Справочный материал к Лабораторная работа 3 Решение нелинейных уравнений для студентов


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Лабораторная работа 3

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ


Вопросы по теме

1.

Что значит реш
ить уравнение?

2.

Каковы этапы решения уравнения с одной неизвестной численными методами?

3.

Какие существуют методы решения уравнения с одной неизвестной?

4.

В чем заключается этап отделения корней при использовании численных методов
решения уравнений?

5.

Суть метода

хорд. Графическая интерпретация метода.

6.

Суть метода касательных. Графическая интерпретация метода.

7.

Суть метода дихотомии. Графическая интерпретация метода.

8.

Суть метода простой итерации. Графическая интерпретация метода.

9.

Комбинированный мет
од
. Графическая интерпретация метода.

10.

К
аковы достаточные условия сходимос
ти итерационного процесса при решении
уравнения
x
=
f
(
x
)
методом простой итерации?

11.

Какое условие является критерием достижения заданной точности

при решении
уравнения
x
=
f
(
x
)
методом хорд, касательных, итераций?

12.

Записать формулу нахождения значений последовательности при решении уравнения
f
(
x
)
=0

методом хорд, касательных.

13.

Как строится итерационная последовательность точек при решении уравнения методом
простой итерации?

Задание:

Этап 1. Отделение корней

Способ 1.

Графический

1.

Построить график функции
y
=
f
(
x
)

2.

Отделить корни уравнения

f
(
x
)=0

(будем считать корни уравнения отделенными, если
установлена принадлежность каждого из них отрезку, длина которого не превосходит 1, и
эти отрезки не пересекаются).

При построении графика функции

(

)
=









=
0

можно использовать тот факт, что
все корни уравнения

f
(
x
)=0
принадлежат отрезку [
-
B
,
B
], где


=
1
+
|


|
1




௠��
|

0
|

Условия, предъявляемые к функции на интервале изоляции корня (рис. 1):









у


х


b


a



Рис. 1 ([
a
,
b
]


интервал изоляции,


корень).


Возможные случаи поведения

на [
a
,
b
]:




�0

0


0


�0


0

0


�0

�0


Способ 2. Аналитический

1.

Находим производную
f'(x).

Критические точки (точки экстремума и точки перегиба):
f'(x)=0,

и
f''(x)=0
.

2.

Знаки
f(x)
: а) в критических точках,

б) в граничных точках (определяется
D
(
f
)
,

где
D
(
f
)

-

область определения
функции ).

4.

Интервал, где функция меняет знак: [
a
,
b
] , где
f(
a
) f(
b
)
0
.


Этап 2. Поиск корней

1.

Решить нелинейное уравнение, каждый корень уравнения найти с абсолютной
погрешностью, не превосходящей

=0,01.

2.

Методы: половинного деления, хорд, касательных, метод простой итерации.

3.

Реализовать алгоритм решения в среде
MATLAB
. Вывести последовательные
приближения и количество вычисленных значений
f
(
x
).

Результаты представить в виде таблицы

Метод

Приближенное значение
корня с точностью

=0,01

Количество итераций








Справочный материал

Решение нелинейных уравнений вида

Метод дихотомии

Если
, то

является корнем уравнения

.

Если
, то выбираем ту из половин
, на концах которой
функция

имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок

снова делим
пополам и проводим то же рассмотрение и т.д. В результате получаем на некотором этапе либо
точный корень уравнения или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга
отрезков

таких, что

.

Метод простой итерации решения одного нелинейного уравнения с одним неизвестным

Приводим уравнение

к виду
,

где


достаточное условие
сходимости.

Метод хорд
:





.

Метод Ньютона

(касательных)


.

К
омбиниро
ванный метод

(хорд и касательных)

Метод

хорд

и
метод
касательных дают приближения к корню с разных сторон
(см. рис.1.7) .

Совместное использование методов позволяет на каждой итерации находить приближенные
значения с недостатком и с избытком,

что ускоряет процесс сходимости.









Рис. 1.7

,


;

х

0
=b

а=х

0

х

1




х

1

х

y





(1.3)




Замечание.

На каждой итерации метод применяется к новому
.

Оценка погрешности приближения

.

Если неравенство выполняется


вычисления прекращаются и





.


Функция к методу
«
половинного деления
»

function

[ x ] = poldel( a,b,eps )

%
Метод

дихотомии

a1 = a;

b1 = b;

x = (a+b)/2;

while

(b1
-
�a1=eps)


f1 = functnelur(a1);


f3 = functnelur(x);


if

(f1*f3 0)


b1 =
x;


else


a1 = x;


end


x = (a1+b1)/2;

end
;

end






Приложенные файлы

  • pdf 7949067
    Размер файла: 789 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий