Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИ
ТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВ
Е
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
»
Департамент Анализа данных, принятия решений и
финансовых
технологий
А.В. Потемкин,
М.Н. Фридман,
И.И. Цыганок,
И.М. Эйсымонт
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТ
АТИСТИКА
ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО
-
АНАЛИТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
для студентов заочной формы обучения
Для бакалавров направления 080100.62«Экономика»
Москва
2017
Оглавление
1.
Вар
иант 1
3
2.
Вариант 2
6
3.
Вариант 3
9
4.
Вариант 4
13
5.
Вариант 5
17
6.
Вариант 6
20
7.
Вариант 7
23
8.
Вариант 8
27
9.
Вариант 9
30
10.
Вариант 10
33
11.
Экзаменационные вопросы
37
12.
Образцы экзаменационных билет
ов
41
13.
Таблица значений функции Гаусса
42
14.
Таблица значений функции Лапласа
43
15.
Таблица значений функции Пуассона
44
16.
Литература
4
5
Варианты контрольной работы
ВАРИ
А
НТ 1
(
для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 1
)
1
.
В отделен
ии Сбербанка
микрорайона пользуются банкоматом
20
%
населения из близлежащих домов
. Какова вероятность того, что из
5
00
наудачу выбранных
жителей микрорайона
в этом отделени
и Сбербанка
пользуются банкоматом
:
а 90 человек;
б от 80
до
130
человек;
б
б
олее 120
человек?
2
.
По наблюдениям за температурой воздуха в сентябре этого года
в
данной местности
установлено, что с
р
едняя температура воздуха составила
15
ºС, а среднее квадратическое отклонение
равно 5
º
С.
О
ценить вероятность
того, что в
сентябре
сле
дующего года средняя температура воздуха будет:
а не более 25
ºС;
б более 20ºС.
в будет отличаться от средней температуры этого года не более чем на
7
ºС
по абсолютной величине
;
г будет отличаться от средней температуры этого года не менее чем на
8
ºС
по абсолютной величине
;
3
.
Известно, что
месячная
доходность некоторой ценной бумаги есть
нормально распределенная случайная величина
ξ
(
%
)
. Н
айти
ее
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
,
если
известно, что
и
П
остроить
схематично
1
графики функции распределения и функции
плотности
распределения этой случайной величины.
Вычислить вероятность того, что в следующем месяце доходность
ценной бумаги будет:
1
Для построения графиков можно использовать
Microsoft
Excel
.
1
,
0
1
P
.
5
,
0
5
P
а не более 4%;
б не менее 8%
;
в от 3% до 7%.
4
. С целью изучения миграции
населения
в дан
ной области было
прове
дено выборочное обследование 7
0
мелких населенных пунктов из
350
имеющихся в области
выборка бесповторная. Получены следующие данные
о количестве зарегистрированных ми
грантов:
9
0
8
3
10
5
14
6
14
1
3
4
10
5
4
11
4
14
13
13
12
2
1
3
9
14
0
10
5
7
3
11
6
3
14
7
2
2
6
10
8
5
9
14
7
7
0
3
11
7
12
13
2
13
5
14
6
13
3
1
6
8
9
7
5
13
13
7
1
12
Составить интервальный вариационный ряд. Записать эмпирическую
фу
нкцию распределения и построить ее график. На одном чертеже
изобразить гистограмму и полигон частот.
По сгруппированным данным вычислить выборочные числовые
характеристики: среднее арифметическое, исправленную выборочную
дисперсию, среднее квадратичное
отклонение, коэффициент вариации,
асимметрию, эксцесс, моду и медиану.
Найти:
а вероятность того, что среднее количество мигрантов во всей области
отличается от их среднего количества в выборке не более чем на 1 чел;
б
границы, в которых с вероятностью
0,98 заключена доля
всех
населенных пунктов
области
, где количество мигрантов превышает
8
человек.
в
объем бесповторной выборки, при котором те же границы для
среднего ко
личества мигрантов, что и в п. а
можно гарантировать с
вероятностью 0,95.
5
.
Замен
ив
неизвестные
параметры генеральной совокупности
соответственно
их
наилучшими
выборочными
оценками
,
п
о данным задачи
4
, используя
2
-
критерий Пирсона на уровне значимости
0,05 проверить
две гипотезы
о том, что
изучаемая
случайная величина
ξ
–
число
м
игрантов в
данном населенном пункте
–
распределена
:
а
по
нормальному
закону распределения;
б по
равномерному
закону
распределения
.
Построить на
чертеже
,
где
изображена
гистограмм
а
эмпирического
распределения,
соответствующ
ие графики равномерного и но
рмального
распределени
й
.
6
.
С целью изучения зависимости количества времени использования
клиентом мобильной связи в течение месяца
ξ
мин и стоимости минуты
разговора
руб
.
произведено обследование 100 абонентов, пользующихся
различными тарифными пл
анами, и получены следующие данные:
ξ
Менее
1
1
-
1,5
1,5
-
2
2
-
2,5
2,5
-
3
Более
3
Итого
:
Менее 200
3
9
3
15
200
-
400
5
8
7
20
400
-
600
4
13
9
3
29
600
-
800
2
6
8
2
18
Более 800
6
5
6
1
18
Итого
:
6
7
16
30
28
13
100
Необходимо:
1. Вычислить
групповые средние
, построить эмпирические
линии регрессии.
2. Предполагая, что между переменными
ξ
и
существует линейная
корреляционная зависимость:
а найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном
чертеже с эмпир
ическими линиями регрессии и дать экономическую
интерпретацию полученных уравнений;
б вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости
= 0,05
оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи
между переменными
ξ
и
;
в использу
я соответствующее уравнение регрессии, оценить время
использования мобильной связи при стоимости минуты разговора 2,25 руб.
ВАРИАНТ 2
для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой 2
1
. Вероятность сдачи студентом кон
трольной работы в сро
к равна 0,8
.
Найти вероятность того, что из
15
0
студентов вовремя сдадут контрольную
работу:
а
110
студентов
;
б
не менее половины студентов;
в не менее
100
, но не более
13
0 студентов.
2
. Всхожесть хранящегося на складе зерна
в среднем составляет
80
%
, а
среднее квадратическое отклонение
6
%
.
Оценить вероятность того, что в
выбранной партии зерна всхожесть
:
а
составит
не менее 85%;
б
составит
не более 90%;
в
будет отличаться от средней не более чем на 8%;
г будет отличаться от средней не менее чем
на 10%.
3
.
Случ
айная величина
ξ
имеет нормальный закон распределения с
параметрами
а
и
. Найти параметр
, если известно, что
М
(
ξ
5 и
. Вычислить вероятность того, что значение случайно
й
величины
ξ
окажется меньше 0.
2
σ
σ
2809973
(),
P
П
остроить
схематично
2
графики функции распределения и функции
плотности
распределения этой случайной величины.
4
.
С целью изучения размера потребительских кредитов, выданных
банко
м в одном из крупных магазинов электронной
техники в течени
е
последнего месяца
,
по схеме собственно
-
случайной бесповторной выборки
было
отобрано 180
кредитов из 2500 выданных
.
Величины сумм выданных
кредитов
(
тыс
. руб
.
)
представлен
ы
в таблице:
22,9
26,6
18,0
25,2
28,9
30,3
21,1
13,5
15,7
22,2
18
,6
28,8
11,5
26,7
31,6
14,1
26,7
22,2
19,9
23,4
16,0
17,9
17,0
20,3
10,5
26,8
13,9
18,1
19,6
12,7
20,7
17,8
19,5
24,4
21,8
23,3
18,6
24,1
19,6
20,8
15,8
14,0
20,5
18,2
17,8
20,7
21,9
28,0
17,5
11,2
12,2
24,7
14,9
19,3
23,6
22,3
20,1
19,1
21,9
25,2
22,
2
18,0
16,3
18,3
18,6
13,5
28,0
15,2
22,1
24,7
20,1
14,0
17,3
17,6
18,9
22,4
20,9
15,1
11,9
21,8
23,4
18,2
21,0
22,7
23,2
19,9
26,1
21,3
21,2
16,1
27,6
17,5
18,1
13,0
23,9
11,2
22,5
19,5
19,2
24,2
29,7
22,7
12,7
26,4
16,8
14,7
21,3
18,5
22,3
15,3
14,0
23,1
25,8
27,9
17,5
24,9
25,6
32,4
17,9
19,7
11,9
17,6
15,0
19,0
22,1
14,0
27,5
18,6
19,5
25,5
19,5
25,3
27,9
24,9
15,5
13,8
24,2
23,8
25,8
18,9
8,3
24,6
18,7
24,2
16,3
18,9
22,4
15,6
25,6
16,6
19,6
20,0
20,2
9,9
22,0
19,2
14,5
12,6
13,0
20,1
22,7
20
,7
20,2
12,9
21,1
19,0
20,2
28,0
20,2
21,8
14,8
17,3
17,4
14,1
13,8
19,2
17,0
22,0
17,1
17,2
2
Для построения графиков можно использовать
Microsoft
Excel
.
Составить интервальный вариационный ряд. Записать эмпирическую
функцию распределения и построить ее график. На одном чертеже
изобразить гистограмму и полигон частот.
По сгруппированным данным вычислить выборочные числовые
характеристики: среднее арифме
тическое, исправленную выборочную
дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации,
асимметрию, эксцесс, моду и медиану.
Найти:
а вероятность того, что
средняя величина всех выданных в течени
е
месяца
кредитов
отличается от
полученной по вы
борке не более чем
на 250
руб
.
;
б
границ
ы, в которых с вероятностью 0,9
5
заключена доля
всех
выданных кредитов
,
сумма которых не превышает 20 тыс.
руб
.;
в
объем бесповторной выборки, при котором границы для
доли
кредитов
,
полученные в п. б
можно гаран
тировать с вероятностью 0,9
8
.
5
.
Заменив
неизвестные параметры
генеральной совокупности
соответственно
их
наилучшими
выборочными
оценками
,
п
о данным задачи
4
, используя
2
-
критерий Пирсона, на уровне значимости
=
0,05 проверить
две гипотезы
о том, что
изучаемая
случайная величина
ξ
–
величина
выданных кредитов
–
распределена
:
а
по
нормальному закону распределения;
б по равномерному
закону
распределения
.
Построить на
чертеже
,
где
изображена
гистограмм
а
эмпирического
распределе
ния,
соответствующ
ие
графики равномерного и нормального
распределений
.
6.
В таблице приведено распределение 120 коров по дневному надою
ξ
(
кг и жирности молока
(
%):
ξ
Менее 7
7
-
10
10
-
1
3
13
–
1
6
Более
1
6
Итого
:
Менее
3,
2
8
8
3,
2
–
3,6
2
16
8
26
3,
6
–
4,0
4
16
10
2
32
4,0
–
4,4
2
6
10
2
20
Более
4,
4
8
6
20
34
Итого
:
10
16
48
36
10
120
1 Вычислить групповые средние
и построить эмпирические
линии регрессии;
2 Предполагая, что между переменными
ξ
и
существует линейная
корреля
ционная зависимость:
а найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном
чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать содержательную
интерпретацию полученных уравнений;
б вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости
α
= 0,05
оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи
между переменными
ξ
и
;
в используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний
процент жирности молока для коров, дневной удой которых составляет 1
5
кг.
ВАРИАНТ 3
для студ
ентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой
3
)
1
. После окончания занятий в среднем каждый десятый студент
занимается в читальном зале.
Найти вероятность того, что из
3
00
студентов
будут заниматься в
читальном зале
:
а
20
студентов
;
б не мене
е 15
, но не более
30 студентов;
в ск
олько посадочных мест нужно иметь, чтобы с вероятностью 0,9545
их хватало всем
желающим заниматься в читальном зале
студентам.
2
. Уровень
воды в реке
–
это случайная величина со средним значением
2,5 м и стандартным отк
лонением 20 см. Оценить вероятность того, что в
наудачу выбранный день:
а уровень превысит 3 м;
б уровень не превысит 275 см;
в будет отличаться от среднего уровня более чем на 40 см;
г окажется в пределах от 2м 20см до 2м 80см.
3
.
Известно, что время
непрерывной работы электрической лампы есть
случайная величина
ξ
час
, имеющая показательный закон распределения.
Н
айти математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение
этой
случайной величины,
если известно, что
вероятность непрерывной рабо
ты
лампы не менее 800 час со
с
тавляет 0,2.
П
остроить
схематично
3
графики функции распределения и функции
плотности
распределения этой случайной величины.
Вычислить вероятность того, что
выбранная случайным образом лампа
непрерывно проработает
:
а не более
600 час
;
б не менее 700 час
;
в от 30 до 40 суток
.
4
.
С целью определения средней суммы вкладов
на 1 января текущего
года
в сберегательно
м
банке,
имеюще
м
2000 вк
ладчиков, по схеме
собственно
-
случайной выборки с бесповторным отбором
членов проведено
обсле
дование 200 лицевых счетов. Распределение вкладов по их величине
тыс. руб
.
)
представлен
о
в таблице:
3
Для построения графиков можно использовать
Microsoft
Ex
cel
.
612
442
498
284
667
563
709
388
518
717
218
600
605
131
547
517
448
818
732
842
501
385
238
682
400
498
305
610
463
618
537
453
546
723
190
608
607
620
117
705
562
212
520
414
316
408
405
355
457
569
367
429
254
568
413
572
423
755
154
588
594
473
340
335
566
402
401
502
756
558
792
565
474
526
502
408
674
828
483
465
596
670
502
601
452
523
741
261
327
556
541
496
141
274
394
555
409
511
644
560
549
763
739
455
475
287
522
743
535
630
494
562
488
562
656
559
540
592
591
348
498
495
457
644
379
877
398
272
363
597
231
539
667
583
369
492
559
662
239
532
574
568
621
663
223
714
649
476
619
428
494
567
536
359
502
511
389
621
573
305
520
561
63
4
609
563
359
343
702
489
136
725
495
507
627
775
489
419
430
598
511
661
593
386
643
182
366
611
464
665
427
389
779
761
644
607
536
706
694
462
354
Составить интервальный вариационный ряд. Записать эмпирическую
функцию распределения и построить ее г
рафик. На одном чертеже
изобразить гистограмму и полигон частот.
По сгруппированным данным вычислить выборочные числовые
характеристики: среднее арифметическое, исправленную выборочную
дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации,
а
симметрию, эксцесс, моду и медиану.
Найти:
а вероятность того, что
средняя величина вклада в банке
отличается
от
полученной по выборке не более чем на 500 руб.
;
б
границ
ы, в которых с вероятностью 0,95
заключена доля
всех
вкладов
,
сумма которых составл
яет не менее 500 тыс.
руб
.
;
в
объем бесповторной выборки, при котором границы для
генеральной средней величины вклада
из
п. а
можно гарантировать с
вероятностью 0,9
7
.
5
.
Заменив
неизвестные параметры
генеральной совокупности
соответственно
их
наилучшим
и
выборочными
оценками
,
п
о данным задачи
4
, используя
2
-
критерий Пирсона, на уровне значимости
0,05 проверить
две гипотезы
о том, что
изучаемая
случайная величина
ξ
–
величина вклада
–
распределена
:
а
по
нормальному закону распределения;
б по равно
мерному
закону
распределения
.
Построить на
чертеже
,
где
изображена
гистограмм
а
эмпирического
распределения,
соответствующ
ие графики равномерного и нормального
распределений
.
6
.
Распределение 100 средних фермерских хозяйств по числу наемных
рабочих
ξ
чел. и их средней месячной заработной плате на 1 человека
тыс. руб. представлено в таблице:
ξ
2
–
4
4
–
6
6
–
8
8
–
10
10
–
12
Итого
:
20
–
25
6
8
4
18
25
–
30
2
10
2
2
16
30
–
35
2
6
8
2
18
35
–
40
4
12
10
2
28
40
–
45
10
6
4
20
Итого
:
16
26
38
1
4
6
100
1 Вычислить групповые средние
и построить эмпирические
линии регрессии;
2 Предполагая, что между переменными
ξ
и
существует линейная
корреляционная зависимость:
а найти уравнения прямых регрессии, построить их графики н
а одном
чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую
инте
рпретацию полученных уравнений;
б
вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости
α
= 0,05
оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи
между перемен
ными
ξ
и
;
в используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю
месячную заработную плату одного рабочего в хозяйстве, в котором
работают 7 наемных рабочих.
ВАРИАНТ 4
для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой
4
)
1
. В горо
де
в
среднем 10% заключенных браков в течение года
заканчиваются разводом. К
акова вероятность того, что из
4
00
случайно
отобранных пар, заключивших брак, в течение года
не разведутся
:
а
35
0 пар
;
б
не менее
400
пар
.
С вероятностью 0,95 установить, како
е
максимальное число
разводов
можно ожидать для
4
00
пар.
2
. Вероятность того, что желание, загаданное на Новый год, сбудется
,
равна 0,7.
Оценить
вероятность того, что из 200 загаданных желаний
сбудется:
а ровно 140 желаний;
б от 120 до 150 желаний;
в оц
енить, сколько желаний надо загадать, чтобы с вероятностью не
меньшей 0,95,
исполнилось бы не менее 4
0% желаний.
3
. Плотность вероятности случайной величины
ξ
имеет вид:
Найт
и:
а
)
параметр распределения
а
;
б
функцию распреде
ления
F
(
x
)
;
в
математическое ожидание
M
(
ξ
)
и дисперсию
D
(
ξ
)
;
г
вероятность
.
Построить графики функций
(
x
)
и
F
(
x
)
.
4
.
С целью определения средней
величины транспортных затрат тыс.
руб. на доставку одно
й тонны продукции предприятий пищевой
промышленности к потребителям в некотором крупном мегаполисе
,
имеюще
м
2570 предприятий
, по схеме собственно
-
случайной
бесповторной
выборки
проведено обследование 240 предприятий. Распределение
транспортных затрат тыс
. руб.
представлен
о
в таблице:
10,3
8,8
6,8
14,0
8,8
13,2
8,2
9,5
9,9
14,0
13,2
14,4
11,7
10,7
6,8
11,5
10,8
8,2
8,2
6,2
5,3
11,7
4,0
6,2
13,6
18,1
7,6
10,7
13,0
14,8
10,0
11,2
6,2
9,3
11,6
6,6
10,1
6,5
9,1
11,9
10,2
9,7
11,0
4,3
8,6
12,9
15,9
9,7
12,
7
6,0
9,6
14,0
7,9
10,6
8,8
11,9
15,6
8,3
6,8
3,4
5,1
11,5
12,8
12,6
9,8
12,0
7,7
6,7
9,6
11,8
10,5
10,7
10,3
6,8
13,0
7,5
9,1
11,0
8,0
10,0
9,5
4,6
6,6
9,5
10,2
9,5
14,7
16,3
17,8
9,5
10,0
7,6
11,9
10,6
3,8
10,9
7,9
14,4
8,0
9,7
12,6
14,4
8,2
13,9
6
,2
9,9
7,1
12,1
7,6
9,0
6,4
10,9
8,4
13,5
8,3
4,5
5,9
15,6
13,7
12,6
8,4
11,3
12,8
12,8
7,7
14,0
8,9
9,7
9,8
14,1
7,0
8,2
8,4
13,9
7,9
11,7
8,5
9,7
2,6
11,5
0
при0
при04
0
при4
,
(),
.
x
xaxx
x
01
()
P
6,6
8,4
0,6
12,2
12,1
12,4
11,3
11,7
6,5
12,9
10,6
8,8
12,0
11,0
9,4
7,0
13,0
14,4
9,3
13,6
1
2,7
5,7
5,8
9,5
11,0
11,8
9,9
7,9
12,4
9,0
10,6
10,9
9,8
10,9
10,9
5,7
11,6
8,7
12,5
7,0
13,6
10,3
11,1
13,5
12,0
9,1
9,3
7,3
15,3
12,1
3,7
10,7
9,4
7,4
14,5
9,5
10,5
9,1
8,5
12,8
11,8
1,9
13,4
12,9
11,2
9,4
15,0
12,7
10,5
10,0
16,1
11,5
11,1
10,4
4,8
13,0
7,7
9,0
11,1
10,0
17,0
9,6
8,7
9,4
15,6
9,6
9,3
9,4
13,9
12,1
8,2
2,0
12,5
10,0
11,2
8,2
5,8
11,3
8,2
9,4
Составить интервальный вариационный ряд. Записать эмпирическую
функцию распределения и построить ее график. На одном чертеже
изобразить гистограмму и полигон частот.
По сгруппированным данным вычислить выборочные числовые
характеристики: среднее арифме
тическое, исправленную выборочную
дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации,
асимметрию, эксцесс, моду и медиану.
Найти:
а вероятность того, что
с
редняя величина транспортных затрат
предприятия
отличается от
полученной по выборке не
более чем на 200 руб.
;
б
границ
ы, в которых с вероятностью 0,98
заключена доля
всех
предприятий
,
транспортные затраты которых составляют не менее 10 тыс.
руб.;
в
объем бесповторной выборки, при котором границы для
доли
всех предприятий
,
полученные в п.
б
можно гарантировать с вероятностью
0,9
5
.
5
.
Заменив
неизвестные параметры
генеральной совокупности
соответственно
их
наилучшими
выборочными
оценками
,
п
о данным задачи
4
, используя
2
-
критерий Пирсона, на уровне значимости
0,05 проверить
две гипотез
ы
о том, что
изучаемая
случайная величина
ξ
–
величина
транспортных затрат
–
распределена
:
а
по
нормальному закону распределения;
б по равномерному
закону
распределения
.
Построить на
чертеже
,
где
изображена
гистограмм
а
эмпирического
распределения
,
соответствующ
ие графики равномерного и нормального
распределений
.
6
.
Распределение 60 предприятий по затратам рабочего времени
ξ
тыс.
чел. дн
ей
и выпуску продукции
млн. руб. представлено
в таблице:
ξ
30
–
40
40
–
50
50
–
60
60
–
70
70
–
80
Итого:
10
–
25
1
3
2
6
25
–
40
3
6
4
1
14
40
–
55
3
7
6
1
17
55
–
70
1
6
4
4
15
70
–
85
2
5
1
8
Итого:
4
13
21
16
6
60
1 Вычислить групповые средние
и построить эмпирические
линии регрессии;
2 Предполагая, что между переменными
ξ
и
сущес
твует линейная
корреляционная зависимость:
а найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном
чертеже с эмп
ирическими линиями регрессии и
дать экономическую
интерпретацию полученных уравнений;
б
вычислить коэффициент корреляции
;
на уровн
е значимости
= 0,05
оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи
между переменными
ξ
и
;
в используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний
выпуск продукции предприятия с затратами рабочего времени 55 тыс. чел.
дн
ей
.
ВАРИАНТ 5
для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой
5
)
1
. Вероятность того, что желание, загаданное на Новый год, сбудется
,
равна 0,7.
Найти вероятность того, что из 1
00 загаданных желаний сбудется:
а ровно 75
желаний;
б от 60 до
85
желаний
;
в не менее половины желаний
.
2
.
Дневная выручка магазина
шаговой доступности
является случайной
величиной, распределенной по нормальному з
акону со средним значением
25000
руб. и сред
ним квадратическим отклонением 3
000 руб.
1 С помощью нераве
нства Чебышева оценить вероятность того, что
дневная выручка
магазина шаговой доступности
будет находит
ь
ся в
пределах от
22000 до 28
000 руб.
2 Ту же вероятность найти, используя связь нормального закона
распределения с функцией Лапласа.
3
.
Функция распре
деления непрерывной
случайной величины
ξ
имеет
вид:
Найти
: 1 параметр
а
;
2 плотность вероятности
;
3 математическое ожидание
M
(
ξ
)
и дисперсию
D
(
ξ
)
.
Построить графики функций
(
x
)
и
F
(
x
)
0
при2
2
при225
1
при25
,
(),,
,.
x
Fxaxx
x
x
4.
По схеме собственно
-
случайной бесповторной выборки проведено
10%
-
ное обследование строительных организаций региона по
недельному
объему выполненных
строительных работ
(
тыс
. руб..
Предполагая, что в
регионе функционируют 1300 строительных организаций
, получены
следующие
данные
:
748
449
713
602
775
661
1047
676
1008
488
612
641
761
660
642
794
636
924
859
866
839
573
510
597
735
1035
435
759
645
695
597
795
671
596
922
694
556
572
668
776
729
656
738
941
702
707
479
610
783
698
824
877
572
887
649
984
668
857
616
498
682
716
749
706
667
865
896
697
519
841
838
838
711
609
740
433
714
940
848
561
609
837
715
766
451
603
639
673
613
821
784
665
534
751
580
748
753
629
686
724
728
643
701
617
687
540
834
867
804
756
610
712
828
779
739
686
556
8
24
755
650
833
882
521
509
849
870
825
891
749
853
Составить интервальный вариационный ряд. Записать эмпирическую
функцию распределения и построить ее график. На одном чертеже
изобразить гистограмму и полигон частот.
По сгруппированным данным вычислить выборочные числовые
характеристики: среднее арифме
тическое, исправленную выборочную
дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации,
асимметрию, эксцесс, моду и медиану.
Найти:
а границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен средний объем
выполненных работ всех строительных организа
ции региона;
б вероятность того, что доля всех строительных организаций, объем
работ которых не менее 60
0 тыс
. руб., отличается от доли таких организаций
в выборке не более чем на 0,05 по абсолютной величине;
в объем бесповторной выборки, при котором т
е же границы для
среднего объема выполненных работ, см. п. а, можно гарантировать с
вероятностью 0,9876.
5
.
Заменив
неизвестные параметры
генеральной совокупности
соответственно
их
наилучшими
выборочными
оценками
,
п
о данным задачи
4
, используя
2
-
крите
рий Пирсона, на уровне значимости
0,05 проверить
две гипотезы
о том, что
изучаемая
случайная величина
ξ
–
величина
транспортных затрат
–
распределена
:
а
по
нормальному закону распределения;
б по равномерному
закону
распределения
.
Построить на
черт
еже
,
где
изображена
гистограмм
а
эмпирического
распределения
,
соответствующ
ие графики равномерного и нормального
распределений
.
6
.
Распределение 50 городов по численности населения
ξ
тыс. чел. и
среднемесячному доходу на одного человека
тыс. руб.
представлено в
таблице:
ξ
3
–
4
4
–
5
5
–
6
6
–
7
7
–
8
Более 8
Итого
:
30
–
50
1
1
3
5
50
–
70
2
5
1
8
70
–
90
1
1
6
2
2
12
90
–
110
4
9
13
110
–
130
2
2
5
9
Более
130
2
1
3
Итого:
1
4
15
18
9
3
50
Необходимо:
1 Вычислить групповые средние
, построить эмпирические
линии регрессии;
2 Предполагая, что между переменными
ξ
и
существует линейная
корреляционная зависимость:
а найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном
чертеже с эмпирическими линиями регресси
и и дать экономическую
интерпретацию полученных уравнений;
б вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости
=0,05
оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи
между переменными
ξ
и
;
в используя соответствующее уравнен
ие регрессии, оценить средний
доход на одного человека в городе с населением 100 тыс. человек.
ВАРИАНТ 6
для студентов, номера личных д
ел которых оканчиваются цифрой 6
)
1.
На почту поступило 8000 писем. Вероятность того, что на случайно
взятом конверте о
тсутствует почтовый индекс, равна 0,0005. Найти
вероятность того, что почтовый индекс отсутствует: а на трех конвертах; б
не менее чем на трех конвертах.
2.
Вероятность поражения
цели при одном выстреле равна 0,4. Было
произведено 600 выстрелов. Найти:
а
границы, в которых с вероятностью 0,9949 будет заключено число
попаданий в цель;
б число выстрелов, которые надо произвести по мишени, чтобы с
вероятностью 0,9949 ожидать, что отклонение относительной частоты от
вероятности попадания при одном выстреле
будет по модулю меньше 0,05.
3
.
Случайная величина
ξ
подчинена нормальному закону
распределения с нулевым
математическим ожиданием. Вероятность
попадания этой случайной величины в интервале от
–
2 до 2 равна 0,5705.
Найти среднее квадратическое отклонение и
плотность распределения этой
случайной величины.
Вычислить вероятность того, что случайная величина
будет принимать значения:
а меньшее 3;
б большие 4;
в отличаться от своего математического ожидания не более чем на
3,5 по абсолютной величине.
4
.
С
целью определения средней
величины месячной заработанной
платы работников торговой сферы в некотором крупном районе города
, по
схеме собстве
нно
-
случайной
бесповторной выборки было отобрано 150
работников из 1300. Распределение месячной заработной платы т
ыс. руб.
представлен
о
в таблице:
18,3
23,3
20,2
29,9
33,5
22,2
17,3
23,7
21,7
21,3
29,8
25,9
28,7
32,1
25,4
24,8
31,8
24,8
19,0
27,0
18,1
21,8
20,9
21,4
19,8
36,6
32,6
20,5
28,6
31,4
30,1
31,2
31,7
23,2
25,3
22,3
11,1
36,8
25,1
27,2
25,5
34,0
4,7
18,7
30,2
26,4
20,3
13,3
20,1
22,6
33,0
29,8
24,8
27,7
30,7
34,3
20,7
34,0
18,6
34,5
28,6
32,2
21,7
28,8
33,2
30,6
22,4
29,7
33,6
22,3
22,5
16,3
28,2
21,4
30,6
33,4
20,9
24,2
29,7
43,1
16,0
18,3
22,1
25,7
21,4
16,7
24,3
17,0
35,8
23,7
17,7
27,4
21,7
25,9
29,8
29,7
33,6
12,0
7,0
23,6
20,0
37,6
41,7
29,7
29,9
25,8
29,4
26,9
15,8
27,2
32,6
26,9
15,3
21,9
21,9
23,7
20,5
25,5
22,5
22,3
30,7
21,9
23,1
31,6
18,8
35,3
21,8
20,6
24,3
25,6
11,4
35,4
30,1
22,7
25,3
32,4
28,3
21,7
24,7
25,6
27,9
18,8
32,6
18,7
27
,7
26,3
34,2
23,7
25,0
30,2
Составить интервальный вариационный ряд. Записать эмпирическую
функцию распределения и построить ее график. На одном чертеже
изобразить гистограмму и полигон частот.
По сгруппированным данным вычислить выборочные числовые
характеристики: среднее арифметическое, исправленную выборочную
дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации,
асимметрию, эксцесс, моду и медиану.
Найти:
а границ
ы, в которых с вероятностью 0,97
7
будет
заключен
а
средн
яя
месячная зара
ботанная плата
всех
работников торговой сферы города
;
б вероятность того, что доля всех
работников торговой сферы города
,
месячная заработанная плата
которых
превышает
3
0 тыс
. руб., отличается от
доли
,
полученной по
выборке
,
не более чем на 0,05 по абсо
лютной
величине;
в объем бесповторной выборки, при котором те же границы для
средне
й
месячной заработанной платы
всех
работников торговой сферы
города
,
полученные в
п. а, можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
5
.
Заменив
неизвестные параметры
гене
ральной совокупности
соответственно
их
наилучшими
выборочными
оценками
,
п
о данным задачи
4
, используя
2
-
критерий Пирсона, на уровне значимости
0,05 проверить
две гипотезы
о том, что
изучаемая
случайная величина
ξ
–
месячная
заработанная плата работни
ков торговой сферы города
–
распределена
:
а
по
нормальному закону распределения;
б по равномерному
закону
распределения
.
Построить на
чертеже
,
где
изображена
гистограмм
а
эмпирического
распределения
,
соответствующ
ие графики равномерного и нормального
распределений
.
6
.
Имеются следующие выборочные данные о рыночной стоимости
квартир
тыс.
у.е. и их общей площади
ξ
кв.
м
:
ξ
13
–
18
18
–
23
23
–
28
28
–
33
33
–
38
Итого
:
33
–
49
4
2
1
7
49
–
65
2
6
4
1
13
65
–
81
1
4
9
4
1
19
81
–
97
3
6
3
12
97
–
113
1
3
5
9
Итого
:
7
12
18
14
9
60
Необходимо:
1 Вычислить групповые средние
, построить эмпирические
линии регрессии;
2 Предполагая, что между переменными
ξ
и
существует линейная
корреляционная зависимость:
а найт
и уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном
чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую
интерпретацию полученных уравнений;
б вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости
=0,05
оценить его значимость и сделат
ь вывод о тесноте и направлении связи
между переменными
ξ
и
;
в используя соответствующее уравнение регрессии, оценить
стоимость квартиры общей площадью 75 кв.
м.
ВАРИАНТ 7
для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой
7
)
1
.
При установи
вшемся технологическом процессе в день в среднем
происходит 10 обрывов нити на 100 веретенах. Определить вероятность того,
что на 800 веретенах
произойдет:
а ровно 78 обрывов нити;
б обрыв нити произойдет не более чем на 100 веретенах.
2
.
В течение
дня
в банк приходят в среднем 150 клиентов, из которых
каждый десятый
приходит в банк
для того, чтобы снять
проценты с вклада.
Среднее квадратическое отклонение случайной величины
ξ
–
числа
клиентов, пришедших в банк снять проценты
–
равно 5
.
Оценить
вероятность того, что
сегодня число клиентов банка, пришедших снять
проценты, будет
:
а не более 20
;
б более 25.
в будет отличаться от средне
го числа не
более чем на
7
по
абсолютной величине
.
3.
Диаметр выпускаемой детали является нормально распред
еленной
случайной величиной с математическим ожиданием
а
5 см и средним
квадратическим отклонением
0,02 см.
Вычислить вероятность того, что
размеры случайно выбранной детали будут:
а заключены в границах от 4,975 см до 5,015 см;
б
отличаться от своего математического ожидания не более чем на
0,015 по абсолютной величине.
Найти вероятность того, что из двух проверенных деталей, диаметр
хотя бы одной отклоняется от математическог
о ожидания не более, чем на
0,03
см по абсолютной в
еличине.
4
.
В некотором городе по схеме собственно случайной бесповторной
выборки было обследовано 180 магазинов розничной торговли из 2500 с
целью изучения месячного объема розничного товарооборота. Распределение
месячного объема розничного товарооборота
тыс. руб.
представлен
о
в
таблице:
284
492
443
351
698
423
403
418
881
485
697
693
656
679
517
513
458
554
303
555
362
610
576
501
622
658
341
517
715
436
307
465
458
301
474
478
583
434
573
837
468
430
207
371
582
846
514
562
569
714
453
564
581
62
4
539
427
372
609
316
427
435
662
537
589
795
683
747
469
455
709
766
527
688
639
614
717
405
780
858
328
593
513
624
715
536
508
277
502
427
816
650
595
701
491
207
541
609
430
630
558
492
550
552
550
726
583
367
403
410
627
387
395
675
602
606
476
253
534
466
448
σ
513
528
456
726
520
599
769
528
492
499
719
541
654
368
625
344
636
452
429
405
615
547
292
590
383
505
585
325
519
624
494
530
231
404
633
719
477
454
508
515
540
363
409
565
542
489
273
509
543
669
403
707
305
589
734
576
553
466
33
2
632
Составить интервальный вариационный ряд. Записать эмпирическую
функцию распределения и построить ее график. На одном чертеже
изобразить гистограмму и полигон частот.
По сгруппированным данным вычислить выборочные числовые
характеристики: средне
е арифметическое, исправленную выборочную
дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации,
асимметрию, эксцесс, моду и медиану.
Найти:
а границ
ы, в которых с вероятностью 0,96
будет
заключен
средний
месячный товарооборот
всех
торговых
предприятий города
;
б вероятность того, что доля всех
торговых предприятий города
,
месячный товарооборот
которых
не
превышает
50
0 тыс
. руб., отличается от
доли
предприятий,
полученной по
выборке не более, чем на 0,05 по
абсолютной величине;
в объем
бесповторной выборки, при котором те же границы для
среднего месячного товарооборота
всех
торговых предприятий города
,
полученные в
п. а, можно гарантировать с вероятностью 0,98.
5
.
Заменив
неизвестные параметры
генеральной совокупности
соответственно
их
наилучшими
выборочными
оценками
,
п
о данным задачи
4
, используя
2
-
критерий Пирсона, на уровне значимости
0,05 проверить
две гипотезы
о том, что
изучаемая
случайная величина
ξ
–
месячный
товарооборот торговых предприятий города
–
распределена
:
а
п
о
нормальному закону распределения;
б по равномерному
закону
распределения
.
Построить на
чертеже
, на котором изображена
гистограмм
а
эмпирического распределения
,
соответствующ
ие графики равномерного и
нормального распределений
.
6.
Распределение 60 пр
едприятий по
затратам
рабочего времени
ξ
тыс. чел
овеко
-
дней чел.
дн
ей
)
и выпуску продукции
ζ
млн. руб
.
)
представлены в таблице:
y
x
30
–
40
40
–
50
50
–
60
60
–
70
70
–
80
Итого:
10
–
25
1
3
2
6
25
–
40
3
6
4
1
14
40
–
55
3
7
6
1
17
55
–
70
1
6
4
4
15
70
–
85
2
5
1
8
Итого:
4
13
21
16
6
60
Необходимо:
1)
В
ычислить групповые средние
,
построить
эмпирические линии регрессии;
2)
П
редполагая, что между переменными
ζ
и
ζ
существует линейная
корреляционная зависимость
:
а найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на
одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии
, дать экономическую
интерпретацию полученных уравнений
;
б вычислить коэффициент корреляции
;
на уровне значимости
=
0,05
оценить его знач
имость и сделать вывод о тесноте и направлении связи
между переменными
X
и
Y
;
в используя соответствующее уравнение регрессии,
оценить
средний
выпуск продукции предприятия,
с
затратами
рабочего времени 55 тыс. чел.
дн
ей
.
ВАРИАНТ 8
для студентов, номера
личных д
ел которых оканчиваются цифрой 8
)
1
.
Вероятность сбоя при получении денег в банкомате равна 0,001.
Найти вероятно
сть того, что из 5000 обращений,
банкомат правильно
сработает
:
а
не менее 4995 раз
;
б не более 4997 раз
.
2.
В
осветительную сеть
у
частка автодороги
было включено 4
00
новых
электро
ламп
. Каждая электролампа в течение года мож
ет перегореть с
вероятностью 0,
05
.
Оценить вероятность того, что в течени
е
года
из числа
включенных в начале года
электроламп
придется заменить новыми:
а не
м
е
нее 25
ламп;
б не более 3
0
ламп.
3
.
По данным страховых компаний некоторой страны и
звестно, что
продолжительность жизни человека
есть случайная величина
ξ
(
лет
),
имеющая показательный закон распределения. Н
айти математическое
ожидание и среднее квадрат
ическое
отклонение
этой случайной величины,
если известно, что
человек доживает до
75 лет с
вероятность
0
,2.
П
остроить
схематично
4
графики функции распределения и функции
плотности
распределения этой случайной величины.
Вычислить вероятность того, что в
ыбранн
ый
случайным образом
новорожденный человек проживет
:
а не более 60
лет
;
б не менее 70
лет
;
4
Для построения графиков можно использовать
Microsoft
Excel
.
в от 50 до 8
0
лет
.
Какова вероятность прожить до 70 лет клиенту страховой компании,
если ему сейчас 50 лет?
4
.
По схеме
собственно
-
случайной бесповторной в
ыборки проведено
10%
-
ное обследование предприятий одной из отраслей экономики в
отчетном году с
целью определения
объемов
выпуск
аемой
продукции млн
.
руб.
.
Полученные данные
представлен
ы
в таблице:
62,27
91,63
76,17
125,15
42,73
105,08
65,02
66,47
67,26
52,10
67,06
90,19
72,84
70,35
79,33
90,38
103,07
76,29
78,36
110,46
65,95
65,57
105,32
72,88
119,00
83,08
90,25
83,81
89,44
100,10
68,29
87,11
94,39
87,07
61,58
99,45
65,80
96,49
88,31
76,69
83,71
83,26
80,45
123,17
112,47
77,30
85,70
59,56
100,16
44,9
1
81,67
88,36
73,38
90,02
90,39
71,57
65,76
64,00
73,39
97,65
94,91
77,13
49,69
106,97
104,18
116,68
82,85
66,51
76,05
91,90
58,69
50,57
93,06
99,49
70,32
101,71
38,48
74,66
79,18
95,35
51,40
81,50
112,34
75,40
66,08
79,88
91,13
105,40
52,35
54,91
72,
82
121,39
76,50
65,34
85,48
111,86
86,49
92,90
90,61
47,63
73,59
82,48
70,72
78,27
54,38
59,64
58,26
61,87
66,55
73,85
90,17
46,01
75,57
86,93
93,05
70,86
88,77
78,66
91,89
109,49
54,92
90,78
80,91
94,76
100,73
103,59
58,59
68,79
84,46
75,01
82,00
91,5
3
108,37
46,04
56,89
52,17
80,26
62,50
65,05
78,10
72,36
81,25
56,34
83,97
64,52
80,06
92,67
63,82
79,50
72,07
97,30
78,66
76,42
103,88
79,08
81,01
66,76
117,25
61,88
87,49
Составить интервальный вариационный ряд. Записать эмпирическую
функцию распредел
ения и построить ее график. На одном чертеже
изобразить гистограмму и полигон частот.
По сгруппированным данным вычислить выборочные числовые
характеристики: среднее арифметическое, исправленную выборочную
дисперсию, среднее квадратичное отклонение, ко
эффициент вариации,
асимметрию, эксцесс, моду и медиану.
Найти:
а вероятность того, что
средняя величина
объема выпускаемой
продукции в отрасли
отличается от
полученной по выборке не более чем на
2
00
тыс.
руб.
;
б
границ
ы, в которых с вероятностью 0,96
заключена доля
всех
предприятий отрасли
,
объем выпускаемой продукции которых составляет
не менее 60 млн.
руб.;
в
объем бесповторной выборки, при котором
те же
границы для
генеральной средней
объема выпускаемой продукции
из
п. а
можно
гарантировать с
вероятностью 0,9
7
.
5
.
Заменив
неизвестные параметры
генеральной совокупности
соответственно
их
наилучшими
выборочными
оценками
,
п
о данным задачи
4
, используя
2
-
критерий Пирсона, на уровне значимости
0,05 проверить
две гипотезы
о том, что
изучаемая
сл
учайная величина
ξ
–
объем
выпускаемой продукции в отрасли
–
распределена
:
а
по
нормальному закону распределения;
б по равномерному
закону
распределения
.
Построить на
чертеже
,
где
изображена
гистограмм
а
эмпирического
распределения
,
соответствующ
ие г
рафики равномерного и нормального
распределений
.
6.
Распределение 50
однотипных
предприятий по
величине
заработанной платы
ξ
тыс
.
руб.
на них и текучести кадров
число
уволившихся за год сотрудников представлено
в таблице:
ξ
Ме
нее
10
10
–
1
5
1
5
–
20
20
–
2
5
25
–
30
Более
30
Итого
20
–
35
1
2
2
5
3
5
–
50
2
3
2
1
8
50
–
6
5
1
3
2
3
1
10
6
5
–
80
2
4
4
2
1
13
80
–
9
5
1
4
2
1
8
95
-
110
2
2
1
1
6
Итого
6
13
11
11
6
3
5
0
Необходимо:
1 Вычислить групповые средние
, построить эмпирические
линии регрессии;
2 Предполагая, что между переменными
ξ
и
существует линейная
корреляционная зависимость:
а найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном
чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экон
омическую
интерпретацию полученных уравнений;
б вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости
=0,05
оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи
между переменными
ξ
и
;
в используя соответствующее уравнение регрессии,
определить
какую
заработанную плату имели уволившиеся сотрудники, если их число
составило 17 человек
.
ВАРИАНТ 9
для студентов, номера личных д
ел которых оканчиваются цифрой 9
)
1.
По статистическим данным в
городе 14% пенсионеров
,
среди
которых
каждый
двухсотый верит «некачественной» рекламе. Какова вероятность
того, что хотя бы два пенсионера поверят
такой
рекламе, если в городе
население
составляет
10000 человек?
2.
Сумма вклада клиента сберегательного банка
–
это случайная
величина, распределенная
по биномиальному закону с математическим
ожиданием 15 тыс. руб. и дисперсией 0,4.
1 Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что
сумма вклада наудачу взятого вкладчика будет заключена в границах от 14
тыс. руб. до 16 тыс. руб.
2 Найти т
у же вероятность, используя следствие из интегральной
теоремы Муавра
-
Лапласа.
j
i
y
x
и
3.
Случайная величина
ξ
имеет нормальный закон распределения с
параметрами
а
и
. Найти параметры, если известно, что
и
. Вычислить вероятность того, что значение случайной
величины
Х
окажется меньше 2.
4
.
С целью
изучения роста производительности труда
на предприятиях
молочной промышленности
по схеме собственно
-
случайной
бесповторной
выборки
было обследовано
16
0 п
редприятий из 1
5
00. Данные о величине
роста производительности труда %
представлен
ы
в таблице:
113,1
100,4
110,9
104,2
114,7
107,5
120
108,4
119,9
100,8
104,6
106,2
113,9
107,4
106,3
115,6
106
119,4
118,2
118,3
117,5
102,9
101,1
103,9
112,3
119,9
100,
3
113,7
106,4
109,7
103,9
115,7
108,1
103,9
119,4
109,6
102,3
102,9
107,9
114,7
111,9
107,2
112,5
119,6
110,1
110,5
100,7
104,5
115,1
109,9
117
118,6
102,9
118,8
106,7
119,8
107,9
118,1
104,8
100,9
108,8
111
113,2
110,4
107,8
118,3
119
109,8
101,3
117,
6
117,5
117,5
110,8
104,5
112,6
100,3
110,9
119,5
117,8
102,5
104,5
117,5
111
114,2
100,4
104,2
106,1
108,2
104,7
116,9
115,2
107,7
101,7
113,3
103,2
113,1
113,4
105,6
109,1
111,6
119,1
108,3
101,3
102,4
111,9
109,6
114,5
102,3
106,4
116,7
119,3
106,3
107,6
113,6
112
101,8
108,7
106,4
118,7
113,5
108,9
112,8
114,5
112,4
112,6
102,7
107,8
105,7
105,2
116,6
113,4
114,1
109,7
106,1
108,4
111,4
114,6
110,7
109
105,9
111,2
106,5
114,3
109,3
106,6
106,3
111,3
119,1
112
102,7
112,2
115,5
103,1
111,7
110,5
114,5
113,1
110
108,3
108,5
2
σ
5
,
0
1
P
9973
,
0
4
2
P
Составить интервальный вариационный ряд. Записать эмпирическую
функцию распределения и построить ее график. На одном чертеже
изобразить гистограмму и полигон частот.
По сгруппированным данным вычислить выборочные числовые
характеристики: среднее арифметическое, исправленную выборочную
дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации,
асимметрию, эксцесс, моду и медиану.
Найти:
а вероятность того, что
доля предприятий молочной
промышленности, производитель
ность труда на которых составляет не
менее 105%,
отличается от
полученной по выборке не более чем на
5%
;
б
границ
ы,
в которых с вероятностью 0,95
заключена
средняя
производительность труда на всех пред
приятий молочной промышленности
;
в
объем бесповт
орной выборки, при котором границы
производительность труда на всех предприятий молочной промышленности,
полученные в п. б
)
можно гарантировать с вероятностью 0,9
7
.
5
.
Заменив
неизвестные параметры
генеральной совокупности
соответственно
их
наилучшими
вы
борочными
оценками
,
п
о данным задачи
4
, используя
2
-
критерий Пирсона, на уровне значимости
0,05 проверить
две гипотезы
о том, что
изучаемая
случайная величина
ξ
–
производительность труда на предприятий молочной промышленности
–
распределена
:
а
по
нормальному закону распределения;
б по равномерному
закону
распределения
.
Построить на
чертеже
,
где
изображена
гистограмм
а
эмпирического
распределения
,
соответствующ
ие графики равномерного и нормального
распределений
.
6.
Распределение
110
предприяти
й по стоимости основных
производственных фондов
ξ
млн.
руб. и стоимости произведенной
продукции
млн.
руб. представлены в таблице:
ξ
15
–
25
25
–
35
35
–
45
45
–
55
55
–
65
65
–
75
Итого
:
5
–
15
17
4
21
15
–
25
3
18
3
24
25
–
35
2
15
5
22
35
–
45
3
13
7
23
45
–
55
6
14
20
Итого
:
20
24
21
18
13
14
110
Необходимо:
1 Вычислить групповые средние
, построить эмпирические
линии регрессии;
2 Предполагая, что между переменными
ξ
и
существует линейная
корреляци
онная зависимость:
а найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном
чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую
интерпретацию полученных уравнений;
б вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости
=0,05
оцен
ить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи
между переменными
ξ
и
;
в используя соответствующее уравнение регрессии, определить
среднюю стоимость произведенной продукции, при стоимости основных
производственных фондов 45 млн. руб.
В
АРИАНТ 1
0
для студентов, номера личных дел которых оканчиваются цифрой
0
)
1.
Человек, проходящий мимо киоска, по
купает газету с вероятностью
0,1
.
Найти вероятность того, что среди 400 человек, прошедших мимо
киоска в течение часа:
а купят газету 90 чело
век;
б не купят газету от 300 до 340 человек включительно.
2
.
В среднем, 20
%
кустов смородины
плодоносят 1
0 лет.
При этом
среднее квадратическое отклонение составляет 2,5 года. Оценить
вероятность того, что выбранный куст смородины будет плодоносить
:
а менее 12 лет;
б более 8 лет;
в от 7 до 13 лет.
3.
Установлено, что время ремонта холодильника
в мастерской
есть
случайная величина
ξ
, распределенная по показательному закону. Среднее
время ремонта
составляет 10 часов.
Определить, что на ремонт пос
тупившего
в мастерскую холодильник потребуется:
а не более 15
часов
б от 7 до 12 часов
.
4.
На
одном
из
участков
шоссе
было
проведено
измерение
скорости
движения
автомобилей
в км
/
ч
.
Известно, что в течении суток по данному
участку проезжает в среднем
2570 автомобилей. Выборочное измерение
скорости
120
автомобилей показало следующие результаты
:
58
54
61
66
66
69
49
59
65
55
57
52
51
55
56
49
57
58
61
58
58
58
67
60
59
57
70
64
72
57
68
52
63
65
70
60
57
63
58
64
53
56
52
58
60
60
58
71
51
56
47
67
54
57
64
62
64
63
53
54
63
62
55
59
61
63
61
55
69
62
60
64
64
57
55
66
54
52
64
63
71
67
67
61
60
62
60
55
51
64
65
74
74
51
45
59
71
47
53
46
69
70
47
53
55
50
65
51
49
75
64
52
64
55
73
51
53
71
72
48
Составить интервальный вариационный ряд.
Записать эмпирическую
функцию распределения и построить ее график. На одном чертеже
изобразить гистограмму и полигон частот.
По сгруппированным данным вычислить выборочные числовые
характеристики: среднее арифметическое, исправленную выборочную
дисперс
ию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации,
асимметрию, эксцесс, моду и медиану.
Найти:
а вероятность того, что
доля всех автомобилей, проезжающих в
течении суток по данному участку пути, скорость которых превышает 80
км
/
час
,
отличается
от
полученной по выборке не более чем на 5
%
;
б
границ
ы, в которых с вероятностью 0,95
заключена
средняя
скорость всех автомобилей, проезжающих через данный участок пути
;
в
объем бесповторной выборки, при котором
те же
границы для
генеральной средней
скор
ости движения
,
полученные в п. б
)
можно
гарантировать с вероятностью 0,9
7
.
5
.
Заменив параметры генеральной совокупности
соответственно
их
наилучшими
выборочными числовыми
характеристиками,
п
о данным задачи
4
, используя
2
-
критерий Пирсона, на уровне з
начимости
0,05 проверить
две гипотезы
о том, что
изучаемая
случайная величина
ξ
–
скорость
движения автомобиля
–
распределена
:
а
по
нормальному закону распределения;
б по равномерному
закону
распределения
.
Построить на
чертеже
, на котором изображен
а
гистограмм
а
эмпирического распределения и соответствующ
ие графики равномерного и
нормального распределений
.
6.
Распределение 60 предприятий по объему инвестиций в развитие
производства
ξ
млн.
руб. и получаемой за год прибыли
млн.
руб.
представле
ны в таблице:
ξ
0
–
0,8
0,8
–
1,6
1,6
–
2,4
2,4
–
3,2
3,2
–
4,0
Итого
:
2
–
4
2
2
4
4
–
6
2
7
10
19
6
–
8
2
17
7
26
8
–
10
4
3
2
9
10
–
12
2
2
Итого
:
4
11
31
10
4
60
Необходимо:
1 Вычислить групповые средние
, пос
троить эмпирические
линии регрессии;
2 Предполагая, что между переменными
ξ
и
существует линейная
корреляционная зависимость:
а найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном
чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономиче
скую
интерпретацию полученных уравнений;
б вычислить коэффициент корреляции; на уровне значимости
=0,05
оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи
между переменными
ξ
и
;
в используя соответствующее уравнение регрессии, оцени
ть
полученную прибыль при объеме инвестиций 5 млн. руб.
Экзаменационные вопросы
1. Классификация случайных событий: возможные и невозможные
события, совместные и несовместные, противоположные и достоверные
события. Примеры.
2. Полная группа событий. Про
странство элементарных исходов.
Примеры.
3. Классическое определение вероятности события. Свойства
вероятности события. Примеры.
4. Статистическое определение вероятности события. Примеры.
Теорема Бернулли с доказательством.
5. Геометрическое определение
вероятности. Примеры.
6. Сумма событий и ее свойства. Примеры.
7. Теорема сложения вероятностей с доказательством и ее следствия.
Примеры.
8. Произведение событий и его свойства. Примеры.
9. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема
умножения вероятностей с доказательством. Примеры.
10. Формулы полной вероятности и Байеса. Примеры.
11. Случайная величина определение. Дискретная случайная
величина и ее закон ряд распределения. Основное свойство закона
распределения. Примеры.
12.
Совместный закон распределения двух дискретных случайных
величин. Зависимые и независимые случайные величины. Примеры.
Основное свойство совместного закона распределения для независимых
случайных величин.
13. Математические операции над дискретными случай
ными
величинами. Примеры.
14. Функция распределения случайной величины, ее определение,
свойства и график. Примеры.
15. Функция распределения дискретной случайной величины.
Примеры.
16. Теорема о существовании случайной величины с заданной
функцией распред
еления. Непрерывная случайная величина. Вероятность
отдельно взятого значения непрерывной случайной величины. Примеры.
17. Абсолютно непрерывная случайная величина. Плотность
вероятности абсолютно непрерывной случайной величины, ее определение,
свойства и
график. Примеры.
18. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
Примеры.
19. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Среднее
квадратическое отклонение случайной величины. Примеры.
20. Закон распределения Бернулли, его определение, свойс
тва и
примеры.
21. Биномиальный закон распределения, его определение, свойства и
примеры.
22. Закон распределения Пуассона, его определение, свойства и
примеры.
23. Геометрическое распределение, его определение, свойства и
примеры.
24. Равномерный закон ра
спределения, его определение, свойства и
примеры.
25. Нормальный гауссовский закон распределения. Геометрический и
вероятностный смысл параметров нормального закона распределения.
Примеры.
26. Стандартный нормальный закон распределения. Функция Гаусса, е
е
свойства и график. Теорема о связи плотности нормального закона
распределения и функции Гаусса.
27. Функция Лапласа, ее свойства, график и геометрический смысл.
Теорема о связи функции распределения нормального закона и функции
Лапласа. Примеры.
28.Свой
ства случайной величины, распределенной по нормальному
закону. Правило трех сигм. Примеры.
29. Показательный экспоненциальный закон распределения, его
определение, свойства и примеры.
30. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Примеры.
31. По
нятие о центральной предельной теореме. Локальная и
интегральная теоремы Муавра
—
Лапласа, условия их применимости.
Примеры.
32. Следствия из интегральной теоремы Муавра
—
Лапласа. Примеры.
33. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости.
Приме
ры.
34. Лемма Чебышева. Примеры.
35. Неравенство Чебышева. Примеры.
36. Понятие двумерной
n
-
мерной случайной величины. Примеры.
Одномерные распределения ее составляющих. Условные распределения.
37. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин.
Связь
между некоррелированностью и независимостью случайных величин.
38.Понятие о двумерном нормальном законе распределения. Условные
математические ожидания и дисперсии.
39. Вариационный ряд, его разновидности. Средняя арифметическая и
дисперсия ряда. Ги
стограмма.
40. Генеральная совокупность. Выборки и способы их получения.
Репрезентативная выборка.
41. Точечные оценки неизвестных параметров генеральной
совокупности и их свойства: несмещенность, состоятельность,
эффективность.
42. Выборочная доля как то
чечная оценка генеральной доли, ее
несмещенность и состоятельность.
43. Выборочная средняя как точечная оценка генеральной средней, ее
несмещенность и состоятельность.
44. Выборочная дисперсия как точечная оценка генеральной
дисперсии, ее
смещенность и сос
тоятельность. Несмещенная оценка
генеральной дисперсии.
45. Интервальные оценки неизвестных параметров генеральной
совокупности. Доверительная вероятность. Предельная ошибка выборки.
Средние квадратические ошибки выборок.
46. Построение доверительного и
нтервала для генеральной доли
признака.
47. Построение доверительного интервала для генеральной средней.
48. Определение необходимого объема повторной и бесповторной
выборок при оценке генеральной средней и доли.
49. Основные принципы проверки статистическ
их гипотез.
50. Критерий
Пирсона для проверки гипотезы о виде закона
распределения.
51.
t
–
критерий Стьюдента для проверки значимости коэффициента
корреляции.
52. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.
Различи
я между ними. Основные задачи теории корреляции.
53. Линейная парная регрессия. Система нормальных уравнений для
определения параметров прямых регрессии. Выборочная ковариация.
54. Оценка тесноты связи. Выборочный коэффициент корреляции и его
свойства.
2
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ
по дисциплине
«
Т
еория вероятностей и математическ
ая статистика»
для студентов
II
курса
заочного отделения бакалавриата
по
направлени
ю
«
Экономика
»
1.
Классификация случайных событий: возможные и невозможные события,
совместные и несовместные, противоположные и достоверные события. Примеры.
2.
Два стрелка стре
ляют по мишени по одному разу. Вероятности попаданий
соответственно 0,8 и 0,7.
Какова вероятность
того
, что не попадет ни один из них?
3.
Студент, отправляясь на экзамен, подготовил ответы на 30 вопросов из 50. Найти
вероятность того, что из трех заданных ему
вопросов он ответит хотя бы на два.
4.
На животноводческой ферме проводится обследование с целью определения
среднего процента жирности молока. По схеме собственно
-
случайной бесповторной
выборки из 1000 коров было отобрано 50.
Результаты наблюдени
я
представл
ены в
таблице:
Жирность
молока, %
3,5
3,6
3,7
3,8
3
,
9
4
4,1
4,2
4,3
Количество
коров
2
3
7
8
9
11
7
2
1
Найти вероятность того, что средняя жирность молока всех коров отличается от
выборочной
средней не более чем на 0,1 по абсолютной величине.
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ
по дисциплине
«Теория веро
ятностей и математическая статистика»
для студентов
II
курса заочного отделения бакалавриата
по направлению «Экономика»
1.
Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема умножения
вероятностей с доказательством. Примеры
.
2.
Уравнение линейной
регрессии имеет вид:
Известно, что среднее
значение
Найти среднее значение
3.
Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа каждого из них в
течение года работы равна 0,0
01 и не зависит от состояния других элементов. Найти
вероятность отказа за год работы: а двух элементов; б не менее двух элементов.
4.
Из партии в 5000 электроутюгов проверено качество 10% электроутюгов. Среди
проверенных оказалось 5% утюгов с дефектами. На
йти вероятность того, что
доля
годных электроутюгов во всей партии отличается от
доли
их в выборке не более чем
на 0,04 по абсолютной величине.
.
6
,
0
2
,
0
x
y
.
2
y
.
x
Значения функции Гаусса
Целые и
десятичные
доли
x
Сотые доли
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,3989
0,3989
0,3989
0,3988
0,3986
0,3984
0,3982
0,3980
0,3977
0,3973
0,1
3970
3965
3961
3956
3951
3945
3939
3932
3925
3918
0,2
3910
3902
3
894
3885
3876
3867
3857
3847
3836
3825
0,3
3814
3802
3790
3778
3765
3752
3739
3726
3712
3697
0,4
3683
3668
3653
3637
3621
3605
3589
3572
3555
3538
0,5
3521
3503
3485
3467
3448
3429
3410
3391
3372
3352
0,6
3332
3312
3292
3271
3251
3230
3209
3187
3166
31
44
0,7
3123
3101
3079
3056
3034
3011
2989
2966
2943
2920
0,8
2897
2874
2850
2827
2803
2780
2756
2732
2709
2685
0,9
2661
2637
2613
2589
2565
2541
2516
2492
2468
2444
1,0
0,2420
0,2396
0,2371
0,2347
0,2323
0,2299
0,2275
0,2251
0,2227
0,2203
1,1
2179
215
5
2131
2107
2083
2059
2036
2012
1989
1965
1,2
1942
1919
1895
1872
1849
1826
1804
1781
1758
1736
1,3
1714
1691
1669
1647
1626
1604
1582
1561
1539
1518
1,4
1497
1476
1456
1435
1415
1394
1374
1354
1334
1315
1,5
1295
1276
1257
1238
1219
1200
1182
1163
1145
1127
1,6
1109
1092
1074
1057
1040
1023
1006
0989
0973
0957
1,7
0940
0925
0909
0893
0878
0863
0848
0833
0818
0804
1,8
0790
0775
0761
0748
0734
0721
0707
0694
0681
0669
1,9
0656
0644
0632
0620
0608
0596
0584
0573
0562
0551
2,0
0,0540
0,0529
0,0519
0,05
08
0,0498
0,0488
0,0478
0,0468
0,0459
0,0449
2,1
0440
0431
0422
0413
0404
0396
0387
0379
0371
0363
2,2
0355
0347
0339
0332
0325
0317
0310
0303
0297
0290
2,3
0283
0277
0270
0264
0258
0252
0246
0241
0235
0229
2,4
0224
0219
0213
0208
0203
0198
0194
0189
0
184
0180
2,5
0175
0171
0167
0163
0158
0154
0151
0147
0143
0139
2,6
0136
0132
0129
0126
0122
0119
0116
0113
0110
0107
2,7
0104
0101
0099
0096
0093
0091
0088
0086
0084
0081
2,8
0079
0077
0075
0073
0071
0069
0067
0065
0063
0061
2,9
0060
0058
0056
0055
00
53
0051
0050
0048
0047
0046
3,0
0,0044
0,0043
0,0042
0,0041
0,0039
0,0038
0,0037
0,0036
0,0035
0,0034
3,1
0033
0032
0031
0030
0029
0028
0027
0026
0025
0025
3,2
0024
0023
0022
0022
0021
0020
0020
0019
0018
0018
3,3
0017
0017
0016
0016
0015
0015
0014
001
4
0013
0013
3,4
0012
0012
0012
0011
0011
0010
0010
0010
0009
0009
3,5
0009
0008
0008
0008
0008
0007
0007
0007
0007
0006
3,6
0006
0006
0006
0005
0005
0005
0005
0005
0005
0004
3,7
0004
0004
0004
0004
0004
0004
0003
0003
0003
0003
3,8
0003
0003
0003
0003
0003
0002
0002
0002
0002
0002
3,9
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0001
0001
4,0
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
4,1
0,0001338
4,5
0,0000160
5,0
0,0000015
2
2
2
1
x
e
x
f
Значения функции Лапл
аса
Целые и
десятичные
доли
x
Сотые доли
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,0000
0,0080
0,0160
0,0239
0,0319
0,0399
0,0478
0,0558
0,0638
0,0717
0,1
0,0797
0,0876
0,0955
0,1034
0,1113
0,1192
0,1271
0,1350
0,1428
0,1507
0,2
0,1585
0,1
663
0,1741
0,1819
0,1897
0,1974
0,2051
0,2128
0,2205
0,2282
0,3
0,2358
0,2434
0,2510
0,2586
0,2661
0,2737
0,2812
0,2886
0,2960
0,3035
0,4
0,3108
0,3182
0,3255
0,3328
0,3401
0,3473
0,3545
0,3616
0,3688
0,3759
0,5
0,3829
0,3899
0,3969
0,4039
0,4108
0,4177
0,4245
0,4313
0,4381
0,4448
0,6
0,4515
0,4581
0,4647
0,4713
0,4778
0,4843
0,4907
0,4971
0,5035
0,5098
0,7
0,5161
0,5223
0,5285
0,5346
0,5407
0,5467
0,5527
0,5587
0,5646
0,5705
0,8
0,5763
0,5821
0,5878
0,5935
0,5991
0,6047
0,6102
0,6157
0,6211
0,6265
0
,9
0,6319
0,6372
0,6424
0,6476
0,6528
0,6579
0,6629
0,6679
0,6729
0,6778
1,0
0,6827
0,6875
0,6923
0,6970
0,7017
0,7063
0,7109
0,7154
0,7199
0,7243
1,1
0,7287
0,7330
0,7373
0,7415
0,7457
0,7499
0,7540
0,7580
0,7620
0,7660
1,2
0,7699
0,7737
0,7775
0,7813
0,7850
0,7887
0,7923
0,7959
0,7984
0,8029
1,3
0,8064
0,8098
0,8132
0,8165
0,8198
0,8230
0,8262
0,8293
0,8324
0,8355
1,4
0,8385
0,8415
0,8444
0,8473
0,8501
0,8529
0,8557
0,8584
0,8611
0,8638
1,5
0,8664
0,8690
0,8715
0,8740
0,8764
0,8789
0,8812
0,8836
0,8
859
0,8882
1,6
0,8904
0,8926
0,8948
0,8969
0,8990
0,9011
0,9031
0,9051
0,9070
0,9090
1,7
0,9109
0,9127
0,9146
0,9164
0,9181
0,9199
0,9216
0,9233
0,9249
0,9265
1,8
0,9281
0,9297
0,9312
0,9327
0,9342
0,9357
0,9371
0,9385
0,9392
0,9412
1,9
0,9426
0,9439
0
,9451
0,9464
0,9476
0,9488
0,9500
0,9512
0,9523
0,9533
2,0
0,9545
0,9556
0,9566
0,9576
0,9586
0,9596
0,9606
0,9616
0,9625
0,9634
2,1
0,9643
0,9651
0,9660
0,9668
0,9676
0,9684
0,9692
0,9700
0,9707
0,9715
2,2
0,9722
0,9729
0,9736
0,9743
0,9749
0,9756
0,97
62
0,9768
0,9774
0,9780
2,3
0,9786
0,9791
0,9797
0,9802
0,9807
0,9812
0,9817
0,9822
0,9827
0,9832
2,4
0,9836
0,9841
0,9845
0,9849
0,9853
0,9857
0,9861
0,9865
0,9869
0,9872
2,5
0,9876
0,9879
0,9883
0,9886
0,9889
0,9892
0,9895
0,9898
0,9901
0,9904
2,6
0,
9907
0,9910
0,9912
0,9915
0,9917
0,9920
0,9922
0,9924
0,9926
0,9928
2,7
0,9931
0,9933
0,9935
0,9937
0,9939
0,9940
0,9942
0,9944
0,9946
0,9947
2,8
0,9949
0,9951
0,9952
0,9953
0,9955
0,9956
0,9958
0,9959
0,9960
0,9961
2,9
0,9963
0,9964
0,9965
0,9966
0,996
7
0,9968
0,9969
0,9970
0,9971
0,9972
3,0
0,9973
0,9974
0,9975
0,9976
0,9976
0,9977
0,9978
0,9979
0,9979
0,9980
3,1
0,9981
0,9981
0,9982
0,9983
0,9983
0,9984
0,9984
0,9985
0,9985
0,9986
3,2
0,9986
0,9987
0,9987
0,9988
0,9988
0,9989
0,9989
0,9989
0,9990
0
,9990
3,3
0,9990
0,9991
0,9991
0,9991
0,9992
0,9992
0,9992
0,9992
0,9993
0,9993
3,4
0,9993
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9994
0,9995
0,9995
0,9995
0,9995
3,5
0,9995
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9996
0,9997
0,9997
3,6
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9997
0,9998
0,9998
0,9998
3,7
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
0,9998
3,8
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
3,9
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,
9999
0,9999
0,9999
4,0
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
0,9999
dt
e
x
x
t
0
2
2
2
2
Значения функции Пуассона
m
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0
0.9048
0.8187
0.7408
0.670
3
0.6065
0.5488
0.4966
0.4493
0.4066
0.3679
1
0.0905
0.1637
0.2223
0.2681
0.3033
0.3293
0.3476
0.3595
0.3659
0.3679
2
0.0045
0.0164
0.0333
0.0536
0.0758
0.0988
0.1216
0.1438
0.1647
0.1839
3
0.0002
0.0011
0.0033
0.0072
0.0126
0.0198
0.0284
0.0383
0.0494
0.0613
4
0.0000
0.0001
0.0003
0.0007
0.0
0
16
0.0030
0.0050
0.0077
0.0111
0.0153
5
0.0000
0.0000
0.0000
0.0001
0.0002
0.0003
0.0007
0.0012
0.0020
0.0031
6
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0001
0.0002
0.0003
0.0005
7
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0001
m
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
0
0.1353
0.0498
0.0183
0.0067
0.0025
0.0009
0.0003
0.0001
0.0001
1
0.2707
0.1494
0.0733
0.0337
0.0149
0.0064
0.0027
0.0011
0.0005
2
0.2707
0
.2240
0.1465
0.0842
0.0446
0.0223
0.0107
0.0050
0.0023
3
0.1805
0.2240
0.1954
0.1404
0.0892
0.0521
0.0286
0.0150
0.0076
4
0.0902
0.1681
0.1954
0.1755
0.1339
0.0912
0.0572
0.0337
0.0189
5
0.0361
0.1008
0.1563
0.1755
0.1606
0.1277
0.0916
0.0607
0.0378
6
0.0120
0.0504
0.1042
0.1462
0.1606
0.1490
0.1221
0.0911
0.0631
7
0.0034
0.0216
0.0595
0.1045
0.1377
0.1490
0.1396
0.1171
0.0901
8
0.0009
0.0081
0.0298
0.0653
0.1033
0.1304
0.1396
0.1318
0.1126
9
0.0002
0.0027
0.0132
0.0363
0.0689
0.1014
0.1241
0.1318
0.
1251
10
0.0000
0.0008
0.0053
0.0181
0.0413
0.0710
0.0993
0.1186
0.1251
11
0.0000
0.0002
0.0019
0.0082
0.0225
0.0452
0.0722
0.0970
0.1137
12
0.0000
0.0001
0.0006
0.0034
0.0113
0.0264
0.0481
0.0728
0.0948
13
0.0000
0.0000
0.0002
0.0013
0.0052
0.0142
0.02
96
0.0504
0.0729
14
0.0000
0.0000
0.0001
0.0005
0.0022
0.0071
0.0169
0.0324
0.0521
15
0.0000
0.0000
0.0000
0.0002
0.0009
0.0033
0.0090
0.0194
0.0347
16
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0003
0.0015
0.0045
0.0109
0.0217
17
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0001
0.0006
0.0021
0.0058
0.0128
18
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0002
0.0009
0.0029
0.0071
19
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0001
0.0004
0.0014
0.0037
20
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0002
0.0006
0.0019
21
0.0000
0.0000
0.0000
0
.0000
0.0000
0.0000
0.0001
0.0003
0.0009
22
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0001
0.0004
23
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0002
24
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0001
25
0.0000
0.0
000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
e
m
m
P
m
!
λ
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1.
Потемкин А.В., Эйсымонт И.М.
Анализ данных: учебное пособие
.
–
М.:
Финансовый университет, 2014.
2.
Потемкин А.В., Фридман М.Н., Эйсымонт И.М.
Теория вероятностей и
математи
ческая статистика: учебное пособие.
М.: Финансовый
университет, 2015.
3.
А.В. Потемкин.
Учебное пособие «Теория вероятностей и анализ данных
в примерах и задачах»
–
М.: Финансовый университет,
Департамент
анализа данных, принятия решений и финансовых технологий, 2016.
4.
Геворкян П.С.
Теория вероятностей и математическая статистика:
Курс лекций
/ П.С. Геворкян, А.В. Потемкин, И.М. Эйсымонт.
—
М.:
Эконо
мика, 2012
.
Дополнительная
5.
Кремер Н.Ш.
Теория вероятн
остей и математическая статистика
. М.:
ЮНИТИ,
2003, 2004, 2007.
6.
Браилов А.В., Солодовников А.С.
Сборник задач по курсу «Математика в
экономике». Часть 3. Теория вероятностей
. М.:Финансы и статистика,
2010.
7.
Денежкина И.Е., Орлова М.Г., Швецов Ю.Н.
Основы м
атематической
статистики. Учебно
-
методическое пособие для самостоятельной
работы бакалавров.
М.: Финансовая академия при правительстве РФ,
2010.
8.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г.
Математика в экономике. Учебник в 3 ч. Ч.3. Теория
вероятностей и
математическая статистика.
М:. Финансы и статистика, 2008.
j
i
y
x
и
Приложенные файлы
