Законы распределения


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

О законах распределениядискретных случайных величин Ахмеджанова Т.Д. Биномиальное распределение Пусть производится n независимых испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании равна р , а непоявления - Какова вероятность того, что при n повторных испытаниях событие А произойдет m раз? Пусть событие А наступило в первых m испытаниях m раз и не наступило в n-m испытаниях. Это сложное событие можно записать в виде произведения:Общее число сложных событий, когда m раз наступает событие А, равно числу сочетаний из n по m элементов:. Испытания независимы в совокупности и Р(А) = р, , вероятность каждого сложного события равна pmqn-m.В силу их несовместности вероятность их суммы равна сумме их вероятностей. Итак, вероятность появления события А m раз в n испытаниях:(формула Бернулли). Задача В коробке лежат 10 исправных и 3 неисправных батарейки. Наудачу по одной извлекаются 3 батарейки. Составить закон распределения случайной величины - числа исправных батареек среди извлеченных, построить графики, найти её основные числовые характеристики (рассмотреть оба случая). Решение (батарейки возвращаются в коробку после проверки) Пусть Х- дискретная случайная величина - число исправных батареек. Вероятность для каждой батарейки быть исправной (неисправной) определяем по формуле классической вероятности. Проводится n = 3 испытания Бернулли, в каждом из которых По формуле Бернулли 0.455 0.410 0.123 0.012 p 3 2 1 0 X Проверка: 0.012 + 0.123 + 0.410 + 0.455 = 1M(X) = 0.123 + 0.82 + 1.365 = 2.308D(X) = 0.123 + 1.64 + 4.095 - 5.3269 = 0.5312.Mo = 3Me = 2 ПолигонГистограмма p 3 2 1 0 X Решение (батарейки не возвращаются в коробку после проверки) Х- дискретная случайная величина - число исправных батареек. Вероятность для каждой батарейки быть исправной (неисправной) определяем с учётом зависимости рассматриваемых событий. Рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых наступает событие А с вероятностью р. Обозначим через Х случайную величину, равную числу появлений события А в n испытаниях. Возможными значениями величины Х будут числа 0, 1, 2, ..., n -1, n. … … p n ... m ... 1 0 X По формуле Бернулли найдем вероятности этих значений, а полученные данные запишем в виде таблицы распределения. Построенный закон дискретной случайной величины Х называется законом биномиального распределения. p q pi 1 0 Xi Пусть Хi - число появлений события А в каждом испытании - случайная величина с распределением следующего вида: М(Хi) = 0 q + 1 p = p, но так как Х = X1 + X2 + ... +Xn, то M(X) = np. D(Xi) = p - p2 = p(1 - p) = pq.В силу независимости величин Х1, Х2, ... , Xn,D(X) = D(X1) + D(X2) + ... + D(Xn) = npq. Задача Симпатичная студентка Люся Копейкина со своим приятелем Петей Чернышевым катаются на лыжах. Люся - первоклассная лыжница. Ей ничего не стоит съехать с длинной крутой горы, на которой нужно к тому же сделать пять поворотов. Что касается Пети, то его шансы упасть или не упасть на каждом повороте равны. Какова вероятность того, что Петя съедет с горы, упав не больше двух раз? Задача Фасовщица Клава развешивает пряники в пакеты - по 1 кг в пакет. Пакеты Клава складывает в коробки - по 20 штук в коробку. Каждый из 10 пакетов Клава недовешивает. Контролер ОТК Иван Кузьмич подозревает Клаву в нечестности. Из 10 произвольных коробок он берет по одному пакету на проверку. Какова вероятность того, что у Ивана Кузьмича в руках окажется 3 недовешенных пакета? Задача Самый правдивый человек на свете барон Мюнхгаузен иногда все же любит несколько приукрасить действительность и в одном случае из пяти грешит против истины. Какова вероятность того, что из четырех рассказанных им историй - про чудесную штопку коня, разрубленного пополам, про путешествие на ядре в неприятельский город, про оленя, подстреленного вишневой косточкой и про жареных куропаток на шомполе, - хотя бы две абсолютно правдивые? Задача Том Сойер ставит свою дохлую крысу на веревочке против приятельского сломанного будильника, что при подбрасывании 6 монет выпадет 3 решки. Том считает, что шансы получить или не получить загаданный результат равны. Прав ли он? Распределение Пуассона. Это распределение играет важную роль в ряде вопросов теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т. д. - в тех случаях, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастных случаев и т.п.) (k = 0, 1, 2, ...). Случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения: 0, 1, 2, ..., m, ...(бесконечное, но счётное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой Распределение Пуассона дает хорошую аппроксимацию биномиального распределения для больших значений n и малых значений р. Это распределение называют также законом редких явлений. Закон Пуассона зависит от одного параметра , смысл которого в следующем: он является одновременно математическим ожиданием и дисперсией случайной величины, имеющей распределение Пуассона. Аналогично можно вычислить дисперсию случайной величины Х. Доказательство. М(Х) = На рисунках показаны значения вероятностей для различных значений k и где = np При большом n и малом р действует приближенное соотношение: если существует Этот факт можно сформулировать в виде предельного утверждения: при любом k, (k = 0, 1, 2, ...) Сумма n независимых случайных величин, имеющих пуассоновские распределения с параметрами , , ... , соответственно, имеет также распределение Пуассона с параметром Рассмотрим следующую задачу. Пусть на оси времени возникают точки - моменты появления каких-то однородных событий (например, приходов посетителей в магазин, поступлений вызовов на АТС etc.). Последовательность таких моментов обычно называют потоком событий. Предположим, что он обладает следующими свойствами: Стационарность. Это свойство означает, что вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длины зависит только от его длины, а не от местоположения на оси . Следовательно, среднее число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно. Обозначим его а и назовем интенсивностью потока.Ординарность. Ординарность потока выражается в том, что вероятность попадания на малый участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению вероятностью попадания на него одного события.Отсутствие последействия: вероятность попадания того или другого числа событий на заданный участок оси 0 t не зависит от того, сколько событий попало на любой другой непересекающийся с ним участок. Поток событий, обладающий этими тремя свойствами, называется простейшим или стационарным пуассоновским потоком.NB! Условие стационарности потока не является обязательным для того, чтобы число событий, попадающих на участок длины , распределялось по закону Пуассона (достаточно, чтобы выполнялись условия 2 и 3). Задача На АТС поступает простейший поток вызовов с интенсивностью а = 0.8 (вызов/мин). Найти вероятность того, что за две минуты: а) не придет ни одного вызова; б) придет ровно один вызов; в) придет хотя бы один вызов. Решение Пусть Х - случайная величина - число вызовов за 2 минуты - распределена по закону Пуассона с параметром Задача Известно, что на 100 булочек с изюмом попадается одна, в которой изюма нет вообще. Ученик 6б класса Костя Сидоров ставит одну жвачку Dirol против одной приятельской, что из купленной в школьном буфете булочки он выковыряет хотя бы 4 изюминки. Справедливо ли такое пари? (Указание: найти вероятность того, что в купленной булочке будет по крайней мере 4 изюминки, считая, что число изюминок в булочке подчиняется закону Пуассона.) Задача В дневнике ученика 6б класса Кости Сидорова 60 страниц, и только одна из них без единого замечания, что является чистой случайностью. Сколько в дневнике страниц с тремя замечаниями? (Указание: найти вероятность того, что на произвольной странице имеется 3 замечания, считая, что число замечаний на странице подчиняется закону Пуассона.) Классическое определение вероятности Для ряда распределения Спасибо за внимание!

Приложенные файлы

  • ppt 859523
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий