Әдістемелік нұсқау ГСЕ тпракт7


Ф.7-03-03
Қазақстан республикасының білім және ғылым министрлігі
оңтүстік қазақстан мемлекеттік педагогикаЛЫҚ институты
«Физика-математика» кафедрасы
Рахымбек Д., Мадияров Н.К.
5В010900– «Математика» мамандығының студенттеріне «Геометриялық салу есептері» пәнінен практикалық жұмыстарға арналған
ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУ
Шымкент – 2016ж
ӘОЖ 517 (075)
Құрастырушылар: Рахымбек Д., Мадияров Н.К.
«Геометриялық салу есептері» пәнінен практикалық жұмыстарына арналған әдістемелік нұсқау. - Шымкент: ОҚМПИ, 2016. - 81 б.

Әдістемелік нұсқау оқу жоспары мен «Геометриялық салу есептері» пәнінің бағдарламасына сәйкес жасалған және студенттердің практикалық жұмыстарының орындалуына қажет барлық мәліметтер толық берілген.
Әдістемелік нұсқау 5В010900–«Математика» мамандығының студенттеріне арналған.
Рецензенттер: Абдрахманов Қ, ф-м.ғ.к., доцент, ОҚМПИ
Юнусов А. ф-м.ғ.к., доцент, М.Әуезов атындағы ОҚМУ

Кафедра мәжілісінде қарастырылып, баспаға ұсынылды _________
(хаттама № _ « » 201_ ж.)
факультеттің әдістемелік комиссиясында қарастырылды ____________
(хаттама «__» _____201 ж. )
ОҚМПИ Ғылыми - әдістемелік кеңесінде қаралып, баспаға ұсынылған
(хаттама «__» _____201 ж. )
© Оңтүстік Қазақстан мемлекеттік педагогикалық институты, 2016
КІРІСПЕ
«Геометриялық салу есептері» пәнін оқып-үйрену студентке планиметриялық және стереометриялық салу есептерін шығарудың теориялық және практикалық негіздерін меңгеруге мүмкіндік береді. Салу есептерін шығару тәсілдерін меңгеру болашақ математика мұғалімдерінің мектепте констуктивті геометрияны оқытудың дидактикалық мүмкіндіктері мен оны оқытудың әдістемелік ерекшеліктерін ұғынуға жол ашады. Бұл курс математика мұғалімдерінің кәсіби біліктілігі мен дағдыларының қалыптасуында үлкен рөл атқарады.
Практикалық сабақтың негізгі мақсаты салу есептерін шығарудың негізгі әдістерін білу және оны есептер шығаруда пайдалана алу біліктіліктерін қалыптастыру.
Нұсқаулықта әрбір сабаққа қажетті қысқаша теориялық мәліметтер беріліп, есептер шығарудың бірнеше үлгілері көрсетілген. Практикалық сабаққа алдын ала (үйде) оқу құралында берілген материалдарды студент оқып келуі керек. Сабақта шығарылған есептер бойынша талқылаулар жүргізіліп, есептер шығару әдістері меңгеріледі. Одан кейін нұсқаулықтағы әрбір сабақ соңында келтірілген аудиторияда және үйде шығаруға арналған есептерді студент өз бетінше шығаруға кіріседі. Әрбір сабақ үшін берілген есептерді студент міндетті түрде толық шығару талап етіледі. Ол есептің шығарылған шығарылмағаны келесі сабақта есепке алынып отырылады.
Студент түсінбеген немесе шығара алмаған есептері туралы оқытушыдан кеңес сұрайды. Кеңес кестеге сәйкес жүргізіледі. Студент кеңеске жүгінудің алдында мынадай жұмыстар жүргізілген болуы керек:
Әрбір сабақ үшін көрсетілген әдебиеттермен танысып шығады.
Лекциядағы сәйкес теориялық материалдарды біліп, ондағы есеп шығару үлгілеріне көңіл аударуы қажет.
Практикалық сабаққа арналған нұсқаулықтағы шығарылған есептерді меңгерген болуы міндетті.
5. Есепті шартындағы айтылған ұғымдардың анықтамаларын, белгілері мен қасиеттерін мектеп оқулықтарын қайталап шығу.
6. Соңында оқытушыдан кеңес сұрау.
Әдебиеттер
Шыныбеков Ә.Н. Геометрия. Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныптарына арналған оқулық. – Алматы: Атамұра, 2012.
Бүкібаева К.О., Миразова А.Т. Геометрия Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныбына арналған оқулық / К. Бүкібаева, А. Миразова. 2-басылымы. – Алматы: Атамұра, 2012. -128 бет.
Бекбоев И.Б. және т.б. Геометрия: Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныбына арналған оқулық. – Алматы: Мектеп, 2007.
Рахымбек Д., Мадияров Н.К. Геометриялық салу есептері. Оқу құралы / Д. Рахымбек, Н.К. Мадияров. – Алматы: Эверо, 2015. – 287 б.
Жүнісов Т. Планиметриялық салу есептерін шығару әдістері. Алматы, 1998.
Әбдімәжитов К., Қаңдыбаев Қ. Геометрия есептерін шешудің кейбір методтары. – Алматы: Абай атындағы ҚазПИ, 1978. – 72 бет.
Жазықтықтағы геометриялық салу теориясы мен практикасы. Методикалық талдау. – Алматы: Республикалық оқу-методика кабинеті, 1976. – 101 бет
Шыныбеков Ә.Н. Геометрия. Жалпы білім беретін мектептің 8-сыныптарына арналған оқулық. – Алматы: Атамұра, 2012.
Шыныбеков Ә.Н. Геометрия. Жалпы білім беретін мектептің 9-сыныптарына арналған оқулық. – Алматы: Атамұра, 2005.
Бекбоев И.Б. және т.б. Геометрия: Жалпы білім беретін мектептің 8-сыныбына арналған оқулық. – Алматы: Мектеп, 2007.
Стереометрия есептерін шешудің методикалық нұсқаулары. Құрастырушылар Қ. Қаңлыбаев, М. Меңдіғалиева. - Алматы, 1990. – 66 бет.
Сатыбалдиев С.О., Қаңлыбаев Қ. Геометрия есептерін шешу әдістемесі. – Алматы, 2011. - 104 бет.
Қайдасов Ж., Гусев В., Қағазбаева Ә. Геометрия 10 сынып. - Алматы: Мектеп, 2006.
Мадияров Н.К. Геометриялық фигураларды кескіндеу. Оқу құралы. –Шымкент: М. Әуезов атындағы ОҚМУ, 2010. – 98 бет.
Cенников Г.П. VI-VIII кластарда салу есептерін шешу: Оқытушылар үшін. – А., 1959. -165б.
1-сабақ. Мектеп геометриясынан жазықтықтағы қарапайым салуларды орындай алуын тексеру
Әдебиеттер: [1]ІІІ тарау § 2, [2]ІУ тарау § 4.5 -4.10. [3]ІУ тарау § 19,
§20, §20 (1-2-есеп)
Жазбаша бақылау жұмысының есептері:
Берілген бұрышқа тең бұрыш салу.
Бұрыштың биссектрисасын салу.
Кесіндіні қақ бөлу.
Түзуге одан тыс нүкте арқылы перепендикуляр жүргізу.
Түзудің бойындағы нүкте арқылы түзуге перпендикуляр тұрғызу.
Берілген нүкте арқылы түзуге параллель түзу жүргізу.
Екі қабырғасы олардың арасындағы бұрышы бойынша үшбұрыш салу.
Үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салу.
Қабырғасы және оған іргелес екі бұрышы бойынша үшбұрыш салу.
Циркуль және сызғышпен 300 бұрыш салу.
Циркуль және сызғышпен 600 бұрыш салу.
Циркуль және сызғышпен 450 бұрыш салу.
Үшбұрышқа іштей шеңбер сызу.
Үшбұрышқа сырттай шеңбер сызу.
Бір катеті мен гипотенузасы арқылы тік бұрышты үшбұрыш салу.
Гипотенузасы мен бір сүйір бұрышы арқылы тік бұрышты үшбұрыш салу.
Бір катеті мен оған іргелес сүйір бұрышы арқылы тік бұрышты үшбұрыш салу.
Бір катеті мен оған оған қарсы жатқан сүйір бұрышы арқылы тік бұрышты үшбұрыш салу.
Екі катеті бойынша тік бұрышты үшбұрыш салу
Кесіндіні тең 4 бөлікке бөлу.
Кесіндіні тең 5 бөлікке бөлу.
Кесіндіні 3:5 қатынасындай бөліктерге бөлу.
кесіндісін салу.
кесіндісін салу.
кесіндісін салу.
у=авс кесіндісін салу.
Ескерту: Бақылау жұмысынан қанағаттанарлықсыз баға алған студенттер екінші аптада жеке-жеке осы есептердің шығарылуын оқытушыға тапсыруы керек.
2-3-сабақ. Циркуль мен сызғыш арқылы шығарылатын негізгі геометриялық салу есептері. Қарапайым НГО салулар
Әдебиеттер [4] І тарау § 1,§ 2, [5], [6] I тарау, 1.,2.,3., [7] 1-тарау
Егер жазықтықта салу есебі төмендегі салу постулаттарына келтірілген болса, онда есеп циркуль мен сызғыштың жәрдемімен шешілген болып есептеледі:
1. Берілген екі нүкте арқылы түзу жүргізуге болады.
2. Егер центр және радиус берілсе, онда шеңбер салуға болады.
3. Берілген екі түзу параллель болмаса, онда олардың қиылысу нүктесін салуға болады.
4. Берілген түзу мен берілген шеңбердің қиылысу нүктелерін (егер олар бар болса) салуға болады.
5. Берілген екі шеңбердің қиылысу нүктелерін (егер олар барболса) салуға болады.
6. Жазықтықтың кез келген нүктесін салуға болады.
Циркульдің ашасын ашып, оның жәрдемімен кез келген радиуспен шеңбер салуға, ал сызғыш бір жақты және онымен ұзындығы шектеусіз түзу сызықтар жүргізуге болады деп есептеледі.
Салу есептерін шығарудың негізгі әдістері:
1. Нүктелердің геометриялық орындар (НГО) әдісі.
2. Геометриялық түрлендірулер әдісі.
3. Алгебралық әдіс.
Қарапайым НГО:
1. Берілген О нүктесінен берілген r қашықтықта жатқан НГО - шеңбер.
2. Белгіленген екі нүктеден бірдей қашықтықта жатқан НГО – кесіндінің орта перпендикуляры.
3. Берілген түзуден d қашықтықта жатқан НГО - түзуден d қашықтықтағы параллель екі түзу.
4. Берілген параллель екі түзуден бірдей қашықтықта жатқан НГО – екі параллель түзулер ара қашықтығының ортасынан жүргізілген оларға параллель түзу.
5. Бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықтағы НГО – бұрыштың биссектрисасы.
6. а кесіндісі берілген бұрышпен көрінетін НГО салу.
7. Берілген кесінді тікбұрышпен көрінетін НГО – кесіндінің ортасын центр етіп радиусы кесіндінің жартысына тең жарты шеңбер.
НГО табуға берілген есептерді шығару әдетте талдаудан, салудан дәлелдеуден, зерттеуден құралады.
Салынған НГО дәлелдеу өз ара кері мынадай екі сөйлемнің дұрыс екендігін айқындауға келіп тіреледі.
а) НГО мінездемелік қасиетіне ие болатын кез келген М нүктесі табылған фигураға тиісті;
б) егер нүкте табылған фигураға тиісті болса, онда ол іздеп отырған НГО мінездемелік қасиетіне ие болады.
НГО іздегенде фигураның мінездемелік қасиетке ие болатын барлық нүктелерінің жиынын табу қажет. Егер мінездемелік қасиетке ие болатын нүктелердің табылған фигурадан тыс фигурада жатпайтындығына көзімізді жеткізсек, онда табылған фигураны іздеген НГО деп санай аламыз.
Сондай-ақ, жоғарыда келтірілген екі сөйлемнің әрқайсысын дәлелдеуді оларға эквивалентті мынадай сөйлемдерді дәлелдеумен алмастыруға болатындығын байқаймыз:
а) егер М нүктесі табылған фигурада жатпайтын болса, онда ол нүкте іздеп отырған НГО мінездемелік қасиетіне ие болмайды;
б) егер М нүктесі іздеп отырған НГО мінездемелік қасиетіне ие болмаса, онда ол нүкте табылған фигурада жатпайды.
НГО табу есептерін шығарайық:
1-есеп. Берілген АВ кесіндісі тік бұрышпен көрінетін НГО табу керек.
Шешуі. 1-тәсіл. АВ кесіндісі М нүктесінен тік бұрышпен көрінеді делік (1-сурет).
М
В
О
А



1-сурет

AMO=MAB=α бұрышын салайық, сондаOMB=MBO=β=900-α. АОМ және МОВ — тең бүйірлі үшбұрыштар, олай болса, АО= ОМ=ОВ, яғни ОМ =. Сонымен, М нүктесі берілген кесіндінің ортасынан тұрақты шама--ге тең кашықтықта жатады, олай болса, М нүктесі центрі О және радиусы r =АВ : 2 болатын шеңбердің бойында жатады.
Кері сөйлем де дұрыс болады. Нүкте табылған шеңберде жатады делік, олай болса, шеңберге іштей сызылған және диаметрге тірелген бұрыш болғандықтан, АМВ = 90° болады. Бұдан мынадай қорытынды жасаймыз: шеңбердің А және В нүктелерінен басқа кез келген М нүктесінен қарағанда АВ кесіндісі тікбұрышпен көрінеді.
Сонымен, берілген АВ кесіндісі тікбұрышпен көрінетін НГО —А және В нүктелерін есептемегендегі, диаметрі АВ болатын шеңбер.
Егер М А және МВ болып, М нүктесі шеңбердің бойында жатса, онда = 90° болады. Егер М шеңбердің ішінде немесе шеңберден тыс жатса, онда 90° болады (төбесі дөңгелектің ішінде және дөңгелектен тыс жатқан бұрыштардың қасиеті бойынша). Осы себептен іздеп отырған НГО жоғарыда табылған НГО - бірдей болып келеді.
2 - т ә с і л. АВ кесіндісі М нүктесінен тікбұрышпен көрінеді делік (2-сурет).
М нүктесін АВ кесіндісінің О ортасымен қосып, ОМ түзуінің бойына ОМ = ОД кесіндісін салайық. АД және ВД кесінділерін жүргізейік.
М
В
O
D
А
К
2-сурет

АМВД төртбұрышы — тіктөртбұрыш, олай болса, ДМ=АВ; бұдан ОМ=АВ = ОА = ОВ екендігі шығады. Сонымен, М нүктесі центрі О нүктесі және радиусы ОМ= АВ болып келген шеңбердің нүктесі болады.
Кері сөйлемнің дұрыстығын дәлелдеу есепті шешудің бірінші тәсілін қарастырғанда берілген.
Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер
1. А және В нүктелері берілген. А мен В-дан бірдей қашықтықтарда орналасқан нүктелердің геометриялық орнын анықтаңдар.
2. Берілген нүктеден берілген қашықтықта орналасқан нүктелердің геометриялық орны қандай фигура болады?
3. Берілген нүкте арқылы өтетін өзара тең шеңберлер центрлері қандай фигура құрайды?
4. Берілген екі нүкте арқылы өтетін шеңберлер центрлерінің геометриялық орнын анықтаңдар.
5. Берілген кесінді берілген бұрышпен көрінетін НГО салу.
6. Берілген түзуден берілген қашықтықта орналасқан нүктелер жиынын анықтаңдар.
7. Берілген өзара параллель екі түзуден бірдей қашықтықтарда орналасқан нүктелер жиынын табыңдар.
8. Берілген түзуден берілген қашықтықта және берілген екінші түзу бойында жататын нүктені анықтаңдар.
9. Берілген екі нүктеден бірдей қашықтықта және берілген түзуде жататын нүктенің орнын табыңдар.
4-5-сабақ. Берілген элементтері бойынша үшбұрыш салу
[4] І тарау §2, [5], [6] I тарау, 1.,2.,3., [7] 1-тарау
2-есеп. Қабырғаларының орталары берілген болса, онда үшбұрышты салу керек.
Берілгені: D, N, K нүктелері - үшбұрыш қабырғаларының орталары.
Салу керегі: ∆АВС.
Шешуі.Талдау.4
6
Айталық, ізделінді ∆АВС салынған болсын (3-сурет). Есептің шарты бойынша оның қабырғаларының орталары – D, N, К нүктелері. D, N, К нүктелерін кесінділермен қосып көрелік. DN, NК, DК кесінділері ∆АВС-да орта сызықтар екендігін байқаймыз. Үшбұрыштағы орта сызықтар үшбұрыштың қабырғаларына параллель. ∆АВС-ның қабырғалары ∆DNК-ның қабырғаларына параллель және оның төбелері арқылы өтеді.
А К С
В
D
N
2 5
3 3
4 4
1
6
7

3-сурет
Салу. 1) Бізге берілген қабырғалардың орталарын D, N, К әріптерімен белгілейміз.
2) Оларды кесінділермен қосамыз. ∆DNК аламыз.
3) D нүктесі арқылы КN-ге параллель түзу; N нүктесі арқылы DК-ға параллель түзу; К нүктесі арқылы DN-ге параллель түзу жүргіземіз.
4) Жүргізілген түзулер А, В, С нүктелерінде қиылысады. ∆АВС – ізделінді.
Дәлелдеу. АС║DN-дегі сәйкес бұрыштар болғандықтан 1=2 (салу бойынша). АС║DN-дегі айқыш бұрыштар болғандықтан 3=4. ВС║DК-дегі айқыш бұрыштар болғандықтан 4=5 (салу бойынша). Осыдан 3=5. АВ║КN-дегі айқыш бұрыштар болғандықтан 6=7 (салу бойынша). Сонда ∆АDК=∆DNК (DК – ортақ қабырға, 3=4, 6=7) АК=DN. Енді ∆АDК=∆ВDN (АК = DN, 1=2, 3=5) АD = DВ. Демек, D нүктесі – анықтама бойынша АВ кесіндісінің ортасы. N және К нүктелері ВС және АС кесінділерінің орталары екендігі осыған ұқсас дәлелденеді.
3-есеп. Екі қабырғасы және үшінші қабырғаға жүргізілген медиана бойынша үшбұрыш салу.
Берілгені: в, с, ma.
Салу керек: ∆АВС
Шешуі. Талдау. Айталық, ізделінді ∆АВС салынған болсын (4-сурет). АК медианасын жүргіземіз (ВК=КС). Демек егер АК медианасын екі есе ұзартса, онда үш қабырғасы бойынша ∆АЕС-ын салуға болады. Екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш бойынша ∆КЕС=∆АВК. Тең үшбұрыштарда СЕ=АВ, ал басқа қабырғасы берілген. Одан кейін АЕ-де АК саламыз және К нүктесі арқылы СК сәулесін жүргіземіз де, онда КВ=СК саламыз. Жоспары түсінікті және салуға көшеміз.
А
В
С
К
Е
4-сурет

Салу. 1) Үш қабырғасы бойынша ∆АЕС-ын (АЕ = 2ma , AС =в, СЕ= с) саламыз.
2) АК = ma болатын К нүктесінен СК = КВ саламыз.
3) А және В нүктелерін қоссақ ізделінді ∆АВС аламыз.
Дәлелдеуі. Салуымыз бойынша AС = в, СЕ= с, АЕ = 2ma. АК = ma= АЕ, СК=КВ. АКВ және ЕКС вертикаль бұрыштар. Демек ∆КЕС=∆АВК. Олай болса, СЕ=АВ=с. АВС үшбұрышы берілген шарттарды қанағаттандырады.
Зерттеу. Егер көмекші ∆АЕС-ын салу мүмкін болса, ∆АВС салуға болады. ∆АЕС-ын в+с >2ma орындалғанда шешімі болады.
4-есеп. Үш медианасы бойынша үшбұрыш салу.
5-сурет
О
В
А В1 С
А1
С1
Е

Шешуі. Талдау. Айталық, ізделінді ∆АВС үшбұрышы салынған болсын (5-сурет). АА1, ВВ1, СС1 медианалары. Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады және онда төбесінен бастап санағанда 2:1 қатынаста бөлінеді. Әрбір медиананы 3 тең бөлікке бөліп және олардан ∆ОВ1Е құрасыру керек. Әрі қарай қимыл жоспары түсінікті.
Салу. 1. Берілген әрбір медиананы 3 тең бөлікке бөлеміз.
2. Әрбір медиананың үштен бір бөліктерінен 3 қабырғасы бойынша ∆ОВ1Е саламыз.
3. Одан кейін О және Е нүктелері арқылы түзу жүргіземіз және онда ОЕ кесіндісіне тең болатын ЕС және ОС1 кесінділерін саламыз.
4. С және В1 нүктелері арқылы түзу жүргіземіз де онда В1 нүктесінен В1С кесіндісіне тең АВ1 кесіндісін саламыз.
5. Әрі қарай А және С1 нүктелері арқылы түзу жүргіземіз және онда С1 нүктесінен АС1 кесіндісіне тең С1В кесіндісін саламыз.
6. В және С нүктелерін кесіндімен қосамыз.
7. Алынған ∆АВС ізделінді болады.
Дәлелдеуі. Салу бойынша ∆АВС-да АВ1=В1С және АС1= С1В, сондықтан ВВ1 және СС1 медианалар болып табылады, ал үшінші медиана олардың қиылысу нүктесі арқылы өтеді. Әрбір медиана салуы бойынша ∆ОВ1Е–ның сәйкес қабырғасынан 3 есе үлкен болады. Сондықтан ∆АВС ізделінді болады.
Зерттеу. Егер берілген медианалар үшбұрыш теңсіздігін қанағаттандырса, онда есептің жалғыз ғана шешімі бар.
Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер
10. Бүйір қабырғасы мен табанындағы бұрышы бойынша тең бүйірлі үшбұрыш салыңдар.
11. Табаны мен табанына жүргізілген медианасы бойынша тең бүйірлі үшбұрыш салыңдар.
12. Екі қабырғасы мен олардың біріне жүргізілген медианасы бойынша үшбұрыш салыңдар.
13. Екі қабырғасы мен олрдың біріне түсірілген биіктігі бойынша үшбұрыш салыңдар.
14. Екі қабырғасы мен үшінші қабырғасына түсірілген биіктігі бойынша үшбұрыш салыңдар.
15. Катеті және гипотенузасына түсірілген биіктігі бойынша тік бұрышты үшбұрыш салыңдар.
6-сабақ. Түзулеу әдісі
[4] І тарау § 2, [5], [6] I тарау, 1.,2.,3., [7] 1-тарау
Есеп шартында кесінділердің қосындысы немесе айырмасы болып келетін есептер түзулеу әдісімен шығарылады. Түзулеу әдісі бойынша алдымен кесінділердің берілген қосындысы не айырмасы тікелей кіретін көмекші фигураны салып алып, сонан соң іздеп отырған фигура салынады.
5-есеп. Периметрі және екі бұрышы бойынша үшбұрыш салыңдар.
Берілгені: р, А,С.
Салу керек: ∆АВС.
Шешуі. Талдау. Айталық ізделінді ∆АВС салынған болсын (6-сурет).
Есептің шарты бойынша оның периметрі берілген. Оны АС түзуінде А нүктесінен АD=АВ және С нүктесінен СЕ=ВС саламыз. Үшбұрыш қабырғалары бір түзудің бойында жатыр, яғни олар «түзуленді». DЕ=р. D және В, В және Е нүктелерін кесінділермен қосамыз. Тең бүйірлі ∆АDB және ∆ВСЕ үшбұрыштарындағы табанындағы бұрыштар тең:1=2, 3=4. Үшбұрыштың сыртқы бұрышы туралы теоремадан А=1+2=1+1= 2·1. Сонда 1=. Дәл сондай3=. Шығару жоспары түсінікті.
К
М
2 4
1
3
В
A
С
6-сурет
Е
D

Салу. 1.Берілген А жәнеС бұрыштарды циркуль және сызғыштың көмегімен қақ бөлеміз.
2. Кез келген түзуде берілген DE кесіндісін саламыз.
3.D және Е төбелерінде берілген бұрыштардың жартысына тең болатын бұрыштар саламыз.
4. ∆DBЕ.
5. Алынған үшбұрыштың DВ және ВЕ қабырғаларын қақ бөлеміз және олардың орталары арқылы DE кесіндісімен А және С нүктелерімен қиылысқанға дейін перпендикуляр түзулер жүргіземіз.
6. А және С нүктелерін В нүктесімен қосамыз. ∆АBС - ізделінді үшбұрыш.
Дәлелдеуі. Салу бойынша КА кесіндісі медиана (DК=КВ) және биіктік (КАDB) болғандықтан, ∆АDB − тең бүйірлі және DА= АВ болады. Сол сияқты СЕ=ВС. Р∆АВС=АВ+ВС+АС=DА+АС+СЕ=DЕ. Сыртқы бұрыш ∆АDBА=1+2=1+1=2·1. Осыған ұқсас, С=2·3. Демек, ∆АBС –берілген шарттарды қанағаттандырады.
6-есеп. Гипотенуза мен катеттің ұзындықтарының айырмасы және басқа катеті бойынша тік бұрышты үшбұрышты салу.
Берілгені: к=с-а, в.
Салу керегі: ∆АВС (С= 90о)
Талдау. Айталық, ізделінді АВС тікбұрышты үшбұрышы салынған делік (7-сурет). АС катеті бізге белгілі болсын; В төбесінен солға қарай АВ гипотенузасына тең болатын ВК кесіндісін саламыз. Сонда КС кесіндісі гипетенуза мен екінші катеттің айырымы болады. ∆АВК – тең бүйірлі (КВ=АВ). Тең бүйірлі үшбұрыштың АК табанына ВО медианасын жүргізсек, онда ол әрі биіктік және әрі биссектриса болады. ∆АВК-ның АК табанының орта перпендикуляры ізделінді АСВ тікбұрышты үшбұрышының В төбесін анықтайды. Демек АВС тікбұрышты үшбұрышын салу үшін АСК тікбұрышты үшбұрышын салу керек.
Салу. 1) АСК тікбұрышты үшбұрышын екі катеті бойынша салайық: гипотенуза мен екінші катеттің айырмасына тең КС кесіндісі, берілген катетке тең СА кесіндісі.
2) КА кесіндісінің орта перпендикулярын тұрғызамыз.
3) Орта перпендикулярдың КС сәулесімен қиылысуы В нүктесін аламыз.
4) А және В нүктелерін кесіндімен қоссақ, ізделінді АВС үшбұрышы шығады.
А
К С В
О

7-сурет
Дәлелдеуі. ∆АВС-да С бұрышы тік, АС катеті салу бойынша берілген. ∆КАВ –тең бүйірлі (КВ=АВ), себебі салу бойынша ОВ орта перпендикуляр. Сонда КС=КВ-СВ – гипотенуза мен басқа катеттің айырмасына тең болатын берілген кесінді.
Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер
16. Қабырғасы, оған іргелес бұрышы және өзге екі қабырғаларының қосындысы бойынша үшбұрыш салыңдар.
17. Катеті және гипотенузасы мен екінші катетінің қосындысы бойынша тік бұрышты үшбұрыш салыңдар.
18. Қабырғасы, оған іргелес бұрышы және өзге екі қабырғаларының айырмасы бойынша үшбұрыш салыңдар.
19. Қабырғасы, осы қабырғаға іргелес екі бұрышының айырмасы және өзге екі қабырғасының қосындысы бойынша үшбұрыш салыңдар.
7-сабақ. НГО әдісі
Әдебиеттер: [4]§ 2, [5], [6] I тарау, 1.,2.,3., [7] 1-тарау
7-есеп. АВС–ның ВС қабырғасында А және С төбелерінен бірдей қашықтықта жататын нүктені салыңдар. Есепті зерттеңдер.
Шешуі. Талдау. Кесіндінің ұштарынан бірдей қашықтықта болатын НГО кесіндіге орта перпендикуляр болады. Салу идеясы түсінікті.
Зерттеу. Есепте 3 жағдай болуы мүмкін (8-сурет):
1) Егер АВ=ВС болса, онда ∆АВС – тең бүйірлі және АС қабырғасына түсірілген перпендикуляр ВС қабырғасының В ұшы арқылы өтеді. Шешімі – В нүктесі.
2) Егер АВ<ВС болса, онда АС қабырғасына орта перпендикуляр ВС қабырғасын D нүктесінде қиып өтеді. Шешімі – D нүктесі.
3) Егер АВ>ВС болса, онда АС қабырғасына орта перпендикуляр ВС қабырғасын қиып өтпейді. Шешім жоқ.
А
В
С
К
А
В
С
К
А
В
С
К
D
8-сурет
8-есеп. Бұрыштың ішкі жағында А нүктесі берілген. А нүктесі арқылы өтетін және оның қабырғаларында тең кесінділер қиып өтетін түзуді салыңдар.
Шешуі.Талдау. Айталық, ізделінді түзу салынған және ОВ=ОС болсын (9-сурет). Тең бүйірлі ∆ОВС алдық. Егер биссектриса, медиана, биіктік О төбесінен жүргізілген болса, онда олар беттеседі. ОЕ биссектрисасы ВС табанына перпендикуляр немесе керісінше – ВС табаны ОЕ биссектрисасына перпендикуляр. Жоспары түсінікті болды және біз кері жүру арқылы салуды бастаймыз.

А
О
В
С
Е

9-сурет
Салу. О бұрышының биссектрисасын жүргіземіз. Одан кейін А нүктесі арқылы О бұрышының қабырғаларын В және С нүктелерінде қиып өтетін биссектрисаға перпендикуляр түзу жүргіземіз. Бұл кезде ОВ=ОС болады.
Дәлелдеу. ∆ОВС–да ОЕ биссектрисасы салу бойынша биіктік те болады. Сонда ∆ОВС тең бүйірлі болады: ОВ=ОС.
9-есеп. Бұрышының ішкі жағында жататын А нүктесі берілген. А нүктесінен өтетін түзуде жататын бұрыштың қабырғаларының арасындағы кесіндісі А нүктесімен қақ бөлінетіндей етіп түзу салыңдар.
Шешуі. Талдау. Есептің шартына сәйкес суретті саламыз (10-сурет). Айталық, ізделінді КС түзуі салынған болсын және СА=АК. А нүктесі КС қабырғасының ортасы болатын ∆ОКС алдық. А нүктесі арқылы бұрыштың қабырғасына параллель, екінші қабырғаны В нүктесінде қиып өтетін түзу жүргізейік. Одан кейін ОВ кесіндісін өлшеп ВК=ОВ салу керек. А және К нүктелері арқылы, басқа қабырғаны С нүктесінде қиып өтетін түзу жүргізіледі. Сол кезде СА=АК.
А
О
В
С
К
10-сурет
Салуды және дәлелдеуді өз беттеріңше жүргізіңдер.
10-есеп. Шеңберден тыс жатқан А нүктесінен шеңберге жанамалар жүргізіңдер.
1-тәсіл.
Шешуі.Талдау. Жанама – бұл түзу сызық; түзу салу үшін, екі нүкте болуы керек; оның біреуі А нүктесі берілген, шеңбердегі екінші нүктені, мысалға В, табу керек. Жанасу нүктесіне жүргізілген радиус, жанамаға перпендикуляр болады. Айталық ізделінді жанама салынған болсын (11-сурет).
В1
О
А
В
С

11-сурет
ОА кесіндісін жүргіземіз. Тікбұрышты ∆ОАВ алдық. ОВ кесіндісін созып және оның созындысында ВС=ОВ салып көрелік. ∆ОАС-да АВ медиана және биіктік болады. Демек ∆ОАС тең бүйірлі. Олай болса ОА=АС. Тең бүйірлі ∆ОАС-ны үш қабырғасы бойынша: ОА=АС, ОС=2·R=2·ОВ салуға болады. ОС кесіндісі мен шеңбердің қиылысу нүктесі мен А нүктесін қосатын түзу шеңберге жанама болады.
Салу.1) О және А нүктелерін кесіндімен қосамыз.
2) Үш қабырғасы бойынша ∆ОАС саламыз АС = ОА, ОС=2·R=2·ОВ.
3) ОС кесіндісі шеңберді В нүктесінде қиып өтеді.
4) А және В нүктелері арқылы ізделінді АВ жанамасын жүргіземіз.
Дәлелдеу. ∆ОАС – салу бойынша тең бүйірлі АС=ОА, бұнда салу бойынша ОВ=ВС. Сонда ∆ОАС-да АВ медиана болады. Бірақ тең бүйірлі үшбұрышта медиана сонымен бірге биіктік те, демек АВОС, АВОВ, АВR. АВ шеңберге жанама болады.
Зерттеу. Есептің екі шешімі бар. Шеңберге екінші жанаманы жүргізу үшін, центрі А және радиусы АВ болатын шеңбер жүргізу керек. Бұл шеңбер берілген шеңберді В және В1 нүктелерінде қиып өтеді. А және В1 нүктелері арқылы берілген шеңберге екінші жанама өтеді.
А
В
О
О1
В1

12-сурет
2-тәсіл.
Шешуі. Талдау. Айталық, ізделінді АВ жанамасы салынған болсын (12-сурет). Жанасу нүктесіне жүргізілген ОВ радиусы, жанасу нүктесіндегі жанамаға перпендикуляр екендігін еске түсіреміз. ∆ОАВ-да В бұрышы диаметрге тірелсе – онда ол тік бұрыш. О және А нүктелерін қосамыз; ОА кесіндісін О1 нүктесімен қақ бөлеміз; берілген шеңберді В және В1 нүктелерінде қиып өтетін, центрі О1 және радиусы О1А болатын шеңбер салу керек. АВ және АВ1 түзулері ізделінді жанамалар.
11-есеп. А және В екі елді мекендері түзу жолдың бір жағында орналасқан. Жолдың бойында С автобус аялдамасын АС+СВ ұзындықтарының қосындысы ең кіші болуы үшін қай жерде орналастыру керек?
13-сурет
А
С
В
В1
О
a

Шешуі. Талдау. Айталық түзудегі С нүктесі – ізделінді нүкте болсын (13-сурет), онда АС+СВ – ең қысқа қашықтық. АС сәулесін созып СВ=СВ1 салайық. а түзуі ВВ1 кесіндісінің орта перпендикуляры. Ізделінді С нүктесі АВ1 кесіндісі және а түзуінің қиылысуы болып табылады, сонымен бірге, АВ1=АС+СВ1 – түзу бойымен қашықтық ең қысқа болып табылады. Енді бұл есепті берілгенмен байланыстырып көрелік және В1 нүктесін а түзуінің басқа жағына СВ=СВ1 болатындай етіп көшіріп көрелік. В және В1 нүктелерін кесіндімен қосып, тең бүйірлі ∆СВВ1 (СВ=СВ1) аламыз. а түзуіне қарағанда симметриялы екендігін көрсетеді және СО кесіндісі тең бүйірлі ∆СВВ1-да биіктік, медиана, биссектриса болады.
12-есеп. Түзу және оның бір жағында жатқан А және В екі нүкте берілген. ∆АВС-ның периметрі ең кіші болатындай етіп, түзуде С нүктесін табу керек.
14-сурет
А
В
С
А1
а
О

Салу
А нүктесі үшін а түзуіне қарағандағы А1 симметриялы нүктені саламыз (14-сурет).
А1 және В нүктелерін кесіндімен қосып, оның а түзуімен қиылысуында С нүктесін аламыз.
А және С нүктелерін кесіндімен қосып, ізделінді ∆АВС үшбұрышын аламыз.
Дәлелдеу
Симметриялы нүктелердің анықтамасы бойынша АА1а және АО=ОА1 (О – АА1 және а түзулерінің қиылысу нүктесі). Сонда анықтама бойынша ∆АСА1-да ОС кесіндісі биіктік және медиана болады. Сонда ∆АСА1– тең бүйірлі және анықтама бойынша А1С=АС. Салу бойынша А1В кесіндісі ең қысқа, сонымен бірге А1В=А1С+СВ=АС+СВ. ∆АВС Р=АС+СВ+АВ=А1В+АВ периметрі ең қысқа, ал С төбесі салу бойынша а түзуінде жатыр.
Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер
20. Берілген бұрыш қабырғаларын жанайтын және оның бір қабырғасын берілген нүктеде жанайтын шеңбер салыңдар.
21. А берілген бұрыштың ішкі нүктесі. А нүктесі арқылы өтетін және берілген бұрыш қабырғаларынан тең кесінділер қиып өтетін түзу жүргізіңдер.
22. А бұрышы тік болатын АВС үшбұрышы берілген. ВС түзуінен АК қашықтығында жататындай АВ қабырғасынан К нүктесін табыңдар.
23. А және В елді мекендері түзу тас жолдың бір жақ бөлігінде орналасқан. АС+ВС қосындысы ең кіші мәнге ие болатындай етіп, тас жол бойының қай нүктесінен С аялдамасын жасау қажет?
24. Берілген екі шеңберге ортақ жанама жүргізіңдер.
8-сабақ. Параллелограм және тіктөртбұрыш салу
Әдебиеттер: [4] І тарау§ 2, [5], [6] I тарау, 1.,2.,3., [7] 1-тарау, [8] І тарау §2-7, § 4(1-2-мысал.), § 5 (1-мысал)., [10] І тарау § 1-7, § 2 (2-мысал), § 4 (1-2-мысал)
13-есеп. Табаны, оған жүргізілген биіктігі және диагоналдар арасындағы бұрышы бойынша параллелограмм сызыңдар.
Шешуі. Талдау. Есеп шешілген, яғни табаны АВ=а, бұл қабырғаға жүргізілген биіктігі ЕҒ=h, диагоналдар арасындағы бұл қабырғаға қарайтын бұрышы <А0В= болатын АВСD параллелограмм салынған болсын (15-а сурет).
Егер а=АВ салсақ параллелограмның екі төбесі салынады. Енді диоганалдарының қилысу нүктесі О салынса параллелограмм салынады. О нүкте екі шартқа бағынады. Ол AВ-дан һ/2 қашықтықта жату керек және АВ=а кесінді бұрышпен көрінетін нүктелер жиынына кіру керек. Сондықтан салу жұмысын былайша жүргіземіз (15-б сурет).
а)
б)
15-сурет

Салу: 1) Түзу бойынша АВ=а кесінді өлшеп саламыз.
2) АВ кесінді бұрышпен көрінетін нүктелер жиынын саламыз. Ол АВ мен бұрыш жасайтын АТ түзуіне А нүктеде жүргізілген перпендикуляр мен АВ-ның қақ ортасынан жүргізілген перпендикулярдың қиылысу нүктесі К центрі АК радиусы болатын шеңбер болады (6 0 негізгі нүктелер жиыны).
3) АВ-ға жүргізіп, оның бойына Һ кесіндіні өлшеп салып һ/2 болатын нүктеден d, h-тың ұшынан ℓ түзулерін АВ-ға параллель етіп жүргіземіз.
4) d-ның шеңбер мен қиылысу нүктелері О мен О1 табамыз.
5) АО∩ℓ=С, ВО∩ℓ=D, ВО1∩ℓ=D1, AО1∩ℓ=C1 нүктелерді табамыз. Сонда АВСD, AВС1D1 іздеген параллелограмм болады.
Дәлелдеу. Салуымыз бойынша АВdℓ болғандықтан АО=ОС, BО=ОD. Сондықтан АВСD параллелограмм болады және АВ мен d, d мен ℓ түзулер арасы һ/2-ге тең болғандықтан параллелограмм биіктігі һ-қа тең болады. Салу бойнша А0В= тең. Демек АВСD есептің үш шартында қанағаттандырады. Дәл осы сияқты А1В1С1D1-де есептің үш шартын қанағаттандырады. Сондақтан олар іздеген параллелограмм болады.
Зерттеу. 1) салу әруақытта бір мәнді орындалады.
2) салу да АВ кесінді бұрышпен көрінетін нүктелер жиыны екі-симметриялы. Ұштары А мен В болатын доғалардан тұрады.
3) Салуда һ кесіндіні АВ мен анықталатын төменгі жарты жазықтықта өлшеп салуға болады.
4) Салуда екі нүкте О1 мен О2 шығуы бірғана нүкте шығуы (d түзу шеңберге жанама боған жағдайда) мүмкін және шеңбер мен d түзу қилыспауы мүмкін.
Сондықтан есептің шешуі екеу болуы, біреу болуы немесе тіпті болмауы мүмкін.
14-есеп. р периметрі мен диагональдарының қатынасы бойынша ромбы салу керек.
C
A
E
D
P
m
O2
O1
Q
n
n
B
16-сурет
Шешуі.Талдау. АВСВ іздеп отырған ромбы болсын (16-сурет). Ромбның қабырғасы АВ= олай болса, бұдан ромбының A мен В төбесін салуға болатындығы шығады. Бұл төбелер — белгілі АВ қабырғасының ұштары. Шарт бойынша АС : ВD = m:n (анық болуы үшін т>п делік) немесе яғни АЕ:ВЕ=т:п.
Көмекші АВЕ үшбұрышын қарастырайық. Егер бұл үшбұрыш салынатын болса, онда ромбыны салу оңай. АВЕ үшбұрышын салу Е төбесін салуға тәуелді. Е төбесі екі шартты қанағаттандыруы тиіс:
1) бұл нүктеден АВ кесіндісі тік бұрышпен көрінуі тиіс;
2) бұл нүктенің А және В төбелерінен қашықтықтарының қатынасы АЕ:ВЕ=т:п тең болуы тиіс.
Салу. 1) кез келген түзудің бойынан А нүктесін алып, АВ= болатын етіп, В нүктесін саламыз (16-суретті қараңыз).
2) 1-шартты қанағаттандыратын НГО саламыз; бұл — шеңбері болады.
3) 2-шартты қанағаттандыратын НГО саламыз; бұл Аполлоний шеңбері болады.
4) және шеңберлерінің қиылысу нүктелерінің бірі Е нүктесін белгілейік. АВЕ — үшбұрышы іздеп отырған үшбұрышымыз.
5) Ромбы салайық. Ол үшін АЕ қабырғасының созындысына АЕ=ЕС және ВЕ қабырғасының созындысына ВЕ=ЕD саламыз: АВСD — іздеп отырған рoмбымыз.
Дәлелдеу. АВЕ — іздеп отырған үшбұрышымыз. Бұл AB=салудан және екі н. г. о. қиылысу нүктесі ретінде, осы н. г. о. екеуінің де қасиетіне ие болатын Е нүктесінің қасиетінен шығады.
Салынған АВСD төртбұрышының диагональдарының қиылысу Е нүктесі оларды қақ бөлетіндіктен және бұл диагональдардың арасындағы бұрыш тік болғандықтан, бұл төртбұрыш іздеп отырған ромбымыз болады.
3ерттеу. Есепті шешу негізінде екі шеңбердің қиылысу нүктесі болатын Е нүктесін салу болатынын біз бұрын көргенбіз; Аполлоний шеңберінің диаметрінің бір Р ұшы барлық уақытта А және В нүктелерінің арасында, ал екінші Q ұшы АВ кесіндісінен тыс жататын болғандықтан, бұл шеңберлер қашан да АВ түзуіне қарағанда симметриялы екі Е және Е1 нүктелерінде қиылысады (Е1 нүктесі суретте белгіленбеген); сондықтан АВЕ мен АВЕ1 үшбұрыштары тең болады. Егер В нүктесін алғашқы нүкте ретінде алсақ (ВЕ : АЕ = m : п), онда АВЕ мен АВЕ1 үшбұрыштарына тең тағы да екі үшбұрыш шығады, яғни есептің бір шешімі болады.
Н ұ с қ а у. Катеттерінің m:n қатынасы мен гипотенузасы бойынша тікбұрышты АВС үшбұрышын салып, бұл есепті гомотетия әдісімен де шешуге болады.
Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер
25. Сүйір бұрышы мен екі биіктігі бойынша параллелограмм салыңдар.
26. Биіктігі және екі диагоналы бойынша параллелограмм салыңдар.
27. Екі диагоналы бойынша ромб салыңдар.
28. Қабырғасы және бұрышы бойынша ромб салыңдар.
29. Қарама-қарсы екі қабырғасының орта нүктелері бойынша квадрат салыңдар.
30. Көршілес екі қабырғасының орта нүктелері бойынша квадрат салыңдар.
9-сабақ.Трапеция және оның қасиеттері
Әдебиеттер: [4] І тарау §2, [5], [6] I тарау, 1.,2.,3., [7] 1-тарау, [8] І тарау §2-7, §4(1-2-мысал.), §5 (1-мысал)., [10] І тарау §1-7, §2 (2-мысал), §4 (1-2-мысал)
15-есеп. а, в, с, d (а||с, а>с) төрт қабырғасы бойынша трапеция салу керек.
B
b
b
d
C
c
a-c
M
a
D
А
17-сурет
Шешуі. Талдау.АВСD— іздеп отырған трапециямыз болсын (17-сурет). АВ қабырғасын МС қалпына келтіріп, ВС векторына көшіреміз, сонда А нүктесі М нүктесіне, В нүктесі С нүктесіне ығысады. Сонда үш қабырғасы бойынша МСD үшбұрышын салуға болады: МС=в, DС=d және МD=а-с. Сонан соң СМ-ді бұрынғы қалпына СВ векторына көшірсек, іздеп отырған трапециямыз шығады.

Салу. 1) МD=а-с, МС=в, DС=d қабырғалары бойынша МСD үшбұрышын саламыз.
2) МС қабырғасын параллель етіп СВ векторына көшіріп АВ орынға келтірейік (СВ векторының модулі с-ға тең).
3) АВСD — іздеп отырған трапециямыз (17-суретті қараңыз).
Дәлелдеуі. МСD үшбұрышының қабырғалары МD=а-с,DС=d, МС=b (салу бойынша). СВ векторының модулі с-ға тең. Параллель көшірудің қасиеті бойынша DА||ВС, МА=с, АВ=b. Сонымен, АВСD трапециясында:
АВ=b, ВС=с, DС=d, АD=(а-с)+с=а болады.
3ерттеу. Зерттеу МСD үшбұрышын үш қабырғасы бойынша салу мүмкін болатындық шарттарын анықтауға келіп тіреледі.
Зерттеу мына төмендегіден тұрады:

Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер
31. Табандары мен бүйір қабырғалары бойынша трапеция салыңдар.
32. Табандары мен диагоналдары бойынша трапеция салыңдар.
33. Тең бүйірлі трапецияны AD табаны, A бұрышы және AB бүйір қабырғасы бойынша бойынша салыңдар.
34. Тең бүйірлі трапецияны BC табаны, AB бүйір қабырғасы және BD диагоналы бойынша салыңдар.
35. Табандарының айырмасы, екі сүйір бұрышы және диагоналы бойынша трапеция салыңдар.
10-11-сабақ. Жазықтықтағы фигураларды түрлендіру. Симметрия әдісі
Әдебиеттер: [4] §4, [5], [6] I тарау, [7] 1I-тарау, [9], ІІІ тарау §1-6, §6 (2-3-мысал).
Бұл әдіс бойынша, есепке талдау жасай отырып, бір түзуге немесе нүктеге қарағанда іздеп отырған фигурамызға симметриялы болатын басқа фигура салуға болады, сонан соң сол фигура арқылы, симметрияны қайталап, іздеп отырған фигурамызды салуға көшеді.
Симметрия әдісімен шығарылатын есептерді келтірейік.
16-есеп. а түзуінің бойынан берілген А және В нүктелерінен қашықтықтарының қосындылары ең аз болатын нүкте табу керек.
Шешуі. Талдау. А және В нүктелері берілген а түзуінің бір жағында жатады ал М-іздеп отырған нүктеміз делік. (18-сурет), яғни АМ+ВМ- қосындысының мәні ең аз болады. а тузуіне карағанда В нүктесіне симметриялы В' нүктесін салайық, сонда АМ+ВМ=AM+B´M қосындысы ең аз болатындай етіп, табуға келіп тіреледі. Ал бұл АВ' түзу кесіндісі болған жағдайда ғана болады. Өйткені, а түзуінде жатқан кез келген басқа М0 нүктесінен А және В´ нүктелеріне дейінгі қашықтықтардың сол А және В´ нүктелеріне дейінгі қашықтықтарының қосындысынан үлкен болады (үшбұрыштың қабырғаларының қасиеті бойынша АМ0+В´М0>АМ+В´М), олай болса, АМ0+ВМ0>АМ+ВМ.
A
B1
M
Ma
a
18-сурет


Салу. А және В нүктелері берілген а түзуінің бір жағында жататын болсын. а түзуіне қарағанда В нүктесімен симметриялы В' нүктесін саламыз. А және В' нүктелері арқылы түзу жүргіземіз. Сонда а түзуі мен АВ түзуінің қиылысу М нүктесі іздеп отырғанымыз.
Дәлелдеуі. Түзудің бойында жатқан М нүктесімен сәйкес келмейтін кез келген М0 нүктесін алайық (18-суретті қараңыз). Симметрияның қасиеті бойынша МB=M В', сондықтан АМ+ВМ =АМ+M В'=А В'
А В'<АМ0+ В´М0 болғандықтан, АМ+ВМ> АМ0+ВМ0
Зерттеу. 1) Егер А және В нүктелері бірдей а түзүінің бойында жатпайтын болса, онда есептің бір ғана шешімі болады. Бұл жағдайда, егер А және В нүктелер а түзуінің екі жағында жатса, онда іздеп отырған нүктеміз М=АВ∩а болады. Егер бұл беріліп отырған екі нүктенің бірі а түзуінінде жататын болса, онда іздеп отрған М нүктеміз сол нүктемен беттесіп кетеді.
Ажәне болса, онда АВ кесіндісінің кез келген нүктесі есептің шартын қанағаттандыратын болғандытан, есептің шексіз көп шешімі болады.
АВ кесіндісі а түзуін қиып өтеді. а түзуі АМВ бұрышын қақ бөлетіндей етіп, а түзуінің бойынан М нүктесін табу керек.
Н ұ с қ а у. Бұрыштың биссиктрисасы оның симметрия осі болады. а түзуіне қарағанда В нүктесімен симметриялы В1 нүктесін салу керек, сонда іздеп отырған нүктеміз М=АВ1∩а (а түзуіне қарағанда А нүктесімен симметриялы А1 нүктесін де салуға болады) .
Егер А және В нүктелері а түзуінен әр түрлі қашықтықта жатқан болса, есептің бір ғана шешімі болады; егер - АВ┴а және а түзуі АВ нүктелерінің симметриялы болса, есептің шексіз көп шешімі болады (анықталмаған емес); егер А мен В нүктелері а түзуінен бірдей қашықтықта жатса және АВ кесіндісі а түзуіне перпендикуляр болмаса онда есептің шешімі болмайды.
А
О1
О2
О3
В
С
D

19-сурет
17-есеп. Тең емес екі шеңбер А және В нүктелерінде қиылысады. А нүктесі арқылы шеңберлерді қиып өтетін хордалары тең болатындай түзу жүргізу.
Салу. Центрі О1 болатын шеңбер үшін оған А нүктесіне қарағанда симметриялы центрі О3 болатын шеңбер саламыз (19-сурет). Ол шеңбер центрі О2 болатын шеңбермен А және D нүктелерінде қиылысады. А нүктесіне қарағанда D нүктесімен симметриялы С нүктесін саламыз. Центрлері О1 және О2 шеңберлерінде тең СА және АD хордаларын аламыз.
Дәлелдеуі. А нүктесіне қарағандағы центрлік симметрияда центрі О1 болатын шеңбер өзіне тең болатын центрі О3 болатын шеңберге, А нүктесі өзіне өзі көшіріледі, С нүктесі D нүктесіне, СА кесіндісі өзіне тең АD кесіндісіне ауысады (центрлік симметрия нүктелердің ара қашықтығын сақтайды).
m
A
A1
B
C
a
b

20-сурет
18-есеп. А және В екі нүкте және оларды бөліп тұрған m түзуі берілген. А a, Вb нүктелері арқылы a және b түзулерін жүргізгенде m түзуі олардың арасындағы бұрышты қақ бөлетіндей етіп салу.
Салу. m түзуіне қарағанда А нүктесімен симметриялы А1 нүктесін саламыз (20-сурет). Одан кейін А1 және В нүктелері арқылы m түзуімен С нүктесінде қиылысқанға дейін b түзуін жүргіземіз. А және С нүктелері арқылы a түзуін жүргіземіз. a және b түзулері ізделінді болады.
Дәлелдеу. m түзуіне қарағандағы өстік симметрияда А нүктесі А1 нүктесіне, С нүктесі өзіне-өзі ауысады, АС түзуі (aАС, Аa) өтеді А1С (bА1С, Вb) түзуіне, a және m түзулерінің арасындағы бұрыш өзіне тең b және m түзулерінің арасындағы бұрышқа симметриялы.
19-есеп. а мен в қабырғалары және В мен А бұрыштарының =а айырмасы бойынша үшбұрыш салу керек.
Шешуі.Талдау. АВС үшбұрышы салынған делік (21-сурет). Олай болса, А және В нүктелерінің l симметрия өсін салып, ВС кесіндісін l түзуімен симметриялы етіп бейнелейік. AС' = ВС = а болып шығады.
Сонда шыққан бұрыштарды қарастырсақ, , яғни=болады деген қорытындыға келеміз.
Сонымен, есеп екі қабырғасы және сол қабырғалар арасындағы бұрыштары бойынша көмекші АС'С үшбұрышын салуға келіптіреледі.
Салу. 1) АС'С үшбұрышын саламыз (а, в, бойынша).
2) С және С' нүктелерінің симметрия өсі— l түзуін жүргіземіз.
3) l түзуінен қарағанда A нүктесіне симметриялы Внүктесін табамыз.
AВС мен AВС´— іздеп отырған үшбұрыштарымыз.
Дәлелдеуі. Салу бойынша АС'С үшбұрышында АС=в, АС' = а,. Симметрияның қасиеті бойыншаВС=АС'=а, . Бұдан АВС үшбұрышында қабырғалар АС=в, ВС=а және = екендігі шығады.
АС'В үшбұрышы АСВ үшбұрышына тең.
Зерттеу. Егер b>а (үшбұрышта үлкен бұрышқа карсы үлкен қабырға жатады) және 0°<<180° болса, онда есептің бір ғана шешімі болады (тең екі үшбұрыш).
Егер болса, онда есептің шешімі болмайды.
Егер 180° болса, бұл жағдайда да есептің шешімі болмайды. Өйткені үшбұрыштың екі бұрышының айырмасы 180°-тан кіші болуы тиіс.B

B
A
C1
C
a
a
b
b
1
2
d
21-сурет

20-есеп. Сүйір АОВ бұрышы және оның ішінен М нүктесі берілген. КLМ үшбұрышының периметрі ең аз болатындай етіп бұрыш қабырғаларының бойынан К және L нүктелерін табу керек.
Шешуі. Талдау. КLМ (22-сурет), іздеп отырған үшбұрышымыз болсын. М нүктесін АО мен BO-ға қарағанда бейнелесек М1 және М2 нүктелері шығады. КМ1=КМ және LМ=LМ2, олай болса, KLМ үшбұрышының периметрі M1K+KL+LM2 тең (1) болады да, үшбұрыштың минимум периметрі туралы есеп қосындының (1) минимумы жөніндегі есепке, яғни М1 мен М2 нүктелерінің ең кіші аралығының берілген бұрыштың қабырғаларымен қиылысқан нүктелерінде, КLМ үшбұрышының іздеп отырған К мен L нүктелерін анықтайтын түзу кесіндісін анықтауға келіп тіреледі.
A
M
B
Lo
M2
L
O1
O
K
M1
K2
S1
S2
22-сурет

Салу. 1) Берілген АОВ бұрышының ОА қабырғасына қарағанда берілген М нүктесіне симметриялы М1нүктесін табамыз.
2) ОВ қабырғасына қарағанда М нүктесіне симметриялы М2 нүктесін табамыз.
3) М1 мен М2 нүктелерін түзу кесіндісімен қосамыз;
4) М1М2 түзуінің ОА және ОВ қабырғаларымен қиылысқан нүктелерін (К мен L) белгілейміз. К=М1М2∩ОА, L=M1 M2∩OB)
5) КLМ үшбұрышын саламыз. KLМ — іздеп отырған үшбұрышымыз.
Дәлелдемені өз беттерінше жүргізуді ұсынамыз.
Зерттеу. Есептің әрқашан да бір шешімі болады, яғни M1M2 түзуі қашан да берілген бұрыштың қабырғаларын қиып өтеді. Анығында, OK0ML0 төрбұрышы диаметрі ОМ шеңберді іштей сызылған. К0L0—М1ММ2 үшбұрышының орта сызығы. S1М<01М=ОМ:2 және К0МL0—доғал болғандықтан, S2М<2·О1М=ОМ, яғни М1М2 түзуі ОМ-ді қиып өтеді, олай болса, берілген бұрыштың қабырғаларын да қиып өтеді.
Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер.
36. Бір қабырғасы а, оған іргелес бұрышы В және басқа екі қабырғаларының с – b=d айырмасы бойынша үшбұрыш салу керек.
37. AВСD төртбұрышының қабырғалары берілген және А бұрышын АС диагоналы қақ бөлетіні белгілі. Осы төртбұрышты салу керек.
38. Қиылысатын екі түзу және олардың арасында жататын (бойында жатпайтын) нүкте берілген. Ұштары берілген түзулерде жататын және берілген нүкте ортасы болатын кесінді салыңдар.
39. Өзара қос-қостан қиылысатын және үшеуі бір нүктеден өтпейтін а, b, с түзулері берілген. b түзуіне перпендикуляр және ортасы b түзуінде жататын, ал ұштары а және с түзулерінде жататын кесіндіні қалай салуға болады? Есептің шешуі үнемі бола береді ме?
40. А және В нүктелері m түзуінің екі жақ бөлігінде орналасқан. m түзуі АСВ бұрышының биссектрисасы болатындай етіп, m түзуі бойынан С нүктесін белгілеңдер.
12-13 сабақ. Параллель көшіру әдісі
Әдебиеттер:[4] І тарау §4, [5], [6] I тарау, [7] 1I-тарау, [9], ІІІ тарау §1-6.
Параллель көшіру әдісінде кез келген бір кесіндіні немесе іздеп отырған фигурамыздың бір бөлігін өзіне-өзін параллель етіп қалаған векторға көшіріп, фигураны салуды анағұрлым қарапайым көмекші фигура салуға келтіреді. Сонан соң кері тасымал жасап, іздеп отырған фигураны шығарып алады.
Параллель көшіру әдісінің идеясы трапеция салу есептері мен оңай түсіндіріледі.
21-есеп. А бұрышы, және d2 диагональдары мен т орта сызығы бойынша трапеция салу керек.
Шешуі. Талдау. АВСD трапециясы салынған болсын (23а-сурет). Трапецияның ВD диагоналын СE орынға келтіріп векторына көшіреміз. Сонда АСЕ көмекші үшбұрышы шығады, бұл үшбұрыштың барлық АС = d1, ЕС = ВО=d2 және АЕ=АD+DЕ=2т қабырғалары белгілі.
үшбұрышын салып, трапецияның А және С төбелерінің орындарын табамыз; В төбесі СL мен AK-ның қиылысуы нүктесі. СL//АЕ, ал АК түзуі АЕ сәулесімен А бұрышын жасайды. D төбесі ығыстырылған СЕ диагоналын векторына кері көшіру арқылы табылады (CB=ED-ні салса жеткілікті).
A
L
B
K
C
D
E
d2
N
A
d2
d1
M
m
23а-сурет

A-D
B
C
23ә-сурет
A
B
C
D
E
23б-сурет

E

Салу. 1) АЕ = 2т, АС=d1 және EС=d2 үш қабырғасы бойынша АСЕ үшбұрышын саламыз.
2) АЕ||СL түзуін саламыз.
3)ЕАK=А болатындай етіп, АК түзуін саламыз.
4) В = СІ ∩АК — нүктесін белгілеп аламыз.
5) ЕА кесіндісінің бойына СВ=ЕD кесіндісін саламыз. АВСD — іздеп отырған трапециямыз.
Дәлелдеуі. Салу бойынша АСЕ үшбұрышында АС=d1, СЕ=d2, АЕ=АD+DЕ=2т. Сондай-ақ салу бойынша ВС||АЕ, ВАD=А. Параллель көшірудің касиеті бойынша DЕ =ВС, ВD=СЕ=d2. Сонымен, АВСD төртбұрышы — трапеция. Оның ВАD=А, диагональдары АС=d1, DВ=d2 және орта сызығы.

3ерттеу. Іздеп отырған трапециямызды салу мүмкін екендігі мыналарға байланысты:
1) АСЕ үшбұрышын салу мүмкіндігіне;
2) В нүктесінің бар болуына және
3) D нүктесінің бар болуына.
Егер болса ( деп есептейміз) 1) салуды орындауға болады.
2) мен 3) салуларды әрқашан да орындауға болады. Шешімі болу үшін АК сәулесі САЕ бұрышынан тыс болуы керек, ал бұлай болу үшін болуы тиіс (23а-суретті қараңыз).
Бұл шарт В нүктесінің бар болатындығын қамтамасыз ететіндігін байқаймыз, бірақ А бұрышы үлкейген сайын В нүктесі С нүктесінен қашықтай береді. ЕD = СВ<ЕА болғанда ғана D нүктесі ЕА түзуінің бойында жата алады (5-салу). Сонымен, D нүктесінің бар болуы В нүктесінің орнына, олай болса, A бұрышының мәніне де байланысты болатындығын анықтаймыз.
23ә-суреттен СВ=ЕА болған жағдайда болатындығын (АВСВ параллелограмм болғандықтан) анықтаймыз; А бұрышын одан әрі үлкейте берсек, В нүктесі солға қарай ығысады да, ал D нүктесі ЕА-ның шегінен шығып кетеді. Ал шешімі болуы үшін ол нүкте ЕА-ның бойында жатуы тиіс. Егер болса, онда D нүктесінің ЕА кесіндіcінің бойында жататындығы анық.
Сонымен, мына шарттар орындалғанда трапецияны cалу мүмкін болады:
1)
2)
Егер болса, онда АВСD трапециясы тең бүйірлі болады.
Егер де 1) және 2) шарттар орындалғанда ЕD кесіндісі болса, онда салудан параллелограмм шығады (23б-сурет). Бұл жағдайда СD кесіндісі АСЕ үшбұрышының медианасы болады.
Егер 1) шарт орындалғанда А бұрышы болса, онда іздеп отырған трапециямыз АВС үшбұрышына айналады (D төбесі А төбесімен беттеседі).
22-есеп. А және В пункттерінің арасынан өзен ағып өтеді (оның жағаларын параллель түзулер: а||в деп алайық). А және В-нің арасындағы жол ең қысқа болу үшін, өзеннің қай жерінен көпір салу керек? (Көпірдің бағыты өзеннің жағасына перпендикуляр).
Шешуі. Талдау. АКМВ ең қысқа жол делік (24а-сурет). Бұл жол АК+КМ+МВ-ге тең.
МВ кесіндісін векторына көшірейік (МК=d; d — өзеннің ені, ). Сонда М нүктесі К нүктесіне, ал В нүктесі В' нүктесіне ығысады. КМ тұрақты, ал МВ=КВ' болғандықтан есептің шешуі, АК+КВ' қосындысы ең аз болатындай етіп, К нүктесін салумен аяқталады. Бұл жағдай К нүктесі АВ түзуінде жатқан жағдайда ғана болады. Параллель кері көшіруді орындайтын болсақ, іздеп отырған АКМВ жолымызды табамыз.
A
K
K1
M1
M
a
b
B1
B
24а-сурет

Сонымен, берілген есеп А және В' нүктелерінің ең қысқа қашықтығын анықтауға келіп тіреледі.
Салу. Мыналарды ретімен салайық:
а)
б) АВ'
в) К=АВ'Ха;
г) КМа;
д) МВ; АКМВ — іздеп отырған жолымыз.
A
B1
B
M
a
b
K
24ә-сурет
Дәлелдеуі. (қарсы жору әдісімен). А және В-нің арасындағы ең қысқа жол АК'М'В болатын басқа да К' және М' нүктелері бар деп ұйғарайық (24ә-сурет).
Ұйғару бойынша былай болады:

M'B=K'В', K'M'=KM=BB' және МВ=КВ' болғандықтан, соңғы теңсіздікті былай жазуға болады:

ал бұлай болуы мүмкін емес (Бұл АК'В' үшбұрышынан шығады).
Олай болса, ұйғаруымыз дұрыс болмады.
3ерттеу. Есептің барлық уақытта бір ғана шешімінің болатындығы салудан шығады (АВ' және а түзулері бір К нүктесінде қиылысады).
23-есеп. Темір жолдың бір жағында А және В екі елді мекендері орналасқан. Темір жолда ұзындығы а–ға тең DК платформасын орналастырғанда, АDКВ (25-сурет) жолының ұзындығы ең қысқа болу үшін оны қай жерге орналастыру керек?
А2
А
В
А1

а

25-сурет
Салу. 1) А нүктесін жолға параллель оңға қарай DК=а кесіндісіне көшіреміз. А1 нүктесін аламыз.
2) Жолға қарағанда А1 нүктесімен симметриялы А2 нүктесін саламыз.
3) А2 және В нүктелерін қосып жолды қиып өтетін К нүктесін белгілейміз.
4) К нүктесін жол бойымен солға қарай кері көшіріп D нүктесін аламыз.
5) АDКВ сынық сызығы А және В елді мекендерінің арасындағы ізделінді ең қысқа жол болады.
Дәлелдеу. А2 және В нүктелерінің арасындағы ең қысқа жол А2В кесіндісі болады: А2В=А2К+КВ. ∆АВС –теңбүйірлі болады (салу бойынша А1 және А2 нүктелерінің симметриялығынан биіктік және медиана беттеседі). Сонда А2К=А1К. Төртбұрыш АА1КD – параллелограмм, өйткені онда қарама-қарсы АА1 және DК қабырғалары салу бойынша тең және параллель. Сонда А1К=АD. Енді АА1+А1К+ВК=АD+DК+ВК. АDКВ сынық сызығы ізделінді ең қысқа жол болады.
Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер.
41. а және с табандары мен d1және d2 диагональдары бойынша трапеция салу керек.
42. Белгілі d1 мен d2 диагональдары, олардың арасындағы бұрышы және бір бүйір қабырғасы а бойынша трапеция салу керек.
43. а қабырғасы, һа биіктігі және тс медианасы бойынша үшбұрыш салу керек.
44. Бір қабырғасына жүргізілген медианасы және басқа қабырғаларына түсірілген биіктіктері белгілі. Үшбұрыш салу керек.
45. Бір қабырғасына түсірілген һ биіктігі және баска қабырғаларына жүргізілген т\мен m2 медианалары бойынша үшбұрыш салу керек.
46. Берілген ma, ть және тс үш медианасы бойынша үшбұрыш салу керек.
14-сабақ. Бұру әдісі
Әдебиеттер:[4] І тарау §4, [5], [6] I тарау, [7] 1I-тарау, [9], ІІІ тарау §1-6.
Бұру әдісі— салу есептерін шығарғанда, берілген немесе іздеп отырған фигурамызды дұрыс таңдап алған центрді айналдыра кез келген бұрышқа бұрып, анағұрлым жай көмекші фигура салып, оны қайта бұру арқылы іздеп отырған фигурамызды салу болып табылады. Бұру әдісімен шығарылатын есептердің, айрықша бір ерекшелігі, берілген немесе таңдап алған центрден белгілі немесе есептің шартынан оңай анықталатын бұрышқа бұрғанда, біріне-бірі ауысатын сәйкес қос нүктелердің болатындығында.
23-есеп. Үш төбесі берілген үш параллель түзуге тиісті болатындай тең қабырғалы үшбұрыш салу.
Шешуі. Талдау. Төбелері үш параллель түзуде жататын тең қабырғалы ∆АВС салынған болсын делік (26-сурет). Бұру центрі етіп алынған А нүктесінен сағат тілі бағытына қарсы В нүктесін 60º-қа бұрсақ С нүктесімен беттеседі. Олай болса, b түзуін 60º-қа бұрғандағы оның бейнесі b1 түзуі а түзуімен С нүктесінде қиылысады. АС тең қабырғалы үшбұрыштың қабырғасы.
а
b1
b
c
A
B
C

26-сурет
Салу.1) а түзуінде кез келген А нүктесін аламыз.
2) b түзуін А нүктесінен сағат тіліне қарсы 60º-қа бұрамыз.
3) b түзуі b1 түзуіне көшеді.
4) b1 түзуі с түзуін С нүктесінде қияды.
5) Центрін А нүктесі және АС радиусын 60º-қа кері бұрамыз.
6. С нүктесі b түзуіндегі В нүктесіне көшеді.
7) А нүктесін В және С нүктелерімен қосып, ізделінді ∆АВС аламыз.
Дәлелдеуі. ∆АВС – тең қабырғалы, өйткені салуымыз бойынша ВАС шамасы 60º және АВ=АС, демек ∆АВС – теңбүйірлі және онда табанындағы бұрыштар тең. Сонда үшбұрыштың бұрыштарының шамаларының қосындысы теоремасының негізінде ∆АВС-да барлық бұрыштар 60º-қа тең және анықтама бойынша ∆АВС–тең қабырғалы
24-есеп. Бұрыш және оның ішіндегі А нүктесі берілген. А нүктесі тікбұрыштың төбесі болатын, ал басқа екі төбесі берілген бұрыштың қабырғаларына тиісті болатын, тікбұрышты тең бүйірлі үшбұрыш салу.
a
А
С
С1
В
В1
a1
a2
А

27-сурет
Салу.1) а түзуін А нүктесінен сағат тіліне қарсы 90º-қа бұрамыз (27-сурет). 2) а түзуі а1 түзуіне көшеді және бұрыштың екінші қабырғасын С нүктесінде қиып өтеді. 3) А нүктесінде 90º-қа кері бұру жасайтын болсақ, С нүктесі а түзуіндегі В нүктесіне ауысады.
4) А нүктесін В және С нүктелерімен кесінді арқылы қосамыз.
5) Ізделінді ∆АВС аламыз.
Дәлелдеу. ∆АВС тікбұрышты, өйткені бұру 90º-қа жасалған. ∆АВС – теңбүйірлі (АВ=АС). Өйткені бұру бұрыштары өзгеріссіз.
Зерттеу. Есептің екі шешімі бар. Егер а түзуін А нүктесінен сағат тілі бағытымен 90º-қа бұртын болсақ екінші АВ1С1 теңбүйірлі үшбұрышын аламыз.
Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер.
47. Төбелері берілген параллель а, в, с үш түзудің әрқайсысында бір-бірден жататын квадрат салу керек.
48. Төбелері берілген концентрлі үш шеңбер бойында жататын тең қабырғалы үшбұрыш салу керек.
49. Әрбір төбесі берілген параллелограмның тек бір кабырғасында жататын етіп, параллелограмға іштей квадрат сызу керек.
15-сабақ. Бақылау жұмысы
Бақылау жұмысының есептері әдістемелік құралдағы есептерді шығару үлгілерінен, үйде және аудиторияда шығаруға, өз бетінше шығаруға берілген есептерден алынады.
16-сабақ.Гомотетиялы фигураларды салу
Әдебиеттер:[4] І тарау §5, [5], [6] I тарау, [7] 1I-тарау, [9], ІІІ тарау §1-6, §6 (2-3-мысал).
Салуға берілген есептерді гомотетия әдісімен шығару төмендегіше болады. Есепке талдау жасап, іздеп отырған фигурамыздың өлшемдерін сипаттайтын шарттардың бірін алып тастайды. Мысалы, іздеп отырған үшбұрышымыздың қабырғасы жазықтықтың белгілі нүктесі арқылы өту керек деген немесе оның кез келген бір төбесі берілген шеңбер бойында жатуы тиіс деген шартын алып тастап, алдымен іздеп отырған Ф фигурасын емес, оған гомотетиялы Ф' фигурасын салу мүмкіндігін анықтайды. Сонан соң Ф' фигурасын (көмекші фигура) салып, оны түрлендіріп болған соң, бұрын алып тастаған шарт орындалатындай етіп, гомотетиялы түрлендірулер жасайды, сонда іздеп отырған Ф фигура шығады.
Жоғарыда айтылғандардан, гомотетия әдісімен шығарылатын есептер қатарына ең алдымен берілгендерінің ішінде тек біреуі ғана кесіндімен бейнеленіп, ал қалғандарының не бәрі бұрыштар, не бұрыштардың не кесінділердің қатынастары болып келген есептер жататындығы шығады.
Бұл типтес есептерді шығарғанда мыналарды еске алу қажет. 1)Гомотетия центрі ретінде жазықтықтың кез келген нүктесін алуға болады, ал іс жүзінде гомотетия центрін дұрыс таңдап алу салуды оңайлата түседі. Есепті оңай және тез шығаруға келтіретін гомотетия центрін алдын ала таңдап алу есептің шарты мен талабына байланысты. Гомотетия центрі ретінде көбінесе берілген фигураға сәйкес көмекші фигураның бір төбесін немесе сызықтық элементінің (кесіндінің) бір ұшын алады. Мысалы, А төбесіндегі бұрышы және сырттай сызылған шеңбердің R радиусы бойынша тең бүйірлі ВАС үшбұрышын салу үшін, іздеп отырған үшбұрышымызға ұқсас А төбесіндегі бұрышы мен тең бүйірлі В'А'С' үшбұрышын салып, сонан соң осы үшбұрышты сырттай сызылған шенбердің центрін гомотетия центрі ретінде алып және к=, деп жоримыз да, В'А'С' үшбұрышын іздеп отырған үшбұрышқа түрлендіреміз.
2) Ұқсас екі фигураның сәйкес сызықтық элементтерінің қосындысының (айырмасының) қатынасы олардың ұқсас (сәйкес) сызықтық элементтерінің қатынасына және гомотетияның k коэффициентіне тең. Мысалы: ұқсас үшбұрыштардың периметрлері олардың сәйкес қабырғаларының қатынасындай болады. Есепті шығарған кезде бұл қатынас әдетте гомотетия коэффициенті ретінде алынады. Ұқсас екі фигураның аудандары олардың сәйкес элементтерінің квадраттарының қатынасындай болады.
25-есеп. Диагональдарының т:п қатынасы мен һ биіктігі бойынша ромбы салындар.
A
A1
D1
D
F
F1
B
E
28-сурет
Шешуі.Талдау. АВСD ромбысы салынған делік. АС:ВD=т:п және ЕҒ=Һ (28-сурет). Ромбының қасиеті бойынша 1) АО:ОD=т:п; 2) =90° және 3) ОҒ=екендігін байқаймыз.
1) және 2) шарттар бойынша АОD үшбұрышына гомотетиялы А'0'D' үшбұрышын саламыз. О нүктесін гомотетия центрі, ал һ:һ' қатынасын гомотетия коэффициенті етіп алып, АОО үшбұрышын, сонан соң іздеп отырған ромбымызды саламыз.
Салу. Алдыңғы екі шарт бойынша іздеп отырған үшбұрышымызға ұқсас А'0'D' үшбұрышын және іздеп отырған АОD үшбұрышымыздың биіктігіне сәйкес келетін оның 0'Ғ'=- биіктігін саламыз. О төбесін гомотетия центрі етіп алып, коэффициент

деп алайық.
Белгіленген гомотетияда А'0'D' үшбұрышын іздеп отырған АОD үшбұрышына түрлендірейік. Ол үшін 0'Ғ сәулесінің бойына 0'Ғ=кесіндісін салып, Ғ нүктесі арқылы A'D'-қа параллель түзу жүргізсек, АОD үшбұрышы шығады. АОD үшбұрышын ромбыға дейін толықтырып саламыз, ол үшін ОС=ОА, ОВ=ОD кесінділерін саламыз да, А мен В-ні, В мен С-ні және С мен D-ні түзу кесінділерімен қосамыз. АВСD — іздеп отырған ромбымыз.
Дәлелдеуі.болғандықтан, АО:ОD=А'0':0'D'=т:п және = 90°. Биіктік ОҒ=. Олай болса, АС : ВD=АО : D0 = т : п, ЕҒ = Һ
яғни АВСD — іздеп отырған ромбымыз.
Зерттеу. Еcептің шартын қанағаттандыратын кез келген басқа бір A1B1C1D1 ромбысы салынған ромбыға ұқсас және

қатысы орындалуы тиіс болғандықтан, есептің бір ғана шешімі болады. Алайда һ1= һ болғандықтан, A1D1=AD болады, олай болса, A1B1C1D1 ромбысы АВСD ромбысына тең. Демек, есеп бір мәнді шешіледі.
26-есеп. Берілген үшбұрышқа екі төбесі бір қабырғасында, ал басқа екі төбесі басқа екі қабырғасында жататындай, квадратты іштей сызыңдар.
29-сурет
А
В
С
В1
В2

Шешуі. Талдау. Берілген үшбұрышқа екі төбесі бір қабырғасында, үшінші төбесі басқа қабырғасында, төртіншісі үшбұрыштың қабырғасында болмайтындай квадрат салайық (29-сурет). Мұндай квадратты салу қиын емес. Барлық квадраттар ұқсас және дербес жағдайда гомотетиялы; гомотетия кезінде кесінді өзіне параллель кесіндіге ауысады. А нүктесін гомотетия центрі ретінде алып, В1 нүктесі үшін оған гомотетиялы В2 нүктесін саламыз, бұнда нүкте В2ВС – ∆АВС қабырғасындағы. Салу идеясы түсінікті. Салуды және дәлелдеуді өздерің жүргізіңдер.
27-есеп. А мен В бұрыштары және үшінші төбесі арқылы өтетін биіктігі мен осы үшбұрышты іштей сызылған шеңбер радиусының l қосындысы бойынша үшбұрыш салу керек.
Шешуі.Талдау. Егер есептің үшінші шартын ескермесек, онда А және В екі бұрышы бойынша іздеп отырған үшбұрышымызға ұқсас шексіз көп үшбұрыш салуға болады. Олардың бірі А'В'С' үшбұрышы болсын (30-сурет). Олай болса, іздеп отырған АВС үшбұрышымызды гомотетия коэффициенті к=, болатын S центріне қатысты А'В'С' үшбұрышына гомотетиялы үшбұрыштар арасынан іздеу керек (мұндағы l' дегеніміз һ'С' биіктігі мен А'В'С' үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің r' радиусының қосындысы).
Салу. 1) Берілген А және В бұрыштары бойынша көмекші А'В'С' үшбұрышын саламыз (30-сурет).
2) С'Е'=һ'с' биіктігінің созындысына Е'К' = r', l' = С'Е'+Е'К' кесінділерін салайық.
3) С' төбесін гомотетия центрі ретінде алайық және гомотетия коэффиценті к= болсын дейік. Белгіленген гомотетияда А'В'С' үшбұрышын іздеп отырған үшбұрышқа түрлендірелік, ол үшін С'К' сәулесінің бойына С'K=l болатындай етіп, К нүктесін салайық.
A
A1
K
E
K1
E1
O1
r1
F1
B1
B
C1(=С)
30-сурет

4) К нүктесі арқылы А'К'||АК түзуін, ал А нүктесі арқылы A'В'||АВ түзуін жүргіземіз.
5) АВС — іздеп отырған үшбұрышымыз.
Делелдеуі. Е = АВ∩С'Е' болсын.
болғандықтан,

Сондықтан

Бірақ салу бойынша С'Е'+ОҒ'=1'. Олай болса, С'E+ОҒ' =1'. Олай болса, C' E+OF=l. АВС үшбұрышы есептің барлық шартын қанағаттандырады.
3ерттеу. Егер A+В<180° болса, онда барлық салулар бір мәнді орындалады. Есептің шартын қанағаттандыратын кез келген үшбұрышы салынған үшбұрышқа ұқсас болуы керек, олай болса,
қатынасы орындалуы тиіс. Алайда болғандықтан, С1В1= СВ болады. Сондықтан.
Сонымен, салуды кез келген басқа тәсілмен орындағанда да осы шешім шығады. Есептің шешуі бір мәнді орындалады.
28-есеп. Берілген дөңес АВСD төртбұрышына іштей, қабырғалары сол төртбұрыштың диагональдарына параллель болатын етіп, ромбы салу керек.
Шешуі. Талдау. РQМN іздеп отырған ромбымыз (31-сурет). А нүктесін гомотетия центрі етіп алып кез келген нақты kсанын (мысалы, 0<k<l) гомотетия коэффициенті ретінде алайық. Белгіленген гомотетияда МQМN ромбысы, Р'Q'M'N' ромбысына ауысады, ал бұл ромбының қабырғалары да берілген төртбұрыштың диагональдарына параллель, Р' пен N' төбелері бұл төртбұрыштың қабырғаларында жатпайды, яғни есептің шарттарының екеуі орындалмайды.
Сонымен, есеп гомотетияда (центрі А нүктесінде және коэффициенті іздеп отырған ромбымызға ауысатын Р'Q'М'N' ромбысын салуға келіп тіреледі.
Салу. Мыналарды ретімен салайық,
1) Q' — АВ-нің бойындағы кез келген нүкте;
2) Q'M'
3) ромбысын;
4) АN', N = АN'∩DC;
5) МN||N'М', МQ||М'Q', QP||AC, PN||QM. PQMN ромбысы — іздеп отырғанымыз.
Дәлелдеуі. Р төбесі ВС-нің бойында жатпайды делік. Сонда ромбы болмайтын МQР1N төртбұрышын қарастырамыз, мұндағы Р1 = ВСХQР және Р мен Р1 беттеспейді. Бұлай болмайтындығын дәлелдейік. QP1||AC, QМ||BD, M'N'||ACжәне Q'М'||ВD болғандықтан,

Бұдан Р1Q=МN және P1Q||MN, яғни Р1QMN — параллелограмм. Ал NМQ және N'M'Q.' сынық сызықтары гомотетиялы, олай болса, МN=МQ. Сонымен, РQ1МN — ромбы, олай болса, Р1=Р және РQМN — іздеп отырған ромбымыз.
3ерттеу. Есептің әрқашан да бір ғана шешімі болады. Шындығында, егер төртбұрышты іштей қабырғалары басқа, екінші бір ромбы сызылған деп жорысақ, онда РQ үлкейеді (кішірейеді), ал онда QМ кішірейеді (үлкейеді), олай болса, РQ мен QМ тең болмайды, ал ромбыда бұлай болуы мүмкін емес.
A
B
C
N
D
M
M1
Q
Q1
N1
P(P1)
P1
31-сурет

Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер
49. А және В төбелері сегменттің табанында, және С төбелері оның доғасында жататын етіп, берілген дөңгелек сегментті іштей АВСD квадратын сызу керек.
50. Биіктігі, табанындағы бұрышы және бүйір қабырғаларының қатынасы бойынша үшбұрыш салу керек.
51. Табанындағы бұрышы, бүйір қабырғаларының қатынасы және іштей сызылған шеңбердін радиусы бойынша үшбұрыш салу керек.
52. Диагоналы мен бір қабырғасының қатынасы және олардың қосындысы бойынша тік төртбұрыш салу керек.
53. Диагоналы мен бір қабырғасының қатынасы және диагональдарының қосындысы бойынша ромбы салу керек.
17-сабақ. Инверсия әдіс
Әдебиеттер: [4] І тарау § 6, [5],, [7] 1I-тарау, [9], ІІІ тарау § 7
Инверсия кейбір күрделі салу есептерін шешуді анағұрлым жеңіл шешуге келтіруге мүмкіндік береді. Алайда мұндай есептерді шешуге кірісу үшін нүктелерді, түзулерді және шеңберлерді инверсиялауды алдын ала үйрену керек. Осыған орай төмендегі есептердің шешуін карастыруды ұсынамыз.
29-есеп. Инверсия инверсияның 0(r) шеңберімен берілген (32а-сурет). М нүктесіне инверсиялы М' нүктесін салу керек.
r
T
M1
K
M
90°
32а-сурет
O

M
P
O
T
r
t
M1
90º
32ә-сурет

Шешуі. Талдау. Іздеп отырған M' нүктесі, инверсияның анықтамасы бойынша, ОМ сәулесінде және инверсияның центрінен ОM=г2:ОМ қашықтықта жатады. Олай болса, ОМ' кесіндісін r, r және ОМ (МО болса) кесінділеріне төртінші пропорционал кесінді салу арқылы табуға болады.
Салу және зерттеу. (Бұл есепті шешкенде салу мен зерттеуді бірге қарастырған жөн).
І-жағдай. М нүктесі инверсияның ω(0,r) шеңберінен тыс жатады (32а-сурет).
1. М нүктесін инверсия центрімен түзу кесіндісі арқылы қосамыз.
2. М нүктесінен инверсия шеңберіне жанама жүргіземіз.
3. Табылған жанасу нүктесі T-ден ОМ-ге ТK перпендикулярын түсірейік.
4. ТК∩ОМ=М' нүктесін белгілейік.
М' — іздеп отырған нүктеміз.
Дәлелдеу. Салу бойынша нүкте ; ОТМ үшбұрышында ОТМ бұрышы тік; ОМ гипотенузасына түсірілген ТМ' перпендикулярының қасиеті бойынша
екенін табамыз.
Олай болса, инверсияның анықтамасы бойынша М' — іздеп отырған нүктеміз.
2 - жағдай. М нүктесі инверсияның ω(0,r) шеңберінің ішінде жатады да, инверсияның центрімен сәйкес келмейді (32ә-сурет).
М нүктесін инверсия центрімен түзу кесіндісі арқылы қосамыз. ОМ-ге МР перпендикулярын жүргіземіз.
2. М нүктесі аркылы ОМ-ге МР перпендикулярын жүргізейік.
3. МРО(г) = Т нүктесін белгілейік.
4. Инверсияның шеңберіне Т нүктесі арқылы t жанамасын жүргіземіз.
5. tОМ = М' қиылысу нүктесін белгілейік.
М' — іздеп отырған нүктеміз.
Дәлелдеу. ОТМ' үшбұрышы — тік бұрышты үшбұрыш, TMОМ'. Олай болса, , яғни ОМ' • ОМ = r2.
M
О
r
32б-сурет
3-жағдай.М нүктесі инверсияның ω(0,r) шеңберінің бойында жатады (32б-сурет).
Егер М нүктесі инверсия шеңберінде жататын болса, онда ОМ = r.
Инверсияның нүктесі инверсия шеңберінде жатады. Инверсияның анықтамасы бойынша М'=r нүктесі ОМ сәулесінде жатуы тиіс болғандықтан, бұдан бұл жағдайда М' нүктесі М нүктесімен дәлме-дәл келетіндігі шығады.
4-жағдай. М нүктесі инверсияның О центрімен дәлме-дәл келеді. Бұл жағдайда OM=О. ОМ'=қатысынан есептің шешімі болмайтындығы шығады, өйткені инверсияның О центріне инверсиялы нүкте салуға болмайды.
Е с к е р т у. Егер М нүктесі шеңбердің ішінде жататын болса, онда ОМ<r. ОM'= қатынасынан OM'>r екендігі шығады, яғни M' нүктесі инверсия шеңберінен тыс жататынын жоғарыда көрген едік. Егер М нүктесі инверсия центріне жақындайтын болса (бұл жағдайда ОМ кішірейеді), онда М' нүктесі инверсия шеңберінің центрінен қашықтайды (ОМ' үлкейетін болғандықтан), сондай-ақ керісінше болады.
30-есеп. Инверсия инверсияның ω(0,r) шеңберімен берілген (33-сурет). Берілген KL түзуіне инверсиялы фигура салу керек.
Шешуі. Талдау. Іздеп отырған фигурамызды салу тәсілі мына төмендегі теоремалардан шығады:
1. Инверсияның центрі арқылы өтпейтін түзу бұл инверсияда инверсия центрі арқылы өтетін шеңберге түрленеді.
2. Инверсия центрі арқылы өтетін түзу бұл инверсияда өзіне түрленеді.
Салу және зерттеу. 1-жағдай. KL түзуінің инверсия шеңберімен ортақ нүктесі жоқ.
1. Инверсияның О центрінен KL түзуіне OB перпендикулярын түсіреміз.
2. ОВКL=А нүктесін белгілейік.
3. А нүктесіне инверсиялы А' нүктесін салайық (1-есеп).
4. ОA' кесіндісін диаметр ретінде алып шеңбер салайық.
01( 1/2 ОА')— іздеп отырған шеңберіміз.
A
B
K
L
T
A1
O1
O
33-сурет

2 - жағдай. KL түзуі инверсия шеңберін жанап өтеді.
3 - жағдай. KL түзуі инверсия шеңберін қиып өтеді де, инверсияның центрі арқылы өтпейді.
4-жағдай. KL түзуі инверсияның О центрі арқылы өтеді.
Берілген есепті 2 — 4-жағдайларда өз беттерімен шығаруды ұсынамыз.
31-есеп. Инверсия инверсияның ω(0,r) шеңберімен берілген. Берілген ω(01,r1) шеңберін инверсиялау керек.
Шешуі.Талдау. Берілген есептерді шешу тәсілдері мына теоремалардан шығады:
1. Инверсияның центрі арқылы өтпейтін шеңбер, бұл инверсияда да инверсия центрі арқылы өтпейтін шеңберге түрленеді.
2. Инверсия центрі арқылы өтетін шеңбер инверсияда инверсия центрі арқылы өтпейтін түзуге түрленеді, бұл түзу берілген шеңбер мен инверсия шеңберінің центрлер сызығына перпендикуляр.
1-жағдай. Берілген ω(01,r1) шеңбері инверсия шеңберінен тыс жатады және онымен ортақ нүктесі болмайды (34-сурет).
1. ОО1 түзуін саламыз.
2. Берілген ω(01,r1) шеңбері мен ОО1 түзуінің қиылысу нүктелерін А және В деп белгілейік.
3. А және В нүктелеріне инверсиялы А' және В' нүктелерін саламыз.
4. А'В' кесіндісін диаметрі етіп алып, О2(1/2A'В') шеңберін саламыз. Бұл іздеп отырған шеңберіміз болады.
Берілген ω(01,r1) шеңберінің инверсияның ω(0,r) шеңберіне қарағанда орналасуының басқа да мүмкін жағдайлары мен есептің тиісті шешулерін өз беттерінше қарастыруды ұсынамыз. Берілген ω(01,r1) шеңберінің ω(0,r) инверсия шеңберін ортогональ қиып өтетін жағдайын қарастыруды естен шығармаңыздар.
B
B1
O2
A1
A
T
O
O1
34-сурет

33-есеп. Берілген а шеңберіне жанама және бұл шеңберде жатпайтын А және В нүктелері аркылы өтетін шеңбер салу керек.
Шешуі. Бұл есеп Аполлоний есебінің дербес жағдайы болып табылады. Оның шешуі көптеген геометрия оқулықтарында келтірілген. Мысалы, [4] қарасаңыз толық шешуі берілген. Салу есептерін инверсия әдісімен шығару идеясын ерекше бөліп көрсетіп және инверсия әдісімен шығарылатын кейбір конструктивті есептердің қалайша жеңіл есептерге келтірілетінін көрсету үшін, есептің шешуінің тек бір бөлігін — салуын ғана орындаймыз.
— берілген шеңбер, ал А және В — берілген нүктелер болсын (35-сурет).
1. А нүктесін инверсия центрі етіп алып, инверсиянын кез келген радиусты а шеңберін салайық.
2. В нүктесіне инверсиялы В' нүктесін және а шенберіне инверсиялы а1 шеңберін саламыз.
3. В' нүктесінен а' шеңберіне жанама х'1 және х'2 түзулерін жүргіземіз.
A
B
X2
X2
X12
B1
X11
ω
α1
α
35-сурет

4. Жүргізілген х'1 және х'2 түзулеріншеңберіне катысты инверсиялаймыз. Бұл түзулер инверсияның А центрінен өтпейді, олай болса инверсияның белгілі қасиеті бойынша, олар сәйкес х1 және х2 шеңберлеріне түрленеді; х'1 және х'2 түзулері В' нүктесі арқылы өтіп, шеңберін жанап өтетіндіктен, бұл жағдайда х1 мен, x2 щеңберлерінің әрқайсысы В нүктесі арқылы және а шеңберін жанап өтеді. x1 мен х2 — іздеп отырған шеңберлеріміз.
Сонымен, берілген есепті инверсияның көмегімен берілген нүктеден шеңберге жанама жүргізу есебіне келтірдік.
Е с к е р т у. Бұл есепті берілген, іздеп отырған және А мен В нүктелері арқылы өтіп, берілген шеңберді қиып өтетін көмекші шеңбердің радикалды центрінің қасиеттерін пайдаланып шығаруғада болады.
34-есеп. В нүктесі және А нүктесінде өзара жанасатын екі шеңбер а мен берілген. А және В нүктелері арқылы өтіп, a және шеңберлерін берілген ф бұрышпен қиып өтетін шеңбер салу керек.
Шешуі.Талдау. х — іздеп отырған шеңберіміз болсын (36-сурет). Берілген мен шеңберлері және х шеңбері А нүктесі арқылы өтетіндіктерін атап өтейік. Инверсия центрі арқылы өтетін шеңберді инверсиялағанда ол түзуге айналатындығын еске алсақ, А нүктесін инверсияның центрі етіп алып, ал инверсияның шеңберінің радиусы ретінде кез келген кесіндіні алғанымыз жөн болады деген қорытындыға келеміз. Сонда және шеңберлері өз ара параллель сәйкес және түзулеріне, В нүктесі В' нүктесіне, х шеңбері В' нүктесі арқылы өтетін x' түзуіне, шеңберлер арасындағы ф бұрышы а және х' түзулерінің арасындағы өзіне тең бұрышқа, сондай-ақ және х шеңберлерінің арасындағы бұрышы ' және х' түзулерінің арасындағы ф бұрышына (инверсиялағанда бұрыштардың инварианттық қасиеті бойынша) түрленеді. Сонымен, есеп В' нүктесі арқылы өтіп және параллель а' пен ' түзулерін бұрышпен қиып өтетін түзуді салуға келтірілді.
γ
K1
α
β
M1
γ
ω
A
X
X1
B
B1
C1
C
K
O1
O2
36-сурет
α

Салу. Мыналарды ретімен салайық:
1) Инверсияның центрі А нүктесінде жататын, кез келген радиусты өз шеңберін;
2) а мен шеңберлеріне сәйкес инверсиялы а' және ' түзулерін.
3) В нүктесіне инверсиялы В' нүктесін;
4) В' нүктесі арқылы өтетін және параллель а' және ' түзулерін берілген ф бұрышпен қиып өтетін х' түзуін;
5) х' түзуіне инверсиялы х шеңберін.
Дәлелдеме. Егер х' түзуі А нүктесі арқылы (инверсия центрінен) өтпесе, онда ол, инверсияның белгілі касиеті бойынша, А нүктесі арқылы өтетін шеңберге түрленеді. Салу бойынша х' түзуі В' нүктесі арқылы өтіп және ' параллель түзулерін бұрышпен қиып өтетіндіктен, оған сәйкес х шеңбері берілген В нүктесі арқылы өтеді де, және шеңберлерін бұрышпен қиып өтедіді.
Зерттеу. 1, 2 және 3-салулар әрқашан да орындалады (шарт бойынша В нүктесі A-мен беттеспейді. Егер, болса, 4 салу орындалады. Егер болса, онда В' нүктесі арқылы параллель а' және' түзулерімен ф бұрышына тең бұрыштар жасайтын екі түзу жүргізуге болады. Егер ф = 0 (немесе ) болса, онда В' нүктесі арқылы, а' және' түзулерімен ф = 0 (немесе ) бұрыш жасайтын бір ғана х' түзуін жүргізуге болады. Бұл жағдайда х' түзуі және ' түзулеріне параллель болады.
Егер болса, онда бұл жағдайда да а' және' түзулерімен бұрышын жасайтын бір ғана түзу жүргізуге болады.
5-салуды қарастыруға көшейік. Инверсиялағанда х' түзуі тек инверсияның А центрінен өтпейтін жағдайда ғана шеңберге түрленеді. Егер ф бұрышы х' түзуі А нүктесі арқылы өтпейтіндей болып берілсе, онда бұл түзу инверсияда өзіне-өзі түрленеді. Инверсияның қасиеті бойынша АВ түзуі берілген және шеңберлерін ф бұрышпен қиып өтеді. Бұл жағдайда тек қана В' арқылы өтіп а' және ' түзулерін ф бұрышпен қиып өтетін бір ғана түзу шеңберге түрленеді.
Қ о р ы т ы н д ы: Егер АВ түзуі берілген екі шеңберді бұрышпен қиып өтпейтін болса, онда:
1) болған жағдайда есептің екі шешімі болады;
2) = 0 (немесе ) болған жағдайда есептің бір шешімі болады да, ол берілген және шеңберлерін А нүктесінде жанайтын шеңбер болады;
3) болған жағдайда есептің бір ғана шешімі болады.
Егер АВ түзуі берілген екі шеңберді де бұрышпен қиып өтетін болса, онда:
1) болған жағдайда есептің бір ғана шешімі болады;
2) = 0 (немесе ) болған жағдайда есептің шешімі болмайды.
3) болған жағдайда есептің шешімі болмайды.
Есепті қандай да болмасын басқа тәсілмен шығаратын болсақ та, оның жаңа шешімін таба алмаймыз. Егер есептің екіден артық шешімі болады деп жорысақ, онда шеңберімен салыстырып инверсиялаған соң В' нүктесі арқылы, параллель а' және' түзулерін бұрышпен қиып өтетін, кем дегенде үш түзу өтуі тиіс. Ал бұлай болуы мүмкін емес.
Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер
54. Инверсия шеңберіне іштей сызылған дұрыс үшбұрышқа (екі өлшемді) инверсиялы фигура салу керек.
55. А нүктесі, а түзуі және а шеңбері берілген. A нүктесі арқылы өтетін және а түзуі мен а жазықтығын жанап өтетін шеңбер салу керек.
56. а түзуі, а шеңбері және инверсия дәрежесі k2 берілген. Берілген түзу мен шеңбердің әрқайсысы өзіне-өзі инверсияланатын инверсиясының О полюсін салу керек.
57. ω(01,r1) шеңбері және а түзуі берілген. ω(0,r) шеңберіне қарағанда ω(01,r1) мен а өз ара инверсиялы болатын инверсияның ω(0,r) шеңберін салу керек.
58. Берілген А және В нүктелері арқылы өтетін берілген а шеңберіне ортогональ шеңбер салу керек.
59. шеңбері, А мен В нүктелері және бұрышы берілген. А және В нүктелері арқылы шеңберін бұрышпен қиып өтетін шеңбер салу керек.
18-сабақ. Алгебралық әдіс
Әдебиеттер: [4]І тарау § 7, [5], [6] I тарау 5, [7] ІIІ-тарау.
Белгісіз кесінділерді белгілі кесінділер арқылы табу алгебралық формулалармен өрнектелетін теңдеулерге келтіріледі, яғни салу есебі формуламен өрнектелген кесінділерді салуға келтіріледі. Салу есебін бұлай шығару әдісі алгебралық әдіс деп аталады.
Алгебралық әдістің маңыздылығы — оның көмегімен салу есептерін циркуль және сызғышпен немесе басқа құралдармен шешуге болатындығында.
35-есеп.Төмендегі формулалармен берілген кесінділерді салу керек.
1) x=a+b-c (a+b>c)
2) x=na, мұндағы п — натурал сан;
3) х= (мұндағы п — натурал сан);
4) х= (т және п — натурал сандар);
5) х= (егер b = а болса, онда х=);
6)
7) х=
8) z=
Көрсетілген кесінділерді салу мектеп курсында қарастырылады.
36-есеп.кесіндісін салу керек, мұндағы а, b, с—берілген кесінділер.
Шешуі. Берілген өрнектің бір текті, бірінші өлшемді екенін атап өтейік. у =a+b және z=a-b делік. y және z кесінділерін (1-есеп, 1-салу), сонан соң х=немесе кесіндісін саламыз. Көбейткіштер ретінде бірінші өлшемді өрнектерді бірте-бірте жеке бөліп алсақ.
, , болады, ең соңында болып шығады.
K
ω
D
B
E
F
C
Х2
L
A
Х1
P
37-сурет

Сөйтіп, есеп берілген үш кесіндіге пропорционал төртінші кесіндіні салуға келтіріледі (1-есеп, 5-салу).
37-есеп. Тең емес екі биіктігі бойынша тең бүйірлі үшбұрыш салу керек.
Шешуі. Талдау. — іздеп отырған үшбұрышымыз, ВD=Һb, АЕ=һа оның биіктіктері болсын (38а-сурет); егер үшбұрыштың бір қабырғасы белгілі болса, онда бұл үшбұрышты салуға болады. DС = х делік. екендігі белгілі (сүйір бұрышы С ортақ тік бұрышты үшбұрыш болғандықтан). Үшбұрыштардың ұқсастығынан:
(1)
болғандықтан, (1) теңдіктен бұдан
Салу.кесіндісін саламыз (38ә-сурет). (І-есеп, 3-салу). кесіндісін саламыз (І-есеп, 5-салу, (38б-сурет).
A
D
C
E
B
hb
ha
38а-сурет
Ең соңында, іздеп отырған тең бүйірлі АВС үшбұрышын АС = 2х табаны және биіктігі бойынша саламыз (38в-сурет).
Дәлелдеу. Салынған тең бүйірлі АВС үшбұрышында биіктіктер: ВD=ҺЬ, АЕ= һа екендігін дәлелдеу керек. Бірінші теңдіктің дұрыстығы анық, ал екіншісінің дұрыстығы анализ жасағанда келтірілген барлық формулалардың қайтарымдылығынан шығады.
ha
hb
A
B
E
C
D
x
38в-сурет
ha
ha
2hb
y
hb
38ә-сурет
ha
y
O
hb
x
38б-сурет

Зерттеу. у=кесіндісін, тек немесе 2һь>һа болған жағдайда ғана салуға болады. Бұл шарт бойынша х кесіндісін салуға болады, олай болса іздеп отырған АВС үшбұрышын да салуға болады. Табандары мен биіктіктері тең теңбүйірлі екі үшбұрыш өз ара тең болатындықтан, есептің бір ғана шешімі болады.
Е с к е р т у. Есепті басқа тәсілмен оңай шешуге болады. Егер 0 нүктесі арқылы АЕ биіктігіне параллель және ВС қабырғасын Ғ нүктесінде қиып өтетін түзу жүргізсек, онда 0,5һа катеті мен һв гипотенузасы бойынша DҒВ үшбұрышын салуға болады. Бұл іздеп отырған үшбұрышымызды салу болып табылады.
Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер.
63-есеп. Мына формулалармен берілген кесінділерді салу керек:
1)
Нұсқау. у=деп алып, у кесіндісін саламыз. Сонан соң формуласы бойынша іздеп отырған кесіндіні саламыз.
2) х=
Н ұ с қ а у. а2-b2=у2 деп алу керек.
3) x=
Н ұ с қ а у. дейік, мұндағы ,
64-есеп. Бірлік е кесіндісі берілген. Ұзындықтары -ге тең кесінділер салу керек.
65-есеп. Қабырғасы а квадратпен тең шамалы, периметрі 2р тіктөртбұрыш салу керек.
Н ұ с қ а у. Егер қабырғалары белгілі болса, АВСD тік төртбұрышын салуға болады. АD=х және DС=р-х болсын. Есептің шартына сүйеніп, теңдеу құрайық: х(р-х)=а2. Есепті шешу x2-рх+а2=0 квадрат тендеуінің түбірлерін салуға келтірілді.
19-сабақ. Стереометриялық негізгі қарапайым салулар. Стереометрия аксиомалары мен оның салдарларына қатысты салулар.
Әдебиеттер: [4] ІІ тарау §1, [11] І тарау, [12] ІI-тарау, §7,8,9.
Кеңістікте салу жазықтықтағы салу есептері сияқты құралдар (циркул, сызғыш) арқылы нақтылы жүргізілмейді. Стереометрияда ондай құралдар жоқ. Кеңістікте салу елестету арқылы салу үрдiсiнде есептiң шешiмiнiң бар болу фактiсi ғана бекiтiледi де, жазықтықта оның тек схематикалық кескiнi ғана салынып отырады. Есептiң шешiмi iзделiндi элементтi салуға алып келетiн геометриялық операциялар тiзбегiнiң жиынтығы болады. Салулар жиынтығын табу мүмкiн болса, онда есеп шығарылған деп есептеледi.
Сондықтан елестету арқылы орындалатын стереометриялық салу есептерiн шығарғанда салу барысы сипатталып және логикалық негiзделiп отырылады. Олай болса, кеңiстiктегi салу есептерiн шығарғанда салуды логикалық негiздеу негiзгi болып табылады, ал оның сызбасын салу жай көмекшi роль атқарады. Кеңістіктегі салаларды негіздеу аксиомалар мен теоремаларға сүйенедi.
Стереометрияға тән кеңістіктік аксиомалар:
Кеңістіктегі бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады, және ол тек біреу ғана болады.
Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса, олар осы нүкте арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.
Егер түзудің екі нүктесі берілген жазықтыққа тиісті болса, онда ол түзу де (ол түзудің барлық нүктелері) сол жазықтықта жатады.
Кеңістіктегі кез келген жазықтықта планиметрия аксиомалары орындалады.
Аксиомалардан келесі салдарлар шығады.
Түзу мен онда жатпайтын нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.
Қиылысатын екі түзу арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.
Екі параллель түзулер арқылы жазықтық жүргізуге болады, және ол жалғыз болады.
Әр түрлі екі жазықтық бір ғана түзу бойымен қиыласады
Стереометриядағы салулар белгілі бір ережеге бағынады:
Кеңістіктегі түзу, дәл планиметриядағыдай: түзу, түзудің кесіндісі ретінде бейнеленеді. Бірақ та, енді біз түзуді тек қана сызба жазықтығында жатыр деп есептемеуіміз керек; ол жазықтықты қиып өтуі де, жазықтықпен қиылыспауы да мүмкін.
Жазықтықты да толық бейнелеу мүмкін емес. Жазықтықты жазықтықтың тіктөрбұрыш сияқты бөлігін параллелограмм ретінде (39а-сурет) немесе бұрыс формалы жазықтықтың бір бөлігі ретінде (39ә-сурет) бейнелейміз.


а) ә)
39-сурет
Кеңістіктегі салу ережелері келесідей:
а) кеңістіктен қандай да бір нүктені таңдап алуға болады.
ә) үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады.
б) егер қиылысқан түзу мен жазықтық берілсе, онда олардың қиылысу нүктесін көрсетуге болады.
в) берілген немесе салынған жазықтықта планиметрияның кез келген салуларын орындауға болады.
Стереометрияда әрбiр салу мынадай қарапайым есептердi шығаруға келтiрiледi.
Бiр түзуде жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргiзу.
Түзу және одан тысқары жатқан нүкте арқылы жазықтық жүргiзу.
Қиылысатын немесе параллель екi түзу арқылы жазықтық жүргiзу.
Қиылысатын екi жазықтықтың қиылысу сызығын салу.
V. Планиметриядағы оқытылған әдiстердi пайдаланып, берiлген жазықтықтағы шешiмi бар болатын кез келген салу есебiн орындау.
38-есеп. Кеңістекте берілген екі нүкте арқылы түзу жүргізу керек.
Берілгені: А және В нүктелері.
Салу керек: а=АВ
Шешуі. Салу. 1) Кеңістікте шексіз көп нүктелер болатындықтан, А және В нүктелерінен басқа үшінші С нүктесін аламыз;

40-сурет
2) «Кеңістікте үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады» деген аксиомаға сйкес, α=(АВС) жазықтығын жүргіземіз.
3) α жазықтығында А және В нүктелері арқылы а=АВ түзуі жүргізіледі.
Зерттеу. Кеңістікте А және В нүктелері арқылы өтетін абасқа да түзу жүргізуге болар ма екен. Ол жағдайдың мүмкін емес екенін көрсетейік. Берілген нүктелер арқылы в=АВ түзуі өтсін делік. Онда ол в түзуі де α жзықтығына тиісті болады. Жазықтықтағы екі нүкте арқылы бір ғана түзу жүргізуге болады. а және в түзулері бір ғана түзуді анықтайды.
1880870176530-381081280
-142875226695
41-сурет
39-есеп. Екі жазықтықтың қиылысу сызығын салу.
Берілгені: α және β жазықтықтары берілген.
Салу керек: α∩β Шешуі. Салу. 1) Екі жазықтық параллель болмаса, олар түзу бойымен қиылысады. Демек екі жазықтыққа да тиісті екі нүкте табуымыз керек. α жазықтығынан қиылысатын а және в екі түзу жүргізейік. Ол түзулер β жазықтығын А және В нүктелерінде қиып өтсін (Түзу мен жазықтық бір нүктеде қиылысады).
2) β жазықтығында (α жазықтығында да) А және В нүктелері арқылы өтетін АВ түзуін жүргіземіз.
3) АВ түзуі α және β жазықтықтарынада тиісті және олардың қиылысу сызығы болады. Себебі екі жазықтықтың ортақ нүктелері болса, онда олар сол нүкте арқыла өтетін түзу бойымен қиылысады (аксима).
E

42-сурет
N
M





A1
A
B
C
K



40-есеп. кубы берілген (42-сурет). М нүктесі қырында, N нүктесі қырында және К нүктесі қырында жатыр.
а) М нүктесі; N нүктесі жатқан жазықтықтарды атаңыз.
ә) МN және ВС түзулерінің қиылысу нүктесі – Е нүктесін табыңдар. Е нүктесінің қандай қасиеті бар?
б) КN түзуі және (АВС) жазықтығының қиылысу нүктесін табыңдар.
в) (МNК) және (АВС) жазықтықтарының қиылысу сызығын табыңдар.
Шешуі: Салу кезінде оқушылар аксиомаларды қайталап айтады, салу нәтижелерін символика көмегімен жазып алады. Бұл есепті шешуде А2 және А3 аксиомалар қолданылады.
а) және ; және .
ә) 1. .
2.және .
б)
в) .
1.
2. және .
O

43,а-сурет
N
M





A1
A
B
C
K




Е
O

43,б-сурет
N
M





A1
A
B
C
K



Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер
1. Кеңістікте берілген нүкте арқылы берілген түзуге паралель түзу жүргізу керек.
2. Кеңістікте берілген түзуге берілген нұкте арқылы перпендикуляр түзу жүргізу керек.
3. SАВСD пирамидасы және оның SА қырында жататын М нүктесі берілген. М нүктесінен өтетін SB және CD түзулерін қиятын түзу жүргізу керек.
4. ABCDA1B1C1D1 параллелепипедінің AA1 қыры бойында жатқан M нүктесі арқылы BD1 және CD түзулерін қиятын түзу жүргізу керек.
5. параллелепипедінің В1 нүктесі, АА1 қырындағы М, қырында жатқан К нүктесі арқылы жүргізілген жазықтықтың табан жазықтығымен қиылысу сызығын жүргізу.
6. SАВСD пирамидасы және оның SА қырында жататын М нүктесі берілген. М нүктесі және SB қырынан алынған К, SC қырындағы N нүктелері ақылы жүргізілген жазықтық пен табан жазықтығының қиылысу сызығын салу.
20-21-сабақ.Түзулер мен жазықтықтардың параллельдігіне және перпендикулярлығына қатысты елестету арқылы орындалатын салулар.
Әдебиеттер: [4] ІІ тарау § 1, [11] І тарау, [12] II-тарау, § 7,8,9.
Елестету арқылы орындалатын салу есептерi “…жүргiзiңiз” деген конструктивтi тұжырымдамамен және “…жүргiзуге болатындығын дәлелде” сияқты дәлелдеуге берiлген есептер түрiнде берiледi. Мұндағы дәлелдеуге берiлген есептерде конструктивтi жолмен, яғни елестету арқылы орындалатын салулар бойынша шығарылады.
Бұл сабақта стереометрия курсының алғашқы “стереометрия аксиомалары”, “түзулер және жазықтықтардың паралельдiгi”, “түзулер және жазықтықтардың перпендикулярлығы” тарауларындағы түзулер және жазықтықтардың өзара орналасуы мен белгiлi бiр шарттарды қанағаттандыратын түзу немесе жазықтықтың бар болуын дәлелдеуге берiлген салу есептерi шығарылады.
Мұнда, берiлген элементтердi айқындау және салу керек элементтi белгiлеу - есептiң шартына сәйкес орындалады. Ал, салу барысын негiздеу үшiн қолданылатын аксиомалар, белгiлi теоремалар және бұған дейiн шығарылған базистiк есептер жиынтығын анықтап алу үшiн iзделiндi фигура салынған деп ұйғарамыз. Содан соң, есеп шешiмiне алып келетiн салу ретi анықталғанша салынған деп ұйғарылған фигура мен есеп берiлгендерi арасындағы байланыстарды талдау жасай отырып анықтаймыз. Талдау жасаудың жалпы жоспарын мына түрде құруға болады:
Берiлген шарттарды қанағаттандыратын фигураның (түзу, жазықтық, сфера және т.б.) бар болатындығын көрсетуге қажеттi аксиоманы немесе теореманы анықтау;
Қандай көмекшi фигураларды (түзулер, жазықтықтар, сфералар және т.с.с.) пайдалану және оларды қандай ретпен жүргiзу қажеттiгiн белгiлеу;
1-2 тұжырымдарды қашан I-V қарапайым есептер (бұл мәселе туралы осы нұсқаулықтың 19-сабағында айтылған) алынғанша қайталау.
Талдау жасауды келтiрiлген жалпы жоспар бойынша жүргiзе отырып, мына төмендегi берiлген салу есебiн шығаруда қажеттi аксиомалар мен белгiлi теоремалар жиынтығын және есеп шешiмiне алып келетiн салу ретiн анықтайық.
41-есеп. а түзуiнде жатқан А нүктесi арқылы осы түзуге перпендикуляр α жазықтығын жүргiзу.
Талдау. Жалпы жоспар бойынша мынадай талдаулар жасалынады.
а) 1) А нүктесi арқылы өтетiн және а түзуiне перпендикуляр болатын α жазықтығының бар болатындығын көрсетуге қажеттi теорема түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық белгiсi болып табылады.
Т е о р е м а. Егер жазықтықты қиятын түзу осы қиылысу нүктесi арқылы өтетiн сол жазықтықта жатқан екi түзуге перпендикуляр болса, ол түзу жазықтыққа перпендикуляр болады.
2) А нүктесi арқылы өтетiн және әрбiрi берiлген а түзуiмен перпендикуляр болатын b және c түзулерiн жүргiзу керек.
ә) 1) Бұндай түзулердiң бар болатындығы планиметрияның мына теоремасы арқылы негiзделедi.
Т е о р е м а. Түзудiң әрбiр нүктесi арқылы оған перпендикуляр түзу жүргiзуге болады және ол тек бiреу ғана болады.
2) Бұл теорема бiр жазықтықта жатқан түзулер үшiн тұжырымдалған. Олай болса, b және c түзулерiн жүргiзу үшiн алдымен а түзуi арқылы β және γ жазықтықтарын жүргiзiп алу қажет.
б) 1) β және γ жазықтықтарын жүргiзу стереометрия курсындағы мына теорема негiзiнде орындалады.
Т е о р е м а. Түзу және онда жатпайтын нүкте арқылы жазықтық жүргiзуге болады және ол тек бiреу ғана болады.
2) Олай болса, β және γ жазықтықтарын жүргiзу үшiн алдымен а түзуiнен тысқары жатқан В және С нүктелерiн алу қажет.
в) 1) а түзуiнен тысқары жатқан әртүрлi В және С нүктелерiнiң бар болуы планиметрияның I1 - аксиомасы арқылы негiзделедi.
А к с и о м а. Қандай түзудi алсақ та, ол түзуге тиiстi болатын нүктелер де, оған тиiстi емес нүктелер де болады.



В
b
А
с
С
44-сурет
а

Берiлген есеп шешiмiн iздестiру аяқталды. Ендi осы жасалған талдау негiзiнде анықталған аксиомалар мен теоремаларды пайдалана отырып берiлген есептi конструктивтi жолмен шығарайық. Есеп шешiмiне алып келетiн салулар, жасалған талдауға сәйкес, оның соңынан керi қарай орындалады.
Салу.
Ва нүктесiн салу (44-сурет).
а түзуi мен одан тысқары Ва нүктесi арқылы β жазықтығын жүргiзу.
β жазықтығында А нүктесi арқылы bа түзуiн жүргiзу.
Са, С нүктесiн салу.
а түзуi мен С нүктесi арқылы γ жазықтығын жүргiзу.
γ жазықтығында А нүктесi арқылы са түзуiн жүргiзу.
Қиылысатын b және c түзулерi арқылы iзделiндi жазықтығын жүргiзу.
Дәлелдеу. Салуымыз бойынша ab, ac болғандықтан Аа нүктесiнде қиылысатын b, с түзулерi арқылы өтетiн жазықтығыда а және А болғандықтан жазықтығы iзделiндi жазықтық.
Зерттеу. Жазықтықта берiлген нүкте арқылы түзуге жалғыз түрде ғана перпендикуляр түзу жүргiзуге болатындықтан, ол түзулер арқылы анықталатын жазықтығы да жалғыз болады. Демек, бұл есептiң шешiмi бар және жалғыз.
Салу есептерiн шығару барысында оның шартын қарапайым түрге келтiру әдiсi жиi қолданылады. Яғни, есеп шартындағы талаптардың бiраз бөлiгi уақытша ескерiлмей қарапайым есептер тiзбегiне келтiрiледi. Мысалы келтiрейiк.
42-есеп. А нүктесi арқылы өтiп, берiлген айқас а және b түзулерiнiң әрқайсысын қиятын түзу салу.
Яғни, А нүктесi арқылы өтiп, айқас а және b түзулерiн қиятын х түзуiн салу үшiн есеп шартын екi бөлiкке бөлемiз.
А нүктесi арқылы өтiп а түзуiн қиятын (есеп шартындағы b түзуiн қиюы керек деген талапты уақытша алып тастаймыз) х түзуiн салу. Бұндай х түзулердi шексiз түрде жүргiзуге болады және олардың барлығы А нүктесi мен а түзуi арқылы анықталатын жазықтығында жатуы керек.
Осыған ұқсас, А нүктесi арқылы өтiп b түзуiн қиятын х түзуiн саламыз. Олай болса, бұндай х түзуiлерi А нүктесi және b түзуi арқылы өтетiн жазықтығында жатуы керек. Демек, есеп шартын қанағаттандыратындай х түзуi бар болатындығын көремiз және ол iзделiндi х түзуi және жазықтықтарының қиылысу сызығы арқылы анықталады.
Осы тәсiлдi кеңiстiктегi нүктелердiң геометриялық орындарына қатысты салу есептерiн шығарғанда пайдаланған тиiмдi. Салу есепетерiн шығару барысында нүктелердiң геометриялық орындары, яғни геометриялық орындар әдiсi жиi пайдаланылады. Мысалы келтiрейiк.
43-есеп. Берiлген нүктеден жазықтыққа жүргiзiлген бiрдей ұзындықтағы көлбеулер табандарының геометриялық орнын табыңдар.
Шешуi. Есеп шарты бойынша берiлген S нүктесi жазықтығынан а қашықтықта орналасса, осы нүктеден жазықтығына түсiрiлген bа көлбеулерi табанының геометриялық орнын салу керек. Бұл есептi шығаруды геометриялық орындар әдiсiн пайдаланып, осы жұмыстың I-тарауының 3-параграфында көрсетiлген жоспар бойынша жүргiземiз. Кеңiстiктегi S нүктесiнен бiрдей b қашықтықта жатқан нүктелердiң геометриялық орны сфера болады. Ал берiлген жазықтығы S нүктесiнен аb қашықтықта жатқандықтан, алынған сфера мен жазықтығы қиылысады. Ал олардың қиылысу сызығы шеңбер болатындығын ескерсек, осы шеңбер iзделiндi нүктелердiң геометриялық орны болып табылады. Олай болса, есеп шешiмi центрi S нүктесiнен жазықтығына түсiрiлген перпендикулярдың табаны О нүктесi болатын және радиусы тең шеңбер.
Ендi, дәлелдеуге берiлген стереометриялық салу есептерiн шығару барысында жиi қолдануға болатын мынадай тәсiлге тоқталайық. Есеп шартында берiлген белгiлi бiр шарттарды қанағаттандыратын (берiлген кесiндiнiң ортасы арқылы өтетiн, берiлген түзуге перпендикуляр және берiлген нүкте арқылы өтетiн және т.б.) түзу берiлген болсын. Оның қандайда бiр қасиеттерге ие болатынын (берiлген түзуге параллель, берiлген жазықтыққа перпендикуляр және т.б.) дәлелдеу керек. Есептi шығару үшiн көрсетiлген шарттарды толық немесе қандай да бiр бөлiгiн қанағаттандыратын көмекшi бiр түзу жүргiзiлiп, осы түзудiң берiлген түзумен бiр түзу екендiгi дәлелденедi. Осы тәсiлдi пайдалана отырып мына есептi шығарайық.
44-есеп. және жазықтықтары параллель. жазықтығында жатқан А нүктесi арқылы жазықтығына параллель а түзуi жүргiзiлген. Осы а түзуiнiң жазықтығында жататынын дәлелде.

а А а1
В b


45-сурет

Шешуi. а түзуi және жазықтығына тиiстi В нүктесi арқылы жазықтығын жүргiземiз (45-сурет). Ол жазықтық және жазықтықтарын сәйкес параллель а1 және b түзулерi бойымен қияды. а1 түзуiн қарастырайық. Ол А нүктесi арқылы өтедi және жазықтығында жатады, яғни дәлелдеу қажеттi қасиетке ие. Содан кейiн, есеп а1 түзуi жазықтығына параллель болатынын және а1 мен а түзулерi сәйкес келетiнiн дәлелдеуге келтiрiледi.
Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер
66. Кеңістікте берілген нүкте арқылы берілген жсзықтыққа паралель жазықтық жүргізу керек.
67. Кеңістіктебұрыш қабырғаларынан бірдей қашықтықта жатқан НГО тап.
68. Берілген а және b түзулеріне параллель, берілген А нүктесінен өтетін жазықтық жүргізу керек.
69. Берілген түзу арқылы өтетін және берілген жазықтыққа перпендикуляр жазықтық жүргізу керек.
70. Берілген нүктеден өтетін, берілген жазықтыққа перпендикуляр болатын түзу жүргізу керек
71. Кеңістікте берілген нүкте арқылы берілген түзуге паралель жазықтық жүргізу керек.
72. а мен b айқас түзулер. b түзуі арқылы а түзуіне параллель жазықтық жүргізуге болатынын дәлелде.
73. Берілген нүкте арқылы өтетін берілген түзумен айқас болатын түзуді сал.
74. Берілген нүктеден өтетін және берілген жазықтыққа параллель жазықтық жүргізу керек.
22-23-сабақ. Фигуралардың проекциялары. Фигуралардың кескіндерін салу
Әдебиеттер: [4] ІІ тарау §2, [12] 1I-тарау, § 11, [14] §1, §2.
Фигура кескіні деп оның параллель проекциясына ұқсас фигураны айтады.
Фигураны кескіндеу параллель проекциялау арқылы орындалады. параллель проекциялаудың мынадай қасиеттері алынады:
Қандай да бір сызыққа тиісті нүктенің проекциясы осы сызықтың проекциясына тиісті болады.
Түзудің проекциясы түзу болады.
Параллель түзулердің проекциялары да параллель болады.
Проекциялауда бір түзудің немесе параллель түзулердің бойында жатқан кесінділердің қатынасы сақталады.
Фигуралар кесінінің негізгі қастеттері:
Түзудің кесіні түзу, кесіндінің кескіні кесінді болады;
Параллель түзулер параллель түзулер болып кескінделеді;
Бір түзудегі немесе параллель түзулердегі кеінділердің қатынасы сақталады, кесінділердің ортасы кесіндінің ортасы болып кескінділеді.
Үшбұрыш кез келген үшбұрыш болып кескінделеді;
Параллелограм кез келген параллелограмға кескінделеді;
Тетраэдр төртбұрыш болып кескінделеді.
Шеңбердің кескіні – эллипс.
45-есеп: Сызбада шеңбердің кескіні берілген. Осы шеңберге сырттай сызылған тік бұрышты үшбұрыштың кескінін салу керек (46-сурет).
Шешуі: Эллипстің MN және KL өзара түйіндес диаметрлерін жүргіземіз. К және М нүктелері арқылы эллипске жанамалар жүргіземіз, олар сәйкесінше өзара түйіндес MN, KL диаметрлеріне параллель болады. Сондықтан бұл жүргізілген жанамалар да өзара перпендикуляр түзулердің кескіндерін береді.
Шындығында, шеңбердің АС жанамасына ОМ радиусы немесе MN диаметрі перпендикуляр болуы керек. Ал есеп шешімі бойынша MN және KL өзара перпендикуляр диаметрлер. Олай болса, АС║KL болуы керек, ал кескіндеу барысында олардың параллельдігі сақталады. Дәл осылай ВС мен MN параллельдігінде дәлелдеп көрсетуге болады.
C
A
L
K
M
B
N
O
46-сурет

Үшбұрыштың гипотенузасын кескіндеу үшін эллипске үшінші жанама жүргізіледі.
46-есеп: Шеңбердің кескіні берілген. Оған іштей сызылған квадраттың кескінін салу керек.
ә)
A
B
C
F
E
D
а)
C
D
B
A
K
O
47-сурет
Шеңбердің кескіні – эллипс берілген. Оған іштей сызылған квадрат кескіні параллелограмм болатындығын ескеріп, еркін түрде кескіндеу дұрыс емес сызбаға алып келеді (47-сурет). Эллипс бойынан кез келген А нүктесі алынып АВ, ВС кесінділері жүргізілген. АВ║СD, ВС║АD болатындығын ескере отырып СD кесіндісін АВ кесіндісіне параллель етіп жүргізу мүмкін болғанымен алынған АВСD төртбұрышы барлық кезде параллелограмм болып шықпайды (47,а-сурет).
Тіпті берілген эллипске іштей параллелограмм кескінделгенімен ол квадраттың дұрыс кескіні болмауы мүмкін (47,ә-сурет). Өйткені квадраттың диагоналдары АСВD болады. Демек АС және ВD шеңбердің өзара перпендикуляр диаметрлері болып табылады. Ал 47,ә-суреттегі АВСD параллелограмында бұл қасиет орындалмайды. Өйткені, егер АСВD болса, онда ВD кесіндісі АС║EF кесінділерінің әрқайсысын қақ бөлуі қажет. Мұндағы ЕККF. Яғни, бұл кескін шеңберге іштей сызылған тіктөртбұрыштың кескіні болып отыр.
Олай болса, бұл салу есебі дұрыс орындалуы үшін, берілген шеңбер кескінінде (эллипс) параллелограмм (квадрат кескіні) төбелері жататын нүктелер еркін түрде емес, белгілі ережелер сақтала отырып анықталуы қажет. Өйткені, шеңбердің кескіні эллипстің берілуі нәтижесінде бейнелеу жазықтығы бірмәнді анықталған. Яғни, бұл нүктелер шеңбердің өзара перпендикуляр диаметрлерінің ұштары болады.
Параллелограмм текті төртбұрыштардан шеңберге сырттай салуға болатындары – квадрат және ромб, ал шеңберге іштей сызуға болатыны – квадрат және тіктөртбұрыш екендігі белгілі. Олай болса, дөңгелек кескіні, яғни эллипске сырттай сызылған параллелограмм – бұл квадрат немесе ромб кескіні болуы мүмкін. Осы кескіндердің ара жігін ажыратайық.
а)
C
F
D
M
N
G
H
E
B
A
O
K
C
F
D
G
H
E
B
A
ә)C
48-сурет
48,а-суреттегі АВСD параллелограмы квадраттың кескіні, ал 48,ә-суреттегі параллелограмм ромбтың кескіні.
49-суреттегі шеңберге іштей сызылған параллелограмдардың а-жағдайындағы тіктөртбұрыштың кескіні, ал ә-жағдайындағы квадраттың кескіні болып табылады.
Бұл жасалған тұжырымдардың дұрыстығына шеңберге сырттай және іштей сызылған көпбұрыштардың қасиеттері мен параллель проекциялау қасиеттеріне назар аудара отырып көз жеткізуге болады.
Стереометриялық фигураларды кескіндеу кезінде де планиметриялық фигураларды кескіндегендегідей еркін проекциялау қолданылады. Көпжақтарды кескіндеу оның төбелері мен қырларын кескіндеуге келтіріледі. Кейде сызбаның көрнекілігі үшін оның биіктігі мен басқа да сызықтарының кескіні салынады.
Кескінді салуды жеңілдету үшін, оның базистік нүктелері таңдалып алынады. Базистік нүктелер ретінде көпжақтың төбелері таңдалады. Ол төбелердің үшеуі бір табанынан, ал төртіншісі басқа табанынан алынады. Пирамида мен конустың кескінін салғанда да базистік нүктелердің үшеуі бір табанынан, ал төртінші нүкте ретінде оның төбесі алынады. Төртінші базистік нүкте арқылы көпжақтардың басқа да төбелері және қырлары кескінделсе, ал айналу денелерінің жасаушыларының кескіні салынады.
а)
C
D
B
E
F
А
K
O
C
B
A
E
D
F
K
O
ә)
49-сурет
-сурет

Көпжақтардың, цилиндр мен конустың кескінін салу кезінде біріншіден оның табанының кескіні салынады. Оны кескіндеу бұған дейінгі қарастырылған жазық фигуралардың кескін салу теориясының негізінде орындалады. Яғни, көпжақ табаны дұрыс үшбұрыш, тең бүйірлі үшбұрыш, тік бұрышты үшбұрыш болғанда оның табанын кез келген үшбұрыш етіп саламыз. Ал табаны параллелограмм, тіктөртбұрыш, ромб, квадрат болған жағдайда оның табанының кескінін параллелограмм етіп саламыз. Ал көпжақ табаны трапеция болғанда оның кескінін трапеция болады. Конус пен цилиндрді кескіндегенде оның табанын бірден эллипс етіп саламыз.
Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер.
75.ABCDAB || CD трапециясы табанындағы бұрыштары 45° болатын тең бүйірлі A1B1C1D1 трапециясының кескіні. Трапецияға сырттай сызылған шеңбер центрінің кескінін салыңыздар.
76.ABC үшбұрышы A1B1C1 тік бұрышты үшбұрышының кескіні: C1=90° және A1C1:B1C1=3:1. Тік бұрыштың төбесінен жүргізілген үшбұрыш биіктігінің кескінін салыңыздар.
77.ABC үшбұрышы – тең бүйірлі A1B1C1 үшбұрышының кескіні: A1C1=B1C1 және биіктігі табанына тең.
сырттай сызылған шеңбер центрінің;
іштей сызылған шеңбер центрінің кескіндерін салыңыздар.
78. SABC пирамидасының табаны – тең бүйірлі үшбұрыш. Мұндағы AB=BC, SO – пирамиданың биіктігі. АС қырындағы екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышын салыңыздар.
79.SABCD пирамидасының табаны – тең бүйірлі трапеция. Мұндағы AD=BC,BDAD. Пирамиданың биіктігі SC қырымен беттеседі. AB және AD қырларындағы екі жақты бұрыштардың сызықтық бұрыштарын салыңыздар.
80. Цилиндр мен оған іштей сызылған дұрыс төртбұрышты призманы кескіндеңіздер.
82. Цилиндрді және оған іштей сызылған дұрыс үшбұрышты призманы кескіндеңіздер.
83. Цилиндрді және оған сырттай сызылған дұрыс төртбұрышты призманы кескіндеңіздер.
85. Конустың берілген кескінінде конусқа іштей сызылған үшбұрышты дұрыс пирамиданың кескінін салыңыздар.
24-25-сабақ. «Қиюшы жазықтық ізін» салу. Үш нүкте арқылы өтетін жазықтықпен қиғандағы қиманы салу
Әдебиеттер: [4] ІІ тарау § 4, [12] 1I-тарау, § 10, [14] § 3.
Көпжақтарды жазықтықпен қиғандағы қиманы салу дегенiмiз - берiлген жазықтықтың көпжақ жақтарынан қиятын кесiндiлерiн анықтау. Демек, қиюшы жазықтықтың көпжақ қырларынан қиятын нүктелерiн тауып, оларды сәйкес жақтарында кесiндiлермен қосу. Сонда табылған нүктелер - алынған қиманың төбелерi, ал кесiндiлер - қиманың қабырғалары болады.
Қиюшы жазықтық әр түрлi болып берiлуi мүмкiн. Атап айтқанда:
Үш нүкте (түзу және одан тысқары нүкте, қиылысатын екi түзу немесе параллель екi түзу) арқылы өтетiн жазықтықпен;
Екi нүкте немесе бiр түзу арқылы өтiп, берiлген түзуге параллель жазықтықпен;
Бiр нүкте арқылы өтетiн және берiлген жазықтыққа параллель жазықтықпен;
Бiр нүкте арқылы өтетiн және берiлген түзуге немесе жазықтыққа белгiлi бiр бұрыш жасайтын жазықтықпен;
Осындай әр түрлi тәсiлдермен берiлген жазықтықпен қиғандағы көпжақ қималарын салу үшiн, мынадай тәсiлдер пайдаланылады:
Қиюшы жазықтық iзi тәсiлi;
Iштей проекциялау тәсiлi;
Құрама тәсiл.
Қиюшы жазықтықтың iзi әдiсiнде көпжақтың төменгi табанын қамтитын жазықтықта (негiзгi жазықтықта) қиюшы жазықтықтың iзi (қиюшы жазықтықпен қиылысу сызығы) анықталып, сол арқылы қиюшы жазықтықтың көпжақ қырларынан қиятын нүктелерi мен жақтарынан қиятын кесiндiлерiн оңай салуға болады.
47-есеп. ABCDA1B1C1D1 параллелепипедiнiң РАА1 қырының ортасы, ВВ1С1С жағының центроиды Q және D1 төбесi арқылы өтетiн жазықтықпен қиғандағы қимасын салу (50-сурет).
B
Q1
У
X
Z
Q
D1
C1
A1
B1
E
P
A
C
D
50-сурет

Шешуi. Бұл қиманы да қиюшы жазықтық iзi арқылы салайық.
1) P, D1, Q нүктелерiнiң табан жазықтығындағы проекцияларын түсiремiз. Олар сәйкесiнше A, D, Q| болады.
2) PD1AD=Х.
3) D1QDQ1 =У.
4) (PD1Q)α=XУ.
5) BCХУ=Z.
6) ZQBB1=F, ZQCC1=E.
7) PF, D1E кесiндiлерiн жүргiземiз. PD1EF параллелограмы iзделiндi қима.
48-есеп. Бесбұрыштыпризманың А1В1 қыры және DD1 қырына тиiстi Р нүктесi арқылы өтетiн жазықтықпен қиғандағы қимасын салу.
Шешуi. Бұл қиманы екi әдiспен салайық.
а) Қиюшы жазықтың iзi арқылы (51-сурет).
А1В1 қырымен Р нүктесiнiң призманың табан жазықтығындағы проекцияларын (проекция бағыты бүйiр қырына параллель) түсiрейiк. Призманың А1В1 қырының табан жазықтығындағы проекциясы АВ қыры, ал Р нүктесiнiң проекциясы D нүктесi болады.
АD және А|Р түзулерiн У нүктесiнде қиылысқанша созамыз (I-есеп). Призманың АА1 және DD1 қырлары өзара параллель болғандықтан және РоDD1 екендiгiн ескерсек, бұл түзулер бiр АА1D1 жазықтығында жатыр, олай болса олар қиылысатын түзулер.
ВD және В1Р түзулерiн Х нүктесiнде қиылысқанша созамыз (I-есеп). Бұл түзулер ВВ1D1 жазықтығында жатыр (2-сәйкес дәлелденедi).
ХУ түзуiн жүргiземiз. Бұл түзу қиюшы жазықтықтың призманың табан жазықтығындағы iзi болып табылады (III-есеп).
5) Ендi қиюшы жазықтықтың призманың бүйiр жақтарынан қиятын кесiндiлерiн анықтау мақсатында сәйкес табан қырларын қиюшы жазықтық iзi ХУ түзуi мен қиылысқанша созамыз. Яғни СD қырын ХУ түзуiмен N нүктесiнде қиылысқанша созамыз (I-есеп). Бұл түзулер табан жазықтығында жатыр.
A
B
E
D
51-сурет
A1 B1
C1
D1
E1
Р γ
N X Y F γ
R
β
Q M
C γ

6) NР түзуiн СС1 қырымен R нүктесiнде қиылысқанша созамыз (I-есеп). Бұл түзулер СN және NР қиылысатын түзулерi арқылы анықталатын жазықтықта жатады.
7) ЕD табан қырын табан жазықтығында жатқан қиюшы жазықтық iзi ХУ түзуiмен F нүктесiнде қиылысқанша созамыз (I-есеп).
8) FР түзуiн ЕЕ1 қырымен Q нүктесiнде қиылысқанша созамыз.
9) АА1Е1Е және ВВ1С1С жақтарында қиюшы жазықтық өтетiн екi нүктеде белгiлi болды. Осы нүктелердi кесiндiлермен қосу жеткiлiктi. Яғни, QА1 және RВ1 кесiндiлерiн жүргiземiз. Алынған А1В1RPQ бесбұрышы iзделiндi қима.
Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер
86.Тетраэдрдің екі бүйір қырынан және табан қырынан алынған үш нүкте арқылы өтетін жазықтықпен қиғандағы қимасын салу.
87. Кубтың екі бүйір қырынан алынған нүкте және табанының бір төбесі арқылы өтетін жазықтықпен қиғандағы қимасын салу.
88. Үшбұрышты призманың екі бүйір жағынан және табан жазықтығынан алынған үш нүкте арқылы жазықтықпен қимасын салу.
89. Үшбұрышты призманың екі бүйір қырынан және табан жазықтығынан алынған үш нүкте арқылы жазықтықпен қимасын салу.
90. Үшбұрышты призманың екі бүйір қырынан және табан қырынан алынған үш нүкте арқылы жазықтықпен қимасын салу.
91. Тетраэдрдің бүйір қырынан және табан жазықтығынан алынған үш нүкте арқылы жазықтықпен қиғандағы қимасын салу.
92. SABCD пирамидасында Р нүктесі SAД, R нүктесі SDС жағында жатыр. Осы нүктелер бойынша қима жазықтығын салу керек.
93. Егер R нүктесі ВВ1CC1 жатса, онда ABCDA1B1C1D1 призмасының қимасы жзықтығын салу керек.
94. SABCD пирамидасында G,R нүктелері сәйкес SBC, SDС жақтарында жатыр. Берілген пирамиданаң қима жазықтығын салу керек.
95. Егер болса, ABCDA1B1C1D1 призмасының қимасы болатын жазықтығын салу керек.
26-27-сабақ. Іштей проекциялау әдісі арқылы қима салу
Әдебиеттер: [4] ІІ тарау § 4, [12] 1I-тарау, § 10, [14] § 3.
Іштей проекциялау әдiсiнде iзделiндi қиманың сәйкес нүктелерi көпжақтың төменгi табанында анықталып, қима нүктелерiмен бiр мәндi сәйкестендiрiледi. Бұл тәсiлдi қиюшы жазықтық iзiн салу күрделi немесе қиюшы жазықтық iзi берiлген фигурадан өте алысқа түсетiн болғанда және т.с.с. пайдаланған тиiмдi.
Бұл тәсiлдердi пайдаланып, көпжақ қимасын салу барысында көпжақ жақтарын қамтитын әрбiр жазықтықтан қиюшы жазықтыққа тиiстi екi нүктенi анықтау қажет. Анықталған екi нүкте арқылы, түзу жүргiзу арқылы көпжақ қырларынан қиятын нүктелер табылады. Осы нүктелердi кесiндiлермен қосып, iзделiндi қима салынады. Бұл салулардың барлығы кеңiстiктегi сәйкес аксиомалар мен теоремаларға негiзделiп жүргiзiледi.
49-есеп. Төртбұрышты призманың К|АА1В1В, N|ВВ1С1С, D|DD1 нүктелерi арқылы өтетiн жазықтықпен қиғандағы қимасын салу.
Шешуi.Бұл қиманы қиюшы жазықтық iзi арқылы салу қолайсыз, өйткенi қиюшы жазықтық iзi көпжақтан өте алысқа бейнеленедi. Сондықтан бұл қиманы iштей проекциялау әдiсiмен салайық (52-сурет).
АА1В1В жағы мен ВВ1С1С жағынан берiлген К| және N| нүктелерiнiң табан жазықтығындағы проекцияларын түсiремiз. Олар сәйкесiнше К және N нүктелерi болсын. КN, К|N| және ВD кесiндiлерiн жүргiземiз. Табан жазықтығындағы КN және ВD кесiндiлерiнiң қиылысу нүктесi S болсын. S нүктесiнен призманың бүйiр қырларына параллельтүзуiн жүргiземiз, ол түзу К|N| кесiндiсiмен S| нүктесiнде қиылысады. Алынған S| нүктесi мен D| нүктесi арқылы D|S| сәулесiн ВВ1 қырымен В| нүктесiнде қиылысқанша созамыз. Ендi В|N| сәулесiн СС1 қырымен С| нүктесiнде, В|К| сәулесiн АА1 қырымен А| нүктесiнде қиылысқанша созамыз. Алынған А| және С| нүктелерiн D| нүктесiмен қосып, iзделiндi А|В|С|D| қимасын аламыз.
Бұл салудағы қарастырған әрбiр түзулер жұбының бiр жазықтықта жатқандығын, яғни олардың айқас еместiгiн дәлелдеп отыру қажет. Сондай-ақ бұл жүргiзiлген салуды толық негiздеу үшiн SS| түзуiнiң бiр мезгiлде ВВ1D1D және КК|N|N жазықтықтарындада жатқандығын дәлелдеу керек, керi жағдайда SS| және К|N| түзулерi қиылыспайды, айқас болар едi.
Мұндағы КN және ВD түзулерiнiң екеуiде призманың АВСD табан жазықтығында жатыр, өйткенi КАВ, NВС. Бұдан түзудiң екi нүктесi жазықтықта жатса, онда оның өзi де толық жазықтықта жатады, яғни ВD(АВСD), КN(АВСD);
S1
D
S
B
N
B1
52-сурет
N1
K1
A1
A
K
C
A1
B1
C1
D1
D|
C|

Ендi S нүктесi арқылы призманың бүйiр қырына параллель жүргiзiлген ℓ түзуi мен К|N| түзулерiнiң бiр КК|N|N жазықтығында жататынын көрсетейiк. Мұндағы К|N|КК|N|N және SКN, ал ℓ||АА1, АА1||КК| болғандықтан ℓ||КК|. Олай болса, SоКК|N|N нүктесi арқылы КК| түзуiне параллель ℓ түзуi де осы жазықтықта жатады (белгiлi аксиомаға сәйкес). Олай болса, ол SS|, К|N| түзулерi қиылысатын түзулер және олардың қиылысу нүктесi S| болады.
Ендi осы ℓ түзуiнiң ВВ|D|D жазықтығынада тиiстi екендiгiн дәлелдесек жеткiлiктi. SВD болғандықтан және S нүктесi арқылы жүргiзiлген ℓ түзуi (ВВ1) ВВ| қырына параллель болғандықтан ℓВВ|D|D.
Ендi түзу және одан тысқары жатқан нүкте арқылы өтетiн жазықтықпен қиғандағы қиманы салуға тоқталайық.
50-есеп. Бесбұрышты призманың А1В1 қыры және DD1 қырына тиiстi Р нүктесi арқылы өтетiн жазықтықпен қиғандағы қимасын салу.
Қиманы iштей проекциялау әдiсi арқылы салайық (53-сурет).
1) Р нүктесi мен А1В1 қырының табан жазықтығындағы проекцияларын түсiремiз. Р нүктесiнiң проекциясы D, А1В1 қырының Q проекциясы АВ қыры болады.
2) Табан жазықтығында АD және СЕ кесiндiлерiн жүргiзiп, олардың қиылысу нүктесiн Х деп белгiлеймiз.
3) Х нүктесi арқылы призманың бүйiр қырларына параллель ℓ түзуiн А1Р кесiндiсiмен Х| нүктесiнде қиылысқанша жүргiземiз. А1Р түзуi мен ℓ түзуi бiр АА1D1D жазықтығында жатқан түзулер.
4) ВD және СЕ кесiндiлерiн жүргiзiп, олардың қиылысу нүктесiн У арқылы белгiлеймiз (I-есеп).
5) У нүктесiнен призманың бүйiр қырына параллель m түзуiн В1Р кесiндiсiмен У| нүктесiнде қиылысқанша жүргiземiз. Бұл түзулер бiр ВВ1D1D жазықтығында жатыр.
6) Х|У| түзуiн СС1 қырымен R нүктесiнде және ЕЕ1 қырымен Q нүктесiнде қиылысқанша созамыз.
7) Бүйiр қырларындағы қиюшы жазықтықтың өтетiн барлық нүктелерi белгiлi болды. Ендi осы нүктелердi қосамыз. Яғни, В1R, RР, РQ, QА1 кесiндiлерiн жүргiземiз. Алынған А1В1RРQ бесбұрышы iзделiндi қима.
A
B
C
У|
X
У
D
53-сурет
A1 B1
Q
E
C1
Ð
R
X|
D1
E1

Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер
96. ABCDA1B1C1D1 призмасын PDD1, QCC1, RAA1, нүктелері арқылы өтетін қимасын салу.
97. ABCDЕA1B1C1D1Е1 призмасын PАА1, QЕЕ1, RСС1D1D, нүктелері α арқылы өтетін қимасын салу.
98. ABCDЕA1B1C1D1Е1 призмасында P,G,R нүктелері үш бүйір жағына тиісті. Осы нүктелер арқылы өтетін қиюшы жазықтықты салу керек.
99. SABCDЕ пирамидасында PSA, G және R нүктелері сәйкес SBC, SDE жақтарында жатыр. Пирамиданың α=(PGR) қима жазықтығын салу керек.
100. SABCD пирамидасында PSA, G және R нүктелері сәйкес SBC, SDE жақтарында жатыр. Пирамиданың α=(PGR) қима жазықтығын салу керек.
101. SABCDЕ пирамидасында P, G және R нүктелері үш бүйір жақтарында жатыр. Пирамиданың α=(PGR) қима жазықтығын салу керек.
28-29-сабақ. «Құрама» тәсіл арқылы қима салу.
Әдебиеттер: [4] ІІ тарау § 4, [12] 1I-тарау, § 10, [14] § 3.
Құрама әдiстi пайдаланып көпжақтар қимасын салу барысында, салудың кейбiр кезеңдерiнде қиюшы жазықтық iзi әдiсiнде немесе iштей проекциялау әдiсiнде баяндалған тәсiлдер қолданылса, ал басқа кезеңдерiнде “Түзулер мен жазықтықтардың параллелдiгi” тарауында оқытылған теоремалар пайдаланылады.
51-есеп. Табаны трапеция болатын призманың АD қырына тиiстi Р нүктесi арқылы өтетiн және АВ1D1 жазықтығына параллель болатын жазықтықпен қиғандағы қиманы салу.
D1
A1
B
C
A
D P
Q
B1
C1
K
L
M
N
54-сурет
Шешуi.1. Призманың табандары өзара параллель болғандықтан Р нүктесi арқылы өтiп, (АВ1D1) жазықтығына параллель қиюшы жазықтық табандарынан параллель түзулер қияды (1-теорема) және ол түзулер В1D1 кесiндiсiне параллель болады. Олай болса, P нүктесiнен В1D1 түзуiне параллель түзу жүргiзiп, оның АВ қырымен қиылысу нүктесiн К арқылы белгiлеймiз (54-сурет).
Қиюшы жазықтық пен оған параллель АВ1 түзуi арқылы өтетiн АВ1В жазықтығы, осы АВ1 түзуiне параллель түзу бойымен қиылысады (3-теорема). Олай болса, осы теорема негiзiнде К нүктесi арқылы АВ1 түзуiне параллель түзу жүргiзiп, оның ВВ1 қырымен қиылысу нүктесiн L арқылы белгiлеймiз.
Осы сияқты P нүктесi арқылы АD1 түзуiне параллель түзу жүргiзiп, оның DD1 қырымен қиылысу нүктесiн Q арқылы белгiлеймiз (3-теорема).
Қиюшы жазықтық призманың өзара параллель ВВ1С1С және АА1D1D жақтарынан параллель түзулер қияды (1-теорема). Олай болса, L нүктесi арқылы PQ кесiндiсiне параллель түзу жүргiзiп, оның В1С1 қырынан қиятын нүктесiн М арқылы белгiлеймiз.
Осы теоремаға сәйкес, М нүктесi арқылы РК кесiндiсiне параллель түзу жүргiзiп, оның С1D1 қырымен қиылысу нүктесiн N арқылы белгiлеймiз.
NQ кесiндiсiн жүргiземiз. Алынған PKLMNQ алтыбұрышы iзделiндi қима.
Аудиторияда және үйде шығарылатын есептер
102. ABCDA1B1C1D1 параллелепипедінің АА1 және DD1 қырларынан сәйкесінше P және Q нүктелері берілген. В1Р, А1Q түзулеріне параллель және параллелпипедтің CC1 қырларын тиісті К нүктесі арқылы өтетін жазықтықпен қиғандағы қиманы салу.
103. ABCDA1B1C1D1 параллелепипедінің АА1 және DD1 қырларынан сәйкесінше P және Q нүктелері берілген. В1Р, А1Q түзулеріне параллель және параллелпипедтің AB қырларын тиісті К нүктесі арқылы өтетін жазықтықпен қиғандағы қиманы салу.
104. ABCA1B1C1 үшбұрышты призмасының AA1B1B жағынан Р нүктесі, CC1 қырынан Q нүктесі алынған. В1Р, А1Q түзулеріне параллель және призманың ВВ1 қырларын тиісті К нүктесі арқылы өтетін жазықтықпен қиғандағы қиманы салу.
105. ABCA1B1C1 үшбұрышты призмасының AA1 және CC1 қырларынан сәйкесінше Р, Q нүктелері алынған. РQ кесіндісінің ортасы - К нүктесі арқылы өтетін және ВР1, АQ түзулеріне параллель жазықтықпен қиғандағы қиманы салу.
102. ABCDA1B1C1D1 төртбұрышты призмасының табанынан Р нүктесі, ал СС1 қырынан Q нүктесі алынған. В1Р, А1Q түзулеріне параллель және призманың AD қырларына тиісті К нүктесі арқылы өтетін жазықтықпен қиғандағы қиманы салу.
103. SABC үшбұрышты пирамидасының SA, SC қырларынан сәйкесінше P және Q нүктелері алынған. PQ кесіндісінің ортасы - К нүктесі арқылы өтетін және BP, AQ түзулеріне параллель жазықтықпен қиғандағы пирамиданың қимасын салу.
30-сабақ. Бақылау жұмысы.
Жеке тапсырмалар
CӨЖ №
Студ-тің журнал-дағы
қ/с № Тапсырмалар
№ 1
№1,2,3 есептер
2-аптада,
№4,5,6 есептер
3-аптада тапсырылады

1 1.Берілген бұрышқа тең бұрыш салу.
2.Үшбұрышқа сырттай шеңбер сызу.
3.Бір катеті мен оған оған қарсы жатқан сүйір бұрышы арқылы тік бұрышты үшбұрыш сал.
4. Қандай да бір фигура салып, оған алдын ала белгіленген нүктеге қатысты симметриялы фигура салыңдар.
5. АВ кесіндісі мен осы кесіндіде жатпайтын бұру центрі О берілген, АВ кесіндісін 900-қа бұрғандағы бейнесін салыңдар.
6. Бір түзудің бойында жатпайтын А,В және С нүктелері берілген. Ұқсастық коэффициенті 2-ке тең деп алып, берілген фигураға ұқсас фигура салыңдар.
2 1.Бұрыштың биссектрисасын салу.
2.Бір катеті мен гипотенузасы арқылы тік бұрышты үшбұрыш сал.
3. кесіндісін салу.
4. Қандай да бір фигура салып, оған алдын ала берілген түзуге қатысты симметриялы фигура салу.
5. Берілген АВС үшбұрышын А нүктесінің маңында сағат тіліне қарсы бағытта 600-қа бұрғанда шығатын үшбұрышты салыңдар.
6. Бір түзудің бойында жатпайтын А,В және С нүктелері берілген. Ұқсастық коэффициенті 0,5 –ке тең деп алып, берілген фигураға ұқсас фигура салыңдар.
3 1. Кесіндіні қақ бөлу.
2. Циркуль және сызғышпен 450 бұрыш салу.
3. Екі катеті бойынша тік бұрышты үшбұрыш сал
4. А және В нүктелері берілген. А нүктесіне В-ға қатысты симметриялы А’нүктесін салыңдар.
5. А, В, С нүктелері берілген. А нүктесін В нүктесіне көшіретін параллель көшіру кезінде С нүктесі көшетін С’ нүктесін салыңдар.
6. Берілген үшбұрыштың бір бұрышын гомотетия центрі етіп алып, осы үшбұрышқа коэффициенті 2-ге тең гомотетиялы үшбұрыш салыңдар.
4 1.Түзуге одан тыс нүкте арқылы перепендикуляр жүргізу.
2.Циркуль және сызғышпен 600 бұрыш салу.
3. кесіндісін салу.
4. О нүктесі мен m түзуі берілген (О∉m) . О нүктесі маңында m түзуін 600-қа бұрғанда (сағат тіліне қарсы бағытта) шығатын m’ түзуін салыңдар.
5. А нүктесі жәнеlтүзуіне қатысты А нүктесіне симметриялы А’ нүктесін салыңдар. A∉l және A∈l болатындай екі түрлі жағдайларды қарастырыңдар.
6. Берілген үшбұрыштың бір бұрышын гомотетия центрі етіп алып, осы үшбұрышқа коэффициенті 12 -ге тең гомотетиялы үшбұрыш салыңдар.
5 1.Түзудің бойындағы нүкте арқылы түзуге перпендикуляр тұрғызу.
2.Үшбұрышқа іштей шеңбер сызу.
3. кесіндісін салу.
4.А,В және С нүктелері берілген. АВ кесіндісінің ортасына қатысты С нүктесіне симметриялы С’ нүктесін салыңдар
5. О нүктесі мен m түзуі берілген (О∈m). О нүктесі маңында m түзуін 600-қа бұрғанда (сағат тіліне қарсы бағытта) шығатын m’ түзуін салыңдар.
6.Қандай да бір шеңбер алып, берілген гомотетия центріне байланысты оған к = 12 гомотетиялы шеңбер салыңдар.
6 1.Берілген түзуге параллель түзу жүргізу.
2.Гипотенузасы мен бір сүйір бұрышы арқылы тік бұрышты үшбұрыш сал
3.Үшбұрышқа іштей шеңбер сыз.
4. Қандай да бір өске қатысты симметриялы А және В нүктелері мен үшінші бір С нүктесі берілген. Осы өске қатысты С нүктесіне симметриялы С’ нүктесін салыңдар.
5. Берілген АВ кесіндісін 2∶5 қатынасында бөліңдер
6.Қандай да бір шеңбер алып, берілген гомотетия центріне байланысты оған к = 2 гомотетиялы шеңбер салыңдар.
7 1.Екі қабырғасы олардың арасындағы бұрышы бойынша үшбұрыш салу.
2.Кесіндіні тең 4 бөлікке бөл.
3. кесіндісін салу.
4. АВ кесіндісі мен осы кесіндіде жатпайтын бұру центрі О берілген, АВ кесіндісін 300-қа; бұрғандағы бейнесін салыңдар.
5. АВ түзуін А нүктесі берілген С∉АВ нүктесіне көшетіндей етіп параллель көшіріңдер.
6.Қандай да бір квадрат алып, берілген гомотетия центріне байланысты оған к = 12 гомотетиялы квадрат салыңдар.
8 1.Үш қабырғасы бойынша үшбұрыш салу.
2.Кесіндіні тең 5 бөлікке бөл.
3. кесіндісін салу.
4. АВ кесіндісі мен осы кесіндіде жатпайтын бұру центрі О берілген, АВ кесіндісін 600-қа; бұрғандағы бейнесін салыңдар
5. АВ түзуін А нүктесі берілген С∈АВ нүктесіне көшетіндей етіп параллель көшіріңдер.
6.Қандай да бір квадрат алып, берілген гомотетия центріне байланысты оған к =2 гомотетиялы квадрат салыңдар.
9 1.Қабырғасы және оған іргелес екі бұрышы бойынша үшбұрыш салу.
2.Кесіндіні 3:5 қатынасындай бөліктерге бөл.
3. кесіндісін салу.
4. АВ кесіндісі мен осы кесіндіде жатпайтын бұру центрі О берілген, АВ кесіндісін 1200-қа; бұрғандағы бейнесін салыңдар.
5. Берілген шеңберді екі бағытта да оның бойында орналасқан А нүктесі маңында 1200 –қа бұрыңдар. Берілген шеңбер мен оның бейнелері өзара қалай орналасады.
6. Қандай да бір үшбұрыш алып, берілген гомотетия центріне байланысты оған к = 12 гомотетиялы үшбұрыш салыңдар.
10 1. Циркуль және сызғышпен 300 бұрыш салу.
2. Бір катеті мен оған іргелес сүйір бұрышы арқылы тік бұрышты үшбұрыш сал.
3. у=авс кесіндісін сал.
4. АВ кесіндісі мен осы кесіндіде жатпайтын бұру центрі О берілген, АВ кесіндісін 1800-қа бұрғандағы бейнесін салыңдар.
5. Қандай да бір АВС үшбұрышын салып, параллель көшіру арқылы А нүктесі В нүктесіне көшетіндей етіп, АВ’С’ үшбұрышын салыңдар.
6. Қандай да бір үшбұрыш алып, берілген гомотетия центріне байланысты оған к=2 гомотетиялы үшбұрыш салыңдар.
№2
№1,2,3 есеп-тер 5-аптада,
№4,5,6 есеп-тер 7-аптада тапсырылады

1 1.Берілген түзу бойынан берілген екі нүктеден бірдей қашықтықта орналасқан нүктені анықтаңдар.
2. Қабырғасы, оған қарсы жатқан бұрышы және осы бұрыш төбесінен түсірілген биіктігі бойынша үшбұрыш салыңдар.
3. а қабырғасы, басқа екі қабырғасының dайырмасы және үлкен қабырғасына түсірілген һбиіктігі бойынша үшбұрыш салу керек.
4. Екі биіктігі мен қабырғасы бойынша параллелограмм салыңдар.
5. Қабырғасы а мен диагональдарының dайырмасы бойынша ромбы салу керек.
6. Екі төбесі берілген үшбұрыштың бір қабырғасының бойында, ал қалған екі төбесі басқа екі қабырғасында жататындай етіп, берілген үшбұрышқа іштей квадрат сызыңдар.
2 1.А, В, С, Dнүктелері берілген. А және В нүктелерінен бірдей қашықтықта және С мен D нүктелерінен де бірдей қашықтықта орналасқан Х нүктесін табыңдар.
2. Қабырғасы, осы қабырғасына жүргізілген медианасы мен биіктігі бойынша үшбұрыш салыңдар.
3. Төбелері бір түзудің бойында жатпайтын берілген үш нүктеде орналасатын неше түрлі параллелограмм салуға болады?
4. Диагоналы бойынша квадрат салыңдар.
5. ABCD тік бұрышты трапецияны табандары және оларға перпендикуляр AB бүйір қабырғасы бойынша салыңдар.
6. Бұрыш және осы бұрыштың ішінде жатқан А нүктесі берілген. Бұрыштың қабырғаларын жанайтын және А нүктесі арқылы өтетін шеңберді салыңдар.
3 1.АВ кесіндісі мен а түзуі берілген. а түзуіне параллель және а түзуінен АВ қашықтығында өтетін m түзуін жүргізіңдер.
2. Бұрышы мен осы бұрыш төбесінен жүргізілген биіктігі және биссектрисасы бойынша үшбұрыш салыңдар.
3. Екі қабырғасы мен олардың арасындағы бұрышы бойынша параллеограмм салыңдар.
4. Қабырғасы, диагоналы және диагоналдарының арасындағы бұрышы бойынша параллелограмм салыңдар.
5. Табандары, биіктігі және бір диагоналы бойынша трапеция салыңдар.
6. А және В нүктелері мен қиылысатын с және d берілген. С жәнеD төбелері сәйкес с және d түзулерінде жататын АВСD квадратын салыңдар.
4 1.Бүйір қабырғасы мен табанына қарсы жатқан бұрышы бойынша тең бүйірлі үшбұрыш салыңдар.
2. Қабырғасы, оған түсірілген биіктігі және екі қабырғасының біріне түсірілген медианасы бойынша үшбұрыш салыңдар.
3. Бір қабырғасы мен екі диагоналы бойынша параллеллограмм салыңдар.
4. Диагоналы және бұрышы бойынша ромб салыңдар.
5. Табандары, биіктігі және бір бұрышы бойынша трапеция салыңдар.
6.Төбесі қағаз бетінен тысқары орналасқан АОВ бұрышы және осы бұрыштың қабырғаларының бірінде жатқан С нүктесі берілген. ОС-ға тең кесінді салыңдар.
5 1.Табаны мен табанындағы бұрышы бойынша тең бүйірлі үшбұрыш салыңдар.
2. Екі қабырғасы мен үшінші қабырғасына түсірілген медианасы бойынша үшбұрыш салыңдар.
3. Екі қабырғасы мен бір бұрышы бойынша параллелограмм салыңдар.
4. Диагоналы және биіктігі бойынша ромб салыңдар.
5. Трапнцияны үлкен табаны, бүйір қабырғалары және сүйір бұрышы бойынша салыңдар.
6.Түзу мен оның екі жағында орналасқан екі шеңбер берілген. Екі төбесі сәйкес берілген екі шеңбердің бойында жататындай, ал үшінші төбесінен жүргізілген биіктік берілген түзуде жататындай тең қабырғалы үшбұрыш салыңдар.
6 1.Табаны мен бүйір қабырғасы бойынша тең бүйірлі үшбұрыш салыңдар.
2. ВС қабырғасы, BN медианасы және ВН биіктігі бойынша АВС үшбұрышын салыңдар.
3. Екі диагоналы мен олардың арасындағы бұрышы бойынша параллелограмм салыңдар.
4. Берілген екі төбесі бойынша квадрат салыңдар.
5. Трапнцияны кіші табаны, бір бүйір қабырғалары және екі доғал бұрышы бойынша салыңдар.
6. Табандары мен диагналдары бойынша трапеция салыңдар.
7 1.Табаны мен табынына түсірілген биіктігі бойынша тең бүйірлі үшбұрыш салыңдар.
2. AC және BC қабырғалары мен CN медианасы бойынша ABC үшбұрышын салыңдар.
3. Қабырғалары мен диагональдарының қосындысы бойынша квадрат салу керек.
4. Табаны мен сырттай сызылған шеңбердің радиусы бойынша тең бүйірлі үшбұрыш салыңдар.
5. О нүктесі арқылы өтетін үш түзу мен олардың бірінде жататын А нүктесі берілген. Бір төбесі А нүктесінде және биіктіктері берілген түзулердің бойында жататын үшбұрыш салыңдар;
6.Берілген трапециямен тең құрамды тік төртбұрыш салыңдар.
8 1.Центрі берілген түзуде болатын, берілген нүкте арқылы өтетін, берілген радиусы бойынша шеңбер салыңдар.
2. В сүйір бұрышы мен BD биссектрисасы бойынша АВС тік бұрышты үшбұрыш салыңдар.
3. Диагональдарының арасындағы бұрышы мен периметрі бойынша тік төртбұрыш салу керек.
4. Үлкен табаны мен бүйір қабырғасының s косындысы және һбиіктігі, үлкен табанындағы А бұрышы бойынша тең бүйірлі трапеция салу керек.
5. О нүктесі арқылы өтетін үш түзу мен олардың бірінде жататын А нүктесі берілген. Бір төбесі А нүктесінде және медианалары берілген түзулердің бойында жататын үшбұрыш салыңдар;
6. Берілген трапециямен тең құрамды паралеллелограмм салыңдар.
9 1.Берілген екі нүкте арқылы өтетін, радиусы берілген шеңбер салыңдар.
2. Периметрі, бір бұрышы және басқа бір бұрышының төбесінен жүргізілген биіктігі бойынша үшбұрыш салыңдар.
3. Қабырғасы және диагоналы бойынша тік төртбұрыш салыңдар.
4. Кіші d диагоналы, іргелес қабырғаларының s косындысы және а сүйір бұрышы бойынша параллелограмм салу керек.
5. О нүктесі арқылы өтетін үш түзу мен олардың бірінде жататын А нүктесі берілген. Бір төбесі А нүктесінде және биссектрисалары берілген түзулердің бойында жататын үшбұрыш салыңдар;
6. Іштей сызылған шеңбердің радиусы мен қабырғасы бойынша ромб салыңдар.
10 1.Берілген үш нүкте арқылы өтетін шеңбер салыңдар. Есептің шешуі үнемі табыла бере ме?
2.ВС=акатеті және басқа катеті мен гипотенузасының қосындысы s бойынша үшбұрыш салу керек.
3. Диагоналдары мен олардың арасындағы бұрышы бойынша тік төртбұрыш салыңдар.
4. Үлкен табаны мен бүйір қабырғасының s косындысы және һбиіктігі, үлкен табанындағы А бұрышы бойынша тең бүйірлі трапеция салу керек.
5. О нүктесі арқылы өтетін үш түзу мен олардың бірінде жататын А нүктесі берілген Бір төбесі А нүктесінде және берілген түзулер оның орта перпендикулярлары болатындай үшбұрыш салыңдар.
6. Сырттай сызылған шеңбердің радиусы мен диагоналының арасындағы бұрышы бойынша тік төртбұрыш салыңдар.
№3
№1,2,3,4 есептер
12-аптада,
№5,6,7 есептер
14-аптада тапсырыла-ды 1 1.Жазықтықтың берілген нүктесі арқылы оған перпендикуляр бір ғана түзу жүргізуге болатынын дәлелдеңдер.
2. Шеңбердің және осы шеңберге сырттай сызылған ABCD трапециясының кескіні берілген AD || BC. Трапецияның B және Cтөбелерінен түсірілген биіктіктерінің кескіндерін салыңыздар.
3.SABCD пирамидасының табаны тіктөртбұрыш, пирамиданың S төбесі DC түзуіне проекцияланады. AB қырындағы екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышын салыңыздар.
4.ABCDA1B1C1D1 параллелепипедінің B1C1, AA1 және AD қырларынан сәйкесінше P, Q және R нүктелері алынған. PQR қиюшы жазықтығын салу керек.
5. SABCDEпирамидасының екі бүйір қырларынан және бүйір жағынан алынған үш нүктелер арқылы өтетін қиюшы жазықтықты сал
6. SABC үшбұрышты пирамидасының SA, SC қырларынан сәйкесінше P және Q нүктелері алынған. PQ кесіндісінің ортасы - К нүктесі арқылы өтетін және BP, AQ түзулеріне параллель жазықтықпен қиғандағы пирамиданың қимасын салу.
7. Кубтың айқас қырларынан алынған үш нүкте арқылы қиюшы жазықтық жүргіз.
2 1. Айқас екі түзудің кез келгені арқылы екінші түзуге параллель жазықтық жүргізуге болатынын дәлелдеңдер.
2. Шеңбердің және осы шеңберге іштей сызылған үшбұрыштың кескіні берілген. Үшбұрыштың биіктіктерінің кескіндерін салыңыздар.
3. ABCDA1B1C1D1 кубының кескіні берілген AA1 және BD түзулерінің ортақ перпендикулярын салыңыздар.
4. ABCDA1B1C1D1 параллелепипедінің AA1B1B, BB1C1C және ABCD жақтарынан сәйкесінше P, Q және R нүктелері алынған. PQR қиюшы жазықтығын салу керек.
5. Алтыбұрышты дұрыс призманың үш бүйір қырынан алынған нүктелер арқылы қиюшы жазықтық жүргізу.
6. ABCA1B1C1 үшбұрышты призмасының AA1 және CC1 қырларынан сәйкесінше Р, Q нүктелері алынған. РQ кесіндісінің ортасы - К нүктесі арқылы өтетін және ВР1, АQ түзулеріне параллель жазықтықпен қиғандағы қиманы салу.
7. Егер болса, онда АВСDA1B1C1D1 призмасының қимасын салу керек.
3 1. Берілген нүкте арқылы қиылысатын берілген екі жазықтықтың әрқайсысына параллель түзу жүргізіңдер.
2. Шеңбердің және осы шеңберге сырттай сызылған үшбұрыштың кескіні берілген. Үшбұрыштың биіктіктерінің кескіндерін салыңыздар.
3. ABCDA1B1C1D1 кубының кескіні берілген A1D және BC1 түзулерінің ортақ перпендикулярын салыңыздар.
4. ABCDA1B1C1D1 параллелепипедінің AС1 диагоналінен Р нүктесі, AA1D1D жағының АD1 диагоналінен Q нүктесі және ABCD жағынан R нүктелері алынған. PQR қиюшы жазықтығын салу.
5. SABCDEпирамидасының бір бүйір қырларынан және екі жағынан алынған үш нүктелер арқылы өтетін қиюшы жазықтықты салу.
6. SABC дұрыс үшбұрышты пирамидасының биіктігі табан қабырғасына тең. Пирамиданың АВ табан қабырғасы арқылы өтетін және SC қырына перпендикуляр жазықтықпен қиғандағы қимасын салу.
7. Үшбұрышты призманың екі бүйір қырынан және табан қырынан алынған үш нүкте арқылы жазықтықпен қимасын сал.
4 1. Берілген а және b айқас түзулерін қиятын және оларға перпендикуляр болатын с түзуін жүргізіңдер.
2. Тең бүйірлі үшбұрыштың кескіні берілген. Осы кескінде үшбұрыштың бүйір қабырғасының ортасынан табанына жүргізілген перпендикулярдың кескінін сал.
3. Кубтың диагоналы және бұл диагональмен қиылыспайтын қырының ортақ перпендикулярын салыңыздар.
4. ABCDA1B1C1D1 параллелепипедінің AD және CD қырларынан Х және У нүктелері алынған. BB1 қырының ортасы К нүктесінен және ХУ түзуінен өтетін жазықтықпен қиғандағы параллелепипедтің қимасын салу керек.
5. SABCDEпирамидасының бүйір жақтарынан алынған үш нүкте арқылы өтетін қиюшы жазықтықты сал.
6. ABCDA1B1C1D1 параллелепипедінің АА1 және DD1 қырларынан сәйкесінше P және Q нүктелері берілген. В1Р, А1Q түзулеріне параллель және параллелпипедтің CC1 қырларына тиісті К нүктесі арқылы өтетін жазықтықпен қиғандағы қиманы салу.
7. Егер R нүктесі ВВ1CC1 жатса, онда ABCDA1B1C1D1 призмасының қимасы жзықтығын салу крек.
5 1. А нүктесі арқылы берілген жазықтығына параллель болатын жазықтығын жүргізіңдер.
2. Тең бүйірлі үшбұрыштың кескіні берілген. Осы кескінде үшбұрыш төбесіндегі бұрышының биссектрисасының кескінін салу.
3. SABC пирамидасының табаны – тең бүйірлі үшбұрыш. Мұндағы AB=BC, SO – пирамиданың биіктігі. АС қырындағы екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышын салу.
4. ABCDA1B1C1D1 параллелепипедінің AD және DD1 қырларынан Х және У нүктелері алынған. BB1 қырының ортасы К нүктесінен және ХУ түзуінен өтетін жазықтықпен қиғандағы параллелепипедтің қимасын салу керек.
5. SABCDEпирамидасының бүйір қырларынан алынған үш нүкте арқылы өтетін қиюшы жазықтықты салу.
6. SABCD төртбұрышты пирамидасының SD, SC қырларынан сәйкесінше P және Q нүктелері алынған. PQ кесіндісінің ортасы - К нүктесі арқылы өтетін және АP, DQ түзулеріне параллель жазықтықпен қиғандағы пирамиданың қимасын салу.
7. SABCDЕ пирамидасында G,R нүктелері сәйкес SBC, SDE жақтарында жатыр. Берілген пирамиданаң қима жазықтығын салу керек.
6 1. а және b айқас түзулері берілген. а түзуі арқылы өтетін және b түзуіне параллель болатын жазықтық жүргізу.
2. Үшбұрыштың және оның екі биіктігінің кескіні берілген. Осы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер центрінің кескінін салу.
3. SABCD пирамидасының табаны – тең бүйірлі трапеция. Мұндағы AD=BC,BDAD. Пирамиданың биіктігі SC қырымен беттеседі. AB және AD қырларындағы екі жақты бұрыштардың сызықтық бұрыштарын салу.
4. ABCDA1B1C1D1 параллелепипедінің AD және АA1 қырларынан Х және У нүктелері алынған. BB1 қырының ортасы К нүктесінен және ХУ түзуінен өтетін жазықтықпен қиғандағы параллелепипедтің қимасын салу керек.
5. SABCDE пирамидасының үш бүйір қырынан алынған нүктелер арқылы өтетін қиюшы жазықтықты салу.
6. SABC дұрыс тетраэдрінің SB қырының ортасынан К нүктесі алынған. а) К нүктесінен SA және SC қырларына перпендикуляр түсіріңдеру керек.
7. Тетраэдрдің екі бүйір қырынан және табан қырынан алынған үш нүкте арқылы өтетін жазықтықпен қиғандағы қимасын сал.
7 1. а түзуі арқылы өтетін және жазықтығына перпендикуляр жазықтық жүргу.
2. Үшбұрыштың параллель проекциясы берілген. Осы үшбұрыштың медианаларының проекцияларын салу.
3. Цилиндр мен оған іштей сызылған дұрыс төртбұрышты призманы кескіндеу.
4. ABCDA1B1C1D1 параллелепипедінің АD және АB қырларынан алынған Х және У нүктелерінен, BB1 қырының ортасы К нүктесін өтетін жазықтықпен қиғандағы параллелепипедтің қимасын салу керек.
5. SABCDE пирамидасының екі бүйір қырынан және бүйір жағынан алынған нүктелер арқылы өтетін қиюшы жазықтықты салу.
6. SABC дұрыс тетраэдрінің SB қырының ортасынан К нүктесі алынған. К нүктесінен SA және SC қырларына түсірілген перпендикулярлар арқылы өтетін жазықтық пен тетраэдрдің SO биіктігінің қиылысу нүктесін салу.
7. Кубтың екі бүйір қырынан алынған нүкте және табанының бір төбесі арқылы өтетін жазықтықпен қиғандағы қимасын салу
8 1. Берілген а және b айқас түзулерін қиятын және үшінші с түзуіне параллель болатын түзу жүргізіңдер.
2. Үшбұрыштың параллель проекциясы берілген. Үшбұрыштың орта сызығының проекциясын салу.
3. Цилиндрді және оған іштей сызылған дұрыс үшбұрышты призманы кескіндеу.
4. SABCDE пирамидасының екі бүйір қырынан және табанынан алынған нүктелер арқылы өтетін қиюшы жазықтықты салу.
5. Төрт бұрышты призманың бір бүйір қырынан және екі бүйір жағынан алынған нүктелер арқылы қиюшы жазықтық жүргізу керек.
6. SABC дұрыс тетраэдрінің АС қырының ортасынан алынған К нүктесінен SBC жағын қамтитын жазықтыққа перпендикуляр түсіру керек.
7. Егер болса, ABCDA1B1C1D1 призмасының қимасы болатын жазықтығын салу керек.
9 1. Берілген а және b айқас түзулері арқылы өзара параллель болатын және жазықтықтарын жүргізу.
2. Дұрыс алтыбұрыштың кескіні берілген. Алтыбұрыштың апофемасын және сыртқы бұрыштарының біреуінің биссектрисасын салу.
3. Цилиндрді және оған сырттай сызылған дұрыс төртбұрышты призманы кескіндеу.
4. SABCDE пирамидасының екі бүйір жағынан және табан жазықтығынан алынған нүктелер арқылы өтетін қиюшы жазықтықты сал.
5. Төрт бұрышты призманың екі бүйір қырынан және бір бүйір жағынан алынған нүктелер арқылы қиюшы жазықтық жүргізу керек.
6. SABCD дұрыс төртбұрышты пирамидасының SO биіктігі табанының АВ қабырғасына тең. Пирамиданың D төбесінен SBC жағын қамтитын жазықтыққа перпендикуляр түсіріңіз.
7. Үшбұрышты призманың екі бүйір қырынан және табан жазықтығынан алынған үш нүкте арқылы жазықтықпен қимасын сал.
10 1. Берілген а түзуі арқылы b түзуіне параллель болатын жазықтығын жүргізіңдер.
2. Дұрыс алтыбұрыш кескіні берілген. Алтыбұрыштың центроидынан оның кіші диагональдарының біріне перпендикуляр түсіру.
3. Конустың берілген кескінінде конусқа іштей сызылған үшбұрышты дұрыс пирамиданың кескінін салу.
4. SABCDE пирамидасының екі бүйір жағынан және табан қырынан алынған нүктелер арқыдлы өтетін қиюшы жазықтықты салу.
5. Төрт бұрышты призманың бір бүйір қырынан және екі бүйір жағынан алынған нүктелер арқылы қиюшы жазықтық жүргізу керек.
6. SABC үшбұрышты пирамидасының табаны С=900 болатын тікбұрышты үшбұрыш, оның катеттерінің қатынасы АС:ВС=3:4. Пирамида биіктігі АВ гипотенузасына тең және С нүктесіне проекцияланады. С нүктесінен SAB жазықтығына перпендикуляр түсіру керек.
7. Үшбұрышты призманың екі бүйір жағынан және табан жазықтығынан алынған үш нүкте арқылы жазықтықпен қимасын сал.
Мазмұны
Кіріспе..................................................................................................................... 3
Әдебиеттер.............................................................................................................. 4
1-сабақ. Мектеп геометриясынан жазықтықтағы қарапайым салуларды орындай алуын тексеру......................................................................................... 5
2-3-сабақ. Циркуль мен сызғыш арқылы шығарылатын негізгі
геометриялық салу есептері. Қарапайым НГО салулар.................................... 6
4-5-сабақ. Берілген элементтері бойынша үшбұрыш салу............................... 9
6-сабақ. Түзулеу әдісі..........................................................................................11
7-сабақ. НГО әдісі.................................................................................................13
8-сабақ. Параллелограм және тіктөртбұрыш салу............................................18
9--сабақ. Трапеция және оның қасиеттері..........................................................21
10-11-сабақ. Жазықтықтағы фигураларды түрлендіру. Симметрия
әдісі.........................................................................................................................22
12-13- сабақ. Параллель көшіру әдісі..................................................................26
14-сабақ. Бұру әдісі..............................................................................................31
15-сабақ. Бақылау жұмысы..................................................................................32
16-сабақ. Гомотетиялы фигураларды салу.........................................................32
17-сабақ. Инверсия әдіс.......................................................................................37
18-сабақ. Алгебралық әдіс....................................................................................44
19-сабақ. Стереометриялық негізгі қарапайым салулар. Стереометрия аксиомалары мен оның салдарларына қатысты салулар...................................47
20-21-сабақ. Түзулер мен жазықтықтардың параллельдігіне және перпендикулярлығына қатысты елестету арқылы орындалатын салулар.......52
22-23-сабақ. Фигуралардың проекциялары. Фигуралардың
кескіндерін салу.....................................................................................................56
24-25-сабақ. «Қиюшы жазықтық ізін» салу. Үш нүкте арқылы өтетін жазықтықпен қиғандағы қиманы салу................................................................60
26-27-сабақ. Іштей проекциялау әдісі арқылы қима салу.................................64
28-29-сабақ. «Құрама» тәсіл арқылы қима салу.................................................66
30-сабақ. Бақылау жұмысы..................................................................................68
Жеке тапсырмалар.................................................................................................68
Рахымбек Д., Мадияров Н.К.
5В010900– «Математика» мамандығының студенттеріне «Геометриялық салу есептері» пәнінен практикалық жұмыстарға арналған
ӘДІСТЕМЕЛІК НҰСҚАУ
Мөр басылымы «___»______2015ж.
Қағаз форматы Х×Y1/16
Типографиялық қағаз. Офсеттік қағаз. Көлемі 5 б.б.
Тираж 50 дана.Тапсырыс №© Оңтүстік- Қазақстан мемелекеттік педагогикалық институты
Баспа орталығы: ОҚМПИ, Шымкент қ., Ғ. Ильяев к. 16.

Приложенные файлы

  • docx 2427252
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 2

Добавить комментарий