Начертательная геометрия. Шаг за шагом 12-17. Дюмин


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
УДК
514.18(075.8)
Д96
УДК 514.
18(075.8)
Р е ц е н з е
н т ы: кафедра «Начертательная геометрия и
графика» Петербургского
государст
нного
университ
ета путей
сообщения (зав. каф. канд. техн. наук,
доц.
Ю.А. Параск
вопуло
); канд. техн. наук, проф.
Л.И. Калягин
Утверждено
редакционно
издательским
советом университета
ISBN
85546
783
© Авторы, 20
© БГТУ,
Дюмин, В.А.
Начертательная
геометрия шаг за шагом. Шаги
поверхности, аксоно
метрии
учебное пособие / В.А. Дюмин, М.В.
Ракит
ская, Д.Е.
Тихонов
Бугров; Балт.
гос. техн. ун
т.
СПб.,
13.
134
ISBN
85546
783
Пособие рассчитано на самостоятельное
изучение разделов, связанных с поверхностями
и аксонометриями. Содержит иллюстрации, позволяющие студенту по стадиям
просл
дить
ход решения
зад
ач. В
отд
ельном разделе представлены задачи для
самостоя
тельной
раб
ты.
Предназначено для студентов инженерных специальностей.
Д96
ВВЕДЕНИЕ
Заключительная, третья часть учебного пособия в основном посвящена построению изобр
жений поверхностей и манипуляциям с ними, построению наглядных изображений на картинной
плоскости.
Читатель, добросовестно изучивший две предыдущие ч
асти, прошедший небольшую практ
ку, получил ценный опыт, дающий предпосылки для более глубокого восприятия геометрической
мы, познания логики решения задач.
еометрические модели следует рассматривать как прообразы неких технических объектов. В
этой сит
уации очень важно достичь такого уровня подготовки, который позволит строить геоме
ческие объекты в своём сознании,
созда
вать их проекционные модели и успешно анализир
вать формы объектов, их взаимное положение.
С пожеланием упорства в достижении постав
ленной цели приглашаем к изучению заключ
и-
тел
ной части курса.
Основные понятия и определения
Поверхность в начертательной геометрии
может
быть зад
на:
порядоченным
множеством
линий
или
точек
(задание
карк
са);
езультатом
перемещения
линии
или
верхности
пространстве
матический
способ).
Каркас
это
совокупность
точек
или
линий,
принадлежащих
поверхности
выбранных
таким
образом,
что,
ориентируясь
ним,
можно
достаточно
полно
представить
форму
поверхности.
чечный
каркас
это
совокупн
ость
точек.
Если
точки
соед
нить
прямыми,
получится
сетчатый
каркас
или
триангуляционная
сеть.
Линейный
каркас
это
совокупность
ний.
При
кинематическом
способе
задания
поверхность
можно
рассматривать
как
множество
положений
линии,
называемой
образующей,
движущейся
пространстве
определе
ному
кону.
Линии
пространстве,
задающие
движение
образующей,
называют
направляющими. Если в
цессе движения образующая
остается
параллельной какой
либо плоскости, то такая плоскость
наз
вается плоскос
тью паралл
лизма.
Поверхность,
которая
может
быть
образована
прямой
линией,
назы
вается
линейчатой.
вер
ность
для
котор
только
кривая
линия
может
быть
образующей,
называется
нелинейчатой
повер
ностью.
Очерком
поверхности
называют
след
плоскости
прое
кции
проецирующей
цилиндрической
поверхности,
которая
огибает
заданную
верхность.
Развертываем
ыми
называ
ются
поверхности
котор
гут быть совмещены
плоскостью
складок
разрывов.
относятся
только
линейчатые
поверхности,
причем
такие,
кот
рых
смежные
образующие
либо параллельны,
либо
пересекаются
друг с другом
либо
являются
касател
ыми
некоторой
простра
ственной
кривой.
Совокупность
независимых
условий,
однозначно
определяющих
поверхность,
называют
ред
лителем
поверхности. Опреде
литель состоит из геометрической и алгоритмической частей. В
геоме
рической части указывают, с помощью каких геометрических образов формируется данная
повер
ность. В алгоритмической части даётся информация о механизме (кинематике) образования
повер
ности.
Заметим, что одна и та же поверхность может быть образована с использованием разных ге
рических образов и кинематических алгоритмов. Например, цилиндр вращения может
быть
образ
ван вращением отрезка прямой линии вокруг оси. Тот же результат получим при
поступ
тельном п
ремещении окружности вдоль оси.
Одним из условий для построения поверхностей и геометрических образов на них является
кра
угольное условие начертательной геометрии
условие принадлежности. Следует помнить,
что т
очка
принадлежит
поверхн
ости,
если
она
принадлежит
какой
либо
линии
этой
повер
сти.
Классификация поверхностей
Любая классификация предметов или явлений позволяет глубже понять изучаемые разделы
ки, отрасли техники, особенности пр
родного мира. Однако многообразие приз
наков, по кот
рым можно классифицировать изучаемые предметы, их возможная неоднозначность не позволяют
созд
вать идеальные классификации.
В основу классификации поверхностей могут быть положены:
вид образующей и её кинематика;
собенн
ости изменения формы о
бразующей;
азвёртываемость.
рис.
представлен один из возможных вариантов классиф
кации поверхностей. В первую
очередь, проведено деление на две группы по форме образующей
линейчатые и нелинейчатые
верхности. В свою очередь, линейчатые поверхности
можно классифици
ровать как
: развёрт
щиеся и неразвёртывающиеся.
П
о
в
е
р
х
н
о
с
т
и
Л
и
н
е
й
ч
а
т
ы
е
Н
е
л
и
н
е
й
ч
а
т
ы
е
Р
а
з
в
е
р
т
ы
в
а
-
ю
щ
и
е
с
я
Н
е
р
а
з
в
е
р
т
ы
-
в
а
ю
щ
и
е
с
я
с
п
о
с
т
о
я
н
н
о
й
о
б
р
а
з
у
ю
щ
е
й
с
п
е
р
е
м
е
н
н
о
й
о
б
р
а
з
у
ю
щ
е
й
М
н
о
г
о
-
г
р
а
н
н
и
к
и
Т
о
р
с
ы
С
п
л
о
с
к
о
с
т
ь
ю
п
а
р
а
л
л
е
л
и
з
м
а
В
и
н
т
о
в
ы
е
В
р
а
щ
е
н
и
я
Ц
и
к
л
и
ч
е
с
к
и
е
(
т
р
у
б
ч
а
т
ы
е
)
К
а
н
а
л
о
в
ы
е
Г
р
а
ф
и
ч
е
с
к
и
е
П
о
в
е
р
х
н
о
с
т
и
Л
и
н
е
й
ч
а
т
ы
е
Н
е
л
и
н
е
й
ч
а
т
ы
е
Р
а
з
в
е
р
т
ы
в
а
-
ю
щ
и
е
с
я
Н
е
р
а
з
в
е
р
т
ы
-
в
а
ю
щ
и
е
с
я
с
п
о
с
т
о
я
н
н
о
й
о
б
р
а
з
у
ю
щ
е
й
с
п
е
р
е
м
е
н
н
о
й
о
б
р
а
з
у
ю
щ
е
й
М
н
о
г
о
-
г
р
а
н
н
и
к
и
Т
о
р
с
ы
С
п
л
о
с
к
о
с
т
ь
ю
п
а
р
а
л
л
е
л
и
з
м
а
В
и
н
т
о
в
ы
е
В
р
а
щ
е
н
и
я
Ц
и
к
л
и
ч
е
с
к
и
е
(
т
р
у
б
ч
а
т
ы
е
)
К
а
н
а
л
о
в
ы
е
Г
р
а
ф
и
ч
е
с
к
и
е
Рис. 1
К классу ра
вёртывающихся поверхностей относятся торсовые поверхности, а также конич
ские и цилиндрические поверхности. Гранные поверхности (многогранн
ики), несомненно, тоже
относя
тся
к
развёртыва
ющи
ся, та
как
являются совокупностями отсеков плоскости.
Неразвёртывающиеся поверхности по алгоритмическому крит
рию можно разделить на два
класса: поверхности с плоскость
пара
лелизма (цилиндроид, коноид, ко
сая плоскость) и винт
вые поверхности (прямой геликоид, косой геликоид). Тут можно
отмети
ть несовершенство данной
кла
сификации:
например
винтовой торс относится
как
к винтовым,
так
и к торсовым поверхн
стям.
Нелинейчатые поверхности классифициру
ются
по из
менению формы образующей: с постоя
ной и с переменной образующей. Поверхности с постоянной образующей можно классиф
цир
вать по алгоритмическому признаку, а именно по траектории перемещения образующей. Выделим
поверхн
сти вращения и циклические (трубчатые)
поверхности. Самой яркой представительн
цей
класса трубчатых поверхностей является поверхность пружины.
Ее о
бразующей является окру
ность, а н
правляющей
винтовая линия (как цилиндрическая, так и коническая).
Нелинейчатые поверхности с переменной образу
ющей зачастую невозможно описать матем
чески. Такие поверхности отно
ятся
к разряду графических, каркас которых представляет
собой
кретный на
бор линий или точек. Остальные
отн
ятся
к каналовым поверхностям. Определ
тель т
кой поверхности в геометриче
ской части содержит образующую переменной формы и н
правля
щую, а в алгоритмической части
закономерности изменения формы образующей и её
перемещения по н
правляющей.
ШАГ 12.
ГРАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
(МНОГОГРАННИКИ)
Грань
это плоскость, поэтому
гранны
поверхности
это поверхности, представляющие с
бой совокупность плоскостей, кот
рые пересекаю
тся по прямым линиям, называемым
ребрами.
Особую группу многогранников представляют правильные многогранники, т.е. такие, у кот
рых все грани
правильные мног
угольники.
Выделим
пять
видов
правильных многогранников (
рис.
12.1
тетраэдр
четырех
гранник, все грани которого представляют собой равносторонние тр
угол
гексаэдр (куб)
шести
гранник, все грани
квадраты;
октаэдр
восьми
гранник, грани
равн
осторонние треугольники;
додек
аэдр
двенадцати
гранник
грани
правильные пятиугольн
ки;
икосаэдр
двадцати
гранник, грани
равносторонние треугол
Некоторые
гранные
поверхности
это
поверхности, образованные
перемещением
прямол
ной
образующей
ломаной
нии.
Пирамидальная
поверхность
задается
вершиной,
направля
щей
образующей.
Если
вершина
бесконечности
это
призматическая
верхность.
Н
а
з
в
а
н
и
е
И
з
о
б
р
а
ж
е
н
и
е
К
о
л
и
ч
е
с
т
в
о
г
р
а
н
е
й
в
е
р
ш
и
н
р
е
б
е
р
с
т
о
р
о
н
ф
и
г
у
р
ы
к
а
ж
д
о
й
г
р
а
н
и
р
е
б
е
р
,
с
х
о
д
я
щ
и
х
с
я
в
к
а
ж
д
о
й
в
е
р
ш
и
н
е
Р
а
з
в
е
р
т
к
а
п
о
в
е
р
х
н
о
с
т
и
Т
е
т
р
а
э
д
р
Г
е
к
с
а
э
д
р
(
к
у
б
)
О
к
т
а
э
д
р
Д
о
д
е
к
а
э
д
р
И
к
о
с
а
э
д
р
4
4
6
3
3
6
8
1
2
4
3
8
6
1
2
3
4
1
2
2
0
3
0
5
3
2
0
1
2
3
0
3
5
Н
а
з
в
а
н
и
е
И
з
о
б
р
а
ж
е
н
и
е
К
о
л
и
ч
е
с
т
в
о
г
р
а
н
е
й
в
е
р
ш
и
н
р
е
б
е
р
с
т
о
р
о
н
ф
и
г
у
р
ы
к
а
ж
д
о
й
г
р
а
н
и
р
е
б
е
р
,
с
х
о
д
я
щ
и
х
с
я
в
к
а
ж
д
о
й
в
е
р
ш
и
н
е
Р
а
з
в
е
р
т
к
а
п
о
в
е
р
х
н
о
с
т
и
Т
е
т
р
а
э
д
р
Г
е
к
с
а
э
д
р
(
к
у
б
)
О
к
т
а
э
д
р
Д
о
д
е
к
а
э
д
р
И
к
о
с
а
э
д
р
4
4
6
3
3
6
8
1
2
4
3
8
6
1
2
3
4
1
2
2
0
3
0
5
3
2
0
1
2
3
0
3
5
Рис. 12.1
12.1.
Точка на поверхности многогранника
Задача
нахождения
точк
принадлежащей
поверхности,
сводится
нахождению
точки,
лежащей
плоскости.
Рассмотрим задачу определения недостающей проекции точки, принадлежащей трехгранной
рамиде. На
рис.
12.2
представлены исходные данные задачи.
Задана трехгранная пирами
да с вершиной
и основанием
ABC
. На грани
SAC
расположена точка
, фронтальная проекция которой задана. Необходимо построить горизонтальную проекцию этой
ки.
Грань
SAC
представляет собой плоскость, а,
как известно, точка принадлежит
плоскости, если
а принадлежит какой
либо прямой, лежащей в этой плоскости. Проведем через точку
прои
з-
воль
ную вспомогательную прямую
рис.
12.2
). Точка
расположена на ребре
, а точка
на
ребре
. Зная фронтальную проекцию вспомогательной прямой, построим ее
горизонтальную пр
екцию и с п
мощью линии проекционной связи определим горизонтальную проекцию искомой то
ки
7

Рис. 12.2
Рис.
12.3
иллюстрирует построение недостающей проекции точки
, расположенной на грани
ABED
трехгранной призмы. Точка
всп
омог
тельной прямой
лежит на ребре
, а точка
на
ребре
. Построив горизонтальные проекции этих точек, определим пол
жение горизонтальной
проекции точки
Рис. 12.3
12.2. Сечение многогранника плоскостью
Как известно, сечение поверхности пл
оскостью представляет собой плоскую фигуру,
прина
жащую как поверхности, так и секущей плоскости. В случае с многогранниками задачу можно
шать двумя подходами:
находить точки пересечения рё
бер с плоскостью (способ рёбер)
или
дить линии пересечения
граней с плоскостью (способ граней).
остроени
сечения трехгранной призмы плоскостью
показа
на
рис. 12.4,
Алгоритм р
шения данной задачи заключается в определении точек пересечения ребер призмы с секущей
плоск
стью α, т.е. сводится к алгоритму нахожде
ния точек пересечения пр
мых с плоскостью.
Этот алгоритм поясняет рис. 12.4
, где иллюстрируется построение точки встречи прямой
с плоскостью α. Здесь прямая заключена во вспомогательную фронтально
проецирующую пло
кость β. Плоскости α и β пересекаютс
я по прямой
. Искомая точка встречи прямой
плоскостью α (точка
) определена, как точка пересечения прямых
Аналогично опр
делена то
ка
, как точка встречи ребра
с секущей плоскостью и точка
точка пересечения
ребра
с этой же
кущей плоскостью.
Исходные данные следующей задачи приведены на
рис.
12.5,
Здесь четырехгранная пирам
да с основанием
пересекается плоскостью общего положения α, заданной треугольником
. Задача решается с использованием метода замены плоско
стей проекций, чтобы в новой си
теме к
ординат секущая плоскость стала проец
рующей. Новая ось
рис.
12.5
) при этом пр
водится перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали
секущей плоскости
). В сист
ме коорд
нат
1
определены точки пересечения ребер пирам
ды с секущей плоскостью, а
горизонтальная и фронтальная проекции сечения определены с помощью линий проекционной
связи. Сл
дующая
замена плоскостей проекций (
рис.
12.5
), сделана так, чтобы с
кущая
пло
кость стала плоскостью уровня, на которую сечение пр
ецируется в истинную величину.
9

Рис. 12.4
'
'
'
'
'
'
'
'
х
'
'
'
'
'
'
'
'
х
10

S
"
1
"
2
"
3
"
4
"
A
"
C
"
B
"
A
'
C
'
B
'
1
'
2
'
3
'
4
'
S
'
х
х
1
С
I
V
6
I
A
I
V
7
I
8
I
3
I
V
2
I
V
4
I
V
1
I
V
S
I
V
B
I
V
1
0
I
9
I
5
"
5
'
h
"
h
'
5
I
V
h
I
V
1
0
'
9
'
8
'
7
'
6
'
1
0
"
6
"
7
"
8
"
9
"
z
B
B
S
"
1
"
2
"
3
"
4
"
A
"
C
"
B
"
A
'
C
'
B
'
1
'
2
'
3
'
4
'
S
'
х
х
1
С
I
V
6
I
A
I
V
7
I
8
I
3
I
V
2
I
V
4
I
V
1
I
V
S
I
V
B
I
V
1
0
I
9
I
5
"
5
'
h
"
h
'
5
I
V
h
I
V
1
0
'
9
'
8
'
7
'
6
'
1
0
"
6
"
7
"
8
"
9
"
z
B
B
Рис. 12.5
Рис. 12.5 (окончание)
12.3. Пересечение прямой линии с поверхностью м
ногогранника
Алгоритм нахождения точек пересечения прямой с многогранн
ком заключается в следу
щем:
прямая заключается во вспомогательную проецирующую пло
кость,
строится сечение многогранника вспомогательной плоскостью,
определяю
тся общие точки заданн
ой прямой
и построенного сечения
это и есть искомые
ки пересечения многогранника пр
мой линией.
Рис.
12.6
иллюстрирует определение проекций точек пересечения прямой
с поверхностью
трехгранной призмы. Здесь приведены два варианта решения. На рис.
прямая
заключена
во вспомогательную горизонтально
проецирующую плоскость α. Точки п
ресечения ребер при
мы со вспомогательной плоскостью определяют сечение призмы этой плоскостью (это точки
). Как видно из рисунка, сечение имеет форму треуг
ольника
Рис. 12.6























13

Пересечение фронтальной проекции сечения с фронтальной проекцией прямой
позволяет
ределить фронтальные проекции искомых точек пересечения
. Горизо
тальные проекции
этих точек строятся с помощью линий проекционной
связи.
Рис.
12.6
иллюстрир
ет решение
этой же задачи с помощью вспомогательной фронтально
проецирующей плоск
сти β, рассека
щей призму по треугольнику
. Пересечение горизонтальных проекций сечения и прямой
дает нам гор
зонтальные проекции искомы
х точек
, после чего строятся фронтальные пр
екции этих т
чек.
12.4.
Взаимное п
ересечение двух многогранников
Линия пересечения двух многогранников
это ломаная линия, каждый отрезок которой пр
лежит обеим поверхностям. Точки этой линии (а она м
ожет состоять из нескольких отдельных
тей) опр
деляются как точки пересечения ребер одной поверхности с гранями другой. Опред
ление проекций этих точек
как правило
трудностей не вызывает.
Для начала рассмотрим простой пример на пересечение двух трехгр
анных призм (
рис
12.7
).
дача облегчается тем, что
одна из призм является горизонтально
проецирующей. С помощью
гор
зонтально
проецирующей плоскости α определяются точки пересечения этой плоскости с
призмой, основанием которой является треугольник
DEF
очка
точка пересечения с ребром, проходящим через точку
, точка
с ребром, прох
щим через точку
, а точка
лежит на ребре, проходящем через точку
. Аналогично построены
екции точек
, лежащие в плоскости β.
Соединив точки отрезками п
рямых, легко получить проекции двух линий пересечения призм.
С определением видимости в этом случае проблем не возникает, ибо отрезки
, а также
на ф
ронтальной проекции невидимы, та
как
принадлежат невидимой на этой проекции грани,
заданной точк
ами
Рис. 12.7
В рассмотренном примере последовательность соединения точек пересечения, а также вид
мость отдельных участков линии пересеч
ния очевидна. Но так бывает не всегда. В общем случае
следует помнить, что соединять отрезками прямых мо
жно только те точки, кот
рые лежат на о
ной и той же грани многогранника. Видимыми учас
ками будут только те, которые принадлежат
видимым граням как первого, так и второго многогранника. Определять видимость нео
ходимо
отдельно для каждой из проекций. Здес
ь большую помощь может оказать построение специал
ь-
ных схем, представляющих собой условное наложение разверток пересекающихся многогранн
ков.
Схема для фронтальной проекции рассматриваемого примера приведена на
рис.
12.8
Верт
кал
ные прямые
словное изо
бражение развертки
призмы с основанием
. Гор
зонтал
ные прямые
условное изображение развертки призмы с осн
ванием
DEF
. Т
перь нанесем на схемы знаки плюс и минус, говорящие о видимости соотве
ствующих граней
призм. Грани
на фронтальной проекции видимы (поставим им положительный знак),
грань
невидима (знак м
нус). Для другой призмы видимы грани
, а грань
невид
ма. Далее на схему необх
димо нанести
приближенное положение точек линий сечения. Так, то
ка
точк
а пересечение ребра, пр
ходящего ч
ерез точку
, с гранью
. Нанеся все точки,
единим их
с учетом видимости (о
резок видим, если обе грани видимы).
C
A
B
C
D
D
F
E
1
3
2
1
4
4
5
6
C
A
B
C
D
D
F
E
1
3
2
1
4
4
5
6
Рис. 12.8
Исходные данные более сложного примера, который мы рассмотрим, приведены на
рис.
12.9
Здесь пересекаются трехгранная призма и трехгранная п
рамида с вершиной в точке
Прежде всего необходимо определить проекции точек пересечения ребер каждого многогра
ка с гранями другого.
Начнем с ребра
пирамиды (рис.
12.9
). Заключим
его
во вспомогательную горизонтально
проецирующую плоскость α1. Эта плоскость пересечет ребра призмы в точках
. Таким
разом
будет сформировано сечение призмы вспомога
тельной пло
костью.
Фронтальная проекция сечения пересекается с фронтальной проекци
ей ребра
в двух то
ках. Это
и есть фронтальные проекции искомых точек
. Горизонтальные проекции этих точек
опр
деляются с помощью линий проекционной связи. Отметим,
что точка
находится на грани
LEDK
, а точка
на грани
при
мы.
Пересечение ребра
пирамиды с гранями призмы рассмотрено на
рис.
12.9
, где для п
стро
ния используется вспомогательная пло
кость α2. Эта плоскость пересекает ребра призмы в
точках
. Фронтальная проекция треугольника
не пересекает фро
тальную пр
екцию ребра
пирамиды. Следовательно, ребро
призму не пересекает.
Точка
на грани
KDEL
и точка
на грани
MFEL
(рис. 12.9
точки пересечения ребра
рамиды с г
ранями призмы. Проекции этих точек определены с помощью вспомогательной гор
тально
проецирующей секущей плоскости α3, проведенной через ребро
Теперь рассмотри
пересечени
ребер призмы с п
верхностью пирамиды.
Начнем с ребра
. Построение проекций
точек пересечения (точка
на грани
SAC
пирамиды
и точка
на грани
SBC
) иллюстрирует рис.
12.9
. Проекции этих точек определены с помощью
всп
могательной горизонтально
проецирующей секущей плоскости α4, пров
денной через ребро
призмы.
Ребро
призмы
(рис.
12.9
) пересекает грани пирамиды в точках
. При этом точка
нах
дится на грани
SBC
пирамиды, а точка
на грани
SAC
Отсутствие пересечения ребра
призмы с гранями пирамиды видно на рис. 12.9
Для оформления окончательного решения обрати
мся к уже известной схеме (рис. 12.9
). В
ном случае схема состоит из двух частей. На левом поле определена видимость отрезков линии
ния для горизонтальной проекции, а на правом
для фронтальной. Знаки
плюс
минус
указ
вают на видимость гране
й. Если отрезок линии сечения принадлежит двум видимым граням,
то он в
мый, в
противном случае
невидим.
Окончательный вид проекций линии сечения рассматриваемых призмы и пирамиды предста
лен на рис.
12.9
Рис. 12.9
)

Отсутствие пе
ресечений
Рис. 12.9 (продолжение)
)
Рис. 12.9 (продолжение)
)

Отсутствие пересечений
Рис. 12.9 (продолжение)
)






)

21

Рис. 12.9 (окончание)
Итоги
шага
Вспомнили
раздел школьного курса стер
ометрии «Многогранники» (понятия
, призма,
рамида, правильные многогранники).
Узнали
алгоритмы построения сечения многогранников плоскостью, построения линии пер
чения многогранников.
Научились
строить сечения многогранников плоскостью, находить точки
пересечения пр
я-
мой линии с поверхностью многогранников, строить пространственную ломаную линию
линию
перес
чения многогранников.
Построить линию пересечения двух пирамид (четырёхгранной и шестигранной) с общей ве
кальной осью
ис.
Рис.
ШАГ 13.
ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАННЫ
Е КАРКАСОМ И КИНЕМАТ
ИЧЕСКИЕ ПОВЕРХН
СТИ
Как мы уже говорили,
каркас
это совокупность точек или л
ний, принадлежащих поверхн
сти и выбранных таким образом, чтобы, ориентируясь по ним, можно было достаточ
но точно
предст
вить форму поверхности.
Рассмотрим
рис.
13.1
На нем представлена поверхность, заданная каркасом, и иллюстрируе
ся построение проекций точек, принадл
жащих этой поверхности. Не забываем, что точка прина
лежит поверхности, если она расположе
на на какой
либо линии этой повер
ности. Здесь повер
ность задана семейством линий
это и есть каркас данной поверхности. Точка
принадлежит этой поверхности. Фронтальная проекция
точки лежит на фронтальной проекции
линии каркаса
, след
вательно, горизонтальная проекция точки
будет принадлежать горизо
тальной проекции линии
Рис. 13.1
Точка
также принадлежит этой поверхности. Если задана ее фронтальная проекция, то для
строения горизонтальной проекции через эту точку необх
одимо провести вспомогательную л
нию (обозначим ее как
), также принадлежащую поверхности. Зададим произвольно фронтал
ь-
ную пр
екцию
линии
. Эта линия пересекает л
нии каркаса в точках
. Зная фронтал
ь-
ные проекции этих точек, построим с помощью
линий проекционной связи их горизо
тальные
проекции.
Соединив эти проекции лекальной кривой, получим горизонтальную проекцию линии
, на
кот
рой и расположена горизонтальная проекция искомой точки
. Линия
является пр
странс
венной кривой, поэтому для
ее построения рекомендуется брать как минимум четыре точки. Даже
если одна из проекций этой линии
прямая, то все равно надо брать на ней четыре точк
и, та
как
неизвестно, б
дет ли эта линия прямой в пространстве.
13.1.
Линейчатые
поверхности
одной
нап
равляющей
торсы
Торс
поверхность,
образованная
движением
образующей
которая
всех
положениях
ется
касательной
к некоторой
пространственной
кривой
называемой
ребром
возврата
рис.
13.2
При
этом
образующие
будут
пересекаться
плоскост
ью
кривой
являющейся
напра
ляющей.
Если
ребро
возврата
вырождается
точку
(вершину
получается
коническая поверхность
(рис.
13.2
Если
вершина
бесконечности
получается
цилиндрическая
поверхность
(рис.
13.2
нее
все
образующие
параллельны
друг
другу.


)

Рис. 13.2
Рассмотрим
принадлежность
точек
конической
поверхности. Коническая поверхность одн
зна
но задана вершиной
и направляющей
рис.
13.3
). Необходимо
построить
недостаю
щую
прое
цию
точки
принадлежащей
поверхности.
Алгоритм
решения
этой
задачи
состоит
том,
верхности
надо
провести
какую
либо
линию,
тем
ней
указать
точку.
В качестве такой линии в данном случае удобнее всего использовать прямолинейную
обр
щую (рис.
13.3
). Проведем через фронтальную проекцию точки
фронтальную проекцию
обр
зующей
, проходящей через вершину
. Эта образующая пересекает направляющую в точке
. О
ределив горизонтальную проекцию образующей (рис.
13.3
), можно заверши
ть решение п
строен
ем горизонтальной проекции точки
Рис. 13.3
Рис.
13.4
иллюстрирует решение аналогичной задачи по определению недостающей проекции
точки
, принадлежащей цилиндрической поверхности. Цилиндрическая поверхность (
рис.
13.4
задана направляющей
и образующей
. Здесь для решения задачи проведена образующая
ходящая через точку
и параллельная образующей
(рис.
13.4
). Окончательное решение
задачи представлено на рис.
13.4
Рис. 13.4
13.2.
Линейча
тая
поверхность
двумя
направляющими
плоскостью
пара
лелизма
(поверхность Кат
лана)
Примером
такой
поверхности
может
служит
косая пло
кость
или
гиперболический
параб
лоид.
Она
образована
движен
прямолинейной
образующей
двум
прямолинейным
напра
ляющим,
при
этом
образующая
время
движения
остается
параллельной
некой
плоскости
пара
лели
ма.
рис.
13.5
поверхность задана направляющими
и плоскостью параллелизма, в к
чес
ве которой использована горизонтальная плоскость пр
екций.
Если в з
адаче по определению недостающей проекции точки
, принадлежащей поверхности,
дана
фронтальная проекция этой точки
, то для решения задачи можно провести фронтальную
прое
цию образующей
, проход
щую через фронтальную проекцию точки (рис.
13.5
). Эта о
разующая пересекает направляющие
соответственно в точках
Построив горизонтальные проекции этих точек, определяем горизонтальную проекцию обр
зующей
, на которой и находится горизонтальная проекция точки
. Задача решена.
В том случае,
когда задана горизонтальная проекция точки
, принадлежащей поверхности,
вести горизонтальную проекцию образующей не пре
ставляется возможным. Для решения з
27

дачи необходимо построить каркас п
верхности.
Это сделано с помощью образующих
рис.
13.5
Затем через горизонтальную проекцию точки
проводится горизонтальная проекция вспом
тельной линии
. Построение фронтальной проекции линии
осуществляется по точкам
, в которых линия
пересекает образу
щие, а также
по
точке
пересечения ее с направляющей
. Зная фронтальную проекцию линии
, легко определить положение фронтальной проекции
точки


Рис. 13.5
Рис. 13.5 (окончание)
К поверхностям данного класса относятся также цилиндроид и коноид. Цилинд
роид
повер
ность, которая образуется движением прямой линии, во всех своих положениям параллельной
пло
кости параллелизма, и пересека
две ра
личные криволинейные направляющие произвол
ь-
ного вида.
рис.
13.6
изображен цилиндроид,
в котором
образующие
параллельны гор
тально
проецирующей плоскости параллелизма α. Направляющими являются две кривые
DEF
. Рис.
13.6
иллюстрирует ортогональные проекции этой поверхности.
Рис. 13.6
Рис. 13.6 (окончание)
У коноида одна
нап
равляющая
кривая линия, а другая
прямая. На
рис.
13.7
показаны орт
нальные проекции коноида, образованного движением прямой, параллельной горизонтальной
пло
кости проекций, по двум направляющим: кривой
и горизонтально
проецирующей пр
мой
Если
поверхность коноида образо
вана движением
образую
щей
по прямолинейной напр
щей, перпендикулярной ей, и
криволинейной направляющей
, которой
является винтовая л
ния, то такой к
оид называется винтовым
рис.
13.8
).

Рис. 13.7
с. 13.8
Винтовой коноид, образованный вокруг соосного с ним цилиндра, носит название кольцевого
винтового коноида (
рис. 13.9
). Примером использования такой поверхности
в технике является
шнек, служ
щий для перемещения сыпучих материалов и жидкостей.
Винтов
ые коноиды относятся также к группе винтовых поверхностей.
Рис. 13.9
13.3.
Винтовые поверхности
Винтовыми поверхностями называются такие поверхности, у которых в качестве одной из н
правляющих служит винтовая линия.
Цилиндрическая винтовая линия
то траектория движения точки, которая с постоянной у
ловой скоростью вращается вокруг оси цилиндра, одновременно равномерно двигаясь по повер
ности ц
линдра вдоль его оси (
рис.
13.10
). Как видно из рисунка, фронтальной пр
екцией этой
линии является синусои
да, а горизонтальной
окру
ность.
Путь, пройденный точкой на один оборот, называется витком.
Ход цилиндрической винтовой линии
это расстояние между н
чальной и конечной точками
витка, измеренное вдоль оси цилиндра.
Шаг
расстояние между смежными виткам
и, также измеренное вдоль оси цилиндра.
Цилиндрическая винтовая линия называется гелисой, поэтому линейчатые винтовые повер
сти,
у которых
направляющей служит гелиса, называют геликоидами.
В зависимости от величины угла наклона образующей к оси геликоид
ы бывают прямыми
(угол равен 90
°) и косыми, если этот угол
произвольный, но отличный от 0
и 90
Рис. 13.10
В зависимости от взаимного расположения оси геликоида и его образующей геликоиды по
деляются на открытые и закрытые. Е
ли ось и образу
ющая пересекаются, то это закрыты
й г
ликоид, а если скрещиваются
открытый.
Рассмотрим построение каркаса косого геликоида, образующая которого при своем движении
тается параллельной образующим прямого кругового конуса,
соосного
с винтовой линией, что
печивает постоянство угла между образующей и осью поверхности. Такой конус называют
напра
ляющим конусом.
рис.
13.11
косой геликоид задан
направляющей
винтовой линией
и направляющим к
сом. Рис.
13.11
поясняет построение образующей поверхности
геликоида. Здесь рассмотрено
строение проекций образую
щей, проходящей через точку
задана горизо
тальная проекция
этой точки)
на винтовой линии. Горизонтальная проекция образующей пересекает горизонтал
ь-
ную пр
екцию основ
ния направляющего конуса в то
чке
Зная горизонтальную проекцию этой точки, можно построить ее фронтальную проекцию и
опр
делить фронтальную проекцию образующей
направляющего конуса. Фронтальная прое
к-
ция обр
зующей коноида проходит через фронтальную проекцию точки
на фронтально
й прое
к-
ции винтовой линии параллельно фронтальной проекции образующей направля
щего конуса
На рис.
13.11
изображены проекции каркаса поверхности коноида и построены проекции сеч
ния поверхности г
ризо
тальной плоскостью α.
Рис.
13.12
иллюстрирует реш
ение задачи на построение недостающей проекции точки, пр
лежащей поверхности коноида. На рис.
13.12
рассмотрено решение задачи, если задана гор
тальная проекция искомой точки.
В этом случае
проводят г
ризонтальную проекцию обр
зующей, а затем строя
т фронтальную проекцию образующей, на которой и находится фронтальная
прое
ция искомой точки.
Если задана фронтальная проекция точки (рис.
13.12
), то вначале строится каркас поверхн
сти, а затем через фронтальную проекцию точки проводят фронтальную прое
кцию вспомогател
ной л
нии (например, линии сечения поверхности проециру
щей плоскостью). Построив гор
зонтальную проекцию вспомог
тельной линии, можно отметить на ней горизонтальную проекцию
искомой точки
(рис.
13.12
)

1
0
'
9
'
8
'
7
'
6
'
5
'
4
'
3
'
2
'
1
'
1
2
'
1
1
'
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
1
1
2
1
1
'
1
2
'
1
3
'
1
4
'
1
5
'
1
6
'
1
7
'
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
х
о
д
1
0
'
9
'
8
'
7
'
6
'
5
'
4
'
3
'
2
'
1
'
1
2
'
1
1
'
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
1
1
2
1
1
'
1
2
'
1
3
'
1
4
'
1
5
'
1
6
'
1
7
'
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
х
о
д
Рис. 13.11

1
0
'
9
'
8
'
7
'
6
'
5
'
4
'
3
'
2
'
1
'
1
2
'
1
1
'
1
2
3
4
5
6
9
1
0
1
1
1
2
1
1
2
1
1
'
1
2
'
1
3
'
1
4
'
1
5
'
1
6
'
1
7
'
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
х
о
д
7
8
'
'
'
1
0
'
9
'
8
'
7
'
6
'
5
'
4
'
3
'
2
'
1
'
1
2
'
1
1
'
1
2
3
4
5
6
9
1
0
1
1
1
2
1
1
2
1
1
'
1
2
'
1
3
'
1
4
'
1
5
'
1
6
'
1
7
'
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
х
о
д
7
8
'
'
'
Рис. 13.11 (продолжение)
)


1
0
'
9
'
8
'
7
'
6
'
5
'
4
'
3
'
2
'
1
'
1
2
'
1
1
'
1
"
2
"
3
"
4
"
5
"
6
"
9
"
1
0
"
1
1
"
1
2
"
1
"
1
2
"
1
1
'
1
2
'
1
3
'
1
4
'
1
5
'
1
6
'
1
7
'
1
3
"
1
4
"
1
5
"
1
6
"
1
7
"
1
х
о
д
H
7
"
8
"
S
"
S
'
f
0
A
"
B
"
C
"
D
"
E
"
A
'
B
'
C
'
D
'
E
'
1
0
'
9
'
8
'
7
'
6
'
5
'
4
'
3
'
2
'
1
'
1
2
'
1
1
'
1
"
2
"
3
"
4
"
5
"
6
"
9
"
1
0
"
1
1
"
1
2
"
1
"
1
2
"
1
1
'
1
2
'
1
3
'
1
4
'
1
5
'
1
6
'
1
7
'
1
3
"
1
4
"
1
5
"
1
6
"
1
7
"
1
х
о
д
H
7
"
8
"
S
"
S
'
f
0
A
"
B
"
C
"
D
"
E
"
A
'
B
'
C
'
D
'
E
'
Рис. 13.11 (окончание)
)

1
0
'
9
'
8
'
7
'
6
'
5
'
4
'
3
'
2
'
1
'
1
2
'
1
1
'
1
2
3
4
5
6
9
1
0
1
1
1
2
1
1
2
1
1
'
1
2
'
1
3
'
1
4
'
1
5
'
1
6
'
1
7
'
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
х
о
д
H
7
8
'
'
'
'
1
0
'
9
'
8
'
7
'
6
'
5
'
4
'
3
'
2
'
1
'
1
2
'
1
1
'
1
2
3
4
5
6
9
1
0
1
1
1
2
1
1
2
1
1
'
1
2
'
1
3
'
1
4
'
1
5
'
1
6
'
1
7
'
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
х
о
д
H
7
8
'
'
'
'
Рис. 13.

1
0
'
9
'
8
'
7
'
6
'
5
'
4
'
3
'
2
'
1
'
1
2
'
1
1
'
1
"
2
"
3
"
4
"
5
"
6
"
9
"
1
0
"
1
1
"
1
2
"
1
"
1
2
"
1
1
'
1
2
'
1
3
'
1
4
'
1
5
'
1
6
'
1
7
'
1
3
"
1
4
"
1
5
"
1
6
"
1
7
"
1
х
о
д
H
7
"
8
"
S
"
S
'
f
0
B
"
1
0
'
9
'
8
'
7
'
6
'
5
'
4
'
3
'
2
'
1
'
1
2
'
1
1
'
1
"
2
"
3
"
4
"
5
"
6
"
9
"
1
0
"
1
1
"
1
2
"
1
"
1
2
"
1
1
'
1
2
'
1
3
'
1
4
'
1
5
'
1
6
'
1
7
'
1
3
"
1
4
"
1
5
"
1
6
"
1
7
"
1
х
о
д
H
7
"
8
"
S
"
S
'
f
0
B
"
Рис. 13.12 (продолжение)
)

1
0
'
9
'
8
'
7
'
6
'
5
'
4
'
3
'
2
'
1
'
1
2
'
1
1
'
1
"
2
"
3
"
4
"
5
"
6
"
9
"
1
0
"
1
1
"
1
2
"
1
"
1
2
"
1
1
'
1
2
'
1
3
'
1
4
'
1
5
'
1
6
'
1
7
'
1
3
"
1
4
"
1
5
"
1
6
"
1
7
"
1
х
о
д
H
7
"
8
"
S
"
S
'
f
0
B
"
1
4
"
1
3
"
1
1
"
1
2
"
B
'
1
4
'
1
3
'
1
2
'
1
1
'
1
5
"
1
5
'
1
0
'
9
'
8
'
7
'
6
'
5
'
4
'
3
'
2
'
1
'
1
2
'
1
1
'
1
"
2
"
3
"
4
"
5
"
6
"
9
"
1
0
"
1
1
"
1
2
"
1
"
1
2
"
1
1
'
1
2
'
1
3
'
1
4
'
1
5
'
1
6
'
1
7
'
1
3
"
1
4
"
1
5
"
1
6
"
1
7
"
1
х
о
д
H
7
"
8
"
S
"
S
'
f
0
B
"
1
4
"
1
3
"
1
1
"
1
2
"
B
'
1
4
'
1
3
'
1
2
'
1
1
'
1
5
"
1
5
'
Рис. 13.12 (окончание)
Итоги
го
шага
Вспомнили
понятие каркаса поверхности, условие принадле
ности.
Узнали
особенности образования торсовых, винтовых поверхностей и поверхностей с пло
стью параллелизма (Каталана).
Научились
строить к
аркасы линейчатых поверхностей и то
ки на них.
Построить каркас цилиндроида, направляющими которого являются соосные цилиндрические
винтовые линии с одинаковым шагом. Диаметры цилиндров
раз
личаются в два раза, а плоскостью
раллели
зма является горизонтальная плоскость проекций
(рис.
Винтовая линия большого цилиндра проходит через точку
. Рассмотрите два случая: винт
вая линия малого цилиндра проходит через точку
й случай) и через точку
й случай).
Рис.
Министерство образования и науки Российской Федерации
Балтийский государственный технический университет «Военмех»
Кафедра инженерной и машинной геометрии и графики
В.А. Д
ЮМИН
, М.В. Р
АКИТСКАЯ
, Д.Е.
ТИХОНОВ
БУГРОВ
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕ
ТРИЯ
ШАГ ЗА ШАГОМ
ШАГИ
12
ПОВЕРХНОСТИ, АКСОНОМЕТРИИ
Учебное пособие
Санкт
Петербург

Приложенные файлы

  • pdf 1023535
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 15

Добавить комментарий