Методичка(Абб)


Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u Лабораторная работа №1 PAGEREF _Toc313886879 \h 2Построение компьютерной модели PAGEREF _Toc313886880 \h 2Лабораторная работа №2 PAGEREF _Toc313886881 \h 7Моделирование физических процессов в среде табличного процессора. PAGEREF _Toc313886882 \h 7Лабораторная работа №3 PAGEREF _Toc313886883 \h 19Построение графических моделей физических процессов в среде Lazarus PAGEREF _Toc313886884 \h 19Лабораторная работа №4 PAGEREF _Toc313886885 \h 25Имитация движения в среде Lazarus. PAGEREF _Toc313886886 \h 25Лабораторная работа №5 PAGEREF _Toc313886887 \h 31Компьютерное моделирование в экологии PAGEREF _Toc313886888 \h 31Лабораторная работа №6 PAGEREF _Toc313886889 \h 38Компьютерное моделирование случайных процессов. PAGEREF _Toc313886890 \h 38Литература PAGEREF _Toc313886891 \h 45

Лабораторная работа №1Построение компьютерной моделиКраткие теоретические сведения
Понятие компьютерной модели и моделирования. Моделью называют идеальный или реальный объект, заменяющий собой другой объект в процессе его познания. Модель является представлением объекта в некоторой форме, отличной от формы его реального существования.
Моделирование – это изучение объектов путем построения и исследования моделей.
Классификация моделей. В моделировании есть два заметно разных пути – натурное и абстрактное моделирование.
Натурная модель – копия реального объекта, выполненная в другом масштабе, из другого материала, с отсутствием ряда деталей.
Абстрактная модель- представление, словесное или формализованное описание объекта.
Абстрактные модели делятся на вербальные и знаковые. Знаковые в свою очередь делят на математические, графические, информационные.
Вербальная модель представляет собой последовательности предложений какого-либо естественного языка, описывающую объект (например, протокол осмотра места происшествия, инструкция пользования прибором и т.п.)
Математическая модель – это совокупность исходных данных, результатов и связей между ними, выраженных в математической форме.
Информационная модель описывает объект в виде информационных процессов, происходящих в нем.
Компьютерное математическое моделирование связано с информатикой технологически. В настоящее использование компьютера и соответствующих процессов обработки информации является неотъемлемой стороной математического моделирования.
Этапы построения компьютерной модели. Технологическая цепочка процесса решения задачи методом компьютерного моделирования включает следующие этапы:
Определение цели моделирования
Формализация задачи. Выделение существенных свойств объекта в соответствие с поставленной целью. Постановка задачи на формальном языке.
Построение математической модели (исходные данные, результаты, связь между ними).
Выбор метода исследования. Построение компьютерной модели (написание программы или табличного алгоритма)
Исследование, интерпретация результатов и проверка на адекватность. Если модель не адекватно отражает реальность, возврат ко второму этапу, коррекция модели.
Использование модели для достижения поставленной цели, а возможно, и для других целей.

Пример компьютерной модели «Биоритмы»
Постановка задачи. Существует гипотеза, что жизнь человека подчиняется трем циклическим процессам, называемым биоритмами. Эти циклы описывают три стороны самочувствия человека: физическую, эмоциональную и интеллектуальную. Биоритмы характеризуют подъемы и спады нашего самочувствия. За точку отсчета всех трех биоритмов берется день рождения человека.
Физический биоритм характеризует жизненные силы человека, т.е. его физическое самочувствие. Периодичность его составляет 23 дня.
Эмоциональный биоритм характеризует внутренний настрой человека, его способность эмоционального восприятия окружающего. Продолжительность периода эмоционального цикла равна 28 дням.
Интеллектуальный биоритм характеризует мыслительные способности, интеллектуальное состояние человека. Цикличность его – 33 дня.
Требуется осуществить моделирование биоритмов для конкретного человека от указанной текущей даты (дня отсчета) на месяц вперед.
I этап. Цели моделирования.
На основе анализа индивидуальных биоритмов прогнозировать неблагоприятные дни, выбирать благоприятные дни для разного рода деятельности.
На основе анализа биоритмов двух человек проверить их физическую или эмоциональную или интеллектуальную совместимость.
II этап. Формализация задачи.
Объектом моделирования в этой задаче является любой человек или группа людей, для которых известна дата рождения.
Исходные данные: дата рождения, день отсчета, длительность прогноза.
Расчетные данные: количество прожитых дней.
Результаты: физический, эмоциональный, интеллектуальный биоритмы.
Задача: исследовать зависимость трех вышеуказанных характеристик от времени, принимая за минимум их значение, равное минус единице и за максимум – единице.
III этап. Построение математической модели.
Предположим, что состояния человека меняются по синусоидальному закону с периодом 23, 28 и 33 дня соответственно. Пусть x – количество прожитых человеком дней, тогда
физический циклФИЗ(x)=sin(2x/23);(1)
эмоциональный циклЭМО(x)=sin(2x/28);(2)
интеллектуальный циклИНТ(x)=sin(2x/33)(3)
IV этап. Выбор метода исследования.
Для моделирования выберем среду электронной таблицы. В этой среде математическая модель имеет вид формул, введенных в таблицу (Рис.1).
11811099695
Рис.1 Фрагмент таблицы в режиме отображения формул
299085-283210
299085260350Рис.2 Фрагмент таблицы в режиме отображения значений
Рис.3.По результатам расчетов (рис.2.) построены графики
V этап. Проверка модели на адекватность
Проверим модель на адекватность, введя свою дату рождения и сопоставляя результаты моделирования и собственные ощущения на основе уже прожитого периода.
VI этап. Использование модели.
Определим свои благоприятные и неблагоприятные дни для разного рода деятельности на ближайший месяц.
Задание к лабораторной работе
Осуществить моделирование собственных биоритмов
Построить модель своей совместимости с другим человеком в одном из аспектов (физическом, эмоциональном или интеллектуальном)
Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:
постановку задачи и описание модели;
результаты тестирования программы;
результаты, полученные в ходе выполнения заданий (в различных формах);
качественный анализ результатов.
Лабораторная работа №2Моделирование физических процессов в среде табличного процессора.
Краткие теоретические сведения
Второй закон Ньютона. В рассматриваемых ниже математических моделях физических процессов фундаментальную роль играет второй закон Ньютона. Он гласит, что ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на него силе (если их несколько — то равнодействующей этих сил) и обратно пропорционально его массе:
(1)
Свободное падение тела. Математическая модель свободного падения тела — уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело — силы тяжести и силы сопротивления среды. Движение является одномерным; проецируя силу тяжести , силу сопротивления , скорость и перемещение на ось, направленную вертикально вниз, получаем :
(2)
Сила сопротивления имеет две составляющие: .
Коэффициентыи определяется свойствами среды и формой тела. Например, для шара — так называемая формула Стокса, где — динамическая вязкость среды, — радиус шара. Обычно принимают , где S - площадь сечения тела, поперечного по отношению к потоку, - плотность среды, c — безразмерный коэффициент лобового сопротивления (см. рис.  1). В конкретных задачах можно одной из составляющих силы сопротивления пренебречь (если она значительно меньше другой).
Диск

Полусфера
Шар
«Каплевидное» тело c=1,11
c=0,55
c=0,4
c=0,045
Рис. 1. Значения коэффициента лобового сопротивления для некоторых тел, поперечное сечение которых имеет указанную на рисунке форму
Взлет ракеты. Исследуем ситуацию, когда масса тела не является величиной постоянной. Запишем второй закон Ньютона в более общей математической форме.
Построим простейшую модель вертикального взлета ракеты, приняв следующие гипотезы:
масса ракеты уменьшается во время взлета по линейному закону:
,(3)
где m0 начальная масса ракеты, заправленной топливом; mкон остаточная масса после полного выгорания топлива; расход топлива;

Сила тяги двигателя постоянна на всем участке взлета.
плотность воздуха , входящая в коэффициент k2, убывает по мере подъема ракеты по закону = 0 . 10h, где h высота, 5,6 . 105 м1 .
Таким образом, модель будет описываться системой двух дифференциальных уравнений для функций v(t) и h(t):
(4)
Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Дифференциальные уравнения модели получаются из второго закона Ньютона проецированием скорости и перемещения на горизонтальную и вертикальную оси координат:
(5)
Здесь m масса тела; v x=vcos ,vy=vsin - величины проекций начальной скорости v на горизонтальную и вертикальную оси; угол начального наклона вектора скорости к горизонту; k1 и k2 – коэффициенты, входящие в в формулу силы сопротивления.
Движение небесных тел. Рассмотрим модель движения космического тела (планеты, кометы, спутника) под действием силы всемирного тяготения в гравитационном поле, создаваемом телом с многократно большей массой.
Примем следующие предположения: «большое» тело находится в начале системы координат, другие тела на движение «малого» тела влияния не оказывают. Дифференциальные уравнения модели имеют вид
,(6)
где M- масса «большого» тела; x, y - координаты «малого» тела, движение которого изучается; vx, vy – величины проекций скорости «малого» тела на горизонтальную и вертикальную оси, G = 6,67. 1011 м3/кг с2 гравитационная постоянная .
Обезразмеривание. В задаче о движении небесных тел особенно неудобно работать с размерными величинами, измеряемыми миллиардами километров, секунд и т.д. В качестве величин для обезразмеривания удобно принять характерное расстояние от Земли до Солнца ρ = 1,496∙1011 м, (так называемая астрономическая единица), период круговой орбиты , соответствующий этому расстоянию, скорость движения по ней , т.е. принять

После обезразмеривания получаем
(7)
В безразмерных переменных уравнения вообще не содержат параметров. Единственное, что отличает разные режимы движения друг от друга – это начальные условия.
Движение заряженных частиц. Рассмотрим модель движения заряженной частицы в кулоновском поле другой заряженной частицы, положение которой фиксировано.
В системе координат, начало которой привязано к «большому» телу, дифференциальные уравнения модели имеют вид
(8)
Они получаются из второго закона Ньютона и закона Кулона. = 0,85 . 1012 ф/м электрическая постоянная. Знак “” в двух последних уравнениях соответствует разноименно заряженным частицам; в случае одноименных зарядов он меняется на “+”. Здесь q и Q соответственно заряды движущейся и закрепленной частиц; m масса движущейся частицы; x и y - координаты движущейся частицы; v x , vy- величины проекций скорости v движущейся частицы.на горизонтальную и вертикальную оси;
Метод Эйлера решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачу Коши: Найти решение дифференциального уравнения для при начальном условии . Для численного решения уравнения проведем дискретизацию следующим простейшим способом: заменим непрерывные промежутки изменения t и y дискретными множествами значений, непрерывные функции –дискретными, производную – конечноразностным отношением. Получим : откуда получаем разностную схему Эйлера:
(9)
Здесь отрезок разбит на n равных частей длиной , так что .
Вопрос о выборе конкретного значения весьма непрост и определяется следующими соображениями. При компьютерном моделировании можно получить решение задачи о движении тела на некотором дискретном множестве значений t0, t0+ t, …, t0+(n-1)t. Чем больше величина t, тем меньшая точность в передаче значений непрерывных функций их дискретными представлениями. Однако, уменьшение шага t не всегда ведет к улучшению результатов моделирования. Одна из причин заключается в том, что чем меньше шаг, тем больше арифметических действий, ведущих к увеличению глобальной погрешности округления. Более эффективными при моделировании процессов, описываемых дифференциальными уравнениями, являются методы Эйлера-Коши или Рунге-Кутта более высокого порядка аппроксимации, чем метод Эйлера.
Пример выполнения задания
Задача. Парашютист спрыгивает с высоты h0 и раскрывает парашют на высоте h1. Определить, будет ли скорость приземления безопасной.
Цель моделирования. Определить конечную скорость движения тела и сравнить ее с безопасной (10 м/с).
Формализация. Будем считать, что форма человека близка к сферической, форма парашюта – полусферической. Тело характеризуется массой m, радиусом (r- человека и r1 – парашюта) и площадью поперечного сечения ( S и S1 соответственно). Среда характеризуется плотностью ρ и вязкостью μ. В ходе движения меняются время t, скорость v и высота h. Задача состоит в том, чтобы определить vкон в момент времени, когда h станет близкой к нулю.
Построение математической модели. Воспользуемся моделью (2):

Выбор метода исследования. Применим для решения системы дифференциальных уравнений метод Эйлера:
; ;
Построение компьютерной модели и ее проверка Выберем для моделирования среду табличного процессора Excel. Для проверки модели на адекватность рассмотрим движение без сопротивления среды (k1=0 и k2=0)
Свободное падение тела
Параметры движения Параметры тела Параметры среды Коэффициенты
Время t0 0 Масса m 80 Вязкость 0,0182 k1 0,000
Скорость v0 0 Радиус r 0,3 Плотность 1,2 k2 0,000
Высота h0 1000 Радиус r1 1,5        
Высота h1 800 Площадь S 0,053       Шаг ∆t 0,5 Площадь S1 7,069        
    Коэффициент с 0,40        
    Коэффициент с1 0,55        
Рис. 2 Исходные данные задачи о свободном падении (сопротивление среды не учитывается)
Изменение скорости и высоты со временем
t v h
0 0 1000
0,5 4,9 1000,0
1 9,8 997,6
1,5 14,7 992,7
2 19,6 985,3
2,5 24,5 975,5
3 29,4 963,3
3,5 34,3 948,6
4 39,2 931,4
4,5 44,1 911,8
5 49,0 889,8
5,5 53,9 865,3
6 58,8 838,3
t v h
6,5 63,7 808,9
7 68,6 777,1
7,5 73,5 742,8
8 78,4 706,0
8,5 83,3 666,8
9 88,2 625,2
9,5 93,1 581,1
10 98,0 534,5
10,5 102,9 485,5
11 107,8 434,1
11,5 112,7 380,2
12 117,6 323,8
12,5 122,5 265,0
46990124460
В отсутствие сопротивления среды скорость растет со временем по линейному закону, что соответствует аналитическому решению уравнений
Добавим силу сопротивления (и )
Свободное падение тела с учетом сопротивления
Параметры движения Параметры тела Параметры среды Коэффициенты
(без парашюта)
Время t0 0 Масса m 80 Вязкость 0,0182 k1 0,045
Скорость v0 0 Радиус r 0,3 Плотность 1,2 k2 0,013
Высота h0 1000 Радиус r1 1,5      Коэффициенты
(с парашютом) 
Высота h1 800 Площадь S 0,053     k1 0,515
Шаг ∆t 0,5 Площадь S1 7,069     k2  2,333
    Коэффициент с 0,40        
    Коэффициент с1 0,55        
Изменение скорости и высоты со временем
t v h
0 0 1000
0,5 4,9 1000,0
1 9,8 997,6
1,5 14,7 992,7
2 19,6 985,3
2,5 24,4 975,5
3 29,3 963,3
3,5 34,1 948,7
4 38,9 931,6
4,5 43,7 912,2
5 48,4 890,3
5,5 53,1 866,1
6 57,8 839,6
6,5 62,4 810,7
7 10,3 779,5
7,5 13,7 774,3
8 15,8 767,5
t v h
8,5 17,0 759,6
9 17,6 751,1
9,5 17,9 742,3
10 18,1 733,3
10,5 18,2 724,3
11 18,2 715,2
11,5 18,2 706,1
12 18,2 697,0
12,5 18,2 687,9
13 18,2 678,8
13,5 18,2 669,7
14 18,2 660,6
14,5 18,2 651,5
15 18,2 642,3
15,5 18,2 633,2
16 18,2 624,1
16,5 18,2 615,0
-7747016510Вывод. Если при падении с высоты 1000 м раскрыть парашют на высоте 800 метров, то скорость падения 18,2 м/с значительно превысит безопасную
Использование модели
Данная модель позволяет решать не только описательные, но и оптимизационные задачи, например:
Найти оптимальную с точки зрения безопасности высоту раскрытия парашюта;
Найти оптимальные размеры парашюта;
Найти максимальную высоту, с которой можно спрыгнуть без парашюта и не пострадать и т.д.
Задание к лабораторной работе
Определить цель моделирования
Провести формализацию задачи: сделать предположения, определить состав параметров, характеризующих объект, сформулировать задачу математически.
Построить математическую модель (определить состав набора входных и выходных параметров, их конкретные числовые значения, записать уравнения).
Выбрать метод решения уравнений (в данном случае –один из численных методов). Записать решение уравнений в виде рекуррентных вычислительных схем.
Определить значения параметров модели, начальные значения меняющихся в ходе движения величин, условия окончания вычислительных циклов.
Построить компьютерную модель физического процесса в среде табличного процессора.
Произвести проверку модели на адекватность.
Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.
Качественно проанализировать результаты моделирования.
Варианты заданий
Вариант 1.
Парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость (не большую 10 м/с)?
Вариант 2.
Промоделировать падения тела с заданными характеристиками (масса, форма) в различных вязких средах. Изучить влияние вязкости среды на характер движения. Скорость движения должна быть столь невелика, чтобы квадратичной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать.
Вариант 3.
Промоделировать падения тела с заданными характеристиками (масса, форма) в различных плотных средах. Изучить влияние плотности среды на характер движения. Скорость движения должна быть достаточно велика, чтобы линейной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать (на большей части пути).
Вариант 4.
Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 5.
Глубинная бомба, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 6.
Промоделировать полет ракеты.
Провести исследование соотношения входных параметров m0 и Fтяги, при которых ракета достигнет первой космической скорости 7,8 км/с?(и в соответствующий момент исчерпает горючее). Остальные входные параметры фиксировать произвольно. Порядки входных параметров: m0 ˜ 107 кг, mкон ˜ 105 кг, ˜ 105 кг/c, Fтяги ˜ 108 н.
Вариант 7.
Промоделировать полет тела, брошенного под углом к горизонту. Исследовать зависимость горизонтальной длины полета тела от одного из коэффициентов сопротивления среды, фиксировав все остальные параметры.
Вариант 8.
Найти траекторию полета кометы, залетевшей в Солнечную систему, у которой на расстоянии от Солнца 100 астрономических единиц (1 а.е. = 1,50.1011 м расстояние от Земли до Солнца) скорость v=10 км/с и направлена под углом = 30о к оси «комета-Солнце». Является ли эта траектория замкнутой? Если да, то сколько длится для нее период полета? Подобрать то значение угла , при котором траектория из незамкнутой превращается в замкнутую (скорость v фиксирована).
Вариант 9.
Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость второго закона Кеплера, определяющего движение небесных тел по замкнутой траектории.
Вариант 10.
Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость третьего закона Кеплера, определяющего движение небесных тел по замкнутой траектории.
Вариант 11.
Найти траекторию движения тела массой 1 г., несущего заряд величиной q=1.102 к, в поле заряда величиной Q = 5 .102 к. Начальное расстояние между зарядами 1 м, начальная скорость равна 1.101 м/с и направлена под углом 30о к оси, соединяющей заряды. Провести моделирование для случая зарядов одного знака.
Вариант 12.
Имеется неподвижная заряженная частица с зарядом Q и экран (см. рис.7.2). В точке А экрана находится мишень. При каких соотношениях величины начальной скорости v0 движущейся частицы (заряд q) и угла прицеливания она попадет в мишень? Расстояния обозначены на рисунке. Заряды частиц разных знаков.

Лабораторная работа №3 Построение графических моделей физических процессов в среде LazarusКраткие теоретические сведения
Построение графиков функций в среде Lazarus. Для построения графических изображений имеется свойство формы Canvas (канва, холст) и его подсвойство Pen (перо). Перо в свою очередь обдадает свойствами Color (цвет) и Width (толщина). Размеры формы определяются свойствами Height (высота) и Width (ширина). Для перемещения из текущего положения в точку (X,Y) служит метод MoveTo(X,Y), для рисования отрезков- LineTo(X,Y), для вывода текста на холст-, TextOut(X,Y,’текст’)
Алгоритм построения графика функции Y=Y(x), где x изменяется на отрезке [a,b] с шагом h
Расчет расположения графика на форме
Отступы от краев формы по горизонтали Hor и вертикали Ver
Определение положения начала координат X0=Hor; Y0=Form2.Height-Ver
Вычисление масштабов Mx=Form2.width/Xmax; My=Form2.Height/Ymax
Построение координатных осей
Горизонтальная MoveTo(X0,Y0); LineTo(Form2.Width-Hor,Y0)
Вертикальная MoveTo(X0,Y0); LineTo(X0,Ver)
Преобразование координат из «обычных» в «экранные» X1:=trunc(X*Mx)+X0; Y0:=trunc(Y*My)+Y0
Начальные установки X=a; цвет и толщина пера; помещение пера в начало координат
Цикл построения графика:
Пока не достигнут правый конец отрезка
Вычисление Y,
Преобразование координат в «экранные»
Построение отрезка из текущей точки в точку (X,Y)
Увеличение x на шаг
Создание приложения с двумя формами. Вторую форму можно создать, например, выбрав в главном меню File, New, Form. Чтобы осуществить взаимодействие двух форм, необходимо включить модуль второй формы в предложение uses раздела реализации модуля первой формы и модуль первой формы в интерфейсный раздел второй формы:
Unit Unit1;
Interface

Var Form1:TForm1;
Implementation
// ссылка на модуль 2-ой формы
uses Unit2;
Unit Unit2;
Interface
// ссылка на модуль 1-ой формы
uses Unit1;

Var Form2:TForm2;
Implementation
При наступлении определенного события, например, щелчка на кнопке, вторая форма становится видимой и активной, а первая -скрытой:
Procedure Form1Button1Click();
Begin
Form2.Show;
Form1.Hide
End;
Возврат на первую форму происходит при щелчке на кнопке, расположенной на второй форме:
Procedure Form2Button1Click();
Begin
Form1.Show;
Form2.Hide
End;
Пример выполнения задания
Задача. Построить график зависимости скорости от времени для задачи из лабораторной работы №1. Объяснить график. Определить по нему конечное значение скорости.
Мы хотим наблюдать на экране график так, чтобы он занимал всю форму. Поскольку нужно будет еще вводить исходные данные, создадим приложение с двумя формами. На первой форме будут располагаться поля ввода исходных данных, на второй – график. График расположим непосредственно на форме, появляться он будет при наступлении события «Прорисовка формы». Роль аргумента играет время , роль функции – скорость. Поскольку обе величины принимают только неотрицательные значения, расположим начало координат в левом нижнем углу формы. На форме должны быть изображены и подписаны координатные оси.
Текст процедуры- обработчика события OnPaint компонента Form2:
procedure TForm2.FormPaint(Sender: TObject);
var Hor,Ver:integer; // горизонтальный и вертикальный
отступ от краев формы
x0,y0://начало координат
x,y:// текущие координаты точки
Mx,My:real;//горизонтальный и вертикальный масштабы
Begin
// расчет расположения графика на форме
Hor:=10;Ver:=15; x0:=Hor; y0:=Form2.Height-Ver;
Mx:=Form2.Width/16;// ширину формы делим на tmax My:=Form2.Height/63;// высоту формы- на Vmax
with Canvas do begin
Pen.Color:=clBlack; Pen.Width:=2
//горизонтальная ось
MoveTo(X0,Y0);LineTo(Form2.Width-Hor,Y0); TextOut(Form2.Width-Hor,Y0-2,'t');
//вертикальная ось
MoveTo(X0,Y0);LineTo(X0,Ver); TextOut(X0-5,Ver,'v');
//начальные значения
v:=0;t:=0;h:=h0; c:=0.40;S:=pi*r*r;
//коэффициенты силы сопротивления
k1:=6*pi*mu*r; k2:=0.5*S*c*ro;
Pen.Color:=clRed; // цвет пера - красный
MoveTo(x0,y0); // перо- в начало координат
//цикл построения графика до раскрытия парашюта
repeat
h:=h-v*dt;
v:=v+(m*g-k1+v-k2*v*v)/m*dt; // изменение t,h и v
t:=t+dt ;
X:=trunc(t*Mx)+X0;y:=trunc(-v*My)+Y0;//перевод координат
в экранные
LineTo(x,y); //построение очередной точки графика
until h<h1 ;
c:=0.55; S1:=pi*r1*r1; // при раскрытии парашюта меняются
k1:=6*pi*mu*r1; // форма тела, его радиус, площадь
k2:=0.5*S1*c*ro; // и коэффициенты силы сопротивления
//цикл построения графика с момента раскрытия парашюта до приземления
repeat
h:=h-v*dt;v:=v+(m*g-k1+v-k2*v*v)/m*dt;
t:=t+dt ;
X:=trunc(t*Mx)+X0;y:=trunc(-v*My)+Y0;
LineTo(x,y);
until h<0 ;
end;
end;
На рис.4 результат – график изменения скорости парашютиста для исходных данных, введенных на первой форме (рис.3)
3803658890
Рис 3. Ввод исходных данных на первой форме
37719059055
Рис 4. График зависимости скорости от времени на второй форме
Задание к лабораторной работе
Построить графическую модель движения тела согласно варианту лабораторной работы №2.
Определить значения исследуемых параметров модели.
Варианты заданий
Варианты 1-6. Зависимость скорости движущегося тела от времени
Варианты 7-12. Траектория движения тела

Лабораторная работа №4Имитация движения в среде Lazarus.
Краткие теоретические сведения
Имитация движения в среде Lazarus. Движение некоторого объекта (геометрической фигуры ) в приложении на Lazarus, реализуется по следующему алгоритму:
Объект рисуется так, чтобы он был невидим (цветом фона)
Изменяются координаты объекта
Объект рисуется видимым цветом в новом месте
По истечении некоторого времени процесс повторяется
Интерфейс и функциональность приложения. Для реализации 1-3 пунктов алгоритма необходимы свойство Canvas (канва) формы или компонента Image, а также методы канвы, позволяющие установить цвет пера и кисти и прорисовку объекта.
Для выдерживания паузы между изображениями объекта на старом и новом месте служит компонент Timer (страница System палитры компонентов). Основные свойства таймера:
Enabled (true- включен, false- выключен);
Interval (промежуток времени между срабатываниями таймера, измеряется в миллисекундах).
Как правило, при проектировании приложения таймер следует выключить, а включить программно при наступлении какого-либо события, например, щелчка на кнопке «Начать движение».
Для движения объекта по горизонтали вправо через каждый интервал срабатывания таймера координата x увеличивается на некоторый шаг, координата y не меняется. Если движение происходит по вертикали- наоборот, меняется только y. Если надо двигать объект по некоторой сложной траектории, следует x изменять на шаг, а y вычислять как функцию от x.
Итак, для программирования движения необходимо выполнить следующие действия:
Разместить на форме компонент Timer. Установить его свойство Enabled в значение False. Задать интервал срабатывания таймера, например, 500 (пол-секунды). Поместить на форму кнопку «Начать движение».
Задать начальные установки, например, в обработчике события «прорисовка формы». Этими установками могут быть: начальные координаты объекта, шаг изменения координаты, интервал таймера и др.
Написать процедуру risovanie, которая реализует вышеописанный алгоритм движения объекта
Описать реакцию на событие «Щелчок на кнопке». Единственное, что происходит при наступлении этого события- это включение таймера.
Описать реакцию на событие «срабатывание таймера» (Timer1Timer). Обработчик этого события вызывает процедуру risovanie.
Вид формы при проектировании
Вид работающего приложения (окружность движется вправо)

Пример выполнения задания
Задача. Имитировать движение планеты вокруг Солнца. Определить вид орбиты и период обращения планеты.
Запишем обезразмеренные уравнения, описывающие движение «малого» тела вокруг неподвижного «большого». В качестве характерных величин примем расстояние от Земли до Солнца ρ = 1,496∙1011 м, (так называемая, астрономическая единица), период круговой орбиты T, соответствующий этому расстоянию, скорость движения по ней v. Примем .
Соответствующие уравнения имеют вид:

Интерфейс приложения: на первой форме вводятся исходные данные
1841595250
Функциональность приложения:
//процедура, реализующая один цикл движения объекта
procedure risovanie;
begin
with Form2.Canvas do begin
Pen.Color:=clRed;// красный «след»
ellipse(XS,YS,XS+5,YS+5);
//пересчет координат
X:=X+2*pi*Vx*dt;
Y:=Y+2*pi*Vy*dt;
Vx:=Vx-2*pi*X*dt/sqrt((X*X+Y*Y)*(X*X+Y*Y)*(X*X+Y*Y));
Vy:=Vy-2*pi*Y*dt/sqrt((X*X+Y*Y)*(X*X+Y*Y)*(X*X+Y*Y));
t:=t+dt;
XS:=trunc(X*Mx)+X0;
YS:=trunc(-Y*My)+Y0;
Pen.Color:=clBlack;//черная «планета»
ellipse(XS,YS,XS+5,YS+5);
if (abs(X-1)<=0.01) and (abs(Y)<=0.09) and (t>dt) then begin //при возвращении в исходную точку таймер
выключается
Form2.Timer1.Enabled:=false;
Form2.Canvas.Pen.Color:=clBlack;
// выводится значение периода Form3.Canvas.textout(Hor+5,Ver+5,'T='+floattostrf(t,ffgeneral,4,1)); end; end;
end;
//при прорисовке второй формы на ней строится система координат
procedure TForm2.FormPaint(Sender: TObject);
begin
Hor:=10;Ver:=10;
x0:=Form2.Width div 2;
y0:=Form2.Height div 2;
Mx:=Form2.Width div 3;
My:=Form2.Height div 3;
t:=0;
with Canvas do begin
Pen.Color:=clBlack;
Pen.Width:=2;
MoveTo(Hor,Y0);LineTo(Form2.Width-Hor,Y0);
MoveTo(X0,Ver);LineTo(X0,Form2.Height-Ver);
TextOut(Form2.Width-Hor,Y0+2,'X');
TextOut(X0-7,Ver,'Y');
end;
end;
//при щелчке на кнопке «Начать движение» включается таймер
procedure TForm2.Button2Click(Sender: TObject);
begin
Timer1.Enabled:=true;
end;
//при каждом срабатывании таймера вызывается процедура risovanie
procedure TForm2.Timer1Timer(Sender: TObject);
begin
risovanie;
end;
Результат : на второй форме – траектория движения «планеты» и значение периода (в земных годах)
Задание к лабораторной работе
В среде Lazarus имитировать движение тела согласно варианту лабораторной работы №2.
Исследовать зависимость характера движения от параметров модели.
Создать текстовый отчет по лабораторным работам №2-4, включающий:
постановку задачи и описание модели;
результаты тестирования программы;
результаты, полученные в ходе выполнения заданий (в различных формах);
качественный анализ результатов.
Лабораторная работа №5Компьютерное моделирование в экологииКраткие теоретические сведения
В данной работе рассматриваются лишь модели классической экологии (взаимодействие популяций).
Популяция совокупность особей одного вида, существующих в одно и то же время и занимающих определенную территорию.
Взаимодействие особей внутри популяции определяется внутривидовой конкуренцией, взаимодействие между популяциями межвидовой конкуренцией.
Внутривидовая конкуренция в популяции с дискретным размножением. Для популяций с дискретным размножением (некоторые виды растений, насекомых и т.д.) поколения четко разнесены во времени и особи разных поколений не сосуществуют. Численность такой популяции можно характеризовать числом Nt и считать t величиной дискретной номером популяции.
Одна из моделей межвидовой конкуренции в этом случае выражается уравнением
(1)
Здесь R скорость воспроизводства популяции в отсутствии внутривидовой конкуренции (математически это соответствует случаю a = 0). Тогда уравнение определяет просто изменение численности популяции по закону геометрической прогрессии: , где N0 начальная численность популяции.
Знаменатель в уравнении (1) отражает наличие конкуренции, делающей скорость роста тем меньше, чем больше численность популяции; a и b параметры модели.
Исходные параметры модели:
R скорость воспроизводства;
N0 начальная численность популяции;
a параметр, характеризующий интенсивность внутривидовой конкуренции.
Характерная черта эволюции при b=1 выход численности популяции на стационарное значение при любых значениях других параметров. Однако, в природе так бывает не всегда, и более общая модель при b1 отражает другие, более сложные, но реально существующие, виды эволюции. Данная модель позволяет получить четыре таких вида:
монотонное установление стационарной численности популяции;
затухающие колебания и установление стационарной численности популяции;
устойчивые предельные циклы изменения численности популяции;
случайные изменения численности популяции без наличия явных закономерностей (динамический хаос).
Внутривидовая конкуренция в популяции с непрерывным размножением. Математическая модель в данном случае строится на основе дифференциальных уравнений. Наиболее известна так называемая логистическая модель:
(2)
Исходные параметры модели:
r скорость роста численности популяции в отсутствие конкуренции;
K предельное значение численности популяции, при котором скорость роста становится равной нулю;
N0 начальная численность популяции.
Межвидовая конкуренция. В этом случае исследуется конкуренция популяций, потребляющих общий ресурс. Пусть N1 и N2 численности конкурирующих популяций. Модель (называемая также моделью Лотки-Вольтерры) выражается уравнениями
(3)
Содержательный смысл параметров: r1 и r2 – скорости роста численности первой и второй популяций соответственно в отсутствие конкуренции; β1 и β2 – коэффициенты, учитывающие внутривидовую конкуренцию; 1 и 2 отражают интенсивность межвидовой конкуренции.
Главный вопрос, который интересует исследователя межвидовой конкуренции при каких условиях увеличивается или уменьшается численность каждого вида? Данная модель предсказывает следующие режимы эволюции взаимодействующих популяций: устойчивое сосуществование или полное вытеснение одной из них.
Система «хищник-жертва». В этой системе ситуация значительно отличается от предыдущей. В частности, если в случае конкурирующих популяций исчезновение одной означает выигрыш для другой (дополнительные ресурсы), то исчезновение «жертвы» влечет за собой и исчезновение «хищника», для которого в простейшей модели «жертва» является единственным кормом.
Обозначим через С численность популяции хищника и через N популяции жертвы. Одна из известных моделей выражается следующими уравнениями:
dNdt=Nα-γCdCdt=C(δN-β)(4)
В первое уравнение заложен следующий смысл. В отсутствии хищников (т.е. при С=0) численность жертв растет экспоненциально со скоростью α, т.к. модель не учитывает внутривидовой конкуренции. Число жертв уменьшается тем больше, чем чаще происходят встречи представителей видов; γ коэффициент эффективности поиска.
Второе уравнение говорит о следующем. В отсутствии жертв численность хищников экспоненциально убывает со скоростью β; положительное слагаемое в правой части уравнения компенсирует эту убыль; δ коэффициент эффективности перехода пищи в потомство хищников.
Пример выполнения задания
Задача. Реализовать моделирование межвидовой конкуренции при фиксированных значениях начальной численности популяций Проанализировать зависимость судьбы популяций от соотношения значений параметров r1, r2, β1, β2, α1, α2.Выяснить, при каких условиях обе популяции выживают.
В качестве математической модели межвидовой конкуренции примем формулы (3). Исследуем модель путем нахождения особых точек на фазовой плоскости (N1ON2) ([6]). Как известно, судьбы популяций зависят от соотношения параметров r1, r2, β1, β2, α1, α2, а именно, обе популяции выживают, если на фазовой плоскости существует особая точка- устойчивый узел- c координатами . При этом выполняются следующие соотношения: r2α1>r1β1, r1α2>r2β2. Выберем значения параметров r1, r2, α1, α2 произвольно (имея в виду, что r1, r2 – это числа, означающие скорость роста популяции в отсутствие конкуренции и должны иметь значения, большие единицы, а α1, α2 характеризуют конкуренцию, т.е. вероятность гибели особи при встрече с другой особью и должны быть меньше единицы), а параметры β1, β2 получим из соотношений β1>r1r2α1, β2>r2r1α2. Начальные значения численности популяций возьмем, например, больше, чем координаты особой точки. Для построения таблицы значений N1 и N2 воспользуемся методом Эйлера решения дифференциальных уравнений (3). Из таблицы и диаграммы видно, что численности популяций уменьшаются, стремятся к особой точке и обе популяции выживают (Рис.1).
32569151034415
-133985133350Рис.1 При заданных значения входных параметров обе популяции выживают
Задание к лабораторной работе
Выписать математическую модель, определить состав набора входных параметров и их конкретные числовые значения.
Спроектировать таблицу для представления результатов моделирования, предусмотрев в ней области ввода исходных данных, параметров модели и вывода результатов.
Выбрать метод интегрирования дифференциальных уравнений модели, разработать самостоятельно табличный алгоритм интегрирования с заданной точностью.
Произвести отладку и тестирование алгоритма в среде табличного процессора.
Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.
Качественно проанализировать результаты моделирования.
Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:
постановку задачи и описание модели;
результаты тестирования программы;
результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах);
качественный анализ результатов.
Варианты заданий.
Вариант 1.
Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (1), при фиксированных значениях параметров b, R, N0 в зависимости от значения параметра а. Подобрать значения а, дающие качественные различия в характере эволюции.
Вариант 2.
Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (1), при фиксированных значениях параметров a, R, N0 в зависимости от значения параметра b в диапазоне. Подобрать значения b , дающие качественные различия в характере эволюции.
Вариант 3.
Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (1), при фиксированных значениях параметров a, b, N0 в зависимости от значения параметра R . Подобрать значения R , дающие качественные различия в характере эволюции.
Вариант 4.
Для модели (1) найти сочетания значений параметров b и R, дающих режимы монотонного и колебательного установления стационарной численности популяции изучаемой системы. Прочие параметры модели фиксированы.
Вариант 5.
Для модели (1) сочетания значений параметров b и R, дающих режим колебательного установления стационарной численности популяции изучаемой системы и режим устойчивых предельных циклов. Прочие параметры модели фиксированы.
Вариант 6.
Реализовать моделирование межвидовой конкуренции по формулам (3) при фиксированных значениях параметров r1, r2, β1, β2, α1, α2. Проанализировать зависимость судьбы популяций от соотношения значений их начальной численности
Вариант 7.
Реализовать моделирование межвидовой конкуренции по формулам (3) при значениях параметров r1, r2, β1, β2, . Проанализировать зависимость судьбы популяций от соотношения значений коэффициентов конкуренции 1 и 2.
Вариант 8.
Подобрать значения обеспечивающие какие-либо два режима эволюции конкурирующих популяций (в соответствии с моделью (3)). Остальные параметры модели выбрать произвольно.
Вариант 9.
Провести моделирование динамики численности популяций в системе хищник-жертва (модель (4)) при фиксированных значениях параметров α, β, γ, δ. Проанализировать зависимость исхода эволюции от соотношения значений параметров N0 и C0.
Вариант 10.
Провести моделирование динамики численности популяций в системе хищник-жертва (модель (4)) при фиксированных значениях параметров α, β, γ, N0, C0. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра δ.
Вариант 11.
Провести моделирование динамики численности популяций в системе хищник-жертва (модель (4)) при фиксированных значениях параметров α, β, δ, N0, C0. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра γ .
Вариант 12.
Провести моделирование динамики численности популяций в системе хищник-жертва (модель (4)) при фиксированных значениях параметров β, γ, δ, N0, C0 . Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра α.
Лабораторная работа №6Компьютерное моделирование случайных процессов.Краткие теоретические сведения.
Стохастические математические модели. Математическая модель – это связь между исходными данными и результатами, выраженная в математическими формулами, уравнениями и т.п. Символически математическая модель может быть записана так:
Y=F(x1,x2,…,xn)
Если все xj, входящие в правую часть, т.е. все исходные данные модели являются однозначно определенными, то модель называется детерминированной, если среди них есть случайные величины, то – стохастической. При этом меняются цели построения моделей. Вместо вопросов типа «Чему равно значение выходного параметра» задают вопросы типа «С какой вероятностью выходной параметр принимает то или иное значение?», «Каково математическое ожидание данного параметра?» и т.п. Проводя численный эксперимент, выполняют очень большое число испытаний и статистическую обработку их результатов. Напрмер, можно не вычислять численность популяций, а изо дня в день, из года в год вести наблюдение за этой численностью и проведя их статистическую обработку, получить некоторый аналитический вид зависимости.
Генерирование случайных чисел на компьютере. При компьютерном математическом моделировани случайных процессов нельзя обойтись без наборов случайных чисел, удовлетворяющих заданному закону распределения. Стандартная функция random() языка Pascal генерирует дробные случайные числа, равномерно распределенные на отрезке (0,1) .Это значит, что если разбить отрезок (0,1) на несколько равных промежутков, то вероятность попадания случайного числа в один из промежутков примерно одинаковая. Функция random(N) дает также равномерно распределенные целые случайные числа от 0 до N-1 включительно. Аналогичные результаты можно получить в табличном процессоре Excel с помощью функций СЛЧИС() и СЛУЧМЕЖДУ(A,B) соответственно. Однако равномерное распределение не всегда хорошо отражает реальность. Если игральная кость может упасть одной из своих граней с одинаковой вероятностью, то интервалы времени между приходами покупателей в магазин подчиняются другому закону распределения ( какой-то интервал встречается с максимальной частотой, чем дальше от этого значения, тем частоты ближе к 0). Например, семейство функций Пуассона хорошо отражают характер такого распределения:
18415308610 Такие функции имеют максимум при t=n/ и нормированны. В Excel такое распределение можно получить с помощью надстройки «Анализ данных», выбрав «Генерацию случайных чисел», «распределение Пуассона» и введя необходимые Рис.1 График функции Pn(t) значения параметров.
Некоторые случайные процессы.
Процессы массового обслуживания. К числу случайных процессов, изучаемых методом имитационного моделирования относятся, в частности, процессы, связанные с формированием и обслуживанием очередей. Простейшая задача данного класса такова. Имеется система массового обслуживания с одним узлом обслуживания (магазин с одним продавцом, ремонтная зона в автохозяйстве, травмпункт с одним врачом, телефонная станция с одним входом, сервер с одним входным каналом и т.д.). К услугам системы клиенты прибегают случайным образом (с заданной функцией распределения отрезков времени между приходами). Если система свободна, то начинает обслуживать клиента сразу, иначе ставит его в очередь. Длительность обслуживания каждого клиента — случайная величина с известным законом распределения.
В ходе решения данной задачи требуется дать ответ на вопросы типа: какова функция распределения вероятностей времени ожидания клиента в очереди? Времени простоя системы в ожидании клиентов? Если сами эти функции определять сложно, то каковы их наиболее важные характеристики (т.е. математическое ожидание, дисперсия и т.д.)?
Задача Бюффона. Французский натуралист, биолог, математик, естествоиспытатель и писатель XVIII века Жорж-Луи Леклерк де Бюффон аналитически нашел, что если на поле, разграфленное параллельными прямыми, расстояние между которыми L, бросается наугад игла длиной l, то вероятность того, что игла пересечет хотя бы одну прямую, определяется формулой . Эта задача дала способ имитационному определению числа . Действительно, если L=2l, то .
«Бросок иглы» моделируется генерированием трех случайных чисел – координат одного из концов иглы X,Y и угла наклона иглы к положительному направлению оси абсцисс α. Координаты второго конца иглы вычисляются из прямоугольного треугольника с гипотенузой l и острым углом α (или π-α). Для простоты можно считать, что прямые проведены через точки 0, 1, 2, … Тогда условием пересечения иглой какой-либо прямой будет неравенство целых частей ординат концов иглы.
Процесс случайного одномерного блуждания (модель пьяницы). В начальный момент времени точка находится на нулевой отметке числовой прямой. Блуждание задается по правилу: если случайное число из отрезка [0,1] меньше 0,5, то делается шаг вправо на расстояние h, в противном случае влево. Распределение случайных чисел принимается равновероятным. Обычно ставятся следующий вопрос: какова вероятность удаления точки на расстояние k от начального положения через n шагов. Обобщение данной модели на плоскость и на большое количество точек позволяет моделировать процессы, происходящие в жидкостях и газах.
Пример выполнения задания
Задача. На междугородней телефонной станции две телефонистки обслуживают общую очередь заказов. Очередной заказ обслуживает та телефонистка, которая первой освободилась. Если обе в момент поступления заказа заняты, то звонок аннулируется. Смоделировать процесс, считая входной поток пуассоновским, а длительность обслуживания постоянной.
Решение. В задаче требуется смоделировать систему массового обслуживания с двумя каналами, с отказами. Время будем измерять в минутах. Длительность обслуживания заявки каждой из телефонисток примем равным 0,2 и поместим это значение в ячейку I2 (Рис.2). В качестве случайной величины возьмем интервал времени между поступлением заявок.
В диапазоне B2:B101 получены целые случайные числа, распределенные по пуассоновскому закону (Данные-Анализ данных- Генерация случайных чисел- Число переменных=1, Число случайных чисел=100, Распределение= Пуассона, Лямбда=10, Выходной интервал=$B$2- OK). В диапазоне С2-С101 –те же числа, поделенные на 100 с тем, чтобы сделать интервалы времени дробными. В ячейке D3 – формула =D2+C3 для вычисления момента поступления очередного звонка. В ячейку E3 введем условие, при котором звонок обслуживается первой телефонисткой: =ЕСЛИ(МАКС($E$2:E2)<D3; D3+$I$2;0) , в ячейку F3 – условие обслуживания звонка второй телефонисткой: =ЕСЛИ(И(МАКС($F$2:F3)<D4;E4=0);D4+$I$2;0). В ячейках G3 и H3 проверяется, обслужена заявка или нет: =ЕСЛИ(И(E3=0;F3=0);0;1) и =ЕСЛИ(И(E4=0;F4=0);1;0) соответственно. Введенные формулы копируются на весь диапазон.

Рис.2 Начало таблицы, моделирующей работу системы с отказами
Пронаблюдав за системой в течение примерно 10 минут (ячейка D101 на рис.3), делаем вывод: при выбранных значениях входных параметров система обслуживает 77% поступающих заявок.

Рис.3 Конец таблицы. В ячейках G102 и H102 получены выходные параметры модели: количество обслуженных заявок и количество отказов.
Задание к лабораторной работе
Произвести моделирование указанного случайного процесса в среде Excel
Оценить значения указанных в варианте выходных параметров модели
Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:
постановку задачи и описание модели;
результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах);
качественный анализ результатов.
Вариант 1.
Провести моделирование очереди в магазине с одним продавцом при равновероятных законах распределения описанных выше случайных величин: приход покупателей и длительность обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров). Получить устойчивые характеристики: средние значения ожидания в очереди покупателем и простой продавца в ожидании прихода покупателей, оценить их достоверность. Оценить характер функции распределения величин g и h.
Вариант 2.
Провести то же моделирование при пуассоновских законах распределения вероятностей входных событий: приход покупателей и длительность обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров).
Вариант 3.
Провести то же моделирование при нормальном законе распределении вероятностей входных событий: приход покупателей и длительность обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров).
Вариант 4.
В рассмотренной выше системе может возникнуть критическая ситуация, когда очередь неограниченно растет со временем. В самом деле, если покупатели заходят в магазин очень часто (или продавец работает слишком медленно), то очередь начинает нарастать, и в рассматриваемой системе с конечным временем обслуживания наступит кризис.
Найти величины amax и bvax), отражающие указанную критическую ситуацию, при равновероятном распределении входных событий.
Вариант 5.
На травмопункте работает один врач. Длительность лечения больного и промежутки времени между поступлениями больных — случайные величины, распределенные по пуассоновскому закону. По тяжести травм больные делятся на три категории, поступление больного любой категории — случайное событие с равновероятным распределением. Врач вначале занимается больными с максимально тяжелыми травмами, затем, если таковых нет, — больными с травмами средней тяжести и лишь затем — больными с легкими травмами. Смоделировать процесс и оценить средние времена ожидания в очереди больных каждой из категорий.
Вариант 6.
Реализовать имитационную модель статистического моделирования для решения задачи Бюффона. В ходе моделирования выполнить расчет приближенного значения числа π.
Вариант 7.
Разработать модель случайного одномерного блуждания (модель пьяницы). Ответить на вопрос: какова вероятность при таком блуждании удалиться от начальной точки на n шагов?
Вариант 8.
В условиях задачи из предыдущего варианта получить ответ на вопрос: какова вероятность «пьянице» вернуться через n шагов в начальную точку?
Вариант 9.
В игре участвуют игрок и маклер. У игрока имеется начальный капитал K монет. Он желает в ходе игры удвоить свой капитал. Маклер бросает монету. Если выпал герб, то маклер выплачивает игроку сумму, равную ставке, назначаемой игроком. При выпадении цифры та же сумма выплачивается маклеру игроком. Игра прекращается, если у игрока не осталось монет или он смог удвоить свой капитал. Смоделировать описанную игру. Ответить на вопрос: какова оптимальная ставка при фиксированном значении K?
Вариант 10.
Смоделировать игру, описанную в варианте 9. Ответить на вопрос: Вероятность какого события больше: разорения игрока или его выигрыша?
Вариант 11.
Двое играют в следующую игру: каждый игрок по очереди бросает 2 игральные кости, суммируя выпавшие очки. Выигрывает тот, кто первым наберет более 100 очков. Смоделировать описанную игру, ответить на вопрос: есть ли преимущество у того, кто ходит первым?
Вариант 12.
Смоделируйте известную игру «Спортлото» 6 из 49. В качестве исходных данных введите сведения о 100 заполненных билетах. Проведите розыгрыш одного тиража. Подсчитайте количество билетов, в которых угадано 3, 4, 5, 6 номеров и соответствующие вероятности.

ЛитератураБейлы Н. Статистические методы в биологии: Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1962.
Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. —М.: Наука, 1966.
Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. — М.: Знание,1991.
ГулдХ., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: Пер. с англ. Т. 1,2.—М.: Мир, 1990.
Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент: Введение в информатику с позиций математического моделирования. — М.: Наука, 1988
HYPERLINK "http://umk-model.narod.ru/knigi.html" \t "_blank" Могилев А.В., Пак Н.И., Хеннер Е.К. Информатика: Учебное пособие для студентов педагогических вузов. М.: Академия, 2001.
Могилев А. В. Практикум по информатике: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений /А.В.Могилев, Н.И.Пак, Е.К.Хеннер; Под ред. Е.К.Хеннера. — 2-е изд.,стер. — М.: Издательский центр «Академия», 2005. — 608 с.ISBN 5-7695-2247-Х

Приложенные файлы

  • docx 11252202
    Размер файла: 493 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий