте записывается нуль). Вторая строка заполняется с учетом формул (1): первое число переносится из первой строки, каждое последующее получается путем умножения предыдущего (только что полученного) числа из второй строки на число α и сложения результата с числом из первой строки, стоящим над заполняемой клеткой второй строки. Последнее число во второй строке (под свободным членом f ) и будет значением f (α), а числа с первого по предпоследнее – коэффициентами частного в порядке убывания степеней. Для удобства проведения вычислений число α выписывают слева от первого элемента второй строки.
Тема 1-10: Многочлены 2 Пример использования схемы Горнера 162560179070
Тема 1-10: Многочлены 2 Кратность корня многочлена Определение Натуральное число k называется кратностью корня α многочлена f (x), если f (x) = g(x)(x − α) k и g(α) 6= 0. Легко понять, что кратность корня α многочлена f (x) равна кратности неприводимого множителя x − α этого многочлена. Поэтому любой многочлен степени n ≥ 1 имеет не более n корней в поле F, а сумма кратностей его корней также не превосходит n. Одним из мотивов расширения множества действительных чисел до множества комплексных чисел является то, что существуют многочлены с действительными коэффициентами, которые не имеют действительных корней. Таков, например, многочлен x 2 + 1. Между тем, этот многочлен имеет два комплексных корня: i и −i. Возникает вопрос: всякий ли многочлен с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень? При этом, разумеется, следует исключить из рассмотрения многочлены степени 0 (т.е. константы). Ответ на поставленный вопрос дает следующее утверждение, которое называют теоремой Гаусса или основной теоремой высшей алгебры.
Тема 1-10: Многочлены 2 Основная теорема алгебры и ее следствия Теорема Любой многочлен степени больше 0 над полем C имеет корень в C. Мы не приводим доказательства этого утверждения. Оно будет доказано в курсе теории функций комплексного переменного. Пусть f ∈ C[x], deg(f ) ≥ 1. По теореме Гаусса f (x) имеет некоторый корень α. Следовательно, f = (x − α)g для некоторого многочлена g ∈ C[x]. Если многочлен f (x) неприводим над полем C, то deg(f ) = 1. Таким образом, справедливо Следствие 1 Неприводимыми над полем C являются только многочлены первой степени. Рассматривая разложение любого многочлена степени больше 1 из C[x] на неприводимые множители, над полем C, получаем Следствие 2 Любой многочлен с комплексными коэффициентами степени больше 1 разлагается на линейные множители с комплексными коэффициентами.
60. Симметричные уравнения третьей и четвертой степеней.
Уравнения называются симметрическими уравнениями 3-й степени, если они имеют вид
ах3 + bx2 + bх + a = 0.
Пример. х3 + 2x2 + 2х + 1 = 0.
Решение.
У исходного уравнения обязательно есть корень х = -1, поэтому разделим х3 + 2x2 + 2х + 1 на (х + 1) по схеме Горнера:

х3 + 2x2 + 2х + 1 = (х + 1)(x2 + х + 1) = 0.
Квадратное уравнение x2 + х + 1 = 0 не имеет корней.
Ответ: -1.
Уравнения называются симметрическими уравнениями 4-й степени, если они имеют вид ах4 + bx3 + сх2 + bх + a = 0.
Алгоритм решения подобных уравнений таков:
а) Разделить обе части исходного уравнения на х2. Это действие не приведет к потере корня, ведь х = 0 решением заданного уравнения не является.
б) С помощью группировки привести уравнение к виду:
а(x2 + 1/x2) + b(x + 1/x) + c = 0.
в) Ввести новую неизвестную: t = (x + 1/x).
Проделаем преобразования:t2 = x2 +2 + 1/x2. Если теперь выразить x2 + 1/x2, то t2 – 2 = x2 + 1/x2.
г) Решить в новых переменных полученное квадратное уравнение:
аt2 + bt + c – 2a = 0.
д) Сделать обратную подстановку.
Пример.
6х4 – 5х3 – 38x2 – 5х + 6 = 0.
Решение.
6х2 – 5х – 38 – 5/х + 6/х2 = 0.
6(х2 + 1/х2) – 5(х + 1/х) – 38 = 0.
Вводим t: подстановка (x + 1/x) = t. Замена: (x2 + 1/x2) = t2 – 2, имеем:
6t2 – 5t – 50 = 0.
t = -5/2 или t = 10/3.
Вернемся к переменной х. После обратной замены решим два полученных уравнения:
1) x + 1/x = -5/2;
х2 + 5/2 х +1 = 0;
х = -2 или х = -1/2.
2) x + 1/x = 10/3;
х2 – 10/3 х + 1 = 0;
х = 3 или х = 1/3.
Ответ: -2; -1/2; 1/3; 3.
61. Возвратные уравнения четвертой и шестой степеней.
Сегодня будем решать возвратные уравнения. Возвратными называются такие уравнения, в которых коэффициенты, одинаково удаленные от начала и конца, равны между собой. Например:
  

Коэффициенты симметричны
Возвратные уравнения нечетных степеней всегда имеют один корень, равный  (в силу симметричности коэффициентов), и делением на  могут быть приведены к возвратному уравнению четной степени, которое мы уже будем решать специальными методами.
43059353296285Попробуем решить приведенное выше уравнение. Разделим его на  любым способом: можно в столбик, а можно по схеме Горнера.
Выполним деление в столбик:
для возвратных уравнений более высоких степеней верны следующие утверждения:
1) Возвратное уравнение чётной степени сводится к уравнению вдвое меньшей степени подстановкой
2) Возвратное уравнение нечётной степени обязательно имеет корень x = −1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на двучлен x + 1, приводится к возвратному уравнению чётной степени.
62. Кососимметричное уравнение четвертой степени.

Х1=1

63. Однородные уравнения второй и третьей степеней.------------------------
Однородные уравнения – это уравнения вида
k​0​​x​n​​+k​1​​x​n−1​​y+k​2​​x​n−2​​y​2​​+...+k​n−1​​xy​n−1​​+k​n​​y​n​​=0
…Алгоритм решения однородного уравнения второй степени a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0.
Условие: в уравнении должно быть выражение вида a sin2 x.
Если его нет, то уравнение решается методом разложения на множители.
1) Разделить обе части уравнения на cos2 x2) Ввести новую переменную z, заменяющую tg x (z = tg x)
3) Решить получившееся уравнение
64/
65/

Приложенные файлы

  • docx 11249680
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий