Контрольная работа ТПР

Контрольная работа
Принятие решений для конфликтных систем (элементы теории игр)

Цель работы:
изучить основные понятия теории игр;
рассмотреть классификацию игр;
познакомиться с формальным представлением игр;
научиться строить платежную матрицу и находить нижнюю и верхнюю цены игры;
научиться решать игры в смешанных стратегиях;
рассмотреть геометрическую интерпретацию игры 2 х 2;
научиться приводить матричные игры к задаче линейного программирования;
познакомиться с позиционными играми.

Теоретический материал

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т.е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют разные (иногда противоположные) цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации, возникающие при игре в шашки, шахматы, домино и т.д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры – выигрыш одного из партнеров. В экономике (в том числе и в сфере сервиса) конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Конфликт может возникнуть также из различия целей, которые отражают не только несовпадающие интересы различных сторон, но и многосторонние интересы одного и того же лица. Например, разработчик экономической политики обычно преследует разнообразные цели, согласуя противоречивые требования, предъявляемые к ситуации (рост объема производства, повышение доходов, снижение экологической нагрузки и т.п.) Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием интересов партнеров и стремлением каждого из них принимать оптимальные решения, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом каждому приходится считаться не только со своими целями, но и целями партнера, и учитывать неизвестные заранее решения, которые эти партнеры будут принимать. Поведение сторон можно рассматривать как некоторые состязания, и поэтому такие задачи получили название игр, а теория их решения – теории игр.
Теория игр впервые была систематически изложена Дж.фон Нейманом и О. Монгерштерном в 1944 г., хотя отдельные результаты были опубликованы еще в 20-х годах. Нейман и Монгерштерн написали оригинальную книгу, которая содержала главным образом экономические примеры, поскольку экономическому конфликту легче всего придать численную форму. Во время второй мировой войны и сразу после нее теорией игр серьезно заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для исследования стратегических решений. Затем главное внимание снова стало уделяться экономическим проблемам. Сейчас ведется большая работа, направленная на расширение сферы применения теории игр.
2.1. Основные понятия теории игр
Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, – игроками, а исход конфликта – выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая:
варианты действий игроков;
объем информации каждого игрока о поведении партнеров;
выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.
Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулем, выигрыш – единицей, а ничью – Ѕ.
Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. В них участвуют два игрока А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны А и В.
Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого (каждый игрок выигрывает только за счет других), т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить a – выигрыш одного из игроков, b – выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = – а, поэтому достаточно рассматривать, например а.
Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход – это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре). Случайный ход – это случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В контрольной работе мы будем рассматривать только личные ходы игроков.
Стратегией игрок называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной – в противном случае.
Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.
Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.
Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Важнейшее ограничение теории игр – единственность выигрыша как показателя эффективности, в то время как в большинстве экономических задач имеется более одного показателя эффективности. Кроме того, в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнеров не обязательно антагонистические. Но рассмотрение аппарата теории игр для решения задач со многими участниками, имеющими непротиворечивые интересы, выходит за рамки данной контрольной работы.

2.2. Классификация игр
Различные виды игр можно классифицировать, основываясь на том или ином принципе:
по числу игроков (с двумя, тремя и более участниками);
по числу стратегий (конечные и бесконечные игры);
по свойствам функций выигрыша (игры с нулевой суммой – антагонистические; игры с постоянной разностью, в которых игроки и выигрывают, и проигрывают одновременно, так что им выгодно действовать сообща; между этими крайними случаями имеется множество игр с ненулевой суммой, где имеются и конфликты, и согласованные действия игроков);
по возможности предварительных переговоров и взаимодействия между игроками в ходе игры различают кооперативные и некооперативные игры. Игра называется кооперативной, если до начала игры игроки образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях. Игра, в которой игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом, называется некооперативной. Очевидно, что все антагонистические игры могут служить примером некооперативных игр. Примером кооперативной игры может служить ситуация образования коалиций в парламенте для принятия путем голосования решения, так или иначе затрагивающего интересы участников голосования.


Рис. 2.1 Классификация задач теории игр

Статическая игра – это игра, в которой игроки выбирают свои стратегии только один раз, и эти стратегии сохраняются во всех играх.
В динамической игре стратегия меняется во времени, при этом используется информация о развитии игры в прошлом. Динамические игры – многодневные.

2.3. Формальное представление игр
Дадим формальное описание перечисленных элементов конфликта. Множество всех игроков, обозначаемое I, в случае конечного их числа может задаваться простым перечислением игроков. Например, I={1,2} при игре в орлянку, I={Продавец, Покупатель} в ситуации продажи товара, I={1, 2, , n} в случае анализа результатов голосования в парламенте.
Множество стратегий игрока i обозначим через Хi. При игре в орлянку каждый игрок располагает двумя стратегиями: Хi ={Орел, Решка}; каждый участник голосования имеет выбор на множестве стратегий {За, Против}. В случае взаимодействия на рынке как Продавец, так и Покупатель могут назначить некоторую неотрицательную цену на продаваемый (покупаемый) товар, т.е. множество стратегий каждого из них Хi: Рi>0.
В каждой партии игрок выбирает некоторую свою стратегию хi, в результате чего складывается набор стратегий х={x1, x2, , xn}, называемый ситуацией. Так, ситуацию в Парламенте описывает список {За, Против, За, За }, полученный в итоге проведенного голосования.
Заинтересованность игроков в ситуациях проявляется в том, что каждому игроку i в каждой ситуации х приписывается число, выражающее степень удовлетворения его интересов в данной ситуации. Это число называется выигрышем игрока i и обозначается через hi(x), а соответствие между набором ситуаций и выигрышем игрока i называется функцией выигрыша (платежной функцией) этого игрока Hi.
В случае конечной игры двух лиц функции выигрыша каждого из игроков удобно представить в виде матрицы выигрышей, где строки представляют стратегии одного игрока, столбцы – стратегии другого игрока, а в клетках матрицы указываются выигрыши каждого из игроков в каждой из образующихся ситуаций. (Данная форма представления конечных игр двух лиц объясняет общее для них название – матричные игры.)
Например, в случае игры в орлянку каждый из игроков имеет по две стратегии, именуемые Орел и Решка. Если игроки выбирают одинаковые стратегии, т.е. в случаях, если оба говорят «Орел» или оба говорят «Решка», 1-й игрок выигрывает 1 рубль, а второй игрок проигрывает 1 рубль. В ситуациях, когда оба игрока выбирают различные стратегии, 1-й игрок проигрывает 1 рубль, а 2-й игрок соответственно этот рубль выигрывает.
В итоге матрица выигрышей 1-го игрока Н1 выглядит следующим образом:

Соответственно матрица выигрышей 2-го игрока Н2 имеет вид:

Для антагонистических игр, в которых выигрыш одного игрока равен проигрышу другого (игр с нулевой суммой), выполняется соотношение Н1= – Н2. Игра в орлянку, очевидно, является примером такой игры.
Часто для наглядности матрицы выигрышей для обоих игроков совмещают в одну, которая дает полное представление обо всей игре:

В каждой клетке этой матрицы слева указаны значения выигрыша 1-го игрока, справа – значения выигрыша 2-го игрока.
Рассмотрим пример задания матрицы выигрышей для игры с ненулевой суммой, называемой в литературе по теории игр Дилемма Заключенного. Содержание этой игры следующее: два преступника ожидают приговора суда за совершенное злодеяние. Адвокат конфиденциально предлагает каждому из преступников облегчить его участь (и даже освободить!), если он сознается и даст показания против сообщника, которому грозит угодить в тюрьму за совершенное преступление на 10 лет. Если никто не сознается, то обоим угрожает заключение на определенный срок (скажем, 1 год) по обвинению в незначительном преступлении. Если сознаются оба преступника, то, с учетом чистосердечного признания, им обоим грозит попасть в тюрьму на 5 лет. Каждый заключенный имеет на выбор 2 стратегии: не сознаваться или сознаться, выдав при этом сообщника. В итоге можно получить следующую матрицу «выигрышей» для обоих игроков:

Приведем, наконец, пример записи функции выигрыша для бесконечной игры. В случае дуополии каждый из игроков может объявить цену pi, по которой он хотел бы продать некоторое количество товара. При этом предполагается, что потребители приобретут товар у фирмы, объявившей меньшую цену, или распределят свой спрос поровну между фирмами в случае, если они назначили одинаковую цену. Если функцию спроса в зависимости от цены на товар обозначить как d(p), то функция выигрыша 1-й фирмы П1 (p1, p2) будет иметь вид
(2.1)

Аналогично выглядит функция выигрыша 2-й фирмы П2 (p1, p2).

2.4. Платежная матрица. Нижняя и верхняя цена игры
Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает m личными стратегиями, которые обозначим А1, А2, , Аm. Пусть у игрока В имеется n личных стратегий, обозначим их В1, В2, , Вn. Говорят, что игра имеет размерность m x n. В результате выбора игроками любой пары стратегий
Аi и Вj (i=1, 2, ,m; j=1, 2, , n)
однозначно определяется исход игры, т.е. выигрыш aij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш ( – aij) игрока В. Предположим, что значения aij известны для любой пары стратегий (Аi, Вj). Матрица Р = (aij), i=1, 2, ,m; j=1, 2, , n, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям Аi и Вj называется платежной матрицей или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Аj Bi
В1
В2

Вn

A1
a11
a12

a1n

A2
a21
a22

a2n







Am
am1
am2

am n


Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В.
Составим платежную матрицу для следующей игры.
Пример 2.1. Игра «Поиск». Игрок А может спрятаться в одном из двух убежищ (I или II); игрок В ищет игрока А, и если найдет, то получает штраф 1 ден.ед. от А, в противном случае платит игроку А 1 ден.ед. Необходимо построить платежную матрицу игры.
Решение. Для составления платежной матрицы следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I – обозначим эту стратегию через А1 или в убежище II – стратегия А2.
Игрок В может искать первого игрока в убежище I – стратегия В1, либо в убежище II – стратегия В2. Если игрок А находится в убежище I и там его обнаруживает игрок В, т.е. осуществляется пара стратегий (А1, В1), то игрок А платит штраф, т.е. a11= – 1. Аналогично получаем a22= – 1 (А2, В2). Очевидно, что стратегии (А1, В2) и (А2, В1) дают игроку выигрыш 1, поэтому a12= a21= 1. Таким образом, для игры «поиск» размера 2х2 получаем платежную матрицу
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим игру m x n с матрицей Р = (aij), i=1, 2, ,m; j=1, 2, , n и определим наилучшую среди стратегий А1, А2, , Аm. Выбирая стратегию Аi, игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий Вj, для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится «навредить» игроку А).
Обозначим через ai наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии Аi для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы), т.е.
13 EMBED Equation.3 1415. (2.2)
Среди всех чисел
·i (i=1, 2, ,m) выберем наибольшее: 13 EMBED Equation.3 1415. Назовем
· нижней ценой игры, или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415 (2.3)
Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А; выбирая стратегию Вj, он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим
13 EMBED Equation.3 1415 (2.4)
Среди всех чисел
· j выберем наименьшее 13 EMBED Equation.3 1415и назовем
· верхней ценой игры или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415 (2.5)
Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.
Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника. Определим нижнюю и верхнюю цены игры и соответствующие стратегии в примере 2.1. Рассмотрим платежную матрицу
13 EMBED Equation.3 1415
из примера 2.1. При выборе стратегии А1 (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен
·1= min(– 1; 1)= – 1 и соответствует стратегии
·1 игрока В. При выборе стратегии А2 (вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен
·2= min(1; – 1)= – 1, он достигается при стратегии В2.
Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии игрока В, т.е. нижнюю цену игры
· = max (
·1,
·2)= max(–1; –1)= –1, игрок А может выбирать любую стратегию: А1 или А2, т.е. любая его стратегия является максиминной.
Выбирая стратегию В1 (столбец 1), игрок В понимает, что игрок А2 ответит стратегией А2, чтобы максимизировать свой выигрыш (проигрыш В). Следовательно, максимальный проигрыш игрока В при выборе им стратегии В1 равен
·1= max(–1; 1)= 1.
Аналогично максимальный проигрыш игрока В (выигрыш А) при выборе им стратегии В2 (столбец 2) равен
·2= max (1; – 1)= – 1.
Таким образом, при любой стратегии игрока А гарантированный минимальный проигрыш игрока В равен
·= min (
·1;
·2) = min (1; 1) = 1 – верхней цене игры.
Любая стратегия игрока В является минимаксной. Дополнив табл. 2.1 строкой
·j и столбцом
·i, получим табл. 2.2. На пересечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.
Таблица 2.2
Аj Bi
В1
В2

·i

A1
– 1
1
–1

A2
1
–1
–1


·j
1
1

·=–1

·=1


В примере 2.1 верхняя и нижняя цены различны:
·
·
·.
Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры
· =
· =
· называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность – оптимальным решением, или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш
·, а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависимости от поведения игрока А) проигрыша
·. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т.е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.
Пара чистых стратегий Аi и Вj дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент аij является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз – в другом).

Рис. 2.2. Графическая иллюстрация оптимального решения в антагонистической игре с седловой точкой

Обозначим А* и В* – пару чистых стратегий, на которых достигается решение игры в задаче с Седловой точкой. Введем функцию выигрыша первого игрока на каждой паре стратегий: Р(Аi, Вj)= аij. Тогда из условия оптимальности в Седловой точке выполняется двойное неравенство: Р(Аi, В*) ( Р(А*, В*) ( Р(А*, Вj), которое справедливо для всех i=1, 2, ,m; j=1, 2, , n. Действительно, выбор стратегии А* первым игроком при оптимальной стратегии В* второго игрока максимизирует минимальный возможный выигрыш: Р(А*, В*) 
· Р(Аi, В*), а выбор стратегии В* вторым игроком при оптимальной стратегии первого минимизирует максимальный проигрыш: Р(А*, В*) ( Р(А*, Вj).
Пример 2.2. Определить верхнюю и нижнюю цену игры, заданной платежной матрицей
13 EMBED Equation.3 1415
Имеет ли игра седловую точку?
Таблица 2.3
Аj Bi
В1
В2
В3

·i

A1
0,5
0,6
0,8
0,5

A2
0,9
0,7
0,8
0,7

A3
0,7
0,6
0,6
0,6


·j
0,9
0,7
0,8

·=
·=0,7

Решение. Все расчеты удобно проводить в таблице, в которой, кроме матрицы р, введены столбец
·i и строка
·j (табл. 2.3). Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А), заполняем столбец
·i:
·1 = 0,5,
·2 = 0,7,
·3 = 0,6 – минимальные числа в строках 1, 2, 3. Аналогично
·1 = 0,9,
·2 = 0,7,
·3 = 0,8 – максимальные числа в столбцах 1, 2, 3 соответственно. Нижняя цена игры 13 EMBED Equation.3 1415 (наибольшее число в столбце
·i) и верхняя цена игры 13 EMBED Equation.3 1415 (наименьшее число в строке
·j). Эти значения равны, т.е.
· =
· и достигается на одной и той же паре стратегий (А2, В2). Следовательно, игра имеет седловую точку (А2, В2) и цена игры
· = 0,7.

2.5. Решение игр в смешанных стратегиях
Если игра не имеет Седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. Так, в примере 2.1
·
·
·, седловая точка отсутствует. В таком случае можно получить оптимальное решении, случайным образом чередуя чистые стратегии.
Смешанной стратегией SА игрока А называется применение чистых стратегий А1, А2, , Аi, , Аm с вероятностями р1, р2, , рi, , рm, причем сумма вероятностей равна 1: 13 EMBED Equation.3 1415. Смешанные стратегии игрока А записываются в виде матрицы
13 EMBED Equation.3 1415,
или в виде строки SА = (р1, р2, , рi, , рm). Аналогично смешанные стратегии игрока В обозначаются:
13 EMBED Equation.3 1415,
или SВ = (q1, q2, , qj, , qn), где сумма вероятностей появления стратегий равна 1: 13 EMBED Equation.3 1415.
Чистые стратегии можно считать частным случаем смешанных и задавать строкой, в которой 1 соответствует чистой стратегии. На основании принципа минимакса определяется оптимальное решение (или решение) игры: это пара оптимальных стратегий SА*, SВ* в общем случае смешанных, обладающих следующим свойством: если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то другому не может быть выгодно отступать от своей. Выигрыш, соответствующий оптимальному решению, называется ценой игры
·. Цена игры удовлетворяет неравенству:

· (
· (
·, (2.6)
где и – нижняя и верхняя цены игры.
Справедлива следующая основная теорема теории игр – теорема Неймана. Каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно, среди смешанных стратегий.
Пусть SА* = (р1*, р2*, , рi*, , рm*) SВ* = (q1*, q2*, , qj*, , qn*) – пара оптимальных стратегий. Если чистая стратегия входит в оптимальную смешанную стратегию с отличной от нуля вероятностью, то она называется активной.
Справедлива теорема об активных стратегиях: если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш остается неизменным и равным цене игры
·, если второй игрок не выходит за пределы своих активных стратегий.
Эта теорема имеет большое практическое значение – она дает конкретные модели нахождения оптимальных стратегий при отсутствии седловой точки.
Рассмотрим игру размера 2 х 2, которая является простейшим случаем конечной игры. Если такая игра имеет седловую точку, то оптимальное решение – это пара чистых стратегий, соответствующих этой точке.
Игра, в которой отсутствует седловая точка, в соответствии с основной теоремой теории игр оптимальное решение существует и определяется парой смешанных стратегий SА* = (р1*, р2*) и SВ* = (q1*, q2*).
Для того, чтобы их найти, воспользуемся теоремой об активных стратегиях. Если игрок А придерживается своей оптимальной стратегии SА*, то его средний выигрыш будет равен цене игры
·, какой бы активной стратегией не пользовался игрок В. Для игры 2 х 2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) – случайная величина, математическое ожидание (среднее значение) которой является ценой игры. Поэтому средний выигрыш игрока А (оптимальная стратегия) будет равен
· и для 1-й, и для 2-й стратегии противника.
Пусть игра задана платежной матрицей
13 EMBED Equation.3 1415.
Средний выигрыш игрока А, если он использует оптимальную смешанную стратегию 13 EMBED Equation.3 1415, а игрок В – чистую стратегию В1 (это соответствует 1-му столбцу платежной матрицы Р), равен цене игры
·:
13 EMBED Equation.3 1415.
Тот же средний выигрыш получает игрок А, если 2-й игрок применяет стратегию В2, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415. Учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415, получаем систему уравнений для определения оптимальной стратегии SА* и цены игры
·:
13 EMBED Equation.3 1415 (2.7)
Решая эту систему, получим оптимальную стратегию
13 EMBED Equation.3 1415,
(2.8)
13 EMBED Equation.3 1415
и цену игры
13 EMBED Equation.3 1415. (2.9)
Применяя теорему об активных стратегиях при отыскании SВ* – оптимальной стратегии игрока В, получаем, что при любой чистой стратегии игрока А (А1 или А2) средний проигрыш игрока В равен цене игры
·:
13 EMBED Equation.3 1415 (2.10)
Тогда оптимальная стратегия SВ* = (q1*, q2*) определяется формулами:
13 EMBED Equation.3 1415,
(2.11)
13 EMBED Equation.3 1415
Применим полученные результаты для отыскания оптимальных стратегий для игры, рассмотренной в примере 2.1.

Пример 2.3. Найти оптимальные стратегии игры, приведенной в примере 2.1.
Решение. Игра «поиск» задана платежной матрицей без седловой точки:
13 EMBED Equation.3 1415,
· = –1,
· = 1.
Поэтому ищем решение в смешанных стратегиях; для игрока А средний выигрыш равен цене игры
· (при В1 и В2); для игрока В средний проигрыш равен цене игры (при А1 и А2). Системы уравнений (2.7) и (2.10) в данном случае имеют вид:

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Решая эти системы, получаем р1*= р2*=
·

Приложенные файлы

  • doc 220665
    Размер файла: 790 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий